ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLEΔιατύπωση: Εάν για μια συνάρτηση f(x)ισχύουνΗ f(x) συνεχής στο [α ,β]Η f(x) παραγωγίσιμη στο (α, β)f(α) = f(β)τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ(α, β) τέτοιο ώστε f΄(ξ) = 0

Γεωμετρική Ερμηνεία : Γεωμετρικά το θεώρημα ROLLE εξασφαλίζει ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο Μ (ξ,f(ξ)) της γραφικής παράστασης της f(x) με ξ(α, β) στο οποίο η εφαπτομένη είναι παράλληλη στον άξονα x΄x.

Κατηγορίες Ασκήσεων1η ) Συνθήκες – Συμπεράσματα στο Θ. Rolleείναι προτιμότερο να εξετάσουμε πρώτα αν ισχύει η σχέση f(α) = f(β).αν δεν ισχύει μία από τις παραπάνω συνθήκες , τότε το θεώρημα δεν ισχύει.Για μια συνάρτηση f(x) μπορεί να υπάρχει ξ(α, β) με f΄(ξ) = 0, χωρίς να ισχύουν στο [α ,β] κάποιες από τις προϋπόθεσης του θεωρήματος Rolle. Αφού διαπιστώσουμε ότι ισχύει το Θ. Rolle Βρίσκουμε την παράγωγο f΄(x) και λύνουμε την εξίσωση f΄(ξ) = 0.

2η ) Εύρεση ΠαραμέτρωνΑν δίνετε μια συνάρτηση f(x) με παραμέτρους και θέλουμε να βρούμε τις τιμές των παραμέτρων αυτών , ώστε να εφαρμόζεται το θεώρημα Rolle σε κάποιο δοσμένο διάστημα [a, β], τότε απαιτούμε f(α) = f(β).Η f(x) να είναι συνεχής στο [a, β], κάνοντας ενδεχομένως χρήση του ορισμού για τη συνέχεια στο σημείο xο , όταν η f(x) δίνεται κατά κλάδους.Η f(x) να είναι παραγωγίσιμη στο (a, β), κάνοντας ενδεχομένως και εδώ χρήση του ορισμού της παραγώγου.

3η ) Πολλαπλή Εφαρμογή του Θ. Rolle Σε ορισμένα θέματα είναι απαραίτητο να εφαρμόσουμε το θεώρημα Rolle περισσότερες από μία φορές και μάλιστα σε διαφορετικά διαστήματα , αλλά πιθανόν και στις f , f΄ ,f΄΄ , αρκεί βέβαια να πληρούνται οι προϋποθέσεις.

Αξίζει εδώ να αναφέρουμε ότι ανάμεσα σε δύο ρίζες της f θα υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της f΄, όπου f παραγωγίσιμη συνάρτηση στο διάστημα των ριζών αυτών.

4η ) Rolle σε βοηθητική συνάρτηση

ΜεθοδολογίαΜεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος και δημιουργούμε συνάρτηση g(x) , θέτοντας όπου x το ξ.βρίσκουμε μια συνάρτηση G(x) που έχει παράγωγο την g(x) δηλαδή G ‘(x) = g(x).Δείχνουμε ότι για την G(x) ισχύει το θεώρημα ROLLE οπότε υπάρχει ξ(α, β) ώστε G ‘(ξ) = 0 δηλαδή g(ξ) = 0 που είναι η ζητούμενη σχέση

5η ) Ύπαρξη Ρίζας με το Θ .Rolle

Χρήστος Π. Τσιφάκης : Μαθηματικός

Εάν θέλω να δείξω ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (α , β) και δεν εφαρμόζεται το θεώρημα Bolzano ή κάποια άλλη μέθοδος επίλυσης εξισώσεων τότε βρίσκω F(x) μία αρχική της f (Δηλαδή F΄(x)=f(x)) και εφαρμόζω το θεώρημα Rolle.

6η ) Ύπαρξη ακριβώς μία ή το πολύ μία Ρίζας στο (α , β) με το Θ .Rolle

Α. Για να δείξω ότι η f έχει ακριβώς μία ρίζα τότε

1ον Δείχνω ότι έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (α , β) με το θ. Bolzano ή προφανή ρίζα ή με το Θ Rolle σε αρχική συνάρτηση.

2ον Δέχομαι ότι έχει και δεύτερη ρίζα έστω ρ2 εκτός της ρ1που βρήκα παραπάνω και εφαρμόζω τοΘ. Rolle στο διάστημα [ρ1, ρ2] και καταλήγω σε άτοπο

Β. Για να δείξω ότι η f έχει το πολύ μία ρίζα στο (α , β)Δέχομαι ότι έχει δύο ρίζες ρ1, ρ2 και εφαρμόζω το Θ. Rolle στο διάστημα [ρ1, ρ2] και καταλήγω σεάτοπο οπότε έχει το πολύ μία .

Γ. Γενικά για να δείξω ότι μια εξίσωση έχει το πολύ ν τότε δέχομαι ότι έχει ν+1 και εφαρμόζονταςπολλαπλά το Θ. Rolle και καταλήγω σε άτοπο.

7η) Θεωρητικές ασκήσεις.

Δίνεται η συνάρτηση f : R R δύο φορές παραγωγίσιμη στο R , να αποδείξετε τα παρακάτω:i. Μεταξύ δύο ριζών της f(x) = 0 υπάρχει τουλάχιστον μια ρίζα της εξίσωσης f '(x) = 0 .

ii. Μεταξύ δύο ριζών της της εξίσωσης f '(x) = 0 υπάρχει τουλάχιστον μια ρίζα της f ‘’(x) = 0.

iii. Μεταξύ δύο διαδοχικών ριζών της εξίσωσης f'(x) = 0 υπάρχει το πολύ μία ρίζα της f(x) = 0 .

iv. Αν εξίσωση f '(x) = 0 έχει ακριβώς μία ρίζα στο R , τότε η εξίσωση f(x) = 0 έχει το πολύ δύοδιαφορετικές ρίζες .

Χρήστος Π. Τσιφάκης : Μαθηματικός