运筹学（ O.R. ）

Operations Research

运筹学是应用分析、试验、量化的方法，对经济管理系统中的人力、物力、财力等资源进行统筹安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现最有效的管理。

中国古代运筹学思想：

齐王赛马丁渭修皇宫沈括运粮

•防空系统•商船护航

运筹学的产生：

运筹学发展三阶段：•创建时期（ 45 年至 50 年代初）

1948 年 英国成立“运筹学”俱乐部1948 年 麻省理工学院 介绍运筹学1950 年 伯明翰大学开设运筹学课程1952 年 卡斯大学 设立运筹学硕士和博士学位1947 年 丹捷格 提出单纯形法50 年代初 计算机求解线性规划获得成功

•成长时期（ 50 年代初至 50 年代末）多个国家成立运筹学会，多种运筹学刊物问世

1957 年 在牛津大学召开第一次国际运筹学会议1959 年 成立国际运筹学联合会

•迅速发展时期（ 60 年代以来）运筹学进一步分为各个分支，更多运筹学出版物运筹学课程纳入教学计划

我国运筹学发展历程：

•1956 年 运筹学小组•1958 年 运筹学研究室•1960 年 应用运筹学经验交流会议•1962 年 全国运筹学专业学术会议•1978 年 全国运筹学专业学术会议•1980 年 成立中国运筹学学会

国际著名运筹学刊物：

•Management Science•Operations Research•Interfaces•Journal of Operational Research Society•European Journal of Operations Research

运筹学的分支 :

•线性规划（ linear programming ）•非线性规划（ nonlinear programming ）•动态规划（ dynamic programming ）•图论与网络分析（ graph theory and network analysis ）•存贮论（ inventory theory ）•排队论（ queueing theory ）•对策论（ game theory ）•决策论（ decision theory ）

运筹学在工商管理中的应用 :

•生产计划：生产作业的计划、日程表的编排、合理下料、 配料问题、物料管理等，追求利润最大化和成 本最小化•库存管理：多种物资库存量的管理，库存方式、库存量等•运输问题：确定最小成本的运输线路、物资的调拨、运输 工具的调度以及建厂地址的选择等•人事管理：对人员的需求和使用的预测，确定人员编制、 人员合理分配，建立人才评价体系等•市场营销：广告预算、媒介选择、定价、产品开发与销售 计划制定等•财务会计：预测、贷款、成本分析、定价、证券管理、 现金管理等

组织 应用 Interfaces 期刊号

每年节支

（美元）

联合航空公司 满足乘客需求前提下,以最低成本进行订票及安排机场工作班次

1-2/1986 600万

Citgo石油 优化炼油程序及产品供应、配送及营销 1-2/1987 7000万

荷马特发展公司 优化商业区和办公楼销售程序 1-2/1987 4000万

AT&T 优化商业用户的电话销售中心选址 1-2/1990 4.06亿

更多销售

标准品牌公司 控制成品库存（制定最优再订购点和订购量，确保安全库存）

12/1981 380万

施乐公司 通过战略调整，缩短维修机器的反应时间和改进维修人员的生产率

11/1975 生产率提高

50%以上

宝洁公司 重新设计北美生产和分销系统以降低成本并加快了市场进入速度

1-2/1997 2亿

法国国家铁路 制定最优铁路时刻表并调整铁路日运营量 1-2/1998 1500万

更多年收入

Delta航空公司 进行上千个国内航线的飞机优化配置来最大化利润 1-2/1994 1亿

IBM 重组全球供应链，保持最小库存同时满足客户需求 1-2/2000 第一年 7.5亿

Merit青铜制品公司 安装统计销售预测和成品库存管理系统，改进客户服务

1-2/1993 更优的服务

学习管理运筹学 :

必须使用相应的计算机软件必须注重于学以致用的原则

要把注意力放在 :

结合实际问题建立运筹学模型解决问题的方案或模型的解中间的计算过程尽可能让计算机软件完成

运筹学的工作步骤：

1．提出和形成问题2．收集资料，确定参数3．建立模型4．模型求解和检验5．解的控制

第一章 线性规划

例 1.1 某厂生产 P 、 Q两种产品，主要消耗 A 、 B 、 C 三种原料，已知单位产品的原料消耗数量等资料如表所示。确定 P 、Q 的产量，使产值最大。

  P Q 原料总量

ABC

150

224

8吨20吨12吨

产品单价 2万元 5万元  

第一节 线性规划的基本概念

设 P 、 Q 的产量分别为 x1 ， x2

0,

124

2025

82

52 max

21

2

21

21

21

xx

x

xx

xx

xxz

数学模型：

例 1.2 某公司打算利用甲、乙、丙三种原料配置一种新型保健饮料，已知每千克原料中两种主要保健成分 A ， B含量及原料单价如表所示。质量标准规定每千克饮料中，营养成分 A ，B 的含量不低于 10 个与 8 个单位。如何制定饮料配方，既满足质量标准又使成本最低？

  甲 乙 丙AB

2010

400

020

单价（元 /千克） 2 2 3

设每千克饮料中原料甲、乙、丙的投入量分别为 x1 ， x2 ， x3千克

数学模型：

0,,

820 10

10 4020

322 min

321

31

21

321

xxx

xx

xx

xxxz

例 1.3 A1 A2 是两个粮库，每月分别可调出粮食30 吨与 40吨，三个粮店 B1 ， B2 ， B3每月需求量分别为 20吨， 25吨与 18吨。粮库与粮店之间每吨粮食的运费如下表所示。要求安排粮食调运方案，在满足需求的前提下使总运费最低。   B1 B2 B3

 

A1

A2

24

36

53

3040

20 25 18  

设从 Ai到 Bj 调运量为 xij

数学模型：

3,2,1 2,1 0

18

25

20

40

30

364532 min

2313

2212

2111

232221

131211

232221131211

jix

xx

xx

xx

xxx

xxx

xxxxxxz

ij

共同特点：（ 1 ）每个行动方案可用一组变量（ x1,…,xn

）的值表示，这些变量一般取非负值；（ 2 ）变量的变化要受某些限制，这些限制条件用一些线性等式或不等式表示；（ 3 ）有一个需要优化的目标，它是变量的线性函数。

1 1 2 2

11 1 12 2 1 1

1 1 2 2

1

max (min)

( , )

( , )

, , 0

n n

n n

m m mn n m

n

z c x c x c x

a x a x a x b

a x a x a x b

x x

(1.1)

(1.2)

(1.3)

njx

mibxa

xcz

j

i

n

jjij

n

jjj

,,2,1 0

,,2,1 ),(

max(min)

1

1

例 1.4 求下列问题的最优解。

0,

124

2025

82

52 max

21

2

21

21

21

xx

x

xx

xx

xxz

x1

x2

x1+2x2=8

5x1+2x2=20

4x2=12

4

3

2

1

01 2 3 5 6

4

5

Q1

Q2

Q3Q4

(3,2.5)

(2,3)

z 的等值线：

2 1

2

5 5

zx x

二、图解法

例 1.5 在例 1.4 中，约束条件不变，而目标函数改为 max z=2x1+4x2

x1

x2

x1+2x2=8

5x1+2x2=20

4x2=12

4

3

2

1

01 2 3 5 6

4

5

Q1

Q2

Q3Q4

(3,2.5)

(2,3)

全部最优解：αX1+ （ 1－ α ） X2

（ 0≤α≤1 ）

2/5

3 2X

3

21X

例 1.6

0,

2

42-

zmax

21

21

21

21

xx

xx

xx

xx

DA

2

4

x2

x1

B

C

x1 － x2=2

－ 2x1+x2=4

O

例 1.7 在例 1.6 中，约束条件改为

0,

2

42-

21

21

21

xx

xx

xx

第二节 线性规划的标准形式和解的性质 一、 LP 的标准形式

njx

mibxa

xcz

j

i

n

jjij

n

jjj

,,2,1 0

,,2,1

max

1

1

(1.4)

(1.5)

(1.6)

0,,

(min) max

1

2211

22222121

11212111

2211

n

mnmnmm

nn

nn

nn

xx

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

xcxcxcZ

方法：（ 1 ）目标函数求极小：令 z1=－ z ，（ 2 ）某右端常数 bi<0 ，以－ 1乘该约束两端。（ 3 ）约束为“≤”型，左端加非负变量（松弛变量）

约束为“≥”型，左端减去非负变量（剩余变量）（ 4 ）若 xj≤0；令 xj

′=－ xj ，则 xj′≥0；

若 xj无符号限制 ,令 xj=xj′-xj

″,其中 xj′≥0 ， xj

″≥0 。

n

jjj xcz

11 )( max

例 1.8

0,

124

2025

82

52 max

21

2

21

21

21

xx

x

xx

xx

xxz

0,,,,

12 4

20 25

8 2

52 max

54321

52

421

321

21

xxxxx

xx

xxx

xxx

xxz

0,,,,

5 223

2

7

332 max

54''

3'321

''3

'321

5''

3'321

4''

3'321

''3

'3211

xxxxxx

xxxx

xxxxx

xxxxx

xxxxz

无符号约束321

321

321

321

321

,0,

523

2

7

32 min

xxx

xxx

xxx

xxx

xxxz例 1.9

二、 LP的基可行解的概念

0

b

max

X

AX

CXz

决策变量向量： X=(x1 ， x2 ，…， xn)T

价值向量： C=(c1 ， c2 ，…， cn)

资源向量： b=(b1 ， b2 ，…， bm)T

系数矩阵 A= （ aij ） m×n =

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

21

22221

11211

0,,

(min) max

1

2211

22222121

11212111

2211

n

mnmnmm

nn

nn

nn

xx

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

xcxcxcZ

设系数矩阵 A 的秩是 m ，即 A 的 m 个行向量是线性无关的。若 B 是 A 的 m 阶满秩子阵，称 B 为问题的一个基。

B=( P1 ， P2 ，… ， Pm)

对应的变量 ( x1 ， x2 ，… ， xm)称为基变量其它的变量称为非基变量；令非基变量等于 0 ，从方程组可以唯一解出基变量的值，从而得到方程组的一个解，称为基本解；如果它的各个分量非负，即它同时又是可行解，则称之为基可行解，对应的基称为可行基。

三、 LP 解的性质 1.凸集和极点 设 D 为 n维空间的点集，若对任意 X1∈D ， X2 D∈ ，和实数 α （ 0≤α≤1 ），都有 αX1+ （ 1－ α ） X2 D∈ ，则称 D 为凸集。凸集 D 中如果不存在两个不同的点 X1∈D ， X2 D∈ ，使 X=αX1+ （ 1－ α ） X2

（ 0<α<1 ）成立，那么点 X称为极点。

2. 线性规划解的性质

定理 1 线性规划的可行域 R 是凸集。

证 对于 LP max z=CX AX =b X ≥0

设 X1 R∈ ， X2 R∈ ，则有 Xi≥0 ， AXi=b

对于任意 α [0∈ ， 1] ， X=αX1+ （ 1－ α ） X2≥0

AX=A[αX1+ （ 1－ α ） X2]

= αAX1+ （ 1－ α ） AX2

=αb+ （ 1－ α ） b=b故 X R∈ ， R 是凸集。

引理 设 X 是线性规划的可行解，则 X 是基可行解的充分必要条件是 X 的正分量对应的系数列向量是线性无关的。

证 （ 1 ）必要性。由基可行解的定义显然成立。（ 2 ）充分性。不妨设 X 的前 k 个分量为正，若向量 P1,P2,…,Pk 线性无关，则必有 k≤m 。当 k=m 时，它们恰好构成一个基，从而 X 是基可行解。当 k<m时，由于 A 的秩为 m ，从 A 中一定可以再找出 m-k个列向量与 P1,P2,…,Pk 线性无关，共同构成一个基，其对应的解就是 X ，所以 X 是基可行解。

定理 2 X 是线性规划基可行解的充分必要条件是X 是可行域的极点。 证 （ 1 ） X不是基可行解， 则 X不是可行域的极点。不失一般性，假设 X 的前 m 个分量为正，则有

1

bm

j jj

P x

由引理知 P1,P2,…,Pm 线性相关，即存在不全为零的数

( 1, , )i i m 使得 1 1 2 2 0m mP P P

1 1 2 2 0m mP P P

（ 1）

（ 2）

令 min 0jj

j

x

则 0j jx

设1 1 1 2 2( , , , ,0, ,0)T

m mX x x x

2 1 1 2 2( , , , ,0, ,0)Tm mX x x x

则 1 2,X R X R

（ 1 ） + （ 2 ）得：

1 1 1 2 2 2( ) ( ) ( ) bm m mx P x P x P

（ 1 ） - （ 2 ）得：

1 1 1 2 2 2( ) ( ) ( ) bm m mx P x P x P

又 1 2( ) / 2X X X 即 X不是可行域的顶点。

（ 2 ） X不是可行域的极点， 则 X不是基可行解。不失一般性，设 1 2( , , , ,0, ,0)T

rX x x x 不是可行域的极点

存在两个不同的点 ,Y R Z R 有 X=αY+(1－ α)Z

即 (1 ) (0 1; 1, , )j j jx y z j n

因 0,1 0 故 0jx 时 0j jy z

故1 1

=bn r

j j j jj j

P x P x

因1 1

=bn r

j j j jj j

P y P y

1 1

=bn r

j j j jj j

P z P z

（ 1）（ 2）

（ 1 ） - （ 2 ）得：1

( ) =0r

j j jj

y z P

因 Y Z 故 P1,P2,…,Pr 线性相关

定理 3 线性规划如果有可行解，则一定有基可行解；如果有最优解，则一定有基可行解是最优解。证 （ 1 ）不失一般性，假设可行解 X 的前 m 个分量为正。如果 P1,P2,…,Pm 线性无关，则 X 是基可行解。

( 1, , )i i m 使得 1 1 2 2 0m mP P P

令 min 0j kj

kj

x x

则 0j jx

设 1 1 1 2 2( , , , ,0, ,0)Tm mX x x x

2 1 1 2 2( , , , ,0, ,0)Tm mX x x x

则 1 2,X R X R 1 2( ) / 2X X X

若 0k 则 X2比 X少一个正分量，若 X2 的 m-1 个列向量线性无关，则 X2 是基可行解，否则，重复以上过程，

直到找到基可行解为止。

如果线性相关即存在不全为零的数

（ 2 ）设 X0 是最优解，如果它不是基可行解，则有

1 0X X R 2 0X X R

1 0 0( )CX C X CX C

2 0 0( )CX C X CX C

0 0CX CX C 0 0CX CX C

则 0C

0 1 2CX CX CX

故 X1 ， X2也是最优解，如前所述， X1 ， X2 中一定有一个点比 X0少一个正分量。同理，如果 X1 （ X2 ）还不是基可行解，则能找到第三个最优解，其正分量比 X1 （ X2 ）少一个，如此继续下去，一定可以求得一个最优解，它的正分量是线性无关的，即这个最优解为基可行解。

第三节单纯形法一、 单纯形法的解题思路

cj c1 c2 … cm cm+1 … ck … cn

CB XB b x1 x2 … xm xm+1 … xk … xn

c1

c2

cm

x1

x2

xm

b1

b2

bm

1 0 … 0 a1m+1 … a1k … a1n

0 1 … 0 a2m+1 … a2k … a2n

0 0 … 1 amm+1 … amk … amn

σj 0 0 … 0

m

iimim acc

111

m

iikik acc

1

m

iinin acc

1

二、单纯形表

3. 单纯形法的基本法则

法则 1 最优性判定法则

若对基可行解 X1 ，所有检验数 σj≤0 ，则 X1 为最优解。 法则 2 换入变量确定法则

设 ，则 xk 为换入变量。 0max jjj

k

法则 3 换出变量确定法则

lk

lik

ik

i

i a

ba

a

b

0min

例 12 求下列 LP 问题

0,,,,,

108 34

12 42

7 2 3

23 max

654321

6532

432

5321

532

xxxxxx

xxxx

xxx

xxxx

xxxz

Cj 0 -1 3 0 -2 0

CB XB b x1 x2 x3 x4 x5

x

6

0 x1 7 1 3 -1 0 2 0

0 x4 12 0 -2[4]

1 0 0

0 x6 10 0 -4 3 0 8 1

σj 0 -1 3 0 -2 0

0 x1 10 1[5/2

]0 1/4 2 0

3 x3 3 0 -1/2 1 1/4 0 0

0 x6 1 0 -5/2 0 -3/4 8 1

σj 0 1/2 0 -3/4 -2 0

-1 x2 4 2/5 1 0 1/10 4/5 0

3 x3 5 1/5 0 1 3/10 2/5 0

0 x6 11 1 0 0 -1/2 10 1

σj -1/5 0 0 -4/5 -12/5 0

三、 关于单纯形法的补充说明 1. 无穷多最优解与唯一最优解的判别法则若对某可行解 X1 ，（ 1 ）所有检验数 σj≤0 ，且有一个非基变量 x

k 的检验数等于 0 ，则问题有无穷多最优解；（ 2 ）所有非基变量的检验数 σj<0 ，则问题

有唯一最优解。

例 13 讨论线性规划

0,,,

02

1

2 max

4321

421

431

4321

xxxx

xxx

xxx

xxxxz

cj 1 1 2 -1

CB XB b x1 x2 x3 x4

21

x3

x2

10

[1]-1

01

10

-12

σj 0 0 0 -1

11

x1

x2

11

10

01

11

-11

σj 0 0 0 -1

2. 无最优解（无界解）的判定

若对基可行解 X1 ，存在非基变量 xk 的检验数 σk>0 ，但 aik≤0 ， i=1 ， 2 ，…， m 即 xk 的系数列向量无正分量，则问题无最优解。

3. 求 min z 的情况

直接计算最优性检验条件改为：所有 σj≥0 ；

换入变量确定法则改为：如果

则 xk 为换入变量。

例 14 求例 2 中的 LP

kjjj

0min

0,,,,

8 20 10

10 4020

322 min

54321

531

421

321

xxxxx

xxx

xxx

xxxz

5

2

20

1

2

14

1

40

1

2

1

531

421

xxx

xxx

5

2

20

1

2

14

1

40

1

2

1

322 min

531

421

321

xxx

xxx

xxxz

cj 2 2 3 0 0

CB XB b x1 x2 x3 x4 x5

23

x2

x3

1/42/5

[1/2]1/2

10

01

-1/40

00

-1/20

σj -1/2 0 0 1/20 3/20

23

x1

x3

1/23/20

10

2-1

01

-1/20

1/400

-1/20

σj 0 1 0 1/40 3/20

X*=(0.5,0,0.15,0,0)T ， z=2×1/2+3×3/20=1.45

第四节 初始可行基的求法——人工变量法一、 大 M 法 例 15 求下列 LP 问题的最优解

0,,

1 2

324

112

3 max

321

31

321

321

321

xxx

xx

xxx

xxx

xxxz

0,,

1 2

3 24

11 2

3 max

71

731

65321

4321

763211

xx

xxx

xxxxx

xxxx

MxMxxxxz

二、 两阶段法

0,,

1 2

324

112

3 max

321

31

321

321

321

xxx

xx

xxx

xxx

xxxz

0,,

1 2

3 24

11 2

min

71

731

65321

4321

76

xx

xxx

xxxxx

xxxx

xxw

例 17

0,,

1 2

3 24

11 2

min

71

731

65321

4321

76

xx

xxx

xxxxx

xxxx

xxw

cj 0 0 0 0 0 1 1

CB XB b x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7

011

x4

x6

x7

1131

1-4-2

-210

12

[1]

100

0-10

010

001

σj 6 -1 -3 0 1 0 0

010

x4

x6

x3

1011

30-2

-2[1]0

001

100

0-10

010

-1-21

σj 0 -1 0 0 1 0 3

000

x4

x2

x3

1211

30-2

010

001

100

-2-10

210

-5-21

σj 0 0 0 0 0 1 1

cj 3 -1 -1 0 0

CB XB b x1 x2 x3 x4 x5

0-1-1

x4

x2

x3

1211

30-2

010

001

100

-2-10

σj 1 0 0 0 -1

3-1-1

x1

x2

x3

419

100

010

001

1/30

2/3

-2/3-1

-4/3

σj 0 0 0 -1/3 -1/3

X*=(4 ， 1 ， 9 ， 0 ， 0)T ， z*=2

三、 关于退化解的说明

0,,,

1

1

4 min

4321

432

431

4321

xxxx

xxx

xxx

xxxxz

cj -1 -1 -4 1

CB XB b x1 x2 x3 x4

-1-1

x1

x2

11

10

01

[1]1

-11

σj 0 0 -2 1

-4-1

x3

x2

10

1-1

01

10

-1[2]

σj 2 0 0 -1

-41

x3

x4

10

1/2-1/2

1/21/2

10

01

σj 3/2 1/2 0 0

第五节线性规划应用举例

建立 LP 模型步骤：

（ 1 ）深入分析问题特点，适当选择决策变量；（ 2 ）确定优化对象——目标函数，它必须表达为决策变量的线性函数； （ 3 ）分析制约变量的各种因素，用线性等式或不等式把这些条件反映出来。 例 18 利用长度为 7.4 米的角钢，要做成三边长为 2.9 米， 2.1 米， 1.5 米的三角架 100 套。如何下料，才能使消耗的原料最少？

 1 2 3 4 5 6 7 8

2.9 米2.1 米1.5 米

201

120

111

103

030

022

013

004

合计长余料长

7.30.1

7.10.3

6.50.9

7.40

6.31.1

7.20.2

6.60.8

61.4

变量编号 x2 x4 x6 x1 x7 x3 x5 x8

0,,

1004 3 23

100 322

100 2

min

81

865321

76543

6421

87654321

xx

xxxxxx

xxxxx

xxxx

xxxxxxxxz

例 19 某食品厂要用 C ， P ， H 三种原料混合加工成三种不同档次的产品 A ， B ， C ，已知三种产品中原料含量限制，原料成本和每月限制用量，三种产品的加工费和单价等资料如表所示。该厂应当每月生产三种产品多少公斤，才能使利润最大？试建立问题的线性规划模型。

解 设 AC ， AP ， AH 分别表示产品 A 中三种原料的含量，其它符号 BC ， BP ， BH 和 DC ， DP ， DH 的含义相仿。

含量限制

AC+AP+AH=A

BC+BP+BH=B

DC+DP+DH=D

AC≥ A

AP≤ A

BC≥ B

BP≤ B

DP≤ D

4

14

1

2

1

2

1

5

3

－ AC+ AP+ AH≤0

－ AC+ AP － AH≤0

－ BC+ BP+ BH≤0

－ BC+ BP － BH≤0

－ DC+ DP － DH≤0

2

1

4

1

4

12

1

5

32

1

2

1

2

1

4

3

4

3

4

1

4

1

2

1

5

2

5

3

AC+BC+DC≤3000

AP+BP+DP≤3000

AH+BH+DH≤2400

原料数量限制：

产品销售收入为：60 （ AC+AP+AH ） +45 （ BC+BP+BH ） +40 （ DC+DP+DH）加工费为：6 （ AC+AP+AH ） +5 （ BC+BP+BH ） +4 （ DC+DP+DH ）原料成本为：65 （ AC+BC+DC ） +25 （ AP+BP+DP ） +35 （ AH+BH+DH）利润： z=60 （ x1+x2+x3 ） +45 （ x4+x5+x6 ） +40 （ x7+x8+x

9 ）－ 6 （ x1+x2+x3 ）－ 5 （ x4+x5+x6 ）－ 4 （ x7+x8+x9

）－ 65 （ x1+x4+x7 ）－ 25 （ x2+x5+x8 ）－ 35 （ x3+x6

+x9 ）= － 11x1+29x2+19x3 － 25x4+15x5+5x6 － 29x7+11x8+x9

9,2,1 0

2400

3000

3000

0323

0

0 3

0 3

0

112951525192911 max

963

852

741

987

654

654

321

321

987654321

jx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxxxxxxxxz

j