...THEORIE ANALYTIQUE DE LA PROPAGATION DE LA CHALEUR CHAPITRE PREMIER HYPOTHÈSES DE FOURIER. FLUX...
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THEORIE ANALYTIQUE
DE LA
PROPAGATION DE LA CHALEUR
CHAPITRE PREMIER
HYPOTHÈ SES DE FOURIER . FLU X DE CHALEUR
1 . La théorie de la chaleur de Fourier est un des p remiers exemples de l ’appl ication de l ’analyse à l a phys iqueen partant d ’hypothèse s simples qui ne sont autre chose quedes faits expérimentaux général isé s , Fourier en déduit unesérie de conséquences dont l ’ensemble constitue une théoriecomplète et cohérente . Les résultats qu ’ il a obtenus sontcerte s intéressants par eux-mêmes , mais ce qui l ’est plusencore est la méthode qu ’ i l a employée pour y parveni r etqu i serv i ra toujours de modèle à tous ceux qui voudront cultiver une branche quelconque de la phys ique mathématique .J
’
ajoutera i que l e l ivre de Fourier une importance cap itale dans l ’histoi re des mathématiques et que l ’analyse pur elui doit peut-ê tre plus encore que l ’analys e appl iquée .
Rappelons d ’abord succinctement quel e st le problème quePROPAGATION DE LA CHALE UR .
2 HYPOTHÈSES DE FOURIERs ’ est proposé Fourier il a voulu étudier la propagation dela chaleur
,mais i l faut d istinguer .
La chaleur peut,en effet
,se propager de troi s mameres
par rayonnement , par conductib il i té et par convection .
2 . Ray onnement. Soient deux corp s placé s à unecertaine di stance l ’un de l ’autre , tout se passe comme si l eplus chaud cédait a l ’ autre de la chaleur . On admet qu ’uncorps qui se trouve dans un mil ieu transparent ou dansl
’
é ther émet des rad iations qui s e comportent comme lesradiations lumineuses ; plus sa temperature est élevée , plusi l émet de radiations .Supposons un corps sol ide en fermé dans une enceinte
E dont il est séparé par un milieu transparent ; le corps etl
’enceinte émettront des radiations . Soit V,, l a temp ératu redu corps C , V , la température de l ’enceinte E .
S iV0 V ,
il y équil ibre de température .
S iVo V.
l e corps e st plus fro id que l ’enceinte,i l émettra moins de
radiation s , le corps va s ’
é chauft‘
er et l ’enceinte va se refroidir .Le contrai re aurai t lieu s i l ’on avait
Vo >
"
V.
L equil ibre de température p ar rayonnement ne peut doncs
’établi r que par une série de compensations dont l ’étudese rait fort intéressante
,mais est é trangère à mon suj et .
CONDUCTIB IL ITÉ 3
3 . L o i de New ton . On admet que les échanges dechaleu r sont régis par la lo i de Newton :La quantité de chaleur perdue par l e corps est propor
tionnelle à V0 V , .
Cette lo i n ’es t qu’
approxima tive et ne peut être cous idé ré e comme exacte que s i V0 V ,
est petit .D e plus
,on peut admettre que la quanti té de chaleur
rayonnée soi t fonction seulement de la différence des tempé ratures : elle do it dépendre auss i des températures absoluesd es corps en présence .
P a r exemple , dans l e cas oùV0
0 V , 1
et dans le cas oùV0
500 V,
501
la quantité de chaleur rayonnée ne sera pas la même .
4 . C onduct ibi li t é .
l es dilïé rents points de ce corp s ne sont pas à la même temCons idéro ns un corps sol ide . S i
pé rature , ces températures tendent à s’
é galiser .
FIG . 1.
Soit par exemple une barre ABCD (fig .
Supposons que l ’on chauffe AB . D ans ce mode de pr0pagation ,
AB ne peut pas céder directement de la chaleur àCD . La partie CD ne pourra s
’
é chauffer qu ’aprè s que lapartie BC se sera é chaufi’
é e elle—même . D e sorte que l ’on
4 FLUX DE CHALEURpeut se représenter les molécul es . du sol ide comme émettantdes radiations qui sont rap idement absorbées par les molécules voi sines .
5 . Conv ection. Quand les différents po ints d ’un fluidesont a des températures d ifférentes , il se p roduit des mouvements inté rieurs qui mélangent les parties inégalementchaudes et égal isent rap idement les températures .Ce phénomène porte le nom de convection . De ce s troi smodes de propagation nous étudierons seulement le second
,
c’ est-à-dire la propaga tion par wonductibilité . C’est l ‘
a, en
effet , l ' objet e ssentiel de la théori e de Fourie r .
FLU X D E CHALE UR
6. Hypothèse fondamentale de Fourier . Soientdeux molécul es mo,
m, , d ’un corp s quelconque
,soient V0 V
leu rs températures respectives,et soi t p leu r distance .
Fourier admet que pendant le temps dt l a molécule m,,
cède à l a molécule m ,une quantité de chaleu r égale à
dQ ‘P(P) (Vo V4)
cp(p) étant une fonction de p,négligeable dès que p a une
valeu r sensible .
Cette derniè re hypothèse n ’est que la traduction du faitque nous avons énoncé plu s haut il n’
y a pas échange d irectde chaleu r entre deux partie s d ’un corps éloignées l ’une del ’autre .
L ’hypothèse de Fourier est restrict ive , car elle suppose quela quanti té de chaleur cédée par la molécule m
oà l a molé
CONSEQUE NCE S DE L’
HYPOTHÈSE D E FOURIER 5
cule m ,ne dépend que de la d ifférence des température s et
nullement de ces températures ell es-mêmes .
Fourier n ’aura it pas fait de restri ction s i , au l ieu de laformule
dQ (10) (V. V.)
il avait admis la suivante
dQ r (19. V.) V.) dl
En effet,la quan tité de chaleur cédée ne dépend év idemment
que de 19 , V,, et V , elle peut donc se représenter par
dQ (p, Vo, V , ) dt.
ce que l ’on peut écri re
l ç [p,V… V,, (V, dt
ou , en développant suivant le s puis sances croi s santes de(V,, V
, ) qui est très peti t , puisque les molécules sont trèsvoi sines
dQ <p. V… V.) V.) (V. V
.)
Le premier terme 99 (p, est év idemment nul et,en
négl igeant les puissances de V,,V,supérieu res à la pre
miè re,on a
dQ '
l’ (Pa V0 ) (V0 V4)
7 . Consé quences de l ’h ypo thèse de Fourier . Enadmettant l ’hypothèse de Fourier :
dQ ‘P(P) (Vo Vi ) dt
6 FLUX DE CHALEURon voi t que
,s i toutes les températures sont augmentées d ’une
même constante,l a quant i té de chaleur reste la même .
S i elle s sont multipl iées par une même constante , la quanti te de chaleur sera également multipl iée par cette constante .
8 . F lux de ch a leur . Nous avons dit que «3 (10) étai tnégl igeable dès que p dev i ent supérieur à une certainel imite . Soit 5 cette l imite .
Cons idérons un élément de surface dw très peti t en valeu rabsolue
,mais infiniment grand par rapport à 5 (fig .
Soient deux mo lécules m, s i
tuée s de part et d ’autre de l ’élémentdœ ; m,,
cède à m,une certaine quan
tité de chaleur ; considérons tousle s couples de molécules tels que
et faisons la somme desFIG 2 ° quantité s de chaleur correspon
dantes . Cette somme est , par défi nition , l e flux de cha leur
qui traverse l ’élément de» .
D ’après ce que nous avons dit plus haut , s i toutes lestempératures sont augmentées d ’une même constante , le fluxde chaleur reste le même ; s i elles sont multipl iées par unmême nombre
,le flux de chaleur est multipl ié par ce nombre .
9 . Cons idérons un corps possédant un plan de symétrie P ,
et supposons que la distribution des températures soi t également symétrique par rapport à ce plan P . Le flux de chaleurrelat if à un élément du) pris dan s ce plan est évidemment nul .I l en sera encore de même si , sans être lui-mème symetrique , le corps est tel que la di stribution des températuresle so it . Cela résulte de ce que les échanges de chaleur ne se
FLUX D E CHALEUR 7
ont qu ’entre des molécules trè s voi s ines . On peu t par consequent
,sans que le fl ux chan ge , supprimer les portions du
corps qui ne sont pas contigu ë s à l ’é lément dm, et réduirele corps à une petite sphère ayant pour centre cet élément .Cette Sphère étant symé trique par rapport au plan P ,
noussommes ramenés au cas précédent .Cons idérons maintenant un corps symétrique par rapport
à un point 0 ,et supposons auss i la d is tribution des tempe
ratures symétriques par rapport à ce point . Le flux de chaleur sera le même en valeur ab solue pour deux é léments de»et dm’ sym é triques par rapport au point 0 .
I l en sera encore de même pour la même raison queplus haut
,s i la d i stribution des températures seulemen t
e s t symé tr ique .
S i,enfin
,la d i stribution des températures est tell e que
deux points m et m ’ symétri ques par rapport au point 0aient des températures égales et de s ignes contrai res , lesflux relatifs à deux éléments symétriques seront égaux en
valeur absolue . 11 en sera encore de même s i l a somme destempératures de deux points symétriques , au l ieu d 'être nulle ,es t égale à une constante quelconque
10 . PROBLÈME . So it un co rps quelconque ; supposonsque la lo i des températu res so i t la su ivante
V az b
Soit un élément ( la) s itué dans un plan parallèle à Oz . Ladistribution des températures e st symétrique par rapport auplan de cet é lément donc le fl ux de chaleu r qui le traverseest nul . D e même
,l e flux de chaleu r à travers l a surface
8 FLUX DE CHALEURlatérale d ’un cyl indre parallèle à Oz est nul , puisque leséléments de cette surface latérale ont leur planparallè le à Oz .
Consi dérons maintenant deux éléments plans perpendicul a ires à Oz
, par exemple deux petits carré s égaux ; soien t ouet a ' leurs centres . Jo ignons m ’
; soit o , le mil i eu (fig .
Pro . 3 .
Soient z,, et z, les ordonnées des deux éléments , et Ccelledu point O
, ; on aZO+ z
l
La distribution des températures est tell e que la sommedes températures de deux points symétr iques par rapport àO,est constante . En effet , on a
Vo + vl
Donc les deux flux à travers les éléments du» et dœ ' sontéga ux ; par suite , le flux est constant à travers un élément desurface quelconque parallè le à xOy .
Considérons un élément du» quelconque , fini ou non, dansle plan des æy , ou dans unplan parallèle . Le flux de chaleur
FLUX DE CHALE UR 9
à travers cet élément e st p roportionnel à du) ; par sui te , onpeut l e représenter par
A do» dt
A,étant indépendant de z
,ne peut dépendre que de a et b.
I l ne dépend pas de pui squ ’on peut faire varier b sanschanger le flux . S i on multipl ie toutes les températures parune même constante , le flux est multipl ié par cette constante .Donc A est proportionnel à a .
Par su ite,le flux de chaleu r peut s ’ écri re
Ka dm dt
K es t une constante qu ’on appelle coefficient de conducti
bilité .
1 1 . Soit maintenant un élément de d ’orientation quelconque , faisant un angleavec le plan des æy . Considérons un planparallèle au plan des æy et infi niment vo isin de cet él ément
,et considérons le cy
l indre proj etant l ’élément dœ sur ce plan(fi9 ° 4) La proj ection de cet élément es t F‘G ° 4'
dœ'
du) 00 8 a .
Le volume du cyl indre et , par suite , son poid s P sont desinfiniment petits du tro is ième ordre (en regardant commedu p remier ordre les d imension s liné a ir es de La sommealgébrique des flux de chaleu r à travers la su rface totale ducyl indre doit être du tro is ième ordre . En effet
,le corp s rece
vant dans l ’unité de temps une quantité de chaleur égale à Q,
10 FLUX D E CHALEURl elé va tion de température se rai t
_Q_
CP
C étant la chaleur spéci fi que du corps .
S i Q étai t d ’un ordre infé rieur au tro i5 1eme,cette é l évation
de température serai t infi ni e . Q est donc du tro is ième ordreau moins et
,par suite
,négligeable en présence des infi niment
petits du deux i ème ordre .
É crivons donc que le flux de chaleur à travers la surfaceto tale e st nul .Le flux de chaleur à travers la surface laté rale est nul ; ilest d onc le même pour les deux é léments duo et dœ '
Le flux de chaleur pour la section d ro i te es tKa cos a dœ dt
et c ’est le même pour l ’é lément de) .12 . Supposons maintenant que nous ayons pour la loi destempératures
V
Un simple changement d’
axes de coordonnées nous raménera au cas précédent .Considérons le plan P dont 1equation est
aæ + by + cz oLes angles de la normale avec les axe s sont donnés parles formules
COS
CAS GÉNÉRAL i l
en posantR \/a 2 b2 c
’
D ’où l ’on ti reV
On obtient facilement le flux à travers un élément dw fa isant un angle ç. avec l e plan P . Prenons le plan P commeplan x '
Oy'
. On auraæ cos a + y cosp 1 00 9 7 .
Et on a pour V l ’express ionV Rz
'
d
Le flux cherché est donc
dQ KR 00 3 9 dm de
Cons idérons en particul ier des éléments parallèles aux
troi s p lans de coo rdonnées . Ils font avec le plan P des angle srespectivement égaux à a , (3, 7 . Par suite , le s flux de chaleu rà travers ces é léments seront re spectivement
KR cos œ d… dt — Ka dw dt
KR COS ?du) dt Kb dm dt
KR COS Yd t!) dt KC dm dt.
13 . Cas g é né ra l . Supposons maintenant que la distribution des températures soi t quelconque .
Soit V (a: , y ,z) la température en un point .
Soit dm un é lément de surface ; un point de ceté lément ; nous allons chercher le flux de chaleur à travers
12 FLUX DE CHAL EURl elément dœ . Ce flux de ch aleur ne dépend que de la température des po ints vo is ins—de l ’élément dm.
Soit (on, y ,un tel point . Poson s
y = y o+ "l
Z zo+ C
La température au point (a: , y ,2 ) aura pour express io n
& “l‘
Les quantités sont très petites . On peut donc négl ige rleurs carres , et l ’on a
dVV =Vo-r
Appliquons les résul tats établ is dans le paragraphe pré cédent . Les flux de chaleur à travers des éléments perpendicula ires aux axe s et pas sant par un point quelconque (a: , y ,
seront respectivement
K%ï fi) du) dt .
d..Kdy
de
Pour évaluer leflux de chaleu r à travers un élément d ’ orientation quelconque
,considérons un té traèdre infi niment peti t
OABC ayant ses troi s arêtes OA ,OB
, OC re spectivementparallèles aux axe s fig .
AUTRE DÉMONSTRA '
I‘
ION 13
On démontrerai t comme précédemment que la sommealgébrique des flux de chaleu r à t ravers le s quatre faces es tnulle aux infiniment petit sd u trois ième ordre près .
Soient a , (3, y le s cos inusd irecteurs de l a normale àl ' élément ABC
,dont la sur
face est dw. Les ai re s destro is autre s face s seron trespectivement F… . 5 .
dm,du) , 7 ( lw.
Appelons dQ le flux de chaleu r à travers l ’élément de) . Onaura °
dvdvdQ — d d l œ
æ +Bæ;dV
Y“
Æ
Pour préci ser l e s ign e du flux de chaleur,nous chois iron s
sur la normale à l ’é l ément dœ un sens pos itif, et nous donnerons au flux l e s igne ou le s igne su ivant que lemouvement de la chaleu r aura l ieu dans l e sens positif oudans le sens négatif. On voi t facilement avec c es conven
t ions que le flux de chaleur estdV
dQ K dw dt
dv etant l a der1vee su i vant l a normale,pri se dans un sens
convenable .
14 . A utre démonstration . L e raisonnement de Fourier que nous venons de fai re peut être remplacé par uncalcul plus court
14 FLUX DE CHALEURSoit un élément du) ; considérons deux points m,
. de
part et d ’autre de l ’élément dœ . Soient
les coo rdonnées de man,, S, u,, v) , 2
,celles de m
,
V , , les températures .
La quantité de chaleur cédée par m,,à m
,e st
(Vo V i ) dt°
Or , on a’
dv dv dV—0V,
VO (dæ0 dÿ,,7l
dzO
C
D e plus,on peut remplacer z
,,
dans les dérivées parti elle s par les coordonnées on, y ,
z du point G , centre degravité de do (fig .
Fra . 6. On a alors :
.lv av dV“ Vo — EÆ + VI
aËÇ ‘
ä;
e t la quantité de chaleu r cédée par m,,
‘a m,est , par suite
dV dV—v (r)
Le flux total a travers de est donc
dVdQ
AUTRE DÉMON STRATI ON 15
Posons
2
2 (a)
—E çmt
On aura
dt dœ K%+ K'
î—ï K
S i nous rejetions l ’hypothèse de Fourier , i l faudrai t dansles équations c i—dessu s remplacer q>(p) par (19 , V) .
Alors K , K ’
,K ’ seraient des fonctions de la température .
Supposons l ’élément dœ pe rpendiculaire à l ’axe 0 30 . S i lecorps est homogène
,K
,K
'
,K” seront les mêmes pour tout
é lément perpendiculai re à 0 00 . Ce seront des constantes nonseulement par rapport à l a température
,mais encore par rap
port à æ, y ,
S i,de plus , le corp s est i sotrope , l ’expression
du flux de chaleur ne doit pas change r,quand on change
y en y ,car tout plan es t alo rs un plan de symétri e pour
la const itution du corps . Donc K '
0 . D e même K" 0 .
E t,si l 'on change œ en a:
,le flux changera de signe , ce
qu ’on voit en effet sur la formule .
Le flux de chaleur à travers un élément clœ perpendiculai re à Oæ sera donc
Kd°—V d t dd) .
dx
En raison de l ’ isotr0pie du corp s , le flux de chaleu r à travers des éléments perpendiculai res à Oy et Oz sera res
16 FLUX .D E CHALE UR
pectivement
KËt dmdy
dvK “
à;d l de) .
la constante K étant l a même .Pour un élément duo quelconque on aura
dVdQ K
dndt
Le signe se détermine ai sément en prenant des ce
parallèle à la normale à l ’é lément .
18 ÉQUATION DU M OUVEMENT DE LA CHALEURa 0 03 , est :
dv
flux de chaleur à travers estdvd V d
dy dz dt Käâ}
' + d-
œ
_ K i
dæ
somme de ces deux flux est donc
D e même,pour les deux autre s couples de faces
,on aura
ddx dy dzdt
ddæ dy dz dtæ
K
La quantité de chaleur qui entre dans ! l e paralé llipipèdeest par su ite
d dv dv d dvd.vdy dz . dt. K
dæ dy (7%
D ’autre part,cette quanti té de chaleur est égal e à
D .C . dx dy . dz dv
D étant la dens ité du corp s, C sa chaleur spécifi que .
En égalant ces deux express ion s,on a
dV d dV
S i nous adoptons l ’hypothèse de Fourier , K est une constanto.
TRANSFORMATION D E COORDONNÉES 19
S i nous ne l ’adoptons pas , K sera fonction de la température
,soi t :
On aura
etc .
L ’équation dev i ent doncdV d 2v
C °D °
dtK 2 +K E da: 2
Dans les appl icat ions,nous nous bornerons touj ours à
l equation de Fourier qu i a une forme l inéai re . Nous supposerons donc K’ o
,et K constant
,de sorte que l ’équation
seradv Kdt C .D
AV
Nous négligerons les vari ations de C et D,et nous pose“
runs :
KCD
A: .
L equation du mouvement de la chal eur est doncdV — M V
16. Transforma t ion de coordonné es . Nous allon svoir ce que dev ient cette équation dans un système de coordonnées quelconques .
20 ÉQUATION DU MOUVEMENT DE LA CHALEUR
et prenons E, Y,, Cpour coordonnées nouvelle s .Nous supposerons que noùs avons un système
thogonal , ce qu i est exprimé par les condition sdœ dæ dy dydEdn
+d î dn
+dfi dn
dz dz
dn d l du CIC
dz dz
dt; dE dt; dE dt; d£
Posons enou tre
d£ d£
ds2 dœ‘3 dy
z dza
ds2 a2 dE;
2 62 0"dl } .
Considérons le sol ide (fig . 8) l im ité pa r les 6 surfaces
E,, (ABCD ) E E,,
"lo 7 ) V).
K,, C C,, d£
TRAN SFORMATION DE COORDONNEES 21
Le sol ide ains i obtenu est ass imilable ' à un petit pa ra llél ipipède rectangle en rai son de l ’ortho gonalité du système .
Calculons l es arê te s . Cons idéronsBB
' par exemple .
L es points 8 et B' ont pour coor
données(C0 a
’
7lo d71) Co) (50 d£»"lo
Donc la longueur de l ' arête BB ' estFIG . 8.
ds a J‘
On voi t donc que les d imens ions du pa ra llé lipipède sont
adë bd?) c .
Le flux à travers ABCD est :
K d(o dz
et l ’ondu) bcdn dC
Donc le flux e st
bc dvK .
d î’
est
bc dV
a 612du d£d
22 ÉQUATION DU MOUVEMENT DE LA CHALEURLa somme algébrique de ces deux flux est :
d bcK .
Æ a dEdEdndCdt.
On obtient des expres s ions analogues pour les deux autrescouples de faces .En faisant la somme on obtient la quantité de chal eur quientre dans le parallé lipipède
K . dë dv, dC tbo dV
D ’autre part,cette quantité de chaleur estCD . a bc. dEd *
q dÇ dv.
En égalant ces deux express ions et posantKCD
on obtient l equation du mouvement dans le système decoordonnées considéré
(l )a bc d bc
+d ca dV
_d a d
k dt dE a dë d., b d., dc
17 . Coordonné es semi-po la ires. On aæ = pCOS w
y = ç sin œ
z z
Par suite6182 p
2 dd) 2
D ’où l ’on dédui ta =1
COORDONNÉES SEM I -P OLAIRE S 23
L equation générale dev i entpdV d dv
k d t d.Paz—
p d.. . d..
1 dv 1 dv d2V 1 d2V
k dt
18 . Coordonné es po la ire s .w r—cos ç s ineg, : r s in e s in ô
z r cos 6.
ds" dr 2 sin3 0 d <p3a = 1 b= r s in û
Substituons dans l equa tion ( i ) du 16
r” s in 9 dV
r”
cl 2V
k dt27° sin 0 d
d
vr+ s in 0
dr
1 d aV
s in 6 d?2 0 0 8 0
1 dV dV d ’V 1 cotg 6 dV 1 d 2V
k dt r dr dr 2 s in2 de ? r2 de de?
19 . Reprenons l equation de la chaleur dans le cas descoordonnées cartésiennes
dV
d tkAV
Considérons un corp s C à l mter1eur d ’une enceinte rem
24 ÉQUATION DU MOUVEMENT DE LA CHALEURplie d ’un fluide à la température Le corp s perd de la chaleur par sa surface de deux manières :1° Par rayonnement ; s i l ’on admet la lo i de Newton ilperdune quantité de chaleur proportionnelle à V2° Par convection ; on admet que la quantité de chaleu rperdue de cette manière est aussi proportionnelle à VDe telle sorte que la quantité de chaleur perdue par unélément du) de la surface est
Hétant une constante déterminée pour chaque élément du) .aw
a.
FIG . 9 .
Considérons sur la surface un é lément a b de surface du)(fig . Par chaque point de l ’élément menons la normale àla surface S vers l ’ intérieur du corps
,et portons sur cha
cune de ces normales une longueur constante infinimentpeti te .
On détermine ains i un élément a ’
b' égal et parallèle à ab.
Nous supposerons infi niment petit par rapport aux dimensions l inéai res de de» ; comme nous l ’avons déjà fait , é valuons de deux manières d ifférentes la quantité de chaleurgagnée par le petit cyclindre dans le temps dt.La quantité de chaleur gagnée par a b est
La quantité de chaleur qui entre par d '
b’ est
dVk dw dtdn .
26 ÉQUATION DU MOUVEMENT DE LA CHALEURpour tous les points intéri eurs au co rps et pour toutes lesvaleurs positives du temps
,sati sfasse à l ’équation
dV
d tkAV
telle que,pour tous les points de la surface du corps
,on ait
dvh —VO) dn0
et qui,pour t 0
,se réduise à une fonction donnée
<p(Œ.
la et V ,, sont des fonctions données des coordonnées dechaque point de la surface .
2 1 . P rob lème des tempé ra ture s sta tionna ire s .On admet quîà un certain moment la température ne varieplus , c ’est—à—dire que l ’ équil ibre calorifique est établ i .On se propose de chercher quelle est alo rs la di stributiondes températures .
Dans ces conditions on aura :dV
dt
V sera fonction seulement de aa, y ,z
, et l equation 'généraledu mouvement se rédui ra à
AV 0 .
La condition à la surface sera la même que précédemmentet l ’on aura
h <V
PROBLÈME DES TEMPERATURES STATIONNAI RE S 27
On peut supposer comme cas l imite h 0 .
On aura alors :dV
dn
Dans ce cas la surface du corp s est imperméable à l a chaleur .Un autre cas l imite es t celu i où h es t in fi ni ; on a alors àl a surface
V = V,,
C’est ce qui arrive à t rè s peu prè s
,par exemple , quand le
corps est plongé dans un l iquide .
S i V,, est constant , on peut supposerV,,
0
car le 0 des températures est arbi trai re .
2 2 . Nous allons démontrer que chacun de ces deux problèmes n’
admet qu ’une solution . Pour cela nous rappelleronsle théo rème de G reen .
Soit une surface fermée S l imitant u n volume T so i t du)l elément de surface , dr l ’élément de volume . S i U et V sontdeux fonctions quelconques continues
,ains i que leurs dé ri
vé es du premier ordre à l ’ intérieur du volume , on a
dUdV dUdV dU dvdœ
dæ dæ+ dy dy+ d.Ê dz
et dans le cas ouV U
t +
28 ÉQUATION DU M OUVEMENT DE LA CHALEURSupposons que le problème des températures variablesdeux solu ti ons V et V ’
.
On aura pour tous les po ints inté rieursdv dv
’
dtkAV ’
d t
et à la su rfacedV
’
dVh <V — V.)
et,enfi n
,pour t o
SoitV V
'
On voit que l ’on aura pour tous les points i ntér ieursdWdt
kAW
a la surfacedW
hWdn
et,pour t o
W o .
I l suffit de démontre r que W est nul c ’est—à—dire que,s i
dans le problème des tempéra tures variables les fonctions V,,
et q: sont nulles , l a fonction V el le—même est con stammentnulle .
Soit V la solution du problème dans ce cas . Considéron sla fonction J
étendue à tout le corps .
PROBLÈME DE S TEMPERATURE S STATIONNAIRE S 29
On aurao .
D iffé rentions par rapport à t
Or,comme l ’on a
on peut écriredJ
d tk
E t , en transformant par la fo rmule
(I] :_
il dwdt dn
Or , on a à la surfacedV
dnhV .
Substituons dans la formule précédente , elle devient
ËÎ kff l2 dœ — k
Comme h et k sont essentiel lement pos i tifs , ou a
ë ! 4 0 _
dt
E t comme on a pour t 0 , V o,d ’où
J = o .
30 ÉQUATION DU MOUVEMENT DE LA CHALEURon voit que l ’on a
,pour des valeurs positives du temps
J é . 0 .
Or nous avons déj à
Donc on a
D ’où,par Conséquent
V o .
Le résultat subs iste même dans le cas limite où,pour cer
tains éléments de la surface,la e st infini
,car pour ces points
on auraitV 0
et l ’ intégrale
hV2 dw
restera i t finie .
2 3 . Cons idérons maintenant le p roblème des températuresstationnai res , et supposons qu ’ i l compo rte deux solutions Vet V ’
On aura pour tout point i ntérieur
AV 0 , AV'
0
et à la surfacedv
h (V — Vol+
PROBLEME DES TEMPÉ RATURES STATIONNAIRE S 31
ce qui donne,en posant
W :
AW :
pour les points intérieurs , et
hW +
à la surface .
I l suffi t donc de montrer que , s i dans le problème destempératures stationnai res V
,,e st nulle
,la fonction V est
nulle .
Appliquons la formule de G reen à l a fonction V , en remarquant que l ’on a
AV = O ,
On a alors
ft2 d..
Le premier membre est négatif ou nul .Le second est positif ou nul . On doit donc avoir
V 0 .
S i h est infini , on voit , comme précédemment , que les ré sultats sub si stent .S i h est nul en tous les points de la surface
,l ’équation ci
dessus nous montre seulement que :dV dV dV
32 ÉQUATION DU M OUVEMENT DE LA CHAL EURD ’où
V const .Alors le problème n ’
est‘
pas entièrement déterminé . Pourtrouver la constante , i l faut se donner la quantité de chaleurenfermée dans le corp s dont la surface est imperméable .
Le cas où le est infini revient au problème de D i r ichlet .24. La solution du problème des températures variables
dans le cas le plus gé né ra l peut se ramener à deux problèmes plus s imples .
En effet,il s ’agit de trouver une fonction sati sfai sant aux
conditionsdV
dtkAV
h (V Î,X o à l a surface,
V cp(æ , y ,z) pour t o .
Cherchons d ’abord une fonction V , (œ , y ,z ) telle que
AV , 0
dvh (V 1 VO)
pour les points de la surface ; c ’est le problème des temperatures stat ionnaires , et la fonction V , est , comme on l ’a vu ,parfaitement déterminée .
Cherchons maintenant V 2 (t, sa , y ,z) telle que
dv .“2 a ).
34 ÉQUATION DU MOUVEMENT DE LA CHALEUR2 6 . Cas d
’un fi l . Considérons un fil de sect ion cons
tante et assez petite pour que la tempé rature soi t uniformedans cette section (fig .
Nous prendrons comme variable l ’arc de fi l compté àpartir d ’une certaine origine .
FR} . 10.
Considérons deux section s dro ites a b et a '
b' pri ses à des
distances s et s ds de l ’origine . Soit l ’a i re de la sectiondroite
,et a son périmètre .
Le volume de l ’élément sera ds et sa surface latérale a ds .
La quantité de chaleur qui entre par a b estdvKw dtds
celle qu i entre par a 'b’ estdv d 2vKw dl
d82dS
La chaleur gagnée par la surface latérale estH(V o ds dt.
S i l ’on suppose V,,
0 , cette quantité s e réduitHVc ds dt.
On aura,comme dans les exemples précédents
2Kw dtds HVo ds dt dtÆ C .D ,wds
ds dt
CAS D ’UN FIL 35
S i l ’on pose
1equation devientdv
d lkds2
S i l e corps est imperméable à la chaleur,on a a
l ’ équation se rédu it àdv
kd ‘v
dt ds2
Le cas où a n ’es t pas nul peut se ramener à celui—làposant
V
car on a alorsd 2V d2U
ds2 d3 2
dv dU
cü d t
et l equation dev ient
SOLIDE RECTANGULA IRE INDÉFIN I
2 7 Le premier problème traité par Fourier est celui destemperatures finales stationnaires dans un solide rectangul aire indé fini que l ’on suppose l imité par le s plans
Fl o . l l .
V ne dépendra que de w et de y ; cette fonction devra donc
SOLIDE RECTANGULAIRE INDÉFINI 37
sati sfai re à 1equationdav d"vdx 3 dy
2
et on devra avoir à la surface( IV
Nous supposerons h i nfini , c ’est—à-dire que la conductibi l itéextérieure est assez grande pour que la surface du corp ssoit en équil ibre de température avec le milieu ambiant .On aura donc à la surface
V V0
Supposons par exemple que l ’on ai t
pour au : V = o
pour + ëa V = 0
pour y = oo, V = o
et pour y 0,
V f (ac)
f (æ) étant une fonction donnée .
Fourier recherche d ’abord les cas où la so lution V se présente sous la forme
aura
38 SOL IDE RECTANGULAIRE INDÉ FIN IOn do i t donc avoi r
f”
(æl + f (æ) (y ) 0
ou b ien
et cette égal ité ne p eut avo ir l ieu que s i chacun desmembres est égal à une constante A .
Supposons d ’abord A o , et posons : A m2
Oncp
”m2
cp 0 .
La forme générale de cpest donc
g. a cosmy b sinmy
a et 6 étant de s constantes .Ma i s dans ces conditions
, V ne s’
annulera it pasyCette solution ne convient donc pas .I l faut donc poser : A m2
On a dans ce cas :772% o .
<p a emy
Pour que cette expressi on s ’
annule à l mfini,faut que a
soit nul . Donccp be
_ my.
On a d ’un autre côté
f
SOL IDE RECTANGULAIRE INDÉFIN1 39
D ’oùon s in (mao 6)
et cette fonction doit s ’
annuler pour a:On doi t donc avoi r
+ 6= kvr + 0 = k'
u
k et k '
étant des nombres entiers .Cec i montre que m do i t lui-même être entier .S i m est pair
,on prendra 6 0 .
S i m est impai r,on prendra 0
D ans le p remier cas f (æ) est de la forme
f (æ) a s in '2mæ
D ans le second cas on a la forme
[ (az) rx cos (2m 1) x
E t l 'on aura pour la fonction V dans ces deux cas1° V sin 2mx2° V Ae * ‘2m—'W cos (2m l ) 00
Ains i donc le p roblème est résolu quand f (œ) a l ’unedeux fo rmes
s in 2mæ cos (2m i ) a:
28. Suppos ons que f (æ) so i t une séri e de la forme
f (x ) a,cos æ cos 3æ a
,, cos 53;62sin 2æ+ b
,s in M? 6
6sin 650
à0 SOLIDE RECTANGULAIRE INDÉF IN IConsidérons la fonctionV a
,e
* y cos a: aae
' 3 cos 3x asc—sy cos 5570
b2e—2y sin 2x s in 4æ
Chacun des termes u de cette série satisfait à 1equationAu 0 .
D e plus, chacun des termes s’
annule pour ce i ä demême que pour y 00 .
On voit immédiatement que,si f (æ) possède un nombre
” fini de termes , i l en sera de même de V ,et l a fonction V est
la solution du problème .
D ans le cas oùle nombre des termes est i ll imité , on ne peutpas affirmer a pr ior i que le même rai sonnement est appl icable ; il faudra préalablement étudier la série V commenous le ferons dans les exemples su ivants2 9 . Quoi qu ’ i l en so it
,le p roblème de Fourier nous amène
à cons idérer le suivantTrouver une sé r ie tr ig onomé ir ique de la forme
a,cos æ a
3cos 390 a
s00 5 550
62sin 2œ b
,‘sin4æ
repré senta nt une fonction (cv) pour toutes les va leurs de a:
'
JT 7t
CO'
MP?°
2868 entre et2 2
Ce problème se ramène au suivant , traité é galement parFourier
“Trouver une sé r ie de la forme
ao
a, cosæ au
200 5 237
sinæ + 62sin 2æ
qui r epr é sente une fonction f (a: ) entre 7: et 7r.
42 SOL IDE RECTANGULA IRE INDÉFIN I30 . Supposons la fo’nction f (æ) développable en une sérietrigonométrique uni formément convergente .
f (œ) ao + a
,cos ào+n2
0 0 5 250 cos næ +bis inæ 6
2s in 2æ+ b,, s in næ
Calculons par exemple a …
Multipl ion s les deux membres par cos næ dæ et intégronsn à
On aura,d ’aprè s le s égal ités écrites p lus haut
TC
[f (œ) cos nx dx vra ,,—7
‘
t‘
O n voit de même que l ’on a
fÿ‘
(œ) sin næ docet
,enfin
+ 7:
f f (æ) da: 2na0
—1t
On a donc, en admettant la poss ibi l i té du développement
f (œ)_
Œrf f“) dz + 12 cos nœ£Ç (z) cos nz dz
1
7
—t E s1nnæj lffi(z) sm nz dz .
Cons idérons maintenant une fonction à rep résenter dansl ’ intervalle au moyen d ’une série de la forme :
az4 cos
œ d3cos 3æ
62sin 6
,s in 4x
SOLID E RE CTANGULAIRE INDÉFIN I 43
Nous auron s résolu ce p roblème , s i nous trouvons unefonction de cv définie entre 7: et “
E,
ni dans l ’ intervalleq
3 â se réduise à la p récédente,et tel le que la série
trigonométrique qu i lu i correspond soit de la forme c i-dessuS i
,dans cette sé rie
,on change au en 7r— æ ou en 7r—æ
,
la valeur de l a sér ie change de s igne,et d ' ail leurs toute série
j ou i ssant de cette pr0prié té a n écessairement la forme précé dente .
TC Tt
S i 93 est compr i s entre 0 et as i t 90 est compr i s entre5et 7r.
71'
S i a: est compr i s entre5
vi a: es t compr i s7:entre 7: et 5
Nous défini rons donc une fon ction cp(æ) de la façon su ivanteDans l ’ inte rvalle elle aura les valeurs de la fonct ion f (x ) .D ans 1 i ntervalle 7r
,on aura
w
et dans l ’ intervalleë
<æ ) f (7f xi
3 1 . Supposons , par exemple , que l ' on 1 dansl ’ interval leNous au rons alor sEntre — « et—ä. <p(œ)
44 SOL IDE RECTANGULAIRE INDÉFIN I7t ar
Entreë 2
cp(æ) 1
Entre et “tt cp(a: )
Pour cette hypothèse particul i è re , l a fonction 9 (a: ) est paire ,et on voit aisément que tous les termes en sinus dispara issent, et on aura pour m impair
.v c) osmæ dæ
2f cosmœ dæ 2{[cosmæ dxa
7:+
1na — a
m 4'
m
On a donc le développement71: COS 3œ
cos œ3
et la solution V sera dans ce cas donnée par la formule7r cos 3w
ecos 500
zV = cosœe
*
3e
3y + e- 5y
32 . Ayant obtenu cette série , sat isfait—elle à toutes lesconditions du problèmeSatisfait—elle à l ’équation AV oCherchons
,d ’ab o rd , s i elle admet des dérivées du second
ordre par rapport à w et y .
S i les séries formées avec les dérivées du second ordre deces termes sont un ifo rmément convergentes , on est certainque ces séries repré sentent les dériv ées du second ordre de
71:la ser i e4V .
SOLIDE RECTANGULAIR E INDÉFIN I 43
Diffé rentions deux foi s par rapport à x . On a la sériecos ace - y 3 cos 3x e *
5 cos 5æe- 5y
Les termes de cette sé rie sont plus petits en valeu r absolueque ceux de la série :
e—y 3e
—3y se—5y
qui es t uniformément convergente pour toute s les valeurspos itives de y , les seul e s que nous considérons . Les dérivée ssecondes ex i stent donc et peuvent ê tre obtenues en diffé rentiant notre sé rie terme à terme ; on en conclut ai sémentqu ’on a pour tous les points inté rieurs au s ol ide
AV = O .
Voyons maintenant s i V Sati sfait aux condition s à l a surface .
A—t-on
V 0
quandœ=+ä
’ y étant pos it if ?Cela a l ieu s i la série V est uniformément convergente .
Or,les termes de la série âV sont plu s peti ts e n valeur
ab solue que ceux de la séri ee—5J
e
qui est uniformément convergente , sauf pour y 0 .
De même, s i y croî t indéfiniment , V tend vers zéro .
Examinons ce qu i s e pas se pour y 0 . Nous obtenons
46 SOL1DE RECTANGULAI RE INDÉFIN I7talors pour11V l a ser i e
cos Bæ cos äxcosœ
3 5
7!Nous allons demontrer que la valeur de cette ser i e estet
,dans ces conditions , on sait que V aura pour l imite 1 .
3 3 . Considérons la somme
S cos a: 00 8 333
3 2m 1
où nous supposons m pair .On a :dSm
dxs1n 3æ sm (2m— 1) æ
Multipl ions par °2.i .
Comme l ’on a2i s inæ
I l v i ent° d
îm
_—l ) ix
œ
6" ix
e-
‘
â ix e—(2m -J ) ix
On a deux progress ion s géométrique s l imitée s dont le sraisons sont e
?“et e* 2 iæ
Donc on a
1
SOLIDE RECTANGULAIR E INDÉFIN I 47
On a doncCIS… sin ‘l wm
dæ 2 cos 33Nous al lons démontre r que la série obtenue en faisantcro î trem indéfiniment a une valeur constante , s i a: est compri s
7tentreQetQ
On a , en effet
S… (x , ) S… (900)
Intégrons par partiescos EZmæ l
‘
i cos°2mœ sm x
4m cos a: æ04m cos 2 crSm (œ! ) Sm iwol
7r
000et a:
,sont compr i s entre
ëe t donc cos a: ne s annule
pas dans l ’ intervalle . Par su i te , l e premier terme du secondmembre tend vers 0
,quand m cro î t indéfiniment .
I l en est de même de l ’ intégrale .
D onc,on a
lim S ,n (ae, ) l im S… (wo)
S (x l ) S (œo) °
L a fonction S (se) représente donc une constante . Pour ladéterminer fai sons a: 0 . On a
S (o)4
Donc,pour toute valeur de x compri se entre et on a
cos 3æ cos äæcosœ
_3 0
48 SOLIDE RECTANGULA IRE INDÉFIN I34 . On peut donner de cette identité une autre démonstration .
Ou
dz
1 z
11 —z
2 3
1
en supposant, par exemple , m impair .
En intégrant , on a
arc tgz
RHL
PosonsZ pe
…. 1 .
On a pour R… en intégrant le long de la dro ite oz982m
e (2m im
1 z2
On aP2m d?ABR
A étant l ’a ffixe du point 1,B celle du point 2 2
,AB repré
sente le module de la quantité 1 z (fig .
S l w < ïa 0 11 8 2 2w < âTC
4
et,pa r suite , on voit que : AB 1 .
S i 0) 71:
+ 20) et on a :
AB > ) s in 2œ )
50 SOLIDE RECTAN GULAIRE INDÉE INI
Dans l ’expres sion de arc tgz remplaçons x par e… et e—Wet ajoutons les deux développem ents
arc tg cim arc tg e
—i‘"
D onc on a
i t cos 3œ cos 5œkfr cos œ
2 3 5
K est un nombre entier , que l ’on détermine en fai sant 0 .
On voit que K 0 , donc :
co s SœCOS w
î4
3 5 . Revenons au cas général .Nous avons trouvé
V E a … co s mœ 2 b… sinmao
l es et étant à indices impai rs , et les 6 à indi ces pai rs .Nous poserons
z i e*
y + iæ
D ’ oùim e
my m ix
La partie imaginaire de z'"
m = 4r + l,
m= 4r + 3,
m 4+L ,
su ivant la valeur
cos mx
s in mac
e—"W cosmœ
e“
-V sin mao.
SOLIDE RECTANGULAIRE INDÉF IN I 51
Suivant ces différents cas,nous poserons
m = 4u+ 1 ,
m = 4u+% ) \m
m : 4p,Âm
Et nous considérerons la fonction
MZ) 2
On voit que V est la partie imaginaire deLes coefficients de <p(2 ) sont réels . Donc , s i : es t réel , on a
V 0
W2 est reel S I 00 j :
5Donc V est nul pour ces valeurs .
So i t zol ’ imaginaire conjuguée de
On a
Appliquons au cas particul i er que nous avons déjà étudié
1r cos 35194V cos ace—y
3e—3y
La fonction cp(z) cor respondante sera donnée par
—S
+ m
1 arc tg zz .
52 SOL IDE RECTANGULAIRE INDÉFIN I
arc tg izo
V arc tg izo arc tg izi zo
iz
1 izo
. iz
2e—y cosœarc t
o 1 — e—2y
arc tg
36 . Fourier cherche à évaluer le flux de chaleur à traversun plan quelconque parallèle au plan y o .
En appliquant la formule générale qui donne le flux ou a
dQ
Dans le cas particul ier que nous venons etudier
4K(cos ace “ y cos 3d e * 3y
s in 300sm æe
—y
3
S i l ’on veut avoir la dépense totale de la source de chal eur
,i l faut prendre le flux pour la base y 0 .
Mais on voi t que , dans ce cas , l a série est d ivergente . Donc
SOL IDE RECTANGULA IRE INDÉFIN I 53
l a dépense totale de la source es t infinie . Ceci ti ent à ce quela base est maintenue à la température 1, tand is que les facesl até rales sont maintenues à l a température zéro .
FIG . 14.
Entre les po ints A()et A
|infiniment voi sins , mais pri s l ’un
sur la base,l ’autre sur la face latérale
,la d ifférence de tem
pé rature est finie , et i l y a ce que Fourier appelle une ca tara cte de chaleur .
CHAPITRE I V
SÉRIE DE FOURIER . THÉORÈME DE D IRICHLET
37 . Dans les considérations p récédentes nous noussommes servi s de fonctions supposées développables en sériede Fourier .Nous allons indiquer maintenant des conditions très générales sous lesquelles ce développement sera possible .
Cond i tion de D ir ich le t . Nous d irons qu’une fonction f (æ) sati sfait à la condit ion de D irichle t, lo rsqu’ el lepeut être regardée comme la différence de deux fonctionsdont chacune re ste constamment finie
,et n ’est j amais cro i s
sante .
Chacune de ces deux fonct i ons peut toujours être supposée positive . Eu effet
,soient f4 et 13 ces deux fonctions ,
et soit a la plus petite valeur qu ’elles peuvent prendre .
On prendra alors
f (œ) f/ . (50 ) on) ff. (œ) otl
COND ITION DE D IR ICHLET 55
Nous al lons montrer qu ’une fonc tion,qui n ’a dans un
in tervalle donné qu ’un nombre fini de max ima et de minima,
satisfait à la cond ition de D i richlet . Supposons , pa r exemple ,que la fonction présente un max imum et un minimum .
FIG .
'
.l u .
Appelons B et C le maximum et le m inimum et so ien t bet c les valeurs de 00 correspondantes .
Soit oc une constante .
D ans l e premier intervalle (a ,6) nous prendrons
f , f2 a f.
Dans le deuxi ème interval le (b, 0 ) nous prendrons
f, « + f — B f 2= a — B .
Enfin , dans le tro i s ième intervalle (c, d )
f, « + C — B a + C — B — f .
On voit que les fonctions et f2 ainsi définies ne sontj amais cro issantes dans l ’ intervalle a
,d,et
,de plus
,on pourra
prendre et assez grand pour qu ’elles soient positives danscet intervalle .
56 SÉRIE DE FOUR IER . THÉORÈME DE D IRICH LETS i deux fonctions satisfont à la condition de D i richlet , i len est de même de leur somme ou leu r produit .Soi t f A —B
f'= C D .
— (B+ D i
et les fonctions (A C) et (B D ) ne sont j amai s croi ssantes .
De même , on a :
f. f = (AC BD ) (AD BC)
On voit encore que les deux fonction s
(AC BD ) , (AD BC)
ne sont j amais croi s santes .Une fonction satisfaisante à la condition de D ir i chlet
être di scontinue .
Soit
On ah > o
et f , (ou h) croî t quand h décro î t .Donc f, (en h) a une limite quand h tend vers zéro . D emême
, f , (a: h) a une certaine l imite qu and [2 tend verszéro .
La limite de (w h) est inférieure ou égale à f,celle de f' (a: h) est supérieure ou égale à f,
58 SÉR IE DE FOURIER . THÉORÈME DE DIRICHLETet on pose :
CU,‘
B,, b — œ, …
So ient M ; et m, le max imum et le minimum de {(sv) dansl ’ intervalleOn forme les deux sommes
+ Mnôn
3 771282
m ,-8,
On démontre que,lorsque les intervalles 8 tendent vers
zéro suivant une loi quelconque,S et s tendent vers des
l imites fixes L et l .Pour que la fonction so it intégrable il faut qu ’on ait
L
Supposons que,dans l ’ intervalle (a , f (en) ne soit j amais
cro issante .
On aura alorsM ; f (æ i—4)
m ; f (æi )Donc
2 [f (œi—4) f (æi )i 55
formation des interv alles est quelconque ,
b a
On a alo rs
COND ITION DE DIR ICHLET 59
Quandn croî t indéfiniment
l im (S s) 0 .
Donc,l a foncti on f (x ) j amai s cro i s sante est intégrable .
S i une fonction satisfait à l a co nd ition de D i richl et , elleest la d ifférence de deux fonction s inté grables ; donc elle estelle-même intégrable .
Le s fonctions s in mz , co s mz satisfont a la condit ion deD ir ichlet .S i donc f (x) satisfait à la cond it ion de D i richlet , i l en serade même des p rod uits
f (z) cos mz , f (x ) sinmz .
L’exi stence des intégrale s qui figurent dans la série est
donc démontrée .
39 . Considérons
am dz—ir
où l ’on a posé
cos x co s a cos mx cosmzsinx sin 7. sinmx s inmz
—x )+ +cosm (z x ) .
Posonsz — x = y .
60 SÉR IE DE FOUR IER . THÉ ORÈME DE DIR ICHLET
Multipl ions les deux membres par 2 S Î D%a on voit que l ’on a
s in y
Posons alors
00 )
x étant compri s entre 7: et partageons l ’ intervalled ’ intégration en deux parties
fÏ.—f_ Î. +f.Î °
T ran‘sformons la prem i ere intégrale en posant
E lle devient
’
t,x sm y
y
y
y
f’dy .
o 2 sin
Pour la seconde intégrale posons :
CONDITION DE D IRICHLE'
I‘ 61
elle dev ient“tt—x
On a donc pour S
äî fœ y ) giy _y
o ?. sin '
äy
0 Q s inä
Nous avons à chercher la l imite de Sm lorsque m croî tindéfiniment .40 . Pour cela , nous allon s , d ’abord , étudier l intégrale
s in e€P(y ) y g du
ç (y ) sati sfai sant à la cond ition de D i r ichlet .Cons idérons l ’ intégral e définie
Hsin uy9
Nous allons d ’abord démontrer que Il e st fini e .
Remarquons que le numérateu r s in uy changepour les valeurs su ivantes de y
717!
i’*s
l
ä‘>
‘s
l
â"
’s:
D ivi sons le . champ d ’ intégration en intervalles partiels et
62 SÉRIE DE FOUR IER . THÉORÈME DE DIR ICHLETposons :
Les quantités B sont év idemment toutes positives ; deplus
,elles vont en décro i ssant
,comme on le voit aisément
en considérant la courb e représentée par l ’équation
sin p.1/
D e plus,B ,, tend vers zéro quand n cro ît indéfiniment .
FIG . 16.
On vo it donc que H peut se représenter par une série
COND ITION DE D IRICHLE'
I‘
alternéeH=B
,— B
2 + B3— B
 + B2k—l— s +
Nous al lons démontrer que les B et,par suite
, H sontpendants de p. .
Considérons , en effet
(n i —1)
Posons
L intégrale dev i entI )“
Elle est donc indépendante de u.
D e plus , s i on pose
Bt
B2
Ba
B,
B2
B2k _ .
H2k H H2k—f
Revenons à l’
inté grale J et supposons , d ’abo rd, ç (y ) cons
tamment décroi ssante et positive . La fonction à intégrerchange de signe pour les valeurs :
64 SÉR IE DE FOUR IE R . THÉORÈME DE DIRICHLET)t étant le nombre entier tel que :
M 11:
1
Posons,de même que précédemment
—Ak
On voit ai sément que les A sont positifs et décrois sants,
que l ’on a :J J2k—1
Considérons l ’une quelconque des quantités A , par exemple
9 (y ) reste compris entre
66 SÉRIE DE FOURIER . THÉORÈME DE D IR ICHLETce qu i peut s ’écrire
J H? (6) H2k _ 4 B2k‘P
On p eut prendre k assez grand pour que 8 21, so i t auss ipeti t que l ’on veut e t
,par conséquent
,pou r que l ’on ait
B2A-‘P
et,k étant ains i déterminé
,on pourra fondre u assez grand
pour que :
ND
!.S
J2k—t H2k—t
J Htp
On démontrera de même que
W ( 6) J 71
en remarquant que l ’on aHcp(e) —.l H2k _ 4 ( a) J2k .
L e raisonnement qui p récède montre que
F=œ
S i la fonction <p, sans être décroi s sante , sati sfait à la condition de D iri chlet
,i l en sera encore de même .
41 . Revenons à la fonction S…
7t—x
Sm _ _
EXEMPLE S D IVER S 67
Les fonctions (x yl
Q s in% Q s in ï2
restent finies et sati sfont à la condition de D i r i chlet .Appliquons les ré sultats précédentsLes valeurs l imites des fonctions précéde ntes quand y tend
vers zéro sont respectivement
On a doncMm s 1uuæ+ a+vu
S i la fonctionè st continuel im S ,n 2Hf (x )
H est une constante . Pour l a déterminer , faisons f (x ) 1
on a,en se reportant à l a séri e de Fourier
l0
fim S 5vu+ a+ ru 6]
et , s i la fonction est continue
l im S “E f (x ) .
42 . E x emples div ers .
avons cons idéré .Reprenons l ’exemple nou s
68 SERIE DE FOURIER . THÉORÈME DE DIRICHLETNous avons obtenu
COS æ
‘.T
2< £Û <
La valeur de cette sé rie est
1r < æ <
passe au voi s inage
”
E4
7r
et si _
2+e
on a f (x ) - 2
Donc , d ’après ce que l ’on a vu précédemment , la valeur de .o A o ola seri e pour x
ëdoi t etre zero
,ce que 1on veri fi e imme
diatement .
Cherchons comme autre exemple le développement de lafonction x . C
’est une fonction impaire,donc le dé ve10ppe
EXEMPLES D IVER S 69
ment ne contiendra que des sinus et l 'on aura
« a ,, s innz dz .
i )a —f
donc le développement
x
s inxsiu 2x
2 2
1r x 7t .
Quand x augmente de 2 ir,la série ne change évidemment
pas de valeu r ; on a donc , en appelant y cette série , pour
7: x
x
2
3 7: 50 57r,
y2
2vi etc .
Nous al l ons étudier une séri e analogue à l a précédente
cos a: cos 2x cos Bx
1
pour cela nous allons considérer d’abord la série ima
70 SERIE DE FOUR IER . THÉORÈME DE DIRICHLETgina ire
°
1 2 3
Cette série représente , comme on le sait , l a fonctionL (1 e
“)
pour toutes les valeurs de x qui ne sont pas des multiplesimpai rs de T: .La partie réelle de cette fonction est
On a donc,pour toutes les valeurs de x qu i ne sont p as
des multip les impairs de 7:x cos x cos 2x cos 3x
L 2oos2 1 2 3
o o œDans la seri e qui donne le developpement de -
2-7 changeons
x en — x ; on aura :ar —x s iu x siu2 x s iu 3x2
le développement étant valable entre 0 et 21r.
La ser i e L 2cosâdev1ent
,par le meme changement
x cos x cos 2xL 2s1n
1 2
cette formule étant valable entre 0 et 27r. La convergencene peut pas être uniforme au vois inage de x 21m, car
THÉORÈME D ’
ABEL 71
chaque terme est une fonction continue , et la série ép rouveen ces points une discontinui té mais on peut se demandersi la conve rgence est un iforme pour les valeurs autres queces valeurs s ingul ières . Pour traiter cette question
,rappe
lons un théorème d’
Abel .
43 . Th é orème d’Abel . On considère une série
que l 'on suppo se convergente ou simplement oscillante .
S i l a sé rie est convergentel im (o… … 0
,
quel que so it p,qu and n cro î t indéfiniment ; on peut donc
prendre n assez grand pour que°'
n +p°'
n
p,, étant une quantité a 'uss i petite que l ’on voudra .
D ans le cas d ’une série osci llante,on peut écrire la même
inégal ité ; mais ça,, ne représente plus une quanti té infiniment petite ma is c
’
est une qua nti té finie .
Considérons une suite de nombres positifs décroi ssants ettendant vers zéro
“2 ,
j e di s que la sérieœ,u,
«i i,u2
est convergente .Pour le démontrer
,nous al lons chercher une limite
rienre du reste .
7? SÉR IE DE FOURIER . THÉ ORÈME DE DIR ICHLETOn aSu +p _ s + un +p
un+p
l e second membre peut s ’écri reo£n + 4
—q
o u bien encore“n )—l'“ °
”
u + i
Œn +po'
u -f-p
f°'
fl “IH -3 )
°'
u +p—4 °'
u °°N +p—4
°'
n ) °lu +p
Toutes les différences des a entre parenthèses sont pos it ives .S i on remarque que
quel que so it 10 , on voit que la quanti té précédente est inférieure en valeur ab solue à
P"f(1 n + i (Œn + 2 °‘n +pl
donc| Sn +p Sn Pn“n + 4
S i n croî t infiniment,
S ,, tend vers 0 , donc las érie est convergente .
44 . Application s du th é orème d’A bel . Supposons
d ’abord que l ’on aitenlx
74 SÉRIE DE FOUR IER . THÉORÈME DE DIR ICHLETqui sont re spectivement les partie s réelles et imaginaire sde la série :
S i on prend deux quantités 000et a:
,compri ses entre
et que l ’on fasse va rier æ de maniè re que l ‘on ait
on pourra trouver une quantité M indépendante de a:
que l ’on ait toujours entre ces l imites
On voit donc que la convergence sera uniforme entre 900
a:‘le reste est donc inférieur à
MŒn + 4o
En supposant ou,, on obtient les séries que nous avonsdéjà étudiées
45 . En faisant
APPLICATION S DU THÉORÈME D’
ABE L OC
on obtiendra de même les sériess innœ
s, 2 n
S ’
Ecos næ
2n2
s innæss 3
n—J 71,
00 8 725085 /_ J
S ,, et S ,; sont uniformémen t convergentes . En effet,le s termes
sont respectivement inférieurs à ceux de la série1 l l
.1 2 2“l'
qui es t absolument convergente et dont les termes ne dépendent p as de w.
Donc S2et S ; repré senten t des fonctions continues e t pé
riodiques .
I l en sera év idemment de même des séries 83 , S $, etc .
Cherchons la dérivée de S,
. On a
2cos næ
I
da: 71S '
mais,pour que ce ci so i t légitime
,i l faut que la série obtenue
par la différentiation soi t un ifo rmément convergente ; c ’estce qui a l i eu pour la séri e comme on l ‘a vu , sauf pourles valeurs s ingulières a: 2k1r.
On aura,sans restriction
dS 3dx
2 ,
76 SÉR I E DE FOURIE R . THÉORÈME DE DIRICHLET(FSma i s la d é ri v é e secondeÎ le—vf est d i sconti nue pour a: 2K7r.
Con sidérons maintenant une série de la forme
2 P ,, cos na:
dans laquell e P ,. repré sente un polynôme en
P" +np+
l + î2p+ q
En conservant les notat ions c i—dessus , l a val eursera :
(1) S }‘psp
Prenons maintenant la sér ie
dans laquelle a ,, est supposé développable su ivant les puissances de
nP nPH T
Posonsl a “+
B —ï
‘
.
de tel l e so rte que l ’on auraafl=P… + Ra
APPLICATIONS D U THÉORÈME D ’
ABEL 77
et la série sera
2 P,, cos næ 2 R, , cos næ
La première de ces deux séries,en vertu de l egal ité (i ) , e st
continue,ainsi que les dérivées jusqu ’à l ’ordre (p 2) inclu
s ivement ; la dérivée d ’ordre (p l ) est d i scontinue pou r3) fil m. On a :
R ,,
k étant un nombre fixe . La série
cos nœ
est unifo rmément convergente , ains i que les s éries auxquelle sconduis ent les q 2 premiè res diñ‘
é rentiations .
I l en sera donc de même de la série :
2 R ,, cosmo
de sorte que les dérivée s de cette série sont continues jusqu
’
à l ’ordre (qD onc la série
2 a ,, cos nœ
a ses dérivées continues j usqu ’à l ’ordre (1) 2) inclus ivement
,et s e comporte comm e les séries °
et
76 SÉRIE DE FOURIER . THÉORÈME DE DIRICHLETd 2Sma i s la dé r1vee seconde -
d
—æfest d i scontinue pour x 2K7r.
Considérons maintenant une série de la forme
8 E P ,, cos næ
dans laquelle P ,, repré sente un polynôme en
P" … +np+q
En conservant les no tations ci-des sus , la valeur de la sériesera :
(1) S Xpsp
Prenons maintenant la série
2 a ,, co…
dans laquelle a ,, est supposé développable suivant les puis1
sauces den
Posons
R"
de telle sorte que l’on auraan =Pn + Rn
APPLICAT IONS DU THÉORÈME D ’
AB EL 77
et la série sera
2 P,, cos næ+E R ,, cos næ
La première de ces deux sé ries , en vertu de l egalité (i ) , e stcontinue
,ainsi que les dérivées jusqu ’à l ’ordre (p 2) inclu
s ivement ; l a dérivée d ’ordre (p l ) est d i scontinue pou rau fil m. On a :
R: :
k étant un nombre fixe La sé rie
cos na:
est uniformément convergente , ains i que les s éries auxquellesconduisent les q 2 premi è res différentiation s .Il en sera donc de même de la série :
2 R ,, cos na:
de sorte que les dérivées de cette sér ie sont continues jusqu’à l ’ordre (qDonc la série
2 cos næ
a ses dérivées continues jusqu a l ’ordre (1) 2) inclus ivement
, et se comporte comme le s séries :
et
78 SÉRIE DE FOUR IER . THÉORÈME DE DIR ICHLETSupposons maintenant
cos
étant développable suivant les puissances de
On pourra cons idérer la série donnée comme sommedes deux su ivantes
E—
cos n ( :D — cp)
La prem i ere ne peut avo i r de d iscontinuité que pour
a:‘2k7r
et la seconde pour 00 2k7r cp.
Mais cela n ’aura l ieu que s i le dévelop pement contient1un terme enn
D e même,si l ’on a
a ,, A,, cos n <ç sin mp A,; cos nç' s in no’
il ne pourra y avoir de discontinuité que s i l ’on a
œ :=2kn i çp œ= 2kw i cp'
46. Supposons maintenant que l ’on ait
a ne
t étant un nombre pos itif, et et,, étant tel que
80 SÉRIE DE FOURIER . THÉORÈME DE DIRICHLETSupposons en particul ier :
(t)
et supposons que l ’on ai tA A , A
A… A , , A étant des fonctions de t dé veloppabl essuivant les puissances cro issantes de t.Pour que le terme général tende vers zéro
,il faut que l ’on
A,,
0 .
Nous supposerons d ’abord,que l ’on a auss i
A,
‘—O .
On aura
%W—EË P
Supposons cette série convergente pour1
tn
7 '
Alors la quantitépJQ)œq
vers donc on peut trouver nombre
B; M
M
q_q
APPL ICATIONS DU THÉORÈM E D ABEL 81
D onc,s i la série
EËE M
convergente,la série
2 2 2 % … m m
sera ab so lument convergente .
Sommons la première de ces séries .E ffectuons d ’abord la sommation par rapport
EE M àc’est—à- dire
Sommons par rapport a p,on a
M
Cette série est convergente , car elle est comparable à l asérie
1
PROPAGATION D E LA CHALEUR .
82 SÉRIE DE FOURIER . THÉORÈME DE DIRICHLETl
A1n5 1 donc , S I (p,, (t) ne cont i ent pas de terme en la ser i e
2 p,, (t) cos nx
est une fonction holomorphe de t.l
Supposons que cp,, (t) conti enne un terme en on posera
ao
et la série deviendracos nxA
, E n E cos nx .
On voit que la série est encore une fonction holomorphede t, pui squ ’ i l en est a ins i de A
,et de E cos nx
,et que
,
COS 7250d ’autre part,l e coefficient 2 n
est indépendant de t.
CHAPITRE V
PROBLEME DE L°
ARMILLE
47 . On appelle a rmi lle un fi l d e trè s faibl e section , formant un circuit fermé . On se donne la d istribution in itialede la température dans l ’armille , et l ’on demande quelle seracette d istribution quand on aura lai ssé l ’a rmille se refro idirl ib rement pendant un temps quelconque .
L ’équation du mouvement de la chaleur dans un fi l estcomme on l ’a vu
dV d2V
dt“V k
dx“
a et k étant des constantes , et x représ entant la longueur dufi l comptée suivant son axe a parti r d ’une certaine origine .
On a vu qu ’en posantV
l equation se réduit à
84 PRO BLÈME DE L’
ARMILLE
Cho i s is sons l ’uni té de longueur de man i ere que la longueur de l ’ armillé so it 27r
,et l ’unité de temps de manière
que k 1 .
On aura alorsdU d“U
(2) dt dx 2
U doit être '
une fonction périodique de x et de périodeL
’équation différentielle doi t être satisfaite pour les valeurspositives de t ; et pour t 0 on doit avo i r
U f (ae)
f (x ) étant une fonction donnée .
L’équation différentiel le (2 ) admet comme intégrales par
ticulières
cos nx e
s in nx e* "2 t
En effet , on a pour ces deux casdu
2—n udt
d 2u
I l résulte de la que2
U E a ,, cos nx 2 b,, sm nx e
sera auss i une i ntégrale de l equationLa fonction f (x ) , qui a pour période peut se developper par la série de F ourier . Soit
(x ) 2 (a ,, cos nx b,, sin nx ) .
PRO BLÈME DE L’
AR… LL E 85
Considé rons alors
U E a ,, 00 8 2 b,. sin nx e—"Q'
En posanta n cos nx b,, s in nx ;
U 2 un e
48 . Nous allons vérifier que U sati sfait a ux condi tions de
on a
l enoncé .
La série qui représente [ (x ) est , par hypothèse , convergente . Donc :
a ,, cos nx b,, s in nx k,
k étant une constante,et cec i a l ieu quel que so i t x ; en
particul ier,en faisant successivement x 0 et x en
voit quea u k bn k .
Nous al lons démontrer que,pour t> o
,U est une fonction
holomorphe de x et de t.
Nous avons vu que les séries
cc,, cos nx ,
a ,, sin nx .
représentent des fonctions holomorphes de x , s i on acc,, fi e
—n t,
t étant un nômbre positif .
86 PROBLÈME DE L’
ARM ILLE
O r , la série U se compose de deux autres sati sfaisantdemment à cette condition
,car on a2
a n 8t ke n t
,
bn e-n2 t ke
—nt’
pu isque l ’on aa ,, k 6 h .
Donc la séri e U est une fonction holomorphe de x .
Changeons t en t h , en aura
U E
Supposons t o,et prenons h assez petit pour que
t la 0 .
U est alors développable suivant les pu is sances croi ssantes de h . En effet , on a
2 p
e
—m… , E(_ M L
9
Nous avons ains i U mis sous la forme d ’une série à doubleentrée que l ’on do i t d ’
a bord sommer par rapport à p,et ensuite
par rapport à n .
Je me propose de montrer que U est une fonction holomorphe de h
,et pour cela de développer U su ivant les pui s
sances de h . Cela rev ient a changer l ’ordre des termes de la
88 PROBLÈME DE L’
ARMILLE
que l ’on ait
On voit alors que le terme général de la série précédenteest plus peti t en valeur absolue que
n?ke
—n î to
qui est le terme général d ’une série convergente dont leterme général ne dépend ni de x ni de t.
dU d2UDoncd te tdx 2
sont b i en rep resentees par la seri e
2n2ufle
—‘Il
On en conclut ai sément que l a fonction U sati sfait àlequation différentiel le .
Reste à savoi r s i U se réduit à f (x ) pour t o,c ’est—à
dire si,quand tend vers zéro
,U tend vers f (x ) . Cec i n ’ est
pas év ident,pui sque nous ne savons pas s i U est holo
morphe pour t o .
Appliquons le théorème d’
Abel à la séri e / ‘ (x ) , en prenantou,,
i
a ,, cos nx s in nx .
Le reste de la série ainsi formée,qui est précisément la
série U , sera tel que :
l'
R ere
comme on suppose t è 0 :
E n Pn
Or , la série E u,, étant convergente prendre n
PR OBLÈME DE L’
ARMILLE 89
assez grande pour que p,, qui , d ’ailleurs,ne dépend pas de
so i t aussi peti t qu ’on veut . Donc l a série U es t uniformé
ment convergente par rapport à la somme de cette sé rieest donc une fonct ion continue de t . Or , pour t 0
,elle se
ré duit àf (x ) . D onc , quand t tend vers zéro , U tend vers (x ) .50 . En général , pour t : o , la sé rie ne sera fonction ho lomorphe ni de x ni de t . En effet , pour t : 0
,on peut se donner
arbitrai rement la fonction f (x ) par conséquent , elle peutê tre discontinue
,et U ne sera pas alors une fonction hole
morphe de x .
Pour voir que U n ’est pas . en général , fonction ho lomorphede choisi ssons f (x ) de façon que l ’on ait
f (x ) 0 pour 0 x 7r
(x ) ayant des valeurs quelconques quand x est comprisentre n et 0 .
Pour t 0 on ne pourra plus avoir une tel l e di stribution,
c ’est—à-di re qu ’ i l ne pourra pas arriver que U so i t constamment nul dans un intervalle fini
,car on a démontré que
U était alo rs une fonction holomo rphe de x,et on sait qu ’une
fonction holomorphe ne peu t ê tre nulle dans un intervallefini
,s i peti t qu ’ i l soit
,sans être identiquement nulle .
L’équation différentielle :
dU d”U
dt dx2
nous donne , par différentiation s success ivesd2U d 3U
dt2 dx 2 d t
d3U d fU
dt dx 2 dx ‘
PROBLÈME DE L’
ARMILLE
D’
où l’
on tire
et d ’une façon générale
d”U d2PU
d l” dac”…
Remplaçons dans ces equations t par 0 et x par une
valeur comprise entre 0 et W. Les dérivées par rapport àx seront nulles
,pui sque f (x.) reste constamment nulle dans
cet intervalle il en résultera que les dérivées par rapport àzsont aussi nulles .
S i donc U était une fonction holomorphe de t pour t 0
elle serait développable au vois inage de t o,et on aurait
dU et… t‘2
U = Uo+ a
“
. d
Tous les coefficients étant nuls,U serait identiquement
nul,même pour des valeurs pos itives de t
,et nous avons vu
que cec i est imposs ible .
Donc,U n ’ est pas
,en général
,fonction holomorphe de
t pour t o .
5 1 . On aurait pu se poser le problème de la façon suivanteQuelle devait être la température à un instant t… pour que ,
au temps t,
to,la di stribution des températures soit faite
suivant une lo i donnée .
Mais un tel p roblème n a pas,en général , de solution .
En effet,prenons t
‘o,en a 0 . La solution , s i elle
EXPRESSION D E U PAR UNE INTÉ GRALE DÉFIN I E 9 1
ekista it, sera it donnée par la sé ri e
U Zune
ui n ’ est as conver g ente en e'
ne“ra l dans ce cas .
0
52 . E xpre s sio n de U pa r une i n t ég r a l e dé fin i e .Nous avons trouvé
a u
Remplaçons dans l a fonction U ces coefficients par leursvaleurs on aura
en posant
(3 )
On reconnaî t i c i la fonction de Jacobi,dont les p ro
pr ié té s sont connues .
5 8 . Nous allons transformer la fonction U en nous servant des propriétés de la fonction Les fonct ion s 8 peuventse mettre sous une infinité de fo rmes di ffé rentes . On passede l ' une à l ’autre en passant d ’un système de périodes à unautre équ ival ent .
92 PROBLÈME DE L’
ARM ILLE
Par exemple , en permutant les périodes , on obtient desformules de transformation dont nous allons faire usage .
Adoptons les notations d’
Ha lphen .
Soient u l a variable indépendante,20» et ?.œ ’ le s périodes .
On po se
Q einr
Z2 n
q” 2
cos î nm)
Pour passer de cette fonction à l a fonction entredans la formule i l suffi t de poser
x — z = ‘2w
Halphen démontre l ’ identité suivante
3_ (u
'
t )
Po sons maintenant
On a alors
( 1) Fonclions elliptiques , tome 1. page 264.
EXPRESSION DE U PAR UNE INTÉGRALE DÉFIN I E 9 3
Pour reven ir à l a fonction G),en a
Donc
Comme on at= i7rr
,œ — z = 2n0
OH &
A — n)2
On a donc(4)
On voit donc que la fonction qui figure dans U peut semettre sous la fo rme de deux séries d ifférente s (3) etLa première converge rap idement quand t est très grand ,et la seconde quand t est très petit .54 . Nous al lons vér ifier directement que la fonction U ,
exprimée au moyen de la fonction pri se sous la formesati sfait aux cond itions du problème .
Pour voir que U satisfait à l ’équation di fférentielle i lsuffi t de voi r que chacun des termes de sati sfait à cetteéquation .
94 PROBLÈME DE L’
ARM ILL E
On vo i t facilement qu ’ i l suffi t de vérifier que la fonction
- i932
sati sfait à l equationEn effet , on a :
du 1
dt 2
t
—É';
332
2 ze
_ 1 3 3 4
t 26
At+ t 5
et l ’on a , par su itedU d 2U
dt dx 2
Pour démontrer ce fait rigoureusement i l faudrait établ i rque la convergence des séries est uniforme et faire un raisonnement analogue à celu i que nous avons fait pour la première fo rme de la fonction U .
Remarquons ensuite que et par suite U,sont des fonc
tions périodiques de x et de périodeReste à voi r main tenant s i
,pour t 0
,U tend vers f (x ) .
On a
Lo rsque t tend vers o,les exponentielles contenues dans 8
PROBLEME DE L’
ARMILLE
5 5 . Nous avons fait cho ix d ’un système d ’unité s partienl i eres . Nous pouvons maintenant rétablir l ’homogénéité .
Soit la longueur del ’a rmille . Nous remplacerons partout
x par
2 par
t par
Dans les formules obtenues de cette façon,nous ferons
croître indéfiniment ; et , comme nous le démontrerons , nousobtiendrons ains i la solution pour le cas d ’un fil indé fini .
CHAPITRE VI
FIL INDÉFIN I . INTEGRALE DE FOURIER
56 Nous avons obtenu pour l e p roblème de l 'armille lasoluti on
où l ’on a
1 + 2 2 6 — z)
ou b ien2nTt )2
En faisant le changement d ’unités dont nous avons parlé,
on obtient
PROPAGATIOX DE LA CHALEUR .
98 F IL INDÉFIN Ie t l ’on a dans ce cas
ou b ien
Posons maintenant
On a alors
®8q 89 E 8qe*
ee s gou bien
®8qkt 2
S i on suppose que l cro i s se indéfiniment,Bq tendre vers
zéro,et
,comme on doit donner à q toutes les valeurs mul
tiples de 8q , on voi t qu ’
à la l imite la somme qui figure dansla première des express ion s de ®8q devient une intégrale , etl’
on a , dans ces condition s
100 F IL INDÉF IN I . INTEGRALE DE FOUR IERPosons donc , dans la dern i ere égal ité
aq i?
a et (3 étant des quantités réelle s .
On auraoo
f e—a 9q
2e—2 a qfii ep
?Ot dg
- cc
les parties réelles
f Î cos 2 18q ef32et dq \/7r .
oo
f e—“Q’l
2 cos ?.a dqoo
Posons
OD 8'
00
cos q (x “et" "
OO
C . Q . F. D .
58 . S o lution de Four ier . Cette solution reposeune transformation de la sé rie de Fourier .On a vu qu ’étant donnée une fonction f (x ) définie entre71: et W par la série
f (x ) 1E£ffi (z) cos n (x z) dz
on peut, parun changement d ’uni tés
,l a représenter entre
l et Z.
SOLUTION D E FOUR IER 101
On trouve ainsi
1f (x ) -
2 E f (z) COS Z ) dz
ou bienx b,, s in
avec
a "
Posons , comme nous
8q
0 61.
59
On aura
f <æ) tç (q>cos qæ sin qæi
et l ’on a pour ç (q) et (g) les expressions
COS Zq
(9 )
N
avons dej a fait
102 FIL INDÉF IN IOn conçoit donc que , s i croî t , on aura à la l imite la repré
sentation de la fonction f (x ) entre co et 00, sous la
forme
f (00) fofi COS qæ «I» (9 ) s in qæ] dq.avec
(q)COS qz
(q) z)
Nous allons voi r dans quelles conditions on peut êtreassu ré de la poss ibi l ité d ’une telle représentation .
59 . Inté gra le de Fourier . Supposons qu ’une fonction f (x ) sat isfasse à l a cond ition de D ir i chlet , c ’e st—à—d ir eque l ’on ait
f (æ)
f, et f2 étant deux fonctions constamment finie s ne cro is santj amais de plus
,nous supposerons que
,quand x tend vers
i oo f' et tendent vers une même l imite finie et determinée , de telle sorte que
l im (x ) 0 .
Considérons les intégrale s (p(q) et (q) , nous al lons montrer qu ’elles sont finies et déterminées .
Prenons,par exemple
oo
f (z) s in qz dz .
104 FIL INDEFIN IS i nous revenons au cas général où f (x ) sati sfait à la con
dition de D i richlet,on a
1“(w) f. (a?) 73 (SC)
lim f, lim cp.
D ’oùf = (f.— r) (fg
(f l cp) et (f 2 cp) sont des fonctions pos itives décrois santeset tendant vers zéro .
Le s résultats précédents sont appl icables à ces deux fonction s
,et par suite à la fonction f (x ) qui est leur différence .
Lesmêmes cons idérations s ’
appliquera ient a l ’ intégrale
(z) sin qz dz—ao
et aussi à l mté grale+cc
ff (z) cos qz dz.
60. Considérons d ’une façon générale
cos q (x z) dz
et supposons d ’abord f (z) pos itive , décroissante et tendantvers zéro ; quand x croî t indéfiniment , cos q (x —z) s
’
annule
pdur des valeurs de z en progress ion arithmétique
h , h f ,9 q
Supposons que nous remplacion s l ’ intégrale considérée
INTEGRALE DE FOUR IER 105“
f:f (3 ) COS q (æ z) dz
cherchons une l imite de l ’erreur commise .
La valeur de cette erreur est
f Ÿ (z ) cos q (ao—z ) dz .
Supposons71 h
On a
f —f
Nous avons une série alternée . D onc,l a valeur ab solue du
premier terme est une l imite supérieure de la valeur absoluede la série ; et l a valeur ab solue de la différence des deuxpremiers termes en est une l imite inférieure .
Supposons,pour fixer les idée s
,l e premier te rme pos iti f ;
en a alors
fh
Retranchons partoutf i l vienth
2_7t
< f.
Re tranchon s du premier membre l a quantite
106 F IL INDEFIN Iest pos itive , en aura
h +00
f .
< f. < f.q
Cons idérons maintenant 1 Intégrale
fl f (z) oos q iz
r o o o 7‘
L‘
Le champ d’
mtegrat10n est i nfer i eur a et la fonct i on sousle s ignef est inférieure à f (Z) . On a donc
h +
f (z) cos q (z — x dz < äf (Z)
D e même,on a
fi
q
f (z) cos g (z— x ) dzh +
On a donc
cos q (x—z) dz af (Z) .
Supposons maintenant que f (z) satisfasse à la condition deD i ri chlet et tende vers zéro quand z croît indéfiniment .En désignant par cpla l imite commune de f, et f, , ou prendra comme précédemment :
f = (f i
108 FIL INDÉFIN I
=fÛ°
E(q) d
C’est cette égalité qu ’ i l s ’agi t maintenant de démontrer .
ou b ien
Les intégrales cp(q) et «t(q) sont b ien déterminées , commeon l ’a vu ; par suite , l a fonction F(q) l ’est également .En réalité
,nous voulons démontrer que f (x ) est la l imite
de l ’ intégrale doublel
fidqf_
H£
dz
â;—ZÈ
ee s g (x z)
lorsque d ’abord Zet ensu ite cro issent indéfiniment .Considérons cette intégrale double . On peut y intervertirl ’ordre des intégrations , puisque les l imites sont finies cequi nous donnera
1
(1)_dz
o
i—ldg
(2)) S in B(x z)
œ
Admettons pour le moment que l ’ intégrale
—oo
estl a limite de l ’ intégrale
quand Zcroî t indéfiniment .
INTEGRALE DE F0 URHfi { 109
E n portant dans l ’ intégral e ( i ) l a valeur de
dg
t irée de l equation et fai sant ensu ite croî tre ! indé finiment
,on voi t que l ’ intégrale double primitive se réduit a
et dans cette intégrale nous devons faire croître indé fini
ment .On voit que nous retombons sur l ’ intégrale de D i richle t .D ivi son s le champ d ’ intégration en deux
+ 17:1 r œ
f J+—cc
—œ l'
D ans la prem i ere intégrale faisons
e t dans la seconde@+fi
L ’ intégrale devient
+ f W— v ä ü y
3/
110 F IL INDEFIN IOr
,on sai t que , s i a e st une quantité positive finie ou
infimesin
_By
y
a pour l imite,quand cro ît indéfi niment
ëÇPfê )
En appl iquant ce résultat ‘a l ’ intégrale précédente on a
E t,dans le cas où f (x ) est continue
cos q (x z) dz f (x ) .
62 . Toutefoi s , i l reste à montrer que l ’ intégrale
fÊq fidz0 —œ
est égale à la l im ite de
£)Ëqflqdz
quand il croî t indéfiniment , ce que nous avons provisoirementa dmis .Cec i ne présenterai t pas de difficulté
,s i la l imite inférieure
,
a u l ieu d ’être zéro , était une quantité pos itive
112 FIL INDÉFIN IOn a donc
q f Hdz= l im (
— l im dzffidq=£dîf ndq.
Nous sommes donc amenés à considérer l ’ intégrale+œ
dz f'ldg
et , pour démontrer la formule de Four i er , i l suffit d é tabl i rque cette intégrale tend vers f (x ) , quand et tend vers 0 et fä
vers l ’ infini .En effectuant la première intégration on obtient
Nous avons déjà trouvé l a valeur de la prem1ere intégrale,
et tout r evi ent à démontrer que la seconde tend vers zéro enmême temps que ou.
En suivant la même marche que précédemment,on trans
forme la seconde intégrale en la suivante
l‘
E—“D y l°
i f (œ sin ayy
satisfait à la condition de D irichlet . On peut donc écrireœ . .
<r. (F) ,
INTEGRALE DE F0 UR I ER 113
:o,et cg é tant deux fonctions pos itives décroi ssantes
dant vers zéro .
Montrons,par exemple , que :
Ç?|
tend vers zéro avec a .
On a,en effet
et en posantay u
,
l a derni ere intégrale dev i ent
Quand et tend vers zéro,i l en est de même de <p, . Donc
l ’ intégrale :sin « yy
tend vers zéro . Le rai sonnement serait le mêmeautres intégrales analogues que l ’on a à envisager .Par conséquent
,l ’ intégra l e
a (æ — z z
tend vers zéro , en même temps que a .
PROPAGAÏ ION DE LA CHALE UR .
114 F IL INDEFIN I63 . Application. Soit une fonction f (x ) telle que
f (x ) e—x s i x o
f (x ) e” s i x 0
f (x) est alors une fonction paire .
Donc
La parti e réelle est
S i x < o
2e cos gz dz_
W
est la parti e réelle de
f£î7t q
2
116 PROPRIETES DE L’
INTEGRALE DE FOURIERté grale
F (x ) f (F) 6”d
pri se le long d ’une courbe quelconque de longueur finiedans le plan de la variable q .
Nous allons démontrer que F (x ) est une fonction holemorphe de x .
Soit L l a longueur du chemin d ’ intégration,et so it 9 le
rayon d ’un cercle ayant pour centre l ’o rigine et comprenantla courbe à son intérieur .Nous supposons ç (q) quelconque , mais finie , c ’est-à—direque l ’on a
On a
On en déduit
en posant(j,
de
On vo it immédiatement que
A
Donc les termes de la série F(x ) ont des modules inférieurs aux termes de la séri e qu i représente le dé ve10ppement de
MLePæ ,
PROPR IETES DE L’
INTEGRALE DE FOUR IER 117
Donc la fonction F (x ) est holomo rphe dans tout le plan .
65 . Considérons , en second l ieu , l ’ intégrale
F. (as) f.i (q) dq
dans laquelle nous supposerons x o .
Je dis que cette fonction F, (x ) s era holomorphe dans
une région comprenant la partie pos itive de l ’axe des quantité s réelles .
Remplaçons x par x h .
On a
F, (x 2
en posant
(q)
il s ’agit de démontre r que la sé rie EA,,h” est convergente
si h est assez petit .Comme on a supposé x pos i tif, on peut trouver unnombre positif y tel que
0 y x .
Or , on aqn
yn
n !
d ’où l ’on déduit, tous les termes de cette série étan t pos itifs
g eqy
n
_
! y”
118 PROPRIETES DE L’
INTEGRAL E DE FOURIEROn a donc :
A Me*
9x
ou bienM 1
An
y”
iæ y )
On voit donc que les coeffi cients des pui ssances de h dansl e développement de F (x h) ont des modules inférieursaux termes de la s érie
2M 1
w y y ”
Donc la série F , (x h) est convergente s i l ’on ak y
66 . Nous allon s appl iquer les résultats précédents àl ’étude de l ’intégral e
f r (Q) dqo
en supposant x positif et en supposant auss i que <p(q) s ’annule lorsque q cro î t indéfiniment , c ’est-à—dire que l ’on a ,l orsque q est suffisamment grand :
A A
La fonction go(g) pourra avoi r a distance finie un certainnombre de singulari tés . Soi t L un contour passant par l ’origine , situé tout entier dans le premier quadrant et entouranttous les points s inguliers situés dan s ce quadrant .
120 PROPR IETES DE L’
INTEGRALE DE FOURIERO il aura :
e Bx id(3 2f 0: (25) e—i3x d?
et,d ’après ce que l ’on a vu plus haut
,cette intégrale est
une fonction holomorphe de x .
f est égale à la somme des rés idus (à un facteur près )L
correspondant aux pôle s contenus dans le contour L .
D onc/Lest une fonction holomorphe de x .
Il résulte de cette analyse que :
L=fË de
e st une fonction holomorphe de x,quand x est positif.
La partie réelle et la partie i maginaire de cette fonctionsont donc des fonction s ho lomorphes ; ces deux fonctionssont ”
f e ( (I ) 00 5 9 00 de0
00
(F) 8111 qwdQ
Quand on change x en — x,ce s fonctions conservent les
mêmes valeurs ab solues .Ce sont donc encore des fonctions holomorphes de x .
C’est donc seulement pour x 0 qu ’el les ce ssent d ’être
holomorphes .
67 . On peut donner de ce fait une autre démonstrationqu i a l ’avantage d ’être appl icable à la série de Fourier .
PROPRIETES DE L’
INTEGRAL E DE FOURI ER 121
C onsidérons la série
2 em x
où l ’on aA A.
? M — î + î + m
7'
t'
pour des valeurs suffi samment grandes de n . On sait quecette série rep résente une fonction holomorphe de x
, sau fpour
( C°2k7t .
Il ex i ste des quantités a et M tel les queA,,
Ma p
puisque ç. (x ) est convergente ; et , dans ces condit ion s ,sera convergente pour
n a .
En supposant q ent ier tel que
q > a
on pourra écrire
ËË P (O) 4 —u —ç (q l ) eW
—‘fix
+ ewww +
Les q premiers termes du développement sont t oujoursdes fonctions hol omorphes de x ; i l suffi t donc d ’ établ i r lethéorème pour
CD {n) ei n .r
_M
122 PROPR IETES DE L’
INTEGRALE DE FOURIEROn a :
0
et en diffé rentiant (p 1) fois par rapport à n
f î—nz
zp—1 dz
ip iL!
0
np
(z) dz0
en posant(g ) E
ABÊÎ i(2°
et on a évidemment1
(z) M(ÊP
Î 1) !Ma
Cherchons maint enant :co
2 (n)
Cette quantité est égale àœ
f li” (z) dz [3 9 ( efQ+l ) f—z+ iæ)
0
ou b iene‘l f—Z +Î æ)
(z) de“W
°
68. Pour montrer d irectement que cette fonction e st holo
12 1 PR OPR IETES DE L’
INTEGRALE DE FOUR IERDonc
modules
qui est évidemment convergente s i00
[Mdz0
a une valeur finie .
69 . Appliquons ces résul tats à la fonction00
E W )9
que nous avons mise sou s la forme
e‘i f—Z+ÏJJ )
Nous avons à examiner le terme
e q (—s + ix )
Changeons x en x h, en a
8 ei q (x—h
‘
PROPR IETES DE L’
INTEGRAI.E DE FOURIER 123
S i x est d ifférent de 2kn , on peut p rendre le assez petitpour que le dénominateur ne s ’
annule pas .
Donceiq (x + lz)
l — e*
ei (x + h ) P“
Le maximum du module de la fonction à intégrer est donc ,
si h p:
Ma e“
Tout revient à montrer que:x:
f M.æ <a —<n=dz0
a une valeur finie ; cela ré sulte de ce quea q .
70 . Revenons à l ’ intégrale de Fourier et cons idérons
f i?l cos qx de0
où l ’on suppose que , pour q suffisamment grand , ç (q) estdéveloppable su ivant les pui ssances de
A,
A .
2
e (q)(1 q
,
D ’après ce qu’on v ient de vo i r,l ’ intégrale sera une fonc
tion continue de x,sauf pour x 0 .
Que se pas ser a—t-il pour x 0 ? Nous allons démontrerque s i
l ’ intégrale est une fonction cont inue , même pour x o .
126 PROPR IETES DE L’
INTEGRALE DE FOURIERPour cela
,nous allon s faire voir que l ’on peut prendre
une quantité h as sez petite pour que
f cp( ) [cos q (x + h) — cos gx ] dg < a
On peut décomposer l ’ intégrale en deux autres
f£+liLa prem1ere intégrale est une fonction holomorphetout le plan .
L ’élément de la seconde intégrale est inférieur à
q“dg
Donc on a
et nous pourrons p rendre p as sez grand pour que l ’on ait
2k<
e
p 2
Cela fait , on pourra prendre h assez petit pour que lao r 6
prem i è re 1ntegra le sort auss1 mfer1eure aSupposons maintenant que la séri e contienne un terme1
Q
128 PROPR IETES DE L’
INTEGRALE DE FOURIER7 1 . Nous avons vu que f (x ) peut se représenter par l Intégrale de Fourier
f (Œ) =f 0f1(F) 00 8 903 (61) s in ex ] de
dans laquel le
Or,on a
,en remplaçant cos qx par des exponentielle s
, ,cc
1oo
,ce
—i ( a .
j (ÿ (Q)cos qæ dq êfÛ‘P(Q) 6
"CM 8 M M
En changeant dans la seconde intégrale x en x , ell edev i ent
0
l on voit alors que
.] 0cp(q) cos qx dq
On verra de même que
] O°
t (q) s in ges de
S i donc on pos é
1 ,oo .
(q) q
f (q) da.
PROPR IETES DE L’
INTEGRALE DE FOUR IER 129
OH auraf (x ) f_
Î iq) dq
avec
[ces qz i s in qz] dz
D e cette manière , la récip rocité des fonctions f et 6 apparait nettement .
P Rfl P Â G À T ÏÛ \‘
D P l . l‘ H AI P ITR
CHAPITRE VII I
ÉQUAT IONS L INÉA I RE S ANALOGUES A CELLES
D E LA CHA L E U R
72 . La méthode que nous avons employée pour intégrerequation
dU d2U
d t dx 2
peut être étendue à d’
autres _ é quations l inéaires , tellesl ’équation des cordes vibrantes
d2U d2U
d l’
dx 2
et l equation des télégraphistesd*V d
_
v d2V
dt=’ d t dx 2
que l ’on peut transformer en posantV U é "
132 EQUATIONS ANALO GUE S A CE LLE S'
DE LA CHALEUR
d 2U
dæ29 de
U sati sfera à 1 equation proposée , s i l ’on a
dt
c ’ est-à—d irez oc. e
en étant une certaine fonction de q .
On obtient alorsU foie dq .
Il faut que, pour t o
,U s e rédui se a la valeur ini tiale
donnée . On peut supposer cette valeur ini tiale mise sou sforme d’
inté gra le de Fourier
em dg .
Donc U sati sfera à toutes les conditions du problème sil ’on a
U j i0 (q) e“ ? dg .
74 . Equation des co rde s v ibrant es .
d 2U d2U
dt'
3 dx"
Cherchons,comme précédemment à sati sfaire à l equation
par une fonction de la fo rme
U fj » 0 e"” de
EQUATION DES CORDES V IBRANTES 133
On aura
d"U
—00
(12
? el (læ dg .
La fonction U satisfera à l ’équation d ifféren tiel le s i l ’on ad ’?
â î2 9 3“
L’ intégrale de cette équation peut se mettre sous deux
fo rmes d ifférentescos (j t _
6 s in qtqui donne
ooU (a. c os qt s in qt) e“7x—cc
ou b ien
qui nous donne+ 30 00
Uac oo
D e cette man i ere,on voit que l ’ intégrale est de la forme
U — t) .
I l s ’agit maintenant de déterminer U par les conditionsin itiales .Prenons la prem i è re forme trouvée pour U . Supposons
dUque les valeurs Ini t ial es de U,
pour t o,soœnt deve
134 EQUATION S ANALOGUES A CELLES DE LA CHALEURloppé es en intégrales de Fourie r :
Uo
En faisant t 0 dans les expressions de U et de et enidentifiant avec les valeurs précédentes
,on trouve
"Q
LÇD
CD
La solution du problème est donc
0 (q) cos qt -Ô sin gt e
‘qœ dq.
75 . Equation des té l é graph istes . Nous avons vuque cette équation
d”v dv_
d2v
dt +2dt
__
d
ramener par le changement
V U é
à la formed"U d2U
dt2 dx 2U
Comme précédemment , nous nous donnons conditions
136 EQUATIONS ANALOGUES A CELLES CHALEUR
Pour que ceci se réduise il faut
8 \/q2 1 0
4 .
Ainsi donc
0 t 2
u - L
T19
1q
est la solution du problème .
En remplaçant les cosinus et sinu s par des exponentielles,
0 11 3 1
+00
—l ) pei (qx—t 2
œ
- 1
_ L _
Dans l ’expression de la fonction U figurent fonctions
cos t \/q2 1
sin t Jäî Ï
On peut se demander s i ce sont des fonction s uniformesde q . Cela a l ieu , en effet , car ell es ne changent pas si onchange le signe du radical .
76 . D i scussion . Nous allons nous donner comme premi er exemple les conditions ini tiales suivantes
DI SCUSSION 137
f (a: ) et f, (90) seront nulles pour93 6 ou 50 a
en supposantb < a .
Dans l mtervalle de b a a,nous supposerons que f (œ) et
(a: ) sont égales , par exemple , à des polynômes entiers en as .
On a dans ces conditions
Cherchons l ’ intégralea
s e ( 22 .
b
Considérons pour celaa
f e—‘qz dz
b
D iffé rentions fois par rapport a (1 .
On obti ent :
1)ps e- wz dz e
—ia e—fobP
1
5et P, étant des polynômes enà
Par conséquent , equi est une somme de termes semblables
138 ÉQUATION S ANALOGUES A CELLES DE LA CHALEURà celui que nous venons de considérer , aura la même forme ;et i l en sera de même pour e, .
77 . En se reportant à l a définition des fonctions a et ?trouvées plus haut
,on auraa d e“” a
”e—i‘?b
a'
,on”
, s'
,étant développables suivant les puissances
On peut toujours écrire
6"“557 7 (q , t)
e—W5'Î ' (q ,
On a , d ’ailleurs(Q, t) (q ! t) ‘
D ’autre part
et pour q suffi samment grand , l e second membre est déve10ppable suivant les puissances de -
1il en sera donc de
même de 'i’ (q , t) et de (q ,t) .
L ’ intégrale U peut se décomposer en quatre autres de lafaçon su ivante
U j a'
\Pel fl (Œ—a + tl dq
—b+ t) dq
+f pr'i“4 ei (I (x—d _ l ) dq
l
+f p”
'
iü
Chacune de ces intégrales est du type de cel les que nousavons examinées à '
la fin du chapitre précédent .
140 ÉQUATION S ANALOGUES A CELLE S DE LA CHALEUR2
dfl’
sont nulles pour t o ; et on prouvera de même que lesD onc
,d ’après ce que l ’on vient de voir
,l e s dérivées
d 3U
dt3
dérivées d ’ordre supérieur s ’
annulent également pour t 0 .
Par conséquent,la fonction U
,qui est holomorphe et qui
s’
annule avec toutes ses dérivées pour t 0,est identique
ment nul le .
On vo i t ainsi que les quatre discontinuités se propagentavec une vitesse constante .
On peut remarquer que l es choses se passent tout autrement que dans le cas de la p ropagation de la chaleur . On avu , en effet , que dans ce cas la ‘
fonction U est holomorphe en03 pour toute s les valeurs posi tives de t
,et qu ’elle cesse d e
l ’être pour t o .
78 . Nous avons vu que la so lution de l equation des cordesv ibrantes peut se mettre sous la forme
U =F <æ+ t) F.<æ — t)
dU
cu— F @+n— E @ _ o
D ’où
Donnons -nous les conditions initiales de la façon suivantePour
m > a œ < b t= O
0 n aura *
U=O ,
conditions,nous
æ > a + t
DISCUSSION 141
OIl &
U oEn effet , on a pour
t o etF (ac) F
.
F'
(æ) F: (au)
En diffé rentiant l a prem1ere équation , obtientF
’
(œ) F; (æ) 0
On a doncF
'
(æ)
et,par suite
F (œ) C our ccF, (œ) C
P
verra même que l ’on a
l“(æ ) C, our 90 6
M ac) C.
On en conclut que
Supposons
142 ÉQUATION S ANALOGUES A CELLE S CHALEURe t cons i dérons une valeur de 00 telle que
a
Dans ces conditions,on aura
U = C — C ,
Ainsi,dès que l ’on a
cesse d etre constante dans deux inte rvalles
de (b t) (a t)
de (b t) à (a t)
79 . Revenons au problème des té légraphi stes , en faisantune hypothèse particul iè re .
Nous supposons qu ’à l ’ instant init ial on a , pour toutes lesvaleurs de a:
d’
où
e t
s auf pour
e t qu ’en outre
f (æ>= o
—e < æ < s
a pour ces valeurs
144 ÉQUATIONS ANALOGUES A CELLE S DE LA CHALEUREMA étant une demi-circonférence de rayon très grand etayant pour centre l ’origine (fig .
FIG . 18.
Le contouren question ne comprend à son intérieurpoint s ingul ier ; donc l ’ intégrale totale est nulle .
L ’ intégrale peu t s ’écri re
eÏQ (Œ+ Ü
) dt
1i q g
avec(q , t)
D ’aprè s l ’hypothèse faite sur (03 t) , on voit que l ’ integrale 1 prise le l ong de la demi—circonférence tend verszéro , quand le rayon croî t indéfiniment . Donc l ’ i ntégralepri se le long de ABCDE est nulle .
80 . Supposons maintenantau 0
Nous considérons encore le chemin ABCDE ,et nous y
adjoignons la demi-ci rconférence EM ’A (fig .
L’ intégrale le long de cette demi—ci rconférence sera nulle
0DISCUSS ION 140
comme précédemment,mais l ’ intégrale le long du contour
to tal se ra égale à l ’ intégrale pri se le long du contourOABCDEO
FIG . 19 .
ei (-7x + tW?—' i - rfl
Posons alors(1 sin :p.
DE
146 ÉQUATIONS ANALOGUES A CELLES DE LA CHALEURL ’ intégrale I deviendra
1sm cosI _
ëf ezx <p+ t cpc ’
0
c ar on voit ai sément que , lorsque q suit le contour désigné ,varie de 0 à fin: .
Développons l ’exponentielle en série
Or , on a
t co s ? + z‘
æ sin ç
On a donc
eix sinç + t cos çp2
lit+æ ) el ç !t æ l
2P p!
L intégrale considérée se réduit , par su ite , a :
(î n) !2 (n i)“l
iz
08 1‘0 11 a
florsque
L ’ intégrale cherchée ak ; £ o
donc pour valeur
£l2
n2
)n
2 2%
148 ÉQUATION S ANALOGUE S A CELLES DE LADonc nous avons , pour les d ifférentes valeursvaleurs su ivante s de US i :
0 11 8.
U z o
U 7r .Ï0
t2 )
D ’après la définit ion de JO,on voit que J (, (iæ) , où l ’on
suppose æ réel , cro î t avec la valeur absolue de 50 .
Le max imum deJo
52 )
a donc l ieu pour ac 0 , c ’est—à-dire au mil ieu de l a partieébranlée . Pour une valeur donnée de x , J0 va en augmentantavec t .
On s ’en étonnerait s i l ’on ne se rappelait que le potent ieln ’est pas égal à U , mais à
V U6"
Or,quand t est très grand , la valeur asymptotique de
Jo (it) est
Aet
W
A étant une certaine constante numérique .
D onc la valeur asymptotique de V est
Ae t —Œ2—Z“rm
DISCUS S ION 149
ou bienA\/Z
82 . Ains i le po tentiel diminue , U c ro i s se,
ld im i nue commeSupposons maintenant
f 0
pour toutes les valeu rs de a: .
D ’où :0
f t 0
a: a ou a: 6.
f, (ac) ayant des valeurs données dans l ’ interval le de b a a .
On a dans ce cas
ä 1 1 \/q2 — 1
\/q2 — 1
sin t \/q2 — l
s/ q2 — iei q (m—z)
On sait qu ’on peut interv erti r l ’ordre des intégrations .Posons alors
9 (æ—Z )M ïd
\/q’ i
q
150 EQUATION S ANALOGUES A CELLES DE LA CHALEURet l ’on aura alors
f i (Z) K dr .
27t
D ’ après l ’on a vu tout à l ’heure,
Z)2 t2
on aK 0
(w 32) t2
on aK ..J
, N(æ z)2 a )
Ains i K est nul àmoins que l ’on n ’ait
J: t z x t .
Dans l ’ intégrale U , on pourra donc prendre comme l imiteSupérieure la plus petite des deux quantités
a et , (à+ t)
et comme l imite inférieure,la plus grande des quanti tés
et (00 t) .
Supposon sa b2
c ’est-à—dire15 t a
Il y aura cinq cas à considérer
ÉQUATION S ANALOGUE S A CELLES DE LA CHALEURd
On peut doncprendre 00 tel que6 t a: a t.
D ans ce cas les l imites d ’ i ntégration sont
(a: t) et (m t)e t l ’on a
x + l
U f ’
2
(Z2JOdz .
Les autres cas se discutent comme pour
t >a
;b
83 . Cons idérons maintenant le cas inverse du précédent .Supposons
f i_
0
pour toutes les valeurs de w,d ’où
64
0 .
E tf = 0
lorsque l ’on a00 a 50 6.
On aura dans ce cas+ 00
(1) U [6. cos t \/q2 16”7æ dg .
La solution dans le cas précédent était
s in t \/q2 1
\/q’ — 1
(2) U dg .
D ISCUSSION 153
La solution du problème qu i nous occupe se déduit decelle-ci
,en diffé rentiant l a formule (2 ) par rapport a t et en
rempla çant et 6,par [“et 6.
E t o n aura,suivant le s différents cas , en supposant comme
p récédemmenta b
9
00 a
U o ;
b x a t
f d_ j_o f2
(æ
dtdz
en remarquant que
a
S i nous supposionsa b
on auraitb+ z< a
t < æ < b+ t
2 d tdz ;
— t < œ < a — t
f îfJ / œ t_
ä dzdz +
œ < b - t
U z o .
154 ÉQUATIONS ANALOGUES A CELLES DE LA CHALEUROn pourra i t donc prendre
b+ t < æ < a — t
et , dans ce cas , les l imites d ’ intégration pour U seraient(œ t) et l ).
En remarquant que ces deux l imite s sont fonctions de t0 11 8 :
+ t
Uät0 dz +
Î (œq
et , lorsque t tend vers zéro , on voit que l ’on aU f (æ) .
Dans le cas plus général où et ont des valeurs quelconques dans l ’ intervalle (b, a ) , mai s sont nulles au dehorsde cet intervalle
,on obtient l a solution géné rale en ajouta nt
l e s deux solu tions par ti cul ières obtenues dans ce qui précèd e .
84. Repré senta tion g raph ique . On peut représen te rgraphiquement les résultats des discuss ions qui précèdent .
FIG . 21.
Nous représentons l’état ini ti al de la perturbation en portant les x en abcisses et les U en ordonnées , ce qui nousdonne la figure 21 .
EQ UATION S ANALOGUES A CELLES DE LA CHALEUROn peut remarquer que , s i a b est t rès petit
,c ’est—à
d ire s i la perturbation est de courte durée , l e champ d ’ integration du t erme rés iduel est pet i t et , par suite , ce terme estnégligeable .
(Cf. L es Osci lla tiom é lectr iques . Paris Georges Carré ,1894,
pages 179 et suiv .
CHAPITRE IX
M É T H O D E D E L A P LA C EFIL ou SOLIDE INDÉFIN I
85 . Revenons à l equation du mouvement d e la cha leu rdans un fil
dU d2U
Remarquons que
We
est une solution pa rticul i è re de l eq uationS i donc on pose
ÎË_)e
Q
\/ tdE
cpé tant une fonction arb i tra i re , V sati sfera à l equa tion
158 MÉTHODE DE LAPLACEIl faut que , pour t 0 , on ait
V =flM
Posons
On a‘
V
et pour t o,ceci se réduit à
V fif i; (a: )
donc que l ’on ait :
Donc la solution du problème e st
e°‘ dot
_(æ—êt2
e dE
S i re ste finie pour très grand,l ’ intégrale est fi nie .
peut même deveni r infinie sans que l ’ intégrale cess ed ’être fi nie .
160 MÉTHODE DE LAPLACEEn remarquant que la fonction à intégrer est une fonctionpaire de q , on peut écrire
V e cos q (œ E) d£
et s i l ’on pose
cos q (æ d
on aj e
‘
q"F (q) dq0
On aura auss icp(g) cos q 00 (9 ) sin 900
en posant
q. (g) cos qË,
f ’” s in qî fl
87 . Nombre des fonction s a rb i tra ires . I l a unpo int sur lequel Four ier rev i ent à plusieurs rep rises i ls ’agit du nombre de fonctions arbitraires que comporte lasolution du problème .
Fourier se donne la fonction V (33 ) pour t 0 ,et l a solu
tion ne comporte qu’une seule fonction arb itraire .
I l n ’en serai t plus de même si on se donnait pour a:
l a fonction V (t) ; i l faudrait alors se donner , par exemple , endoutre , la valeur de à eu fonct i on de t pour w 0 .
NOMBRE DES FONCTIONS AR B ITRAIRES 161
Cela résulte de la théorie générale des équations d ifferentielles , car l ’équation e st de la forme
dv d‘-’ V
dt 51322
On peut , d ’ailleu rs , s ’en rendre compte de la manière su ivante .
Soit :
E A ww
On aura
2 (m
dî V
dx 2 2 1) (n 2 ) Arn (n +2 ) t’"æ”
D ’où en identifiant
(m + ÜN… uw—W+ ÜW
Formons l e tableau des coefficientsAù»0 Al") A2 »0
Ao lAl » !A 'Z« 1
A0 .2A
l f )A2 »?
On voit donc que la relation de récurrence permet decalculer les coefficients de la (m colonne , connai ssantceux de la ou b ien ceux de la (n l igne , connaissant ceux de la
P ROPAGATION DE LA CHALEUR .
1692 MÉTHODE DE LAPLACEOn voit donc que , pour déterminer la fonction , i l faudra sedonner ou b ien les coefficients de la p remière colonne
,ou
b ien ceux des deux premières l ignes,c ’est-à-dire
,dans le
p remier cas , V (œ) pour t O , et , dans le second cas , V et(A, en fonction de t pour a: o .
dx
On a donc , suivant le cas , une ou deux fonctions arb itrai res .88. Considérons t, œ ,
V comme les coordonnées rectangul ai res d ’un point .La fonction V sera représentée par une surface .
S i l ’on se donne la valeur de V en fonction de aa pour t 0
ou en fonction de t pour m 0,cela rev ient a faire passer
la surface par une courbe donnée : dans le p remier cas,on a
une surface bien définie,et dans le second cas on obtient une
infinité de surfaces ; dans ce dern ier cas , toutes les surfacesobtenues coupent l e plan t 0 su ivant certa ines courbesc'
c”c
'
Ces courbes ne sont pas quelconques , car l ’une d ’ entreel le s suffit pour défini r l a surface qui la contient .Voyons quelle est la propriété commune à ces courbes .Supposons que pour w 0 on ait
V cp(t) 0
W)
L equation d ifférentiell e ne change pas s i on changeV en V et as en x . Les équations aux l imites nechangent pas non plus ; donc V est une fonction impaire de 50 .
On devra donc avoir
f (x ) f ( x ) o
164 MÉTHODE DE LAPLACE
dVkAV
ou,en chois i ssant convenablement les unités
dV
dtAV
Il faut que , pour t 0 , on ait
V f (03 , y ,z ) .
Pour résoudre le problème,nous poserons
U ,1e
W
È, étant une constante arbitraire .
Nous avons démontré que l ’on a dans ces condit ionsdU ,
d2U,dt dæ°
Nous poserons de même
sorte
EXTENSION DE L A SOLUTION DE LAPLACE 1623
Soit maintenantU U ,U 2U 3
on aurad’
i U.H.d2U
dx 2’U2U 3
il2
_
U_æU
dy'
dŸU
dz23 U
,UQ.
U3U4
avec
8UW
Posons al ors
étant une fonction arbitraire,et l ’ i ntégral e étant étendue
à l ’espace tout entier.
166 MÉTHODE DE LAPLACECette fonction V sati sfait évidemment à l equation diffé
rentielle , car
dî dn d!
AV cpAU dî dnd ë .
Comment doit-on chois i r (9 pour que V se réduise apour t O ?
Posons
On aura
_
1_ e
—(a‘3
3
Faisons t 0 dans cette expression . I l faudra que l ’on ait
f (w, z) 8fff? (x . y .z) e dor. dp. d, .
CHAPITRE X
REFRO ID I SSEMENT DE LA SPHÈRE
9 0 . Nous allons maintenant aborder un autre problème ,celu i du mouvement de la chaleur dans une sphère .
Nous supposerons qu ’
à l ’ori gine des temps la distributione st tel le que la temperature so i t fonction seulement de ladi stance au centre ; par rai son de symétrie , i l en sera demême a un instant quelconque .
Passons en coordonnées polai resa: r sin 6 cosy r sin 0 S in cpz r COS 0.
Nous avons établ i , au début du cours , 1equation du mouvement de la chaleur dans ce système de coordonnéesdv d ’V 2 dv
_
1_
d ’V cotg 6 dV 1 d"v
dt dr 2 r dr de2 de s in“) dcp2Dans le cas qu i nous occupe , cette équation se simplifi e et
REFRO ID I SSEMENT DE LA SPHÈRE 169
devient1 dv d2V 2 dv
li: d l dr 2 r dr
Nous prendrons comme unité de longueur le rayonsphère , et nous chois i rons l ’unité de temps , de manière
k 1 .
L equation différentielle devient dans ces condition s
dv d 2V dv
dt dr 2 dr
L equation à la surfacedv
dn
dev ient ic idV
dr
h étant un coefficient positif qui dépend du pouvoi r émissiide la Sphère .
Pour achever de déterminer l e p roblème,i l faut se donner
,
pour t o,la valeur de la fonction V
V
9 1 . Pour s impl ifier 1equation d ifférentiel le , posons
U
SPHÈR E170 REFR O ID IS SEMENT DE L A
ON 1 dU Udr r dr
d'
3v 1 dzU 2 dU QU
dr 2 037 3 r2 dr
L equation devient alorsdU d 2U
dt 617“
Nous remarquons que c ’est l ’équation à laquell e on é ta i tarrivé dans le cas du fi l mais les équations aux l imites nesont plus les mêmes .
La condition à l a surfacedv+ hV 0
7“
devient '
i dU U7 617“ r
2 +hU
r = 1
(1 h ) U .
De plus , pour t 0 ,on doit avoirU
Remarquons que U doit s ’
annuler pour r 0 car on aU =V?”
et V reste finie .
172 REFR O IDI S SEMENT DE LA SPHÈRE
7‘ 1 .
Cette conditi on devient ic i
{A. cos u (1 h ) sin g ,
ou,en posant
1
1 — h
tg y… =A u .
A
9 3 . S i {J. sati sfait à cette équation transcendante U seraune intégrale particul iè re .
Nous sommes donc amenés à discuter cette équation transcendante .
Il est év i dent que ses racines sont deux à deux égales etde signes contrai res ; i l suffit donc de cons idérer les racinespos itives .Constru ison s les deux courbes
y = tg s
I l e st,d ’abord év ident que la droite
3/ = AP
coupe chacune des branches de courbe en un point aumoins (fig .
Che rchons s i elle peut couper une des branches en plusd
’
un point .Lai ssons
,d ’abord de côté l a branche qui passe par l ’ori
gine ; i l faut voir s i le rapport t-g peut passer plusieurs fois
par la même val eur quand varie de 1) gà 1)
81 cela a l ieu , la dérivée s ’
annulera au moin s une fo i s dansl ’ intervalle .
FIG .
La dérivée logarithmique de ce rapport est
cos p. s in p. 1
s in {J . COS p. u.
Pour que cette dérivée s ’
annule il faudrait que l ’onsin 211 2pt .
ce qui ne peut avo ir l ieu dans l ’ intervalle considéré .
Donc il y a une racine , et une seul e , entre
(‘2k 1) et 1}
’
2
’
174 REFRO IDISSEMENT DE LA SPHÈRE
9 4 . Reste à examiner l mterva lle de o àLa racine p. o est évidente .
I l faut su1vre les va r1a t10 ns du rappo rtt‘dans cet Inter
val le .
On a pour pt oR g … ,[J.
et pour p. le rapport est infini .l®
1
â
Or , i l ne peut y avoi r n i maximum ni min imum dansterva lle ; donc le rapport va sans cesse en croi ssant .S i donc on a
a une racin e dans
i l n’
y en a pas .
9 5 . Nous allons chercher s i l equation transcendante qu enous étudions possède des racines imaginaires .Nous distinguerons les racines complexes et les racinespurement imaginai res .Nous allons démontrer
,d ’abord
,qu ’ i l n’
y a pas de racine scomplexes
,et pour cela nous emploierons une formule qui
no u s sera utile dans la suite du cours .
Considérons deux solutions U.et U
2
U.e—fî
2‘ sin par1
U2 e*
1;"s in pr
2
176 REFR O IDISSEMENT DE LA SPHÈREconséquent , leur p rodui t e st posi tif. En outre
2 4P P‘ i l“4 2
quantité différente de zéro,pui sque la racine supposée
complexe . Or , l ’ intégrale1
U ,U2 dr ,
dont 1elément est dan s ce “cas,pos itif, ne peut être nul l e .
Donc l ’équation ne peut pas avoi r de racines de la form ea pi .
9 6 . Peut-elle avoi r des racines imaginaires pures de laforme (Si .
S i cela a l ieu,elle admet aussi l a racine et , dans ces
cond1t1ons ,_ä jf est reell e
,car son 1mag1na1re conyuguee
est égale .
Or ‘
1 e—f3 ef$
tg 2$e
' fï 83
Il faut voir comment varie le rapport quand croî tde o à oo .
Pour 0,on a
Pour çä= æ , on a
I l ne peut y avoi r dans l ’ inte rvalle un max imum ou un
REFRO ID I SSEMENT DE LA SPHÈRE 177
minimum que s i l ' on a dans l ’ intervalleSID 2113 2 i3,
ou b iene ' 213 e
—2 f3
ou,en développant les exponentielle s :
ce qu i n ’est pas poss ible , tous les termes étant positi fs .
Donc le rapport décro î t constamment et va de 1 à 0 .
Pour qu ’ i l y ai t des racines purement imaginai res , i l faudrait que l ’on eû t
0 A 1.
Or,A ne peut pas avoi r une telle valeur
,puisque l ’on a
1 h
e t que h est positif.D e cette di scussion il résulte donc que l ’équa tio n tran s
cendante
tg :J Alf
n ’a j amais que des racines réelles .
9 7 . Si l ’on négl ige la solution
11. 0
on voit que chaque solution de l ’équationt8
‘
.UL As .
donne une intégrale particuhere du p roblème .
PROPAGAT ION DE LA CHALEUR .
178 REFRO IDI SSEMENT DE LA SPHÈRES i donc on a réuss i à développer (1 ) en une série de la
formerf (r )=A, A
2s in ;; r +A,, s in pi
Il
é tant le s racines positive s de l ’équation .
La solution du problème sera2U A
,e
*
5‘L
s1n
ptr Ane
—E‘
,
L t
Pour démontrer rigoureusement que U est b ien la solut ion
,il faudrait faire une d i scuss ion analogue à celle qui a
é té faite au sujet du problème de l ’armille , ce qui setout à fai t de la même manière .
Ainsi le problème est ramené à celu i—ciD évelopper la fonction rf (r ) en une série p rocédant su i
vant les foncti onss inw,
s inW’
4 2
9 8. S i on suppose l e développement possible , on pourraen trouver les coefficients par une méthode analogue à celleque l ’on a employée pour la série de Fourie r .
On a démontré l’ identité1
f U ,U2 dr o0
qui pour t 0 dev ient
s in p.vc sin ur dr o,
4 2
sous la condition
CHAPITRE X I
MÉTHODE DE CAUCHYVALEURS ASYMPTOT IQUES DES FONCT ION S
9 9 . Nous allons exposer la mé thode de Cauchy pour ledéveloppement d ’une fonction arb itra ire en série de formedé te rminée .
Ce tte mé thode est fondée sur la théorie des rés idus .
Nous commencerons par rappeler les principes é lémentaires de la théorie des fonc tions .
Une fonction entière G (z) est une fonction qui est développable su ivant les pui ssances cro i ssan tes de z de tel lesorte que la série so it convergente pour tou tes les valeursréelles ou imaginaires de z . Tel les sont
,par exemple , l es fono
tions 6 5 , P P (z,P représen tant un poly
nôme .
En parti cul ie r , cos z et s in z sont de ce tte dern i ere forme .
Ces fonctions n ’
ont aucune espèce de points s ingul iers .
Nous avons démontré que,s i (ou) est une fonction quel
VALEURS ASYMPTOTIQUES D E S FONCT ION Sconque
,mai s finie , l ’intégrale :
[f (x ) dæ
L
L étan t un chemin de longueur finie,est une fonct i on ho
lomorphe de z dans toute l ’ étendue du plan , c ’est donc unefonction entiè re .
Cons idérons maintenant le quotient de deux fonction sentières
R (z) É"LGI
Ce sera une fonct ion mé romorphe de 2 ; elle admet dessingularités qui sont des pôles .
Le théorème des rés idus de Cauchy est le suivant :S i on cons idère un contour fermé quelconque G ,
on a
f R (z) dz = ain 2 A
C.
2 A é ta nt la somme des ré s idus rela tifs auæ pô les contenusà l
’
inté r ieur du contour C .
Considérons une série de cercles concentriques de rayonscro i s sants : C , , Ç 2 , C et prenons l ’ intégrale :
f R (z) dz
le long de ces d ifférents cercles .
Suppo sons que l ’on ait démontré d ’une manière quelconque que
,lorsque le rayon des cercles va en cro is sant sui
vant une certaine lo i,l ’ intégrale tende vers une l imite fi nie
et déterminée .
182 MÉTHODE DE GAUCHYSoit 2i 1r)t cette l imite .
On sait , d ’autre part , que
+ A )C11
An étant les résidus des pôle s contenus à l’inté rieurdu cercle CLorsque le rayon du cercle croî t indéfiniment , on obtient
à la l imi te
S i R est une fonction de z et de ac,R (z ,
les quantités ).et A
, ,A2 ,sont des fonctions de sa, et la fonction Ase trouve
développée en une séri e procédant suivant les fonctions A .
La question se ramène donc a trouver la l imite verslaquelle tend
fR (z) dz
quand le rayon du cercle d ’ intégration cro î t indéfi niment .100 . Nous sommes donc amenés à étudier les valeursasymptotiques d ’une fonction entière ou mé romorphe , quandle module de la variable cro î t indéfiniment .Nous allons prendre
,tout d ’abord , quelques exemples
simples .Considérons la fonction ent i ere
Qu’
entend-ou par valeur asymptotique de (z) ? C ’est unefonction <p(z) tel le que, lo rsque le module de z cro î t indé fi
184 METHODE DE GAUCHYdent
,on reconnaît que S I
75<
20)
l a valeur asymptotique est 1 , et s i :
ä<
cette valeur asymptotique est 1 .
On a,comme précédemment , des azimuts singul iers pour
le s valeurs de m’ qui sont des multiples de 2 .
S i on cons idère les fonction s— 1 9
4
la valeur asymptotique est 1 , que la parti e réelle de z so itposit ive ou négative mais i l y a encore des azimuts singuliers pour les mêmes valeurs de que précédemment .101 . Considérons maintenant un exemple un peu plus
général .Soit
f (z) A4
A2
on,, étant des nombres réel s rangés par ordre croi s
S i est compri s entre 0 et n, y tendra vers oo et , comme
l ’on a :e—“Y
VALEUR S ASYMPTOTIQUES DE S FONCTION S 185
On voit que,s i a est posi tif
,cette expression tendra vers
zéro .
Cela posé , nous allon s démontrer que l a valeur a symptotique de f (z) est dans ces cond itions
A4ei a'z
En effet,on a
_fEI_ _
_ _ Êiz Aa
A,ezaiz A
,
e + A,
e
l l s ’agit de montrer que chacun des termes du secondmembre tend vers zéro
,et cec i résulte immédiatement de ce
que nous venons de dire p lus haut .S i , au contraire , on avait
71: w 0
tendrait vers co,et l ’on démontrerait que la valeur asymp
totique estAne
i anz
Pour w 0 et (O n on a des azimuts s inguliers .
S i l ’on prend le secteu r compri s entre les deux azimutswoet tu
,chois i s de manière qu ’ i l s ne comprennent aucun azi
mut singul ier,s i l ’on a par exemple
non seulement l ’expression
Alei alz
tend vers zéro mai s encore elle tend uniformément vers cettel imite .
186 MÉTHODE DE CAUCHYEn effet
,on a
f (2 )Alel a l z
e
y 9 s in
Or , on a l ’une des deux inégal i tés
y 9 s inou bien
y > pS ifl w, .
Donc on peut prendre 9 assez grandrence
soit en valeur ab solue inférieure à une quantité e,et cela
quel que soit ( 0 .
102 . Prenons maintenant le cas plus général où - l ’onaurait
f (2 ) A W A.eM AW
or, ,
(12 , et,, é tant des quantités quelconques réelles ou ima
gina ires .
Nous représenterons ces quantités par des points dans unpl an .
Soitfil: z
'
Y/r
et SoitZ w iy =p(cos i sin œ) .
188 METHODE DE GAUCHYCons idérons alors le p olygone convexe dont tous les sommets appartiennent à l ’ensemble des points 0t'
,et tel qu ’aucun
de ces po ints ne soi t s itué à l ’ extérieu r de ce polygone .
Considérons un sommet quelconque,a,
’ par exemple , etmenons par or,’ extérieurement au polygone les perpendiculaires aux deux côtés qu1 y aboutis sent soient ou}S et « (T .
Menons par l ’o rigine des parallèle s OS ' et OT ’ à ces deuxdemi—droites .
S i l a di rection oz dans laquelle z s ’é lo igne indéfinimentest compris e entre OS ' et OT ’
,on voit que c ’est le point
q‘
ui fourni ra le terme de module max imum,et l a valeur
asymptotique de seraA,e°‘1
On pourra ainsi d ivi ser le plan en autant de secteu rs qu ’ i l
VALEUR S A SYMPTOTIQUES D E S FONCTION S 189
y a de sommets au polygone , et pour chacun de ces secteursi l y aura une valeur asymptotique déterminée .
Quand z s ’élo igne indéfi niment sur une des demi—d ro i te s OS '
,
OT'
,i l n’
y a pas de valeur asymptotique déte rminé e : cesont des azimuts singuliers .
103 . Nous al lons maintenant nous proposer de trouver lavaleur asymptotique de l ’express ion
(5 ) P —z=
P, ,P, ,
P, , étant des polynômes entiers en z de degrésm
, ,m, ,
m…
Pour cela , cons idérons , d ’abord , un polynôme entier en z
P As ’”
E BZ",
n m .
La valeur asymptotique de P est
et , de plus , le rappor tP
Azl ïi
tend unifo rmément vers l ’uni té quand z augmente indé fin iment .On a
,en effet
P B 1
E'” E A z
ut—n
Le module de la somme est inféri eu r à la somme des
190 MÉTHODE DE CAUCHYmodules
,donc
1 B 1 m -n
Az’” 2 A
Le second membre est un polynôme entier ennulant pour î 0 .
On peut donc p rendre le module de z assezque
P1
Az’”
Cons idérons , second l ieu,l ’express ion
zPei“Z
0. étant une quantité positive .
Nous allons mon trer que cette fonction tend vers zéro , que]que soit p,
lo rsque z cro ît indéfi niment,sa partie imaginai re
é tant posit ive .
On a toujours.8 ir 96
”
et l ’on suppose
010 étant d ifférent de zéro , mais auss i petit que l ’on vent .
Le module de est
ppe—aY P
pe—a 9 smœ
Or , on aps1n œ ps1nw0
Donc le module est infé rieur 51
Pi le
Slumo
192 MÉTHODE DE CAUCHY
Donc le second terme tend uni formément vers zéro,ainsi
que tous les suivants .
Donc le rapport
A,z
”fi
tend uniformément vers l ’unité .On a donc l ’égal ité asymptotique
f (g ) A_'zm1 e
i a,z
D ans le cas où z croî t indéfiniment,sa partie imaginaire
restant négative,on aurait de même
f (Z) AnZm"ei a ”
Dans un cas,comme dans l ’autre , l ’exposant ou qui donne
la valeur asymptot ique sera appelé eœposa nt ca ra cté r is
tique .
Supposons que l ’on cons idère deux fonctions f, (2 ) et (z)
de la forme de celles que nous venons d ’étudier quelle serala valeur asymptotique de leur somme ?S i l a partie imaginaire 7 est pos itive , l a valeur‘ asympto
tique correspond à l a plus petite valeur de l ’exposant caracté ristique or. dans les deux foncti ons .
Le contrai re a l ieu s i y est négatif.Nous employons le signe pour indiquer une é ga lité a symptotique.
CHAPITRE X II
V A L E UR S A SYM P T O T I Q U E SDES INTEGRALES DÉF IN I E S
105 . Cons idérons maintenant
ç (z ) =j î (œ) da:
Nous supposons que f (œ) es tune fonction quelconque , maisfini e
,et sati sfaisant à la condition de D i richlet ; en outre , et
et b sont deux quanti tés réelles , et l ’on a
a 6
(z) sera , comme on l ’a vu , une fonction entière ; nous voulons chercher la valeur asymptotique de cette fonction .
S i,d ’abord
, f (x ) est égale à une constante A , on pourraeffectuer l ’ intégration , et on aura
Ao (s )
iZ°
PBOPAGATION DE L CHALEUR .
194 VALEURS A SYMPTOTIQUESS i la parti e imaginaire y de z est posi tive , l a val eur asymp
totique sera
contrai re , y sera
D ans le cas général,so it
f (a e) étant la limite de (aa) lorsque œ tend vers et parvaleurs supérieures à a .
Supposons d ’abord y o .
Je dis que la valeur asymptotique de q. (z) seraf (a + æ) i a ;
ç (Z) Œ —T
En effet , nous pouvons poser
(œ ) tendra vers zéro lorsque . sa tend vers et .
On peut choisi r un nombre posi tif tel que , lo rsquel ’on a
on ait, enmême temps
f4 (æ) l l‘
l* tendant vers zéro en même temps que et .De plus , comme la fonction est fini e
,on aura pour les
iz
est négatif,elle
196 VALEUR S ASYMPTOTIQUE SL
’erreur relative est donc
>I
Z. È Â « E —
yoc
Y+
Y
e
et,comme on a
'
Y S lll w
cette erreur peut s ecri re :M
A sium+ A s in œ8 Y“
S i tu est un angle tel quew0 < œ < n
l ’expres sion rai-des su s sera inférieure à
A sinexpression indépendante de w .
Je di s qu ’elle tend vers zéro en effet , prendred ’abord onassez petit pour que l on ait
P
et ensu ite ça assez grand pour que
-Pd sm ( 0 0Me
2
La valeur asymptotique de cp(z) est donc
ç (z) œ _ C
DE S INTÉGRALES DÉFIN IE S 197
S i l ’on avait en 7 0,on aurait en de la même maniè re
106 . On peut étendre ces résu ltats à une intégra le de mêmeforme
ff (x ) c'“dx,
l ’ intégral e étant p ri se le long d ’
un chemin L de longueurfinie à la condition que , en tous les points du chemin , on ait
eizx
eiza
a étant l ’origine du chemin L .
On démontrera que la valeu r asymptotique est encore dansce cas
f (a )zz
en supposant> O .
Pour cela,on décompo sera le chemin d ’ intégration en deux
autres,comme précédemment , en prenant un po in t (a
infiniment voi s in du point a , et en continuant les raisonnements de la même manière .
1 07 . Revenons à l a fonctionIl
(Z) 6“dæ
où a et b sont réel s,et supposons que dans le vo i s inage de
æ = a
198 VALEURS ASYMPTOTIQUESla fonction f (x ) soi t développable suivant les puissancesde (x — a )
f (æ) A (æ (ac — a it
le développement pouvant contenir des puissances négativesou fractionna ires .
On sait que l ’on a
dx I‘
(n+ l )0
ch angeant x en zx00
f x”e
*
dxo
Posonsx
C ette formule deviendra111 oo
e duP i l
0z
î l “i"
f unez‘
uz duP (n i l i l !
0 zn + l
remplaçant maintenant u par (x
f°°
(x a )"e'” dx
Or,on a
La seconde intégrale sera négl igeable devant la premiè re
3200 VALEUR S ASYMPTOTIQUES DE S INTÉGR . DÉFIN IE Sté gra le , au lieu d ’être pri se sur un chemin réel , était prises u ivant un chemin imaginai re de longueur finie , pourvu quel ’on ait tout le long du chemin
eizx
eiza
108. Application à la foncti on J ,, d e B e sse ] . Lafonction J peut être exprimée par une intégrale définie
Je f”)002
Nous allons , d ’abord , chercher la valeur asymptotique de Jlorsque la ‘
partie imag ina i re de z est pos itive .
On a icia 1
Cherchonsmaintenant la valeu r de A . On a
fire ) ( i
— æ)
Développons (1 x ) suivant les puissances croi ssantes
(1—x )â
et l ’on aura , comme on le voit , en faisant x 1 danscette équation
APPLICATION A LA FONCTION J ,, DE BESSEL 201
On a d ’ailleurs
[O
D—b
L ’application de la formule générale trouvée plu s haut,
donne donc ic iiTt
J A )0
\/z
remarquant que
P
8
J,,m
Pour avoi r. l a valeu r asymptotique , lorsque 7 est négati f“,i l suffit de remarquer que
,J,,étant une fonction réel le , le
changement de z' en 2'
et de x en x n’
a ltère pas la valeurd e l ’ intégrale ; ce changement permet de ramener au cas précèdent le ca s où 7 est négatif, et l ’ on voit imméd iatementque l ’on a
109 . S i z est réel , il n’
y a plus de valeur asymptotiquep roprement dite ; mai s nous allon s arriver dans ce cas“ à unrésultat nouveau et trè s important .Au l ieu d ’ intégrer suivant l ’ axe réel de 1 a 1
, nousintégrerons suivant une demi- ci rconférence , ayant pourcentre l ’origine
,et de rayon égal à 1 , cette demi-circonfé
rence étant située au-dessus de l ’axe réel .
202 VALEURS ASYMPTOTIQUES DE S INTÉGR . DÉFIN IESPrenons sur cette demi-c irconférence un po int quelconque aet d ivi sons l ’ intégrale en deux parties
Jo
FIG . 28.
Tout le long de cette demi- ci rconférence a , .en supposant que z croi sse par valeurs posit ives
ei zx 1
car,en posant
0 11 a
et z(3 est alo rs une quantité po s itive .
On voit donc que,dans l ’ intégrale H
,l a valeu r a sympto
tique sera fournie par la l imite 1, e t dans H2 par la
l imite 1.
204 VALEURS ASYMPTOTIQUES DE S INTÉGR . DÉFIN I ESEn effet , on a
\Æ(HI Ki )
Le premier facteur tend ver s zéro .
On a de mêmel im \/z (Il , 0 .
On a doncl im \/z (J ,, K) o
et c ’est ce qu Il faut entendre ici,l orsque l ’on dit que K est
la valeur asymptotique .de
Le même rai sonnement s’
appliquera it au cas où z croî tpar valeurs négatives .
Il suffi rai t d ’ intégrer le long d ’une demi- ci rconférences ituée au- dessous de l ’axe réel .1 10 . L im ite supé ri eure de la fonction go . Nous avon sétudié
,au point de vue des valeurs asymptotiques , la fonc
tion
Nous allons maintenant nous p réoccuper de chercher unelimite supérieure de cette fonction . f (x ) est par hypothèseune fonction fi nie ; on peut donc trouver un nombre M telque
Posons comme p récédemmentZ = B+ ü
et cons idérons,d ’abord
,l e cas où 7 es t positi f.
LIMITE SUPÉR IEURE DE LA—FONCTION c 2023
Comme on aei ; x
on aura‘?l M6
“Yx dx
oo
j ivre—vw da°
Et commeeiza
on peut é cri re(Z) M
Y
Nous d istinguerons deux cas , suivant que la quantité po s it ive y est supérieu re ou inférieure à la valeur absolue de (3.
Suppo son s d ’abordY f3
97Ïc ’e st—a—dure que l a rgument de z est compr i s entre et
î
On voit alors facilement que , dans ces conditions , on a
7
Donc on a(2 ) M
Considérons maintenant le cas où
Y < l f3
ne pouvons pas appl iquer ic i l e même raisonnement .
(z) =Lf‘
lx ) e—Yx e"f3x dx .
206 VALEUR S ASYMPTOTIQUE S DE S INTEGR . DÉFIN IE SNous allons étudier l ’ in tégrale :
fc
f (x ) sin (3x dx ,
0
f (90) étant une fonction pos itive et décro i ssante , et 0 étantune quantité pos itive quelconque .
S i nous partageons l ’ intervalle d 1nté gra tion en intervallespartiels par les valeurs
o n verra , comme pour l mté grale de D iri chlet que l ’on aune série alternée ; par su ite , la valeu r de c ette séri e es ti nférieure au premier termeOn a donc
considère
i nire n cm 10 1era le meme ra i sonnement , ma i s , a f n d’
obte
des interval les partiel s égaux entre eux ,on devra prendre
f 75.2 ?
l ’ intégrale
et l ’on supposera que f (x ) est égale à f (o ) pour les valeursnégative s de x .
7rf (0 )J: J. li
l inté gra le
fc
f (x ) cos ,Bx dx
o
208 VALEURS ASYMPTOTIQUES DE S INTEGR. DÉFIN IE S112 . Appliquons ces résultats à la fonction cpdéfinie plushaut . Comme la fonction f (x ) , qui figure dans <p, sati sfait à lacondition de D iri chlet , on a
f, et étant décro i ssante s .
D ’oùb
q; £f ,e*
Yæ ei l3æ
’
dx —Lf , e*
Yæ ei?” dx .
En appl iquant les résultats établ is c i—dessus , on voit qu ’ i len résulte
[Il (a ) f2 (a )]
Or,comme l ’on a
O < Y < IM
on en conclutIZ I
Donc on a
V (2 ) [f. (a ) f2
En résumé , s i l ’on désigne par H l a plus grandequantités
M ,/2
[f. (a ) f. (a )]
LIMITE SUPÉ RIEURE DE LA FONCTION 209
on aura,pour toutes le s valeu rs pos i tives de
i al °
40
On verrai t de même que, pou r l e s valeurs négatives
O I1 & :
l ®'
l <
En e ffet , et [i, é tan t décro is santes , on a ura
I“. ( l) ) f. (a )
PROPAGA'
I‘
ION DE I. CHALEU R
CHAPITRE X I I I
APPL ICAT ION DE LA MÉTHODE DE GAUCHY
113 . Ces résultats prél iminai re s étant établ is nous allonsles appl iquer au développement d ’une fonction f (x ) , en su ivant la méthode de Cauchy que nou s avons déjà indiquée .
PosonsJ f ren dy
J.—fæf (y ) dy
x étant une quantité compri se entre a et 6.
D ’ aprè s ce que nous venons de démontrer , on aura , s i ye st pos itif
N
|
Œ
N
\
Œ,
et , s i 7 est négati f
212 APPL ICATION DE LA METHODE DE CAUCHYNous supposerons que ‘le s valeurs asymptotiques de tt
et ni} , sont de la fo rme qui a été considérée dans les deux chapitres précédents .Soient alors et et et
,les exposants caractérist iques de q.
e t pour pos itif,e t soient et (à, ces exposants pour
négatif.Nous Supposerons pou r fixer les idées
P °‘i Pi °
Les exposants caracté ri stiques des fonctions «t,J et 4»J ,s eront
,su ivant le cas
S i 7 0
‘l' i J ° a
‘l’J i °
S i 7 0
‘lü J ° P! 95
'l’J I ° P b°
Nous supposerons main tenant que l ’on aa. x ou
,a
l3 5 Pi x .
D ans ces conditions,la fonction
’f’ i J ‘f'J4
aura pour valeur asymptotique
APPL ICATION DE LA MÉTHODE DE CAUCHY 213
W
7 0 .
Quant a l a fonction (z, , elle a pour valeur asymptotique 4; ou suivant que y est positif ou négatif.114 . Nous pouvons maintenant trouver la valeu r a sympto
tique de R .
On aura,s i y o
R (z)
R (z) œ J ,Or
,on a dans ce cas
Lorsque l ’on a 7 0,on a de même
R (z) —J
I
R (z)
E n résumé,en voit que , quel que soi t
v aleur asymptotique de R (z) est
Z
211 APPLICATION DE LA MÉTHODE DE CAUCHY1 1 5 . Cons idérons alors une série d iscrète de circonfé
renees C, ,C, ,
ayant pour centre l ’origine et derayons cro i ssants .Nous allon s démontrer que
,s i l ’on peut choi si r l es circon
fé rences de façon que sur chacune d ’elles zR (z ) reste finie ,l ’ intégrale
j ;R (z) dz
2 ir: f (x )
aura pour l imite
quand le rayon cro îtra indéfiniment .En effet
,on pourra alors trouver une quantité
sur les cercles cons idérés on aitzR (z) H.
Posonsz
L ’ intégrale devientT
.
t
R (z) dœ
D écomposons—l a en quatre parties correspondant aux
quatre quadrants,et considérons , par exemple , celle qui est
relative au premier , c ’ est-à-d ire'AÏ
2
2 zR (z) dœ
Décomposons cette intégrale elle-même en deux parties
. … o
2 16 APPL ICATION DE L A M ÉTHODE D E CAUCHYreprésente l ’un quelconque d ’entre eux , on aura
“l' ! ( l‘) 0
Pour calculer le résidu co rrespondant à ce pô le,remar
quons que l ’on peut mettre R sous la forme
H J.),‘
e—i s x J ,
‘
e—i zx
"l" ‘i°‘i
Le second ter ine étant une fonction enti ere , le résidu de Rs era égal au résidu du premier terme
,c ’est-à- dire à la quan
tite
'!f f (P‘l
On aura donc
La fonction [ (x ) se trouve ains i développée dans une sérieprocédant su ivant les exponentiel les e—'Pæ ; mais , pour quel e développement soi t valable
,i l faut que toutes les iné gal i
tés écrite s plus haut se trouvent vérifiées , et en second lieuqu ’on puisse trouver des cercles sur lesquels zR(z) reste fin ie .
117 . A pplica tion .—Nous allons donner un exemple
part icul ier . Nous prendrons
APPLICATION DE LA MÉTHODE DE CAUCHY 2 17
et, pour cela , nous poseronsl) e
—l zll
Qei : b
’
P et Q étant des polynômes entiers du meme degré en z .
Pour que les inégal ités en question soient vérifiée s,i l faut ,
et il suffi t que6 x 0.
On ae2 : : bJ
ize
2Q
S i on suppose que la partie imaginaire y de z est positive ,e n voi t sous cette fo rme que le numérateur est l imité .
En effet,on a dans ce cas
f ( bi
ZZ
En substituant ces valeurs dans l ’ expression de zR(z) , etremarquant que l ’on a
conclut que l e asymptotique
(w) .
D ’autre part,nous avons vu , aux 111 et 112 , que l ’on
b— x > o .
numérateur a pour valeur
PQ
218 APPL ICATION DE LA MÉTHODE DE CAUCHYpeut trouver une limi te supérieure du rapport d ’une fonction entière à sa valeur asymptotique .
S i l a quantité était négative,on aurait mis l ’expression
zR(z) \
sous la forme
ize—iZæ
e—2zzb
et l ’on arrive au même ré sultat en remarquant que
6 x 0 .
Ains i donc, zR (z) ne peut devenir infini que pour les zéros
du dénominateur . É tudions donc‘ ce qu i se pas se dans levois inage de ces zéros .Pour des valeurs suf fisamment grandes de z
,l a fraction
%diffè re peu d ’
une constante . D onc les zéros du dé nominateur seront sensiblement di sposés sur une parallèle à ex etéquidistants le s uns des autres .
Soit un cercle K ayant pou r centre l ’origine ; nous pouvons prendre le rayon de ce cercle K assez grand pour qu’
à
l ’extérieur de ce cercle on ait
QP—C < a
“
C étant l a l imite constante v ers laquelle tend lequand z cro î t indéfiniment .Les zéro s du dénominateur d ifféreront trè s
nombresz.
32 20 APPLICATION DE L A MÉTHODE DE CAUCHY1 18 . On pourra , en particul ier , retrouver par cette
Ehode l e développement en série de Fourier .Pour cela
,nous prendrons
'f’ i
Le s valeurs de (J. seront données par l equation0
sin 0 .
Ce seront donc le s nombre s entiers positifs et négatifs ceq ui donne b ien la sé rie de Fourier , en remplaçant les expomentielles par les fonctions trigonométriques .
1 19 . Appl ica tion au re fro id issement d e la sphère .
Nous avons vu que l e problème du refro i d i ssement de las phère se trouvait ramené au suivantD évelopper la fonction x f (x ) définie de 0 à 1 et s ’
annulant
pour x 0 suivant le s fonction ssm ux ,
sin pix ,
2 n
p,, ;1 , étant les racine s positives de l ’équationi l
t ranscendan tets
C ette équation peut s ’ écri reAu cos y.
«o n bienc
* i lL Aie (e…
APPLICATION AU REFROID ISSEMENT D E L A SPHÈRE 92 hNous po serons
(z) (Aiz 1) e“
(3 ) (Aiz 1) e"
Le s quantité s pt seront racines de l ’équation
(1) (zi 0
D ’apres ce que nou s venons de voir une foncl ion quelconque définie entre 1 et 1 sera développable su ivant les .
exponenti elle s e‘ttr,et par suite suivant les fonctions
cos p.œ et sin
Pour appl iquer ce résultat au p rob lème qui nous occm1pe ,
nous dé finirous une fonctio n F(æ) de la manière suivanteOn aura pour l e s valeurs de 00 comprises entre 0 et 1
F (cv) æf <æ )
et,pour a: compri s entre 1 et O '
F(æ) sera donc une fonction impaire .
Nous allons montrer que,dans ces conditions , l a formule
générale (1) nous donnera pour F (œ) un développement necontenant que les fonctions
Considérons dans ce développement deux termes correspondant à des valeurs de p. égales et de s i gnes contrai res
222 APPL ICATION DE LA MÉTHODE DE CAUCHYCes deux termes sont
(off. e.
i F (y ) e—‘Wy—x l dy
'l'
( r 44 - 4
Nous allon s montrer que,dans le cas qui nous occupe le s
coefficients des deux intégrales sont égaux .
En effet,on voit immédiatement que l ’on a
‘i' “i“!
et,par suite
,en tenant compte de l ’ équation
t*) “l’ « t’ 0 9
on aMr) = t ( sa)
et,de même
r)
D’
autre part,on voi t ai sément que
«w Aie—r z
°
+
(v) Aie… a .
D’
où, en additionnant
Wu) LH( :L) 25 [A COS (r)]
E t,par su ite '
'lu'
(r) «l'
r) =lu' v
Les deux coefficients sont donc égaux,et leu r valeur com
mune s ’obtient facilement en tenant compte de l ’équationtg p. At) …
CHAPITRE X IV
REFRO ID I SSEMENT D ’
UN CORPS SOLIDEQUELCONQUE
120 . Fonctions h armoni ques. Ca s dupara ll é l ipipèd e .
Nous allon s aborder maintenan t l e problème général derefro idi s sement d ’un corp s quelconque ; mais , i ci , nous perdrons en rigueur ce que nou s gagnerons engénéral ité .
Le problème se ramène à la détermination d ’une fonctionVtell e que l ’on ait à l ’ intérieur du sol ide
dV
dt
à la su rfacedV
dnhV O
et qui,pour 0 , se réduira à :
f (ww)
Nous cons idérerons toujours h comme une constante pos itive .
FONCTION S H .\ RMONIQUE S’
4
La solution de cette ques tion es t intimement l ié e à cel le duproblème suivantTrouver une fonction U (x , y , telle que l ’
on a it à l ’ iméri eur du co rps
AU kU 0
et à la surfacedU+ hU = o
h étant la même constante que dans le problème p récédent ,et k une nouve lle consta n te arbi tra i re .
Nous allons démontre r l ’ exi s tence de fonctions sa ti s fais antà ces conditions
,et que l ’on peut d ésigner sous le nom de
fonctions harmoniques .
12 1 . Supposons , d ’ abo rd , qu l l ex i s te deux fonctions U etU
' sati sfaisan t aux conditions p récédentes,mai s correspon
dant a des val eurs d i fféren tes I.: et k ’ de la cons tante la.
Appl iquons le théo rème de G reen a ces deux fonctions
UdU
,
U'
du) fff (UnU'
U'
AU ) d“:
dn dn
les intégrales étant é tendues à l a su r face e t au volume ducorps
,et les dé rivées é tant pri ses suivant la normale exté
rieure .
En tenant compte des relations auxquelles sa ti s font U et
U ’
, la formu le c i-des sus donne
fff (k
[E' sont supposés diffé rents , on
ff UU'
dr = 0 .
P ROPAGAT ION DE LA CH \ LEUH .
226 REFRO ID ISSEMENT D ’UN CORP S SOL IDE QUELCONQUECeci nou s montre que les constantes k sont nécessairement réelles .En effet , s i pouvait être imaginai re , soit U la fonctioncorrespondante , l a fonction U’ imaginaire conjuguée de Ucorrespondra à l a valeur k' conjuguée de k .
Or,l ’égal ité
est ic i imposs ible,pu isque UU ’ est une qu ant ité essentiel le
ment posi tive .
J e dis,de plus
,que le ne peut pas ê tre n égatif. Pour le voi r
appl iquons le théorème de Green sous la forme suivante
U dm UAU dr 2
En remplaçant et AU par leurs valeu rs,cette équation
dev i ent
hf2 dw kff M c—l
D ’où l ’on tire la valeur de k
Î lf2 d to+
une fonction U ,on la valeu r
par la formule
228 REFRO ID I SSEM ENT D ’
UN CORP S SOLIDE QUELCONQUEA , ne pouvant s ’
annuler,a un certain min imum . Soit U ,
la
fonction qu i co rrespond à ce minimum . Pui sque , parmitoutes les fonctions Uqui sati sfont ‘a l ’équation
B 1
l a fonction U,est celle qui rend A minimum
,i l faut que
,
nelle ne so it la variation BU de U ourvu u’
elle sa tiSq q4 P q
fasse à l ’équationOB 0
l a variation BA correspondante soi t nulle . Donc l ’équation8A 0
do it être une conséquen ce deBB 0 .
On a1 dU d
ëSA h.f 8U d…
dæ dæ (SU )
Or,on a
,par le théorème de G reen
sU 9‘—J d… —
fffw nU dr + 8U ddn
D ’où
OU ÏIU du)
U3U dt .
ff 8U .AU d
FONCTION S HARMON I QUES 229
BA ne contient plus maintenant que la varia tio n SU .
D ’
après les p rincipes du ca l cul des variations,
s i pourU U
,l ’équation
OA 0
est une conséquence deOB 0
on a nécessairement
à la surface, et
AU40
à l ’ intérieur,k,étant une certa ine constante
,qui
,
nous allons le montrer,es t égale à la va leur de A
pondant à U,
.
En effet,reprenons la valeu r de A
Appl iquons théorème
D ’où i l vient pour A
Œr
dn+ hU d…
dU42
dy+ \ dz
de G reen a l ’ intégrale triple
— ff ,AU
,a
230 REFRO ID I SSEMENT D ’UN CORP S SOLIDE QUELCONQUEou bien
La constante k,e st donc égale au minimum de A .
12 3 . Considérons maintenant une fonction F sati sfaisantaux conditions suivantes
F2 dr = 1
C FU ,dr = 0
Parmi toutes les fonctions F sati s fai sant à ces condition s ,en ex i ste une qui rend min imum l ’express ion
A= hff F2 dœ
U 2 cette fonction . même que pré cédemment , ’
que l ’équation8A = O
so it une conséquence des deux équationsOB = O
BC 0 .
On devra donc avoi r identiquemen t
BA z.» BB sc
k,et l é tant des constantes , c ’est—à-d ire aura
2 32 REFRO ID I S SEME NT D ’
UN CORP S SOLIDE QUELCONQUEDonc U
2sati sfait à l ’ intérieur à la condition
AU2
k2U2 0 .
On verra comme précédemment que k , est la valeur deA correspondan t à l a fonctionD ’ aprè s tout ce qu i p récède , on vo it immédia tement que
l’
on a
124 . On définira de même la fo nction U 3 qui assuj etti e aux condi ti ons
B ff ädr = 1
C … i U ,U,d
Cette fonction U 3 sati sfera aux deux équationsd_
U_.
dnhU
AU , h3U3
l a p rem i ere équation ayant l ieu à l a surface et la seconde al ’ intérieur . On poursu ivra de ce tte mani ère
,et on dé finira
en général la fonction harmonique Uptel le que
UI,
U,,dt o .
PARALLÉL IPIPÈDE RECTANGLE 233
U,,sati sfera a ux deux équations
dU,,
duhU
”
AU! )
kpU/ )
La démonstra tio n que nous venons de donner de l ’ exi stence des fonctions U n ’
es t pa s abso lumen t rigou reuse .
E lle est suj ette aux mêmes objections que la démonstra tionpar laquelle R iemann a é tabl i le principe de D i richlet . J ’ai
,
depuis la clô ture de ce cours,donné une démons tra tion
plus satisfaisan te dans un mémo i re intitulé S ur les É gua
tiong de la Phys ique M a théma tique , et inséré au tome VIIIdes Rend icon l i del Cz
‘
rco lo M a lema te‘
co d i P a lermo .
12 5 . P ar a l lé lipipède r e c t a ng l e . Nous allons determiner les fonctions U dans le ca s pa rti cul ier du pa ra llé l ipipède rectangle .
Soient :
le s s ix plans qui l imi tent le so li de .
J e dis que l ’on peut trouve r des fonction s U de l a formeU sm EH ) E*2)
On a dans ces conditionsd
‘-'U
dæ2
dzU
dy'z
234 REFRO ID ISSEMENT D ’UN CORP S SOLIDE QUELCON QU EDonc
AU R R)
I l s ’agit de déterminer X, ,
façon àsatisfaire aux équat ions à la surface
dn+hU=0
Pour 00 a ,on aura
_
d_
U_
dU.
d
_
n
_
dæ
—° U . COtg ( / t,a
Il faut donc que l ’on ait
(1) )‘l t’ a) + h = 0
Pour ce a,ondU
da:UI , cotg ( À
,a
D ’où la seconde cond itionÀ,Coig (À, a 72 0
La comparaison des deux équations (1) et (2 ) montre quep, est un multiple de n
2; il suffi t de lu i donner les valeurs
0 etDans le premier cas
,l a fonctionsinO.æ
se réduit à sin À,æ ,et la constante satisfait à l equation
(3 ) O .
236 REFRO ID I S SEMENT D ’UN CORPS SOLIDE QUELCONQUELa fonction impaire pou rra se développer suivant les
fonctions s in À,æ
,et cela d ’une seule manière
,comme on l ’a
vu a propo s du refroid i ssement de l a sphère l ‘équation (3)e st, en effet., l a même que celle que l ’on rencontre dansl ’étude du refro id i ssement de la sphère .
On verrai t , par un p rocédé analogue , que la fonction pairepeut se développer su ivant les fonction s c os )t ,’œ et d ’unes eule manière en e ffet
,l ’équation (4) e st d ’une forme
analogue à celle de l ’ équation (3) et rentre dan s la catégorieé tudiée aux 119 e t su ivants .
Appl iquons cec i a la fonction V (œ , y ,z) , en la cons idérant
d’abord comme fonction de ne . On pourra la développer , et
c ela d ’une seu le man ière,en une série procédant su ivant les
foncüons
sin et cosMœ
Les coefficients de ce développement seront des fonctionsde y et z défi nies dans le champ
— b à + O + c>
O n considérera chacun de ces co efficients comme fonctionde y ,
et on les développera suivant les fonctions:s in e t cos ) . 2’y
O n aura Comme coefficients des fonctions de z définies dec a c
,que l ’on développera su ivant les fonctions
On vo i t que , dans le ca s particul ier du pa rallé lipipèderectangle
,nous obtenons un développement bien défini de la
fonction arbitrai re suivan t le s fonction s harmoniques U .
P .\ RALL ÉLIPIPÈ DE RE CTAX 6 L E 23 .
12 7 . Je d is ma intenant que le développement a ins i obtenuest unique . C
’es t la une proprié té qu i n ’ es t pas spécial eau cas particul ie r du pa ra llé lipipède ,
ma i s qu i est CD (‘
O I’
C
vra ie dans le cas général .Une fonction ne peut pa s être développée de plus ieursmanière s en ser i e de fonctions harmoniques .
En effet,i l suffit de rappel e r que nous avons démontré a u
S 121 que l ’ intégrale t ripl e
é tendue a tou t le co rps sol ide , es t nul le s i U ,, n ’
es tpa s ide itique à U
,.
Cons idérons alors le développement
V a,U ,
1 ., U x,,U
Multipl ions les deux membres par
et intégrons dans tout le vo lume .
D ’après ce qui précède , on a
U ,, d“: U
Cette équation détermine complètement les coe ffic ients 1
ce qu i montre que le développemen t est unique .
C . Q . F . D
128. Revenons maintenan t au cas du pa ra llé lipipède
rectangle,et supposons que V soit une fonct ion harmonique
238 REFR O ID I S SEMENT D ’
UN CORP S SOL IDE QUELCONQUEsati sfaisant aux condition s
dV
dn+ hV _ o
a la surface etAV + kV = 0
à l ’ intérieur,le étant une certaine constante .
Je di s que cette fonction V doit être identique à l ’une desfonctions
U, ,U , ,
définies au 125 .
D ’après le théorème du n° 126. V , comme d ’ai lleurs unefonction quelconque , peut être développée en une s érie de laforme :
a,U , ct
2U 2
de sorte que l ’on aV °‘
4UI
°‘2U2
Je di s que V doit ê tre identique a l ’un des termes ou,—U ,
de ce développement , l es autres termes étant nu ls .En effet
,s ’ i l n ’en étai t pas ains i nous aurions deux dé ve
.loppements d ifférents d ’une même fonction en série de fonctions harmoniques
,car V
, pa r hypothèse , de même queet, ,U, ,
512 ,U2 sont des fonctions harmoniques .
240 PROPRIETES DES FONCTIONS HARMONIQUE SAppl iquons le théorème de G reen aux fonctions U et U"
U‘
fä U fff (U… — U’
AU ) d
ce qu i donne
(h h’
)f U'
cl (k UU’
d+.
S i h'
es t trè s vois in de h ,U
' est très vo i s in de U , et on auraà la lim ite
dkce qm montre que ä]} est tou jours pos…f.S i donc
,parmi les foncti ons U
,on en considère une de
rang bien déterminé,l a valeur co rrespondante de k es t une
fonction croi s sante de h .
13 0 . L im i te s s upé ri eure s d es quanti t é s le.
avons vu que k,est le minimum du rappor t
B
quand U va r ie de tou tes les manières poss ibles . Il en résul teque , s i on prend pour U une fonction quelconque , on aura
dUU 2 du)
â .î
U3 d t
L IMITE S SUPERIEURES DES QUANTITE S k 241
Fai sons par exempleU 1
On aurahS
w
8 représentant la surface du corps , et W son volume .
13 1 . Nous allons maintenant chercher d ’autres l imitespour le s quan tité s
PosonsŒ|F4
12F
F, ,F, ,
F ,, étant des fonc tions quelconques données àl ’ intérieu r du volume ; œ, , a ,, des coe fficients arb itrai res .
Posons auss i
A hff F2 d… E
B fff F2 dr
A et B seront des formes quadratiques par rappo rt auxquantités ou ; elle s seront , d ’ailleurs
,dé finies et po s itives .
Formons alors l ’express ionA X B
)t étant une nouvel le indéterminée . S i j ’ écri s que le discrim inant de cette forme quadratique es t nul
, j’
obtiendra i une é quat ion algébrique en de degré 72 , qui admettra n rac ines
X' , o u .
l‘ltOPAG .\ TION DE LA CHALE UR .
242 PR OPRIETES D E S FONCTION S HARMON IQUESD ’après l a théorie des formes quadratiques , on voit que ,
comme A et B sont de s forme s pos i t ives , l ’équation en ases racines réelles et pos it ive s .
Nous a llOns montrer que,en supposant les racines
X, ,
rangées par ordre de grandeu r cro is sante , on a
En effet,on sait qu ’ i l e st toujours poss ible d ’ effectuer
une substi tution telle que A et B prennent le s formes su ivantes
-+wä
étant des combinai sons l inéai res homogènes
dans ces condition s
Pi + Pä+ - P
Les fonctions F,F2
… F ,, étant données , s i les coefficien tsva rient
'
de toutes les manières possibles , le rapport Bsera compris entre etOr
,le minimum absolu de ce rapport est k 11 en résulte
que l ’on a k,
x, .
En second l ieu ,remarquons que
,
—le nombre des 0. étant II ,on peut introduire entre ces quantités (n — 1) relations
PROPR IETES DES FONCTION S HARMON IQUE S
dœ par dre . COS :p
cp étant l ’angle que fait avec 0 00 la normale à l elément du».
On aura donc
des dy dz + hf ï dœ cos œ !
Nous décomposons le volume en cyl ind res parallèles à ox
FIG . -29 .
e t de section infiniment peti te . Cette sec tion d ’ailleursdæ dy ( lb) COS :p
On aura donc
—4«lac la (U
LIM ITES SUPER IEURES DES QUANTITÉS 245
x'
e t ce sont les absci s ses des points Où l e cyl indre infiniment petit coupe la surface du co rpsU ,
’ et sont le s valeurs de U, ,correspondant à ces deux
points .
L es intégrales doubles sont é tendues à l a partie du plandes yz l imitée par l e contour apparent du corps .
A chaque poin t de cette a ire correspond u ne certainevaleu r du rapport
Ut?)
MN
(133
e t l ’on voi t queMn dz
Ndy ( ÎZ
a une valeu r comprise entre les val eurs extrêmes du rapMportN
Par su ite,si on peut trouver un minimum pour le rap
po i t ce sera a for tzor i un minimum pour k , .NCherchons donc à déterminer la fonction U
,telle que l ’
on
ait :\ I =fU
2 dæ = l
et qui rende minimum l ’ exp ression
de: Iz(U W ) .
246 PROPRIETES DE S FONCTION S HARMON IQUE SComme on l ’a déjà vu ,
i l faudra écri re que
OM 0
est une conséquence deON= O .
h [U’
8U’
U”
8U ]
SU dæ
on voit que equation
da.“ OU OU dæ 0 .
Cette équation doit être une conséquence1
ë8N 2 0 .
On do it donc avoirSM
var i ati on de so i t nulle,faut que l ’on a i tN
BM M
W_
N> °
248 PR OPRIETES DE S FONCTION S HARM ON IQUE SOn trouvera i t également
(Rendiconti del Circolo M a tema tico di P a lermo , t . V I I I . )Cette formule
,démontrée pour h O
,sera vraie
,a for
tior i, pour h 0 , puisque les quantités k croi ssent en même
temps que h .
134 . Nous allons montrer que,quelle que“ soi t [la valeur
de h , l e s quantités k croi ssent indéfiniment avec l ’ indice n .
PosonsF a
,U , oc2U2
et considérons la forme quadratique
F2 dw
peut s ’écri re
hF dt.) FAF dr .
E t comme on a i cidF
dnhF 0
il vientFAF dr ,
dr + hf f
transformant par la formule de Green
— fff
L IMITES SUPERIEURE S DES QUANTITÉS 249
c’est- à-dirc
[a ,U , dt
En tenant compte des relations auxquelles sati sfont l esfonctions U , cec i dev i ent
A k,a% k
2a ä k,,afi.
On a de même
On en conclut que , quelles que soient les quantités a ,on a
toujoursA
Nous allons maintenant chercher une limite inférieure durapport Flacons-nous d ’abord dans le cas de h O .
D iv i sons le sol ide donné en (n 1) sol ide s parti el s ; nousconsidérerons chacun d ’eux comme un sol ide de même conductibilité que l e sol id e total , et dont la surface est impermé able à la chaleur .On aura pour chacun de ces sol ides
k'
“
0,
250 PROPRIETES DE S FONCTION S HARMON IQUESet , par suite , l a fonction U ,
correspondante sera une constante .
D és ignons,d ’
une manière générale,par k
g,l e s
valeurs particul iè res des expressions U, ,relatives au
so l ide partiel de rang i et par A, , B , ,le s intégrales A et
B étendues seulement a ce sol i de partiel .Les quantité s et étant au nombre de n , on peut les as su
j ettir à (n 1) relations l inéaires quelconques .
J’
obtiendra i (n 1) relati ons de cette sorte en écrivantque i ntegrale
F dr
est nulle lorsqu’On l etend à chacun des (n 1) sol ide spartiels .La fonction F ains i déterminée satisfera à l ’équation
FU, ,d‘
C 0
l ’ intégrale étant étendue au so l ide partiel de rang i . Cela
résul te de ce que U , , es t une constante .
Or,on sait que , quandF est assuj etti e à satisfaire à cette
Acond i ti on,le m i n imum de est alors k
, ,
S i donc on appelle k ;_ la plus petite des quantités onaura
A
Ë> k
En comparan t avec l ’ inégal ité obtenue plus haut , ontrouve
k 2
20 2 PR OPR IETES DES FONCTION S HARMON I QUE SAin s i donc le problème est ramené à développer une fonction donnée V0 (ac, y ,
2 ) su ivant les fon ctions U .
S i le développement ex i ste,ou en pourra facilement trou
ver le s coefficients . En effet,soi t
+A U
Multipl io 'ns par U ,,dr ,e t intégrons . On aura
(1) A _ _ fff VoU,dr
Mais la po ssib il i té du développement n’est pas établi e
d une manière r igoureuse . Pour qu ’
e l le le fû t, i l faudrai tpouvoir démontrer que
,s i l ’onpose
V A,U ,
6‘ f
1t —l A Un e—k ,,z B
le s coeffic ients A étant défin i s par l ’équation R tendvers zéro lo rsque n croî t indéfinimen t. Or, ce point n ’est pasdémontré . Nous démon trerons seulement que
que l ’on peut appeler la moyenne du c arré de l ’erreur commise , tend vers zéro .
1 36 . Comme V ,a i ns i que chacun des 72 premiers termes
dusecond membre de l ’équation satis fait a ux équations
dt
— A\
( (V
( 57:] tV O
PROBLÈME D U REFRO ID IS S EMENT D’
UN CORPS 233
ou en conclut , d ’aprè s ce tte éga l i té que Il y sati sfaitégalement. On a donc
à l mté rieur e thR o
à la surface .
Je vais démontrer que l ’on a
RU ; ( Ï : O
pour toutes les va l eu rs de i in fé ri eu res ou éga l es à n .
I*Ïn e ffet , multipl ions l e s deux memb res de l ' égalitéU , dr , e t intégrons , il v i ent
J —+ f ff
en remplaçant A, par sa va l eur
J = Jf fw
D ’ autre pa rt , puisque l ’o n a°
( lt
on en co nclut
d .ll
d !L , cl . A \ .LJ, cl …
2 0 4 P ROPR IÉTÉS DES FONCTIONS HARMON IQUESCette dern ière express ion , t ransformée par la formule de
G reen , donne
VAU , d
L ’ intégral e doubl e e st nulle d ’après les propriété s desfonction s V etU , i l reste donc
VAU ; dr
0 11‘
On arrive ainsi à une équation di fférentielle entre J etd
’
où on ti re
J Jo
e VOU, dr .
Reportons ces valeur s dan s l ’égalité elle dev i ent
RU , d‘
r 0,
ce qu Il fallait démontrer .
137 . Cela posé , cons idérons l ’ intégrale
R2 dr .
fff
kif f f VU ,- d r
256 PROPRIÉTÉ S DES FONCTION S HARMON IQUESD ’où enfi n
R2 d : vgd..
Or,on peut prendre n assez grand pour que soit
auss i grand que l’on veut . Donc
tend vers zéro .
1 38. G é né ra li sa tion de la mé thode de C auchy .
La possib il ité du développement,su ivant les fonctions U
d ’une fonct ion arbitraire VOd é fi nie à l ’ intérieur d ’un solide ,
n ’est pas démontrée .
Nous allons donner un aperçu d ’une méthode que l ’onpourrait e ssayer d ’employer pour établ ir ce po int .Admettons
,d ’abord
,la poss ib ili té de ce développement
,et
so i tVO
A,U | + A U
Cherchons une fonc tion S tel le uneconstante
AS ES
à l ’ intérieu r et
Î tS 0
q8
GÉNÉRAL ISATION DE LA M ÉTHODE DE CAUCHY 237
AS EB.k.U…
On devra donc avo ir
—k ) U 2
D ’où l ’on dédui t
e t , par su iteA Un
S E E kn
S i l ’ on cons idère S comme fonction de E, et que l ’on donneà des valeurs réelle s ou imaginai res
,S sera une fonction
mé romorphe de et l ’on aura
rs E
Par suite,l o rsque {cro it indéfiniment
l im (ES ) E A, U , v,
.
Donc *
V—9°
5
139 . Nous al lons maintenant renverser l ’ordre des cous idérations qu i précèdent ; nous chercherons à démontre rqu ‘i l exis te des fonctions S sat is faisant a ux cond itions
AS + ES =VO
PROPAL‘
-ATION DF. C II \ LE L'
R .
258 PROPRIÉTÉ S DE S FONCTION S HARMON IQUE Sà l ’ intérieur , et
dS0
dnhS
a la surface .Remarquons , d ’abord , que , s i n ’est pas égal à l ’une desquantités k… i l ne pourra y avoir qu ’une solution .
En effet , s ’ i l y avait deux solution s S et S T , on auraitAT ET 0
dT
dnhT O
et i l faudrait pour cela que € fû t égal à l ’une des quantités k .
S i l’
on a‘
E= k
j e d is qu ’ en gené ra l i l n’
y a pas de solution . En effet,
appl iquons le théorème de Green aux deux fonctions S et U…
On a °
sd
ä“Zî f f f (SAU. U AS ) et..
En remplaçant par leurs valeu rs les fonctions038 et
dn
on obtient l a condition
U ,,VO dr
qui n ’est év idemment pas rempl ie en géné ral . S i elle setrouve rempl ie
,i l y aura une infinité de solutions , car on
260 PROPRIÉTÉS DES FONCTION S HARMON1QUE SPour cela servons-nous de la relation obtenue déjà plu shaut par le théorème de G reen
f f f (SAIh — U As) dr = o
qui dev i ent , en remplaçant AU ,, et AS par leurs valeurs
j’
f S (£
c ’est-à- di re :
ou,lorsque tend vers k ,,
« , j’
f 3 d.=f f , V , dr
ou enfin_
_ff nvodr .
Ceci posé,on formera l ’ intégrale
1
2 i7wr8d €
pri se le long d ’un cercle de rayon infiniment grand , ell esera égale à V… pui sque la valeur asymptotique de S estV—E9; d ’autre part , cette Integrale est egale a la somme de s
rés idus de la fonction S ; on en déduit le développemen t deV0 su ivant les fonc tions U . Tou t cela n ’est qu ’un aperç uabsolument dépourvu de rigueur . Ic i encore je renverrai aumémoire c i té du C ircolo M a tema tico .
COMPARAI SON AVEC LA MÉTHODE DE CAUCHY 261
141 . Compar a i son av ec l a m é th od e d e C au c hy .
I l y a une grande analogie entre cette méthode et la méthode de Cauchy pou r le développement des fonctions su ivant des exponentiel les dont le s exposants satis font a unecertaine équation transcendante (chapitreComparons , par exemple , l es deux méthodes dans le casparticul ier du refroidi ssement de la sphère , lorsque la température initiale ne dépend que deLes fonctions U sont , dans ce cas , de la forme
Ësati sfaisant à l equation
tg y. A
On voit que l ’on a dans ce cas ”
:
Î ñn
Pa r suite , s i l ’on a
on aura
Voyons maintenant ce {que dev ient i c i la fonction R quenous avons employée dans la méthode de Cauchy .
On connaî t l es pôles p. de la fonction R , et le rés idu correspondant à un pôle pt e st pré ci sément le terme en e
ÎW‘
262 PR OPR IÉTÉ S DE S FONCTION S HARMON I QUES
du développement de f (r) su ivant les fonctionscomme l ’on a
1f (7
“) E ; B,, S l I
‘
l tL'
EB"
e* ‘u
en en conclut
ma 2
R (z) 2
On a par su ite
R<— z)—E
On a donc
2Bu S ID l—‘vz
S (22)
7’
32 _
Mn2
On voit donc que les deux fonctions R et S se ramènentl ’une à l ’autre .
264 REFRO ID I SSEMENT D E L A SPHÈRES i H
,,est un polynôme sphérique , le nombre des coef ficients
a rbitrai res sera donc
On voit donc qu ’
il existera (272 1) po lynômes sphériquesde degré n l inéai rement indépendants .
144 . Fonct ion s sph é r ique s . Passons ma intenant auxcoordonnées po laires en posant
50 7° s in 6 ce s <pr sin 0 S i ll (p
2 r ces 6.
On aura(1) II 7
°"X
X,,étant une certaine fonction de 6 et q; que nous appelle
rons fonction sphérique .
On a l ’ identitédII,,
.n
(2) drm X
S i,dans les équations (1) et on fait
1
e lle s dev i ennentII X
dn"nX
du
d ll e tant la der1vee su ivant la normale exter i eure .Considérons maintenant deux polynômes sphériques
SÉRIE DE LAP I.ACE 265
d ’ ordres différents II .. et H… ,et appl iquons - l eur la formule
de G reen :
d
(£îm
)’
clo) .À IIm H AH”) d
second membre e st nul,et le premier se rédui t à
(m n ) f j
Il en résulte que
0
145 . S é r ie de L ap l ace . D e même que nous avonsdémontré la possib il ité du développement d ’ une fonctionarb itra ire d ’une variabl e en série de Fourier
,nous allons
démontrer qu ’
une fonction arbitraire des deux angles 6 et apeut être représentée pa r une sérieprocé dantsuivant les fonet ions Sphériques .Avant de donner une démonstration rigoureuse , nousallons exposer la méthode par laquelle Laplace a été conduità ce résultat .Cons idérons une sphère de ravon 1 , et supposon s qu '
à sasurface so i t répandue
,suivant une lo i quelconque , unematière
atti rante ; soit V sa densité superficiel le .
Considérons un point M non s itué su r la surface . Soientx , y , 1 ses coo rdonnées rectangulai res ; r , q., 6, ses coordonnées polaires .
Soi t M (æ '
, y'
,z
’
) un point quelconque de la surface ; ses
266 REFR O I DI SSEMENT DE LA SPHÈREcoordonnées polaires sont
S i 7 représente l ’angle MOM '
(fig . on auragonomé trie sphérique
cosY cos 6 cos 6' s in e s in 6’ ces ( <p
FIG . 30.
et , s i ? représente la di stance MM '
, on aura
92(00 (y — y
'
)2
(2
— 2r 00 5 7+ 73
.
Nous al lons chercher l e potent iel U de la couche attractiveau point M .
En appelant de) l ’élément de su rface , dont le centre est enM'
, on aura
2 68 R EFRO IDI SSEMENT DE LA SPHÈREle di s que H,, est u n polvnôme sphérique . En effet , on a
A1
P
Donc
Comme le premier membre est une suite de polynômes ded egrés différents
,on do i t avo i r séparément
AIT,
AII,
an,,
Pour passe r de ce développement en ce, y ,
z au développem ent précédent
,i l su ffi ra de trans former en coordonnée s
polaires . On voi t queIl
C e qu i montre que P est une fonction sphérique de t) et cp.
O n verrai t de même qu ’en posant
X _ f f VP d…
X ,, sera également une fonction sphérique de 6 et de cp, et l ’on
U =E r"X
146. S i ma in tenant on suppose que l e point M soi t
a ura
e xtérieur à la sphère , on aura un résultat tout à fait analogue1 1
e n deve10ppant su1vant l e s pu i ssances cro i s sante s deP
c e qui donnera1
P00 8 7
SÉR IE DE 269
U
S i on cons idè re la composante de l ’attraction su ivant lerayon vecteur , on a pour le point inté rieu r
dU(4)
dr E nr
et,pour le point extérieu r
(5 ) 2 (n 1)
Soient , d ’autre part, p. et p. ’ deux po int s s i tués , l e p remier
à l ’ intérieur , l e second à l ’exté rieur de la sur face atti rante .
dUSo i ent a. et on les valeurs de en ces deux pomts .
On sait que , s i le s deux points se rapprochent indé finiment,on a à la l imi te
on oz.’ 47: V ,
V étant la valeur de la densi té au poin t de la surface qui estl a posi tion l imite de p. etFaisons donc tendre r vers l ’unité ; l ’ équation nousdonne à la l imite
EnX ,, E (n 1) X ,,
”l n 1V E 47:
C' est ainsi que Laplace été conduit a c ette série
270 REFRO ID ISSEMENT DE LA SPHÈRE147 . D émons tra tion de D irich le t . La demonstrationque nous venons de donner n ’est év idemment pas rigoureuse ; D i ri chlet a , le premier , donné une démonstrationsatisfaisante . C
’est,d ’ailleurs
,cette démonstration que nous
allons rep roduire,mais en y introduisant d ’assez profondes
modifications . Avant de l ’aborder nous devons d ’abordrésoudre le problème suivant :
FIG . 31 .
T rouver une fonction W de r,6 et cpqui se rédui se à V à
la surface de la sphère , et qui à l ’ intérieur de la sphère sati sfasse à l ’équation AW 0 . C
’est le problème de D i ri chlet .Considérons sur un rayon OP (fig . 31) deux points M et
M ’ à des distances du cen tre 7° et r '
, telle s que l ’on ait :7
°
ï" 1
Soient V,la valeur de la fonction donnée en P
,U
,le poten
tiel en M ; U'
,l e potentiel en M'
,qui résulteraient d ’une ma
tière de densi té , V répartie sur la surface .
S i on considère l es composantes de l ’attraction dirigéessuivant le rayon vecteur , on a :
272 REFRO IDISSEMENT DE LA SPHÈREPar conséquent
l im W V
W e st donc la soluti on du problème D i richletsphère .
148 . On a posé
et comme on a
on en conclut
(cos r) .
D ’autre part,on a
,a 1 Intérieu r :
U
et , par su ite °
n X ,,r"
Donc
2272
/j;
Ce développement es t valable à l ’ intéri eur de la sphère
DÉMONSTRATION DE D IR ICHLET 273
s ’ i l était valable sur la surface , en aurai t
2 1
En
f i
C’e st ce qu ’ i l s ’agit de démontrer .
149 . Nous allons cons idérer U e tW comme des fonction sde en regardant pour un instant 6 et comme des constantes et en donnan t à r des valeurs réelles ou imaginairesLorsque 1° est réel e t inférieur à 1 , nous venons de voi rque ces fonction s sont développables en séries procédan tsu ivant les pui s sances croi s santes de r l e rayon de convergence est donc au moins égal à 1 .
Nous allons cherche r s i les développements sont encorevalables lorsque le module de r est égal à 1 .
Nous sommes donc conduits à nous poser l a question su ivante :É tant donnée une fonction W holomorphe a l ’ intérieu rd ’un cercle de rayon 1 et développable , par conséquen t, suivant les puis sances croi ssantes de r pou r 1
° 1,quelle
est la condition pour que le développemen t so it encore valable sur la ci rcon férence de rayon 1 el le—même , c ’ est—à—direpour
«t étant réelSoit donc
(1) w
J’
observe d ’abord que ,s i sur la ci rcon férence
PROPAG .—\ T ION DE L .\ CHALE UR .
2 74 REFR O ID ISSEMENT DE LA SPHÈREd éveloppable pa r la sé rie de Fouri er , sous la forme
W 2 B ,, E C,,
les deux développements do ivent être identiques,c ’est-à
d i re que l ’on doit avo i rB ,, A 0 .
On a en effet
W d7’ 7.n—1
Les intégrales
d?“7Àn—1
‘27r
d oivent être pri ses le long de la circonférence de rayon 1e lles sont donc égales par le théorème de Cauchy a l a sommedes résidu s des fonctions
w W 70 71 —1
relatifs aux. pô le s s i tués à l ’ in térieur du cercle de ravon 1 .
La première n ’a qu ’
un pôle,r 0 , avec le ré sidu A ,, l a
seconde n ’
en a aucun .
Les égal ités (3) sont donc démontrées .
150 . Nous sOmmes ainsi condui ts à nous poser la ques
276 REFRO IDI SSEMENT DE LA SPHEREque soit e
,J,,tend vers EW et J vers 0 quand n croî t
indéfinimentNous suppo serons que l ’on prend toujours e a
, ,e,,étan t
une quantité fixe plus peti te que en aura alorsentre les l imites de l ’ intégrale J
,
ND
M
M étant un nombre fixe , d ’où+ 5
(1) W l dL.
D ’ après les hypothèses faite s , le sec-end membre dega lité d ’ailleurs indépendant de n , tend vers 0 avec a .
Vo ici donc comment on pourra condui re la démons tration .
J e veux démontrer qu ’on peut prendre n assez grand pourque
J (L
quel que peti t que so it 71°Pour cela j e p rendra i d ’abord a assez peti t pour que
etant dé sormai s prendra i n assez
FW ("m)
J
ce qui entraînera l ’ inégalité
DÉMON STRATION DE DIRICHLET 277
15 1 . Il ne me reste donc plus qu a étud ie r le s s ingulari
té s que peut pré senter la fonc ti on W , définie au 147,pour
1°
e'°
ie.
Le s conditi ons auxquelles doit sati s faire l a fonction Vn ’ont pa s été défin ies pa r D i richlet avec la même précis ionque pour la séri e de Fourier nous supposerons dans ce quisui t que l ’on puisse div i ser l a surface de l a sphère en régions R
, ,séparée s les unes des autres par des
courbes formées d ’un nombre fi ni d ’
a res analytiques ; danschacune de ces régions la fonction V sera finie
,c ontinue
,et
possédera des dérivées du premier o rdre par rapport a 0 et cp;mai s ell e pourra éprouver des variations brusques quand onpassera d ’une région à l ’autre .
Soit M un point inté rieur à l a sphère,a l a di stance r du
centre .
Prolongeons OM jusqu’au poin t de rencontre P avec lasphère .
Nous p rendrons,comme courbes de coordonnées su r la
s phère , des petits cercle s de pôle P et des grands cerclespassant par le point P et son antipode .
Un pomt M ’ de la Sphère sera défin i par l ’angle POM ’
Y
et par l ’angle a du grand cercle PM' avec un grand cerclefixe pri s pour o rigine et passant par P .
Dans ces condi tions,l ’élément de surface de l a sphère
serade) sin y dy dd. .
Reprenons la fonction U don t nous nous sommes déjà servi s précédemment
278 REFR O ID ISSEMENT D E LA SPHÈREil faudra intégrer rapport a 0. de 0 a rapport ay de à E .
Posons alors2 71:
F (y) V doz.0On aura
F (I ) sin 7 dyP
1 52 . La fonction F (y) est une intégrale prise le longd ’un petit cercle de pô le P ; ce petit cercle pourra ou b ie n setrouver tout entier à l ’ intérieur d ’une seule région
,comme
FIG . 32 .
dans la figure 32 ,ou bien être composé de plusieurs arcs
s itué s dans des régions différente s .
D ans ce dernier cas,nous décomposerons l ’ intégrale F (y)
en intégrales partielles relatives à ces différents ar cs .
Soit , par exemple
l ’ intégrale relative à aura
F. =f’
v d.°‘i
l ’ axe oc,a2 (fig .
F 2 F.
280 REFRO IDI S SEMENT DE LA SPHEREL ’ intégrale est touj ours finie
,car j ’ai supposé qu a l ’inté
ri eu r d ’une même r égion V avait des dérivées du premierordre finies .F
’
(Y ne peut donc deveni r infinie que s i l ’une desdon,quantités -
â—'
a—Ï
2 dev i ent elle-même infinie,ce qui arrive s i
Y
le petit cercle devient tangent au contour qui l imite la région .
D ’ailleurs , en ces points , F'
(y) dev i ent , si l e contact estdu premier ordre
,infini de l ’ordre de :
\/Y— Yo
en appelant y,, la valeur de 7 qui rend F'
(y) i nfi nie .
S i le contact du pe ti t cercle avec le contourde la régionest d ’ordre n ,
F ’
(y) est infin ie de l ’ordre de—n
(Y
En résumé,la fonction F (y) est fin ie et a une dérivée
fi nie,sauf pour certaines valeurs singul ières en nombre fini
que appel lera iYo» Yi v
Ayant une dérivée elle sati sfera aux conditions de D i ri chlet .154. É tudions maintenant la fonction U cons idérée comme
fonction de r e"W. E lle est définie par une intégrale :
la quantité sous le signefdevientdnfinie pour p 0 , c ’est
DÉMON STRATION DE DIR ICHLE T 281
à—dire pourY i “
S i -L K 7r (K entier) , ell e devient infinie d ’ordre â s iKa
,elle ne dev i ent pas infinie
,car le numérateur s inY
s’
annule pour y t «L
Dans un cas comme dans l ’autre l ’ intégrale reste finie .
U est don c une fonction qui est toujours finie . Nous allonsvo ir maintenant que , sauf en certain s points singuliers , ellea une dérivée finie et satisfait , par conséquent , aux condit ions de D i ri chlet .
dUCons i d é rons ma i ntenant _
dÎ’
Soient les val eurs s ingul i è res de Y) c ’est—‘
a—direcelles qu i rendent infinie F ’
Nous mettrons ce s valeurs singul i è re s en év idence en déc omposant l ’ in tégral e U en une so mme d’
inté gra les partielle sadmettant ces valeurs s ingul ières pour l im ites , et telles que
(9 )
dUOn en conclut que217sera la somme des d é riv é es de
toutes ces intégrales . Or,l ’ int égrale (9 ) peut se transfo rmer
en remarquant quesig n “lep r
Y
r dy
282 REFRO ID ISSEMENT DE LA SPHEREComme l ’on a
et , par suite
P étant un polynôme sera unesomme d ’express ions
,
73
? Yo”2P
1 5 5 . La prem1ere partie ne peut deveni r mfinie que s ia 9
9 S annule pour y ou pour y y , , est-a—d 1re S I
O U'
et , dans ce cas , on aura un infin i d ’ordre2
Quant à l ’ intégrale , elle restera finie en généra l .En effet
,la quantité sous le s ignef ne peut deveni r iri
finie que dans deux cas1° Quand F ’
(y) devient infi nie , c ’e st—à—dire pour you pour y y ,
2 ° Quand s ’anua le,c
’est—à—d ire pour 7S i 47 n ’est pas égal à i : ou ces deux c irconstances
ne se p rodui ront pas a l a foi s ; l ’ élément correspondant àO o 1 nou sera Infini d ’ordre ou d ’ordre —a s i( 0 ’ 7 Y"
2 72+1
d Pdr ï
‘2
p
entier en en
telles que
284 REFR O IDI SSEMENT DE LA SPHEREserai t en défaut ; on verrai t que l ’ intégrale admet un infinil ogarithmique .
En resume,
drpeut deven i r 1nfime
,ma i s d ’ordre touj ours
1 et même . I l en résulte que les intégrales
dU
d,.d )?
f W | dL
sont finies .
157 . On peut se demander maintenant s i pour les valeursdU
non singul i ères de (L, l e s foncti ons Î lÏ et , par consequent,Wsati sfont aux conditions de D ir ichlet .Il faut , d ’abord
,préci ser ce que j ’entends par la quand i l
s ’agit d ’une fonction imaginaire j e veux dire que l a parti eréelle et la partie imaginaire y satis font séparément .Cela posé , cons idérons l ’ i ntégrale :
I
E’ P
dr
S i e s t compri s entre y,, et y, , j e l a partagerai en deux ,
et j e considérerai l ’une des deux intégrales
f.. f.”
par exemple la prem i ere .
F ’
(y) é tantfinie , sauf aux l imites , sa partie réelle et sa par
DEM ONSTRATI ON DE DIR ICHLET 283
tie imaginaire pourront,l
’
une et l ’ autre,étre. regardées
comme la diffé rence de deux fonctions pos i tives de y .
D ’autre part , l a parti e réell e et l a pa rtie imaginai re del)
71 2
9
qui sont des fonction s de y et de pourront ê tre l ’une et
l ’autre regardée s comme la d ifférence de deux fonctionsnégatives e t décro i s santes , pa r rapport à -L , et qui sont finiessau f pour Y 'i* â S i 7 ,
L est un infiniment peti t du1prem i er ordre
,elles sont Intimes d ordre
2’
Il en résulte que J sera une somme d’
inté gra les de la
f ABd,,
OùA est une fonction de 7 positive , et B une fonction de y et
forme suivante
de L négative et décro is sante , une somme de pare ille s integra les , d is—je ,
affectées de l ’un des facteurs
1. 1 2° ou
L ’ intégrale j sera une fonction décro i ssante de '
L, que lal imi te supérieure so i t fixe ou qu ’elle so it égale à -L .
L ’ intégrale J sera une somme de fonctions sati s faisant auxcond it ions de D i richlet .
E l le y satisfera donc elle—même , et i l en se ra de mêmepar conséquent d e et de W .
Q . F. D .
1 58 . En ré sumé , la fonction W est finie et sati s fa i t aux
286 REFRO IDI S SEM ENT DE LA SPHÈREc onditions de D i richlet , sauf en un nombre fini de po intss ingul iers ; de plus , l ’ intégrale
d tp
Nous avons vu au 541 que ces cond itions suffisent pour quee st finie .
cette fonction so it développable en série de Fourier , laquelles érie , d ’après le 5 149 , ne contient que des puis sances posit ives deCe développement e s t valable pour toute s les valeurs
r é elles de L ; en y faisant 0 on trouve,comme nous
l ’av ons dit au 146,l e développement de Laplace dont la
légitimi té est ains i établ i e .
288 REFR O ID ISSEMENT DE LA SPHÈRE ET DU CYL IND REOn sait que le prob lème est ramené à la recherche de
fonction s U , tel les que l ’on ait à l ’ intérieur
Av+Mæ=o
et pour r 1
dU(2 ) dr
hU O .
Supposons que U soi t développée en une série de laforme
U E L(r ) . X
le s X représentant des fonctions sphériques fondamen
tales .
Posons” WW
On auraU _ E fln n
le s H représentant des polynômes sphériques fondamentaux .
161 . Nous allons chercher les condi tions “ auxquellesdo ivent sati sfaire le s fonctions cp.
On a °
d"cp d °
e (HI
2 _ H+ 2de:
FONCTION S HARMON IQUES 289
Donc on peut écri redzU d
'
2 dϾ
d 2fl
da: 2 de: 2H
7° d7°
œdæ dæ2
et en remarquant que,comme H est un polynôme homogène
d ’ordre n,en a
il vient9 d
_ P2 d
nH+ çAII
OrAII 0
et,d ’autre part
d ’
? 2 deA” d7‘2 7° dr
c_lîç 2 (n 1)AU 2 n —
7_
Donc 1equation (1) dev i entd ’ç+ 2
n + 1 da>
E Hdr
”
7+ k ’P
Par suite,i l faud ra que chacune des fonctions satisfasse
à l ’équation d ifférentielle :d% n 1 d
(3)
Voyons maintenant ce que devient la cond ition a la limite
(9 )c
g) ÏIU O .
PROPAGÀTION DE CHALEUR .
290 REFR O ID I SSEMENT DE LA SPHÈRE ET D U CYL INDB E
On a :U 2 T
”X
0… do
dr E Zi}nom"
Donc l equation (2) donne :
de
d r(h n ) en 0
pour r l .
162 . I l faut que , pour 7°
0 ,l a fonction 11 reste
fi nie . La théorie des équations l inéai res nous apprend qu ’uneéquation du second ordre admet touj ours une et
,en général
,
d eux intégrales particul ières développables,su ivant l es puis
s ances croi s santes (positives ou négatives , enti è res ou nonentières) de r .
So it donc
p(7°
) Ar ? A,7”P+ l
En substituant dans l ’équation dilÏé rentielle,on a , en iden
tifiant a zéro le p remier terme
P(P
C’est ce que l ’on appelle l equa tion dé term inante , parce
qu ’elle détermine l ’exposant P du terme de degré le moin sélevé .
Les racines sont
292 RE FR O ID I S SEMENT DE LA SPHÈRE ET DU CYLINDREconvenables de k
k“152 9
nous formerons ainsi des fonction scp.H,
<p2H,
que nous appellerons fonction s U fondamentales . Toutes l e sautres fonction s U seront des combinaisons l inéai res decelles- là .
164 . I l reste maintenant à résoudre la question su ivanteÉ tant donnée une fonction arbitrai re V de r , 0 et cp, peut—onl a développer suivant les foncti on s U relatives à la sphère ?Nous commencerons par développer V en série
,procédant
suivant les polynômes sphériques fondamentaux ,soit
v 2
Considé rons l ’un quelconque des termes de ce développement
0 (r ) . l l
Il est un polynôme fondamental .Envisageons
,parmi le s fonction s U relatives à la sphère
celles qui contiennent en facteu r le polynôme ll .
Soient7211 ,
ces fonction s .
Tout revien t a dé m3ntrer que 0 (r) est d é velopp ab le sui
vant les fonctions165 . Remarquons , d ’abo rd
,que les fonctions ça, ,
FONCTION S HARMON IQUES 293
restent fini es pour 7° 0 . On peu t se demander s ’ i l en est demême pour 6Nous allon s faire voir qu ’ i l en est b ien ains i
,dans le ca s
OùV est une fonction analy tique au vois inage de l ’ori gine .En effet, on pourra considére r alors V comme représentéepar une séri e p rocédant su ivan t des polynômes homogènesd ’ord re s successifs
S oit P un de ces polynômes .Je d is qu ’on peut le mettre sou s la forme
P II 7‘2H,1 _ 2
H)” H7t —2 7 Hu
é tant des polynômes sphériques d ’ordres77, (n (77
En effet , l e nombre des coefficients arb itrai res
2
Chaque polynôme sphérique d ’ordre p est une fonctionlinéai re et homogène de 1 polynômes déterminé s ;donc l e nombre de coeffi cients arb itrai res contenus dansle second membre est
(2n+
Ce nombre est égal au précédent ; donc l e développementd e Pn es t po ssible .
“294 REFROID ISSEM ENT D E LA SPHÈRE E T DU CYLINDREEn portant ce s expres s i on s de P ,, dans V , cette fonctionse trouvera mise sou s la forme
V
le s 6 restant fi nis pour 7° O .
166 .Refro idi ssem ent du cy lindre . Nous reviendronssur l a question au chap itre suivant ; mais , d ’abord
,nous
allons nous occuper du refroid is sement du cyl indre , quiconduit à des équations de même forme que pour la sphère .
Considérons le cy l indre de rayon 1 et l imi té par les deuxplan s
z = a , z
Nous nous servi rons des coordonnées semi—polaires 7°
et z .
Cherchons s ’
il exi ste des fonctions U de la formeU ZW
Z étant fonction de z seulement , et W fonction de 7° et w .
L ’équation(1) AU hU 0
se transforme faci lement en remarquant que l ’on aAU ZAW WAZ
ZAW WAZ kZW o
AW AZ
W' “
Z +k
296 REFROIDI S SEMENT DE LA SPHÈRE ET DU CYLINDREy. étant racine de l ’équation transcendante
tg‘
H“ AV°
ou bienZ cos p.Z
y. étant racine decotg {La Bp.
A et B étant certaines constantes .168 . Cherchon s maintenant s ’
il ex i ste des fonction s Wde la forme
W cos nœ
ouW cp(r ) . sinnœ .
Remarquons que cos 77m et s in 7700 sont des polynômesSphériques d ’ordre n
,car ce sont le s parties réelle et ima
gina ire de la fonction analytique (a: iy )
On peut donc écri reW cp. H
D ’où l ’on conclut , par un calcul qu i a fait pré cédemment
2 d
Comme l ’on a ici
on en conclut
REFRO ID I SSEMENT DU CYLINDRE 29 7
et,par suite,l equation (3) nous donne
572 » °2n + l dœ
2173 r
Voyons maintenant ce que nous donne l equation àsurface
dWd7°
h\/V 0
pour 7° 1 .
Prenons , par exemple , pour fixer les idéesW cp7
°"cos nœ
On auraaw de—
r”eos 7707 7777 eos 770)
(17° dr
ce qu i donne
(7) -f—hM> 0
pour 7° 1 .
On verrai t comme précédemment que 30 doit rester finiepour 7° o .
169 . Ains i,dans le cas du cyl indre , i l y a une infinité de
fonctions U qui sont des produits de trois facteursZ
COS 77m ou s in 77m
7
Il s ’agit de savoir s i l ’on a b ien ains i toutes le s fonction sU nécessaires pour la solution du problème .
298 REFRO ID ISSEMENT DE LA SPHÈRE E T DU CYLINDREPour le démon trer
,i l faut chercher à développer une fonc
tion quelconque en sé rie procédant suivant ces fonctions U .
Cons idérons donc une fonction arb itrai reV rw,
r,2 )
Regardons,d ’abord
,r et z comme constants ; Vpoui ra se
développer pa r la série de Fourier
V E A ,, cosmm E B ,, sinm»
Les A,,et les B ,, sont des fonct ion s de r et z .
Regardons r comme constant , et faisons varier z deà a .
On sait (of. 126) que , dans ces conditions , une fonctionquelconque de z peut être développée en sé rie su ivant lesfon ctions Z .
On aura doncA
B
les et et les {3 étant fonctions de r seulement .On pourra po ser
et,
x
si l’
on peut développer et {3 suivant les fonctions cpco rrespondant à la valeur n ,
on aura effectué la décompositionde V suivant les fonction s U .
300 SPHÈRE ET CYLINDREon est ramené à l etude de 1equation différentielle (1)
61 392 2n+ l d œ
dæ2+
qui ‘ ne renferme qu ’un seul paramètre 72,qu i doit être
entier dans le cas du cyl indre et égal à la moit i é d ’un entierimpai r dans le cas de la sphère .
171 . É tude de l ’é qua tion d iff é ren tie lle . Cherchons d ’abord s
’
il ex i ste des sé rie s procédant su ivantl es pu i ssances crois santes de a: sati sfai sant à cette équation .
On voit aisément que ces sé ries devront être de la forme
et l ’on trouve facilement la lo i de récurrence des quantités A
0
D ’où l ’on tireAg 1
AB“ 22 1) + u + i>
S i pest la plus petite valeu r de Bdan s le développement ,on devra avoir
AP
_
,AP
0 .
ce qu i ne peut avoi r l ieu que pour les valeurs
ÉTUDE DE L’
ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE 301
Prenons d ’abord la solution qui correspond à
P 0 .
On pourra prend re dans ce cas
On aura ains i la fonction :
Ag :
I ) B
C’est une fonction holomorphe dans tout l e plan ; ce sera
la fonction 39 proprement d ite .
172 .
‘
L equation,é tant du second ordre
,admet une autre
intégrale indépendante de celle—là . C’est celle qui correspond
en général au cas de
On peut la mettre sous la forme
l ))
i_
E r (
À é tant un entie r p renant toute s l es valeurs pos i tives ; maisce tte sé rie n ’a de sens que dans le cas où n n ’est pas entie rLa fonction uL est , comme on l e vo it , le p roduit de
w par une fonc tion entiè re . Lorsque n es t entier , laforme donnée ci—dessus pour dev i ent il lu soi re . Nous allonschercher que ll e est alors la forme de l ’ intégrale v
,b.
Considérons doux intégrales quelconques cpet ‘
i' d e l e
3092 SPHÈRE E T CYL INDREquation elles satisfont à une rel ation d ifférentielle dupremier ordre ; on a
2n + 1+ ‘P= 0
272 ’.l
Multipl ions la prem1ere équation par la seconde paraj outons ; i l v i ent
?.n 1
<i i—j : O .
D ’où l ’on déduit
t'
a r’
+ Ca‘
Nous supposerons que l ’on chois it 4. de telle sorte que Csoi t égal à l ’unité .
On aura donc :
(2)
Remarquons que la solution générale de cette équationsera :
k étant une constante arb itrai re .
D ivi sons par (pa les deux membre s . On a,en intégrant
q. _
doc9
2u ' i-
f. â î T
q. é tant une fonc tion entière qu i ne s’
annule pas pour a: o .
304 SPHÈRE ET CYLINDREU étant une foncti o n de 2 à déterminer ainsi que le chemind ’ intégration .
On aura :cp'
f ize'“U dz
<p z2ei s dZ ‘
l ’équation différentiel le donne donc
f eizæU [au (I (2n 1) i s ] dz
Nous allons chois ir U de telle sorte que l ’on aitd
[ac (1 2n 1) zz]
V étant une certaine fonction de 2 . On aura0!
dze
*
(v + zæV ) .
En identifi ant,on a
U (1 22) iv ,
U. (2n+ 1) iz V'
.
1 z2
et en intégrantV "
(1 — 32)
7…
A étant constante arbit raire , et par suite
U =Au— æ)
ÉTUDE DE L E QUATION D IEEERENTIE LL E
on a donc
o Af e‘“( l 2
2)
2 dz .
Pour que ce so it une solution de l equa tion di fférentielle ,i l suffi t de prendre le chemin d ’ intégration de telle so rte quel ’expression V s
’
annule aux l imites .
Or , V s’
annule pour 1 et 1 . On pourra donc p rendre
Af e‘“(1 z
?)
2 dz .
Comme cette intégrale e st une fonction ent i ere,elle com
cide avec l a fonction cp, que nous avon s déj à défi nie plushaut (au facteu r A près ) . Pour que ces deux intégrales so ientidentiques , i l faut prendre
A1
F n+ Ç
s ’agit maintenant d ’avo i r la seconde intégrale .
Remarquons s’
annulepourz
lorsque lapa rtie imaginaire de oues t posi tive , et pourlo rsque l a parti e imaginaire de 93 est négative .
On prendra donc dans le premi e r ca s
l{ B e
i ; r U dz
et , dans le second cas :1
d; C U dz
Nous appellerons la p remi ere intégrale , et 'L l a seconde .
PROPAGA'
I‘
ION DE L .( CHALEU R
306 SPHÈRE ET CYL INDRE1 76 . V a leurs a sympto ti que s . Nous allons chercherles valeurs asymptotiques des fonctions :p,Occupons-nous d ’abord de la fonction cp.
C’ est une foncti on de l a forme
f (z) dz
f (z) étant développable en série au vois inage des point sa et 6.
Nous avons étudié des fonctions de cette forme dans lathéorie des valeurs asymptotiques , et nous avons vu qu ’ensupposant
,par exemple
,la pa rtie imagina ire de 00 positive , s i
l’
on a
la valeur asymptotique de l ’ intégrale sera
AP (X 1) e
Appl iquons cette formule au cas présen t ; on a
e t,par suite
308 SPHÈRE ET CYLINDREr ons alors d ’après ce que l ’on a vu dans la théorie desvaleurs asymptotiques , la valeur asymptotique de cette fonction sera de la forme
kæP e’”
D ’où l ’on déduit ai sément que l ’on aura‘i’ s z‘i’a
Comme l ’on a d ’ailleurs
M V —won en déduit
%ç W,Q5W3
Nous supposons d ’ai lleurs que la constante Bdans ait été chois ie de telle sorte que l ’on ait
1
EM—r% œm …
On aura donc
“fs …
On verrait de même que , lorsque lapartie imaginaire de ceest négative , on a :
i \/7r+2 1
2
178. P o s s ibi l i té du d é v e loppemen t . Soit maintenant une fonction arb itrai re V (r ) dé fi nie entre 0 et 1, i l
ÉTUDE DE L EQUATION D IFI«‘ERENTIE LL E 309
s ’agit de la développer en une série p rocédant su ivant lesfonctions apqui satisfont à l ’ équation différentielle
1) de
dr 2—îæ
dr ”2
? O '
L ’ intégrale qui conv ient au problème est la fonct ion<p (W) que nous avon s dé fin ie précédemmen tD ’ aprè s la condition à l a l imi te pour r 1
, p. devra êtreune rac ine de l ’équati on transcendante
il’ H“? ( l‘) 03
en posantn h .
Dans le cas du cyl indre n est entier , et dans le cas de la1
Sphère n est de la forme 777. m étant ent i er .
179 . Pour effectuer le développement , nous allons , su ivantla méthode général e
,chercher une fonction S satisfaisant à
l ’ équation différentiel le2n + 1 d
_
S_Î , a
S+ rs
Eétant une certaine constante qui peut recevoir des valeursréelles ou imaginaires .
S devra sati sfaire , en outre , à la c ondition à l a l imite
dS(4) dr
HS 0
pour 7‘ 1 .
Pour intégrer 1equation , employons la méthode de la varia
3 10 SPHÈRE ET CYLINDREtion des constantes . L
’ intégral e de l ’équati on sans secondmembre est :
(T5) W(T5) .
Considérons maintenant « et_B comme des fonctions de r ;
e lle s devront sati sfai re aux conditions
d
'
? fi'
+ 0
I I I V+ f f
—Î
'
D ’où l ’on déduit , en tenant compte de l equation (2 )OL,
E‘
! nrî n + 1
.8,
V <P 5
2n7» 2n + 1
On a donc
[dc
en posantdB c (rfi) dr
dC d (rfi)
180 . Il reste à dé termmer les l imites d ’ intégration de façonque S reste finie pour 7' o
,et que la condition (4) so it veri
fi ée .
La fonction 4. (rfi) devenant in fi nie pour r e,i l faudra
qî1e Intégrale
s’
annule pour r o .
La l imite inférieure est don c nécessai rement zéro .
3 12 SPHÈRE ET CYLINDRE182 . I l faut ma i ntenant voir que S est une fonction mé romorphe de E. Flacons—nous d ’abord dans le cas où n n
’es tpas entier . Je viens de dire que l ’ on peut , sans changer S e tsans cesser de sati sfaire à chois i r d ’une infinité de m anieres la fonction Mais
,d ’aprè s ce qu e nous avons vu
nous pouvons chois ir+de telle sorte que la fonction
soit une fonction entière deOn en déduit ai sément que les deux premiers termes de Ssont des fonctions entière s . Quant au tro i s ième terme , ildevient infi ni pour les valeurs dé fi qu i sont racines de 6,c ’est—à—dire pour les quanti tés p. ; i l est cependant une fonction mé romorphe de 2, car le facteur à exposant fractionnaire entre au numérateur et au dénominateur , et d i spara î t .D ans le cas où n est entier
,ou a
log G
G étant une fonction entière par rapport àS i l ’on transporte cette va leur de dans l ’ express ion de S ,
on voit que les seules s ingularités prov i ennent des termesqui contiennent log E.
Calculons l e coefficient de log ’ç' dans S . Ce coefficient est
1
Cf’ (TE)f V ÇP152 1; 7.2n+ 1 dî
‘
<rë>f V+ dr0
(f é ) E2n
,. 2n+ i dr
et on voit qu ’ i l e st nul .
ÉTUDE D E L E QUATION D IFFERENTIELLE 313
Donc la fonction S n ’a pa s d ’autres s ingularité s que despôles .
183 . Cherchons maintenant la valeur asymptotique de S ,
quand croî t indé finiment dans un azimut déterminé,en
lais sant de côté le s arguments 0 etS i l ’on suppose la parti e imagina ire de positive
,on choi
s ira pour parmi toutes les fonction s qui sati sfont a l ’ é quation l ’ expression que nous avon s dés ignée par et onaura d ’aprè s ce qu ’on a vu
+1»
En substituant le s valeurs asymptotiques dans les troistermes de S
,on voit que l es exposants caracté ristiques sont
respectivement : 0,O,1 r .
Par su ite,on pourra négliger le tro is i eme terme devant les
deux premiers .
Calculon s alors la valeu r a symptotique du premie r terme ;elle est
e
f[æ2 ‘
7
11 2N
1
3
Cette expression se réduit àV
On verrai t de même que la valeur asymptot ique du
314 SPHÈRE ET CYL INDREsecond terme est
Il en résulte que l ’on a
Lorsque la partie imaginaire dé fi est négative , en employant la fonction au lieu de on trouve pour S lamême valeur asympto tique .
184 . Prenons maintenant l ’ in tégrale
f SEdi
l e long de cercles chois is de telle sorte qu ’ i ls ne passent pa raucun des po ints p. .
On aura à la l imite
f SÏd£ Qir:V .
En égalant cette express ion au p rodui t de Qin: par lasomme des rés idus , on obtient le dé ve10ppement
9
2 +L+(Telÿ%f ÔW (r s) d°°
V se trouve ains i dé ve10ppé suivant les fonctionsLa possibi l ité du développ ement é tait le seul po in t qu ’
i lnous restâ t établ ir pour achever la solution de la questionqui nous occupe .
Les deux problèmes du refro id issement de la sphère e t ducyl indre peuvent donc être regardés comme entièrementrésolus .
316
CHAPITRE X IV.
TABLE DES MATIÈRES
Refroidissement d’
un corps solide quelconque .
Propri é té s des fonctions ha rmoniques .Solution du problème général du
refroidissemen tProblème généra l du refroidissement dela sphère . Fonctions sphériques .
Sé rie de Laplace .
Refroidissement de la sphère et du
cylindre . Fonctions harmoniques .
Sphère et cylindre . Possibilité dudéveloppement
Tours . Imprimerie DE SLIS FRERES .