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Los números enteros (Z)

1 Expresa estas situaciones con números enteros:

a) Estar en la cuarta planta. d) Estar en el año 30 a. C.

b) Subir a 600 m de altura. e) Estar en la planta baja.

c) Tener 25 €. f)  Deber 25 €.

2 Calcula:

a) op (–5) = c) op (+7) = e) op [op (–3)] =

b) op (+3) = d) op (0) = f)  op {op [op (–9)]} =

3 Escribe los valores absolutos de los siguientes números:

a) |–5| = c) |+11| = e) |0| =

b) |+5| = d) |–8| = f)  |–a| =

4 Completa:

a) |….| = 10 c) |….| = 4 e) |….| = 20

b) |….| = 6 d) |….| = 7 f)  |….| = x

5 Escribe los números enteros que faltan:

6 Sitúa en una misma recta numérica los números enteros siguientes: –3, 2, 0, –4, 5, –1, 6.

7 Ordena de mayor a menor: 5, –3, 8, –5, 0, –224, –9, –21, 7.

8 Ordena de menor a mayor: –5, –12, 1, 900, –4, –3, 44, –37, 1 000, 3, 7, –7.

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Operaciones con números enteros

1 Calcula:

a) (+2) + (+8) = c) (–5) + (–3) = e) (–7) + (+5) + (+2) =

b) (–6) + (+16) = d) (+8) + (–32) = f)  (–1) + (–5) + (–6) + (+13) =

2 Calcula:

a) (–4) – (–9) = c) (+13) – (+7) = e) (–4) – (–4) – (–4) =

b) (+23) – (–11) = d) (–20) – (+31) = f)  (–6) – (+6) – (–6) =

3 Calcula:

a) (–2) · (–9) = c) (+5) · (–5) = e) (–7) · (–2) · (–3) =

b) (+8) · (+5) = d) (–11) · (+10) = f)  (+3) · (–4) · (+5) =

4 Calcula:

a) (+28) : (–4) = c) (–36) : (–9) = e) (–50) : (–2) : (+5) =

b) (–81) : (+3) = d) (+56) : (+7) = f)  (–200) : (+100) : (+2) =

5 Di a qué números enteros corresponden estas expresiones:

a) El triple de –7 c) La cuarta parte de –64 e) La mitad del opuesto de +70

b) El cuádruplo de –4 d) El triple del opuesto de –5 f)  La sexta parte del opuesto de –42

6 Una persona sale de casa con 32 €. Compra una revista que vale 2 € y un libro que le cuesta 4 €. Después merienda, paga 5 €, y al salir del bar se encuentra un billete de 20 € con el que compra una entrada para el teatro de 15 €. ¿Cuánto dinero tiene al llegar a casa? Expresa esta situación con una única operación con números enteros.

7 Halla la temperatura media de las mínimas que ha habido en una ciudad durante la última semana sabiendo que en cuatro días la mínima ha sido de –2 ºC y en tres días, de +5 ºC. Expresa esta situación con una única operación con números enteros.

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Potencias y raíces de números enteros

1 Expresa en forma de una sola potencia de exponente positivo:

a) (–3)3 · (–3)–2 · (–3)5 = c) (+6)2 : (+6)4 =

b) (+5) · (+5)5 · (+5)–7 = d) (–8)–5 : (–8)–6 =

2 Expresa en forma de una sola potencia de exponente positivo:

a) [(–3)2 · (–3)]2 = c) [(+5)3 · (+5)]–1 =

b) [(–9)4 : (–9)]–2= d) [(+3)3 : (+3)–4]3 =

3 Calcula:

4 Escribe los siguientes números en notación científica:

a) 314 b) 43,9 c) 1 210 000 d) 0,000 000 032

5 Escribe los siguientes números en forma decimal:

a) 1,89 · 103 b) 2,07 · 107 c) 6,43 · 10–3 d) 5,49 · 10–6

6 Escribe, si las tienen, las soluciones de estas raíces cuadradas:

7 Escribe entre qué dos números naturales consecutivos se halla el valor de las raíces siguientes y calcula su resto:

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Operaciones combinadas• Para realizar operaciones combinadas con números enteros se sigue la jerarquía de operaciones:

1. Resolver paréntesis y corchetes.2. Resolver potencias y raíces.3. Resolver multiplicaciones y divisiones.4. Resolver sumas y restas.

• Las operaciones del mismo nivel se calculan de izquierda a derecha.• En algunos casos habrá que aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la

suma y/o resta: a · (b + c – d) = a · b + a · c – a · d

1 Efectúa las operaciones siguientes suprimiendo los paréntesis:

a) 23 – (15 + 14) = c) 3 – (12 + 8) – 9 =

b) –2 + (–20 – 15) + 13 = d) (6 – 26) – (4 – 14) + (7 + 5) =

2 Calcula:

a) 5 + (–15) : (–5) · (+3) = d) 24 : 3 · (–4) – (–9) · 2 =

b) 23 – 8 – 12 · 5 = e) 49 : (–7) + 5 · (–3) · (–4) =

c) 30 : (–6) – 9 : (–3) : 3 = f) –54 : (–18) + 44 : 4 – (19 – 14) =

3 Calcula:

a) –34 – 3 · (2 – 8) : [–3 · (–2)] = c) 6 · [5 · (4 – 12) – (18 – 4)] : (–3) =

b) 9 + [(3 – 9) · (2 – 13)] – 5 · (–8) = d) (36 – 28) : [18 – 13 – (–5 + 6)] · 10 =

4 Calcula:

5 Calcula teniendo en cuenta la solución positiva de las raíces cuadradas:

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Operaciones con fracciones

Suma y resta• Si las fracciones tienen el mismo denominador, los numeradores se suman o se restan y se

mantiene el denominador común:

• Si tienen denominadores distintos, se reducen a común denominador y a continuación se efectúan las operaciones:

Multiplicación• Los numeradores y los denominadores se multiplican entre sí, teniendo en cuenta los signos de los

factores:

División• Se multiplica la primera fracción por la inversa de la segunda, teniendo en cuenta el signo de los

factores:

1 Efectúa estas sumas y restas simplificando el resultado cuando sea posible:

2 Efectúa estas multiplicaciones y divisiones simplificando el resultado cuando sea posible:

3 El padre de María ha preparado una pizza para él y los tres hijos de la familia. Cuando llega el hijo menor se come la quinta parte y cuando llega Manuel se come la cuarta parte.

a) ¿Qué parte de la pizza queda para María y su padre?

b) Ordena de menor a mayor las fracciones correspondientes a las partes de pizza.

4 Un millonario deja las cuatro séptimas partes de su herencia a una ONG. El resto se divide en dos partes iguales; una de estas se reparte entre sus tres hijos y la otra parte, entre sus cinco nietos.

a) ¿Qué fracción de la herencia recibe cada hijo?

b) ¿Qué fracción de la herencia recibe cada nieto?

c) Si la herencia es de 4 200 000 €, ¿cuánto recibirá cada hijo, cada nieto y la ONG?

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Potencia de una potencia

Potencias de exponente 0 y 1

Potencia de una multiplica-ción

Potencia de una división

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Potencias y raíces cuadradas de fraccionesPotencia de una fracción con exponente natural

Potencia de una fracción con exponente enteronegativo

Multiplicación de potencias de igual base

División de potencias de igual base

Raíz cuadrada de una fracción

1 Calcula:

2 Expresa en forma de una sola potencia de exponente positivo:

3 Calcula, si existen, las siguientes raíces cuadradas:

4 El perímetro de un triángulo equilátero mide dm. ¿Cuánto mide uno de sus lados?

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Relación entre fracciones y números decimales

1 Escribe la expresión decimal de estas fracciones y clasifica el número decimal resultante:

2 Busca la fracción generatriz de los siguientes números decimales:

3 Busca la fracción generatriz de ; ¿qué observas?

4 Busca la fracción generatriz de ; ¿qué observas?

5 Convierte estos decimales periódicos a exactos sin hacer ninguna operación:

6 Efectúa estas operaciones convirtiendo previamente los números decimales en fracciones:6. Efectúa estas operaciones convirtiendo previamente los números decimales en fracciones:

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Operaciones con números decimales

Suma y restaLos números decimales se colocan en columna hac iendo coincidir las comas. Los espacios vacíos se completan con ceros:

MultiplicaciónLos factores se colocan sin tener en cuenta la coma. El producto contiene tantas cifras decimales como haya entre los dos factores juntos.

División• División con cociente decimal: si la división no es exacta se puede obtener un cociente decimal aña-diendo ceros al dividendo y situando la coma en el cociente.

1 Efectúa estas operaciones:

a) 41,8 + 32,75 + 0,007 = d) 0,005 + 0,07 + 2,02 + 3,456 3 =

b) 14 − 13,888 9 = e) 64,129 − 32 =

c) 401,687 − 72,93 = f) 78,3 + 19,999 − 96,345 =

2 Efectúa estas operaciones:

a) 75,6 · 3,41 = d) 9 : 0,026 =

b) 300,46 · 15,91 = e) 386,63 : 27 =

c) 0,975 · 0,014 = f) 1 245,78 : 38,6 =

3 Redondea estos números decimales al orden de unidad expresado:

a) 34,557 8 (a décimas) c) 0,983 (a centésimas) e) 3,056 788 (a diezmilésimas)

b) 4,589 1 (a milésimas) d) 7,399 9 (a centésimas) f) 45,84 (a unidades)

4 Determina el error cometido en el redondeo realizado en el apartado f del ejercicio anterior.

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• División con dividendo decimal: el cociente se aproxima hasta que tenga el número deseado de cifras decimales.

• División con divisor decimal: el dividendo y el divisor se multiplican por la unidad seguida de los ceros necesarios para convertir el divisor en número natural.

Aproximaciones• El redondeo es una forma de aproximación de un

número decimal:

— Si la cifra a suprimir es menor que 5, se conserva el valor de la cifra anterior: 6,364 8 (a centésimas) → 6,36

— Si la cifra a suprimir es mayor o igual que 5, el valor de la cifra anterior aumenta una unidad: 74,56 (a décimas) → 74,6

• Medición de errores:

Error absoluto = |valor aproximado − valor exacto|.

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Lenguaje algebraico

1 Expresa en lenguaje algebraico:

a) Un número aumentado en seis unidades. e) El producto de dos números iguales.

b) La diferencia entre dos números distintos. f) El cuadrado de un número.

c) El doble de un número disminuido en una unidad. g) La cuarta parte de un número.

d) El opuesto del triple de un número. h) El cociente de dos números distintos.

2 Escribe una frase que describa las siguientes expresiones algebraicas.

3 Calcula el valor numérico de estas expresiones algebraicas:

4 Escribe los monomios siguientes:

5 Indica si las parejas de monomios siguientes son semejantes:

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Operaciones con monomios

1 Efectúa:

2 Efectúa:

3 Efectúa aplicando primero la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma y resta:

4 Efectúa:

5 Completa las expresiones de manera que las igualdades sean ciertas.

6 Hemos disminuido x centímetros las dimensiones de un rectángulo de 12 cm de longitud y 9 cm de ancho. Escribe la expresión algebraica que representa el perímetro y el área del nuevo rectángulo en función de x.

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Binomios

1 Desarrolla los siguientes productos notables:

2 Efectúa:

3 Efectúa y reduce los monomios semejantes.

4 A un cuadrado de lado x se le aumenta su lado en cinco unidades. Calcula:

a) La expresión algebraica de su nueva área.

b) Si al nuevo cuadrado se le disminuyen 10 unidades en un solo lado, calcula la expresión algebraica del área del rectángulo que se origina.

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Polinomios

1 Fíjate en el ejemplo y completa esta tabla:

2 Calcula el valor de los siguientes polinomios para el valor de la indeterminada dado.

3 Dados los polinomios A(x) = 2x3 + 5x2

− 2x + 4, B(x) = −x3 + 5x2

+ 1 y C(x) = −3x2 + 4x + 6; calcula:

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