运 输 问 题 (Transportation Problem)
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运 运 运 运 (Transportation Problem) 运运运运运运运运运 运运运运运 运运运运运运运运运运
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运 输 问 题 (Transportation Problem). 运输问题的数学模型. 表上作业法. 产销不平衡的运输问题. 一、运输问题的数学模型. 例：某运输问题的资料如下：. 数学模型的一般形式 已知资料如下：. 当产销平衡时，其模型如下：. 当产大于销时，其模型是：. 当产小于销时，其模型是：. 运输问题特征： 1 、 m 个供应地， n 个需求地的运输问题； 2 、决策变量个数为 m*n 个，约束条件个数为 m+n 个； 3 、系数矩阵中元素为 0 或 1 ； - PowerPoint PPT Presentation
Transcript of 运 输 问 题 (Transportation Problem)
运 输 问 题(Transportation Problem)
运输问题的数学模型
表上作业法
产销不平衡的运输问题
例：某运输问题的资料如下：
单位 销地 运价产地
产量
2 9 10 7 9
1 3 4 2 5
8 4 2 5 7
销量 3 8 4 6
4321 BBBB
3
2
1
AAA
一、运输问题的数学模型
)4.3.2.1,3.2.1(0
6
4
8
3
7
5
9
524824
371092min
342414
332313
322212
312111
34333231
24232221
14131211
343332312423
222114131211
jix
xxx
xxx
xxx
xxx
xxxx
xxxx
xxxx
xxxxxx
xxxxxxZ
x
ij
ij
约束条件：
目标函数：
为运量设
数学模型的一般形式 已知资料如下：
单 销 产 量产地
产量
销 量
nBB 1
mA
A
1
ma
a 1
nbb 1 mnm
n
cc
cc
1
111
) (
0
min1 1
ij
jijij
iij
m
i
n
jijij
x
babx
ax
xcZ
当产销平衡时，其模型如下：
当产大于销时，其模型是：
) (
0
min1 1
ij
jijij
iij
m
i
n
jijij
x
babx
ax
xcZ
当产小于销时，其模型是：
0,0,0
)(
0
min
ijjij
ji
ij
jij
iij
ijij
cba
ba
x
bx
ax
xcZ
并假设：
运输问题特征：
1 、 m个供应地， n个需求地的运输问题； 2 、决策变量个数为 m*n 个，约束条件个数为 m+n 个； 3 、系数矩阵中元素为 0或 1； 4 、每个决策变量在 m 个供应量约束和 n 个需求量约束中各出现一次； 5 、系数矩阵的秩等于 ( m+n-1 ) 个； 6 、基本解中基变量个数等于（ m+n-1 ）个； 7 、平衡运输问题必有可行解，也必有最优解。
⑷.重复⑵ . ⑶，直到找到最优解为止。
步骤： ⑴.找出初始基本可行解（初始调运方案，一般 m+n-1 个数字格），用最小元素法、西北角法、伏格尔法； ⑵.求出各非基变量的检验数，判别是否达到最优解。如果是停止计算，否则转入下一步，用位势法计算； ⑶.改进当前的基本可行解（确定换入、换出变量），用闭合回路法调整；
二、表上作业法
例一、某运输资料如下表所示：
单位 销地 运价 产地
产量
3 11 3 10 7
1 9 2 8 4
7 4 10 5 9
销量 3 6 5 6
4321 BBBB
3
2
1
AAA
1 、求初始方案：
⑴.西北角法（或左上角法）：
此法是纯粹的人为的规定，没有理论依据和实际背景，但它易操作，特别适合在计算机上编程计算，因而受欢迎。方法如下：
3 6 5 6
7 4 9
3 4 4 9
0 6 5 6
4 0 4 9
0 2 5 6
20 2 9
0 0 5 6
20 0 9
0 0 3 6
3 6
0 0 0 0
0 0 0
3 4 0 00 2 2 00 0 3 6
总的运费＝ (3×3) ＋ (4×11) ＋ (2×9) ＋ (2×2) ＋ (3×10) ＋ (6×5) ＝ 135 元
B1 B2 B3 B4 产量
A1 7
A2 4
A3 9
销量 3 6 5 6
3 11 3 10
1 9 2
7 4 10 5
83
4
1
6 3
3
⑵.最小元素法： 基本思想是就近供应，即从运价最小的地方开始供应（调运），然后次小，直到最后供完为止。
总的运输费用＝（ 3×1）＋（ 6×4） ＋（ 4×3）＋（ 1×2）＋（ 3×10 ）＋（ 3×5）＝ 86 元
（ 3 ）伏格尔法 考虑到最小运费与次小运费及相互差额问
题。差额最大处应用最小运费调运。
Cij 销地
供地
B1 B2 B3 B4 供应量
A1
A2
A3
3 11 3 101 9 2 87 4 10 5
749
需 求 量 3 6 5 6
Cij 销地供地
B1 B2 B3 B4 行差
A1
A2
A3
3 11 3 101 9 2 87 4 10 5
0 0 0 71 1 1 61 2
列 差2 5 1 32 1 32 1 2
Xij(0) 销地
供地
B1 B2 B3 B4 供应量
A1
A2
A3
7
4
9
需 求 量 3 6 5 6
5 2
3 1
6 3
用伏格尔法 得初始调运方案如下： 表 1
σij≥0 （因为目标函数要求最小化） 表格中有调运量的地方为基变量，空格处为非基变
量。基变量的检验数σij ＝ 0 ，非基变量的检验数
σij≥0 。
σij< 0 表示运费减少， σij> 0 表示运费增加。
2 、最优解的判别（检验数的求法）：
⑴ .闭合回路法：
B1 B2 B3 B4 产量
A1 7
A2④ ③ 4
A3 9
销量 3 6 5 6
3
13
4
6
3（＋1 ）
（＋1 ）
（－1 ）
（－1 ）
① ②
计算如下：空格处（ A1 B1 ）＝ 3-3+2-1 ＝ 1
此数即为该空格处的检验数。
1
B1 B2 B3 B4 产量
A1 7
A2 4
A3 9
销量 3 6 5 6
3
13
6
31 2 4
B1 B2 B3 B4 产量
A1 7
A2 4
A3 9
销量 3 6 5 6
3
13
6
31 2
-1
4
B1 B2 B3 B4 产量
A1 7
A2 4
A3 9
销量 3 6 5 6
3
13
6
31 2
1 -1
4
B1 B2 B3 B4 产量
A1 7
A2 4
A3 9
销量 3 6 5 6
3
13
6
31 2
1 -1
12
4
B1 B2 B3 B4 产量
A1 7
A2 4
A3 9
销量 3 6 5 6
3
13
6
31 2
1 -1
1210
4
检验数中有负数，说明原方案不是最优解。
B1 B2 B3 B4 产量
A1 7
A2 4
A3 9
销量 3 6 5 6
0
00
0
01 2
1 -1
1210
0
运输问题的约束条件共有 m+n 个，其中：m 是产地产量的限制； n 是销地销量的限制。
其对偶问题也应有 m+n 个变量，据此： σij=cij － (ui+vj) , 其中前 m 个计为 ui （ i=1.2…
m ） , 前 n 个计为 vj （ j=1.2…n ）
由单纯形法可知，基变量的 σij ＝ 0
∴ cij － (ui+vj) ＝ 0 因此 ui ,vj 可以求出。
⑵.位势法
接上例：
B1 B2 B3 B4
A1 3 10 u1
A2 1 2 u2
A3 4 5 u3
v1 v2 v3 v4
成本表B1 B2 B3 B4
A1 2 9 3 10 0
A2 1 8 2 9 －1
A3 －3
4 －2
5 －5
2 9 3 10
u2+v1=1 u2+ v3 =2
u3+v2=4 u1+ v4 =10
u1+v3=3 u3+ v4 =5
令： u1 ＝ 0
u1 ＝ 0 v1 ＝2u2 ＝－ 1 v2 ＝9u3 ＝－ 5 v3 ＝3 v4 ＝10
(ui+vj)
按 σij=cij － (ui+vj) 计算检验数，并以 σij≥0 检验，或用 (ui+vj) － cij ≤0 检验。
B1 B2 B3 B4
A1 3 11 3 10
A2 1 9 2 8
A3 7 4 10 5
cij
B1 B2 B3 B4
A1 2 9 3 10
A2 1 8 2 9
A3 －3
4 -2 5
(ui+vj)
－
B1 B2 B3 B4
A1 1 2 0 0
A2 0 1 0 －1
A3 10 0 12 0
＝表中还有负数，说明还未得到最优解，应继续调整。
σij
——闭合回路调整法（原理同单纯形法一样）接上例：
B1 B2 B3 B4 产量
A1 7
A2 4
A3 9
销量 3 6 5 6
3
13
4
6
3
（＋ 1 ）
（＋1 ）
（－1 ）
（－ 1 ）
3 、改进的方法
B1 B2 B3 B4 产量A1 5 2 7
A2 3 1 4
A3 6 3 9
销量 3 6 5 6
6563销量
9A3
4A2
7A1
产量B4B3B2B1
3
13
4
6
3
（＋ 1 ）
（＋1 ）
（－1 ）
（－ 1 ）
B1 B2 B3 B4
A1 0 2 0 0
A2 0 2 1 0
A3 9 0 12 0
经检验所有σij≥0得到最优解，最小运费为 85元。
0
v4v3v2v1
u354A3
u281A2
u1103A1
B4B3B2B1
成本表
10393
－ 55－ 24－ 2A3
－ 28171A2
010393A1
B4B3B2B1
(ui+vj)
⑴.无穷多最优解：产销平衡的运输问题必定存最优解。如果非基变量的 σij ＝ 0 ，则该问题有无穷多最优解。如上例：（ 1.1 ）中的检验数是 0 ，经过调整，可得到另一个最优解。
⑵.退化：表格中一般要有 (m+n-1) 个数字格。但有时，在分配运量时则需要同时划去一行和一列，这时需要补一个 0，以保证有 (m+n-1) 个数字格。一般可在划去的行和列的任意空格处加一个 0 即可。
4 、表上作业法计算中的问题
例 1 ：B1 B2 B3 B4
A1 7 8 1 4 3
A2 2 6 3 5 5
A3 1 4 2 7 8
2 1 7 6
2 1 3 5 5 2 6 82 1 7 6
例 2 ：B1 B2 B3
A1 1 2 2 1
A2 3 1 3 2
A3 2 3 1 4
1 2 4
B1 B2 B3
A1 1 1
A2 2 2
A3 4 4
1 2 4
0 0
0
) (
0
min1 1
ij
jijij
iij
m
i
n
jijij
x
babx
ax
xcZ
1 、产大于销：模型
方法是先将原问题变成平衡问题，需假设一个销地 (Bn+1 )( 实际上考虑产地的存量 ) ，
三、产销不平衡的运输问题及其求解方法
模型为：
0
)
min
1 1
1
11
1
1
ij
m
i
n
j
n
jjnjijij
n
jiij
ijij
x
bbbabx
ax
xcZ
m
1i
(
2 、销大于产：同样假设一个产地即可，变化同上。
单位运价表中的单位运价为 01, nic
B1 B2 B3 B4
A1 2 11 3 4 70
A2 10 3 5 9 50
A3 7 8 1 2 70
20 30 40 60
B1 B2 B3 B4 B5
A1 2 11 3 4 0 70
A2 10 3 5 9 0 50
A3 7 8 1 2 0 70
20 30 40 60 40
B1 B2 B3 B4 B5
A1 70
A2 50
A3 70
20 30 40 60 40
40 30
30
20 30 20
20用最小元素法求初始方案
例题：
已知某运输问题的资料如下表所示
B1 B2 B3 B4 发量A1 2 6 5 3 15A2 1 3 2 1 12A3 3 2 7 4 13收量 10 13 12 5
1 、表中的发量、收量单位为：吨，运价单位为：元 / 吨 试求出最优运输方案 .
练习：
2 、如将 A2 的发量改为 17，其它资料不变，试求最优调 运方案。
B1 B2 B3 B4 发量
A1 12 3 15
A2 10 2 12
A3 13 0 13
收量 10 13 12 5
B1 B2 B3 B4 发量A1 2 6 5 3 15A2 1 3 2 1 12A3 3 2 7 4 13收量 10 13 12 5
解： 1 、用最小元素法求初始方案
B1 B2 B3 B4 发量A1 12 3 15
A2 10 2 12
A3 13 0 13
收量 10 13 12 5
B1 B2 B3 B4
A1 5 3
A2 1 1
A3 2 4
运费为 108 元 / 吨
2 、用位势法判断：
B1 B2 B3 B4 ui
A1 5 3 u1
A2 1 1 u2
A3 2 4 u3
vj v1 v2 v3 v4
成本表
B1 B2 B3 B4 ui
A1 5 3 u1
A2 1 1 u2
A3 2 4 u3
vj v1 v2 v3 v4
u1+v3=5 u2+v4 =1
u1+v4 =3 u3+v2=2
u2+v1=1 u3+v4 =4
令： u1 ＝ 0
u1 ＝ 0 v1 ＝ 3
u2 ＝－ 2 v2 ＝1u3 ＝ 1 v3 ＝5 v4 ＝ 3
B1 B2 B3 B4 ui
A1 5 3 0
A2 1 1 －2
A3 2 4 1
vj 3 1 5 3
B1 B2 B3 B4 ui
A1 3 1 5 3 0
A2 1 －1
3 1 －2
A3 4 2 6 4 1
vj 3 1 5 3
(ui+vj)
B1 B2 B3 B4
A1 2 6 5 3
A2 1 3 2 1
A3 3 2 7 4
B1 B2 B3 B4
A1 3 1 5 3
A2 1 －1
3 1
A3 4 2 6 4
cij
－
B1 B2 B3 B4
A1 －1
5 0 0
A2 0 4 －1
0
A3 －1
0 1 0
＝
表中还有负数，说明没有得到最优解，调整运输方案。
σij
(ui+vj)
B1 B2 B3 B4
A1 12 3
A2 10 2
A3 13 0
B1 B2 B3 B4
A1 10 5
A2 10 2
A3 13 0
＋ 2
＋ 2－ 2
－ 2
新的运送方案
B1 B2 B3 B4
A1 5 3
A2 1 2
A3 2 4
新的成本表B1 B2 B3 B4 ui
A1 4 1 5 3 0
A2 1 －2
2 0 －3
A3 5 2 6 4 1
vj 4 1 5 3
(ui+vj)1
总的运费 105元 /吨
B1 B2 B3 B4
A1 4 1 5 3
A2 1 －2
2 0
A3 5 2 6 4
B1 B2 B3 B4
A1 2 6 5 3
A2 1 3 2 1
A3 3 2 7 4
－ ＝
B1 B2 B3 B4
A1 －2
5 0 0
A2 0 5 0 1
A3 －2
0 1 0
表中还有负数，说明没有得到最优解，继续调整运输方案。
cij (ui+vj)1
(σij)1
013A3
210A2
510A1
B4B3B2B1
3512vj
14623A3
－ 302－ 2－ 1A2
03512A1
ui B4B3B2B1
(ui+vj)2
42A3
2A2
352A1
B4B3B2B1
新的成本表
013A3
12A2
5010A1
B4B3B2B1
新的运送方案
总的运费 85元 /吨
B1 B2 B3 B4
A1 2 6 5 3
A2 1 3 2 1
A3 3 2 7 4
cij
B1 B2 B3 B4
A1 2 1 5 3
A2 －1
－2
2 0
A3 3 2 6 4
(ui+vj)2
－ ＝
B1 B2 B3 B4
A1 0 5 0 0
A2 2 5 0 1
A3 0 0 1 0
(σij)2
表中没有负数，说明已经得到最优解。但有无穷多最优解。
0
13A3
12A2
510A1
B4B3B2B1
最终的运送方案
总的运费 85 元 /吨
B1 B2 B3 B4 发量
A1 3 12 15
A2 7 5 12
A3 13 0 13
收量 10 13 12 5
B1 B2 B3 B4 发量A1 2 6 5 3 15A2 1 3 2 1 12A3 3 2 7 4 13收量 10 13 12 5
B1 B2 B3 B4
A1 2 5
A2 1 1
A3 2 7
B1 B2 B3 B4 ui
A1 2 5 u1
A2 1 1 u2
A3 2 7 u3
vj v1 v2 v3 v4
成本表
u1+v1=2 u2+v4 =1
u1+v3 =5 u3+v2 =2
u2+v1=1 u3+v3 =7
令： u1 ＝ 0
u1 ＝ 0 v1 ＝ 2
u2 ＝－ 1 v2 ＝0u3 ＝ 2 v3 ＝ 5
v4 ＝ 2
B1 B2 B3 B4 ui
A1 2 0 5 2 0
A2 1 -1 4 1 -1
A3 4 2 7 4 2
vj 2 0 5 2
(ui+vj)
B1 B2 B3 B4
A1 2 6 5 3
A2 1 3 2 1
A3 3 2 7 4
cij
B1 B2 B3 B4 ui
A1 0 6 0 1
A2 0 4 -2 0
A3 -1 0 0 0
vj
σij
B1 B2 B3 B4 发量
A1 3 12 15
A2 7 5 12
A3 13 0 13
收量 10 13 12 5
B1 B2 B3 B4 发量
A1 10 5 15
A2 7 5 12
A3 13 0 13
收量 10 13 12 5
B1 B2 B3 B4 B5 发量
A1 10 5 15
A2 10 2 5 17
A3 13 0 13
收量 10 13 12 5 5
B1 B2 B3 B4 B5 发量A1 2 6 5 3 0 15A2 1 3 2 1 0 17A3 3 2 7 4 0 13收量 10 13 12 5 5
B1 B2 B3 B4 B5
A1 5 0
A2 1 2 1
A3 2 4
B1 B2 B3 B4 B5 ui
A1 5 0 u1
A2 1 2 1 u2
A3 2 4 u3
vj v1 v2 v3 v4 v5
成本表
u1+v3=5 u2+v3 =2
u1+v5 =0 u2+v4 =1
u2+v1=1 u3+v2=2
u3+v4=4
令： u1 ＝ 0
u1 ＝ 0 v1 ＝ 4
u2 ＝ -3 v2 ＝2u3 ＝ 0 v3 ＝5 v4 ＝ 4
v5 ＝ 0
B1 B2 B3 B4 B5 ui
A1 4 2 5 4 0 0
A2 1 -1 2 1 -3 -3
A3 4 2 5 4 0 0
vj 4 2 5 4 0
(ui+vj)
B1 B2 B3 B4 B5
A1 2 6 5 3 0
A2 1 3 2 1 0
A3 3 2 7 4 0
cij
B1 B2 B3 B4 B5
A1 -2 4 0 -1 0
A2 0 4 0 0 4
A3 -1 0 2 0 0
σij
5
0
5
B4
5121310收量
1313A3
17210A2
15510A1
发量B5B3B2B1
B1 B2 B3 B4 B5 发量
A1 10 0 5 15
A2 12 5 17
A3 13 0 13
收量 10 13 12 5 5
B1 B2 B3 B4 B5
A1 2 5 0
A2 2 1
A3 2 4
B1 B2 B3 B4 B5 ui
A1 2 5 0 u1
A2 2 1 u2
A3 2 4 u3
vj v1 v2 v3 v4 v5
成本表
u1+v1=2 u2+v4 =1
u1+v3 =5 u3+v2 =2
u1+v5=0 u3+v4=4
u2+v3=2
令： u1 ＝ 0
u1 ＝ 0 v1 ＝ 2
u2 ＝ -3 v2 ＝2u3 ＝ 0 v3 ＝5 v4 ＝ 4
v5 ＝ 0
B1 B2 B3 B4 B5 ui
A1 2 2 5 4 0 0
A2 -1 -1 2 1 -3 -3
A3 2 2 5 4 0 0
vj 2 2 5 4 0
(ui+vj)
B1 B2 B3 B4 B5
A1 2 6 5 3 0
A2 1 3 2 1 0
A3 3 2 7 4 0
cij
B1 B2 B3 B4 B5
A1 0 4 0 -1 0
A2 2 4 0 0 4
A3 1 0 2 0 0
σij
B1 B2 B3 B4 B5 发量
A1 10 0 5 15
A2 12 5 17
A3 13 0 13
收量 10 13 12 5 5
B1 B2 B3 B4 B5 发量
A1 10 0 5 15
A2 12 5 17
A3 13 0 13
收量 10 13 12 5 5
B1 B2 B3 B4 B5 发量
A1 10 5 15
A2 12 5 17
A3 13 13
收量 10 13 12 5 5
C =75
已知资料如下表所示，问如何供电能使总的输电费用为最小？
发电厂 发电量
A1 700
A2 200
A3 100
城市 需电量B1 500
B2 250
B3 100
B4 150
电力供需表B1 B2 B3 B4
A1 10 5 2 3
A2 4 3 1 2
A3 5 6 3 4
单位输电费用
作业：
B1 B2 B3 B4
A1
A2
A3
初始方案
100 100
50250400
100
B1 B2 B3 B4
A1 10 5 2 3
A2 4 3 1 2
A3 5 6 3 4
单位输电费用发电厂 发电量
A1 700
A2 200
A3 100
城市 需电量B1 500
B2 250
B3 100
B4 150
电力供需表
B1 B2 B3 B4
A1 10 5 3
A2 1 2
A3 5
B1 B2 B3 B4 ui
A1 10 5 2 3 0
A2 9 4 1 2 -1
A3 5 0 -3 -2 -5
vj 10 5 2 3
B1 B2 B3 B4 ui
A1 0 0 0 0
A2 -5 -1 0 0
A3 0 6 6 6
vj
σij
成本表
- (ui+vj) = cij (ui+vj)
A3
A2
A1
B4B3B2B1
初始方案
100 100
50250400
100
B1 B2 B3 B4
A1 400 250 50
A2 100 100
A3 100
B1 B2 B3 B4
A1 300 250 150
A2 100 100
A3 100
B1 B2 B3 B4
A1 10 5 3
A2 4 1
A3 5
成本表
B1 B2 B3 B4 ui
A1 10 5 7 3 0
A2 4 -1 1 -3 -6
A3 5 0 2 -2 -5
vj 10 5 7 3
(ui+vj)
调运方案
B1 B2 B3 B4 ui
A1 0 0 -5 0
A2 0 4 0 5
A3 0 6 1 6
vj
σij - (ui+vj) = cijB1 B2 B3 B4
A1 300 250 150
A2 100 100
A3 100
B1 B2 B3 B4
A1 200 250 100 150
A2 200
A3 100
B1 B2 B3 B4
A1 10 5 2 3
A2 4
A3 5
成本表 调运方案
B1 B2 B3 B4 ui
A1 10 5 2 3 0
A2 4 -1 -4 -3 -6
A3 5 0 -3 -2 -5
vj 10 5 2 3
(ui+vj)
B1 B2 B3 B4 ui
A1 0 0 0 0
A2 0 4 5 5
A3 0 6 6 6
vj
σij - (ui+vj) = cij
B1 B2 B3 B4
A1 200 250 100 150
A2 200
A3 100
C=5200
试用表上作业法求最优解
20060554540销量758779A3
704635A2
556263A1
产量B4B3B2B1 销地
产地
B1 B2 B3 B4 产量
A1 40 15 55
A2 45 25 70
A3 40 35 75
销量 40 45 55 60 200
最小总费用为 945 。
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