” .: ‘,

_. OFFICE DE’ LA RECHERCHE % SCIE~TIF'I'QUE ET .TECHNIQUE

, ” OUTRE MER _’ .., ..: 00000000000’00 . .

:,.

: .i ‘:

‘_ 1 ;

,

: .;; ,/_.’

,,

;. .; .:<:

‘I < ‘.

.:.

‘.

<’ . .

: . .:

: <.

. *

. . .:’ .I’ :,

!’ :

i ‘_ ‘: ‘.

., ‘.

a’ r .,.f ,:.

. ,:, I,

. . . .

‘._:’

_‘..’

., :: .‘: .I <

.:

, . .’

: ‘.

;: ‘.>

.’ <.:

304 b

RQpubliqoe du MALI

Un Peupla - Un But - Une Foi

000400000000000000

DIRECTION GENERALE DE L'HYDRAULIQUE ET DE L'ENERGIE 000000000000000

ZONE OUEST DU DELTA DU NIGER 00a0000000000000000000000000

- Hydromhtrie des ouvrages -:

- Justification thdorique -. .- A.ppliization -.

Jean - Pierre i AI'!;i[;, Y

B A PI A K Cl - l i t.i i

Fonds Documentaire ORSTOM

Cote: k* 6435Ex :

INTRODUCTION :

. . . . Dans le cadre de la modernisation et de l'amélioration des r&hodea

9. .

'dt'utilisation des ressources hydrauliques,la Direction Générale de .;., 1'OFFICE du NIGER a prévu 'de réaliser un' système de régulation de t&t le complexe hydraulique des aménagements de la. zone MARR&A.- :&XX?0 - : XE MACINA.C.lest-à-dire que les débits dérivés du NIGER à MARKAl&grace au bsrrage,seront répartis dans une'optique d'optim.isation'de:la rela- tion demandes-disponibilités '. < ----------------------- : :

Jusqu'à présent les debits trans'ités per les diff&ents ou~&ges de distribution et de régulation étaient tres mal connus.Pour utiliser.',ra- tionnellement l'eau amenée par le canal adducteur et mettre au:'point un système de régulation qui permette une utilisation optimale de. cette eau,il.convient de connaftre correctement les débits, transités aux ouv- rages,et pour celà,étalonner ces ouvrages. l .

La Direction de 1~OFPICE du NIGER s'est mise en relation ave'c' la.Di- rection Générale de 1'Hydraulique et de 1'Energi.e du MALI afi;n.~~que"c+t- te, dernière confie à son Service Hydrologique la réalisation d'un .pro- ,. gramme qui permette l'Établissement des barêmes de tarage des ouvrages.

Ayant été chargé par la Direction de 1'Hydraulique et par le Service Hydrologique Malien de mettre au point cette étude,nous nous sommes. rendus à SEGOU et à MARKALA.efin d'organiser les campagnes de .m!%!ures et de bien connaître les problémes que rencontreraient les Agents de. 1lHydraulique chargés des mesures.Nous avons pu constater que celles-ci ne poseraient pas de problèmes,par contre,le nombre.extrèmement:,impor- tant des ouvrages nécessitait la mise au point d'une m&hode permettant. la généralisation des rkultats obtenus à partir des di'ff6rents. types d'ouvrages.11 y a en.effet. plus de mille ouvrages et il n’est pas ques- tion de-les tarer un à un,ce qui prendrait quelques di%a.ines d%nnées.

Nous avons donc essayé d'adapter une méthode mise au point 'à 1lORSTOM qui p&rmet de traiter & l'&d&&te?$r les iIlfOIXlatiOnS fOl.UXlieS'par 1eS stations non univoques à deux échelles.Cette méthode a fait l'objet. d'une publication dans la série des Cahiers de 1~ORSTOM - Série Hydrolo- gie-volume VII - No+1970.DtJHREUIL~P.-LAMAGAT J.P.-VUILLAUME G.-r . "Tarage et calcul des débits des stations hydromètriques non univoques".

Nous en avons profité pour glisser quelques éléments,d'hydrauliquè . . appliqu&:Définitions et bases des écoulements en canaux et rivières. Ces éléments,dtun niveau mathématique peu élevé devraient $tre,assimi- lés assez facilement par.les Agents Techniques de 1'Hydraulique et de l~OFFICE,et,à~plus forte raison par les Ingknieurs intéressée qui ne sont pas des spécialistes de 1lHydraulique. . "

Dans la deuxième partie de la présente noteinous avons exposé hs” premiers résultats enregistrés à la station du "Point A",sur le canal. adducteur.Ce qui permettr&,grace à cet exemple d'application pratique une meilleure compréhension de l'utilisation de la méthode d'ht&.OMwe d'un 'cuVr~~~e+

- 2 - ‘,

*

i’

1.

’ . .

SOMMIIIRE <:,

--w---- < “.

’ .,

RAPPELS DES TREORIES CLASSIQTJES CONCERRART I&SECOULEMENTS ERCANADX ETRIVIERES

1.1. Rypothèses et définitions d

1.1.1. Section mouillée - Périmètre mouillé - Rayon hydraulique 1 '!.' ' 1.1.2. Débit - Vitesse moyenne - .

1.1.3. Ligne piézomètrique L Ligne de charge - 1.1.4. Force de frottement sur la paroi - 1.1.5. Radier du canal -

1.2. L'écoulement uniforme

. . i

.~ ': . . .'

1.2.1. Formule de CREZY

1.3. L'écoulement graduellement varié

1.3.1. Perte de charge '. 1.3.2. Profondeur normale ..- __ 1.3.3. Charge spécifique dans une section 1.3.4. Variation du débit en fonction de la profondeur d'eau pour une'

charge donnée - Profondeur critique - Débit critique - Vitesse critique -

i.3.5. Le ressaut 1.3.6. Perte d'énergie dans le ressaut : 1.4. Analyse du fonctionnement des ouvrages de 1IOFFICE du NIGER

. 1.4 .l. Examen du problème 1.4.2. Application de la formule de CREZY

II. REALISATIOR PRATIQUE DES ETALONNAGES

11.1. Détermination de n '.

:

.:.

11.2. Utilisation pratique des barèmes (A) et (B) '<

III. APPLICATIC& DB LA METHODE AUX OUVRAGES DU U POINT A '! '.'..'. .'.. " ,', .<

111.1. Exemple de calcul d'un débit réel

.

I -3”

<. .. :,

1, WPELS DES THFORIES CLASSIQUES CONCERNANT LFS‘ECOUlZMlZNTS EN CANAUX

ET RIVIERES

1.1. Hypothèses et définitions

1.1.1. Section mouillée - Périm?.tre mouillé - Rayon hydraulique On dési-

gne par section mouillée du canal,S,à une abcisse donnéc,la portion de la .section du canal limitée par les parois et la surface libre.Le périmètre de cette section qui suit les parois solides,mais qui ne comprend pas la surface libre,est appelé le périmètre mouillé X.

Pour désigner le nombre de REYNOLDS de l'écoulement,on utilise une longueur caractéristique de la section appelee le rayon.hydraulique,R, quotient de la section mouillée,S,par le périmètre mouillé,X:

s R=- X T-1.2. Débit - Vitesse moyenne '

I Nous supposons que le fond et les parois du.canal sont i.mperméables,liécoulement est donc conservatif,le volume de .liquide qui traverse une section est,en écoulement permanent,constant ct independant de la section.C*est le débit du canal,Q.On désignera sous le nom de ,vitesse moyenre,G,le quotient:

U-;s du débit par la section mouillée.

I.l.g.,Ligne piézomètrique - Ligne de charge Pour un canal donné,dont la

pente est faible,la ligne piézomètriquo est confondue avec la surface du canal.En effet,considérons un point M de la section du canal;si y est la distance de M à la surface,la pression qui s'exerce en M(la pression atmosphèrique étant prise comme origine des pressions),est égale à:(Figl)

P =w. y.cos a ,soit: 2 = y (a étant faible (10-4,)) w

.La pression au point M;évaluée en hauteur de liquide,est égale à la profondeti du point M au-dcsoous de la surface libre,confondue avec la surface du canal.En effet,lorsque la pente est trés faible,on considère que 1’on.a affaire à un liquide au repos.

La ligne piézomètrique,lieu des points obtenus en portant au-dessus d'un point quelconque de chaque section,sur,la verticale issue de ce point,une hauteur égale à P/w ,est confondue avec la ligne d'eàu de la surface libre.Pour obtenir la ligne de chargeion porte au-dessus du point ainsi'obtenu,et sur la même veryicale une hauteur égale à :

U2 . . 2g=

. Ce point de la ligne de charge représente l'énergie traversent la section considérée,llévolution de-la ligne de charge représentant la va- riation d'énergie.En effet.si nous choisissons un plan horizontal (P) de référence,l'énergie potentielle par unité de poids de liquide traversant la section considérée est égale à la cote z de la surface libre par rap- port à ce plan de référence;l'énergie totale par unité de poids de li- quide traversant la section c?nsidérée ou charge,H,sera obtenue en y a- joutant l'énergie cinétique U /2g : H = h + y.+ U2/2 g Soit:(Fig, 2),une section d'aire S,un point M dans la section 5 et dans 1 i jl&cn* ,Ap de s,s$ ij est il?- 77fL+:L:e:.-., yy "4, 'i ' .,yZmsy;::n,j 3 t~?r/F!~~S~n'. ! i Gï sZjiios..(eL.f de gjJî--&c,<,< dz si +;y; p.:

:

I

,’ ,. ‘.

. -4-

. dE,=(;+z+z .w.u.ds *)

,:-t l'énergie totale traversant la section:

EL!u ,#‘( ; +z + $ ) .w . u . ds

Or: $+z=h+y

Donc: {'j., : :7: ; il7 < ,? / ; iz ,. ' I',-, * <i : .i ,,<; :_

.L Soit,puisque;

/T- ,L/," .u . ds 1 w . Q ,et en posant: : ., -z

.'. &a Cha;rge dans la

H

section s'écrit donc: ,r\ E UL =----=h+y+b.z

w .Q b est un coefîici.i~Z:,trér. proche de, l'unité dans les cas usucls,qui caractérise la répartition dos

= (h+y+b

. vitesses dans.la section.Pour des parois lisses,il est de 1'ordz.e OC? 1,05 et peut atteindre en riviére .des valeurs de 1,lO à 1,20 dans le: cas er- ctiptionnels.

La ligne de charge serait contenue dans un plan horizontal s! la c!lar- ge était constante le long du canal.En faît, la charge décroît pcr suite dc frottement qui dissipe une partie de l'énergie en la transfo~!nant en chaleur et la ligne de charge est descendante. Iil.4; Force de frottement sur la paroi

Sur un élément ds de la paroi,le .'l.$qui.de en mouvement exerce une force de frottement:(Fig. 3)

'_ T

0 . ds TO étant la force de frottement par

. 'unité .de surface,ou tension tangentielle,qui dépend de la position du point considéré.

Nous pouvons écrire: *. TO = cf . 2 . U* en introduisant lc zooffi-

: p est la masse spécifique de l'eau.

tient unitaire de froltement c f 9

c-.'Dans.'les développements relatifs aux canaux et rivières,on n'a 5 con- sidérer que la force de frottement moyenne que le' liquide exerce sur uno

. . '. portion de paroi comprise entre deux sections infiniment voisin.: distan- u tes de dx,et, de surface égale à x. dx , que l'on écrira encore:

. . .To l

x;dx , X étant le périmètre mouillé.

c,f'dépend en prinkpe du nombre de REYNOLDS, $9,et de la rugosi'é de la

@roi.Celle-ci est représentée par un certain nombre de paramètres géo- mètriques: i

g,b, . . . . a y b Y c et,ant des dimensions RR caractérisiiiies dc la rugosi4<C.

Il dépend également de la forme de la section car la rCpartiCion des vitesses dépend des dimensions verticales et transversnlcs.Lc ccefficicnt ;hGOttement est ;onction de 3 parametres distincts: lc nombre clé Xl-~-

- la rugosite relative a/R,b/R,c/R,...,et un facteur de forme dc section B :

. . ,. : :

. . , ‘.,

,. ‘. ’ . .

: ,, ‘.

.

. ‘:

>’

l

-6- .::

= F ( $ , ; , i’;... :

Cf 4) _.

I.t.5. Radier du canal.- Repère de profondeur - Pente du'canal ~ Llinteraec- '

tion de la surface libre avec *le plan db la section est horizontale;la position de la surface libre dans une.section est entièrement détermi.né,e si on connaft la cote z de cette horizontale au-dessus du plan de réfèren- ce.Mais;tout au moins pour un cana.l,il est plus important de connaître la. position de la surface libre par rapp0rt.à celui-ci. " :. i . . .'

Cn.choisit un Tepère sur la paroi du canal,dank la section,.et $n."'Qi- troduit la distance y de ce point à la surface 1ibre;Cette distance est' y appelée profondeur d'eau dans la section.Ce point,repère de profondeur, ,. est choisi sur le fond du‘canal,ou radier. 4

Pour repérer la position de la-section sur l'ensemble du canal;on.re- . . lève ltabcisse x,à partir de la section choisie comme.origine;s'ui?'le lieu des repères de profondeur,appelé ligne de repère.Cette ligne de repère présente des courbes faibles et est faiblement inclin6e sur l'horizontalc. Sa pente est appelée pente du radier,ou plus simplement;pente du,.canal .et sera désignée par &,Si h est la distance de la ligne de repère.au plan do .. réfèrence en une sectioz d'abcisse x':(Fig. 4 ) : : ’ ,

-z=h+y eti=-'dh . z ' ., : , ', .

i est compté positivement pour une pente descendante. i ., ,: I .

” I

1.2. L'ECOULEMEXI UNIFORME Considétions un canal prismatique,clesk-à-dire.

un canal tel que la dimension et la forme de ses sections,ainsi.'q'k la .' pente de' son radier restent invariables le long de son parcours;Supposcns* de plus que la nature des parois reste également uniforme & &Ile-même.Un tel canal est'appelé parfois canal uniforme.L'écoulement sera.dit tifor- me dans ce canal lorsque la profondeur d’eau y conservera une valeur.‘co&- tante pour toute abcisse x.La surface libre est un plan incliné dont la ligne de plus grande pente est parallèle au radier et aux génératrices.du canal.Un tel écoulement ne peut-être observé que dans un canal prismati-. quc,loin des extrémités et nécessite par conséquent un canal de trés~gran- de longueur.La vitesse moyenne U est alors constante tout le long au ca- nal.La ligne de charge est une droite parallèle à la surface libre et au radier.La pente de cette ligne de charge j,comptée positivement pour'unc charge décroissante, ':.

, perte de charge par unité de longueur ou perte de charge unitaire,e&t égaie à la pente i du radier.

j=-g =i=-dh ck

L'écoulement sera donc uniforme dans un canal lorsque la perte de. chars' ge unitaire,soit la perte dlénergie par frottement sera égale à,,la pente9 du radier.

1.2.1. Formule de CREZY Sôit un canal prismatique de faible pente définie,

l I

I

par l'arigle a que fait le radier avec le plan horizontal.Considèrons la masse fluide comprise entre deux sections A et B,situks à la distance 1

.- A *

l'une de llautrci(Fig. 5): +--.---. x

-i

~ -..--

l

I

5 5

1’ L

r; .-

t vJ.5.e -- Ecrivons que l'écoulement étan: t uniforme,la masse fluide considérée.

..est en Equilibre sous l'action de son poids w.S.1 et des forces dc frol-

e

tçment sur les parois: T . x .,lLw.S.l.sina=O ,'. 9 'a. étânt petit,on peut confondre le sinus et la tangente:

l .

sin a = i ce plus posons:

To = cf . 2 . U* et ~0i-fime w = p . g (1.1.4.)

Nous ,obtenonk: 2 S Cf'$bJ =p.g.x. i= p.* g . R . i ', - 4 Et par suite:

. U=

/On pose: d

a Cf

.<R .i --- j 3..

c= tc \ C est le 'coefficient de Cl&ZY et on obtient la formule de CREZY:

:. '. 5-7 u=c. . * \i . < Quo l'on peut encore écrire en-introduisant le débit:

Q2 = C*. S* . R . i

Beaucoup de formules empiriques sont utilisées pour traduira les variations du coefficient de CHEZY,nous ne citerons qua les 3 usucllcs:

Formule de BAZIN e7

c= 1-b Y GB , .:=7- :. y est -ai zcer^fi.- --ic- ri-,. f.1 ii: .; <- ;.,. :,i. ; i _. leur a été donn&e oar 3AZIN .. - - .

: .Formule de MANNING . '. j = n2 . u*

. R4/3 soit pour le coefficient de ^ .:. CXEZY:

I l .’ 1 ,,.. ‘, : C=;.R 1/6 n est un coefficient qui caracté- 1_

rise la nature des parois et dont ll'auteur a fourni'des valeurs indicatives.

Formule.de GANGUILLET - KUTTER'.

.

-a-

? c ; _-.--- ---.

i -t ( 23 + 0,'00155). n j B

'.n caractérisant la nature des parois a les memes valeurs que -dans les -formules de~MANXING.

' 1 .' Toutes ces formules sont empiriques et n'ont pas de 'bases theoriques ( ;. '. ', elles ne-sont destinées qu'à donner l'évolution du coefiiceint II~ CHEZY

.pouk un canal de section donnée.Nous donnons ci-dessous quelques valeurs de net de Y :

béton lisse . . ...0..... Y= 0,06 . ...*. n = 0,011 à 0,015 II brut . . . ..o...... Y = 0,16 ..*... n k 0,013 à 0,016

Terre régulière........ Y = 0,85 . . . . . . n = 0,020 à 0,030 Gravier ............O.. Y = 1,30 ..a*.. n = 0,022 à 0,035 . Galets ou herbes . . . . . . Y g 1,75 . . . ..- n = 0,025.à 0,040

1.3. L'ECOULIMENT GRIIDUELLEMENT VARIE Dans le cas où la profondeur de

~i’ea.u dans le canal n'est pas consta'nte,mais varie en fonction ds l'ab- tisse x,l*écoulement est dit varié. --

Dans ce qui suit,nous n'exqminerons que les cas dlécou$ements grnduel- 'lement variés,c'est-à-dire ceux pour lesquels les différents paramètres

.,varient de façon continue,progressive et lente,de telle sorte que: -. a/ La forme et les dimensions des différentes sections du canal varient

régulièrement et lentement,les courbures des parois étant elles-mêmes trés faibles.

b/ La'profondeur de l'eau y varie de façon lente,la pente et la courbure de la ligne d'eau étant également trés faible.

i Dans ces condition ,comme. nous l'avons dit plus haut,la charge dans 'la'section,énergie par ,:prend la forme simple:

: *

;. :-Ii3.1. Perte de charge ,

unité de poids de liquide traversant cette section,

:f- .-:+ .-.. U2 Q2 H-=h+y+z=h+y$2gS2

Par suite du frottement,une partie de l'énergie se ~ transforme en chaleur et la charge H diminue dans le sens de l'écoulement.

I La perte de charge peut-être également exprimée à lIaide de la formule .:de CHEZY:

: j=- S&A&- '. C2 S2 R . .

On admet généralement que le coefficient de CHEZY,pour un canal de pa- rois;de,formes,et de sections données,n'est fonction que de la profondeur

;dleau y -et est égal à sa valeur en écoulement uniforme pour la même pro- ,'fondeur y.

I 1.3.2. Profondeur normale NQUS avons vu que llécoulement est'uniforme

.: .dans un car-il prismatique lorsque la perte de charge linéaire,j,est égale à la pente du radier,i;pour un canal donné et un débit Q,la profondeur :d'eau y correspondante à l'écoulement uniforme sera fournie par la ré- . . so1uti.o; en y de l'équation:

Q2.= C2(yo~.~2(yo).R(yo).i j i-tant remplacé par'i

Q2= CE . SO . BO . i

:

.

.’ Q2. = KO . i K est la débitance'du canal

Bette profondeur est dite profondeur normale pour le débit Q‘.La débi- tance K étant une fonction croissante de y,nous voyons que la profondeur

'Eormale cro!?t avec le débit et que,2 débit constant,pour des canaux iden- c tiques de pentes différentes,elle décrolt lorsque la pente du radier dé-

croît.

-9-

I.g.3. Charge spécifique dans une section L-L charge dans unc section est

&~~l~z 5 la distance verticale de la ligne decharge au pl:tn horizontal(P) de réfèrence.Si nous prenons comme réfèrence le plan partic~lier(P'),pa~- sant par le repère de profondeur de la section considér&,la charge comp- . tee à partir de ce plan s'appelle la charge specifique et est désignée par Hs : U2 Q2 Hs=y+~=y+~~~

H=h + Hs et nous avons:

..-. -' ..- (y! = $7: ".. . . i : 8 3 : -. :

1 .y l il. . y;Lri;tf~:m>!.! :$.; _:, :i;.; i / ,;: j -8: pm---_... --. _ .---. - - - .__._ I..Y.-L-z2 charge sp&i,fiquo &~rti& - l?rol'onUcu ~~'itiquti - U<l,i 1 <:ri 1.iclc!l: - Vitesse critique- . .

L“$quation (1) d onne l'évolution du debit on font- .'%ion de la profondeur d'eau pour une charge donnée:

Le débit Q (Fig. 6) s'annule .pour.y = Hs et pour S = O,c'cst-à-dire P0ur.Y = 0,si le repère de profondeur a été choisi au point le plus bas de la section.Dérivons l'équation : 6

1):

. . 1, . '. A$=

2g(Hs - y) $ - S .g

'_ Lb ( Hs - Y > . Or,on voit sur la figure 7 que tout acroissement de profondeur dy . peut-être supposé à largeur constante 1,d'où:

dS = 1 . dy Si nous posons:

.* ,&=" . . profondeur moy.

*

', Cette dérivée s'annule pour y = yc , yc est appelée profondeur cri- Fque, et est racine de l'équation:

: 2(Hs-y)-ymc =0 (2)

Le débit p&se donc par un maximum lorsque la profondeur.atteint la va- ,leur yc.Ce débit est le débit cri.tique pour 13 charge spécifique consi- dérée:

Qc =V$x . SC

.et il'lui correspond la vitesse moyenne critique: :

UC = &-y&-

Cette vitesse est égale à la propagation d'une onde infiniment petite 'dans un canal de profondeur rkyenne ymc.Le débit maximum est atteint lor-

. sque la vitesse moyenne de l'eau est égale à la célérité d'une onde infi- . nimènt petite dans le canal.

La profondeur critique pour un débit donné sera:

Dans le cas du canal rectangulaire,la largeur 1 est conshntx:

Donc :

‘. et: _i

.

*. ... Si on introduit le d6bi-t par unité de largeur q = Q/l :

yc = 392 Q ,’

L 1.5.5.. Le ressaut. Le ressaut est.un phénomène dfécouiement rapidement

'

varié;il se produit lorsqu'un écoulement torrentiel,à faible profondeur d'eau et glande vitesse,se transforme brusquement en un écoulement flu- vial à faible vitesse et profondeur d'eau plus élevée.Le ressaut est cons- titué par la zone de transition qui sépare les deux régimes,dont les pre- fondeurs sont situées de part et d'autre de la profondeur critique.11 est ac'compagné' d'une grande agitation,d'un bouillonnement continu de l'eau en surface et de formation d'écume.

,. Considérons un canal prismatique de section rectangüi.aire (Pig.8):

.:, . $1

Skeht Si et S2 deux sections assez rapprochées situées à l'amont &t &;.llaval.du ressaut,de fqon que l'on puisse négliger dewnt les forces dg pression,les forces de frottement et l'inclinaison du radier,c'est-à- dire le poids de la masse d'eau située entre ces deux sections,mais suf-

1. fisament élc$gn6es du ressaut pour que les vitesses y puissent être ccn- sidérées c&me constantes et parallèles.Soient y1 et y2 les profondeurs d'eau,Ul et U2 les' vitesses dans les deux sections et 1 la largeur du ca- nal. ." Ecrivons.que le débit des quantités de mouvement sortant de ces deux

'sections et projeté sur la parallèle aux génératrices du canal est égal à~la.somme des forces agissant sur cette masse d'eau,réduites aux seules poussées sur les sectïons Si et S2:

(-1) p . y2 .l . lJ; -Ip. y1 . 1 .AJ; =p.g.yl.l.~ - p.g.1.2 .Y*

l'équatioh de continuité donne:

. (2) .”

u-l . y1 = u2 . y2

- 11 - i I ..

L'équation (3) peut s'écrire: 2 -y2 .,.. y‘.

$y;‘L~~~.y;.I ,‘g. y’ *=:‘.. Y2 q 4

en tenant compte de (4):

Y, +. Y*

2 = g bY,.Y* = g. Yi’*Y*

d'où:

2 ’

L’ . . ‘. i

<.

Si on introduit le débit q par unité de largeur:

q = u, .‘Y, -u* . y 2

9* g = Y, l Y* l

1.3.6. Perte d<énergie dans le ressaut

.; ‘.

!‘.

._ .

.‘, . .

Les sections SI etS2 étant triY voisines,la variation de la charge est égale à la variation de.la char'. 1, spécifique:

DHs =& +'$) i (y2 +$) : ,, ' : :_,., m;:,.,, ,; ;' _' . . I '.

Soit en tenant compte des formules précèdentes: '.

DHs = - (y, - y& 4. Y1 l Y*

:

c

- 12 - ‘.

1.4. ANALYSE DU FONCTIONM&!EXT DES OUVRAGES DE L'OFFICE DU NIGER ~ '&es 'OytV-

rages des aménagements de I'OFFICE du NIGER se divisent en deux catégo'.- ries: - les ouvrages régulateurs 7 les ouvrages de.distribution.Dans.les deux cas on peut se ramener au schéma simplifié ci-dessTus:(Fig. 3)

k3 '! .

Dans le cas des ouvrages de distribution,on'peut considérer que l& vitesse U est nulle,et la partie à l'amont de la vanne est assiniil'ée à un réser&!&.Z?ous commencerons par traiter le cas des ouvrages de.régu-.. lation qui correspond au cas général.

1.4.1. Examen du problème Il consiste à déterminer une relation entre le

débit transité sous la vanne et certains para&?tres aisément mesurables. ; Ces paramètres sont: 0 ,ouverkure de la varke,et,D,qui est la différence de niveau entre lls.monx et l'aval.

.:

1.4.2. Application de la formule de CHEZY Le débit étant çons,&vatif,npus

nouvons écrire: Q=U, . s,=uo~~so=u2.s2.

avec. s =o b si b. est la largeur de la vanne., Dta&és ra'formule de CHEZY,nous avons:

<' .,,' 1' , ..,

u: = C* . R . in . .

L'écoulement étant permanent,à l'ouverture de la vanne constante,si .on c~n~;iiDrL~ r'.:Tsic?.: r-7 CT. i..:.:.::; .; ' &~l;~,? i t7s.e ;2-&c '-'~d..r fait varier le niveau a. _ C... 1 Nul<>,! ;, :‘.Y' . i. _ :.'; ,~. '. __.,.. ..'! ,.. - :,ct' ,;:;- :.<.;:.-.,. i:.:.;1 f,<: .>i-. Fi i i,;m i; fixs p0~1.r 0 fixe

ïi ’ peu I; C> i,nf c; <>iissfj +; ;‘:: .._ !C’,,‘“,<<. <:<-J?-f,y tmt, I(n t?t‘f‘c t,ii Tii? depend que des m~?-bé- riaux composant la vanne et le radier;nous pouvons poser:

et: U

0 =K.in

Q=Ov.b.K.in

Nous poserons ici une hypothèse simplificatrice en supposant que i est peu différent de Dy;en fait,i est égal à la variation de la charge spéci- fique,soit:

DHs = y, + lJ2 2g1 - Y2

u* ' : - 2g'

DHs = D - c.

lJ+J:\ '. ";

*g i La variation d'énergie cinétique est toujours faible devant la vnria-

tion d'énergie potentielle et l'expérience montre qu'on peut la négliger.. : Nous avons donc: '.

Q=Ov.b.K.Dn (4 .

l

‘.

', - 13 - :

. . . Si pour une même ouverture,nous avons une dénivellation différente;

soit: Dl et D2,Ie rapport des débits est:

de la vanne,pour:des é&gulements permancnts,nous aurons Q qui sera déterminé pa l'équation (a).'Avec: ,'

. . '. :

cf ne dépend que des matériaux qui constituent l'ouvrage.Par contre k peut varier avec l'ouverture 0 .

. ,.- _. D(ans la pratique,nous consi&rerons ilobalement K,fonction'des divers

param4tres de forme.En faît,K n'intervient que pour des ouve.rturo.8 fai- bles,d& que 0 est supérieur à l@ environ de b,l'influence.de K dispa- : raît et Q est hrectement proportionnel à Ov .

.

‘., ‘!

Q

-14- <’ :.

II. REALISATION PPATIQUE DES ETALONNAGES <.: Nous avons à déterminer deuk

paramètres n et K de la formule: Q = Ov,i b . K . l? .:

11.1. Détermination de n En général,une campagne de 10 jaugeages suffit

amplement pour Ctalonner un ouvrage correctement,si les mesures sotit ;

bien réparties dans la gamme des ouvertures possibles des vannes.On aura intéret à serrer les mesures dans le bas de la ge.mme,c'est-à-dire pour les ouvertures faibles lorsque K varie. :

,. ',: -A chaque jaugeage,on notera la cote amont et la Cote, aval et l.eurs.“:,

possibles variations pendant la.meaure.La campagne de jaugeage étan% ter- 1 minée,on procède de la manière suivante pour la détermination des para; I mètres: ' 1') On choisit une valeur de D,dite dénivelée nominale,cette valeursera

toujours égale à, 1,00 mètre ou â 0,50 mètre de façon à faciliter les calculs.Nous appelerons DN cette valeur de la dinivelée. :.

2') Q et D étant les valeurs mesurées du débit et de la dénivelée corres- pondante,on calcule n par tZtonnements.On sait par expérience que,lS' Vti- j" leur de n est proche de 0,5.0n calcule'donc 3 ou 4 séries de valeurs du. débit nominal en transformant les valeurs mesurées grace à la formule; '.

QN = Q . (DN/D)n chaque série correspondant à un ndifl,:. .. férent. t

D‘ans la pratique on pourra essayer: n = 0,4 n = 0,5

,, "'.

n = 0,6 n k 0,7

On porte ensuite sur un graphique et ,pour chaque série,Qli en fonction de O..On trace les courbes moyennes définies par chaque série de, points. On Vcherche ensuite quelle est la série qui présente la somme des '&arts absolus la plus faible par rapport'à la courbe mpyenne correspondante.La' courbe moyenne est une droite dès que 0 dépasse l@ de b.Il arrive:'que.

,l'on soit oblige d"essayer une autre valeur de n,comprise entre'Oi5 et c, 0,6,par exemple,qui peut correspondre à un meilleur alignement pour 'les valeurs élevées de 0 .De toutes façons,il est inutile decrechercher une trop grande précisiox,cclle-ci étant elle-même rarement inférieure à 3%:' . pour les mesures. 1‘ j') Ayant ainsi determine n,on' .dresse le barême QN 7 f(O,)'qui corkes-

pond à une courbe dc t;wage univoque,DN étant fixé. Soit (A) ce .' harême. . . . . ,.

4") On dresse un second hnrême (B) de la fonction (D/D,>n, n ayant .la '1' valeur que l'on ,a choisie.Dans ce barême,D variera de cm en cm de' O,OO mètre à In valeur ma,d.mu.m cnregistr& .Bc llouvrsgc.On‘majorera cette valeur maximale de 20 ou même 3% de façon à n'avoir aucun cal.- cul à effectu&r.par la suite en raison d'une dénivelée trop. importan- te qui ne serait pas prévue dans le barême.

11.2. Utilisation pratique des barêmes (A).et (B) < ; . .

Soit à calculor le dé-. hi. t. c orrespo,ndnnt 5 un couple de valeurs: Dx et Ovx. <'

a) d‘ans le barême (A),on lit Qk correspondant à .0x. '.

b) d;tns le harêmé (B),on lit (Dx/DN)n-qui corrcspond,'à Dx.

c) on effectue le produit: Qk = QrJx (Dx/DN>". On obtient cîin.si In. vnieur de Qx réelle correspondont aux valeurs Dx ;

et 0 vx' .:

- 15 - l ‘.

III. AI'FLICATION PEUTIQTJE AUX OUVRAGES DU "POINT A" I A la station dite du

Voint A" se trouvent deux ouvrages du même modèle,le premier régulari- sant les débits transités par le canal du SAHEX,le second ceux du canal du MACINA?Chnque ouvrage est constitué de 5 pertuis qui sont eux-mêmes équipés chacun d'une vanne wagon dont l'ouverture peut varier de O,.OO 'à 5,00 mètres.Les repères des ouvertures sont gradués tous les 10 cm,c,e,‘ . qui entraine des erreurs de lectures surtout sensibles pour les faibles ouvertures.En général les ouvertures sont les mêmes pour les.vannes d'un ouvrage.Dans le courant du mois de décembre 1971 nous avons effeo-ké des mesures qui'ont donné les résultats suivants: .

“T---------‘-----‘-‘-““r’-”

;No; HI ; H2 ; D;O ; Qi . i-~~~oo;j~I~~8;4~I~;~~~o;io!~7;4! ! 2!300,38!299,00!1,38!0,15!21,8! ! 3!300,32!299,18!1,14!0,25!31,6! ! 4'300,10!298,79!1,3l!0,40!41,9! ! 5!300,38!299,18!1,20!0,50!60,7! ! 6!3OOy32!299jl2!l,2O!O,50!61,2! !'7!299,84!299,Ol!O,83!0,75!60,8! ! 8!300~11!299~80!0~31!i,i5!52~9! ! 9!300,32!299,82!0,50!1,50!89,3! !10!299,85!299,67!0,18!1,75!59,3! !11!300,04!299,92!0,12!2,25!58,3! -------------------------------

.

H1,H2,D,0 sont exprimés'

en mètres. '

Q en m3/s : .. . .

:. ., ., l ‘..

4 I

“.,. _,

‘. 6

v., où:

Ov - ouverture d.cs 5 pertuis

Q = débit mesure en m3/s Nous choisissons une dénivelée nominale de 0,50 mètre et nous calcu-

lons les 4 séries de valeurs prévues pour: n = 0,40 - 0,50 - 0,6O - O,7O avec &N = Q . (D~/D)~

Les résultats de ces calculsnsont portes dans le tableau suiv?&: posons:A = D/O,5 ct Ax = A

. . n.vec * . x = 1 pour n = 0,4 . x.=2 " '4 = 0,5 X=3 ,I x ; 4

" r 0,.6 11 .Y! = 0,7

! --T---- Y- '--T----i-----T----s-----r---',-----T----Ï-----Ï-~----~--

,N"; 6, , % ; ii - . p, _ EQ,; d2;.Q2; n-j;Q+ n4iQ4! -- ---- ---- ---- ----- -m-m v-e-_ ____ ___-- ---- --em- B-.-e ,',--

! l!17,~!l,9O!3,8O!l,'~~5!1O~2!1,949!~,93!2,2~25!7,83?2r546!6~84!O,IO! ! 2!21,8!1,38!2,76!1 ,~~01!14,~!1,661!13,1!1,84~!11,,8!2,037!10,7!0,15! '. ' ! ~!31,6!1,14!2~28!1,390!22,7!1,510!20,9!1,639!19,3!l~,7~0!17,8!0,25! ! 4!41~9!1,31!2,62!1,4'~0!28 ,5!1,612!26,0!1,7a3!23,5!.1,962!21,4!0;4q! ! 5!60,7!1,20!2;40!1,418!42,8!1,549!39,2!1,69l!35,9!1,~46!~32,,9!0,50!. ! 6!61,2!1,20!2,4Q!1,418?43,2!1,549!39,5!1,691~36,2!1,846!33,2!0,50! ! 7!60,8!0,83!1,66!1,224!49,6!1.,288!47,2!1,356!44,8!1,426!42,6!~,75! ! 8~52,9!0,3l!0,62!0,826!64,0!0,788!67,1!0,75~!70,5!0,716!73,9!~i~~1.5! ! 9!89,3!0,50!1,00!1,000!89,3!1,000!89,3!1,000!89,3!1,000!89,,3!1,,,50! !10!59,3!0,18!0,36!0,665!89,2!0,.600!10~ !0,542!111 !0,489!123 !ï.,75!, !11!58,3!0 12!0 24'0 565!103 '0 490,119 10 425'137 '0 368!158 !2.25!. ----- ---L,--,L--f-r----------L---=--,-i-l---l----~-~----------~-- Dans le tableau ci-dessus ,Q est exprimé .en m3/s,D en mètres ainsi que..

A et Ov.

\ \ .’

2

,”

: .

.

‘\ \ \ \ i .

.:

A-

;L'O

&‘o

)VO

12 '0

;L’O

11‘0

-17- :

:..

:/:

Apres avoir porté les valeurs ci-dessus dans le graphique No l,hous', voyons que la courb, e moyenne correspondant à n = 0,60 a. sa concavitk3 tournée vers le haut;pour n = 0,50,la concavité est tournée vers le bas . . pour les fortes valeurs de Ov. Nous faisons donc un essai oomplémentjire <avec n = 0,55 qui donnera surement de meilleurs résultats:

:' "T-'-'---~"" !NO ; !

! A5 ! Q5 ! Ov f,. ,

. 1 . . ---- ! --!z,o82!8,~~!0,10! ,' ! 2!1,748!12,5!0,15!

: . . .,

! 3!1,573!20,1!0,25! ,. ,,, '. <"

! 4!1,698!24,7!0,40! = p,55 '

. '. Tableau (C) ! 5!1,619!37,5!0,50!

A5 I

! 6!1,619137,8!0,50! '. ..a ! 7!1,321!46,0!0,75! ! ,8!0,769!68,8!1,15! : ,.

'. ! 9!1,000!89,3!1,50! !10!0,571! 104~1,75! !11!0,457! 128!2,25! ------------------ .._.

Portons ces valeurs dans le graphique No 2.Nous constatons que l!aiii. 1 gnement est bon pour la majeure partie des points.Seuls deux s~édartent notablement de la courbe moyenne,ce sont ceux qui sont caractérisés'p,ar.;. . . "' les ouvertures 0,40 et 0,5Wmètre.Or,le système de réglage des ouvertures n'a pas une précision supérieure à 5cm,les erreurs constatées sur 1.e gra7' .y.,. phique sont donc compatibles avec cette précision.

La courbe du graphique No 2 a été traduite dans,le tableau .(D) et. les : valeurs de la fonction R5,dans le tableau (E). - 111.1. Exemple de calcul d'un débit réei ';

Soit à calculer le .débit Q.cor- respondant aux données: " :

Ouverture = %45 m _.. : Cote amont = 3cjo,27 m : ,, :' . Cote aval . = 299,13 m ' <.

I/ Calcul de la dénivelée : D = 300,27 - 299,lT = 1,14 m' l

2/ Dans le tableau (D),on lit en face de Ov = 0,45 : ,

L<

QN = 30,O m3{s .; : '.

3/ Dans le tableau (E)?on lit en face de D = 1 ,i4 m': .* '. : c = 1,573 )'. "

4/ On obtient le débit transité par llouvrage en effectuant le produit:'

d'air:

Q=QN.~

Q = 30,O - 1,573 = 47,19 m3/s '.

T I ', . . f Q = 47,2 m3/s 1 i ! < '. :

0,75

: ^

2,25

;

-_

: :

i .:

. . :

..: :‘.

. :

‘..,

i ‘_

., _.

i ..,

.. +,

..;

.._..<

._...

......

.. . .

. . .

.<...

......

. . .

. .

. . i

.<

......

......

....

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. -

: .; ‘:

. .

4

:

‘_

- 19 a : 1..

: _‘.

:

TABLEAU N"' 1 "DEBIT NOMINAL" ._.

. Ce tableau donne la valeur du débit nominal(qui correspotid à.une dé-

nivelée de 0,50 mètre) en fonction de l'ouirehxre des. 5 va.nneb d'un:ouv- 'rage.

----T’---- &; Q f fG;$-4;6Si! !O,lO! 8,70! !0,15!12,3 ! !.0,20!15,7 ! !0,25!18,A ! !0,30!21,8 ! !0,35!24,7 ! !0,40!27,3 ! !0,45!30,0 ! !0,50!32,8 ! !0,55!35,5 ! !0,60!38,3 ! !0,65!41,0 ! !0,70!43,8 ! !0,75!46,5 ! !0,80!49,3 ! !O,RCj!52,0 ! !0,90!54,8 ? !O,95!57,5 ! !1,00!60,3 ! ----------

. . ..:

.” 1. :

. . ‘_ :

.

Ov = Ouverture des 5 vannes ekprimée en mètres,. ,

& = Débit nominal. en m3/s pour un ouvragk cokpenm!~, 5 pertuis fonctionnant à la même ouverttire.

:---------- ; Ov; Q ; !7,oS!65;a-! !1,10!65,8 ! !1,15!68,6 ! !1,20!71,3 ! !1,25!74,0 ! !1,30r76,8 ! !1,35!79,6 ! !1,40!82,3 ! ri,45rëg+o ! !1,50!87,8 ! !1,55!90,6, ! !1,60!93,3 ! !1,65!96,1 ! !1,70!98,8 ! !1,75!102 ! !1,80!104 ! !1,85!107 ! !1,90!109 !‘ !1,95!113 ! !2 00!115 ,t----,--+ !

---------- ;Qv; Q f . ti--- ----- !.2,05! 1181 !2,10! 1.21 ! !2,15! 124! !2,20! 126! i2,25! !'2,30!

129! 1321

!2,35! 135! !2,40! 137! !2,.45! 140! !2,50! 143! !2,55! 146r !2,6O! 148! !2,65! q51! !2,70! .154r !2,75! 157! !2,80! 159! ' !2,85! 162! !2,go! 165! !2,95! 168! !3,00! .170! ----------

?3',1:0! ,< '176! !3,15'!. -17,,y!. 13,2O!. i81! !3,25! jf34! -',.

!3>3Q! 1,87! !3,35! 190!' : !3,40! 192!

!'3;55!. 201 ! !3,.60.! '?03! !3,.6.5! 206! ! 7, TO.! 2.09 ! !j,75! '212! !3,80! 224!' ! 3 ;85! !3,9b'!

il7.! . 220!'

!.3,95! 223! !4,00? .225!

f------Y-"

,

.

Y . .

- 20 -

TABLEAU N" 2 " CORRECTION DE DENIVELEE " ; . .

Ce tableau donne les valeurs de la fonction c,= (D /0,5) 0,55 ,, ';' -----------

;D i ! c', ------^----'

!0,01!0,~163! ! 2!0,1703! ! 3!0,2q28! t 4!0,2493! !0,05!0,2818! ! 6!0,3116! ! 7!0,3391! ! 8!0,3650! ! 9!0,3894! !0,10!0,4126! ! ,7!0,4348! ! 2!0,4562! ! 3!0,4767! ! 4! o,qg65! !0,15!0,5157! !. 6!0,>343! ! 7!0,5525! ! 8!0,5701! ! 9!0,5873! !0~20!0,6041?, ! 1!0,6206! ! 2!0,6367! ! 3!0,6524! 1 4!0,6678! !0,25!0,6830! ! 6!0,6979! ! 7!0,7125! ! 8!0,7270! ! y!o,,pl-l! !0,30!0,7551! 1 1!0,7688! ! 2!0,7824! ! 3!0,7956! ! 4!0,8089! !0,35!0,8219! ! 6!0,8347! ! 7!0,8469! ! S!O,85y4! 1 9!0,87ly! !0,40!0,8843! 1 1!0,8962! ! 2!0,9081! ! 3!0,3200! ! 4!0,9319! !0,45!0,9437! 1 6!0,9552! ! 7!0,9665! ! 8!0,9777! ! y!O,y887! !0,50!1,0000! --e-----v--

!“‘-T’-‘“.-!

! D! c 1 . ----------- !0,51! -l,Oll! ! 2! 1,022! ! 3! ,1,032! ! 4! 7tO43! !0,55! 1,054! ! 6! 7,064. ! 7! 1,074! ! ! 1,085! ! 9! l,oq5! !0,60! .1,105! ! l! 1,115! ! 2! 1,125! ! 3! 1,135! ! 4! 1,145! !O,i;5! 1,155! ! 6!.1,165! ! 7! 1,175! ! 8! 1,184! ! y! 1;193! !0,70! 1,203! ! l! 1,212! ! 2! 1,222! ! 3! 1,23-u ! 4! 1,241! !0,75! 1,2,50! ! 6! 1,259! ! 7! 1,268! ! 8! 1,277! ! 9! 1,286! !-O,RO! 1,295! ! i! 1,304! ! 2! 1,313! ! 3! 1,321! ! 4! 1,330! !0,85! 1,339! ! 6! 1,348! ! 7! 1,356! ! 8! 1,365! ! 9! 1,373! !O,yo! 1,382! 1 IE 1,390! r 2! 1,398! ! 31 l,!bOi! 1 A! 1,415! !0,95! 1,423! ! 6! 1,431! 1 7! J,439! ! 8! 1,438! ! y! 1~456! !I oo! 1,464! -z------v--

! ----ï------ p 1. c

.! f.

___-_-__-__- !l,O-l! 1,472! ! 2! 1,480! ! 3! *1,488! ! 4! 1,496! !1,05! 1,504!' ! 6! 1,512! ! 7! 1,520! ! 8! 1,527! ! 9! 1,535! ?l,lO! 1,543! ! i! 1,115‘! ! 2! 1,558! ! 3! 1,566! ! 4! 1,573! !1,15! 1;581.!. ! !

y yY&! ! !

! 8! 1;604! !,. g! 1,61-c '!1,20! 1,619! ! i! 1,626! ! 2! 1,633! ,! 3! 1,641! ! 4! 1,648! !1,25! 1,655!- ! 6! 1,662! ! 7! -r,669! ! 8! 1,677! ! g! 1,684! !1.,30! 1,691! ! l! 1,698! ! 2! 1,705! ! 3! 1,713! ! .4! 1,720! !1,35! 1,727! ! 6! 1,734! ! 7! 1,741! ! 8! 1.,748! ! Y! ?;755! !1,40! 1,762! ! I! 1,769!' r 2! 1,776!. ! 3! 1,782! ! 4! 1,78y! !1,45! 1;7y6! . 6! 1,803! ! 7! 1,810! ! 8! 1,816! ! y! 1,823! !1,50! 1,830! ___---------

..---------- ‘!.‘!-

, D!:.c i < -._e e-w-^ w--c !1,‘51!, .1,837!‘ ! 2! 6,843! ! 3.!“:1,,850! !. 4 !' 1 ;a56 ! ! 1 ;55'!"::'1 , 86.3 r: ! 61 ,-1,,g70'! !' 7!:'l,876! '< ! 8! .l,883j -! '9! 1,889! ' ‘!1,60! .1,896! ! ir'1,902! ! Z! '1;goy !. 3!' ?,:915! ! 41‘. 1.,922!:

6. !1,65!:1;928! ! ,'6!: ,-I $341 i ! 7! '1',941! '.( ! !

8! .1;947! .,, 9:!‘ .l,g5$'!

!1;7o!;.l,g~~,o! ". ! 1 !:. 1 ;966! 1 i 2!,.1,,973! r . . 3"!':,.9731 ! 41 1,986?'- : .!1,75!. 1.,.99?!. ? .6!'l,gq& ' ! 7!:..,2,Oo4!.‘ , . ! 8! .2j01‘1t! ! 9! .2,Olj! !1,80!' 2,023! " . ? ’ 8. 1!.2jo29! ; ! 2! -2,035! i ! 3! 2,042! ! 4!. 2,Q48! ! I ,:a5 b .2,054! !, 6!2,060! ! 7'! .'2, 066 ! ! 8!.'2,072! ! 9! 2,078! !1,90! 2,084! ! l! .2,oqo!. ! i! ,2,096!, ' ! 3!& 2,102!' ! t~!:2,108! '!1,95! $!,114:! ,' 1 :*6! .2:,120! ! 7!.2,~26! ! 8! 2,.l32! ! y! ?,.138! !2,00! 2,14.4! -----'------

*

.

1

---------- iDici . ---- m--s- !2,00!2,144! ! 1!2,150! ! 2!2,155! ! 3!2,161! ! 4!2,166! !2,05!2,172! ! 6!2,178! ! 7!2,183! ! 8!2,189! ! 9!2,194! !2,10!2,200! t 1!2,206! 1 . 2!2,212! ! ,3!2,:218! ! 4!2,224! !2,15!'2,230! ! 6!2,236!

" ! 7!2,242! t F-!!?"?.iJ?!

-.

L‘

:.

.

. .: . .

,’

- 21 -

TABLEAU N" 2 (1 CORRECTION DE DENIVELEE )( (suite)

; .','..y ._.,. i i[/ , 3t,/ i ! 2!2;271! ! 3!2,276! ! 4?2,282! !2,25!2,287! ? 6!2,2g2! ! 7!2,2y7! ! 8!2,303! ! 9!2,308!, !2,30!2,313! ! 1!2,318! ! 2!2,524.? ! 3!2,32y! 1 . a.1. ! 2 33 5 ! , !?,35!2,340! ! 6!2,j46! 1 '7!2,751! ? 0!2,;57!

i, l;;;9;;;; I . . 7’ ‘-9

! 1!2,373! ! 2!2,378! ! 3!2,384! ! ij.!2,38y! !2,45!2,394! ! 6!2,399! 1 7!2,404! ! 8!2,410! ! y!2,415! -sw:~~1’$!

-----...---- !

iD: c! ---- m-e--

!2,50!2,420! !, 1!2,325! ! 2!2,431! ! 3!2,436! ! 4!2,441! !2,.55! 2;447! ! 6!2;453! * ! 7!2,458! ! 8!2,463! ! 9!2,469! !2,60!2,474! 1 . 1!2,480! 1 . 2!2,485! ! 3!2,4yl! ! 4!2,496! !2,65!2,501? ! 6!2,506! ! 7!'2,511! ! ’ n!2$-Î6!

<‘> i 0 7 :: i . i .‘ .I L !

.- :

,.i:. ..-,,!

,~ !Ii. (‘ .<.)

j- -

. 2 :<,5j t z. -?! I

! 2!2,$36! ! 3!2,541! ! 4!2,546! !2,75!2,551! ! 6!2,556! ! 7!2,561! ! 8!2,567! !' y!2,572! !2,80!2,577! ! 1!2,582! ! 2!2,587! ! 3!2,5y2!

;2 ,;i;$;;i 1 _ ' 6;2;607; ! 7!2,612!' ! 8!2,617! ! 9!2,622! !2,90!2,627!. ! 1!2,632! ! 2!2,637! ! 3!2,643! , ! 4!2,648!. !2,95!2,653! ! 6!2,658! ! 7!2,663! ! 8!2,66y! ! 9!2,675! !3 00!2 679! -L ^-em z--a

. ‘. .’

:.. ‘. ,.’

1’ 4

‘. . . ,.

‘. *

. . .

*

.I, .: