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WahrscheinlichkeitsrechnungDas schwache Gesetz der großen Zahl

MatheJg. 9And

Wie kann ein Gesetz schwach sein?

Beim schwachen Gesetz der großen Zahl stellt man sich ein Zufallsexperiment vor (zum Beispiel das Werfen einer Münze oder eines Würfels). Nun geht es um die Frage, wie groß die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen möglichen Ereignisse sind.

Beispiel:

Ein normaler Würfel soll geworfen und die Wahrscheinlichkeit für die Augenzahl 6 bestimmt werden. Die tatsächliche Wahrscheinlichkeit beträgt 16(also 16 ,6%), da es sechs Seiten gibt und jede Zahl genau einmal vorkommt.

Bei 10 Würfen kommt jedoch gleich viermal die 6. Dies entspricht 40%.

Bei 100 Würfen wurde dann 21 Mal die 6 gewürfelt. Dies entspricht 21%.

Bei 1000 Würfen wurden 180 Sechsen gewürfelt. Dies entspricht 18%.

Überprüfe das schwache Gesetz der großen Zahl

Du sollst das Gesetz durch ein einfaches Beispiel besser verstehen. Betrachte wieder einen fairen Würfel. Die Wahrscheinlichkeit eine 6 zu würfeln, liegt bei 16 . Um zu prüfen, ob die relative Häufigkeit für sehr, sehr viele, lange

Das schwache Gesetz der großen Zahl

Das schwache Gesetz der großen Zahl besagt, dass man bei steigender Zahl

von durchgeführten Zufallsexperimenten immer näher an die

Wahrscheinlichkeit herankommt. Der Mittelwert (also die relative

Häufigkeit) von sehr, sehr vielen dieser Experimente ergibt dann die

tatsächliche Wahrscheinlichkeit. Da es keine eindeutige Sicherheit für dieses

Gesetz gibt, nennt man es schwach.

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Würfelexperimente auch bei 16 liegt, sollst du nicht würfeln, sondern ein

Tabellenkalkulationsprogramm nutzen. Damit lassen sich solche langen Experimente simulieren (also so tun, als ob du die Experimente wirklich durchführen würdest).

Wichtig: Lies dir die einzelnen Schritte genau durch. Das erspart dir späteres Nachfragen.

a. Öffne ein Tabellenkalkulationsprogramm (z.B. Excel, indem du unten links

auf das Windows-Symbol klickst und den Programmnamen eintippst)

b. Einen Würfelwurf simulieren: Trage in die erste Zelle1 den Befehl

=Zufallsbereich(1;6) ein. Dieser Befehl gibt immer, wenn du die Taste F9

drückst (bei Excel) eine zufällige Zahl zwischen 1 und 6 aus.

c. Viele Würfe simulieren: Du kopierst den Eintrag durch Ziehen an der

unteren rechten Ecke bis zur Spalte J. Nun ziehst du, während noch alle

Zahlen markiert sind, nach unten, bis du die Zeilen von 1 bis 10 ausgefüllt

hast.

1 Jedes Kästchen in der Tabelle ist eine Zelle. Jede Zelle hat einen Namen, zum Beispiel ist in der Tabelle in die Zelle A1 etwas eingetragen. Der Buchstabe A gibt an, dass es die erste Spalte ist, die Zahl 1 gibt an, dass es die erste Zeile ist.

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d. Sechsen zählen: Du bestimmst die Anzahl an Würfen mit dem Ergebnis „6“ in Zeile 1, indem du den Befehl =ZÄHLENWENN(A1:J1;6) in die Zelle K1 einträgst.

e. Bestimmen der relativen Häufigkeit: Wenn du die Anzahl durch 10 teilst, erhältst du die relativen Häufigkeiten für das Auftreten einer 6 in diesen zehn Würfen. Der ganze Befehl lautet dann =ZÄHLENWENN(A1:J1;6)/10. Nun ziehst du wieder an der unteren rechten Ecke der Zelle bis zur Zelle K10.

f. Mittelwert der relativen Häufigkeiten: Gib =Mittelwert(K$1:K1) in die Zelle L1 ein und ziehe wieder an der rechten Ecke nach unten. In der Zelle L1 steht nun der gleiche Wert wie in der Zelle K1, aber in Zelle L2 steht der Mittelwert von K1 und K2 (also für die ersten beiden Durchgänge). In Zelle L10 steht dann der Mittelwert für alle 10 Experimente.

Aufgabe 1: Fülle die Lücken aus

Das schwache Gesetz der ……………………………… Zahl besagt, dass bei sehr, sehr

vielen sehr langen Experimenten die …………………………… Häufigkeit für das

Auftreten eines Ereignisses so groß wird wie seine Wahrscheinlichkeit.

Die Wahrscheinlichkeit für das Würfeln einer „6“ beträgt …………………….

Aufgabe 2: Stelle das Gesetz der großen Zahl dar

a. Markiere Spalte L. Gehe auf Einfügen – Diagramm und wähle Liniendiagramm. Klicke auf „Fertig stellen“.

b. Beschreibe dein Diagramm im Heft. Folgende Formulierungen können dir helfen:

In dem Diagramm ist … dargestellt Auf der x-Achse ist…, auf der y-Achse ist…aufgetragen Hier wurden … Experimente zu je…Würfen durchgeführt

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Bei den ersten … Experimenten schwankt die relative Häufigkeit zwischen … und …

Je mehr Experimente…, desto … Insgesamt sieht man, dass…