Podjazd Pred Poľom - zmena stavby pred dokončením - lehota na dokončenie stavby
01-pred
25
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Osnovni pojmovi « Hidrodinamika » Ivo Batistić Fizički odsjek, PMF Sveučilište u Zagrebu predavanja 2015 (zadnja inačica 10. veljače 2015.)
-
Upload
marko-jovanovic -
Category
Documents
-
view
213 -
download
0
description
Pregled
Transcript of 01-pred
-
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Osnovni pojmovi Hidrodinamika
Ivo Batisti
Fiziki odsjek, PMFSveuilite u Zagrebu
predavanja 2015 (zadnja inaica 10. veljae 2015.)
-
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Pregled predavanja
Materijalna toka ili estica tekuine
Brzina gibanja estice tekuine
Masa estice tekuine
Energija estice tekuine
Termodinamika estice tekuine
Procesi u neravnotenom sustavu
-
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Materijalna toka ili estica tekuine
U hidrodinamici (dinamici tekuina, fluida) se pojavljuju nelinearneparcijalne diferencijalne jednadbe (nelinearne PDJ) ija rjeenjaopisuju kako se estice tekuine gibaju.
Matematiki gledano estica tekuine to je beskonano mala toka,a sam fluid ili tekuina je kontinuum toaka. Izmeu dviju razliitihproizvoljno bliskih toaka postoji beskonani broj drugih toaka.
Fizikalno, estice tekuine su konanih dimenzija.
-
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Materijalna toka ili estica tekuine
estica tekuine u hidrodinamiciI nije atom ili molekula od kojih se stvarno tekuina sastoji.
(Brzina strujanja zraka nije brzina molekula od kojih se zraksastoji).
I estica tekuine je, u hidrodinamikom opisu, malitermodinamiki sustav, konanih dimenzija i u kojem se nalazidovoljno velik (makroskopski) broj atoma ili molekula.
I Meusobno sudaranje atoma/molekula dovodi do uspostavljanjalokalne termodinamike ravnotee. Atomi/molekule nalaze seu stanju lokalne termodinamike ravnotee, iako tekuina kaocjelina nije u stanju termodinamike ravnotee.
I Hidrodinamika opisuje tekuinu kao skup malih termodinamikihsustava u ravnotenom stanju i koji su u meusobnom kontaktute mogu razmjenjivati estice, energiju, impuls
-
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Materijalna toka ili estica tekuine
Uveana materijalna toka tekuine sastoji se od mnotvaatoma/molekula koji su u termodinamikoj ravnotei.
-
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Materijalna toka ili estica tekuine
Koja je fizikalna dimenzija materijalne toke?I Veliina mora osiguravati uspostavljanje termodinamike
ravnotee. Termodinamika ravnotea se uspostavljameusobnim sudaranjem atoma/molekula.
I Veliina materijalne toke je vea od srednjeg slobodnog putaatoma/molekula, `
` =1p
2 n gdje je n koncentracija atoma/molekula,
n = NV ;
N je broj atoma/molekula, V volumen, a je udarni presjek:
d2;
d je dijametar atoma/molekula.
-
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Materijalna toka ili estica tekuine
I Za plinove
n 5 1025m3; d 1019m2 ) ` 107mI Za plinove je srednji slobodni put, `, puno vei od prosjene
udaljenosti izmeu atoma/molekula
prosjena udaljenost 1n1/3 2; 7 109m 102 `
I U tekuinama srednji slobodni put, `, i prosjena udaljenostmeu atomima/molekulama istog su reda veliine te su priblinojednaki dimenzijama samih atoma/molekula.
-
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Brzina gibanja materijalne toke ili estice tekuine
Za razliku od obinih termodinamikih sustava, atomi/molekule uestici tekuine imaju prosjenu brzinu razliitu od nule.I Brzinu estice tekuine raunamo kao brzinu centra mase svih
atoma/molekula od kojih se estica tekuine sastoji:
~v(~r) =
Pimi ~viPimi
:
Sumacija ide preko svih atoma/molekula u estici tekuine. ~r jeradijus vektor poloaja estice tekuine, koji identificiramo spoloajem centra masa:
~r =
Pimi ~riPimi
:
I Ako se tekuina sastoji od samo jedne vrste estica, onda jebrzina estice tekuine ujedno i prosjena brzinaatoma/molekula.
-
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Brzina gibanja materijalne toke ili estice tekuine
I U pravilu, brzina estice tekuine je puno manja od brzinegibanja samih atoma/molekula (cca. 500-1000 m/s). Izuzetak susluajevi nadzvunog gibanja tekuine.
I Ako su atomi/molekule u estici u termodinamikoj ravnotei,onda su njihove brzine raspodjeljene oko brzine centra mase poMaxwellovoj funkciji raspodjele.
I Brzine atoma/molekula jako variraju ne samo izmeu razliitihestica tekuine, nego i u samoj estici tekuine.
I Meutim, brzina centra mase estice tekuine se sporo mijenjaod jedne do druge toke u prostoru.Ako bi jedna estica tekuine imala puno veu brzinu odsusjednih, ona e tu brzinu brzo izgubiti kroz sudaranjeatoma/molekula s atomima/molekulama susjednih estica(proces viskoznosti).
-
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Masa estice tekuine
Matematiki gledano estice tekuine zamiljamo kao da subeskonano male (iako one nisu), a sama tekuina se promatra kaojedan neprekidni medij tj. kontinuum toki.
U takvom opisu masa same estice je beskonano mala, jer je i samaestica beskonano mala.Umjesto mase, koristimo se pojmom gustoe mase
(~r) = limV!0
Pimi
V ;
gdje se sumacija radi po esticama unutar volumena V, pri emu je~rcentar mase (ili teite).
-
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Energija estice tekuine
Energija estice tekuine se sastoji od zbrojaI kinetike energije gibanja centra mase (kinetika energija)I potencijalne energije centra mase (potencijalna energija)I unutranje energije - energije gibanja i meudjelovanja
atoma/molekula u estici tekuine.U matematikom opisu kada se tekuina promatra kao kontinuum, aestica tekuine je beskonano mala, uvodi se pojam gustoeenergije:
limV!0
EV =
~v22|{z}
kinetika
+ g z| {z }gravitacijska pot.
+ e|{z}unutranja
gdje je e unutranja energija po jedinici mase.Kako se estice gibaju, potencijalna energija moe prei u kinetiku, iobrnuto, a kroz trenje (viskoznost) kinetika energija se moepretvoriti u unutranju.
-
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Termodinamika estice tekuineBudui da su estice tekuine mali termodinamiki sustavi, za svakiod njih postoje termodinamike veliine i parametri koji ih definiraju.
Govorimo oI gustoi unutranje energije
(~r) e(~r) = limV!0
UV = limV!0
UM
MV ;
te gustoama ostalih termodinamikih potencijala,
I gustoi entropije
(~r) s(~r) = limV!0
SV = limV!0
SM
MV ;
Napomena: e i s su redom unutranja energija i entropija po jedinicimase. estica tekuine koja ima jedininu masu zauzima volumen:
v(~r) = 1(~r) :
-
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Termodinamika estice tekuine
I gustoi broja estica (koncentraciji)
n(~r) = limV!0
NV
I lokalnim vrijednostima tlaka, p(~r) i temperature T(~r)
Kako su estice tekuine u lokalnoj termodinamikoj ravnotei, ovetermodinamike gustoe i termodinamiki parametri su meusobnopovezani uobiajenim termodinamikim relacijama. Npr.
de = T ds p dv = T ds p d(1)
Sve ove veliine ovisne su o prostornoj koordinati~r.
-
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Procesi u neravnotenom sustavu
U sustavu koji globalno nije u termodinamikoj ravnotei doi e doprocesa koji e nastojati uspostaviti globalnu ravnoteu.
To su situacije kadaI jedan dio sustava ima veu temperaturu od drugog,I jedan dio sustava ima vei tlak od drugog,I jedan dio sustava ima veu koncentraciju (nekih) estica od
drugog.I postojanje kemijske reakcije koja mijenja koncentraciju nekih
esticaI vanjsko polje kojem je samo dio estica izloen.
-
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Procesi u neravnotenom sustavu
Procesi koji uspostavljaju termodinamiku ravnoteu mogu biti
I provoenje/voenje ili kondukcija fizikalne veliine kroztekuinu kada se sama tekuina ne pomie (~v(~r) 0). Procesprenosa se ostvaruje kroz meumolekularne (meuatomske)sudare (difuzno).
I konvekcija ili prenos fizikalne veliine putem gibanja (strujanja)tekuine s jednog mjesta na drugo (~v(~r) 6= 0).
-
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Gustoa struje
Gustoa struje neke fizikalne veliine moe se definirati kao iznospromatrane fizikalne veliine koji je preneen kroz jedininu povrinuu jedinici vremena. Fizikalna veliina moe biti naboj, energija, brojestica, impuls, entropija, .
Gustoa struje u sluaju konvekcije (strujanja) je gustoa fizikalneveliine (npr. f = F/V) pomnoena s komponentom prosjene brzineokomitom na povrinu (vn):
vn t
V0vn
~v
jF = (~n ~v) f = vn f:Naime, po definiciji je
jF =F
S t ; pri emu je
F = FV (S vn t)| {z }V0
:
-
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Gustoa struje
Provoenje fizikalne veliine u sluaju kondukcije se dogaa namikroskopskom nivou kroz meumolekularne/meuatomske sudare.
Promatramo dva tanka sloja deb-ljine srednjeg slobodnog puta ` okopregrade koja razdvaja dva podru-ja u kojima je gustoa neke fizi-kalne veliine (npr. koncentracijaestica) razliita. Radi jednostav-nosti pretpostavljamo da je x pra-vac okomit na povrinu. Otprilike1/6 atoma/molekula s jedne strane
pregrade, unutar promatranog sloja, prei e na drugu stranuprepreke bez rasprenja gibajui se tipinim prosjenimmikroskopskom brzinama, npr. vmik.
-
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Gustoa struje
xx0
f(x)
j(+) j()
``Gustoa struje je:
jF = jF(+) jF() = f(x0 `)6
vmik f(x0 + `)6
vmik
vmik `3 @f(x)
@x
x0= D @f(x)
@x
x0= D (~n ~r)f(~r)jx0 ;
gdje su
koeficijent difuzije = D = 13` vmik
gradijent = ~rjedinini vektor okomit na povrinu = ~n
-
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Gustoa strujePromatrajui struju kroz razliito orjentirane ravnine u danoj tokiprostora, moe se izdvojiti ona ravnina kroz koju je struja najvea poiznosu. Poopena definicija struje je kao vektora (ili vektorskog polja)koje je po iznosu upravo jednako tom maksimalnom iznosu, a imasmjer normale na navedenu ravninu.
Gustoa struje jeI za sluaj konvekcije:
~jF = ~v fI za sluaj kondukcije:
~jF = D ~rfI pri tome treba voditi rauna da prenosu neke fizikalne veliine krozpovrinu doprinosi samo normalna komponenta struje kroz povrinu.Prenesena koliina F u jedinici vremena kroz povrinu je:
dFdt =
ZS
~dS ~jF; ~dS = dS ~n
gdje je ~n je vektor okomit na povrinu u danoj toki prostora.
-
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
emu je jedanaka konstanta difuzije ? (procjena)
D = 13` vmik
U sluaju plina, npr. He, ve smo vidjeli da je:
` 1; 8 107 m
Mikroskopsku brzinu moemo procijeniti iz Maxwellove raspodjele:
vmik =r
8
kBTm 1300 m/s
Pa je:D 8 105 m2/s za plin He
(N = 6; 02 1023 atoma/molu;V = 22; 4 103 m3; kB = 1; 38 1023 J/K;T = 300 K;MHe = 4 103 kg/molu; He = 1; 5 1019 m2)
-
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Einsteinova relacija (veza difuzije i pokretnosti)
U sustavima u kojima postoji trenje zbog sudaranja na preprekama,estica koja je izloena vanjskoj sili gibat e se brzinomproporcionaloj nametnutoj sili:
~v = ~F:
Faktor proporcionalnosti, , naziva se tz. pokretnost ili mobilnost.
Primjeri takvog gibanja su elektroni u metalu/poluvodiu ili ion uotopini koji se gibaju pod utjecajem elektrinog polja (napona).Postoji veza izmeu pokretnosti i provodnosti (odnosno specifinogotpora tvari ).
-
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Einsteinova relacija (veza difuzije i pokretnosti)
Pretpostavimo da estice ne mogu izai iz sustava, tako da se najednom kraju nakupi vea koncentracija. U sustavu imamo dvijestruje:I struja konvekcije pod utjecajem vanjske sile:
jv = v n = n F = n @U@x
U je potencijalna energija polja koje stvara silu (~F = ~rU).I struja kondukcije zbog razliite koncentracije
jd = D @n@x
U stanju ravnotee te se dvije struje ponitavaju, tako da je:
jd + jv = 0 ) 1n@n@x =
D@U@x
-
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Einsteinova relacija (veza difuzije i pokretnosti)
Prema Boltzmannovoj funkciji raspodjele:
n(~r) eEk + U(~r)
kBT ;
pa je zato:1
n@n@x =
1
kBT@U@x
Usporeujui ova dva izraza nalazimo vezu izmeu mobilnosti ikonstante difuzije
D = kBT Einsteinova relacija (1905)
-
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Einsteinova relacija (veza difuzije i pokretnosti)
Tu je relaciju Einstein dobio u radu o Brownovom gibanju.
Brownovo gibanje je gibanje estice pod utjecajem nasumine sile isile trenja. I nasumina sila i sila trenja postoje zbog sudaranja satomima/molekulama medija u kojem se promatrana estica nalazi.
Dakle radi se o estici koja u sudarima stalno mijenja smjer gibanja.Srednja vrijednost kvadrata preenog puta Brownove estice uvremenu t je:
R2 = D tD je konstanta difuzije. Takoer se moe pokazati da je:
D = `2
= ` v:
gdje je ` srednji slobodni put estice, prosjeno vrijeme izmeu dvasudara i v prosjena brzina estice izmeu dva sudara.
-
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Brownovo gibanje
Prikaz nasuminog gibanje estice (Brownovo gibanje).
Materijalna toka ili estica tekuineBrzina gibanja estice tekuineMasa estice tekuineEnergija estice tekuineTermodinamika estice tekuineProcesi u neravnotenom sustavu
