X E X

1. 1NTRODUCCION

optimización es la ciencia del área de las matemáticas aplicadas que, estudia

principalmente la caracterización y dererrninación de fas "mejores" soluciones a ciertos

modelos matemáticos, los cuales generalmente corresponden a situaciones de la realidad o del

mundo real_ Este estudio considera entre otras cosas, la búsqueda de criterios de optirnalid.d

para dichos problemas, la proposición de algoritmos de solución. análisis de las propiedades

de estos algoritmos y la experimentación computacional con problemas de prueba y de la vida

real. En la vasta literatura relacionada con el tema se ha usado eI término "programación"

corno sinónimo del término optimización y fue usado originalmente para referirse a la

optimización en el sentido de planificación optimal corno por ejemplo: Programadón Lineal,

Programación No-Lineal, Programación Entera, Programación Estocástica, Programación

Dinámica, Programación Geométrica. Programación Multi-Objetivo, Programación de Metas

u Objetivos, entre otros.

El objetivo l'undarnental de este curso es, introducir al lector en el área de la

optimización denominada Programación No-Lineal, estudiando las principales condiciones

relacionadas con la caracterización de soluciones óptimas, como también, al?unos algoritmos

para determinar dichas soluciones.. Finalmente se desarrollan en forma detallada dos

aplicaciones concretas a problemas reales en Ingeniería.

1.1. Formulación del Problema y Definiciones Básicas.

La mayoría de los problemas reales de optimización o más especifica_mente, de la

Programación No-Lineal pueden deffnirse de la siguiente forma:

Min 1-(x)

1=1,...,,n2

h-(x)0 , j=1 ..... p (U)

donde f g i , g2 , . . . , hp son funciones numéricas definidas en un dominio

2

común contenido en R".

En general estas funciones se supondrán 2 veces continuamente diferenciables.

La función f es usualmente llamada la función objetivo, función de mérito, función de

costo, función de beneficio, etc_ etc. Las funciones g1.1=1,—,m se denominan las

restricciones de desigualdad y las funciones h, ./ = p se denominan las restricciones de

igualdad. El conjunto X R usualmente representa a un conjunto de restricciones simples,

como por ejemplo, restricciones de cota en las variables.

Un vector x e X que satisface cada una de las restricciones se llamará solución factible

del problema. El conjunto formado por todas las soluciones factibles se /lama Dominio o

Región Factible. que denotaremos por D.

El problema (1.1) consiste en encontrar una solución l 'actible x tal que

(x) (x) Vx e D.

En este caso SP recibe el nombre de solución óptima del problema.

A modo de ejemplo, consideremos el siguiente problema sencillo de programación No-

Lineal:

Min (xl —3)2 +(xl —2)2

x2 —t —3<0—

x2 —1 O

—xl

3

Suponiendo a priori que este problema admite solución óptima, podemos resolverlo en

'roma geométrica. En efecto. las curvas de nivel asociados a la función objetivo son

circunferencias concéntricas en el punto (3,2) y entonces la (única) solución óptima de este

problema será aquel punto de la curva de nivel correspondiente, tal que dicha curva es

tangente a la región factible. En consecuencias. la solución óptima de este problema, es el

punto (2.,1)., el cual pertenece a la curva de nivel: (x1 —3)2 +(x., —2)2 , k, con k

Cabe señalar que este medio de resolución es muy particular ya que, sólo podrá

aplicarse, en general, a problemas sencillos en dos variables. Además, aunque el problema

esté compuesto por dos variables, puede contener cierta naturaleza de no diferenciabilidad ya

sea en la función objetivo o en alguna restricciones, entonces la resolución por curvas de nivel

será un poco más compleja. Por ejemplo, basta definir el siguiente problema:

Min —xi— x2+ maxix,2 +x2 —1, O

(x1,x2)eR2

y entonces la determinación por medios geométricos. resulta más dificil,

1.2. Ejemplos de Aplicación.

En esta sección veremos dos ejemplos de aplicaciones concretas, El primero está

relacionado con el diseño de estructuras y el segundo. con asignación estocástica de recursos.

Otras aplicaciones interesantes pueden verse por ejemplo en [8a931.

1.2.1. Diseño Estructural: Estructuro de dos 13arras.

Consideremos una estructura plana la cual consiste de dos tubos de acero unidos en un

extremo y fijadas a dos puntos pivotes en el otro extremo,

c ) Y s13 h3 xl x-, .x (la tensión por compresión en los tubos no debe exceder la

4

d)

La distancia entre los dos pivotes esta fijada en 2s. El problema de diseño es elegir la

altura de la estructura, el espesor y el diámetro promedio de los tubos de acero de modo que la

estructura soporte una carga de 2W mientras se minimiza el peso total de la estructura.

Denotemos d diámetro promedio de los tubos, el espesor de los tubos y la altura de la

estructura por: x l, x2 y x3 , respectivamente_ Luego el peso de la estructura viene dado

( 2por: 27z -pxi s + xt2

donde p es la dens idad de i tubo de acero , Se t ienen las

siguientes restricciones:

a) x 3 5 b 1 ( l imi tac ión de espacio)

b) (limitación en el diámetro del tubo respecto de su espesor)312

tensión permitida por el materia')

,11y 2 ,x ) ( 2 2 \-x, x +x I (la altura, diámetro y espesor deben elegirse de tal [

forma que los tubos no se fatigen bajo la acción de la carga).

Resumiendo, se tiene el siguiente modelo de optimización:

x i x2 i s- -x3-

3=b l5o

x1 -th2 x2 O

w x l x 2 3

3/rAv .71(S2+x-2 )-b 2 <0"" 2'. ro,x ( -

Izo1 3 3c X2 -

A: >0 x >0 >O1 - 2 3 -

5

1.2.2. Asignación Estocástici tic Recursos.

Consideremos el siguiente problema de programación lineal:

Max 1 x

Ax < b

x> O

donde c.xeRn heRm , A=fa i ,a. y . . . . ,an I es una matriz de orden m x n. Este

problema puede interpretarse como un modelo de asignación de recursos, En efecto.

supongamos que se tienen m recursos representado por el vector h. La columna a de

A, representa la actividad j, y la variable x representa el nivel de la actividad a ser

seleccionada, j .1,...,11, La actividad i en el nivel x i consume a ix de [os recursos

disponibles; de aquí se tiene entonces el conjunto de restricciones definido por:

_ 11

Ax= < bix

=I

Si la unidad de beneficio do la actividad j es c1. entonces el beneficio total viene dado

por:

rx= Eixi

.1=1

Además el problema puede ser interpretado como encontrar la mejor forma de asignar

los recursos definidas por el vector b a las distintas actividades disponibles de modo que el

beneficio total sea maximizado.

Para algunos problemas prácticos el modelo deterministico anterior no es adecuado,

debido a que los coeficientes de la función (lineal) de beneficio: c i ,c2,...,en no son

constantes conocidas sino que son variables aleatorias. Luego, supondremos que el vector e

es un vector aleatorio con media (71 )/ y matriz de convarianza y .

Eri consecuencia la fui ci6n objetivo, denotada por z , será entonces una variable

aleatoria con media: ctx y varia.ncia xt Vx

6

Si se desea maximizar el valor esperado de z debemos resolver el siguiente problema;

M a x e x

Ax

x > O

el cual es un problema de Programación Lineal. Por otra parte, si queremos miminizar la

variancia de z , entonces debemos resolver el problema:

Min x t vx

Ax <

x > O

el cual es un problema de Programación Cuadrática.

2. MODELOS EQUIVALENTES Y EXISTENCIA DE SOLUCIONES OPTIMAS

2.1. Modelos Equivalentes.

Diremos que dos modelos de optirnización son equivalentes si la resolución de uno,

permite obtener la(s) solución(es) del otro y viceversa.

En. Optimización, es importante reconocer la equivalencia entre Modelos debido a que,

por ejemplo, un modelo original podría ser no diferenciable y, debido a que la mayoría de los

so vares existentes resuelven modelos diferenciables, estaríamos obligados a determinar un

modelo equivalente diferenciable para obtener la solución del problema original. A

continuación presentamos algunas equivalencias importantes;

7

Notación: : "equivalente a"

) ?din je (x) — Q 1) Max (x)

x E D x D

DcR n DcRn

h) P2) Min — Q2) ..31.11n „u

xG D 1(x)P

Dqien xED,uER

D Rn

c) P. 3 ) Min Y (x ) — Q3 ) 2 3 di n p

x GD 1(-10=P

xED , I 1GR

Dcir

d) P 4 ) Al-L:3P( (x), f 2(x). fri(x)

x D L . ?

R "

— Q4 ) Mi" P

M x P , 1 = 1 , . „ , n 1

x e D , p E R

DcRn

e) P5) in

x Di

D R

(:).5) Min=

f (x )5 , t i i

xeD,

D c Rla

f) P6) Mb? f (x)

X E

D c R '

Q 6 ) . i ra g( f (x))

x D

DcRn

donde g f (D)-- › R

g(t)

es una función estrictamente creciente.

2.2. Existencia de Soluciones Optimas.

Cuando se desea resolver un problema de optimización, conviene antes de intentar

resolverlo ya sea en forma directa o con 13 ayuda de algún software existente, determinar si el

problema admite o no solución óptima_ De aquí entonces surge la necesidad de estudiar

teoremas relacionado -s con la existencia de soluciones óptimas. En la mayoria de los cursos ya

sea de Cálculo en una o Varias Variables se estudia el siguiente teorema clásico de existencia

de soluciones óptimas.

Teorema 2,1 (Bolzano-Weicrstrass)

Sea el problema P) Alin (x)

x D

D'2

con f (x) continua en D, D # D cerrado y acotado.

9

Entonces el problema admite solución óptima,

Corolario 2.2

Sea el problema P) definido en el teorema anterior, Con f(x) continua en

D. D ,D cerrado.

Supongamos además que el siguiente conjunto de nivel:

D0 — — x c Di ,f(x)5. f(x°) 1- es acotado, donde x0 es algún punto factible.

Entonces el problema P) admite solución óptima

Teorema 2.3

Sea el problema 11 del teorema 2.1, ,19 cerrado,

Supongamos además que se satisface la hipótesis:

(x) ----4-

D

entonces el problema P admite solución óptima.

Ejercicio 2.4 (Existencia de soluciones óptimas para problemas euadrátieos)

Sea el problema cuadrático

P) Afín q(x)

X

donde q(x)=-- x Qx + ctx y Q matriz de orden n n , simétrica y definida positiva

entonces

El problema Q) adrrnte solución óptima.

Demostración:

D = R" es no vatio v cerrado. q(x) continua en D por ser un polinomio.

Además se satisface la hipótesis H) . En efecto:

Sea a el menor valor propio de O

Por otra parte, por la desigualdad de Cauchy-Sebwartz se tiene que:

c i x I I • x R"I, .2 2

Luego:

/i /2 xtQx+clx.)/9 C112 1x112

4 x12

• 11 X _ - - - ) G O = q(x) - > + 0

x c D

En consecuencia. el problema Q) admite solución óptima (1:mica).

Ejercicio 2.5

Sea el problema:

P) + + 2 x3

Demostrar que el problema admite solución óptima.

Ejercicio 2.6

Considere el problema;

P ) l i n m a x i V x 2 4 - y 2 , + 1

y

y k O

a) Demostrar que el problema P) admite solución óptima

b) Resolver utilizando curvas de nivel

3. CARACT1ERIZACION DE SOLUCIONES OPTIMAS

3.1 Problemas cn una variable sin restricciones

Sea el problema P) kfin f(x)

x E R

con f(x) diferenciable

Teorema 3.1

jtc punto de minirrio local de f ' = O

Demust ración : (x) = (i?) )( x — x) -t o (! — .7"c

Con him ( I ) =O

—>C fi

Por hipótesis, existe 3 r> O tal que

f(JZ),...5 f(x) Vx E 3, () (hola abierta de centra 2 y radio r > O .

Luego:

< f(x)—f() — '01)+ o (I x x—_i

Si entonces f 'cc)

12

Análogamente, x I_ entonces 1 .1()

En consecuencia se tiene: f ' O .

3.2 Problemas en una variable con restricciones

Teorema 3.2 (Condición necesaria de optirnalidad de ler. orden para problemas

restringidos)

Considere el problema P) f (x)

a<x<IP

Sea i punto de mínimo local, entonces:

O =a ,f+1 (i)?.: O

, A

i i ) C = = , f ( x ) . 0

i i i ) i i i ) a < i - < ()I) sO y f (:?)10

Nota: Si ' (i) existe, entonces f'(.;:)= O_

3.3 Problemas en varias variables sin restricciones

Considere el problema .P) r i n f(x)

X E R"

Teorema 3.3 (Condición necesaria de l er. orden)

punto de mínimo local de P) =W(Z). O

Teorema 3.4 (Condición necesaria de 20 orden)

I punto de mínimo local P) Vt(5e). O y D2. sernidefinida positiva.

13

'Teorema 3.5 (Condición suficiente de r orden)

Sea 3? tal que "7f ($1). 0 y D2f(*") definida positiva, entonces

es un punto de mínimo local estricto de P.)

Demostración:

Supongamos que x no es un punto de mínimo local estricto de P). Entonces,

3 x() xlk) tal que f(x ( k )) f( )

Además. supondiendo que f es dos veces continuamente diferenciable en un entorno de

se tiene que:

f (r) = f(i)+Vf(k)(x — 5:)-h y (x-2) f D2 ,f( x)

con 4 .x entre x y S.

Luego: (x(k) —2)' D2f(4)(x(k) —2) < 0.

Ahora considerando que la bola unitaria en dimensión finita es compacta y pasando a] limite

se encuentra un vector unitario (1 Rt' tal que d(L)21.(i) d <0, lo que resulta ser una

contradicción.

3.4 Problemas en varias variables con restricciones de igualdad

Sea el problema:

f(x)

D:h.(x).0 1=1„..p

Definición 3.6

Sea dE R" O. Se dice que d define una dirección tangente a D en . si existe

un camino cliferenciable x(•) tal que:

i) x(0)

xr(0)--=d

iii) x(1) ED O

14

Teorema 3.7 (Condición necesaria de.ter. orden para mínimo local de P))

-:c. punto de mínimo local de P) (V/ (x))/ d = O para toda disección d tangente a

L.) en ,Tc

Demostración:

Sea d una dirección tangente a D en x Entonces existe un camino diferencia.ble

x(.) tal que:

i ) x ( 0 ) = 1 .

i i ) x r ( 0 ) = 1 . 1

i i i ) x ( t ) D , f O

Sea 0(0= f(x(t)). Como x es un punto de mínimo local de P) entonces r = 0 es un

punto de mínimo local de 0(t), Luego 40'(0) =0, es decir, pf (x) • d =0<r> Vf(x)! • d = 0

Definición 3.8

Un punto factible .x:e D se dice regular si el conjunto de todas las direcciones tangentes

a D en x viene dado por:{d Rn/Vh t (x) • d O, Vf =1=.,.3p}

Lema 3.10

Sin las restricciones del problema P) son continuamente diferenciables en x y se

verifica que el conjunto {Vil .(x)V es linealmente independiente entonces 7-rE D es. J, I

regular.

Teorema 3.11 (Lagrange. Condición Necesaria de ler. orden)

Sea Je D un punto de mínimo local de P) y supongamos que x es regular. Entonces

32 RP tal que:

i5

f (x) h1 (x) = O

Demostración:

r regular T(D.,.:7c1) (1 e R n/V.h. j(7.)-V •d O= 1- • P

Por otra parte, i punto de mínimo local de P)

(x) ( d=0, VdeT(D,: .) . Luego: Vh 1 () 1 d 0 . j=l , . , , x - -=?Vf(7c) 1 +d O En

consecuencia, 3 E R. j=1,,.., p tal que

Nota: = se denomina vector de multiplicadores óptimos de Lagrange. El par (i2) se

llama punto estacionario de Lagrange para el problema P).

3.5 Problemas cuadráticos con restricciones de igualdad.

Sea el problema P) Min q(x) = xt Ox + cr x

=b

Con A de rn xn, de rango completo.

Supongamos que Q es una matriz (simétrica) definida positiva. Entonces el problema

11 tiene una única solución dada por:

. . z - Q - 1 A 1 ( A Q - l A t r 1 ( A z - b ) , c o n r . = - - ] c ,

También el vector de multiplicadores óptimos de Lagrange viene dado por:

).=(AO-IAt)-1(A7.-17)

3.6 Problemas en varias variables con restricciones de desigualdad.

Sea el problema.:

P) Mb? {x)

g

.(x) O

X E Rn

16

con .f,_g i, , funciones diferenciadles.

Definición 3.12

Sea d E R" d T O. Diremos que d define una dirección tangente a D en x si 3 un

camino x() tal que:

i ) x ( 0 ) = ; z

i i ) x0')ED Vi , f O

i i i ) x 1 ( 0 ) . d

Lema 3.13

Sea d Rn tal que =1 . Entonces: 7:1 es una dirección tangente a D en x si y

sólo si 3{x(k)}q D tal que: hm x(k) =".c x(k) 7)c Y a (x()

r(k)

Teorema 3,14 (Condición necesaria de primer orden)

x punto de mínimo local de P) Vr(-) t .d10 Vd d:rección tangente a D en xI

Teorema 3.15 (Condición suficiente de primer orden)

Sea _7:e i) y Vp".;-9/ .d > O . Vd 71(D..71;) , d O entonces x es un punto de mínimo

local estricto de P).

Definición 3.16

Se dice que xG D es un punto regular siTCD,.1) = {d R' n/ V gi (7c)I • d 0, Vi e 1(x)}

_c o n i ( x ) = í i t e } g . l k x ) = 0 conjunto de indices de las restricciones activas en x .

A

.1

L l l i a S ii

P O linealmente independiente entonces 7.9c es un puntoe 3 7 S { V g ( -V)

regular.

17

Teorema 3J8 (Karusii-Kulln-Tuckerj

Sea i D es un punto regular y supongamos que x es un punto mínimo local de

P) entonces existe un vector de multiplicadores de Karush-Kuhn-Tueker p E Rm tal que:

rea

iVf(3:7)+ i/i Vgi(x)=. O= I

ii) g 1(70=0 i =I, „ rt?

iii) O

Demostración:

x punto de mínimo local de (Por condición necesari a de optimalidad de 1 er,

orden. teorema 3,14)

, Vt E T(D,,r)

Por otra parte x es un punto regular. entonces

T(D,x) --, Id e Rn/Vgicx): • zi O, Vi E 1(x)}

Luego:

Vg i Ñt • d O Vi E /(i) Vf(:01 • ci O

Aplicando el Lema de Farkas se tiene que:

O, Vi E i(X1 tal que:

i 1(x)

Definiendo:I " • - •

Pi I(x)

pi -10 , r 1(jc)

se tiene entonces la tesis del teorema.

18

4. APLICACIONES

Uno de los principales objetivos de la Optimización consiste en poder formular y

resolver los más diversos problemas que permiten la toma de decisiones óptimas o eficientes.

Una gran cantidad de problemas reales conciernen a la toma de decisiones en sistemas cada

vez más complejos y especializados, que necesariamente requieren del uso de metodologias

adecuadas para la formulación matemática de estos problemas y, conjuntamente, de métodos y

herramientas de resolución, corno los que provee la optimización. Entre otros, principalmente

relacionados con problemas abordados por la Investigación de Operaciones, podemos

mencionar las siguientes aplicaciones problemas de planificación financiera, problemas de

logística de la producción y distribución, problemas de planificación de sistemas generación y

distribución eléctrica, problemas de telecomunicaciones y diseño de redes y problemas de

programación de horarios. En lo que sigue, se describe dos problemas relacionados con estas

áreas de aplicación. Se contempla una breve descripción del problema y la formulación

matemática del mismo.

4.1 Modelos para el problema de Dimensionamiento de Lotes.

El problema de dimensionamiento de lotes permite abordar la resolución de variados

problemas que enfrentan tanto, costos corno demandas fluctuantes en el tiempo sobre un cierto

horizonte finito de planificación, el cual ha sido dividido en un cierto número de períodos. En

procesos de manufactura estos modelos permiten tomar decisiones tanto en la planificación

agregada de la producción como en la administración de inventarios para la planificación de

requerimiento de materiales, ver por ejemplo [GT9.3]. En problemas de decisiones estratégicas

de largo plazo, permite abordar determinados problemas relacionados con la expansión de la

capacidad, ver por ejemplo [Lun].

Más específicamente, en el caso determinista, la resolución de este problema en el

ámbito de la producción tiene por objetivo proveer los niveles óptimos de producción de uno o

múltiples productos, sobre un cierto horizonte de planificación de mediano plazo, de modo

que, por una parte, minimice los costos de operación de la firma, que incluye por ejemplo los

costos variables de producción, los costos variables de mantención de inventario y diversos

costos fijos, y, por otra, permita satisfacer los requerimientos de demanda para los distintos

productos, tomando en consideración restricciones adicionales impuestas por los recursos

19

escasos correspondiente a la disponibilidad o capacidad máxima de las máquinas en los

distintos centros de trabajo del proceso de manufactura. Consideremos, a manera de ejemplo,

e! siguiente modelo para un sólo producto que enfrenta una demanda d t sobre cada uno de los

T periodos del horizonte de planificación:

Minimizar Eetx, + Estyt

s,a, x1 + 11.1 - lt =

x, I'vliy,

xtk O, lt O, yt 0,1} t=1,„,,T.

donde $x_ 1 $representa la variable de decisión asociada al nivel de producción en el periodo t,

con $c_t$ el respectivo costo unitario de producción, $I_t$ el nivel de inventario al final del

periodo t ($I_0$ el inventario inicial), con $h_t$ el costo por unidad de mantención de una

unidad en Inventario por un periodo, $y_t$ una variable binaria que permite la inclusión de

costos fijos en el modelo (como los de setup), con $s_1$ el respectivo costo fijo del periodo t y

$M$, una cierta constante grande que represente por ejemplo el máximo tamaño posible de un

lote de producción.

La formulación original del problema de dimensionamiento de lotes con demanda

determinista y fluctuante en el tiempo se debe a Wagner y Whitin [Wa581], este modelo

supone el total cumplimiento de las demandas por un determinado producto y no

contempla restricciones de capacidad. Con posterioridad, este modelo ha sido extendido por

diversos autores considerando la presencia de demanda pendiente, múltiples productos,

contemplando de manera conjunta productos finales, semi-elaborados e insumos, la inclusión

de costos fijos de setup cada vez que se inicia la produción de un producto sobre un intervalo

de períodos consecutivos, tiempos de setup o bien incluyendo decisiones de fabricación o

compra en cada período. El uso de estos modelos de producción ha resultado beneficioso para

los sistemas productivos, cada vez más complejos y competitivos, debido en gran medida a los

avances en investigación tanto en la formulación de. buenos modelos de programación entera-

mixta como al desarrollo de algoritmos cada vez más eficientes para su resolución.

Corrientemente, en cada una de las formulaciones del problema de dimensionamiento de

lotes, se asume que todos los parámetros, del modelo son conocidos con exactitud. Sin

embargo, en muchos casos este supuesto no resulta adecuado, pues incluye costos o demandas

20

futuras que sólo es posible incorporar al modelo a través de distintos escenarios o de una

distribución de probabilidades.

La Programación Estocástica, a través de los modelos con recurso, incorpora

explícitamente la incertidumbre en el modelarniento del problema mediante el uso de modelos

que toman en cuenta tanto consideraciones de factibilidad como de optimalidad de la solución

propuesta, ver Birge y Loveaux [Bi97]. En particular, la Optimización Robusta incorpora la

incertidumbre a través de un número finito de escenarios y combina el concepto de los

modelos con recurso con el uso de análisis basado por escenarios, ver Mulvey et al[ Mu95].

Suponiendo conocido un conjunto finito de escenarios para la demanda sobre todo el

horizonte de planificación, digamos IP con seg -2.--11,...,S), escenario que se da con

probabilidad p$, es posible formular un modelo que hace uso de variables de recurso y dé

factibilidad para la solución propuesta para los lotes de producción. Este modelo es tal que la

solución entregada es cercana a la solución óptima del modelo determinista para cada

escenario particular y cercana de ser una solución factible para cada escenario particular,

donde ambas nociones de cercanía son expresadas en términos de una función objetivo que

mide tanto la optimalidad de la solución propuesta respecto de cada escenario como la

factibilidad de la solución, penalizando las eventuales infactibilidades que puedan ocurrir entre

la solución propuesta y el escenario particular, según un modelo como el siguiente:

Minimizar -Es v2 P5(.EcixT EhilLs + Esieu P,(EfLzt)

s_a, xt — Its Ti seo.,

x, wiy, t=-1

I,' N , zE5 E N .

Xt k.• O, 45 O, III O, y, E {O.1 1 t--=1,...,T; SEO,

donde ahora algunas de las variables de decisión son por escenarios, corno es el caso de la

variable del nivel de inventario del producto al final del periodo $t$ bajo el escenario $s$ y

una nueva variable de decisión ${z_t}^s$ correspondiente al nivel de unidades de faltante del

producto en el periodo $t$ bajo el escenario $s$, con el respectivo costo unitario de faltante

en el periodo $t$, En este nuevo modelo, la función objetivo corresponde al costo esperado

de producción más un costo esperado de faltante, este último permite penalizar el

incumplimiento de las eventuales demandas no satisfechas mediante el uso de una variable de

recurso para el nivel de faltante. Por último, el modelo incluye un conjunto de restricciones,

escritas como ${I_t}^s \in \mathbb{N}, {z-t}^s \in \mathbb{N}$,conocidas en la literatura

como resiricciones de no-onticipatividad. Estas restricciones dan politicas de producción

implementable.s en el siguiente sentido: si dos escenarios diferentes $s$ y $s'$ son

idénticos hasta el periodo $T$, entonces para cada variable de decisión definida por

escenarios. las respectivas decisiones deben ser idénticas para cada $t$ con $1 \leq t \leq \tau$.

En nuestro modelo debe entonces cumplirse que ${I_t}^s = {I_t}^{s’}$ y ${z_t}^s = {z_t}^{s’}

$ para cada par de escenarios $s$ y $s'$ que coincidan hasta el periodo $\tau$ y con $1 \leq t \

leq \tau \leq T$.

Algunas referencias de interés en problemas del ámbito de la planificación de la

producción bajo condiciones de incertidumbre, utilizando modelos como las aquí presentados,

son los artículos de Escudero et al. [Es93], Escudero y Kamesan [Es92] y Albornoz y

Contesse [A199].

4.2. Problema de Despacho Económico de un Sistema de Generación de Potencia

Eléctrica.

Uno de los principales problemas abordados en la planificación de un sistema

interconectado de potencia eléctrica consiste en la administración eficiente de las unidades

generadoras del Sistema. La adecuada resolución de este problema permite por ejemplo la

fijación de tarifas entre las empresas generadoras y distribuidoras de un sistema, decidir la

conveniencia o no de llevar a cabo la interconexión de dos o más subsistemas de generación y

el estudio de la expansión de la capacidad del sistema, entre otros, problemas que son de

especial importancia en el caso de mercados eléctricos abiertos [Es00].

En presencia de una o más unidades de generación hidroeléctrica con capacidad de

regulación de largo plazo, el problema consiste en la correcta utilización del agua almacenada

en los embalses de dichas unidades. Matemáticamente, el problema de puede ser formulado

como un modelo de programación dinámica estocástica, ver por ejemplo Pereira y Pinto

[Pe85] y Pereira [Pe89], Corno consecuencia de la estrategia algorítmica de resolución para

esta clase de modelos, resulta la descomposición para cada etapa, en la que se ha subdividido

el horizonte de planificación, de la operación óptima del sistema. El modelo resultante en cada

etapa se conoce como Modelo de Despacho Económico, ver Wood y Wollenberg [Wo84].

Este último permite la obtención de los niveles óptimos de generación de potencia en cl corto

plazo de modo de satisfacer en todo momento los requerimientos de demanda en ese periodo,

tomando en cuenta, simultáneamente, las disponibilidades de recursos hidrológicos y las

restricciones de capacidad y disponibilidad de generación de las unidades que componen el

sistema,

Mas especitIcamente, consideramos un sistema de potencia que contempla un conjunto

de N nodos geográficos do generación y demanda, en cada uno de los cuales existe un total de

nhi centrales hidroeléctricas y ni; centrales térmicas, con ie { 1 un horizonte de

planificación de 1' etapas_ En cada etapa y ',Jara cada nodo, se supone conocida la demanda,

mediante una determinada cura de duración de carga que consta de nes intervalos (intervalos

en los cuales a su vez se ha subdividido el tiempo asociado a cada etapa), que equivale a

conocer la demanda (máxima) de potencia requerida en cada uno de dichos intervalos, En

canto, las variables de decisión del modelo de despacho económico son: PI-11 la potencia

generada por La central hidroeléctrica h del nodo i durante d intervalo j, para ie [1, ...

he {1,...,nhi} y j PTiti la potencia generada por la central térmica t del nodo i

durante el intervalo j, para i€ ( ..,N , t {1.,...,nti) y j {1,.,...,nes) y T,k ; la potencia

transmitida del nodo i al nodo k durante el intervalo j para i e {1, , k un nodo comunicado

directamente con i. j E {1,..„nesl.

Ahora bien, el sistema debe funcionar siempre de manera de generar la potencia

necesaria para satisfacer la demanda de cada etapa en cada uno de los distintos nodos, para

cada intervalo de la curva de duración de carga. Si esto no resulta posible. utilizando toda La

capacidad de generación y transmisión del sistema_ el modelo incluye una variable de decisión

PFilj correspondiente a la potencia de falla en el tramo f del nodo i del bloque j, para

i 1 f= i,2,3 y j {1,,,.,nes},, donde los tramos están asociados a una función lineal

por tramos, con costo marginal creciente ._ que toma en cuenta el nivel de profundidad de la

falla producida.

La función objetivo a minimizar del modelo de despacho económico corresponde. a la

suma de los costos totales de generación y de falla del sistema, dada por:

z = Ei cvii PI„„1-1;1.1 + Ef Ej ].

donde evi, representa el costo variable de energía para la central térmica t del nodo i,

para i E { 1.—N) y te {1,....nti}, cwif es el costo variable de energía de falla en el nodo i, en el

tramo f, para i e { 1,_,N}, f.-1,2..3 y H es el número de horas del intervalo j en el nodo i de

la curva de duración de carga, para I y jc- 11,_„,nesi