中国奥数中的中文 游宇

光华中文学校 youyu.phillips@keystone.edu

CSAUS 第 9次全国大会Cincinnati, OH

December 8, 2012

演讲组别 : 3. 文化教学与语言教学及延伸

国际数学奥林匹亚竞赛

• “ 奥数”是奥林匹亚数学竞赛的简称。• 国际数学奥林匹亚竞赛活动已超过半世纪了。• 数千名青少年首先在自己的国家（约一百个国

家）参加全国数学奥林匹亚竞赛，其次各个国家选 6 名高中学生代表参加一年一次的国际数学奥林匹亚竞赛。

• 数学是全世界通用的语言和音乐，在奥林匹亚竞赛活动中解答数学问题是一种发挥高中学生聪明才智、创造力与感染力的工具。

华裔学生• 美国中文学校的学生到了高年级后，

中文学习的时间越来越少，有的学生甚至放弃了中文学习。

• 为了准备上大学，许多中文学校的学生愿意上各学科的 SAT和 AP 班。

• 比如我教的九年级中文班有 9 名学生，而 SAT 数学班每学期有 30 名学生。

• SAT 数学课上我开始讲解一些中国的奥数例题。

• 美国华裔学生通常用英语学习数学与科学，其实加些中文数学例题，会开阔学生的思路，增加学生英语和中文双语阅读的能力，并提高学生对一些汉字的理解能力。

中国奥数

• 中国队从 1985 年开始参加了国际奥数竞赛（ IMO ），曾先后 17 次得第 1 名， 100 多块个人金牌，甚至出现了几个满分。

• 由此可见，学习中国奥数例题会培养或加强学生对数学的兴趣，对学生的思维能力和解题能力有帮助。

• 自 1986 年以来，奥数培训在中国的小学、初中、和高中都有。• 最初是数学“冬令营”，以国际奥数会举办的 IMO (International

Mathematics Olympiad) 格式，在每年的一月下旬或二月初举办。• 而中国 IMO 团队是在每年的 4 月通过选拔考试和一些较小的比赛后选

择出再进行培训。

数学比赛• 数学比赛在中国有 60 多年的传统，每年举行各种

数学比赛，如“希望杯”全国数学邀请赛，“五羊杯”初中数学邀请赛，《数学周报》杯赛，等等。

• 事实上，参加国际奥数竞赛对中国学生来说不仅仅是一个竞争。

• 在中国，有名望的大学通常会录取这些参加过国际奥数竞赛的学生。这种机会在超过 10 亿人的中国，是极难获得的。因而中国队在国际奥数竞赛中常常排名在前。

奥数培训• 不同的国家对国际数学奥林匹亚竞赛

有不同的政策。• 中国和俄国小学生、初中生和高中生

都有奥数培训班。• 韩国只有上科学高中的学生有机会凭

兴趣学奥数。• 这些国家对出国的 IMO 团队会培训很

长一段时间，有时近一年。• 而美国只是在暑假里培训一些邀请来

的对奥数竞赛有兴趣的高中生，通过考试，选择自己的团队，再给学生一个短期的培训。

汉语的阅读• 学习中国的奥数，不仅能使美国的华

裔学生开阔解题思路，也能使他们提高汉语的阅读理解水平。

• 比如说学生初次听说“求值”还以为是“求职”，“象限”会以为真的与“大象”有关。

• 再如函数的函不是包含的含，也不是寒冷的寒，也不是韩国或姓韩的韩。

• 等学生理解了真正的意思后会学得很有乐趣。

奥数也是数学常用术语中英对照 (1)求值 Solve for the value象限 Quadrant函数 Function方程组 System of Functions一次函数 Linear Functions二次函数 Quadratic Functions

直线 Straight Lines抛物线 Parabolas实数根 Real Number Solution/Root/Zero交点 Points of Intersection增大 Increase减小 Decrease

奥数也是数学常用术语中英对照 (2)横坐标 Abscissa纵坐标 Ordinate整数 Integers奇数 Odd Integers偶数 Even Integers

x-轴交点 x-intercepty-轴交点 y-intercept勾股定理 Pythagorean Theorem斜边 Hypotenuse直角 Right Angle锐角 Acute Angle钝角 Obtuse Angle

奥数也是数学常用术语中英对照 (3)圆 Circle

直径 Diameter

半径 Radius

弦 Chord

正数 Positive Numbers

负数 Negative Numbers

三角函数 Trigonometric Function

正弦 Sine

余弦 Cosine

正切 Tangent

余切 Cotangent

正割 Secant

余割 Cosecant

数学竞赛或挑战• 19 世纪德国数学家高斯说“数学是所有科

学的女王”。• 青少年学习奥数能培养对数学的自信心，能拓宽解题视野和思路，激发对物理与化学的兴趣，并提高对数理化的解题能力和理解力。

• 自古以来就有数学竞赛或挑战。例如公元二百多年前古希腊的阿基米德写给埃拉托色尼的信中有“黄牛问题”作为挑战。

• 再如十六世纪早期意大利的塔尔塔利亚与卡尔达诺的学生法拉利在 1518年 8月 10日竞赛解答 3 次方程，法拉利被宣布获胜。卡尔达诺和法拉利还研究出了如何解答 4次方程。

• 不过，中国的秦九韶早在 1245 年著的《数数九章》中就解答了 4 次方程。三年后，中国的李冶在 1248 年著的《测圆海镜》中还解答了 6 次方程。

• 中国古代自汉武帝 (公元前 165年 ) 至清光绪 (1901) 有历时 1千 3 百年的科举考试制度。

奥数从俄国 ( 前苏联 )起源• 1934 年至 1935 年期间，前苏联开始在列宁格勒和莫斯科举办中学数学竞赛，并冠以数学奥林匹亚竞赛的名称。

• 1959 年在罗马尼亚的布加勒斯特举办了第一届国际数学奥林匹亚竞赛。后来每年一次（除了 1980 年在蒙古的那次因为安全问题被取消）。

• 美国从 1974 年开始参加国际奥林匹亚数学竞赛，获得过 4 次团体第一名 (1977年 , 1981年 , 1986年 ,1994年 ), 有过不少个人金牌。

• 美国还有学生连续两年或多年获国际奥数竞赛个人金牌。

• 在 2012年 53届国际数学奥林匹亚竞赛中，韩国队得第一名、中国队得第二名、美国队得第三名。

俄国和美国数学竞赛之间的区别• 俄国和美国数学竞赛之间的主要区别

是题型选择。• 美国的数学竞赛，尤其是在中学水平，

大多是选择题。• 而俄国的数学竞赛则主要是开放式的“问题”。

• 此外，在美国，数学比赛缺乏向一般人群的整体吸引力 ;体育比赛及其他形式的文艺竞赛等则在电视新闻里比比皆是。

美国学生和俄国学生• 拿美国学生和俄国学生相比较，总体而言，俄国学生似乎更享受数学方面的竞赛，而大多数美国中小学生则认为数学无聊、无趣和难懂。

• 俄国每年举办列宁格勒数学奥林匹亚竞赛，虽然考题具有挑战性和复杂性，但是俄国奥数的竞赛试题往往会与现实联系起来，要求学生能够进行推理。

• 俄国小学奥数竞赛试题中不仅联系到现实而且有些问题需要很少或几乎没有背景知识，使小学生体会到学习数学的趣味和成功解题的快乐。

列宁格勒数学奥林匹亚六年级竞赛题• 在各种具有挑战性和复杂的样本选择问题中，从 1991 年列宁格勒数学奥林匹亚六年级竞赛题中，选出一个具有激励性的例子如下：多年来，穆查森 (Munchausen)男爵每天去湖里打猎鸭子。自 1991年 8月 1日起，他每天告诉他的厨师：“今天我打出的鸭子比前两天多，但比一周前少。” 男爵能 (诚实地 ) 这样说的最多的 (连续 )天数是什么？答： 6天（见下图）

• 俄国出的这种数学题需要一点儿到几乎不需要任何背景知识，因此，数学可提供给所有学生享用，奥数使学生在数学推理中看到事物和生活环节的关联。俄国的小学和中学不分开，其数学教育有着很强的连贯性。

俄国 ( 前苏联 ) 的高中奥数题• 俄国 ( 前苏联 ) 的高中奥数题往往将代数、几何、三角结合在一起。下面的例题选自 1964 年第 14届前苏联在白俄罗斯举办的奥林匹亚数学竞赛试题 : (http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=109006) 三角形的边长是 a, b, c, 并且m∠A=60o. 证明

证明 : 利用余弦定理 , 并且 。于是

• 这其实是一个代数问题虽然其动机是几何学问题。已知角度 60o

提示要使用三角或至少是特殊三角形的性质。学生可以反过来推理出余弦定理。学习奥数能帮助体会到数学是一个整体，代数、几何、三角等之间是紧密地互相关联的。

cabacba

113

Abccba cos2222 2

160coscos oA

bccbbccba

22222

2

12

cabacba

cbacbacaba

cbaacbabcabaca

cbbca

113

23

)(3333 22

222

中国的数学教育系统与美国的不同• 中国的小学数学教师很专一地教数学。• 美国的小学教师则往往教所有的课程。美国宾州的

小学教师通过只有选择题 PRAXIS 数学 1 级水平考试，而教数学课程却使许多美国的小学教师感到不在行。

• 中国的许多中学数学教师对指导数学竞赛如奥数竞赛有兴趣且有能力。

• 美国宾州的中学教师也只是通过只有选择题PRAXIS 数学 2 级水平考试 , 大多数的美国中学教师往往不知道如何指导高中生参加奥数竞赛，即使有兴趣也会力不从心。

• 中国的大学入学数学考试中有 5 题左右类似奥数竞赛的文字证明题。

• 美国的 SAT 一级、二级水平数学考试全都是选择题。 美国的 SAT 一般水平数学考试虽然有 10道自产答案的数学题，但也没有文字证明题。

奥数题型• 中国的中小学奥数结合美国和俄国的题型，既有选择题又有文字推理题。

• 中国数学教学与考试开始走向生活，体现应用；走向人文，体现环保；走向纵合，体现渗透；走向前沿，体现科技；走向创新，体现科研。

• 国际高中学生的奥数题则全是文字题。• 每年国际数学奥林匹亚考试时，竞赛分两天

9 小时考完，每天连续考 4.5 小时，考生一天做 3 题，第 2天再做 3 题，平均每题是一个半小时。从相对容易到很难的题目。每题 7 分， 6 个文字题满分 42 分。

• 英语一直是国际奥林匹亚竞赛用语。因而美国学生在语言理解上占优势。所以学习奥数不仅是对数学也是对语言能力的训练。

中国奥数例题 下面这道中国奥数例题选自初中 (相当于美国 9 年级 ) 的全国竞赛

试题：设关于 x 的方程 有两个不等的实数根 x1, x2, 且 x1<1<x2,那么 α 的取值范围是 ( ) 。

解 如果用 简化为 会解得 。 但如果考虑 , ,

且 x1<1<x2,那么 , 自然选 (D), 可是还不够说服力。 张志朝主编的初中实用题典是这样来解这道题的：“易知

原方程可变形为 。记

则这个抛物线开口向上。因为 x1<1<x2,故当 x=1 时， y<0 ，即

。解得 。故选 (D) 。”

0)62)(62( ,036)2( ,094)2( 222 aaaaaaaaa

09)2(2 axaax

,0)52)(27( aa 5

2

7

2 a

aa

axx

21

2 21

9

9 21

a

axx

,0 a

092

12

x

ax ,9

212

x

axy

092

11

a0

11

2 a

武汉 CASIO 杯赛试题 已知一次函数 y = ax + b 的图象经过一、二、三象限

，且与 x轴交于 (–2, 0) ，则不等式 ax>b 的解集为 ( ) 。

(A) x>–2 (B) x<–2 (C) x>2 (D) x<2

解 ∵ a>0, 0 = a(–2) + b, b=2a,

∴ ax>b 的解集为 x>2. 故选 (C) 。

这道题一般美国学生只是做到 x>0 ，虽然也会选 (C)，但若真正懂得代入 x = –2 及 y = 0 来做进一步的分析，解题能力就大大提高了。

中国奥数例题 第 7届“希望杯”全国数学邀请赛试题：如果 ，且 c<0, 有下面的不等式：

① ② ③ ④ 其中不等式成立的个数是 ( ) 。

解 由不等式的性质，得①③正确。故选 (B) 。

以上这个例题不用任何数字，只是抽象的字母，使学生真正体会到乘以或除以负数时，不等式的不等号一定会改变其方向。学生能够进行抽象思维和逻辑推理是很重要的。

;cbca

ba

;bcac ;c

b

c

a .22 bcac

4 (D) 3 (C) 2 (B) 1 (A)

奥数例题 下面的例题显示了将几何 (圆和三角形 ) 、三角函数结合在一起。如图，在∆ ABC 中，∠ BAC 是钝角， O 是垂心， AO=BC ，则 cos∠BOF 的值是（ ）。

(A) (B) (C) (D)

（选自张自朝主编的奥数题典）

解 ∵∆ ABC 为钝角三角形，∴其垂心O在∆ ABC 的外部。 ∵B、 D、 F、O四点共圆，∴∠ CBF=∠AOF 。 在∆ AOF和∆ CBF

中，∠ AOF=∠CBF ，∠OFA=∠BFC=90o,OA=BC, ∴ ∆AOF≌∆CBF, ∴ OF=BF, ∴∠BOF=45o, ∴ cos∠BOF= 。故选 (A)。

所以说数学中的难题只不过是将许多简单的知识点有机的结合在一起，或稍作变形，或稍加隐藏。能读懂题意，理解文字中的关键字，对于解题就有帮助。

2

2

3

22

32

1

第 53届国际奥数比赛• 第 53届国际奥数比赛于 2012年 7

月在阿根廷的马德普拉塔举行。• 韩国超过常胜的中国获得第一名。获胜者来自韩国的科学英才高中或科学高中。

• 韩国的 4所科学英才高中和 20 多所科学高中与普通高中不同。

• 科学英才高中和科学高中偏重数学、物理、化学、生物等的教育，学生也就是在这里凭个人兴趣学习奥数。

• 与俄国相似，韩国的奥数题也往往与生活联系在一起。比如说韩国有关于约会的奥数题。

美国的奥数考试• 研究表明，有天赋的学生往往具有很强的好奇心和求知欲。他们想像力丰富，学习兴趣浓厚。美国从 1958 年到现在，不仅建立了分管培养有天赋的学生的专门机构。

• 美国各学校把有天赋的学生单独划分出来，予以特别关注和培养。尽管在某些方面美国的基础教育有缺陷，但是美国在培养有天赋的学生方面却是非常成功的。美国在各行各业处于世界领先地位，这与美国注重对有天赋的学生教育是分不开的。

• 美国的奥数考试 USAMO 邀请 250 名左右的美国数学考试邀请赛 AIME 的高分者参加。考试形式戏剧性地转变成国际奥数考试的形式 - 只做文字证明题。

奥数例题下面这道例题是由中国东华大学的研究生任佳间接提供的。

证明：奇数的平方被 8除余 1 。请你进一步证明： 2006 不能表示为 10 个奇数的平方之和。证明： (1) 证明方法 1 奇数为 2n+1, n 是整数 , 那么 。 可见 2n与 2n+2 是两个连续偶数。 当 n=1 时， 2 与 4 是两个连续偶数， 2(4)+1 = 8+1被 8除余 1

。 当 n=2 时， 4 与 6 是两个连续偶数， 4(6)+1 = 3(8)+1被 8除余 1

。 设当 n=k 时， 被 8除余 1， 那么 n=k+1时 ,

而 被 8除余 1 ，于是奇数的平方被 8除余 1 。 以上是诱导证明。

122211414412 22 nnnnnnn

1182221224222

14222121212112 2

kkkkkk

kkkkk

118222 kkk

奥数例题 (续 )下面这道例题是由中国东华大学的研究生任佳间接提供的。

证明：奇数的平方被 8除余 1 。请你进一步证明：2006 不能表示为 10 个奇数的平方之和。证明 : (1) 中国的初中学生往往是按下列简单的方式来证明的。 证明方法 2

奇数是 奇数的平方是 如果 k 是奇数， k+1就是偶数， 于是 被 8除余 1 。 如果 k 是偶数， k+1就是奇数， 于是 被 8除也余 1 。 ∴奇数的平方被 8除余 1 。

12 k 11414412 22 kkkkk

114 kk

114 kk

奥数例题 (续 )下面这道例题是由中国东华大学的研究生任佳间接提供的。

证明：奇数的平方被 8除余 1 。请你进一步证明： 2006不能表示为 10 个奇数的平方之和。证明 : (2) 10 个奇数为

10 个奇数的平方之和为

在 (1) 中已证明奇数的平方被 8除余 1 ，于是 10 个奇数的平方之和被 8除余 10 (10×1=10),而 10被 8除余 2 。所以 10 个奇数的平方之和被 8除余 2 。

但是 2006被 8除余 6 ，所以 2006 不能表示为 10 个奇数的平方之和。

1102 ,192 ,182 ,172 ,162

,152 ,142 ,132 ,122 ,112

kkkkk

kkkkk

22222

22222

1102192182172 162

152 142 132 122 112

kkkkk

kkkkk

119829292118828282

117827272116826262

115825252114824242

113823232 112822222

111821212 118222

kkkkkk

kkkkkk

kkkkkk

kkkkkk

kkkkkk

文字证明题• 能做文字证明题是体现学生对数学的整体理

解及发挥创造力的实践。• 当学生们觉得要解的数学问题太难时，往往

是因为这些学生的数学基础不扎实，因此这些学生甚至不理解“难题”究竟在问什么。

• 能够解答高深的问题是学好数学的检测，但不等于淡化基本功如算数与代数的学习而是深入数学的基本功，从而能够算得流畅、能有创新意识、能够足智多谋。

数学是科学的语言• 数学被称为是科学的语言，语言并不只是能力而更是艺术。

解答奥数问题不是机械化地背公式也不是将数值简单地代入公式。解答奥数问题需要侧面攻击的艺术、需要灵感猜测的艺术、需要打斗符号的艺术、需要耐心放松的艺术、需要坚持不懈的艺术、更需要探索新域的艺术。

• 我们的社会处处有竞争。经历过失败与挫折而又能够继续奋发向上，是走向成功的开始。能否解答奥数题并不是学生是否成功的衡量，而是对学生开阔思维的一种训练。

• 2012年 10月 26日，中国的扬子晚报记者焦哲写了一位 7旬老人喜欢去公园钻研奥数题的故事。老人自称做奥数题来预防老人痴呆。数学推理发生在人的头脑中。在能自己找到答案的瞬间，人会感到取得了成就，那是一种美好的享受。正像许多人喜欢做交叉文字解谜图，许多人正是因为喜欢推理和逻辑思维才喜欢玩数读游戏或成为数学爱好者。

创造力• 一个人的创造力或一个新理念元素的产生是从以下的任何一种可能性开始的：新词、图像、方程、情感、梦境、灵感、想像、感觉等。

• 天才是天赋、勤奋、和机遇的结合。• 许多科学家、数学家、作曲家、作家、画家、运动员、企业家、音乐家和演员的成功除了在于他们被发现和认可之外，也在于他们的刻苦钻研或长期的职业训练。他们在钻研或训练一段时间有时很长时间后有顿悟问题的答案或很好发挥水平感到的满足。他们懂得在潜心钻研或长期训练之后，也要放松头脑休息身心，学习吸收一些新知识或新思想或新方法。积累经验也是走向成功的重要环节。对新问题、新知识、新方法要有敞开胸怀的态度，博学才能实现多才。

创新意识和能力的培养• 研究结果显示，创新意识和能力的培养，首

先要面向全体学生 ,保护学生的好奇心和想像力很重要。

• 结合中国奥数学习与美国对有天赋学生的培养，需打破初中与高中，中学与大学之间人才培养的明确界限，搞好衔接式培养。

• 美国的中文学校有许多优质的多才多艺的学生、家长、和老师，他们至少有双语能力，能领会美国和中国的不同与相似之处，能理解一道题可以有不同的方法来解答并接受最适合他们自己的方法。

结论• 50% 的近年来的美国国际数学奥林匹亚队员是第一代或第二代亚洲（如中国，韩国、印度等）或欧洲移民。他们常常是双语和有天赋的学生。

• 因而中文学校的中文教学也应加强培养学生对中文的英语理解能力，学习中国的奥数对此会有所帮助，而且提高学生的数学解题能力并拓开学生的抽象思维能力。

• 让每个学生接受最适合他们的教育（中文、英文、数学、文化、历史、地理、体育、舞蹈……），学生既能学好中文也能在各个方面全面发展。青少年的双语、数学以及各方面的教育不只是为了培养解题能手，也是培养他们成为成功的职业问题的挑战者。这些青少年长大后无论从事什么职业，希望都会是对家庭与社会有益和有用的。

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2008)

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3. Olson, S.(2004) Count Down: Six Kids Vie for Glory at the World’s Toughest Math Competition, Houghton Mifflin Company

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6. Temple, R. (1986), The Genius of China, Simon and Schuster, New York

7. Zhang Zhichao (张志朝 )主编 (2008), 初中奥数实用题典 , 南京师范大学出版社