µ¦Â ¨ Á · ¦·¡´ r Ä ¸Ê µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ µ¦...
Transcript of µ¦Â ¨ Á · ¦·¡´ r Ä ¸Ê µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ µ¦...
![Page 1: µ¦Â ¨ Á · ¦·¡´ r Ä ¸Ê µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ µ¦ Épioneer.netserv.chula.ac.th/~ksujin/Lec8(314).pdf · 2018. 9. 19. · Microsoft Word - slide08.docx Author: winpuk Created](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051806/5ffb3dd15aa9d43595701f24/html5/thumbnails/1.jpg)
Le c t u r e 8
การแปลงเชิงปริพันธ์
ในบทนีจะศกึษาการแก้ปัญหา ทงั
หรือ ด้วยการแปลงเชิงปริพนัธ์ โดยจะศึกษา
การแปลงลาปลาซ ( )
การแปลงฟูเรียร์ ( )
ทงัสองวิธีใช้ในการแก้ เชิงเส้นได้หลากหลาย ทงั
สมการทีมีสมัประสิทธิเป็นคา่คงทีหรือไมค่งที นอกจากนี
ยงัประยกุต์ใช้ได้กบั สมการเชิงไฮเพอร์โบลา สมการเชิง
พาราโบลา หรือ สมการเชิงวงรี
สําหรับการแปลงลาปลาซโดยทวัไปจะใช้เมอืระบบ
หรือสมการมตีวัแปรเวลา เข้ามาเกียวข้อง
การแปลงฟเูรียร์จะใช้กบัปัญหาทีมีตวัแปรมีคา่ในช่วง
เช่นตวัแปรเชิงพืนที
![Page 2: µ¦Â ¨ Á · ¦·¡´ r Ä ¸Ê µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ µ¦ Épioneer.netserv.chula.ac.th/~ksujin/Lec8(314).pdf · 2018. 9. 19. · Microsoft Word - slide08.docx Author: winpuk Created](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051806/5ffb3dd15aa9d43595701f24/html5/thumbnails/2.jpg)
Le c t u r e 8
แนวคิดของการแปลงเชิงปริพนัธ์ในหาผลเฉลยของ
ปัญหา แสดงได้ดงัรูป
โดยเมือแปลงผลเฉลย ได้ฟังก์ชนั และ เดิม
แปลงเป็นสมการทีงา่ยกวา่ เช่น ของฟังก์ชนั
หรือ
หรือ
หรือ
![Page 3: µ¦Â ¨ Á · ¦·¡´ r Ä ¸Ê µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ µ¦ Épioneer.netserv.chula.ac.th/~ksujin/Lec8(314).pdf · 2018. 9. 19. · Microsoft Word - slide08.docx Author: winpuk Created](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051806/5ffb3dd15aa9d43595701f24/html5/thumbnails/3.jpg)
Le c t u r e 8
การแปลงลาปลาซ
การแปลงลาปลาซนิยามดงันี
บทนิยาม ให้ ผลการแปลงลาปลาซ
ของ คือฟังก์ชนัทีนิยามโดย
โดเมนของ คือค่า ทงัหมดทีอินทิกรัลลูเ่ข้า
ตัวอย่าง ให้ โดย ได้
โดยโดเมนคือ
นอกจากสมบตัิตา่ง ๆ ทีเคยเรียนในวิชา แล้วยงั
มีสมบตัิทีสําคญัสําหรับนําไปแก้ปัญหา ดงัตอ่ไปนี
![Page 4: µ¦Â ¨ Á · ¦·¡´ r Ä ¸Ê µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ µ¦ Épioneer.netserv.chula.ac.th/~ksujin/Lec8(314).pdf · 2018. 9. 19. · Microsoft Word - slide08.docx Author: winpuk Created](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051806/5ffb3dd15aa9d43595701f24/html5/thumbnails/4.jpg)
Le c t u r e 8
บทตัง ให้ และ เป็นค่าคงตวั
บทพิสจูน์ จากนิยามได้
ให้ จะได้
บทตัง ถ้า เป็นฟังก์ชนัทีมีขอบเขตจะได้
บทพิสจูน์ จาก มีขอบเขตได้ ดงันนั
ดงันนั
![Page 5: µ¦Â ¨ Á · ¦·¡´ r Ä ¸Ê µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ µ¦ Épioneer.netserv.chula.ac.th/~ksujin/Lec8(314).pdf · 2018. 9. 19. · Microsoft Word - slide08.docx Author: winpuk Created](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051806/5ffb3dd15aa9d43595701f24/html5/thumbnails/5.jpg)
Le c t u r e 8
ตัวอย่าง จงใช้สมบติั แสดงว่า
วิธีทํา ให้ แทน ได้
โดยสมบตัิเชิงเส้นได้
จากนิยามของการแปลงลาปลาซและฟังก์ชนัแกมมาได้
เพราะฉะนนั
เป็นจริงตามต้องการ
![Page 6: µ¦Â ¨ Á · ¦·¡´ r Ä ¸Ê µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ µ¦ Épioneer.netserv.chula.ac.th/~ksujin/Lec8(314).pdf · 2018. 9. 19. · Microsoft Word - slide08.docx Author: winpuk Created](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051806/5ffb3dd15aa9d43595701f24/html5/thumbnails/6.jpg)
Le c t u r e 8
บทตัง ให้
จะได้ผลการแปลงลาปลาซ
บทพิสจูน์ ให้ จากนิยามการแปลงลาปลาซ
เปลียนตวัแปร จะได้ และ
ดงันนั
![Page 7: µ¦Â ¨ Á · ¦·¡´ r Ä ¸Ê µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ µ¦ Épioneer.netserv.chula.ac.th/~ksujin/Lec8(314).pdf · 2018. 9. 19. · Microsoft Word - slide08.docx Author: winpuk Created](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051806/5ffb3dd15aa9d43595701f24/html5/thumbnails/7.jpg)
Le c t u r e 8
จาก ดงันนั
ได้ เพราะฉะนนั สอดคล้อง
คํานวณค่า ได้
ให้ ได้ และ
เพราะฉะนนั
ตามต้องการ
![Page 8: µ¦Â ¨ Á · ¦·¡´ r Ä ¸Ê µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ µ¦ Épioneer.netserv.chula.ac.th/~ksujin/Lec8(314).pdf · 2018. 9. 19. · Microsoft Word - slide08.docx Author: winpuk Created](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051806/5ffb3dd15aa9d43595701f24/html5/thumbnails/8.jpg)
Le c t u r e 8
ทฤษฎีบท ให้ เป็นค่าคงตวัและ
จะได้
บทพิสจูน์ แทน ในบทตงัก่อนหน้าได้
ดงันนั
ซงึคือเอกลกัษณ์ทีต้องการ
![Page 9: µ¦Â ¨ Á · ¦·¡´ r Ä ¸Ê µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ µ¦ Épioneer.netserv.chula.ac.th/~ksujin/Lec8(314).pdf · 2018. 9. 19. · Microsoft Word - slide08.docx Author: winpuk Created](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051806/5ffb3dd15aa9d43595701f24/html5/thumbnails/9.jpg)
Le c t u r e 8
ทฤษฎีบท ให้ จะได้
วิธีทํา ให้ จากนิยามของ ได้
/
หาอนพุนัธ์เทียบ ได้
ได้
ดงันนั
![Page 10: µ¦Â ¨ Á · ¦·¡´ r Ä ¸Ê µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ µ¦ Épioneer.netserv.chula.ac.th/~ksujin/Lec8(314).pdf · 2018. 9. 19. · Microsoft Word - slide08.docx Author: winpuk Created](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051806/5ffb3dd15aa9d43595701f24/html5/thumbnails/10.jpg)
Le c t u r e 8
การแปลงลาปลาซจะใช้แปลงฟังก์ชนัทีมีตวัแปรหนึง
มีค่าในช่วง ไปเป็นฟังก์ชนัของตวัแปรใหม่
ในทีนีจะพิจารณา ทีมีตวัแปรเวลา พร้อมทงั
กําหนดเงือนไขคา่เริมต้น และเงือนไขคา่ขอบให้ ให้ผล
เฉลยของสมการคือ เมือใช้การแปลงลาปลาซใน
ตวัแปร จะได้ฟังก์ชนั
ผลการแปลงลาปลาซของอนพุนัธ์เทียบ ได้จาก
เนืองจากการแปลงลาปลาซในตวัแปร และการหา
อนพุนัธ์เทียบกบัตวัแปร มีสมบตัิสลบัทีได้ ดงันนั
![Page 11: µ¦Â ¨ Á · ¦·¡´ r Ä ¸Ê µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ µ¦ Épioneer.netserv.chula.ac.th/~ksujin/Lec8(314).pdf · 2018. 9. 19. · Microsoft Word - slide08.docx Author: winpuk Created](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051806/5ffb3dd15aa9d43595701f24/html5/thumbnails/11.jpg)
Le c t u r e 8
ตัวอย่าง จงหาผลเฉลยของ
โดยการแปลงลาปลาซ
วิธีทํา ให้ แปลงลาปลาซได้
นนัคือ แก้สมการได้
จากเงือนไขคา่ขอบ ดงันนั
ดงันนั เพราะฉะนนั
จากสมบตัิของการแปลงลาปลาซได้
![Page 12: µ¦Â ¨ Á · ¦·¡´ r Ä ¸Ê µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ µ¦ Épioneer.netserv.chula.ac.th/~ksujin/Lec8(314).pdf · 2018. 9. 19. · Microsoft Word - slide08.docx Author: winpuk Created](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051806/5ffb3dd15aa9d43595701f24/html5/thumbnails/12.jpg)
Le c t u r e 8
ตัวอย่าง จงแก้ปัญหา
โดยการแปลงลาปลาซ
วิธีทํา ให้ แปลงลาปลาซได้
สมการช่วย ดงันนั
ได้ผลเฉลยของ คือ
จากเงือนไขคา่ขอบ ได้
ดงันนั ทําให้ได้
![Page 13: µ¦Â ¨ Á · ¦·¡´ r Ä ¸Ê µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ µ¦ Épioneer.netserv.chula.ac.th/~ksujin/Lec8(314).pdf · 2018. 9. 19. · Microsoft Word - slide08.docx Author: winpuk Created](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051806/5ffb3dd15aa9d43595701f24/html5/thumbnails/13.jpg)
Le c t u r e 8
ตัวอย่าง จงแก้ปัญหา ของสมการความร้อน
วิธีทํา แปลงลาปลาซในตวัแปร ได้
จาก ได้ สอดคล้อง ในตวัแปร
สมการช่วย ได้ ดงันนั
จากเงือนไขคา่ขอบ ได้
จาก เป็นฟังก์ชนัมีขอบเขตได้
![Page 14: µ¦Â ¨ Á · ¦·¡´ r Ä ¸Ê µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ µ¦ Épioneer.netserv.chula.ac.th/~ksujin/Lec8(314).pdf · 2018. 9. 19. · Microsoft Word - slide08.docx Author: winpuk Created](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051806/5ffb3dd15aa9d43595701f24/html5/thumbnails/14.jpg)
Le c t u r e 8
เพราะฉะนนั
จากทฤษฎีบท
ดงันนัเราได้ว่าผลเฉลยของ คือ
![Page 15: µ¦Â ¨ Á · ¦·¡´ r Ä ¸Ê µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ µ¦ Épioneer.netserv.chula.ac.th/~ksujin/Lec8(314).pdf · 2018. 9. 19. · Microsoft Word - slide08.docx Author: winpuk Created](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051806/5ffb3dd15aa9d43595701f24/html5/thumbnails/15.jpg)
Le c t u r e 8
ตัวอย่าง จงหาผลเฉลยทีมีขอบเขตของ
โดยการแปลงลาปลาซ
วิธีทํา ให้ แปลงลาปลาซได้
ได้
สมการช่วย ดงันนั
ดงันนั
จากเงือนไขคา่ขอบ ได้
จากผลเฉลยมีขอบเขตได้
![Page 16: µ¦Â ¨ Á · ¦·¡´ r Ä ¸Ê µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ µ¦ Épioneer.netserv.chula.ac.th/~ksujin/Lec8(314).pdf · 2018. 9. 19. · Microsoft Word - slide08.docx Author: winpuk Created](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051806/5ffb3dd15aa9d43595701f24/html5/thumbnails/16.jpg)
Le c t u r e 8
ดงันนั และได้ นนัคือ
แปลงลาปลาซผกผนัได้