ՀՀ կր

թութ

յան

և գի

տու

թյա

ն նա

խա

րարո

ւթյո

ւն

ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՆԴՊՐՈՑՈՒՄ

m ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳq Հ . Մ. Մ իք ա յե լ յա ն

ԵՐՋԱՆԿՈՒԹՅՈՒՆԸ ԵՎ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ Q ԿՐԹՈՒԹՅՈՒՆԸ....................................................................... 3

£ ^ ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆց ^ - Հ Ա. Տ. Մկտ րւոչ յա ն_C_ £ T— ՏՐԱՄԱԲԱՆԱԿԱՆ ԳԻՏԵԼԻՔՆԵՐՆ ՈՒ ԿԱՐՈՂՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԸ5 tf Տ ՏԱՐՐԱԿԱՆ ԴՊՐՈՑԻ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ՉԱՓՈՐՈՇՉՈՒՄД 3 ' ’ ԵՎ ԾՐԱԳՐՈՒՄ........................................................................ 21^ Z3 ГМkd _ О. Ս. Մի ք ա յե լ յա ն^ 3 ՜Յ * ԲԱՐԴ ՖՈՒՆԿՑԻԱ ԹԵՄԱՅԻ ՆԵՐՄՈՒԾՄԱՆ

-С . ՄԻ ՄՈՏԵՑՈՒՄ ........................................................................303 3 (DԺ J ԱՐՏԱԴԱՍԱՐԱՆԱԿԱՆ? 3 Կ .Գ . Ա ռա քե լյա ն3 g ՜ ՀԱՆՐԱՊԵՏԱԿԱՆ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ՕԼԻՄՊԻԱԴԱ.

‘Յ £Ь. ՄԱՐԶԱՅԻՆ ՓՈՒԼ.................................................................. 39Ё, -13ՃԼ ^ ԻՆՔՆԱԿՐԹՈՒԹՅՈՒՆс ^ Կ. Մ. Մ ոսես յա ն£35- 5 ՄԱՐԴԿԱՆՑ ԽՄԲՈՒՄ ԾԱՆՈԹ ԵՈՅԱԿՆԵՐԻ

յ ՜ ԹՎԻ ՍՏՈՐԻՆ ԳՆԱՀԱՏԱԿԱՆԻ ՈՒԺԵՂԱՑՈՒՄ..................... 56

Խ մ բ ա գ ր ա կ ա ն խ ո ր հ ո ւ ր դՀւսմլետ Միքայելյան գլխավոր խմբագիրՍարիբեկ Հակոբյան գլխավոր խմբագրի տեղակալ պատասխանատու քարտուղար

Խ ո ր հ ր դ ի ա ն դ ա մ ն ե րԱբրահամյան Արաս Այվազյան էդվարդ Առաքելյան Կորյուն Բաղդա սա րյա ն Գևորգ Զա քա րյա ն Վանիկ Հարությունյան Հայկունի Ղուկասյան Նորայր Ղուշչյան Ալեքսանդր Միքայելյան Օնիկ Մովսիսյան Յուրա Ն ավասարդյան Հա յկա զ Աաֆարյան Գրիգոր Աեդրակյան Նաիրի Տոնոյան ԳառնիկՆ կ ա ր ի չՎ. Հ. ՄիքայելյանՀ ա մ ա կ ա ր գ չ ա յ ի նձ և ա վ ո ր ո ւ մ ըԳոհար Խա չա տ րյա նի

Տիգրան Մեծի 67, սենյակ 401 375005 Երևան 5 Tigran Metsi 67, Room 401 375005 Yerevan 5, Armenia

« Մ ա թ ե մ ա տ ի կ ա ն դպրոց ո ւ մ»գ ի տ ա մ ե թ ո դ ա կ ա ն ա մ ս ա գ ի ր №2, 2010թ.

Լրատվական գործունեություն իրականացնող' « Կ ր թ ո ւ թ յ ա ն ա զ գ ա յ ի ն ի ն ս տ ի տ ո ւ տ » ՓԲԸ

Հասցեն' Երևան, Տիգրան Մեծի 67, վկայական' N 01 Ա 044424,տրված 16.02.19Ց9թ.

Ամսագրի թողարկման պատասխանատու՛ գ լ խ ա վ ո ր խ մ բ ա գ ի ր Համլետ Միքայելյան

Հանձնված է տպագրության 12.05.201 Օթ: Տպաքանակը՜ 2010, ծավալը' 4 մամուլ: Թուղթ' օֆսեթ: Չափսը' 70x100 V16:

Գինը 700 դրամ:Հանրակրթական դպրոցներին հատկացվում է ա ն վ ճ ա ր

Phone: (010) 55 99 38 Fax: (010) 55 92 98 E-mail: aniedu.am Internet: http://www.aiuedu.am

Ա Ր Ժ Ե Ք Ա Յ Ի Ն Հ Ա Մ Ա Կ Ա Ր Գ

Ա ր ժ ե ք ա յ ի ն հ ա մ ա կ ա ր գ

ԵՐՋԱ Ն ԿՈՒԹ Յ ՈՒՆ Ը ԵՎ Մ Ա Թ ԵՄ Ա Տ ԻԿԱ ԿԱ ՆԿՐԹՈՒԹՅՈՒՆԸ

Հ. Ս. Մ իքա յե լյա ն

Ներածություն

Մեզանից յուրաքանչյուրը իր գոյությունը պահպանելու, կենցաղը ա պ ա ­հովելու համար կա րիք ունի սնվելու, հագնվելու, տեղաշարժվելու: Մեր այս և այլ կարիքները մենք ա պ ահովում ենք զա նա զա ն իրերի ու առարկաների միջոցով, որոնք, բնականաբար, մեզ համար ունեն որոշակի ա րժեք: Սակայն մեզ համար ա րժեք կարող են ունենալ ոչ միայն իրերը, այլև առանձին մարդիկ, մեր մտքերը, հիշողությունները, զա նա զա ն գա ղա փ ա րներ, երևույթներ: Արժեքների ա շխարհը բա զմա զա ն է: Մեր ունեցած նյութական, հոգեկան, սոցիալական, բարոյական, ճշմարտա յին, գեղա գիտ ա կա ն, կրոնական, ազգա յին և այլ ա րժեքները կազմում են մեր ա րժեքա յին հա մա կա րգը և պա յմանավորում մեր ա րժեքա յին կողմնո­րոշումը:

Կրթական հաստատություններում ստ ա ցա ծ մեր գիտ ելիքներն ու կարողու­թյունները նույնպես ա րժեքներ են, որոնք կազմում են կրթական ա րժեքների մի մասը: Կրթական ա վտ որիտ ա ր համակարգերին հատուկ է ա յդ արժեքների բա ­ցա րձա կա նա ցում և հոգևոր այլ ա րժեքների նսեմացում: ժա մա նա կա կից ժո­ղովրդա վա րա կա ն կրթական համա կա րգերը միտ վա ծ են դեպի հոգևոր ա րժեք ­ները: Դրանց խնդիրը ա պ ա գա քա ղա քա ցո ւն ա նհրա ժեշտ արժեքների հա մա ­կարգի որոշումն է և հա մա պ ա տ ա սխ ա ն ա րժեքա յին կողմնորոշման ձևավորումը:

Մաթեմատիկական կրթությունը, մասնավորապես, ա յսօր ոչ միայն և ոչ ա յնքա ն մաթեմատիկա յի ուսուցում է, մա թեմա տ իկա կա ն գիտելիքներ և կարո­ղությունների ուսուցման գործընթաց, այլ մաթեմատիկա յի ուսուցման միջոցով սովորողներին կրթելու' նրանց ա րժեքա յին համակարգը, ա րժեքա յին կողմնորո­շումը ձևավորելու գործընթաց: Եվ մաթեմա տ իկա ն այս տ եսա կետ ից ունի կրթա-

3

Ա Ր Ժ Ե Ք Ա Յ Ի Ն Հ Ա Մ Ա Կ Ա Ր Գ

կան մեծ ներուժ, այն ի զորու է իր վճռական խ ոսքը ասելու ա պ ա գա քա ղա քա ց ո ւ ա րժեքա յին ողջ համակարգի ձևավորման և զա րգա ցմա ն գործընթացում: Պ ետք է նկատի ունենալ, որ մա թեմա տ իկա կա ն շա տ նյութերի' սովորողներին տ վա ծ մա թեմա տ իկա կա ն գիտելիքն ու կարողությունը ամենևին էլ կարևոր չեն ա պ ա գա քա ղ ա քա ց ո ւ համար: Մինչդեռ ա յդ նյութերը ձևավորում ու զա րգա ցնում են հոգե­կան, ճշմարտային, բարոյական, գեղա գիտ ա կա ն, ազգա յին և այլ արժեքներ, որոնց համակարգն էլ պա յմանավորում է ա պ ա գա քա ղա քա ց ո ւ արժեքա յին կողմ­նորոշումը: Անհրաժեշտ է հաշվի առնել նաև, որ ի տարբերություն գիտելիքի և կա ­րողության, հոգևոր արժեքների ձևավորումը շատ բա րդ գործընթաց է և իրա կա ­նացվում է հետևողական ու երկարատև ա շխ ա տ ա նքի արդյունքում: Խնդիրը բարդանում է նրանով, որ կրթական նման գործընթացի արդյունքը անմիջապես հնարավոր չէ տեսնել, ստուգել և վերահսկել:

Ստորև մենք կա նդրա դա ռնա նք մա թեմա տ իկա կա ն կրթության իրա կա նա ց­մա ն շրջանակներում երջանկության բարոյական ա րժեքի ձևավորման գործըն­թացին:

Ի՞նչ է երջանկությունը

Երջանկության մասին եղել են ու կան բա զմա թիվ կարծիքներ: Սովորաբար որպես երջանկություն է ընկալվում շատ, անչափ ցանկա լի առարկա յի ձեռք բե­րումից, նա խ ա նշվա ծ նպ ա տ ա կին հասնելուց ա ռա ջա ցա ծ բավարարվածությունը կամ ուրախությունը (տես [1]): Եվ քա նի որ տարբեր մարդիկ ունեն տարբեր ցա ն­կություններ ու նպատակներ, ա պ ա երջանկությունն էլ նրանց կողմից ընկալվում է տարբեր կերպ:

Երջանկության տ ա րա ծվա ծ ու նա խ նա կա ն պ ա տ կերա ցումներից մեկը կապվում է ճա կա տ ա գրի, բա խ տ ի հետ. երջանիկը ինչ-որ իմա ստ ով նույնացվում է բա խ տ ա վորի հետ: Հին հունարենում այն բառացի նշանակում է հենց աստ- վածների հովանավորությունը վայելող մարդու ճա կա տ ա գիր : Սակայն բախտը, ճա կա տ ա գիրը մարդուց կա խ վա ծ չէ: Արիստոտելը գտնում էր, որ արդարին, քա ջին կամ այլ ա ռաքինություններով օ ժտ վա ծ մարդուն հաջողակ կամ բա խ տ ա ­վոր չեն ասում, քա նի որ դրա նք մարդու ջանքերի հետ են կա պ վա ծ (տես [2]): Ընդհակառակը, հաջողությունը և բա խ տ ը կապվում են ժա ռա նգա բա ր ստ ա ցվա ծ հարստության, բնակության լավ վայրի, ծնունդով ստ ա ցա ծ ա րտ ա քին տեսքի, ուժի, ընդունակությունների ու տա ղա նդների հետ: Սակայն այս բոլորով օ ժտ վա ծ մա րդկանց մեջ կա րող են լինել թե՜ երջանիկ և թե՜ ապերջանիկ մարդիկ:

Երբեմն երջանկությունը կապում են հաճույքների հետ: Սակայն հաճույք­ները և երջանկությունը տարբեր են: Հին հունական ա սա ցվա ծք կա ' խուսափիր

4

Ա Ր Ժ Ե Ք Ա Յ Ի Ն Հ Ա Մ Ա Կ Ա Ր Գ

հաճույքներից, որոնք սուգ են բերում: Իսկ Բուդդան, իր երկարատև որոնումների արդյունքում հանգեց այն եզրակացության, որ երանության, անմահության հաս­նելու բանալիներից մեկը հաճույքներից հրաժարվելն է: Եվ քա նի որ հաճույքներ կա րող է ստ ա նա լ ինչպես երջանիկը, ա յնպես էլ ապերջանիկը, ա պ ա հաճույք­ները չեն կարող նույնացվել երջանկության հետ:

Երջանկությունը շատերը կապում են հարստության հետ: Սակայն ոչ բոլոր հարուստ մարդիկ են երջանիկ, և ինչպես հաճույքը, ա յնպես էլ հարստությունը հասանելի են ինչպես երջանիկ, այպես էլ ոչ երջանիկ մարդուն: Հարստությունից պ ետ ք չէ խուսափել, քա նի որ ա ղքա տ ութ յա ն մեջ երջանիկ լինելը ավելի դժվար է: Սակայն չպ ետ ք է կարծել, թե ունեցվածքը կամ նրա քա նա կը կա րող են մար­դուն երջանիկ դարձնել:

Շատերը երջանկությունը տեսնում են իշխանության կամ փ ա ռքի մեջ: Սակայն իշխանությունը և փ ա ռքը նույնպես երջանկություն չեն: Պատմությունից հա յտնի են մեծ իշխանության, փ ա ռքի հասած, բայց ոչ երջանիկ շատ մարդկիկ: Նման բա զմա թիվ մարդկանց մենք կարող ենք գտնել նաև մեր շրջապատում:

ճա կա տ ա գիրը , բախտը, հարստությունը, հաճույքները և իշխանությունը նպաստ ում են երջանկությանը, սակայն ոչ նրա համար պ ա տ ճա ռ են և, մա նա ­վանդ, ոչ էլ նրա բովանդակությունը: Յուրաքանչյուր մարդու մեջ երջանկությունը և ապերջանկությունը գտնվում են իրար կողքի: Ոչ մեկը չի կարող խուսափել սխալներից, հիվանդություններից, մոտիկ ու թանկ մարդկանց կորստից, այն ամենից, ինչը և դառնում է ապերջանկության պատճառ: Սյուս կողմից, հա սա ­րակությունը ա յնպես է կառուցված, որ բոլորի միա ժա մա նա կյա երջանկությունը անհնար է: Հա ճա խ մեկի երջանկությունը մյուսի ապերջանկության պ ա տ ճա ռ կա ­րող է լինել, երբեմն' պ ա յմա նա վորվա ծ է հենց դրանով: Հիշենք թեկուզ սպ որտ ա ­յին մրցումները կամ երա ժշտ ա կա ն մրցանակաբաշխությունները: Եվ այս հա կա ­սությունը հաղթահարելու համար հասարակությունը պ ետ ք է գնա հա տ ի հան­դուրժողականությունը, ինքնա սա հմա նա փ ա կումը , ինքնազոհաբերումը, հա մա ­կերպումը: Նշանավոր իմա ստ ասեր Ջոն Սիլլը գտնում է, որ ա ռանց երջանկու­թյան ապրելու ունակությունը երջանկության հասնելու ամենահուսա լի զենքն է (տես [6]):

Չնա յած ասվածին, ա յնուամենա յնիվ կան բա րոյա գիտ ա կա ն մոտեցում­ներ, որոնք թույլ են տալիս գնա հա տ ել մարդկա յին երջանկությունը, մա նա վա նդ ' այն որակները, որոնք ա նհրա ժեշտ են երջանկության հասնելու համար: Հա մա ­ձայն դրանցից մեկի (տես, օրինակ, [7]), երջանիկ լինելու համար մա րդ պ ետ ք է ունենա ֆիզիկական առողջություն և նյութական բարեկեցություն (հարստու­թյուն), հոգևոր առողջություն և հոգևոր հարստություն, և այս ամենը շա ղա խ վա ծ

5

Ա Ր Ժ Ե Ք Ա Յ Ի Ն Հ Ա Մ Ա Կ Ա Ր Գ

լինի սիրով ու ստեղծագործությամբ: Այսպիսով, տրվում է երջանկության ա նհրա ­ժեշտության հետևյալ բանաձևումը:

Երջանկության նյութական կողմը

Երջանկության հոգևոր կողմըԵրջանկությանշա ղա խ ը

Ֆ իզիկականառողջություն

Նյութական կամ ֆիզի­

կական հա րստ ու­

թյուն

Հոգևորառողջություն

Հոգևորհարստություն

Սեր և ստ եղծա գոր­

ծություն

Հասկա նա լի է, որ դժվար է որևէ մեկի մոտ գտնել բերված բոլոր հա տ ­կանիշները: Սակայն, համաձա յն այս բանաձևումի, հատկանիշներից յո ւրա քա ն­չյուրի առկայությունը պ ետ ք է դիտել որպես այն կրողի երջանկությանը նպ ա ս­տ ող կարևոր գործոն: Միաժամանակ, նշված գործոնները տարբեր չափ ով կարող են ազդել տարբեր մա րդկանց երջանկությանը: Բեռնակրի կամ սպորտսմենի երջանկության համար ֆիզիկական առողջությունը և ուժը կամ հարստությունը շա տ ավելի մեծ նշանակություն ունեն, քա ն գիտ նա կա նի երջանկության համար: Գործարարի երջանկության համար ավելի մեծ նշանակություն ունի նյութական հարստությունը, ա րվեստ ա գետ ի համար կարևոր է պատկերա յին, իսկ գ իտ նա ­կանի համար ' վերլուծական մտածողությունը, նկարչի համար կարևոր է գույնի զգացողությունը, իսկ երաժշտի համար ' լսողությունը: Երգչի համար պ ա տ կերա ­յին մտածողության և լսողության հետ միասին կարևոր են նաև ձա յնա յին' ֆիզիկական տվյալները կամ հարստությունը, իսկ երգչուհու (և ինչու՞ միայն երգ­չուհու) երջանկությանը մեծապես կօգնեն նրա արտա քին, ա յսինքն ' նույնպես ֆիզիկանան տվյալները:

Պ ետ ք է մեկընդմիշտ ընդունել, որ յուրաքանչյուր մա րդ իրա վունք ունի երջանիկ լինելու: Անհրաժեշտ է հիշել հայտնի ա սա ցվա ծքը ' կյանքը տոն է, որին մենք մասնակցում ենք:

Իսկ ինչպե՞ս հասնել երջանկության, ինչպե՞ս դառնա լ երջանիկ և ա րդյո՞ք ամեն մա րդ կարող է երջանիկ դառնալ: Եվ կրթությունը, մասնավորապես, մաթե­մա տ իկա կա ն կրթությունը երջանի՞կ է դարձնում մարդուն կամ նպաստու՞մ է նրա երջանկությանը: Ի՞նչ կարող է առաջարկել այն մարդուն' նրան երջանիկ դա րձ­նելու համար կամ ի՞նչը նրանում կարող է պ ա տ ճա ռ դառնա լ մարդու ա պ երջա ն­կության: Եվ վերջապես, մտածու՞մ է երջանկության մասին կյանքի ճա նա պ ա րհը ընտ րող պ ա տ ա նին (կամ նրա ծնողը) ուսումնառության համար այս կամ այն

6

Ա Ր Ժ Ե Ք Ա Յ Ի Ն Հ Ա Մ Ա Կ Ա Ր Գ

կրթական հաստատությունը ընտրելիս, թե՞ ելնում է երջանկության հետ կապ չունեցող կեղծ ա րժեքներից և իր կյանքի լավագույն տարիները ա նիմա ստ ու ա նօգո ւտ կորցնելու վտ անգի ենթարկում:

Հոգևոր առողջությունը և մաթեմատիկական կրթությունը

Երջանկության առաջին նա խ ա պ ա յմա նը հոգեկան առողջությունն է: Ավե­լորդ է խոսել հոգեկան հիվանդություն կամ խա նգա րում ունեցող մարդու երջան­կության մասին, ա յստ եղ իր խ ոսքը պ ետ ք է ասի հոգեբուժությունը: Իսկապես, թեկուզ և ա յնպիսի հիվանդություն, ինչպիսին հիշողության կորուստն է, մարդուն դարձնում է ոչ լիարժեք: Հանդիպումներից մեկի ժա ա նա կ ուսանողները պ ա տ ­րաստվում էին հետ ա քրքիր տեղեկություններ ստանա լ ռեժիսորի նկա րա հա նա ծ ' իրենց սիրելի ֆիլմերից մեկի մասին: Բա զմա զա ն ու հետ ա քրքիր հարցերը հետևում էին մեկը մյուսին: Սակայն պարզվեց, որ տա րեց ռեժիսորը պ ա տ ա սխ ա ­նելու բան չուներ - նա ոչինչ չէր հիշում: Վատ էր զգում և՜ ռեժիսորը, և՜ լեփ-լեցուն դահլիճը: Հա վա նա բա ր, այս և հոգեկան այլ հիվանդությունների պա յմաններում երջանկության մասին խոսելն ավելորդ է:

Երջանկության' հոգևոր առողջության բաղադրիչում կարևոր տ եղ ունի սոցիա լական գործոնը, առողջ ու մաքուր փոխհարաբերությունների վրա հեն­ված ընտանիքը, ընկերությունը, բարեկամությունը, ա շխ ա տ ա նքա յին միջավա յ­րը, սիրված մասնագիտությունը:

Մ աթեմատիկական կրթություն ստանա լու համար պ ա հա նջվող երկարատև մտավոր գործունեությունը, հավանաբար, քիչ ցանկություն է թողնում ընտ ա ­նիքը, ընկերությունը, բարեկամությունը կարևորելու և դրանց հետ շփումների համար: Ա շխատա նքա յին միջավայրում կրթության մա թեմա տ իկա կա ն բա ղա դրի ­չը մարդուն կարող է օգնել ժա մա նա կ չծախսել ավելորդ զրույցների համար, ավելի մեծ ուշադրություն դարձնել մա սնա գիտ ա կա ն գործունեությանը:

Հոգևոր առողջության հաջորդ կարևոր բաղադրիչը բարոյական մա քրու­թյունն է. բարոյականությունը կոչված է կարգավորելու հասարակութ յան ա նդա մ­ների փոխհարաբերությունները, ինչի համար այն սահմանում է բարոյական վա րքի նորմեր և բարոյապես մաքուր մարդը պ ա րտ ա վոր է հետևել ա յդ նորմե­րին: Բարությունը, ազնվությունը, արդարությունը և բարոյական այլ դրական ա րժեքներ կազմում են երջանկության հիմքը: Իսկ ստախոսությունը, չարությու­նը, նախանձը, անամոթությունը, անազնվությունը և բարոյական այլ թերություն­ներ չեն կարող չխա նգա րել մարդու երջանկությանը:

Հարկ է հիշել, որ բարոյական թերությունների, շեղումների, արատների ուղղումը չա փ ա զա նց դժվար է, երբեմն' անհնար: Իզուր չեն ասել' գելի գլխին ա վետ ա րա րն են կարդում, իսկ նա ասում է' շուտ արեք, ոչխարը գնաց: Նամա-

7

Ա Ր Ժ Ե Ք Ա Յ Ի Ն Հ Ա Մ Ա Կ Ա Ր Գ

կանիշներ հա վա քողները շատ լավ գիտեն դրւսնցում նկա տ վող մի կարևոր թե­րություն. եթե նամականիշը ճկվա ծ է, ա պ ա այն կարելի է ա յնպես ուղղել, որ թե­րությունը վերանա: Բայց եթե այն ծա լված է, ա պ ա ոչ մի կերպ հնարավոր չէ վնասը ուղղել, ծա լման գիծը կմնա ' ուղղման ցա նկա ցա ծ փորձի դեպքում: Նույն կերպ էլ բարոյական լուրջ շեղումները կարող են այլևս չուղղվել: Կարմրելու հատկությունը կորցրած աղջիկը, օրինակ, այն երբեք չի գտնի:

Սակայն միշտ չէ, որ ընդունված բարոյական նորմերին ա նվերապ ահորեն հետևելը, բարոյական դրական արժեքների դավանումը մարդուն երջանկություն է բերում: Հա ճա խ կյանքը ինքն է պ ա րտ ա դրում մարդուն ա զնիվ չլինել, ստել, խաբել, ... Սանավանդ, բարոյա լքման որոշ սահմանի հա սա ծ հասարակության մեջ բարոյական մարդը կա րող է հա յտնվել «սպիտակ ագռավի» դերում: Նման պա յմաններում ա յդ մարդը իրեն երջանիկ զգա լ չի կարող: Դաստիարակության գործընթացում այս հա նգա մա նքը պ ետ ք է ա նպա յմա ն հաշվի առնել: Ավելին, ա նգա մ նորմալ հասարակության մեջ պ ետ ք չէ, որ երեխան միշտ հետևի ընդունված բարոյական նորմերին և դրանցից շեղումներ թույլ չտա: Ինչպես նշում է լեհ հայտնի մա նկա վա րժ Յա. Կորչուկը (տես [9]) երեխան կարող է իրեն թույլ տա լ երբեմն սուտ խոսել, գողանալ, մեղք գործել կամ այլ բարոյական շեղումներ կա տ ա րել և հակասության մեջ մտնել իր խղճի հետ: Նման շեղումները կա րող են միայն կոփել երեխա յին բարոյապես, հա կառակ դեպ քում մեծանալով' նա բարոյապես կայուն չի դառնա : Պ ա տ ա հա կա ն չէ, որ բարոյական նորմերին ա նվերա պ ա հորեն հետևող երեխաները կյանքում լուրջ դժվարություններ են ունենում:

Մեզ թվում է, թե բարոյական շեղումները ավելի փ ոքր տոկոս են կազմում մաթեմա տ իկա յով զբաղվող, մաթեմատիկա յից ա ռա ջա դիմող աշակերտների շրջանում: Նման ա շակերտները ավելի են գնա հա տ ում և հա կվա ծ են լսելու ուսուցչի' մա սնա վորա պ ես ' բարոյական խնդիրներին վերաբերող կարծիքը: Իսկ մա թեմա տ իկա կա ն գործունեությունը մա րդկանց հետ փոխհարաբերություն­ներում ա շա կերտ ին դարձնում է ոչ ագրեսիվ, հանդուրժողական, մղում է ինքնա ­սահմա նա փ ա կմա ն, համակերպման, բայց ոչ' ինքնազոհաբերման, այն նպ ա ս­տում է էգոիզմի առաջացմանը, ինչը բացառում է ինքնազոհաբերումը:

Երջանկությունը' նրա հոգևոր առողջության բաղադրիչով, մեծապես պա յ­մա նա վորվա ծ է կյանքի կողմնորոշիչներով: Կենսուրախությունը, կենասիրությու­նը, լավատեսությունը, կենսակայունությունը, ոգու արիությունը, հույսը, հա վա ­տը և կյանքի այլ դրական կողմնորոշիչներ նպաստում են երջանիկ ապրելուն, իսկ բա ցա սա կա ն կողմնորոշիչները ընկճում են մարդուն, խա նգա րում երջան­կությանը:

8

Ա Ր Ժ Ե Ք Ա Յ Ի Ն Հ Ա Մ Ա Կ Ա Ր Գ

Կենսուրախությունը տ եղ չի թողնում վհատության, այն մարդուն դարձնում է կա յտա ռ և ուրախ: Շոպենաուերը ընդգծելով ուրա խ տրամադրութ յան կարևո­րությունը, ասում է. «ոչինչ չի կարող փ ոխա րինել ա յդ բարիքը, այնինչ այն փ ո­խարինում է ցա նկա ցա ծ այլ բարիքի: Եթե մարդը երիտ ա սա րդ է, գեղեցիկ, հա ­րուստ, պա տվվում է, նրա երջանկությունը գնա հա տելիս պ ետ ք է տեսնել, թե ա րդյո՞ք նա ո ւրա խ է: Իսկ եթե ո ւրա խ է, ա պ ա միևնույն է, թե երիտ ա սա րդ է նա, հարուստ, գեղեցիկ կամ պ ա տ վվա ծ (տես [3]): Պ ետ ք է պ ա յքա րել մռայլ տ րա ­մադրության դեմ, չնվնվալ, չտրտնջալ, չբողոքել: Հա յտնի ա սա ցվա ծք կա. «Քանի դեռ դու կ յա նքից դժգոհ ես, այն անցնում է»: Իսկ մեծահասակների համար հրաշալի է ասել Ն. Մ. Ամոսովը' ոչինչ ա յնպես չի ծերացնում մարդուն, ինչպես ծերանալու պա տրա ստ ա կա մութ յունը (տես [9]): Մ աթեմատիկական կրթությունը հա կվա ծ է մարդուն ինքնա մփ ոփ դարձնել, «կտրել» ա ռօրեա կա ն կյանքից, ըն­կերներից, ինչը պակասեցնում է կենսուրախությունը: Այդ պ ա տ ճա ռով չպ ետ ք է ա շակերտին ծանրաբեռնել մա թեմա տ իկա կա ն հանձնարարությունների մեծ ծա ­վալով' մանավանդ, եթե ա շա կերտ ը հաճույքով չի կատա րում դրանք, պ ետ ք է ամեն կերպ մա թեմա տ իկա կա ն վերա ցա կա ն գիտ ելիքը մատուցել նրա կիրա ռա ­կան նշանակությամբ ' այն կապել կյանքի հետ:

Կենսասիրությունը նույնպես կյանքի կարևոր կողմնորոշիչ է: «Կյանքը չի սիրում նրանց, որոնք իրեն չեն սիրում»: Մ աթեմատիկական կրթությունը, մաթե­մատիկա յով զբաղվելը ներամփոփում է պահանջում, և մաթեմա տ իկա յով չա­փ ա զա նց տարվելու դեպ քում ' կա րող է նկատվել կենսասիրության թուլացում: Նման դեպ քերում սովորողը դժվարությամբ է շփվում շրջապ ատ ի հետ, երբեմն կտրվում է շրջապատից: Արևմտյան հետ ա զոտ ողները նկատել են, որ կենսասի­րության անկման է բերում նաև Ինտերնետը, վիրտուա լ ա շխա րհը մարդուն կտրում է շրջապատից, ա նգա մ ' հա րազատ ներից: Մ աթեմատիկական կրթության պա րա գա յում նման արդյունքներից խուսափելու լավագույն ելքը կիրառական և հետ ա քրքրա շա րժ խնդիրների ներառումն է ուսուցման գործընթացի մեջ:

Երջանկությանը նպ ա ստ ող կարևոր կողմնորոշիչ է լավատեսությունը: Միևնույն երևույթը լավատ եսը և վա տ ա տ եսը գնա հա տ ում են տարբեր կերպ: Կիսալիքը շիշը նաև կիսա դա րտ ա րկ է. առաջինը լավատեսի համար, երկրորդը' վա տ ա տ եսի: Կոնյակի բաժակի մեջ ընկած ճանճը բաժակից դուրս նետելով' վա տ ա տ եսը տհաճությամբ նկատում է, որ կոնյակից ճանճի հոտ է գալիս, իսկ լավատ եսը ա յդ ճանճը մա տ ով ճզմելով ' մատը մոտեցնում է քթին և հաճույքով նկատում, որ սա տ կա ծ ճանճից կոնյակի հոտ է գալիս: Հասկա նա լի է, որ լա վա ­տեսի գնա հա տ ա կա նները չեն խա նգա րում նրան ուրա խ ու բա վա րա րվա ծ լինել տվյա լ երևույթի շրջանակներում, իսկ վա տ ա տ եսը իրեն զրկում է նման հնա րա ­վորություններից: Լա վա տ եսը իրեն տ րա մա դրում է լավին, իսկ վա տ ա տ եսը ' վա ­

9

Ա Ր Ժ Ե Ք Ա Յ Ի Ն Հ Ա Մ Ա Կ Ա Ր Գ

տին: Լավատեսությունը ա կտիվացնում է մարդուն, վատատեսությունը ' զինա ­թափ է անում նրան: Արդյո՞ք մա թեմա տ իկա կա ն կրթությունը նպաստ ում է, որ մարդը լավատես դառնա : Կյանքի լավ պա յմանները, պլանների, նպ ատ ակների առկայությունը, նա խ ա նշվա ծ պլանների իրա կա նա ցմա նը և նպատ ակներին հաս­նելու համար ա նհրա ժեշտ հետևողականությունը և կամքի դրսևորումը, ա յդ ճա ­նապա րհին առաջ եկած դժվարությունների հաղթահարումը լավատեսության համար կայուն հիմքեր կարող են ծառայել: Եվ ընդհակառակը, կյանքի վատ պա յմանները, նպատ ա կների բացակայությունը կամ նա խ ա նշվա ծ նպ ատ ակների իրա կա վա ցմա ն համար ա նհրա ժեշտ հետևողականության և կամքի դրսևորման բացակայությունը, դժվարությունների առաջ երկնչելը վատա տեսութ յա ն պ ա տ ­ճառ կարող են դառնալ: ճ ի շտ կազմակերպելու դեպ քում մաթեմատ իկական կրթությունը մարդուն զինում է պլանների, նպ ա տ ա կների նա խա նշմա ն և դրանց իրա կա նա ցմա ն համար ա նհրա ժեշտ հոգևոր որակներով և, հետևապես, նպ ա ս­տում է նրա մոտ լա վա տ եսա կա ն որակների ձևավորմանը: Ընդհակառակը, երբ կրթությունը ճիշտ չի կազմակերպվում, և սովորողը չի զինվում այն հոգևոր որակներով, որ կարող է տա լ մա թեմա տ իկա կա ն կրթությունը' կյանքի պ ա յմա ն­ներում գործելու համար, մա սնա վորա պ ես ' երբ պա րբերա բա ր ստ ա նա լով իր ուժերից վեր ա ռաջա դրանքներ, չի կարողանում դրա նք իրականացնել, նա վա ­տ ա տ ես դառնա լու լուրջ պ ա տ ճա ռներ կարող է ունենալ:

Երջանկության' կյանքի կողմնորոշիչների բաղադրիչներում հույսը կարևոր տ եղ է զբաղեցնում: Իզուր չի ա սվա ծ ' հույսը վերջինն է մեռնում: Ահա ուսանելի մի առակ հույսի մասին: Մի ա նգա մ նավաստին եկավ իմաստունի մոտ և ասաց. «Անընդհատ փոթորիկների մեջ եմ և վախենում եմ, որ հանկա րծ կխորտակվեմ: Ինչպե՞ս անեմ, որ մինչև ծերություն փ որձա նքի չգամ»: Իմաստունն ասում է. «Ինչ կա որ, դա շատ հեշտ է. վերցրու այս սափորը և այն ք ե զ կպ ա հպ ա նի փ որ­ձանքներից, սակայն չբացես, որովհետև այն կկորցնի իր զորությունը»: Վերցնում է սափորը նավաստին և տա սը տարի ա զա տ վում է բոլոր փորձանքներից: Աակայն նրան տանջում է սափորը բացելու և նրա պարունակույունը տեսնելու գայթակղությունը: Վերջապես նա չի կարողանում հաղթահա րել այն և բացում է սափորը, բայց ավաղ, ա յնտ եղ ոչինչ չկար: Գնում է նավաստին իմաստունի մոտ և զա յրա ցա ծ բողոքում, որ իմաստունը իրեն խա բել է: «Ինչպե՞ս» զարմանում է իմաստունը: «Ահա, ֊ցույց է տալիս սափորի պարունակությունը նավաստին, - ա յնտ եղ ոչինչ չկա»: «Ոչ, ֊ասում է իմաստունը, ֊ա յնտեղ մի մեծ բան կար, որ դու բաց ես թողել»: «Այնտեղ ոչինչ չի եղել, երբ ես այն բացել եմ» - ասում է նավաստին: «Այնտեղ հույս կար, և դու բացելով այն' ա յդ հույսը բաց ես թողել» - ասում է իմաստունը: Մ աթեմատիկական դասընթացներում ներա ռվա ծ բա նա ­ձևումները, խնդիրները և վարժությունները միշտ ունեն ապացուցումներ և լու­

10

Ա Ր Ժ Ե Ք Ա Յ Ի Ն Հ Ա Մ Ա Կ Ա Ր Գ

ծումներ, որոնց կարելի է հասնել հետևողական ա շխ ա տ ա նքի արդյունքում: Սա մարդու մոտ հույսի ա րժեքի ձևավորման հրաշալի նախադրյա լներ է ա ռա ջա ց­նում: Նույն նպ ա տ ա կին է ծառայում նաև մաթեմատիկա յի իմացությունը' կյան­քում առաջ եկած իրադրությունների մոդելավորման և լուծման իր ներուժով:

Երջանկության դրսևորման խնդրում կարևոր է նաև ոգու արիությունը: Թթվասերի ամանի մեջ ընկած գորտերից մեկը ափերը բազում ա նգա մ ա նօգուտ թափահարելուց հետո համակերպվում է իր ճա կա տ ա գրի հետ և խեղդվում, իսկ մյուսը շարունակում է ափերի թափահարումը: Եվ երբ թվում է, թե հետ ա գա ջանքերը ա նօգուտ են, թթվասերի մեջ կա մաց-կա մա ց ձևավորվում ու ամրանում է կարագը, որի վրա էլ բա րձրանա լով ' համառ գորտը դուրս է թռչում ամանից: Սա թեմա տ իկա կա ն առանձին խնդիրների լուծման համար ցուցաբերած հա մա ­ռությունը, հետևողականությունը, մտ քի երկարատև լարումը, որ հանգեցնում են ա նհրա ժեշտ արդյունքի, ոգու արիության դրսևորումներ են, որոնք բարձրացնում են մարդուն, մեծացնում նրանում ոգեղեն արժեքը:

Հոգևոր հարստությունը և մաթեմատիկական կրթությունը

Սարդկային երջանկությունը, երջանկության համար պլաններ ու նպ ա ­տակներ գծելու, դրա նք իրականացնելու կարողականությունը մեծապես կա խ ­ված է մարդու մտածողությունից, երևակայությունից, հիշողությունից, ուշադրու­թյունից, նպատակասլացությունից, հետևողականությունից, կա մքից և հոգեկան այլ գործընթացներից: Իսկապես, որքան ուժեղ ու զա րգա ցա ծ է մարդու մտ ա ­ծողությունը և երևակայությունը, ա յնքան մեծ ու լուրջ կլինեն նրա նպատ ա կներն ու պլանները: Որքան մեծ լինի մարդու հիշողությունը, ուշադրությունը, նպ ա տ ա ­կասլացությունը, հետևողականությունը, կա մքի ուժը, ա յնքա ն մեծ կլինի ընդու­նած պլաններն ու նպ ա տ ա կները իրականացնելու և, հետևապես, երջանիկ լինե­լու հնարավորությունը:

Հոգեկան գործընթացների ձևավորումը և զա րգա ցումը մեծապես կա խ վա ծ է կրթությունից, նաև' մա թեմա տ իկա կա ն կրթությունից: Հոգեկան գործընթա ց­ների ա յնպիսի անցանկա լի դրսևորումներ, ինչպիսիք են ուշադրության ցրվա ­ծությունը, հիշողության մեջ անցանկա լի երևույթների հա ճա խ ա կի իհա յտ գալը, մտ քի ծուլությունը, կա մքի թուլությունը, նպատակասլացութ յան, հետևողակա ­նության բացակայությունը կարելի է վերացնել մա թեմա տ իկա կա ն կրթության միջոցով: Սա թեմատիկա յի ուսումնական նյութի կառուցվածքը, դրա յուրացման համար մտածողության, երևակայության, ուշադրության, հիշողության երկա րա ­տև կենտրոնացման, հա ճա խ ' նաև լարման անհրաժեշտությունը նպաստում են

11

Ա Ր Ժ Ե Ք Ա Յ Ի Ն Հ Ա Մ Ա Կ Ա Ր Գ

հա մա պ ա տ ա սխ ա ն հոգեկան գործընթացների ձևավորմանը և զա րգա ցմա նը (տես [12]): [10] ա շխ ա տ ա նքո ւմ համակողմանիորեն ուսումնասիրված է մաթե­մատիկա յի ուսուցման գործընթացի ազդեցությունը սովորողների ուշադրության դրսևորումների և տեսակների զա րգա ցմա ն և ա մրապ նդմա ն վրա: [13] ա շխ ա ­տ ա նքում ուսումնասիրված է հիշողության երևույթը մաթեմատ իկա յի ուսուցման գործընթացում, ցույց է տ րվա ծ մա թեմա տ իկա կա ն կրթության դերը հիշողության ձևավորման և զա րգա ցմա ն գործընթացում:

Մաթեմատիկական կրթությունից մեծապես կա խ վա ծ է սովորողի վերա ­բերմունքը իր մտավոր ունակությունների նկատմամբ: Կրթական խնդիրների ճիշտ իրա կա նա ցմա ն դեպ քում այն մարդուն կարող է տա լ ինտելեկտուա լ ա զա ­տություն, ինքնավստահություն, հա վա տ սեփ ական ուժերի, մտավոր կարողու­թյունների նկատմամբ: Իսկ հակառակ դեպ քում սովորողի մոտ կարող են ա ռա ­ջանալ թերարժեքութ յան զա նա զա ն բարդույթներ, որոնց հաղթահարումը կա պ ­ված կլինի մեծ դժվարությունների հետ:

Երջանկության կարևոր մաս է կազմում սոցիա լական հարստությունը: Ամուր ընտանիք, բարեկամություն, ընկերություն, մասնագիտություն, դիրք, պ ա շ­տոն - սրա նք բոլորը մարդուն տալիս են հա րգա նք ու պ ա տ իվ իր շրջապատի կողմից և մեծապես նպաստ ում են նրա երջանկությանը: Մ աթեմատիկական կրթությունը' իր ներամփոփվելու, երկարատև մտավոր գործունեության ա նհրա ­ժեշտության պ ա հա նջներով ավելի քիչ ժա մա նա կ է թողնում ընտանիքի, ընկե­րության, բարեկամության համար: Ա շխատա նքա յին միջավայրում կրթության մա թեմա տ իկա կա ն բաղադրիչի վրա լուրջ ուշադրություն դարձրած մարդը ոչ միայն իր պարտականությունները կարող է կատա րել խելամտորեն, այլև լինել ցանկա լի խորհրդա տ ու գործընկերոջ համար: Մաթեմատիկա յի իմացությունը, ուժեղ տ րա մա բա նա կա ն մտածողությունը ավելացնում են շրջա պ ա տ ի հա րգա ն­քը մարդու նկատմամբ, նա ա րժանանում է ավելի մեծ պատվի:

Երջանկության հոգևոր կողմի կարևոր մաս է կազմում ճշմարտա յին ա րժեքի իմացությունը: Այն մի կողմից մարդու ա ռօրեա կա ն և մա սնա գիտ ա կա ն գործունեությունը կազմակերպելու բնական անհրաժեշտություն է, իսկ մյուս կողմից կոչված է բավարարելու մարդկա յին հետ ա քրքրա սիրութ յա ն բնական պահանջը: ճշմա րտ ա յին ա րժեքների ճանաչման և փ ոխ ա նցմա ն հիմնական նա խադրյա լները առողջ միտ քն ու ճիշտ կառուցվա ծ խոսքն են' մտ քի և խոսքի կուլտուրան:

Մարդկային մտածողությունը ենթարկվում է որոշակի օրինաչափություն­ների, որոնք ուսումնասիրվում են ձևական տրամա բա նության շրջանակներում, և վերա ցա կա ն կամ տ րա մա բա նա կա ն մտածողության ձևավորումը մեծապես պ ա յմա նա վորվա ծ է գիտության ա յդ բնա գա վա ռի տարրերի ուսուցմամբ: Առանց

12

Ա Ր Ժ Ե Ք Ա Յ Ի Ն Հ Ա Մ Ա Կ Ա Ր Գ

դրա կրթությունը չի կարող իրակա նա ցնել իր հիմնական նպ ա տ ա կներից մեկը' մտածողության, առողջ մտածելու կարողության ձևավորումը: Եվ հա նրա կրթա ­կան դպրոցի մաթեմատ իկա յի նոր ծրագրերը նման հնարավորություն ստեղծում են ինչպես միջին, ա յնպես էլ ա վա գ դպրոցում: Հարկ է նշել, որ նման մոտեցում­ներ կիրառվում են նաև այլ երկրների «մաթեմատիակա» հանրա կրթա կա ն առարկա յի ուսումնական ծրագրերում: Մենք արդեն նշել ենք զուտ մա թեմա տ ի­կական կրթության դերը մտածողության, երևակայության և հոգեկան այլ երևույթ­ների ձևավորման, զա րգա ցմա ն և անգամ, կոփման խնդում: Միևնույն ժամանակ, մա թեմա տ իկա կա ն կրթությունը մարդուն տալիս է մտածողության հստակություն, ինչը օգնում է կայացնելուն ճիշտ վճիռներ, խուսափելու սխալներից:

Խ ոսքի կուլտուրայի ձևավորման համար առաջնա յին նշանակություն ունի մայրենի լեզվի իմացությունը, մայրենիի ճիշտ դրվա ծքը և իմացությունը բոլոր ուսումնական առարկաների յուրացման առաջին նա խ ա պ ա յմա նն է: Անգամ մաթեմատիկա յի տ եքստ ա յին խնդիրը չլուծելու պ ա տ ճա ռը շատ դեպ քերում մայ­րենի լեզվով տ եսքստ ի ընկալման անկարողությունն է դառնում: Նույնպիսի հա ­րաբերակցության մեջ է մայրենին նաև ֆիզիկայի, քիմիա յի և ուսումնական այլ ա ռարկաների հետ: Մ աթեմատիկական կրթությունը մեծապես նպաստ ում է մայ­րենի լեզվի իմացության խորա ցմա նը (տես [11]): Պակաս կարևոր չէ նաև մաթե­մա տ իկա կա ն լեզվի իմացությունը: Հանրակրթությւսն ուսումնական ա ռա րկա ­ների, ձևա կերպված դրույթների ճիշտ ընկալումը մեծապես կա խ վա ծ է դրանց մա թեմա տ իկա կա ն մոդելավորումից և, հետևապես, մաթեմա տ իկա կա ն լեզվի իմացությունից: Այս տ եսակետ ից մեծ նշանակություն ունի մաթեմատիկա յի մա ­տուցումը որպես իրական ա շխարհի ուսումնասիրության համար կառուցված լեզու: Հետ ևա պես' պ ետ ք է կարևորել այլ առարկաների և, հատկապես, հայոց լեզվի հետ մաթմատիկա յի միջառարկա յական կապերի ճիշտ կազմակերպումը:

Վերևում նշվեց մաթեմատիկա յի դերը հա նրա կրթա կա ն ուսումնական առարկաների և, ընդհանրապես, իրական ա շխա րհի առանձին երևույթների մո­դելավորման խնդրում: Սակայն, նշված երևույթները մոդելավորման միջոցով որ­պես մաթեմա տ իկա կա ն խնդիր ձևակերպվելուց հետո ա նհրա ժեշտ կլինի դրա նք նաև լուծել որպես մա թեմա տ իկա կա ն խնդիրներ: Իսկ դրա համար ա նհրա ժեշտ է մա թեմա տ իկա կա ն գիտ ելիքների և մեթոդների իմացություն: Ուրեմն' մա թեմա տ ի­կայի իմացությունը նաև ճշմարտա յին ա րժեքի բա ցա հա յտ մա ն կարևոր միջոց է: Մաթեմատիկա յի ուսուցման գործընթացում կիրառական խնդիրների լուծման և այլ միջոցներով ա նհրա ժեշտ է ա շակերտի մոտ ձևավորել հավատ , որ ինքը, ի դեմս մաթեմա տ իկա կա ն գիտելիքի, ստանում է ճշմարտա յին ա րժեքի բա ցա ­հա յտման կարևոր զենք: Առանց ա յդ զենքի անհնար է կատա րել լիարժեք ուսումնասիրություններ բնական և ա նգա մ ' որոշ հա սա րա կա կա ն գիտություննե­

13

Ա Ր Ժ Ե Ք Ա Յ Ի Ն Հ Ա Մ Ա Կ Ա Ր Գ

րի բնա գա վա ռներում և բացա հա յտ ել հա մա պ ա տ ա սխ ա ն ճշմարտա յին ա րժեք ­ները: Պ ետ ք է հիշեցնել Գալիլեյի խ ոսքերը ' «Բնության ոսկե գիրքը գրվա ծ է մա ­թեմատիկա յի լեզվով» (տես [4]) և ա յդ գիրքը կարդա լու համար մա թեմա տ իկա ­կան լեզվի իմացությունը պ ա րտ ա դիր է:

Գ եղա գիտ ա կա ն ա րժեքների իմացությունը մեծապես նպաստում է մարդու երջանկությանը: Գ եղա գիտ ա կա ն հիմնական ա րժեքի ' գեղեցիկի ընկալումներից մեկը կապվում է ներդաշնակության հետ. իրի, երևույթի գեղեցկությունը պա յ­մանավորվում է նրա մասերի փ ոխ ա դա րձ ներդաշնակության և ամբողջի հետ դրանց ներդաշնակության առկայությամբ: Ներդաշնակության դրսևորման լա վա ­գույն հա յտանիշներից մեկը համաչափությունն է, ինչը համակողմանիորեն ուսումնասիրվում է մաթեմատիկայում:

Մ աթեմատիկական հասկացությունների, դատողությունների ու մտ ա հա ն­գումների հստակությունը և մաքրությունը, օրինաչափությունների խորությունը, հասկացությունների միջև առկա ներքին խորը կապը համաչափության և, հե­տևապես, գեղեցիկի լավագույն դրսևորումներ են, և դրանց ընկալման համար պ ա հա նջվող հոգևոր լարման անհրաժեշտությունը լավ հող կարող են նա խ ա ­պ ա տ րա ստ ել գեղա գիտ ա կա ն արժեքների ընկալունակության զա րգա ցմա ն հա ­մար: Միաժամանակ, պատկերների ու մարմինների, դրանց ձևափոխությունների, մա սնա վորա պ ես ' համաչափության ուսումնասիրությունը, որ կա տ ա րվում է երկ­րաչափության դասընթացում (տես [14]), հնարավորություն են տալիս լա վա ­գույնս ընկալել ճա րտ ա րա պ ետ ա կա ն և գեղա գիտ ա կա ն այլ արժեքներ:

Բարոյական ա րժեքները կազմում են հոգևոր հարստության կարևոր բաղ­կացուցիչ մասը և, ուրեմն, դրանց իմացությունը երջանկության անհրա ժեշտ պա յմաններից է: Իսկ ի՞նչ բարոյական ա րժեքներ պ ետ ք է իմանալ:

Որպես քրիստ ոնյա պ ետ ք է իմանա լ քրիստ ոնեա կա ն բարոյականության հիմնական առաքինությունները ' սեր, հույս և հավատ , քրիստ ոնեա կա ն բարոյա ­կան պատվիրանները, մարդկա յին համակեցության քրիստ ոնեա կա ն մոտեցում­ները' գթասրտություն, հանդուրժողականություն: Անհրաժեշտ է իմանա լ նաև մնա ցա ծ կարևորագույն բարոյական ուսմունքների հա մա պ ա տ ա սխ ա ն մոտե­ցումները, դրանց ուժեղ կողմերը, հա վա տ ը ' մահմեդականության մեջ, հաճույք­ներից ձերբա զատվելու անհրաժեշտությունը և հոգևոր կոփման կա զմա կեր­պումը' բուդդա յականության մեջ և այլն: Իհարկե, մաթեմա տ իկա կա ն կրթությունը այս ա րժեքների իմացության բնա գա վա ռում որևէ գիտ ելիք տալու խնդիր չունի: Սակայն նշված ա րժեքների ձևավորման և զա րգա ցմա ն հարցում կա րող է շատ բան տալ:

Երջանկությունը մեծապես կա պ վա ծ է բարոյական այլ արժեքների հետ: Օրինակ, կյանքի որոշակի իմաստի առկայությունը երջանկության պ ա յմա ննե­

14

Ա Ր Ժ Ե Ք Ա Յ Ի Ն Հ Ա Մ Ա Կ Ա Ր Գ

րից մեկն է, իսկ երջանկության ձգտումը կյանքին տալիս է որոշակի իմաստ: Իմաստազուրկ գոյությունը մեծագույն դժբախտություն է մարդու համար և, հակառակը, մարդը երջանիկ է զգում իրեն, երբ նրա կյանքը դառնում է խորապ ես գիտ ա կցվա ծ ' ստանում է որոշակի իմաստ: Հետևապես, կյանքի իմաստի ա ռկա ­յությունը, բարոյական ա յդ ա րժեքի իմացությունը պ ետ ք է համարել երջանկու­թյան համար ա նհրա ժետ պա յմաններից մեկը: Իսկ ո՞րն է կյանքի իմաստը: Առաջին հերթին այն կա պ վա ծ է կյանքն իմանալու, գիտակցելու, մարդկային մտածողության միջոցով այն լուսավորելու, իմաստավորելու հետ: Ապա նաև' կյանքի իմաստը կա պ վա ծ է մարդու համար կյանքը արժեվորելու, նշանակա լից դարձնելու, նպ ա տ ա կներ դնելու և իրականացնելու հետ: Եվ մաթեմատ իկական կրթությունը նպաստում է թվա րկվա ծ բոլոր գործընթացների իրականացմանը:

Մաթեմատիկական կրթությունը կարող է մասնակցել նաև բարու, հա րգա ն­քի, արդարության, առաքինությունների և բարոյական այլ ա րժեքների ձևավոր­ման ու զա րգա ցմա ն գործընթացին:

Ֆիզիկական առողջությունը և մաթեմատիկական կրթությունը

Երևի որևէ մեկի մոտ կասկա ծ չի հարուցում երջանկության համար ֆիզի­կական առողջություն ունենալու անհրաժեշտությունը, հիվա նդ մարդը չի կարող լիարժեք երջանիկ լինել: Հանրակրթությւսն մեջ ֆիզիկական առողջության ձևավորմանն է ուղղված ֆիզիկական կուլտուրան: Աակայն ֆիզիկական ա ռող­ջությունը նաև առողջ ապրելակերպն է, և հա մա պ ա տ ա սխ ա ն մշակույթի ձևա­վորմանը կարող են նպաստ ել նաև ուսումնական այլ առարկաներ: Մաթեմատի­կայի ուսուցումը առողջ ապրելակերպին կարող է նպաստ ել դրա ընկալման կա- րողականության բարձրացման խնդրում: Իսկ բուն մա թեմա տ իկա կա ն գործու­նեությունը' իր ներամփոփվելու, երկար նստելու պահանջներով, ոչ միայն չի նպաստում ֆիզիկական առողջությանը, այլև կարող է զա նա զա ն հիվանդություն­ների պ ա տ ճա ռ դառնալ:

Նյութական հարստությունը և մաթեմատիկական կրթությունը

Նյութական հարստությունը մարդուն հնարավորություն է տալիս ձեռք բերել երջանկության համար ա նհրա ժեշտ նյութական, տ նտ եսա կա ն բարիքներ '

15

Ա Ր Ժ Ե Ք Ա Յ Ի Ն Հ Ա Մ Ա Կ Ա Ր Գ

տուն, ավտոմեքենա , կատա րել ճանապարհորդություններ, ստ ա նա լ լավագույն կրթություն և այլն: Ինպես տեսնում ենք, կրթությունը արդեն երջանկության մաս է կազմում: Ինչ վերաբերում է մա թեմա տ իկա կա ն կրթությանը, ա պ ա այն հնա րա վո­րություն է տալիս ընտրել լավագույն, նաև' լավ վճա րվող մասնագիտություններ, ստանա լ բարձր ա շխ ա տ ա վա րձ:

Մեզ թվում է, թե մա թեմա տ իկա կա ն կրթություն ստ ա ցա ծ մարդը կա րող է հեշտությամբ խորա նա լ տ նտ եսա կա ն հարցերի մեջ, լինել հուսալի տ նտ եսա կա ն գործընկեր, նաև' խոհեմ նյութական միջոցները ծախսելու և տնտեսելու հար­ցերում: Միաժամանակ, մաթեմատ իկա յով շատ տարվելու դեպ քում հնարավոր է նյութական ա րժեքների որոշ անտեսում, ինչը կարող է հանգեցնել նյութապես ոչ ա պ ա հով կյանքի:

Սերը և մաթեմատիկական կրթությունը

Պ ետք է զա նա զա նել սիրո երկու տ եսակ ' սերը որպես զգա ցմո ւնք և սերը որպես հոգևոր և մարմնական գործունեություն: Աիրո զգա ցմունքին մոտ են կամ նախորդում են համակրա նքը, դուր գալը: Ատելությունը սիրո հակառակ զ գա ց ­մունքն է, հա մա կրա նքի հակառակ զգա ցմունքը հա կա կրա նքն է, իսկ դուր գալու հա կա ռա կը ' դուր չգալը: Աիրո և հա մա կրա նքի ա ռարկան կարող է լինել գեղա ­գիտ ական, ճշմարտա յին, բարոյական կամ կրոնական որևէ արժեք, արվեստի գործը ' երգը, քա նդա կը, բնանկարը կամ բանաստեղծությունը, բնության երևույ­թը' մայր մտնող արևը, աղբյուրի քչքչոցը կամ թռչունի ծլվլոցը, որևէ գիտության օրինաչափությունը, փաստը, երևույթը, նրա հասկացությունների միջև ա նսպ ա ­սելի ու խորը կապը և դրա ապացուցումը, մարդը, նրա բարոյական վարքի առանձին դրսևորումը, կրոնական այս կամ այն ա րժեքը և, վերջապես, Աստված' սիրո զգա ցմունքի դրսևորման բարձրագույն առարկան:

Հա վա նա բա ր սիրո (համակրանքի, դուր գալու) զգացմունի հիմքը այն ներդաշնակությունն է, որ գոյություն ունի սիրո սուբյեկտի ներաշխա րհի և ա ռա ր­կայի միջև: Տվյալ երգը կարող է դուր գա լ մեկին, իսկ մյուսին դուր չգալ, աղջիկը կա րող է դուր գա լ տ ղաներից մեկին, իսկ մյուսին դուր չգալ, ուսումնական առա րկա ներից մեկը սիրում է ա շակերտների մի մասը, իսկ մյուսները սիրում են այլ աշակերտներ: Նույնն է մասնագիտությունների, բնության տեսարանների և երևույթների և այլ ա րժեքների հետ մա րդկանց փոխհարաբերություններում: Եվ պ ա տ ճա ռը տարբեր մա րդկանց հոգևոր ներա շխարհների միջև եղա ծ տ ա ր­բերությունն է. ա ժեքներից մեկը ներդաշնակ է ինչ-որ մեկի հոգևոր ներաշխա րհի հետ, իսկ մյուսի հոգևոր ներա շխա րհի հետ ներդաշնակ չէ: Առաջինը համակրում է կամ սիրում ա յդ արժեքը, իսկ մյուսը' չի համակրում կամ չի սիրում այն: Հա վա նա բա ր ա յդ է պատճառը, որ հա մա կրա նքի կամ դուր գալու առարկա յի

16

Ա Ր Ժ Ե Ք Ա Յ Ի Ն Հ Ա Մ Ա Կ Ա Ր Գ

հետ մարդը կամ սուբյեկտը հաճույքով է հարաբերվում, նման հարաբերությունը մարդուն բավականություն, հաճույք է պատճառում: Եվ երբ մա րդ նորից է ուզում հանդիպել ա յդ առարկային, ա պ ա նա արդեն սիրում է այն: Հա նրա հա յտ մաթե­մատիկոս Պ. Ս. Ա լեքսանդրովը գտնում էր, որ մարդը սիրում է ինչ-որ երգ, եթե նա մի ա նգա մ լսելուց հետո' նորից է ուզում լսել այն:

Այսպիսով, սիրո զգա ցմունքը «պահանջում» է նաև հանդիպում սիրո առարկա յի հետ: Այն կարող է դրսևորվել լսելու միջոցով' երգի, երաժշտության պարագա յում, տեսնելու միջոցով' կերպարվեստի ստեղծագործութ յան պ ա րա ­գայում, ձեռքը սեղմելու, գրկելու, համբյուրելու կամ այլ ձևերով' մարդու պ ա րա ­գայում: Ահա սիրո դրսևորման, հա նդիպ մա ն ա յդ երևույթը, գործողությունը' նաև տարբեր սեռի մարդկաց միջև նույնպես անվանվում է սեր: Ընդ որում, վերջին դեպ քում սերը ունի նաև կենսա բանական կարևորագույն խթան, այն կոչված է պահպ անելու մարդկա յին տեսակը:

Ընդունված է, որ սերը պ ա հպ անում և բա զմա պ ա տ կում է կյանքը, այն դարձնում է ներդաշնակ: Այդպիսին է ամուսնուն, ծնողներին, երեխաներին, հա ­րազատներին, ընկերներին, գոծընկրներին ողղվա ծ և նրանց կողմից իրեն վերա ­դա րձվա ծ սերը: Սակայն սիրո ամեն մի դրսևորում չէ, որ ներդաշնակ է դարձնում մարդու կյանքը: Վերևում նշվեց, որ սիրո զգա ցմունքը «պահանջում» է նաև հանդիպում սիրո առարկա յի հետ, և սիրո բերած ներդաշնակությունը պ ա յմա նա ­վորվա ծ է նաև ա յդ ա ռարկա յից ' երբ ա յդ ա ռարկան նույնպես օ ժտ վա ծ է սիրելու նույնպիսի ունակությամբ: Եթե այս դեպ քում սուբյեկտի սիրո զգա ցմունքին սիրո ա ռա րկա ն պ ա տ ա սխ ա նում է նույնպեսի զգացմունքով, ա պ ա սերը իսկապես երջանիկ է դարձնում մարդուն: Իսկ եթե չկա ա յդ պ ա տ ա սխ ա ն զգացմունքը, պ ա տ ա սխ ա ն վերաբերմունքը, ա պ ա նման սերը չի կարող երջանկություն բերել մարդուն: Ընդհակառակը, մարդը տ ա ռա պ ում է, իրեն զգում է ապերջանիկ: Այլ է պատկերը, երբ սիրո ա ռա րկա է դառնում ոչ մարդկա յին առարկան: Դրա համար ա յդ ա ռարկան պ ետ ք է ունենա գեղա գիտ ա կա ն որոշակի ա րժեք և ներդա շնա ­կությունը ա յստեղ ա յդ ա րժեքը գտնելու, հասկանալու, դրա նով ապրելու մեջ է: Եվ ա յդ դեպ քում հոգուն բերկրա նք բերող ներդաշնակությունը ա նպ ա մա ն ստեղծվում է, և սիրող մարդը երջանիկ է:

Հասկա նա լի է, որ մա թեմա տ իկա կա ն կրթությունը քիչ առնչություն ունի սիրո' որպես գործունեության տեսակի հետ, չնա յած երկարատև մտավոր գոր­ծունեությունը, որ հատուկ է մա թեմա տ իկա կա ն կրթությանը, ամենա յն հա վա ­նականությամբ բա ցա սա բա ր է անդրա դա ռնում գործունեության նշված տեսակի վրա:

Այսպիսով, մենք պ ետ ք է դիտ ա րկենք սիրո զգա ցմունքի հետ մա թեմա տ ի­կական կրթության ունենցած առնչությունը: Եվ բնականաբար, զգա ցմունքի ա ռա րկա ն այս դեպ քում ոչ թե մարդն է, այլ շրջապ ատ ի առարկաները, մա սնա ­գիտ ա կա ն գործունեությունը, մա թեմա տ իկա ն ' ինքը և այլն: Առաջին հերթին մենք

17

Ա Ր Ժ Ե Ք Ա Յ Ի Ն Հ Ա Մ Ա Կ Ա Ր Գ

պ ետ ք է հասկա նա նք, որ մեզանից շատերի սերը վա յելող և ա ռօրեա կա ն դար­ձա ծ համակարգիչը, ավտոմեքենա ն, ինքնաթիռը և ժա մա նա կա կից տեխնիկա յի այլ նվաճումներ իրենց հիմքում ունեն մա թեմա տ իկա գիտությունը, և ա յդ պ ա տ ­ճա ռով մա թեմա տ իկա կա ն կրթությունը անուղակիորեն նպաստ ում է սիրո նշված տեսակների ձևավորման մեջ:

Մաթեմատիկական կրթությունը նպաստում է, հնարավորություն է տալիս մա սնա գիտ ա կա ն լիարժեք գործունեություն ծավալել, խորա նա լ ժա մա նա կա կից շա տ մասնագիտությունների մեջ և սիրել ա յդ մասնագիտություններն ու մա ս­նա գիտ ա կա ն գործունեությունը: Եվ ա յստեղ սերը ա նպա յմա ն փ ոխ ա դա րձ է ...

Որպես բնության հիմքում ընկած կառույց, մա թեմատ իկան իր մեջ բովան­դակում է ա յնպիսի ներդաշնակություններ, որոնք համահունչ են բնության մեջ եղած առարկաների և երևույթների մեջ առկա ներդաշնակություններին: Ձևական տ եսակետ ից մա թեմա տ իկա կա ն ա յդ ներդաշնակությունները չունեն բնության ա ռարկաներին և երևույթներին հատուկ, գունային, ձայնային կամ այլ դրսևո­րումներ: Հետ ևա պես' ա յստեղ հնարավոր չէ խոսել ա յդ դրսևորումներին հատուկ գեղա գիտ ա կա ն ա րժեքի ու դրան ուղղված սիրո զգա ցմունքի մասին: Սակայն մա թեմա տ իկա կա ն ներդաշնակությունը ա րտ ա հա յտ ում է իրերի և երևույթների ներքին կապը և գեղա գիտ ա կա ն մեծ հնչեղություն ունի: Սա թեմատիկան ուսում­նասիրում է ներդաշնակության հիմքը կա զմող համաչափությունը, նրա ա մենա ­տարբեր տեսակներ և հնարավորություն է տալիս թափանցելու և տեսնելու գեղե­ցիկի ա մենա բա զմա զա ն դրսևորումներ: Ավելին, մաթեմատիկան, ի դեմս նրա բաժիններից մեկի' խմբերի տեսության, կարողանում է նկարագրել ու գնա հա տ ել առարկա յի ու երևույթի համաչափությունների, ա յսնքն ' ներդաշնակությունների ողջ կառույցը:

Միայն պ ետ ք է նկատել, որ մա թեմա տ իկա կա ն կառույցում ա մփ ոփ վա ծ գե­ղեցիկը' չունենալով գունային, ձայնային և ա րտ ա քին այլ դրսևորումներ, ա նմի­ջապես աչքի չի ընկնում, այն թա քնվա ծ է առարկա յի և երևույթի խորքում և հա յտնաբերման իմացություն և ջիգ է պահանջում: Եվ հա յտնաբերման ա յդ ջիգի բերած հոգու բերկրա նքը ավելի սիրելի է դարձնում մա թեմա տ իկա կա ն գեղեց­կությունը:

Ստեղծագործությունը և մաթեմատիկական կրթությունը

Ասվեց, որ երջանկության շա ղա խ ներից մեկը ստեղծագործությունն է' երբ մա սնա գիտ ա կա ն գործունեությունը վերածվում է ոչ թե պարտականությունների սոսկական կատարման, այլ ստեղծագործության:

18

Ա Ր Ժ Ե Ք Ա Յ Ի Ն Հ Ա Մ Ա Կ Ա Ր Գ

Ստեղծագործությունը ոչ միայն երաժշտության, բա նաստեղծության կամ կտավի ստեղծումն է: Դասը, որի ընթացքում նոր նյութը բացատրելիս ուսուցչի կողմից տվյա լ պահին համահունչ մեթոդական հնարքներ են մեջտեղ հանվում, ինչը հասկանա լի ու հ ետ ա քրքիր է դարձնում հա ղորդվող նյութը' ստ եղծա գոր­ծություն է, երբ դասը վեր է ածվում ա շխ ա տ ա նքա յին , ստ եղծա գործա կա ն մթնո­լորտի, որտ եղ յուրաքանչյուր ա շակերտ իրեն երջանիկ է զգում' ստ եղծա գոր­ծություն է, երբ ուսուցիչը սիրով ու բարությամբ նայում է դասը պ ա տ ա սխ ա նող աշակերտին, երբ յուրաքանչյուր ա շակերտի համար սիրո ու բարության ա նհրա ժեշտ չա փ ա բա ժին է կարողանում մեջտեղ հանել' նույնպես ստ եղծա գոր­ծություն է: Երբ յուրաքանչյուր ա շա կերտ ի աչքերից ճառա գում են նրա հոգու մաքրությունն ու ա նաղարտությունը ' պ ա տ րա ստ հոգևոր արժեքների հետ հա ­ղորդա կցման ու դրանց ընկալումից ա ռա ջա ցա ծ բերկրանքի, ա ստվա ծա յին մի ստեղծագործություն է, շատ ավելի բարձր, քա ն մարդկա յին ամենա մեծ ստեղ­ծագործությունն է, երբ ուսուցչը կարողանում է իր հոգուց հանել համահունչ անդրադարձներ, նրա հուգու մեջ ցանել ճշմարիտ արժեքներ և ա յնտեղ տեսնել դրանցից ծնվա ծ բերկրանքը, մեծագույն ստեղծագործություն է: Իսկ մաթեմա ­տիկայի դասը նման ստեղծագործություն դառնա լու ավելի մեծ ա նհրա ժեշ­տություն ունի և ավելի մեծ հնարավորություն:

Հասկա նա լի է, որ բոլոր այն մասնագիտություններում, որտ եղ մա թեմա տ ի­կան ունի հիմնարար կիրառություններ, ստ եղծա գործա կա ն ա շխ ա տ ա նքը մեծա ­պես պ ա յմա նա վորվա ծ է նաև մաթեմատիկա յի իմացությամբ:

Արդեն նշվեց մա թեմա տ իկա կա ն կրթության դերը մտածողության, երևա­կայության, հիշողության, ուշադրության և հոգեկան այլ գործընթացների զա ր­գա ցմա ն խնդրում: Իսկ ա յդ գործընթացներից է կա խ վա ծ մարդկային յուրա­քանչյուր ստեղծագործութ յան արարումը: Հետևապես' այս կերպ մա թեմա տ ի­կական կրթությունը անուղակիորեն մասնակցում է մարդկանց ստ եղծա գործա ­կան գործունեությանը:

Մաթեմատիկական կրթությունը նպաստ ում է սովորողների ստ եղծա գոր­ծա կա ն ունակությունների ձևավորման ու զա րգա ցմա ն գործընթացին: Ատեղծա- գործա կա ն պա հը կարող է մասնակցել մաթեմատիկա յի ուսուցման գործընթացի, դա սա պ րոցեսի ցա նկա ցա ծ փուլում: Տեսական նյութի ուսումնասիրության պ ա ­րագա յում ա յդ մասնակցությունը կարող է դրսևորվել հասկացությունների կամ հատկությունների ձևակերպումների կամ վերջիններիս ապացուցումների ինք­նուրույն կա տ ա րմա ն միջոցով: Մ աթեմատիկական գործունեության և ուսուցման առանձնահատկութ յուններից մեկը կա պ վա ծ է նրա խնդիրների ու վարժություն­ների համա կա րգի առկայության հետ, իսկ դրանց լուծումն արդեն շատ դեպ ­քերում պահանջում է ստ եղծա գործա կա ն մոտեցում: Նշված հարցերի վերա ­բերյալ կա տ ա րվա ծ են բա զմա թիվ ուսումնասիրություններ և մեթոդական դի­

19

Ա Ր Ժ Ե Ք Ա Յ Ի Ն Հ Ա Մ Ա Կ Ա Ր Գ

տարկումներ: Փ որձառու ուսուցիչը, ա նհրաժեշտության դեպքում, ինքը կգտնի ուսուցումը ստեղծագործություն դարձնելու համար ա նհրա ժեշտ մոտեցումը:

Վերջապես նշենք, որ ստեղծագործությունը ապ ահովում է կյանքի ա ռա ջ­ընթացը, և պ ա տ մա կա նորեն ա յդ առաջընթացի մեջ մեծագույն դերերից մեկը, եթե ոչ' մեծագույնը, պ ա տ կա նում է մաթեմատիկա յին և մա թեմա տ իկա կա ն կրթու­թյանը:

Գրականո ւթ յ ո ւ ն

1. А. А. Гусейнов, Р. Г. Апресян, Этика, М., 2007.2. Аристотель, Сочинения, т. 4 (Никомахова этика.), М. 1983.3. А. Шопенгауер, Афоризмы житейской мудрости, М., 1990.4. В. М. Тихомиров, “Математика в школе”, N4, 2007.5. В. С. Соловев, Оправлание добра, М., 1897.6. Дж. С. Милль Утилитарианизм, М., 1882.7. Л. Е. Балашов, Этика, М., 2008.8. Я. Корчук, Как любить ребенка. М. 1990.9. Н. М. Амосов, Мысли и сердце, М., 196410. Մ. Ա. Դանիելյան, Վ. Հ. Միքայելյան, Հ. Ս. Միքայելյան, Հոգեկան երևույթները

մաթեմատիկա յի դա սա վա նդմա ն գործընթացում, 1. Ուշադրություն, Մ աթեմատիկան դպրոցում, N5-6, 2000:

11. Հ. Ս. Միքայելյան, Հա յոց լեզվի հետ մաթեմատիկա յի միջառարկա յական կապերի մասին, Մ աթեմատիկան դպրոցում, , N2, 2005:

12. Հ . Ս. Միքայելյան, Մ ա թեմատիկական կրթությունը և սովորողների հոգեկան կոփումը, Մանկավարժություն, N1, 2010:

13. Ա. Մվագյան, Հիշողության երևույթը մաթեմատիկա յի ուսուցման գործընթացում, Մաթեմատիկան դպրոցում, N5-6, 2009:

14. Ս. է. Հակոբյան, Երկրաչւսփություն-10, Հա նրա կրթա կա ն դպրոցի դա սա գիրք, 2009:

20

Գ Ի Տ Ա Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

Գ ի տ ա մ ե թ ո դ ա կ ա ն

Տ ՐԱ Մ Ա ԲԱ Ն Ա Կ Ա Ն Գ Ի Տ Ե ԼԻ Ք Ն Ե Ր Ն ՈՒ ԿԱ ՐՈՂ ՈՒԹ Յ ՈՒՆ Ն ԵՐԸ Տ Ա Ր Ր Ա Կ Ա Ն Դ Պ ՐՈՑ Ի

ՄԱԹ ԵՄԱՏԻԿԱՅ Ի ՉԱ Փ ՈՐՈՇ ՉՈՒՄ ԵՎ Ծ ՐԱ Գ ՐՈ Ւ Մ

Արաքսյա Մկրտչյան ԵՊՄՀ դա սա խոս

Հարցադրումը

2,աերակրթությաե բնագավառում մաթեմատիկան առանցքային նշանակություն ունեցող առարկա է, այն ընդգրկված է բոլոր դասա­րանների առարկայացանկում: Դա պայմանավորված է հատկապես այն գործոնով, որ սովորողների տրամաբանական մտածողության զարգաց­ման գործում մաթեմատիկան րնձեռում է բացառիկ հնարավորություն­ներ: Ուսուցման գործրնթացում սովորողների մտավոր կարողություն­ների զարգացման հարցերր միշտ էլ կարևորվել են, սակայն ժամանա­կակից կրթական հայեցակարգերում այդ հարցերի նկատմամբ շեշտա- դրումներր փոխվել են: Ավանդական մոտեցմամբ րնդունվում էր, որ մաթեմատիկայի ուսուցումն ինքնաբերաբար կնպաստի սովորողների մտածողության հմտությունների զարզացմանր: Դրանից ելնելով էլ' առարկայական ծրագրերում տրամաբանությանր վերաբերող թեմաներ րստ էության չէին րնդզրկվում: Մինչդեռ ներկայումս մոտեցումր այլ է. պարզվում է, որ տրամաբանական մտածողության զարգացումր պահան­ջում է նպատակային և հետևողական աշխատանք, այն ենթադրում է նաև որոշակի զիտելիբեերի համակարգ, որր որպես բովաևդակային գիծ

21

Գ Ի Տ Ա Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

պ ե տ ք է շա ր ո ւն ա կ ո ւթ յո ւն ո ւն ե ն ա կ ր թ ա կ ա ն բո լոր ա ս տ ի ճ ա ն ն ե ր ո ւ մ ' ս կ ս ա ծ տ ա ր ր ա կ ա ն դ պ ր ո ց ի ց ' մինչև ա վ ա զ դ պ ր ո ց ի ա վ ա ր տ ր :

^ ա ն րա կր թ ո ւթ յս ւն պ ե տ ա կ ա ն կ ր թ ա կ ս ւր գ ո ւմ ո ր ո շա կ իա ց վ ս ւծ են ա յն հ ա ջ ո ր դ ա կ ա ն բա յլերր , ո ր ո ն ց ո վ կ ա զ մ ա վ ո ր վ ո ւ մ է կ ր թ ո ւթ յա ն բովսւն- դա կ ո ւթ յո ւն ր : Մ ա ն կ ա վ ա ր ժ ո ւթ յա ն ե ր կ ո ւ հ ի մ ն ա ր ա ր հ ա ր ց ե ր ի ց մ ե կ ր '

оի եչ ս ռ վ ռ ր ե ց ն ե յը , ս տ ա ն ո ւ մ է լո ւծ մա ն հ ե տ ն յա լ ո ւղին.

ա ) ^ ա ն ր ս ւկ ր թ ո ւթ յա ն պ ե տ ա կ ա ն չա փ ո ր ո շ չ ո վ ս ա հ մ ա ն վ ո ւմ են ս ո ­վ ո ր ո ղ ն ե ր ի ն ն ե ր կ ա յա ց վ ո ղ ր ն դ հ ա ն ր ա կ ա ն ո ր ա կ ա կ ա ն պ ա հ ա ն ջ ն ե ր ր ' ր ս տ ո ւ ս ո ւ մ ն ա կ ա ն բ ն ա գ ա վ ա ռ ն ե ր ի , բ ո վ ա ն դ ա կ ա յի ն բ ա ղ ա դ ր ի չ ն ե ր ի և դ պ ր ո ց ի ա ս տ ի ճ ա ն ն ե ր ի ,

բ) Պ ե տ ա կ ա ն չա փ ո ր ո շ չ ո վ ն ե ր կ ա յա ց վ ա ծ պ ա հ ա ն ջ ն ե ր ր որոշսւ- կ ի ա ց վ ո ւմ և ա մ ր ա գ ր վ ո ւմ են հ ա ն ր ա կ ր թ ա կ ա ն ա ռ ա ր կ ա ն ե ր ի չսւփ որոշիչ- ն երո ւմ , ո ր տ ե ղ ն շ վ ո ւմ է նա և ս ո վ ո ր ո ղ ն ե ր ի պ ա տ ր ա ս տ վ ա ծ ո ւ թ յա ն պ ա ր ­տ ա դ ի ր ն վ ա զ ա գ ո ւ յն մ ա կ ա ր դ ա կ ր ,

զ) Ա ռ ա ր կ ա յա կ ա ն չա փ ո ր ո շ ի չ ն ե ր ի հ ի մ ա ն վ ր ա մ շա կ վ ո ւ մ են ո ւս ո ւմ ­ն ա կ ա ն ա ռ ա ր կ ա ն ե ր ի ծ րա զր ե ր ր , ո ր ո ն ք հ ի մ ք են ծ ա ռ ա յո ւմ դ ա ս ա գ ր ք ե ր ի , ձ ե ռ ն ա ր կ ն ե ր ի և ո ւ ս ո ւ մ ն ա կ ա ն ա յլ ն յո ւթ ե ր ի ս տ ե ղ ծ մ ա ն հ ա մ ա ր :

Ա յսպ ի սո վ , ի ն չպ ե ս ո ւ ս ո ւ մ ն ա կ ա ն ա ռ ա ր կ ա ն ե ր ի ց յո ւրա քա նչ յո ւր ի , ա յն պ ե ս էլ մ ա թ ե մ ա տ ի կ ա յի ո ւս ո ւց մ ա ն բ ո վ ա ն դ ա կ ո ւթ յո ւն ր կ ա ր գ ա վ ո ր ­վ ո ւմ է ե ր ե ք հ ի մ ն ա կ ա ն փ ա ս տ ա թ ղ թ ե ր ո վ , դ ր ա ն ք ե ն ' պ ե տ ա կ ա ն չա փ ո - րոշիչր , ա ռ ա ր կ ա յա կ ա ն չա փ ո ր ո շ ի չ ր և ա ռ ա ր կ ա յա կ ա ն ծ ր սպ ի ր ր : Դ ր ա ն ց կ ա պ ա կ ց ո ւթ յա մ բ բ ա ր ձ ր ա ն ո ւմ են կ ա ր և ո ր հ ա ր ց ե ր ' մ ի մ յա ն ց հ ա մ ա պ ա -

ռտ ա ս խ ա ն ո ւ մ են ա ր դ յո ք դ ր ա ն ց ո վ ս ո վ ո ր ո ղ ն ե ր ի ն ն ե ր կ ա յա ց վ ո ղ ո ր ա կ ա ­կ ա ն պ ա հ ա ն ջ ն ե ր ր , պ ե տ ա կ ա ն չա փ ո ր ո շ չ ո վ ն ե ր կ ա յա ց վ ա ծ պ ա հ ա ն ջ ն ե ր ն

ռի ն չպ ե ս են ո ր ո շա կ ի ա ց վ ե լ ա ռ ա ր կ ա յա կ ա ն չա փ ո ր ո շ չ ո ւմ և, վ ե ր ջա պ ե ս , ա ռ ա ր կ ա յա կ ա ն չա փ ո ր ո շ չ ո ւմ ա մ ր ա գ ր վ ա ծ պ ա հ ա ն ջ ն ե ր ն ա ր դ յո ք փ ա ր -

ռժ ե ք ա ր տ ա ց ո լվ ե լ են ա ռ ա ր կ ա յա կ ա ն ծ րա գր ո ւմ : Ս տ ո ր և ք ն ն ո ւթ յա ն կ ա ռ ­ն ե ն ք ա յդ հ ա ր ց ե ր ր ' կ ե ն տ ր ո ն ա ն ա լո վ ս ո վ ո ր ո ղ ն ե ր ի հ ա տ կ ա պ ե ս տ ր ա մ ա ­բ ա ն ա կ ա ն մ տ ա ծ ո ղ ո ւթ յա ն զ ա ր գ ա ց մ ա ն ն ա ն մ ի ջ ա կ ա ն ո ր ե ն ա ռ ն չվ ո ղ ա յն գ ի տ ե լի ք ն ե ր ի ո ւ կ ա ր ո ղ ո ւթ յո ւն ն ե ր ի ն ե ր կ ա յա ց մ ա ն վ րա , ո ր ո ն ք ն ա խ ո ր դ տ ա ս ն ա մ յա կ ն ե ր ի կ ր թ ա կ ա ն ծ ր ա գ ր ե ր ո ւմ հ ա տ ո ւ կ շ ե շտ ա դ ր ո ւմ չեն ո ւն ե ­ցել, ի ս կ ն ե ր կ ա յո ւմ ս ա ռ ա վ ե լ բ ա ց ա հ ա յտ են ձ և ա կե ր պ վ ա ծ : Ը նդ ո ր ո ւմ '

22

Գ Ի Տ Ա Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

վ ե ր ո հ ի շ յա լ փ ա ս տ ա թ ղ թ ե ր ո ւ մ տ ր ա մ ա բ ա ե ո ւթ յա ե ր վ ե ր ա բ ե ր ո ղ գ ի տ ե լի ք ­ն ե ր ի ո ւ կ ա ր ո ղ ո ւթ յո ւն ն ե ր ի ը ն դ գ ր կ մ ա ն հ ա մ ե մ ա տ ա կ ա ն վեր լո ւծ ո ւթ յո ւն կ կ ա տ ա ր ե ն ք ' ս կ ս ե լո վ տ ա ր ր ա կ ա ն դպ րոց ի ց , ո ր ո ւմ դ ր վ ո ւմ են ս ո վ ո ր ո ղ ­ն ե ր ի պ ա տ ր ա ս տ վսւծութ յսւն հ իմ բե ր ր :

1.Պետական չափորոշչով ներկայացված պահանջները

^ ա ն ր ս ւկ ր թ ո ւթ յա ն պ ե տ ա կ ա ն չա փ ո ր ո շ չ ո ւմ ո ւ ս ո ւ մ ն ա կ ա ն բ ն ա գ ա ­վ ա ռ ն ե ր ի ց ]ո ւրա բս ւնչ յո ւրր , ա յդ թ վ ո ւ մ և մ ա թ ե մ ա տ ի կ ա ն ն ե ր կ ա յա ց վ ո ւմ է կ ր թ ո ւթ յա ն բ ո վ ա ն դ ա կ ո ւթ յա ն հ ե տ ն յա լ ե ր ե ք բ ա ղ ա դ ր ի չ ն ե ր ի մ ի ջ ո ց ո վ ' գ ի տ ե լի ք ն ե ր ի հ ա մ ա կ ա ր գ , կ ա ր ո ղ ո ւթ յո ւն ն ե ր և հ մտ ո ւթ յո ւն ն ե ր , ա ր ժ ե բ ա - յի ն հ ա մ ա կ ա ր գ : Ո ւ ս ո ւմ ն ա կ ա ն ա յս բ ն ա գ ա վ ա ռ ի հ ա մ ա ր ո ր պ ե ս հ ի մ ն ա ­կ ա ն ն պ ա տ ա կ ն շվ ո ւմ է ' խթանել սովորողի մտավոր ուևակություևևերի զարգացումը, բարձրակարգ մտածողության ձևավորումը, սովոբեցնեչ հստակ ձևակերպել մտքերը, կատարեչ գրագետ դատողություններ ե արագ կողմևռրռշվեչ տարբեր իրավիճակներում՛ Ա յս ն պ ա տ ա կ ի ի ր ա կ ա ­ն ա ց ո ւմ ն ի ն ք ն ի ն ե ն թ ա դ ր ո ւ մ է, որ, ա յս պ ե ս ա ս ա ծ , զ ո ւտ մ ա թ ե մ ա տ ի կ ա ­կ ա ն գ ի տ ե լի ք ն ե ր ի և կ ա ր ո ղ ո ւթ յո ւն ն ե ր ի հ ե տ մ ե կ տ ե ղ ա ն հ ր ա ժ ե շ տ են նա և տ ր ա մ ա բ ա ն ա կ ա ն բ նո ւյթ ի գ ի տ ե լի ք ն ե ր ո ւ կա ր ո ղ ո ւթ յո ւն ն ե ր : Չ ա փ ո ր ո շ - չո ւմ տ ա ր ր ա կ ա ն դ պ ր ո ց ի ն ն վ ի ր վ ա ծ բ ա ժ ն ո ւմ թ վ ա բ ա ն ո ւթ յա ն հ ի մ ո ւ ն ք ­ն ե ր ի և ե ր կ ր ա չա փ ո ւթ յա ն ո ւ հ ա ն ր ա հ ա շ վ ի տ ա ր ր ե ր ի կ ո ղ ք ի ն ձ և ա կ ե ր պ ­վ ա ծ են նա և պ ա հա ն ջ ն ե ր , ո ր ո ն ք ո ւղ ղ ա կ ի ո ր ե ն ա ռ ն չվ ո ւմ են տ ր ա մ ա բ ա - ն ո ւթ յա ն ր վ ե ր ա բ ե ր ո ղ գ ի տ ե լի ք ն ե ր ի ն ո ւ կ ա ր ո ղ ո ւթ յո ւն ն ե ր ի ն : Թ վ ա ր կ ե ն ք ա յդ պ ա հա ն ջ ն ե ր ր :

1) Տարրակաե դպրոցն ավարտողը պետք է ծանոթ լիեի տրամաբանության տարրական հասկացություններին;

2) Տարրական դպրոցն ավարտողը պետք է կարողանա'ա) հասկանալ «և», «կամ», «եթե, ապա» շաղկապների տրամաբանական

իմաստը և դատողություններ կատարել դրանց միջոցով, բ) կատարել տարրական տրամաբանական եզրահանգումներ, գ) տրված տվյալների միջև հարաբերություններ ստեղծել և համեմատու­

թյունների միջոցով եզրահանգումներ անել, դ) մի քանի տվյալներով հարցադրումներ ձևակերպել,

23

Գ Ի Տ Ա Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

ե) եկատել պարզ օրինաչափություններ և շարունակել դրանք, զ) խնդիրներ լուծելիս օգտվել րնկերների և ուսուցիչների դատողություն­

ներից:

Թ վա ր կ վ ա ծ ա յս պ ա հ ա ն ջ ն ե ր ը կ ո ն կ ր ե տ ա ց մ ա ն , ո ր ո շ ա կ ի ա ց մ ա ն և ա ռ ա վ ե լ հսւևգամսւևալի ն ե ր կա յա ց մա ն կ ա ր ի ք ունեն, ինչն ա ր վ ա ծ է ա ռ ա ր ­կ ա յա կ ա ն չա փ որոշչո ւմ :

2. Առարկայական չափորոշչով ներկայացված պահանջներր

Ա ռ ա ր կ ա յա կ ա ն չա փ ո ր ո շ չ ո ւմ պ ե տ ա կ ա ն չա փ ո ր ո շ չ ի պ ա հ ա ն ջ ն ե ր ր ո ր ո շա կ ի ա ց վ ո ւմ են ե ր կ ո ւ տ ե ս ա ն կ յո ւն ի ց ' ա ռ ա ր կ ա յի բ ո վ ա ն դ ա կ ա յի ն մ ի ­ջ ո ւկ ո վ և ս ո վ ո ր ո ղ ն ե ր ի ն ն ե ր կ ա յա ց վ ո ղ պ ա հ ա ն ջ ն ե ր ո վ : Ը ստ ա ռ ա ր կ ա ­յա կ ա ն չա փ ո ր ո շ չ ի ' տ ա ր ր ա կ ա ն դ պ ր ո ց ո ւմ մ ա թ ե մ ա տ ի կ ա յի հ ե ն քա յի ն բ ո վ ա ն դ ա կ ո ւթ յա ն մեջ տ ր ա մ ա բ ա ն ո ւթ յա ն և ի ն ֆ ո ր մ ա տ ի կ ա յի տ ա ր ր ե ր ր կ ա զ մ ո ւմ են ա ռ ա ն ձ ի ն բ ո վ ա ն դ ա կ ա յի ն գ իծ և ա յն ն ե ր կ ա յա ց վ ո ւմ է թ վ ա ­բա ն ո ւթ յա ն , մ ե ծ ո ւթ յո ւն նե ր ի , ե ր կ ր ա չա փ ո ւթ յա ն տ ա ր ր ե ր ի ո ւ հ ա ն ր ա հ ա շ ­վ ի տ ա ր ր ե ր ի բ ո վ ա ն դ ա կ ա յի ն գ ծ ե ր ի ն զ ո ւգա հեռ : Տ ր ա մ ա բա ն ո ւթ յա ն և ի ն ­ֆ ո ր մ ա տ ի կ ա յի տ ա ր ր ե ր ր ն ե ր կ ա յա ց վ ա ծ են հ ե տ ն յա լ բ ո վ ա ն դ ա կ ո ւթ յա մ բ .

Գաղափար դատողության մասին:Առարկաների խմբավորում և տեսակավորում րստ տրված հատկանիշի'

համեմատման, վերլուծման, համադրման միջոցով:Տվյալների հավաքում դիտարկումների, հարցումների, փորձերի միջոցով,

տվյալների ներկայացումր աղյուսակով, դիագրամներով: հաջորդականություն­ների օրինակներ, օրինաչափություններ:

Տրված պայմաններին բավարարող տարբերակներ, հնարավոր տարբե­րակների հաշվում: Կատարված փորձերում ելքերի գրանցում:

Գաղափար ալգորիթմի մասին, ալգորիթմների գրանցման ձներ:Խնդիր, խնդրի բաղադրիչների առանձնացում' պահանջ ե պայման, ան­

հայտ ե հայտնի տվյալներ, խնդրում եղած տվյալների գրանցում ե դրանց միջն կապի բացահայտում:

Խնդրի լուծման պլանի կազմում, գծապատկերների, աղյուսակների, կրճատ գրառումների օգտագործումր խնդիրների լուծման րնթացքում: Խնդրի լուծում ե արդյունքի ստուգում: Կիրառական, տեքստային, հետաքրքրաշարժ, խաղային խնդիրներ:

24

Գ Ի Տ Ա Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

Ս ո վ ո ր ո ղ ն ե ր ի ն գ իտ ե լի քն ե ր ի , կ ա ր ո ղ ո ւթ յո ւն ն ե ր ի ո ւ հ մ տ ո ւթ յո ւն ն ե ­ր ի վ ե ր ա բ ե ր յա լ ն ե ր կ ա յա ց վ ո ղ պ ա հ ա ն ջ ն ե ր ր չա փ ո ր ո շ չ ո ւմ դ ա ս ա կ ա ր գ ­վ ա ծ են ե ր ե ք ' ն վա զա գո ւ յն , մ ի ջ ի ն և բ ա ր ձ ր պ ա տ ր ա ս տ վ ա ծ ո ւթ յա ն մ ա ­կ ա ր դ ա կ ն ե ր ի : Ո ւ շա դ ր ո ւթ յա ն է ա ր ժ ա ն ի հ ա տ կ ա պ ե ս ն վ ա զ ա գ ո ւ յն մ ա - կ ա ր դ ա կ ր , ո ր ո վ հ ե տ և ր ս տ պ ե տ ա կ ա ն չսււիորոշչի ' ա յն հ ա մ ա ր վ ո ւ մ է պ ա ր տ ա դ ի ր պ ա տ ր ա ս տ վ ա ծ ո ւթ յա ն մ ա կ ա ր դ ա կ : Ա ռ ա ր կ ա յա կ ա ն չսււիո- ր ո շչո ւմ տ ր ա մ ա բ ա ն ո ւթ յա ն ր վ ե ր ա բ ե ր ո ղ գ ի տ ե լի ք ն ե ր ն ո ւ կ ա ր ո ղ ո ւթ յո ւն - ն ե ր ր տ ա ր ր ա կ ա ն դ պ ր ո ց ն ա վ ա ր տ ո ղ ի հ ա մ ա ր ն ե ր կ ա յա ց վ ա ծ են հ ե տ ն յա լ ն վ ա զ ա գ ո ւ յն ' պ ա ր տ ա դ ի ր պ ա հա ն ջ ն ե ր ո վ .

Գաղափար ուեեեա դատողության մասիե, իմանա աւյյալեերը աղյուսակի սւեսքով եերկայացեելու և աղյուսակներից ու դիագրամներից տվյալներ ստա­նալու եղանակներ, կարողանա առարկաները աեսակավորել և խմբավորել ըսա արված հաականիշի համեմաաման միջոցով, հարցումների միջոցով աւյյսւլներ հավաքել և գրանցել դրանք, աղյուսակներից, դիագրամներից աւյյսւլներ սաանալ, արված պայմաններին բավարարոդ աարբերակներ գրանցել, որոշված նպա- աակին հասնելու գործողությունների հաջորդականություն կազմել, օգավել կյանքում հանդիպող ադյուսակային աւյյսւլներից (դասացուցակ, գնացուցակ, չվացուցակ և այլն):

Իմանա խնդրի բաղադրիչները, կարողանա առանձնացնել խնդրի պայ­մանը և պահանջը, խնդրի լուծման պլան կազմել, խնդրի լուծման ժամանակ գծապաակերներ, աղյուսակներ օգաագործել, օգաակար քայլեր գանել կիրա­ռական, հեաաքրքրաշարժ խնդիրների լուծման և խաղերի համար (գեաանց, լա­բիրինթոս, դոմինո, մաաիաի մեկ հպումով գծվող պաակերներ և այլն), ըսա նշանակության և աեղին օգաագործել սովորած աերմինները, մասնակցել քննար­կումների, օգավել ուրիշի դաաողություններից, աւյյսւլներից, խնդիրներ լուծելիս մասնակցել խմբային աշխաաանքի,խոսքային և ոչ խոսքային աղբյուրներից աեղեկություն սաանալ:

Մ ի ա ժ ա մ ա ն ա կ , կ ա ն ո ն ա կ ա ր գ վ ա ծ են նա և ա յն գ ի տ ե լի ք ն ե ր ն ո ւ կ ա ­ր ո ղ ո ւթ յո ւ ն ն ե ր դ ո ր ո ն ք հ ա մ ա պ ա տ ա ս խ ա ն ո ւ մ են մ ի ջ ի ն և բ ա ր ձ ր պ ա տ - ր ա ս տ վ ա ծ ո ւթ յա ն մ ա կ ա ր դ ա կ ն ե ր ի ն : Դ ր ա ն ք ո ր ո շ ա կ ի ա ց վ ո ւմ են հ ետ և յա լ պ ա հ ա ն ջ ն ե ր ո վ .

Միջիե մակարդակ

25

Գ Ի Տ Ա Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

Իմաեա ալգորիթմեերի գրաեցմաե պայմանանշաններ, կարողանա առսւր- կաներր տեսակավորել և խմբավորել րստ երկու հատկանիշի համադրման միջոցով, դիտարկումների, փորձերի միջոցով տվյալներ (նաև ոչ թվային) հավա­քել և գրանցել դրանք, տվյալներր ներկայացնել աղյուսակների միջոցով, տրված հաջորդականությունների օրինակներում նկատել օրինաչափությունր և շարու­նակել հաջորդկանությունր, բազմակի ելք ունեցող պարզ իրավիճակներում գրանցել տրված պայմաններին բավարարող բոլոր հնարավոր տարբերակներր, նպատակին հասնելու գործողությունների հաջորդականությունր (ալգորիթմր) գրանցել պայմանանշանների միջոցով:

Կարողանա խնդիրր վերլուծել ավելի պարզ խնդիրների, խնդրի լուծման տարբեր եղանակներ փնտրել, տրված պայմանների դեպքում խնդիր ձևակերպել, քայլեր և ալգորիթմներ մշակել կիրառական, հետաքրքրաշարժ խնդիրների լուծ­ման և խաղերի համար (գետանց, լաբիրինթոս, դոմինո, մատիտի մեկ հպումով գծվող պատկերներ, կեղծ դրամներ, շախմատի տախտակ և այլն), րստ նշանակության և տեղին օգտագործել սովորած հասկացություններր, արտա- հայ տություններր:

Բարձր մակարդակԿարողանա առարկաներր տեսակավորել և խմբավորել րստ երկուսից

ավելի հատկանիշների, տվյալներր ներկայացնել դիագրամների միջոցով, հաշ­վել տրված պայմաններին բավարարող տարբերակների քանակր, տարբեր ալգո­րիթմներ գտնել և համեմատել դրանք:

Կարողանա առանց խնդիրր լուծելու կռահել ու գտնել խնդրի պա- տասխանր, համեմատել լուծման արդյունքի հետ, լուծման արդյունավետ եղա­նակներ րնտրել կիրառական, հետաքրքրաշարժ խնդիրների և խաղերի համար, ունեցած տեդեկություններր մշակել, համեմատել և ներկայացնել տարբեր ձևերով:

Ա ռսւրկա յս ւկս ւե չս ւփ որ ո շչո վ և պ ե տ ա կ ա ն չա փ ո ր ո շ չ ո վ ն ե ր կ ա յա ց ­վ ա ծ պ ա հ ա ն ջ ն ե ր ի հ ա մ ե մ ա տ ո ւթ յա ն ա ր դ յո ւն ք ո ւմ ն կ ա տ ո ւ մ ենք, ո ր դ ր ա ն ք հ ի մ ն ա կ ա ն ո ւ մ մ ի մ յա ն ց հ ա մ ա պ ա տ ա ս խ ա ն ո ւ մ են: Պ ե տ ա կ ա ն չս ւփ որոշչի պ ա հ ա ն ջ ն ե ր ր ա ռ ա ր կ ա յա կ ա ն չա փ ո ր ո շ չ ո ւմ ո ր ո շա կ իա ց վ ս ւծ են: Թ երևս մ ի ա կ բ ա ց ա ռ ո ւթ յո ւն ր վ ե ր ա բ ե ր ո ւմ է պ ե տ ա կ ա ն չա փ ո ր ո շ չ ի ' վ ե ր ո հ ի շ յա լ 2,ա կ ե տ ի պ ա հ ա ն ջ ի ն : Ա ռ ա ր կ ա յա կ ա ն չա փ ո ր ո շ չ ո ւմ «և», «կամ», «եթե, ա պ ա » շա ղ կ ա պ ն ե ր ի , դ ր ա ն ց տ ր ա մ ա բ ա ն ա կ ա ն ի մ ա ս տ ի մ ա ­

26

Գ Ի Տ Ա Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

ս ի ն պ ա ր զ ա բ ա ն ո ւ մ ն ե ր և հ ա տ կ ա ց ո ւ մ ն ե ր չեն ա ր վ ո ւմ : Չ նա յա ծ, ո ր ն շ վ ա ծ « Գ ա ղ ա փ ա ր ո ւն ե ն ա դ ա տ ո ղ ո ւթ յա ն մասին» , «Ըստ ն շա ն ա կ ո ւթ յա ն և տ ե ղ ի ն օ գ տ ա գ ո ր ծ ի ս ո վ ո ր ա ծ տ երմիններր» , « Կ ա ր ո ղ ա ն ա մ ա ս ն ա կ ց ե լ ք ն ն ա ր կ ո ւմ ն ե ր ի , օ գ տ վ ե լ ո ւր ի շ ի դա տ ողո ւթ յո ւն նե րի ց» և ա յ լպ ա հ ա ն ջ ն ե ր ր ա ն ո ւ ղ ղ ա կ ի ե ն թ ա դ ր ո ւմ են, ո ր ս ո վ ո ր ո ղ ր պ ե տ ք է կ ա ր ո ղ ա ն ա շ ա ղ ­կ ա պ ն ե ր օ գ տ ա գ ո ր ծ ե լ դ ա տ ո ղ ո ւթ յո ւն ն ե ր ր կ ա պ ա կ ց ե լո ւ հ ա մ ա ր , ա յն ո ւ ­ա մ ե ն ա յն ի վ ա ռ ա ր կ ա յա կ ա ն չա փ ո ր ո շ չ ո ւմ ա յդ պ ա հ ա ն ջ ի բ ա ց ո ր ո շ ձ եա - կ ե ր պ ո ւմ ր ա չ քս ւթ ո ղ է ա րվել:

3. Չափորոշչսւյին պահանջների արտացոլումը առարկայական ծրագրում

Ա ռ ա ր կ ա յա կ ա ն ծ ր ա գ ր ո ւմ ա ռ ա ր կ ա յի բ ո վ ա ն դ ա կ ա յի ն մ ի ջ ո ւկ ո ւմ ա մ փ ո փ վ ա ծ ն յո ւթ ր վ ե ր ա բ ա շ խ վ ա ծ է ր ս տ դ ա ս ա ր ա ն ն ե ր ի և ր ս տ հ ա ջ ո ր ­դ ա կ ա ն թ ե մ ա ն ե ր ի : Թ եմա ն եր ի ց յո ւր ա քա ն չ յո ւր ի հ ա մ ա ր բ ո վ ա ն դ ա կ ո ւ ­թ յա ն և հ ա տ կ ա ց վ ա ծ ժ ա մ ա ք ա ն ա կ ի հ ե տ մ ե կ տ ե ղ ն շ վ ա ծ են տ վ յա լ թ ե ­մ ա յի ն վ ե ր ա բ ե ր ո ղ կ ր թ ա կ ա ն հ ի մ ն ա կ ա ն խ ն դ ի ր ն ե ր ր , ի ն չպ ե ս նա և ս ո վ ո ­ր ո ղ ն ե ր ի հ ա մ ա ր ա կ ն կ ա լվ ո ղ չա փ որ ո շ չա յի ն գ իտ ե լի քն ե ր ր , կ ա ր ո ղ ո ւ ­թ յո ւն ն ե ր ն ո ւ հ մտ ո ւթ յո ւն ն ե ր ր : Տ ա ր ր ա կ ա ն դ պ ր ո ց ի ծ ր ա գ ր ո ւմ մ ե ր խ ն դ ր ո ա ռ ա ր կ ա տ ր ա մ ա բ ա ն ո ւթ յա ն ր վ ե ր ա բ ե ր ո ղ հ ա ր ց ե ր ր ն ա խ ա տ ե ս վ ո ւ մ է ո ւս ո ւմ ն ա ս ի ր ե լ հ ի մ ն ա կ ա ն ո ւ մ 3-րդ դ ա ս ա ր ա ն ո ւմ : «Տվյալներ, դ ր ա ն ց հա - վ ա ք ո ւ մ ր և մ շա կ ո ւմ ր : Խ նդիրներ» թ ե մ ա ն , ո ր ի հ ա մ ա ր ն ա խ ա տ ե ս վ ա ծ է հ ա տ կ ա ց ն ե լ 40 ժա մ , ա մբողջո ւթ յա մբ ն վ ի ր վ ա ծ է դրա ն: Ա յդ թ ե մա յի ո ւս ո ւց ­մ ա ն հ ա մ ա ր ն ա խ ա տ ե ս վ ո ւ մ է դ ի տ ա ր կ ե լ հ ե տ ն յա լ հա րցե ր ր .

ճշմարիտ և ոչ ճշմարիտ դատողություններ: Տվյալների հավաքում հար­ցումների, դիտարկումների, փորձերի միջոցով: Տվյալների ներկայացումը աղյու­սակներով, սյունակային դիագրամներով: Տվյալների ստացումը աղյուսակներից, սյունակային դիագրամներից: Տվյալների հաջորդականությունների օրինակներ, օրինաչափություններ հաջորդականություններում:

Տրված պայմանին բավարարոդ պարզ իրավիճակների հնարավոր տար­բերակների կազմում, գրանցում, հաշվում: Կատարված փորձերում ելքերի գրան­ցում:

27

Գ Ի Տ Ա Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

Ծրագրեր հարցերով: Ալգորիթմ: Խեղիր,խեդրի բաղադրիչների առանձ­նացում' պահանջ և պայման, անհայտ և հայտնի տվյալներ: Ոչ լրիվ, ավելորդ, ոչ իրական տվյալներով խնդիրներ: Խնդրի վերլուծութ]ուն:Խնդրի լուծման պլան:

Գծապատկերների, աղյուսակների, կրճատ գրառումների օգտագործումր խնդիրների լուծման րնթսւցքում: Խնդրի լուծում և արդյունքի ստուգում: Կիրա­ռական, խաղային խնդիրների մոդելների ստեղծում և լուծման ալգորիթմների կազմում, (գետանց, լաբիրինթոս, կեղծ դրամներ, մեկ հպում, շախմատի տախ­տակ, դոմինո և սւ]լն):

Թ եմա յի ո ւս ո ւց ո ւմ ը ս ո վ ո ր ո ղ ն ե ր ի հ ա մ ա ր հ ն ա ր ա վ ո ր ո ւթ յո ւն է րնձե - ռե լո ւ ա պ ա հ ո վ ե լո ւ չա փ որ ո շ չա յի ն հ ե տ ն յա լ պ ա հ ա ն ջ ն ե ր ր .

գիտենալ ճշմարիտ և ոչ ճշմարիտ դատողությունների օրիանսւկներ, գիտենալ հարցումների, դիտարկումների, փորձերի արդյունքների գրանց­

ման ալգորիթմներ, տվյսւլներր տդյուստկով, պունսւփն դիագրամով ներկայաց­նելու և աղյուսակներից, դիագրամներից տվյալներ ստանալու ալգորիթմներ,

կարողանալ դիտարկումների, հարցումների, փորձերի միջոցով ափ աներ (նաև ոչ թվային) հավաքել և գրանցել դրանք, տվյսւլներր ներկայացնելով աղյու­սակներով, սյունակափն դիագրամներով, տվյալների հաջորդականություննե­րում, աղյուսակներում նկատել օրինաչափություն, մեկնաբանել,

կարողանալ արված պայմաններին բտվտրտրոդ տարբերակներ ստեղծել, գրանցել դրանք, հաշվել դրանց քանակր,

փորձեր կատարել և գրանցել փորձի արդյունքր,կարողանալ կարդալ և հասկանալ երեք-չորս նախադասություններից

կազմված խնդիրր, առանձնացնել խնդրի պայմանր և պահանջր, խնդրում եղած մեծությունների միջև կապերր հայտնաբերել, խնդրի լուծման պլան կազմել և հետևել կազմած պլանին, խնդիրր վերլուծել ավելի պարզ խնդիրների հաջորդա­կանության,լուծել խնդիրր և սաուգել արդյունքր, խնդրի լուծման տարբեր եղա­նակներ փնարել, արված պայմանների դեպքում ձևակերպել խնդրի պահանջ, հարց ձևակերպվել, կազմել խնդիրներ, օգտակար քայլեր զանել կիրառական, հետաքրքրաշարժ խնդիրների լուծման և խաղերի համար (գետանց, լաբիրինթոս, դոմինո, մաաիաի մեկ հպումով գծվող պատկերներ և սւ]լն), առօրյա և խաղային խնդիրների մոդելներ ստեղծել:

Ա ռ ա ր կ ա յա կ ա ն չս ւփ որոշչի պ ա հ ա ն ջ ն ե ր ի հ ե տ հ ա մ ե մ ա տ ե լ ո վ ծ ր ա ­գ ր ո ւմ ը ն դ գ ր կ վ ա ծ ն յո ւթ ր ' ն կ ա տ ո ւ մ ե ն ք ,ո ր չա փ որ ո շ չա յի ն պ ա հ ա ն ջ ն ե ր ն ա մ բ ո ղ ջ ո ւթ յա մ բ ա ր տ ա ց ո լվ ա ծ են ա ռ ա ր կ ա յա կ ա ն ծ րա գր ո ւմ : Դ ա ն շ ա ն ա ­

28

Գ Ի Տ Ա Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

կ ո ւմ է, ո ր տ ւյյա լ ծ ր ա գ ր ո վ ո ւս ո ւց մ ա ն ա ր դ յո ւն ք ո ւմ ս ո վ ո ր ո ղ ն ե ր ն , ի րո ք , կ ա ր ո ղ են ա պ ա հ ո վ ե լ պ ս ւտ ր ա ս տ վ ա ծ ո ւթ յա ե չա վտ րոշչս ւյի ն մ ա կ ա ր դ ա կ :

ռԱյլ հ ա ր ց է, թ ե 3-րդ դ ա ս ա ր ա ն ո ւ մ ո ւ ս ո ւ մ ն ա ս ի ր վ ա ծ ն յո ւթ ր ի ն չպ ե ս է ա մ ր ա պ ն դ վ ո ւ մ ո ւ խ ո ր ա ց վ ո ւ մ հ ա ջ ո ր դ դ ա ս ա ր ա ն ո ւմ : Բ ա ն ն ա յն է, ո ր 4-րդ դ ա ս ա ր ա ն ի ծ ր ա գ ր ո ւմ ր ն դ գ ր կ վ ա ծ թ ե մ ա ն ե ր ի բ ո վ ա ն դ ա կ ո ւթ յա ն մեջ զ ո ւտ տ ր ա մ ա բ ա ն ո ւթ յա ն ր վ ե ր ա բ ե ր ո ղ հ ա ր ց ե ր չեն հ ի շա տ ա կ վ ո ւմ : Ս ա կ ա յն ա յդ թ ե մ ա ն ե ր ի կ ր թ ա կ ա ն հ ի մ ն ա կ ա ն խ ն դ ի ր ն ե ր ի , ի ն չպ ե ս նա և չա փ որ ո շ չա յի ն ա կե կ ս ւլի բ ե ե ր ի հա եզս ւմս ւեա լի վ եր լո ւծ ո ւթ յո ւե ր ցույց է տ ա փ ս , ո ր տ ր ա - մ ա բ ա ե ա կ ա ն գ իտ ե լի բև երր դ ր ս և ո ր վ ո ւմ եև կիրա ռո ւթ յո ւև և երի ձևով: Իսկ դ ա ա ր ժ ե քա վ ո ր է հ ա տ կ ա պ ե ս ա յն ա ռո ւմով , ո ր տ ա ր ր ա կ ա և դպ ր ոց ո ւմ տ րս ւմա բս ւես ւկա ե զիտ ելիբև երի ո ւսո ւցո ւմր իև բև ա և պ ա տ ա կ ձև ով չի ա ր ­վում. այև դ իտ վ ո ւմ է ո ր պ ե ս գիտ ելիբև երի հ ի մ և ա վ ո ր յո ւր ա ց մ ա և և, ա ռ ա ­ջին հ ե րթ ի ն , ո ր պ ե ս մ տ ա ծ ո դ ո ւթ յա և հ մտ ո ւթ յո ւև և երի զ ա ր գ ա ց մ ա և միջոց: Ա յդ մ ո տ ե ց ո ւմ ր հ ետ և ո ղա կ ս ւե որ եև պ ա հ պ ա և վ ո ւ մ է ևաև միջիև և ա վ ա զ դ պ ր ո ց ի ծ րա գր ե ր ո ւմ , որոևց կ ա ե դ ր ա դ ա ռ ե ս ւե բ հ ետ ա գ ա յո ւմ :

Օգտագործված գրականություն

1 .£ ա նրսւկրթութ յա ն պ ե տ ա կ ա ն կ ր թ ա կ ա ր զ : Մ ի ջ և ա կ ա ր գ կ ր թ ո ւթ յա և պ ե տ ա կ ա և չա փ որոշի չ ; Եր., «Ա նտարես» , 2004:

2. Մ ա թ ե մ ա տ ի կ ա , հ ա ե ր ա կ ր թ ա կ ս ւե հ ի մև ա կա և դ պ ր ո ց ի ա ռ ա ր կ ա յա կ ա և չա փ ո ր ո շ ի չ և ծ րա գիր , Եր., «Աևտարես», 2007:

29

Գ Ի Տ Ա Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

Բ Ա Ր Դ ՖՈՒՆԿՑԻԱ ԹԵՄԱՅԻ Ն Ե ՐՄ Ո Ւ Ծ Մ Ա Ն ՄԻ ՄՈՏԵՑՈՒՄ

0 . ՄիքայելյանԿրթության ա զգա յին ինստիտուտ

Բարդ ֆունկցիայի էությունը ըմբռնելու նպ ա տ ա կով բերենք բովա նդա կա ­յին մի ներկայացում:

Դիտա րկենք երկու ավիաընկերություններ, որոնցից մեկին ա նվա նենք g ,

իսկ մ յո ւ ս ի ն '/ : Դիցուք g ավիաընկերությունն իրագործում է թռիչքներ ասիա-կան մի շա րք քա ղա քն եր ից դեպի Արևմտյան Եվրոպայի որոշակի քա ղա քն եր այնպես, որ ա սիական ա յդ քա ղա քն եր ից յուրաքանչյուրից իրագործվում է թռիչք դեպի եվրոպ ական միայն մի քա ղա ք :

Ասիական քա ղա քների •,&„,} բազմությունը, որոնցից g ա վիա ­

ընկերությունն իրականացնում է թռիչքներ, ն շա նա կենք ճ )(^ )-ո վ :

Արևմտյան Եվրոպայի քա ղա քների բազմությունը, որտ եղ կարելի է հասնել D (g ) քա ղա քն եր ից նշա նա կենք £ ( g ) = ••*,% }-ով, m,ne N :

Ենթադրենք ք ավիաընկերությունն իրակա նա ցնում է թռիչքներ Արևմտյան

Եվրոպայի Քա ԴաՔներից դեպի Միացյալ Նահանգների ս1,սԴ,---,սւ>քա ղա քն եր այնպես, որ եվրոպ ական ա յդ քա ղա քներից յուրաքանչյուրից իրագործվում է թռիչք դեպի Միացյալ Նահանգների միայն մի քա ղա ք , k, p e N :

£ ) ( / ) - ով նշա նա կենք եվրոպ ական այն քա ղա քների բազմությունը, որոն­

ցից կան թռիչքներ դեպի Միացյալ Նահանգներ ' / ) ( / ) = ] :

30

Գ Ի Տ Ա Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

£ ' ( / ) - ով նշա նա կենք Միացյալ Նահանգների այն քա ղա քն եր ի բազմու­

թյունը, դեպի որոնց թռիչքներ կան Եվրոպայից ք ավիաընկերության ինքնա ­

թիռներով՝ E ( f ) = { u l ,u2,---,up} \

ԱռաջադրանքներՆկարագրել, գծա պ ա տ կերել Վենի սխեմա յով և մեկնաբանել ա յնպիսի իրա ­

վիճակներ ու դրանց գոյության խնդիրը, որոնք կարող են ի հա յտ գալ, երբ1. m = n ,2. m > n ,3. m = 0 ,4. m = 0 , ո Հ 0 ,5. т Ф 0 ,п = 0 ,6. т < п ,7. п = к ,8 . п < к ,9. п > к \

Որպես օրինակ, լուծենք 8-րդ ա ռաջա դրանքը:п < к տիպի դեպ քը հա մա պ ա տ ա սխ ա նո ւմ է ա յնպիսի իրավիճակի, երբ

եվրոպ ական այն քա ղա քների քա նակը, որտ եղ կարելի է հասնել Ասիայից g

ավիաընկերության օգնութ յամբ' ֊Ը, Քիչ է. քա ն եվրոպ ական այն

քա ղա քների քա նա կը ' el ,e2,---,ek , որոնցից կան ք ավիաընկերության թռիչք­ներ դեպի ԱՄՆ քա ղա քներ : Այստեղ հնարավոր են ա ռա ջա դրա նքի պա յմանին բա վա րա րող տարբեր դեպ քեր (տես գծապատկերները):

Տարբեր դեպ քերի առաջանա լը պ ա յմա նա վորվա ծ է այն հա նգա մա նքով, որվերևում որևէ առնչություն չի նշված ег,е2,---,еп և el ,e2,---,ek քա ղա քների

բազմությունների միջև' բացի դրանց քա նա կների տարբեր լինելուց' ո < к :Դ իտա րկենք ա յդ բազմությունների միջև տարբեր առնչություններին

հա մա պ ա տ ա սխ ա նող դեպքերը.• ^ (g ՛) = £ > ( / ) , որը նշանակում է, որ եվրոպ ական այն քա ղա քները , որտեղ

կարելի է հասնել ա սիական քա ղա ներից g ավիաընկերության օգնությամբ, ճիշտ համընկնում են եվրոպ ական այն քա ղա քների հետ, որտեղից կան ք ավիաընկերության թռիչքներ դեպի ԱՄՆ քա ղա քներ : Այս դեպ քն իրագործե-

31

Գ Ի Տ Ա Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

լի չէ, քա նի որ քննա րկվող բազմություններն ունեն տարբեր քա նա կով տարրեր // < к : Տես 1 ա գծա պ ա տ կերը:

• E(g^) a Z ) ( / ) , E (g ) -ф 'D [ f ) դեպ քը նշանակում է, որ եվրոպական

el ,e^,---,en քա ղա քն եր ից յուրաքանչյուրը դասվում է եվրոպ ական այն ք ա ­ղա քների դասին, որոնցից կա թռիչք դեպի ԱՄՆ: Տես 1բ գծա պա տկերը:

• E (g ) ZD / ) ( / ) , Jfjfg՜) Փ O f f ) , ա յսպիսի իրավիճակ չի կարող ա ռա ջա ­

նալ, քա նի որ, ըստ պայմանի, D ( f ) բազմության քա ղա քներն ավելի շատ

են, քա ն E (g )- ինը:

• E [g ) ո / ) ( / ) Փ 0 , E [g ) Փ D ( f ) դեպ քը նշանակում է, որ եվրոպ ական

el ,en,---,en քա ղա քն եր ից գոնե մեկից կա թռիչք դեպի ԱՄՆ և կա գոնե մի քա ղա ք , որտեղից չկա թռիչք դեպի ԱՄՆ: Տես 1 գ գծա պա տկերը:

• E { g ) r \D ( ք ) = 0 դեպ քը նշանակում է, որ եվրոպ ական այն ք ա ղ ա ք ­ներից, որտ եղ կարելի է հասնել Ասիայից g ավիաընկերության օգնությամբ, / ավիաընկերությունը չունի թռիչք դեպի ԱՄՆ: Դա նշանակում է, որ / և g ավիաընկերությունների օգնութ յամբ ուղևորը չի կա րող Ասիայից հասնել ԱՄՆ: Տես 1դ գծա պա տկերը:

Գծ. 1 դ

Գ Ի Տ Ա Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

Հա մա նմա ն ձևով կարելի է լուծել նաև մյուս ա ռաջա դրանքները:Բարդ թռիչք

Թռիչքը կա նվա նենք պարզ, եթե ուղևորը կատա րում է մի թռիչք ք կամ g ավիաընկերություններից միայն մեկի ինքնաթիռով:

Թռիչքը կա նվա նենք բարդ, եթե ուղևորն օգտ վո ւմ է հաջորդաբար նա խ g ,ա պ ա ք ավիաընկերության ինքնաթիռներից: Բովանդակա յին տ եսակետ ից բա րդ թռիչքը հա մա պ ա տ ա սխ ա նո ւմ է այն դեպքին, երբ ուղևորն Ասիայից ուզում է գնա լ ԱՄՆ' Եվրոպայում փ ոխելով ինքնաթիռը:

Նշված հերթականությամբ կա տ ա րվող թռիչքների համադրումը ' բարդ թռիչքը, նշա նա կենք F տառով, իսկ ա սիական այն քա ղա քների բազմությունը,որոնցից բա րդ թռիչքով կարելի է հասնել ԱՄՆ' /)(7 7)-ով, իսկ ԱՄՆ-ի այն ք ա ­

ղա քների բազմությունը, որտ եղ կարելի է հասնել բա րդ թռիչքով, նշա նա կենք E ( i7) ֊ով:

Այստեղ կարևոր է լուծել այն խնդիրը, թե երբ ուղեևորն Ասիայից կարող է հասնել ԱՄՆ և երբ' ոչ:

Խնդրի լուծումն ակնհա յտորեն կա խ վա ծ է E [g } և £ > (/) քա ղա քների

բազմությունների միջև առնչություններից' ունեն արդյոք դրա նք ընդհանուր մաս, թե ոչ: Խնդրի լուծումը լավ պատկերա ցնելու համար ա նհրա ժեշտ է լուծել հետևյալ ա ռաջա դրանքները:

Ա ռա ջա դրա նքներ

Նկարագրել, գծա պ ա տ կերել Վենի սխեմա յով և մեկնաբանել այնպիսի իրավիճակներն ու դրանց գոյության խնդիրը, որոնք կարող են ի հայտ գալ, երբ

1. E(g) = D ( f ) ,

2. E ( g ) n D ( f ) = 0 ,

3. E ( g ) n D ( / ) * 0 , E ( g ) * D ( f ) .

4. E ( g ) < z D ( f ) , E ( g ) * D ( f ) .

5. E ( g ) z > D ( f ) , E ( g ) * D ( f ) ,6. Նշել 1-ին և4-րդ դեպ քերի տարբերությունը:7. Մեկնաբանել E [F ) բազմության դա տ ա րկ լինելու դեպքերը:

33

Գ Ի Տ Ա Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

8. Նկարագրել բա րդ թռիչքի իրագործելիության հնարավորությունները և ա սիական քա ղա քների բազմությունը' , որոնցից հնարավոր է իրա ­

կանացնել բա րդ թռիչք:Բարդ ֆունկցիա կամ ֆունկցիաների համադրույթ

Դիցուք տ րվա ծ է / ( x ) = 2x2-3 x ֆունկցիան: Հա շվենք ֆունկցիայի ա ր­

ժեքները արգումենտի մի քա նի ա րժեքների համար '

գ. x = -4 a => / ( - 4 a ) = 2 ( -4a)2- 3 (-4a ) = 32a2 + 12a,

^ x = 2 f - l => ք {2 է -1 ) = 2 {2 է-1 )2-3 {2 է -1 ) = %է2-1Հէ + 3\

Այսպիսով' ֆունկցիայի ա րժեքը հաշվելու համար, երբ ընտ րվա ծ է արգու­մենտի արժեք, ֆունկցիան ա րտ ա հա յտ ող բանաձևում x -ի փ ոխա րեն տ եղա ­դրում ենք հա մա պ ա տ ա սխ ա ն ա րժեքը և ձևափոխում արտահա յտությունը ' պ ա հ­պանելով նույնականության գա ղա փ ա րը: Ինչպես տեսնում ենք դ. օրինակում ' ք ֊ի արգումենտում գրվա ծ արտահա յտություը փ ոփ ոխվում է կա խ վա ծ է-ից,

հետևաբար ք ֆունկցիայի արգումենտն իր հերթին կարող ենք համարել ֆունկ­

ցիա կա խ վա ծ ^-ից: Ն շանակենք այն g ֊ով' g ( t ) = 2է — \ : է ֊ին տ ա լով ա րժեք ­

ներ' ստանում ենք x -ի արժեքներ, որոնց համար Էլ գտնում ենք ք ֊ի հա մա պ ա ­

տ ա սխ ա ն ա րժեքները ' / ( x ) = / ( ^ ( ^ ) )

է=՜ւ => X = £■(?) = 2- (—ւ ) —ւ = —3 =>/ ( —з) = շ • (—յ)2 — 3• (—3) = 27,

Г = 2 ^ > х = ^ (2 ) = 2 - (2 ) -1 = 3 ^ > / ( 3 ) = 2-(3)2-3 - (3 ) = 9:

Այս օրինակում դրսևորվեց երկու ֆունկցիաների համադրումը ' սկզբում կիրառելով g -ն, հետո ք ֊ը: Ստ ա ցվա ծ երկու առնչությունների համադրումը նույնպես ֆունկցիա Է:

Ս ա հ մ ա ն ո ւ մ . Կա սենք, որ ո ւնեն ք բա րդ ֆ ունկցիա , եթե ա յն որոշող ֆ ունկցիա յի ա րգումենտ ր նույնպ ես ֆ ունկցիա Է:

f և g ֆունկցիաների համադրույթը ' բա րդ ֆունկցիան, նշանակում են

f ° g -ով, երբ սկզբում կիրառվում Է g , իսկ հետո / ֆունկցիան: Եթե

34

Գ Ի Տ Ա Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

ստ ա ցվա ծ բարդ ֆունկցիան նշանակենք F ֊ով, ա պ ա ' F = ք ° g , կամ

F ( t ) = : Նույն ֆունկցիաների կիրառման հաջորդականությունը փ ոխ ե ­

լով' կ ստ ա նա նք մի այլ համադրույթ ֆունկցիա' H , որը ըստ ընդունված կարգի կնշանակենք g o f - n \X H { x ) = g [ f { x ) ) : Նշենք, որ f o g ֊ն և g o f ֊ը ընդ­

հանրապես տարբեր են:Բարդ ֆունկցիան հետազոտելիս ' կարևոր է նրա որոշման և արժեքների

տիրույթների սահմանելն ու գտնելը:F = f o g բարդ ֆունկցիայի' F (7) = / ( # ( / ) ) , որոշման տիրույթ կոչվում

^-ֆունկցիա յի որոշման տիրույթի այն մասը (արժեքները), որը ց ֆունկցիայի միջոցով ա րտա պա տկերվո ւմ է ք ֊ի որոշման տիրույթի արժեքների վրա: Այդ

բազմությունը նշանակվում է D (F ') - ով:

F = ք ° g բարդ ֆունկցիայի' ՏԲԼէ՚յ = f ( g ( t ) ) . արժեքների բազմություն

կամ փ ոփ ոխմա ն տիրույթ կոչվում է ք ֆունկցիայի արժեքների այն բազմու­

թյունը, որն ստացվում է D ( F ) - ի տարրերի վ ր ա g ֊ֆունկցիայի կիրառելուց հե­

տո ստ ա ցվա ծ թվերի վրա ք ֆունկցիայի կիրառման արդյունքում: Այն ն շանա­

կում են E ( F ) - ով:

g և ք ֆունկցիաների համադրման մի սխեմատիկ օրինակի վրա, որի գ ծա պ ա տ կերը բերված է ներքևում, նշված են g , / ֆունկցիւսների, ինչպես նաևF բարդ ֆունկցիայի որոշման և արժեքների տիրույթները, ընդ որում' բարդ ֆունկցիային վերաբերող մասերը ստվերա գծվա ծ են:

Գ Ի Տ Ա Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

Երկու ֆունկցիաների' g և ք , հա մադրման իրագործելիությունը կա խ վա ծ

է £ '( g ') n Z ) ( / ) բազմությունից: Համադրումն իրագործելի է այն դեպքերում,

երբ նշված բազմությունը դա տ ա րկ չէ, հա կառակ դեպ քերում համադրումն իրա ­գործելի չէ: Ասվածն ավելի պ ա տ կերա վոր է ա րտ ա հա յտ վա ծ վերևի սխեմա տիկ գծագրում:

F բա րդ ֆունկցիայի որոշման և ա րժեքների բազմությունները կարող ենք տա լ հետևյալ բանաձևերով'

D(F) = {x\xe D(g) ,g(x)e E ( g ) n D ( f ) ] .

E( F) = {/(, ) J s E ( g ) n D ( / ) } :

Նշենք բարդ ֆունկցիայի որոշման տիրույթի' D (F ) - ի, գտնելու երկու մո­

տեցումներ:Առաջին դեպ քում առաջնորդվում ենք բարդ ֆունկցիայի որոշման տի­

րույթը գտնելու' տեսությւնից բխող, քա յլերի հետևյալ հաջորդականությունից:

Գտնել'

1. £>(g)-OU£(g)-G,

2- £ > ( / ) - о,

3. E( g) nD( / ) - n,

4. D ( F ) = { x x e D( g ) , g ( x ) e E ( g ) n £ > ( / ) } - o :

Երկրորդ դեպ քում գրում ենք բարդ ֆունկցիայի բանաձևը

F ( t ) = f ( g ( t ) Y y = f ( x) ֆունկցիայի արգումենտում x -ի փ ոխա րեն տեղա-

դրելով y = g { t ) ֆունկցիան ա րտ ա հա յտ ող բանաձևը: Ստ ա ցվա ծ հա նրա հա շ­

վական արտա հա յտութ յա ն մեջ որևէ ձևափոխություն չանելով' որոշում ենք դրա թույլատրելի ա րժեքների բազմությունը, որը և կլինի բա րդ ֆունկցիայի որոշման տիրույթը, եթե չկան լրացուցիչ սահմանափակումներ: Որոշման տիույթը գտ նե­լիս' բա րդ ֆունկցիայի բանաձևում թույլատրելի են միայն ա յնպիսի ձևա փոխու­թյունները, որոնց դեպ քում պ ա հպ ա նվում է համարժեքությունը:

Բարդ ֆունկցիայի որոշման տիույթը գտնելիս հիմնականում նպ ա տ ա կա ­հարմար է լինում երկրորդ մոտեցումից օգտվելը:

Օ ր ի ն ա կ 1: Տրված են / ( x ) = — և g ( t) = 1 —- ֆունկցիաները: Գտնել

F = f ° g բա րդ ֆունկցիայի որոշման և ա րժեքների տիրույթները:

36

Գ Ի Տ Ա Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

Լ ո ւ ծ ո ւ մ : Գրենք բա րդ ֆունկցիայի բանաձևը' F (է) = f ( g ( t ) ) = ——г '■1 - ֊

է

/)(7 7)-ը որոշվում է որպես չձևա փ ոխվա ծ բանաձևում ^-ի թույլատրելի

արժեքների բազմություն, այն է' te (—° ° ;0 )u (0 ; l)u ( l ;+ ° ° ) : Հետևաբար'

= (—օ° ;0 )ս (0 ;1 )ս (1 ;+ օ օ ) :

Եթե բա րդ ֆունկցիայի ստ ա ցվա ծ բանաձևը ձևափոխելուց հետո գտ նեինք որոշման տիրույթը, ա պ ա պ ա տ ա սխ ա նում սխա լ կունենայինք: Իսկապես' ձևա-

փոխելուց հետո ստանում ենք F (t՝)= -^ —̂ , որտ եղ ^-ի 0 ա րժեքը թույլատրելի

է, մինչդեռ այն /)(7 7)-ին չի պատկանում: Այդ սխա լը բա րդ ֆունկցիայի բա նա ­

ձևի ձևա փ ոխմա ն ընթացքում համարժեքութ յա ն կորստի հետևանք է:

Բարդ ֆունկցիայի ա րժեքների բազմությունը' E ^ F ^ -ը գտնում ենք, որպես

բա րդ ֆունկցիայի չձևա փ ոխվա ծ բանաձևի արժեքների բազմություն: Այն է'E (F ^ = (—°o ;0 )u (0 ; l)u ( l;+ ° ° ) ;

Կան դեպքեր, երբ նպ ա տ ա կա հա րմա ր է բա րդ ֆունկցիայի բանաձևը ձևա- փոխել: Նման դեպ քերում պ ետ ք է նշել փ ոփ ոխ ա կա նի այն արժեքները, որոնք ա նհա մա րժեք ձևա փոխման հետևանքով, կա րող են փ ոխել բարդ ֆունկցիայի որոշման տիրույթը:

Օ ր ի ն ա կ 2: Տրված է / ( x ) = —-— ֆունկցիան: Գտնել1 X

F = ք o f о . . . о ք բա րդ ֆունկցիայի բանաձևն ու որոշման տիրույթը, որտեղ

ք ֊ը կիրառվում է ո անգամ, ne N \

Լ ո ւ ծ ո ւ մ : и -ի մի քա նի ա րժեքների համար ստ ա նա նք Fn (x) ֊ի բա նա ­

ձևը, որտ եղ и - ը ցույց է տալիս ք ֆունկցիայի կիրառման քա նակը:

1 X — 1^ ( x ) = / ( x ) ’ F2 (Х) = / ( Д Х) ) :

1-1 - X

1F3(x) = x, F4(x ) = j — = F1( x ):

x

37

Գ Ի Տ Ա Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

Բանաձևերն ա յստեղ գրեցինք արդեն ձևա փ ոխ վա ծ տեսքով: Ինչպես տես­

նում ենք, F2 (x) ֊ի վերջնական տեսքում x = 1 ֊ը թույլատրելի ա րժեք է' մինչդեռ

չձևափ ոխված տեսքում այն թույլատրելի չէր: Վերջում x = l ա րժեքը պ ետ ք է

հա նենք որոշման տիրույթից: Շարունակելով _Fn(x ) -b ^ գտնելու պրոցեսը'

նկատում ենք օրինաչափություն և մա թեմա տ իկա կա ն ինդուկցիայի մեթոդով ապացուցում ենք, որ

Fn(x) = x, եթե n = 3 -k ,k e N ,

Fn (x) = —-— , եթե п = Ъ -к -2 ,к Е N ,1 xx — 1

Fn (x) = ------ , եթե n = 3 • к -1, к e N .

Ի վերջո Fn (x) ֆունկցւսների որոշման տիրույթները կլինեն'

Z )(JF1) = (-oo; 1) u ( 1;+ o °),

Z)(i7») = (_oo;0) u (0;1) u (1;+o° ) ’ ե?ե ո > 2, пе N :Բարդ ֆունկցիայի ձևա փ ոխվա ծ տեսքը, սովորաբար, ավելի հարմար է

որոշման և ա րժեքների բազմությունները գտնելու համար:

38

Ա Ր Տ Ա Դ Ա Ս Ա Ր Ա Ն Ա Կ Ա Ն

Ա ր տ ա դ ա ս ա ր ա ն ա կ ա ն

ՀԱ Ն ՐԱ Պ Ե Տ Ա Կ Ա Ն Մ Ա Թ ԵՄ Ա Տ ԻԿԱ ԿԱ Ն Օ ԼԻՄ Պ ԻԱ Դ ԱՄԱՐԶԱՅԻՆ ՓՈՒԼ Կ.Գ. Առաքելյան

2010 թվականի փ ետրվարի 25-ին Հա յա ստ ա նի հանրապետության բոլոր մարզերում կա յա ցա վ դպրոցականների մաթեմատ իկա յի օլիմպիադա յի երրորդ (մարզային) փուլը:

Մասնակցել են 8-11-րդ դասարանների այն աշակերտները, ովքեր հաղ­թող են ճանաչվել մաթեմատիկա յի օլիմպիադա յի տ ա րա ծքա յին փուլում: Յուրա­քանչյուր դասարանում ա ռա ջա դրվել է 5 խ նդիր ’ գնա հա տ մա ն 20 միա վորանոց սա նդղա կով (խնդիրները գնա հա տ վել են 3-5 միավորով):

Ատորև ներկա յացնում ենք ա յդ օլիմպիադա յում ա ռա ջա դրվա ծ խ նդիր­ները, ինչպես նաև' լուծումներ կամ ցուցումներ նրանց վերաբերյալ:

Օլիմպիադայում առաջադրված խնդիրները 8-րդ դա սա ր ան

Ն 400 թվին աջից կցագրել ա յնպիսի քա ռա նիշ թիվ, որ ստ ա ցվա ծ յոթանիշ թիվը լինի բնական թվի քառակուսի: Գտնել ա յդպիսի բոլոր քա ռա նիշ թվերը:

2. 3x3 չափսի քա ռա կուսու ինը վանդակներում նշել իրարից տարբեր մեկա ­կան բնական թվեր այնպես, որ հորիզոնական և ուղղաձիգ ուղղություններով գրվա ծ ' երեքա կա ն թվերով կա զմվա ծ վեց արտադրյա լներից յո ւրա քա ն­չյուրը հավա սա ր լինի 2010-ի:

39

Ա Ր Տ Ա Դ Ա Ս Ա Ր Ա Ն Ա Կ Ա Ն

(Կ.Գ. Առաքելյան)Յյ. Գ րա տ ա խ տ ա կի վրա նշված են ինը կետեր, ինչպես պ ա տ կերվա ծ է ստորև:

Քանի՞ եռանկյուն կարելի է կառուցել, որոնցից յուրաքանչյուրի համար А

• • •• • •

А * • •կետը գա գա թ է, իսկ մյուս երկու գագաթները մնացած ութ կետերից են:

4i ABC հավասարասրուն {AB-BC) եռանկյան մեջ ZABC = 20°: BC կողմի վրա վերցված D կետն այնպիսին է, որ BD=AC\ Գտնել BAD անկյան մեծու­թյունը:

5i Հնարավո՞ր է ընտրել այնպիսի x և у ամբողջ թվեր, որոնց դեպքում ճիշտ լինի հետևյալ հավասարությունը'

X2 - 3 / =2010:

(Կ.Գ. Առաքելյան)

9-րդ դ ա ս ա ր ա ն

1_. 3x3 չափսի քառակուսու ինը վանդակներից չորսում (անկյուններում)տ րվա ծ են միմյանցից տարբեր չորս պ ա րզ թվեր' а, ծ, c, ժ. Մնացած վանդակները լրացնել իրարից տարբեր այնպիսի բնական թվերով, որպեսզի հորիզոնական և ուղղաձիգ ուղղություններով գրված ' երեքական թվերով կազմված վեց արտադրյալները լինեն միմյանց հավասար:

Արդյո՞ք միշտ նման արդյունքի կարելի է հասնել, եթե а, b, с, d թվերը փոխարինվեն իրարից տարբեր ցա նկա ցա ծ չորս բնա­կան թվերով:

(Կ.Գ. Առաքելյան)

2. Դիցուք E-ն և F-ը ABCD սեղանի, հա մա պ ա տ ա սխ ա նա բա ր , BC և AD հիմքերի կամա յական կետերն են. AE և BF հատվածները հատվում են P կետում, իսկ CF և DE հատվածները ' О կետում: Ապացուցել, որ

V 4- V — 9 ■Авр т լ3շռօ ~ PBQF ■

^ ABC եռանկյան В անկյունը երկու անգամ մեծ է А անկյունից: Ապացուցել, որ

а b

с d

40

Ա Ր Տ Ա Դ Ա Ս Ա Ր Ա Ն Ա Կ Ա Ն

ВС(ВС + АВ) = AC2:4 i Ապացուցել, որ եթե a, b, с թվերը բավարարում են

2a2+ b = \, 2ծ2 + с = 1, 2с2 + а = 1պայմաններին, ա պ ա а, b, с թվերից յուրաքանչյուրը պ ա տ կա նում է [-1; l] միջակա յքին

Հնա րա վո՞ր է, որ а, b, с թվերը միա ժա մա նա կ պ ա տ կա նեն '

ա) ■1;1 միջակայքին, Բ)

1 1 միջակայքին:

5i ա) Գտնել (л/5+-\/б + - /7) թիվը չգերա զա նցող ամենամեծ ամբողջ թիվը: բ) Յուրաքանչյուր բնական ո թվի համար գտնել

{т/п + л]п + \ + ■sjn + 2 уթիվը չգերա զա նցող ամենա մեծ ամբողջ թիվը:

1 0 - ր դ դ ա ս ա ր ա ն

ձ- ABCD քառանկյունն այնպիսին է, որին կարելի է ա րտ ա գծել շրջանագիծ: Դիցուք, А^-\\ և Aշ-ը A կետի համա չափ կետերն են CB և CD ուղիղների նկատմամբ, իսկ Q -ը և Շ2-ը С կետի համա չափ կետերն են АВ և AD ուղիղների նկատմամբ: Ապացուցել, որ А1А2=С1С2:

Z Լուծել հավասարումների համակարգը.X2 + ху - 2yz + 3xz +1 = 4x, у 2 + 3xy -y z -x z + 2 = 4у, z2 ֊ 3xy + 4yz - xz + 3 = 4z :

(Կ.Գ. Առաքելյան)

(Կ.Գ. Առաքելյան)

3, x, у և z թվերը բա վարարում են + / + z= պ ա,մաՕ№

Գտնել(5x ֊ 3 y + lz \ x + 9 y - z )

ա րտահա յտությա ն մեծագույն արժեքը:

41

Ա Ր Տ Ա Դ Ա Ս Ա Ր Ա Ն Ա Կ Ա Ն

(Կ.Գ. Առաքելյան)4լ Գոյություն ունի՞ ա յնպիսի եռանիշ թիվ, որի բաժա նա րա րների քա նա կը հա ­

վասար լինի.ա)10, p) 11, գ)21, դ) 30:

Ո՞ր եռանիշ թիվն ունի ամենա մեծ քա նա կով բաժանարարներ: Պ ա տ ա սխա նը հիմնավորել:

(Կ.Գ. Առաքելյան)

5i Եռանկյան կողմերի երկարություններն ա րտ ա հա յտ վում են բնական թվերով, ընդ որում ա յդ երեք թվերի ընդհանուր բա ժա նա րա րը հավա սա ր է 1-ի: Բացի այդ, նրա անկյուններից մեկը երկու ա նգամ մեծ է մյուսից: Հնա րա վո՞ր է, որ ա յդ եռանկյան որևէ կողմի երկարությունը հավա սա ր լինի,

ա) 200Ց, բ) 2010:

(Ա.Ս. Միքայելյան)

1 1 - ր դ դ ա ս ա ր ա ն

1_i Տրված է ABCD քառանկյունը: A^-դ և ձ շ - ը ձ կետի համա չափ կետերն են CB և CD ուղիղների նկատմամբ, իսկ Q -ը և Շ2-ը С կետի համա չափ կետերն են АВ և AD ուղիղների նկատմամբ: Ինչպիսի՞ն պ ետ ք է լինի ABCD քա ռա ն ­կյունը, որպեսզի տեղի ունենա Л1Л2=С1С2 հավասարությունը: Նշել ա յդպիսի քառանկյունների բոլոր հնարավոր տեսքերը:

(Կ.Գ. Առաքելյան)

Z Ապացուցել, որ ցա նկա ցա ծ բնական ո-ի դեպ քում հետևյալ ա րտ ա հա յտ ու­թյունն իռացիոնա լ թիվ է.

Yin — 3 \ 5ո + 2 ՚

(Կ.Գ. Առաքելյան)

Յլ Ապացուցել, որ ցա նկա ցա ծ դրական a, b, с թվերի դեպ քում(2 -9 a)b2, (2 -9 b)c2, (2 -9 с)а2

թվերից գոնե մեկը փ ոքր է — ֊ից:

42

Ա Ր Տ Ա Դ Ա Ս Ա Ր Ա Ն Ա Կ Ա Ն

(Ա.Ս. Միքայելյան)4լ Դիտա րկենք 1դմ, 2դմ, Յդմ չափսերով ուղղանկյունանիստի օրթոգոնա լ պրո­

յեկցիան որևէ հարթության վրա: Ինչի՞ է հա վա սա ր ա յդ պրոյեկցիայի մա ­կերեսի մեծագույն արժեքը:

5i Լուծել հավասարումների համակարգը.

j x 3 + у 3 + z3 =1,

|( l + -Jx )(l + J y )(l + -Jz) = 2 :

(Կ.Գ. Առաքելյան)

Ցուցումներ և լուծումներ8 - ր դ դ ա ս ա ր ա ն

1̂ Դիցուք, x-ն ա յդպիսի քա ռա նիշ թիվ է: Կցագրելուց ստ ա ցվա ծ յոթանիշ թիվը կլինի'

A = 4000 000 + x:Ակնհայտ է, որ

A > 20002 :Հետևաբար, A-ն կա րող է լինել (2000 + m f տեսքի, ա յսինքն '

A = 4000 000 + 4000m + m2 (me N):

х = 4000т + т 2 թիվը կլինի քա ռա նիշ թիվ այն և միայն այն դեպքում, երբ տ=1 կամ m=2: Որոնելի քա ռա նիշ թվերն են'

4001 և 8004:

Z Քանի որ 2010 = 2 • 3 • 5 • 67 , ուստի վա նդա կները կարելի է լրացնել, օրինակ, այսպես.

2 355 3

201 1 10

5 6 67

2 5-67 3

3-67 1 2-5

5 2-3 67

(Սկզբում անկյունների չորս վանդակներում գրվում են 2010 թվի պ ա րզ արտա -

43

Ա Ր Տ Ա Դ Ա Ս Ա Ր Ա Ն Ա Կ Ա Ն

ԴՈհչները):3i A կետից տարբեր մնացած ութ կետերից 2-ական կետերի ընտրություն

8 • 7կարելի է կատարել —̂— = 28 եղանակով: Այդպիսի զույգերից միայն երեքն

են, որոնցից յուրաքանչյուրն A կետի հետ գտնվում են մեկ ուղղի վրա (տես նկարը): Հետևաբար, եռանկյունների ընղհանուր քա նա կը կլինի 28 - 3 = 25:

Տանենք BM միջնագիծը (BM _Լ AC) : BM

հատվա ծի վրա վերցնենք К կետն այնպես, որ КС = С А : Այդ դեպքում

ZM CK = 60°, ZKCB = 20° :

К կետից AB-\\{i տ ա րվա ծ զուգահեռ ուղիղը BC ֊ն հատում է D կետում, քա նի որ

ZD K B =ZK B D = 10°, BD = DK = КС = С А :

Մյուս կողմից' ZAKD = ZKBD = 160°, ուստի

AAKD = ABKD : Հետևաբար, ZDAK = 10°, իսկ

ZBAD = Z K A B -Z D A K = 20° -1 0 ° = 10° :

Պ ա տ . 10°:

5. Քանի որ 2010:3, ուստի x2: 3=>x: 3=>x = 3£ (k e Z ) \ x -ի արժեքըտեղադրելով տ րվա ծ հավասարության մեջ և նրա երկու մասերը կրճատելով 3-ով, կ ստ անանք '

3k 2 - V 2 =670:

Դիտարկելով у = 3m, y = 3m±\ (me Z) հնարավոր դեպքերը, նկատում ենք, որ (1) հավասարութ յան ձ ա խ մասը 3-ի բաժանելիս տալիս է 0 կամ 2 մնացորդ, իսկ աջ մասը 3-ի բաժանելիս ’ 1 մնացորդ: Նշանակում է' գոյություն չունեն տ րված հավասարութ յանը բավա րա րող x և у ամբողջ թվեր:

44

Ա Ր Տ Ա Դ Ա Ս Ա Ր Ա Ն Ա Կ Ա Ն

Ց - ր դ դ ա ս ա ր ա ն

1_i Վանդակները կարելի է լրացնել, օրինակ, այնպես, ինչպես ցույց է տ րվա ծ նկար 1-ում:

a cd b

bd 1 ac

с ab d

2 X 6

3 У 4

Նկ. 1 Նկ.2

Եթե իրարից տարբեր a, b, с, d թվերը բավարարեն ab-cd պա յմանին, ա պ ա նման արդյունք չի ստացվի: Օրինակ, նկ.2-ում բերված թվերի դեպ քում x-ը չի կա րող յ-ի ց տարբեր լինել:

1$abp — շ AF ■ հ SAPF, $cdq — շ FD ' ̂ SPqd ,

որտեղ/շ-ը սեղանի բարձրությունն է (նկ. 3): Հետևաբար,

SCDQ = ֊ {A F + FD )h֊(SAPF +SFQD) =

— ^ ■ AD ■ հ (SAPP + SPqD ) — SADE (SAPF + SPqD ) —Sp e q f ■

D

45

Ա Ր Տ Ա Դ Ա Ս Ա Ր Ա Ն Ա Կ Ա Ն

Տանենք BD անկյան կիսորդը (նկ.4): ABC և BDC եռանկյունիների նմանու­թյունից կունենանք'

ВС AC AB լ , ,-----= ----- = ----- , որտեղիցDC ВС BD

ВС2 =АС DC, АВ - ВС = АС BD :Հաշվի առնելով այն, որ BD-AD,

վերջին երկու հավասարությունները գումարելով ' կստ ա նա նք ա պ ա ցուցվելիք հավասարությունը:

4 i Ակնհայտ է, որa = 1 —2c2 < 1, b = 1 —2a2 < 1,

Ցույց տա նք, որ a ,b ,c > -1:

Նկ.4

c = \ — 2b <1:

a = b = c դեպ քում կունենանք' a =b =c = ֊ 1 կա й a = b= с = ̂ \

Դիցուք, a, b, с թվերից գոնե երկուսը միմյանց հա վա սա ր չեն: Որոշա­կիության համար ընդունենք, որ a-ն նրանցից փ ոքրագույնն է: Այդ դեպ քում '

12 a + a< 2a +b = 1, որտեղից' ae ■1;2

Հետևաբար, b > a > - 1, с > а > -1 :Այսպիսով, a,b,ce [ - l; l] :Վերն ա րվա ծ դատողությունների շնորհիվ a, b, с թվերը միա ժա մա նա կ

կա րող են պ ա տ կա նել ■1: ^ ա կ ա ա ի Օ , рш,д да կա րող գտ նվել | -^;1

միջակայքում, քա նի որ նրանցից փ ոքրա գույնը միշտ գտնվում է առաջին միջակայքում:

ա) Ցույց տանք, որ

53 < (л/5 +V6+V7)2 <54: (1)Ունենք'

Հ ն + Ք + sfl <54 <=> + лр? < 2л/б <=> 12 + 2л]35 < 24 <=> -^35 < 6, որը ճիշտ է:

Հեևաբար, (л/5+л/б+л/У)2 <54:Մյուս կողմից,

(л/5 + Ք + վ ւ ) 2 = 18 + շ{\ք30 + л/35 + Ք 2 )> 18 + 2(5,4 + 5,8 + 6,4)= 53,2 > 53 :

46

Ա Ր Տ Ա Դ Ա Ս Ա Ր Ա Ն Ա Կ Ա Ն

Այսպիսով, (1) անհավասարությունն ա պ ա ցուցվա ծ է:

Այդ անհավասարութ յունից հետևում է, որ (V5 թիվը չգերա ­զա նցող ա մենա մեծ ամբողջ թիվը 53-ն է:

բ) Ն ա խա պես ապ ացուցենք, որ

4 9 ո + 8 < 4 ո + у1п + \ + у1п + 2 < 3 - у1п + \ : (1)

Սկզբում ա պ ա ցուցենք աջ մասի անհավասարությունը:

Ունենք'

Ք + -\jn + 1 + yjn-\- 2 < 3ylո +1 <=> Ք + yln + 2 < 2у/ ո +1 <=>

<=> 2« + 2 + 2^յո(ո + 2) < 4(и + 1) <=> yjn(n + 2) < и +1 <=>

<̂ =>и2+ 2 и < и 2+2и + 1<^=>0<1, որն էլ ակնհա յտ է:

Այժմ ա պ ա ցուցենք (1) կրկնակի անհավասարութ յան ձա խ մասի ա նհա ­վասարությունը: Այն հա մա րժեք է հետևյալ անհավասարութ յուններին '

{yfn + ->/и + 1 + >/и + 2 ) > 9 и + 8,

2 д/и (и + 1) + 2 -yjn(n + 2) + 2yj(n + 1 )(и + 2) > 6и + 5 : (2)

(2) անհավասարությունն ապացուցելու համար գ նա հա տ ենք նրա ձա խ մասի գումարելիները: Դժվար չէ ստուգել, որ ցա նկա ցա ծ բնական ո թվի դեպ քում ճիշտ են հետևյալ անհավասարութ յունները'

2yjn(n + 1) > 2 ո + ֊, 2^ո(ո + 2) > 2 ո + -^, 2-\](ո +1 )(ո + 2) > 2ո + ̂ :

Գումարելով ա յդ անհավասարությունները, կստ ա նա նք (2) անհավասարությունը:

Այսպիսով, 9« + 8 < (л/й +V« + 1 +л/« + 2 ) <9« + 9:

Հետևաբար, յուրաքանչյուր ne N դեպ քում { Ք + -\jn + \ + -\]ո + 2

թիվը չգերա զա նցող ամենամեծ ամբողջ թիվը հավա սա ր է 9« + 8-ի:

Պ ա տ . ա) 53; բ) 9ո + 8 :

47

Ա Ր Տ Ա Դ Ա Ս Ա Ր Ա Ն Ա Կ Ա Ն

1 0 - ր դ դ ա ս ա ր ա ն

1̂ Դիցուք, Е ֊ն և К ֊ն ААХ և АА2 Аհատվա ծների հա տ մա ն կետերն են, հա մա պ ա տ ա սխ ա նա բա ր , СВ և CD ուղիղների հետ: Ակնհայտ է որ ճ ճ յ = 2 KE : AECK քա ռա ն ­կյունը ներգծելի է IlAC-U նրան ա րտ ա գծա ծ շրջանագծի տ րա մա ­գիծն է: Հետևաբար,KE = AC sin С : Նշանակում է'

ААХ = 2- AC sin С :Նույն դատողություններով կունենանք'

CQ = 2AC տ տ ճ = sin С (հիշենք որ ZA + ZC = 180°), ուստի

CCj = AAX:

A

Z Գումարելով հա մա կա րգի հավասարությունները, կունենանք'X2 + y 2 +xy + yz + zx + 6 = 4(x + у + z ) :

Որոշ ձևափոխություններից հետո կունենանք'(х + у — 2)2 + (x + z — 2)2 + (z + x + 2)2 = 0 :

Այնուհետև կստ ա նա նք 'х + у - 2 = x + z -2 = z + x -2 = 0, որտեղից'

x + у = y + z = z + x = 2, x = у = z = 1:

Ստուգումով պարզում ենք, որ (1; 1; 1) եռյակը բավարարում է տ րվա ծ հա մա կա րգի յուրաքանչյուր հավասարությանը:

Պ ա տ . (1; 1; 1):

Օ գտվելով uv< U+V2

անհավասարությունից, կա րող ենք գրել'

(5x -3 y + 7z)(x + 9y - z) < 9(x + у + z)2 : Մյուս կողմից, հեշտությամբ կարելի է ապացուցել, որ

(x + y + z)2 < з(х2 +y2 +z2):

2

48

Ա Ր Տ Ա Դ Ա Ս Ա Ր Ա Ն Ա Կ Ա Ն

Հետևաբար,

(5х -З у + 7z \x + 9y - z)<9 ■ з(х2 + y 2 + z2j= 90 :Այսպիսով,

m ax(5x֊3j + 7z)(x + 9 j ֊ z ) = 90 (երբ x = у = z = ՜ ~ ՜ Կա մ

л/10՜ чх = j = z = ----— ):

Պ ա տ . 90:

4i Խ նդիրը լուծելիս հիմքում կարելի է ունենալ հետևյալ հա յտնի փ ա ստ ը 'Եթե ne N թիվը ներկա յացվել է կանոնական տ եսքով '

„ _ ք հ քԿ pkm ո — M ՚ г 2 ■■■г т ■>

ա պ ա նրա բաժա նա րա րների քա նա կը հավա սա ր է' (1 + £1)(1 + £2)...(1 + £Ո!) : Ամենից առաջ նկատենք, որ, օրինա կ '

29 =512 թիվն ունի ճիշտ 10 բա ժա նա րա ր (1,2,22,...29) ;

26 • Յ2 = 576 թիվն ունի ճիշտ 21 բա ժա նա րա ր ((1 + 6)(1 + 2) = 21);

24 • Յ2 • 5 = 720 թիվն ունի ճիշտ 30 բա ժա նա րա ր ((1 + 4)(1 + 2)(1 +1) = 30):

Ցույց տա նք, որ գոյություն չունի ա յնպիսի եռանիշ թիվ, որն ունենա

ճիշտ 11 բա ժանարար: ճիշտ 11 բա ժա նա րա ր ունեն միայն Р10 տ եսքի թվերը,

որտ եղ P-ն պ ա րզ թիվ է: Մյուս կողմից, Pw > 210 =1024: Նշանակում է' եռանիշ թվերի մեջ ա յդպիսի թիվ չկա:

Ն կա տ ենք , որ եռանիշ թվերն իրենց կանոնական վերլուծության մեջ չեն կարող ունենալ իրարից տարբեր 4-ից ավելի պ ա րզ արտադրիչ, քա նի որ2 • 3 - 5 - 7 • 11 > 1000 : Հետևաբար, ա մենա մեծ թվով բա ժա նա րա րներ ունեցող եռանիշ թվերը պ ետ ք է փնտրել

շ հ _3 m _5 ց . 7 *

տ եսքի թվերի մեջ, որտ եղ k,m,q,£-\\ ոչբացասական ամբողջ թվեր են ևk > m > q > £ :

Դժվար չէ նկատել, որ եթե £,q,me N , ա պ ա £ = q = m = 1: Հա կա ռա կ դեպ քում կունենանք'

2* -3 " -5q - I 1 > 22 -32 • 5 • 7 > 1000 :

49

Ա Ր Տ Ա Դ Ա Ս Ա Ր Ա Ն Ա Կ Ա Ն

Այսպիսով, եթե £,q,me N , ա պ ա եռանիշ թիվը կունենա 2k -3-5-7 տեսքը, որտ եղ к < 3 : к = 3 դեպ քում կունենանք'

23 - 3-5-7 = 840, որի բա ժա նա րա րների քա նա կը կլինի'

£ = 0 դեպ քում ունենք' 2к • Յա • 54 :ց-ի և m-ի հնարավոր բոլոր դեպ քերը համակցելով к-ի մեծագույն

ա րժեքի հետ, կունենանք հետևյալ աղյուսակը.

Գ 0 0 0 0 1 1 2

m 0 1 2 3 1 2 2

m ах к 9 8 6 5 6 4 2

2 * - 3 " -б9 29 28 -3 շ 6 >32 25 -33 26 -3-5 24-32 -5 շ 2-32•52

Բա ժա նա ­րարների

թիվն10 18 21 24 28 30 27

Այսպիսով, ա մենա շա տ բա ժա նա րա ր ունեցող եռանիշ թիվը 840-ն է:

Պ ա տ . ' ա) այո, բ) ոչ, գ) այո, դ) այո: Ամենամեծ թվով բա ժա նա ­րարներ ունի 840-ը:

Ն շանակենք' BC=a, AC=b, AB=c:Սկզբում ապ ացուցվում է, որ

a(a + c )= b2 (1)պա յմանն անհրա ժեշտ է և բավարար, որպեսզի В անկյունը երկու ա նգամ մեծլինի А անկյունից (տե՛ս, 9-րդ դասարանի №3 խնդիրը):

Այդ հավասարությունը հեշտությամբ կարելի է ա պ ացուցել նաև սինուսների և կոսինուսների թեորեմների կիրառմամբ:

ա) Նկատենք, որа = 412 = 1681, b = 41-49 = 2009, с = 24 • Յ2 • 5 = 720

թվերը բավարարում են խնդրի պայմանին: Նշանակում է' եռանկյան կող­մերից մեկի երկարությունը կա րող է լինել 2009:

50

Ա Ր Տ Ա Դ Ա Ս Ա Ր Ա Ն Ա Կ Ա Ն

բ) Ցույց տանք, որ ա յդպիսի եռանկյան ոչ մի կողմ չի կարող ունենալ 2010 երկարություն:

Եթե a-ն հա վա սա ր լիներ 2010-ի, կունենա յինք'

2010(2010 + с )= /> \ (2)

որտեղից կհետևեր, որ ծ 2;2010 : Քանի որ 2010=2•3•5•7, ուստի ծ : 2010, նշանակում է'

ь2 ; շօւօ2:(2) հավասարությունից կունենա յինք'

(2o io+c);2oio^>ci2oio :

Ստ ացվեց հակասություն ((а;Ь;с) = 1 պայմանի):

Նշանակում է' a-ն չի կարող հավա սա րվել 2010-ի:Դիցուք, с=2010: (1) հավասարությունը ներկա յացնենք ա յսպես'

2010a = (b-a)(b + а) \ (3)

Ակնհայտ է, որ եթե ծ-ն և a-ն միա ժա մա նա կ լինեն զույգ, ա պ ա կխ ա խ տ վի (аДс)=1 պայմանը:

Մյուս կողմից, (3) հավասարությունից հետևում է, որ (b-a)(b+a)-h զույգ թիվ է: Նշանակում է' a-ն և ծ-ն կարող են միայն կենտ լինել: Աակայն ա յդ դեպքում (ծ - a)(b + a):4, իսկ 2010a թիվը չի բաժանվում 4-ի: Ս տ ա ցվա ծ հակասությունը

ցույց է տալիս, որ օ ն չի կարող հա վա սա րվել 2010-ի:Դիցուք, ծ=2010: (1) հավասարությունը ներկա յացնենք

a(a + c) = 22 -32 • 52 • 672

տեսքով: Ակնհայտ է, որ այս դեպ քում (a;c)=1:Մյուս կողմից, քա նի որ a<b, ուստի a-ն չի կարող պարունակել 67

արտադրիչը, հա կառակ դեպ քում a:672 =4489, ա յսինքն ' a > 4489 :

Հետևաբար, maxa = 22 -32 ֊52 =900 : Նշանակում է'

min(a + c) = 672 = 4489 => mine = 3589 :

Աակայն max(6 + а) = 2910 : Ատացվում է, որ b + a < c , որը հակասու­թյուն է:

Պ ա տ . ա) այո, Բ) ոչ:

51

Ա Ր Տ Ա Դ Ա Ս Ա Ր Ա Ն Ա Կ Ա Ն

11-րդ դ ա սա րա ն

1_i Հետևելով 10-րդ դասարանի №1 խնդրի լուծմանը, եզրակացնում ենք, որ խնդրի պա յմաններին բա վարարում են միայն ա յնպիսի ABCD քա ռա ն ­կյուններ, որոնցում AA = ZC կամ ZA + ZC = 180°:

Z Ապացուցենք հա կա սող ենթադրությամբ, դիցուք, գոյություն ունի այնպիսի ne N թիվ, որ

7 ո -3 р . .. , , ,------֊ = — , որտ եղ p ,qeN , (p;q) = 1:Ъп + 2 q

Այս հավասարությունից կունենանք'3 q2 + 2 p 2

ո = —h,--------- :7q2 - 5 p 2

Եթե ապացուցենք, որ 7ո-ը չի կարող լինել ամբողջ թիվ, դրանից կհետևի, որ ո-ը նույնպես չի կարող լինել ամբողջ թիվ:

29 p2Քանի որ 7ո = 3-\-------- — - , ուստի ա նհրա ժեշտ է ցույց տալ, որ7q2 - 5 p 2

29 p 2— -------- - արտահա յտությունը չի կա րող լինել ամբողջ թիվ: Դրա համար7q2 - 5 p 2բա վա կա ն է համոզվել, որ'

(p2,7q2 —5p2) = 1 և 7q2 —5p 2 = I, 7q2 —5p 2 = 29 հավասարություններից ոչ մեկը չի կա րող տեղի ունենալ: Այդ պնդումներիհիմնավորումները դժվարություն չեն ներկա յացնում (փորձեք համոզվել դրանում):

3i Այն դեպքում, երբ 2 -9 a, 2 -9 b, 2 -9 с թվերից գոնե մեկը ոչ բա ցա սա ­կան է, խնդրի պնդումն ակնհա յտորեն ճիտ է: Դիցուք, նշված թվերը դրական են: Կիրառենք հա կա սող ենթադրության մեթոդը, ենթա դրենք' գոյություն ունեն ա յնպիսի դրական а, b, с թվեր, որոնց դեպ քում

( 2 - 9 a)b2 > — , ( 2 - 9 b)c2 > — , ( 2 - 9 c)b2 > — \27 27 27

Այդ պ ա յմա նով ճիշտ կլինի նաև

{2 ֊9a){2 ֊9b ){2 ֊9c)a2b2c2 (1)

անհավասարությունը:

52

Ա Ր Տ Ա Դ Ա Ս Ա Ր Ա Ն Ա Կ Ա Ն

Մյուս կողմից, կիրառելով երեք թվերի թվա բա նա կա ն և երկրա չափական միջոցների կապը, կունենանք'

( 2 -9 а)а2 = ֊ ( 2 — 9 а)- 1 f (2 -9 a )+ 8 a + a 0 < 8 I 3 27

Նույն ձևով'

( 2 -9b)b2 < — , ( 2 - 9 c)c2 < — :27 27

Վերջին երեք անհավասարութ յուններից հետևում է, որ

(2 — 9a)(2 — 9b)(2—9c)a2b2c2 < (2)

(1) և (2) անհավասարութ յուններից ստանում ենք հակասություն: Հետևաբար, խնդրի պնդումը ճիշտ է:

4 i Լուծենք ընդհանուր դեպ քում ' ընդունելով ուղղանկյունանիստի չափումները a, b, с: Ո ւղղանկյունանիստի օրթոգոնա լ պրոյեկցիան կա րող է լինել ուղղան­կյուն կամ վեցանկյուն: Ուղղանկյուն կստ ացվի այն և միայն այն դեպքում, երբ պրոյեկցիայի հարթությունը զուգահեռ է որևէ նիստի հարթությանը կամ հա նդիպ ա կա ց նիստերի զուգահեռ անկյունագծերով որոշվող հարթությանը: Այդպիսի դեպ քերում պրոյեկցիաների մակերեսները կլինեն հետևյալ մեծու­թյունները'

ab, be, ca, a^jb2 + с2. b^c2 + a2, сл/а2 + b2 :

Մնացած դեպ քերում պրոյեկցիան կլինի վեցանկյուն ' A'B'C'C^D'^ (նկ. 129բ):

D ,

Ш)

C,

С

Նկ. 5

3

53

Ա Ր Տ Ա Դ Ա Ս Ա Ր Ա Ն Ա Կ Ա Ն

Դիտա րկենք Вх գա գա թից ելնող ВХВ, ВХАХ, В1С1 կողերի ծա յրակետերը

միա ցնող ВАХСХ եռանկյան В'А'С[ պրոյեկցիան: Նկատենք, որ ուղղանկյունւս-

նիստի պրոյեկցիայի մակերեսը երկու ա նգամ մեծ է ա յդ եռանկյան մակերեսից: Դա հետևում է այն բանից, որ զուգահեռագիծն ա նկյունագծով բաժանվում է երկու հա վա սա ր եռանկյունների: Նշանակում է' պրոյեկցիայի մակերեսը կլինի մեծագույնը, եթե մեծագույն ա րժեք է ընդունում В'А'С' եռանկյան մակերեսը: Իսկ դա տեղի կունենա այն դեպքում, երբ պրոյեկցիայի հարթությունը զուգահեռ է ВАгСг եռանկյան հարթությանը: Այդ դեպ քում '

^ պ ր • = 2 ՜ S B 'A[C[ = 2 ՜ Տ BAlCl ■

Եթե BxB = a, BxAx=b, BXCX = с , ա պ ա

BAj =yla 2 + b2 , ВСj = л/ь2 + c 2, AXCX = 4a2 + c 2 :Առանց դժվարության կարելի է ցույց տալ, որ

О 1 I 2 լ 2 , լ 2 2 , 2 2 .BAlCl ~ & b + b С + С Cl .

Հետևաբար '

Տ՚պր. = -Ja2b2 + b 2c2 + c 2a2 :

Այնուհետև հեշտությամբ համոզվում ենք, որ ստ ա ցվա ծ թիվը մեծ է (1) տողում գրվա ծ ցա նկա ցա ծ թվից: Տեղադրելով ' a = 1, b = 2, c = 3, կստ ա ­

նա նք պրոյեկցիայի մեծագույն ա րժեքը ' 7:

Պ ա տ . 7դմ2:

5i Ն շանակենք' yfx = и, -yfy = v, л/z = t (u,v,t > 0): Հա մա կա րգը կընդունի

հետևյալ տ եսքը '

\ս 6 + v6 +է6 = 1, (1)[(1 + m)(1 + v)(1 + 0 = 2 : (2)

Վերոհիշյալ նշանակումներից և (1) հավասարությունից հետևում է, որ0 < и < 1, 0 < v < 1, 0 < ̂< 1:

(2) հավասարությունը ներկա յա ցնենք ա յսպես'u + v + t + uv + vt + ut + uvt = 1: (3)

54

Ա Ր Տ Ա Դ Ա Ս Ա Ր Ա Ն Ա Կ Ա Ն

Նկատենք, որ u + v + t> u 6 + v6 +է6 = 1, uv + vt + ut + uvt > 0: Հետևաբար, (3) հավասարությունը կարող է տեղի ունենալ այն և միայն

այն դեպքում, երբ

ս = ս 6, v = v6, է = է6, uv + vt + ut = 0, uvt = 0:Այստեղից ստանում ենք'ս = 1, v = t = 0 կամ u = v = 0, է = 1 կամ ս = է = 0, v = l :

Վերադառնալով նշա նա կմա նը ' կունենանք երեք լուծում'X = 1, յ = z = 0,X = у = 0, z = 1,x = z = 0, у = 1:

55

Ի Ն Ք Ն Ա Կ Ր Թ Ո Ւ Թ Յ Ո Ւ Ն

Ի ն ք ն ա կ ր թ ո ւ թ յ ո ւ ն

Մ Ա ՐԴ ԿԱ Ն Ց Խ Մ Բ ՈՒՄ ԾԱՆՈԹ ԵՌ Յ Ա Կ Ն Ե ՐԻ ԹՎԻ Ս Տ Ո Ր Ի Ն Գ Ն Ա ՀԱ Տ Ա Կ Ա Ն Ի ՈՒԺԵՂԱՑՈՒՄ

Կ. Մ. Մոսեսյան

Ա շխա տ ա նքը շարադրելու համար տ ա նք մի քա նի սահմանումներ: Գրաֆ­ների տեսությանը վերաբերող մնա ցա ծ ա նհրա ժեշտ սահմանումները կարելի է գտնել [1] ա շխա տ ա նքում :

Դիցուք 7 -ը G = (x ,U ) գրաֆի որևէ ո գա գա թներից կա զմվա ծ բազմու­

թյուն է: Կասենք, որ G գրաֆում գագաթների Y բազմությունը դատարկ w-յակ է, եթե նրա ոչ մի զույգ հարևան չէ (օրինակ' դա տ ա րկ զույգ, դա տ ա րկ եռյակ և այլն): Եթե G գրաֆում ¥ բազմության բոլոր զույգերն իրւսր հարևան են, կա ­սենք, որ Y ֊ը լրիվ л-յակ է (լրիվ զույգ, լրիվ եռյակ և այլն):

Գրաֆը կոչվում է ո ֊համասեռ, եթե նրա ցա նկա ցա ծ X գա գա թի ա ստ ի­ճանը (գագաթին կից կողերի թիվը) հա վա սա ր է ո: m=m(G)~ով կնշա նա կենք G գրաֆի բոլոր կողերի քանակը.

Եթե որևէ խնդիր լուծելու ժա մա նա կ վարձում ենք այն բերել գրաֆների խնդրի և լուծել օգտ վե լով գրաֆների մեթոդներից, ա պ ա այդ խնդրում մեզ հե֊ տ ա քրքրող օբյեկտները (առարկաները, երեխաները,շենքերը,քաղաքները և այլն) ներկա յացվում են որպես գրաֆի գագաթներ, իսկ ա յդ օբյեկտների (ա ռա րկա ­ների և այլն) միջև եղա ծ մեզ հ ետ ա քրքրող (տվյալ խնդրին վերաբերվող) կապը ներկա յացվում է որպես ա յդ օբյեկտներն իրար միա ցնող գծեր {կողեր).

Դրանից հետո կառուցվա ծ գրաֆի վրա դիտ ա րկվող խնդիրը ձևակերպում ենք գրաֆների լեզվով (դա կոչվում է խնդրի գրաֆայնացում) և լուծում այն որ­պես սովորական գրաֆա յին խնդիր:

|X| ֊ով նշանակվում է X բազմության տարրերի քա նակը:

56

Ի Ն Ք Ն Ա Կ Ր Թ Ո Ւ Թ Յ Ո Ւ Ն

Հետևյալ խնդիրը տարբեր ձևակերպումներով հանդիպում է մի շա րք ա շխ ա տ ա նքներո ւմ [2,3]:

Խ ն դ ի ր : Ցույց տալ, որ 9 մարդուց կա զմվա ծ ցա նկա ցա ծ խմբում, որտեղ յուրաքանչյուրն ունի ճիշտ չորս ծանոթ, կան երեք մարդ, որոնք զույգ առ զույգ ծանոթ են իրար:

Գրաֆների լեզվով այս խնդիրը կձևակերպվի այսպես, ցույց տալ, որ 9 գա ­գա թ ունեցող 4 համասեռ գրաֆում կա լրիվ եռյակ («եռանկյուն»):

Հետևյալ թեորեմը ընդհանրացնում է բերված խնդիրը և ո - 2 դեպքում տալիս է նրա լուծումը [4]:

Թ ե ո ր ե մ : 4«+1 հատ (ո> 1) գա գա թներ ունեցող 2ո համասեռ գրաֆում կան իրարից տարբեր առնվա զն ո-1 հատ լրիվ եռյակներ («եռանկյուններ»):

Ներկա ա շխ ա տ ա նքո ւմ ավելի է ուժեղացվում ա յդ արդյունքը նման գրա ֆ ­ներում լրիվ եռյակների քա նա կի ստորին գնա հա տ ա կա նը («-1)-ից դարձվում է ո(ո-1):

Թ ե ո ր ե մ : 4«+1 հատ (ո> l) գա գաթներ ունեցող 2ո համասեռ G=(X,U) գրաֆում կան իրարից տարբեր առնվա զն ո(ո-1) հատ լրիվ եռյակներ:

Ա պ ա ց ո ւ յ ց : ո - 1 դեպքում թեորեմի պնդումն ակնհա յտ է: Ենթադրենք, որո> 2:

Հնա րա վոր են հետևյալ դեպ քերըԴ ե պ ք 1 : G գրաֆի ամեն մի կող պ ա տ կա նում է որևէ լրիվ եռյակի (եռան­

կյան):Քանի որ m(G)=2«(4«+1)/ 2=и(4и+1), ա պ ա G գրաֆի լրիվ եռյակների Q

քա նա կի համար կարող ենք գրել q > ո ^4 ո + ^ > ո (ո - ւ):

Ուրեմն, G = ( ճ ,Ս ) ԳՐա ֆհ ԼՐԻՎ եռյակների քա նա կը փ ոքր չէ ո(ո-1) թվից:Դ ե պ ք 2: G գրաֆում կա (a,b) կող, որը չի պ ա տ կա նում ոչ մի լրիվ

եռյակի:«Կախենք» G գրաֆը ա յդ (a,b) կողից ( նկ.1) :

аа___________ЛЬ

Ի Ն Ք Ն Ա Կ Ր Թ Ո Ւ Թ Յ Ո Ւ Ն

նկ.1Քանի որ (a,b) կողը չի պ ա տ կա նում ոչ մի լրիվ եռյակի, Х аП Х , = 0 :

Նկատենք, որ ա ռանց с գա գա թի նկար 1-ում պ ա տ կերվա ծ G գրաֆը, հակառակ թեորեմի պայմանի, կունենար ընդամենը An հատ գագաթներ:

H = (xa Ս ճ ե,1¥)-ով նշա նա կենք G գրաֆի այն ենթագրաֆը, որը ծնվում է xa \JXb գա գա թների բազմությամբ:

Քանի որ ra(G)=«(4«+1), իսկ G={xjJ) գրաֆում a,b և с գա գաթներին կիցիրարից տարբեր կողերի ընդհանուր թիվը 6и-1 է, ա պ ա т(#)=и(4и+1)-(6и-1) կամ, ավելի պ ա րզ տ եսքով

т(Н)=Лп2 -5ո+'\=(2ո-'\)2-ո :

ճ Լ - ո վ (հա մա պ ա տ ա սխ ա նա բա ր , ճ 2-ով) նշա նա կենք Х а բազմության այն գա գա թների բազմությունը, որոնք կից են (հա մա պ ա տ ա սխ ա նա բա ր , կից չեն) с գագաթին: Նման ձևով կսա հմա նենք նաև Х ъ բազմության Հ և X 2 ենթա ­բազմությունները:

Քանի որ d(c) =2ո , ա պ ա կա ՛մ X a, կա ՛մ X b բազմության գա գաթներին с գա գա թը միա ցվա ծ է ո ֊ից ոչ պ ա կա ս թվով կողերով (տես նկ.1) :

Ենթադրենք, որ с գա գա թը Х а բազմության գա գաթներին միա ցվա ծ է п+к

հատ կողերով, այսինքն \x\\ = n + k , որտեղ 0 < к < ո - 1: Այդ դեպքում կունենանք'

\Х2,\ = п - к - 1 X i X l\= n + k - \

Հետևյալ ա) և բ) կետերում նկա րա գրվա ծ է կողերի այն Տ բազմությունը, որոնք կարող են լինել H ենթագրաֆում, G գրաֆում չառաջացնելով ոչ մի եռանկյուն:

ա). X 2a ֊ի ամեն մի գա գա թ միացվում է X^-ի բոլոր գագաթներին, նման կողերի քա նա կը կլինի (и-£-1)(2и-1) հատ:

բ). X I ֊ի ամեն մի գա գա թ միացվում է X !a ֊ի բոլոր գագաթներին, նման կողերի քա նա կը կլինի (п+к)(п+к-1) հատ:

Դ ի տ ո ղ ո ւ թ յ ո ւ ն : Նկատենք, որ բացի վերը նշված ա) և բ) կետերում նկա րա գրվա ծ Տ բազմության կողերից, Н ենթագրաֆում տ ա րվա ծ ցա նկա ցա ծ այլ կող G գրաֆում առաջացնում է գոնե 1 հատ «նոր» եռանկյուն:

Այսպիսով, G գրաֆի н =(xa\ jx b,w) ենթագրաֆում կարելի է տանել ըն­դամենը

58

Ի Ն Ք Ն Ա Կ Ր Թ Ո Ւ Թ Յ Ո Ւ Ն

1<Տ1=(«-£-1)(2«-1 )+(«+£)(и+£-1)=(и-1)(Зи-1)+&2 հատ կողեր, որոնք G գրաֆում եռանկյուններ չեն առաջացնի: Նույնիսկ այն ծա յրահեղ դեպքում, երբ Տ բազմության բոլոր կողերը լինեն Н ենթագրաֆից, վերջինիս մնա ցա ծ

т{Н ) — I Տ 1= (2ո-Հ)2-ո-(ո-Հ)-հ2=ո(ո-Հ)-հ2 (1)

հատ կողերը, ըստ վերն ա րվա ծ դիտողության, G գրաֆում կառաջացնեն ա ռնվա զն «(«-1)-£2հւստ եռանկյուններ:

Եթե к=0, ա պ ա ա ռա ջա ցող եռանկյունների թիվն ա ռնվա զն ո(ո-1) հատ է և թեորեմի պնդումը ճիշտ է: Այսուհետ, ինչպես նշել ենք վերևում, կա րող ենք ենթադրել, որ l< k < n - l\

նկ .2

Նկար 2-ից հեշտ է նկատել, որ X a և 3^ բազմությունների գագաթների

ա ստ իճանները 2«-ի հավասարեցնելու համար (որն ա նհրա ժեշտ է, ըստ թեորեմի

պայմանի), ճ ս -ում «պակասում» է T-\={n+k){2n-2)+{n-k-'\){2n-'\) միավոր լոկալ

աստիճան, իսկ X^-ում 1շ={ո-հ){2ո-2)+{ո+հ-Հ){2ո-Հ) միավոր լոկալ աստիճան:

Քանի որ Т2-Т-\=2к, ա պ ա բացի վերը նշված ա) և բ) կետերում նկա րա գրվա ծ Տ բազմության կողերից, Н ենթագրաֆում կլինեն ևս к հատ կողեր, որոնց գա գա թ ­

ները ընկած են 3^ ենթաբազմության «ներսում» (ակնհա յտ է, որ G գրաֆում

դրա նք կառաջացնեն եռանկյուններ):

59

Ի Ն Ք Ն Ա Կ Ր Թ Ո Ւ Թ Յ Ո Ւ Ն

Այդ к հատ կողերով G գրաֆում (ամենաքիչը) ի՞նչ քա նա կութ յա մբ եռան­կյուններ կառաջանան:

Ենթադրենք и = {et,e )-ն ա յդ к հատ կողերից որևէ մեկն է:

ա) и = {ej ,ej ) կողի զույգ գա գա թները ճ է բազմությունից են:

и = {ej ,eJ) կողով կա ռա ջա նա (б,ег,е; ) եռանկյունը և էլի (2«-1) հատ այլ

եռանկյուններ ճ ս -ի բոլոր (2«-1) հատ գագաթներով: Այսինքն, u = {ej ,ej ) կողով

կառա ջա նա ն առնվա զն 2ո հատ եռանկյուններ:բ) u={ej ,eJ) կողի զույգ գա գա թները Xj, բազմությունից են:

ՈՒրեմն, |Xj| = h - & > 2 և, քա նի որ k> 1, ա պ ա ո> 3: u={ej ,ej ) կողով

կառա ջա նա ն (б,ег,е; ) և (с,ег,е; ) եռանկյունները: Եթե ^ - ի ն և е. ֊ին կից

մնա ցա ծ 2ո-3 ֊ական կողերը նրանց միացնեին Х а ֊ի գագաթներին, ա ռա ջա ցա ծ եռանկյունների р թվի համար կարող ենք գրել

(2ո-3) + (2ո-3) - р = |Х а| կամ Лп-6 - р = 2«-1, р = 2ո - 5 (տես նկ.Յ):

<̂2՜<Հշո̂> '՜7̂Նկ.Յ

ՈՒրեմն u = {ej ,ej ) կողով կա ռա ջա նա ն առնվա զն {2ո-5)+2=2ո-3 հատ

եռանկյուններ: Նկատենք, որ եթե ^ - ի ն և ֊ին կից մնա ցա ծ 2ո-3 ֊ական

կողերի մի մասը ա յդ գա գա թները միացներ ոչ թե X a ֊ի, այլ Xb ֊ի ուրիշ

գա գա թների հետ, ա պ ա ա ռա ջա ցա ծ եռանկյունների քա նա կն ավելի մեծ կլիներ: գ) и = (ej ,ej ) կողի զույգ գա գա թներից ег֊ն Xj, բազմությունից է, իսկ

&j ՜ն X ^-ից:

u={ej ,ej ) կողով կա ռա ջա նա (б,ег,е; ) եռանկյունը և էլի (2«-4) հատ այլ

եռանկյուններ հետևյալ ձևով. ei ֊ն միա ցվա ծ է X^j-ի որևէ (2«-3) գագաթներին,

իսկ e .-ն X^j-ի որևէ (2ո-2) գագաթներին: Վերը բերված հաշվարկի նմանու­

թյամբ կարող ենք համոզվել, որ կա ռաջանան ընդամենը (2ո-4) հատ եռան­կյուններ (նկ.4) և հաշվի առնելով նաև (б,ег,е; ) եռանկյունը, կստ ա նա նք (2ո-3)

հատ եռանկյուն:

Ի Ն Ք Ն Ա Կ Ր Թ Ո Ւ Թ Յ Ո Ւ Ն

նկ.4Հաշվի առնելով բոլոր ա), բ) և գ) դեպքերը, կա րող ենք պնդել, որ բացի (1)-

ում նշված п(пЛ)-1с2 հատ եռանկյուններից կառա ջա նա ն ևս к(2п-3) հատ այլ եռանկյուններ: ՈՒրեմն, ընդհանուր առմւսմբ կա ռաջանան ոչ պ ա կա ս քա ն

հատ եռանկյուններ: Քանի որ ո > 3, ա պ ա 2п-Ъ >п-\>к և, ուրեմն, k(ln — 3)>к2 ու (2) արտահա յտությունից կստ անանք, որ G=(X,U) գրաֆում

եռանկյունների քա նա կը փ ոքր չէ քա ն ո(ո-1) թիվը:Թեորեմն ա պ ա ցուցվա ծ է:

Հ ե տ և ա ն ք : 4«+1 հատ (и > ւ ) գա գա թներ ունեցող 2ո համասեռ

G=(X,U) գրաֆում կան իրարից տարբեր առնվա զն ո(ո-1) հատ դատա րկ եռյակներ:

Իրոք, բա վա կա ն է նկատել, որ 4«+1 հատ գա գա թներ ունեցող 2ո հա ­մասեռ գրաֆի լրացումը նույնպես 4«+1 հատ գա գա թներ ունեցող 2ո համասեռ գրաֆ է:

Նկար 5-ում և նրան հաջորդող գրառումներում ցույց է տրված, թէ ինչպես կառուցել (4«+1) գա գա թա նոց 2ո համասեռ գրաֆ, որում կա ընդամենը ո(ո-1) հատ եռանկյուն:

ո(ո-՜\)-1^+հ{2ո-2ւ) (2)

С

Նկ.5

X а ֊ի յուրաքանչյուր գա գա թ միացվում է Х ь ֊ի բոլոր գագաթներին

V z & X 2a V ^ e J j ((z,q)sU)\շ լ

X b ֊ի յուրաքանչյուր գա գա թ միացվում է a ֊ի բոլոր գագաթներին

61

Ի Ն Ք Ն Ա Կ Ր Թ Ո Ւ Թ Յ Ո Ւ Ն

V? g I j2 Уре Х \ ((p ,t)e U ):Նույն ինդեքսներով dt և et գա գա թները իրար չեն միացվում, իսկ

տարբեր ինդեքսներով di և e . գա գա թները միացվում են,

V j e [l,«]((;' 54 у) => ( Հ ,et)iU&. (dt, e,. )e £ /):

Գրաֆում կլինեն «(«-1) հատ եռանկյուններ՝(ceit/շ), (ce\d^),. ..,{ce\dj), {ce2d\),{c ezdz), ...,(c քշէ /„),..... (с

...., (с ^и-՜ւ dn-2) , (с ^и-՜ւ dt}), (с Տոժ] (с Cyfiln-'i ).

Օրինակ, и=3 դեպ քում կստ ա նա նք նկար 6-ում պ ա տ կերվա ծ 13 գա գա - թանոց գրաֆը, որտեղ '

V z & X 2a V q e X ъ ((z, q )e Ս ),

V t e X t2 V p e X la ((P , t ) e U )V i, j e [\,3 ]{(i Ф y)=> {dt,e t )<£ U & { d ^ e ^ U )

Նկ.6

Գրաֆում կլինեն и(и-1)=6 հատ հետևյալ եռանկյունները'(с e՜it/շ), (с e^dz), (ce2d-\),(c е2^з),(с езб/ i) և (с £3^2)-

62

Ի Ն Ք Ն Ա Կ Ր Թ Ո Ւ Թ Յ Ո Ւ Ն

ԳՐԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆ

1. Կ.Մ.Մոսեսյան, Հ.^.Պետրոսյան, Խնդիրների լուծումը գրաֆների միջոցով, «Մաթեմատիկան դպրոցում», թիվ 1-2 (58-59), 2008թ , էջ 69-82

2. ժ. Գ. Նիկոդոսյան, Դիսկրետ Մաթեմատիկա , Գյումրի, 2007թ., էջ 339 խնդիր 4.2.8 (էջ 210))

3. Л. Ю. Березина, Графы и их применение, М., Просвещ., 1979г., 144стр. (Задача 3.5, стр. 56)

4. Մոսեսյան Կ. Մ., Պետրոսյան Հ.Հ., Որոշ դասի խնդիրների լուծումը գրաֆների միջոցով,ՀՊՄՀ «Գիտական տեղեկագիր», թիվ 3-4 (9-10), 2008, էջ 75-82

63