ВЫСШАЯ...
Transcript of ВЫСШАЯ...
МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН
ТАШКЕНТСКИЙ АРХИТЕКТУРНО СТРОИТЕЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Методические указания и контрольные задания для студентов заочной формы обучения
ЧАСТЬ 2
Tashkent-2019
Методическое пособие одобрено методическим Советом Ташкентского архитектурно строительного института (протокол №1, 28.09.18)
Авторы: кандидат технических наук, доцент Ш. Р. Хуррамов; кандидат физико-математических наук, доцент А.Абдурахимов; старший преподаватель Ф.С. Холтураев; ассистент Н.У.Аннаев
Рецензенты: кандидат физико-математических наук, А.Бойтураев (НУУз); доктор физико-математических наук, А.Заитов (ТАСИ) Высшая математика: Методические указания и контрольные задания для студентов заочной формы обучения, Часть 2 / Хуррамов Ш. Р., Абдурахимов А., Холтураев Ф.С., Аннаев Н.У.–Ташкент: 2019. ‒ 38 с.
Методическое пособие предназначена для студентов заочной формы обучения направления: 5340200- Строительство зданий и сооружений (по видам), 5340300 –Городское строительство и хозяйство, 5340400 - Строительство и монтаж инженерных коммуникаций (по видам), 5340500- Производство строительных материалов, изделий и конструкций, 340700-Гидротехнтческое строительство (по видам), 5341100- Стоимостьной инжиниринг, 5311500 -Геодезия, картография и кадастр. Пособие содержит варианты для контрольных работ по разделам курса высшей математики «Дифференциальное исчисление функций одной переменной», «Интегральное исчисление функций одной переменной» и «Обыкновенные дифференциальные уравнения». Для каждой контрольной работы приведены решения типичных задач с подробными пояснениями и примерное их оформление.
© Ташкентский архитектурно-строительный институт
3
ВВЕДЕНИЕ
Настоящие учебно-методические материалы предназначены для студентов заочной формы обучения и являются руководством для изучения дисциплины “Высшая математика”. Они содержат в себе основные рекомендации студентам-заочникам при выполнении контрольных работ, а также методические указания по изучению разделов курса высшей математики «Дифференциальное исчисление функций одной переменной», «Интегральное исчисление функций одной переменной» и «Обыкновенные дифференциальные уравнения», с решениями типичных примеров. В разобранных задачах приведено примерное их оформление с пояснениями.
В материалах приведены контрольные задания для двадцати пяти вариантов, которые разбиты на три раздела.
Данное методическое пособие является одним из составных частей организационно-методического обеспечения студентов заочного обучения кафедры математики и естественных наук для студентов инженерных специальностей
ОБЩИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ СТУДЕНТАМ ЗАОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ ПРИ РАБОТЕ НАД КОНТРОЛЬНОЙ
РАБОТОЙ
1. В процессе изучения дисциплины студент-заочник должен выполнить контрольные работы по различным разделам высшей математики, которые рецензируются преподавателем. Рецензия на выполненную работу позволяет студенту судить о степени усвоения им материала курса, указывает на имеющиеся у него пробелы, на желательное направление его дальнейшей работы и помогает сформулировать вопросы для постановки их перед преподавателем.
2. Не следует приступать к выполнению контрольного задания, не решив достаточное количество задач по изучаемому материалу.
3. Каждая контрольная работа должна выполняться самостоятельно. Несамостоятельно выполненная работа не дает возможность преподавателю - рецензенту указать студенту на недостатки в его работе, в усвоении им учебного материала, в результате чего студент не приобретает необходимых знаний и может оказаться неподготовленным к сдаче итогого контроля.
4. Контрольная работа должна быть прислана в срок (до сессии). Невыполнение этого требования не дает возможности рецензенту своевременно указать студенту на допущенные им ошибки и удлиняет срок рецензирования работы.
4
5. При выполнении и оформлении контрольной работы студент должен строго придерживаться следующих правил:
а) контрольная работа должна быть выполнена в отдельной тетради с оставлением полей для замечаний преподавателя-рецензента; б) на обложке тетради в заголовке указывается - контрольная работа по высшей математике и её номер, - фамилия и инициалы студента, номер зачетной книжки, - факультет, курс и группа, - дата отсылки работы в высшее учебное заведение и обратный адрес
студента; в) решение задач следует располагать в порядке следования их
номеров; г) перед началом самого решения задачи необходимо полностью
записать ее условие, заменив, если необходимо, буквенные обозначения числовыми данными, соответствующими своему варианту;
д) все основные этапы решения задач следует сопровождать краткими, но исчерпывающими пояснениями;
ж) в конце контрольной работы указывается используемая литература. 6. Студент выполняет вариант контрольных работ, соответствующей
последным двум цифрам рейтинговой книжки. При этом, эти две цифры делятся на 25 и остаток означает номер варианта контрольной работы, который должен выполнят студент. Если последные две цифры рейтинговой книжки 75,50,25,00 , то студент выполняет вариант № 25.
7. После получения прорецензированной контрольной работы студент должен исправить отмеченные ошибки и предоставить ее на повторное рецензирование.
8. Без предъявления соответствующей прорецензированной и зачтенной контрольной работы студент не допускается к итоговыму контролью по предмету “Высшая математика”.
ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ ПО КУРСУ “ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА”
Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной, ее геометрический и ханический смысл. Дифференцируемость функции. Дифференциал функции.
Дифференцирование суммы, разности, произведения и частного функций. Дифференцирование обратной функции. Дифференцирование сложной функции. Производные основных элементарных функций. Правилы дифференцирования и таблица производных. Логарифмическая производная.
5
Дифференциация параметрически и неявно заданных функций. Производные и дифференциалы высших порядков.
Теорема Ферма. Теорема Роляя. Теорема Лагранжа. Теорема Коши Теорема Лопиталя. Теорема Тейлора.
Условия монотонности функций. Экстремумы функций. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. Вогнутость, выпуглость и точки перегиба графика функции. Асимптоты графика функции. Общая схема исследования и построения графика функций.
Интегральное исчисление функций одной переменной
Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов. Методы интегрирования.
Интегрирование рациональных функций. Интегрирование рациональных дробей.
Интегрирование тригонометрических функций. Интегрирование иррациональных выражений. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Интегральная сумма и определенный интеграл. Геометрическое и механическое смыслы определенного интеграла. Свойства определенного интеграла. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям в определенном интеграле.
Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Несобственные интегралы от неогранеченных функций. Признаки сходимости несобственных интегралов. Геометрические и физические применения определенного интеграла.
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциаль-ные уравнения первого порядка. Задача Коши. Уравнения с разделящимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения. Линейные уравнения. Уравнения Вернулли. Уравнения в польных дифференциалах. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Уравнения, допускающие понижение порядка. Линейные однородные дифференциальные уравнения. Линейные однородные ифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков и второго порядка. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных. Дифференциальные уравнения с правой частью специального вида. Нормальные системы дифференциальных уравнений. Методы решения нормальных систем. Системы линейных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами.
6
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Д.Т.Писменный. Конспект лекций по высшей математике: польный курс- М: Айрис-пресс, 2009. 2. А.П.Рябушко и др. Сборник задач индивидуальных заданий по высшей математике. Ч. 2– Минск, Высшая школа, 1991. 3. О.В Зимина, А.И.Кириллов, Т.А. Сальникова, Высшая математика. М.: Физматлит, 2001. 4 П.С. Данко, А.Г.Попов, Т.Я.Кожевникова. Высая математика в упражнениях и задачах. Ч.1. –М.: 2003. 5. К.Н.Лунгу, Е.В.Макаров. Высшая математика. Руководство к решению задач. Ч.1 – М.: Физматлит, 2007. 6. Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах. 1том. СПб. “Политехника”, 2003.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ
В данном разделе методических указаний приведены примеры решения
типовых задач контрольных заданий. Решение задач приведено по темам, которые студент должен изучить в процессе выполнения контрольной работы. Решенные задачи содержат формулы и пояснения, которые могут быть использованы студентом, при выполнении заданий своего варианта. В то же время, тех теоретических сведений, которые приведены в задачах, недостаточно для сдачи итогого контроля по курсу «Высшая математика», они могут быть использованы лишь при решении практических задач и выполнении контрольной работы.
ТЕМА 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Пример 1. Найти производные функций:
1) ;)7(
473 55 2
xxxy 2) xxarctgy sin3 34 ;
3) 3
3 2 132x
e
xxy ; 4) xxy sin3 .
7
Решение. Найдем производные, пользуясь основными правилами фифференцирования и таблицу производных.
1)
551
25
5 2 )7(4)73()7(
473 xxxx
xxy
)7()7)(5(4)73()73(
51 625
42 xxxxxx
.)7(
20)73(5
271)7(
20)27()73(5
165 4265 42
xxxx
xx
xx
2) )3(43)4()34( sin3sinsin3 xxx xarctgxarctgxarctgy
)(sin3ln343)4(43 sin3sin2 xxarctgxarctgxarctg xx
xxarctgxx
xarctg xx cos3ln343)4(161143 sin3sin
22
xxarctgx
xarctg xx cos3ln343161443 sin3sin
22
.cos3ln1611243 2
2sin
xarctgxx
xarctgx
3)
32
331
2331
2
3
3 2)132()132(
132x
xx
x
e
exxexx
e
xxy
32
331
23232
2
3)132()132()132(
31
x
xx
e
xexxexxxx
3
2
3 2
3 223 132
31
)122(334
x
x
e
xxxx
xe
3 223
2
)132(3
13234
xxe
xxxx .
)132(3
472
3 223
2
xxe
xxx
8
4) Воспользуемся формулой логарифмического производного:
uuvuvuu vv ln)( .
Согласно условию xvxu sin3, . Откуда xvu cos3,1 .
Тогда
xxxxxxy xx 1sin3lncos3)( sin3sin3
xxxxx x sin3lncos3sin .
Пример 2. Найти )(xy для заданных параметрически функций )(xyy :
.
,13
2
ttyttx
Решение. Сначала найдем )(xy :
.1213
)1()( 2
2
3
t
ttt
ttxyy
t
t
t
tx
Тогда
3
22
2
)12()13()12()12()13(
121213
)(t
ttttt
tt
xyy t
t
txxx
3
2
)12()13(2)12(6
tttt .
)12(266
3
2
ttt
Пример 3. Найти придел, используя правило Лопиталя:
xtg
xx
)22(lim
2
.
Решение. )22ln(lim
21
2)1()22(limxxtg
xtg
x
xex
.
Здесь
.00)22ln(lim)0()22ln(lim
21
21
xctgxxxtg
xx
Применяя правило Лопиталя, получим:
.2
sin
222
lim)(
))22(ln(lim)22ln(lim2
221
21
x
xxctg
xxctg
xxxx
9
Итак, .)22(lim2
2
ex xtg
x
Пример 4. Провести полное исследование функции и построить ее график:
112
xxy .
Решение. .1o Область определения функциин: );;1()1;()( fD .2o При 0x , 1y . Функция пересекает ось Oy в точке )1;0( . Функция не пересекает ось Ox , так как 0y . .3o Функция на );1( знако положительний, а на )1;( знако отрицательний. .4o Для функции не выполняютя условие )()( xfxf и )()( xfxf . Поэтому функция общего вида.
.5o
11lim
2
01 xx
x va
11lim
2
01 xx
x.
Таким образом, прямая 1x вертикальная асимптота.
1)1(
1lim2
xx
xkx
, .111lim1
11lim
2
x
xxxxb
xx
Таким образом, прямая, 1 xy будет горизонтальной асимптотой.
Рис. 1
1
O
y
222
21
x
1x
1 xy
10
.6o Найдем интервалы монотонности функции.
,)1(
12)1(
1)1(2)( 2
2
2
2
xxx
xxxxxf 0)( xf 21,21 21 xx .
Производная в точке 1x не существует и в точках 21,21 21 xx равна нулю. Эти точки разбивают область
определения функции на четыре интервала монотонности );21(),21;1(),1;21(),21;( . Функция возрастает на
интервалах );21(),21;( и убивает на интервалах ,1;21
)21;1(),1;21( . .7o Исследуем функцию на экстремум. Рассмотрим изменение знака y при переходе через критические точки: Следовательно, 21x – точка максимума, 21x – точка минимума. 222)21(,222)21( minmax fyfy . .8o Исследуем функцию на выпуклость и вогнутость и определяем точки перегиба функции. Вичислим вторую производную
4
22
)1()12)(1(2)1)(22()(
xxxxxxxf 0)(,
)1(4
3
xfx
Отсюда ясно, что функция выпугла вверх на )1;( и выпугла вниз на );1( , функция не имеет точка перегиба.
Используя полученные в пунктах oo 81 данные, строим искомий график (рис. 1).
ТЕМА 2. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ
ПЕРЕМЕННОЙ Пример 5. Найти неопределенные интегралы:
1) dxxxx
xx
)52)(1(
5742
2
; 2) dxx
xx
cos1
cos3sin2 ;
3) dxxx
xx
3
63 2
.333)3(
; 4)
.
)1(12 5
3 24
dxxxx
Решение. 1) Подинтегральная дробь – правильная. Разложим ее на сумму простейщих дробей:
521)52)(1(574
22
2
xxCBx
xA
xxxxx
_ _ x
. . . 1 21 21
11
Для того, чтобы найти неизвестные коэффициенты CBA ,, , приведим дроби в правой части равенства к общему знаминателю и избавляясь от знаминателей, приходим к равенству:
).1)(()52(574 22 xCBxxxAxx
Найдем коэффициенты CBA ,, :
.55:,4:
,816:1
0
2
CAxBAx
Ax
Откуда .5,2,2 CBA
Таким образом,
52)52(|1|ln2
5252
12
)52)(1(574
2
2
22
2
xxxxdxdx
xxx
xdxdx
xxxxx
.2
123|52|ln|1|ln2
2)1()1(3 2
22 Cxarctgxxxx
xd
2) Преобразуем подинтегральную функцию:
.3cos1sin13
cos1sin1cos33
cos1cos3sin2
1 CIxdxxxdxdx
xxxdx
xxx
В интеграле 1I воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой:
arctgtx
tdtdx
ttx
ttxxtgt
dxxxI
,12
,11cos,
12sin,
2cos1sin1
2
2
2
2
1
2
2
2
2
12
111
121
tdt
tttt
2
2
22
2
1)1(
12
121
ttdt
ttdtdtdt
ttt
.2
cosln222
1ln2
|1|ln 22 xxtgxtgxtgtt
Таким образом,
.2
cosln22
3cos1
cos3sin2 Cxxtgxdxx
xx
12
3) Применяем подстановку 63 tx , так как 6)6,3,2( EKUK .
Отсюда .6,3 56 dttdxtx
Тогда
dttttttdx
xxxx 5
23
4
3
63 2
6.333)3(
dttttdtttt )1(6
116 244
3
.)3(56)3(
76
56
76
6 56 7567 CxxxCttt
4). Представим подинтегральную функцию в стандартном виде
.132
41
1217
xx
Отсюда видно, что под знаком интеграла стоит дифференциальный
бином, при этом .32,
41,
1217
pnm Bundan .11
pn
m
Воспользуемся третьей подстановкой Чебышева:
341
41
1 txx yoki .1)1( 341
tx
Откуда ,1 31
4
4
xxt ,)1( 43 tx .)1(12 532 dtttdx
Тогда
dttttttdxxxx 5323
21333
172
12 5
3 24
)1())1(()1(12)1(
dttdttt 4225
32
317
2 12)1(12
.15
125
123
5
4
45 C
xxCt
Пример 6. Вычислить определенные интегралы:
1) 9
02 3cos
xxdx ; 2)
2
268 .cossin2 xdxx
13
Решение. 1) Применим формулу интегрирования по частям:
9
0
9
02
9
02 3
313
31
331,
3cos
,,
3cos
xdxtgxxtgxtgv
xdxdv
dxduxu
xxdx
|0cos|ln
3cosln
91
273|3cos|ln
910
3931 9
0
xtg
2ln332711ln
21ln
91
273
.
2) Преобразуем подинтегральную функцию:
222222424268 )cossin2()sin2(16)cossin2)(sin2(2cossin2 xxxxxxxx
xxxxx 2sin)2cos2cos21(162sin)2cos1(16 2222
xxxxx 2cos2sin162sin2cos322sin16 2222
222 )2cos2sin2(42sin2cos32)2sin2(8 xxxxx
)8cos1(22sin2cos324cos88 2 xxxx
.2cos2sin328cos24cos810 2 xxxx
Имеем:
2 2 2 2
2
2
268 2cos2sin328cos24cos810cossin2 xdxxxdxxdxdxxdxx
2
2
222
)2(sin2sin1688sin2
44sin810 xxdxxx
.53
2sin16002
102
3
x
Пример 7. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением кривой l вокруг заданной оси:
:l дуга астроиды tytx 33 sin5,cos5 , 2
0 t вокруг оси .Oy
Решение. Если дуга кривой, заданная параметрическими уравнениями ),(tx ),(ty t , вращается вокруг оси Oy , то площадь
поверхности вращения вычисляется по формуле
dtttt )()()(2 22 .
14
Рис 2
O
5
x
y
5
Вычислить площадь поверхности, образованной вращением астроиды
tytx 33 sin5,cos5
20 t вокруг оси Oy : (рис. 2):
2
0
22223 )cossin15()sincos15(cos52
dtttttt
2
0
32
0
2223 sincoscos150)sin(cos)sin(coscos150
tdtttdtttttt
2
0
2
0
54
2
0
4 .305
cos150)(coscos150sincos150
tttdtdtt
Пример 8. (8.1-8.15). Найти координаты центра тяжести однородной плоской дуги кривой l :
:l одна арка циклоиды )cos1(),sin( tayttax . Решение. Первая арка циклоиды симметрична относительно прямой
ax . Поэтому абсциссса центра тяжести равна axc . Находим ординату центра тяжести астроиды по формуле
m
ydly
b
ac
,
b
a
dlm
Здесь dttattadl )cos1()sin( 2 dttta 222 sin)cos1(
15
.2
sin2cos22 dttadtta
Считаем const , так как, кривая однородная. Тогда
2
0
dlm ;82
cos42
sin22
0
2
0
atadtta
2
0
22
0
2
2sin
2sin22
2sin)cos1(2 dtttadtttaa
2
0
322
0
22
2cos
31
2cos8
2cos
2cos18 ttatdta
;3
3231
31118 22 aa
.34
8332 2
aa
ayc
Итак,
34; aaC .
Пример 8. (8.16-8.25). Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры D , ограниченной данными линиями:
:D ограниченной прямой 1by
ax и осями координат.
Решение. Найдем из уравнения прямой: .bxaby
Воспользуемся следующими формулами
,m
xydxx
b
ac
,2
1 2
m
dxyy
b
ac
b
a
ydxm .
Тогда
;222
0
2
0
babababxxabdxbx
abm
aa
;62323
222
0
23
0
bababaxbxabdxbx
abx
aa
dxx
abx
abbdxbx
ab aa
0
22
222
0
2 222
;632
22
2
0
3
2
2222 abx
abx
abxb
a
16
;36
22 aba
baxc
.
3622 b
baabyc
Итак,
3;
3baC .
ТЕМА 3. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Пример 9. Найти общее решение ураввнений:
1) 034 22 dyxydxyx ; 2) 03)3( 22 yyxxy .
Решение. 1) Эта уравнение с разделяющимися переменными. Разделим обе части уравнения на 034 22 xy . Получим уравнение с разделенными переменными:
043 22
y
ydyx
xdx .
Интегрируя обе части уравнения, имеем:
Cyx 22 43 .
Отсюда 22 34 xCy
или
4)3( 22 xCy .
2) Преобразуем уравнения к виду
2
2
33
xxyyy
где 2
2
33),(
xxyyyxf
– однородная функция.
Следовательно, данное уравнение однородное.
Сделаем подстановку xxuyuxy ,
22
22
33
xuxuxuxu
yoki 13
3 2
uuuxu .
17
Отсюда
13
33 22
u
uuuxu yoki .13
uuxu
Разделяем переменных:
.13x
dxduu
u
Интегрируя, имеем:
xdxCdu
uu ln13 yoki .||lnln3||ln xCuu
Откуда xuCu ln3 . Сделаем подстановку
xyu :
yC
xy ln3 или x
y
Cey3
.
Пример 10. Решить задачу Коши:
21)0(,0cos2 yxyytgxy .
Решение. Преобразуем уравнение к виду: xyytgxy cos2 .
Это уравнение Бернулли, где 2n .
Полагаем 121 yyz и получаем линейное уравнение
xztgxz cos .
Сделаем подстановку ,uvz uvvuz :
.cos)( xvtgxvuvu
Для определения функции vu, решаем систему
xvuvtgxv
cos,0.
Из первой уравнение системы найдем частное решение xv cos и подставым ее на второе уравнение:
xxu coscos , 1u , .Cxu
Найдем общие решение исходного уравнения:
,uvz .cos)( xCxz
18
Откуда xCxy cos)(1 или .cos)(
1xCx
y
Наконец, учитывая, что 21)0( y , т.е.
C1
21 , получим 2C .
Следовательно, .cos)2(
1xx
y
Пример 11. Решить дифференциальные уравнения методом вариации произвольных постоянных:
xyy
3sin19 .
Решение. Запишем уравнение без правой части .09 yy Его характеристическое уравнение имеет вид 092 k , откуда ik 32,1 , т.е.
xCxCy 3sin3cos 211 .
Частное решение ищем в виде
xxCxxCy 3sin)(3cos)( 21 .
По методу вариации произвольных постоянных, имеем
xxxCxxC
xxCxxC
3sin13cos)(33sin)(3
,03sin)(3cos)(
21
21
.
Откуда xctgxCxC 331)(,
31)( 21
или после интегрирования
.|3sin|ln91)(,
31)( 21 xxCxxC
Таким образом, частное решение исходного уравнения
xxxxy 3sin|3sin|ln913cos
31
и общее решение
xxxxxCxCy 3sin|3sin|ln913cos
313sin3cos 21 ,
xxCxxCy 3sin|3sin|ln913cos
31
21
.
19
Пример 12. Решить систему дифференциальных уравнений:
.cos3,sin
212
211
xyyyxyyy
Решение. 1) Преобразуем систему к виду:
.3,
212
211
yyyyyy
Составим характерическое уравнение и решим ее:
01311
, .2,2 21
Находим собственные числа. При 21 имеем: 03 2111 , 111 и 321 . При 22 имеем: .1,1 2212
Тогда решение однородной системы имеет вид:
xx
xx
eCeCyeCeCy
22
212
22
211
3,
.
Частное решение заданной системы ищем в виде:
xBxAyxBxAy
sincos,sincos
222
111 .
Откуда
.cossin,cossin
222
111
xBxAyxBxAy
Подставим 2121 ,,, yyyy в заданную систему и приравнивая коэффициентов перед xcos и xsin находим:
.54,
51,
51,0 2211 BABA
Итак, искомые частные и общее решения имеет вид:
xxy
xy
sin54cos
51
,sin51
2
1
,
.sin54cos
513
,sin51
22
212
22
211
xxeCeCy
xeCeCy
xx
xx
20
ЗАДАНИЯ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
Пример 1. Найти производные функций:
1.1. 1) .)5(
8125 23 4
xxxy 2) .arccos1 4x
xctgy
3) .)52( 3
tgxexy
4) .)(cos 42 xxy
1.2. 1) .375)2(
3 7 25
xx
xy 2) .3 5xarcctgxtgy
3) .534 2
3
xxey
xtg
4) .)1( cos3 xxy
1.3. 1) .534
5)7( 23 5
xxxy 2) .2arccos2 33 xxtgy
3) .)5( 4
2sin
xey
x
4) .)( 15 xarctgxy
1.4. 1) .732
2)4( 25 6
xxxy 2) .32 5 xarctgy tgx
3) .252
5cos
xxey
x 4) .)( 1 xarctgxy
1.5. 1) .)5(134
3 52
xxx
y 2) .arcsin2 53 xxtgy
3) .733
2
xexxy
4) .2cos xxy
1.6. 1) .132)4(
3 6 22
xx
xy 2) .2arccos 37 xxctgy
3) .574 2
xxtgxey
x
4) .3 xxy
1.7) 1) .34)4(
3 3 42 xx
xy
2) .7 6sin xtgey x
3) .)42(
cos5
3
xxy 4) .)(sin 3xxy
21
1.8. 1) .736
8)1(
223
xxx
y 2) .8 3cos xctgey x
3) .15 32 xexxy 4) .)(cos2xxy
1.9. 1) .38)1(
7 23 xx
xy
2) .4arccoscos5 xxy
3) .)52(
27
2
xy
x
4) .)( sin xtgxy
1.10. 1) .)4(
4543 45 2
xxxy 2) .57sin 23 xarcctgxy
3) .)23( 2
5sin
xey
x
4) .23 xxxy
1.11. 1) .)3(
4543 53 2
xxxy 2) .33sin 52 xarcctgxy
3) .)13( 44 xexy 4) .3sin xxy
1.12. 1) .)2(
423 334
xxxxy 2) .cos 45 arctgxxy
3) .)245( 322 xexxy 4) .)1( sin2 xxy
1.13. 1)
.)13(4
33 42
2
xxx
y 2) .7cos2 26 xxtgy
3) .)53( 4
5
xey
xctg
4) .)2(sin 1 xxy
1.14. 1) .)153(
10)4( 23 7
xxxy 2) .arcsin43 xxctgy
3) .)32(2
7
xexy
4) xtgxy 2)1(
1.15. 1) .)2(
4523 53 4
xxxy 2) .52 3cos xarctgy x
3) .)42(
322
2
xxy
x
4) 12
)(sin xxy
22
1.16. 1) .132
3)3( 33 4
xxxy 2) ).2(ln4 5 xy x
3) .)53( 3
4
xey
x
4) .)13( arcsin2 xxy
1.17. 1) .258)2(
7 25 xx
xy
2) .7arcsin3 4xy tgx
3) .)52( 6
4sin
xey
x
4) .)( 4 xxey
1.18. 1) .742
5)1( 23 5
xxxy 2) .2arccos5 52
xy x
3) .10534
2
xexxy
4) .)1( 13 2 xxy
1.19. 1) .)142(
54 22
5
xxxy 2) .23sin 34 xarctgxy
3) .257cos
3
xexxy
4) .)( 13 xtgxy
1.20. 1) .)1(
5537 35 32
xxxy 2) xxtgy arcsin23
3) .43 2
3
xxey
xtg 4) .)( sin3 xxey
1.21. 1) .857
9)3( 27
xxxy 2) .3sin 5 xarctgxy
3) .152
3
xxey
x
4) .arcsin xxy
1.22. 1) .431
28 23
xxxy
2) .3arcsin3cos 24 xxy
3) .)243( 2
5
xxey
xctg
4) .)(arcsin xxy
23
1.23. 1) .237
4)1( 24 5
xxxy 2) .8cos2sin 53 xxy
3) .5
3arccos
xey
x
4) .)( 3 xetgxy
1.24. 1) .736
3)2( 25 6
xxxy 2) .143cos 35 xtgxy
3) 2
5sin
)23(
xey
x
4) .)(sin 6 xxy
1.25. 1) .)3(
3251 42
xxxy 2) .4arcsin 24 xxtgy
3) .23 2
xexxy
4) .15sin xxy
Пример 2. Найти )(xy для заданных параметрически функций )(xyy :
2.1.
.cos,sinttyttx
2.2.
.18,2
3
5
ttyttx
2.3.
.cos,2
tyex t
2.4.
.cos
1,
2 ty
ctgtx
2.5.
.2sin,2cosln
2 tytx
2.6.
).1ln(
,31
2
3
ty
ttx
2.7.
).(
31
,133
3
tt
t
eey
ex 2.8.
.),1ln( 2
tarctgtytx
2.9.
).cos1(2),sin(2tyttx
2.10.
.sin
1,
2 ty
tgtx
2.11.
.4cos21
,4sin3
3
ty
tx 2.12.
.ln2,
tctgyctgttgtx
2.13.
.1
3,4
2
2
t
t
ey
ex 2.14.
.sin2,cos3
3
2
tytx
24
2.15.
.sin,cos2
ttytx
2.16.
.sinln,cosln
ttyttx
2.17.
.sin,cos3
ttytx
2.18.
.sin,cos
ttyttx
2.19.
.sin,2sin2
3 tyttx
2.20.
.2arccos
),1arcsin( 2
tytx
2.21.
.sin
,2
cos
tty
tx 2.22.
.cos1,2
tytx
2.23.
.1,
2
23
tty
tttx 2.24.
.2cos
,2sin21
ty
ttx
2.25.
.2cos
,2sin21
ty
ttx
Пример 3. Найти придел, используя правило Лопиталя:
3.1. tgx
x x
1lim0
. 3.2. xtgxtg
x 53
lim2
.
3.3. )ln(lim0
xxx
. 3.4. .55
4arcsinlim0 xx e
x
3.5. .sin4sinlim
0 xxxtgx
x
3.6. .2)2cos1(lim
0xctgx
x
3.7. .)1(lim sin1
0
x
xx
3.8. .lnlim 2
0xx
x
3.9. .ln1
11lim
0
xxx 3.10.
xe xx
11
1lim
0
.
3.11. 2
sin
0lim x
aa xx
x
. 3.12. )ln(cos)ln(cos
lim0 bx
axx
.
3.13. )21ln(
1lim
0 xe x
x
. 3.14.
xe x
x 2sin1
lim0
.
25
3.15. x
xx
1
0coslim
. 3.16. x
xx
1
0)sin1(lim
.
3.17. xtg
x
tgx 2
4
)(lim
. 3.18. )(lim 3 x
xex
.
3.19. 20 1
limxx
ba xx
x
. 3.20.
2)(lim
xtgxx
.
3.21. 3
lnlim
xx
x . 3.22.
xx
xx lnln1lim
1.
3.23. ctgx
xx)sin1(lim
0
. 3.24.
xx
x
coslnlim0
.
3.25. 30lim x
arctgxxx
.
Пример 4. Провести полное исследование функции и построить ее график:
4.1. xx
xxy2
12
2
4.2. 211x
y
.
4.3. )1(4
)3( 2
x
xy . 4.4. 1
22
xx
y .
4.5. xx
xy21
2
. 4.6. 1)1(
2
2
xxy .
4.7. 2
2
4142xxy
. 4.8. 2
3 1x
xy .
4.9. 14
22
2
xxy . 4.10. 23 x
xy
.
4.11. 212
xxy
. 4.12. 2
2
)1()1(
xxy .
4.13. 9
12
x
y . 4.14. 2)1(
x
xy .
4.15. 2)1()1(8
xxy . 4.16.
2)1(12
xxy .
4.17. 13
4
xxy . 4.18. 2
3
)1(2
xxy .
26
4.19. 2
3 2
x
xy . 4.20. 2)1(
4
x
xy .
4.21. 25
52
2
xxy . 4.22.
1332
x
xxy .
4.23. x
xy 12 . 4.24.
xxy 163
.
4.25. 2
2 14x
xxy .
Пример 5. Найти неопределенные интегралы:
5.1. 1) .
)134)(1(77
2 dxxxx
x 2) .
cos3sin42 xxdx
3) .
)1( 3
63 2
dxxx
xxx 4) .1
2
3 2
dxx
x
5.2. 1) .
)136)(1(63
2
2
dxxxx
xx 2) .
sin3cos4 xxdx
3) .
313
3dx
xx 4)
.115 4
3 5
dxxx
x
5.3. 1) .
)4)(2(13
2
2
dxxxxx 2)
.sin35
sinx
xdx
3) .1
2dx
xxx 4)
.19 4
3 3
dxxx
x
5.4. 1) .8
1243
2
dxx
xx 2) .
cossin1cos
xxxdx
3)
.13
3 2
dxxx
x 4) .1
152
3 5 4
dxxxx
5.5. 1) .
)52)(1(133
2 dxxxx
x 2) .
cos17cos5sin6 dx
xxx
3)
.11
13
dxx
x 4) .1
9 8
3 3 2
dxxxx
27
5.6. 1) .
)2)(1(153
2
2
xxxx 2)
.5cos3 x
dx
3) .
3 3 2xxdxx 4)
.
)1(8 7
4 3
dxxxx
5.7. 1) .
)32)(2(12
2
3
dxxxx
x 2) .
3cos5 xdx
3) .
111 3
dxx
xx 4) .19 4
3 3
dxxx
x
5.8. 1) .
)1)(1(532 dx
xxx 2)
.3cossin xx
dx
3) .
6
3
dxxxxx 4)
.
)1(20 72
5 44 3
dxxxx
5.9. 1) .
)1)(2(65
2 dxxxx
x 2) .
1cossinsin1 dx
xxx
3)
.43 2
dxxx
x 4) .112 5
4 3
dxxx
x
5.10. 1) .
)1)(2(12
2
2
dxxxx
xx 2) .
)cos1(cos xxdx
3) .
)1( 3
3 2
dxxx
xxx 4)
.)1(
32
3 25 4
dxxx
x
5.11. 1) .1
233
2
dxx
xx 2) .
5cos3sin xxdx
3) .)1)(1(
6 5
3
dxx
xx 4) .15 2
5 3
dxxx
x
5.12. 1) .
)102)(2(36
2 xxxdx 2)
.3sincos2 xx
dx
3) .
1 3
6
xdxx 4)
.
)1(6 5
3 2
dxxxx
28
5.13. 1) .
)1)(1(13
2
2
dxxxx
xx 2) .
cossin2 xxdx
3) .
3 xxdx 4)
.13
3 4
dxxxx
5.14. 1) .
)22)(1(23
2 dxxxx
x 2) .
sin3cos xxdx
3) .1
11 3
dxx
x 4). .1
6 5
4 3 2
dxxxx
5.15. 1) .
)22)(3(25
2 dxxxx
x 2) .
cossin1sin
xxxdx
3) .
1111
3dx
xx 4)
.1
25 112
5 5 6
dxxxx
5.16. 1) .
)1)(1(352 dx
xxx 2)
;cossin3 xx
dx
3)
.)(
16
3
dxxxx
x 4) .1 3
dxxxx
5.17. 1) .
)134)(2(612
2 dxxxxx 2)
.5cos3 x
dx
3) .
)1(1
3dx
xxx 4)
.
)1(9 5
3 23
dxxxx
5.18. 1) .
)52)(1(1022
2
2
dxxxx
xx 2) .
cos4sin3 xxdx
3) .
3
6
xxdxx 4)
.
)1(5 22
4 35 4
dxxxx
5.19. 1) .
)32)(2(73
2 dxxxx
x 2) .
cos48 xdx
3) .
1 4dx
xx 4)
.
)1(52
5 43 2
dxxx
x
29
5.20. 1) .
)1)(2(34
2 dxxxx
x 2) .
4sin4cos3 xxdx
3) .
1
3
dxx
x 4) .1
82
4 3
dxxxx
5.21. 1) .
)136)(1(36175
2
2
dxxxx
xx 2) .
cos2cos
xdx
3)
.1 3 2x
dxx 4) .13 2
3
dxxx
x
5.22. 1) .
)102)(2(222
2 dxxxx
x 2) .
2cos3sin xxdx
3)
.33
33
6
dxxx
x 4)
.
)1(12 7
4 33
dxxxx
5.23. 1) .
)52)(1(772
2
2
dxxxx
xx 2) .
cos3sin2 xxdx
3) .
)(3 xxxdx 4)
.
)1(10 9
5 4
dxxxx
5.24. 1) .
)136)(1(13
2
2
dxxxx
xx 2) .
5sin4cos2 xxdx
3) .
1111 dx
xx 4)
.
)1(42
3 24 3
dxxxx
5.25. 1) .2765
3
2
dxxx 2).
.cos3sin25 xx
dx
3)
.22
23
dxxxx 4)
.152
5 4
dxxxx
Пример 6. Вычислить определенные интегралы:
6.1. 1)
0
2
2 .3cos)2( xdxx 2)
0
84 .cos2 xdx
6.2. 1) 2
1
2 .lne
xdxx 2)
0
264 .cossin2 xdxx
30
6.3. 1) 3
0
2 .sin)3( xdxxx 2) 2
0
444 .cossin2 xdxx
6.4. 1) 2
1
.)23ln( dxxx 2)
0
84 .sin2 xdx
6.5. 1) 2
1
2 .ln xdxx 2) 2
0
44 .4
cos4
sin dxxx
6.6. 1) 2
0
2 .cos)1(
xdxx 2) 2
0
62 .4
cos4
sin dxxx
6.7. 1)
1
1
22 .dxexx
2)
2
628 .cossin2 xdxx
6.8. 1) 1
0
;xarctgxdx 2)
0
2
88 .sin2
xdx
6.9. 1)
0
2
2 ;)1( dxexx
2) 2
0
44 .3cos3sin xdxx
6.10. 1) e
xdxx1
2 .ln 2)
0
624 .cossin2 xdxx
6.11. 1) 1
0
32 .dxex x 2)
2
88 .cos2 xdx
6.12. 1)
1
0
2 .)1(lne
dxx 2)
0
2
628 .cossin2
xdxx
6.13. 1) 2
0
2 .2
sin
dxxx 2) 2
0
62 .cossin xdxx
6.14. 1) 3
02 .
cos
xxdx 2)
0
444 .cossin2 xdxx
6.15.1) e
xdxx0
2 .ln 2) 2
0
8 .4
cos dxx
6.16. 1) e
xdx1
3 .ln 2)
0
624 .2
cos2
sin2 dxxx
31
6.17.1)
0
3 .sin xdxx 2) 2
0
26 .cossin xdxx
6.18.1)
0
2
2 .3cos)4( xdxx 2)
0268 .cossin2
xdxx
6.19. 1) 3
4
2 .sin
xxdx 2)
2
88 .sin2 xdx
6.20. 1) 3
4
2 .2sin)3(
xdxxx 2)
2
448 .cossin2 xdxx
6.21. 1)
0
1
2 .)1ln( dxxx 2)
0
444 .2
cos2
sin2 dxxx
6.22.1)
0
2 .2
cos)1( dxxx 2) 2
0
8 .4
sin dxx
6.23. 1) e
dxx
x1
2 .ln3 2)
0
2
88 .cos2
xdx
6.24.1)
0
1
2 .)1( dxex x 2)
0
2
448 .cossin2
xdxx
6.25.1) .1
0 dxxxarctg 2)
0
84 .2
cos2 dxx
Пример 7. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением кривой l вокруг заданной оси:
7.1. :l дуга кривой teytex tt cos,sin , 2
0 t , .Ox
7.2. :l дуга астроиды tytx 33 sin2,cos2 , .Oy
7.3. :l дуга одной арки циклоиды )cos1(3),sin(3 tyttx , .Ox
7.4. :l дуга окружности sin4r , 2
0 , .Ox
7.5. :l дуга кривой 16
4,24
23 tytx , 220 t , .Ox
32
7.6. :l дуга кривой 2
ln4
2 xxy , ex 1 , .Ox
7.7. :l дуга синисоиды xy sin , x0 , .Ox
7.8. :l дуга эллипса 11625
22
yx , 50 x , .Ox
7.9. :l дуга цепной линии 2
2 xchy , 20 x , .Ox
7.10. :l дуга параболы yx 22 , 230 y , .Oy
7.11. :l дуга кривой
2cos
12
r , 2
0 , .Ox
7.12. :l дуга параболы 122 xy , 70 x , .Ox
7.13. :l дуга лимнискаты 2cos92r , 4
0 , .Ox
7.14. :l дуга кривой cos4r , .Ox
7.15. :l дуга кардиоиды )cos1(2 r , 2 , .Ox
7.16. :l дуга кривой teytex tt cos,sin , 2
0 t , .Oy
7.17. :l дуга кривой 2
ln4
2 yyx , ey 1 , .Oy
7.18. :l дуга кривой tytx sin1,cos , .Ox
7.19. :l дуга кривой 3
,2
432 tytx , 220 t , .Oy
7.20. :l дуга эллипса 1259
22
yx , 50 y , .Oy
7.21. :l дуга кривой
2sin
12
r , 2
0 , .Ox
7.22. :l дуга одной арки циклоиды )cos1(2),sin(2 tyttx , .Oy
33
7.23. :l дуга кардиоиды )cos1(5 r , 2
0 , .Oy
7.24. :l дуга астроиды tytx 33 sin4,cos4 , .Ox
7.25. :l дуга кривой xey , 0x , .Ox
Пример 8. (8.1-8.15). Найти координаты центра тяжести однородной плоской дуги кривой l :
8.1. :l дуга астроиды 4
sin2,4
cos2 33 tytx , расположенная в первом
квадранте.
8.2. :l дуга кривой sin2r , 0 .
8.3. :l дуга цепной линии )3(3 xchy 33 x .
8.4. :l дуга астроиды tytx 33 sin5,cos5 , расположенная слева от оси Oy .
8.5. :l дуга окружности 922 yx , стягивающая центральный угол o60 .
8.6. :l дуга кардиоиды )cos1(2 r , 2 .
8.7. :l дуга кривой 32 ,3 ttytx , 10 t .
8.8. :l дуга развертки окружности )cos(sin3),sin(cos3 tttytttx ( t0 ).
8.9. :l дуга кривой 3
sin 3 ar .
8.10. :l полуокружность 2522 yx , расположенная над оси Ox .
8.11. :l дуга кардиоиды )cos1(4 r 0 .
8.12. :l дуга цепной линии axachy , axa .
8.13. :l дуга окружности 1622 yx расположенная направо от оси Oy .
8.14. :l дуга астроиды 2
sin3,2
cos3 33 tytx расположенная в третьем
квадранте.
8.15. :l дуга кривой cos2r , 4 dan
44 .
34
Пример 8. (8.16-8.25). Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры D , ограниченной данными линиями:
8.16. :D ограничена первой петлей лимнискаты 2cos92r .
8.17. :D ограничена дугой синисоиды xy sin и отрезком оси Ox ( ];0[ ).
8.18. :D ограничена кривыми xy 32 и yx 32 .
8.19. :D ограничена дугой астроиды tytx 33 sin4,cos4
20 t .
8.20. :D ограничена кардиоидой )cos1(2 r .
8.21. :D ограничена осями координат и дугой эллипса
11625
22
yx )0,0( xy .
8.22. :D ограничена кривыми 0,0,)2( 2 yxxy .
8.23. :D ограничена дугой окружности 1622 yx , стягивающая центральный угол o60 .
8.24. :D ограничена кривыми 6 yx , 0,0 xy .
8.25. :D ограничена осями координат и дугой косинусоиды xy cos .
Пример 9. Найти общее решение ураввнений:
9.1. 1) .1)1( yye x 2) .22 yxyyxy
9.2. 1) .ln 3' xeyy 2) .332 yxyxy
9.3.1) ).2(cos)2cos(cos3 yxyxyy 2) .0)75()54( dyxydxxy
9.4. 1) .02)8( dxyeye xx 2) .1ln
xyyyx
9.5. 1) .032
xdxdyyx 2) .0)2( yyxxy
9.6. 1) .0)1( 22
dxyxdye x 2) .sinxy
xyy
9.7. 1) .3 ydydxe xy 2) ).( 223 xyyyx
9.8. 1) .0)( xyyyxyx 2) .xytg
xyy
35
9.9.1) .)1(2 22 dxxdyyx 2) .ln)(
x
yxyxyyx
9.10.1) .0)()( 22 yxyyxxy 2) .xy
xeyyx
9.11.1) .)1( 2 dxxxydy 2) .lncos
xyyyx
9.12. 1) .011
2
2
xyy 2) .)2( 22 yxyyxyx
9.13. 1) .sincoscossin xdxyxdyy 2) .yx
xyy
9.14. 1) .10 yxy 2) .)( yxxyy
9.15. 1) .011 22 dxyxdyx 2) .0ln xdydxxyy
9.16. 1) .)1()1( dyxdxy 2) .2 22 xyyxy
9.17. 1) .04 22 xxyyx 2) .)2( 22 yxyxyxy
9.18. 1) .0)32(2 dxyxydyx 2) .0)2( ydxdyxy
9.19.1) .0)1( 2 dyxdxy 2) .)63()32( 2322 dxyxyxdyxy
9.20. 1) .0)1(1 yey 2) .)(2 yyxxy
9.21. 1) .0)33()24( 22 dyyxydxxyx 2) .02)3( 22 xydydxyx
9.22.1) .cos2cossin xxyyy 2) .0)2( 22 dyxdxxyy
9.23.1) .)12( tgxyy 2) .22 dyyxxdyydx
9.24.1) .3 22 ydyxydydxy 2) .24 22 yyxyx
9.25. 1) .0)4( dyedxex yy 2) .22 yexyxye yx
yx
Пример 10. Решить задачу Коши:
10.1. ,3
2xyyxy .3)1( y 10.2. .49)0(,2 yyeyy
x
36
10.3. .1)0(,2 yxyyy 10.4. .21)1(,ln2 2 yxyyyx
10.5. .1)1(,)54(53 4 yyxyyx 10.6. .2)0(,22 23 yyxxyy
10.7. .1)0(,2 yxyyy 10.8. .2)0(,)(2 2 yxyyy
10.9. .1)0(,cos4 yxyytgxy 10.10. .2)1(,2 yxyyxy
10.11. .1)1(,42 2 yyyxyx 10.12. .1)0(,33 yyyxy
10.13. .1)0(,sin32 4 yxyytgxy 10.14. .1)1(,ln2 yxyyyx
10.15. .1)1(,)(2 2 yxyyyx 10.16. .3)1(,ln)(3 2 yxyyyx
10.17. .2)1(,2 xyxxxy 10.18. .2)0(,0cos2 yxyyy
10.19. 3322 .3)1(, yyxyxy 10.20. .8)2(,2 3 yyyxyx
10.21. .1)1(,2 yxyyyx 10.22. .4)0(; yeyxyy x
10.23. .2)1(,32
xdyy
yxxdx 10.24. .
22)0(;
23 yeyxyy x
10.25. .2)1(;2 yxyyxy
Пример 11. Решить дифференциальные уравнения методом вариации произвольных постоянных:
11.1. ctgxyy . 11.2. xtgyy 24 .
11.3. xxyy 2cos . 11.4. tgxyy .
11.5. xctgyy 24 . 11.6. xxeyyy 2 .
11.7. .4 22 xx eeyy 11.8. x
yy2sin
14 .
11.9. xeyyy 21
165
. 11.10. .1
x
x
eeyy
11.11. .cos
22x
eyyyx
11.12. .44 3
3
xeyyy
x
11.13. x
yysin
1 . 11.14. .2
xeyyy
x
37
11.15. .cos
542
xeyyy
x
11.16. .2cos
14x
yy
11.17. .1
123
xeyyy 11.18. .ln44 2 xeyyy x
11.19. .2 xxeyy 11.20. ).sin(2 xx eeyy
11.21. .)cos(2 xx eeyy 11.22. .44 3
2
xeyyy
x
11.23. .3cos
12x
yy 11.24. .sin
22 x
yy
11.25. .sin
22
xyy
Пример 12. Решить систему дифференциальных уравнений:
12.1.
.,3
212
211
xyyyeyyy x
12.2.
.sin23,cos2
212
211
xyyyxyyy
12.3.
.22,
212
211
xyyyxyyy
12.4.
.3,2
212
211
xyyyxyyy
12.5.
.2,3
212
2211
xyyyeyyy x
12.6.
.25,12
212
211
xyyyyyy
12.7.
.,4
3212
211xeyyy
yyy 12.8.
.3,3
212
211x
x
eyyyeyyy
12.9.
.2,cos
212
21
yyyxyy
12.10.
.2,1454
212
211
xyyyxyyy
12.11.
.cos24,sin2
212
211
xyyyxyyy
12.12.
.4,
212
211x
x
xeyyyeyyy
12.13.
.154,45
212
211
yyyeyyy x
12.14.
.125,2
2212
211
xyyyyyy
38
12.15.
.3,35
2212
2211
x
x
eyyyxeyyy
12.16.
.2,4
212
211xxeyyy
yyy
12.17.
.,3
212
211xeyyy
yyy 12.18.
.2,13
212
211
xyyyyyy
12.19.
.2,4
212
3211
yyyeyyy x
12.20.
.25,2
2212
211
xyyyxyyy
12.21.
.3sin4,3cos2
212
211
xyyyxyyy
12.22.
.2,52
2212
211xeyyy
yyy
12.23.
.sin23,cos42
212
211
xyyyxyyy
12.24.
.22,32
212
211x
x
xeyyyeyyy
12.25.
.23,2
212
211x
x
eyyyeyyy