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IV Simpsio EPUSP sobre Estruturas de Concreto 1

Consolos Curtos de Concreto Armado: Melhoramento de ModelosClssicos e Novos Critrios de Anlise

Claudinei Pinheiro Machado (1); Paulo de Mattos Pimenta (2)

(1) Eng. Civil pela Escola Politcnica da USP (EPUSP), Doutor pelo Depto. de Engenharia deEstruturas e Fundaes da EPUSP, Prof. de Cursos de Atualizao do PECE (EPUSP),

Membro da Comisso de Estudos da Reviso da NBR 6118 (NB1/2000), Consultor.

email: [email protected]

(2) Eng. Civil pela Escola Politcnica da Universidade de So Paulo (EPUSP),

Doutor pela Universidade de Stuttgart e Professor Titular do Departamentode Engenharia de Estruturas e Fundaes da EPUSP.

email:[email protected]

Endereos para correspondncia:(1) Rua Min. Rafael de Barros Monteiro, 258 - CEP 05632-010 So Paulo - SP Brasil

(2) Av. Prof. Almeida Prado, trav. 2, 271 - CEP 05508-900 So Paulo - SP Brasil

Resumo

Este trabalho tem como objetivo descrever sucintamente as principais concluses depesquisas recentes realizadas sobre o comportamento estrutural frente a estados limites

ltimos de ruptura de peas de consolos curtos de concreto armado, que soapresentadas com detalhes no trabalho Consolos curtos e muito curtos de concretoarmado por MACHADO (1999, Tese de Doutorado). Os modelos de anlise propostosforam comprovados experimentalmente atravs de mais de trezentos ensaios realizadospor diversos investigadores em vrios pases, com dados e resultados disponveis naliteratura, mostrando que os novos modelos e critrios sugeridos so plenamentesatisfatrios.

Para os consolos curtos foram adotados modelos tpicos de trelias (modelos de escorase tirantes), aprimorados a partir de solues clssicas j estudadas por outrospesquisadores, como FRANZ e NIEDENHOFF (1963) e HAGBERG (1983), levando-se

tambm em conta a ao de foras horizontais. Procurou-se solucionar diversas questesno resolvidas por estes e por outros pesquisadores que os sucederam, tais como aextenso da faixa de definio dos consolos curtos, a considerao do aumento da seoda biela devido difuso das tenses sob a placa de apoio, o valor da taxa mecnica dearmadura mxima a partir da compatibilidade das deformaes ltimas e outroselementos importantes para o projeto. A formulao vlida para as resistncias usuaisde concreto entre 15 a 50 MPa, embora tenha tido um bom desempenho para resistnciasmais elevadas, necessitando alguns ajustes para os concretos de alta resistncia

Para viabilizar a aplicao prtica dos novos modelos e critrios propostos ao projetoestrutural corrente, uma proposta de normalizao com um texto conciso (incluindo

detalhamento) dever ser o objeto de um prximo trabalho, para que possa servir desubsdio Norma NBR 6118 em uma futura reviso parcial.

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1. Introduo

1.1. Consideraes preliminares

Como se sabe, os consolos curtos de concreto armado tm um comportamento estruturalespecial, diferente das vigas em balano, no atendendo particularmente hiptese damanuteno das sees planas das vigas. Assim sendo, de um modo geral, os consolos

curtos exigem ensaios prprios para o estudo do seu comportamento e o estabelecimentode regras suficientemente seguras e econmicas para o projeto.

1.2. Objetivos

Com base nas pesquisas recentes de MACHADO (1999), fundamentadas em vriosensaios e estudos de diversos investigadores, pretende-se mostrar aqui resumidamente:

a) Uma reviso dos principais conceitos, definies e do comportamento dos consoloscurtos na ruptura;

b) Indicao dos principais ensaios com resultados disponveis na literatura e compiladosna pesquisa;

c) Concluses dos estudos, formulao e novos critrios propostos a partir de modelosbiela-tirante para a anlise e o projeto de consolos curtos;d) Dar indicaes da comprovao experimental dos modelos propostos, feita a partir de

diversos resultados dos ensaios disponveis, de uma forma bastante abrangente;e) Mostrar que a pesquisa procurou criar os elementos bsicos para a elaborao de um

texto para a normalizao de Consolos Curtos em uma futura reviso ou atualizaoparcial da NBR 6118, visando a aplicao dos novos modelos e critrios prtica deprojeto (nesta norma, atualmente em fase final de reviso total - a nova NB1/2000,esto sendo introduzidos, pela primeira vez, apenas alguns conceitos essenciais paraos elementos especiais).

2. Definies, mecanismos de ruptura e modelos para a anlise

Figura 1 - Consolos curtos usuais, com cargas diretas nos planos verticais de simetria das peas.

2.1. Definies

a) Definies clssicas

- Consolo curto: consolo com a relao 1/2/1 da- Consolo muito curto o consolo com relaoa / d

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b) Novas definies propostas (MACHADO (1999), MACHADO e PIMENTA (2000)).

- Consolos curtos: 1/3/1 da

- Consolos muito curtos: 3/1/0

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Figura 2 - Mecanismos bsicos de ruptura de consolos curtos: (a) Flexo-Trao (FT); (b) Flexo-compresso (FC); (c) Fendilhamento diagonal (FD) (fendilhamento da biela ), (d) Ruptura por cisalhamento

(CI). ( segundo KRIZ e RATHS (1965) e PARK e PAULAY (1975), com adaptaes)

Figura 3 - Outros mecanismos de ruptura de consolos curtos: (a) Fendilhamento na ancoragem; (b)esmagamento localizado do concreto; (c) baixa altura na extremidade do consolo com fora horizontal.

Os elementos de barras das trelias so em geral representados por um campo uniaxialde tenses: as escoras - barras comprimidas de concreto (bielas quando inclinadas,banzos quando longitudinais ou transversais) e os tirantes grupos de barras tracionadasde ao da armadura (barras de cada grupo em uma ou mais camadas). Os elementos dens da trelia so em geral representados por um estado multiaxial de tenses (maiscomumente biaxial ou triaxial, dependendo do nmero de barras que chegam no n).

De uma forma geral, dada uma pea estrutural de concreto armado, existiro vriosmodelos de trelia possveis representando campos de tenses estaticamente emequilbrio e plasticamente admissveis, sendo cada soluo garantida pelo Teorema doLimite Inferior (ou Teorema Esttico) da Teoria da Plasticidade (Anlise Limite). Oteorema exige material de ductilidade infinita para a sua aplicao. Com rigor, isto no

possvel no concreto armado, mas procura-se um adequado detalhamento da pea demodo que esta atinja a maior ductilidade possvel. Uma demonstrao rigorosa doteorema para o caso geral de um slido foi desenvolvida por PIMENTA (1992, 1998)

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Teoricamente, o melhor modelo entre vrios possveis, seria aquele que tornasse mximaa carga suportada pela estrutura da trelia ao equilibrar o carregamento e que tambmconduzisse a uma fissurao aceitvel em servio. Entretanto, a soluo com o apoio noTeorema Esttico no garante a verificao da fissurao e das deformaes em servio.Por isso que se procura normalmente seguir de perto a soluo elstica, a qual permite

melhores condies de controle da fissurao. Para o projeto na ruptura, controlam-se astenses nos ns, nas escoras e nos tirantes, alm da fissurao, esta por meio do uso deuma quantidade mnima de armadura de costura, adequadamente distribuda na pea.

Muitos pesquisadores, nas ltimas dcadas, trabalharam com modelos de escoras etirantes. Entre os mais recentes, que apresentaram formulaes e critrios para vrioselementos estruturais, esto COOK e MITCHELL (1988), SCHLAICH e SCHFER (1989)e SHEHATA e NAGATO (1991).

2.3.2. Modelos de atrito-cisalhamento

No modelo de atrito-cisalhamento (shear-friction) ocorre ruptura por cisalhamento (CI)

na interface consolo-pilar, muito comum em consolos muito curtos, mas pouco freqenteem consolos curtos (MACHADO (1999), MACHADO e PIMENTA (2000)). Entre ospesquisadores que estudaram o modelo esto MAST (1968), MATTOCK et al. (1975,1976), MATTOCK (1976) e WALRAVEN et al. (1987).

2.3.3. Outros modelos

a) Modelos baseados na Teoria da Plasticidade (Anlise Limite)

Estes modelos utilizam como base os Teoremas Esttico e Cinemtico da Teoria daPlasticidade (CHEN (1975, 1982) , PIMENTA (1998)). Alguns trabalhos importantes soos de HUBER (1988, 1996), SHEHATA, BERNARDO e LEITE (1991), NAEGELI (1997) eSAAFI e TOUTANJI (1998).

b) Modelos baseados no Mtodo dos Elementos Finitos: linear e no linear

Alguns trabalhos importantes de Elementos Finitos aplicados a consolos curtos e a peasespeciais de concreto armado so os de MIER (1981), KREJCI e MANG (1986),MARZARS (1986), COOK (1987), COOK e MITCHELL (1988) e PRASAD et al. (1993).

c) Formulaes empricas

Um exemplo clssico, que j serviu de base durante vrios anos para as recomendaesde consolos curtos da norma americana ACI 318, a formulao emprica de KRIZ eRATHS (1965), a qual no apresenta um modelo fsico resistente, mas apenas umconjunto de expresses matemticas ajustadas numericamente a partir de 200 ensaios de

consolos curtos e muito curtos, fazendo a previso das cargas de ruptura.3. Principais ensaios compilados e normas importantes de projeto

3.1. Principais ensaios realizados e compilados, disponveis na literatura:

a) Franz e Niedenhoff (1963);b) Kriz e Raths (1965);c) Mehmel e Becker (1965) e Mehmel e Freitag (1967);d) Robinson e Hung (1968, 1975) e Robinson e Atallah (1968, 1975);e) Mautoni (1972, EPUSP);f) Hermansen e J. Cowan (1974);

g) Mattock:- Ensaios preliminares: Mattock, Johal e Chow (1975), Mattock, Li e Wang (1976a)- Ensaios finais: Mattock, Chen e Soongswang (1976b) e Mattock (1976c);

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h) Yong, McCloskey e Nawy (1985) e Yong e Balaguru (1994);i) Chakrabarti e Farahani (1986) e Chakrabarti, Farahani e Kashou (1989);j) Cabrera et al. (1986);k) Cook (1987);l) Naegeli (1988, PUC/RJ), (1997, COPPE/UFRJ);m) Fattuchi (1987, 1990-a,b, 1994-a,b) e Hugues (1989-a,b,c);

n) Zeller (1991);p) Selim, Foster e Gowripalan (1993) e Foster, Powel e Selim (1996);q) Reis e Torres (1996);r) Torres (1998)

3.2. Principais normas com recomendaes para o projeto de consolos

As principais normas estruturais que trazem recomendaes sobre consolos so a NBR-9062 (1985), o CEB-FIP (1990), a BAEL 91 (1992), a EH-91 (1991), o EUROCODE 2(1992) e o ACI 318 (1995).

4. Modelo proposto para a anlise de consolos curtos (1/3 a / d1)

4.1. Consideraes preliminaresOs modelos de escoras e tirantes aqui propostos partiram inicialmente de estudos bsicosclssicos de outros pesquisadores, particularmente da trelia simples de FRANZ eNIEDENHOFF (1963) e da dupla-trelia de HAHBERG (1983). Foram aprimorados osmodelos clssicos, fazendo-se a sua reviso, estabelecendo novos critrios tais comonovos limites de tenses nas bielas, considerao da compatibilidade de deformaesltimas, redefinies geomtricas de elementos resistentes do modelo tais como oaumento da seo da biela devida difuso das tenses sob a placa de apoio, estudo dovalor da taxa mecnica de armadura mxima e de outros elementos importantes.

Embora os resultados tericos comparados com os dos ensaios tenham sido muito bonspara uma faixa bem ampla de consolos (relaes a/d com valores entre 0,11 e 1,02),adota-se aqui esta soluo apenas para os consolos curtos (1/3 a/d1) por admitir-seque para os consolos muito curtos (a/d < 1/3) deva ser assumido um modelo compatvelcom a ruptura por cisalhamento na interface consolo-pilar, conforme mostram os ensaios.

4.2. Hipteses bsicas (consolo curto: 1/ 3 a / d 1)a) As deformaes elsticas dos materiais so desprezveis quando comparadas com as

deformaes plsticas. Devero ser considerados dois estados limites ltimos: oestado limite ltimo de escoamento de armadura (Figura 4) e o estado limite ltimo de

ruptura do concreto por compresso na flexo (Figura 5). Para cargas diretas a tensona biela inclinada, junto ao n inferior, dever respeitar condio de segurana:*

cdcd f =0,85 cdck ff )250/1( [MPa], assim como a tenso vertical sob a placa deapoio dever atender limitao: cdckcd ff )250/1(6,0 [MPa] ( ckf em MPa);

b) No projeto, os consolos curtos devero ser verificados ou dimensionados para asaes de clculo, de modo que a ruptura possa ocorrer pelo tirante e no peloconcreto, devendo-se guardar certo afastamento da configurao balanceada, (inciodo escoamento do ao e ruptura do concreto com a tenso *cdf da alnea a)) e da

configurao limite da biela (ruptura do concreto, conforme a Figura 5);

c) Para a definio da geometria da biela na verificao do estado limite de ruptura doconcreto compresso na flexo - FC (configurao limite da biela), poder seradotada a abertura de carga sob a placa de apoio conforme as Figuras 6 e 7;

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d) A altura do consolo na extremidade dever ser 2/dhex , a ancoragem da armaduraprincipal dever ser adequada e a carga no poder ser posicionada alm dacurvatura desta armadura (para evitar a ruptura mostrada na Figura 3a);

e) A armadura de costura 2sA ser computada somente na faixa superior 1)3/2( d , se

0=dH . Adotar 02 =sA quando 0dH , mesmo que 02 sA , pois ser sempre

recomendvel a colocao de uma costura para ductilizar a ruptura;f) Para o projeto dos consolos curtos com costura (recomendados), os valores de clculo

das aes devero ser multiplicados por um coeficiente global de ajuste da segurana3,1=n , independentemente das propores das cargas permanente e acidental, para

se levar em conta certas flutuaes nos valores e posicionamento das cargas e ocomportamento especial desta pea (por exemplo, pequenas tores nos consolos,no previstas nos modelos, que reduzem a resistncia). Em casos excepcionais deconsolos com altura no superior a 300 mm, ser alternativamente permitida adispensa da armadura de costura desde que se adote 6,1=n . Permite-se a adoodos valores 2,1

=n ou 5,1

=n , respectivamente nos dois casos anteriores, para

peas pr-fabricadas em usina.

4.3. Verificao (clculo da capacidade resistente)

4.3.1. Consolos curtos com carga vertical

4.3.1.1. Consolos com armadura de costura horizontal (estribos)

a) Capacidade do consolo no estado limite ltimo de escoamento da armadura

A partir das equaes de equilbrio, materiais e geometria:

021)(2**

*

**

2 =++sd

cd

sd

cd

Rfbdtg

da

Rfbdtg (1)

onde,**

2211

**

*

cd

dysdys

cd

sd

fbd

fAfA

fbd

R +== (2)

Soluo: 12

*

2

*

*

*

*

+

+==

dadatgtg y )(

*

y = (3)

ou, ])2([5,0 **2*2 ++= daaat )5,01(*** = dz tg

ta

z*= (4)

**11 5,0 ddz = , **22 5,0 ddz = (5)

)2([5,0

5,0tg

*2*2

**

11

++

=

daa

dd (6)

t

dys

t

dysyRda

zfA

a

zfAV 222

111 += (7)

Forma adimensional: com*

11

1

cd

dys

tirbdf

fA=== e

*

cd

yRd

yRdbdf

V= (8)

)2()/(/

)5,01(2

2

++

=

dada

yRd e*

cdyRdyRd bdfV = (9)

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Figura 4 - Consolos curtos com carga vertical, geometria e condies de equilbrio na determinao dacapacidade do consolo no estado limite ltimo de escoamento da armadura: (a) armadura de costura

horizontal; (b) armadura de costura inclinada. (a condio ideal que no projeto, , lim*

lim = xx ,

com valores limites e limlim x , com taxa de armadura lim conforme definio no item 4.4.3.1.3.(diagrama de foras com base em HAGBERG (1983), com adaptaes).

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b) Capacidade do consolo no estado limite ltimo de ruptura do concreto compresso na

flexo

asa

caa

dtg

++=

5,0

*

lim, casc ax lim,lim, sen = sas tgd '= (10)

asaas

aa += 2 2/1'/)2/(tg = dcaaas

l (11)

22*

2**

lim,

2*

lim,

2*

,lim,

)5,0()2(

sen)2(sen

asa

cdasa

ccdasaccdasRdc

aad

dfab

fabfbaV

++++=

+== (12)

4.3.1.2. Consolos com armadura de costura inclinada (estribos)

sen22,, dyshoryRdincyRd fAVV += (13)

4.3.2 Consolos curtos com cargas vertical e horizontal (simultneas)a) Capacidade no estado limite ltimo de escoamento da armadura

tg tg = = + + yk

k k k d 1

22

1 12

2 1[ ( ) ( ) ] tg'2e'tg 121 adkadk +== (14)

ou,])2([tg

])2([.

2

1'

2

2

112

2

2

11

+++

+++=

dkkkk

dkkkdaat , onde htgaa +=' e atdhh += , (15)

])2()([1

5,0

22

11

2

+++

=dkkk

ktg

ddz e ento, taz/tg = (16)

22

** '2cotgtg

tg'2

za

zadazbf

adbfV

t

tcdcdyRd +

=

+

=

ou

2

*

1

)/'(1.2

tg

tgdatgbdfV cdyRd +

= (17)

tgdyRd VH = ou, sob forma adimensional, (18)

tgVHbdfV

tg

tgdatg yRdyRdcdVyRdV dd ==+

=

1

)/'(12 *

2 (18)

b) Capacidade no estado limite ltimo de ruptura do concreto compresso na flexo

asha

cdhaa

d

+++=

tg)(5,0tg lim, , )tgtg(' = sash d , ash2tg2 += aaash taa , (19)

1tg5,0'/)2/(tg += dcaa as l e ento, cashc ax lim,lim, sen= (20)

cashaacdcRd tabfV lim,2*

lim,, )sen2tg2( += ou, (21)

22

2*

lim,,

)tg'5,0(

)2tg2(

asha

ashaacdcRd

daad

tadbfV

++++

+=

e tglim,,lim,, cRdcRd VH = (22)

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Figura 5 - Determinao da capacidade do consolo no estado limite ltimo de ruptura do concreto compresso (representao esquemtica da biela, suposta de seo constante): (a) Consolo com cargavertical; (b) Consolo com cargas vertical e horizontal (nesta configurao, aqui tambm denominada de

configurao limite da biela, que fica definida a maior altura possvel da biela ( ccxx lim,lim, , ), apartir dos critrios indicados nas Figuras 6 e 7)

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Figura 6 - Detalhe da regio de aplicao do carregamento, com a indicao dos elementos do critrioproposto para a determinao da capacidade resistente do consolo no estado limite ltimo de ruptura do

concreto compresso na flexo. (Caso com carga vertical, em que o valor calculado de stg no supera

1/2, o mximo permitido).

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Figura 7 - Critrio proposto para a considerao do espalhamento da carga sob a placa de apoio na ruptura

pelo concreto - caso tpico com fora horizontal no muito elevada (o valor calculado de stg pela primeira

parte da expresso, supera o mximo permitido: ,12/1tg + tgs para 0dH ).

4.4. Deformaes ltimas e taxas limites da armadura

A compatibilidade das deformaes ltimas nos consolos curtos vem sendo poucoestudada, embora seja muito importante, como na determinao da taxa balanceada

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geomtrica ou mecnica de armadura do consolo e, consequentemente, no valor da taxalimite geomtrica ou mecnica de armadura, que poder ser levada em conta no clculo,de modo que a ruptura seja pelo ao. Os ensaios disponveis com medidas dasdeformaes do ao e do concreto, e tambm das rotaes dos consolos nos instantesque antecedem a ruptura, so pouqussimos, devido s dificuldades de mediesprecisas. A soluo terica aqui apresentada para calcular a taxa mecnica balanceada

de armadura suficientemente rigorosa, dentro do modelo proposto, mas baseada naequao de compatibilidade de deformaes aproximada proposta (25), que foicomprovada com os poucos ensaios disponveis, apresentando boa mdia, masvariabilidade no pequena. Por isso justifica-se o uso da expresso direta (30), ajustada apartir da soluo rigorosa numrica e com preciso aceitvel na prtica.

4.4.1. Compatibilidade de deformaes (ilustraes na Figura 8)

cs tg =** (equao de compatibilidade de deformaes) (23)

4.4.2. Limites das deformaes

Concreto: 0002=cu

; Ao: 00010=su

; (24)

cuu tg = )4(2 (rotao ltima, aprox. proposta, adaptada de BURKE (1980)) (25)

com u em310 radianos ( 000 ) e )/()( 2121 bdAA ss +=+= (em %) (26)

4.4.3. Taxas limites de armadura

4.4.3.1. Taxa mecnica de armadura limite ( lim )

4.4.3.1.1. Taxa mecnica de armadura balanceada ( bal )

A taxa mecnica de armadura balanceada definida a partir da configurao balanceada:

o ao em incio de escoamento, com deformao ydsd = ( ydsd f= ) e o concreto comtenso *cdcd f= no n inferior da trelia, tambm em plastificao.a) Consolos com apenas carga vertical

Para deformaes em nmeros puros )( bal = :

02)/(/

5,04,1

15,11004

10422**

1

1

*

3 =++

cdyd

yk

ck

dada

d

d

f

f

(27)

A equao (27) foi resolvida numericamente 768 vezes para gerar uma tabela para H=0.

b) Consolos com cargas vertical e horizontal

0)2(

4,1

15,11004102

2

2

2

113 =

++

cuyd

yk

ckkkk

f

f

(28)

11

1 tg1d

a

d

hk

=

++= tgtg2

11

2d

h

d

ak (29)

A equao (28) foi resolvida 768 x 7 = 5.376 vezes, gerando 7 tabelas (MACHADO(1999)), sendo a Tabela 3 do Anexo uma delas, aqui reproduzida.

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Figura 8 - Compatibilidade das deformaes em consolos curtos para a fixao de critrio que relaciona osvalores ltimos das deformaes e rotaes no modelo proposto (deformaes representadas em escala

aumentada; partes (c) e (d) adaptadas de BURKE (1980)).

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c) Expresses aproximadas propostas para bal , ajustadas pelas solues de (27) e (28)

1,3/1, )13(5,0)1(5,1 bbbal dada += (expresso geral) (30)

I) Para 0=dH : qck

l

ck

balf

pda

f

kda )1/3(5,0)/1(5,1 += (31)

II) Para 0/ dd VH : nck

ddl

ck

ddbf

mVHf

kVH )/()/1(3/1, += (32)

s

ck

ddq

ck

ddbf

rVH

f

pVH )/()/1(1, += (33)

III) Para 0/ dd VH : nck

ddl

ck

ddbf

mVH

f

kVH )/()/1(3/1, += (34)

s

ck

ddq

ck

ddbf

rVH

f

pVH )/()/1(1, += (35)

Tabela 1 - Valores dos coeficientes usados na expresso geral aproximada (30) obtida para 1,bal( 1/;15,0/ 1

*

1 == dddh e 0>dH quando tende a tracionar a interface consolo-pilar).

4.4.3.1.2. Taxa mecnica de armadura na configurao limite da biela ( clim, )

a) Consolos com apenas carga vertical

A taxa mecnica de armadura clim, deduzida a partir da equao de equilbrio:

clim,

lim,,

lim,,tg

cd

ydcs

VfA = (36)

22*lim, )5,0(

5,0

asa

asaasc

aad

aaa

+++++

= **

lim,,

lim,

cd

ydcs

cfbd

fA= (37)

b) Consolos com cargas vertical e horizontal

2

3

2

3lim,

)(

tg)2tg2(

kd

kdta ashaac +

++=

, onde: tg'5,03 daak a ++= (38)

4.4.3.1.3. Taxa mecnica de armadura limite

cbal lim,lim = (39)

lim realmente define a mxima quantidade de armadura que pode ser considerada emescoamento e respeita o limite geomtrico mximo da altura da biela ( cbal xx lim, ).

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4.4.3.2. Taxa mecnica mxima de armadura ( max )

1)(limmax

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f

f

b b

b b

f

f

cd

ap

cd

ctd

cd

td x=

2

1

2 1

2

2 1

( )

( ) ,ou (51)

onde, dentro do parntesis, usado o primeiro termo quando a fora Ftd x, resistida peloconcreto, e o segundo, quando resistida por armadura, onde fcd

ap a resistncia de clculo

s presses em rea reduzida que provoca o fendilhamento da biela em forma degarrafa.

b) Caso em que a altura do bloco inferior sua maior largura ( 2bhblo < )

221

'

0 ),/1(. bhbbNkkF blodtd

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Figura 9 - Modelo simplificado para a avaliao dos esforos de fendilhamento da biela, de resultante tF2

(representa-se apenas o caso bsico onde dism xx 22 , podendo ocorrer dism xx 22 > , conforme a inclinaoda face inferior do consolo e o ngulo

bg da biela em forma de garrafa (caso bsico, 0=dH )

5. Comparao com ensaios

A comprovao experimental dos modelos, com os critrios adotados e a formulaoestabelecida, foi feita por MACHADO (1999) a partir dos ensaios listados no item 3.1, deonde foram compilados mais de seiscentos corpos de prova. Entretanto, nem todospossuam dados completos para as verificaes e alguns apresentavam fortes indcios deproblemas (defeitos), sendo, no final, utilizados pouco mais de trezentos ensaios nascomprovaes, Todos os dados e resultados numricos de interesse para a pesquisaforam apresentados por MACHADO (1999) e mostram que as cargas de rupturasprevistas pelos modelos so plenamente satisfatrias quando comparadas com osresultados reais dos ensaios de diversos investigadores. Sobre as quantidades deensaios compilados e usados indica-se o resumo a seguir:

662 ensaios compilados (cobrem o perodo de quase quatro dcadas: 1961-1988. 333 no usados: dados incompletos, dados ou detalhamento fora do escopo do

trabalho (armadura com fibras de ao, de plstico, protendida, etc.) 329 ensaios com dados suficientes, 25 descartados com suspeita ou indcios de

defeitos ou de rupturas prematuras no analisadas nos modelos propostos nestetrabalho.

304 ensaios usados nas comprovaes experimentais dos modelos propostos, com oscorpos de prova de concretos com resistncias caractersticas de 14,5 a 105 MPa.

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6. Cargas indiretas e detalhamento

Todo o estudo apresentado foi para cargas diretas, tipo de carregamento usado na quasetotalidade dos ensaios. Para a considerao de carregamentos indiretos sugere-se oemprego das recomendaes adicionais de LEONHARDT (1978-a,b), da B.A.E.L. 91(1991) e da NBR 9062 (1985). Para o detalhamento e disposies construtivas sugere-seo uso das recomendaes de LEONHARDT (1978-b), da NBR 9062 (1985) e deMACHADO (1999).

7. Exemplo

Determinar a capacidade resistente do consolo de concreto armado com os dados daFigura 10, assumindo que a carga horizontal seja aproximadamente igual 30% da cargavertical, e que a pea ser moldada no local.

Figura 10 - Dados do Exemplo

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Soluo do exemplo, usando os novos modelos e critrios propostos

a) Tipo de consolo

== 1/3/15,0720/360/ dada consolo curto: a soluo ser desenvolvida aplicando o

modelo de trelia e os novos critrios propostos.Por tratar-se de consolo com 0dH a armadura de costura existente no ser considerada no modelo detrelia, mas como uma armadura para prevenir ruptura prematura por fendilhamento da biela (FD),cisalhamento na interface consolo-pilar (CI) e ductilizar a ruptura.

b) Mxima quantidade de armadura que pode ser considerada em escoamento

)(75,075,0 lim,1,limmax cbal == 1,bal - taxa mecnica balanceada da armadura principal

A determinao de1,bal feita diretamente muito trabalhosa e envolve a soluo de equaes

numericamente, a equao (27) para consolos com 0=dH e a equao (28) para consolos com 0dH .Conforme mostrado no item 4.4.3.1.1., foram elaboradas tabelas com as solues e, como alternativa, apartir destas, uma equao geral ajustada (30), com coeficientes dados na Tabela 1.

Clculo por tabelas . Variveis:

60,0:3TabelaPela

MPa20e50A-CAAo15,0152,0720/110/

mm11030720800(dado)30,0/;5,0/

1,

1

====

=+=+===

bal

ck

add

fdh

tdhhVHda

Clculo pela expresso ajustada: 1,3/1, )1/3(5,0)/1(5,1 bbbal dada +=

1,3/1, )1/3(5,0)/1(5,1 bbbal dada +=

Os coeficientes 1,3/1, e bb so dados pelas expresses seguintes, vlidas para 0dH :

58,0362,0)15,03(5,0647,0)5,01(5,1

3618,020

15,43,0

20

11,3)3,01(

15,4)/(

11,3)/1(

6470,020

07,93,0

20

86,5)3,01(

07,9)/(

86,5)/1(

1,

81,072,081,072,01,

85,075,085,075,03/1,

=+=

=+=+=

=+=+=

bal

ck

dd

ck

ddb

c

dd

c

ddb

fVH

fVH

fVH

fVH

Notar que este valor aproximado obtido pela equao ajustada 4,0% inferior ao valor tabelado, tido comoexato dentro do modelo proposto (erro no ajuste, do lado da segurana).

Valor adotado para os clculos seguintes: 60,01, =bal

.

clim, - taxa mecnica de armadura na configurao limite da biela (estado limite de ruptura do concreto por

compresso na flexo)

Usando a Tabela 4:

336,0720/2421/a

mm24230230,030220022

mm30)3,0675,0(80)(

675,018,03,02/1675,080/)30162/200360560(

12/1/)2/(

ash

'

'

==

=+=+====

==+

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Pela Tabela 4, para 201,0:3,0/ lim,1 == cash da / Pela Tabela 4, para 269,0:4,0/ lim,1 == cash da

Interpolao para :336,0/ 1 =daash 223,0)30,0336,0(3,04,0

201,0261,0201,0lim, =

+=c

- Clculo pela expresso, transformada para adimensionais, usada na construo das tabelas (uma outraopo seria usar as expresses (38)):

17,0226,075,075,0226,0

elado)valor tab(valor226,0)713,0(1

713,03,0336,0

713,0336,05,03,015,05,05,0

)(38)departiraobtida(expresso)(1

limmaxlimlim,1,lim

2lim,

5

2

5

5

lim,

=====

=+

+=

=++=+

+=

++

=

cbal

c

ash

ash

c

d

atg

d

h

d

ak

k

ktg

d

a

c) Capacidade do consolo no estado limite ltimo de escoamento da armadura

Taxa mecnica de armadura existente do tirante:

)(existente192,04,1/20)250/201(85,0720450

)15,1/500(1600

mm16002008

*

1

2

1

=

==

==

cd

yds

s

bdf

fA

A

Como 17,0192,0 max =>= , somente poder ser utilizada no clculo da capacidade resistente estevalor mximo.

tgdakdatgkdtgtdhada a )/'(2e/';/])([/ 121' +==++=

[ ] [MPa])250/1(85,0)2()(1

*12211

2

cdckcdy fffkkkk

tgtg =++==

tgVHbdfV

tg

tgdatg yRdyRdcdVyRdV dd ==+

=

1

)/'(12 *

2

[ ]

kN8,189kN5,6323,0kN5,632

17,117204501748,01748,0)4865,1(1

4865,15458,014865,12

4865,1)17,02(4975,0)2458,0(2458,0

4975,0

1tgtg

MPa17,114,1/20)250/201(85,0

4975,030,05458,0217,02458,05458,03,0

5458,0720/]30,0)30720800(360[/

2

2

y

*

21

'

===

==+

=

=+==

==

====

=++=

yRdyRd

yRdV

cd

HV

V

f

kk

da

d

d) Capacidade do consolo no estado limite de ruptura do concreto compresso na flexo.

MPa17,114,1/20)250/201(85,0* ==cdf

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)seguranadaajustedeglobalcoef.o(semkN5,632kN8,805

)303,0802005,0360()720(

3023,030220017,11720450

)5,0(

22

n

22

2

2'2

*2

,lim,

=>=++++

+=

+++++

=

yRd

asha

ashaacdRdc

V

tgdaad

tgtafbdV

e) Capacidade resistente do consolo:

recomendvel que a capacidade resistente respeite tambm o limite superior proposto da resistncia aocisalhamento para consolos com costura (MACHADO (1999), MACHADO e PIMENTA (2000)):

kN9,145kN;5,486:consolodo

)(semkN632,5kN8,805

kN7,1000720450)4,1/20()250/201)(3,02,01(25,0

4,1

20)250/1)(/2,01(25,0

n

,lim,

1

==

=>=

>==

RdRd

yRd

Rdc

ckddRd

HVCapacidade

V

V

bdfVHV

(usado 3,1=n , conforme recomendado no item 4.2.f, pois a pea ser moldada no local)

8. Concluses

Para a anlise dos consolos curtos em estados limites ltimos, partiu-se inicialmente dedois modelos bsicos clssicos que usam trelias: Franz/Niedenhoff (trelia simples) eHagberg (duas trelias simples se interagindo verticalmente) e por meio doaprimoramento desses modelos foi desenvolvida uma formulao que controla dois tiposprincipais de ruptura, ambos flexo, por meio da verificao direta de apenas doisestados limites: estado limite de escoamento da armadura principal do consolo (ruptura

tipo FT) e estado limite de ruptura do concreto por compresso na flexo (FC). Outrostipos de rupturas secundrias, como por exemplo, fendilhamento diagonal (FD) e rupturade extremidade (EX) so controlados indiretamente por meio de uma adequada armaduramnima de costura e disposies construtivas recomendadas. A determinao aproximadada carga de ruptura por fendilhamento diagonal (FD) (fendilhamento da biela) foi feitaconsiderando a biela em forma de dupla garrafa e usando o modelo clssico de blocoparcialmente carregado, estendido aos blocos parcialmente carregados de alturareduzida em relao largura mediante uso de uma expresso simplificada de ajuste .

A partir do estudo de compatibilidade de deformaes ltimas, de poucos ensaiosdisponveis, e de algumas hipteses simplificadoras, mas justificveis, determinou-se a

taxa mecnica de armadura mxima recomendada, de modo que o consolo rompa peloao. Esta era uma questo para a qual at ento no havia uma soluo satisfatria,prpria para os consolos curtos. As solues existentes, geralmente adaptadas das vigas,no refletem o comportamento especial dos consolos curtos, uma vez que para estes novale a hiptese da linearidade das deformaes, das vigas de concreto armado. A soluogeral apresentada, resumida no item 4.4.3.1.1., rigorosa, mas parte da equaoaproximada proposta (23), comprovada por poucos ensaios disponveis, que em geralapresentam dificuldades nas medidas das deformaes. No futuro, quando uma maiorquantidade de ensaios com medidas das deformaes nas proximidades da ruptura ficardisponvel, ser possvel melhorar a comprovao experimental da equao (23), oureajust-la e prosseguir aplicando a mesma soluo geral sugerida (MACHADO (1999)),

recalculando numericamente as equaes (27) e (28). Os valores numricos obtidos etabeladas para a taxa mecnica de armadura balanceada, assim como as expresses

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aproximadas ajustadas a partir desses resultados, podero ser teis para as aplicaesprticas e servir de orientao para futuras normalizaes, uma vez que as normasatualmente existentes que limitam a taxa de armadura mxima em consolos curtos ofazem usando grosseiras aproximaes, recomendando apenas um nmero (taxamxima), sendo que este nmero depende de algumas variveis, conforme mostradoneste trabalho.

Com base experimental, os consolos curtos foram redefinidos em relao ao que atualmente feito pelas principais normas e estudos desses elementos, aqui estendidospara uma faixa mais ampla: em vez da clssica recomendao, 0,1/5,0 da , a proposta

0,1/3/1 da , embora o modelo de trelia com os critrios propostos tenha secomportado muito bem para o conjunto de todos os ensaios disponveis analisados, semrestries da relao (corpos de prova de diversos pesquisadores com 02,1/11,0 da ).

Acredita-se que os objetivos desse trabalho foram atingidos, uma vez que foi feita umaexposio sucinta, mas com uma apresentao abrangente dos principais conceitos e

formulao dos novos modelos e critrios desenvolvidos na extensa pesquisa realizadana EPUSP (MACHADO (1999)), criando condies para que em um prximo trabalho,seja elaborada uma proposta prtica de normalizao uma futura reviso parcial daNBR 6118, atualmente em final de processo reviso geral, a NB1/2000.

Agradecimento

Os autores agradecem a colaborao do Eng. e Prof. Ricardo Azeredo Passos Candelria naelaborao das tabelas.

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Anexo (tabelas)

Tabela 2 - Valores dos adimensionais atz e para o clculo da capacidade de consolos curtos no estado

limite ltimo de escoamento da armadura, com cargas vertical e horizontal.

cdckcd fff )250/1(85,0* = [MPa], )( *1111 cddys fbdfA= e

*

1 ddd == .

0,3

a/d 0,30 0,33 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 h/d

0,05 0,15 0,986 0,985 0,985 0,985 0,984 0,983 0,983 0,983 0,982 0,982 0,982 0,981 0,981 0,981 0,981 0,980

0,381 0,413 0,429 0,477 0,525 0,573 0,622 0,670 0,719 0,768 0,817 0,866 0,915 0,964 1,014 1,0630,30 0,985 0,985 0,985 0,984 0,984 0,983 0,983 0,982 0,982 0,982 0,981 0,981 0,981 0,981 0,980 0,980

0,424 0,456 0,472 0,520 0,568 0,617 0,666 0,714 0,763 0,812 0,861 0,910 0,960 1,009 1,058 1,1070,06 0,15 0,983 0,982 0,982 0,981 0,981 0,980 0,980 0,979 0,979 0,978 0,978 0,978 0,977 0,977 0,977 0,976

0,388 0,419 0,435 0,483 0,531 0,579 0,627 0,675 0,724 0,773 0,821 0,870 0,919 0,968 1,017 1,0670,30 0,982 0,982 0,981 0,981 0,980 0,980 0,979 0,979 0,978 0,978 0,978 0,977 0,977 0,977 0,976 0,976

0,431 0,462 0,478 0,526 0,574 0,622 0,670 0,719 0,768 0,816 0,865 0,914 0,963 1,012 1,062 1,1110,08 0,15 0,977 0,976 0,976 0,975 0,974 0,973 0,973 0,972 0,971 0,971 0,970 0,970 0,970 0,969 0,969 0,969

0,401 0,432 0,448 0,495 0,542 0,589 0,637 0,685 0,733 0,781 0,830 0,878 0,927 0,976 1,024 1,0730,30 0,976 0,975 0,975 0,974 0,973 0,973 0,972 0,971 0,971 0,970 0,970 0,970 0,969 0,969 0,969 0,968

0,443 0,474 0,490 0,537 0,584 0,632 0,680 0,728 0,776 0,825 0,873 0,922 0,971 1,020 1,069 1,1180,10 0,15 0,971 0,970 0,969 0,968 0,967 0,966 0,965 0,965 0,964 0,963 0,963 0,962 0,962 0,961 0,961 0,961

0,414 0,444 0,460 0,506 0,552 0,599 0,647 0,694 0,742 0,790 0,838 0,886 0,934 0,983 1,031 1,0800,30 0,969 0,969 0,968 0,967 0,966 0,966 0,965 0,964 0,963 0,963 0,962 0,962 0,961 0,961 0,961 0,960

0,455 0,485 0,501 0,548 0,595 0,642 0,689 0,737 0,785 0,833 0,881 0,929 0,978 1,027 1,075 1,1240,15 0,15 0,954 0,953 0,953 0,951 0,950 0,949 0,947 0,946 0,945 0,944 0,944 0,943 0,942 0,942 0,941 0,940

0,443 0,472 0,487 0,532 0,578 0,623 0,670 0,716 0,763 0,810 0,857 0,905 0,952 1,000 1,048 1,0960,30 0,953 0,952 0,951 0,950 0,949 0,947 0,946 0,945 0,945 0,944 0,943 0,942 0,942 0,941 0,940 0,940

0,483 0,512 0,528 0,573 0,619 0,665 0,711 0,758 0,805 0,852 0,900 0,947 0,995 1,043 1,091 1,1400,20 0,15 0,937 0,936 0,935 0,933 0,932 0,930 0,929 0,927 0,926 0,925 0,924 0,923 0,922 0,921 0,921 0,920

0,470 0,498 0,513 0,557 0,601 0,646 0,691 0,736 0,782 0,829 0,875 0,922 0,969 1,016 1,064 1,1110,30 0,936 0,934 0,934 0,932 0,930 0,929 0,928 0,926 0,925 0,924 0,923 0,922 0,921 0,921 0,920 0,919

0,509 0,537 0,552 0,596 0,641 0,686 0,732 0,778 0,824 0,871 0,917 0,964 1,012 1,059 1,107 1,1540,25 0,15 0,920 0,918 0,917 0,915 0,913 0,911 0,910 0,908 0,907 0,905 0,904 0,903 0,902 0,901 0,900 0,899

0,494 0,522 0,536 0,579 0,622 0,666 0,711 0,755 0,801 0,846 0,892 0,938 0,985 1,032 1,078 1,1260,30 0,918 0,916 0,915 0,913 0,912 0,910 0,908 0,907 0,906 0,904 0,903 0,902 0,901 0,900 0,899 0,898

0,532 0,560 0,575 0,618 0,662 0,706 0,751 0,796 0,842 0,888 0,934 0,980 1,027 1,074 1,121 1,1680,30 0,15 0,902 0,900 0,899 0,896 0,894 0,892 0,890 0,888 0,887 0,885 0,884 0,883 0,881 0,880 0,879 0,878

0,517 0,544 0,558 0,600 0,642 0,685 0,729 0,773 0,818 0,863 0,908 0,954 1,000 1,046 1,092 1,1390,30 0,899 0,897 0,897 0,894 0,892 0,890 0,889 0,887 0,885 0,884 0,883 0,881 0,880 0,879 0,878 0,877

0,554 0,581 0,596 0,638 0,681 0,725 0,769 0,813 0,858 0,903 0,949 0,995 1,041 1,088 1,134 1,1810,35 0,15 0,883 0,881 0,880 0,877 0,875 0,872 0,870 0,868 0,867 0,865 0,863 0,862 0,861 0,859 0,858 0,857

0,538 0,564 0,578 0,619 0,661 0,703 0,746 0,790 0,834 0,878 0,923 0,968 1,013 1,059 1,105 1,1510,30 0,880 0,878 0,877 0,875 0,873 0,871 0,869 0,867 0,865 0,864 0,862 0,861 0,859 0,858 0,857 0,856

0,574 0,601 0,615 0,657 0,699 0,742 0,785 0,829 0,874 0,918 0,963 1,009 1,055 1,101 1,147 1,1930,40 0,15 0,864 0,861 0,860 0,858 0,855 0,852 0,850 0,848 0,846 0,844 0,842 0,841 0,839 0,838 0,837 0,835

0,557 0,583 0,596 0,637 0,678 0,720 0,762 0,805 0,849 0,892 0,937 0,981 1,026 1,072 1,117 1,1630,30 0,861 0,859 0,858 0,855 0,853 0,850 0,848 0,846 0,844 0,843 0,841 0,840 0,838 0,837 0,836 0,834

0,592 0,619 0,633 0,674 0,716 0,758 0,801 0,844 0,888 0,932 0,977 1,022 1,067 1,113 1,159 1,2050,50 0,15 0,824 0,821 0,820 0,817 0,814 0,811 0,809 0,806 0,804 0,802 0,800 0,798 0,796 0,795 0,793 0,792

0,591 0,616 0,629 0,669 0,709 0,749 0,791 0,833 0,875 0,918 0,961 1,005 1,050 1,094 1,139 1,1840,30 0,821 0,818 0,817 0,814 0,812 0,809 0,807 0,804 0,802 0,800 0,798 0,797 0,795 0,793 0,792 0,791

0,625 0,651 0,665 0,705 0,745 0,787 0,828 0,871 0,914 0,957 1,001 1,045 1,090 1,135 1,180 1,2250,60 0,15 0,782 0,780 0,779 0,775 0,772 0,769 0,766 0,763 0,761 0,758 0,756 0,754 0,752 0,750 0,749 0,7470,620 0,644 0,657 0,696 0,735 0,774 0,815 0,856 0,898 0,940 0,983 1,026 1,069 1,113 1,158 1,202

0,30 0,779 0,777 0,776 0,772 0,769 0,766 0,764 0,761 0,759 0,756 0,754 0,752 0,751 0,749 0,747 0,7460,653 0,679 0,692 0,731 0,770 0,811 0,852 0,894 0,936 0,978 1,021 1,065 1,109 1,153 1,198 1,243

0,70 0,15 0,740 0,737 0,736 0,732 0,728 0,725 0,722 0,719 0,716 0,714 0,712 0,709 0,707 0,705 0,703 0,7020,644 0,668 0,681 0,718 0,756 0,796 0,835 0,876 0,917 0,958 1,000 1,043 1,086 1,129 1,173 1,217

0,30 0,736 0,734 0,732 0,729 0,725 0,722 0,719 0,717 0,714 0,712 0,710 0,707 0,705 0,704 0,702 0,7000,677 0,702 0,714 0,753 0,792 0,831 0,872 0,912 0,954 0,996 1,038 1,081 1,125 1,168 1,213 1,257

0,80 0,15 0,696 0,693 0,691 0,687 0,684 0,680 0,677 0,674 0,671 0,668 0,666 0,663 0,661 0,659 0,657 0,6550,664 0,688 0,700 0,737 0,774 0,813 0,852 0,891 0,932 0,973 1,014 1,056 1,099 1,142 1,185 1,229

0,30 0,692 0,689 0,688 0,684 0,681 0,677 0,674 0,671 0,669 0,666 0,664 0,661 0,659 0,657 0,655 0,6540,696 0,720 0,733 0,770 0,809 0,848 0,887 0,928 0,969 1,010 1,052 1,095 1,137 1,181 1,224 1,268

0,85 0,15 0,673 0,670 0,669 0,665 0,661 0,657 0,654 0,651 0,648 0,645 0,643 0,640 0,638 0,636 0,634 0,6320,672 0,696 0,708 0,744 0,782 0,820 0,859 0,898 0,938 0,979 1,020 1,062 1,104 1,147 1,190 1,234

0,30 0,669 0,667 0,665 0,661 0,658 0,654 0,651 0,648 0,645 0,643 0,640 0,638 0,636 0,634 0,632 0,630

0,704 0,728 0,741 0,778 0,816 0,855 0,894 0,934 0,975 1,016 1,058 1,100 1,143 1,186 1,229 1,273Valores tabelados: z (superior) e at (inferior). Adota-se =1=tire d*=d1=d, mesmo se As20.

at = atdz = zdtg = z/ath = d'+taHd/Vd =

8/22/2019 00234 Espr 2000

27/28


Tabela 3 Valores da taxa mecnica balanceada de armadura do tirante 1,bal de consolos curtos com

cargas vertical e horizontal segundo o modelo proposto

0,30

a/d 1

h/d 0,15 0,30 0,15 0,30 0,15 0,30 0,15 0,30 0,15 0,30 0,15 0,30 0,15 0,30 0,15 0,30A O

CA -25 0,57 0,55 0,55 0,54 0,52 0,51 0,49 0,48 0,47 0,46 0,44 0,43 0,41 0,40 0,39 0,37

50A 0,80 0,78 0,77 0,74 0,71 0,68 0,65 0,63 0,60 0,58 0,55 0,52 0,49 0,47 0,44 0,42

50B 0,60 0,57 0,56 0,53 0,49 0,46 0,43 0,40 0,36 0,33 0,30 0,27 0,23 0,20 0,17 0,14

60 0,62 0,59 0,57 0,54 0,50 0,46 0,42 0,39 0,35 0,31 0,27 0,24 0,20 0,17 0,13 0,10

25 0,44 0,44 0,43 0,42 0,41 0,40 0,39 0,38 0,37 0,36 0,35 0,34 0,33 0,32 0,31 0,30

50A 0,67 0,65 0,64 0,62 0,60 0,58 0,55 0,53 0,51 0,49 0,46 0,44 0,42 0,40 0,37 0,35

50B 0,51 0,49 0,48 0,45 0,42 0,40 0,37 0,34 0,31 0,28 0,25 0,23 0,20 0,17 0,14 0,12

60 0,54 0,51 0,50 0,47 0,43 0,40 0,37 0,34 0,30 0,27 0,24 0,21 0,18 0,15 0,11 0,09

25 0,37 0,36 0,36 0,35 0,34 0,33 0,32 0,32 0,31 0,30 0,29 0,28 0,27 0,26 0,25 0,25

50A 0,57 0,56 0,55 0,53 0,51 0,49 0,47 0,46 0,44 0,42 0,40 0,38 0,36 0,34 0,32 0,30

50B 0,45 0,43 0,42 0,39 0,37 0,35 0,32 0,30 0,27 0,25 0,22 0,20 0,17 0,15 0,13 0,11

60 0,48 0,45 0,44 0,41 0,38 0,36 0,33 0,30 0,27 0,24 0,21 0,19 0,16 0,13 0,10 0,08

25 0,31 0,31 0,30 0,30 0,29 0,28 0,27 0,27 0,26 0,25 0,25 0,24 0,23 0,23 0,22 0,21

50A 0,50 0,49 0,48 0,47 0,45 0,43 0,41 0,40 0,38 0,37 0,35 0,33 0,32 0,30 0,28 0,27

50B 0,40 0,38 0,37 0,35 0,33 0,31 0,28 0,26 0,24 0,22 0,20 0,18 0,15 0,14 0,11 0,0960 0,43 0,40 0,39 0,37 0,34 0,32 0,29 0,27 0,24 0,22 0,19 0,17 0,14 0,12 0,09 0,07

25 0,27 0,27 0,26 0,26 0,25 0,25 0,24 0,23 0,23 0,22 0,21 0,21 0,20 0,20 0,19 0,18

50A 0,44 0,43 0,43 0,41 0,40 0,38 0,37 0,36 0,34 0,33 0,31 0,30 0,28 0,27 0,25 0,24

50B 0,36 0,34 0,33 0,31 0,29 0,28 0,25 0,24 0,22 0,20 0,18 0,16 0,14 0,12 0,10 0,08

60 0,38 0,36 0,35 0,33 0,31 0,29 0,26 0,24 0,22 0,20 0,17 0,15 0,13 0,11 0,08 0,06

25 0,24 0,23 0,23 0,23 0,22 0,22 0,21 0,21 0,20 0,20 0,19 0,19 0,18 0,17 0,17 0,16

50A 0,40 0,39 0,38 0,37 0,36 0,35 0,33 0,32 0,31 0,29 0,28 0,27 0,25 0,24 0,23 0,22

50B 0,32 0,31 0,30 0,28 0,27 0,25 0,23 0,22 0,20 0,18 0,16 0,15 0,13 0,11 0,09 0,08

60 0,35 0,33 0,32 0,31 0,28 0,26 0,24 0,22 0,20 0,18 0,16 0,14 0,12 0,10 0,08 0,06

25 0,21 0,21 0,21 0,20 0,20 0,20 0,19 0,19 0,18 0,18 0,17 0,17 0,16 0,16 0,15 0,15

50A 0,36 0,35 0,35 0,34 0,32 0,31 0,30 0,29 0,28 0,27 0,25 0,24 0,23 0,22 0,21 0,20

50B 0,29 0,28 0,27 0,26 0,24 0,23 0,21 0,20 0,18 0,17 0,15 0,13 0,12 0,10 0,08 0,07

60 0,32 0,31 0,30 0,28 0,26 0,24 0,22 0,21 0,18 0,17 0,15 0,13 0,11 0,09 0,07 0,05

25 0,19 0,19 0,19 0,19 0,18 0,18 0,17 0,17 0,16 0,16 0,15 0,15 0,15 0,14 0,14 0,13

50A 0,33 0,32 0,32 0,31 0,30 0,29 0,28 0,27 0,25 0,24 0,23 0,22 0,21 0,20 0,19 0,18

50B 0,27 0,26 0,25 0,24 0,22 0,21 0,19 0,18 0,17 0,15 0,14 0,12 0,11 0,09 0,08 0,07

60 0,30 0,28 0,28 0,26 0,24 0,23 0,21 0,19 0,17 0,15 0,14 0,12 0,10 0,08 0,07 0,05

25 0,18 0,17 0,17 0,17 0,17 0,16 0,16 0,15 0,15 0,15 0,14 0,14 0,13 0,13 0,13 0,12

50A 0,31 0,30 0,29 0,28 0,27 0,27 0,25 0,25 0,23 0,23 0,22 0,21 0,20 0,19 0,18 0,17

50B 0,25 0,24 0,23 0,22 0,21 0,20 0,18 0,17 0,15 0,14 0,13 0,11 0,10 0,09 0,07 0,06

60 0,28 0,26 0,26 0,24 0,22 0,21 0,19 0,18 0,16 0,14 0,13 0,11 0,09 0,08 0,06 0,05

25 0,16 0,16 0,16 0,16 0,15 0,15 0,14 0,14 0,14 0,13 0,13 0,13 0,12 0,12 0,12 0,11

50A 0,28 0,28 0,27 0,26 0,25 0,25 0,24 0,23 0,22 0,21 0,20 0,19 0,18 0,17 0,16 0,15

50B 0,23 0,22 0,22 0,21 0,19 0,18 0,17 0,16 0,14 0,13 0,12 0,11 0,09 0,08 0,07 0,06

60 0,26 0,25 0,24 0,23 0,21 0,20 0,18 0,17 0,15 0,14 0,12 0,10 0,09 0,07 0,06 0,04

25 0,14 0,14 0,14 0,13 0,13 0,13 0,13 0,12 0,12 0,12 0,11 0,11 0,11 0,10 0,10 0,10

50A 0,25 0,24 0,24 0,23 0,22 0,22 0,21 0,20 0,19 0,18 0,17 0,17 0,16 0,15 0,14 0,14

50B 0,21 0,20 0,19 0,18 0,17 0,16 0,15 0,14 0,13 0,12 0,10 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05

60 0,23 0,22 0,21 0,20 0,19 0,17 0,16 0,15 0,13 0,12 0,10 0,09 0,08 0,07 0,05 0,04

25 0,12 0,12 0,12 0,12 0,12 0,11 0,11 0,11 0,10 0,10 0,10 0,10 0,09 0,09 0,09 0,09

50A 0,22 0,21 0,21 0,20 0,20 0,19 0,18 0,18 0,17 0,16 0,16 0,15 0,14 0,13 0,13 0,12

50B 0,18 0,18 0,17 0,16 0,15 0,14 0,13 0,12 0,11 0,10 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04

60 0,21 0,20 0,19 0,18 0,17 0,16 0,14 0,13 0,12 0,11 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05 0,03

(1)

(2)

(3)

(4)

(5) Os valores de bal para fck= 55 a 80 MPa (concretos do Grupo II da NBR 8953 (1992)) foram includos para permitir a anlise e o estudo de

consolos de concreto de alta resistncia, material que atualmente vem sendo bastante estudado.

Adota-se d = d1 quando H d 0, assumindo-se A s2 = 0 no modelo de trelia, mesmo quando A s2 0 na armadura existente. A armadura de

costura As2 ser sempre obrigatria para ductilizar a ruptura e evitar rupturas prematuras tipos FD e CI.

Os valores tabelados da taxa mecnica balanceada de armadura bal do tirante (A s2) foram determinados na configurao deformadabalanceada ( s1 = y1 d e c = cu = 2% o) a partir da soluo numrica da equao (28).

A taxa mecnica de armadura limite dada porlim = bal lim,c, sendo lim,c a taxa mecnica na configurao limite da biela, dada pelaexpresso (38) ou por tabelas do tipo da Tabela 4 (MACHADO (1999)).

A nomenclatura dos aos, Classes A e B, foi eliminada da norma NBR 7480 (1996). Na ausncia de nova nomenclatura ainda se usa aqui a

nomenclatura tradicional, porm com o significado mais geral para a Classe A em que o ao poder ter ou no patamar de escoamento, sendo

as barras obtidas por laminao a quente, sem posterior deformao a frio (CA-25 e CA-50A). As barras e fios de ao Classe B permanecem

com o significado tradicional, sendo obtidas por deformao a frio (CA-50B e CA-60).

70

80

15

1/3 0,40 0,50 1,00fck

[MPa]

45

50

55

60

40

20

25

30

35

0,60 0,70 0,80

Valores tabelados: bal,1 = As1.fy1d/(bd1fcd) (v. notas)Hd/Vd =

0,90

8/22/2019 00234 Espr 2000

28/28

Tabela 4 - Valores calculados da taxa mecnica de armadura na configurao limite da biela, clim, , e de

1,004,0,1lim, e,* ctg em funo das relaes 111 /e/,/,/ dhdadaVH ashdd para consolos curtoscom cargas vertical e horizontal

0, 3

a/d =

h/d 0,15 0,30 0,15 0,30 0,15 0,30 0,15 0,30 0,15 0,30 0,15 0,30 0,15 0,30 0,15 0,30

aash /d1 =

0,062 0,063 0,064 0,065 0,066 0,067 0,067 0,067 0,067 0,067 0,066 0,066 0,065 0,064 0,063 0,063

2,335 2,113 2,020 1,852 1,681 1,563 1,439 1,351 1,258 1,190 1,117 1,064 1,005 0,962 0,913 0,877

15,73 14,02 13,31 12,02 10,72 9,82 8,88 8,21 7,51 7,00 6,45 6,05 5,61 5,29 4,93 4,66

14,32 12,71 12,04 10,84 9,62 8,79 7,92 7,32 6,68 6,22 5,72 5,36 4,97 4,68 4,35 4,12

0,127 0,129 0,130 0,132 0,133 0,134 0,134 0,134 0,134 0,133 0,132 0,130 0,129 0,127 0,125 0,123

2,091 1,911 1,835 1,695 1,550 1,449 1,342 1,266 1,183 1,124 1,058 1,010 0,957 0,917 0,873 0,840

12,98 11,66 11,11 10,09 9,04 8,32 7,55 7,01 6,43 6,01 5,55 5,22 4,85 4,57 4,27 4,04

10,37 9,23 8,75 7,88 7,00 6,40 5,77 5,34 4,87 4,54 4,18 3,92 3,63 3,42 3,19 3,02

0,194 0,197 0,198 0,200 0,201 0,202 0,201 0,201 0,199 0,197 0,195 0,193 0,190 0,188 0,185 0,182

1,893 1,744 1,681 1,563 1,439 1,351 1,258 1,190 1,117 1,064 1,005 0,962 0,913 0,877 0,837 0,806

10,73 9,69 9,26 8,45 7,61 7,02 6,40 5,96 5,48 5,13 4,75 4,47 4,16 3,93 3,68 3,49

7,10 6,30 5,97 5,36 4,75 4,34 3,90 3,60 3,28 3,06 2,82 2,64 2,45 2,31 2,16 2,04

0,263 0,266 0,267 0,268 0,269 0,268 0,267 0,266 0,263 0,261 0,257 0,254 0,250 0,247 0,242 0,239

1,729 1,604 1,550 1,449 1,342 1,266 1,183 1,124 1,058 1,010 0,957 0,917 0,873 0,840 0,803 0,7758,84 8,03 7,68 7,04 6,37 5,89 5,39 5,03 4,64 4,35 4,04 3,81 3,55 3,36 3,15 2,99

4,35 3,82 3,60 3,21 2,81 2,54 2,27 2,09 1,89 1,76 1,61 1,51 1,40 1,32 1,23 1,16

0,333 0,335 0,335 0,336 0,335 0,334 0,332 0,329 0,325 0,322 0,317 0,313 0,308 0,303 0,298 0,293

1,592 1,485 1,439 1,351 1,258 1,190 1,117 1,064 1,005 0,962 0,913 0,877 0,837 0,806 0,772 0,746

7,25 6,61 6,34 5,83 5,29 4,91 4,50 4,21 3,89 3,66 3,40 3,21 3,00 2,84 2,67 2,53

2,03 1,71 1,58 1,35 1,13 0,99 0,85 0,76 0,67 0,61 0,55 0,51 0,46 0,43 0,40 0,37

0,402 0,403 0,403 0,403 0,401 0,398 0,395 0,391 0,386 0,381 0,375 0,370 0,364 0,358 0,351 0,346

1,474 1,382 1,342 1,266 1,183 1,124 1,058 1,010 0,957 0,917 0,873 0,840 0,803 0,775 0,743 0,719

5,90 5,40 5,18 4,78 4,35 4,05 3,72 3,49 3,23 3,04 2,83 2,68 2,51 2,38 2,23 2,12

0,06 -0,10 -0,15 -0,25 -0,32 -0,37 -0,39 -0,41 -0,41 -0,41 -0,40 -0,39 -0,37 -0,36 -0,34 -0,33

0,470 0,468 0,464 0,461 0,456 0,451 0,444 0,438 0,431 0,425 0,417 0,411 0,403 0,396

1,258 1,190 1,117 1,064 1,005 0,962 0,913 0,877 0,837 0,806 0,772 0,746 0,717 0,694

4,18 3,86 3,53 3,29 3,03 2,84 2,64 2,49 2,32 2,20 2,06 1,96 1,84 1,75

-1,64 -1,63 -1,59 -1,54 -1,48 -1,43 -1,36 -1,30 -1,23 -1,18 -1,11 -1,06 -1,01 -0,97

0,534 0,531 0,526 0,521 0,514 0,508 0,500 0,493 0,485 0,477 0,468 0,461 0,452 0,4451,183 1,124 1,058 1,010 0,957 0,917 0,873 0,840 0,803 0,775 0,743 0,719 0,692 0,671

3,31 3,07 2,81 2,62 2,42 2,28 2,12 2,00 1,87 1,77 1,66 1,58 1,48 1,41

-2,92 -2,82 -2,68 -2,57 -2,43 -2,32 -2,19 -2,09 -1,97 -1,88 -1,77 -1,69 -1,60 -1,53

0,586 0,579 0,571 0,564 0,554 0,546 0,536 0,528 0,518 0,510 0,499 0,491

1,005 0,962 0,913 0,877 0,837 0,806 0,772 0,746 0,717 0,694 0,669 0,649

2,17 2,03 1,88 1,77 1,65 1,56 1,46 1,38 1,30 1,23 1,16 1,10

-3,63 -3,46 -3,26 -3,10 -2,92 -2,78 -2,62 -2,50 -2,36 -2,26 -2,14 -2,04

0,643 0,635 0,625 0,617 0,606 0,597 0,586 0,576 0,565 0,556 0,545 0,536

0,957 0,917 0,873 0,840 0,803 0,775 0,743 0,719 0,692 0,671 0,647 0,629

1,61 1,51 1,40 1,32 1,23 1,16 1,09 1,03 0,97 0,92 0,86 0,82

-4,45 -4,23 -3,98 -3,79 -3,57 -3,40 -3,20 -3,06 -2,89 -2,76 -2,61 -2,50

0,677 0,668 0,655 0,645 0,633 0,623 0,610 0,600 0,588 0,578

0,837 0,806 0,772 0,746 0,717 0,694 0,669 0,649 0,627 0,610

0,97 0,91 0,85 0,81 0,75 0,71 0,67 0,63 0,59 0,56

-4,62 -4,39 -4,14 -3,94 -3,72 -3,55 -3,36 -3,21 -3,04 -2,920,703 0,692 0,678 0,667 0,654 0,643 0,630 0,619

0,743 0,719 0,692 0,671 0,647 0,629 0,608 0,592

0,51 0,49 0,45 0,43 0,40 0,37 0,35 0,33

-4,64 -4,42 -4,17 -3,99 -3,77 -3,61 -3,43 -3,29

0,748 0,736 0,721 0,709 0,695 0,684 0,670 0,658

0,717 0,694 0,669 0,649 0,627 0,610 0,590 0,575

0,21 0,20 0,18 0,17 0,15 0,14 0,12 0,11

-5,07 -4,84 -4,58 -4,37 -4,14 -3,97 -3,77 -3,62

Notas (1) d=d*=d 1, mesmo com As20; (assume-se As 2=0 para Hd0); =d+t a.(2)

(3) aas h=aa-2t.tg +2ash,ash=d'(tg s -tg s) e tg s so dados por (19) e (20), onde tg = H d/ Vd.

(4) Se (aash/d*)/(a/d*)>2, este par de variveis fisicamente no existe.

(5) D efo rm aes s em % o. Configuraes possveis de ruptura: yd s1su=10%o (yd para cada ao).

As deformaes s1,0,04 e s1,0,1 na armadura principal foram calculadas na configurao limite da biela pela expresso(25), com taxa =1= ir a partir de lim,c para a relao entre as resistncias fck/ fyk=0,04 e 0,1, respectivamente.

1/3 0,4 0,5 0,8 0,9 1,00, 6

Hd/Vd = (de cima para baixo) (v. notas)

0,7

lim,c , tg* lim,c , s1,0,04 , s1,0,1

0,10

0,20

0,30

0,40

1,30

0,90

1,00

1,10

1,20

0,50

0,60

0,70

0,80

00234 Espr 2000

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