01. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG...

Khóa học Luyện thi 9 vào 10 (THCS) – Thầy Lê Văn Tuấn Chuyên đề : Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Tham gia khóa Luyện thi 9 vào 10 (THCS) tại MOON.VN: Vượt qua kì thi vào lớp 10 với điểm số cao nhất !

VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

Facebook giáo viên : https://www.facebook.com/LeTuan0503

TỔNG QUAN: HỆ THỨC LƢỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG QUA SƠ ĐỒ TƢ DUY.

BÀI 1: MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƢỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG.

Xét tam giác ABC vuông tại A, cạnh huyền BC a , các cạnh góc vuông AC b và AB c . Gọi AH h là

đường cao ứng với cạnh huyền và ', 'CH b BH c lần lượt là hình chiếu của AC, AB trên cạnh huyền BC.

( hình 1).

1.1. Định lý Pytago: 2 2 2AB AC BC hay

2 2 2a b c

2.1. Hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền.

Định lý 1. Trong một tam giác vuông, bình phƣơng mỗi

cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu

của các cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.

Trong tam giác ABC vuông tại A (hình .1),

ta có: 2 2'; ' b ab c ac 1 .

Hình 1

TÀI LIỆU BÀI GIẢNG

01. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG

TAM GIÁC VUÔNG.

Thầy giáo: Lê Văn Tuấn.



Chứng minh (hình.1)

Xét hai tam giác vuông AHC và BAC. Hai tam giác vuông này có chung góc nhọn C nên chúng đồng dạng

với nhau theo trường hợp góc-góc.

Do đó ta có: HC AC

AC BC , suy ra 2 .AC BC HC , tức là: 2 'b ab . Tương tự, ta có: 2 'c ac ( đpcm).

Ví dụ 1. (Định lý Pitago – một hệ quả của định lý 1).

Rõ ràng, trong tam giác vuông ABC (hình.1), cạnh huyền ' 'a b c , do đó ta có:

2 2 2' ' ' ' .b c ab ac a b c a a a . Vậy 2 2 2a b c .

Như vậy, từ định lý 1, ta cũng suy ra định lý Py-ta-go.

2.2. Một số hệ thức liên quan tới đƣờng cao

Định lý 2: Trong một tam giác vuông, bình phƣơng đƣờng cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình

chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.

Cụ thể, với các quy ước ở hình 1, ta có:2 ' 'h b c

Chứng minh

Ta có: 2 tam giác vuông AHB đồng dạng với CHA ( trường hợp góc-góc) vì: ABH HAC ( cùng phụ với

góc BAH ).

Từ đó suy ra tỷ số đồng dạng : 2 .AH HB

HA HB HCCH HA

hay 2 ' 'h b c .

Ví dụ 2: Tính chiều cao của cây trong hình bên, biết rằng người

đo đứng cách cây 2,25 m và khoảng cách từ mắt người đo đến

mặt đất là 1,5m.

Lời giải.

Ta có: Tam giác ADC vuông tại D, ta có: 2 .BD AB BC

Tức là: 22,25 1,5.BC .

Suy ra:

2

2,253,375

1,5BC m

Vậy chiều cao của cây

là: 1,5 3,375 4,875AC AB BC m .

Định lý 2 thiết lập mối quan hệ giữa đường cao ứng với cạnh huyền và các hình chiếu của hai cạnh góc

vuông trên cạnh huyền của một tam giác vuông. Định lý 3 dưới đây thiết lập mối quan hệ giữa đường cao

này với cạnh huyền và hai cạnh góc vuông.

Định lý 3: Trong một tam giác vuông, tích hai cạnh góc vuông bằng tích của canh huyền và đƣờng cao

tƣơng ứng.

Với các kí hiệu trong hình 1, kết luận của định lý 3 có nghĩa là: bc ah 3

Từ công thức tính diện tích tam giác, ta nhanh chóng suy ra hệ thức trên vì 1 1

2 2ABCS bc ah . Tuy nhiên,

có thể chứng minh hệ thức trên bằng cách khác bằng tam giác đồng dạng.

Nhờ định lý Pi-ta-go, từ hệ thức trên, ta có thể suy ra một hệ thức giữa đường cao ứng với cạnh huyền và hai

cạnh góc vuông. Thật vậy, ta có : 2 2 2 2 2 2 2 2 2.ab bc a h b c b c h b c

2 2

2 2 2 2 2

1 1 1

b c

h b c b c 4



Hệ thức (4) được phát biểu thành định lý sau đây.

Định lý 4: Trong một tam giác vuông, nghịch đảo của bình phƣơng đƣờng cao ứng với cạnh huyền

bằng tổng các nghịch đảo của bình phƣơng hai cạnh góc vuông.

Ví dụ 3: Cho tam giác vuông trong đó các cạnh góc vuông dài 6 cm và 8 cm. Tính độ dài đường cao xuất

phát từ đỉnh góc vuông.

Lời giải.

Gọi đường cao xuất phát từ đỉnh góc vuông của tam giá này là h.

Theo hệ thức giữa đường cao ứng với cạnh huyền và hai cạnh góc

vuông, ta có:2

2

2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 100 484,8

6 8 48 10h h

h b c

Vậy 4,8h cm

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC vuông tại A cạnh 9AB , cạnh huyền 15BC . Tính độ dài hình chiếu của

cạnh góc vuông trên cạnh huyền và độ dài đường cao AH của tam giác ABC.

Ví dụ 5: Biết tỷ số hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông là 3: 4 . Biết cạnh huyền có độ dài là 20 .

Tính độ dài hình chiếu của cạnh góc vuông trên cạnh huyền.

TỔNG KẾT BÀI HỌC.

Định lý Pytago: 2 2 2 a b c .

Định lý 1. 2 2'; ' b ab c ac .

Định lý 2. 2 ' 'h b c .

Định lý 3. bc ah .

Định lý 4. 2 2

2 2 2 2 2

1 1 1

b c

h b c b c.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN (CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT ). Câu 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Hãy tính ;x y trong mỗi hình vẽ sau:

a)

b)

c)

d)

e)

f)



Câu 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, đương cao AH. Biết 9; 16HB HC .

a) Tính độ dài các cạnh ,AB AC .

b) Tính chiều cao AH.

Câu 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.

a) Biết rằng 4; 7,5AB AC . Tính ;HB HC .

b) Biết 6; 4,5AH BH . Tính ; ; ;AB AC BH HC .

c) Biết 6; 3AB BH . Tính ; ;AH AC CH .

d) 12; 9AH BH . Tính diện tích tam giác ABC.

Câu 4: Cho tam giác ABC biết 15 9

; ; 62 2

BC CA AB .

a) Tam giác ABC là tam giác gì. Tính đường cao AH của tam giác ABC.

b) Tính độ dài các đoạn ,HB HC .

Câu 5: Cho ABC vuông tại A có 30AB cm , đường cao 24AH cm .

a, Tính , ,BH BC AC .

b, Đường thẳng vuông góc với AB tại B cắt tia AH tại D . Tính BD .

Câu 6: Cho ABC vuông tại A , đường cao AH , biết 15AB cm , 9BH cm .

a) Tính ,AC BC và đường cao AH .

b) Gọi M là trung điểm của BC . Tính diện tích tam giác AHM .

Câu 7: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A có 5

12

AB

AC , độ dài cạnh huyền là 26 . Tính độ dài các cạnh

góc vuông, đường cao hạ từ A và độ dài hình chiếu của các cạnh góc vuông lên cạnh huyền.

Câu 8: Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết 5

7

AB

AC , đường cao 15AH cm . Tính độ dài ,HB HC .

Câu 9 : Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Tính chu vi của tam giác ABC biết rằng

14AH cm và 1

4

HB

HC .

LỜI GIẢI BÀI TẬP. Câu 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Hãy tính ;x y trong mỗi hình sau:

a)

b)

c)

d)

e)

f)



Lời giải:

Trong tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Áp dụng các hệ thức cạnh và đường cao và định lý

Pytago ta có:

a) 2 2 2 23 4 5 BC AB AC ( Định lý Pytago ).

+) 2 2

2 3 9.

5 5

ABAB HB BC x

BC;

2 16

5

ACy

BC ( Định lý 1 ).

b) 2 2 12 AC BC AB ( Định lý Pytago ).

+) 2 2

2 5 25.

13 13

ABAB HB BC x

BC;

22 12 144

13 13

ACy


c) 2 8 10 BC .

+) 2 . . 2.10 20 AB HB BC x HB BC , . 8.10 80 y HC BC ( Định lý 1).

d) 2 2 15 y BC AB AC ( Định lý Pytago ).

+) 9.12 36

. .15 5

AH BC AB AC x ( Định lý 3).

e) 2 2 90 3 10 AB AH HB ( Định lý Pytago ).

+) 2

2 90. 30

3

ABAB HB BC BC

HB ( Định lý 1).

Do đó 3 27 x BC 2 2 9 10 y AH HC ( Định lý Pytago ).

f) 2 2 4 17 AC AH HC ( Định lý Pytago ).

+) 2

2 . 68 AC

AC BC HC BCHC

( Định lý 1).

Do đó 2 24 64 16 17 HB BC x AH HB ( Định lý Pytago ).

Câu 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, đương cao AH. Biết 9; 16HB HC .

a) Tính độ dài các cạnh ,AB AC .

b) Tính chiều cao AH.

Lời giải:

Tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH , áp dụng các hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác

vuông ta có:

a) Ta có: 2 . 9.16 144 AH HB HC ( Định lý 2 ).

12 AH .

Lại có: 9 16 25BC .

Do đó 2 2 2 225 15AB AH HB AB 2 2 2 400 20AC AH HC AC ( Định lý Pytago).

Cách 2: Ta có: 2 . 225 15AB BC HB AB ( Định lý 1 ).

Lại có: 2 . 400 20AC BC HC AC ( Định lý 1).

b) Ta có: . 15.20

. . 1225

AB ACAH BC AB AC AH


Câu 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.

a) Biết rằng 4; 7,5AB AC . Tính ;HB HC .

b) Biết 6; 4,5AH BH . Tính ; ; ;AB AC BH HC .

c) Biết 6; 3AB BH . Tính ; ;AH AC CH .

d) 12; 9AH BH . Tính diện tích tam giác ABC.



Lời giải:

a) Ta có: 2 2 2 2 24 72,25 72,25BC AB AC ( Định lý

Pytago cho tam giác ABC ). Suy ra 8,5BC . Tam giác ABC

vuông tại A có đường cao AH nên ta áp dụng hệ thức về cạnh

và đường cao ta có: . . 2 ABCAH BC AB AC S ( Định lý 3).

. 60

17

AB ACAH

BC . Mặt khác 2 .AB BC HB .

2 16 32

8,5 17

ABHB

BC , tương tự ta có:

2 225

34

ACHC

BC ( Định lý 1)

b) Trong tam giác vuông ABC ta có: 2 2 2 56,25 7,5AB AH HB AB . ( Định lý Pytago).

Tam giác vuông ABC có đường cao AH áp dụng hệ thức về

canh và đường cao

Ta có: 2 . 8 12,5AH HB HC HC BC HB HC

HD cách 2: Ta có: 2

2 . 12,5AB

AB BC HB BCHB

.

Mặt khác 2 2 2 2 26 8 10AC AH HC AC .

c) Đáp số: 3 3; 9; 12; 6 3AH HC BC AC .

d) Đáp số: 15; 25; 150ABCAB BC S .

Câu 4: Cho tam giác ABC biết 15 9

; ; 62 2

BC CA AB .

a) Tam giác ABC là tam giác gì. Tính đường cao AH của tam giác ABC.

b) Tính độ dài các đoạn ,HB HC .

Lời giải:

a) Do đó tam giác ABC vuông tại A. Ta có:

22 2 256,25 7,5AB AC BC ( Định Lý Pytago đảo ).

b) Tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH áp dụng hệ thức

về cạnh và đường cao ta có: 2

2 . 4,8AB

AB BH CH BHBC

( Định lý 1).

22 . 2,7

ACAC CH CB CH

BC ( Định lý 1).

Câu 5: Cho ABC vuông tại A có 30AB cm , đường cao 24AH cm .

a, Tính , ,BH BC AC .

b, Đường thẳng vuông góc với AB tại B cắt tia AH tại D . Tính BD .

Lời giải:

a) Ta có AHB vuông tại H . Theo định lý Py-ta-go: 2 2 2BH AB AH

2 2 2 230 24 18 BH AB AH cm

Lại có ABC vuông tại A có đương cao AH áp dụng hệ

thức về cạnh và đường cao ta có: 2 .AB BC BH



2 230

5018

AB

BC cmBH

( định lý 1)

Do đó 2 2 2 AC BC AB (định lý Py-ta-go)

2 2 2 250 30 40AC BC AB cm .

b) Ta có ABD vuông tại B , đường cao là BH áp dụng

hệ thức về cạnh và đường cao ta có: 2 .AB AD AH (định

lý 1) 2 230

37,5 .24

AB

AD cmAH

Do đó 37,5 24 13,5 . HD AD AH cm

2 .BD AD HD (định lý 1).

. 37,5.13,5 22,5 BD AD HD cm .

Câu 6: Cho ABC vuông tại A , đường cao AH , biết 15AB cm , 9BH cm .

a) Tính ,AC BC và đường cao AH .

b) Gọi M là trung điểm của BC . Tính diện tích tam giác AHM .

Lời giải:

a) Ta có ABC vuông tại A , đường cao AH (theo giả

thiết). Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao ta có: 2 .AB BC BH (định lý 1)

2 215

25 .9

AB

BC cmBH

Theo định lý Py-ta-go: 2 2 2. AC BC AB

2 2 2 225 15 20 . AC BC AB cm

Lại có . .AB AC BC AH . 15.20

1225

AB AC

AH cmBC

(định lý 3).

b) M là trung điểm của BC (giả thiết).

25

12,5 .2 2

BC

MB MC cm

12,5 9 3,5 . MH MB BH cm

Vậy 21 1. .3,5.12 21

2 2 AHMS MH AH cm .

Câu 7: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A có 5

12

AB

AC , độ dài cạnh huyền là 26 . Tính độ dài các cạnh

góc vuông, đường cao hạ từ A và độ dài hình chiếu của các cạnh góc vuông lên cạnh huyền.

Lời giải:

Giả sử 5 12AB x AC x . Áp dụng định lý Pytago cho tam

giác ABC vuông tại A ta có: 2 2 226AB AC .

2 2 2 2 25 12 26 169 676 4 2x x x x x

Do đó 5.2 10; 24AB AC . Tam giác ABC vuông tại A có

đường cao AH nên áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao ta có:

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 169

10 24 14400AH AB AC ( Định lý 4). Do đó:

120

13AH .



Lại có: 2

2 50.

13

ABAB BC BC BH

BC ; 2 288

.13

AC BC HC HC ( Định lý 1).

Câu 8: Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết 5

7

AB

AC , đường cao 15AH cm . Tính độ dài ,HB HC .

Lời giải:

Giả sử 5 7AB x cm AC x cm .

Tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH áp dụng hệ thức về

cạnh và đường cao ta có:

2 22 2 2 2

1 1 1 1 1 1

15 5 7AH AB AC x x ( Định lý 4).

2 2

1 1 1 1 1 49 666

25 49 225 666 7x

x x

.

Lại có: 25 .7 35 222

. .15 15 7

x x xAH BC AB AC BC ( Định lý 3).

Khi đó: 2 2

2 25 75.

7

AB xAB BC HB HB

BC BC ;

2

21AC

HCBC

( Định lý 1).

Cách 2: Ta có: ABH CAH g g vì 090AHB AHC ; BAH ACH ( vì cùng phụ với góc HAC )

Do đó 15 5

217

AB AHCH

AC CH CH . Khi đó 2 75

.7

AH HC HB HB .

Câu 9 : Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Tính chu vi của tam giác ABC biết rằng

14AH cm và 1

4

HB

HC .

Lời giải:

Giả sử 4HB x cm HC x cm

Tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH áp dụng hệ thức

về cạnh và đường cao ta có: 2 2 2 2. 14 .4 4 49 7AH HB HC x x x x x

Khi đó 7; 28; 35HB HC BC HB HC .

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông AHB ta có: 2 2 2 245AB HA HB

Do đó 7 5AB ; tương tự 14 5AC .

Vậy chu vi tam giác ABC là: 21 5 35AB BC CA .

HD Cách 2: Ta có: 2 2. 5 245 7 5AB HB BC x AB ;

2 . 14 5AC BC HC AC .



Thầy Lê Văn Tuấn – Moon.vn

01. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG...

Documents

Transcript of 01. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG...