- 1 -

בס"ד

קבוצות, יחסים, פונקציות

נושא שבוע (, שוויון.inclusionשיטות להגדרה של קבוצות, פרדוקס של ראסל, הכלה ) .1

בעית העצירה, פעולות על קבוצות, דיאגרמות ון, הוכחת תכונות של קבוצות, תרגילים. .2

ותכונותיה. מורגן כלליים, קבוצת החזקה, מכפלה קרטזית-איחודים וחיתוכים כלליים, חוקי דה .3

(, הרכבה.converseיחסים ופעולותיהם, היפוך ) .4

היפוך, הרכבה, סגירה עוברת. .5

סגירה עוברת, יחסי זהות. .6

יחסי זהות. .7

תרגילים. .8

פונקציות, סוגי פונקציות, פעולות על פונקציות. .9

דמויות, דמויות הפוכות, סדרים. .11

סדרים. .11

יחסים מבוססים היטב, אינדוקציה. .12

יחסים מבוססים היטב, אינדוקציה, הוכחת תוכנית. .13

חזרה. .14

תודות לאיתי שחק עבור עזרתו בתרגום דפים אלה מהאנגלית, ולאיתי שחק ושלמה הורביץ על ההקלדה. 5

שים לב: דפים אלה אינם מיועדים ללימוד עצמי של החומר.

ר .ב. יחזקאל (2116 ינואר -ו תשע"טבת :)תיקונים קלים 2111דצמבר -כסלו תשס"ב

10

- 2 -

בס"ד

קבוצות

קבוצה היא אוסף של איברים שונים. )סידור או שכפול של איברים איננו משמעותי(.

5 } יעקב, בנו הצעיר של יצחק { = } יעקב { { 1, 1{ = } 1, 1} א, א, א { = } א { ; }

שיטות להגדרה של קבוצות 10

{9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 1} -באופן ישיר ע"י רישום האיברים .1 הוא סיפרה עשרונית{ x :x} -באופן עקיף ע"י תכונה .2 בעזרת שימוש בהגדרה אינדוקטיבית: .3

רישום ישיר של מספר איברים בקבוצה. (א 15 נתינת חוקים ליצירת איברים חדשים בקבוצה מתוך האיברים הידועים בקבוצה. (ב

1דוגמא

S ,3 S 1 (א .x+7 S, אזי x Sאם (ב 20

{ 1, 3, 8, 10, 15, 17, ...... } = S S { =x :x 7בהתחלקו ב 3או 1הוא מספר חיובי המשאיר שארית- }

25 הגדרת מבנה של משפט מותנה - 2דוגמא

"משפט פשוט" A .א x"אם תנאי אזי" A, אזי: x Aאם (i) .ב

(ii) אםx A וגםy A :אזי , A "אם תנאי אזי"x "אחרת"y 30

לפי הגדרה זוA ,משפט פשוט{ =

אם תנאי אזי משפט פשוט, אם תנאי אזי משפט פשוט אחרת משפט פשוט,

35 {…אם תנאי אזי אם תנאי אזי משפט פשוט,

? A: מדוע "אם תנאי אזי אם תנאי אזי משפט פשוט אחרת משפט פשוט" הינו איבר בקבוצה תרגיל

סימונים 40 צד שמאלי. - צ.ש. צד ימני. - .י.צ אותיות לועזיות גדולות. - קבוצות אותיות קטנות. - איברים

S x - x שייך לקבוצהS. 45

x הינו איבר בקבוצהS.

S x - x אינו שייך לקבוצהS.

} { , - .50 קבוצה ריקה

Û - כמו( קבוצה כוללניתtype.)

|S | - מספר האיברים בקבוצהS. 55

- 3 -

בס"ד

B A - A מוכל בתוךB כלומר לכל ,Û x אם ,A x אזיB x. 5 10

A=B - הקבוצותA ,B הנן שוות, כלומר לכלÛ x ,A x אם ורק אםB x.

פרדוקס של ראסל 15

המכילה כל דבר באופן מוחלט מעלה סתירה, מכיוון שביכולתנו להגדיר: Ûלמעשה, קבוצה כוללנית

R = {x Û: x x} ? R R. כעת נשאל: האם Û Rכולל הכל, אז בוודאי Ûאם

R R 20וגם Û Rאם ורק אם R R נקבל: Rמההגדרה של

(. Û R -)מכיוון ש R Rאם ורק אם סתירה.

ישנן שתי דרכים לפתרון הסתירה:

25

פשוט איננו שייך R-(, וtypeכאל סוג ) Ûמתייחס אל . מבט זהÛאיננו איבר של Rביכולתנו לומר כי .1( בשפות התכנות יסודם בתיאוריית הטיפוסים שפותחה כדי types. ) טיפוסים )Ûלסוג האיברים של

לפתור את הפרדוקס (., מכיוון שהיא מוליכה לדרך למידה R Rביכולתנו לומר שפשוט איננו יודעים לענות על השאלה האם .2

30 אינסופית.

R R כדי לפתור ,R R מחייב שנפתור ,R R שמחייב שנפתור R R 35 שמחייב שנפתור

…

הגישה הראשונה הינה מתמטית, והשנייה הינה חישובית. 40

תרגילים כמה איברים יש בקבוצה } א, ב, } א, ב {, ג {? .1 } {{?{ = }{ ריקה? האם הקבוצה }} {{ ריקה? האם } האם הקבוצה } .2 45 } } א, ב { { ? } א, ב {? האם } א, ב { האם } } א, ב {, ג { .3

הינו מספר שלם שהוא ריבוע מושלם {x: x ? }{ 9, 4, 1האם } .4 , . . . . . {16, 8, 4, 2, 1הגדר את הקבוצה הבאה ע"י תכונה וע"י שימוש בהגדרה אינדוקטיבית: } .5 { ....... ,(8 ,9) ,(4 ,6) ,(2 ,3) ,(1 ,0) }הגדרה אינדוקטיבית: הגדר את הקבוצה הבאה ע"י שימוש ב .6 50

בעית העצירה

ארגומנט הדומה לזה ששימש לפרדוקס ראסל יכול לשמש להראות שאין אלגוריתם כללי לבחינה האם h (P,x1,( x2, ...., xnתוכנית, )פרוצדורה, פונקציה( עוצרת או לא. כלומר, אין אלגוריתם המגדיר פונקציה

55 -כך ש

x2, ..., xn ) = true ,h ( P, x1 אם x2, ..., xn ),P ( x1 ,עוצרת x2, ..., xn ) = false,h ( P, x1 אם x2, ..., xn ),P ( x1 .איננה עוצרת

הם מחרוזות. hושכל הפרמטרים של n=1 -למען הפשטות, נניח ש

B

Û

B Aדיאגרמת ון המייצג

A

- 4 -

בס"ד

, היינו יכולים להגדיר:אם פונקציה כזאת היתה ניתנת להגדרה ע"י אלגוריתם

function g (P) return integer is

begin

if h (P, P) -- ? עוצרת P (P) 5 האם

then loop end loop -- לולאה אינסופית

else return (0)

end g;

הינה עוצרת אם ורק אם היא איננה עוצרת. סתירה זו g (g)-נקבל סתירה ש g (g)אם נשאל מה הערך של ע"י hניתנה להגדרה ע"י אלגוריתם. כך, לא ניתן להגדיר פונקציה hתוצאה של ההנחה שהפונקציה 10

אלגוריתם.

קבוצת החזקה 15

.P (S) = { A: A S } היא: Sהיא קבוצה כלשהי, אזי קבוצת החזקה של Sאם {, אזי: 1 ,2 ,3= } Sלדוגמא: אם

P(S) { = , {1 { ,}2 { ,}3 } 20 {1 ,2 { ,}1 ,3 { ,}2 ,3 ,} {1 ,2 ,3 }

}

25 הגודל של קבוצת החזקה

2יש P (S)איברים, אזי לקבוצה nיש Sאם לקבוצה n .איברים

P (S) | = 2 | -זה יכול להכתב בקיצור כ:

| S |

ברירות nקבוצה. כך, ישנן -ת. כל אחד מהאיברים יכול להיות בתוך או מחוץ לתS-איברים ב nהוכחה: ישנם 30 עצמאיות בין שתי דרכים לשם יצירת תת קבוצה כלשהי ) לשים או לא לשים (. מכאן, שתת קבוצה יכולה

x 2 x 2 .... 2 = 2 2 -להיווצר ב:n 2דרכים. כך ישנן

n קבוצות, כלומר ל-תת-P (S) 2ישn .איברים

35 יות(קבוצה )וקטור סיב-פונקציה אופיינית של תת

.S ,A Sקבוצה כלשהי של -תת Aקבוצה, ותהי Sתהי

ע"י: a S, מוגדר לכל האיברים S-ביחס ל Aהפונקציה האופיינית של תת הקבוצה

f (a) = 1 אם a A 40

f (a) = 0 אם a A

, S = { a1, a2,…, an }עבור הקבוצות הסופיות: כאשר: b1 b2 . . . bnה להכתב כוקטור סיביות הפונקציה האופיינית יכול

45

bi = 1 אם ai A bi = 0 אם ai A.

.{ a2, a3 }הקבוצה -מייצג את תת 1111, וקטור הסיביות S = { a1, a2, a3, a4 }כך לדוגמא, אם

50

תרגילים

מיוצגות ע"י וקטורי הסיביות הבאים: { a1, a2, a3, a4 }קבוצות של -אלו תת .1 55 1111)ג( 1111)ב( 1111( )א

.S = { a1, a2, . . . , an }לולאות לרישום כל וקטורי הסיביות של הקבוצה -nכתוב תוכנית של .2 באיזה אופן ניתן להשתמש בוקטורי סיביות כדי לייצג קבוצות ע"ג מחשב ? .3

n פעמים

- 5 -

בס"ד

פעולות על קבוצות, ודיאגרמות ון

A B = { x Û: x Aאו { x B איחוד: A B = { x Û: x Aוגם { x B חיתוך: A B = { x Û: x A 5וגם { x B חיסור:

:x A } A= { x Û משלים:

להלן דיאגרמות ון של איחוד, חיתוך חיסור ולא נשתמש בהם בהמשך כי הגישה שלנו פורמלי יותר. 10 15 20 25

תכונות של קבוצות

A Û)ב( A)א(

30

A = A)ד( A Û = A)ג(

A = )ו( A Û = Û)ה(

A B = B A 35)ח( A B = B A)ז(

C = A (B C) (A B))י( C = A (B C) (A B))ט(

A B = A B)יב( A B = A B)יא( 40

A B A)יד( A A B)יג(

A (B C) = (A B) (A C))טו(

A (B C) = (A B) (A C) 45)טז(

חוקי הקיבוץ. -)ט(, )י( חוקי החילוף. -)ז(, )ח( הערות: חוקי הפילוג. -)טו(, )טז( מורגן.-חוקי דה -)יא(, )יב(

50 וצותעקרונות להוכחת תכונות של קב

.x Bאם ורק אם x A, הוכח כי: A=B -כדי להוכיח ש .1 .x B, אזי x A, הוכח כי: אם A B -כדי להוכיח ש .2

הבה נוכיח כמה מהתכונות הקודמות תוך שימוש בכללים אלה: 55

הוכחה של )יב(x A B

not ( x A B )אם ורק אם not ( x A and x B )אם ורק אם

A - B

A B

A B

A

B

- 6 -

בס"ד

x B -או ש x Aורק אם אם x B -או ש x Aאם ורק אם x A Bאם ורק אם

A B = A Bוכך 5

הוכחה של )יד( x A Bאם x B -ו x Aאזי x Aאזי

A B A 10וכך

הוכחה של )טו(x A (B C)

x (B C) -ו x Aאם ורק אם x C 15) או (x B -ו x Aאם ורק אם

x C) -ו (x A או x B) -ו(x A אם ורק אם x A Cאו x A Bאם ורק אם x (A B) (A C)אם ורק אם

A (B C) = (A B) (A C)וכך 20

הוכח שאר התכונות של קבוצות. תרגילים:

הכללת איחוד וחיתוך

Ii

iA

= {x Û: xAI for SOME iI} 25

Ii

iA

= {x Û: xAI for ALL iI}

מורגן כלליים-חוקי דה

1. Ii

i

Ii

i AA

2. Ii

i

Ii

i AA

30

1הוכחה של

xIi

iA

IFF x Ii

iA

IFF xAi for all i I

IFF x iA for all i I 35

IFF xIi

iA

דוגמאות

I={1,3,5…} כאשר

Ii

iA

=A1A3A5 ... 40

I={2,4,6,8…} כאשר

Ii

iA

=A2A4A6A8...

I={1,2,3,4…} 45 כאשר

- 7 -

בס"ד

Ii

iA

=

1i

Ai =A1A2A3A4...

. someל allצריך להחליף כל איחוד לחיתוך וכל 2כדי להוכיח את

5

מכפלה קרטזית

A B = {(x,y) : x הגדרה: A and y B} 10

A={a,b}, B={1,2,3} ,A B = {(a,1) (a,2) (a,3) (b,1) (b,2) (b,3)}דוגמה: כאשר

. כלומר, מספר האברים במכפלה שווה למכפלת מספר |AB| = |A| |B|הן קבוצות סופיות, A,B כאשר האברים.

15 תכונות של מכפלה קרטזית:

A (BC) = (AB)(AC) A (BC) = (AB)(AC)

20 הוכחה לתכונה הראשונה:

(x,y)A (BC) IFF (xA) AND (yBC)

IFF (xA) AND (yB) AND (yC)

IFF ((xA) AND (yB)) AND ((xA) AND (yC))

IFF ((x,y)A B)) AND ((x,y)A C))

IFF (x,y)(A B) (A C) 25 מ.ש.ל.

: הוכח את התכונה השנייה.תרגיל

30

הגדרת יחס .RABיש מבנה של קבוצת זוגות, כלומר A,Bבין האיברים של Rהם שני קבוצות. ליחס A,Bנניח ש

.aA,bB. כמובן bלבין aקיים בין Rונאמר שהיחס R(a,b)כאשר aRbאנו נכתוב 35

הערות1. aRb או(a,b)R הם שני ביטויים לאותו דבר, כלומר שהיחס קיים ביןa לביןb. 2. R={(a,b)AB:aRb} .aRb AND bSc, במקום aRbSc; נרשום בקיצור RAB, SBC אם יש שני יחסים .3

(a>b) and (bc) 40 (a>bcלדוגמה )

, R= Û -Rפעולות ותכונות של קבוצות, תקפות גם על יחסים, אבל בהגדרה .4

.R= (AB) - R. כלומר AB, נשים Ûבמקום

דוגמאות, B{=9431 ,3201 ,1023 ,1010, מספרי חשבונות: }Aאנשים: }אברהם, דוד, מרים , יהודה{= .א 45

. דוד כביכול מנהל הבנק והוא רשאי =R({1111( )יהודה 1123( )מרים 1111( )דוד 1123( )דוד 3211דוד{( להשתמש בכל ואילו אברהם לא רשאי להשתמש בכלום.

{ x<y : (x,y) } = > . היחס N{=1,1,2…היא קבוצת השלמים שאינם שלילים: } N -נניח ש .ב

= { (0,1), (0,2), (0,3)… 50

(1,2), (1,3), (1,4)…

(2,3), (2,4), (2,5)…

… } [ x<y ] [ >(x,y) ] שים לב:

55 אפשר להגדיר את היחס < ע"י הגדרה אינודקדיבית:

- 8 -

בס"ד

1. (0,1)< 2. (i) אם(x,y)< אזי ,(x,y+1)<.

(ii) אם(x,y)< אזי ,(x+1,y+1)<.

5 האיחוד מתקיים כיחס? . מתיR1 R2)הם יחסים. התבונן ביחס איחוד ) R1, R2 נניח ש .ג

x (R1 R2) y IFF (x, y) R1 R2

IFF [ (x, y) R1 OR (x, y) R2 ]

IFF [ (x R1 y) OR (x R2 y) ]

10

הרכבה, היפוך וסגירה עוברת של יחסים

(Composition)הרכבה הם קבוצות של זוגות בעלי יחס מסוים(, אזי ההרכבה שלהם מסומנות S -ו R) SBC -, וRAB -נניח ש

Rכך: S :ומוגדרת כך ,R S = {(a,c) AC: aRbSc for some bB} , כלומר(R S)AC. 15

פ הגדרה זו”עa(R S)c IFF aRbSc for some bB

IFF aRb and bSc for some bB

b, 20הינו אח או אחות של a-מסמן ש aRb אם דוגמה:

,cהינו אב או אם של b-מסמן ש bSc ו a(R אזי S)c מסמן ש-a הוא דוד או דודה שלc.

(Converse)יחס הפוך

25

.RAxBהוא יחס R-נניח שRהיחס ההפוך הוא

-1 BxA:ומוגדר כך , R

-1={(b,a) BxA : aRb}

aRכלומר, -1

b IFF bRa

30 דוגמאות:

1. b<-1

a IFF a<b IFF b>a=< 1-, כלומר.> Sהוא יחס של אב או אם, אזי Sנניח ש .2

xSהוא יחס של בן או בת: 1--1

y IFF ySx ,כלומר .x בן או בת שלy אם ורק אםy ם של אב או אx.

x(Sיחס של אב או אם. אזי Sהוא יחס של אח או אחות, Rנניח ש .3-1 R S)y פרושו שx, y הם בני

xSדודים. מתקיים -1

bRaSy כלומר ,x בן שלb ,b אח שלaו ,a הורה שלy. 35

(Transitive Closure)סגירה עוברת Rגירה העוברת . הסRAxAנניח ש

Rמקיימת גם היא ++AxA:ומוגדרת כך ,

R+ = {(a,b) AxA: for some Z1, Z2…Zn , n0, aRz1Rz2…RznRb}

aR כלומר,+b IFF aRz1Rz2…RznRb, for some Z1, Z2…ZnA, n0 40

aR כלומר, +b IFF aRb OR a(R R)b OR a(R R R)b …

R כלומר, +=R( R R)( R R R) …

דוגמאות

1. S יחס של הורה. את היחס "צאצא" נבטא ע"יx(S-1

)+y אוx(S

+)

-1y כמובן .xS

+y מסמן ש- x הוא "אב 45

.yקדמון" של xS. אזי xSy IFF y=x+1מוגדר כך: SZxZו קבוצת כל השלמים, Zנניח ש .2

+y מסמן שx<y ,כלומר .

(S+)=(<).

50 דוגמאות שקילות והכלה ביחסים

( ) ≡ () כלומר , not (x<y) IFF (xy) (=) ≡ () כלומר , (x=y) IFF (xy and xy) () ≡ (<=) כלומר , (xy) IFF (x<y or x=y)

(=) () אם , כלומרx=y אזי ,xy. 55

- 9 -

בס"ד

תכונות של יחסים 1. (R S)

-1=S

-1 R-1

2. (RS)-1

=R-1S

-1 3. (RS)

-1=R

-1S

-1 5

4. (R-1

)+=(R

+)

-1 5. (RS)

+ R

+S

+ 6. R

+S

+ (RS)

+

7. R (S1S

2)= (R S

1) (R S

2)

8. R (S1S

2)= (R S

1) (R S

2) 10

עקרונות להוכחת תכונות של יחסים .xRy IFF xSy, כלומר R IFF (x,y) S (x,y) -צ"ל ש R=Sע"מ להוכיח .1 .xSyאזי xRy, כלומר אם S (x,y), אזי R (x,y)צ"ל שאם RSע"מ להוכיח .2 15

דוגמת הוכחה1. x (R S)

-1 y IFF y (R S) x IFF yRbSx for some b

IFF yRb and bSx for some b

IFF xS-1

b and bR-1

y for some b

IFF xS-1

bR-1

y for some b 20

IFF x (S-1 R

-1) y

(R S)-1

= S-1 R

-1 ולכן

הוכח שאר התכונות של יחסיםץ תרגילים:

25

משפחות של יחסים יחסי זהות .1 פונקציות .2 30 סדרים .3

יחסים מבוססים היטב .4

יחסי זהות 35

יים את התנאים הבאים:נקרא יחס זהות במידה שהוא מק Eהינו יחס. אזי E A x Aנניח ש aAקיים עבור כל aEa .א bEaאזי aEbאם .ב

aEcאזי aEbEcאם .ג 40 ובצורה אחרת:

E (=) .אE E .ב

-1 E) .ג E) E

45 דוגמאות

'=' הינו יחס זהות. .12. '.אינו יחס זהות, כי אינו מקיים את התנאי השני ' . xEy IFF (x-y)=12k (kZ)מוגדר כך: E Z x Zוהיחס x,yZהוא קבוצת כל השלמים, Zנניח ש: .3

ואז aEb ,(a-b)=12k. אם 0=12*0=(a-a)מתקיים כי aEaהוא יחס זהות. נבדוק את התנאים: Eהיחס (b-a)=-12K כלומר ,bEa אם .aEbEc ,(a-b)=12k1 ו- (b-c)=12k2 ואז ,(a-c)=(a-b)+(b-c)=12(k1+k2) , 50

.aEcכלומר

מחלקות זהות(, ומוגדרת כך: [a])או E[a]מסומנת ע"י Eלפי היחס a. המחלקה של EAxA ,aAיחס זהות E -נניח ש

[a]={x | aEx} 55

- 10 -

בס"ד

לעיל( 3דוגמא )המשך מדג' [0] = {x: 0-x=12k} = { … -24, -12, 0, 12, 24 …}

[1] = {… -23, -11, 1, 13, 25…} שים לב:

[0] = [-24] = [-12] … 5

[0] [1] = , [2] [13] =

רואים מדוגמה זו, שאיברים זהים לפי היחס, בעלי אותה מחלקה. לעומת זאת, איברים שאינם זהים לפי היחס, החיתוך בין מחלקותיהם הנו קבוצה ריקה.

10 משפט

. [b] = [a] או [b] = [a]אזי E AxA ,a,bAביחס זהות

הוכחה [b] ,[a] = [b]. 15 [a]אר להוכיח, שעבור , זה מקיים את תנאי המשפט. נש [b] = [a]אם

וגם aEb. לכן מתקיים גם bEc -ו aEc. מכאן מתקיים c [b]וגם c [a]. לכן c [a] [b] -לכן נניח שbEa.

.[b] = [a]וכמו כן ההיפך. ולכן, x [b]ולכן bEx( מתקיים גם aEx)כלומר x [a]לכן לכל

20 חלוקה של קבוצות ט הקודם רואים שיחס זהות מחלק קבוצה למחלקות זרות. גם ההפך נכון:מהמשפ

משפט -ו A = S1S2…Sn ,Siשאינן ריקות. כלומר: Aקבוצות זרות של -תת S1, S2… Snקבוצה, Aנניח ש

SiSj= עבורij אם נגדיר .aEb כאשרa,b קבוצה -הם באותה תתSi אזי ,E .25 הוא יחס זהות

הוכחה1. A = S1S2…Sn ולכן לכלa A ,a שייך לאחת הקבוצותSi .a ו- a נמצאים באותה קבוצה ולכן

.aEaמתקיים bEa. 30ולכן מתקיים גם a,b Siאזי aEbאם .2

. i=jנמצאת רק בקבוצה אחת ולכן bאך כיוון שהמחלקות זרות, b,c Sj -ו a,b Siאזי aEbEcאם .3 .aEcולכן מתקיים a,b,c Siמכאן ש

תרגילים

הינו יחס זהות. ב( מה הן המחלקות E -יש אותו אבא. א( הראה ש a,b -מתקיים כאשר ל aEb -נניח ש .1 35 הזהות?

E=(RR -. הוכח שaמתקיים לכל aRa -הינו יחס. נניח ש R A x A -נניח ש .2-1

) הינו יחס זהות. +

.הינו יחס זהות E -פונקציה(. הוכח ש - f) f(a)=f(b) -כ aEbנגדיר .3

40 פתרונות

יש אותו אבא, ולכן b -ול a -מתקיים אזי ל aEbיש אותו אבא כמו לעצמו. אם a -מתקיים כי ל aEaא( .1 bEcאותו אבא, אם b -ול a -מתקיים אזי ל aEbמתקיים. אם bEaיש אותו אבא ולכן a -ו b -גם ל

aEc -יש אותו אבא, ו c -ול a -יש אותו אבא. ופני אין לאדם שני שבות, לכן ל c -ול b -מתקיים אזי ל מתקיים.

45 ב( כל האחים ממשפחה אחת הם מחלקה זהות. S=(RRנגדיר .2

-1E=S, כלומר (

+ . i) התנאי הראשון מתקיים כיaRa תמיד מתקיים, לכןaSa מתקיים וגםaS

+a .

ii) אםaEb אזיaS+b אבל .S=S

כי: 1- xSy IFF x(RR

-1)y IFF xRy OR xR

-1y IFF xRy OR yRx IFF yR

-1x OR yRx 50

IFF yRx OR yR-1

x IFF y(RR-1

)x.

aSלכן אם +b אזיa(S

-1)

+b ולכןa(S

+)

-1b ולכן bS

+a ,כלומרbEa והתנאי השני מתקיים

iii) אם +אפשר לראות שהתנאי השלישי מתקיים, לפי ההגדרה של .aEbEc אזיaS+bS

+c ולכן ,

aSx1Sx2…bSy1Sy2…c מתקיים, כלומרaS+c ו- aEc.

55

3. aEa מתקיים כיf(a)=f(a) אם .aEb ,מתקייםf(a)=f(b) ולכן גםf(b)=f(a) ו- bEa מתקיים. אםaEbEc מתקיים. aEc -ו f(a)=f(c)ולכן גם f(b)=f(c) -ו f(a)=f(b)מתקיים,

- 11 -

בס"ד

פונקציות

. xfy, כך ש yBאחד yיש בדיוק xAהינו יחס עם תכונה נוספת, שלכל fAxBפונקציה .y=f(x)הנו x. ערך הפונקציה עבור xfyהיחיד המקיים yאת ה f(x)ונסמן ע"י f : ABן פונקציה ע"י נסמ

5 סימונים שקולים לפונקציה

1. xfy 2. (x,y) f 3. f(x)=y 10

חיתוך פונקציות .1 .A={xA1A2 : f1(x)=f2(x)}פונקציה כאשר f1f2 : AB1B2אזי f : A1B1 ,f : A2B2אם

, ע"מ שלא f1(x)=f2(x), אך רק את אותם איברים שעבורם A2 -ו A1שבחיתוך בין xבר כלומר ניקח את אי .xנקבל שני ערכים לפונקציה עבור אותו ערך

15

איחוד פונקציות .2f1f2 : A1A2B1B2 - פונקציה, בתנאי ש- f1(x)=f2(x) עבורxA1A2.

כלומר:f1f2(x)=f1(x) xA1

f1f2(x)=f2(x) xA2 20

קציותהרכבת פונ .3f, אזי f : AB ,g: BC -נניח ש g : AC .תמיד פונקציה

25 הוכחה

-לפי הגדרת יחסים x(f g)z IFF xfygz

IFF xfy AND ygz

IFF y=f(x) AND z=g(y)

IFF z=g(f(x) 30

מ.ש.ל. z= f g(x)=g(f(x)) כלומר 4. f

fלא תמיד פונקציה, 1- לעיתים נדירות פונקציה +

x1=x2. 35גורר f(x1)=f(x2)חד ערכית, אם -פונקציה נקראת חד .5

6. f : AB היא "פונקציית על" אם לכלyB ישxA כך ש- f(x)=y חד ערכית(-)לא מחייב שתהיה חד

fחד ערכית, אזי -היא פונקציית על וגם חד f : ABאם .7-1

: BA חד ערכית -גם פונקציית על חד fומתקיים

-1(f(x))=x, xA; f(f

-1(y))=y, yB. 40

פונקציות זהות

iA : AA ,iA(x)=x עבורxA

45 משפט

fוגם f : AB ,g : BA -נניח ש g=iA ,כלומר .f g(x)=g(f(x))=x אזי .f ת וחד ערכי-חד- g .פונקציית על

הוכחה חד ערכית.-חד f -, וx1=x2ולכן g(f(x1))=g(f(x2)). אזי f(x1)=f(x2) -נניח ש (1 50 פונקציית על. g, ולכן y=f(x) .g(y)=g(f(x))=xונגדיר xAנניח (2

fכאשר g=iA וגםg f=iB ,f ו- g ות על, וכן חד ערכיות ופונקצי-חדf=g

g=fוגם 1--1.

דוגמאות

1) A={0,1,2} ,B={1,2,3…} .f : AB, f(x)=x+1 .g : BA, g(y)=(y-1)mod 3. 55

f חד ערכית ו-חד- g .פונקציית על

- 12 -

בס"ד

f -יחסים, ו fAB ,gBA -נניח ש (2 g=iA אין הכרח ש .f אוg פונקציות. למשל, אםA={x1}ו ,- B={y1,y2,y3} .f(x1)=y1,y2 ,g(y1)=g(y2)=x1 .f לא פונקצייה, כי ל- x1 יש יותר מערך אחד, ו- g לא פונקציה

fאין ערך. זאת למרות ש y3 -כי ל g(x1)=x1.

5 דמות ודמות הפוכה

.UA, VBהיא פונקציה. f : AB -נניח ש .xUאם ורק אם f(x)f(U), כלומר f(U)={f(x) : xU}מוגדרת ע"י Uהדמות של (1 fמוגדרת ע"י Vהדמות ההפוכה של (2

-1(V)={x : f(x)V} כלומר ,xf

-1(V) אם ורק אם ,f(x)V.

10 הערה

.Uמסמן את את הדמות של UA ,f(U)מסמן את ערך הפונקציה. אם xA ,f(x)אם

תכונות של דמות ודמות הפוכה1) f()=f

-1()=

2) f(A)B וכאשרf : AB היא פונקצית על, אזf(A)=B 15

3) f -1

(B)=A 4) Uf

-1(f(U)) ואםf חד ערכית אז -חדU=f

-1(f(U))

5) f(f -1

(V))V ואםf : AB פונקציית על אזf(f -1

(V))=V 6) U1, U2 A ,f(U1U2)=f(U1)f(U2) 7) U1, U2 A ,f(U1U2)f(U1)f(U2) כאשר(f חד-)20 חד ערכית, יש שיוויון

8) V1, V2 B ,f -1

(V1V2)=f -1

(V1)f -1

(V2) 9) V1, V2 B ,f

-1(V1V2)=f

-1(V1)f

-1(V2)

הוכחות

xf)לפי הגדרת דמות(, ולכן f(x)f(U)אז xU. אם 4-1

(f(U)) ע"פ הגדרת דמות הפוכה כאשר(V=f(U) ,) 25

Ufולכן -1

(f(U)). של yכלומר לכל הערכים חד ערכית, אין איברים שונים כך שערך הפונקציה שווה עבורם.-לפונצקיה חד U=fבמקום אחר. ולכן גםושלא נמצא y=f(x) -בלבד כך ש U -ב xיש ערך אחד f(U) -הפונצקיה שב

-1(f(U)).

6 .f(x)f(U1U2) אם ורק אםx(U1U2) כלומר ,xU1 אוxU2 לכן .f(x)f(U1) אוf(x)f(U2) כלומר , 30

f(x)f(U1)f(U2)ו ,- f(U1U2)=f(U1)f(U2). וגם f(x)U1, ולכן xU2וגם xU1, ע"פ הגדרת דמות. כלומר, x(U1U2)אז f(x)f(U1U2). אם 7

f(x)U2 ע"פ הגדרת דמות. לכן ,f(x)U1 f(x)U2 כלומר ,f(U1U2)f(U1)f(U2). ל ש yחד ערכית, אין איברים שונים כך שערך הפונקציה שווה עבורם. כלומר לכל הערכים -לפונצקיה חד 35

xU1U2כלומר y=f(x) -, כך שU2 -וב U1 -שמוכרח להיות גם ב xיש ערך אחד f(U1)f(U2) -הפונצקיה שב .f(U1U2)f(U1)f(U2) -. ולכן יש שוויון וy=f(x)f(U1U2) -ו 9 .xf

-1(V1V2) אם ורק אםf(x)(V1V2) ע"פ הגדרת דמות הפוכה( וזה מתקיים אם ורק אם( ,f(x)V1

xf. לכן f(x)V2 וגם-1

(V1) וגםxf -1

(V2),40 , ע"פ הגדרת דמות הפוכה. כלומר

xf -1

(V1)f -1

(V2) ומכאן ,f -1

(V1V2)=f -1

(V1)f -1

(V2).

הוכח שאר התכונות של דמות ודמות הפוכה. תרגילים:

45

- 13 -

בס"ד

הגדרות עבור זוגות

- 14 -

בס"ד

- 15 -

בס"ד

- 16 -

בס"ד

- 17 -

בס"ד

יחסים מבוססים היטב

ס היטב בתנאי שאין סדרה אין סופית מהצורה . היחס נקרא יחס מבוסA ,RAAיחס על R -נניח ש 5

…x3Rx2Rx1

דוגמאות n=xשלמים לא שליליים.כיוון שעבור (x,y). היחס מבוסס היטב כאשר x+1=y -כ xRyנגדיר את .1

10 וסופית. 1 -, כלומר הסדרה הארוכה ביותר מסתיימת ב R 1 R…n-2 R n-1 R n 0נקבל סדרה יורדת

1>0.1>0.01>0.001...ים אינו מבוסס היטב כי יש סדרה אינסופית כמו על מספרים ממשי >היחס .2 AAAB<AAB<AB<B…היחס < כסדר א"ב אינו מבוסס היטב כאשר אין הגבלה על אורך המחרוזת כי .3 כל סדר על קבוצה סופית הינו מבוסס היטב. .4

15 משפט

: -מבוסס היטב. הוכח ש Rנניח שהיחס R .א

מבוסס היטב +R .ב

סדר. +

20 הוכחה

Rהוכחה בדרך השלילה: אם א.R…אינו מבוסס היטב, יש סדרה אינסופית +

+x2R

+x1 כלומר יש סדרה ,

מבוסס היטב. R-וזו סתירה להנחה, ש Rx4R…Rx3R…Rx2R…Rx1…אינסופית ב. שני דברים להוכיח חלק זה.

- 18 -

בס"ד

i) xR+x לא קיים. הוכחה בדרך השלילה. אםxR

+x קיים, אזיxR…Rx קיים, אזי קיים סדרה

וזו סתירה. xR…RxR...RxR...Rx...נסופי איii) אםxR

+yR

+z אזיxR…RyR…Rz כלומרxR

+y ועל כןR

סדר. +

5 אינדוקציה פשוטה על שלמים לא שליליים

.p(0)הוכח .1 .p(k+1)אזי p(k)הוכח שאם .2

נכון עבור כל שלם לא שלילי. p(n)המסקנה:

10 אינדוקציה משוכללת על שלמים לא שליליים

.p(0)הוכח .1 .p(n)והוכח n>m -כך ש mעבור p(m)ח הני .2

.(p(n)אזי p(0), p(1)…p(n-1))ניסוח אחר: הוכח שאם נכון עבור כל שלם לא שלילי. p(n)המסקנה:

15 דוגמאSn=2 -. נוכיח שn>1כאשר S1=5, S0=2 ,Sn=5Sn-1-6Sn-2 -נניח ש

n+3

n. n=0 ,2כאשר .1

0+3

0=2=S0 .וזה מתאים לטענה

n=1 ,2כאשר .21+3

1=5=S1 .וזה מתאים לטענה

n>1 . 20נטפל עכשיו במקרה .3

Sn-1=2 -, אז נניח שn>n-1 -מפני שn-1

+3n-1

Sn-2=2 -, אז נניח שn>n-2 -מפני שn-2

+3n-2

Sn=5Sn-1-6Sn-2=5(2n-1

+3n-1

)-6(2n-2

+3n-2

ולכן: ( =10*2

n-2-6*2

n-2+15*3

n-2-6*3

n-2

=4*2n-2

+9*3n-2

=22*2

n-2+3

2*3

n-2=2

n+3

n 25

מ.ש.ל.

לא שלילי. nלכן הנוסחה נכונה עבור כל שלם

לדיון בכיתה 30

S0 = 1

Sn = S0 +...+ Sn-1 ,n>0 כאשר Sn = 2 -הוכח ש

n-1 כאשרn>0

הוא האיבר המינימלי בתחום 1 -ננסה לשכלל שיטה זו ולא עבור מספרים בלבד. קודם כל שים לב ש 35 המספרים הלא שליליים. להלן הכללה.

)איבר קטן ביותר( -איבר מינימלי

נקרא איבר מינימלי m. האבר UA, כלומר Aתת קבוצה לא ריקה של U -ו RAAהנו יחס, Rנניח ש xRm. 40 -כך ש xUאם אין איבר Rע"פ היחס Uשל

ת . לא נשתמש במושג זה בהכללlRxאו xU ,x=lכך שעבור כל lUוהוא איבר R)איבר קטן ביותר לפי

אינדוקציה.(

45 דוגמא

.(1,2) , (2,1)< והם 4יש שני איברים מינימליים לפי היחס {(3,4) , (2,1) , (1,2)}לקבוצה <.4בקבוצה שלעיל אין איבר קטן ביותר לפי

Rאינדוקציה בעזרת יחס

nA. 50ר כל נכון עבו p(n) -. אנו רוצים להוכיח שnהוא תכונה של p(n) -ו m,nA -ו RAAיחס R -נניח ש

.Aשהם איברים מינימליים של mנכון עבור כל p(m) -נניח שהוכחנו ש .א .mRn -כך ש mנכון עבור p(m) -נכון בהנחה שp(n) -נניח שהוכחנו ש .ב

.nAנכון עבור כל R ,p(n)עבור יחסים מסוימים המסקנה:

55 שיטת האינדוקציה תקפה. Rהמשפט הבא מאפיין לאיזה יחסים

- 19 -

בס"ד

משפט ם הבאים שקולים זה לזה.הסעיפי

הינו מבוסס היטב Rהיחס .א .Rיש לפחות איבר מינימלי אחד לפי היחס UA -כך ש Uלכל קבוצה .ב 5 תקפה. Rשיטת אינדוקציה בעזרת .ג

א.ג, גב, באת המשפט נוכיח בשלשה שלבים: א הוכחה: בא

שאינה ריקה שאין לה איבר מינימלי ב אינו נכון. כלומר יש קבוצה -א נכון ו-הוכחה בדרך השלילה. נניח ש 10

לא x2. גם x2Rx1 -כך ש x2Uשאינו מינימלי, ולכן יש x1Uשהוא יחס מבוסס היטב. לכן יש Rע"פ היחס לא מינימלי, לכן אפשר להמשיך ולקבל סדרה אינסופית x3. גם x3Rx2 -כך ש x3Uמינימלי ולכן קיים

…x3Rx2Rx1 וזה סותר את א', שהיחסR היטב.מבוסס 15 גב

המקיימת את שני התנאים של pג אינו נכון. כלומר יש תכונה -ב נכון ו-הוכחה בדרך השלילה: נניח ש. אם ג לא נכון, U={xA : p(x)=FALSE}. נגדיר nAלא קיימת עבור כל p(n)אינדוקציה ולמרות זאת

U ולכן יש ל- U איבר מינימליM .)ע"פ ב(M אינו איבר מינימלי שלA אלא רק שלU כיון שלפי התנאי. כל איבר mRM -כך ש mAמתקיים עבור האיבר המינימלי. לכן יש איברים pהראשון של האינדוקציה,

. ע"פ התנאי mRM -כך ש mעבור כל p(m)=TRUE. לכן Uהאיבר המינימלי של M, כי mUכזה מקיים 20

וקבלנו סתירה. p(M)=FALSEולכן MUנכון אך p(M)השני של אינדוקציה, אג

x3Rx2Rx1=n…, כלומר שלא קיימת n -שהוא התנאי שלא קיימת סדרה אינסופית שיורדת מ p(n)נגדיר 25 -כך ש x2, ונניח שקיים mRnנכון עבור p(n) -בודאי נכון. נניח ש p(m)אז Aאיבר מינימלי של mאם

m=x2Rx1=n ולכן מ- m אין ירידה אינסופית לפיR וגם ל- n ירידה אינסופית ע"פ האינדוקציה. כלומר איןp(n) נכון בהנחה ש- p(m) נכון עבורmRn ,ולכן לפי אינדוקציהp(n) נכון עבור כלnA כלומר לא קיימת

סדרה אינסופית והיחס מבוסס היטב.

30 משפט

היטב. < מבוססים 5<, 4<, 3ושניהם מבוססים היטב. אזי גם 1AA ,<2BB>< הם 1<, 2נניח שהיחסים < בסעיף על סדרים.(5<, 4<, 3)נמצאות ההגדרות של

<5הוכחה עבור

35 יש איבר מינימלי. UABנוכיח שעבור כל

.m1<. נסמן אותו 1איבר מינימלי לפי U1 -. לכן יש לU1A={xA : (x,y)U} ,U1נגדיר הינו (m1,m2). הזוג m2נסמן אותו <.2איבר מינימלי לפי U2 -. לכן יש לU2B={y : (m1,y)U} ,U2נגדיר

< מבוסס היטב.5< ולכן 5לפי U -מינימלי ב

40 < מבוססים היטב.4<, 3 -הוכח ש תרגילים: הוכחה בדרך השלילה.

<5דוגמא לאינדוקציה בעזרת

שלמים לא שליליים. m,nנניח f(m,n)=m!, n=0 45

f(m,n)=n!, m=0

f(m,n)=f(m-1,m+n)+f(m,n-1) m,n>0

!f(m,n)(m+n) צ"ל: <(1<=2שלמים לא שליליים. )כאשר <= m,n< מבוסס היטב כאשר 5הוכחה: היחס

n=0. 50או m=0, כלומר התנאי קיים כאשר !n=0 f(m,n)=(m+n)! f(m+n)או m=0אם .א

<.5בתחום הגדרת הפונקציה והיחס m-1,n-1, כלומר m-1,n-10אז m,n>0כאשר .ב

(m-1,m+n)<5 (m,n) להניח ע"פ אינדוקציה ולכן מותרf(m-1,m+n) (m-1+m+n)! (m+n)!.

(m,n-1)<5 (m,n) ולכן מותר להניח ע"פ אינדוקציהf(m,n-1) (m+n-1)! 0.

מ.ש.ל. ,!f(m,n) f(m-1,m+n)+f(m,n-1) (m+n)!+0 (m+n)ולכן 55

- 20 -

בס"ד

מה הטעות להלן? שלמים לא שליליים. m,n -נניח ש

f(m,n)=1 m=0 OR n=0

f(m,n)=f(m-2,n)*f(m,n-2) m,n>0

5 בכל מקרה. f(m,n)=1 צ"ל:

.m=0 f(m,n)=1או n=0כאשר .א 4(m,n)>(m-2,n) וגם m,n>0 (m,n-2)<4(m,n)כאשר .ב

f(m-2,n)=f(m,n-2)=1 לכן מותר להניח f(m,n)=f(m-2,n)*f(m,n-2)=1*1=1 ולכן

לא 5>ום הגדרת הפונקציה, וגם וזה חוץ מתח 0 -יכולים להיות קטנים מ m-2 -ו n-2שהערכים הטעות היא 10 מבוסס היטב בתחום מספרים שליליים.

- 21 -

בס"ד

- 22 -

בס"ד

- 23 -

בס"ד