第 33 回 発展方程式若手セミナー

アブストラクト集

平成 23 年 08 月 26 日(金)～08 月 29 日(月)

於) 筑波山温泉 つくばグランドホテル

第33回 発展方程式若手セミナー　プログラム

日程 2011年 08月 26日 (金)～08月 29日 (月)

会場 筑波山温泉　つくばグランドホテル

所在地 300-4352 　茨城県つくば市筑波 1050-1TEL 029-866-1111 (代表)URL http://tsukuba-grandhotel.co.jp/交通 つくばエクスプレスつくば駅下車，駅前よりバスで「筑波山神社入り口」下車すぐ

幹事 　久保　隆徹 (筑波大学数理物質科学研究科)

1日目　 8月 26日 (金)

12:30–14:00 　受付

14:00–14:30 　開会挨拶・自己紹介

第 1セッション 　座長:川上　竜樹 (大阪府立大学)

14:45–15:15 藤嶋　陽平 (東北大学)Location of the blow-up set for a superlinear heat equation with small diffusion

15:15–15:45 原田　潤一 (早稲田大学)Blow-up profile for heat equation with a nonlinear boundary condition

15:45–16:15 渡邉　紘 (サレジオ工業高専)　　　 強退化放物型方程式に対する zero-flux境界値問題の可解性

第 2セッション 　座長:久保　隆徹 (筑波大学)

16:30–17:00 福田　尚広 (筑波大学)On the Galerkin finite element method with Riesz bases

17:00–17:30 劉　雪峰 (早稲田大学)有限要素法の計算的な誤差評価とその応用

17:30–18:00 高安　亮紀 (早稲田大学)任意多角形領域上での非線形楕円型境界値問題の計算機援用証明

18:30–19:30 夕食

ショートコミュニケーション 　

19:30– 　第１部 (勉強 · 研究内容の紹介) 座長：渡辺　達也 (京都産業大学)

市川享祐（愛媛大学） 「長さを保存する弾性曲線の数値シミュレーションについて」

安藤和典（筑波大学） 「六角格子上のシュレーディンガー作用素の散乱・逆散乱問題について」

瓜屋航太（東北大学） 「非線形 Schrodinger方程式の解の漸近挙動」

20:10– 　第２部 (勉強 · 研究内容の紹介)座長：松澤　寛 (沼津工業高専)※　講演をしていない参加者のうち，修士２年生が対象です．

2日目　 8月 27日 (土)7:00– 8:00 朝食

第 3セッション 　座長:原田　潤一 (早稲田大学)

9:00– 9:30 熊崎　耕太 (名古屋工業大学)コンクリート中性化過程における水分輸送モデルについて

9:30–10:00 加納　理成 (近畿大学)ある癌浸潤モデルの可解性について

10:00–10:30 村瀬　勇介 (名城大学)雑菌の効果を無視した日本酒醸造過程モデルとその解析について

特別講演１ 　座長: 若狭　徹 (明治大学)

10:45–11:45 齊藤　宣一 (東京大学)発展方程式の数値解析 - 最大値原理，解析半群と有限要素法 -

12:30–13:30 昼食

特別講演２ 　座長:若狭　徹 (明治大学)

13:30–14:30 齊藤　宣一 (東京大学)発展方程式の数値解析 - Keller-Segelの走化性モデルと有限体積法 -

第 4セッション 　座長: 上田　好寛 (神戸大学)

14:45–15:15 石田　祥子 (東京理科大学)準線形退化型 Keller-Segel系に対する最大正則性原理を用いた時間大域的可解性

15:15–15:45 青山　鈴香 (九州大学)Asymptotic behavior of the linearized compressible Navier-Stokes equationaround parallel flows in a cylindrical domain

15:45–16:15 高棹　圭介 (北海道大学)移送項付き平均曲率流の勾配評価および解の存在について

第 5セッション 　座長:村瀬　勇介（名城大学）

16:30–17:00 柿澤　亮平（東京大学)Determining nodes for semilinear parabolic evolution equations in Banach spaces

17:00–17:30 周　冠宇 (東京大学)Some remarks on the fictitious domain method with penalty for elliptic and parabolic problems

17:30–18:00 服部　元史 (神奈川工科大学)粒子法 Moving Particle Semi-implicit 法による近似解が非圧縮 Navier-Stokes 流体運動方程式の厳密解に収束する事への考察

18:30–19:30 夕食

ショートコミュニケーション 2

19:30–21:00 第３部 (勉強 · 研究内容の紹介)座長:赤木剛朗 (神戸大学)※　講演をしていない参加者のうち，修士１年生が対象です．

3日目　 8月 28日 (日)7:00– 8:00 朝食

第 6セッション 　座長:水谷　治哉 (京都大学)

9:00– 9:30 森岡　悠 (筑波大学)Inverse scattering at a fixed energy for discrete Schrodinger operators on the square lattice

9:30–10:00 糸崎　真一郎 (東京大学)Scattering theory for Schrodinger equaitons on manifolds with asymptotically polynomially growing ends

10:00–10:30 石田　敦英 (神戸大学)時間周期的変動電場の下での多次元逆散乱問題

第 7セッション 　座長:中村　能久（熊本大学)

10:45–11:15 水谷　治哉 (京都大学)Strichartz estimates for Schrodinger equations with variable coefficients and unbounded potentials

11:15–11:45 吉井　健太郎 (東京理科大学)Linear Schrodinger evolution equations with moving Coulomb singularities

11:45–12:15 鈴木　敏行 (東京理科大学)逆 2乗型ポテンシャル項つき非線形 Schrodinger方程式の大域的適切性

12:30–13:30 昼食

第 8セッション 　座長:水野　将司 (北海道大学)

13:30–14:00 池田　正弘 (大阪大学)空間 2次元における Dirac-Klein-Gordon方程式系の波動作用素の存在について

14:00–14:30 新里　智行 (大阪大学)Almost global existence of solutions to the Kadomtsev-Petviashvili equations

第 9セッション 　座長:加納　理成 (近畿大学)

14:45–15:15 若狭　恭平 (はこだて未来大学)非線形波動方程式の一般論に対する最適性の最終問題

15:15–15:45 杉山　裕介 (東京理科大学)第二音波の方程式の一意可解性

15:45–16:15 若杉　勇太 (大阪大学)変数係数の摩擦項を持つ半線形波動方程式の大域解の存在について

第 10セッション 　座長: 岡部　考宏 (東北大学)

16:30–17:00 ダルマワルダネ　マヘシ (九州大学)Optimal decay for quasi-linear hyperbolic systems with dissipation

17:00– 17:30 ビレジナ　ヤン (九州大学)On the stability of time-periodic parallel flows to the compressible Navier Stokes equation

18:00–20:00 夕食会 (懇親会)

4日目　 8月 29日 (月)7:00– 8:00 朝食

第 11セッション 　座長:鈴木　友之 (神奈川大学)

9:00– 9:30 古賀　満 (神戸大学)ナビエストークス方程式における一方向を流線とする定常流の構造

9:30–10:00 中塚　智之 (名古屋大学)On uniqueness of solutions to the stationary Navier-Stokes equations in exterior domains

10:00–10:30 岡部　考宏 (東北大学)Lower bound of L2 decay of the Navier-Stokes equations in the half space Rn

+

第 12セッション 　座長:山口　範和 (富山大学)

10:45–11:15 側島　基宏 (東京理科大学)Maximal domain of analyticity for C0-semigroups generated by elliptic operators in Lp

11:15–11:45 五十嵐　威文 (日本大学)反応拡散方程式系の解の漸近挙動について

11:45–12:00 連絡事項, 閉会

第 33 回発展方程式若手セミナー 参加者名簿(敬称略)

*高棹圭介 (北海道大・D2) 水野将司 (北海道大・学術研究員)

*若狭恭平 (公立はこだて未来大学・M1) *岡部考宏 (東北大・学振 PD) *藤嶋陽平 (東北大・D2) 瓜屋航太 (東北大・D1) 千頭 昇 (東北大・M2) 阿子島慎平 (東北大・M1) 君島淳史 (東北大・M1) 久保英太郎 (東北大・M1) 小林加奈子 (東北大・M1) 佐々木将太 (東北大・M1)

久保隆徹 (筑波大) 【幹事】 安藤和典 (筑波大・D3) *森岡 悠 (筑波大・D2) *福田尚広 (筑波大・D1)

菊地真美 (筑波大・M2) 菅原謙一 (筑波大・M2)

白川 健 (千葉大) 眞崎 聡 (学習院大)

*五十嵐威文 (日本大) **齊藤宣一 (東京大) *柿澤亮平 (東京大・D3) *糸崎真一郎 (東京大・D3) *周 冠宇 (東京大・M2) 堀江主起 (東京大・M1) 李 寧平 (東京大・M1) 横田智巳 (東京理科大)

*吉井健太郎 (東京理科大・研究員) *鈴木敏行 (東京理科大・D2) *側島基宏 (東京理科大・D2)

*石田祥子 (東京理科大・D1) *杉山裕介 (東京理科大・D1) 小野貴史 (東京理科大・M2) 風間 翔 (東京理科大・M1) 久郷悠太 (東京理科大・M1) 竹本憲幸 (東京理科大・M1)

都築 寛 (東京理科大・M1) 中嶋克臣 (東京理科大・M1) 前田佑輔 (東京理科大・M1) 山下洋司 (東京理科大・M1) *劉 雪峰 (早稲田大) 内藤由香 (早稲田大) *原田潤一 (早稲田大) *高安亮紀 (早稲田大・D2) 斎藤平和 (早稲田大・M2)

村田美帆 (早稲田大・M2) 内田 俊 (早稲田大・M1) 小野寺康仁 (早稲田大・M1) 松木翔太郎 (早稲田大・M1) 若狭 徹 (明治大)

山崎教昭 (神奈川大)

鈴木友之 (神奈川大) *服部元史 (神奈川工科大) *渡邉 紘 (サレジオ工業高専) 松澤 寛 (沼津高専)

八木真太郎 (静岡大・M2) 山口範和 (富山大)

*中塚智之 (名古屋大・D1) 森口誉朗 (名古屋大・M2)

*熊崎耕太 (名古屋工業大) 愛木豊彦 (岐阜大) 澤野嘉宏 (京都大) *水谷治哉 (京都大・特定研究員) 深尾武史 (京都教育大) 渡辺達也 (京都産業大)

*池田正弘 (大阪大・D2) *若杉勇太 (大阪大・D1) *新里智行 (大阪大・M2)

古閑純一 (大阪大・M2) 川上竜樹 (大阪府立大) 赤木剛朗 (神戸大)

上田好寛 (神戸大) *石田敦英 (神戸大・D2) *古賀 満 (神戸大・M2) 渡辺朋成 (広島大・M2)

*村瀬勇介 (広島修道大) 伊藤昭夫 (近畿大) *加納理成 (近畿大) 市川享祐 (愛媛大・M1) *BREZINA JAN (九州大・D2) *P. M. N. DHARMAWARDANE (九州大・D2) *青山鈴香 (九州大・D1) 沖田匡聡 (九州大・M2) 森 直文 (九州大・M2) 中村能久 (熊本大) 以上 86 名 ※ *印は一般講演者。**印は特別講演者。

特別講演

「発展方程式の数値解析」

齊藤 宣一先生 (東京大学数理科学研究科)

発展方程式の数値解析齊藤 宣一 (SAITO, Norikazu)

東京大学大学院数理科学研究科

本講義では，放物型発展方程式の数値解法に関する数学理論の一部を，偏微分方程式の知識はあるが，数値解法には馴染みのない人達を意識して，紹介したい．数値解法に関する解析の中心的話題は，収束性，特に誤差解析である．すなわち，数値解と真の解を適当なノルムで計り，それに対する離散化パラメータの依存性を研究する．しかし，収束性が保証されているからといって，直ちに，良い近似解が得られると安心することはできない．というのも，実際の計算は，有限の固定された離散化パラメータに対して行われるからである．したがって，数値解そのものが，真の解の持っている性質 (の離散化版)を再現するか否かを調べることには大きな価値がある．対象が偏微分方程式，とくに非線形問題の場合には，それが顕著である．本講義では，線形の熱方程式に対して，最大値原理および解析半群という 2 つの面から，この性質の (有限要素法による) 離散的再現について説明する．そしてそれが，非線形問題を研究する際の数値計算方法の設計や解析に，どのように役立つかを述べたいと思う．なお，序文の最後に，ある大家による次の文章を紹介したい．数値解析の意義は，この文章で，ほぼ説明できている．“As Henri Poincare once remarked, solution of a mathematical problem is a phrase of indefinite

meaning. Pure mathematicians sometimes are satisfied with showing that the non-existence of

a solution implies a logical contradiction, while engineers might consider a numerical result as

the only reasonable goal. Such one sided views seem to reflect human limitations rather than

objective values. In itself mathematics is an indivisible organism uniting theoretical contem-

plation and active application. This address will deal with a topic in which such a synthesis of

theoretical and applied mathematics has become particularly convincing · · · ”“ · · · Usually the solution of a difficult problem in analysis proceeds according to a general

scheme: The given problem P with the solution is replaced by a related problem Pn so simple

that its solution Sn can be found with comparative ease. Then by improving the approximation

Pn to P we may expect, or we may assume, or we may prove, that Sn tends to the desired

solution S of P . The essential point in an individual case is to choose the sequence Pn in a

suitable manner. · · · ”

1 Poisson方程式と有限要素近似有限要素法や数値解法に不慣れでも，偏微分方程式を勉強した経験のある人なら，Galerkin法には馴染みがあるだろう．例示のため，Ωを R2 の有界領域として，Poisson方程式の Dirichlet境界値問題

−∆u = f in Ω, u = 0 on ∂Ω (1)

を考える．まず，この問題を関数空間 V = H10 (Ω)上で再定式化

u ∈ V, a(u, v) = (f, v) (∀v ∈ V ) (2)

する．ここで，

a(u, v) =∫

Ω

∇u · ∇v dx, (f, v) =∫

Ω

fv dx

1

としている．Poincare の不等式により，V のノルムとして，H1 セミノルム ‖∇v‖ が採用できる．なお，‖ · ‖ = (·, ·)1/2 は通常の L2(Ω) ノルムを表す．f ∈ L2(Ω) ならば，(2) を満たす u が唯一存在し，‖u‖V ≤ C‖f‖を満たすことを示すのは，Lax-Milgramの定理 (あるいは，Rieszの表現定理)の簡単な応用である．(C は領域に依存した正定数で，Poincareの不等式の定数で表現される．)Lax-Milgramの定理のもう一つの簡単な応用として，VN を V の有限次元部分空間 (dimVN = N)とすると，

uN ∈ VN , a(uN , vN ) = (f, vN ) (∀vN ∈ VN ) (3)

を満たす uN が唯一存在し，‖uN‖V ≤ C‖f‖を満たすことがわかる．この uN が uの Galerkin近似である (あるいは，(3)が (2)の Galerkin近似)．(2) と (3)により，Galerkin直交性

a(u− uN , vN ) = 0 (∀vN ∈ VN )

を得る．これより，任意の vN ∈ VN に対して，

‖u− uN‖2V = a(u− uN , u− uN ) = a(u− uN , u− vN ) ≤ ‖u− uN‖V ‖u− vN‖V .

すなわち，

‖u− uN‖V = minvN∈VN

‖u− uN‖V (4)

が得られる．さて，再び (3)に戻ろう．首尾よく uN が求まったなら，上で検証したように，これは uの良い近似とみなせるでろう．しかし，どうやって求めるか？そこで，VN の基底 φ1, . . . , φN を (なんらかの手順で)用意して，

uN =N∑

j=1

cjφj , vN =N∑

i=1

viφi

の形で Galerkin近似を求めよう．このとき，(3)は，(viが任意であることを用いて)連立一次方程式

Au = f (5)

に帰着される．ただし，A = (aij) = (a(φj , φi)) ∈ RN×N，u = (ci) ∈ RN，f = (fi) = ((f, φi)) ∈ RN

としている． したがって，あとはこの連立一次方程式を解けば良い．しかし，ここで，Cramerの公式を用いると落第である．連立一次方程式は，大学一年生で学ぶ最も基本的な話題の一つである．ところが，それを解いて具体的に数値を求めることの難しさや奥深さは，勉強しない場合が多い．Cramerの公式は数学的には文句のつけようがないが，例えば，N = 30の場合に，実際に (行列式を定義通りに計算することで)解こうとすれば，将来利用可能になるはずの (例の，最近 “世界最速”を達成した) スーパーコンピュータを用いても，100億年以上かかる見積もりになってしまい，現実的でない．Gaussの消去法は現実的で手堅い方法であるが，それでも，応用上必要とされるサイズ (少なくとも ≥ 1002) の方程式では荷が重い．現在，大規模な連立一次方程式を数値的に解く際には，Krylov部分空間に基づく反復解法 (共役勾配法など)を利用するのが標準である．しかし，この種の方法を適用する際には，係数行列が疎であることが要請される．*1ここで，疎行列とは，その成分のほとんどが 0であるような行列を言う．どのくらいが 0であれば良いのかについて，正確な定義がある訳ではないが，行列のサイズがいくら大きくなっても，一行につき “せいぜい数個” の非零があるだけで，後はすべて 0であるようなもの，と考えて差し支えない．それでは，Aが疎行列となるように基底 φiを選ぶことは可能であろうか?単純に考えて，φi を Ω内にコンパクト台を持つような関数とし，各関数の台がなるべく散らばっていて，Ωを覆うようなものであり，かつ，ある台と共通部分を持つような関数が “せいぜい数個” になるようにしておけば良い．実際，このとき，ある iに着目すると，aij 6= 0となる j は “せいぜい数個”となる．このような基底を，領域 Ωの幾何的な分割に基づいて，機械的に構成する方法の一つが有限要素法である．

*1 Gaussの消去法も，疎性をうまく利用すれば，効率的な計算が可能．

2

有限要素法 (finite element method, FEM) では，V の有限次元部分空間 VN を次のように構成する．以下，特に断らない限り，Ωは多角形領域と仮定する．そして，次の 3つの条件が成り立つように，Ωを小さな (閉)三角形 T の集合 T (= Ωの三角形分割)に分割する (図 1):

1. すべての三角形をあわせると Ωに一致する2. 任意の 2つの三角形はその内部を共有しない3. 任意の三角形の任意の頂点は，他の三角形の頂点と一致しているか，あるいは単独で Ωの角をなすかのどちらか (すなわち，ある三角形の辺上に他の三角形の頂点があることは無い．)

三角形の小ささ (分割の細かさ)を表すパラメータ

h = maxT∈T

hT , (hT = T の外接円の直径) .

を導入して，これを T = Th と明示する．Th を構成する三角形を要素 (element)，各要素の頂点を節点(node)と呼ぶ．

図 1 三角形分割の例 (freefem++ [7]を利用)と基底関数 φi(x)の例．

関数空間

Xh = vh ∈ C(Ω) | 各 T 上で一次多項式 , Vh = vh ∈ Xh | vh|∂Ω = 0

を，Th 上の連続区分一次要素 (の全体)，あるいは P1要素と呼ぶ．Xh ⊂ H1(Ω)，Vh ⊂ H10 (Ω) (部分空

間)に注意．Th に現れる節点の総数を N，その内 Ωに位置するものの個数を N，Γ上に位置するものの個数を NB とする．全節点に番号をつけて PiNi=1 と書く．PiNi=1 は Ω の内部に位置する節点の全体，Pi+NNB

i=1 は Γ上の節点の全体である．1 ≤ i ≤ N に対して，φi = φh,i ∈ Xh を

φi(Pj) =

1 (i = j)0 (i 6= j)

と定める (図 1)と，φiNi=1 は Xh の基底を，φiNi=1 は Vh の基底をなす．このようにして，有限要素近似

uh ∈ Vh, a(uh, vh) = (f, vh) (∀vh ∈ Vh) (6)

が導入できた．(6)の一意可解性も Lax-Milgramの定理の応用である．(4)により，uh の収束性は，Xh の近似能力に帰着される．それを述べるためには，三角形分割の形状に関する条件が必要である．以後，特に断らなくても，三角形分割の族 Thh が Zlamalの最小角条件

θ1 = infTh∈Thh

infT∈Th

θT > 0 (θT = T の最小角)

3

を満たすこと，あるいはこれと同値な条件である，Thh の正則性 (shape regularity)

ν1 = supTh∈Thh

supT∈Th

hT

ρT<∞ (ρT = T の内接円の直径)

を仮定する．このとき，

limh↓0

minvh∈Xh

‖v − vh‖H1(Ω) = 0 (v ∈ H1(Ω)), (7)

‖∇(v −Πhv)‖ ≤ C1h|v|H2(Ω) (v ∈ H2(Ω)) (8)

が成り立つ．ただし，Πh : C(Ω) → Xh は Lagrange 補間作用素であり，(Πhv)(x) =N∑

i=1

v(Pi)φi(x)

(v ∈ C(Ω)) と定義される．(Sobolev の埋込定理により，v ∈ H2(Ω) は Ω の連続関数．) また，|v|H2(Ω)

は H2(Ω)のセミノルム |v|2H2(Ω) =∑

1≤i,j≤2

‖∂2v/∂xi∂xj‖2 を表す．

したがって，(4)と (7)により，‖uh − u‖H1(Ω) → 0 (h ↓ 0)である．さらに，(2)の解が u ∈ H2(Ω)ならば，(8)と合わせて，

‖∇(u− uh)‖ ≤ Ch|u|H2(Ω) (9)

が成り立つ．また，Ωの形状に関するある仮定*2の下で，

‖u− uh‖ ≤ Ch2|u|H2(Ω) (10)

を示すことができる．

注意 1.1. Ω が滑らかな領域であれば，Poisson 方程式の解が u ∈ H2(Ω) となることは基本事項である．しかし，Ωが多角形の場合はそうではない．例えば，Ωが凸多角形であれば，u ∈ H2(Ω)であるが，非凸の場合には，u ∈ H2(Ω)とはならない例がたくさん存在する (cf. [2], [5], [6])．そこで，0 < s < 1 に対して，u ∈ H1+s(Ω)を仮定すると，

‖∇(u− uh)‖ ≤ Cshs|u|H1+s(Ω) (11)

を示すことができる (なお，Ωの非凸角の大きさ ω に応じて 0 < s < 1が定まる; cf. [5])．このように，偏微分方程式を考える領域を滑らかなものに限るのは，応用の観点からは不十分である．なお，上記の議論では，Sobolev空間に関わる諸事実 (稠密性，トレース，Poincareの不等式，Sobolevの不等式など)を利用した．これらはすべて Lipschitz領域上で証明されていなければならないが，それらに着いて詳しく述べている本は，少ない (cf. [10], [18])．

注意 1.2. 有限要素法の数学的理論についての参考書としては，[11] が最も良いと思うが，仏語版しか無い．[1]は，専門家向けであるが，前半は，初心者でも読みやすいと思う．和書では [9]，[15]がある．

注意 1.3. やはり実際に計算してみなければ実感が湧かないであろう．[8]などを見て，自分でプログラミングすることが最も望ましいが，一方で，敷居の高さも理解できる．その点，freefem++ [7]の利用は，推奨できる．利用の仕方は，[13]などを参考にすると良い．

2 熱方程式と有限要素近似Ω ⊂ R2 を多角形領域として，熱方程式の初期値境界値問題

∂u

∂t−∆u = f in Ω× (0, T∞), u = 0 on ∂Ω× (0, T∞), u|t=0 = u0 on Ω (12)

*2 任意の f ∈ L2(Ω)に対して，(2)の解は，u ∈ H2(Ω)であり ‖u‖H2(Ω) ≤ C‖f‖が成り立つ．

4

を考える．T∞ は正定数であり，最終時刻の積もりである．弱形式は，u ∈ L2(0, T∞;V ), du/dt ∈ L2(0, T∞; V ′), u(0) = u0 ∈ L2(Ω),⟨

du(t)dt

, v

⟩+ a(u(t), v) = 〈f(t), v〉 (∀v ∈ V, a.e. t ∈ (0, T∞))

(13)

となる．〈·, ·〉は，V と V ′ の双対積を表す．この問題を，時間変数は連続に保ったまま，空間変数についてのみ有限要素法で離散化を行うと，

uh, duh/dt ∈ L2(0, T∞; Vh), uh(0) = u0,h ∈ Vh,(duh(t)

dt, vh

)+ a(uh(t), vh) = (f(t), vh) (∀vh ∈ Vh, a.e. t ∈ (0, T∞))

(14)

を得る．ただし，u0,h は u0 の適当な近似である．次に時間変数に関する離散化を行う．m ∈ Nに対して，τ = T∞/mと定義し，tn = nτ (n = 0, . . . , m)とする．単純陰解法では，uh(tn)の近似 un

h を，un

h ∈ Vh (n = 0, . . . , m), u0h = u0,h ∈ Vh,(

unh − un−1

h

τ, vh

)+ a(un

h, vh) = (f(tn), vh) (∀vh ∈ Vh, n = 1, . . . ,m)(15)

で求める．これは，連立一次方程式(M + τA

)u(n) = Mu(n−1) + τf (n), u(0) = u0 (16)

と同値である．ただし，

M = (mij) = ((φj , φi)) ∈ RN×N ,

u(n) = (unh(Pi)) ∈ RN , f (n) = (fn

i ) = ((f(·, tn), φi)) ∈ RN

とおいた．同様に θ 法un

h ∈ Vh (n = 0, . . . , m), u0h = u0,h ∈ Vh,(

unh − un−1

h

τ, vh

)+ θa(un

h, vh) + (1− θ)a(un−1h , vh) = (θf(tn) + (1− θ)f(tn−1), vh)

(∀vh ∈ Vh, n = 1, . . . ,m)

を考えることもできる．行列表現は，f (n−1+θ) = θf (n) + (1− θ)f (n−1) とおいて，(M + θτA

)u(n) =

(M− (1− θ)τA

)u(n−1) + τf (n−1+θ), u(0) = u0 (17)

となる．θ = 0のときを陽解法，θ = 1/2のときを Crank-Nicolson法と呼ぶ． ところで，θ = 0とすると，(17)は

Mu(n) = τAu(n−1) + τf (n−1), u(0) = u0

となるので，u(n) を求める際に (Mを係数行列とする)連立一次方程式を解かねばならない．すなわち，標準的な有限要素法では，陽解法が文字通りの陽解法にならないのである (陽解法とは，方程式を解くことなしに，逐次的に解が計算できる解法を言う)．この不便さを避ける近似方法に集中質量 (lumped mass)近似がある．各 Pi に対して，重心領域Di が一意に対応している (図 2)．この Di の特性関数を φi = φh,i とする;

φi(x) =

1 (x ∈ Di)0 (x ∈ Ω\Di).

(18)

5

D

G

G

G

G

G

i

Pi

1

2

3

4 5

1

2

3

4 5

T

T

T

T

T

(a)内部節点 Pi の重心領域 Di

D

GG

Pl

1

21

2

T

T

l

(b)境界節点 Pl の重心領域 Dl

図 2 重心領域の例．Gj などは三角形 Tj の重心を表す．すなわち，重心領域Dj とは，Piのまわりの要素 Tj の重心 Gj と辺の中点を結んでできる多角形の内部のこと．

そして，φiNi=1 の張る線形空間 (区分的定数関数)を Vh と表して，集中質量作用素Mh : Vh → Vh を

(Mhvh)(x) =N∑

i=1

vh(Pi)φi(x) (vh ∈ Vh) (19)

で定義する．そうしてさらに，Vh に新たな内積

(vh, wh)h = (Mhvh,Mhwh) (vh, wh ∈ Vh) (20)

を導入する．このとき，(13)に対する集中質量型の θ 法とは，

unh ∈ Vh (n = 0, . . . , m), u0

h = u0,h ∈ Vh,(un

h − un−1h

τ, vh

)h

+ θa(unh, vh) + (1− θ)a(un−1

h , vh) = (θf(tn) + (1− θ)f(tn−1), vh)h

(∀vh ∈ Vh, n = 1, . . . ,m)

のことである．集中質量のご利益は，その行列表現にある．すなわち，M = (mij) = ((φj , φi)) ∈ RN×N

とおいて，(M + θτA

)︸ ︷︷ ︸Hθ

u(n) =(M− (1− θ)τA

)︸ ︷︷ ︸Kθ

u(n−1) + τf (n−1+θ), u(0) = u0 (21)

となるが，今の場合，

mij =∫

Ω

φj(x)φi(x) dx =|Di|(= Di の面積) (i = j)0 (i 6= j)

となり，Mは対角行列となる．すなわち，M−1 が陽的に計算できるので，θ = 0のときにも連立一次方程式を経由することなしに u(n) の算出ができ，文字通りの陽解法となる．本講義では，これらの有限要素近似の収束性については，全く論じない．興味のある読者は，[4]，[16]などを参考にして欲しい．

3 最大値原理と非正値型三角形分割収束性が保証されている数値解法を利用する場合でも，実際の計算は，有限の固定された離散化パラメータに対して行われるので，離散方程式 (近似方程式)そのものが，偏微分方程式の持っている性質の離散化版を再現することが望ましい．実際これは明らかなことではなく，線形問題でさえも，様々な病理的現象を

6

引き起こす．このような性質の再現のための条件を，できるだけ現実に検証可能な形で表現し，それが実現するか／しないかについての数学的な証明を与えることは，数学の重要な役目である．本節では，最大値原理に着目する．最大値原理，あるいは，その系である非負値性 (正値性)の保存は，偏微分方程式を解析する上で，強力な定理である．柔道で言えば，投げ技に相当する ([12])．最大値原理の使えない問題 (連立系など)を扱った経験のある人ならば，身に染みているであろう．今考察している熱方程式は，当然，最大値原理を満たす．そうすると，前節で考察した標準的有限要素近似 (17)あるいは集中質量型有限要素近似 (21)の解 un

h について，次が成り立つことが期待される：

un−1min + τfn

min ≤ unh(Pi) ≤ un−1

max + τfnmax (1 ≤ i ≤ N, 1 ≤ n ≤ m). (22)

ただし，

unmin = min

0, min

1≤i≤Nun

h(Pi)

, unmax = max

0, max

1≤i≤Nun

h(Pi)

,

fnmin = min

0, inf

x∈Ωf(x, tn)

, fn

max = max

0, supx∈Ω

f(x, tn)

としている．先に結論を言えば，標準的有限要素近似 (17)の解は，“一般には (あるいは，意味ある状況では)”(22)を満たさない．一方で，集中質量近似 (21)は，離散化パラメータについての妥当な条件の下で，(22)を満たす．とはいえ，標準的有限要素近似についての解析は相当に本格的であり，本講義の枠を外れてしまう．それを述べる代わりに，以下では，集中質量近似について詳しく解析し，その議論が標準的有限要素近似には適用できそうもないことを納得してもらう．なお，本節の議論は，基本的には [3] による．“ParabolicProblems”に対する有限要素法をタイトルとする [16]には，この点は全く触れられていない ([4]では，少しだけ述べている)．

記号の定義から始めよう．一般に，v = (vi) ∈ RN に対して，vi ≥ 0 (∀i)となることを，v ≥ 0と書くことにする．また，B = (bij) ∈ RN×N に対して，bij ≥ 0 (∀i, j)となることを，B ≥ Oと書くことにする．v > 0，v ≤ 0，v > w，B < O，B > Cなどの意味は，すぐに類推できるであろう．さらに，

q = (1, . . . , 1) ∈ RN ,

u(n−1)min = un−1

min q, u(n−1)max = un−1

maxq, f(n)min = un

minq, f (n)max = fn

maxq ∈ RN

としよう．B ≥ Oとなる行列を非負値行列と言う．非負値行列は大変美しい数学的構造を持っている (その代表が，

Perron-Frobenius の定理である)．これを，線形代数の講義では扱わないのは残念である．以下の議論では，次のことを使うので注意して欲しい：非負値行列Bと v ≥ 0に対して，Bv ≥ 0である．したがって，v ≥ w ならば，Bv ≥ Bw である．

次の補題が議論の起点となる．

補題 3.1. 集中質量型有限要素近似 (21)について，

(i)N∑

i=1

aij ≥ 0; (ii) Kθ ≥ O; (iii) H−1θ ≥ O

を仮定すると，最大値原理

u(n−1)min + τf

(n)min ≤ u(n) ≤ u(n−1)

max + τf (n)max (1 ≤ n ≤ m) (23)

が成り立つ．

7

証明には，区分一次要素の性質を詳しく調べておく必要がある．T ∈ Th を固定し，その 3頂点を (一般性を失うことなく)P1, P2, P3 と仮定する．Pi = (pi, qi)と表し，

T の一般の点を P = x = (x1, x2)とする．このとき，関数 λi(x)3i=1 を，

λi(x) =4PPjPk

|T |=

12|T |

(pjqk − pkqj) + (qj − qk)x1 − (pj − pk)x2 (24)

で定義し，これを T の重心座標と呼ぶ．当然，i, j, k は (i, j, k) = (1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2)と動く．明らかに，

λi(x) = φi(x) (x ∈ T ),3∑

i=1

λi(x) = 1 (x ∈ T ), φl(x) = 0 (4 ≤ l ≤ N , x ∈ T ) (25)

が成り立つ．ここで，次のように置く：

Λ = 1, . . . , N, ∂Λ = N + 1, . . . , N, Λ = Λ ∪ ∂Λ = 1, . . . , N,N + 1, . . . , N,Λi = j ∈ Λ | Pi と Pj が辺を共有 , Λ0

i = Λi\∂Λ, ∂Λi = Λi ∩ ∂Λ,

∆i = T ∈ Th | Pi ∈ T, Ωi =∪

T∈∆i

T.

そうすると，(25)より，1 ≤ i ≤ N に対して，

supp φi = Ωi, (26)N∑

j=1

φj(x) = φi(x) +∑j∈Λi

φj(x) = 1 (x ∈ Ωi). (27)

ここで，必要であれば順序を入れ替えて，Λを，

P1, . . . , PN ′ : 隣接節点が内部節点のみ, PN ′+1, . . . , PN : 隣接節点に境界節点を含む (28)

となるように番号をつけ直しておく．すなわち，1 ≤ i ≤ N ′ なら，Λj ⊂ Λであるが，N ′ + 1 ≤ i ≤ N なら，Λj 6⊂ Λである．

補題 3.2.

N∑i=1

aij =

0 (1 ≤ i ≤ N ′)

−∑

j∈∂Λi

aij (N ′ + 1 ≤ i ≤ N) ≡ αi, (29)

N∑i=1

mij =∫

Di

φi(x) dx = |Di| ≡ gi. (30)

証明. 1 ≤ i ≤ N ′ のときは，(27)より，

N∑j=1

aij =N∑

j=1

∫Ω

∇φj(x) · ∇φi(x) dx =∫

Ωi

∇

N∑j=1

φj(x)

· ∇φi(x) dx

=∫

Ωi

∇

φi(x) +∑j∈Λi

φj(x)

· ∇φi(x) dx = 0.

8

一方で，N ′ + 1 ≤ i ≤ N のときは，

N∑j=1

aij =∫

Ωi

∇

φi(x) +∑j∈Λ0

i

φj(x)

· ∇φi(x) dx

=∫

Ωi

∇

φi(x) +∑j∈Λi

φj(x)

· ∇φi(x) dx−∫

Ωi

∇∑

j∈∂Λi

φj(x) · ∇φi(x) dx

= −∑

j∈∂Λi

aij .

(30)は簡単．

注意 3.1. 補題 3.2により，

Aq = α, Mq = g

ただし，α = (αi) ∈ RN と g = (gi) ∈ RN は，それぞれ，(29)と (30)の右辺で定義されるベクトル．

補題 3.1の証明. 左側の不等式のみ証明する．w = u(n−1)max + τf (n)

max − u(n) と定義して，w ≥ 0を示す．まず，

fn−1+θi = (1− θ)

∫Di

f(x, tn−1)φi(x) d + θ

∫Di

f(x, tn)φi(x) dx ≤ fnmax · gi

より，補題 3.2(注意 3.1)を使って，

f (n−1+θ) ≤ fnmaxg = fn

maxMq = Mf (n)max.

一方で，再び補題 3.2(注意 3.1)より，

Hθf(n)max = Mf (n)

max + θτAf (n)max = Mf (n)

max + θτfnmaxAq = Mf (n)

max + θτfnmaxα.

ここで，仮定 (ii)を使うと，

Kθu(n−1) ≤ Kθu

(n−1)max = (M− (1− θ)τA)u(n−1)

max

= (M + θτA)u(n−1)max − τAu(n−1)

max

= Hθu(n−1)max − τun−1

maxAq = Hθu(n−1)max − τun−1

maxα.

ゆえに，

Hθu(n) = Kθu

(n−1) + τf (n−1+θ)

≤ Hθu(n−1)max − τun−1

maxα + τHθf(n)max − θτ2fn

maxα

= Hθ(u(n)max + τf (n)

max)− (τun−1max + θτ2fn

max)α.

したがって，

Hθw(n) ≥ (τun−1

max + θτ2fnmax)α (31)

を得る．仮定 (i)と (29)により，α ≥ 0なので，最後に仮定 (iii)を使って，w ≥ (τun−1

max + θτ2fnmax)H

−1θ α ≥ 0

となり，証明が完了する．

次に，(i), (ii), (iii)が実現される具体的な条件を考察していく．おおよそ，次のような手順で行う．

• (i) ←− 非正型三角形分割 Th (定義 3.2，定義 3.6，補題 3.6)

9

• (ii) ←− 非正型三角形分割 Th + メッシュパラメータ h, τ についての条件 (34)(定義 3.1，補題 3.8)• (iii) ←− 非正型三角形分割 Th + Hθ の狭義優対角性 (定義 3.1，補題 3.7)

補題 3.3. B ∈ RN×N が，RN のあるベクトルノルムに関する作用素ノルム ‖ · ‖について，‖B‖ < 1を

満たせば，I − B は正則であり，(I−B)−1 =∞∑

k=0

Bk かつ ‖(I−B)−1‖ ≤ 11− ‖B‖

が成り立つ．特に，

B ≥ Oなら，(I−B)−1 ≥ O．

証明. 初等的であるから各自で試みよ．

注意 3.2. 補題 3.3のより精密な形は次のもの．非負値行列B ∈ RN×N について，次の (a)と (b)は同値：(a) Bのスペクトル半径 < 1，(b) I−Bが正則で，(I−B)−1 ≥ O．証明には，Perron-Frobeniusの定理を使う．

定義 3.1 (優対角行列). B = (bij) ∈ RN×N が，|bii| ≥∑j 6=i

|bij | (∀i)を満たすとき，優対角 (対角優位)行

列と言う．さらに，≥の代わりに >で不等式が成立するとき，狭義優対角行列と言う．

補題 3.4. ベクトルの最大値ノルム ‖v‖∞ = max1≤i≤N

|vi| に関する作用素ノルム ‖B‖∞ = sup‖v‖∞=1

‖Bv‖∞

は，‖B‖∞ = max1≤i≤N

N∑j=1

|bij |で計算できる．

証明. 初等的であるから各自で試みよ．

補題 3.5. 狭義優対角行列B = (bij) ∈ RN×N は正則である．さらに，bii > 0 (∀i)かつ bij ≤ 0 (i 6= j)を満たすとき， B−1 ≥ Oとなる．

証明. 正則性は基本的 (cf. [14] など)．B を対角成分 D = diag (bii) と非対角成分 E に分解する;B = D + E．まず，狭義優対角性から，bii > 0 なので，D ≥ O かつ D−1 = diag (1/bii) ≥ O．次に，B = D + E = D(I + D−1E)と変形して，G = −D−1E = (gij)と定義する．このとき，

gij =−bij/bii (i 6= j)0 (i = j)

なので，仮定よりG ≥ O．さらに，Bの狭義優対角性により，n∑

j=1

|gij | =1|bii|

∑j 6=i

|bij | < 1.

すなわち，‖G‖∞ < 1である．したがって，補題 3.3により，I−Gは正則で，(I−G)−1 ≥ O．ゆえに，B−1 = (I−G)−1D−1 ≥ O．

注意 3.3. 補題 3.5 の系として次を得る：正則な優対角行列 B = (bij) ∈ RN×N が，bii > 0 (∀i) かつbij ≤ 0 (i 6= j)を満たすとき， B−1 ≥ Oとなる．証明は，Bε = B + εIを考えて，補題 3.5を適用し，ε ↓ 0とする．応用上は，B ∈ RN×N の正則性は，別の議論により出ることが多いので，この系は使いやすい．

定義 3.2 (非正型三角形分割). 任意の i ∈ Λ，j ∈ Λi に対して，aij = (∇φj ,∇φi) ≤ 0が成り立つとき，三角形分割 Th は非正型 (non-positive type)であると言う．

定義 3.3 (鋭角型三角形分割). 鋭角三角形と直角三角形のみで構成される三角形分割 Th を，鋭角型 (acutetype, non-obtuse type)と言う．

定義 3.4 (Delaunay 型三角形分割). 任意の i ∈ Λ，j ∈ Λi に対して，eij を Pi と Pj を両端とする辺，T, T ′ ∈ Th を eij を含む二要素とする (このような要素は必ず 2つ存在する)．eij の向かいにある角の角度

10

を，それぞれ，αij , α′ij とする (図 3)．このとき，αij + α′

ij ≤ π が成り立つならば，Th は，Delaunay型三角形分割と呼ばれる．(これは，Delaunay分割の本来の定義ではないが，本講義の文脈ではこう定義して良い．)

補題 3.6. Th: 鋭角型 ⇒ Th: Delaunay型⇒ Th: 非正型．

証明. はじめの⇒は明らか．二番目の⇒を示す．まず，T ∈ Th を固定し，その 3頂点を Pi, Pj , Pk と仮定する (図 3)．Pi = (pi, qi)と表す．T の重心座標 λi(x), λj(x), λk(x)を考える．(25)より直ちに，

∇λi(x) =1

2|T |

(qj − qk

−(pj − pk)

)(32)

なので，∇λi(x)(これは定数ベクトル)と −−−→PkPj は直交する．一方で，djk = |−−−→PkPj |とすると，|∇λ(x)| =

dij/2|T |となる．したがって，辺 PkPj 上の外向きの単位法ベクトルを ~νi とすると，∇λi(x) = −(1/κi)~νi

と書ける．ゆえに，角 PiPkPj の角度を αij と置くと，∫T

∇λi(x) · ∇λj(x) dx =∫

T

djkdji

2|T | · 2|T |~νi · ~νj dx =

djkdji

4|T |cos(π − αij)|~νi| · |~νj |

= − cos αijdjkdji

4|T |=

12djkdji sinαij ·

− cos αij

2|T | sinαij

= −12

cos αij

sinαij. (33)

次に，i ∈ Λ とする．j 6∈ Λi なら，aij = 0 である．j ∈ Λi のときを考える．Pi, Pj を両端に持つ辺を含む三角形を T, T ′ とする (図 3 を参照．Ωi ∩ Ωj = T ∪ T ′ に注意)．T, T ′ の重心座標はともに，λi = φi|T , λi = φi|T ′ と書けていることに注意する．このとき，(33)を使うと，

aij =∫

Ωi∩Ωj

∇φi(x) · ∇φj(x) dx =∫

T

∇φi(x) · ∇φj(x) dx +∫

T ′∇φi(x) · ∇φj(x) dx

= −12

cos αij

sinαij− 1

2cos α′

ij

sinα′ij

= −12

sin(αij + α′ij)

sinαij sinα′ij

となる．したがって，αij + α′ij ≤ π ならば，aij ≤ 0となり，Th は非正型である．

P

P

P

n

n

d

d

k

k

j k

k i

i

j

k

i

j

k i

j k

i ja

i ja'Pl

TT'

図 3

補題 3.7. 三角形分割 Th が非正型ならば，(21)で定義される Hθ は，H−1θ ≥ Oを満たす．

証明. Hθ = (gij) が補題 3.5 の条件を満たすことを確認する．まず，gij = τθaij ≤ 0 (i 6= j)，かつ，

11

gii = mii + τθaii > 0 (∀i)．さらに，符号も考慮して，補題 3.2を適用すると，

|gii| −∑j 6=i

|gij | = mii + τθN∑

j=1

aij =

mii (1 ≤ i ≤ N ′)mii −

∑j∈∂Λ aij (N ′ + 1 ≤ i ≤ N)

> 0.

すなわち，Hθ は狭義優対角．

定義 3.5 (最小垂線). Th の各三角形について，各頂点から対辺に垂線を下ろす．その最小値を κh と書く．

補題 3.8. 三角形分割 Th が非正型ならば，条件

τ

κ2h

≤ 13(1− θ)

(34)

下で (θ = 1の際は無条件と解釈)，(21)で定義される Kθ は，Kθ ≥ Oを満たす．

証明. Pi (1 ≤ i ≤ N)に着目する．T ∈ ∆i を一つとり，T の残りの頂点を Pj , Pk と仮定する．Pi から辺PjPk に下ろした垂線の長さを κi，辺 PjPk の長さを `i とする．T の重心座標 λi(x), λj(x), λk(x)を考える (λi = φi|T に注意)．補題 3.6の証明より，|∇λi(x)| = 1

2|T |djk =

121

2κidjk

· djk =1κi

. したがって，

∫T

|∇φi(x)|2 dx = |T | 1κ2

i

= 3|Di ∩ T | · 1κ2

i

.

これより，

aii =∫

Ωi

|∇φi(x)|2 dx =∑

T∈∆i

∫Ωi

|∇φi(x)|2 dx =∑

T∈∆i

3|Di ∩ T | · 1κ2

i

≤ 1κ2

h

· 3|Di| =1κ2

h

· 3mii.

したがって，条件 (34)の下では，

(1− θ)τaii ≤ (1− θ)τ · 1κ2

h

· 3mii ≤ mii.

すなわち，Kθ = (gij)の対角成分 gii = mii − (1− θ)τaii ≥ 0．一方，非正型の仮定の下で，非対角成分もgij = −(1− θ)τaij ≥ 0．

以上の補題をすべて合わせて，次の結果に到達する．

定理 3.1. 三角形分割 Th が非正型であれば，メッシュパラメータに関する条件 (34)の下で，集中質量型有限要素近似 (21)の解 u(n) は，最大値原理 (23)を満たす．

それでは，標準的な有限要素近似 (17)について同様のことが言えるであろうか? それには，

Hθ = M + θτA, Kθ = M− (1− θ)τA

について，補題 3.1の条件 (ii)，(iii)の成立の有無を確かめれば良い．ところが今回は，M = (mij)は対角行列ではなく，密行列であり，各成分は mij = (φj , φi) ≥ 0である．したがって，Hθ = (gij)と置いたとき，gij = mij + θτaij ≤ 0 (i 6= j)の成立は一般には期待できない．ただし，aij ≤ 0 (i 6= j)なので，τ を大きく取ることによって，gij ≤ 0を実現できる可能性が残るが，τ は離散化のパラメータであり，これを大きくするというのは，わざわざ悪い近似を求めていることになり，現実的ではない．ともかく，すでに述べた通り，標準的な有限要素近似についての解析は相当本格的になる．ここでは，結果のみ紹介しよう．

12

定義 3.6 (狭義鋭角型三角形分割). 鋭角三角形のみで構成される三角形分割 Th を，狭義鋭角型と言う．そして，σh = max

T∈Th

σT と定義する．ただし，σT = maxi 6=j

cos(π − αij)としている (cf. (33))．

定理 3.2. 三角形分割 Th が狭義鋭角型であれば，メッシュパラメータに関する条件

τ

κ2h

≤ 16(1− θ)

, (35)

τ

κ2max

≥ 112θ|σh|

(36)

の下で，標準的有限要素近似 (17)の解 u(n) は，最大値原理 (23)を満たす．ただし，κmax は Th に現れる最大垂線を表す．

注意 3.4. 条件 (35)は，集中質量近似の対応する条件 (34)と比較すると，厳しいものになっている．それはともかくとしても，条件 (36)は，最大値原理が保証されるためには，時間刻み幅 τ が十分大きくなければならないことを意味している．これは，近似の立場からは，極めて悪い性質である．実際，h, τ → 0の際，標準的有限要素近似 (17)では，最大値原理の成立は一般には保証できない．また，標準的半離散有限要素近似 (14)では，最大値原理が成立し得ないことが知られている．一方で，集中質量型半離散有限要素近似を導入すれば，三角形分割が非正型ならば，常に最大値原理は成立する．

4 この後の予定すべてを詳しく話すのは難しいが，次のような話題をできる限り紹介したい．

• 解析半群と非正型三角形分割• Keller-Segelの走化性モデル• 移流拡散方程式における正値性の保存• 有限要素法から有限体積法へ

参考文献[1] S. C. Brenner and L. R. Scott: The Mathematical Theory of Finite Element Methods (3rd ed.),

Springer, 2007.[2] M. Dauge: Elliptic Boundary Value Problems on Corner Domains. Smoothness and Asymptotics

of Solutions, Lecture Notes Math. 1341, Springer, 1988. 　[3] H. Fujii: Some remarks on finite element analysis of time-dependent field problems, Theory and

Practice in Finite Element Structural Analysis, 91–106, U. Tokyo Press, Tokyo, 1973.[4] H. Fujita, N. Saito and T. Suzuki: Operator Theory and Numerical Methods, Elsevier, 2001.[5] P. Grisvard: Behavior of the solutions of an elliptic boundary value problem in a polygonal or

polyhedral domain, Numer. Sol. P. D. E. III (Proc. Third Sympos. (SYNSPADE), Univ. Maryland,1975), 207–274, Academic Press, 1976.

[6] P. Grisvard: Elliptic Problems in Nonsmooth Domains, Pitman, 1985.[7] F. Hecht, O. Pironneau, A. Le Hyaric and K. Ohtsuka: freefem++ (Ver. 1.47-4), Lab. Jacques-

Louis Lions, U. Paris VI, http://www.freefem.org.[8] 菊地文雄: 有限要素法概説 [新訂版]―理工学における基礎と応用，サイエンス社，1999年．[9] 菊地文雄: 有限要素法の数理 (数学的基礎と誤差解析)，培風館，1994年．

[10] J. Necas: Les Methodes Directes en Theorie des Equations Elliptiques, Masson, 1967. (Springerから英訳が出版されるとアナウンスされてから一年以上が経過)

13

[11] P. A. Raviart and J. M. Thomas: Introduction a l’Analyse Numerique des Equations aux DeriveesPartielles, Masson, 1983.

[12] 大木谷耕司: ベクトル解析，微分方程式，流体力学，数学入門公開講座バックナンバー (講義ノート)，2006年，http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/∼kenkyubu/kokai-koza/H18-ohkitani.pdf

[13] 齊藤宣一: 有限要素法と非線形楕円型方程式の解の可視化 (首都大学東京集中講義ノート)，2009年，http://www.infsup.jp/saito/

[14] 齊藤宣一: 数値解析入門，東京大学出版会，2012年出版予定．[15] 田端正久: 偏微分方程式の数値解析，岩波書店, 2010年.[16] V. Thomee: Galerkin Finite Element Methods for Parabolic Problems (2nd ed.), Springer, 2006.[17] 山本哲朗：数値解析入門 [増訂版]，サイエンス社，2003年．[18] J. Wolka: Partial Differential Equations, Cambridge University Press, 1987.

2011年 8月 15日norikazu[AT]ms.u-tokyo.ac.jphttp://www.infsup.jp/saito/

14

【メモ】

一般講演

Location of the blow-up set for a superlinearheat equation with small diffusion

藤嶋陽平東北大学大学院理学研究科

E-mail: sa8m31@math.tohoku.ac.jp

次の半線形熱方程式の爆発問題を考える.∂tu = ε∆u + eu, x ∈ Ω, t > 0,

u(x, t) = 0, x ∈ ∂Ω, t > 0,

u(x, 0) = ϕε(x) ≥ 0 ( 6≡ 0), x ∈ Ω.

(P )

ここで, ε > 0, N ≥ 1, Ω は RN 上の有界領域, ϕε ∈ C1(Ω) である. (P ) の古典解の最大存在時刻を Tε

と表すと, Tε < ∞ のとき (P ) の解 uε は

lim suptTε

‖uε(t)‖L∞(Ω) = ∞

を満たす. このとき, Tε を解 uε の爆発時刻 (Blow-up time) と呼ぶ. また, (P ) の解 uε が時刻 Tε で爆発するとき, 集合 Bε を

Bε =

x ∈ Ω : ある点列 (xn, tn) ⊂ Ω × (0, Tε) が存在して

limn→∞

(xn, tn) = (x, Tε), limn→∞

|u(xn, tn)| = ∞ が成り立つ

.

によって定義し, Bε を uε の爆発集合 (Blow-up set) と呼ぶ. 本講演の目的は (P ) を, 十分小さな ε に対して考え, 解 uε の爆発集合 Bε の位置を調べることである.非線形項として冪乗型の非線形項を持つ半線形熱方程式に対して, 以下の結果が [1] によって示され

ている. p > 1 として, uε を以下の方程式の解とする.∂tu = ε∆u + up, x ∈ Ω, t > 0,

u(x, t) = 0, x ∈ ∂Ω, t > 0,

u(x, 0) = ϕε(x) ≥ 0 ( 6≡ 0), x ∈ Ω.

(1)

初期値関数 ϕε ∈ C1(Ω) は, ある定数 ε0 > 0, A > 0 に対して

inf0<ε<ε0

‖ϕε‖L∞(Ω) > 0, sup0<ε<ε0

‖ϕε‖L∞(Ω) < ∞, ϕε = 0 on ∂Ω, (2)

limε→0

ε1/2−A‖∇ϕε‖L∞(Ω) = 0 (3)

が成り立つと仮定する. また, (1) の解 uε は

sup0<ε<ε0

sup0<t<Tε

(Tε − t)1/(p−1)‖uε(t)‖L∞(Ω) < ∞

を満たすとする. このとき, 任意の δ > 0 に対して, ある正定数 εδ ∈ (0, ε0) が存在して

Bε ⊂x ∈ Ω : ϕε(x) ≥ ‖ϕε‖L∞(Ω) − δ

(4)

がすべての ε ∈ (0, εδ) に対して成り立つ. δ は任意に小さくとれるため, (4) は ε が十分小さいとき, 爆発集合 Bε は初期値 ϕε の最大点近くにのみ存在することを意味する. これは ε が小さいときには, 拡散の効果が非常に小さくなることによって, Bε が方程式 ut = up, u(x, 0) = ϕε(x) の解の爆発集合, すなわち初期値の最大点集合によって近似されていると理解することができる. この結果は, [2] の議論を改良し, すべての t ∈ (0, Tε) に対して存在する (1) の優解 (super-solution) を構成することによって示される. しかしながら, その構成法は非線形項 up に強く依存しており, (P ) に対して直接適用することは難しいため, [1] においては (1) のみを扱った.

1

今回, 非線形項が優解の構成にもたらす影響を詳しく調べることで, (P ) に対しても, 拡散係数 ε が十分小さい場合に解が初期値の最大点近くでのみ爆発することを示すことができたので, 報告する. 特に, ε が十分小さい場合に, (4) が (P ) に対して成り立つことを示す. また, (3) の仮定を弱めることにも成功したので, それについても併せて報告する.

定理 A N ≥ 1, ε0 > 0, Ω を RN 上の有界領域, ϕε0<ε<ε0 ⊂ C1(Ω) を (2) を満たす非負値関数の族とし,

limε→0

ε1/2‖∇ϕε‖L∞(Ω) = 0

を仮定する. ε ∈ (0, ε0) に対して uε を (P ) の解とし, Tε, Bε をそれぞれ uε の爆発時刻, 爆発集合とする. さらに, uε は

sup0<ε<ε0

sup0<t<Tε

[‖uε(t)‖L∞(Ω) + log(Tε − t)

]< ∞

を満たすと仮定する. このとき, 任意の δ > 0 に対して, ある正定数 εδ が存在して

Bε ⊂x ∈ Ω : ϕε(x) ≥ ‖ϕε‖L∞(Ω) − δ

がすべての ε ∈ (0, εδ) に対して成立する. 初期値が ε に依存しない場合には, 次の定理が成り立つ.

定理 B N ≥ 1, Ω を RN 上の有界領域, ϕ ∈ C(Ω) を ϕ|∂Ω = 0, ϕ 6≡ 0 を満たす非負値関数とする. uε をϕε ≡ ϕ としたときの (P ) の解とし, Tε, Bε をそれぞれ uε の爆発時刻, 爆発集合とする. さらに, uε

はある正定数 ε0 に対して

sup0<ε<ε0

sup0<t<Tε

[‖uε(t)‖L∞(Ω) + log(Tε − t)

]< ∞

を満たすと仮定する. このとき, 任意の δ > 0 に対して, ある正定数 εδ が存在して

Bε ⊂x ∈ Ω : ϕε(x) ≥ ‖ϕε‖L∞(Ω) − δ

がすべての ε ∈ (0, εδ) に対して成立する. 定理の証明は, 任意の δ > 0 に対して, (P ) の優解 u+

ε で, 以下の性質を満たすものを構成する.

(a) すべての t ∈ (0, Tε) に対して存在する.

(b) 関数 u+ε (·, Tε) は集合 x ∈ Ω : ϕε(x) < ‖ϕε‖L∞(Ω) − δ 上有界である.

u+ε の構成のため, 関数 u−

ε (x, t) := − log[e−zε(x,t) − t

]を考える. ただし, zε は熱方程式

∂tzε = ε∆zε in Ω × (0,∞), zε = 0 on ∂Ω × (0,∞), zε(x, 0) = ϕε(x) in Ω

の解である. このとき, u−ε は ∂tu

−ε ≤ ε∆u−

ε + eu−ε を満たすことが容易に確かめられるが, u−

ε に適当な摂動を加えることによって, (P ) の優解を構成する. 摂動部分の構成に, 非線形項の違いが大きく表れる.

参考文献

[1] Y. Fujishima and K. Ishige, Blow-up set for a semilinear heat equation with small diffusion, J.Differential Equations 249 (2010), 1056–1077.

[2] H. Yagisita, Blow-up profile of a solution for a nonlinear heat equation with small diffusion, J.Math. Soc. Japan 56 (2004), 993–1005.

2

Blow-up profile for heat equation with a nonlinear boundarycondition

原田潤一（はらだじゅんいち）

早稲田大学先進理工学部・応用物理学科

E-mail: harada-j@aoni.waseda.jp

1 Introduction

次の方程式の正値解の爆発現象を考察する.ut = ∆u in Rn

+ × (0, T ),

∂νu = uq on ∂Rn+ × (0, T ),

u = u0 on Rn+ × 0,

(P)

ここで Rn+ = x ∈ Rn; xn > 0, ∂ν = −∂/∂xn, 指数 q > 1は Sobolev subcriticalを考える. 本

講演の目的は, 有限時刻で爆発する解に対して, その blow-up profileの空間的な特異性について調べることである. ここで解 u(x, t)が時刻 T > 0で爆発するとは

lim supt→T

∥u(t)∥L∞(Rn+) = +∞

と定義する. また以下の極限 (各点収束の意味)

U(x) = limt→T

u(x, t)

が存在するとき, U(x)を blow-up profileと呼ぶことにする. 特に本講演では, 初期値 u0(x)はxn-軸対称:u0(x) = u0(|x′|, xn)で以下の単調性を満たすものとする.

x′ · ∇′u0(x) ≤ 0, ∂nu0(x) ≤ 0. (A)

条件 (A)を仮定すれば, 解 u(x, t)が有限時刻で爆発するならば, 原点のみで爆発を起こすことが確かめられ, 対応する blow-up profileは, U(x) ∈ C(Rn

+ \ 0) かつ

limx→0

U(x) = +∞

となる. つまり本講演の目標はblow-up profile U(x)のx ∼ 0での挙動を調べることである.blow-up profileの特異性について, 又はそれに関連した解 u(x, t)の爆発時刻付近での挙動

についての研究は, Fujita型方程式 (ut = ∆u + up, Sobolev subcritical) で既に数多くなされている (例えば, Giga-Kohn:19985,1987,1989, Filippas-Kohn:1992, Fillipas-Liu:1993, Liu:1993,Herrero-Velazquez,Velazquez:1992-1994). 特に初期値として球対称かつ単調減少を仮定すれば,U(x)を Fijita型方程式の解 u(x, t)の blow-up profileとしたとき, 次のことが知られている.

limr→0

(r2

| log r|

)1/(p−1)

U(r) = c0.

本研究ではこれらの手法, 特に Herrero-Velazquez (1993)を基礎にして解析を行った. まずはGiga-Kohn (1985,1987)の議論に従い, 以下の scalingされた新たな関数を考察することになる.

φ(y, s) = e−s/2(q−1)u(e−s/2y, T − e−s).

1

このとき φ(y, s)は次を満たす.∂sφ = ∆φ − y

2· ∇φ − 1

2(q − 1)φ in Rn

+ × (sT ,∞),

∂νφ = φq on ∂Rn+ × (sT ,∞).

(B)

このときChlebik-Fila(2000)らの結果より,ある一意的な正値定常解φ0(y) = φ0(yn)が存在して,

lims→∞

φ(y, s) = φ0(y),

上の収束はRn+上の広義一様収束に意味である. 元の変数 (x, t)で書き直すと,

limt→T

(T − t)1/2(q−1)u((x, t) = φ0((T − t)−1/2x),

ここでの収束の意味は任意ののR > 0に対して x ∈ ∂Rn+; |x| < R(T − t)1/2上で一様収束の

意味である. 荒っぽく書けば (φ0(yn) ∼ cy−1/(q−1)n を用いて),

u(x, t) ∼ (T − t)−1/2(q−1)φ0((T − t)−1/2x) ∼ cx−1/(q−1)n . (1)

これより直ちに,U(0, xn) ∼ cx−1/(q−1)

n .

つまり xn-軸方向の特異性は, φ0(y)に付随した特異性 (1)から来るものであり, 方程式 (B)の観点からは一次近似によって与えらる特異性とみなすことができる. 本講演で目標とするのは,|x′|-軸方向 (xn-軸と垂直な方向)の特異性を考察することであり, これは方程式 (B)の観点からは二次近似を与えることになる. そこで

v(y, s) = φ(y, s) − φ0(y)

とおき, v(y, s)の s ∼ ∞での漸近挙動を調べることになる. このとき方程式 (B)をφ0の周りで線型化した方程式 : ∂sh = ∆h − y

2· ∇h − 1

2(q − 1)h in Rn

+ × (0,∞),

∂νh = qφq−10 h on ∂Rn

+ × (0,∞)

の熱核の詳細な評価が鍵となる. Fujita型方程式の場合とは異なり,上の方程式の熱核はut = ∆uの熱核をスケーリングしても得られないことに注意したい.

2 Main Results

我々は次の定理を得た.

定理 2.1 (single point blow-up). 初期値 u0(x)は u0 ∈ BC1(Rn+)で xn-軸対称で仮定 (A) を満た

すとする. このとき解 u(x, t)が有限時刻で爆発するならば, 原点のみで爆発する.

定理 2.2 (spacial singularity of blow-up profile). 初期値 u0(x)は定理 2.1と同様なものとする.このとき解 u(x, t)が有限時刻で爆発するならば, blow-up profile U(|x′|, xn)は次を満たす.

c1

(|x′|2

| log |x′||

)1/2(q−1)

≤ U(|x′|, 0) ≤ c1

(|x′|2

| log |x′||

)1/2(q−1)

.

2

強退化放物型方程式に対する zero-flux境界値問題の可解性

渡邉 紘（わたなべ ひろし）

サレジオ工業高等専門学校 一般教育科

E-mail: h-watanabe@salesio-sp.ac.jp

本講演では, 以下の形の強退化放物型方程式の初期値境界値問題を考える.

(P)

ut + ∂xA(x, t, u) + B(x, t, u) = ∂xxβ(u), (x, t) ∈ I × (0, T ),

∂xβ(u)− A(x, t, u) = 0, (x, t) ∈ a, b × (0, T ),

u(x, 0) = u0(x), u0 ∈ BV (I), a ≤ u0(x) ≤ b for x ∈ I.

ここで, I ≡ (a, b) ⊂ Rは有界開区間とし, [0,T] は固定された時間区間である. A(x, t, ξ) とB(x, t, ξ) は, 共に I × [0, T ]×R上の実数値の関数とする. 右辺の関数 βはR上単調増加で局所Lipschitz連続であると仮定する. βに対する仮定から, β′(ξ) = 0となる区間が非負測度を持つ場合が考えられる. この意味でこの方程式は強退化型であると云う. この種の方程式は filtration問題や Stefan問題はもちろんのこと, 沈殿過程, 交通流, 血流流れ等を記述する数学モデルに応用できることが知られている.この方程式は, 形の上では時間に依存した双曲型保存則方程式（双曲型方程式）と多孔性媒

質方程式（放物型方程式）の線形結合とみなされる. よってこの方程式は, 双曲型の性質と放物型の性質を両方持っていると考えられる. 本研究では, 放物性と双曲性の強さが単純に比較できない状況に対する解析に主眼を置いている. それゆえに, 通常は双曲型保存則方程式の一般解としてKruzkov [6]によって導入された entropy解の概念を用いて (P)の一般解が定式化される. ここで entropy解とは, ”entropy条件”という特別な条件を満たすような超関数解である.実際, J. Carrillo [3], H. Watanabe and S. Oharu [9] らによって, 境界値問題に対する entropy解, BV-entropy解の一意存在性が証明されている.本研究の目的は, 係数A(x, t, ξ), B(x, t, ξ)が xに関して不連続な場合に対して, 問題 (P)の

適切性を証明することである. この場合, 近似解 uεの全変動評価が εに関して一様に有界にならないことが技術的に困難な点である.不連続な係数を持つ双曲型保存則方程式に対する適切性の研究は,近年盛んに研究されており,

1次元初期値問題に対しては多数の結果が得られている. 多次元問題に対しては, compensatedcompactness methodを使った Karlsen, Rascle and Tadmor [4] (N = 2) やH-measureを用いた Aleksic and Mitrovic [1] (N = 2), Panov [7] (N ≥ 1)などが知られており, いずれも初期値問題に対する弱解の存在性が示されている.退化放物型方程式に関しては, 1次元初期値問題に対して Karlsen, Risebro and Towers [5]

による compensated compactness methodを用いた弱解の一意存在性が得られている. さらに,Watanabe [8]によって, 1次元Neumann問題に対する弱解の一意存在性も証明されたが, 多次元問題や他の境界値問題に対する結果は得られていない.本講演では, 強退化放物型方程式の zero-flux境界値問題を取り扱う. これは密閉容器内の流

体の運動や, 多次元乱流モデルの粘性消滅極限などに出現する境界条件であり, 報告 [8]をさらに一般化させた問題である. 先行研究としては, Burger, Frid and Karlsen [2]によって, 多次元双曲型保存則方程式に対する適切性が得られている.本講演の目的は, 非線形関数A(x, t, ξ), B(x, t, ξ)に対して以下の仮定を課し, 1次元 zero-flux

境界値問題 (P)に対する弱解の存在性を証明することである:

A(·, t, ξ), B(·, t, ξ) ∈ BV (I) for (t, ξ) ∈ [0, T ]× R,

A(x, ·, ξ), B(x, ·, ξ) ∈ C1([0, T ]) for (x, ξ) ∈ I × R,

A(x, t, ·), B(x, t, ·) ∈ Lip(R) for (x, t) ∈ I × [0, T ].

(1)

1

証明にはPanov [7] による近似解に対する compactness評価を用いる. この手法を適用するために, 係数A(x, t, ξ)に真性非線形条件を仮定し, 関数 uεを以下の一様放物型問題の一意な古典解とする.

(P)ε

∂tuε + ∂xAε(x, t, uε) + Bε(x, t, uε) = ∂xxβε(uε), (x, t) ∈ I × (0, T ),

∂xβε(uε)− Aε(x, t, uε) = 0, (x, t) ∈ a, b × (0, T ),

uε(x, 0) = u0ε(x).

ここで, Aε(x, t, ξ), Bε(x, t, ξ)は滑らかな係数であり, βε(ξ) = β(ξ) + εξとする. さらに, u0εは滑らかな初期関数である.まず, 近似解 uε に対する L∞ 有界性, 時間に関する Lipschitz正則性, entropy dissipation

boundを証明する. これにKarlsen, Risebro and Towers [5] による total fluxに注目した評価を組み合わせ, Panovの compactness評価を用いることで近似解の収束が証明できる. 実際, いくつかの適切な仮定の下で次の結果が得られる.

定理 0.1. The sequence of uεε>0 converges strongly in L1 to a weak solution u of (P). Further-more, a subsequence of βε(uε)ε>0 converges uniformly on compact sets to a Holder continuousfunction that coincides with β(u) a.e.

参考文献

[1] J. Aleksic and D. Mitrovic, On the compactness for two dimensional scalar conservationlaw with discontinuous flux, Comm. Math. Science, 4 (2009), 963-971.

[2] R. Burger, H. Frid and K. H. Karlsen, On the well-posedness of entropy solutions toconservation laws with a zero-flux boundary condition, J. Math. Anal. Appl., 326 (2007),108-120.

[3] J. Carrillo, Entropy solutions for nonlinear degenerate problems, Arch. Rational. Anal.147 (1999) 269-361.

[4] K. H. Karlsen, M. Rascle and E. Tadmor, On the existence and compactness of a two-dimensional resonant system of conservation laws, Commun. Math. Sci. 5(2), (2007), 253-265.

[5] K. H. Karlsen, N. H. Risebro and J. D. Towers, On a nonlinear degenerate parabolictransport-diffusion equation with a discontinuous coefficient, Electron. J. Differential Equa-tions, 28 (2002), 1-23 (electronic).

[6] S. N. Kruzkov, First order quasilinear equations in several independent variables, Math.USSR Sbornik, 10 (1970), 217-243.

[7] E. Yu. Panov, Existence and strong pre-compactness properties for entropy solutions of afirst-order quasilinear equation with discontinuous flux, Arch. Rational Mech. Anal., 195(2010), 643-673.

[8] 渡邉紘,不連続な係数を持つ強退化放物型方程式について,第 32回発展方程式若手セミナー報告集, (2010), 217-226.

[9] H. Watanabe and S. Oharu, BV -entropy solutions to strongly degenerate parabolic equa-tions, Adv. Differential Equations 15(7-8) (2010), 757-800.

2

On the Galerkin finite element method with Riesz bases

Naohiro Fukuda1

Institute of Mathematics, University of Tsukuba

E-mail: naohiro-f@math.tsukuba.ac.jp

1 IntroductionThe GFEM is a numerical method for converting a continuous operator problem to a discreteproblem as a weak formulation. For instance, let us consider the 2nd order differential equation− d2

dx2 u + u = f and its Galerkin equation 〈uj, ϕj,k〉H1 = 〈f, ϕj,k〉L2 , where 〈f, g〉H1 = 〈f, g〉L2 +⟨ddx

f, ddx

g⟩

L2 and ϕj,k(x) = ϕ((x−k)/j). We shall take ϕ as elevated function ϕ(x) = E∗Φ. Here

the function E is called elevator (see [3]), and Φ satisfies the condition∑

p∈Z∣∣Φ(ξ + 2pπ)

∣∣2 ≡ 1a.e. ξ ∈ R.

Definition 1.1 (Elevator). Let Φ be a scaling function such that Φ(0) = 1 and Φ(ξ) 6= 0 for−π ≤ ξ ≤ π. Put ck,` := 〈ϕ0,k, ϕ0,`〉L2 and ak,` := −〈 d

dxϕ0,k,

ddx

ϕ0,`〉L2 for ϕ(x) = E ∗ Φ(x). Theelevator E for GFEM is a function satisfying

(i) E(ξ) 6= 0 for −π ≤ ξ ≤ π, in particular, E(0) = 1.

(ii) It holds that for v ∈ C40∑

ν∈Z

ck,k+ν v(x + νh) = v(x) + O(h2) and∑ν∈Z

ak,k+νv(x + νh) = h2 d2

dx2v(x) + O(h4).

(iii) There exists a 2π-periodic function mE(ξ) such that E(2ξ) = mE(ξ)E(ξ).

Let ΦDm and N1 be the Daubechies scaling function of order m and the B-spline of order 1

(see [1] and [2]). Taking ϕD2 = N1∗ΦD

2 and ϕD2 =

(12

+ 1√3

)N1(· − 1) +

(12− 1√

3

)N1(·)

∗ΦD

2 ,

we get the following theorems.

2 Main ResultsTheorem 2.1. For ϕD

2 = N1 ∗ ΦD2 we have

ck,` =

131/180 if k = `,37/240 if k = ` ± 1,−11/600 if k = ` ± 2,1/3600 if k = ` ± 3.

0 otherwise,

and ak,` =

−2 if k = `,1 if k = ` ± 1,0 otherwise.

Moreover, it holds that for v ∈ C40∑

ν∈Z

ck,k+ν v(x + νh) = v(x) + O(h2) and1∑

ν=−1

ak,k+νv(x + νh) = h2 d2

dx2v(x) + O(h4).

Theorem 2.2. For ϕD2 =

(12

+ 1√3

)N1(· − 1) +

(12− 1√

3

)N1(·)

∗ ΦD

2 we have

ck,` =

3557/4320 if k = `,163/1350 if k = ` ± 1,−37/1080 if k = ` ± 2,

1/540 if k = ` ± 3,−1/43200 if k = ` ± 4,

0 otherwise,

and ak,` =

−5/2 if k = `,4/3 if k = ` ± 1,

−1/12 if k = ` ± 2,0 otherwise.

1This talk is based on the joint work with Prof. Tamotu Kinoshita and Takayuki Kubo.

1

Moreover, it holds that for v ∈ C60

∑ν∈Z

ck,k+ν v(x + νh) = v(x) + O(h2) and2∑

ν=−2

ak,k+νv(x + νh) = h2 d2

dx2v(x) + O(h6).

3 Numerical Results

The boundary value problem for

−ε2 d2

dx2u(ε) + u(ε) = f, 0 < x < 1, u(ε)(0) = u(ε)(1) = 0,

has a solution represented by

u(ε)(x)=− sinh(x/ε)

ε sinh(1/ε)

∫ 1

0

sinhy − 1

εf(y)dy +

1

ε

∫ x

0

sinhy − x

εf(y)dy. (1)

For f(x) = sin 10πx, by (1) the exact solution is u(ε)(x) = sin 10πx1+100ε2π2 and the errors with the

Riesz bases N2, ϕD2 and ϕD

2 are given by the followings:(i) The case of ε = 1.

Mesh size 2−j EN2j QN2 E

ϕD2

j QϕD2 E

ϕD2

j QϕD2

j = 8 1.44511×10-8 2.81 1.16670×10-4 1.98 9.25201×10-4 1.41j = 9 5.12704×10-9 2.82 5.85218×10-5 1.99 6.54855×10-4 1.41j = 10 1.81559×10-9 2.82 2.93002×10-5 2.00 4.63185×10-4 1.41

(ii) The case of ε = 1/106.

Mesh size 2−j EN2j QN2 E

ϕD2

j QϕD2 E

ϕD2

j QϕD2

j = 8 1.41228×10-2 2.82 1.15337×10-1 1.98 4.27353×10-4 5.60j = 9 5.00589×10-3 2.82 5.78534×10-2 1.99 7.59345×10-5 5.63j = 10 1.77228×10-3 2.82 2.89641×10-2 2.00 1.34480×10-5 5.65

Here Eϕj is relative L2-error between the exact solution u(ε)(x) and the approximation u(ε)(x) =∑N

`=1 u`ϕj,`(x) on [0, 1] defined by

Eϕj = Eϕ

j (ε) =1

‖u(ε)‖L2

√√√√ 2j∑`=0

u(ε)

(`

2j

)− u(ε)

(`

2j

)2

and the ratio Qϕ is defined by Qϕ = Eϕj−1/E

ϕj .

References[1] C. K. Chui, An introduction to wavelets. Wavelet Analysis and its Applications, 1, Aca-

demic Press, Boston, MA, 1992.

[2] I. Daubechies, Ten lectures on wavelets, CBMS-NSF Regional Conference Series in AppliedMathematics, 61, SIAM, Philadelphia, PA, 1992.

[3] J. C. Xu and W. C. Shann, Galerkin-wavelet methods for two-point boundary value prob-lems, Numer. Math., 63, 123–144 (1992).

2

有限要素法の計算的な誤差評価とその応用Computable error estimation of finite element method and its

application

劉　雪峰（りゅう　しゅーふぉん）

早稲田大学理工学術院

E-mail: xfliu@aoni.waseda.jp

1 Introduction

When we adopt numerical schemes to solve partial differential equations, the error analysis

is very important, since it can tell us the reliability of the methods used. Usually, people pay

efforts to the qualitative error analysis, such as the convergence of approximate solutions. For

example, for the model problem of Poisson’s equation over domain Ω,

−∆u = f in Ω, u = 0 on ∂Ω (1)

the approximate solution uh of finite element method(FEM) is expected to have such property,

‖u− uh‖V ≤ Chα‖f‖L2 , (2)

where h presents the mesh size of Ω. In classical analysis, we can only theoretically assure

the boundedness of constants like C but have no information of concrete values. However, in

many cases, especially the adaptive computation based on the a posteriori error estimation and

the verified computation for mathematical proof, we need to know the concrete values of the

constants.

In the following short text, we will explain the basic idea for obtaining computable error

estimation and show one application in bounding eigenvalues of laplacian.

2 Error estimation for finite element method

The FEM method is to find the approximate solution of PDE by using variation formulation.

For example, for equation (1), the approximate solution uh ∈ Vh is given by the solution of

(∇uh,∇vh)L2 = (f, vh)L2 , ∀vh in Vh ,

where Vh is finite dimensional space of piecewise polygonal functions. The solution uh above

minimizes the approximation error,

Minimization principle: ‖∇u−∇uh‖ = minvh∈Vh

‖∇u−∇vh‖ .

By using the Lagrange interpolation function Πhu of u together with the error estimate

‖∇u−∇Πhu‖L2 ≤ Ch|u|H2 , (h : mesh size) (3)

we can deduce the error estimation,

‖∇u−∇uh‖L2 ≤ ‖∇u−∇Πhu‖L2 ≤ Ch|u|H2 .

As u is still unknown, to obtain computable error estimation, we need following lemma:

1

補題 2.1. Let Ω ⊂ Rn be bounded convex domain with piecewise C2 boundary. For u ∈ H2(Ω) ∩H10 (Ω)

or u ∈ H2(Ω) and ∂u/∂n = 0 on ∂Ω, we have

|u|H2 ≤ ‖∆u‖L2 . (4)

Particular, if Ω is polygonal domain, the equal above holds, that is |u|H2 = ‖∆u‖L2 .

As solution u of (1) satisfies −∆u = f , we can obtain error estimation as below

定理 2.2. Suppose the domain Ω to be convex polygonal one, then error estimation for finite

element solution is given by

‖∇u−∇uh‖L2 ≤ Ch‖f‖L2 . (5)

Further by applying the Aubin-Nitsue’s technique, we have

‖u− uh‖L2 ≤ C2h2‖f‖L2 . (6)

注意 2.3. To deduce computable error estimation in (5) and (6), we should evaluate the constant

C related to interpolation function. As it is difficult to give exact value of C, people turn to the

upper bounds for the constant [1]. Also, for general problems, for example, the one associated

with non-homogeneous boundary condition and the one over non-convex domain, the inequality

(4) does not hold any more. Therefore, we have to develop new technique to obtain computable

estimate, such results can be found in our latest paper[2].

3 Application of computable error estimation

We show one application of computable error estimation in bounding eigenvalues of Laplace

operator. Let λkk=1,2,··· be the eigenvalues of the following eigenvalue problems,

−∆u = λu, in Ω, u = 0 on ∂Ω .

and λhkk=1,··· ,n the approximate ones determined by following discrete eigenvalue problem,

(∇uh,∇vh) = λh(uh, vh) for vh in Vh .

Our latest result gives upper bound and lower bounds for the eigenvalues as

定理 3.1. [2] For 1 ≤ k ≤ n, n = Dim(Vh) ,

λhk/(1 +M2λh

k) ≤ λk ≤ λhk (7)

where M can be taken as the quantity Ch that appears in (5) and (6).

参考文献

[1] Xuefeng Liu and Fumio Kikuchi, Analysis and estimation of error constants for P0 and P1interpolations over triangular finite elements, J. Math. Sci. Univ. Tokyo, 17, p.27-78, 2010

[2] Xuefeng Liu and Shin’ichi Oishi, Verified eigenvalue evaluation for the laplacian on arbi-trary polygonal domain, submitted to Numerische Mathematik, Dec,2010

2

任意多角形領域上での非線形楕円型境界値問題の計算機援用証明

高安亮紀 1（たかやす あきとし）, 劉雪峰 2（りゅう しゅーふぉん） , 大石進一 2（おおいし しんいち）1 早稲田大学・基幹理工学研究科

2 早稲田大学・理工学術院 & CREST/JST

E-mail: takitoshi@suou.waseda.jp

1 計算機援用解析の概要

ΩをR2上の任意多角形領域とする．本報告では以下のような楕円型半線形偏微分方程式のDirichlet境界値問題について考える．

−∆u = f(u), in Ω,u = 0, on ∂Ω.

(1)

先行研究 [1, 2, 3]を含め，偏微分方程式の解に対する計算機援用証明は問題 (1)を次の非線形作用素方程式に変換する．

Find u ∈ V satisfying F(u) = 0. (2)

ここで 〈V, (·, ·)V 〉は Hilbert空間とその内積とし，V の共役空間を V ∗とする．F : V → V ∗は Frechet微分可能な作用素とし，u ∈ V を (2)の近似解（数値的に得た解）すると，F の uにおける Frechet微分 F ′[u] : V → V ∗は

‖F(u + ν) −F(u) −F ′[u]ν‖V ∗ = o(‖ν‖V ), ‖ν‖V → 0

をみたす．ここでK, δh, Lcについての仮定を 3つ用意する．ひとつめは

‖F ′[u]−1‖V ∗,V ≤ K, (3)

K は作用素 F ′[u]の逆作用素のノルム評価とする．つぎに δhは近似解に対する残差評価

‖F(u)‖V ∗ ≤ δh (4)

とする．そして F ′はある開球D ⊂ V 上で Lipschitz連続とし，Lcはその Lipschitz定数とする．

‖F ′[v] −F ′[w]‖V,V ∗ ≤ Lc‖v − w‖V , ∀v, w ∈ D. (5)

偏微分方程式の解に対する計算機援用解析の主な仕事は，これら 3つの定数を ‘正確’に計算することである．そして，近似解 uの近傍に問題の真の解が局所一意存在することを示す．そのためには (2)に以下のような定理を適用する．この定理はNewton-Kantorovichの定理と呼ばれる．本報告ではBanachの不動点定理をもとにした基本的な証明 [4]を以下に与える．

定理 1.1 (Newton-Kantorovichの定理). F の Frechet微分 F ′[u]が逆作用素をもち，α > 0が

‖F ′[u]−1F(u)‖V ≤ α (6)

をみたすとする．B(u, 2α) := v ∈ V : ‖v − u‖V ≤ 2αを閉球とし，開球D ⊃ B(u, 2α)に対して

‖F ′[u]−1(F ′[v] −F ′[w])‖V,V ≤ ω‖v − w‖V , ∀v, w ∈ D (7)

をみたすとき αω < 12 であるならば (2)をみたす解 u ∈ V が存在し，誤差評価

‖u − u‖V ≤ ρ :=1 −

√1 − 2αω

ω

の中で局所一意である．

1

証明. 問題 (2)の解 u ∈ V を u = u + wとその近似解と誤差に分解する．F ′[u]に逆作用素があることから，問題 (2)は次のような不動点方程式に書き換えることができる．

w = F ′[u]−1(F ′[u]w −F(u + w)

)=: T (w).

凸閉球 W ⊂ V を W := w = u − u ∈ V : ‖w‖ ≤ ρ とする．以下では不動点作用素 T : V → Vが Banachの不動点定理（縮小写像の原理）をみたすことを示す．そのためには (I) 閉球W に対してT (W ) ⊂ W が成り立つ．(II) T がWにおいて縮小写像になる．ことを示せば良い．平均値の定理を用いて

T (w) = F ′[u]−1(F ′[u]w − F(u + w) −F(u) − F(u)

)= F ′[u]−1

(F ′[u]w −

∫ 1

0F ′[u + tw]w dt −F(u)

)=

∫ 1

0F ′[u]−1

F ′[u] −F ′[u + tw]

w dt −F ′[u]−1F(u).

仮定 (6)，(7)から T (w)のノルム評価は

‖T (w)‖V =∥∥∥∥∫ 1

0F ′[u]−1

F ′[u] −F ′[u + tw]

w dt −F ′[u]−1F(u)

∥∥∥∥V

≤∫ 1

0ω‖tw‖V dt · ‖w‖V + α

≤ ω

2ρ2 + α.

仮定 1 − 2αω > 0と ρ = (1 −√

1 − 2αω)/ωより ‖T (w)‖V ≤ ρ．よって T (w) ∈ W であり，(I)はみたされる．次に T の縮小性について，同じように中間値の定理と (7)から

‖T (w1) − T (w2)‖V =∥∥F ′[u]−1

F ′[u](w1 − w2) − (F(u + w1) −F(u + w2))

∥∥V

=∥∥∥∥F ′[u]−1

F ′[u](w1 − w2) −

∫ 1

0F ′[u + w2 + t(w1 − w2)](w1 − w2)dt

∥∥∥∥V

≤∫ 1

0

∥∥F ′[u]−1F ′[u] −F ′[u + w2 + t(w1 − w2)]

∥∥V,V

dt‖w1 − w2‖V

≤∫ 1

0ω‖w2 + t(w1 − w2)‖V dt‖w1 − w2‖V

≤ ωρ‖w1 − w2‖V , ∀w1, w2 ∈ W.

よって ωρ = 1 −√

1 − 2αω < 1より T はW 上で縮小写像になる．

Remark 1.2. もし 3つの定数K, δh, Lcが (3)-(5)をみたすことが計算機で ‘正しく’得られれば，(6),(7)から α ≤ Kδh，ω ≤ KLc となる．したがって条件 αω ≤ K2δhLc ≤ 1/2をチェックすることでNewton-Kantorovichの定理をもとに (2)の解の局所一意存在が計算機によって示すことができる．

我々の方法の特徴は任意多角形領域上で得られた数値解の検証を行えるところにある．そのためには混合型有限要素法の技術を使用する必要がある．そこで発表時には，上記をもとにした計算機援用証明方法で任意多角形領域を扱うための詳細と具体的な数値計算例を示す．

参考文献

[1] A. Takayasu, S. Oishi, T. Kubo, Numerical Existence Theorem for Solutions of Two-Point Bound-ary Value Problems of Nonlinear Differential Equations, NOLTA, IEICE, Vol.E93-N, No.10,pp.105-118, 2010.

[2] M.T. Nakao and Y. Watanabe, Numerical verification methods for solutions of semilinear ellipticboundary value problems, NOLTA, IEICE, Vol.E94-N, No. 1 pp.2-31, 2011.

[3] M. Plum, Computer assisted proofs for semilinear elliptic boundary value problems, Japan Journalof Industrial and Applied Mathematics, 26, pp.419-442, 2009.

[4] 大石進一，非線形解析入門，コロナ社，1997．

2

コンクリート中性化過程における水分輸送モデルについて

熊崎 耕太

名古屋工業大学

E-mail: k.kumazaki@gmail.com

1 導入

　本研究は、岐阜大学教育学部の愛木先生との共同研究である。本講演では、コンクリート中性化過程に現れる水分輸送に関するモデルについて考える。コンクリートは、空気、水、セメントによって構成される。そのうち、セメントの主成分は、水酸化カルシウム (Ca(OH)2)であるため、コンクリ－トはアルカリ性を示すが、二酸化炭素 (CO2)に触れることによって、その触れた部分から次第に酸性へと変化する現象が、コンクリートの中性化現象である。酸性へと変化する際には、以下の化学反応が、水分を蓄えているコンクリート内の間隙で起きる。

Ca(OH)2 + CO2 → CaCO3 + H2O in water .

この生成された水 (H2O)がコンクリート内の間隙に浸透していくことにより、コンクリート全体が中性化現象が進行することとなる。我々は、このコンクリートの中性化現象を記述する３次元モデリングとそのモデルの解析によって、中性化の過程を考察したい。本講演は、このコンクリートの中性化過程を考察する最初の段階として、この過程に現れる水分輸送モデルの可解性について述べる。以下が、本講演で考える水分輸送モデルの初期値境界値問題 (P)である。

ρ∂u

∂t− div (g(u)∇u) = wf in Q(T ) := (0, T ) × Ω, (1.1)

wt − ν∆w + ∂I(u; w) ∋ 0 in Q(T ), (1.2)

u = ub, w = wb on S(T ) := (0, T ) × ∂Ω, (1.3)

u(0) = u0, w(0) = w0 on Ω. (1.4)

この (1.1)-(1.2)は、[2, 3]の物理的背景に基づき、[1]において提案した水分輸送の数学的なモデルである。ここで、Ωは、滑らかな境界 ∂Ωをもつ RN(N ≥ 1)の有界領域であり、コンクリートで占められた領域を表している。また未知変数 u = u(t, x), w = w(t, x)は、それぞれ、相対的湿度 (飽和水蒸気圧と蒸気圧との比)、液体の水の量を表している。(1.1)式において、ρ > 0は、水の密度であり、gは limr→0+ g(r) = ∞ かつ g(r) ≥ k0 for r ∈ (0, 1)という性質を満たす関数である。前半部分は、湿気が少ないときには、水蒸気が自由に動くことができることを意味し、後半は液体の水があるため、水蒸気の輸送がなくなることはないということを意味している。また f は、反応速度論によって与えられる、コンクリート中性化における化学反応によって生成される水の量を表す関数である。

Figure 1: fa及び fdのグラフ

1

次に (1.2)式の ∂I(u; w)は、[fa(w), fd(w)]上の指示関数 I(u; w)([fa(w), fd(w)]上では 0,それ以外の区間では+∞)の劣微分を表し、fa, fd ∈ C2(R)は図1のとおりである。また境界条件 (1.3)は、物理的観点から非斉次Dirichlet境界条件となっている。ここで、ub = ub(t, x), wb = wb(t, x)は、特に時間にも依存する、与えられた関数である。実際の現象では、相対的湿度と液体の水の量とのあるヒステリシスの関係が観測されてい

る。このヒステリシスの関係については、講演内で詳しく説明する。我々は、この関係を playと呼ばれるヒステリシス作用素によって記述されると仮定する。(図 1参照) 方程式 (1.2)において、ν = 0の場合の方程式

wt + ∂I(u; w) ∋ 0

は、まさに入力 uと出力 wの関係が playタイプのヒステリシスの関係にあることを示しており、方程式 (1.2)は、wt + ∂I(u; w) ∋ 0の近似となっている。

2 解の定義

(u, w)が以下を満たすとき、問題 (P ) = (P )ν (resp. (P )0)の解という。ここで、(P )0は、ν = 0とした場合の問題 (1.1) ∼ (1.4)である。

(S1) u,w ∈ W 1,2(0, T ; L2(Ω)) ∩ L∞(0, T ; H1(Ω)) ∩ L2(0, T ; H2(Ω)), u > 0 a.e. on Q(T ).(resp. u ∈ W 1,2(0, T ; L2(Ω)) ∩ L∞(0, T ; H1(Ω)) ∩ L2(0, T ; H2(Ω)), u > 0 a.e. on Q(T ), andw ∈ W 1,2(0, T ; L2(Ω)).)

(S2) ρut − div (g(u)∇u) = wf a.e. in Q(T ).(S3) There exists ξ ∈ L2(0, T ; L2(Ω)) such that ξ(t) ∈ ∂I(u(t); w(t)) for a.e. t ∈ [0, T ], and

wt − ν∆w + ξ = 0 a.e. in Q(T ). (resp. wt + ξ = 0 a.e. in Q(T )).

(S4) (1.3) (resp. u = ub a.e. on S(T) ) and (1.4).

3 定理

適切な仮定のもと、問題 (P )ν および (P )0には、時間大域的な一意解が存在する。

(P )νの解の存在については、コンパクト性の方法によって証明される。また、dual equationとよばれる方法によって、解の一意性を証明することに成功した。さらに、(P )νの解の存在を用いて、ν → 0とすることによって、(P )0の一意解の存在を示すことができた。本講演では、これらの結果について発表する。

参考文献

[1] T. Aiki and K.kumazaki, Mathematical model for hysteresis phnomenon in moisture trans-port in concrete carbonation process, submitted.

[2] K. Maekawa, R. Chaube and T. Kishi, Modeling of concrete performance, Taylor＆ FrancisInc, 1999.

[3] K. Maekawa, T. Ishida and T. Kishi, Muti-scale Modeling of concrete performance, Journalof Advanced Concrete Technology, 1(2003), no.2, 91–126.

2

ある癌浸潤モデルの可解性について

加納　理成（かのう　りせい）

近畿大学工学部　教育推進センター

E-mail: kano@hiro.kindai.ac.jp

1 癌浸潤モデル

0 < T < +∞, Ω ⊂ RN (N = 1, 2, 3)を滑らかな境界 Γ := ∂Ωをもつ有界領域とする. 本講演では Szymanska, Urbanski, Marciniak-Czochra [1]で提唱された癌浸潤モデルに制限と癌細胞の拡散係数に未知関数の依存を与えた問題の可解性について考察する.以下の方程式系で記述される問題について考察する.

(P)

∂n

∂t= ∇ · (kn(t, x, f)∇n − λ(t)n∇f) + µ(t, x)n(1 − n − f) in Q(T ) := Ω × (0, T ),

∂f

∂t= −δmf in Q(T ),

∂m

∂t= kmm + C1n − C2m in Q(T ),

0 ≤ n + f ≤ 1, m ≥ 0, f ≥ 0, n ≥ 0 in Q(T ),

n = 0,∂m

∂n= 0 in Σ(T ) := Γ × (0, T ),

n(0) = n0, f(0) = f0, m(0) = m0 in Ω.

ここで, knは (0, T ) × Ω × R上の与えられた関数とする. また, µは (0, T ) × Ω上の与えられた関数, λ(·)は (0, T )上の与えられた関数, km, δ, C1, C2は正の定数とする. nは境界上の外向き法線ベクトルとする. n0,m0, f0は与えられた初期条件とする. [1]では, nは癌細胞の細胞数密度,mは癌細胞の分泌するタンパク質分解酵素密度, f は細胞外基質密度をそれぞれ表している.これまで上記のような [1]で提唱されたタイプのモデルについて, knの依存性に着目して可解

性を議論しており, kn = kn(t)および kn = kn(t, x)の依存を持った場合に関しては仮似変分不等式(cf.Kano,Kenmochi,Murase[3])の手法を用いて既に解の存在が示されている.(Kano,Ito,Yamamo-to,Nakayama[4])

2 仮定

以下の条件を仮定する.

(A1) knは (0, T ) × Ω × R上で定義された正の関数で, 以下の三条件 (i)(ii)(iii)を満たす;

(i) 任意の r ∈ Rに対して,kn(·, ·, r) ∈ W 1,p(0, T ; L∞(Ω))

を満たす p > 1が存在する,

(ii) 任意の (t, x, r) ∈ (0, T ) × Ω × Rに対して

K0 ≤ kn(t, x, r) ≤ K1

を満たすK0, K1 > 0が存在する,

1

(iii) 任意の (t, x) ∈ (0, T ) × Ωに対して, kn(t, x, ·)はリプシッツ連続である.

すなわち, r1, r2 ∈ Rに対して

|kn(t, x, r1) − kn(t, x, r2)| ≤ K2|r1 − r2|

を満たすK2 > 0が存在する,

(A2) λは非負の L∞(0, T )関数とする,

(A3) µは非負の L2(Q(T )) ∩ L1(0, T ; L∞(Ω))関数とする,

(A4) n0 ∈ H1(Ω), 0 ≤ n0 ≤ 1 a.e. in Ω,

(A5) f0 ∈ H3(Ω), 0 ≤ f0 ≤ 1 − n0 a.e. in Ω,

(A6) m0 ∈ H2(Ω), 0 ≤ m0 a.e. in Ω.

3 主結果

我々は次の定理を得た.

定理 3.1. (A1)-(A6)を仮定する.　このとき, (P)の解 n,m, fが [0, T1] (0 < T1 ≤ T )上で少なくとも一つ存在する.

証明については, Fukao,Kenmochi [2]におけるNavier-Stokes方程式への解析の手法を用いた.

参考文献

[1] Z.Szymanska, J.Urbanski and A.Marciniak-Czochra, Mathematical Modelling of the influ-ence of heat shock proteins on cancer invasion of tissue, J.Math.Biol.58 (2009),819-844,Springer-Verlag.

[2] T.Fukao, N.Kenmochi, Stefan problems with convection governed by Navier-Stokes equa-tions Adv. Math. Sci. Appl.15 No.1 (2005) 29–48.

[3] R.Kano, N.Kenmochi and Y.Murase, Nonlinear evolution equations generated by subdif-ferentials with nonlocal constraints, Banach Center Publications, 86 (2009),175-194.

[4] R.Kano, A.Ito, K.Yamamoto and H.Nakayama, Quasi-variational inequality approach totumor invasion models with constraionts, GAKUTO International Series MathematicalSciences and Applications, Vol.32 (2010)pp365-388.

2

雑菌の効果を無視した日本酒醸造過程モデルとその解析について

村瀬勇介（むらせゆうすけ）

名城大学 理工学部

E-mail: ymurase@meijo-u.ac.jp

1 研究動機

日本酒は「並行複発酵」と呼ばれる複雑な発酵手法を用いて醸造される。並行複発酵とは複数の発酵が同一のタンク内で同時に行われる発酵を指す。その発酵過程の複雑さ故, これまで日本酒の醸造に関する詳細な情報は知られずに今日に至っている。この日本酒の発酵過程を解析するため, これまでに [3]を利用して [4]中で日本醸造過程を表

現する数理モデルの構築を行い, 解析を行ってきた。[4]中のモデルでは微生物を麹・酵母・雑菌に分類し, それらが引き起こす化学反応に着目してモデリングが行われている。しかし, 実際の醸造現場では雑菌はほぼ活動しなくなるよう制御されるため, 雑菌の効果は無いものと考えることができる。これに従い、雑菌の効果を無視した日本酒醸造過程モデルを導出し, そのモデルに対する解析を行った。本発表では今回導出した数理モデルを紹介するとともに, 数値結果や解の存在・非存在につ

いて取り扱う。

2 日本酒の醸造過程について

日本酒の醸造過程は, 次の 5つの段階に大別される。

第 1段目 製麹; 蒸米を用いて麹菌の育成を行う。

第 2段目 酒母の作成; 酵母の育成と, 酒母と呼ばれる混合材料の作成が主目的である。

第 3段目 醪の仕込みと醸造の開始; 酒母に他の原料の総量のうち約 15%を混合して醸造を開始する。この混合材料を「醪」, この醸造段階を「初添」と呼ぶ。

第 4段目 第 3段目の醪にさらにおよそ倍の量の原料を混合し, 発酵を継続する。この醸造段階を「仲添」と呼ぶ。

第 5段目 第 4段目の醪に残る全ての原料を混合し, 発酵を継続する。この醸造段階を「留添」と呼ぶ。

原料は第 5段目に到達するまでは全てが消費されない。言い換えれば, 第 4段目が終了するまでは第 1,2段目の反応は続けられている。よって, 段階が移るたびに考える内容が完全に変わるのではなく, いくつかの段階におけるプロセスが同時に処理し続けられることに注意が必要である。また, 醸造手法によってはさらに段階が加えられるので, それを許容するようにモデルを設定しなければならない。

3 導出した数理モデル

時間依存する領域Ωi(t) (i = 1, 2, 3)が存在するとし, 任意の c ∈ Rに対してK0(c) ⊂ R2が対応するとする。現象の視点から見ればΩ1(·)は製麹のための蒸米, Ω2(·)は酒母製造のためのタンク, Ω3(·)は醪を発酵させるタンクに該当しており, この意味に従うならばΩ1, Ω2は第 5段目に入った時点で消滅すると考えることになる。この設定のもと, 次の方程式系を 0 < t < T (T > 0)の範囲で考える。

1

∂u1

∂t= k1Nu1 + (c1(θ)− c2(θ))u1 − c3u2 − c4a9 in Q :=

∪0<t<T (t × Ω(t))

∂u2

∂t= k2Nu2 − c5u1 + (c6(θ)− c7(θ))u2 − c8a9 in Q

(u1, u2) ∈ K0(θ) in Q

∂θ∂t

= k3θ + h(u1, u2) in Q

∂θ∂n

= f1 on Γ :=∪

0<t<T (t × ∂Ω(t))

∂a1∂t

= k4Na1 − c9a1u1 in Q

∂a2∂t

= k5Na2 − c10a2u1 in Q1 :=∪

0<t<T (t × (Ω(t) \ Ω1(t)))

∂a3∂t

= k6Na3 − c11a3u1 in Q1

∂a4∂t

= k7Na4 + c12a1u1 − (c13u2 + c14u1)a4 + f2 in Q

∂a5∂t

= k8Na5 + c15a2u1 − c16a5u2 in Q1

∂a6∂t

= k9Na6 + c17a2u1 − c18a6u2 + f3 in Q1

∂a7∂t

= k10Na7 + c19a3u1 − c20a7u2 in Q1

∂a8∂t

= k11Na8 + c21a3u1 in Q1

∂a9∂t

= k12Na9 + c22a4u2 + f4 in Q1

∂a10∂t

= k13Na10 + c23a4u2 + f5 in Q1

∂a11∂t

= k14Na11 + (c24a5 + c25a6)u2 in Q1

∂a12∂t

= k15Na12 + c26a7u2 in Q1

上記の方程式系に初期条件を加え, N と記された方程式に対して斉次Neumann境界条件を課した初期値境界値問題が取り扱う問題である。ここで, Ω(t)は次で定める集合であり, 0 < T1 <T2 < T3 < T4 < T とする。 Ti (i = 1, 2, 3, 4)は第 i段目の終了時刻を意味する。

Ω(t) =

Ω1(t) if t ∈ [0, T1)Ω1(t) ∪ Ω2(t) if t ∈ [T1, T2)Ω1(t) ∪ Ω3(t) if t ∈ [T2, T4)Ω3(t) if t ∈ [T4, T ]

u1と u2はそれぞれ麹と酵母の生存量を意味し, (u1, u2) ∈ K0(θ)は温度に依存して決定する菌の総生存量を制限する範囲である。例としては 0 ≤ u1 + u2 ≤ 1の制限が挙げられる。本問題は一定の条件下で自明解の存在が確認できる。しかし, 自明解は現象上意味を持たな

い。このように, 現象上意味がある解と意味を持たない解の双方の存在が示唆されているので,[1, 2]等の方法を用いて現象上で意味を持つ解の存在条件の解明を行う必要がある。また, この形式のまま数値実験を行うには困難が多いため, 現在は数値実験を行うためにあ

る種の方程式に置き換えて実験を行っている。

参考文献

[1] R. Kano, N. Kenmochi and Y. Murase, Nonlinear evolution equations generated by subd-ifferentials with nonlocal constraints, Nonlocal and abstract parabolic equations and theirapplications, Banach Center Publ., 86, Polish Acad. Sci. Inst. Math. (2009), 175–194.

[2] A. Kadoya, N. Kenmochi and Y. Murase, A class of nonlinear parabolic systems withenvironmental constraints, Adv. Math. Sci. Appl., 20 No.1 (2010), 281–313.

[3] 増補改訂 最新酒造講本; (財)日本醸造協会 (2007)

[4] 村瀬勇介, 伊藤昭夫; 日本酒醸造過程を記述する数理モデルとその解析, 京都大学数理解析研究所講究録 (to appear)

2

準線形退化型Keller-Segel系に対する

最大正則性原理を用いた時間大域的可解性1

石田 祥子 (いしだ さちこ)

東京理科大学大学院 理学研究科 数学専攻 D1

E-mail: j1111702@ed.tus.ac.jp

1. 序次の準線形退化型Keller-Segel系の初期値問題 (KS)に対する大域的弱解の存在について考察

する:

(KS)

∂u

∂t= ∇ · (∇um − uq−1∇v) in RN × (0,∞),

τ∂v

∂t= ∆v − v + u in RN × (0,∞),

u(x, 0) = u0(x), τv(x, 0) = τv0(x), x ∈ RN .

ここでN ∈ N, m ≥ 1, q ≥ 2とし, τ = 0または τ = 1とする. 初期値 (u0, v0)は次を満たすものとする:

u0, v0 ≥ 0, u0, v0 ∈ L1(RN) ∩ L∞(RN), ∆v0 ∈ Lp0(RN) ∩ L∞(RN) (∃p0 ≥ 1).(1)

本講演では, τ = 1の場合の (KS)の大域的弱解 (定義 1.1参照)の存在について考える.

定義 1.1. RN × [0, T )で定義された非負値関数の組 (u, v)で次の (a)～(c)を満たすものを (KS)

の [0, T )上の弱解 (T > 0を任意に選べるとき大域的弱解)という:

(a) u ∈ L∞(0, T ; Lp(RN)) (∀p ∈ [1,∞]), um ∈ L2(0, T ; H1(RN)),

(b) v ∈ L∞(0, T ; H1(RN)),

(c) すべての φ ∈ C∞0 (RN×[0,T )) に対して次の二つの等式が成立する:∫ T

0

∫RN

(∇um · ∇φ − uq−1∇v · ∇φ − u

∂φ

∂t

)dxdt =

∫RN

u0(x)φ(x, 0) dx,∫ T

0

∫RN

(∇v · ∇φ + vφ − uφ − τv

∂φ

∂t

)dxdt = τ

∫RN

v0(x)φ(x, 0) dx.

2. 先行研究(KS)でm = 1 (線形拡散)の場合は多くの研究結果が報告されている. 一方, m > 1 (準線形

退化拡散)の場合には半線形理論を適用できないためにその解析が困難を極め, 先行研究は少ない. 特に解の存在については Sugiyama-Kunii [1] によって以下の結果が報告されている:

(i) τ = 1, q ≤ mのとき (KS)は大域的弱解をもつ.

(ii) τ = 0, q < m + 2/N のとき (KS)は大域的弱解をもつ.

(iii) τ = 0, q ≥ m + 2/N のとき初期値が小さければ (KS)は大域的弱解をもつ.

1本研究は横田智巳先生 (東京理科大学)との共同研究である.

1

3. 主結果先述の先行結果には初期値の小ささを仮定しないとき τ = 1と τ = 0との間でmと qの関係

式に 2/N の差が生じている (上記の (i), (ii)を比べよ). 本講演では, その差を解消し, (i)の改良として次の定理が得られたので報告する.

定理 3.1. N ∈ N, m ≥ 1, q ≥ 2, τ = 1, T > 0 とする. m, qは

(2) q < m +2

N

を満たし, (u0, v0) は (1)を満たしているものとする. このとき (KS)の [0, T )上の大域的弱解(u, v)が存在する.

条件 (2)を qについて解いた臨界指数は, 藤田指数の一般化である q = m + 2Nと一致してお

り, 上の定理は初期値の大きさによらない (KS)の大域的弱解の存在に関して最良の結果であると考えられる. この改良結果を導くための鍵は [1]では使われていなかった放物型発展方程式に対する最大正則性定理と呼ばれる次の不等式を用いることである:

∥∆v∥Lp(0,T ;Lp(RN )) ≤ ∥∆v0∥Lp(RN ) + Cp∥u∥Lp(0,T ;Lp(RN )).

ここでCp > 0はN と pのみに依存する定数である.

先行研究 主結果

なお, q ≥ m + 2/N かつ初期値が小さい場合 (図の右下)についても結果が得られたので報告する.

定理 3.2. N ∈ N, m ≥ 1, q ≥ 2, τ = 1, T > 0 とする. m, qは

q ≥ m +2

N

を満たしているとする. (u0, v0)は (1)を満たすものとし, さらに次を仮定する:

∥u0∥L

N2≪ 1, ∥u0∥

LN2 (q−m) ≪ 1, ∥∆v0∥

LN2 +1 ≪ 1, ∥∆v0∥

LN2 (q−m)+1 ≪ 1.

このとき (KS)の [0, T )上の大域的弱解 (u, v)が存在する.

参考文献

[1] Y. Sugiyama, H. Kunii, Global existence and decay properties for a degenerate Keller-Segelmodel with a power factor in drift term, J. Differential Equations 227 (2006), 333–364.

2

Asymptotic behavior of solutions of the linearized compressibleNavier-Stokes equation around parallel flows

in a cylindrical domain

Reika Aoyama

　Graduate school of Mathematics, Kyushu University

E-mail: r-aoyama@math.kyushu-u.ac.jp

1 Introduction

We consider the initial boundary value problem

∂etρ + div(ρv) = 0, (1)

ρ(∂etv + v · ∇v) − µ∆v − (µ + µ′)∇divv + P ′(ρ) = ρg, (2)

v |∂ eD= 0, (3)

(ρ, v) |t=0= (ρ0, v0) (4)

in a cylindrical domain Ω = D × R:

Ω = x = (x′, x3) ; x′ = (x1, x2) ∈ D, x3 ∈ R

where D is a bounded and connected domain in R2, which has a smooth boundary ∂D. Hereρ = ρ(x, t) and v = T(v1(x, t), v2(x, t), v3(x, t)) denote the unknown density and velocity at time

t ≥ 0 and position x ∈ Ω, respectively. P (ρ) is the pressure, where P (ρ) is a smooth functionof ρ, and

P ′(ρ∗) > 0

for a given constant ρ∗ > 0. µ and µ′ are the viscosity coefficients satisfying

µ > 0, 23µ + µ′ ≥ 0.

g is an external force of the form

g = T(g1(x′), g2(x′), g3(x′)) = T(∂ex1Φ(x′), ∂

ex2Φ(x′), g3(x′))

where Φ and g3 are given smooth functions of x′. It was shown in Matsumura-Nishida [3] thatproblem (1)-(3) has a smooth stationary solution us = T(ρs, vs) = T(ρs(x

′), 0, 0, v3s(x

′)). Here ρs

and v3s are defined by:

Const. − Φ(x′) =∫

eρs

ρ∗

eP ′(η)η

dη,∫eD(ρs − ρ∗)dx′ = 0,

−∆′v3

s = ρsg3,

v3s |∂ eD= 0.

For a given integer m ≥ 3, we introduce the following dimensionaless variables: x =`x, v = V v, ρ = ρ∗ρ, t = `

Vt, P = ρ∗V

2P , Φ = V 2

`Φ, g3 = 1

νV 2 g3, V = |v3

s |Cm∗ ( eD) =

Σmk=0 sup

ex′∈ eD `k|∂kx′ v3

s(x′)| and ` =

√|D|. Under this non-dimensionalization, us is transformed

us = T(ρs, vs) = T(ρs, 0, 0, v3s), where ρs and v3

s are given byConst. − Φ(x′) =

∫ ρs

1P ′(η)

ηdη,∫

D(ρs − 1)dx′ = 0,

−∆′v3

s = ρsg3,

v3s |∂D= 0.

1

Here we note that |v3s |Cm(D) = 1.

It then follows that the perturbation u(t) = T(φ(t), w(t)) = T(γ2(ρ(t) − ρs), v(t) − vs) isgoverned by the system of equations

∂tφ + v3s∂x3φ + γ2div(ρsw) = f 0(φ,w), (5)

∂tw − νρs

∆w − ν+ν′

ρs∇divw + ∇(P ′(ρs)

γ2ρsφ) + ν

γ2ρs(∆vs)φ + vs · ∇w + w · ∇vs = f(φ,w) (6)

where f 0 and f are nonlinear terms. Here ν, ν ′ and γ are non-dimensional parameters:

ν =µ

ρ∗`V, ν ′ =

µ′

ρ∗`V, γ =

√P ′(1).

In this talk we consider the linearized problem

∂tφ + v3s∂x3φ + γ2div(ρsw) = 0, (7)

∂tw − νρs

∆w − ν+ν′

ρs∇divw + ∇(P ′(ρs)

γ2ρsφ) + ν

γ2ρs(∆vs)φ + vs · ∇w + w · ∇vs = 0, (8)

w |∂Ω= 0, (9)

(φ,w) |t=0= (φ0, w0). (10)

2 Main Results

Let us denote the solution operator for the linearized problem (7)-(10) by U(t). We defineω by ω = |ρs − 1|Cm(D). We note that ω ≤ C|Φ|Cm(D).

Theorem 2.1. There exist ν0 > 0, γ0 > 0 and ω0 > 0 such that if ν ≥ ν0,γ2ν

(ν+ν′)(2ν+ν′)≥ γ0

and ω ≤ ω0, then the following assrtain holds that.Suppose that u0 = T(φ0, w0) ∈ (H1(Ω)×L2(Ω))∩L1(Ω) with ∂x3w0 ∈ L2(Ω). Then U(t)u0 is

decomposed into U(t)u0 = U1(t)u0 + U∞(t)u0, where U1(t)u0 and U∞(t)u0 satisfy the followingestimates.

‖∂kx′∂l

x3U1(t)u0‖L2(Ω) ≤ Ct−

14− l

2 ‖u0‖L1(Ω) (k = 0, 1, 2, · · · ,m − 2, l = 0, 1, 2, · · · ),‖U∞(t)u0‖H1(Ω) ≤ Ce−dt(‖u0‖H1(Ω)×L2(Ω) + ‖∂x3w0‖L2(Ω)).

Reference

[1] Y. Kagei, T. Nukumizu, Asymptotic behavior of solutions to the compressible Navier-Stokesequation in a cylindrical domain, Osaka J. Math. 45 (2008), pp. 987-1026.

[2] Y. Kagei, Asymptotic behavior behavior of solutions of the compressible Navier-Stokes equa-tion around a parallel flow, preprint, Kyushu Univ., MI-Preprint series 2011-12, (2011),pp.1-74.

[3] A. Matsumura and T. Nishida, Initial Boundary Value Problem for the Equations of GeneralFluids, Comput. Math. Appl. Sci. Eng. V (1982), pp.389-406.

[4] A. Matsumura and T. Nishida, Initial Boundary Value Problem for the Equations of rmotionof compressible viscous and conductive fluids, Comm. Math. Phys., 89 (1982), pp.445-464.

2

移送項付き平均曲率流の勾配評価および解の存在について

高棹圭介（たかさおけいすけ）

北海道大学数学専攻博士２年

E-mail: takasao@math.sci.hokudai.ac.jp

1 Introduction

Rn内の超曲面 Γ(t)0≤t<∞が平均曲率流であるとは, その超曲面の速度が以下で表されることである.

VΓ = Hν on Γ(t), t ≥ 0

ここで ν = (ν1, ν2, . . . , νn)は単位法ベクトル, Hは Γ(t)の平均曲率である.まず平均曲率流について既存の結果について一部を紹介する. グラフ表示できないような一

般的な平均曲率流 Γ(t)0<t<∞について, Brakkeは幾何学的測度論を用いて弱解の存在を示した [1]. また, [2]と [7]は同時期に平均曲率流の粘性解の存在を示している.勾配評価については, EckerとHuiskenが平均曲率流の内部勾配評価を研究したことが挙げ

られる [4, 5, 6]. その後, ColdingとMinicozziは曲面のシャープな勾配評価を示している [3].

本講演では以下の移送項付き平均曲率流について考える. Rn内の超曲面 Γ(t)0≤t<∞が移送項付き平均曲率流であるとは, その超曲面の速度が以下で表されることである.

VΓ = (F · ν)ν +Hν on Γ(t), t ≥ 0 (1)

ここで F は与えられたベクトル値関数である. 本講演では

νn > 0 on Γ(t) for t ≥ 0

を仮定する. これにより, 高さ関数 u = u(x, t)が存在し, Γ(t) = (x, u(x, t)) | x ∈ Rn−1とグラフで表現することが出来る.本研究の目的は,任意の空間次元nでの簡潔なuの勾配評価,及び移送項付き平均曲率流Γ(t)

の存在の証明である. 本研究に関する先行結果として Liu-Sato-Tonegawa [9]が挙げられる. 彼らは空間次元 n = 2, 3上での Γ(t)0<t<∞の弱解の存在を幾何学的測度論とフェイズフィールド法によって示している.

2 Main results

n ≥ 2, Ω = (R/Z)n−1 ≃ [0, 1)n−1, F : Ω × R × [0,∞) → Rnを C1級のベクトル値関数とする.以下の方程式を考える:

∂tu

v= H + F (x, u, t) · ν, (x, t) ∈ Ω× (0,∞),

u(x, 0) = u0(x), x ∈ Ω,(2)

ここで, H = div

(du

v

), du = (∂x1u, ∂x2u, . . . , ∂xn−1u), v = (1 + |du|2) 1

2 , ν = (ν1, ν2, . . . , νn) =

(−du, 1)

vとした. この方程式は (1)から導出される. G = sup

(x,y)∈Ω×R,t∈[0,1](|F |2 + |DF |), v0 =

maxx∈Ω

v(x, 0)と定める. ここでDF = (dF, ∂xnF )とした. さらにQT = Ω×(0, T ), QεT = Ω×(ε, T )

と定義する. 以下が主定理である:

1

定理 2.1. u ∈ C([0, 1];C2(Ω))∩C1((0, 1);C(Ω))を (2)の解とする. F ∈ C1(Ω×R× [0, 1];Rn),G < ∞を仮定する. このときある T > 0が存在し

v(x, t) ≤ 2v20, (x, t) ∈ QT (3)

が成り立つ. さらに T > 0は

T = min

C

Gv60, 1

で与えられる. ここでC > 0は nにのみ依存する定数である.

定理 2.1により以下の解の存在定理が得られる:

定理 2.2. α ∈ (0, 1)とする.

K := max∥DF∥L∞(QT ), ∥∂tF∥L∞(QT ), supc∈R

∥F (·, c, ·)∥Cα,α2 (QT )

< ∞

とし, u0がリプシッツ関数であると仮定, 即ちある定数L > 0に対し |u0(x)− u0(y)| < L|x− y|が任意の x, y ∈ Ωに対し成り立つとする. このとき (2)の解 u ∈ C2+α,1+α

2 (QT )∩C(QT )が一意に存在する. さらに n, α, L,K, εにのみ依存するある定数C > 0が存在して以下が成り立つ.

∥u∥C2+α,1+α

2 (QεT )

< C (4)

参考文献

[1] Brakke, K. A., The motion of a surface by its mean curvature, Princeton University Press,Princeton, N.J., (1978).

[2] Chen, Y.-G., Giga, Y., Goto, S., Uniqueness and existence of viscosity solutions of gener-alized mean curvature flow equations, J. Differential Geom. 33 (1991), no.3, 749–786.

[3] Colding, T. H. and Minicozzi, II, W. P., Sharp estimates for mean curvature flow of graphs,J. Reine Angew. Math., 574 (2004), 187–195.

[4] Ecker, K., Estimates for evolutionary surfaces of prescribed mean curvature, Math. Z. 180(1982), no. 2, 179–192.

[5] Ecker, K. and Huisken, G., Interior curvature estimates for hypersurfaces of prescribedmean curvature, Ann. Inst. Henri Poincare, 6 (1989), no. 4, 251–260.

[6] Ecker, K. and Huisken, G., Interior estimates for hypersurfaces moving by mean curvature,Invent. Math. 105 (1991), no.3, 547–569.

[7] Evans, L. C. and Spruck, J., Motion of level sets by mean curvature I, J. Differential Geom.33 (1991), no. 3, 635–681.

[8] Huisken, G., Asymptotic behavior for singularities of the mean curvature flow, J. Differen-tial Geom., 31 (1990), no.1, 285–299.

[9] Liu, C. and Sato, N. and Tonegawa, Y., On the existence of mean curvature flow withtransport term, Interfaces Free Bound., 12 (2010), no.2, 251–277.

2

Determining nodes for semilinear parabolic evolution equations in Banach spaces

Ryohei Kakizawa

Graduate School of Mathematical Sciences, The University of Tokyo

E-mail: kakizawa@ms.u-tokyo.ac.jp

1 Introduction

Let n ∈ Z, n ≥ 2, Ω be a bounded domain in Rn with its C1,1-boundary ∂Ω, Xp (1 < p < ∞) be a closedsubspace of Lp(Ω). This report is concerned with the following abstract initial value problem for the semilinearparabolic evolution equation in Xp:

dtu+Apu = F (u) + f in (0,∞),

u(0) = u0,(I)

where u is a strong solution to (I), Ap is a densely defined closed linear operator in Xp, F (u) is a nonlinearterm, u0 is an initial data, f is an external force. As is well known, (I) is the abstract initial value problemassociated with the semilinear heat equation and the Navier-Stokes equations.

According to previous results by Foias and Temam [1], Lu and Shao [5] and Kakizawa [4], the conclusionof the asymptotic equivalence of strong solutions to (I) can be given by the theory of determining nodes. Anapproach of determining nodes is quite natural from the numerical point of view. In general, the asymptoticbehavior of strong solutions to the initial-boundary value problem for semilinear parabolic equations is uniquelydetermined by determining nodes which can be obtained from finite many measurements.

The main purpose of this report is to establish the Lp-theory of determining nodes for (I) with the aid of thetheory of analytic semigroups on Banach spaces, e.g., [3, Chapter 3], [6, Chapter 6]. By virtue of our argument,variety of boundary conditions corresponds to the analyticity of the semigroup e−tApt≥0 generated by −Ap.Moreover, Xα

p -estimates for mild solutions to (I) clarify not only the asymptotic equivalence but also rate ofmonomial or exponential convergence.

2 Preliminaries and main results

2.1 Sectorial operators in Xp and analytic semigroups on Xp

In this subsection, we will make the properties of Ap and F (u) which appeared in (I). Let (X, ∥ · ∥X) be aBanach space, A be a densely defined closed linear operator in X. Then the resolvent set and the spectrum ofA are denoted by ρ(A) and σ(A) respectively, Reσ(A) := Reλ ; λ ∈ σ(A). First, for any 1 < p < ∞, Ap isthe densely defined closed linear operator in Xp satisfying the following properties (A.1), (A.2):

(A.1) Ap is a sectorial operator in Xp defined as in [3, Definition 1.3.1], D(Ap) ⊂ W 2p (Ω), where D(Ap) is the

domain of Ap.

(A.2) Reσ(Ap) > 0, where Reσ(Ap) > 0 means that Reλ > 0 for any λ ∈ σ(Ap).

It is well known in [3, Theorem 1.3.4 and Definition 1.4.1], [6, Theorem 2.5.2 and Definition 2.6.7] that −Ap

generates a uniformly bounded analytic semigroup e−tApt≥0 on Xp, fractional powers Aαp of Ap can be defined

for any α ≥ 0, A0p = Ip, where Ip is the identity operator in Lp(Ω). Let us introduce the Banach space derived

from Aαp . X

αp is defined as Xα

p = D(Aαp ) with the norm ∥ · ∥Xα

p= ∥Aα

p · ∥Lp(Ω), X0p = Xp.

Second, F (u) is the nonlinear term satisfying the following properties (F.1), (F.2):

(F.1) F (0) = 0.

(F.2) There exist three constants Cp > 0, 0 < α1 < 1 and q > 1 such that

∥F (u)− F (v)∥Lp(Ω) ≤ Cp(∥u∥q−1

Xα1p

+ ∥v∥q−1

Xα1p

)∥u− v∥Xα1p

for any u, v ∈ Xα1p .

Finally, we are concerned with mild solutions to (I). As is well known, (I) is reduced to the following abstractintegral equation:

u(t) = e−tApu0 +

∫ t

0

e−(t−s)ApF (u)(s)ds+

∫ t

0

e−(t−s)Apf(s)ds (II)

for any t ≥ 0. A mild solution to (I) is defined as follows:

1

Definiton 2.1. Let 1 < p < ∞, 0 ≤ α0 < 1, u0 ∈ Xα0p , f ∈ C((0,∞);Xp). Then u is called a mild solution to

(I) if it satisfiesu ∈ Cb([0,∞);Xα0

p )

and (II). Let S(u0, f) be the set of all functions which are mild solutions to (I).

2.2 Main results

One of our main results of this report will be stated in this subsection. We begin with formulation of determiningnodes. For any N ∈ Z, N ≥ 1, x ∈ Ω, u ∈ C(Ω), set

EN =x1, · · · , xN ; xi ∈ Ω, i = 1, · · · , N

,

dN (x) = mini=1,··· ,N

|x− xi|,

dN = maxx∈Ω

dN (x),

ηN (u) = maxi=1,··· ,N

|u(xi)|.

Note that EN and dN can be regarded as determining nodes and the density of EN in Ω respectively. As formild solutions to (I), the following assumptions (H.1), (H.2) are essentially required for our main results.

(H.1) S(u0, f) = ∅ for any u0 ∈ Xα0p , f ∈ C((0,∞);Xp).

(H.2) There exists a positive constant M(f, t0) for any R > 0, f ∈ C((0,∞);Xp), t0 > 0 such that

∥u∥Cb([t0,∞);Xα1p ) ≤ M(f, t0)

for any u ∈ S(Xα0p (R), f), where

S(Xα0p (R), f) :=

∪u0∈X

α0p (R)

S(u0, f), Xα0p (R) := u0 ∈ Xα0

p ; ∥u0∥Xα0p

≤ R.

The following theorem yields the existence of determining nodes for (I) and rate of monomial convergence.

Theorem 2.2. Let n/2 < p < ∞, 0 ≤ α0 < 1, R > 0, f, g ∈ C((0,∞);Xp), t0 > 0, and assume (H.1), (H.2),

f(t)− g(t) → 0 in Xp as t → ∞.

Then there exists a positive constant δ1 depending only on n, Ω, p, Ap, F , α0, M(f, t0) and M(g, t0) such thatif 0 < dN ≤ δ1 and if u ∈ S(Xα0

p (R), f), v ∈ S(Xα0p (R), g) satisfy

u(xi, t)− v(xi, t) → 0 as t → ∞

for any i = 1, · · · , N , then

(i) For any α0 < α < 1,∥u(t)− v(t)∥Xα

p= O(tα0−α) as t → ∞. (2.1)

(ii) For any k ∈ Z, k ≥ 0, 0 < γ < 1, k + γ ≤ 2α− n/p,

∥u(t)− v(t)∥Ck,γ(Ω) = O(tα0−α) as t → ∞ (2.2)

provided that n/(2p) < α < 1.

Scketch of Proof. The proof is based on the similar method to [2, Theorem 2.6] with the aid of the interpo-lation inequality concerning the density dN of determining nodes.

References

[1] C. Foias and R. Temam, Determination of the solutions of the Navier-Stokes equations by a set of nodalvalues, Math. Comp. 43, 117–133, 1984.

[2] Y. Giga and T. Miyakawa, Solutions in Lr of the Navier-Stokes initial value problem, Arch. Ration. Mech.Anal. 89, 267–281, 1985.

[3] D. Henry, Geometric Theory of Semilinear Parabolic Equations, Lecture Notes in Mathematics 840,Springer-Verlag, 1981.

[4] R. Kakizawa, Determining nodes for semilinear parabolic equations, J. Math. Anal. Appl. 378, 375–386,2011.

[5] Y. Lu and Z. Shao, Determining nodes for partly dissipative reaction diffusion systems, Nonlinear Anal.54, 873–884, 2003.

[6] A. Pazy, Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations, AppliedMathematical Sciences 44, Springer-Verlag, 1983.

2

Some remarks on the fictitious domain method withpenalty for elliptic problems

Guanyu ZHOU1),∗, Norikazu SAITO1)

1) Graduate School of Mathematical Sciences, The University of Tokyo

∗ e-mail: zhoug@ms.u-tokyo.ac.jp

Abstract

The idea of the fictitious domain method is to solve the problem in a larger domain (thefictitious domain) containing the domain of interest with a very simple shape. Then, thefictitious domain is discretized by a uniform mesh, independent of the original boundary.The advantage of this approach is that we can avoid the time-consuming constructionof a boundary-fitted mesh. One of these approaches is the penalty fictitious domainmethod which is based on a reformulation of the original problem in the fictitious domainby using penalty parameter. Obviously, this approach is of use to treat time-dependentmoving-boundary problems.

In the beginning of this work, we examine some new methods of error analysis of thefictitious domain method with H1-penalty for elliptic problems. After that, we applythose methods to parabolic problems in time-dependent domain.

Firstly, we consider the original elliptic problem (Q),Find u ∈ H1

0 (Ω) such that(∇u,∇v)Ω = (f, v)Ω, ∀v ∈ H1

0 (Ω),(1)

where Ω ⊂ R2 denotes a smooth bounded domain, (·, ·)Ω is the inner product of L2(Ω)and f ∈ L2(Ω). We can find a rectangular domain D ⊃ Ω, Ω1 = D\Ω, and turn to solvethe H1-penalty problem (Qε) with penalty coefficient 0 < ε 1,

Find uε ∈ H10 (D) such that

(∇uε,∇v)Ω + 1ε(∇uε,∇v)Ω1

= (f , v)D, ∀v ∈ H10 (D),

(2)

where f is the zero extension of f into D.The error ‖uε − u‖1,Ω is analyzed by many authors, where ‖ · ‖1,Ω denotes the H1(Ω)

norm. In [1], it is bounded by C√ε (C is some constant, so as in the following), and in

[2, 3] the sharper estimate Cε is achieved. In this paper, we give a new way to derive thesharper estimates. We also give some error estimates for the discrete problems of (Qε)with finite element approximation.

Although there are so many works devoted to elliptic problems achieving sharpererror estimates, it seems there is no application of them to parabolic problems keepingthe sharper error estimates. Fortunately, our ways to analysis the H1-penalty methodsfor elliptic problems can be applied to parabolic problem and keep the sharper errorestimates.

We consider the original parabolic problem (PQ):Find u ∈ H1,0

0 (QT ) such that〈ut, v〉QT

+ (∇u,∇v)QT= (f, v)QT

,

∀v ∈ H1,00 (QT ),

u(0) = u0,

(3)

where QT is an open bounded subset in R2x × Rt, QT ∩ t = s = Ωs, ∀s ∈ [0, T ]( T <

∞). f ∈ L2(QT ), v0 ∈ L2(Ω0).

H1,00 (QT ) = L2(0, T ;H1

0 (Ωt)),

and 〈·, ·〉QTdenotes the dual-product between H1,0

0 (QT ) and L2(0, T ;H−1(Ωt)). We alsoassume QT is smooth enough.

Suppose there exists D ⊃ Ωt, ∀t ∈ [0, T ], then we can write the H1-penalty problem(PQε):

Find uε ∈ H1,00 (DT ) such that

〈uεt, v〉D+(∇uε,∇v)Ωt + 1

ε(∇uε,∇v)Ωt,1

= (f , v)D, ∀v ∈ H10 (D), t ∈ (0, T ],

(4)

where f and u0 are the zero extension of f and u0.The result of the approximation from (PQε) to (PQ) in [1] is that

‖uε|QT− u‖A(QT ) → 0, as ε→ 0,

where A(QT ) = u|u ∈ H1,00 (QT ), ut ∈

L2(0, T ;H−1(Ωt)) with the norm ‖u‖A(QT ) = ‖u‖H1,00 (QT ) + ‖ut‖L2(0,T ;H−1(Ωt)). In this

paper, we obtain the estimate ‖uε|QT−u‖A(QT ) ≤ Cε, which keeps the same sharper error

estimate as the elliptic case.

Reference

[1] A. L. Mignot: Methodes d’approxima- tion des solutions de certains problemes auxlimites lineaires. I, Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, 40 (1968) 1-138.

[2] S. Zhang: Analysis of finite element domain embedding methods for curved domainsusing uniform grids, SIAM J. Numer. Anal. 46 (2008), no. 6, 2843-2866.

[3] B. Maury: Numerical analysis of a finite element/volume penalty method, SIAM J.Numer. Anal. 47 (2009), no. 2, 1126-1148.

粒子法Moving Particle Semi-implicit 法による近似解が非圧縮Navier-Stokes 流体運動方程式の厳密解に収束する事への考察

服部元史（はっとり もとふみ）, 藤井みゆき（ふじい みゆき）, 田辺誠（たなべ まこと）

神奈川工科大学・情報メディア学科, 情報教育研究センター, 機械工学科

E-mail: hattori@ic.kanagawa-it.ac.jp

1 粒子法 Moving Particle Semi-implicit の意義と 修正の必要性

流体の砕ける波や飛び散る飛沫 (しぶき)を 3DCGアニメーションでリアルに再現できる数値流体力学の理論として、粒子法 Moving Particle Semi-implicit method (MPS) が越塚誠一らによって提案・発展され、国内・海外における関連研究と併せて体系的に解説されている [1] [2]。このように注目を集めている粒子法は、Navier-Stokesの流体運動方程式を 基本的に Lagrange物質座標系 (粒子座標系)で解釈しながらも、Euler空間座標系による見通しの良さも活かした、折衷融合型の heuristic に優れた数値解析理論である。数値解析技法としての MPS の最大限の性能を理論的に検証するためには、そのスキームの収束先たる偏微分

方程式を詳細に考察する事が有益である。Lagrange物質座標系 (粒子座標系)と Euler空間座標系とを heuristicに組み合わせるという理論要請から、流体粒子の個数 L を増加させて行った時の 粒子法 MPS スキームの収束先は、Navier-Stokes運動方程式の Euler 形式にも Lagrange 形式にも成らず、Euler 形式と Lagrange 形式が混合され 粒子位置 u に関する偏微分を含んだ特殊な偏微分方程式 (7) に収束すると予想される。しかしながら、本講演で論じるように、越塚らによって提案されているオリジナルな MPS 数値解析スキーム

では、Navier-Stokes方程式への収束は成立しない。計算スピードを上げるべく近似精度を下げている点 ( 数値計算面の長所 )が、収束証明の障害に成っている ( 理論保障面の欠点 )。そこで、近似精度を修正した MPS 数値解析スキームを本講演で提案し、Navier-Stokes方程式への収束について考察する。この修正によって計算スピードは遅く成るが、オリジナルな MPS で問題視されている 圧力 p(t, α) の計算結果が振動する現象を回避できる。

2 Navier-Stokes 運動方程式と連続の式 (質量保存則)との連立による流体力学シミュレーション

Navier-Stokes による流体の運動方程式

Du(t, α)Dt

= v (t, u(t, α)) (1)

D v(t, x)Dt

− µ

ρ(t, x)

I∑i=1

∂2v(t, x)∂x2

i

+1

ρ(t, x)∂p(t, x)

∂x= f(t, x) (2)

と、流体における質量保存則による連続の式

I∑i=1

∂

∂xiρ(t, x)vi(t, x) = −∂ρ(t, x)

∂t(3)

とを連立させる事で、連続体としての流体の変形運動を解析する事ができる。

ここで、２次元流れでは I = 2 とし、３次元流れでは I = 3 とするが、I = 1, 2, 3, · · · < ∞ なる一般の有限自然数 I に対して、I 次元のユークリッド空間 RI 内で変形運動する流れを考察する。

絶対静止空間に固定された座標系に基づく Eulerの空間座標を x = (x1, x2, · · · , xI) で表わし、移動していく流体粒子の初期時刻 t = 0 での初期位置 α = (α1, α2, · · · , αI) に注目した Lagrangeの物質座標 (粒子座標)を 同じ記号 α で表わす。Lagrangeの物質座標 (粒子座標)に注目した時間微分を D/Dt 表わす。任意の時刻 t ≥ 0 と粒子座標 α に対する 流体の位置を u(t, α) で表わす。任意の時刻 t ≥ 0 と 空間点 x における 流体の速度を

v(t, x) で表わす。流体の質量密度を ρ(t, x) で表わし、圧力を p(t, x) で表わす。重力などによって流体に加わる外力を f(t, x) で表わす。これらは基本的に Euler空間座標による表現である。

3 Lagrange物質座標 (粒子座標)による物理量の表現

粒子法 MPS における慣用表現として、合計 L 個の粒子を考える場合に、個々の粒子は添え字 l = 1, 2, 3, · · · , Lで表わされる事が多い。しかし、このような表現では、L → ∞ と粒子の個数を無限大に増加させた時の極限たる連続体力学の偏微分方程式との対応付けが不便である。そこで本稿では、文献 [3] を参考に、Lagrange物質座標(粒子座標) α による表現を徹底して採用する。

初期時刻 t = 0 における流体の形状を Λ で表わすと、Λ ⊂ RI である。この時の流体内の任意の粒子を

α = (α1, α2, · · · , αI)Tつまり α = (αi ; i ↓ 1, 2, · · · , I) で表わすと、α ∈ Λ である。

初期時刻 t = 0 に α の位置に存在した流体粒子が、t ≥ 0 なる時刻 t に到達した位置をu(t, α) = (u1(t, α), u2(t, α), · · · , uI(t, α))T つまり u(t, α) = (ui(t, α); i ↓ 1, 2, · · · , I) で表す。その時刻 t における流体粒子の速度を、v(t, α) = (v1(t, α), v2(t, α), · · · , vI(t, α))T つまり v(t, α) = (vi(t, α); i ↓ 1, 2, · · · , I) で表す。時刻 t ≥ 0 における 流体の位置と速度を統一的に把握するために、無限次元のベクトル ( 集合 Λ の濃度を次

元とするベクトル ) u(t) = (u(t, α) ; α ∈ Λ) および v(t) = (v(t, α) ; α ∈ Λ) を定義する。時刻 t における流体の形状は、無限次元ベクトル u(t) で表わされる。初期時刻 t = 0 に α の位置に存在した流体粒子が、時刻 t ≥ 0 に到達した位置 u(t, α) で有している質量密度

を ρ(t, α) で表わし、それらを要素とする無限次元ベクトル ρ(t) = (ρ(t, α) ; α ∈ Λ) を定義する。初期時刻 t = 0に α の位置に存在した流体粒子が、時刻 t ≥ 0 に到達した位置 u(t, α) で有している圧力を p(t, α) で表わし、それらを要素とする無限次元ベクトル (p(t, α); α ∈ Λ) を定義する。

4 粒子法 MPS による離散化

運動方程式 (1) (2) と 連続の式 (3) とを空間的に如何に離散化するかに応じて様々な数値流体力学の手法が存在する [2]。越塚誠一らによる粒子法 MPS では、Lagrangeの物質座標 (粒子座標) α = (α1, α2, · · · , αI)T に注目し、Lagrangeの物質座標 (粒子座標) の領域 Λ を L 個の小領域に分割し、それぞれの小領域を代表する粒子 α[l]

(l = 1, 2, · · · , L) で離散化する。l 番目の粒子の座標は α[l] = (α[l]1, α[l]2, · · · , α[l]I)T ∈ RI で表わされる。

Navier-Stokes による流体の運動方程式 (1) (2) を、L個の流体粒子 α[1], α[2], · · · , α[L] に対する l番目の粒子 α[l] の時刻 t における位置 u(t, α[l]) と速度 v(t, α[l]) を用いて

Du(t, α[l])Dt

= v(t, α[l]) (4)

D v(t, α[l])Dt

− µ

ρ(t, α[l])∇ · ∇v(t, α[l]) +

1ρ(t, α[l])

∇p(t, α[l]) = f(t, α[l]) (5)

の如く離散化している。

離散化式 ∇ および ∇ ·∇ については、l 番目の粒子 α[l] とその周辺に存在する粒子達 α[m] (m 6= l) との相互作用によって計算するように設定されている 。

流れに非圧縮性を仮定する事で、圧力 p(t, α) を定める Poisson 型の偏微分方程式が導かれ、これと 式 (4)(5)とを連立させる事で、流体粒子の位置 u(t, α[l]) と 速度 v(t, α[l]) とを時々刻々と計算する事が出来る。[1] [2]

5 粒子法 MPS の収束先と成るLagrange-Euler 混合型 Navier-Stokes 運動方程式

流体粒子の個数 L を無限大へ増加させて行った時に、粒子法 MPS スキーム 式 (4) (5) は

Du(t, α)Dt

= v(t, α) (6)

D v(t, α)Dt

− µ

ρ(t, α)

I∑i=1

∂2v(t, α)∂ui(t, α)2

+1

ρ(t, α)∂p(t, α)∂u(t, α)

= f(t, α) (7)

へ収束する。但し

∂p(t, α)∂u(t, α)

=(

∂p(t, α)∂ui(t, α)

; i ↓ 1, 2, · · · , I

)(8)

である。これらの式 (6) (7) は　流体粒子 α に注目した Navier-Stokes の運動方程式であるが、Navier-Stokes 方程式の Lagrange 形式にも Euler 形式にも成っておらず、それらを混合させた hybrid型の偏微分方程式に成っている。この Lagrangian-Eulerian 混合型 Navier-Stokes 運動方程式へ収束させるという観点から、粒子法 MPS の修正案を検討する。

参考文献

[1] 日本計算工学会編, 越塚誠一著, ”粒子法 (計算力学レクチャーズ５)”, 丸善株式会社, 2005[2] 越塚誠一著, ”数値流体力学”, 培風館, 1997[3] 今井功 著, ”流体力学（前編）”, 物理学選書 14, 裳華房, 1973

Inverse scattering at a fixed energy for discrete Schrodingeroperators on the square lattice 1

森岡 悠（もりおか ひさし）

筑波大学大学院 数理物質科学研究科 数学専攻 / 日本学術振興会特別研究員DC2

E-mail: hmorioka@math.tsukuba.ac.jp

1 Introduction

本講演では,正方格子Zd上で定義された離散Schrodinger作用素の散乱振幅からポテンシャル項を再構成する問題を考える. 特に, 固定した一つのエネルギーに対する散乱振幅のデータからポテンシャルを再構成する問題を考える. 我々は [2]での方法を応用し,離散Dirichlet-to-Neumann写像 (D-to-N map)と散乱振幅の同値性を示すことで, 逆散乱問題を境界値逆問題に帰着する.Zd上の境界値逆問題は既に再構成アルゴリズムを構成することができる ([1]等).

Zd上の離散 Schrodinger作用素 (Hu)(n) = (H0u)(n) + V (n)u(n)として, H0は

(H0u)(n) = −(∆du)(n) =1

4

∑|m−n|=1

(u(n) − u(m))

で定義する. 以下, #suppV < ∞, V は実数値とする. Hは ℓ2(Zd)上で自己共役であり, σ(H0) =σac(H) = [0, d], σd(H) ⊂ R\[0, d]である. Hに対するMourre estimate ([3]) が次のような形で成り立つ : E(·)を Hのスペクトル分解とし, I0 = (0, d)\Zに対して I ⊂ I0となるような開区間Iをとる. このとき, conjugate operator と呼ばれる自己共役作用素 A, 定数C > 0, コンパクト作用素 Kが存在し,

E(I)[H, iA]E(I) ≥ CE(I) + K

が成り立つ. これにより, λ ∈ (0, d)\(Z∪ σp(H))においてレゾルベントの極限吸収 R(λ± i0)が得られる. また, 波動作用素 W (±) = s− limt→±∞ eitHe−itH0 は存在して漸近的に完全であり, 散乱作用素 S = (W (+))∗W (−)が定義される.

ℓ2(Zd)上の Fourier変換により, Rd上の連続モデルにおける球面 Sd−1に相当する集合は次のような曲面であることが分かる.

Mλ = x ∈ Td = [−π, π]d | p(x) = λ, p(x) =1

2

(d −

d∑j=1

cos xj

).

散乱作用素 Sを Fourier変換して得られる Sは

S =

∫ d

0

⊕S(λ)dλ

と S-行列で表され, S(λ)はL2(Mλ)上でユニタリである. 固定したある λに対する S(λ)から Vを再構成する問題が本講演で考える逆散乱問題である.

2 主結果の概略

我々は散乱振幅A(λ) = (I−S(λ))/(2πi)と suppV ⊂ Ωintなる有界領域Ωint ⊂ Zdに対するD-to-N mapの同値性を導く. そのためには, レゾルベント, 及びΩext = Zd\Ωint (Ωint = Ωint ∪∂Ωint)

1本研究は科研費 (課題番号:23110)の助成を受けたものである.本研究は磯崎洋教授 (筑波大学)との共同研究である.

1

における外部問題の解の無限遠方での漸近展開を用いる. 定常位相原理を用いることで, 次のような挙動が得られる.

定理 1. f がコンパクト台を持つとき, λ ∈ ((0, 1)∪ (d− 1, d))\σp(H)に対して, |k| → ∞のとき

(R(λ±i0)f)(k) = C±|k|−(d−1)/2e±ik·x(λ,ωk)a±(λ, ωk)(G(±)(λ)f)(ωk)+O(|k|−(d+1)/2), ωk = k/|k|.

G(±)(λ)は Hのスペクトル表現 (G(λ)∗は Hの固有作用素)に相当するものであり,

(H − λ)G(λ)∗ϕ = 0, ϕ ∈ L2(Sd−1)

をみたす. a±(λ, ωk)はMλのGauss曲率で決まる有界でなめらかな関数, x(λ, ωk)はMλ上の kに対する定常位相点 (すなわち, x(λ, ωk)におけるMλの法ベクトルが kと平行.)である.一方, D-to-N map は次で定義される.

(−∆d + V − λ)uint = 0 in Ωint, uint|∂Ωint= f , (1)

(−∆d − λ)u(±)ext = 0 in Ωext, u

(±)ext |∂Ωext = g (2)

に対し, ΛV −λf = ∂Ωintν uint, 及び Λ

(±)ext g = −∂Ωext

ν u(±)ext と定める. ここで, (+)及び (−)は外向き

及び内向き放射条件に対応し, ∂Dν は境界における法線方向微分作用素に対応する差分作用素で

ある (定義は講演の中で述べる.). 外部問題 (2)の解は次のような表示を持つ.

u(±)ext = R(λ ± i0)(χ∂Ωint

ΛV −λ − χ∂ΩextΛ(±)ext + K)g = R(λ ± i0)B

(±)∂Ω g. (3)

ここで χDはD上の characteristic, Kは V によらないある有限次元作用素である. 方程式

(−∆d − λ)u(+)ext = 0 in Ωext, u

(+)ext |∂Ωext = G(−)(λ)∗ϕ, ϕ ∈ L2(Sd−1) (4)

を考えると, (3)と定理 1により漸近展開

u(+)ext (k) ∼ C+|k|−(d−1)/2eik·x(λ,ωk)a+(λ, ωk)(Γ

(+)(λ)((B(−)∂Ω )−1)∗Γ(−)(λ)∗ϕ)(ωk) (5)

が分かる. ここで Γ(±)(λ) = G(±)(λ)B(±)∂Ω であり, V によらず外部問題の解の漸近挙動のみ

から得られることが分かる. 一方, G0(λ)を H0 のスペクトル表現として, (4)の解は u(+)ext =

R(λ + i0)((B(+)∂Ω )∗ − V )G0(λ)∗ϕとも表されるであることが分かる. 従って, 定理 1を用いて

u(+)ext ∼ C+|k|−(d−1)/2eik·x(λ,ωk)a+(λ, ωk)((Aext(λ) − A(λ))ϕ)(ωk) (6)

が得られる. ここで Aext(λ)は外部問題に由来する散乱振幅である. A(λ)ϕはL2(Mλ)上のA(λ)ϕの変数変換である. この 2通りの漸近展開 (5)と (6)を比較することで, ΛV −λとA(λ)が同値なものであり, 一方から他方を決定できることが分かる. すなわち, 逆散乱問題と境界値逆問題は同値である.

参考文献

[1] E. Curtis and J. Morrow, The Dirichlet to Neumann map for a resistor network, SIAM J.of Appl. Math.，51 (1991)，1011-1029.

[2] V. Isakov and A. I. Nachman, Global uniqueness for a two-dimensional semilinear ellipticinverse problems, Trans. Amer. Math. Soc., 347 (1995), 3375-3390.

[3] H. Isozaki and E. Korotyaev, Inverse problems, trace formulae for discrete Schrodingeroperators, submitted.

2

Scattering theory for Schrodinger equaitons on manifolds withasymptotically polynomially growing ends

Shinichiro ITOZAKI

Doctoral Course, Graduate School of Mathematical Sciences, The University of Tokyo

E-mail: randy@ms.u-tokyo.ac.jp

Abstract

We study a time-dependent scattering theory for Schrodinger operators on a man-ifold with asymptotically polynomially growing ends. We show the existence and thecompleteness of wave operators.

1 Introduction

We study a class of self-adjoint second-order elliptic operators, which includes Laplacians withlong-range potentials on non-compact manifolds which are asymptotically polynomially growingat infinity. We prove the Mourre estimate and apply the Mourre theory to obtain some spectralproperties. We also show the Kato-smoothness for three types of operators using resolventestimates. We construct a time-dependent scattering theory for two operators in our class.If the perturbation is “short-range”, it admits a factorization into a product of Kato-smoothoperators. By virtue of the smooth perturbation theory of Kato, we learn the existence andthe asymptotic completeness of wave operators.

We now describe our model. Let M be an n-dimensional smooth non-compact manifoldsuch that M = MC ∪ M∞, where MC is pre-compact and M∞ is the non-compact end asfollows: We assume that M∞ has the form R+ × N where N is a n − 1-dimensional compactmanifold, and R+ = (0,∞) is the real half line. Let ω be a positive C∞ density ω on M suchthat on M∞,

ω = dr · µ

where r is a coordinate in R+ and µ is a smooth positive density on N . We set H = L2(M,ω)be our function space. We set our ”free operator” a self-adjoint second-order elliptic operatorL0 which has the form:

L0 = D2r + k(r)P on (1,∞)×N.

Here Dr = i−1∂r, P is a positive self-adjoint second-order elliptic operator acting on L2(N,µ),and k is a positive smooth function of r such that the derivatives of k satisfy the followingestimates for some c0, C > 0,

c0r−1k ≤ −k′ ≤ Cr−1k, (1)

|k′′| ≤ Cr−2k.

For example k(r) = r−α, with α > 0, satisfies the above conditions.We assume that L is a second-order elliptic operator on M , essentially self-adjoint on

C∞0 (M), such that

L = L0 + E,

with E having the following properties: There are finitely many coordinate charts (r, θ1, · · · , θn−1)on M∞ such that in each chart E has the form

E = (1, Dr,√kDθ)

V b1 b2b1 a1 a2tb2

ta2 a3

1Dr√kDθ

(2)

1

where Dθ = µ(θ)−12Dθµ(θ)

12 is self-adjoint on L2(N,µ), and µ(θ) is defined by µ = µ(θ)dθ1 · · · dθn−1 .

The coefficients a1, a2, b1, b2, and V have support in M∞ and are smooth real-valued functionsof (r, θ1, · · · , θn−1) such that

|∂lr∂

αθ aj(r, θ)| ≤ Cr−νai−l, |∂l

r∂αθ bj(r, θ)| ≤ Cr−νbj−l, |∂l

r∂αθ V (r, θ)| ≤ Cr−νV −l. (3)

Let χ(r) ∈ C∞(R) be a real-valued function such that χ(r) = 1 if r ≥ 1 and χ(r) = 0 if r ≤ 12,

and set χR(r) = χ( rR) with R > 0. We set our dilation generator by:

A =1

2(χ2

RrDr +Drrχ2R). (4)

2 Results

Theorem 1. Suppose L = L0 + E, where k satisfies (1) and the coefficients in E obey thebounds (3) with νai , νbj , νV > 0. Then σess(L) = R+ ∪ 0 and L satisfies a Mourre estimate ateach point in R+ with conjugate operator A. In particular, eigenvalues of L do not accumulatein R+, and σsc(L) = ∅. We also obtain the resolvent estimates:

supz∈Λ±=Λ±iR+

∥(|A|+ 1)−s(L− z)−1(|A|+ 1)−s∥ < ∞

if Λ b R \ σpp(L) and s > 12.

Theorem 2. Under the hypotheses of Theorem 1, the operators

G0 = ⟨r⟩−s, G1 = χR⟨r⟩−sDr, G2 = χR⟨r⟩−12 (kP )

12

are L-smooth on Λ if Λ b R \ σpp(L) and s > 12.

Theorem 3. Suppose νa1 = νa2 = νb1 = νb1 = νV > 1, νa3 = 1. Then the wave operators

W±(L,L0) := s- limt→±∞

eitLe−itL0Pac(L0)

and W±(L0, L) exist and are adjoint each other. They are complete and give the unitarily

equivalence between L(ac)0 and L(ac).

Reference

[1] R. Froese, P. Hislop, Spectral analysis of second-order elliptic operators on noncompactmanifolds. Duke J. Math. (58) 1 (1989), 103-129.

[2] K, Ito, S, Nakamura, Time-dependent scattering theory for Schrodinger operators on scat-tering manifolds, J. London Math. Soc. (2010) 81 (3): 774-792.

[3] T. Kato, Wave operators and similarity for some non-selfadjoint operators, Math. Ann. 162(1966), 258-279.

[4] P. Perry, I. M. Sigal, B. Simon, Spectral Analysis of N-body Schrodinger operators. Ann.Math. 114 (1981) 519-567.

[5] D. R. Yafaev, Radiation conditions and scattering theory for N -particle Hamiltonians,Comm. Math. Phys. 154 (1993), 523-554.

2

時間周期的変動電場の下での多次元逆散乱問題

石田　敦英神戸大学理学研究科数学専攻

E-mail: aishida@math.kobe-u.ac.jp

1 Introduction

空間次元 n ! 2とし，外部に変動電場 E(t)とポテンシャル V (t, x)が存在する系において，Enss-

Weder[2]に基づく time-independent methodを用い、散乱作用素の情報からポテンシャルの一意性について議論したい．電場には次のような仮定を置く．

t !" E(t) # L1loc(Rn), E(t+ 1) = E(t) a.e. t # R, E0 =

! 1

0dt E(t) $= 0. (1.1)

ポテンシャル V (t, x)は実数値かけ算作用素で，時間に関して電場と同じく周期 1を持つものとし，

V (t, x) = V vs(t, x) + V s(t, x) + V l(t, x) (1.2)

と表現されるとする．ここで V vs, V s, V lはそれぞれ以下のAssumption 1.1で定められるクラスに属するものである．このとき free Hamiltonianおよび total Hamiltonian

H0(t) = p2/2% E(t) · x, H(t) = H0(t) + V (t, x) (1.3)

は L2(Rn)上の自己共役作用素として拡張され，unitary propagator，U0(t, t0), U(t, t0)を一意的に生成する．

Assumption 1.1. V vs # V vsは特異性を許すが遠方での減衰は十分速く，

supt!R

! "

0dR &V vs(t, x)'p(#2F (|x| ! R)& < ), (1.4)

をみたすクラス．ただし F (|x| ! R)は集合 x # Rn"" |x| ! Rの定義関数． また V s # V sは空間変数

について C1級であり，

supt!R

! "

0dR 'R(2|!|&(!!

xVs)(t, x)F (|x| ! R2)& < ), |"| " 1, (1.5)

の減衰をもつもの．最後に V l # V lは，空間変数について C2級で次のやや緩やかな減衰を課す．

supt!R

! "

0dR 'R(#1&V l(t, x)F (|x| ! R)& < ), (1.6)

supt!R

! "

0dR 'R(|!|&(!!

xVl)(t, x)F (|x| ! R2)& < ), 1 " |"| " 2. (1.7)

Remark 1.2. Assumption 1.1は本質的な仮定のみであり、実際に propagator U(t, t0)が一意的に存在し，望むべく性質（例えば domain invariant propertyなど）を持つためには，特異性や時間変数の 1階微分について細かい仮定が必要である．詳しくはYajima[4]を参照のこと．

1

2 Short-range case

まず V l = 0の場合を考える． V # V vs + V sのとき波動作用素

W±(t0) = s-limt$±"

U(t, t0)%U0(t, t0) (2.1)

がすべての t0 # Rに対して存在し，散乱作用素 S(t0) = S(t0, V )は

S(t0) = W+(t0)%W#(t0) (2.2)

で定められる．このとき S(t0)も周期 1を持つ．

Theorem 2.1. V1, V2 # V vs+V sとする．ある 0 " t0 < 1に対してS(t0, V1) = S(t0, V2)ならばV1 = V2

である．

電場が存在しない場合 V vsは短距離型，V sは長距離型として知られている．一方，電場が存在すれば V vs,V sいずれも短距離型に属する．空間に電場が導入されることにより散乱作用素によって決定されるポテンシャルのクラスが広がることに注意されたい．

3 Long-range case

次に V l $= 0, V l # V lの場合を扱う．V lは電場の存在下でも長距離型のクラスであり，一般には波動作用素の存在は期待できない．そこで次のDollard型修正波動作用素を用いて議論する．

W±D (t0) = s-lim

t$±"U(t, t0)

%U0(t, t0)e#i

! tt0

ds V l(s,(p#b(t0))s+c(s)). (3.1)

Dollard型の修正散乱作用素 SD(t0) = SD(t0, V l, V vs + V s)は

SD(t0) = W+D (t0)

%W#D (t0) (3.2)

である．

Theorem 3.1. V l # V l，V1, V2 # V vs + V s とする．ある 0 " t0 < 1 に対して S(t0, V l, V1) =

S(t0, V l, V2)ならば V1 = V2である．

波動作用素の修正因子の定め方は一意ではなく，修正が異なれば散乱作用素も異なる．そのため，ポテンシャルの一意性の主張は短距離部分についてのみであるが，結論としては散乱作用素 SD(t0)によりポテンシャル全体が一意に定まることを意味する．

Adachi-Maehara[1]では時間に独立な系，すなわちE(t) * E0, V (t, x) * V (x)の下，Theorem 2.1 および 3.1が示されている．また時間周期的な系を扱ったものとして，Nicoleau[3]が空間次元 n ! 3としてTheorem 2.1を得た．いずれもポテンシャルの減衰条件はベキ型であり，本結果は上記いずれも含んでいる．

References[1] Adachi, T. and Maehara, K. On multidimensional inverse scattering for Strak Hamiltonians, J.

Math. Phys. 48, 042101 (2007).

[2] Enss, V. and Weder, R. The geometric approach to multidimensional inverse scattering, J. Math.Phys. 36, 3902-3921 (1995).

[3] Nicoleau, F. An inverse scattering problem for short-range systems in a time-periodic electricfield, Math. Res. lett. 12, 885-896 (2005).

[4] Yajima, K. Existence of solutions for Schrodinger evolution equations, Commu. Math. Phys. 110,415-426 (1987).

2

Strichartz estimates for Schrodinger equations with variable

coefficients and unbounded potentials

水谷　治哉 (京都大学数理解析研究所, Email: hmizutan@kurims.kyoto-u.ac.jp)

1 Introduction

本講演では以下の変数係数シュレディンガー方程式の初期値問題を考える.

i∂tu(t, x) = Hu(t, x), t ∈ R, x ∈ Rd; u|t=0 = u0 ∈ L2(Rd). (1)

ここで, d ≥ 1は空間次元, H は以下で定義される変数係数シュレディンガー作用素である:

H = −12

d∑j,k=1

∂xj ajk(x)∂xk

+ V (x) on L2(Rd).

ajk(x), V (x)は Rd 上の滑らかな実数値関数で次を仮定する:

• (ajk(x))j,k は対称行列で, ある定数 C > 0が存在して, C−1 Id ≤ (ajk(x))j,k ≤ C Id, x ∈ Rd.

• ある µ > 0が存在して, 任意の α ∈ Zd+ に対して,

|∂αx (ajk(x) − δjk)| ≤ Cα〈x〉−µ−|α|

, |∂αx V (x)| ≤ Cα〈x〉1−|α|

, x ∈ Rd.

特に, ポテンシャル V に対して空間遠方における高々1次の増大性を許していることが本研究の最大のポイントである. 上記の仮定の下で H は C∞

0 (Rd)上本質的自己共役になり, その自己共役拡張を再びH と書くと初期値問題 (1)の解は u(t) = e−itHu0で与えられる. ただし e−itH はH が生成する1-パラメータ強連続ユニタリ群であり, 発展作用素 (propagator)と呼ばれる.

H に対応する古典力学系のハミルトニアンを p(x, ξ) = 12

∑dj,k=1 ajk(x)ξjξk + V (x)と書く. 一般

に, ハミルトニアン p(x, ξ) ∈ C∞(R2d; R)が条件:

|∂αx ∂β

ξ p(x, ξ)| ≤ Cαβ , |α + β| ≥ 2, (2)

をみたすとき, そのWeyl量子化H に対して, 発展作用素 e−itH は 0 < |t| ¿ 1のときフーリエ積分作用素で表せることが知られている. 即ち, e−itHu0(x) =

∫E(t, x, y)u0(y)dyとすると基本解E(t, x, y)

は以下の表現を持つ (北田-熊ノ郷 (1981)):

E(t, x, y) = (2π)−d

∫ei(Ψ(t,x,ξ)−y·ξ)b(t, x, ξ)dξ, 0 < |t| ¿ 1. (3)

ここで, Ψ(t, x, ξ)は以下のハミルトン-ヤコビ方程式の解である:

∂tΨ(t, x, ξ) + p(x, ∂xΨ(t, x, ξ)) = 0, ∂αx ∂β

ξ (Ψ(t, x, ξ)− x · ξ − t|ξ|2/2) = O((1 + |x|+ |ξ|)2−|α+β||t|).

この表現からいわゆる L1 → L∞ 評価が従う:

||e−itHu0||L∞x

≤ C|t|−d/2||u0||L1x, 0 < |t| ¿ 1.

さらに双対性の議論 (cf. Ginibre-Velo (1985), Keel-Tao (1998))を用いることで時間局所ストリッカーツ評価が得られる (非斉次項に対する評価も得られるがここでは言及しない (cf. 谷島 (1987)))：

||e−itHu0||Lp([−T,T ];Lq(Rd)) :=

(∫ T

−T

||e−itHu0||p

Lq(Rd)dt

)1/p

≤ C||u0||L2(Rd).

1

ここで C = C(d, T, p) > 0, (p, q)は以下の 3条件をみたす実数の組で “admissible pair”と呼ばれる:

2 ≤ p, q ≤ ∞, 2/p + d/q = d/2, (d, p, q) 6= (2, 2,∞). (4)

ストリッカーツ評価から, (例えば d ≥ 3に対して)直ちに次が分かる.

u0 ∈ L2 ⇒ u(t) ∈ Lq, 2 ≤ ∀q ≤ 2d/(d − 2), a.e. 0 < |t| < T.

これは, ソボレフ埋め込み (Hd(1/2−1/q) → Lq)と比べると, (弱い意味ではあるが) d(1/2− 1/q)だけ解の正則性が増大している, 即ち, ある種の平滑化作用と見ることが出来る. このような平滑化作用は非線形発展方程式に対する弱解の適切性に広く応用されている.一方, 変数係数の場合, 一般には条件 (2)をみたさないが, ポテンシャルに対して長距離型条件:

|∂αx V (x)| ≤ Cα〈x〉−ν−|α|

, ∃ν > 0,を仮定すれば, H を −(1/2)∆の摂動とみなして長距離散乱理論の方法を用いることで, 基本解は (超局所的に)以下のような表現をもつことが示されている:

(2π)−d

∫ei(S(x,ξ)−t|ξ|2/2−S(y,ξ))a(x, hξ)b(y, hξ)dξ. (5)

ここで, πξ(supp a), πξ(supp b) b (0,∞), 0 < h ¿ 1は小さなパラメーター, S(x, ξ)は以下のアイコナル方程式の解である:

p(x, ∂xS(x, ξ)) = |ξ|2/2, ∂αx ∂β

ξ (S(x, ξ) − x · ξ) = O(〈x〉−µ−|α|).

この表現を用いて時間局所ストリッカーツ評価を証明することが出来る (例えば [2, 1, 4]およびその参考文献を参照せよ). しかし, 変数係数かつポテンシャルが遠方で増大する場合には, 今のところパラメトリックスの構成およびストリッカーツ評価に関する結果はないと思われる. ここでは (少なくとも)空間遠方における増大度が高々1次の場合に, それらを証明できることを紹介する.

2 Main result

Theorem 1 ([5]). (1) ある R À 1が存在して, 任意の T > 0と (4)を満たす (p, q), p > 2に対して, 定数 C = C(T, p, d) > 0が存在して,

||1|x|≥Re−itHu0||Lp([−T,T ];Lq(Rd))

≤ C||u0||L2(Rd).

(2) さらに, 全ての測地流が非捕捉的であると仮定すれば全空間での評価が得られる:

||e−itHu0||Lp([−T,T ];Lq(Rd)) ≤ C||u0||L2(Rd).

Remark 2. (1) Theorem 1の証明は漸近的錐多様体や漸近的双曲多様体の場合にも適用できる.(2) Theorem 1(2)において,コンパクトな部分 1|x|≤Re

−itH の評価には局所平滑化作用 [3]を用いる.

Idea of the proof. 上でも述べたように, パラメトリックスの構成が証明の中心部分となる. 証明のアイディアは非常に単純である. まず, 相空間 Rd

x × Rdξ を (i) |x| > |ξ|と (ii) |x| < |ξ|に分

割する. (i)のときはハミルトニアン p(x, ξ)が条件 (2)をみたすので, 基本解は (3)のような表現を(少なくともmodulo C∞ で)持つことが期待できる. 一方, (ii)の場合 |V (x)| . 〈ξ〉であることからp(x, ξ)は |ξ|2/2の長距離摂動と見ることが出来る. 従って, 長距離散乱理論の方法を用いて, 対応する発展作用素のパラメトリックスを構成できるはずである. この形式的な議論は擬微分作用素とリトルウッド-ペイリー分解を用いて正当化でき, (i)の領域において発展作用素は超局所的に (3)のフーリエ積分作用素表示をもつ. 一方, (ii)の場合, (5)の磯崎-北田型パラメトリックスで近似できる.

References

[1] J.- M. Bouclet, Anal. PDE. 4 (2011), 1–84.

[2] J.- M. Bouclet, N. Tzvetkov, Amer. J. Math. 129 (2007), 1565–1609.

[3] S. Doi, Publ. Res. Inst. Math. Sci. 41 (2005), 175–221.

[4] H. Mizutani, Strichartz estimates for Schrodinger equations on scattering manifolds. To appearin Comm. Partial Differential Equations

[5] H. Mizutani, Strichartz estimates for Schrodinger equations with variable coefficients andpotentials at most linear at spatial infinity. Submitted

2

Linear Schrodinger evolution equationswith moving Coulomb singularities∗

吉井健太郎（よしいけんたろう）

東京理科大学大学院理学研究科・研究生

E-mail: yoshii@ma.kagu.tus.ac.jp

1 Problem

本講演では, 次のようなポテンシャルを備えた Schrodinger 方程式の初期値問題を考える:i∂u

∂t= −∆u +

m∑j=1

cju

|x − qj(t)|+ V1(t, x)u, (t, x) ∈ [0, T ] × RN ,

u(0, ·) = u0(·) ∈ H2(RN) ∩ H2(RN).

(SE)

ここで N ≥ 3 で, u は複素数値の未知関数とし,

H2(RN) := u ∈ L2(RN); |x|2u ∈ L2(RN)

とする. ベクトル値関数 qj : [0, T ] → RN (j = 1, 2, . . . ,m) は m個の Coulomb ポテンシャルの中心, V1 : [0, T ] × RN → R は電場に対応するポテンシャルである.

2 Known Result

特に m = 1 の場合は [2, 4] によって次の結果が得られている.

定理 1. (SE)において q1, V1 は次の仮定を満たすものとする:q1 ∈ W 2,1(0, T )N := W 2,1(0, T ; RN),

(1 + |x|2)−1V1 ∈ W 1,1(0, T ; L∞(RN)),

(1 + |x|2)−1∇V1 ∈ L1(0, T ; L∞(RN))N .

このとき, (SE)は次のクラスに属する一意解をもつ:

u ∈ C1([0, T ]; L2(RN)

)∩ C

([0, T ]; H2(RN) ∩ H2(RN)

).

3 Main Result

主定理. ε0 > 0 は十分小, Ω := x ∈ RN ; |x − qj(t)| < 2ε0, j = 1, 2, . . . ,m とし, (SE) において qj, V1 は次の仮定を満たすものとする:

qj ∈W 2,1(0, T )N (j = 1, 2, . . . ,m), (q1)

|qj(t) − qk(t)| ≥ 4ε0 (j = k), (q2)

(1 + |x|2)−1V1 ∈W 1,1(0, T ; L∞(RN)), (V1)

V1 ∈L1(0, T ; W 1,∞(Ω)). (V2)

このとき, (SE)は次のクラスに属する一意解をもつ:

u ∈ C1([0, T ]; L2(RN)

)∩ C

([0, T ]; H2(RN) ∩ H2(RN)

).

∗本講演は岡沢登 (東京理科大学・理)との共同研究に基づくものである.

1

4 Local pseudo Galilean transformation

T0 := minT, ε0

(2 max

j∥q′j∥L∞(0,T )

)−1 とし, 各区間 [0, T0], [T0, 2T0], . . . , [kT0, T ] ごとに考える.

以下簡単のため 区間 [0, T0] のみを考える. φ : [0, T0] × RN → RN を各 t ∈ [0, T0]ごとに C∞-同相かつ tについても適当に滑らかなものとし, det Jacy φ(t, y) > 0 となるものとする. ここでJacy φ(t, y)は tを固定するごとに定まる φ の Jacobi行列 Jacy φ :=

(∂φj

∂yk

)を表わす. このとき,

v(t, y) := (det Jacy φ(t, y))1/2u(t, φ(t, y)) (1)

とすると, (SE)は vについての次の問題に書き直される:i∂v

∂t=

N∑k,ℓ=1

Dkakℓ(t, y)Dℓv + V (t, y)v, (t, y) ∈ [0, T0] × RN ,

v(0, ·) = v0(·) := (det Jacy φ(0, ·))1/2(u0 φ)(0, ·).(SE)v

ここで D := (D1, D2, . . . , DN), a := (ajk), V は

D := − i∇− 1

2t(Jacy φ)

∂φ

∂t, a := (Jacy φ)−1 t(Jacy φ)−1,

V (t, y) :=m∑

j=1

cj

|φ(t, y) − qj(t)|+ V1(t, φ(t, y)) − 1

4

∣∣∣∂φ

∂t

∣∣∣2+ (det Jacy φ)1/2

[∆x(det Jacx ψ)1/2

∣∣x=φ

].

ただし, ψ(t, ·)は各 tにおける φ(t, ·) の逆関数とする.よって m個のポテンシャル |φ(t, y)− qj(t)|−1 (j = 1, 2, . . . ,m) の特異点を固定する φ が構

成されれば, 動く特異点を伴った問題 (SE) は特異点が動かない問題 (SE)vに還元される. このとき [3] の抽象定理を適用することで (SE)v の一意解 v の存在が確かめられ, v に対して (1) の逆変換を施すことで (SE) の一意解 u が得られる. そのためには φ を次のように定めればよい:

φ(t, y) := y +m∑

j=1

η( |y − qj(0)|

ε0

)(qj(t) − qj(0)

). (2)

ここで η ∈ C∞([0,∞); [0, 1]) は η(r) = 1 (0 ≤ r ≤ 1), η(r) = 0 (r > 2) かつ |η′(r)| < 3/2 となるものとする. 本講演では (2) によって定まる変換 (1) を [1] に倣って局所擬ガリレイ変換(local pseudo Galilean transformation) とよぶことにする.

注意 2. φ を (2) のように定めたとき, η と qj の定義に注意すれば T0 の選び方から

det Jacy φ(t, y) = 1+m∑

j=1

η′( |y − qj(0)|

ε0

)(qj(t) − qj(0)

)· (y − qj(0))

ε0|y − qj(0)|>

1

4, (t, y) ∈ [0, T0]×RN .

参考文献

[1] T.Kato and K.Yajima, Dirac equations with moving nuclei, Ann. Inst. H. Poincare Phys.Theor. 54 (1991), 209–221.

[2] N. Okazawa, T.Yokota and K.Yoshii, Remarks on linear Schrodinger evolution equationswith Coulomb potential with moving center, SUT J. Math. 46 (2010), 155–176.

[3] N. Okazawa and K.Yoshii, Abstract approach to linear Schrodinger evolution equationswith moving Coulomb singularities, in preparation.

[4] K. Yoshii, Classical solutions to a linear Schrodinger evolution equation involving aCoulomb potential with a moving center of mass, Funkcial. Ekvac., to appear.

2

逆2乗型ポテンシャル項つき非線形Schrodinger方程式の

大域的適切性 1

鈴木　敏行（すずき　としゆき）

東京理科大学大学院　理学研究科　数学専攻

次の逆 2乗型ポテンシャル項を伴った非線形 Schrodinger方程式の初期値問題

(NLS)a

i∂u

∂t= −∆u+

a

|x|2u+ f(u) in R× Rn,

u(0, x) = u0(x) on Rn

を考える. ただし, i =√−1, n ≥ 3, a > −(n− 2)2/4とする. 非線形項 f : C → Cは以下 4条件

を満たすものとする:

(N1) f ∈ C1(R2;R2)であり, f(0) = 0;

(N2) あるK ≥ 0と p ≥ 1があって,

|f(u)− f(v)| ≤ K(1 + |u|+ |v|)p−1|u− v| ∀ u, v ∈ C;

(N3) f(x) ∈ R (x > 0)および f(eiθz) = eiθf(z) (z ∈ C, θ ∈ R);(N4) ある L1, L2 ≥ 0と 1 ≤ q < 1 + 4/nがあって,

F (x) :=

∫ x

0

f(s)ds ≥ −L1x2 − L2x

q+1 ∀ x > 0.

関数 u : R × Rn → Cが (NLS)aの弱解であるとは, C(R;H1(Rn)) ∩ C1(R;H−1(Rn))に属し, (NLS)aをH−1(Rn)の意味で満たすものである. 一方, (NLS)aが適切であるとは, 以下の 2

条件が成立するときにいう:

(A) 任意の初期値 u0 ∈ H1(Rn)に対し (NLS)aの弱解が一意に存在する;

(B) u0m → u0 in H1(Rn)となる u0mm ⊂ H1(Rn)をとり, それらが初期値となるような(NLS)aの弱解を umとする. このとき, 各 T > 0に対し um(t) → u(t) in C([−T, T ];H1(Rn)) である.

a = 0の場合の適切性については [2, 3, 4, 5]等でよく知られている. 証明方法はKato [5]によるKatoの方法と, Cazenave -Weissler [3]によるエネルギー法の 2つに分類できる.

本講演の目標は a = 0の場合に適切性を示すことにある. それについて, 昨年の第 32回発展方程式若手セミナーにおいて以下の結果を報告した:

定理. 1 ≤ p < (n+ 2)/(n− 2), (N1)–(N4) を仮定する. このとき, (NLS)aは

a >[n(p− 1)

2(p+ 1)

]2− (n− 2)2

4

のときに適切である.

更に, エネルギー保存則

(E) ∥u(t)∥L2x= ∥u0∥L2

x, E(u(t)) = E(u0) ∀ t ∈ R

1本研究は東京理科大学の岡沢登先生・横田智巳先生との共同研究である。

1

が成立することもわかる. ここで,

E(v) :=1

2∥∇v∥2L2

x+

a

2

∥∥∥ v

|x|

∥∥∥2

L2x

+

∫Rn

F (|v|)dx.

今回報告したいのは, 以下のように a = 0を含む形に改良された結果である:

主定理 1 ≤ p < (n+ 2)/(n− 2), (N1)–(N4) を仮定の下で, (NLS)aは

a > −(n− 2)2

4

のとき適切である. 更に, エネルギー保存則 (E) および解の局所Lipschitz評価

(L) ∥u(t)− v(t)∥L2x≤ Leω|t|∥u0 − v0∥L2

x∀ t ∈ R

が成立する. 制限を a > −(n− 2)2/4に緩められたのは, 解の構成をエネルギー法に基づいて実行したた

めである. そこで鍵になるのが, 次の命題である:

命題 a > −(n− 2)2/4のとき, −∆+ a|x|−2はH−1(Rn)において非負自己共役作用素となる. さらに, その定義域はH1(Rn)である. ただ, 局所Lipschitz評価に登場するL, ωは初期値 u0, v0のH1(Rn)ノルムに依存するため,

それを改良するという課題が残されている.

参考文献

[1] N. Burq, F. Planchon, J. Stalker, A. S. Tahvildar-Zadeh, J. Funct. Anal. 203 (2003), 519–549.

[2] T. Canenave, A. Haraux, An Introduction to Semilinear Evolution Equations, Oxford Uni-versity Press, New York, 1998.

[3] T. Cazenave, F. B. Weissler, Manuscripta Math. 61 (1988), 477–494.

[4] J. Ginibre, G. Velo, J. Funct. Anal. 32 (1979), 1–32.

[5] T.Kato, Ann. Inst. H. Poincare Phys. Theor. 46 (1987), 113–129.

2

空間2次元におけるDirac-Klein-Gordon方程式系の波動作用素について

池田　正弘 (大阪大学大学院理学研究科数学専攻)∗

1. イントロダクション本講演では、Dirac-Klein-Gordon(DKG)方程式系の最終値問題を考察する。

(∂t + α · ∇+ iMβ)ψ = λϕβψ,

(∂2t −∆+m2)ϕ = µψ∗βψ,(t, x) ∈ R×R2 (1)

ここで ψ = ψ (t, x) = (ψ1 (t, x) , ψ2 (t, x))t ∈ C2 はスピノル場、ϕ = ϕ (t, x) ∈ R

はスカラー場で、これらが未知関数である。 M,m > 0 はスピノル場とスカラー場の質量である。 λ ∈ C, µ ∈ R. ψ∗ =

(ψ1 (t, x) , ψ2 (t, x)

)はψ の転置共役ベクト

ルである。∇ = (∂x1 , ∂x2) はxに関するグラディエント、 α ·∇ =∑2

j=1 αj∂xjは内

積の形をした微分作用素である。∆ =∑2

j=1 ∂2xjは x に関するラプラシアン。 αj

(j = 1, 2) と β はDirac行列である。定義は 2× 2 の各成分が定数のエルミート行列で、α2

j = β2 = I, αjβ+βαj = O (j = 1, 2), αjαk+αkαj = O (j, k = 1, 2, j = k)

の関係を満たす行列である。 Iは単位行列, Oは零行列である。本講演の目的は、空間 2次元において、非質量共鳴条件「m = 2M 」の下、

DKG方程式系 (1)に対する波動作用素を低階のソボレフ空間の上で定義することである。システム (1)に対する初期値問題はKlein-Gordon方程式系に直して考えることができる。実際D±,M = I∂t + ± (α · ∇+ iMβ) と定義すると、Dirac方程式D+,Mψ = λϕβψ の両辺にD−1,M を作用させると、(

∂2t −∆+M2)ψ = λD−,M (ϕβψ) = λ

((D−,Mϕ) β − iMϕI + λϕ2I

)ψ

となる。確かに非線形Klein-Gordon方程式が現れる。したがって、DKG方程式系 (1)の解は次の非線形Klein-Gordon方程式系を満たすことがわかる:

(∂2t −∆+M2)ψ = λ ((D−,Mϕ) β − iMϕI + λϕ2I)ψ,

(∂2t −∆+m2)ϕ = µψ∗βψ,(t, x) ∈ R×R2. (2)

上の事実からDKG方程式系 (1)の解の存在等は、(1)から導かれたKG方程式系(2)を考えれば良いように見える。しかし、KG方程式系 (2)の解だからと言って、DKG方程式系 (1)を満たすとは限らないことからそれらは明らかなことではない。特に、終値問題の解の存在と初期値問題の漸近挙動は問題である。(2)方程式系の非線形項を含む一般の2次の非線形項を持ったKG方程式系の初期値問題が砂川氏 [4]によって研究されている。[4]では、非質量共鳴条件の下、初

本研究は科研費 (課題番号:232083)の助成を受けたものである。キーワード：非質量共鳴, 波動作用素∗ e-mail: m-ikeda@cr.math.sci.osaka-u.ac.jp

期値が十分小さく、なめらかで、さらに遠方で十分早く減衰している場合に、大域解の存在とその解の漸近自由性が得られた。しかし、上で述べたようにDKG

方程式系 (1) の解の漸近挙動や終値問題の解の存在は [4]から直接は従わない。また、空間3次元においては、文献 [1]で、波動作用素だけでなく、散乱作用素の存在とその完全性が低階のソボレフ空間の上で得られている。最も2次元のほうが難しい問題設定であることに注意しておく。主結果を述べるために、重み付きソボレフ空間を導入する。m, k ∈ R, 1 ≤ p ≤

∞ に対して、

Hm,kp ≡

ϕ; ∥ϕ∥Hm,k

p≡∥∥∥⟨x⟩k ⟨i∇⟩m ϕ

∥∥∥Lp<∞

,

ここで ⟨x⟩ =(1 + |x|2

) 12 , ⟨i∇⟩ = (1−∆)

12 である。また、簡単のためHm,k =

Hm,k2 , Hm = Hm,0

2 , Hmp = Hm,0

p の省略記号を使う。

2. 主結果非質量共鳴条件m,M > 0, m = 2M を仮定する。また、最終値

ψ+ ∈(H

4− 4q

qq−1

∩H52,1 ∩H2

1

)2

,

(ϕ+1 , ϕ

+2

)∈(H

5− 4q

qq−1

∩H72,1 ∩H3

1

)×(H

4− 4q

qq−1

∩H52,1 ∩H2

1

)とする。ここで、4 < q ≤ ∞である。このとき、次のノルム∥∥∥ψ+

∥∥∥H2

1

+∥∥∥ϕ+

1

∥∥∥H3

1

+∥∥∥ϕ+

2

∥∥∥H2

1

が十分に小さければ、正の時刻 T > 0 とDKG方程式系 (1)に対する一意解(ψ (t) ,

(ϕ (t)

⟨i∇⟩−1m ∂tϕ (t)

))∈(C([T,∞) ;H

12

))2×(

C ([T,∞) ;H1)

C ([T,∞) ;H1)

)

が存在する。さらに次の漸近評価を満たす:

∥ψ (t)− ψ0 (t)∥H

12+

∥∥∥∥∥(

ϕ (t)

⟨i∇⟩−1m ∂tϕ (t)

)−(

ϕ0 (t)

⟨i∇⟩−1m ∂tϕ0 (t)

)∥∥∥∥∥H1

≤ Ct−δ

for t ≥ T, ここで 12< δ < 1− 2

qである。

参考文献[1] N. Hayashi, M. Ikeda and P. I. Naumkin, Wave operator for the system of the

Dirac-Klein-Gordon Equations, Math. Methods. Appl.Sci,34 (2011), 896-910

[2] N. Hayashi and P. I. Naumkin, Wave operators to a quadratic nonlinear Klein-Gordon equation in two space dimensions, Nonlinear Anal. 71 (2009), 3826-3833.

[3] M. Ikeda, Final state problem for the system of the Dirac-Klein-Gordon Equationsin two space dimensions, submitted.

[4] H. Sunagawa, On global small amplitude solutions to systems of cubic nonlinearKlein-Gordon equations with different mass in one space dimension, J. DifferentialEquations, 192 (2003), 308-325.

Almost global existence of solutions to the Kadomtsev-Petviashviliequations

新里　智行1

大阪大学大学院理学研究科数学専攻

E-mail: t-niizato@cr.math.sci.osaka-u.ac.jp

1 Introduction

我々は水深の浅い領域における波を記述するKadomtsev-Petviashvili方程式（以下KP方程式と書く）のCauchy問題を研究した. この方程式は浅水波を記述する方程式として有名なKorteweg-de Vries方程式を二次元に拡張したものであり, Kadomtsevと Petviashviliが論文 [3]において導いた. KP方程式は以下のような形をしている,

ut + uxxx + σ∂−1x uyy = −(u2)x (x, y) ∈ R2, t ∈ R,

u(0, x, y) = u0(x, y), (x, y) ∈ R2,

ここで σ = 1 または σ = −1, ∂−1x =

∫ x

−∞ dx′. σ = −1 のときをKPI方程式, σ = 1 の時をKPII方程式と呼び, それぞれ異なった性質を持つ. この方程式に関しては以下のような結果が知られている. まず, KPII方程式に対してはBourgain[1]が L2 で大域的適切性を示している. その一方でKPI方程式に対しては, 大域的適切性が L.Molinet, J.C. Saut, N. Tzvetkov 等によって [5]で示されているが, 初期条件のクラスはある程度滑らかでなければならない. また, 一般化されたKP方程式

ut + uxxx + σ∂−1x uyy = −∂x(u

ρ), (x, y) ∈ R2, t ∈ R,u (0, x, y) = u0 (x, y) , (x, y) ∈ R2,

に対しては時間大域解の存在と解の時間減衰評価が [2], [4]において示されている. 今回我々はKP方程式の解がほとんど時間大域的に存在することを示した. ほとんど時間大域的というのは,簡単に言うと,初期値の大きさを εとすると,解の最大存在時間 T が指数関数的に T ≥ exp(B/ε)と大きくなることを意味する. ここで B は ε に無関係な定数である. したがって, 初期条件の大きさが十分小さければ, 解は時間に関してほとんど大域的に存在すると言ってよい.

2 Main Results

定理を述べる前に必要な記号を準備する. まず, KP方程式の自由発展群を,

U (t) = F−1eit

(ξ3−σ η2

ξ

)F

と定義する. ここで F , F−1 はそれぞれフーリエ変換, フーリエ逆変換である. 次に, 方程式固有の作用素として以下のような作用素を考える.

Jx = U (t) xU (−t) = x− t(3∂2x − σ∂−2

x ∂2y)

Jy = U (t) yU (−t) = y − 2σt∂−1x ∂y.

この作用素は解の時間減衰評価を得るために [2], [4]で有効に用いられたものである. また次のような関数空間を導入する,

XT =ϕ ∈ C

([0, T ] ;L2

(R2

)): ∥ϕ∥XT

< ∞,

∥ϕ∥XT= sup

t∈[0,T ]

(∥∥∂y∂−1x ϕ

∥∥H1 + ∥ϕ∥H1 +

∥∥∂3xϕ

∥∥L2 +

∥∥J 2y ∂xϕ

∥∥L2 + ∥Jx∂xϕ∥L2

).

1本研究は林仲夫教授と Pavel I. Naumkin教授との共同研究である.

1

初期条件に対する空間として,次のようなものを考える,

X0 =ϕ ∈ L2

(R2

): ∥ϕ∥X0

< ∞,

∥ϕ∥X0=

∥∥∂y∂−1x ϕ

∥∥H1 + ∥ϕ∥H1 +

∥∥∂3xϕ

∥∥L2 +

∥∥y2∂xϕ∥∥L2 + ∥x∂xϕ∥L2 .

最後に解の最大存在時間 (Life span)として以下の記号を導入する,

T ∗ = supT > 0; ∥u∥XT

< ∞.

定理 2.1. u0 ∈ X0, ∥u0∥X0 = ε とし, KP方程式のCauchy問題の局所解 u ∈ C ([0, T ] ;L2 (R2))が存在して, ∥u∥XT

< ∞ を満たすとする. このとき, ある正の定数 ε0, B が存在して次の評価が成り立つ,

T ∗ ≥ exp

(B

ε

), for 0 < ε ≤ ε0.

注意 2.2. 以下のことが分かる.

(1) この定理の証明と同様の方法で

ut + uxxx + σ∂−1x uyy = − (f (u))x ,

f (u) = λu2 + µu3, λ, µ ∈ R, に対しても定理 2.1と同様の結果を得ることができる.

(2) もしKP方程式の非線形項が u2 の代わりに a (t)u2 で, a (t) ∈ C1 (R),

|a (t)| ≤ C (log (1 + |t|))−1−γ ,

|a′ (t)| ≤ C (1 + |t|)−1 (log (1 + |t|))−1−γ ,

γ > 0, であるなら, 定理 2.1と同様の仮定の下で時間大域解の存在が示せる. つまり非線形項の時間減衰が少しでもよけいにあれば, KP方程式の解は時間大域的に存在する.

参考文献

[1] J. Bourgain, On the Cauchy problem for the Kadomtsev-Petviashvili equations. Geom.Funct. Anal.3, 315-341(1993)

[2] N. Hayashi, P.I. Naumkin, and J.C. Saut, Asymptotics for large time of global solu-tions to the generalized Kadomtsev-Petviashvili equation. Commun. Math. Phys. 201,577-590(1999)

[3] B.B. Kadmotsev and V.I. Petviashvili, On the stability of solitary waves in weakly disper-sive media. Soviet Phys. Dokl. 15, 539-541(1970)

[4] T. Niizato, Large time behavior of solutions for the generalized Kadomtsev-Petviashviliequation. Differ. Equ. Appl. 3, 299-308(2011)

[5] L.Molinet, J.C. Saut and N. Tzvetkov, Global well-posedness for the KP-I equation. Math.Ann. 314, 255-275 (2002)

2

非線形波動方程式の一般論に対する最適性の最終問題1

若狭 恭平（わかさ きょうへい）

公立はこだて未来大学大学院システム情報科学研究科 M1

E-mail: g2111045@fun.ac.jp

1 序まず本研究結果の位置付けを述べるために、次の非線形波動方程式の初期値問題に対する一

般論の概観から始める。未知関数 u = u(x, t) に対する初期値問題utt − ∆u = H(u,Du, DxDu) in Rn × [0,∞)

u(x, 0) = εf(x), ut(x, 0) = εg(x)(1)

を考える。ここでDu = (ux0 , ux1 , · · · , uxn), DxDu = (uxixj, i, j = 0, 1, · · · , n, i+j ≥ 1), x0 = t

とし、初期値は f, g ∈ C∞0 (Rn) で ε > 0 は十分‘小さい’パラメータとする。λ = (λ; (λi), i =

0, 1, · · · , n; (λij), i, j = 0, 1, · · · , n, i + j ≥ 1) と書くとき、非線形項 H = H(λ) は十分滑らかで λ = 0 の近傍でH(λ) = O(|λ|1+α) （α ≥ 1 は整数）をみたすとする。更に解の最大存在時間、いわゆる lifespan T (ε) を

T (ε) = supt > 0 : 任意に固定された (f, g) に対し、(1) の古典解 u(x, t) が存在する

で定義する。(1) は、T (ε) = ∞ のとき時間大域解をもち、T (ε) < ∞ のとき時間区間 [0, T (ε))

で時間局所解をもつことを意味する。この設定では後者の場合、解の一意性により limε→0

T (ε) = ∞となることが予想されるが、そのときの T (ε) の下界を ε の詳細なオーダーで表現することが、ここで言う一般論という意味である。簡単のため時間大域解が得られない n = 1 の場合は除外して、以下 n ≥ 2 とする。

lifespanの下から評価は、1980年代から多くの研究者達によって改良され続け、最終的に 1995

年に次の表にあるように α と n に関するすべての分類が落ち着いた。

T (ε) ≥ α = 1 α = 2 α ≥ 3

n = 2

ca(ε)（一般の場合）cε−1（

∫R2 g(x)dx = 0）

cε−2（∂2uH(0) = 0）

cε−6（一般の場合）exp(cε−2)（∂b

uH(0) = 0 (b = 3, 4)）∞

n = 3cε−2（一般の場合）exp(cε−1)（∂2

uH(0) = 0）∞ ∞

n = 4exp(cε−2)（一般の場合）∞（∂2

uH(0) = 0）∞ ∞

n ≥ 5 ∞ ∞ ∞

ここで c は ε によらない正定数で、a = a(ε) は a2ε2 log(a + 1) = 1 をみたす数である。これらの結果は H = |u|p や H = |ut|p などというモデル方程式の爆発解を解析することにより、n = 4 かつ α = 1 の場合を除いて最適であることが知られていた。(n = 2かつ α = 2で b = 4

1本研究は、高村博之先生 (公立はこだて未来大学)との共同研究に基づく。

1

の条件は不要と思われる。) ここで、最適という意味は、前述のような特別なモデル方程式と特別な初期値を使って T (ε) が上から同じ ε のオーダーで評価されているということである。この表については、Li & Chen [1]の第２章を参考にした。本講演では n = 4 かつ α = 1 の場合の最適性が得られたことを報告する。すなわち、 R4 ×

[0,∞) で H = u2 に対し特別な初期値を使って T (ε) ≤ exp(Cε−2) を示すことに成功した。この結果は、Takamura & Wakasa [2] の n ≥ 4 におけるモデル方程式H = |u|p0(n) に対する解の最適な lifespan の上からの評価を得た結果の一部分であることに注意する。ここで、p0(n) はモデル方程式 H = |u|p における Strauss 予想 の臨界冪としてよく知られている。さらに、p0(n)

は (n− 1)p2 − (n + 1)p− 2 = 0 の正根で、p0(4) = 2 である。Strauss 予想の完全解決への歴史や lifespan の評価 については [2]の序章を参照されたい。初期値問題 (1)において H = u2 かつ n = 4 とすると、T (ε) < ∞ となることは Yordanov &

Zhang [3] と Zhou [4]によってそれぞれ独立に示されている。我々の手法は、[3] の基礎不等式と独自に開発した、時間に関して‘ 前進する ’逐次代入法をあわせていることが鍵となっている。また、我々の論文の発表受理後、Zhou & Han [5] によって異なる証明法が発表された。その証明法は、[4]の手法が基礎となっている。

2 主結果定理 H = u2、n = 4 とする。f ∈ C4

0(R4)、 g ∈ C30(R4) は非負で、特に g は恒等的にゼロ

でないとする。(1) は

supp u ⊂ (x, t) ∈ R4 × [0, T (ε)) : |x| ≤ t + R (R ≥ 1/4).

となるような解 u ∈ C2(R4 × [0, T (ε))) を持つとする。このとき、ε0 = ε0(f, g, R) が存在して、0 < ε ≤ ε0 である限り T (ε) は

T (ε) ≤ exp(Cε−2

)を満たす。ここで、C は εに依らない正定数である。

参考文献[1] T-T.Li and Y.Chen, “Global Classical Solutions for Nonlinear Evolution Equations”, Pit-

man Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics 45, Longman Scientific& Technical, 1992.

[2] H.Takamura and K.Wakasa, The sharp upper bound of the lifespan of solutions to criticalsemilinear wave equations in high dimensions, J. Differential Equations 251 (2011), 1157-1171.

[3] B.Yordanov and Q.S.Zhang, Finite time blow up for critical wave equations in high dimen-sions, J. Funct. Anal., 231(2006), 361-374.

[4] Y.Zhou, Blow up of solutions to semilinear wave equations with critical exponent in highdimensions, Chin. Ann. Math. Ser.B, 28(2007), 205-212.

[5] Y.Zhou and W.Han, Life-span of solutions to critical semilinear wave equations,arXiv:1103.3758 [math.AP] 19 Mar. 2011.

2

第二音波の方程式の一意可解性1

杉山 裕介（すぎやま ゆうすけ）

東京理科大学大学院理学研究科数学専攻D1

E-mail: yoursmine1986@c3-net.ne.jp

1 導入と結果

本講演では以下のような非線形波動方程式の初期値問題を考える.∂2

t u = u∂x(u∂xu), (t, x) ∈ (0, T ] × R,

u(0, x) = φ(x), x ∈ R,

∂tu(0, x) = ψ(x), x ∈ R,

(1)

ここで φ, ψは実数値関数, u(t, x)は実数値未知関数である.この方程式は第二音波と呼ばれる超流動体中の温度波を記述する方程式である.この第二音波の方程式の時間局所解の存在と一意性についての結果を紹介する.

Theorem 1. s > 12とし, φ ∈ C1(R)∩L∞(R), ∂xφ, ψ ∈ Hs(R)とする. さらに正定数 Aがあっ

て φ(x) ≥ A (∀x ∈ R)と仮定する. この時, 初期値問題 (1)の 時間局所解 uは次のクラスで一意的に存在する.

u − φ ∈∩

j=0,1,2

Cj([0, T ]; Hs−j+1(R)),

u(t, x) ≥ A/2, (t, x) ∈ [0, T ] × R.

Theorem 2. 初期値φ, ψ及び sについてTheorem 1と同じ仮定の下で,任意の T > 0と A > 0について, ある ϵ > 0 が存在して ∥ψ∥2

L2 + ∥φ∂xφ∥2L2 ≤ ϵが成り立つとする. この時, (1)の解は

u − φ ∈∩

j=0,1,2 Cj([0, T ]; Hs−j+1(R)) のクラスで一意的ある.

第二音波の方程式の解の爆発に関する結果を紹介する.

Theorem 3. Aを正定数, s > 12, ϕ ∈ Hs+1(R)として, u(t, x) は, 次を初期値に持つ (1)の解と

する.

φ(x) = A + ϵϕ(x

ϵ) ψ(x) = −φ(x)∂xφ(x), (2)

この時, ϵが十分小ならば, (1)の大域解 u ∈∩

j=0,1,2 Cj([0,∞); Hs−j+1(R))は存在せず, ある時刻 T が存在して次が成り立つ.

limtT

∥∂tu(t)∥Hs + ∥∂xu(t)∥Hs = ∞. (3)

Corollary 4. A, s, ϕは, Theorem 1と同じ条件の下で, u(t, x) は, 次を初期値に持つ (1)の解とする.

φ(x) = A + ϕ(x) ψ(x) = −φ(x)∂xφ(x),

この時, Aが十分大ならば, Theorem 3と同様の主張が成り立つ.1この講演は東京理科大学の加藤圭一先生との共同研究に基づく.

1

(1)と似た形の方程式として ∂2t u = c(u)∂x(c(u)∂xu)が P. Zhang, Y. Zheng [ZZ]や R. T.

Glassey, J. K. Hunter, Y. Zheng [GHZ]によって考えられている. 例えば [GHZ]では, 方程式∂2

t u = c(u)∂x(c(u)∂xu)に対して, Theorem 3と同様の結果を得ている. しかしながらこの方程式は, ある定数 c1, c2があって

0 < c1 ≤ c(r) ≤ c2, r ∈ R,

という仮定を付しており, (1)を含まない.

2 証明方法について

Theorem 1は, 解 uが可積分でないことに注意したKato-Ponce型の不等式を用いてエネルギー評価を導出し, 逐次近似法を用いて解を構成する. Theorem 2と 3の証明では, 次のアプリオリ評価が重要になる.

ϵを十分小の時, ある時刻 Tϵが存在して, ∥ψ∥2L2 + ∥φ∂xφ∥2

L2 ≤ ϵを満たす (1)の解 uは,

A

2< u(t, x) <

1 +√

2

2A for (t, x) ∈ [0, Tϵ] × R.

を満たす.ここで Tϵ は limϵ→0 Tϵ = ∞を満たす.Theorem 2は, 上のアプリオリ評価とエネルギー不等式を用いて証明される. Theorem 3は,

上のアプリオリ評価と R. T. Glassey, J. K. Hunter, Y. Zheng [GHZ]で用いられた特性曲線の方法を用いて (1) の解 uが爆発することを示し, 爆発時刻が Tϵよりも小さいことを示して証明が完了する. Corollary 4の証明は, スケール変換とTheorem 3を用いてなされる.

Remark 5. A. Majda [M]の方法と同様に (3)は,

limtT

∥∂tu(t)∥L∞ + ∥∂xu(t)∥L∞ = ∞,

に置き換えられる.

References[HKM] T. J. R. Hughes, T. Kato, Jerrold E. Marsden, Well-posed Quasi-linear Second-order

Hyperbolic Systems With Applications To Nonlinear Elastodynamics And General Relativ-ity, Arch Rat. Mech. Anal 63, 273-294, (1976).

[M] A. Majda, Compressible Fluid Flow And Systems Of Conservation Laws In Several SpaceVariables, Appl. Math. Sci. 53, Springer, (1984).

[GHZ] R. T. Glassey, J. K. Hunter, Y. Zheng, Singularities of a variational wave equation, J.Differential Equations 129, 49-78, (1996).

[ZZ] P. Zhang, Y. Zheng, Rarefactive Solutions To A Nonlinear Variational Wave Equation ofLiquid Crystals, Comm. Partial Differential Equations 26, 381-420, (2001).

2

変数係数の摩擦項を持つ半線形波動方程式の大域解の存在について

若杉　勇太（わかすぎ　ゆうた）

大阪大学大学院理学研究科数学専攻

E-mail: y-wakasugi@cr.math.sci.osaka-u.ac.jp

1 Introduction

次の半線形消散型波動方程式のCauchy問題を考える．utt −u+ a(x)b(t)ut = |u|p, (t, x) ∈ (0,∞)×Rn

u(0, x) = εf(x), ut(0, x) = εg(x), x ∈ Rn.(1)

ここで，uは実数値の未知関数で，初期データは (f, g) ∈ H1(Rn) × L2(Rn)とし，台はコンパクトであるとする．ε > 0は小さいパラメータである．非線形項の指数 pは，n ≥ 3のとき1 < p < n/(n− 2)，n = 1, 2のとき 1 < p < ∞とする．摩擦項の係数 a(x), b(t)については，遠方で緩やかに減少する形

a(x) = a0(1 + |x|2)−α/2, b(t) = (1 + t)−β

を仮定する．ここで a0 > 0, α, β ≥ 0, α + β ∈ [0, 1)である．目的は (1)の臨界指数を決定することである．臨界指数とは，（粗く言って）

pc < p ⇒小さいデータに対し時間大域解が存在p < pc ⇒解は有限時間で爆発

となるような指数 pcのことを指す．摩擦項が定数係数，つまり a(x) = b(t) = 1のときは，Todorova-Yordanov[3] により，臨界

指数は 1 + 2/nとなることが示された．これは対応する熱方程式

−u+ ut = |u|p

の臨界指数である藤田指数と一致する．p = 1+2/nのときは解が爆発することがZhang[4]により示されている．係数が空間変数にのみ依存する，つまり b(t) = 1の場合は，Ikehata-Todorova-Yordanov[1]により，臨界指数は 1 + 2/(n− α)となることが示された．係数が時間変数にのみ依存する，つまり a(x) = 1の場合は，Lin-Nishihara-Zhai[2]により臨界指数は 1 + 2/nとなることが示されている．これらの結果を見ると，(1)の臨界指数は

pc = 1 +2

n− α

であろうと予想される．

2 Main Results

本講演では，部分的な結果ではあるが，今までに得られている結果について紹介する．

定理 2.1. 非線形項の指数 pが

p > 1 +2

n− α

1

を満たすとする．このとき，ある ε0 > 0が存在して，任意の 0 < ε ≤ ε0に対して，(1)の唯一つの大域解 u ∈ C([0,∞);H1(Rn)) ∩ C1([0,∞);L2(Rn))が存在し，次を満たす．

∥u(t)∥L2 ≤ Cδ(1 + t)−12(1+β)n−2α

2−α+δ

∥ut(t)∥L2 + ∥∇u(t)∥L2 ≤ Cδ(1 + t)−12(1+β)(n−α

2−α+1)+δ

ここで δ > 0は任意に小さい正数，Cδは δ > 0に依存する定数である

注意 2.2. 解の爆発については，微分不等式を用いる方法により断片的な結果は得られているが，臨界指数を決定するにはまだ至っていない．Zhang[4]の test functionの方法は強力であるが，摩擦項の係数が時間変数に依存する場合はそのまま適用することはできない．またこの方法では解の存在時間の評価は得られない．Lin-Nishihara-Zhai[2]は，方程式をうまく変形してtest functionの方法が適用できる形にして臨界指数を決定した．

参考文献

[1] R. Ikehata, G. Todorova, B. Yordanov Critical exponent for semilinear wave equations withspace-dependent potential, Funkcial. Ekvac. 52(2009), 411-435.

[2] J. Lin, K. Nishihara, J. Zhai Critical exponent for the semilinear wave equation with time-dependent damping, preprint.

[3] G. Todorova, B. Yordanov, Critical exponent for a nonlinear wave equation with damping,J. Differential Equations 174 (2001) 464-489.

[4] Qi S. Zhang, A blow-up result for a nonlinear wave equation with damping: The criticalcase, C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. 333 (2001), 109-114.

2

Optimal decay for quasi-linear hyperbolic systems with dissipation

P.M.N. Dharmawardane (だるまわるだね)

九州大学大学院数理学府・数理学専攻

E-mail: pdharmawardane@yahoo.com

1 Introduction

This talk is based on the joint research work with Professors Shuichi Kawashima and TohruNakamura. We consider a class of quasi-linear hyperbolic systems with dissipation:

utt −∑

j

bj(∂xu)xj+

∑j,k

Kjk ∗ uxjxk+ Lut = 0, (1)

with the initial datau(x, 0) = u0(x), ut(x, 0) = u1(x). (2)

Here u is an m-vector function of x ∈ Rn and t ≥ 0; bj(v) are smooth m-vector functionsof v = (v1, · · · , vn) ∈ Rmn, Kjk(t) are smooth m × m matrix functions of t ≥ 0 satisfyingKjk(t)T = Kkj(t); and L is an m×m symmetric constant matrix; the symbol “∗” denotes theconvolution with respect to t. We assume that there exists a smooth scalar function (the freeenergy) ϕ(v) such that bj(v) = Dvj

ϕ(v), and put

Bjk(v) := Dvkbj(v) = Dvk

Dvjϕ(v).

It then follows that Bjk(v)T = Bkj(v). Define

Bω(v) :=∑j,k

Bjk(v)ωjωk, Kω(t) :=∑j,k

Kjk(t)ωjωk,

where ω ∈ Sn−1; Bω(v) and Kω(t) are symmetric matrices. We impose the following conditions.

(A1) Bω(0) is positive definite, and Kω(t) and L are nonnegative definite.

(A2) Bω(0) −Kω(t) is positive definte uniformlly in t ≥ 0, where Kω(t) =∫ t

0Kω(s)ds.

(A3) Kω(0) + L is positive definite.

(A4) There are positive constants C0 and c0 such that −C0Kω(t) ≤ Kω(t) ≤ −c0Kω(t) and−C0Kω(t) ≤ Kω(t) ≤ C0Kω(t), where Kω(t) = ∂tKω(t) and Kω(t) = ∂2

t Kω(t).

The main aim of this talk is to show the sharp decay estimate of solutions to the nonlinearproblem (1), (2) in the whole space Rn under smallness condition on the initial data (u1, ∂xu0)in Hs ∩ L1 with s ≥ s0 + 2, where s0 = [n/2] + 1. For this purpose, we use the time-weightedenergy method, which was first effectively used by Professor A. Matsumura in [4], together withthe semigroup arguement. To this end, it is convenient to introduce the following quantitiesQK , Q♯

K and QK defined by

QK [∂xu] := Q♯K [∂xu] + Q

K [∂xu],

Q♯K [∂xu] :=

∑j,k

∫Rn

Kjk[uxj, uxk

] dx, QK [∂xu] :=

∑j,k

∫Rn

⟨Kjkuxj, uxk

⟩ dx.

1

We define energy norm E(t) and the corresponding dissipation norm D(t) by

E(t)2 :=s∑

m=0

Em(t)2, D(t)2 :=s∑

m=0

Dm(t)2 +s−1∑m=0

Dm(t)2, (3)

where

Em(t)2 = sup0≤τ≤t

(1 + τ)m(∥(∂m

x ut, ∂m+1x u)(τ)∥2

Hs−m +s∑

l=m

QK [∂l+1x u](τ)

),

Dm(t)2 =

∫ t

0

(1 + τ)m(∥(I − P )∂m

x ut(τ)∥2Hs−m +

s∑l=m

QK [∂l+1x u](τ)

)dτ,

Dm−1(t)2 =

∫ t

0

(1 + τ)m−1(∥(∂m

x ut, ∂m+1x u)(τ)∥2

Hs−m +s∑

l=m

QK [∂l+1x u](τ)

)dτ.

Here I is the identity matrix, and P denotes the orthogonal projection matrix onto ker(L). Tomeasure the optimal decay of solutions, we introduce the time-weighted norm M(t) by

M(t) :=s−1∑m=0

sup0≤τ≤t

(1 + τ)n/4+m/2∥(∂mx ut, ∂

m+1x u)(τ)∥Hs−m−1 . (4)

Now we give the main result of this talk in the following theorem.

2 Main Results

Theorem 2.1 (Global existence and optimal decay for n ≥ 1). Suppose that all the conditions[A1]–[A4] are satisfied. Let n ≥ 1 and s ≥ s0 +2 with s0 = [n/2]+ 1. Suppose that (u1, ∂xu0) ∈Hs ∩L1 and put E1 := ∥(u1, ∂xu0)∥Hs + ∥(u1, ∂xu0)∥L1. Then there is a small positive constantδ1 such that if E1 ≤ δ1, then the problem (1), (2) has a unique global solution u with (ut, ∂xu) ∈C([0,∞); Hs). The solution satisfies

E(t) + D(t) + M(t) ≤ CE1 (5)

for t ≥ 0. In particular, we have the following optimal decay estimate:

∥(∂mx ut, ∂

m+1x u)(t)∥Hs−m−1 ≤ CE1(1 + t)−n/4−m/2 (6)

for t ≥ 0, where 0 ≤ m ≤ s − 1.

References

[1] P.M.N. Dharmawardane, J.E. Munoz Rivera and S. Kawashima, Decay property for secondorder hyperbolic systems of viscoelastic materials, J. Math. Anal. Appl., 366 pp. 621–635(2010) .

[2] P.M.N. Dharmawardane, T. Nakamura and S. Kawashima, Global solutions to quasi-linearhyperbolic systems of viscoelasticity, Kyoto J. Math., 51 , no. 2, pp. 467–483 (2011).

[3] P.M.N. Dharmawardane, T. Nakamura and S. Kawashima, Time-weighted energy methodfor quasi-linear hyperbolic systems of viscoelasticity, Proc. Japan Acad. Ser. A, 87 , no. 6,pp. 99–102 (2011)

[4] A. Matsumura, An energy method for the equations of motion of compressible viscous andheat-conductive fluids, MRC Technical Summary Report, Univ. of Wisconsin-Madison,#2194 (1981).

2

On the stability of time-periodic parallel ows to thecompressible Navier-Stokes equations

Jan Brezina*Kyushu University, Japan

Yoshiyuki KageiKyushu University, Japan

Let us consider following Navier-Stokes system in domain Ω∂tρ + div (ρv) = 0,

ρ(∂tv + (v · ∇)v) − ν∆v − (ν + ν ′)∇div v + P ′(ρ)∇ρ = νρg,

v|xn=0,1 = 0.

(1)

The unknowns are density ρ = ρ(x, t) and velocity v = (v1(x, t), · · · , vn(x, t)), (t ≥ 0, x ∈Ω) where Ω denotes

Ω = x = (x′, xn) ; x′ = (x1, · · · , xn−1) ∈ Rn−1, 0 < xn < 1, (n ≥ 2);

γ is a constant given by γ =√

P ′(1) > 0; ν and ν ′ are constants satisfying ν > 0 and2nν + ν ′ ≥ 0; g is a given function of the form g = (g1(xn, t), 0, · · · , 0, gn(xn)), with g1

being T -periodic function in time, where T > 0.Reynolds number Re and Mach number Ma is given by Re = ν−1 and Ma = γ−1,

respectively.One can see that if ∥gn∥∞ is small enough then (1) has a time-periodic solution

(ρp, vp) = (ρp(xn), v1p(xn, t)e1) satisfying

∥ρp − 1∥C0[0,1] ≤ Cν

γ2∥gn∥C0[0,1],

∥∂kxn

ρp∥C0[0,1] ≤ Ckν∥gn∥Ck−1[0,1] k = 1, 2,

∥∂kt v1

p∥C0(R,L2(0,1)) ≤ C∥g1∥Ck(R,L2(0,1)), k = 0, 1,

∥∂xnv1p∥C0(R,L2(0,1)) ≤ C∥g1∥C1(R,L2(0,1)),

∥∂kt ∂2

xnv1p∥C0(R,L2(0,1)) ≤ C∥g1∥Ck+1(R,L2(0,1)), k = 0, 1.

Setting ρ = ρp + γ−2ϕ and v = vp + w in (1), we arrive at the initial boundary valueproblem for the disturbance u = (ϕ, w):

∂tϕ + v1p∂x1ϕ + γ2div (ρpw) = f0(ϕ,w),

∂tw − νρp

∆w − ν+ν′

ρp∇divw + ∇

[P ′(ρp)γ2ρp

ϕ]

+v1p∂x1w + (∂xnv1

p)wne1 + ν

γ2ρ2p(∂2

xnv1p)ϕe1 = F (ϕ,w),

w|xn=0,1 = 0; u|t=0 = u0 = (ϕ0, w0)T .

Here f0(ϕ,w) and F (ϕ,w) denote the nonlinearities.Our main concern in this talk is the estimates of solutions to the linearized problem,

i.e., problem with f0(ϕ,w) = 0 and F (ϕ, w) = 0.

Theorem There exist constants ν0 > 0, γ0 > 0 such that if ν ≥ ν0 and γ2/(2ν + ν ′) ≥ γ20

then there exists ω0 > 0 such that if ∥g∥C2(R,L2(0,1)) < ω0, then for any u0 = (ϕ0, w0)T ∈

(H1 × L2) ∩ L1(Rn−1; H1(0, 1) × L2(0, 1)) with ∂x′w0 ∈ L2 has a unique solution us(t) =U(t, s)u0 which is decomposed as

U (t, s)u0 = U (0)(t, s)u0 + U (∞)(t, s)u0,

where each term on the right-hand side has the following properties for t− s ≥ 4T , s ≥ 0.

(i)∥∂k

x′∂lxn

U (0)(t, s)u0∥2 ≤ C(t − s)−n−1

4− k

2 ∥u0∥L1(Rn−1;H1(0,1)×L2(0,1)),

∥∂kx′∂l

xn(U (0)(t, s)u0 − σt,su

(0)(t))∥2 ≤ C(t − s)−n−1

4− 1

2− k

2 ∥u0∥L1(Rn−1;H1(0,1)×L2(0,1)),

k, l = 0, 1. Here

σt,s = F−1(e−(iκ0ξ1+κ1|ξ′|2)(t−s)⟨ϕ0⟩

),

where u(0)(t) = u(0)(xn, t) is some time-periodic function, F−1 denotes inverse Fouriertransform in ξ′, ⟨ϕ0⟩ =

∫ 10 F (ϕ0)(ξ′, xn)dxn and κ0 ∈ R, κ1 > 0 are some constants.

(ii)∥∂l

xU(∞)(t, s)u0∥2 ≤ Ce−d(t−s)(∥u0∥H1×L2 + ∥∂x′w0∥2),

ℓ = 0, 1, for some positive constant d.

ナビエストークス方程式における一方向を流線とする定常流の構造

古賀満

神戸大学大学院海事科学研究科

E-mail: mitsurukoga951@fastmail.jp

ナビエストークス方程式における一方向を流線とする定常流の構造解析を目的とする。特に1点から出る放射状の直線を流線とする 2次元定常流の構造解析をおこなう。このため、ナビエストークス方程式と連続の方程式を極座標 (r, θ)表示を使用して解析をおこなう。 (ur, uθ)を放射方向、角度方向の流速とすれば、放射流のナビエストークス方程式と連続の方程式から

uθ = 0 かつ、ur =νF (θ)

rと表わされ、F (θ) は周期

2π

m(m = 1, 2, 3, · · · ) の関数となり次の方

程式を満たすことが分かる。F (θ)2 + F ′′(θ) + 4F (θ) = C. (1)

ここで ν は粘性 を表わし、Cは圧力に関係する定数項である。我々の目的は、微分方程式 (1)の周期解の存在と構造を調べ放射状の直線を流線とする 2次元定常流の構造を明らかにすることである。この周期解の解の個数と、振幅の大きさと定数 C の関係が、密接に関係しており、これを解明すれば、放射状流の構造解析ができたことになる。最初に式 (1)に F ′(θ)をかけ積分する。ただし初期値を F (0) = α−とし、さらに

H(F (θ)) = 2CF (θ)− 2

3F (θ)3 − 4F (θ)2

とする。その場合式 (1)は (dF (θ)

dθ

)2

= H(F (θ))−H(α−) (2)

と表すことができる。ここで、α− は周期解の最小値とする。また、H(F (θ))は３次方程式であるので解の組み合わせは３単根、１重根と１単根、１重根の場合が考えられるが、周期解を持つ為には３単根である必要がある。この３単解をそれぞれ α+, α−, Bとした場合、α+ > α− > Bであり、式 (2)より α−はH(F ) = 0となる３根の中間に存在しなければならない。すなわちH(F ) = 2CF (θ)− 2

3F (θ)3−4F (θ)2 = 0よりCとα−の関係は(C, α−);−2−

√4 + C <

α− < −2 +√4 + Cと分かる。

式 (2)の F ′と F の相平面図は F 軸対称になっていることを考慮すると、次の楕円積分の値がπ

m(m = 1, 2, · · · ) を満足する定数C と振幅の大きさ（すなわち α−）の関係を見つけることが

本質的な問題となる。 ∫ α+

α−

dF√H(F )− F (α−)

= T (C, α−). (3)

ここで α+は周期解の最大値である。この楕円積分を解析した。その結果、

(m+ 1)4 − 16

4≥ C >

m4 − 16

4(4)

の時、周期2π

n(n = 1, 2, 3, · · · ,m)を満たす、丁度m個の解 F が存在する事が証明された。

この解析の方法として、領域 (C, α−);−2−√4 + C < α− < −2 +

√4 + Cにおいて、Cを固

定して α−を領域境界に動かした時の T の値を求める。

1. limα−→−2−

√4+C

T = ∞

1

2. limα−→−2+

√4+C

T (C,α−)

= limα−→−2+

√4+C

√6

∫ π2

0

dϕ√(1− 1

2sin2 ϕ)

√D + 3

2(α− + 2) sin2 ϕ

=π√

2√4 + C

.

F = α+ cos2 ϕ+α− sin2 ϕと変数変換後計算をしている。また、D = 3(4(4+C)− (α− +2)2)である。

次に T を α−で微分すると、3.∂T

∂α−< 0である。

これら 1, 2, 3の計算結果より、もしπ√

2√4 + C

<π

mであれば、中間値の定理より T =

π

mで

ある解がただ一つ存在することが証明される。

また数値積分により式 (3)を解析した結果、次の図のように任意のCに対してある周期的な放射状流が存在する為の初期値 α−がただひとつ定まることが分かった。

参考文献

[1] 巽友正　流体力学　培風館 284p

本研究は丸尾健二先生との共同研究である。

2

On uniqueness of solutions to the stationary Navier-Stokesequations in exterior domains

中塚　智之　（なかつか　ともゆき）

名古屋大学大学院多元数理科学研究科

E-mail: m09033b@math.nagoya-u.ac.jp

1 Introduction

Ωを滑らかな境界を持つ３次元外部領域とし, 非圧縮粘性流体の運動を記述する定常 Navier-Stokes方程式

−∆u+ u · ∇u+ ∇p = div F in Ω,

div u = 0 in Ω,

u = 0 on ∂Ω,

u(x) → 0 as |x| → ∞,

(NS)

を考える. ここで, u = (u1, u2, u3)と pはそれぞれ流体の速度ベクトルと圧力を表す未知関数であり, div F を与えられた外力とする. 本講演では (NS)の解の一意性について, 解の一方だけが小さい場合の判定法を述べる.

1 < p < ∞, 1 ≤ q ≤ ∞とする. 関数空間として, Lp,q(Ω)で Lorentz空間を表す. また,homogeneous Sobolev空間 H1

p(Ω)をC∞0 (Ω)のノルム∥∇·∥Lp(Ω)に関する完備化で定義し,実補間

により空間 H1p,q(Ω)を H1

p,q(Ω) := (H1p0

(Ω), H1p1

(Ω))θ,qで定義する. ただし1 < p0 < p < p1 <∞,

0 < θ < 1は 1/p = (1 − θ)/p0 + θ/p1を満たすとする. 特に 1 < p < 3のとき H1p,q(Ω)は

H1p,q(Ω) = u ∈ L3p/(3−p),q(Ω); ∇u ∈ Lp,q(Ω), u = 0 on ∂Ω

と特徴付けられる. 1 ≤ q < ∞ならば, C∞0 (Ω)はノルム ∥∇ · ∥Lp,q(Ω)に関して H1

p,q(Ω)で denseである.

Lp空間の枠組みにおいて, (NS)の非線形項 u · ∇uの評価が閉じるクラスは H13/2(Ω)だけで

あるが, もし u ∈ H13/2(Ω)が (NS)の解ならば, 解 uは∫

∂Ω

(T [u, p] + F ) · ν dS = 0

を満たさなければならないことが知られている. ここで T [u, p] = (∂iuj + ∂jui − δijp)3i,j=1と

する. このため, u ∈ H13/2(Ω)なる (NS)の解を得ることは一般には期待できない. Kozono-

Yamazaki [1]は Lorentz空間を導入することによりこの困難を克服し, 小さな F ∈ L3/2,∞に対して u, p ∈ H1

3/2,∞(Ω)×L3/2,∞(Ω)なる (NS)の解を構成した. 本講演では (NS)の解のクラスとしてKozono-Yamazaki [1]のものを考え, 解の一意性について考察する. 従って, ここでは特に Energy不等式を仮定しないようなクラスでの解の一意性を考える.

Kozono-Yamazaki [1]は, (NS)の解 u, p, v, q ∈ H13/2,∞(Ω) × L3/2,∞(Ω)が与えられたと

き, uと v が共に L3,∞(Ω)で小さければ u, p = v, qとなることを示した. また解の一方だけが小さい場合の一意性の判定法として, 考えている解のクラスは異なるが, Lerayの弱解u, v ∈ H1

2(Ω)について, uに Energy不等式を仮定し, vが L3,∞(Ω)で小さければ u = vという Kozono-Yamazaki [2]の結果が知られている. 非定常 Navier-Stokes方程式の時間周期解が定常解を含むことに注意すると, Taniuchi [3]は u, v ∈ L3,∞(Ω)のいずれか一方が小さく, かつu, v ∈ L6,2(Ω)ならば u = vであることを証明した.

1

2 Main Result

「解の一方が小さいという条件のみで一意性が成り立つか？」という問題を念頭に置き, 解の差w := u− v, π := p− qが満たす方程式

−∆w + w · ∇u+ v · ∇w + ∇π = 0 in Ω,

div w = 0 in Ω,

w = 0 on ∂Ω,

(W)

だけでなく, そのDual方程式−∆ψ −

3∑i=1

ui∇ψi − v · ∇ψ + ∇χ = f in Ω,

div ψ = 0 in Ω,

ψ = 0 on ∂Ω,

(D)

を考える. (W)の解の一意性と (D)の可解性の間の双対関係は重要であり, 上記の問題を考える上で重要な役割を持つことが期待される. (W)と (D)の解を定義する弱形式において testfunctionとしてψとwをそれぞれ取り合うことによりw = 0を示したいのであるが, C∞

0 (Ω)はH1

3/2,∞(Ω)で denseではないので, test functionとしてwを直接取ることはできない. 上記の問題に対しては部分的な結果となるが, この困難を克服するために解に若干の正則性を仮定することにより, 定常解に制限した場合ではあるもののTaniuchi [3]ではカバーされていない次の定理を得ることが出来た.

定理 2.1. u, p, v, q ∈ H13/2,∞(Ω) × L3/2,∞(Ω)を (NS)の解とする. ある定数 δ > 0が存在

して∥u∥L3,∞(Ω) ≤ δ

であり, 更にある r > 3に対してu, v ∈ Lr(Ω)

ならば, u, p = v, qである.

注意 2.2. 定数 δ > 0は Lorentz空間における Holderの不等式と埋め込み L6/5,2(Ω) ⊂ H12(Ω)∗

によって決定される定数であり, Ωには依存しない. ここで, H12(Ω)∗は H1

2(Ω)のDual spaceを表す.

証明の概略. 任意の r > 3に対し L3,∞(Ω) ∩ Lr(Ω) ⊂ L6(k+1)/(2k+1),2(Ω) なる自然数 kが存在するので, u, v ∈ L6(k+1)/(2k+1),2(Ω)の場合に定理を証明すれば十分である. ∥u∥L3,∞(Ω)の大きさを制限して L2理論により (D)の解 ψ, χ ∈ H1

2(Ω) × L2(Ω)を構成し, 外部領域における Stokes方程式の解の正則性に関する定理を用いた bootstrap argumentによって, この解について上記の duality argumentを行うに必要な正則性を得る.

参考文献

[1] H. Kozono, M. Yamazaki, Exterior problem for the stationary Navier-Stokes equations inthe Lorentz space, Math. Ann. 310 (1998), 279-305.

[2] H. Kozono, M. Yamazaki, Uniqueness criterion of weak solutions to the stationary Navier-Stokes equations in exterior domains. Nonlinear Anal. Ser. A: Theory and Methods 38(1999), 959-970.

[3] Y. Taniuchi, On the uniqueness of time-periodic solutions to the Navier-Stokes equationsin unbounded domains, Math. Z. 261 (2009), 597-615.

2

Lower bound of L2 decay of the Navier-Stokes equationsin the half space Rn

+

岡部考宏（おかべ たかひろ）

東北大学大学院理学研究科数学専攻

E-mail: sa6m08@math.tohoku.ac.jp

1 Introduction

n ≥ 3 とする. 半空間 Rn+ := (x1, . . . , xn) ∈ Rn ; xn > 0 上の Navier-Stokes 方程式に対する

弱解の時間大域的挙動について考察する.

∂u

∂t−∆u+ u · ∇u+∇p = 0 in Rn

+ × (0,∞)

div u = 0 in Rn+ × (0,∞)

u = 0 on ∂Rn+ × (0,∞)

u(0) = a in Rn+,

(N-S)

ここで, u = u(x, t) = (u1(x, t), . . . , un(x, t)) と p = p(x, t) はそれぞれ流体の速度と圧力を表す未知関数であり, a = a(x) = (a1(x), . . . , an(x)) は与えられた初期値とする.

(N-S) に対する弱解のエネルギー減衰, 即ち L2-ノルムの時間減衰に関する結果は, これまで数多くの研究がなされている. 特に次の強エネルギー不等式 :

∥u(t)∥22 +∫ t

s

∥∇u(τ)∥22 dτ ≤ ∥u(s)∥22, a.e. s ≥ 0, s = 0 for all t ≥ s (1)

を満たす弱解の範疇では, 解のエネルギーの時間減衰が示されており, 様々な領域で線形のStokes 流 e−tAa の Lr-L2 評価と同じ指数で時間減衰することが明らかにされている．我々は (N-S) の弱解の時間大域的挙動を Stokes 作用素 A のスペクトルに着目し, 次の漸近

挙動を考える.∥Eλu(t)∥2∥u(t)∥2

→ 1 as t → ∞ (2)

ここで Eλ は Stokes 作用素 A に対するスペクトル射影作用とする. 特に領域が全空間の場合には, Eλu(ξ) = χ|ξ|≤

√λu(ξ) となるので, Eλu は u の所持する低周波部分を表していること

がわかる. 即ち, (2)は解 u(t) の低周波部分のエネルギーが総エネルギーに対して支配的になることを意味している.先行する結果 [4]では,全空間の場合に, (2)が成り立つような初期値の特徴付けに成功し, 次

の集合を導入した:Km

α,δ(Rn) = ϕ ∈ L2(Rn) ; |ϕ(ξ)| ≥ α|ξ|m, |ξ| ≤ δ m ≥ 0, α, δ > 0. (3)

このKmα,δ(Rn)は (N-S) の弱解のエネルギー減衰の下からの評価を導く上で重要な役割を果た

している. また, [4] では, 散逸の影響による上からの減衰評価に加えて, 下からの評価を確立することにより (2)を証明した.本講演では, 半空間において (2) が成り立つ為の条件を初期値の性質により特徴付けるこ

とを目標とする. 全空間での考察を基にすると, 弱解のエネルギー減衰の下からの評価を与えるような初期値の特徴付けが重要である. この目的の為, (3) を拡張したものを導入する :

Tmα,γ,δ(Rn) := ϕ ∈ L2(Rn) ; |ϕ(ξ)| ≥ α|ξn|m, |ξn| ≤ γ, |ξ′| ≤ δ, m ≥ 0, α, γ, δ > 0,

ここに ξ = (ξ′, ξn) とする. 以下, この Tmα,γ,δ(Rn) を用いて初期値 a ∈ L2

σ(Rn+) は次の条件を満

たすものを考える.(A1) a(x) = (a′(x), 0), ここに a′(x) ∈ Rn−1.

(A2) a′(x) = a′(x′, xn) = (a1(x′)η(xn), . . . , an−1(x′)η(xn)) =: a′′(x′)η(xn). ここに η ∈ Lr(R), (1 <

∀r ≤ 2)を奇関数で |ξ| ≤ δに対し |η(ξ)| ≥ C なるものとする.

(A3) a′ ∈ Tmα,γ,δ(Rn−1)

1

2 Main Results

我々は以下の結果を得た.

定理 2.1. 次元をn ≥ 3とし, 指数 r と mを次の (i)又は (ii)のいずれかを満たすものとする.

(i) 1 < r ≤ 2n(n+ 2), 0 ≤ m < 1,

(ii) 2n(n+ 2) < r < 2n/(n+ 1), 0 ≤ m < 2n/r − n− 1.

このとき上記の m と或る α, γ, δ > 0に対して a ∈ L2σ(Rn

+) ∩ Lr(Rn+) が (A1), (A2) 及び (A3)

を満たすならば, (1) を満たす (N-S) のすべての弱解 u(t) に対して, ある定数 C > 0 と T > 1が存在して次が成り立つ.

∥u(t)∥2 ≥ Ct−n+2m

4 , t ≥ T. (4)

注意 2.2. (4)において, 0 ≤ m < 1のときは, Fujigaki-Miyakawa [1] で得られた下からの評価t−

n+24 を含む, より遅い減衰評価になっている.

定理 2.3. 次元を n = 3, 4 とし, 指数 r と m を

1 < r <n

n− 1, 0 ≤ m <

n

r− n+ 1,

を満たすものとする. もし上記の m と或る α, γ, δ > 0に対して a ∈ L2σ(Rn

+) ∩ Lr(Rn+) が (A1),

(A2) 及び (A3) を満たすならば, (1) を満たす (N-S) のすべての弱解 u(t) に対して, ある定数C > 0 と T > 1 が存在して次が成り立つ.

∥Eλu(t)∥2∥u(t)∥2

≤ C

λt−(n

r−n+1−m), for all λ, for all t ≥ T. (5)

参考文献

[1] Y. Fujigaki and T. Miyakawa, Methods Appl. Anal., 8(2001), pp. 121–157.

[2] Y. Fujigaki and T. Miyakawa, Int. Math. Ser. (N. Y.), Kluwer/Plenum, New York, 2002,pp. 91–120.

[3] R. Kajikiya and T. Miyakawa, Math. Z., 192 (1986), 135–148.

[4] T. Okabe, J. Differential Equations, 246(2009), pp. 895–908.

[5] S. Ukai, Comm. Pure Appl. Math., 40 (1987), 611–621.

[6] M. Wiegner, J. London Math. Soc. (2), 35 (1987), 303–313.

2

Maximal domain of analyticity for C0-semigroups

generated by elliptic operators1

側島　基宏（そばじま　もとひろ）

東京理科大学大学院　理学研究科数学専攻 D2

E-mail: j1110706@ed.kagu.tus.ac.jp

1 Introduction. Let 1 < p < ∞ and N ∈ N. Then it is well-known that the analytic

C0-semigroup ez∆ on Lp = Lp(RN) generated by the Laplacian ∆ is given by

(ez∆f)(x) =1

(4πz)N/2

∫RN

e−|x−y|2

4z f(y) dy, f ∈ Lp(RN), z ∈ Σ(π/2)

and that ‖ez∆‖ ≤ (sin ε)−N/2 for z ∈ Σ(π/2−ε). Here Σ(ψ) := z ∈ C; z 6= 0, | arg z| < ψ.In this connection, Henry [1] observed for the first time that ez∆ is contractive in the sector

(1) Σ(π/2 − tan−1 cp), cp := |p − 2|/(2√

p − 1).

In other words, ez∆ is non-contractive on the maximal domain Σ(π/2) of analyticity. As

for the Schrodinger operator ∆ − V Kato [2] conjectured that ez(∆−V ) has an analytic

continuation onto Σ(π/2), while Okazawa [4] noted that ez(∆−V ) is contractive in the

same sector (1). Later, Kato’s conjecture is affirmatively solved by Ouhabaz [5]; note

that ez(∆−V ) is also non-contractive on the maximal domain Σ(π/2).

In this talk we consider the maximal domain of analyticity for C0-semigroups on Lp

generated by second order elliptic operators of the general formApu := − div(a∇u) − F · ∇u + V u

= −N∑

j,k=1

∂

∂xk

(ajk

∂u

∂xj

)−

N∑j=1

Fj∂u

∂xj

+ V u,

u ∈ D(Ap) := u ∈ Lp(RN) ∩ W 2,ploc (RN) ; div(a∇u), F · ∇u, V u ∈ Lp(RN),

where ajk ∈ C1(RN)∩W 1,∞(RN), Fj ∈ C1(Ω) and V ∈ L∞loc(Ω) are real-valued coefficients

and the choice of Ω = RN or Ω = RN \0 depends on the location of the singularities of F

and V . Recently, Metafune-Pallara-Pruss-Schnaubelt [3] established that −Ap generates

a C0-semigroup e−zAp on Lp and e−zAp is analytic and contractive in the sector (1) with

cp replaced with

cp,κ,θ =

√(p − 2)2

4(p − 1)+

κ2

4(1 − θp)

(for κ and θ see the conditions on the next page). In this context, we would like to pose

the following question:

In the case where F 6≡ 0, does e−zAp admit an analytic continuation?

1This is a joint work with Professors Noboru Okazawa and Tomomi Yokota (Tokyo University ofScience) and Professor Giorgio Metafune (University of Salento).

The purpose of this talk is to show that e−zAp admits a non-contractive analytic

continuation to some sector wider than the generalized sector Σ(π/2 − tan−1 cp,κ,θ).

2 Result. Now we introduce the following conditions on the triplet (a, F, V ):

(A1) ta = a ∈ C1∩W 1,∞(RN ; RN×N) and ∃ν > 0 s.t. 〈a(x)ξ, ξ〉 ≥ ν|ξ|2, x ∈ RN , ξ ∈ CN ;

(A2) ∃U ∈ C1(Ω; R), ∃ b1 ≥ 1, ∃ γ > 0, ∃Cγ ≥ 0 s.t.

0 ≤ U ≤ V ≤ b1U, 〈a∇U,∇U〉1/2 ≤ γU3/2 + Cγ,

in particular, if Ω = RN \ 0 then U(x) is assumed to tend to infinity as x → 0;

(A3) F ∈ C1(Ω; RN) and ∃ θ ∈ [0, 1) s.t. div F + θU ≥ 0;

(A4) ∃κ ≥ 0 s.t. |F · ξ| ≤ κU1/2〈a ξ, ξ〉1/2, ξ ∈ CN .

The following assertion on the analytic continuation is divided into two cases depend-

ing on the location of the singularities.

Theorem. (i) Let 1 < p < ∞. Assume that (A1)–(A4) are satisfied with Ω = RN and

(2)θ

p+ (p − 1)γ

(κ

p+

γ

4

)< 1.

Then e−zAp admits a non-contractive analytic continuation to the sector

(3) Σ(π/2 − tan−1 Kκ,θ),

where Kκ,θ := inf1<q<∞

cq,κ,θ.

(ii) Let 1 < p < ∞. Assume that (A1)–(A4) are satisfied with Ω = RN \ 0 and (2).

Then −Ap generates a non-contractive analytic C0-semigroup on Lp in the sector (3).

Remark. We can construct an example showing that the angle of analyticity coincides

with the angle of contractivity. The example is given by the one-dimensional Ornstein-

Uhlenbeck operator d2

dx2 − x ddx

in Lp (with respect to the invariant measure e−x2/2dx).

Corollary. In particular, if F ≡ 0, then e−zAp is analytic on the maximal domain Σ(π/2).

References

[1] D. Henry, “Geometric Theory of Semilinear Parabolic Equations,” Lecture Notes in Mathe-matics 840, Springer-Verlag, Berlin-New York, 1981.

[2] T. Kato, Lp-theory for Schrodinger operators with a singular potential, Aspects of Positivityin Functional Analysis (Tubingen, 1985), 63–78, Math. Stud. 122, North-Holland, Amster-dam, 1986.

[3] G. Metafune, D. Pallara, J. Pruss, R. Schnaubelt, Lp-theory for elliptic operators on Rd withsingular coefficients, Z. Anal. Anwendungen 24 (2005), 497–521.

[4] N. Okazawa, Lp-theory of Schrodinger operators with strongly singular potentials, Japan. J.Math. 22 (1996), 199–239.

[5] E. M. Ouhabaz, Gaussian estimates and holomorphy of semigroups, Proc. Amer. Math. Soc.123 (1995), 1465–1474.

反応拡散方程式系の解の漸近挙動について

五十嵐 威文（いがらし たけふみ）

日本大学 理工学部・一般教育教室 数学系列

E-mail: igarashit@penta.ge.cst.nihon-u.ac.jp

1 Introduction

次の反応拡散方程式系の初期値問題について考察する：∂tu = ∆u + tq1|x|σ1vp1 , x ∈ Rn, t > 0,∂tv = ∆v + tq2 |x|σ2up2 , x ∈ Rn, t > 0,u(x, 0) = u0(x) ≥ 0, x ∈ Rn,v(x, 0) = v0(x) ≥ 0, x ∈ Rn,

(1)

但し，p1, p2 ≥ 1，p1p2 > 1，q1, q2, σ1, σ2 ≥ 0である。BC(Rn)をRnにおける有界な連続関数の空間とする。a ≥ 0に対して，次の関数空間を定

義する：

Ia =

w ∈ BC(Rn); w(x) ≥ 0, lim sup

|x|→∞|x|aw(x) < ∞

,

Ia =

w ∈ BC(Rn); w(x) ≥ 0, lim inf

|x|→∞|x|aw(x) > 0

,

L∞a =

w ∈ L∞(Rn); w(x) ≥ 0, ∥w∥∞,a ≡ ess.sup

x∈Rn

⟨x⟩a|w(x)| < ∞

,

但し，⟨x⟩ = (1 + |x|2)1/2である。このとき，Ia ⊂ L∞a を満たす。

δ1 =σ1 + σ2p1

p1p2 − 1, δ2 =

σ2 + σ1p2

p1p2 − 1,

α1 =(2 + σ1 + 2q1) + (2 + σ2 + 2q2)p1

p1p2 − 1, α2 =

(2 + σ2 + 2q2) + (2 + σ1 + 2q1)p2

p1p2 − 1

とおく。この初期値問題 (1)に対して，(u0, v0) ∈ Iδ1 × Iδ2ならば，時間局所解 (u(·, t), v(·, t)) ∈L∞

δ1× L∞

δ2が一意的に存在する。

第 26～29回発展方程式若手セミナーでは、(1)の時間大域解の存在・非存在について報告したが、それらををまとめると、次の定理A, Bのようになる。

定理A. （時間大域解の非存在）(u0, v0) ∈ Iδ1 × Iδ2 かつ (u0, v0) ≡ (0, 0)とする。次の 3つの条件のうち，いずれか１つを満たすとする;(i) maxα1, α2 ≥ n(ii) u0 ∈ Ia1 with a1 < α1 または v0 ∈ Ia2 with a2 < α2

(iii) ある ν0 > 0および十分大きなM > 0に対して，u0(x) or v0(x) ≥ M exp (−ν0|x|2)このとき，(1)の解は時間大域的ではない。

定理B. （時間大域解の存在）

maxα1, α2 < n, (2)

かつ(u0, v0) ∈ Ia1 × Ia2 with a1 > α1, a2 > α2 (3)

1

を満たすとする。∥u0∥∞,a1 および ∥v0∥∞,a2 が十分小さいとする。このとき，(1)の解は時間大域的である。さらに，Rn × (0,∞)において，

u(x, t) ≤ Cet∆⟨x⟩−a1 , v(x, t) ≤ Cet∆⟨x⟩−a2 (4)

を得る。ここで，Cは正の定数で，作用素 et∆は

et∆w(x) = (4πt)−n2

∫Rn

exp

(−|x − y|2

4t

)w(y)dy. (5)

で定義する。

本講演では，t → ∞のときの時間大域解の挙動について報告する。

2 Main Results

時間大域解の漸近挙動に関して，次の定理を得た。

定理 1. (u(x, t), v(x, t))を (1)の時間大域解とする。(3)の a1 < nかつ

lim|x|→∞

|x|a1u0(x) = A1 > 0 (6)

ならば， t → ∞のとき，Rnに関して一様に

ta1/2∣∣u(x, t) − A1e

t∆|x|−a1∣∣ → 0 (7)

となる。a2 < nかつlim

|x|→∞|x|a2v0(x) = A2 > 0, (8)

ならば，t → ∞のとき，Rnに関して一様に

ta2/2∣∣v(x, t) − A2e

t∆|x|−a2∣∣ → 0 (9)

となる。

定理 2. (u(x, t), v(x, t))を (1)の時間大域解とする。(3)の a1 > nならば，t → ∞のとき，x ∈ Rn; |x| ≤ Rt1/2 (R > 0)に関して一様に

tn/2∣∣∣u(x, t) − M1(4πt)−n/2e−|x|2/4t

∣∣∣ → 0 (10)

となる。但し，

M1 =

∫Rn

u0(x)dx +

∫ ∞

0

∫Rn

tq1 |x|σ1v(x, t)p1dxdt < ∞. (11)

である。a2 > nならば，t → ∞のとき，x ∈ Rn; |x| ≤ Rt1/2 (R > 0)に関して一様に

tn/2∣∣∣v(x, t) − M2(4πt)−n/2e−|x|2/4t

∣∣∣ → 0 (12)

となる。但し，

M2 =

∫Rn

v0(x)dx +

∫ ∞

0

∫Rn

tq2 |x|σ2u(x, t)p2dxdt < ∞. (13)

である。

参考文献

[1] T. Igarashi, Asymptotic behavior of solutions for a weakly coupled system of reaction-diffusion equations, Bulletin of department of general education, College of Science andTechnology, Nihon University 90 (2011) （日本大学理工学部 一般教育教室彙報 第 90号2011年）, to appear.

[2] T. Igarashi and N. Umeda, Existence and nonexistence of global solutions in time for areaction-diffusion system with inhomogeneous terms, Funkcialaj Ekvacioj 51 (2008), 17–37.

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