001-012 G1 Grundlagen

Gymnasium Oberaargau Mathematik Jörg Isler

G1 Grundlagen 001 Begriffe zur Mengenlehre

Die Mengenlehre geht zurück auf den Deutschen Mathematiker Georg Cantor (1845–1918):

Eine Menge ist „eine Zusammenfassung von bestimmten wohl unterschiedenen Objekten der Anschauung oder des Denkens, zu einem Ganzen“. Diese Objekte werden Elemente der Menge genannt.

Darstellungsarten einer Menge:

• Beschreiben: Die Menge aller Autos in der Schweiz

• Aufzählen: },,b, Leere Menge: {} oder Ø 4{A αΔ=

• Bedingung: }02x3xNx{A 2 =+−∈=

Hinweise:

• Die Reihenfolge der Elemente in einer Menge spielt bei der Aufzählung keine Rolle.

• Jedes Element kommt nur einmal vor. Das Wort MATHEMATIK hat also die Buchstabenmen-ge {M,A,T,H,E,I,K}.

• Die obige, etwas naive Definition der Menge kann zu Widersprüchen führen. Die entdeckte der russische Mathematiker Russel im Jahre 1901. Es gibt zahlreiche populäre Formulierun-gen der sog. Russellschen Antinomie. Bekannt ist der Barbier, der alle Männer im Ort rasiert, nur die nicht, die sich selbst rasieren. Ist nun der Barbier in der Menge dieser Männer ent-halten oder nicht? (Barbier-Paradoxon)

002 Operationen mit Mengen Die nachfolgenden Symbole und Operationen muss man kennen und beherrschen:

Bezeichnung Symbol "Venn-Diagramm" Beispiel/Bemerkung

Element N = Menge der natürlichen Zahlen N2∈

N∉π π

Teilmenge A ist genau dann Teilmenge von B wenn alle Elemente von A auch Elemente von B sind.

BA ⊂ BC ⊄

Durchschnitt }BxAxx{BA ∈∧∈=∩ }3{}4,3{}3,2,1{ =∩

Vereinigung }BxAxx{BA ∈∨∈=∪ }4,3,2,1{}4,3{}3,2,1{ =∪

Differenzmenge A\B }BxAxx{ ∉∧∈= \ }3,2,1{ }2,1{}4,3{ =

Ein häufiger Spezialfall der Differenzmenge ist die Komplementärmenge A zu einer Menge A (immer bezüglich einer Grundmenge G):

GA = \ A

N1

23…

A B

A

B C

G

AA


003 Logische Symbole Im folgenden bezeichnen A und B zwei Aussagen. Eine logische Aussage kann wahr oder falsch sein.

Symbol Erklärung

BA ⇒ Implikation, „Aus A folgt B“ Wenn A wahr ist, dann ist auch B wahr

BA ⇔ Aequivalenz, A und B sind gleichwertig (Wenn das eine wahr ist, so auch das andere)

B¬ Negation, „nicht B“. Verneinung, Gegenteil von Aussage B BA ¬⇒ Wenn A wahr ist, so ist B falsch

BA ⇒ Wenn A wahr ist, so folgt daraus nicht, dass auch B wahr sein muss. (B kann wahr sein, muss aber nicht)

BA ∧ Konjunktion, „A und B“. Beide Aussagen sind wahr, beide Bedingungen treffen zu

BA ∨ Disjunktion, „A oder B“. Mindestens eine der zwei Aussagen ist wahr (Beide dürfen wahr sein!!)

∃ Abkürzung für „Es existiert...“ ∀ Abkürzung für „Für alle...“

004 Aufbau der Zahlenmengen N, Z, Q, R, (C): Wichtigste Eigenschaften

N Z

Q R

C

1 -2

-31

0

-1

483

17

3 2

22/131

-2/7

1/3

e

π

2+3i

i

1,246

- Die Null ist gehört nicht zu N - Primzahlen: Natürliche Zahlen, die nur durch 1 ohne Rest teilbar sind. 2,3,5,7,… - N0 Positive ganze Zahlen zusammen mit

der Null - Dezimalbruch abbrechend od. periodisch: ¾ = 0.75 1/11= 0.090909…

- Q liegt dicht auf der Zahlengeraden, d.h. zwischen zwei rationalen Zahlen liegen stets noch unendliche viele weitere solche.

π20

- Obwohl Q dicht auf der Zahlengaraden liegt, gibt es noch unendlich viele Lücken. - Dezimalbruch nicht abbrechend, nicht periodisch.


007 Elementare Rechenregeln Die folgenden Rechenregeln für reelle Zahlen müssen bekannt sein:

Addition Multiplikation Addition Multiplikation

Neutrales Element: Null: a+0 = a Eins: a·1 = a Neutrales Element: Null: a+0 = a Eins: a·1 = a

Inverse Elemente: -a: a+(-a) = 0 1/a : a·(1/a) = 1 Inverse Elemente: -a: a+(-a) = 0 1/a : a·(1/a) = 1

Kommutativgesetz: a+b = b+a a·b = b·a Kommutativgesetz: a+b = b+a a·b = b·a

Assoziativgesetz: (a+b)+c = a+(b+c) (a·b) ·c = a·(b·c) Assoziativgesetz: (a+b)+c = a+(b+c) (a·b) ·c = a·(b·c)

Distributivgesetz: a·(b+c) = a·b + a·c Distributivgesetz: a·(b+c) = a·b + a·c

Weitere Informationen zu den Reellen Zahlen: Weitere Informationen zu den Reellen Zahlen:

Irrationale Zahlen können durch Intervallschachtelungd fi i t dIrrationale Zahlen können durch Intervallschachtelung definiert werden:

Taschenrechner, wie wir sie im Unterricht verwenden, rechnen mit abbrechenden Dezimalbrüchen (entspre-chend der eingestellten Ge-nauigkeit). Irrationale Zahlen werden somit stets durch Rationale Zahlen angenähert, was zu Rundungsfehler führen kann.


005 Indirekter Beweis: Irrationalität von 2

Die häufigste Beweisart ist der "Direkte Beweis". Wir zeigen, dass das was behauptet wird, richtig ist. (Beispiel: Beweis der Satzes von Pythagoras). Gelingt und so ein Beweis nicht, so können wir auch versuchen zu zeigen, dass das Gegenteil der Behauptung falsch ist. So einen Beweis nennt man "Indirekten Beweis". Man beginnt in diesem Fall mit einer Gegenannahme und zeigt, dass dies zu einem Widerspruch führt. Behauptung: 2 ist irrational

Gegenbehauptung: Annahme, 2 sei rational.

Also können wir 2 als (gekürzten) Bruch darstellen:

nm

2 = , wobei m und n natürliche Zahlen sind.

Es lässt sich leicht zeigen, dass unter dieser Annahme das Quadrat von 2 niemals eine ganze Zahl sein kann. Dies ist ein Widerspruch zur Definition der Wurzel von 2. Also ist die Gegenbehauptung falsch und somit die Behauptung bewiesen!

006 Mächtigkeit von Mengen Unter der Mächtigkeit einer Menge versteht man die Anzahl der Elemente, die in der Menge enthal-ten sind. Diese Zahl nennt man auch die Kardinalzahl |A| der Menge A. Bei endlichen Mengen ist die Situation sehr einfach, z.B. ist die Mächtigkeit der Menge A={a,b,7,Q} also |A| = 4. Zwei Mengen sind von gleicher Mächtigkeit, wenn es eine Abbildung gibt, welche die Elemente der einen Menge eineindeutig auf die Menge der anderen abbildet. Solche Abbildungen heissen bijektive Abbildungen. Auch hier ist die Sache bei endlichen Mengen sehr einfach: A = { a , b , 7 , Q } B = { ☺ , , , } Das gleiche Prinzip kann man sich nun auch zu Nutze machen, wenn zwei Mengen unendlich viele Elemente besitzen, wie etwa die Zahlenmengen aus Kapitel 004. Dabei treten erstaunliche Ergeb-nisse zu Tage:

• N besitzt abzählbar unendlich viele Elemente (Die Nummer entspricht der Zahl selbst!)

• Obwohl Z doppelt so viele Elemente wie N besitzt, sind es dennoch nur gleich viele, denn man kann Sie immer noch abzählen: N = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , … }

Z = { , , , , , , , , … }

• Obwohl zwischen zwei ganzen Zahlen stets unendlich viele rationale Zahlen liegen, kann man zeigen (Übung!), dass auch Q nur abzählbar unendlich viele Elemente besitzt! |N| = |Z| = |Q|

• Die reellen Zahlen R hingegen sind nicht mehr abzählbar, man sagt, es seien überabzählbar viele Elemente.

Da bei dieser Abbildung jedes Element jeder Menge ge-nau einmal auftritt (umkehrbar eindeutige Zuordnung), ist offensichtlich, dass beide Mengen gleich viele Elemente besitzen.


G1 (Teil 2) Relationen und Funktionen

008 Das Karthesische Produkt zweier Mengen

Definition: Das Karthesische Produkt AxB zweier Mengen A und B besteht aus der Menge aller geordneten Paare (x,y) mit Ax ∈ und By ∈ Beispiele: 1) A = {1,2,3} AxB = B = {1, 2}

Übersichtlicher kann von AxB im Karthesischen Koordinatensystem dargestellt werden. Abmachung: x-Achse Menge A, y-Achse Menge B.

Die Paare (x,y) des karthesischen Produktes AxB sind die Koordinaten aller möglichen Punkte, die mit den gegebenen Mengen A und B möglich sind

2

1

1 2 3

2) Besonders wichtig: ZxZ (alle Punkte der Ebene mit ganzzahligen Koordinaten)

RxR (sämtliche Punkte in der Ebene) Abkürzung: R2 3) A = Menge aller Mädchen der Klasse B = Menge aller Knaben der Klasse

AxB = Menge aller Päärchen Mädchen-Knabe, die sich bilden können. 009 Definition der Relation

Eine Relation von A nach B gibt an, welche Elemente einer Menge A zu welchen Objekten einer Menge B in einer gewissen Weise "in Beziehung" stehen. Beispiel 1) (siehe oben) x soll zu y in Relation stehen, falls x>y ist. Offensichtlich ist die Lösungsmenge dieser Ungleichung eine Teilmenge aller möglichen Paare, welche im Karthesischen Produkt aufgelistet werden! Dies führt zu folgender Definition: Definition: Eine Relation von A nach B ist eine Teilmenge des Karthesischen Produktes AxB

In den meisten Fällen wird

• die Grundmenge RxR = R2 sein.

• die Relationsvorschrift durch eine Ungleichung oder Gleichung ausgedrückt werden.

Beispiel 4: Grundmenge R2. x stehe in Relation zu y falls

a) 2xy − b) 1xy 2 −= c) ≥ x1y < d) 4yx 22 =+


010 Links- und rechtseindeutige Relationen

In folgenden stellen wir die Paare einer Relation nicht als Punkte im Koordinatensystem dar, sondern veranschaulichen die zueinander gehörenden Elemente durch Pfeile von A nach B. Das Beispiel 1 aus Abschnitt 009 sieht so aus:

A B

1 1 2 3 2 Definition: Eine Relation von A nach B nennt man

• rechtseindeutig, falls es zu jedem Ax ∈ höchstens ein y B∈ gibt. • linkseindeutig, falls es zu jedem y B∈ höchstens ein Ax ∈ gibt.

Beispiel 5: a) b) c) d)

rechtseindeutig rechtseindeutig rechtseindeutig rechtseindeutig linkseindeutig linkseindeutig linkseindeutig linkseindeutig

Beispiel 6: Jedem Kind wird seine Mutter zugeordnet rechtseindeutig linkseindeutig Beispiel 7: Jedem Land wird seine Hauptstadt zugeordnet rechtseindeutig linkseindeutig

011 Definition der Funktion, und wichtige Begriffe

Funktionen spielen im ganzen gymnasialen Stoff (und darüber hinaus) eine zentrale Rolle.

Von UG/Quarta her ist folgende Definition bekannt:

Eine Funktion (Abbildung) von A nach B ist eine eindeutige Zuordnung, d.h. sie ordnet jedem Element x aus A ("Original") genau ein Element y ("Bild") aus B zu.

Wir können nun die Definition kürzer fassen: Eine Funktion ist eine rechtseindeutige Relation

(wobei Definitions- und Wertemenge zu beachten sind) Notationen: f: A B "f ist eine Funktion von A nach B" y=f(x) "y ist eine Funktion von x" oder kurz "y gleich f von x" Die Funktionsvorschrift f(x) wird meist in Form einer Funktionsgleichung angegeben, z.B. y=x2-1 Definitionsmenge D: Menge aller Ax ∈ , die in die Funktionsvorschrift eingesetzt werden dürfeWert

n. emenge W: Menge aller By ∈ , die als Funktionswerte herauskommen.

eispiel 8: (A = B = Menge der Reellen Zahlen) B

a) 2x)x(f = b) x1)x(f = c) 2x4)x(f −=

D = D = D =

W = W = W =

Diese Relation ist - nicht rechtseindeutig (da man von der 3 aus nicht auf eindeutige Weise nach rechts gelangt) - nicht linkseindeutig (da man von der 1 von B aus nicht auf eindeutige Weise nach links gelangt.


012 Umkehrbare Funktionen

Eine Funktion ordnet jedem Original x eindeutig ein Bild y zu (rechtseindeutige Relation). Hingegen

und +2.

efinition: Ist eine Funktion zusätzlich eine linkseindeutige Relation, so nennt man die

s

ie Funktion f und ihre Umkehrfunktion g heben sich, nacheinander ausgeführt, auf!

Funktion f Allgemein: Beispiel f(x)=x2

Start links: g(f(x) = x

wird nicht verlangt, dass man zu jedem Bild y eindeutig sein Original x bestimmen kann. Die Funktion y=x2 besitzt beispielsweise zum Wert y=4 zwei mögliche x-Werte, nämlich -2 D Funktion umkehrbar.

ohl rechts- wie auch liRelationen, die sow nkseindeutig sind, sind somit umkehrbare Funktionen. Eine zunächst nicht umkehrbare Funktion kann durch Einschränkung des Definitionsbereichumkehrbar gemacht werden. D

x)x( 2 =

Start rechts: f(g(x) = x ( ) xx2=

Umkehrfunktion g

rläuterndes Beispiel zum Bestimmen der Umkehrfunktion:

egeben ist die Funktion f:

E

G 1xy 2 +=

Die Funktion ist zunächst nicht umkehrbar, da zu jedem y-Wert

Wir schneiden daher den linken Parabel-Ast ab, d.h. wir schränken Df =

I grösser als 1 zwei x-Werte existieren. II den Definitionsbereich ein, indem wir negative x-Werte verbieten. +

0R

Wf = }1y ≥y{

trisch:

nktions

Es gilt: D = W

:

III Beim Übergang zur Umkehrfunktion werden die Originale x zu den Bildern y und umgekehrt. Dies bedeutet:

algebraisch: geome

- x und y vertauschen - Spiegelung des Fu- nach y auflösen graphen an der Winkel- halbierenden y=x f g

g 1xy −=

ontrolle mit Zahlenbeispiel:

f: Dg =

W = Dg f

K

50172 =+ }1xx{ ≥ Wf =

50

+0R

7

g: 7150 =−

2y1x =−

2 1y=x +

f

g

f

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