, Pesquisa Operacional Programação Linear Solução Gráfica.
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,
Pesquisa Operacional
ProgramaçãoLinear
Solução Gráfica
,
Áreas de Aplicação
Solução Gráfica
Exercícios Básicos
Agenda
Referência:
LACHTERMACHER, Gerson. Pesquisa operacional na tomada de decisões. Rio de Janeiro: Campus, 2005.
ProgramaçãoLinear
Solução Gráfica
, Programação Linear
Áreas de Aplicação
Administração da Produção Análise de Investimentos Alocação de Recursos Limitados Planejamento Regional Logística
Custo de transporte Localização de rede de distribuição
Alocação de Recursos em Marketing entre diversos meios de comunicação.
Administração da Produção Análise de Investimentos Alocação de Recursos Limitados Planejamento Regional Logística
Custo de transporte Localização de rede de distribuição
Alocação de Recursos em Marketing entre diversos meios de comunicação.
, Programação Linear
Problema na Forma Padrão
Existem 4 características para um problema na forma padrão: A função objetivo é de Maximizar; As restrições têm sinal de menor ou igual; As constantes de todas as restrições são não
negativas; As variáveis podem assumir valores não
negativos.
, Programação Linear
Problema na Forma Padrão
Forma Padrão
0,
60020180
2042
max
21
21
21
xx
xx
xx
0,
60020180
2042
max
21
21
21
xx
xx
xx
21 xx 21 xx
Restrições:
Função Objetivo
, Programação Linear
Problema na Forma Padrão
Forma Não Padrão
Restrições:
Função Objetivo
0,
60020180
2032
2min
21
21
21
21
xx
xx
xx
xx
, Programação Linear
Solução Ótima
A Solução Ótima é uma solução viável especial.
Dentre todas as soluções viáveis, aquela(s) que produzir(em) o valor da função objetivo otimizado é chamada de ótima;
A grande questão é como determinar a solução ótima.
, Programação Linear
Solução Gráfica
Quando o problema envolve apenas duas variáveis de decisão, a solução ótima de um problema de programação linear pode ser encontrada graficamente.
Quando o problema envolve apenas duas variáveis de decisão, a solução ótima de um problema de programação linear pode ser encontrada graficamente.
Max Z x x 5 21 2
1
x (b)42
x x (c) 2 91 2
s r x (a)3. .
x x (d) 0 01 2,
, Programação Linear
Solução Gráfica
21 4
1
2
x13
x2
x 4 23
4
x 3 1
x0 1
x0 2
, Programação Linear
Solução Gráfica
x 42
92 12 xx
121
29
2 xx
x 31
x1
92 21 xx
x 01
x 02
x2
(3,0)(0,0)
(0,4)(3,4)
Limite
Reta92 21 xx
121
29
2 xx Região Limitada
(1,4)
(3,3)
, Programação Linear
Solução Gráfica
x2
x1
(0,4)(1,4)
(0,0) (3,0)
SoluçãoViável
(3,3)
21 2510 xxZ
= Solução Ótima
21 2521 xxZ
(3,3)21 250 xxZ
(0,0)
, Programação Linear
Exercício 1 Considere o seguinte o problema de Programação
Linear:
Encontre a solução ótima.
0,
2446
1242 ..
33
21
21
21
21
xx
xx
xxrs
xxMax
, Programação Linear
Exercício 1
(0,0)
1
2
0 1 2 3 4 5 6
3
x2
02 x
01 x x1
(0,3)
(6,0)
1242 21 xx
(4,0)
(0,6)
2446 21 xx5
4
6
7
, Programação Linear
Exercício 1
1
2
0 1 2 3 4 5 6
3
x2
x1
5
4
6
7
2446 21 xx
1242 21 xx
O valor máximo de
será no ponto onde
as duas retas se cruzam.
33 21 xx
, Programação Linear
Exercício 1
:(1) em se-doSubstituin
:equação 1ª na se-doSubstituin
(1)
:sistema o se-Resolvendo
32/66)2/3(26
2/34/664122618
122)26(3
2662
1223
621242
12232446
1
2222
22
2121
21
2121
2121
x
xxxx
xx
xxxx
xx
xxxx
xxxx
, Programação Linear
Exercício 1
Z. maximiza que valor o se-Tem
:objetivo função na valores estes se-doSubstituin
:retas duas das cruzamento de ponto o então se-Tem
5,132/99)2/3(3)3(333
2/3
3
21
2
1
xx Z
x
x
, Programação Linear
Exercício 1
1
2
0 1 2 3 4 5 6
3
x2
x1
5
4
6
7
21 330 xxZ
21 336 xxZ 21 335,13 xxZ
2446 21 xx
1242 21 xx
, Programação Linear
Exercício 2
Max 4x1 + 3x2
s.r.x1 + 3x2 72x1 + 2x2 8x1 + x2 3x2 2x1, x2 0
Resolva utilizando o método gráfico.
, Programação Linear
Exercício 2
x2 2
x1 + x2 3
2x1 + 2x2 8
x1 + 3x2 7
x2
x1
4x1 + 3x2
, Programação Linear
Exercício 2
Solução Ótima
x2
x1
, Programação Linear
Exercício 3Max 4x1 +
8x2
s.r.3x1 + 2x2
18x1 + x2 5x1 4x1, x2 0
Resolva utilizando o método gráfico.
, Programação Linear
Exercício 3
4x1 + 8x2
3x1 + 2x2 18
x1 + x2 5
x1 4
, Programação Linear
Exercício 3
Solução Ótima
, Programação Linear
Exercício 4
Max 21 3xx s.r.
Resolva utilizando o método gráfico.
0,
10216
21
21
xx
xx
304 21 xx
, Programação Linear
Exercício 4
Sem Soluções Viáveis
30421
xx
10216 21 xx
, Programação Linear
O Problema do Pintor
Um Pintor faz quadros artesanais para vender numa feira que acontece todo dia à noite. Ele faz quadros grandes e desenhos pequenos, e os vende por R$5,00 e R$3,00, respectivamente. Ele só consegue vender 3 quadros grandes e 4 quadros pequenos por noite. O quadro grande é feito em uma hora (grosseiro) e o pequeno é feito em 1 hora e 48 minutos (detalhado). O desenhista desenha 8 horas por dia antes de ir para a feira. Quantos quadros de cada tipo ele deve pintar para maximizar a sua receita?
, Programação Linear
O Problema do Pintor
O que o desenhista precisa decidir? O que ele pode fazer para aumentar ou diminuir a
sua receita?
A decisão dele é como usar as 8 horas diárias. Quantos desenhos pequenos e grandes ele deve fazer.
, Programação Linear
O Problema do Pintor
Precisamos traduzir a decisão do Pintor em um modelo de programação linear para resolvê-lo;
Chamemos de x1 e x2 as quantidades de quadros grandes e pequenos que ele faz por dia, respectivamente.
O Objetivo do Pintor é aumentar sua receita ao máximo.
, Programação Linear
O Problema do Pintor
Max Z x x 5 31 2
Função-objetivo Maximizar a receita
1s r x 3. . Restrição de vendas de quadros grandes
x 42 Restrição de vendas de
quadros pequenos
x x 1,8 81 2 Restrição de tempo
x 01 , x 02 Não negatividade
, Programação Linear
O Problema do Pintor
970
135
2
21370
135
2
21
35
350
xx
xxz
xx
xxz
(3 ; 50/18)
, Programação Linear
Minimização
Encontre a solução ótima:
0,
2045
1553
6
5
2 ..
97
21
21
21
2
1
21
21
xx
xx
xx
x
x
xxrs
xxMin
, Programação Linear
Minimização
x11086
51 x
42
62 x
221 xx10
14
12
x2
8
6
4
-2
2
-2
1553 21 xx
2045 21 xx
02 x
01 x
, Programação Linear
Minimização
117415
197
2
2165415 97
xx
xxz
197
2
21 970
xx
xxz
(40/13,15/13)
, Programação Linear
Restrições Redundantes
Uma restrição é dita redundante quando a sua exclusão do conjunto de restrições de um problema não altera o conjunto de soluções viáveis deste.
É uma restrição que não participa da determinação do conjunto de soluções viáveis.
Existe um outro problema sem essa restrição com a mesma solução ótima.
, Programação Linear
Restrições Redundantes
Considere o problema
0,
2045
1553
6
5
12
2 ..
106
21
21
21
2
1
21
21
21
xx
xx
xx
x
x
xx
xxrs
xxMin
, Programação Linear
Restrições Redundantes
x11086
51 x
42
62 x
221 xx10
14
12
x2
8
6
4
-2
2
-2
1553 21 xx
2045 21 xx
02 x
01 x
12 21 xx
Restrição Redundante
, Programação Linear
Soluções Múltiplas
Encontre a solução ótima:
0,
2045
1553
6
5
2 ..
106
21
21
21
2
1
21
21
xx
xx
xx
x
x
xxrs
xxMin
, Programação Linear
Soluções Múltiplas
x11086
51 x
42
62 x
221 xx10
14
12
x2
8
6
4
-2
2
-2
1553 21 xx
2045 21 xx
02 x
01 x
SoluçõesMúltiplas
, Programação Linear
Solução Ilimitada
Encontre a solução ótima:
0,
2045
1553
6
2 ..
106
21
21
21
2
21
21
xx
xx
xx
x
xxrs
xxMax
, Programação Linear
Solução Ilimitada
x1108642
62 x
221 xx10
14
12
x2
8
6
4
-2
2
-2
1553 21 xx
2045 21 xx
02 x
01 x
Cresce indefinidamente
, Programação Linear
Solução Inviável
Um problema de programação linear é dito inviável quando o conjunto de soluções viáveis é vazio.
Considere o problema
0,
20
12 ..
21
21
21
21
xx
xx
xxts
xxMax
, Programação Linear
Solução Inviável
2021 xx
-2-2
2
4
6
8
10
12
14
2 4 6 8 10
12 21 xx
x2
x1
Conjunto de Soluções Viáveis é vazio
, Programação Linear
Caso Alumilâminas S/A A indústria Alumilâminas S/A iniciou suas operações
em janeiro de 2001 e já vem conquistando espaço no mercado de laminados brasileiro, tendo contratos fechados de fornecimento para todos os 3 tipos diferentes de lâminas de alumínio que fabrica: espessura fina, média ou grossa. Toda a produção da companhia é realizada em duas fábricas, uma localizada em São Paulo e a outra no Rio de Janeiro.
Segundo os contratos fechados, a empresa precisa entregar 16 toneladas de lâminas finas, 6 toneladas de lâminas médias e 28 toneladas de lâminas grossas.
Devido à qualidade dos produtos da Alumilâminas S/A, há uma demanda extra para cada tipo de lâmina.
, Programação Linear
Caso Alumilâminas S/A A fábrica de São Paulo tem um custo de produção
de R$ 100.000,00 para uma capacidade produtiva de 8 toneladas de lâminas finas, 1 tonelada de lâminas médias e 2 toneladas de lâminas grossas por dia.
O custo de produção diário da fábrica do Rio de Janeiro é de R$ 200.000,00 para uma produção de 2 toneladas de lâminas finas, 1 tonelada de lâminas médias e 7 toneladas de lâminas grossas.
Quantos dias cada uma das fábricas deverá operar para atender os pedidos ao menor custo possível? (resolva pela análise gráfica – deslocamento da função objetivo).
, Programação Linear
Caso Alumilâminas S/A
Variáveis de Decisão
X1 – Quantos dias de funcionamento da Fábrica
de São Paulo
X2 – Quantos dias de funcionamento da Fábrica
do Rio de Janeiro
Função-Objetiva
Minimizar Custo de Produção (mil R$) =
, Programação Linear
Caso Alumilâminas S/A
Restrições de Demanda Placas Finas
Placas Médias
Placas Grossas
Restrições de Não Negatividade
162821
xx
611 21 xx
287221
xx
0, 21xx
, Programação Linear
Caso Alumilâminas S/A - Modelo
0,
2872
6111628
200100
21
21
21
21
21
xxxx
xxxx
xxMin
(2)
(1)
(3)
, Programação Linear
Caso Alumilâminas S/A - Modelo
(2) (1)(3) FunçãoObjetivo
, Programação Linear
Caso Alumilâminas S/A - Modelo
Z = 920x1 = 14/5 e x2 = 16/5
(2) (1)(3) FunçãoObjetivo
, Programação Linear
Caso Esportes Radicais S/A
A Esportes Radicais S/A produz pára-quedas e asa-deltas em duas linhas de montagem.
A primeira linha de montagem tem 100 horas semanais disponíveis para a fabricação dos produtos, e a segunda linha tem um limite de 42 horas semanais.
Cada um dos produtos requer 10 horas de processamento na linha 1, enquanto que na linha 2 o pára-quedas requer 3 horas e a asa-delta requer 7 horas.
, Programação Linear
Caso Esportes Radicais S/A
Sabendo que o mercado está disposto a comprar toda a produção da empresa, bem como que o lucro pela venda de cada pára-quedas é de R$ 60,00 e o lucro para cada asa-delta vendida é R$ 40,00, encontre a programação de produção que maximize o lucro da Esportes Radicais S/A. (resolva pela análise gráfica – deslocamento da função objetivo).
, Programação Linear
Caso Esportes Radicais S/A
Variáveis de Decisão
X1 – Quantidade de Pára-Quedas a serem
produzidos
X2 – Quantidade de Asa Deltas a serem
produzidos
Função-Objetiva
Max 60x1 + 40x2
, Programação Linear
Caso Esportes Radicais S/A
Restrição de Produção
Linha 1
Linha 2
Restrição de Não Negatividade
100101021 xx
427321 xx
0,21xx
, Programação Linear
Caso Esportes Radicais S/A - Modelo
0,4273
10010104006
21
21
21
21
xxxx
xxxxMax
(1)
(2)
, Programação Linear
Caso Esportes Radicais S/A - Modelo
Z = 600x1 = 10 , x2 = 0
(1)
(2)
Função Objetivo