01 2 3 / 1

1

เอกสารในห้องเรียน

บทที� 3 Kinetics of Particles (จลนศาสตรข์องอนุภาค)

Section C: Impulse and Momentum

กล่าวนํา

วธิกีารการดล(อมิพลัส)์และโมเมนตมั (Impulse and Momentum) เป็นวธิกีารหนึ+งในสามวธิ ี(Force Mass and

Acceleration, Work and Energy, Impulse and momentum) ที+ใชว้เิคราะหร์ะบบการเคลื+อนที+แบบ Kinetics ที+ไดท้ํา

การอนิทเิกรตสมการการเคลื+อนที+เทยีบต่อเวลา ซึ+งจะไดส้มการการดล(อมิพลัส)์และโมเมตมั

เอกสารนีFเป็นเอกสารประกอบใชร้ะหว่างเรยีนในหอ้ง ที+สรุปเนืFอหา สมการวเิคราะห ์และโจทยป์ญัหาตวัอย่าง

ต่างๆ ในตําราอ้างองิ [1] (แบบปกปิดวธิกีารวเิคราะหบ์างส่วน) ทั FงนีFเพื+อใหน้ักศกึษามเีอกสารในระหว่างเรยีน และ

สามารถจดบนัทกึไปพรอ้มกบัการบรรยายในหอ้งเรยีนไดอ้ยา่งสะดวก

Section C: Impulse and Momentum (อิมพสัสแ์ละโมเมนตมั)

1. อิมพสัสเ์ชิงเส้นและโมเมนตมัเชิงเส้น (Linear Impulse and Linear Momentum)

พจิารณาการเคลื+อนที+ในรปูที+ 3.1 อนุภาคมวล m

ที+เคลื+อนที+ไปตามเส้นทาง (path) ภายใต้แรงลพัธ์

กระทาํ FΣv

อนุภาคมคีวามเรว็ v r=v v

& ในแนวสมัพสัส์

กบัเสน้ทางการเคลื+อนที+ และมคีวามเร่ง a v=v v& ในทศิ

เดียวกันกับแรงลัพธ์ FΣv

ดังนั Fนจะได้สมการการ

เคลื+อนที+เป็น

( )mvdt

dF ma mv

F G

Σ = = =

Σ =

vv v v&

vv &

(3.1)

โดยที+ G mv=v v จะเรียกโมเมนตัมเชิงเส้น (Linear

momentum)

สมการที+ (3.1) ตคีวามไดว้่า “แรงลพัธท์ี �กระทําต่อ

อนุภาค จะเท่ากบัอตัราการเปลี �ยนแปลงโมเมนตมัเชงิ

เสน้”

สาํหรบั สมการการเคลื+อนที+ในระบบพกิดัฉาก

x-y-z หากใชส้มการที+ (3.1) จะไดเ้ป็น

x x

y y

z z

F G

F G

F G

Σ =

Σ =

Σ =

vv &

vv &

vv &

(3.2)

รปูที� 3.1

หากพจิารณาการเคลื+อนที+ในช่วงระยะเวลา 1 2t t−

แรงลพัธ์ที+กระทํามต่ีอการเปลี+ยนแปลงโมเมนตัมเชิง

เส้น สามารถวเิคราะห์ได้การอนิทเิกรตสมการที+ (3.1)

จะไดเ้ป็น

2 12 2

1 1

2

1

G

G

t

t

t

t

dt

dt

F dG G G

F G

= −Σ =

Σ = ∆

∫ ∫

∫

v v vv

vv (3.3)

2

พจน์ 2

1

t

tdtFΣ∫v

เรยีกว่า “อมิพสัสเ์ชงิเสน้ (linear

impulse)” สําหรบัการวเิคราะห์ปญัหาที+ประกอบด้วย

แรง ความเรว็ และเวลา จากสมการที+ (3.3) เขยีนใหม่

ไดเ้ป็น

1 22

1

2

11 2

t

t

t

t

dt

dt

G F G

mv F mv

+

+

Σ =

Σ =

∫

∫

v vv

vv v (3.3a)

สมการที+ (3.3 a) กล่าวไดว้่า “โมเมนตมัเชงิเส้น

ของอนุภาคที �ตําแหน่งเริ �มต้น ณ เวลา 1t บวกอมิพสัส์

ทั 5งหมดที �กระทําต่อนุภาคในระยะเวลา 1 2t t− เท่ากบั

โมเมนตมัเชงิเสน้ของอนุภาคที �ตําแหน่งสุดทา้ย ณ เวลา

2t ” ซึ+งความหมายเป็นดงัรปูที+ 3.2


สมการที+ (3.3a) แสดงความสมัพนัธใ์นรปูของ

vector ซึ+งความสมัพนัธนี์Fสามารถเขยีนในอยูใ่นรปูของ

ความสมัพนัธเ์ชงิสเกลาร ์สําหรบัแกนในระบบพกิดัฉาก

x-y-z ไดเ้ป็น

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2

1

2

1

2

1

1 2

1 2

1 2

tx x xt

ty y yt

tz z zt

dt

dt

dt

mv F mv

mv F mv

mv F mv

+

+

+

Σ =

Σ =

Σ =

∫

∫

∫

(3.3b)

สําหรบัระบบอนุภาค 2 อนุภาค มวล am และ

bm เคลื+อนที+โดยอิสระด้วยความเร็ว avv และ bv

v ถ้า

อนุภาคทั Fงสองเคลื+อนที+มาชนกันโดยสัมผัสกันเป็น

ช่วงเวลา t ดงันั Fนจะมแีรงที+จุดสมัผสักนัคือ Fv และ

F−v เครื+องหมายลบหมายถึง แรงที+กระทําต่ออนุภาค

ทั Fงสองเป็นแรงปฏกิิรยิาที+มทีศิตรงขา้มกนั ที+แสดงดงั

รูปที+ 3.3 หากพิจารณาการชนที+เวลา t ดังกล่าวจะ

พบว่า

มวล am : 0

ta adtF m vΣ = ∆∫

v v

มวล bm : 0

t

b bdtF m v− Σ = ∆∫v v


ผลรวมของสมการทั Fงสอง

0 a a ab b bG Gm v m v ⇒ ∆ = −∆= ∆ + ∆v vv v

หรอื ( ) 0a bG G+∆ =v v

ดงันั Fน หากนิยามโมเมนตมัเชงิ

เสน้รวมของทั Fงระบบเป็น a bG G G= +v v v

ดงันั Fนจะไดว้่า

( ) ( ) ( ) ( )

1 2

1 21 2

0

a a a ab b b b

or

or

G G G

m v m v m v m v

=

=

∆ =

+ +

v v v

v v v v

(3.4)

สมการที+ (3.4) จะเรียกว่า “สมการอนุรักษ์

โมเมนตมัเชงิเส้น (the principle of conservation of

linear momentum)” ซึ+งมคีวามหมายคอื “โมเมนตมั

รวมระบบอนุภาคก่อนชน เท่ากบั โมเมนตัมรวม

ระบบอนุภาคหลงัชน”

การวิเคราะหปั์ญหา ด้วยวิธีการอิมพสัสแ์ละโมเมนตมั

1) กําหนดแกนอา้งองิ และเขยีน FBD

2) กําหนดทศิของความเรว็ตน้และความเรว็สุดทา้ย

3) วเิคราะหด์ว้ยความสมัพนัธอ์มิพสัและโมเมนตมั

3.1) ระบบ 1 อนุภาค สมการวเิคราะห:์ 2

11 2

t

tdtmv F mv+ Σ =∫vv v

3.2) ระบบ 2 อนุภาค เขา้ชนกนั สมการวเิคราะห:์

3

( ) ( ) ( ) ( )1 2

1 21 2a a a ab b b b

G G

m v m v m v m v

=

=+ +

v v

v v v v

ข้อควรระวงั: วธิกีาร Impulse and Momentum เป็น

วธิกีารเคราะหเ์ชงิ vector (จะตอ้งจดัการแบบเวกเตอร)์

2. อิมพสัสเ์ชิงมมุและโมเมนตมัเชิงมมุ (Angular Impulse and Angular Momentum)

พจิารณาการเคลื+อนที+ในรปูที+ 3.4 อนุภาค P มวล

m ที+เคลื+อนที+ไปตามเสน้ทาง (path) โคง้ อนุภาคมี

เวกเตอรร์ะบุตําแหน่ง r x i y j z k= + +vv vv เทยีบ

กบัจุดกําเนิด O ของระบบสงัเกตอยู่กบัที+พกิดัฉาก

x-y-z


อนุภาคมโีมเมนตมัเชงิเสน้ mvv ซึ+งจะมโีมเมนตมั

เชงิมุม (Angular momentum: oHv

) เท่ากบัค่าโมเมนต์

ที+เกดิจากโมเมนตมัเชงิเสน้รอบจดุ O นั Fนคอื

o

o

x y z

H r mv

i j kH m x y z

v v v

= ×

=

v v v

vv v

v (3.5)

ซึ+ง จะไดโ้มเมนตมัเชงิมุมประกอบแกน เป็น

( )( )

( )

x z y

y x z

z y x

v y v z

v z v x

v x v y

H m

H m

H m

−

−

−

=

=

=

โมเมนตมัเชงิมมุมหีน่วยตามระบบ SI เป็น N-m-s

หากพจิารณาโมเมนตมัของแรงลพัธ ์ FΣv

รอบจุด

O จะได ้

oM r F r mvΣ = ×Σ = ×v vv v v&

เมื+อหาอนุพนัธเ์ทยีบต่อเวลาของสมการ (3.5) จะได ้

oH r mv r mv v mv r mv= × + × = × + ×v v v v v v v v v& & & &

ซึ+งพจน์ 0v mv× =v v ดงันั Fนจะได ้

oH r mv= ×v v v& & ซึ+งเท่ากันกับ โมเมนตัมของแรง

ลพัธ ์ FΣv

รอบจดุ O

ดงันั Fน

o oM HΣ =v v

& (3.6)

สมการที+ (3.6) ตคีวามไดว้่า “โมเมนต์รวมของแรง

ลพัธท์ี �กระทําต่ออนุภาค m รอบจุด O จะเท่ากบัอตัรา

การเปลี �ยนแปลงโมเมนตมัเชงิมมุรอบจดุ O”

สาํหรบั แต่ละแกนในระบบพกิดัฉาก x-y-z หากใช้

สมการที+ (3.6) จะไดเ้ป็น

ox ox

oy oy

oz oz

M H

M H

M H

Σ =

Σ =

Σ =

v v&

v v&

v v&

(3.6a)

หากพจิารณาการเคลื+อนที+ในช่วงระยะเวลา 1 2t t−

โมเมนต์รวมที+กระทํามต่ีอการเปลี+ยนแปลงโมเมนตัม

เชิงมุม สามารถวิเคราะห์ได้การอินทิเกรตสมการที+

(3.6) จะไดเ้ป็น 2 2

1 1

2

1

1 2

H

H

to o o ot

to ot

dt

dt

M dH H H

M H

= −Σ =

Σ =∆

∫ ∫

∫

v v v v

v v (3.7)

ซึ+ง 11oH r mv= ×v v v และ 22oH r mv= ×

v v v

พจน์ 2

1

tot

dtMΣ∫v

เ รียกว่ า “อิมพัสส์ เ ชิง มุม

(angular impulse)” ความหมายคอื “อมิพสัสเ์ชงิมุมรวม

รอบจุด O ที �กระทําต่อมวล m จะเท่ากับการ

เปลี �ยนแปลงโมเมนตมัเชงิมมุรอบจดุ O ของมวล m”

สมการที+ (3.7) เขยีนใหมจ่ะไดเ้ป็น 2

11 2

too ot

dtH M H+ Σ =∫v v v

สมการที+ (3.7a) กล่าวไดว้่า “โมเมนตมัเชงิุมมของ

อนุภาคที �ตําแหน่งเริ �มต้น ณ เวลา 1t

เชิงมุมทั 5งหมดที �กระทําต่อนุภาคในช่วง

เท่ากบัโมเมนตมัเชงิมุมของอนุภาคที �ตําแหน่งสุดท้าย

ณ เวลา 2t ”

ส่วนที� 1.1 ตวัอย่าง Section C: Linear Impulse and Linear Momentum

วิธีทาํ

1) เขยีน FBD ของแรงที+กระทําต่อมวล

2) หา Rx และ Ry จากสมการ อมิพสัสแ์ละโมเมนตมัเชงิเสน้

( ) (2 2

1 11 2:

t tx x x xt t

dt dtmv F mv mv R mv+→ ⇒ − ++ Σ = =∫ ∫

( ) (2 2 2

1 1 11 2: (0)

t t ty y y yt t t

dt mg dt dtmv F mv m R mv+ ↑ ⇒ − − ++ Σ = =∫ ∫ ∫

เขยีนใหมจ่ะไดเ้ป็น

(3.7a)

โมเมนตมัเชงิุมมของ

t บวกอิมพสัส์

ช่วงเวลา 1 2t t−

โมเมนตมัเชงิมุมของอนุภาคที �ตําแหน่งสุดท้าย

ถ้าไม่มีการอิมพัสส์เชิงมุม

กระทําต่ออนุภาคในช่วงเวลา

กลายเป็น

1 2o oH H=v v

สมการที+ (3.8)

โมเมนตมัเชงิมุม (the principle of conservation of

angular momentum)

Linear Impulse and Linear Momentum

ของแรงที+กระทําต่อมวล 60 g

อมิพสัสแ์ละโมเมนตมัเชงิเสน้

)2 2

1 11 21 2 cos15

t t ox x x xt t

dt dtmv F mv mv R mv+→ ⇒ − +Σ = =∫ ∫

1 2 cos15oxmv R t mv⇒ − + ∆ =

( ) ( ) (15 0.020.06 0.060 21cos15

105.9 #x

x

R

R

N

⇒ − +

⇒

=

=

) ( )2 2 2

1 1 11 2: (0)

t t ty y y yt t t

dt mg dt dtmv F mv m R mv+ ↑ ⇒ − − +Σ = =∫ ∫ ∫

4

ถ้าไม่มีการอิมพัสส์เชิงมุม 2

10

tot

dtM =Σ∫v

มา

กระทําต่ออนุภาคในช่วงเวลา 1 2t t− สมการที+ 3.7a จะ

(3.8)

(3.8) จะเรียกว่า “สมการอนุรักษ์

(the principle of conservation of

)0.06 0.060 21cos15o

2 sin15omv F mv m R mvΣ = =

ดงันั Fนจะไดข้นาดและทศิทางของแรง

2 2 2 2

1 1

105.9 16.89

tan ta

x y

y

x

R RR R

RR

β β− −

⇒

⇒

= + = +

= =

v v


1) หาขนาดของแรงกระทาํ Fv

จากสมการ

( )dt

dF G GΣ = =v vv &

( )2 3

2

3 2

2 33 4

3 2

dtF mg k j k

mg k

d t t

F t j t k

+ −− =

− +=

v vv v

vv vv

แทนค่า ที+ t = 2 sec จะได ้

( ) (

( )22

23(2) 2 2 0.2 9.81

6.04

6.04

6

8.51 .6

j k k

j k

F

F

F

= − +

= −

= + − =

v vv

vv

v

v

v

( )( )( )( ) ( )

2 sin15

0.06 9.81 0.02 0.02 0.06 21sin15

16.89 #

oy

y

y

mg t R t

R N

m v

R

⇒ − +

⇒ − +

⇒

∆ ∆

=

=

ดงันั Fนจะไดข้นาดและทศิทางของแรง Rv

เป็น

2 2 2 2

1 1 16.89105.9

107.2

9

105.9 16.89

tan ta .07n o

N Ans

nsA− −

= + = + =

= =

จากสมการ

( )2 33 2

2 33 4F mg k j kt t

+ −−v vv

)( )3(2) 2 2 0.2 9.81

8.51 .

j k k

sN An

= − +

=

v v

5

) ( )( )0.06 9.81 0.02 0.02 0.06 21sin15o=


1) เขยีน FBD ของแรงที+กระทําต่อมวล

2) หา 2 2, 2,x yi jv v v= +v vv จากสมการ อมิพสัสแ์ละโมเมนตมัเชงิเสน้

( ) (2

11 2:

txx xt

dt dtmv F mv mv F mv+→ ⇒ −+ Σ = =∫ ∫

( ) (2

11 2 2,: (0)

tyy yt

dt F dtmv F mv m mv+ ↑ ⇒ + ++ Σ = =∫ ∫

ดงันั Fนจะไดข้นาดและทศิทางของ

2 22 2 22, 2,

1 8tan6

x y

x x

v v v v

θ θ−

⇒

⇒

= + =

−==

v v

ของแรงที+กระทําต่อมวล 0.5 kg

จากสมการ อมิพสัสแ์ละโมเมนตมัเชงิเสน้

( ) 11, 2,

3

1 2 0x xx xdt dtmv F mv mv F mv+→ ⇒ −Σ = =∫ ∫

( ) ( ) ( )1 2 3 10.5 10 4 0.5⇒ − + − =

2, 6 / #xv m s= −⇒

( ) ( )2

3

1 2 2,0: (0) yy y

dt F dtmv F mv m mv+ ↑ ⇒ + +Σ = =∫ ∫

( ) ( )0 3 22

3 11 2 0.5

⇒ + + −

+ =

2, 8 / #yv m s=⇒

ดงันั Fนจะไดข้นาดและทศิทางของความเรว็ vv เป็น

( )22 2 26 8 10 /

126.9o

m s Ans

Ansθ θ

= + =

=

− + =

6

2,0.5 10 4 0.5 xv=

2,1 2 0.5 yv=


1) จากโจทย ์เขยีนกราฟ P-t diagram

2) เขยีน FBD ของแรงที+กระทาํต่อมวล

3) หาเวลา t′ เมื+อรถเปลี+ยนทศิการเคลื+อนที+

โดยใชส้มการความสมัพนัธ ์อมิพสัสแ์ละโมเมนตมัเชงิเสน้

( ) (2

11 2:

txx xt

x dt dt dtmv F mv mv P mg mv+ ⇒ − + −+ Σ = =∫ ∫ ∫

( ) (1150 4 2 4 600 2 600 150 9.81 sin30 42

− + − +

+ ∆ ∆ =

2.46 4t s t⇒∆ = ∴ = +∆′

4) หาเวลาความเรว็ xv ที+เวลา t =

( ) (2

11 2:

txx xt

x dt dt dtmv F mv mv P mg mv+ ⇒ − + −+ Σ = =∫ ∫ ∫

( ) (1150 4 2 4 600 2 600 8 4 150 9.81 sin30 4 8 4 1502

− + − +

+ − − =

2, 4.76 /x m nsv s A⇒ =

t diagram

ของแรงที+กระทาํต่อมวล 150 kg

เมื+อรถเปลี+ยนทศิการเคลื+อนที+: นั Fนคอื 2 0 /sv m=

โดยใชส้มการความสมัพนัธ ์อมิพสัสแ์ละโมเมนตมัเชงิเสน้

) ( ) ( 01, 2,1 2 0 0

2 sin30x xx x

t tx dt dt dtmv F mv mv P mg mv

′ ′+ ⇒ − + −Σ = =∫ ∫ ∫

) { } ( )150 4 2 4 600 2 600 150 9.81 sin30 4ot t − + − +

+ ∆ ∆ =

2.46 4 6.46t s t s Anst⇒∆ = ∴ = +∆ =′ 8 st = โดยใชส้มการความสมัพนัธอ์มิพสัสแ์ละโมเมนตมัเชงิเสน้

) ( ) (1, 2,1 2 0 0

8 82 sin30x xx x

x dt dt dtmv F mv mv P mg mv+ ⇒ − + −Σ = =∫ ∫ ∫

) ( ){ } ( )150 4 2 4 600 2 600 8 4 150 9.81 sin30 4 8 4 150o − + − + + − − =

4.76 /m nss A

7

)01, 2,2 sin30x xx dt dt dtmv F mv mv P mg mvΣ = =

( )2, 0150 xv =+ ∆ ∆ =

โดยใชส้มการความสมัพนัธอ์มิพสัสแ์ละโมเมนตมัเชงิเสน้

)01, 2,2 sin30x xx dt dt dtmv F mv mv P mg mvΣ = =

( ) ( )2,150 4 2 4 600 2 600 8 4 150 9.81 sin30 4 8 4 150 xv − + − + + − − =


1) ระบบอนุภาค 2 อนุภาค เคลื+อนที+ชนกนั จะใชส้มการอนุรกัโมเมนตมัเชงิเสน้ นั Fนคอื

โมเมนตมัของระบบก่อนชน =

( ) ( ) (1 21 2a a a a ab b b b bm v m v m v m v m m v= = ++ +v v v v v

( ){ } ({0.05 600 4 12 cos30 sin 30 0.05 4j i j+ + = +v v v

2 10.26 13.33 /i j m s Ansv = +v vv

ดงันั Fนจะไดข้นาดและทศิทางของความเรว็

2 22 2 2 22, 2,

1 13.33tan1 .0 26

x y

x x

v v v v

θ θ−

⇒

⇒

= + = +

=

v v

อนุภาค เคลื+อนที+ชนกนั จะใชส้มการอนุรกัโมเมนตมัเชงิเสน้ นั Fนคอื

= โมเมนตมัของระบบหลงัชน หรอื 1 2G G=v v

) ( ) ( ) 21 21 2a a a a ab b b b bm v m v m v m v m m v= = ++ +v v v v v

; หลงัชนเคลื+อนไปดว้ยกนั

) } ( )0 00.05 600 4 12 cos30 sin 30 0.05 4j i j + + = + v v v

10.26 13.33 /i j m s Ansv v

ดงันั Fนจะไดข้นาดและทศิทางของความเรว็ vv เป็น

2 22 2 2 2 16.83 /10.26 13.33

52.4x xo

m s A s

A s

v n

nθ θ

⇒

⇒

= + = + =

=

v v

8

อนุภาค เคลื+อนที+ชนกนั จะใชส้มการอนุรกัโมเมนตมัเชงิเสน้ นั Fนคอื

หลงัชนเคลื+อนไปดว้ยกนั

20.05 600 4 12 cos30 sin 30 0.05 4 v+ + = +v

ส่วนที� 1.2 ตวัอย่าง Section C: Angular Impulse and Angular Momentum


1) หาโมเมนตมัเชงิมมุรอบจดุ O

( ) ( )3 6 4 2 5

40 30o

o

o i j k j

i k N m s Ans

H r mv

H

H + + ×

⋅ ⋅= − +

= ×

=vv v v

vvv

v v v

v

2) หาอนุพนัธเ์ทยีบต่อเวลาของโมเมนตมัเชงิมุม

จาก o oM HΣ =v v

&

( )3 6 4

60 30

10

o o

i j k k

i j N m Ans

H M r F

− ⋅

=

+ + ×

=

Σ = ×

=v vv v

v v

v v vv&


สมการอนุรกัษ์โมเมนตมัเชงิมมุรอบแกน

1 2o oH H=v v

( ) ( )

( ) ( )( )( )

, ,

6

6

6,000 10 7

59,200 /

40

75 10

o A o B

B BA A

A AB

B

B

r mv r mv

r mv r mv

r vv

v m s A s

r

n

=

× = ×

=

=

=

v v v v

Angular Impulse and Angular Momentum

i j k j

i k N m s Ans⋅ ⋅

v v v

หาอนุพนัธเ์ทยีบต่อเวลาของโมเมนตมัเชงิมุม oHv&

i j N m Ans

สมการอนุรกัษ์โมเมนตมัเชงิมมุรอบแกน O

6,000 10 740

9

Angular Impulse and Angular Momentum


สมการอนุรกัษ์โมเมนตมัเชงิมมุรอบแกน

โมเมนตมัของระบบก่อนชน = โมเมนตมัของระบบหลงัชน

1 2o oH H=v v

( ) ( )

( ) ({,1 ,2

1 2,1 2,2: 2 4

o o

l l l

r mv r mv

CW mv m m v mv

× = ×

+ = +

v v v v

แทนค่า ความเรว็เชงิเสน้ เปลี+ยนเป็นความเรว็เชงิมุม

( ) ({( ) ( ){( )

1

1

1

1

1

1

: 2 4

2 4

3

9

16

19

l l l

CW A

l l

l

l

CW mv m m m

mv m m m

mv m m

vv

θ θ

θ

θ

+

+ = +

= +

=

=

=&

& &

&


หา θ จากสมการอนุรกัษ์โมเมนตมัเชงิมมุรอบแกน

1 2o oH H=v v

( ) ( )( ) ( ) (0 0

, ,

cos (1):o A o Br mv r mv

z r mv r m v

× = ×

+ − =

v v v v

จาก (1) มตีวัแปรไม่ทราบค่า 2 (ยกเวน้

ค่าที+ทราบ ซึ+งสามารถกระทําไดด้งันีF


โมเมนตมัของระบบหลงัชน

) } { }1 2,1 2,22: 2 4l l lCW mv m m v mv++ = +

แทนค่า ความเรว็เชงิเสน้ เปลี+ยนเป็นความเรว็เชงิมุม v rθ= & ดงันั Fน จะไดเ้ป็น

)( )} ( ){ })( )} ( ){ }

2 2

2 2

: 2 4

2 4

16

l l l

CW A

l l

l l

l l

ns

CW mv m m m

mv m m m

mv m m

θ θ

θ θ

θ θ

+

+

+

+ = + & &

& &

& &


)cos (1)θ →

ยกเวน้ θ ) ไดแ้ก่ ,v r ดงันั Fนจะตอ้งขจดัตวัแปรเหล่านีF โดยเขยีนเป็นฟงักช์นัของ

10

ดงันั Fนจะตอ้งขจดัตวัแปรเหล่านีF โดยเขยีนเป็นฟงักช์นัของ

11

a) ขจดั v สมการอนุรกัษ์พลงังาน คอื

1 22 2 2 21 1 1 2 2 2

1 1 1 1 (2)2 2 2 2

mv mgh kx U mv mgh kx−+ + + = + + →′

พจิารณาสมการ (2) ตดัเทอมที+เป็นศูยน์

2 21 1 1

1 12 2

mv mgh kx+ + 1 2U −+ ′ 22 2

12

mv mgh= + 22

12

kx+

2

2 2

0

0

2 #

1 12 2

mv mgh m

v v g

v

h= +

+ =

b) ขจดั r สมการ: 2 2 20 hr r= +

220 #r r h= −

แทนค่าที+ทราบ 20 2v v gh= + และ 22

0r r h= − ลงใน (1) จะได ้

จาก (1) : ( ) ( )0 0 cosr mv r m v θ=

( )( )20 0

2 20 0 2 cosr v r h v gh θ− +=

1 10

22

0

2 20 0

2 20 0

1cos cos

22 1 1

Ansr v

h ghr h v ghr v

θ − −

= − + − +

=

12

3. การกระทบ (Impact)

การกระทบ หมายถงึ การที+วตัถุ 2 วตัถุ เคลื+อนที+มาชนกนัหรอืปะทะกนั ซึ+งจะเกดิแรงอมิพสัสห์รอืแรงดลหรอื

แรงปฏิกิรยิาที+กระทําต่อกันที+สูงมากในช่วงเวลาสั Fนๆ และแรงนีFจะหายไปเมื+อวัตถุเริ+มเคลื+อนที+ออกจากกัน

การกระทบแบ่งเป็น 2 ลกัษณะ คอื การกระทบในแนวตรง (Direct Central Impact) และ การกระทบในแนวเฉียง

(Oblique Central Impact) ที+แสดงดงัรปูที+ 3.5


3.1 การกระทบในแนวตรง (Direct Central Impact)

พจิารณารปูที+ 3.6 (a) วตัถุกลมมวล m1 และ m2

เคลื+อนที+ดว้ยความเรว็ก่อนเขา้กระทบเป็น v1 และ v2

ตามลาํดบั โดยที+ v1 > v2 เมื+อเขา้กระทบกนัวตัถุทั Fงสอง

จะยุบตวัลงมากสุดและมคีวามเรว็เท่ากนัเป็น v0 ดงัที+

แสดงในรปูที+ 3.6 (b) ซึ+งจะเรยีกช่วงนีFว่า “ช่วงยุบตวั”

(deformation) หลงัจากนั Fนวตัถุทั Fงสองจะเริ+มคนืตวัจนมี

ขนาดเท่าเดมิและแยกออกจากกนั โดยมคีวามเรว็หลงั

กระทบเป็น v'1 และ v'2 ตามลําดบั ซึ+งความเรว็ v'2

จะต้องมากกว่า v'1 รูปที+ 3.6 (c) จะเรียกช่วงนีFว่า

“ช่วงคนืตวัหลงัชน” (After impact)


เนื+องจากการกระทบไม่มแีรงภายนอกมากระทํา ดงันั Fน

จะไดว้่า 0G∆ =v

1 1 2 2 1 1 2 2m v m v m v m v′ ′+ += (3.9)

รปูที+ 3.7 แสดงลกัษณะของแรงที+เกดิในช่วงการ

ยุบตวัและการคนืตวั dFv

และ rFv

คือแรงปฏิกิรยิาที+

ผวิสมัผสัในช่วงการยบุตวัและคนืตวั ตามลาํดบั


จากสมการความสัมพันธ์ของอิมพัสส์แล ะ

โมเมนตัมเชิงเส้น 2

11 2

t

tdtmv F mv+ Σ =∫vv v หาก

พจิารณามวล m1 ช่วงการยุบตวั ที+มคีวามเรว็เริ+มต้น

เป็น v1 และความสุดท้ายเป็น v0 โดยที+มแีรงภายนอก

กระทําคอื dF ดงันั Fนจะได้ความสมัพนัธ์ของอิมพสัส์

และโมเมนตมัเชงิเสน้ในช่วงนีF คอื

1 10 01 d

otdtm v F m v− =∫

13

และเช่นเดยีวกนั ช่วงการคืนตวั มคีวามเรว็เริ+มต้นเป็น

v0 และความสุดท้ายเป็น v'1 โดยมแีรงภายนอกกระทํา

คือ rF ดังนั Fนจะได้ความสัมพันธ์ของอิมพัสส์และ

โมเมนตมัเชงิเสน้ในช่วงนีF คอื

1 10 1o

r

t

tdtm v F m v′− =∫

นิยาม สมัประสทิธิGการคนืสภาพ (Coefficient of

restitution: e) คอื “อตัราส่วนของอมิพสัสเ์ชงิเส้นช่วง

คนืตวัต่ออมิพสัสเ์ชงิเสน้ช่วงยบุตวั”

e=

1 1

1 10

0 1 0 1

0 01 1d

o

o

r

t

tt

dt

dt

F m v m v v ve

m v m v v vF

′ ′− −=

− −= =∫

∫

ซึ+ งหากวิเคราะห์ที+มวล m2 ก็สามารถกระทําได้

เช่นเดยีวกนั นั Fนคอื

2 0

0 2

v ve

v v

′ −

−=

หากขจดัค่า 0v ออกจากสมการทั Fงสอง จะได้สมการ

ความสมัพนัธเ์ป็น

2 1

1 2

v ve

v v

′ ′−

−= = (3.10)

เมื+อ

e = 1 เรยีกว่า การกระทบ/การชนแบบยืดหยุ่น

(Elastic Impact) ซึ+งเป็นการชนที+ไม่มกีารสูญเสยี

พลงังาน จะเป็นการชนในเชงิอุดคตทิี+ไม่เกดิขึFนจรงิ แต่

กก็ารชนของวสัดุบางชนิดที+การสูญพลงังานน้อย (ค่า e

เขา้ใกล ้1) เช่น การชนของวสัดุประเภทแกว้กบัแกว้

e = 0 เรยีกว่า การกระทบ/การชนแบบไม่

ยืดหยุ่น (Inelastic หรือ Plastic Impact) ซึ+งเป็นการ

ชนที+มกีารสูญเสยีพลงังานมากที+สุด และหลงัจากการ

ชนวตัถุทั Fงสองจะเคลื+อนที+ตดิกนัไป

โดยทั +วไปค่า e จะอยู่ระหว่าง 0 - 1 ขึFนอยู่กบั

คุณสมบตัทิางกายภาพของวตัถุทั Fงสอง รปูที+ 3.8 แสดง

ค่าสมัประสทิธิ xการคนืสภาพ e โดยประมาณของวสัดุ

ประเภทต่างๆ


การวิเคราะหปั์ญหาการกระทบในแนวตรง

หากเราทราบสภาวะเริ+มต้นก่อนการกระทบ

ได้แก่ 1 2 1 2m m v vและ ค่าสมัประสทิธิ xการคนืสภาพ

e หากต้องการทราบค่าที+สภาวะหลงักระทบ 2 ค่า

ได้แก่ 1 2v v′ ′ ดังนั Fนจะต้องจําลองสมการให้ได้ 2

สมการ ซึ+ง 2 สมการดงักล่าว คอื สมการที+ 3.9 และ

3.10 นั Fนคอื

(1) สมการอนุรกัษ์โมเมนตั 5มเชงิเสน้ทั 5งระบบ

1 1 2 2 1 1 2 2m v m v m v m v′ ′+ += (3.9)

(2) สมการความสมัพนัธส์มัประสทิธิGการคนืสภาพ e

2 1

1 2

v ve

v v

′ ′−

−= (3.10)

อมิพสัสเ์ชงิเสน้ช่วงการคนืตวั

อมิพสัสเ์ชงิเสน้ช่วงช่วงยบุตวั

|ความเรว็สมัพทัธก์ารแยกตวั|

|ความเรว็สมัพทัธก์ารยุบตวั|

14

3.2 การกระทบในแนวเฉียง (Oblique Central Impact)

พจิารณารูปที+ 3.8 วตัถุกลมมวล m1 และ m2

เคลื+อนที+ดว้ยความเรว็ก่อนเขา้กระทบเป็น v1 และ v2

ตามลําดบั โดยมมีุมเขา้กระทบก่อนที+วดัจากแนวสมัผสั

(t) ของมวล m1 และ m2 เท่ากบั θ1 และ θ2 ตามลําดบั

ดงัรปู 3.8a ณ จุดกระทบจะมเีสน้แนวปะทะ (Line of

impact: n) ที+ตั Fงฉากกบัเสน้แนวสมัผสั t ดงัรปู 3.8b

หลงัจากกระทบวตัถุทั Fงสองจะแยกออกจากกันโดยมี

ความเรว็และมุมหลงักระทบ เป็น v'1 θ'1 และ v'2 θ'2

ตามลาํดบั ดงัรปู 3.8c ซึ+งการวเิคราะหจ์ะกําหนดใหแ้รง

เสยีดทานในแนวสมัผสั t มคี่าน้อยมากเมื+อเทยีบกบัแรง

ในแนวกระทบ n ( )Fv ที+เป็นปฏกิริยิาของวตัถุทั Fงสอง

ในแนวกระทบ n โดยทิศทางและขนาดของแรงแนว

กระทบ เป็นดงัรปูที+ 3.8d และ 3.8e ตามลาํดบั

การวิเคราะหปั์ญหาการกระทบในแนวเฉียง

หากเราทราบสภาวะเริ+มต้นก่อนการกระทบ ไดแ้ก่

1 2 1 2 1 2m m v v θ θv v และหากต้องการทราบค่าที+สภาวะ

หลงักระทบ 4 ค่า ได้แก่ 1 2 1 2v v θ θ′ ′ ′ ′v v ดงันั Fนจะต้อง

จาํลองสมการใหไ้ด ้4 สมการ ซึ+งสามารถกระทาํไดด้งันีF

(1) สมการอนุรกัษ์โมเมนตั 5มเชงิเส้นในแนวกระทบ n

ทั 5งระบบ

( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 1 2 2n n n nm v m v m v m v′ ′+ += (3.11)

(2) สมการอนุรกัษ์โมเมนตั 5มเชงิเสน้ในแนวสมัผสั t

เนื+องจากเราพจิารณาว่าแรงเสยีดทานในแนวสมัผสั

t ขณะกระทบมคี่าน้อยมากเท่าเทยีบกบัแรงในแนว

กระทบ n จงึพจิารณาใหเ้ป็นศูนยไ์ด ้ ดงันั Fน โมเมนตมั

เชงิเสน้ในแนวสมัผสั t ของแต่ละอนุภาคจะต้องอนุรกัษ์

นั Fนคอื

มวล m1: ( ) ( )1 1 1 1t tm v m v′= (3.12)

มวล m2: ( ) ( )2 2 2 2t tm v m v′= (3.13)

(3) สมการความสมัพนัธ์สมัประสทิธิGการคนืสภาพ e

ของการกระทบในแนว n

สมการความสมัพนัธ์สมัประสทิธิ xการคนืสภาพ e

ของการกระทบในแนว n สามารถประยุกต์ใช้ได้

เช่นเดยีวกนักบัการกระทบในแนวตรง ซึ+งจะไดเ้ป็น

( ) ( )( ) ( )

2 1

1 2

n n

n n

v ve

v v

′ ′−

−= (3.14)

หากทราบค่าสมัประสทิธิ xการคนืสภาพของกระทบ

e ดงันั Fนเราจะไดส้มการความสมัพนัธท์ี+เป็นอสิระต่อกนั

4 สมการ (สมการ 3.11, 3.12, 3.13 และ 3.14) เท่ากบั

จาํนวนตวัแปรที+ไม่ทราบค่า 4 ตวัแปร ( 1 2 1 2v v θ θ′ ′ ′ ′v v )

ซึ+งสามารถแกร้ะบบสมการและหาคาํตอบได ้



1) ตคีวามหมายโจทยด์ว้ยการวาดรปูแสดงลกัษณะทางกายภาพ

2) หาคาํตอบใหก้บัโจทย ์

(a) หาความเรว็ของเสาเขม็หลงัการกระทบ

จากสมการ Conservation of

r r p rp r pm v m v m v m+ +=

( )2400 2400( ) (1)800( ) 0 800( )rv v+ + →

ซึ+ง r rv v ′สามารถหาไดจ้ากสมการ 2 21 1 2 2

1 12 2mv mgh mv mgh+ = +

(ก) ขาปล่อย Ram ลง 2 m

2 (2) 6.26 / #r gv m s==

(ข) หลงักระทบ Ram กระดอนขึCน

2 (0.1) 1.401 / #r gv ′ = =

ดงันั Fน แทนค่า 6.26 /rv m s=

( )6.26 1.4012400 2400( )800( ) 0 800( )+ + ⇒=

ดว้ยการวาดรปูแสดงลกัษณะทางกายภาพ

หาความเรว็ของเสาเขม็หลงัการกระทบ: pv ′ โดยการเขยีนสมการที+มตีวัแปรที+ตอ้งการหา

Conservation of Linear Momentum of system: 1 2G G=v v

จะได้

r r p r pp r pm v m v m v mv′ ′+ += แทนค่า ที+ทราบจะได ้

2400 2400( ) (1)800( ) 0 800( )r pv v v ′′+ + →= แต่มตีวัแปร

สามารถหาไดจ้ากสมการ Conservation of Energy นั Fนคอื 2 21 1 2 2mv mgh mv mgh+ = + แยกพจิารณา ไดเ้ป็น

2 m: ( )210 02

2r r rm v m g+ = + − จะได ้

6.26 / #v m s

กระดอนขึCน 0.1 m: ( ) ( )21 0 0

20.1r rr gvm m+ = +′

1.401 / #m s

v m s และ 1.401 /r m sv ′ = ลงในสมการ (1) จะได ้

6.26 1.4012400 2400( )800( ) 0 800( ) 2.55 /p pv v m s Ans′ ′+ + ⇒ ==

15

โดยการเขยีนสมการที+มตีวัแปรที+ตอ้งการหา

จะได ้

ตวัแปรเพิ+มมาคอื r rv v ′

จะได ้

2.55 /v v m s Ans

16

(b) ค่าสมัประสิทธิW การคืนสภาพ: e

( )2 1

1 2

2.55 1.0.6

4016.2

36 0

1v vv

e Ansv

−′ ′− −− −

===

(c) เปอรเ์ซน็ตก์ารสูญเสียพลงังานของการกระทบ: Percentage of energy lost

% impact before impact after impactimpact

before impact before impact

Energy EnergyEnergy lostEnergy lost

Energy Energy−

= =

( )( )

( ) ( )

( )( ) ( )( )

2

2 2

2

22

1 10 800 6.26 02 2

1 12 2

1 1800 1.401 2,400 2.552 2

15,700 #

8,620 #

before impact

after impact

r r

r r p p

Energy m v

Energ

J

v

J

y m v m

+ +

+

+

==

=

=

= ′ ′

=

15,700 8,620% 0.45115,700

45.1%impact AnEnergy lost s=−= =


โจทย์ถามหา ( ) ( )2 2

n tv v v′ ′ ′= + และ

ทั Fงหมด 2 สมการที+เป็นอสิระต่อกนั นั Fนคอื

� สมการสมัประสทิธิGการคนืสภาพ

( ) ( )2 1 1

1

1

2

) ) 0 ( )

16sin 30 0

( ) 4 / #

( (n n n

n n

n m s

v v ve

v v

v

′ ′ ′− −= =

− − −

′∴ =

=

� สมการอนุรกัษ์โมเมนตั 5มเชงิเสน้ในแนว

( ) ( ) ( )1 1 1 1 1t t tm v m v v′ ′⇒=

( )1 13.86 / #t

m sv∴ ′ =

ดงันั Fนจะไดข้นาดและทศิทางของความเรว็

2 2 2 21 1

1

( ) ( ) 4 13.86

4tan13.86

n t

t t

v vv v

θ θ

′ ′

− ⇒

′ ′

⇒ +

=

= + =′ ′

และ 1

1

1 ( )

( )tan n

t

v

vθ

′

′

− ′=

ซึ+งเป็น 2 ตวัแปร ( n tv v′ ′

สมการที+เป็นอสิระต่อกนั นั Fนคอื

สมการสมัประสทิธิGการคนืสภาพ : e = 0.5

2 1 1) ) 0 ( )0.5

16sin 30 0o

n n nv v v′ ′ ′− −= =

− − −

สมการอนุรกัษ์โมเมนตั 5มเชงิเสน้ในแนวสมัผสั t ของมวล m1

( )1 16cos30o

t t tv′ ′ = =

ดงันั Fนจะไดข้นาดและทศิทางของความเรว็ v′ เป็น

2 2 2 2( ) ( ) 4 13.86 14.42 /

1 . 06 1 ot t

m s Ans

nsA

v v

θ θ′ ′

=

=

⇒ += + =′ ′

17

)n tv v′ ′ ดงันั Fนจะต้องสร้างสมการ

18


โจทยถ์ามหา a) ผลการเคลื+อนที+หลงัชน ไดแ้ก่ 1 2 1 2v v θ θ′ ′ ′ ′v v b) เปอรเ์ซน็การสญูเสยีเนื+องจากการชน

ข้อ a) หา 1 2 1 2v v θ θθ θθ θθ θ′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′v vv vv vv v

Step 1: เขียน FBD แสดงสภาวะก่อนชน พร้อมแสดงแนวแกน n, t

2θ ′

1θ ′

Step 2: ตวัแปรไม่ทราบค่า 4 ตวัแปร ไดแ้ก่ ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2n t n t

v v v v′ ′ ′ ′ เขียนสมการควบคุม 4 สมการ จะได ้

� สมการอนุรกัษ์โมเมนตั 5มเชงิเสน้ในแนวกระทบ n ทั 5งระบบ

( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 1 2 2n n n nm v m v m v m v′ ′=+ +

( ) ( )1 26 cos 30 0 (1)o

n nv v′ ′+ = →+

� สมการอนุรกัษ์โมเมนตั 5มเชงิเสน้ในแนวสมัผสั t

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 160si1 #n 3: 3 /0o

tt t t tm m v m v v vass v m s′ ′= ⇒ = ′∴ ==

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 22 : 0 /0 #tt t t t

m v m v vmass v m sv ′∴ =′ ′= ⇒ = =

� สมการสมัประสทิธิGการคนืสภาพ: e = 0.6

( ) ( )( ) ( )

2 1

1 2

n n

n n

v ve

v v

′ ′−

−=

( ) ( ){ } ( ) ( ) { } ( ) ( )1 2 2 1 2 10.6 6 cos 30 0 (2)o

n n n n n ne v v v v v v′ ′ ′ ′= ⇒ = →− − − −

1

1

230

sin

o

r

r

θ

θ

=

=

19

แกร้ะบบสมการ (1) และ (2) หาค่า ( ) ( )1 2n nv v′ ′ จะได ้

จาก (1) และ (2)

( ) ( )

{ } ( ) ( )1 2

2 1

6 cos 30 0 (1)

0.6 6 cos 30 0 (2)

o

o

n n

n n

v v

v v

′ ′+ = →

′ ′= →

+

− −

นาํ (1) + (2):

( ) ( ) ( )2 26 cos 30 1 0.6 4.157 / #2o

n nv v m s′ == ⇒ ′+

แทนค่า ( )2 4.16 /n

v m s′ = ใน (1) จะได ้

( ) ( )116 cos 30 0 4.1 1.039 /57 #o

nnvv m s′+ = ⇒ ′ =+

ดงันั Fนจะไดข้นาดและทศิทางของความเรว็ 1 2 1 2v v θ θ′ ′ ′ ′v v เป็น

( )( ) ( )

2 2

11

11

1

3 1.039 3.175 /

1.039tan 19.11

3

3 /

1.039 / o

t

n

v v m s Ans

t A

m s

v m ss nθ

′ = + =′ =

′ = = ∠

′ =

( )( ) ( )

2

2

2 22

12

0 4.157 4.157 /

0tan

0 /

4.157 / 904.157

o

t

n

v mv s Ans

t An

m

s

s

v m s θ

′ =

′ =

′ = + =

′ = = ∠

ข้อ b) หา เปอร์เซ็นการสูญเสียเนื�องจากการชน (((( ))))% impactEnergy loss

% impact before impact after impactimpact

before impact before impact

Energy EnergyEnergy lossEnergy loss

Energy Energy−

= =

{ }

2 2 21 1 2 2

2 2 2 21 1 2 2

1 1 16 0

2 2 2

1 1 13.175 4.157

2 2

18

24.0 %

#

2

% 100

13.681 #

18 13.681%

18

before impact

after impact

impact

m J

m

Energy m v m v m

Energy m v m v m

Energy lost

J

mAns

J m J

m J

= + = +

′ ′= + = +

=

=

=

=

−

แบบฝึกหดัท้ายบท

รายวิชา

พลศาสตรวิ์ศวกรรม

[ENGINEERING DYNAMICS]

บทที' 3 Kinetic of Particles


โดย

วิทรูย ์ เหม็สวุรรณ

ลําดับท่ี…../……..ท่ีน่ัง Zone:……………ชื่อ:………………………………………

แบบฝ�กหัดท�ายบท Section C: Impulse and Momentum

ส�วนท่ี 1 เรื่อง: Linear-Angular Impulse and Linear

ข�อท่ี 1 ([1] Problems 3/187)

425203/525203 พลศาสตร@วิศวกรรม

Ch3: Kinetics of Particles, Section C

……………………………………… รหัส:……………………….

Impulse and Momentum

Angular Impulse and Linear-Angular Momentum

พลศาสตร@วิศวกรรม (ENGINEERING DYNAMICS)


1

425203/525203 พลศาสตร@วิศวกรรม (ENGINEERING DYNAMICS)

Ch3: Kinetics of Particles, Section C: Impulse and Momentum

ลําดับท่ี…../……..ท่ีน่ัง Zone:……………ชื่อ:……………………………………… รหัส:……………………….

2





3





4





5


แบบฝึกหดัท้ายบท

รายวิชา

พลศาสตรวิ์ศวกรรม

[ENGINEERING DYNAMICS]

บทที' 3 Kinetic of Particles


(Impact)

โดย

วิทรูย ์ เหม็สวุรรณ

425203/525203 พลศาสตร วิศวกรรม (ENGINEERING DYNAMICS)



6

แบบฝ?กหัดท@ายบท Section C: Impulse and Momentum

สBวนท่ี 1 เรื่อง: Impact

ข@อท่ี 1 ([1] Problems 3/251)




7





8





9





10





11


ตาํราอ้างอิง

[1] Meriam J. L., and Kraige L. G. “Engineering Mechanics: Dynamics,” 6th Ed., John Wiley and Sons, Inc, 2007.

01 2 3 / 1

Documents

Transcript of 01 2 3 / 1