01 regioesir2eir3

AM2/C2

AnaliseMatematica2/ Calculo 2

R2

Retas

Parabolas

Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

Exercıcios

R3

Paraboloide

Cone

Cilindro

Esfera

Hiperb.1 folha

Hiperb.2 folhas

Resumo 1

Exercıcios

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Exercıcios

Outras sup.

Exercıcios

Regioes de R2 e R3

Analise Matematica 2/ Calculo 2

2013/14 - Semestre de Verao

1/45

AM2/C2


R2

Retas

Parabolas

Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

Exercıcios

R3

Paraboloide

Cone

Cilindro

Esfera

Hiperb.1 folha

Hiperb.2 folhas

Resumo 1

Exercıcios

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Exercıcios

Outras sup.

Exercıcios

Regioes em R2

2/45

AM2/C2


R2

Retas

Parabolas

Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

Exercıcios

R3

Paraboloide

Cone

Cilindro

Esfera

Hiperb.1 folha

Hiperb.2 folhas

Resumo 1

Exercıcios

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Exercıcios

Outras sup.

Exercıcios

3/45

AM2/C2


R2

Retas

Parabolas

Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

Exercıcios

R3

Paraboloide

Cone

Cilindro

Esfera

Hiperb.1 folha

Hiperb.2 folhas

Resumo 1

Exercıcios

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Exercıcios

Outras sup.

Exercıcios

Retas

y = mx + b m, b ∈ Rm decliveb ordenada na origem

4/45

AM2/C2


R2

Retas

Parabolas

Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

Exercıcios

R3

Paraboloide

Cone

Cilindro

Esfera

Hiperb.1 folha

Hiperb.2 folhas

Resumo 1

Exercıcios

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Exercıcios

Outras sup.

Exercıcios

Retas

y = mx + b m, b ∈ R

m decliveb ordenada na origem

4/45

AM2/C2


R2

Retas

Parabolas

Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

Exercıcios

R3

Paraboloide

Cone

Cilindro

Esfera

Hiperb.1 folha

Hiperb.2 folhas

Resumo 1

Exercıcios

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Exercıcios

Outras sup.

Exercıcios

Retas

y = mx + b m, b ∈ Rm decliveb ordenada na origem

4/45

AM2/C2


R2

Retas

Parabolas

Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

Exercıcios

R3

Paraboloide

Cone

Cilindro

Esfera

Hiperb.1 folha

Hiperb.2 folhas

Resumo 1

Exercıcios

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Exercıcios

Outras sup.

Exercıcios

Parabolas

y = ax2 + bx + c a, b, c ∈ R

zeros: x =−b ±

√b2 − 4ac

2aa > 0 ∪a < 0 ∩

5/45

AM2/C2


R2

Retas

Parabolas

Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

Exercıcios

R3

Paraboloide

Cone

Cilindro

Esfera

Hiperb.1 folha

Hiperb.2 folhas

Resumo 1

Exercıcios

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Exercıcios

Outras sup.

Exercıcios

Parabolas

y = ax2 + bx + c a, b, c ∈ R

zeros:

x =−b ±

√b2 − 4ac

2aa > 0 ∪a < 0 ∩

5/45

AM2/C2


R2

Retas

Parabolas

Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

Exercıcios

R3

Paraboloide

Cone

Cilindro

Esfera

Hiperb.1 folha

Hiperb.2 folhas

Resumo 1

Exercıcios

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Exercıcios

Outras sup.

Exercıcios

Parabolas

y = ax2 + bx + c a, b, c ∈ R

zeros: x =−b ±

√b2 − 4ac

2aa > 0 ∪a < 0 ∩

5/45

AM2/C2


R2

Retas

Parabolas

Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

Exercıcios

R3

Paraboloide

Cone

Cilindro

Esfera

Hiperb.1 folha

Hiperb.2 folhas

Resumo 1

Exercıcios

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Exercıcios

Outras sup.

Exercıcios

Circunferencias

(x − a)2 + (y − b)2 = r2 a, b, r ∈ R

(a, b) centror raio

6/45

AM2/C2


R2

Retas

Parabolas

Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

Exercıcios

R3

Paraboloide

Cone

Cilindro

Esfera

Hiperb.1 folha

Hiperb.2 folhas

Resumo 1

Exercıcios

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Exercıcios

Outras sup.

Exercıcios

Elipses

(x − a

c

)2

+

(y − b

d

)2

= 1 a, b, c , d ∈ R c 6= 0 ∧ d 6= 0

(a, b) centroc , d semi-eixos

7/45

AM2/C2


R2

Retas

Parabolas

Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

Exercıcios

R3

Paraboloide

Cone

Cilindro

Esfera

Hiperb.1 folha

Hiperb.2 folhas

Resumo 1

Exercıcios

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Exercıcios

Outras sup.

Exercıcios

Hiperboles(curiosidade)

(x − a

c

)2

−(y − b

d

)2

= 1 a, b, c , d ∈ R c 6= 0 ∧ d 6= 0

(a, b) centroc distancia ao centrodc abertura dos arcos

8/45

AM2/C2


R2

Retas

Parabolas

Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

Exercıcios

R3

Paraboloide

Cone

Cilindro

Esfera

Hiperb.1 folha

Hiperb.2 folhas

Resumo 1

Exercıcios

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Exercıcios

Outras sup.

Exercıcios

x3

y = ax3 + bx2 + cx + d a, b, c , d ∈ R

9/45

AM2/C2


R2

Retas

Parabolas

Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

Exercıcios

R3

Paraboloide

Cone

Cilindro

Esfera

Hiperb.1 folha

Hiperb.2 folhas

Resumo 1

Exercıcios

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Exercıcios

Outras sup.

Exercıcios

Modulo

y = |x |

|x | =

{x se x ≥ 0−x se x < 0

10/45

AM2/C2


R2

Retas

Parabolas

Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

Exercıcios

R3

Paraboloide

Cone

Cilindro

Esfera

Hiperb.1 folha

Hiperb.2 folhas

Resumo 1

Exercıcios

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Exercıcios

Outras sup.

Exercıcios

Raiz

y =√x

11/45

AM2/C2


R2

Retas

Parabolas

Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

Exercıcios

R3

Paraboloide

Cone

Cilindro

Esfera

Hiperb.1 folha

Hiperb.2 folhas

Resumo 1

Exercıcios

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Exercıcios

Outras sup.

Exercıcios

1x

y =1

x

12/45

AM2/C2


R2

Retas

Parabolas

Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

Exercıcios

R3

Paraboloide

Cone

Cilindro

Esfera

Hiperb.1 folha

Hiperb.2 folhas

Resumo 1

Exercıcios

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Exercıcios

Outras sup.

Exercıcios

Exponenciais

y = ax , a ∈ R+

a > 1 a < 1

13/45

AM2/C2


R2

Retas

Parabolas

Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

Exercıcios

R3

Paraboloide

Cone

Cilindro

Esfera

Hiperb.1 folha

Hiperb.2 folhas

Resumo 1

Exercıcios

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Exercıcios

Outras sup.

Exercıcios

Logaritmos

y = loga(x), a ∈ R+

a > 1 a < 1

14/45

AM2/C2


R2

Retas

Parabolas

Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

Exercıcios

R3

Paraboloide

Cone

Cilindro

Esfera

Hiperb.1 folha

Hiperb.2 folhas

Resumo 1

Exercıcios

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Exercıcios

Outras sup.

Exercıcios

Seno

y = sin(x)

15/45

AM2/C2


R2

Retas

Parabolas

Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

Exercıcios

R3

Paraboloide

Cone

Cilindro

Esfera

Hiperb.1 folha

Hiperb.2 folhas

Resumo 1

Exercıcios

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Exercıcios

Outras sup.

Exercıcios

Cosseno

y = cos(x)

16/45

AM2/C2


R2

Retas

Parabolas

Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

Exercıcios

R3

Paraboloide

Cone

Cilindro

Esfera

Hiperb.1 folha

Hiperb.2 folhas

Resumo 1

Exercıcios

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Exercıcios

Outras sup.

Exercıcios

Tangente

y = tan(x)

17/45

AM2/C2


R2

Retas

Parabolas

Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

Exercıcios

R3

Paraboloide

Cone

Cilindro

Esfera

Hiperb.1 folha

Hiperb.2 folhas

Resumo 1

Exercıcios

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Exercıcios

Outras sup.

Exercıcios

Faca um esboco das regioes:

1{

(x , y) ∈ R2 : 0 ≤ y ≤ x + 1, x ≥ 2}

2{

(x , y) ∈ R2 : y ≤ x2, y ≥ 0,−2 ≤ x ≤ 2}

3{

(x , y) ∈ R2 : y ≥ sin(x), y ≤ 10, π ≤ x ≤ 2π}

4{

(x , y) ∈ R2 : y ≥ x , y ≤ −x2 + 2}

5{

(x , y) ∈ R2 : y ≥ 1x , −3 ≤ x ≤ −1

}6{

(x , y) ∈ R2 : −x ≤ y ≤√x , x ≤ 4

}7{

(x , y) ∈ R2 : 0 ≤ y ≤ |x |, −3 ≤ x ≤ 2}

8{

(x , y) ∈ R2 : |x | ≤ 2, |y | ≤ 3}

9{

(x , y) ∈ R2 : y ≥ |x − 1|, y ≤ 2}

10{

(x , y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, x ≤ y ≤ ex}

11{

(x , y) ∈ R2 : −1 ≤ x ≤ 1, y ≥ −ex , y ≤ 0}

18/45

AM2/C2


R2

Retas

Parabolas

Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

Exercıcios

R3

Paraboloide

Cone

Cilindro

Esfera

Hiperb.1 folha

Hiperb.2 folhas

Resumo 1

Exercıcios

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Exercıcios

Outras sup.

Exercıcios


1{

(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 4}

2{

(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 9, x ≥ 0}

3

{(x , y) ∈ R2 : 0 ≤ y ≤

√1− x2

}4

{(x , y) ∈ R2 : y ≥ −

√9− x2, y ≤ x , x ≤ 3

}5{

(x , y) ∈ R2 : (x − 1)2 + (y − 3)2 ≤ 16}

6{

(x , y) ∈ R2 : (x − 2)2 + (y − 1)2 ≥ 4}

7{

(x , y) ∈ R2 : (x + 3)2 + (y − 2)2 ≥ 2, y ≥ 2}

8{

(x , y) ∈ R2 : (x + 5)2 + y2 ≤ 1, x ≤ −5}

9{

(x , y) ∈ R2 : (x − 4)2 + (y − 3)2 = 9}

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AM2/C2


R2

Retas

Parabolas

Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

Exercıcios

R3

Paraboloide

Cone

Cilindro

Esfera

Hiperb.1 folha

Hiperb.2 folhas

Resumo 1

Exercıcios

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Exercıcios

Outras sup.

Exercıcios


1

{(x , y) ∈ R2 :

(x3

)2+( y

2

)2 ≤ 1}

2

{(x , y) ∈ R2 :

(x5

)2+( y

3

)2 ≥ 1}

3

{(x , y) ∈ R2 :

(x3

)2+( y

5

)2 ≤ 4}

4

{(x , y) ∈ R2 :

(x2

)2+( y

3

)2 ≤ 9}

5

{(x , y) ∈ R2 :

(x5

)2+ y2 ≥ 16

}6

{(x , y) ∈ R2 : x2 + y2

16 ≤ 4}

7

{(x , y) ∈ R2 :

(x−1

3

)2+(y−2

4

)2≤ 1

}8

{(x , y) ∈ R2 :

(x+5

4

)2+(y−1

3

)2= 4

}

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AM2/C2


R2

Retas

Parabolas

Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

Exercıcios

R3

Paraboloide

Cone

Cilindro

Esfera

Hiperb.1 folha

Hiperb.2 folhas

Resumo 1

Exercıcios

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Exercıcios

Outras sup.

Exercıcios

Regioes em R3.

Os graficos desta seccao foram retirados de Wolfram|Alphahttp://www.wolframalpha.com/

21/45

http://www.wolframalpha.com/

AM2/C2


R2

Retas

Parabolas

Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

Exercıcios

R3

Paraboloide

Cone

Cilindro

Esfera

Hiperb.1 folha

Hiperb.2 folhas

Resumo 1

Exercıcios

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Exercıcios

Outras sup.

Exercıcios

{(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y2 = z

}Faca a intersecao com os planos:

z=4

z=3

z=2

z=1

z=0

z=-1

z=-2e

x=0e

y=0

Qual a figura que obtem?

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AM2/C2


R2

Retas

Parabolas

Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

Exercıcios

R3

Paraboloide

Cone

Cilindro

Esfera

Hiperb.1 folha

Hiperb.2 folhas

Resumo 1

Exercıcios

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Exercıcios

Outras sup.

Exercıcios

Paraboloide

{(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y2 = z

}

23/45

AM2/C2


R2

Retas

Parabolas

Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

Exercıcios

R3

Paraboloide

Cone

Cilindro

Esfera

Hiperb.1 folha

Hiperb.2 folhas

Resumo 1

Exercıcios

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Exercıcios

Outras sup.

Exercıcios

{(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y2 = z2


z=4

z=3

z=2

z=1

z=0

z=-1

z=-2e

x=0e

y=0


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AM2/C2


R2

Retas

Parabolas

Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

Exercıcios

R3

Paraboloide

Cone

Cilindro

Esfera

Hiperb.1 folha

Hiperb.2 folhas

Resumo 1

Exercıcios

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Exercıcios

Outras sup.

Exercıcios

Superfıcie Conica - Cone

{(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y2 = z2

}

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AM2/C2


R2

Retas

Parabolas

Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

Exercıcios

R3

Paraboloide

Cone

Cilindro

Esfera

Hiperb.1 folha

Hiperb.2 folhas

Resumo 1

Exercıcios

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Exercıcios

Outras sup.

Exercıcios

{(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y2 = 4


z=4

z=3

z=2

z=1

z=0

z=-1

z=-2e

x=0e

y=0


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AM2/C2


R2

Retas

Parabolas

Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

Exercıcios

R3

Paraboloide

Cone

Cilindro

Esfera

Hiperb.1 folha

Hiperb.2 folhas

Resumo 1

Exercıcios

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Exercıcios

Outras sup.

Exercıcios

Superfıcie cilındrica - Cilindro

{(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y2 = R2, R ∈ R

}

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AM2/C2


R2

Retas

Parabolas

Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

Exercıcios

R3

Paraboloide

Cone

Cilindro

Esfera

Hiperb.1 folha

Hiperb.2 folhas

Resumo 1

Exercıcios

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Exercıcios

Outras sup.

Exercıcios

{(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = 4


z=4

z=3

z=2

z=1

z=0

z=-1

z=-2e

x=0e

y=0


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AM2/C2


R2

Retas

Parabolas

Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

Exercıcios

R3

Paraboloide

Cone

Cilindro

Esfera

Hiperb.1 folha

Hiperb.2 folhas

Resumo 1

Exercıcios

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Exercıcios

Outras sup.

Exercıcios

Esfera

{(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = R2

}

29/45

AM2/C2


R2

Retas

Parabolas

Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

Exercıcios

R3

Paraboloide

Cone

Cilindro

Esfera

Hiperb.1 folha

Hiperb.2 folhas

Resumo 1

Exercıcios

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Exercıcios

Outras sup.

Exercıcios

Hiperboloide de 1 folha(curiosidade)

{(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y2 = z2 + A, A ∈ R+

}

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AM2/C2


R2

Retas

Parabolas

Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

Exercıcios

R3

Paraboloide

Cone

Cilindro

Esfera

Hiperb.1 folha

Hiperb.2 folhas

Resumo 1

Exercıcios

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Exercıcios

Outras sup.

Exercıcios

Hiperboloide de 2 folhas(curiosidade){

(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y2 = z2 − A, A ∈ R+}

31/45

AM2/C2


R2

Retas

Parabolas

Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

Exercıcios

R3

Paraboloide

Cone

Cilindro

Esfera

Hiperb.1 folha

Hiperb.2 folhas

Resumo 1

Exercıcios

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Exercıcios

Outras sup.

Exercıcios

Resumo

x2 + y2 = z paraboloidex2 + y2 = z2 conex2 + y2 = R2 cilindrox2 + y2 + z2 = R2 esfera

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AM2/C2


R2

Retas

Parabolas

Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

Exercıcios

R3

Paraboloide

Cone

Cilindro

Esfera

Hiperb.1 folha

Hiperb.2 folhas

Resumo 1

Exercıcios

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Exercıcios

Outras sup.

Exercıcios

Exercıcios:


1{

(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ z , z ≤ 9}

2{

(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ z2, −4 ≤ z ≤ 25}

3{

(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ 5, −3 ≤ z ≤ 6}

4{

(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 ≤ 1, z ≥ 0}

5{

(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ −z , −9 ≤ z}

6{

(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ z , z ≤ 4, y ≥ 0}

7{

(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ z2, 0 ≤ z ≤ 25, x ≤ 0}

8 {(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ 4, 0 ≤ z ≤ 6, x ≥ 0, y ≤ 0

}9 {

(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 ≤ 2, z ≤ 0, y ≤ 0, x ≤ 0}

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AM2/C2


R2

Retas

Parabolas

Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

Exercıcios

R3

Paraboloide

Cone

Cilindro

Esfera

Hiperb.1 folha

Hiperb.2 folhas

Resumo 1

Exercıcios

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Exercıcios

Outras sup.

Exercıcios

Descentradas

(x − a)2 + (y − b)2 = z

(x − a)2 + (y − b)2 = z2

(x − a)2 + (y − b)2 = R2

(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2

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AM2/C2


R2

Retas

Parabolas

Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

Exercıcios

R3

Paraboloide

Cone

Cilindro

Esfera

Hiperb.1 folha

Hiperb.2 folhas

Resumo 1

Exercıcios

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Exercıcios

Outras sup.

Exercıcios

Elıpticas

Todas estas superfıcies podem ser elıpticas em vez de circulares:(xc

)2+(yd

)2= z(x

c

)2+(yd

)2= z2

(xc

)2+(yd

)2= R2

(xc

)2+(yd

)2+(ze

)2= 1

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AM2/C2


R2

Retas

Parabolas

Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

Exercıcios

R3

Paraboloide

Cone

Cilindro

Esfera

Hiperb.1 folha

Hiperb.2 folhas

Resumo 1

Exercıcios

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Exercıcios

Outras sup.

Exercıcios

Outro eixo

Todas estas superfıcies podem ter outro eixo, por exemplo oeixo dos xx’s:

z2 + y2 = x paraboloidez2 + y2 = x2 conez2 + y2 = R2 cilindro

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AM2/C2


R2

Retas

Parabolas

Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

Exercıcios

R3

Paraboloide

Cone

Cilindro

Esfera

Hiperb.1 folha

Hiperb.2 folhas

Resumo 1

Exercıcios

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Exercıcios

Outras sup.

Exercıcios

Resumo generalizadas

(y − a

c

)2

+

(z − b

d

)2

= x(y − a

c

)2

+

(z − b

d

)2

= x2

(y − a

c

)2

+

(z − b

d

)2

= R2

(y − a

c

)2

+

(z − b

d

)2

+

(x − e

f

)2

= 1

37/45

AM2/C2


R2

Retas

Parabolas

Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

Exercıcios

R3

Paraboloide

Cone

Cilindro

Esfera

Hiperb.1 folha

Hiperb.2 folhas

Resumo 1

Exercıcios

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Exercıcios

Outras sup.

Exercıcios

Exercıcios:Faca um esboco das regioes:

1{

(x , y , z) ∈ R3 : (x − 2)2 + (y − 5)2 ≤ z , z ≤ 4}

2 {(x , y , z) ∈ R3 : (x − 1)2 + (y + 1)2 ≤ (z − 3)2,−1 ≤ z ≤ 5

}3{

(x , y , z) ∈ R3 : z2 + y2 ≤ x , x ≤ 4}

4{

(x , y , z) ∈ R3 : x2 + z2 ≤ 4, −3 ≤ y ≤ 6}

5

{(x , y , z) ∈ R3 :

(x2

)2+( y

4

)2 ≤ z , z ≤ 5}

6

{(x , y , z) ∈ R3 :

(x−3

5

)2+(y−1

2

)2≤ z2, −3 ≤ z ≤ 3

}7

{(x , y , z) ∈ R3 :

(x+2

5

)2+(y−1

3

)2≤ 1, −1 ≤ z ≤ 4

}8

{(x , y , z) ∈ R3 :

(x+3

4

)2+(z−1

5

)2 ≤ y2, −1 ≤ y ≤ 4}

9{

(x , y , z) ∈ R3 : (x − 3)2 + (y + 3)2 + (z − 1)2 ≤ 4}

10{

(x , y , z) ∈ R3 : (y − 1)2 + (x + 2)2 ≤ z − 3, z ≤ 7}

38/45

AM2/C2


R2

Retas

Parabolas

Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

Exercıcios

R3

Paraboloide

Cone

Cilindro

Esfera

Hiperb.1 folha

Hiperb.2 folhas

Resumo 1

Exercıcios

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Exercıcios

Outras sup.

Exercıcios

Cilindro parabolico{(x , y , z) ∈ R3 : z = y2


x=4

x=3

x=2

x=1

x=0

x=-1

x=-2e

y=0e

z=0

Qual a figura que obtem?39/45

AM2/C2


R2

Retas

Parabolas

Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

Exercıcios

R3

Paraboloide

Cone

Cilindro

Esfera

Hiperb.1 folha

Hiperb.2 folhas

Resumo 1

Exercıcios

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Exercıcios

Outras sup.

Exercıcios

Cilindro parabolico

{(x , y , z) ∈ R3 : z = y2

}

40/45

AM2/C2


R2

Retas

Parabolas

Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

Exercıcios

R3

Paraboloide

Cone

Cilindro

Esfera

Hiperb.1 folha

Hiperb.2 folhas

Resumo 1

Exercıcios

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Exercıcios

Outras sup.

Exercıcios

Cilindro hiperbolico(curiosidade)

{(x , y , z) ∈ R3 : x2 − y2 = R2

}

41/45

AM2/C2


R2

Retas

Parabolas

Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

Exercıcios

R3

Paraboloide

Cone

Cilindro

Esfera

Hiperb.1 folha

Hiperb.2 folhas

Resumo 1

Exercıcios

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Exercıcios

Outras sup.

Exercıcios

Paraboloide hiperbolico(curiosidade)

{(x , y , z) ∈ R3 : x2 − y2 = z

}

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AM2/C2


R2

Retas

Parabolas

Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

Exercıcios

R3

Paraboloide

Cone

Cilindro

Esfera

Hiperb.1 folha

Hiperb.2 folhas

Resumo 1

Exercıcios

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Exercıcios

Outras sup.

Exercıcios

outras...

{(x , y , z) ∈ R3 : z = sin(x)

}{

(x , y , z) ∈ R3 : y =√x}

{(x , y , z) ∈ R3 : y = x

}{

(x , y , z) ∈ R3 : z = −x}

...

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AM2/C2


R2

Retas

Parabolas

Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

Exercıcios

R3

Paraboloide

Cone

Cilindro

Esfera

Hiperb.1 folha

Hiperb.2 folhas

Resumo 1

Exercıcios

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Exercıcios

Outras sup.

Exercıcios

Exercıcios: I


1{

(x , y , z) ∈ R3 : z ≤ 5, −3 ≤ x ≤ 6, −1 ≤ y ≤ 2}

2{

(x , y , z) ∈ R3 : x ≥ 2, −1 ≤ y ≤ 6, −1 ≤ z ≤ 3}

3{

(x , y , z) ∈ R3 : y ≥ x , 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ z ≤ 2}

4{

(x , y , z) ∈ R3 : z ≤ 5y , 0 ≤ x ≤ 5, 0 ≤ y ≤ 1}

5{

(x , y , z) ∈ R3 : x + y + z ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0}

6{

(x , y , z) ∈ R3 : z ≥ x2, −2 ≤ y ≤ 5, z ≤ 9}

7{

(x , y , z) ∈ R3 : z ≤ y2, −2 ≤ x ≤ 5, z ≥ 0}

44/45

AM2/C2


R2

Retas

Parabolas

Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

Exercıcios

R3

Paraboloide

Cone

Cilindro

Esfera

Hiperb.1 folha

Hiperb.2 folhas

Resumo 1

Exercıcios

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Exercıcios

Outras sup.

Exercıcios

Exercıcios: II

8

{(x , y , z) ∈ R3 : z =

√x2 + y2, z ≤ 4

}9

{(x , y , z) ∈ R3 : z ≤ −

√x2 + y2, z ≥ −9

}10

{(x , y , z) ∈ R3 : z ≤

√1− x2 − y2, z ≥ 0

}11 {

(x , y , z) ∈ R3 : y ≤√

1− x2, −1 ≤ x ≤ 1, −2 ≤ z ≤ 2,}

12

{(x , y , z) ∈ R3 : 4 ≥ x ≥

√z2 + y2, z ≥ 0, y ≥ 0,

}13

{(x , y , z) ∈ R3 : 7 ≥ y ≥ 3 +

√x2 + z2

}14

{(x , y , z) ∈ R3 : 6 ≥ z ≥ 2 +

√x2 + y2

}

45/45

01 regioesir2eir3

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