ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑκαι

ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ

ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ Ένας πυκνωτής έχει ως σκοπό να αποθηκεύει ηλεκτρικήενέργεια που μπορεί να ελευθερώνεται με ελεγχόμενοτρόπο σε βραχύ χρονικό διάστηματρόπο σε βραχύ χρονικό διάστημα.

Αποτελείται από 2 χωρικά διαχωρισμένους αγωγούς πουφορτίζονται με +Q και -Q αντίστοιχαφορτίζονται με +Q και -Q αντίστοιχα.

Ως χωρητικότητα ορίζεται ο λόγος του φορτίου στον ένααγωγό του πυκνωτή (|Q|) προς τη διαφορά δυναμικούαγωγό του πυκνωτή (|Q|) προς τη διαφορά δυναμικούμεταξύ των αγωγών που τον αποτελούν.

QQCV

• Εξαρτάται η χωρητικότητα μόνο από τον πυκνωτή και ανεξάρτητα από το φορτίο και το δυναμικό;

Παράδειγμα 1:Ιδανικός επίπεδος πυκνωτής

Υποθέτουμε +, - πυκνότητες φορτίουA

+

μ , η ς φ ρσε κάθε πλακίδιο πολύ μεγάλου εμβαδούΑ σε μικρή απόσταση d και διαφοράδυναμικού ∆V=V: d -δυναμικού ∆V=V:

Το φορτίο Q: Q AΗ ένταση Ε του πεδίου εντός των πλακών ( από Gauss): 0 0

QEA

Το δυναμικό V (υπολογίστηκε στο προηγούμενο κεφάλαιο) : V E d

0 0

0Q ACV d

ΤελικάV d

• Παρατηρούμε ότι η χωρητικότητα εξαρτάται μόνο από τη γεωμετρία (A, d).

Παράδειγμα 2:Ιδανικός Κυλινδρικός Πυκνωτής

• Υποθέτουμε φορτίο ομογενώς κατανεμημένομ φ ρ μ γ ς μημ(+Q,-Q) στην επιφάνεια των κυλίνδρων μεακτίνες a και b και με διαφορά δυναμικού V.

• Απαιτείται η γνώση της διαφοράς δυναμικού V. r-Q

aς ς

• Έχουμε απείρου μήκους αγωγούς και υψηλήσυμμετρία και συνεπώς είναι πρόσφορη ηεφαρμογή Gauss για την εύρεση της έντασης

r

+Q

b LΕ και στην συνέχεια της διαφοράς δυναμικού.

• Μας ενδιαφέρει μόνον το πεδίο ανάμεσα στουςδύο αγωγούς (για να συνδεθεί με το V).Άλλ ξ ό ί 0 ύ ΣQ 0 EΆλλωστε, το εξωτερικό είναι 0 αφού ΣQ=0.

• Επιφάνεια Gauss κυλινδρική ακτίνας r και μήκους Lενώ ο εσωτερικός κυλινδρικός αγωγός έχει φορτίο Q.Α ό ό G

Er

Er

Από το νόμο του Gauss:

+ + +Q2 Q QE dr rLE E

L0 0

22

E dr rLE ELr

Παράδειγμα 2:Κυλινδρικός Πυκνωτής

ar

-Q+Q, -Q ομογενώς στην επιφάνεια των κυλίνδρων με διαφορά δυναμικού V. a

b L

+Q

Q L02

QELr

Αν υποθέσουμε το +Q είναι στον εσωτερικό κύλινδρο τότε η διαφοράΑν υποθέσουμε το +Q είναι στον εσωτερικό κύλινδρο, τότε η διαφορά δυναμικού V είναι θετική εάν πάρουμε το μηδέν του δυναμικού στο r = b:

a a b Q Q b 2 LQ

0 0ln

2 2b b a

Q Q bV E dr E dr drrL L a

02

ln

LQCbVa

πάλι: εξαρτάται από τη γεωμετρίαΤα ομοαξονικά καλώδια έχουν χωρητικότητα (χωρητικότητα ανά μονάδα μήκους καλωδίου)

Παράδειγμα 3:Φ έ ία. Φορτισμένη σφαίρα

Φορτισμένη σφαίρα έχει την ικανότητα να αποθηκεύει ορισμένο φορτίο σε δεδομένο δυναμικό (έναντι V=0 στο άπειρο)

a-Q

δεδομένο δυναμικό (έναντι V 0 στο άπειρο)

00

0, 44

RQ QV V C R

R V

a+Q

Υπολογισμός χωρητικότητας:

0β. Σφαιρικός πυκνωτής

b

γ μ ς χ ρη η ς

+Q, -Q στην επιφάνεια των σφαιρών με διαφορά δυναμικού V. φ ρ μ

21 1 1( )

4 4 4

bb b

a bQ dr Q QV V E r dr

r a b 2

0 0 04 4 4aa a r a br

00

4 4Q abC

Και πάλι εξαρτάται από τη041 1

CV b a

a b

Και πάλι εξαρτάται από τη γεωμετρία

∆ΙΑΣΤΑΣΕΙΣ/ ΜΟΝΑ∆ΕΣ

Οι χωρητικότητες αυτών των πυκνωτών (υπάρχει αέρας ανάμεσα στους αγωγούς) έχουν την μορφή C = ε0 Gμ ς γ γ ς) χ η μ ρφή 0όπου G είναι γεωμετρικός παράγοντας, με διαστάσεις μήκουςπ.χ. G = 4π R, 4π ab/(b-a), 2πL, A/d, κτλ.

Μονάδες του C (=Q/V)[C] = Cb/Volt=Farad

1 F d 1 C l b V lt1 Farad = 1 Coulomb προς Volt

(προς τιμή του Faraday)

Παρατήρηση: Όπως το Coulomb έτσι και το Farad είναι μεγάλη μονάδα. Πρακτικά οι χωρητικότητες μετρώνται σε (μF), μ ρ χ ρη η ς μ ρ (μ ),nanofarad (nF) ή ακόμη και picofarad (pF).

ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΑΠΟΘΗΚΕΥΟΜΕΝΗ ΣΕ ΠΥΚΝΩΤΗΕΝΕΡΓΕΙΑ ΑΠΟΘΗΚΕΥΟΜΕΝΗ ΣΕ ΠΥΚΝΩΤΗΓια μεταφέρουμε φορτίο dq από σημείο με V = 0 (π.χ. το (–) πλακίδιο ενός πυκνωτή) στο (+) πλακίδιο, που φέρει φορτίο +q και συνεπώς βρίσκεται σε δ ό V /C ί έδυναμικό V = q/C, απαιτείται έργο:

dW = V·dq = (q/C)·dqΣυνεπώς για να φορτίσουμε τον πυκνωτή από q = 0 σε q = Q απαιτείται έργο:Συνεπώς, για να φορτίσουμε τον πυκνωτή από q = 0 σε q = Q απαιτείται έργο:

Αυτό το έργο αποθηκεύεται στον πυκνωτή ως ενέργεια. Που;

Θεωρείστε πυκνωτή με παράλληλα πλακίδια με χωρητικότητα C = ε0A/d. Εδώ

όγκος του πυκνωτή

όπου τ = Ad είναι ο όγκος μεταξύ των πλακιδίων, που «γεμίζει» από το ηλεκτρικό πεδίο E = σ/ε0.

Πράγματι, η παρουσία αυτού του πεδίου είναι το βασικό χαρακτηριστικό που ρ γμ , η ρ β χ ρ ηρξεχωρίζει έναν φορτισμένο από έναν αφόρτιστο πυκνωτή.

Θεωρούμε, λοιπόν, ότι η ενέργεια αποθηκεύεται στο πεδίο E με ενεργειακή πυκνότητα ue (δηλ. ενέργεια ανά μονάδα όγκου) που δίνεται από

ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΠΥΚΝΩΤΩΝ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΠΥΚΝΩΤΩΝ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ

(1) Παράλληλη σύνδεση πυκνωτώνΠρόβλημα:Πρόβλημα:Ποιας χωρητικότητας πυκνωτής (‘ισοδύναμος’) Ceq θα φέρει το ίδιο φορτίο όπως οι C1 και C2 μαζί, ενώ έχει την ίδια διαφορά δυναμικού V μεταξύ των πλακιδίων;

Απάντηση: η ηQ1 = C1 V, Q2 = C2 V, Q = Q1 + Q2 = (C1 +

C2)V = Ceq V, οπότε Ceq = C1 + C2. q eq 1 2

(2) Σύνδεση πυκνωτών σε σειράΠρόβλημα:Πρόβλημα: Ποιας χωρητικότητας πυκνωτής (‘ισοδύναμος’) Ceq θα έχει την ίδια ολική διαφορά δυναμικού V = V1 + V2 στα άκρα του ενώ φέρει το ίδιο φορτίο όπως οι C1

και C2.και C2.

Απάντηση: V1 = Q/C1, V2 = Q/C2

∆ΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ Παρατήρηση: Παρατήρηση:Εισάγοντας ένα μη αγώγιμο υλικό (εδώ συζητάμε για ισότροπα και ομογενή υλικά) μεταξύ των πλακιδίων πυκνωτή αλλάζει ηκαι ομογενή υλικά) μεταξύ των πλακιδίων πυκνωτή αλλάζει η ΤΙΜΗ της χωρητικότητας του.

Ορισμός: Ορισμός:Η διηλεκτρική σταθερά υλικού είναι ο λόγος της χωρητικότητας του πυκνωτή όταν είναι πλήρης από το διηλεκτρικό υλικό, ή ήρης η ρπρος αυτήν χωρίς το υλικό. δηλ.

CC

πάντοτε > 1 (π.χ., γυαλί = 5.6; νερό = 78) Τα διηλεκτρικά ΑΥΞΑΝΟΥΝ τη χωρητικότητα πυκνωτή

0C

Τα διηλεκτρικά ΑΥΞΑΝΟΥΝ τη χωρητικότητα πυκνωτή(γενικά πολύ καλό αν και αυξάνει το βάρος του, αλλά αλλιώς πρέπει να αυξήσω το μέγεθος του πυκνωτή)

Επιτρέπουν την αποθήκευση περισσότερης ενέργειας σε δεδομένο πυκνωτή.

∆ΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑΌταν δηλαδή ένα διηλεκτρικό (μονωτής), παρεμβάλλεται σε έναν πυκνωτή, αυξάνει τηνπαρεμβάλλεται σε έναν πυκνωτή, αυξάνει την χωρητικότητα από C0 σε C = κ C0, όπου κ είναι η διηλεκτρική σταθερά.όπου κ είναι η διηλεκτρική σταθερά.

Συνεπώς και σύμφωνα με τον ορισμό C = Q/V:Συνεπώς, και σύμφωνα με τον ορισμό C Q/V: • για V σταθερό, το Q αυξάνει από Q0 σε Q = κQ0, • για Q σταθερό V ελαττώνεται από V0 σε V = V0/κ• για Q σταθερό, V ελαττώνεται από V0 σε V = V0/κ.

Αυτό πρέπει να σημαίνει και ότιΑυτό πρέπει να σημαίνει και ότι• E ελαττώνεται από E0 σε E = E0/κ.

Παράδειγμα επίπεδου πυκνωτή Φορτισμένος επίπεδος πυκνωτής σε κενό σε δυναμικό V0 (τον φορτίσαμε και το αποσυνδέσαμε από την πηγή) Qτο αποσυνδέσαμε από την πηγή)

Σε κάθε πλακίδιο υπάρχει Q = C V0

+++++++++++++Q

Ε ά λ ό δ λ ή - - - - - - - - - - - - -

Q

Εισάγουμε υλικό διηλεκτρικής σταθεράς .

Τ ί Q έ θ ό

+-

+-

+-

+-

+-

+-

+-

+++++++++++++Q Το φορτίο Q παραμένει σταθερό

V ∆υναμικό ελαττώνεται από V0 σε + + + + ++ +

+-

+-

+-

+-

+-

+-

+-

- - - - - - - - - - - - -

VV V 0

E E0Το ηλεκτρικό πεδίο επίσης:

E

διηλεκτρική σταθερά υλικούE 0

Το ηλεκτρικό πεδίο επίσης:

και C = · C0= ·ε0·G = ε·G ό ά

διηλεκτρική σταθερά υλικούεπιτρεπτότητα του υλικού

και C C0 ε0 G ε G γεωμετρικός παράγοντας

σχετική διηλεκτρική σταθερά υλικούσχετική επιτρεπτότητα

διηλεκτρική σταθερά του κενούεπιτρεπτότητα του κενού

ΛΟΓΟΣ: ΠΟΛΩΣΗΕφαρμόζοντας το νόμο του Gauss(για E = σταθερό) στα δυο παραλληλεπίπεδα που φαίνονται:

(i) Για την κλειστή επιφάνεια με διακεκομμένη γραμμή:

ε0E0 = σf (1)ε0E0 σf (1)(σf = επιφανειακή πυκνότητα ελεύθερου φορτίου)(ii) Για την κλειστή επιφάνεια με συνεχή γραμμή:

ε0E = σf – σi (2)(σi = πυκνότητα επαγόμενου ή δέσμιου φορτίου)

Όμως είπαμε ότι Ε=Ε0/κ άρα:σχέση (1)/ σχέση (2) και λύση ως προς σi:σi = σf ( 1-1/κ)σi = σf ( 1-1/κ)και αντικαθιστώντας στην (2):

κ·ε0 ·Ε = ε ·Ε = σf = μέσω της (1) = ε0 ·Ε0κ ε0 Ε ε Ε σf μ ης ( ) ε0 Ε0

Επέκταση του νόμου του Gauss για να περιλαμβάνει διηλεκτρικά:

0 0 00

ff

QQ E dA E dA E dA E dA

Γενικός κανόνας: Όλες οι εκφράσεις και οι νόμοι που ισχύουν για το κενό ισχύουν και γιαΌλες οι εκφράσεις και οι νόμοι που ισχύουν για το κενό ισχύουν και για ομογενή και ισότροπα διηλεκτρικά υλικά εάν το ε0 αντικατασταθεί από την διηλεκτρική σταθερά του, ε, του διηλεκτρικού. ∆ηλαδή: