|| rank-order tournaments as optimum labor contracts || Vortrag zu Lazear and Rosen (1981) Von...
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|| rank-order tournaments as optimum labor contracts ||
Vortrag zu Lazear and Rosen (1981)
Von Vanessa Fürstenberg und Johanna Paskuda im Rahmen des „Prinzipal Agent Theorie Seminar“ am Lehrstuhl für Produktionswirtschaft und Controlling
19.06.2007 || Lazear, Rosen; rank-order tournaments as optimum labor contracts; 1981 ||
Agenda
Modellgrundlagen
Stücklohn und Turniere bei Risikoneutralität
Stücklohn Anreizsetzung und Kompensation bei Risikoaversion
Heterogene Turniergegner
2
19.06.2007 || Lazear, Rosen; rank-order tournaments as optimum labor contracts; 1981 ||
Agenda I
Modellgrundlagen
Fragestellung
Grundlegende Annahmen des Modells
3
19.06.2007 || Lazear, Rosen; rank-order tournaments as optimum labor contracts; 1981 ||
Stetige Verteilung
Fragestellung
Stetige Verteilung
Diskrete, binomiale Verteilung
Produktivität Entlohnung
Entlohnungs-System
Stücklohn(lineare Transformation)
Turnier(nichtlineare Transformation)
Fragestellung: Führt ein Turnier zu gleichen Leistungsanreizen?
Unter welchen Bedingungen ist welches Entlohnungssystem zu bevorzugen?
19.06.2007 || Lazear, Rosen; rank-order tournaments as optimum labor contracts; 1981 ||
Die Marktteilnehmer verhalten sich rational (Nutzenmaximierung)
Betrachtung einer Periode (Karriereentwicklung, Lebenszeitproduktivität)
Der AN generiert einen Output ( ) mit
verursacht Kosten in Höhe von , wobei
hat , die Varianz = und ist über alle AN hinweg i.i.d. verteilt
Ein AN kann sein Produktivitätsrisiko nicht diversifizieren
Die Produktionsfunktion besteht ausschließlich aus Additiv verknüpftem Arbeitsoutput der AN
Der Manager (hier Prinzipal) ist risikoneutral (=Erwartungswertmaximierer)
Freier Marktzutritt und Wettbewerb auf dem Outputmarkt
Wert pro Einheit Output ist , der Wert des erwarteten Gesamtoutputs ist
Grundlegende Annahmen des Modells
iq
iiiq
i )( iC 0'',' CC
i 0)( iE 2
(1)
V
i
i
kji ,:= Arbeitsanstrengung
:= Zufallsvariable
mit
V
19.06.2007 || Lazear, Rosen; rank-order tournaments as optimum labor contracts; 1981 ||
Agenda
Modellgrundlagen
Stücklohn und Turniere bei Risikoneutralität
Stücklohn Anreizsetzung und Kompensation bei Risikoaversion
Heterogene Turniergegner
6
19.06.2007 || Lazear, Rosen; rank-order tournaments as optimum labor contracts; 1981 ||
Agenda II
Stücklohn und Turniere bei Risikoneutralität
Stücklohn – bei risikoneutralen AN
Turnier – bei risikoneutralen AN
Vergleich der Entlohnungssysteme
7
19.06.2007 || Lazear, Rosen; rank-order tournaments as optimum labor contracts; 1981 ||
Nutzenmaximierung der AN (risikoneutral) mit maximieren des erwarteten Einkommen:
Ableiten nach gibt BEO:
( taucht nicht mehr auf, da )
freier Marktzutritt, Wettbewerb und Nullgewinne:
Grenzkosten = Wert einer Outputeinheit(Standartergebnis Stücklohn ist effizient)
Vgl. [E2.1]
Stücklohn Risikoneutrale AN
)(Crq
)(' Cr
Vr
)(' CV
i 0)( iE
)(C
r q
:= Kosten für Arbeitsanstrengung
:= Stücklohnmit
19.06.2007 || Lazear, Rosen; rank-order tournaments as optimum labor contracts; 1981 ||
TurnierRisikoneutrale AN 2 AN „spielen“ gegeneinander, gleiche Kostenstruktur, Rangordnung
AN maximieren:
P(„j“ gewinnt):
Wahrscheinlichkeit zu gewinnen hängt von den Zufallsfaktoren ab
BEO:
erwarteter Lohnzuwachs = Kosten für eine weitere
Anstrengungseinheit
und (wobei )
Mit Cournot-Nash GG kann (3) abgeleitet werden:
In (4):
Mit :
Optimale Investitionsniveau hängt von der Differenz ab
Null-Gewinn Bedingung für Firmen: erwarteter Produktwert = erwartete Kosten
, (7) in (2):
)()1( 21 CWPPW (2)
)()()( kjjkkjkj GprobqqprobP
0)(')(' 21
ii
CP
WWEU
0)(''²
²)('' 21
ii
CP
WWEU
kji ,
(4)
(3)
)( kjj
gP
0)(')()( 21 jkj CgWW (5)
)(')0()( 21 jCgWW (6)
2)()( 21
21
WWVmitWWV kjkj
(7)
)('0))](('[)( CVW
CVCVi
)( kj )( 21 WW
21P
i
(9)
[E2.2-4]
[E2.5]
[E2.6]
[E2.7]
[E2.7-8]
19.06.2007 || Lazear, Rosen; rank-order tournaments as optimum labor contracts; 1981 ||
TurnierRisikoneutrale AN
Grenzkosten = Wert der Outputeinheit Stücklohn, Turnier sind effizient, gleiche Ressourcenverteilung
Umformung für weitere Interpretationen:
winner-take-all: AN erhält den erwarteten Outputwert +/- die „Turniergebühr“
Gegensatz zu anderer Angency-Theorie: Der Anreiz zur Anstrengung gründet auf dem Bestreben das Turnier zu gewinnen
Anwendungsbeispiel aus der Praxis: Gehälter von Präsident / Vice-Präsident, das des Präsidenten ist oftmals 3* so viel wie das des Vice-Präsidenten:
- Nicht die Fähigkeit (Anstrengung) des Präsidenten ist auf einmal so viel höher
- Die Anreizsetzung ist stärker bei einem solchen Vergütungsschemas
Dieses Anreizschema macht die AN produktiver auf ihr ganzes Arbeitleben hin gesehen
)0(2)0(2
)('1 g
VV
g
CVW
)(')0()( 21 jCgWW
)0(2)0(2
)('2 g
VV
g
CVW
(10)
Als Turniereinsatz /Turniergebühr betrachtet
[E2.9]
[E2.10]
19.06.2007 || Lazear, Rosen; rank-order tournaments as optimum labor contracts; 1981 ||
Vergleich der EntlohnungssystemeStücklohn und Turnier Mögliche Entlohnungssysteme
Stücklohn und Turnier: Unterschiedliche Anreizsetzung, dennoch
- Beide pareto- optimale Ressourcenverteilung (bei risikoneutralen Parteien)
- Beide effiziente Lösungen
Weitere Möglichkeit: Turnier nicht mit Gegner sondern Vergleich zum Standard , den es zu übertreffen gilt
- Gleiches Anreizschema wie beim Turnier gegen andere
Alle 3 Mögl.: Gleiche Investitionspolitik, erwarteter Outputwert = erwartete Bezahlung, zielen auf gleiches Ergebnis der gleiche erwartete Nutzen für die AN
Sind deshalb in der Praxis alle Entlohnungssysteme gleich zu bewerten?
Verschieden hohe Kosten für Informationen und Einschätzungen Machbarkeit der verschiedenen Anreizschemen entscheidend
Zu berücksichtigen :
- Kardinale Skala, Rangordnung in der der Abstand zu benachbarten Plätzen mitentscheidend, als sehr exakte Messung – wie beim Stücklohn
- Ordinale Skala, reine Rangordnung, ist prinzipiell schwächer - wie beim Turnier
Beobachtung der reinen Rangordnung kostengünstiger Turnier als beste Lösung
Beobachtung des exakten Outputs günstig (bsp. Vertreter) Stücklohn optimal
Potentielle Geschäftsführer nicht durch Testen in dieser Position gefunden
In niedrigeren Positionen: Leistungseinschätzungen Einstufung = IQ Tests / Schule
q
19.06.2007 || Lazear, Rosen; rank-order tournaments as optimum labor contracts; 1981 ||
Agenda
Modellgrundlagen
Stücklohn und Turniere bei Risikoneutralität
Stücklohn Anreizsetzung und Kompensation bei Risikoaversion
Heterogene Turniergegner
12
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Agenda III
Optimale Anreizsetzung und Kompensation bei Risikoaversion
Ermittlung des optimalen linearen Stücklohns
Ermittlung der optimalen Preisstruktur bei Turnieren
Vergleich und Bewertung der beiden Entlohnungsformen
13
19.06.2007 || Lazear, Rosen; rank-order tournaments as optimum labor contracts; 1981 ||
Die im Folgenden untersuchte Entlohnung setzt sich aus einem fixen und einem variablen Lohnanteil zusammen. Der „Bruttogewinn“ y ist damit bestimmbar als:
Ziel des AG ist es, eine I,r-Kombination zu finden, die den Nutzen des AN maximiert
Denkschritt 1: Der AN seinerseits wird bei gegebener I,r Kombination sein so setzen, dass sein Nutzen maximiert wird
Denkschritt 2: Da im vollkommenem Wettbewerb langfristig gilt, dass die Erlöse des AG den Kosten entsprechen, gilt hier:
Ermittlung des optimalen Stücklohns (I)
Fixer Lohnanteil
)()( CrrICrqIy (11)
])()(max)([max,
dyyyUUErI
Dichtefunktion des Lohns[E3.1]
rIV (14)
dfCrrIUUE )()]([)(max
0)()](')][('[
)(
dfCryUUE
)(' Cr (13)
:= Variabler Lohnanteil:= Stücklohn pro Outputeinheit
)( rrqr
ε ist unabhängig von
19.06.2007 || Lazear, Rosen; rank-order tournaments as optimum labor contracts; 1981 ||
Zur Bestimmung des optimalen r, setzen wir nun (14) in die Nutzenfunktion ein und leiten diese nach r ab
Da der AN risikoavers ist und damit gilt, muss sein
Da wir aus Gleichung (13) wissen, dass , wird der AG ein r wählen, dass kleiner als V ist
Hiermit liegt ein Fall von Unterinvestition/Moral Hazard vor, der vom Fixlohn resultiert
Nehmen wir an, dass ε normalverteilt ist, erhalten wir unter Verwendung der Taylorreihen [E3.3] die Werte:
Ermittlung des optimalen Stücklohns (II)
0'UE )(' CV
0I
dfrCrrVU )()]}([)({ 0'')]('[ UEEUdr
dCV
[einsetzen] [ableiten]
(15)
[E3.2]
)(' Cr
22
222
)''1(
sC
Vy
21
''1'
sC
VC
2''1 sC
Vr
'/'' UUs mit sowie
(16) (15)
"C
2yV V
s 2 ;;
2ys 2 ;; "C für große 2
19.06.2007 || Lazear, Rosen; rank-order tournaments as optimum labor contracts; 1981 ||
Bei Turnieren konkurrieren die AN miteinander, wobei der sich durchsetzende AN den höheren Lohn und der Verlierer den niedrigeren Lohn erhält
Die optimale Festlegung der beiden Lohnhöhen wird auch hier über die Maximierung der Nutzenfunktion des Arbeitnehmers ermittelt (Denkschritt 1):
Denkschritt 2: Unter der Annahme, dass die Erlöse des AG im vollkommenem Wettbewerb langfristig den Kosten entsprechen, gilt hier:
Denkschritt 3: Nachdem und i.i.d. verteilt sind und wir von homogenen AN ausgehen, was bedeutet, dass , impliziert das Nash-Gleichgewicht, dass
Die optimale Preisstruktur bei Turnieren (I)
1W 2W
*,21 maxmax*)]}([){1(*)]}([{)(
21
WWCWUPCWUPUE
Wahrscheinlichkeit für den Gewinn:
)()()( kjjkkjkj GprobqqprobP
21 )1(* WPPWV (20)
0*)](')[2(')1()]2(*
[*)](')[1(')1(**
)(
CUPUP
CPUUPUE
mit
*)]([)1( 1 CWUU *)]([')1(' 1 CWUU *)]([)2( 2 CWUU *)]([')2(' 2 CWUU ; ; ;
[E3.4]
j k)()( kj CC
2
1)0(; GPkj )0()('
*gG
Pkj
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Die optimale Preisstruktur bei Turnieren (II)
Die Ergebnisse aus Denkschritt 3 eingesetzt in die abgeleitete Nutzenfunktion und aufgelöst nach ergibt [E3.5]:
Aus Gleichung (21) lässt sich schließen, dass und der optimale Vertrag folgende Nutzenfunktion maximiert:
Unter der Annahme, dass und normalverteilt und unkorreliert sind, erhalten wir anhand einer Approximation zweiten Grades:
*)(' C
)]2(')1('[
)0()]2()1([2*)('
UU
gUUC
(21)
),(** 21 WW
(23)*)]([2
1*)]([
2
1*)( 21 CWUCWUUE
jk
21
"1'*
sC
VC 22
222* )"1(
sC
Vy
"C
V
s 2 ;;
2yV
2ys 2 ;; "C
*)(
*)(*
2
1
CW
CWywobei
für große 2
19.06.2007 || Lazear, Rosen; rank-order tournaments as optimum labor contracts; 1981 ||
Vergleich der beiden Entlohnungsformen (I)
Basis des Vergleichs:
Erkenntnis 1: Bei gegebenem s ist das erwartete Anstrengungsniveau bei einer Stücklohn-Entlohnung größer als im Turnier
Erkenntnis 2: Für ist [E3.6] (Sicherheitsvorteil der Turniere)
22
222
)''1(
sC
Vy
21
''1'
sC
VC
21
"1'*
sC
VC
22
222* )"1(
sC
Vy
Stücklohn(lineare Transformation)
Turnier(nichtlineare Transformation)
"
12
sC 22
* yy
Da Erwartungswert und Varianz von y von den individuellen Nutzenfunktionen abhängen, lässt sich eine generelle Regel für die bessere Entlohnungsform leider nicht finden. Daher soll im Folgenden anhand eines Beispiels diskutiert werden ( S. 854).
19.06.2007 || Lazear, Rosen; rank-order tournaments as optimum labor contracts; 1981 ||
Vergleich anhand eines Beispiels I
Siehe dazu das Beispiel auf Seite 854
Das erwartete Anstrengungsniveau ist bei Personen mit gleich hohen anderweitigen Einkommen ( ) bei Anwendung der Stücklohn-Entlohnung größer als im Turnier
Der Stücklohn wird in diesem Beispiel bei größeren und das Turnier bei kleineren Varianzen des Zufallsvektors präferiert Intuition: Streng risikoaverse AN möchten niedrige Löhne vermeiden und bevorzugen
daher den Stücklohn, da dieser meist dem Erwartungswert entspricht, während signifikant über und signifikant unter dem Erwartungswert des Einkommens liegt
Bei kleinen Varianzen des Zufallsvektors wird das Turnier bevorzugt, da die Löhne die Lohnspannbreite nach unten begrenzen (Mindestlohn = )
AN, die sich lediglich durch ihr anderweitiges Einkommen ( ) und ihrer Risikoaversion unterscheiden, suggerieren, dass mit höherem und kleinerem s Turniere bevorzugt werden ( )
AN mit kleinerem und höherer Risikoaversion bevorzugen Stücklöhne
0y
Allgemeine Auffälligkeiten
1W2W
2W
Einkommensverteilung
0y0y
0y
**00 VyVy
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Der Fehlerterm soll in Anbetracht der Risikoaversion möglichst gering sein
Nehmen wir nun an, dass der Output-Schätzer des i-ten AN in der Aktivität aus folgenden Komponenten besteht:
Der Output besitzt bei der Stückentlohnung somit eine Varianz von
Im Turnier entfällt der aktivitätsspezifische Störterm durch den Vergleich zwischen zwei AN, sodass gilt
Bemerkung: Existiert die Gefahr des Messfehlers nicht, lässt sich die Output-Varianz noch weiter auf kürzen, indem AN nicht miteinander, sondern mit einem Standard verglichen werden
Vergleich anhand eines Beispiels II
iii qq ˆ
Fehlerstruktur
Zufallsfehler
(1) Aktivitätsspezifischer Messfehler
(2) Performance des Unternehmens
Für spezifischer und bei allen AN gleichsam auftretender Störterm. Mögliche Ursachen:
222
22 2*
22*
Bei großen und ausreichend risikoaversen AN können Turniere die bessere Entlohnungsform sein
2
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Agenda
Modellgrundlagen
Stücklohn und Turniere bei Risikoneutralität
Stücklohn Anreizsetzung und Kompensation bei Risikoaversion
Heterogene Turniergegner
21
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Agenda IV
Heterogene Turniergegner
Adverse Selektion
Handycap Systeme
22
19.06.2007 || Lazear, Rosen; rank-order tournaments as optimum labor contracts; 1981 ||
Heterogene TurniergegnerAdverse Selektion Vorraussetzungen
- 2 AN-Typen mit unterschiedlichen Kostenstrukturen, wobei gilt
- 2 Ligen von Firmen: die mit guten AN (a-Typen) und die mit nicht so guten AN (b-Typen)
These: AN werden sich mischen und das ist ineffizient
Beweis in 2 Schritten:
1.Schritt: AN werden sich nicht selbst der richtigen Firma zuordnen
- Betrachte das erwartete Einkommen , beim spielen in Liga
- wobei P vom eigenem Anstrengungsniveau und das der anderen in dieser Liga abhängt
- Einsetzen von (6), (9) und (10)
)(')(' ba CC
bai ,iR
iiiii PWWWR )()( 212
)(');(';)(;)( bbaabb
aa CVCVundGPGP mit =Anstrengung der jeweils anderen in der Liga
ba ,
])0(2
:)10();(':)9();(')0()(:)6[( 221 g
VVWCVCgWW
)]([)0(
)( 21 iii G
g
VVR VRundVR iii )(')( wenn dann
i
0)0(
)()('
g
VgR
R ii
i
VCundVC bbaa )(')(' )()( biaiba RR
)(')0(
)()]([' a
bbabab R
g
VgR
i
ii
fürV
fürVR
' Und steigtEinkommensfunkt. schneiden sich nicht liegt südwestlich von
)(iR
)(bR )(aR b
a
)(aR
)(bR
V)(iR
Steigung= V
<
b
a
19.06.2007 || Lazear, Rosen; rank-order tournaments as optimum labor contracts; 1981 ||
Heterogene TurniergegnerAdverse Selektion Vorraussetzungen
- 2 AN-Typen mit unterschiedlichen Kostenstrukturen, wobei gilt
- 2 Ligen von Firmen: die mit guten AN (a-Typen) und die mit nicht so guten AN (b-Typen)
These: AN werden sich mischen und das ist ineffizient
Beweis in 2 Schritten:
1.Schritt: AN werden sich nicht selbst der richtigen Firma zuordnen
- Betrachte das erwartete Einkommen , beim spielen in Liga
- wobei P vom eigenem Anstrengungsniveau und das der anderen in dieser Liga abhängt
- Einsetzen von (6), (9) und (10)
)(')(' ba CC
bai ,iR
iiiii PWWWR )()( 212
)(');(';)(;)( bbaabb
aa CVCVundGPGP mit =Anstrengung der jeweils anderen in der Liga
ba ,
])0(2
:)10();(':)9();(')0()(:)6[( 221 g
VVWCVCgWW
)]([)0(
)( 21 iii G
g
VVR VRundVR iii )(')( wenn dann
i
0)0(
)()('
g
VgR
R ii
i
VCundVC bbaa )(')(' )()( biaiba RR
)(')0(
)()]([' a
bbabab R
g
VgR
i
ii
fürV
fürVR
' Und steigtEinkommensfunkt. schneiden sich nicht liegt südwestlich von
)(iR
)(bR )(aR b
a
)(aR
)(bR
V)(iR
Steigung= V
<
b
a
19.06.2007 || Lazear, Rosen; rank-order tournaments as optimum labor contracts; 1981 ||
Heterogene TurniergegnerAdverse Selektion
2.Schritt: Gemischte Turniere sind ineffizient
- Mit a-Typen und b-Typen, erwateter Nutzen eines Spielers des Typs i= a,b
- BEO:
- Für eine effizient Lösung müsste gelten:
- Woraus folgen würde:
» Das gilt hier allerdings nur in dem sehr speziellen Fall wenn , andernfalls gibt es kein effizientes GG, sondern je eine der Parteien über bzw. unterinvestiert.
Ein reines Preissystem kann hier für die richtige Anreizsetzung nicht effizient sein
Andere Ideen: nicht bepreiste Einteilung und Zertifizierungen
)1( )()]()1([ 212 ii
ib
ia CWWPPW
)(')]()1([ 21 iii
ib
i
ia CWW
PP
)('))](0()1()([
)('))](()1()0([
21
21
aaab
aaba
CWWgg
CWWgg
Für b-Typen
Für a-Typen
)(')(' aabb CVC
)0()1()()()1()0( gggg abba
21
19.06.2007 || Lazear, Rosen; rank-order tournaments as optimum labor contracts; 1981 ||
Heterogene Turniergegner Handicap Systeme I Ausgangslage:
Heterogene AN: Typ A und Typ B
Typ der AN ist allen bekannt
Gesucht: Eine effiziente Preisstruktur bei gemischten sowie bei homogenen Gruppen
Angenommen, dass Typ A „besser“ ist als Typ B, so wird Typ A mit einer höheren Wahrscheinlichkeit das Turnier gewinnen
Der zusätzliche Gewinn des AN A, der entsteht, indem dieser gegen einen AN vom Typ B und nicht gegen einen AN vom Typ A konkurriert, lässt sich definieren als:
Analog berechnet sich der Wert für den AN des Typs B als
Für alle Werte von h muss dabei gelten, dass , das heißt, dass der zusätzliche Gewinn für einen AN immer einen zusätzlichen Verlust in eben diesem Wert für den anderen AN bedeutet
Notation:
1W 2W;
*b*
a ;
h
:= Sozialoptimales Anstrengungsniveau
:= Preise in der gemischten Gruppe
:= Handicap
Idee
)( baba hprobP
)](2/)[()()1()( *21
*21 aa
aaaaa CWWCWPWPh
(30)
)](2/)[()()1()( *21
*21 bb
bbbbb CWWCWPWPh
0)()( hh ba
19.06.2007 || Lazear, Rosen; rank-order tournaments as optimum labor contracts; 1981 ||
Heterogene Turniergegner Handicap Systeme II Wären die Preisstruktur bei gemischten Gruppen und die Preisstruktur bei getrennten
Gruppen identisch, würde Typ A immer bevorzugen in einer gemischten Gruppe zu sein Es soll deshalb eine Preisstruktur ermittelt werden, innerhalb derer es für beide Typen keinen
Unterschied macht, ob sie sich in einer homogenen oder gemischten Gruppe befinden
Wenn
Durch Einsetzen dieser Gleichung, der Null-Gewinn Bedingung sowie dem Nash-Gleichgewicht
, lässt sich die Gleichung (30) vereinfachen zu:
)()( ba CC
Berechnung der effizienten Preisstruktur
**ba und ))](([
2
1hhgP
)( **21 baVWW
)()( 'iiba CWhg
)()( *'*'bbaa CCV
bai ,mit und
hVha 2)(
0)(2
hh a
Bei Festlegung eines Lohnes von
)0()0( ba
1W 2W1
~W 2
~W
und für Typ A
und von und für Typ B erhalten wir eine Preisstruktur, bei der alle AN indifferent bzgl. der Art der Gruppe sind
19.06.2007 || Lazear, Rosen; rank-order tournaments as optimum labor contracts; 1981 ||
Gibt es noch Fragen?
18
Vielen Dank für die Aufmerksamkeit
Edward PaulLazear
Sherwin Rosen
19.06.2007 || Lazear, Rosen; rank-order tournaments as optimum labor contracts; 1981 ||
Back-up
Weitere Details zu Berechnungen
Für ein besseres Verständnis des Papers
[E2.1-10] und [E3.1-6]
Im Folgenden Back-up Folien
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Agenda II[E2.1-10]
Stücklohn und Turniere bei Risikoneutralität
Stücklohn – bei risikoneutralen AN
Turnier – bei risikoneutralen AN
Vergleich der Entlohnungssysteme
30
19.06.2007 || Lazear, Rosen; rank-order tournaments as optimum labor contracts; 1981 ||
[E2.1] Stücklohn Risikoneutrale AN
Outputrate = r, Nettoeinkommen des AN:
Risikoneutrale AN verhalten sich wie Erwartungswertmaximierer, d.h. sie wählen so, dass maximiert wird
BEO:
Da freier Marktzutritt und Wettbewerb für AN, muss geltenNullgewinne: den Wert/Outputeinheit muss das U. auch dem AN zahlen
marginale Investitionskosten entsprechen dem sozialen Ergebnis davon(das Standartergebnis, dass Stücklohn effizient ist)
)(Crq i
)]([)]([ CrrECrqE )(' Cr
Vr
)(' CV
19.06.2007 || Lazear, Rosen; rank-order tournaments as optimum labor contracts; 1981 ||
[E2.2] Turnier Risikoneutrale AN
Grundlagen
Es gibt zwei AN und entsprechend ein Gewinner-Gehalt ( ) und ein Verlierer-Gehalt ( ),
werden ex ante festgelegt und sind unabhängig von
Der AN mit dem höheren Output gewinnt das Turnier
Rangordnung: Verhältnis der Outputs, nicht aber Höhe ist relevant
Die AN (Turniergegner) wählen eigene Investition mit Kenntnis der Turnierregeln und ABER ohne mit Anderem zu Kommunizieren oder eine Kollusion einzugehen
2 Schritte: (unter Nullgewinne– Bedingung für Unternehmen)
- 1) festlegen, Investitionsstrategien der AN analysieren
- 2)Optimales -Paar finden, das den Erwartungsnutzen des AN maximiert
Gleiche Kostenstruktur für die AN und somit gleiches Verhalten
Alle Parteien sind risikoneutral
1W2W
21,WWi
21,WW
21,WW
21,WW
19.06.2007 || Lazear, Rosen; rank-order tournaments as optimum labor contracts; 1981 ||
[E2.3] Turnier Risikoneutrale AN Intuition
Der Investitionsanreiz steigt für den AN mit steigender Dif.
U. werden versucht sein diese Dif. immer weiter zu erhöhen, um stärkere Investitionsanreize zu liefern und damit höhere Outputs zu generieren ABER damit steigen auch die Kosten
Ist die angebotene Dif. eines U. zu groß kann ein Konkurrenzunternehmen die AN anlocken mit einer kleineren Dif., die gerade so gewählt ist, dass die Investitionskosten für die AN stärker fallen als ihr erwarteter Nutzen aus der Dif. AN steigern bei Wechsel zu diesem U. ihren Nutzen
Steigende Grenzkosten der Anstrengung führen zu einer eindeutigen Gleichgewichtsdifferenz, die den Erwartungsnutzen maximiert.
)( 21 WW
19.06.2007 || Lazear, Rosen; rank-order tournaments as optimum labor contracts; 1981 ||
[E2.4] Turnier Risikoneutrale AN Technische Vorgehensweise des Modells
Der erartete Nutzen eines ANs:
Wobei P die Wahrscheinlichkeit zu Gewinnen darstellt
- Wahrs., dass „j“ gewinnt sieht wie folgt aus
- Wobei , und G(.) die Verteilungsfunktion ist, und (da und i.i.d. sind)
Beide AN wählen ein um (2) zu maximieren
- BEO:
und
wobei
(damit tatsächlich ein Hochpunkt vorliegt und (2) maximiert wird)
)()1()]()[1()]()[( 2121 CWPPWCWPCWP (2)
)()()()( kjjkkjkkjjkj probprobprobqqprobP)( kjG
jk )(~ g 0)( E²2)( 2 E j k
i0)(')()]()([' 21221
ii
i CP
WWCWWWPE
0)(''²
²)()]()(['' 21221
ii
i CP
WWCWWWPE
kji ,
(4)
(3)
19.06.2007 || Lazear, Rosen; rank-order tournaments as optimum labor contracts; 1981 ||
[E2.5] Turnier Risikoneutrale AN Exkurs: Überlegungen zu P (Wahrscheinlichkeit für „j“ zu gewinnen)
Wie entsteht die Wahrscheinlichkeitsverteilung für das Ergebnis?
- ist eine Variable, die von den AN selbst gewählt wird,
- dagegen ist eine Zufallsvariable auf die keiner einen Einfluss nehmen kann. Diese also birgt die Wahrscheinlichkeitsverteilung über eintreffende Ereignisse
- Im Paper wird für die Gewinnwahrscheinlichkeit von „j“ eine Verteilungsfunktion gebildet durch Bildung einer neuen Zufallsvariable , mit und
Andere Betrachtungsweise zum leichteren Verständnis:
- Für jedes gegeben , ist die Gewinnwahrscheinlichkeit des „j“:
die Wahrscheinlichkeit, dass der Zufallsfaktor (z.B. Glück/Talent) des „j“ groß genug ist
- Da dies für alle (nicht nur für ein gegebenes) gelten muss, muss noch der Erwartungswert über gebildet werden:
- Abgeleitet nach
- Das Bsp. (S847), sind Normal verteilt:
)()()()( kjjkkjkkjjkj probprobprobqqprobP)( kjG
jk )(~ g 0)( E ²2)( 2 E
)(1)|( kjkkkjkj FprobP
ii
k
kk
kkkjk dff )()(
)(ˆ)()|)(1()( kjkkkkjkkjkj GdfFprobP )]([ kjmit
)0(ˆ)²( gdf kk j
i²2
²
2
1)(
i
ef i
²
²
²2
1²)(
i
ef i
2
1²)( ii df
19.06.2007 || Lazear, Rosen; rank-order tournaments as optimum labor contracts; 1981 ||
[E2.6] Turnier Risikoneutrale AN Technische Vorgehensweise des Modells
Annahme des Cournot- Nash- Gleichgewichts
- Exkurs:
» Cournot Wettbewerb = Mengenwettbewerb, 2 „Spieler“ produzieren einen homogenen Output und haben identische Grenzkosten, sie wählen simultan ihr Outputniveau
» Nash-Gleichgewicht: Gegeben die Strategien der Anderen wählt jeder Spieler seine beste Antwortstrategie. Ein Nash-Gleichgewicht liegt dann vor, wenn die Strategie jedes einzelnen Spielers, jeweils gegeben die Strategien der anderen Spieler, eine beste Antwort ist und somit keiner einen Anreiz zu Abweichung hat.
Jeder AN wählt also sein gegeben das des Anderen,
- Für AN „j“ mit gegebenem folgt aus (3)
- Eingesetzt in (4)
(5)
i)(
)(kj
j
kj
j
gGP
0)(')()( 21 jkj CgWW
k
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[E2.7] Turnier Risikoneutrale AN Technische Vorgehensweise des Modells
- Aufgrund der Symmetrie ist die Reaktionsfunktion für AN „k“ identisch
» Gegeben ein Nash-Gleichgewicht (in reinen Strategien) existiert folgt aus der Symmetrie: und damit P=G(0)=1/2 Das Turnierergebnis wird reiner „Zufall“, bestimmt durch den Zufallsfaktor
Einsetzten von in (5) ergibt:
- Investitionsentscheidung der AN hängt von der Dif. ab
- Preislevel entscheidet nur über die Teilnahme eines AN
Nullgewinn-Bedingung für Unternehmen: wird mit vereinfacht zu
(7) in (2) eingesetzt mit P=1/2 ergibt
Erwarteter Nutzen eines AN
(6)
kj
kj )(')0()( 21 CgWW )( 21 WW
21)( WWVqq kj kj
221 WW
V
(7)
)(
)(2
)()(
2
1
2
1 2121
CV
CWW
CWW
(8)
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Technische Vorgehensweise des Modells
Die Preisstruktur im Gleichgewicht wählt , so, dass (8) maximiert wird: wobei i=1,2
- (wobei bedeutet nach aufgelöst und nach abgeleitet, partielle Ableitung von (8) nach )
Bei Stücklohn und beim Turnier ergibt sich, dass Grenzkosten gleich Sozialem Ergebnis und damit sind beide Ergebnisse effizient
Durch weitere Veränderung der Gleichgewichtsbedingungen erhalten wir
(9)
(10)
1W 2W
0))](('[
iW
CV
iW
)0()()(' 21 gWWC i iW
)(' CV
iW
)0(2)0(2
)('
)0(2)0(2
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2
1
g
VV
g
CVW
g
VV
g
CVW
[E2.8] Turnier Risikoneutrale AN
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Technische Vorgehensweise des Modells
Exkurs zu der Umformung: man nehme Gleichung (6)
unter Verwendung von
mit ergibt)0(2
)('1 g
CVW
12121
21
21
21
21
22)0(2
)('
2)0(2
)('
2)0(2
)('
)0(22
)('
)0()()('
WWWWW
g
CV
WWV
g
CV
WW
g
C
gWWC
gWWC
V
g
|
)0(|:
2|:
)0(21 g
VVW
)2
( 21 WWV
)0(2)0(2
)('
g
V
g
C
)(' CV
[E2.9] Turnier Risikoneutrale AN
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Technische Vorgehensweise des Modells
Interpretation der Gleichungen (10)
- Betrachtet man wie eine Art „Turniergeld “/ Eintrittsgeld, das jeder Spieler
(AN) zunächst entrichtet, folgt daraus:
- Jeder Spieler erhält den erwarteten marginalen Produktwert + oder – das „Turniergeld“
- Ein faires Gewinner-Bekommmt-Alles-Spiel bezüglicher der Turniergelder
- Somit besteht der Anreiz zu Investition um das Spiel zu gewinnen
hauptsächlichen Agenten Theorie, bei der der Anreiz zu Anstrengung besteht um seinen Einsatz auch wieder heraus zu bekommen
Weitere Überlegungen zu dem Turniermodell:
- ist Normal verteilt, dann ist
- Die optimale Differenz variiert direkt mit und
- Eine wichtige Folge:Die Preisstruktur bestimmt das marginale Produkt durch seine Auswirkung aufund 0-Gewinn-Bedingung bedeutet: erwartete Preis = erwartete Produktivitätrealisiertes Einkommen Produktivität, weder ex ante noch ex post!
» Ex ante: Produkte sind gleich ( ) und , damit wird „j“ sicher NICHT das Gleiche bekommen wie „k“ Preis ex ante Produkt
» Ex post: Produkt ist und nicht , q ist nach Beendigung des Spiels erst bekannt, dagegen werden im vorhinein festgelegt nur unter seltensten Zufällen wäre also und
)0(2)0(2
)('
g
V
g
C
[E2.10]Turnier Risikoneutrale AN
i 21)0( gV ²
kj 21 WW
Vq V
21,WWjVqW 1 kVqW 2
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Agenda III[E3.1-6]
Optimale Anreizsetzung und Kompensation bei Risikoaversion
Ermittlung des optimalen linearen Stücklohns
Ermittlung der optimalen Preisstruktur bei Turnieren
Vergleich und Bewertung der beiden Entlohnungsformen
41
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[E3.1]Ermittlung des optimalen linearen Stücklohns Erklärung der Formel:
Gemäß Definition lautet die Formel für den Erwartungswert einer stetigen Funktion ( )
Transformationsregel für Erwartungswerte
])()(max)([max,
dyyyUUErI
)(xfX dxxxfXE )()(
dxxfXgXgEYE )()()(()(
Sei g(x) eine reelle Funktion. Dann gilt für Y=g(x):
Da sich die Nutzenfunktion als Funktion von y mit beschreiben lässt, entspricht der Erwartungswert E(U) der Funktion
)(yY
dyyyUUE )()()(
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[E3.2]Ermittlung des optimalen linearen Stücklohns Erläuterung der Ableitung von
dfrCrrVU )()]}([)({
0
)()]}([)({)(
r
dfrCrrVU
r
UE
0)(''
dr
dC
dr
dVEU
0'')]('[ UEEUdr
dCV
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[E3.3]Ermittlung des optimalen linearen Stücklohns Erklärung der „Taylorreihen“:
Taylorreihen (auch Taylor-Entwicklung) werden verwendet, um Funktionen in der Umgebung bestimmter Punkte durch Potenzreihen darzustellen
So kann ein komplizierter analytischer Ausdruck durch eine nach wenigen Gliedern abgebrochene Taylorreihe (oftmals gut) angenähert werden
Der Taylorsche Satz besagt:
Hat die Funktion f auf dem Intervall I zwischen x0 und x insgesamt n+1 stetige Ableitungen, so ist
Das Restglied ist in der Intergraldarstellungwelches wir durch
abschätzen können.
)()(!
)(
)()(!
)(...)(
6
)(''')(
2
)(''))((')()(
10
00
)(
100
)(3
002
00
000
xRxxk
xf
xRxxn
xfxx
xfxx
xfxxxfxfxf
n
n
k
kk
nn
n
x
x
nn dttxtfn
xnR0
))((!
1))(1( )1(
)!1()(max)(
1
0)1(1
n
xxtfxR
n
nn
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[E3.4]Die optimale Preisstruktur bei Turnieren Ausführlichere Darstellung der Ableitung:
1.Schritt: Ableiten
2. Schritt: Definiere
3. Schritt: Einsetzen
*
*)]}([){1(*)]}([{
*
)( 21
CWUPCWUPUE
0*)]('*)][([')1(*)]}([*
{
*)]('*)][(['*)]([**
)(
22
11
CCWUPCWUP
CCWPUCWUPUE
*)]([)1( 1 CWUU
*)]([')1(' 1 CWUU
*)]([)2( 2 CWUU
*)]([')2(' 2 CWUU
und
0*)](')[2(')1()]2(*
[*)](')[1(')1(**
)(
CUPUP
CPUUPUE
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Ausführlichere Darstellung der Umformulierung ausgehend von:
Nachdem und i.i.d. verteilt sind und wir von homogenen AN ausgehen, was bedeutet, dass , impliziert das Nash-Gleichgewicht, dass
g(0) eingesetzt und die Gleichung nach aufgelöst ergibt:
[E3.5]Die optimale Preisstruktur bei Turnieren
0*)](')[2(')1()]2(*
[*)](')[1(')1(**
)(
CUPUP
CPUUPUE
)()( kj CC
*)(' C
j k
2
1)0(; GPkj )0()('
*gG
Pkj
0*)](')[2('2
1)2()0(*)](')[1('
2
1)1()0( CUUgCUUg
)]2(')1('*)[('2
1)0()]2()1([ UUCgUU
)]2(')1('[
)0()]2()1([2*)('
UU
gUUC
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[E3.6]Vergleich der beiden Entlohnungsformen Überprüfung der Behauptung: Für ist
gilt, wenn
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