КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ - Главная ||...
101
МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ИНОСТРАНЦЕВ ПОДГОТОВИТЕЛЬНОГО ФАКУЛЬТЕТА
Transcript of КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ - Главная ||...
МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ)
КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ
ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ИНОСТРАНЦЕВ ПОДГОТОВИТЕЛЬНОГО ФАКУЛЬТЕТА
МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
(МАДИ)
Кафедра общетеоретических дисциплин
Утверждаю Зав. кафедрой доцент ____________ И.А. Косарева «___» _________ 2015 г.
КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ
ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ИНОСТРАНЦЕВ ПОДГОТОВИТЕЛЬНОГО ФАКУЛЬТЕТА
МОСКВА МАДИ 2016
УДК 51 ББК 22.1
К937 К937 Курс лекций по математике для студентов-иностранцев подготови-
тельного факультета / О.Н. Васильева, С.А. Полевая, Т.А. Полевая, Н.С. Ре-менцова, И.Н. Ромашова. – М.: МАДИ, 2016. – 100 с.
Курс лекций предназначен для овладения дополнительной общеобразова-
тельной программой по математике, обеспечивающей подготовку иностранных граждан к освоению профессиональных образовательных программ на русском языке в высшей школе РФ по инженерно-технической, технологической, естест-веннонаучной и экономической направленностям обучения.
Курс лекций охватывает содержание основной части курса математики на подготовительном факультете, одновременно имеет небольшой объем и отлича-ется компактностью изложения. В пособии учтены требования к стандартизации и унификации терминологии и обозначениям.
Предлагаемый курс лекций ставит своей целью дать теоретические основы курса математики и необходимый объем математической лексики на русском язы-ке. Учитывая интенсивность изучаемого материала, короткие сроки обучения и разный уровень подготовки студентов-иностранцев, пособие содержит минималь-но необходимый теоретический материал. Тексты лекций адаптированы в соот-ветствии с уровнем подготовки учащихся по русскому языку во втором семестре учебного года.
Теоретический материал можно использовать для организации самостоя-тельной работы учащихся, для конспектирования изучаемого материала, повторе-ния и использования при решении задач.
УДК 51 ББК 22.1
__________________________________________________________________
Учебное издание
ВАСИЛЬЕВА Ольга Николаевна ПОЛЕВАЯ Светлана Андреевна ПОЛЕВАЯ Татьяна Алексеевна
РЕМЕНЦОВА Наталья Сергеевна РОМАШОВА Ирина Николаевна
КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ИНОСТРАНЦЕВ
ПОДГОТОВИТЕЛЬНОГО ФАКУЛЬТЕТА
Редактор М.Н. Бугольц
Подписано в печать 08.12.2015 г. Формат 60×84/16. Усл. печ. л. 6,25. Тираж 500 экз. Заказ . Цена 205 руб.
МАДИ, 125319, Москва, Ленинградский пр-т, 64. © МАДИ, 2016
3
Лекция по теме «ВЕКТОРЫ»
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
1.1. Определение вектора Вектором называется направленный отрезок. На рис. 1 изобра-
жён вектор AB⃗⃗ ⃗⃗ ⃗. Точка А – начало, точка В – конец вектора AB⃗⃗ ⃗⃗ ⃗. Вектор можно перемещать параллельно самому себе.
Векторы могут обозначаться: a⃗ = AB⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ или a̅ = AB̅̅ ̅̅ .
1.2. Длиной (модулем, или нормой) вектора AB⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ называется чис-
ло, равное длине отрезка АВ: |AB|⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = |AB|.
Рис. 1
1.3. Векторы, лежащие на одной прямой или параллельных пря-мых, называются коллинеарными.
1.4. Векторы, лежащие в одной плоскости или параллельных плоскостях, называются компланарными.
1.5. Если начало и конец вектора совпадают, то вектор называют
нулевым и обозначают 0⃗ = AA⃗⃗ ⃗⃗ ⃗.
Длина нулевого вектора равна нулю: |0|⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 0. Так как направление нулевого вектора произвольно, то считают, что он коллинеарен любо-му вектору.
2. ДЕЙСТВИЯ С ВЕКТОРАМИ В ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ
2.1. Умножение вектора на число
Произведением вектора a⃗ на число (скаляр) называется
вектор b⃗ = a⃗ :
– длина │b⃗ │=││∙│ a⃗ │;
– направления векторов a⃗ и b⃗ совпадают, если > 0, и противо-положны, если < 0 (рис. 2).
Вектором, противоположным вектору a⃗ , называется произве-
дение вектора a⃗ на число (–1), т.е.– a⃗ = (–1)a⃗ .
a
В
в
А
4
Рис. 2
2.2. Сложение векторов
Суммой двух векторов a⃗ и b⃗⃗ называется вектор c ⃗⃗ = a⃗ + b⃗ , начало которого совпадает с началом вектора a⃗ , конец – с концом век-
тора b⃗ при условии, что начало вектора b⃗ совпадает с концом вектора
a⃗ (рис. 3) (правило треугольника).
Очевидно, что вектор c⃗ представляет собой диагональ паралле-
лограмма, построенного на векторах a⃗ и b⃗ (рис. 3) (правило паралле-лограмма).
Сумма трёх векторов a⃗ , b⃗ , c⃗ есть вектор d⃗ = a⃗ + b⃗ + c⃗ (рис. 4) (правило многоугольника).
Если векторы a⃗ , b⃗ , c⃗ некомпланарны, то вектор d⃗ = a⃗ + b⃗ + c⃗ представляет собой диагональ параллелепипеда, построенного на
векторах a⃗ , b⃗ и c⃗ (рис. 5) (правило параллелепипеда).
Рис. 3 Рис. 4
Рис. 5
a⃗
b⃗⃗
d⃗⃗
c⃗
d⃗ = a⃗ + b⃗ + c⃗
b
a c
с⃗ = a⃗ + b⃗
a
b
a
( 0)a ( 0)a
5
2.3. Вычитание векторов
Разностью двух векторов a⃗ и b⃗⃗ называется сумма векторов a⃗ и
–b⃗ (рис. 6).
Рис. 6
2.4. Скалярное произведение векторов 2.4.1. Определение скалярного произведения
Скалярным произведением векторов a⃗ и b⃗ называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
a⃗ ∙b⃗ =|a⃗ |∙|b⃗ |∙ cos φ (рис. 7)
Рис. 7
2.4.2. Свойства скалярного произведения
1) а⃗ ·а⃗ = а⃗ 2 – скалярный квадрат вектора a .
Скалярный квадрат вектора равен квадрату модуля вектора:
а⃗ 2 = |а⃗ |∙|а⃗ |∙ cos 0°=|а⃗ |
2.
2) Условие перпендикулярности векторов. Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю
тогда, и только тогда, когда векторы перпендикулярны:
|а⃗ | ≠ 0, |b⃗ | ≠ 0, a ⃗⃗ ⃗∙b⃗ = 0 ⇔ a⃗ b⃗ .
Доказательство:
1) a⃗ ∙b⃗ = 0 ⇔ |a⃗ |∙|b⃗ |∙ cos = 0 ⟹ cos= 0 ⇒ = 90° ⇒ a⃗ b⃗ ;
2) a⃗ b⃗ ⇒ = 90° ⇒ cos= cos 90° = 0 ⇒ a⃗ ∙b⃗ = 0.
3. КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА
Перенесём вектор a⃗ параллельно самому себе так, чтобы его начало совпáло с началом координат.
b⃗⃗
a⃗
a⃗
b⃗⃗
a⃗ – b⃗
6
Координатами вектора а⃗ называются координаты его конца.
Так, координатами вектора а⃗ = OM⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ на плоскости XOY являются два
числа x и y: a⃗ = (x; y) (рис. 8).
В пространстве координатами вектора а⃗ являются три числа х, y,
z: a⃗ = (x; y; z) (рис. 9).
Вектор a⃗ = (x; y; z) может быть записан в виде
a⃗ = xi + yj + zk⃗ – разложение вектора а⃗ по векторам i , j , k⃗ .
i , j , k⃗ – единичные векторы, направления которых совпадают с положительными направлениями соответственно осей ОХ, OУ, OZ.
i , j , k⃗ – координатные орты.
Рис. 8 Рис. 9
Длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат:
|а⃗ |= |ОМ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗| =√x2 + y2 или |а⃗ |= |ОМ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗| =√x2 + y2 + z2.
Пример. Пусть А (xA; yA), B (xB; yB). Найти длину вектора AB⃗⃗ ⃗⃗ ⃗.
Рис. 10
Вектор AB⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ имеет координаты AB⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (x; y): x = xB – xA; y = yB – y
A.
|АВ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗|=√x2 + y2 = √(xB – xA)2+ (y
B – y
A )2 .
y
yB
yA A
B
xA xB х
X
Z
z
R
M
Q Y
P x
0
i j
k⃗ a⃗
y
0 x x
y M y
yj
xi j a⃗
i
7
В пространстве: AB⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (xB – xA; yB – y
A; zB – zA).
4. ДЕЙСТВИЯ С ВЕКТОРАМИ В КООРДИНАТНОЙ ФОРМЕ
4.1. Умножение вектора на число
a⃗ = (x1; y1; z1), a⃗ = (x1; y
1; z1).
Координаты вектора a⃗ равны координатам вектора a⃗ , умножен-
ным на . Следствие. При умножении вектора на скаляр получаем век-
тор, коллинеарный данному. Координаты коллинеарных векторов пропорциональны:
x1
x1
= y
1
y1
= z1
z1
= .
4.2. Сложение (вычитание) векторов
а⃗ = (x1; y1; z1), b⃗ = (x2; y
2; z2); a⃗ ± b⃗ = (x1 ± x2; y
1 ± y
2; z1 ± z2).
Координаты суммы (разности) векторов равны сумме (разности) координат слагаемых.
4.3. Скалярное произведение в координатной форме
a⃗ = x1i + y1j + z1k⃗ , b⃗ = x2i + y
2j + z2k⃗ ,
a⃗ ∙b⃗ = (x1i + y
1j + z1k⃗ )(x2i + y
2j + z2k⃗ ) = x1x2 + y
1y
2 + z1z2,
(i 2
= j 2
= k⃗ 2= 1, i ∙j = 0, i ∙k⃗ = 0, k⃗ ∙j = 0).
Скалярное произведение двух векторов равно сумме произве-дений соответствующих координат этих векторов:
a⃗ ∙b⃗⃗ = x1x2 + y1y
2 + z1z2.
В частности, скалярный квадрат вектора равен сумме квадратов
его координат: a⃗ 2 = |a⃗ |
2 = x1
2 + y1
2 + z12 |а⃗ | =√x1
2 + y12 + z1
2.
Угол между векторами a⃗ и b⃗⃗ вычисляется по формуле:
cos =a⃗ ∙b⃗
|a⃗ |∙|b⃗ |=
x1x2 + y1y
2 + z1z2
√x12 + y
12 + z1
2√x22 + y
22 + z2
2
.
Пример. Даны векторы a⃗ = (2; –1; –2) и b⃗ = (8; –4; 0).
Найти: а) скалярное произведение векторов (c⃗ и d⃗ ), где с⃗ = 2а⃗ ,
d⃗ = b ⃗⃗ ⃗ – a⃗ ; б) угол между векторами c⃗ и d⃗ . Решение.
а) По определению с⃗ = 2а⃗ = (4; –2; –4); d⃗ = b⃗ – a⃗ = (6; –3; 2).
Найдём длины векторов с⃗ и d⃗ :
|с⃗ |=√42 + (–2)
2 + (–4)2 = 6, |d⃗ | =√6
2 + (–3)2 + 22 = 7.
8
Найдём скалярное произведение
c⃗ ∙d⃗ = 4∙6 + (–2)∙(–3) + (–4)∙2 = 22.
б) Угол между векторами с⃗ и d⃗ вычисляется по формуле
cos = с⃗ ∙ d⃗
|c⃗ |∙|d⃗ | =
22
6∙7 ≈ 0,52,
откуда = arccos0,52 ≈ 58°. Ответ: 22; 58°.
5. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
Векторным произведением вектора a⃗ на вектор b⃗ называется
вектор c⃗ = a⃗ ×b⃗ , удовлетворяющий условиям:
а) длина вектора с⃗ равна произведению длин векторов a⃗ и b⃗ на
синус угла между ними: |c⃗ | = |a⃗ |∙|b⃗ |∙ sin ;
б) вектор c⃗ ⊥ a⃗ и c⃗ ⊥ b⃗ ;
Рис. 11
в) вектор c⃗ направлен так, что из конца этого вектора кратчай-
ший поворот от a⃗ к b⃗ виден против часовой стрелки (говорят, что век-
торы a⃗ , b⃗ , c⃗ образуют правую тройку векторов).
Модуль векторного произведения c⃗ = a⃗ × b⃗ равен площади
параллелограмма, построенного на векторах a⃗ и b⃗ . Векторное произведение векторов, заданных координатами,
находят по формуле:
a⃗ ×b⃗ = |i j k⃗
x1 y1
z1
x2 y2
z2
|, где a⃗ = (x1; y1; z1); b⃗ = (x2; y
2; z2).
6. СМÉШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
Смéшанным произведением векторов a⃗ b⃗⃗ c⃗ называется ска-
лярное произведение векторов a⃗ ×b⃗ и c⃗ , где a⃗ ×b⃗ есть векторное произ-
ведение векторов a⃗ и b⃗ .
c
b
а
9
Смешанное произведение векторов a⃗ b⃗ c⃗ равно (по абсолютной
величине) объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах
(рис. 12).
Рис. 12
Смешанное произведение векторов вычисляется:
a⃗ b⃗ c⃗ = |
x1 y1
z1
x2 y2
z2
x3 y3
z3
|, где с⃗ = (x3, y3, z3).
а
b
c
10
Лекция по теме «ФУНКЦИЯ. СВОЙСТВА ФУНКЦИИ»
1. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ
На практике мы часто встречаемся с зависимостями между раз-ными величинами. Например, площадь круга S зависит от его радиуса r (каждому значению радиуса соответствует своё значение площади круга). Площадь квадрата зависит от длины его стороны a (каждому значению стороны квадрата соответствует своя площадь).
Зависимость переменной у от переменной х называется функци-ей, если каждому значению х соответствует только одно значение у.
Рассмотрим два множества:
1.1. Определение функции Если каждому значению х одного множества соответствует толь-
ко одно значение у другого множества, то это соответствие называет-ся функцией.
Обозначают: у = f(x). Читают «у равен эф от х». х – независимая переменная (аргумент); у – зависимая пере-
менная (функция); f – закон (правило) соответствия. Примеры соответствий.
11
2. ГРАФИК ФУНКЦИИ
Множество точек на координатной плоскости с координатами (x; f(x)) называется графиком функции у = f(x).
Примеры (1 – не является графиком функции; 2 И 3 – графики функций).
3. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ
Функция может быть задана тремя способами:
– аналитически (формулой): y = x2 – 4; у = |х|; у = sinx; – таблицей (таблица логарифмов; таблица квадратов); – графиком (примеры 2 и 3).
4. СВОЙСТВА ФУНКЦИИ
4.1. Область определения функции Область определения функции это множество всех значений
аргумента х, при которых функция существует. Обозначение: D(f). Пример. Найти область определения функций:
1) y =1
x – 1 , x ≠ 1, D(f) = R ∖ {1}, или D(f) = (–; 1) ∪ (1; ) (рис. 1);
2) y = x2 + 1, D(f) = R;
3) y = x + 2
x2 – 1, х ≠ ±1, D(f) = R ∖ {±1}.
Рис. 1
12
4.2. Множество значений функции Множество значений функции это множество всех значений, ко-
торые функция принимает на области определения. Обозначение E(f). Пример. Найти множество значений функций: 1) y = x – 1 (рис. 2). Функция у принимает все значения: у ∈ R,
или E(f) = (–; +).
Рис. 2
2) у = 4 – x2, у ≤ 4 или Е(f) = (–; 4] (рис. 3)
Рис. 3
4.3. Чётность функции 4.3.1. Определение чётной функции Функция называется чётной, если f(x) = f(–x) для любых x и –x
из области определения функции. Свойство графика чётной функции. График чётной функции
симметричен относительно оси ОУ (рис. 4).
Рис. 4
13
Пример чётной функции: f(x) = x2 – 1 f(x) = f(–x), f(–x) = (–x)2 – 1 = x2 – 1. 4.3.2. Определение нечётной функции Функция называется нечётной, если f(–x) = –f(x) для любых х и –
х из области определения функции. Свойство графика нечётной функции. График нечётной функ-
ции симметричен относительно начала координат (рис. 5).
Рис. 5
Пример нечётной функции: f(x) = x3 f(–x) = –f(x), f(–x) = (–x)3 = –x3, –f(x) = –x3. Примечание. Есть функции, которые не являются ни чётными, ни
нечётными, то есть f(x) ≠ f(–x) ≠ –f(x). Пример.
4.4. Нули (корни) функции Нулём (корнем) функции y = f(x) называется значение аргумен-
та х, при котором значение функции равно нулю.
f(x) = x2
x3 – 1
f(–x) = x2
–x3 – 1
–f(x) =x2
–x3 + 1
f(x) ≠ f(–x) ≠ –f(x)
функция не является ни чётной, ни нечётной.
14
Рис. 6
f(a) = f(b) = f(c) = f(d) = 0 (рис. 6). Графически нули функции – это точки пересечения графика функции с осью ОХ.
4.5. Интервалы постоянного знака функции Интервалы постоянного знака функции – это интервалы из
области определения функции, на которых функция принимает только положительные или только отрицательные значения.
y > 0, если х ∈ (а; 0) U (b; +) y < 0, если у ∈ (–; а) U (0; b)
4.6. Интервалы монотонности функции Определение возрастающей (убывающей) функции
Рис. 7 Рис. 8
x1 ∈ (a; b), x2 ∈ (a; b) x1 ∈ (a; b), x2 ∈ (a; b) x1 < x2 x1 < x2
f(x1) < f(x2) f(x1) > f(x2) f(x) возрастает f(x) убывает
15
Функция называется возрастающей в промежутке (а; b) из об-ласти определения функции, если для любых значений х1 < х2 из этого промежутка выполняется неравенство f(x1) < f(x2) (рис. 9).
Функция называется убывающей в промежутке (а; b) из области определения функции, если для любых значений х1 < х2 из этого про-межутка выполняется неравенство f(x1) > f(x2) (рис. 10).
Интервалы, на которых функция только возрастает или только убывает, называются интервалами монотонности функции.
Рис. 9 Рис. 10
у возрастает, если х ∈ (–; b) ∪ (c; +) у убывает, если x ∈ (b; c)
4.7. Экстремумы функции
4.7.1. Определение -окрестности точки а
Интервал (а – ; а + ) называется -окрестностью точки а.
x ∈ (a – ; a + )
а – а х а + a – < x < a + ⇔ x – a < 4.7.2. Определение точки максимума (минимума) функции Точка х0 называется точкой максимума функции у = f(x), если
для всех х ≠ х0 из некоторой -окрестности точки х0 выполняется нера-венство f(х0) > f(х) (рис. 11).
Рис. 11 Рис. 12 х0 – точка максимума, х0 – точка минимума, f(х0) – max (максимум) f(х0) – min (минимум)
b
b
c
d
16
Точка х0 называется точкой минимума функции у = f(x), если
для всех х ≠ х0 из некоторой -окрестности точки х0 выполняется нера-венство f(х0) < f(х) (рис. 12).
Максимум и минимум – экстремумы функции. 4.8. Периодичность функции Функция f(х) называется периодической, если существует число
Т ≠ 0 такое, что выполняются условия: f(x) = f(x + T) = f(x + n∙T), если (x + nT) ∈ D(f), n ∈ Z.
Число T – наименьший положительный период функции.
Рис. 13
y = sinx – периодическая функция, период Т = 2. Задание. «Прочитайте» график функции на рисунке 14 (укажите
свойства функции).
1. Область определения функции: D(f) = (–; +).
2. Множество значений функции: E(f) = (–; +). 3. Функция не является ни чётной, ни нечётной. 4. у = 0, если х = а, х = с, х = е.
5. у > 0, если x ∈ (a; c) U (e; +); у < 0, если x ∈ (–; a) U (c; e).
6. у возрастает, если x ∈ (–; b) ∪ (d; +); у убывает, если x ∈ (b; d). 7. ymax = 3, если хmax = b, ymin = –3,5, если хmin = d. 8. Функция непериодическая. 9. Если х = 0, то у = –3.
Рис. 14
17
Лекция по теме «ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ»
1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ
АВС – прямоугольный; С = 90° – прямой угол; – острый угол,
0° < < 90°; a, b – катеты; с – гипотенуза. 2 2 2a b c – теорема Пифагора
sina
c cos
b
c tg
a
b ctg
b
a
синус косинус тангенс котангенс
2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ УГЛА ПОВОРОТА
2.1. Угол поворота образуется при повороте луча OA в положе-ние OA1.
– положительный угол
(по часовой стрелке)
– отрицательный угол
(против часовой стрелки)
Если после поворота положение луча ОА1 совпадает с положением
луча OA , то – полный оборот.
в градусах Величина угла поворота измеряется в радианах
Полный оборот соответствует 360° или 2 радиан ( = 3,14…)
Угол в 1° – это 1
360 часть круга.
Угол в 1 радиан – это угол, при котором длина дуги ℓ равна длине радиуса R.
А b C
B
с
a
18
1° ≈ 0,017453 радиана 1 рад ≈ 57°18´
ℓ = R 2.2. Соотношение между величиной угла в градусах и ради-
анах
180° – o
o 180;
a
a
o
o.
180
° – a
3. ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ЕДИНИЧНОЙ ОКРУЖНОСТИ
3.1. Единичная окружность – это окружность радиуса 1 с цен-тром в начале координат.
х2 + у2 = 1 – уравнение единичной окружности.
х; y – функции угла .
3.2. Синус угла – это ордината точки Р (x; y) единичной окружности:
sin = y; ось ОУ – ось синусов.
3.3. Косинус угла – это абсцисса точки Р (x; y) единичной окружности:
cos = x; ось ОХ – ось косинусов.
19
3.4. Тангенс угла – это отношение ординаты точки Р (x; y) единичной окружности к её абсциссе:
tg = ;y
x
x ≠ 0; ;1
y MN YY
x ON
прямая x = 1 – ось тангенсов.
3.5. Котангенс угла – это отношение абсциссы точки Р (x; y) единичной окружности к её ординате:
ctg = ;x
y
y ≠ 0; ;1
x KB XX
y OK
прямая y = 1 – ось котангенсов.
4. ЗНАКИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Оси координат делят единичную окружность на четыре четверти. В каждой из четвертей координаты точек окружности сохраняют один и тот же знак.
Таблица 1
четверть sin cos tg ctg
0 < <
2 I + + + +
2 < < II + – – –
< < 3
2 III – – + +
3
2 < < 2 IV – + – –
5. ЧЁТНОСТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
x– = x ⇔ cos(–) = cos;
y– = –y ⇔ sin(–) = sin.
cos(–) = cos Чётная функция
sin(–) = –sin Нечётная функция
tg(–) = –tg Нечётная функция
ctg(–) = –ctg Нечётная функция
20
6. ОСНОВНОЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЕ ТОЖДЕСТВО. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ
ФУНКЦИЯМИ ОДНОГО АРГУМЕНТА
1) y2 + x
2 = 1 ⟺ sin2 + cos2
= 1
sin2 + cos2
= 1 – основное тригонометрическое тождество.
2) y
x
= tg ⟺ tg = sin
cos
cos ≠ 0
3) x
y
= ctg ⟺ ctg = cos
sin
sin ≠ 0
4) 1
y
= cosec ⟺ cosec = 1
sin sin ≠ 0
5) 1
x
= sec ⟺ sec = 1
cos cos ≠ 0
6) y x
x y
= 1 ⟺ tg∙ctg = 1 sin ≠ 0, cos ≠ 0
7) cos2 + sin2
= 1 (:cos2 ≠ 0)
1 + tg2 =
2
1
cos ⟺ 1 + tg2
= 2
1
cos = sec2
cos ≠ 0
8) sin2 + cos2
= 1 (:sin2 ≠ 0)
1 + ctg2 =
2
1
sin ⟺ 1 + ctg2
= 2
1
sin = cosec2
sin ≠ 0
21
7. ЗНАЧЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ НЕКОТОРЫХ УГЛОВ
Таблица 2
Угол
0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°
0
6
4
3
2
3
2 2
sin 0 1
2
√2
2
√3
2 1 0 –1 0
cos 1 √3
2
√2
2
1
2 0 –1 0 1
tg 0 √3
3 1 √3 Нет 0 Нет 0
ctg Нет √3 1 √3
3 0 Нет 0 Нет
8. ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ
Формулы приведения выражают тригонометрические функции углов
2 ± , ± ,
3
2 ± , 2 ±
через функции острого угла .
На рисунке OAB = CDО: |CD| = |OA|, |DO| = |AB|,
y2 = x1 => sin(
2 + ) = cos, x2 = –y1 => cos(
2 + ) = –sin,
tg(
2 + )
( )cos
sin( )
sin2
cos2
–ctg.
Аналогично, ctg(
2 + ) = –tg.
22
Таблица 3 Формулы сокращённого умножения
Функция Угол
аргумент sin cos tg ctg
Название функции
2 – cos sin ctg tg Изменяется
2 + cos –sin –ctg –tg Изменяется
– sin –cos –tg –ctg Не изменяется
+ –sin –cos tg сtg Не изменяется
3
2 – –cos –sin ctg tg Изменяется
3
2 + –cos sin –ctg –tg Изменяется
2 – –sin cos –tg –ctg Не изменяется
2 + sin cos tg ctg Не изменяется
Правило:
1. Если угол имеет вид
2 ± или
3
2 ± , то название функции
изменяется (синус на косинус, тангенс на котангенс и т.д.).
2. Если угол имеет вид ± или 2 ± , то название функции не изменяется.
3. Cчитаем, что в первой четверти. Находим четверть, в кото-
рой находится угол . Знак смотрим по этой четверти.
23
Лекция по теме «ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ»
1. ТЕОРЕМЫ (ФОРМУЛЫ) СЛОЖЕНИЯ:
sin( ± ), cos( ± ), tg( ± )
1.1. Вывод формулы сos( – )
P (x; y) => x = cos, y = sin.
P (x; y) => x = cos, y = sin. Скалярное произведение векторов
e = (x; y) и e = (x; y):
e ∙e = e
∙ e ∙cos( – ) = cos( – ).
e ∙e = xx + yy = cos∙cos + sin∙sin.
cos( – ) = cos∙cos + sin∙sin
1.2. Вывод формулы cos( + )
cos( + ) = cos[ – (–)] = cos∙cos(–) + sin∙sin(–) =
= cos∙cos – sin∙sin.
cos( + ) = cos∙cos – sin∙sin
1.3. Вывод формулы sin( + )
sin( + ) = cos[
2 – ( + )] = cos[(
2 – ) – )] =
= cos(–
2 – )∙cos + sin(
2 – )∙sin = sin∙cos + cos∙sin.
sin( + ) = sin∙cos + cos∙sin
1.4. Вывод формулы sin( – )
sin( – ) = sin[ +(–)] = sin∙cos(–) + cos∙sin(–) =
= sin∙cos – cos∙sin.
sin( – ) = sin∙cos – cos∙sin
24
1.5. Вывод формул tg( ± )
( )tg( )
( )
sin sin cos cos sin
cos cos cos sin sin
sin cos cos sin
cos cos cos cos
cos cos sin sin
cos cos cos cos
tg tg.
1 tg tg
tg( + ) = tg tg
1 tg tg
tg( – ) =
tg tg
1 tg tg
2. ФОРМУЛЫ ДВОЙНОГО, ПОЛОВИННОГО И ТРОЙНОГО АРГУМЕНТОВ
2.1. Формулы двойного аргумента: sin2, cos2, tg2
sin2 = sin( + ) = sin·cos + cos·sin = 2sin·cos.
sin2 = 2sincos ⟺ sincos = 1
2sin2
cos2 = cos( + ) = coscos – sinsin = cos2 – sin2
.
cos2 = cos2 – sin2
Следствия:
1. cos2 = cos2 – sin2
= (1 – sin2) – sin2
= 1 – 2sin2.
2. 2sin2 = 1 – cos2 => sin2
=1 cos2
.2
cos2 = 1 – 2sin2
1 – cos2 = 2sin2
sin2 =
1 cos2
2
Аналогично,
cos2 = 2cos2 – 1
1 + cos2 = 2cos2
cos2 =
1 cos2
2
tg2 = tg( + ) = 2
tg tg 2tg
1 tg tg 1 tg
2
2tgtg2
1 tg
2.2. Формулы половинного аргумента sin ;2
cos ;
2
tg
2
В формулах cos2 = 1 – 2sin2 = 2cos2
– 1 заменим на 2
.
Получим cos = 1 – 2sin2
2
2sin2
2
= 1 – cos.
sin2
= ±
1 cos
2
и cos
2
=
1 cos
2
25
Тогда tg2
=
sin2
cos2
=
1 cos.
1 cos
tg
2
=
1 cos.
1 cos
2.3. Формулы тройного аргумента: sin3; cos3; tg3
sin3 = sin(2 + ) =
= sin2cos + cos2sin =
= 2sincos2 + (1 – 2sin2
)sin =
= 2sin(1 – sin2) + sin – 2sin3
=
= 3sin – 4sin3.
sin3 = 3sin – 4sin3 или sin3
= 3sin sin3
4
Аналогично,
cos3 = 4cos3 – 3cos или cos3
= 3cos cos3
4
3
2
3tg tgtg3 .
1 3tg
3. УНИВЕРСАЛЬНАЯ ПОДСТАНОВКА
Универсальная подстановка выражает тригонометрические
функции sin, cos, tg через tg2
.
sin sin(2 )2
2 2 2
2sin cos 2tg2 2 2 ;
cos sin 1 tg2 2 2
2 2
2
2
2tg2
1 tg 1 tgsin 2 2cos .tg
2tg 1 tg2 2
1 tg2
2
2tg2sin ;
1 tg2
2
2
1 tg2cos ;
1 tg2
2
2tg2tg
1 tg2
26
4. ФОРМУЛЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В СУММУ
4.1. Вывод формулы sincos
Возьмём формулы sin( + ) и sin( – ) и найдём их сумму:
sin( + ) = sincos + cossin
sin( – ) = sincos – cossin
sin( + ) + sin( – ) = 2sincos
sin( ) sin( )sin cos
2
4.2. Вывод формулы coscos
cos( + ) = coscos – sinsin
cos( – ) = coscos + sinsin cos( ) cos( ) 2cos cos
cos( ) cos( )cos cos
2
4.3. Вывод формулы sinsin cos( ) cos cos sin sin
cos( ) = cos cos sin sin
cos( ) cos( ) 2sin sin
cos( ) cos( )sin sin
2
5. ФОРМУЛЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СУММЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ПРОИЗВЕДЕНИЕ
5.1. Вывод формулы sin + sin
sin( ) sin( )sin cos
2
x y x yx y
⇔ sin(x + y) + sin(x – y) = 2sinxcosy.
Пусть x y
x y
⇔
2
β
2
x
y
Тогда имеем 2sin cosin2
i ss n2
5.2. Аналогично получаем формулы:
sin sin 2cos sin2 2
27
cos cos 2cos cos2 2
cos cos 2sin sin2 2
sin( )tg tg
cos cos
28
Лекция по теме «ГРАФИКИ И СВОЙСТВА ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ»
1. ПЕРИОДИЧНОСТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Значения тригонометрических функций и их свойства повторя-ются с определённым периодом. Для функции y = sinx период T = 2n,
: sin( 2 ) sin ,n Z x n x так как
sin( 2 ) sin cos2 cos sin2 sin .x n x n x n x
Аналогично, 2cos( ) cos .x n x При n = 1 период T = 2, сле-
довательно, для sin y x и cosy x 2 T – наименьший положи-
тельный период. Для функций tgy x и ctgy x – наименьший поло-
жительный период Т = .
2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЧИСЛОВОГО АРГУМЕНТА
Аргументом в тригонометрических функциях может быть не только угол поворота в радианах, но и действительное число x. Триго-нометрическими функциями числового аргумента x называют триго-нометрические функции угла поворота в радианах, где x равен числу, которое выражает меру этого угла в радианах.
2.1. Функция y = sinx, её график и свойства
Свойства функции 1. Область определения функции D(f) = R. 2. Множество значений функции Е(f) = [–1; 1]. 3. sin(–x) = –sinx (нечётная функция). 4. T = 2 (функция периодическая). 5. Точки пересечения с осями координат x = 0 y = 0. Нули функции: у = 0 => sinx = 0 x = n, n .Z 6. Интервалы постоянного знака
0 2 ; 2 ,0 при ( ) ;n ny x n Z
2 ; 2 2 ,0 при ( ) .n n ny x Z
7. Интервалы монотонности
функция возрастает ,( ) при 2 ; 2 ;2 2
y x n n n Z
функция убывает ,3
( ) при 2 ; 2 .2 2
ny x n n Z
29
8. Экстремумы функции.
Максимум (max): 1,y sin 1 2 , .2
x x n n Z
Минимум (min): 1,y sin 1 2 , .2
x x n n Z
2.2. Функция y = cosx, её график и свойства
Свойства функции 1. Область определения функции D(f) = R. 2. Множество значений функции Е(f) = [–1; 1]. 3. cos(–x) = cosx (чётная функция).
4. T = 2 (функция периодическая). 5. Точки пересечения с осями координат x = 0 => y = 1.
6. Нули функции 0 cos 0 , .2
y x x n n Z
7. Интервалы постоянного знака
, 0 при 2 ; 2 ;2 2
ny x n n Z
,3
0 при 2 ; 2 .2 2
ny x n n Z
8. Интервалы монотонности
функция возрастает( ) при y 2 ; 2 + 2 ,( ) ;n n nx Z
функция убывает 0 2 ; 2 ,( ) при ( ) .n ny x n Z
9. Экстремумы функции maxМаксимум ( ): 1,y cos 1 2 , .x x n n Z
minМинимум ( ): 1,y cos 1 2 , .x x n n Z
2.3. Функция y = tgx, её график и свойства
30
Свойства функции 1. Область определения функции.
D(f) = .\ |2
R n n Z
Функция тангенс не является непре-
рывной. Точки , точки разрыва.2
x n n Z
2. Область изменения функции E(f) = R. 3. tg(–x) = –tgx (нечётная функция).
4. T = (функция периодическая). 5. Точки пересечения с осями координат 0 0.x y
Нули функции: 0 tg 0 , .y x x n n Z
6. Интервалы постоянного знака
y > 0 ,при 0 ; ;2
x n n n Z
, 0 при ; 0 .2
y x n n n Z
7. Интервалы монотонности
функция возрастает( ) при y ( ).x D f
8. Экстремумов нет.
9. Прямые ,2
x n n Z
– вертикальные асимптоты графика
функции.
31
Лекция по теме «ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ»
1. ПОНЯТИЕ ОБ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ
Данная функция y = f(x)
f
Обратная функция
x = (y) => ( )y x
f – закон (правило) соответствия прямой функции
– закон (правило) соответствия обратной функции
Обратная функция получается из прямой монотонной функции y = f(x), если в выражении выразить x через y и заменить x на y и y на x.
y = f(x) и ( )y x – взаимно обратные функции.
Задание. Дана функция у = 8 – 2х. Получить функцию, обратную данной; построить их графики в одной системе координат.
Решение.
у = 8 – 2х ⟺ 8 8
, или .2 2
y xx y
у = 8 – 2х и 8
2
xy
– взаимно обратные функции.
2. СВОЙСТВА ВЗАИМНО ОБРАТНЫХ ФУНКЦИЙ y = f(x) и y = (x)
1. Обратную функцию можно получить только для монотонной прямой функции.
2. D(f) = Е() и Е(f) = D().
32
3. Обратная функция монотонная. 4. Графики прямой и обратной функции симметричны относи-
тельно прямой y = x. Замечание. Если прямая функция не монотонная, то для полу-
чения обратной функции выбирают интервал монотонности.
3. ФУНКЦИЯ y = arcsinx. ЕЁ ГРАФИК И СВОЙСТВА
у = arcsinx – это функция, обратная функции у = sinx на отрезке
;2 2
(функция у = sinx на этом отрезке монотонно возрастает).
arcsinx – это угол, синус которого равен х ( 1; 1x ).
Свойства функции у = аrcsinx 1. Область определения функции D(f) = [–1; 1].
2. Множество значений функции ( ) ; .2 2
E f
3. Функция нечётная, arcsin(–x) = –arcsinx. 4. x = 0 ⇔ y = 0. 5. y > 0 при х (0; 1]; y < 0 при х [–1; 0). 6. Функция монотонно возрастает.
7. наибольшее при 1;2
y x
наименьшее при 1.2
y x
8. Экстремумов нет.
9. sin(arcsin ) , 1; 1 ;x x x arcsin(sin ) , ; .2 2
x x x
4. ФУНКЦИЯ у = асccosx. ЕЁ ГРАФИК И СВОЙСТВА
у = arccosx – это функция, обратная функции у = cosx на отрез-ке [0; ] (функция у = cosx на этом отрезке монотонно убывает).
arcсosx – это угол, косинус которого равен х ( 1; 1x ).
Свойства функции у = arccosx 1. Область определения функции ( ) [ 1; 1].D f
2. Множество значений функции E(f) = [0; ].
33
3. Функция ни чётная и ни нечётная: arccos(–x) = – arccosx.
4. x = 0 ⇔ .2
y
5. y = 0 ⇔ x = 1.
6. y > 0 при х (0; ]; y < 0 при х Ø. 7. Функция монотонно убывает. 8. наибольшeе при 1;y x наименьшeе 0 при 1.y x
9. Экстремумов нет.
10. cos(arccosх) = х, х ϵ [–1; 1]; arccos(cosх) = х, х ϵ [0; ].
5. ФУНКЦИЯ y = arctgx. ЕЁ ГРАФИК И СВОЙСТВА
у = arctgx – это функция, обратная функции у = tgx на интервале
( ; )2 2
(функция у = tgx на этом интервале монотонно возрастает).
arсtgx – это угол, тангенс которого равен х (x R ).
Свойства функции y = arctgx 1. Область определения функции D(f) = R.
2. Множество значений функции ( ) ( ; ).2 2
E f
3. Функция нечётная: arctg(–x) = –arctgx. 4. х = 0 ⇔ у = 0. 5. 0 при (0; );y x 0 при ( ; 0).y x
6. Функция монотонно возрастает. 7. Экстремумов нет.
8. tg(arctgх) = , ;x x R arctg(tg ) , ( ; ).2 2
x x x
34
Лекция по теме «ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ»
Определение. Уравнение называется тригонометрическим, если оно содержит переменную под знаком тригонометрических функций.
Примеры: 1) sin3x + 2cos3x = 0, 2) 2cos2x + cos5x = 1.
1. ПРОСТЕЙШИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
1.1. Уравнение sinx = a а) sinx = 0 б) sinx = 1 в) sinx = –1
x = ,k k Z x = 22
,k k Z
x = 2 ,2
k k Z
г) Если a > 1 или а < –1, то решения нет. д) Пусть –1 < a < 1. Рассмотрим решения на единичной окружно-
сти. На оси ОУ возьмём точку A (0; a) и через неё проведём прямую, параллельную оси ОХ. Получаем на окружности точки B и C. Эти точ-
ки соответствуют числам arcsinа и – arcsinа. Эти числа есть корни
уравнения. Так как функция y = sinx имеет период 2, то решения уравнения имеют вид 1 arcsin 2 , x a n 2 arcsin 2 , , .x a k n k Z
Эти решения можно записать одной формулой k( 1) arcsin , .x a k k Z
1.2. Уравнение cosx = а a) cosx = 0 б) cosx = 1 в) cosx = –1
x = ,2
k k Z
x = 2 ,k k Z x = + 2k, k Z
35
г) Если а > 1 или а < –1, то решения нет. д) Пусть –1 < a < 0 и 0 < a < 1. Рассмотрим решения на единич-
ной окружности. На оси ОХ возьмём точку D (a; 0) и через неё прове-дём прямую параллельную оси OУ. Получаем на окружности точки K и M. Эти точки соответствуют числам
arccosa и –arccosa. Эти числа и есть корни уравнения. Так как функция y = cosx име-
ет период 2, то решения уравнения имеют вид x1 = arccosa + 2k,
x2 = –arccosa + 2n, k, n ϵ Z. Эти решения можно записать одной формулой
x = ±arccosa + 2n, n ϵ Z. 1.3. Уравнение tgx = a
а) tgx = 0 б) tgx = 1 в) tgx = –1
x = ,k k Z x = ,4
k k Z
x = ,4
k k Z
г) a – любое число. На оси тангенсов возьмём точку Р (1; a).
Проведём прямую через точки Р и 0. Получим на окружности точки E и F. Эти точки соответствуют числам
x = arctga + n, n ϵ Z.
36
Таблица 1 Решения простейших тригонометрических уравнений
a
ур. a = –1 a = 0 a = 1
–1 < a < 0 0 < a < 1
a < 1 a > 1
sinx = a x = –
2 + 2n x = n x =
2 + 2n x = (–1)
narcsinа + n ∅
cosx = а x = + 2n x =
2 + n x = 2n x = ±arccosа + 2n ∅
tgx = a x = –
4 + n x = n x =
4 + n x = arctga + n
2. СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Все способы решения тригонометрических уравнений заключа-ются в том, чтобы свести заданное уравнение к простейшему.
2.1. Алгебраический (решение уравнений, которые сводятся к квадратным уравнениям)
2.1.1. Решить уравнение sin2x – 3sinx + 2 = 0.
Решение. Сделаем подстановку sinx = y, 1.y Получаем квад-
ратное уравнение y2 – 3y + 2 = 0, y1 = 1, y2 = 2. Значение y = 2 не удовлетворяет условию, значит не является
решением исходного уравнения. Заменяя y на sinx, получаем
sinx = 1, x =
2 + 2n, n ϵ Z.
Ответ:
2 + 2n, n ϵ Z.
2.1.2. Решить уравнение 6sin2x + cosx – 2 = 0.
Решение. Так как sinx входит в уравнение во второй степени, то
заменив sin2x на 1 – cos2x, получим квадратное уравнение относи-
тельно cosx: 6(1 – cos2x) + 5cosx – 2 = 0. Сделаем подстановку cosx =
= у, 1.y Получим квадратное уравнение 6(1 – y2) + 5y – 2 = 0,
6y2 – 5y – 4 = 0, откуда y1 = –1/2, y2 = 4/3. Значение y = 4/3 не удовлетворяет условию, значит не является
решением исходного уравнения. Заменяя y на cosx, получаем
cosx = –1
2, x = ± arccos (–
1
2) + 2n,
x = ±2
3 + 2n.
Ответ:
±2
3 + 2n, n ϵ Z.
37
Аналогично решаются уравнения, в которых cosx входит во вто-рой степени, а sinx – в первой.
2.2. Однородные уравнения и сводящиеся к ним Уравнения вида
a0sinnx + a1sin
n–1xcosx + … + an–1sinxcosn–1x + ancosnx = 0,
где a0, a1, a2, …, an – действительные числа, называются однород-
ными относительно sinx и cosx. 2.2.1. Решить уравнение sinx + cosx = 0. Решение. Значения x, при которых cosx равен нулю, не являют-
ся корнями данного уравнения. Разделив обе части данного уравне-ние на cosx, получим:
sinx
cosx +
cosx
cosx = 0,
tgx + 1 = 0, tgx = –1, x = –
4 + n, n ϵ Z.
Ответ:
–
4 + n, n ϵ Z.
2.2.2. Решить уравнение 5sin2x – 3sinxcosx – 2cos2x = 0.
Решение. Разделив обе части уравнения cos2x (соsx ≠ 0) и сде-
лав подстановку tgx = y, получим уравнение 5y2 – 3y – 2 = 0, где
y = – 2
5, y = 1, то есть tgx = –
2
5,
x = arctg (–2
5) + n, tgx = 1, x =
4 + k, k ϵ Z.
Ответ:
–arctg (–2
5) + n;
4 + k, k, n ϵ Z.
2.2.3. Решить уравнение 2sin2x – 5sinxcosx – 8cos2x = –2.
Решение. Запишем данное уравнение так:
2sin2x – 5sinxcosx – 8cos2x = –2(sin
2x + cos2x).
После преобразований будем иметь:
4sin2x – 5sinxcosx – 6cos2x = 0.
Получили однородное уравнение второй степени. Решая его де-лением на cos2x (cosx ≠ 0) и подстановкой tgx = y, получаем
4y2 – 5y – 6 = 0, y = –3
4, y = 2.
tgx = 3
4, x = arctg
3
4 + n, n ϵ Z; tgx = 2, x = arctg2 + k, k ϵ Z.
Ответ:
arctg (–3
4) + n, arctg2 + k, k, n ϵ Z.
38
2.3. Универсальная подстановка Любое уравнение вида R(cosx, sinx) = 0 можно преобразовать в
рациональное алгебраическое уравнение с помощью универсальной подстановки
tgx
2 = t.
Если x ≠ + 2n, то имеют место следующие равенства:
sinx =2tg
x2
1 + tg2 x2
; cosx =1 – tg
2 x2
1 – tg2 x
2
; tgx =2tg
x2
1 – tg2 x2
.
Поскольку использование универсальной подстановки возможно лишь при x ≠ + 2n, то нужно проверять, не являются ли числа вида x = + 2n решениями данного уравнения.
2.3.1. Решить уравнение 3sinx + 4cosx = 5. Решение. Выражая sinx и cosx через
tgx
2 и полагая tg
x
2 = t,
получаем рациональное уравнение 3⋅2t
1 + t2+ 4⋅
1 – t2
1 + t2 = 5.
Решая это уравнение, получаем
t = 1
3.
Из уравнения
tgx
2 =
1
3
находим x
2 = arctg
1
3 + n, x = 2arctg
1
3 + 2n, n ϵ Z.
Проверкой убеждаемся, что значения x = + 2n не удовлетво-ряют данному уравнению.
Ответ:
2arctg1
3 + 2n, n ϵ Z.
2.3.2. Решить уравнение 3sin2x + cos2x + 1 = 0. Решение. Используя универсальную подстановку, выражаем sin2x
и cos2x через tgx. Полагая tgx = t, получим рациональное уравнение
6t
1 + t2 +
1 – t2
1 + t2 + 1 = 0,
откуда
t = –1
3.
Из уравнения
39
tgx = –1
3
находим
x = arctg (–1
3) + n, n ϵ Z.
Проверяем, не удовлетворяет ли данному уравнению те значе-ния x, при которых 2x = + 2k, то есть значения
x =
2 + k.
Имеем: 3 sin ( + 2k) + cos ( + 2k) + 1 = 3sincos + 1 = 3·0 – 1 + 1 = 0.
Проверка показывает, что значения
2 + k
являются решениями уравнения. Итак, заданное уравнение имеет следующие решения:
x = arctg (–1
3) + n, n ϵ Z, x =
2 + k, k ϵ Z.
Ответ:
arctg (–1
3) + k,
2 + n·n, k ϵ Z.
2.4. Введение вспомогательного аргумента Решить уравнение asinx + bcosx = c (а и b не равны нулю одно-
временно).
sin = b
√a2 + b2, cos =
a
√a2 + b2.
Решение. Разделим обе части уравнения на √a2 + b2 ≠ 0.
a
√a2 + b2sinx +
b
√a2 + b2cosx =
c
√a2 + b2.
cossinx + sincosx = c
√a2 + b2.
sin(x + ) = c
√a2 + b2, если |
c
√a2 + b2| ≤ 1,
то (x + ) = (–1)narcsin
c
√a2 + b2 + n, где = arctg
b
a.
Ответ:
x = (–1)narcsin
c
√a2 + b2 – arctg
b
a + n, n ϵ Z.
2.4.1. Решить уравнение 8sinx + 15cosx = 17.
40
Решение.
√82 + 15
2 = √64 + 225 = 17
8
17sinx +
15
17cosx = 17, cos =
8
17,
sin = 15
17, = arctg
15
8, sin (x + ) = 1,
x + =
2 + 2n, x =
2 – + 2n, n ϵ Z.
Ответ:
2 – arctg
15
8 + 2n, n ϵ Z.
2.5. Решение разложением на множители 2.5.1. Решить уравнение 2cosxcos2x = cosx.
Решение. 2cosxcos2x – cosx = 0 cosx(2cos2x – 1) = 0.
cosx = 0, x =
2 + n, или cos2x =
1
2, x = ±
6 + k.
Ответ:
2 + n, ±
6 + k, n, k ϵ Z.
2.5.2. Решить уравнение cos2x – cos8x + cos6x = 1. Решение.
(cos2x + cos6x) – (1 + cos8x) = 0 2cos4xcos2x – 2cos24x = 0, 2cos4x(cos2x – cos4x) = 0 4cos4xsin3xsinx = 0,
cos4 = 0
sin3 = 0
sin = 0
x
x
x
8 4
3
,
nx
kx
x m
n, k, m ϵ Z.
Два последних решения можно объединить в одно
x = k
3.
Ответ:
n
8 +
n
4, k
3, n, k ϵ Z.
2.6. Использование формул тригонометрических преобра-зований и формул сокращенного умножения
2.6.1. Решить уравнение sin3xsin9x = sin5xsin7x. Решение. По формулам преобразования произведения синусов
в сумму получим: 1
2(cos6x – cos12x) =
1
2(cos2x – cos12x), cos6x – cos2x = 0.
Используя формулу разности косинусов, получаем уравнение
41
–2sin4xsin2x = 0 sin4 0
sin2 0
x
x
4
2
, , .
nx
kx
n k Z
Ответ:
n
4, n ϵ Z.
2.6.2. Решить уравнение 4sin2x + cos2x – 3 = 0.
Решение. По формуле понижения степени
sin2x =
1 – cos2x
2, получаем 4 (
1 – cos2x
2)
2
+ cos2x – 3 = 0,
cos22x – cos2x – 2 = 0, откуда cos2x = –1,
2x = + 2n, x =
2 + n или cos2x = 2 – решений нет.
Ответ:
2 + n, n ϵ Z.
2.6.3. Решить уравнение
sinxcosxcos2x = 1
8.
Решение. Умножив обе части уравнение на 2 и заменив 2sinxcosx на sin2x, получим
2sinxcosxcos2x = 1
4, sin2xcos2x =
1
4.
Поступая таким же образом еще раз, получим
sin4x = 1
2, откуда 4x = (–1)
n
6 + n, x = (–1)
n
24 +
n
4, n ϵ Z.
Ответ:
(–1)n
24 +
n
4, n ϵ Z.
2.6.4. Решить уравнение
sin4x – cos4x =
1
2.
Решение. Применим к левой части уравнения формулу разности квадратов:
(sin2x – cos2x)(sin
2x + cos2x) =
1
2.
Заменив (sin2x + cos2x) на единицу, а (sin
2x – cos2x) на –cos2x,
получаем уравнение
–cos2x = 1
2, cos2x = –
1
2, откуда 2x = ±
2
3 + 2n, x = ±
3 + n, n ϵ Z.
Ответ:
±
3 + n, n ϵ Z.
42
Лекция по теме «ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА»
1. ГРАФИК И СВОЙСТВА ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ
Функция вида ( )xy a a a 0, 1 называется показательной
функцией. Здесь число а – основание (а > 1 или 0 < а < 1). Аргумент х находится в показателе степени.
Примеры показательной функции: 2 ( 2);xy a 10 ( 10);xy a
( 2,7);xy e a e 0,5 ( 0,5);xy a (0,1) ( 0,1).xy a
Таблица 1 График и свойства показательной функции
График показательной функции xy a
a > 1 0 < a < 1
Свойства показательной функции
1. D(f) = (–; +)
2. E(f) = (0; +) Функция принимает все положительные значения
3. 0y x
График не пересекает ось ОХ
4. 0y x R
0y x
5. 0 1x y
График пересекает ось ОУ в точке(0; 1)
6. Функция не является ни чётной, ни нечётной
43
7.
Функция монотонно возрастает:
1 21 2
x xx x a a
Функция монотонно убывает:
1 21 2
x xx x a a
8. 0 1x y
0 0 1x y
0 0 1x y
0 1x y
9. ,x y
,x 0,y или
lim 0x
y
,x y
,x ;y или
lim 0x
y
Прямая у = 0 (ось ОХ) является горизонтальной асимптотой графика функции
2. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
2.1. Показательное уравнение ( ) ( )f x g xa a равносильно ( ) уравнению ( ) ( )f x g x при а > 0, а ≠ 1.
2.1.1. Решим уравнение 2 14 8 .x x x
Решение. 2 21 2( 1) 3 2
2
1 2
4 8 2 2 2( 1)
3 2 5 2 0,
2, 0,5.
x x x x x x x x
x x x
х х
Ответ: {2; 0,5}.
2.2. Уравнение ( ) 1f xa равносильно уравнению ( ) 0,f x так как 01 a ( 0,a 1a ).
2.2.1. Решить уравнение | | 33 1.x
Решение. | | 3 | | 3 03 1 3 3 3 0 3 3.x x х х х
Ответ: {3; –3}.
2.3. Решим показательное уравнение 25 5 5 500.x x
Решение. Пусть 5x t ( 0).t Тогда исходное уравнение при-
нимает вид 2 5 500 0t t – это квадратное уравнение относительно
t, корни которого 1 25,t 2 20 0.t Следовательно, 5 25 2.x х
Ответ: {2}.
2.4. Решим показательное уравнение 23 3 216.x x Решение.
2 23 3 216 3 3 3 216 3 (9 1) 216 3 8
216216 3 3 27 3.
8
x x x x x x
x x x
44
Ответ: {3}.
2.5. Решим уравнение 2 4 5 6 3 9 0.x x x Решение. Разделим обе части уравнения на 9х ≠ 0, получим:
24 6 2 22 ( ) 5 ( ) 3 0 2 ( ) 5 ( ) 3 0.
9 9 3 3
x x x x
Пусть 2
( )3
x t (t > 0). Получим квадратное уравнение относи-
тельно t: 22 5 3 0,t t откуда 1
3,
2t 2 1.t Но
2( ) .3
xt Следова-
тельно, 12 3 2 2( ) ( ) ( ) 1,3 2 3 3
x x x или 2
( ) 1 0.3
x x
Ответ: {–1; 0}.
3. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
При решении показательных неравенств вида ( ) ( )f x g xa a ис-пользуют свойство монотонности показательной функции.
Таблица 2 Решение показательных неравенств
( ) ( )f x g xa a
1 случай. 1a 2 случай. 0 1a
( ) ( )f x g x ( ) ( )f x g x
Знак неравенства не изменяется изменяется на противоположный
3.1. Решим неравенство 225 1.x x
Решение. 2 22 2 0 25 1 5 5 2 0x x x x x x (знак неравен-
ства не изменяется, так как 5 1a ). Получим неравенство (2 ) 0,x x решаем его.
Ответ: ( 2; 0).x
3.2. Решим неравенство |3 4|(0,5) 0,25.x
Решение. |3 4| |3 4| 2(0,5) 0,25 (0,5) (0,5) .x x Так как основание
а = 0,5 (0 1a ), то здесь знак неравенства изменяется на противо-
положный: 2
| 3 4 | 2 2 3 4 2 2 3 6 2.3
x x x x
Ответ: 2
( ; 2).3
x
45
Лекция по теме «ЛОГАРИФМЫ. СВОЙСТВА ЛОГАРИФМОВ»
1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛОГАРИФМА
loga
b читаем так: логарифм b по основанию a.
Определение. Логарифмом положительного числа b по ос-нованию a называется показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b.
В символах: loga
b = x ( )0, 1, 0 .xa b aa b
Примеры: 2 3
2 2log 4 2 2 4; log 0,125 3 2 0,125;
2 5log 25 2 5 25;
4
3log 9 4 93 .
loga
b
1) Если основание логарифма a = 10, то log10
b = lg b – десятич-
ный логарифм. 2) Если основание логарифма 2 )7( , ,a e e то log
eb = lnb –
натуральный логарифм. Рассмотрим примеры:
2 3
2
lg10 1 10 10; lg100 2 10 100; lg1000 3 10 1000;
lg0,01 2 10 0,01.
0 1 1 0lg1 0 10 1; lg10 1 10 10; ln 1 ; ln1 0 1.e e e e
В общем случае: 1log 1a a a a и
0log 1 0 1.a a
Итак, два свойства логарифмов: 1) log 1 0a – логарифм единицы равен нулю;
2) log 1a a – логарифм числа a по основанию a равен единице.
2. РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВИДА ax = b
1 случай. Если 0,b то уравнение xa b не имеет корней:
.x
2 случай. Если 0,b то корень уравнения log .ax b
Графическая иллюстрация (самостоятельно).
Пример 1. Решить уравнение 2х + 3 = 0.
Решение. 2х + 3 = 0 ⇔ 2
х = –3 ⇒ х ∈ ∅, так как 2х > 0 для х ∈ R.
Пример 2. Решить уравнение 5х – 7 = 0.
Решение. 5х – 7 = 0 ⇔ 5
х = 7. По определению логарифма х = = log
57.
46
3. ОСНОВНОЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ ТОЖДЕСТВО
log( 0, 1, 0)a b
a b а a b
Доказательство. logxaa b b x (по определению лога-
рифма) log,a b
a b что и требовалось доказать.
Примеры: 1) 10lg7 = 7; 2) 0,5log 3(0,5) 3;
3) 3 3 3log log log5 2 5 5 2 29 (3 ) (3 ) (5) 25.
4. ФОРМУЛЫ (ТЕОРЕМЫ) ЛОГАРИФМИРОВАНИЯ
(a > 0, a ≠ 1, x > 0, y > 0)
1. log ( ) log log .a a axy x y
2. log log log .a a a
xx y
y
3. log log .ka ax k x
Докажем формулу log ( ) log log .a a axy x y
Доказательство. Пусть log;a x
x a loga y
y a (основное логариф-
мическое тождество). Найдём произведение log log
.a ax yxy a a
По свойству степеней log log log log
.a a a ax y x yxy a a a
По определению логарифма log .xab a b x
Значит, log log
log ( ) log log .a ax y
a a aху a xy x y
Пример. Известно, что log5
2 = a, log5
3 = b. Выразить log5
30 че-
рез a и b. Решение. log
530 = log
5( 2 ∙3∙5) = log
52 + log
53 + log
55 = a + b + 1.
5. ФОРМУЛА ПЕРЕХОДА ОТ ОДНОЙ СИСТЕМЫ ЛОГАРИФМОВ К ДРУГОЙ
loga
x = log
bx
logb
a
(a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, x > 0) Доказательство. Пусть
log log log log log
log loglog .
log log
y ya b b b b
b ba
b b
x y x x y a xa a
x xy x
a a
Следствия:
1) logak x =
1
k∙log
ax;
47
2) loga
b ∙ logb
a = 1 ⟺ loga
b = 1
logb
a;
3) logac b
c = loga
b.
5.1. Найти log49
32, если log2
14 = a.
Решение.
log49
32 = log
232
log2
49 =
log2
25
log2
72
= 5log
22
2log2
7 =
5
2log2
7;
log2
14 = log2
(2∙7) = log2
2 + log2
7 = 1 + log2
7
log2
14 = а 1 + log2
7 = а .
Ответ:
log49
32 =5
2(а – 1).
5.2. Вычислить
x = lg 8 + lg 18
2 lg 2+ lg 3.
Решение.
x = lg(8 ∙18)
lg22 + lg 3
= lg 144
lg 4 + lg 3 =
lg 144
lg (4∙3) =
lg 122
lg 12 =
2 lg 12
lg 12 = 2.
Ответ: х = 2. Логарифмирование – действие нахождения логарифма числа
или выражения. Действие, обратное логарифмированию, называется потенци-
рованием. 5.3. Прологарифмировать выражение
x = 100∙a2∙ √b
c3
по основанию 10 (другими словами, найти десятичный логарифм х). Решение.
x = 100∙a2∙ √b
c3, тогда lgx = lg
100 ∙a2 ∙ √b
c3⇔
lgx = lg100∙a2∙√b – lgc3 ⇔ lgx = lg100 + lga2 + lg√b – lgc3 ⇔
lgx = 2 + 2∙lga + 1
2∙lgb – 3∙lgc.
5.4. Пропотенцировать выражение lgx = 2∙lg5 + 1
3 ∙lg8 – 3∙lg10.
Решение. lgx = 2lg5 + 1
3 lg8 – 3lg10 ⟺ lgx = lg5
2+ lg8
1
3 – lg103⟺
lgx = lg25 + lg2 – lg1000 ⟺ lgx = lg(25 2) – lg1000 ⟺ lgx = lg50 – lg1000
⟺ lgx = lg50
1000⟺ lgx = lg0,05 ⇒ x = 0,05. Таким образом, зная лога-
рифм числа х, мы нашли само число х. Ответ: x = 0,05.
48
Лекция по теме «ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ»
1. ГРАФИК И СВОЙСТВА ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
Показательная функция y = ax (x ∈ (–; +), y ∈ (0; +)): – определена на всей числовой прямой; – принимает все положительные значения; – монотонна (возрастает при a > 1; убывает при 0 < a < 1). Следовательно, она имеет обратную функцию. Эта обратная
функция называется логарифмической функцией и обозначается
символом logay x (x ∈ (0; +), y ∈ (–; +)).
Таблица 1
График и свойства логарифмической функции logay x
График логарифмической функции logay x
a > 1 0 < a < 1
Свойства логарифмической функции
1. D(log): x ∈ (0; +)
2. (log): ( ; )E y
3. 0 1y x
График пересекает ось ОХ в точке (1; 0)
4. Функция не является ни чётной, ни нечётной
5. y > 0 ⇒ x ∊ (1; ) y < 0 ⇒ x ∊ (0; 1)
y > 0 ⇒ x ∊ (0; 1) y < 0 ⇒ x ∊ (1; )
6.
Функция монотонно возрастает:
x1< x2 ⇒ loga
x1< loga
x2
Функция монотонно убывает:
x1< x2 ⇒ loga
x1 loga
x2
7.
x → + , y → + , x → +0, y → – ,
или limx → +0 y = –
x → +, y → – , x → +0, y → + ,
или limx → +0 y = +
Прямая х = 0 (ось OY) является вертикальной асимптотой графика функции
49
2. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
2.1. Логарифмическое уравнение вида log
af(x) = log
ag(x)
равносильно уравнению f(x) = g(x) при условии, что f(x) > 0 и g(x) > 0.
2.1.1. Решить уравнение log4
(x2 – 4) = log
43x.
Решение. D(log): x2 – 4 > 0 и 3x > 0, то есть x > 2.
Уравнение log4
(x2 – 4) = log
43x равносильно уравнению
x2 – 4 = 3x ⟺ x2 – 3x – 4 = 0 ⟺ x1= 4; x2 = –1 < 2. Проверка:
а) x = 4 ⟹ log4
(42 – 4) = log
412 – левая часть, log
4(3∙4) = log
412
– правая часть, они равны. Следовательно, x = 4 – корень уравнения.
б) x = –1 ⇒ log4
((–1)2) – 4) = log
4(–3) не имеет смысла.
Значит, x = –1 не является корнем исходного уравнения. Ответ: {4}.
2.2. Уравнение loga
f(x) = k ⟺ f(x) = ak при условии, что f(x) > 0.
2.2.1. Решим уравнение log1
9
(2x2– 2x – 1) = –0,5.
Решение. D(log): 2x2– 2x – 1 > 0. По определению логарифма
2x2– 2x – 1 = (
1
9)
–0.5
⟺ x2 – 2x – 1 = 3 ⟺ x2 – x – 2 = 0,
откуда x1 = –1; x2 = 2. Ответ: {–1; 2}. 2.2.2. Решим уравнение log
x–19 = 2.
Решение. D(log): {x – 1 > 0,
x – 1 ≠ 1, ⟺ {
x > 1,
x ≠ 2,⟺ x ∈ (1; 2) ∪ (2; +).
logx–1
9 = 2 ⟺ (x – 1)2= 9 ⟹ x1 = 4, x2 = –2 ∉ D(log).
Ответ: {4}.
2.3. Решим уравнение log1
6
(x – 1) + log1
6
(5x + 3) = –2.
Решение. D(log): { x – 1 > 05x + 3 > 0
⟺ {x > 1
x > –0,6 ⇒ x ∈ (1; +).
По формуле loga
x + loga
y = loga
(xy) имеем:
log1
6
[(x – 1)(5x + 3)] = –2.
По определению логарифма
(x – 1)(5x + 3) = (1
6)
–2
⟺ 5x2 – 2x – 39 = 0.
Корни квадратного уравнения x1 = 3, x2 = –2, 6 < 1.
50
Ответ: {3}.
2.4. Решим уравнение lg(x + 2)2 − 4lg (x + 2) + 3 = 0.
Решение. D(log): x + 2 > 0 ⟺ x > –2. Пусть lg(x + 2) = t. Исходное уравнение примет вид
t2– 4t + 3 = 0, t1 = 1; t2 = 3.
Но lg(x + 2) = t. Получим два уравнения:
а) lg(x + 2) = 1 ⟺ x + 2 = 101⟺ x = 8;
б) lg(x + 2) = 3 ⟺ x + 2 = 103, x = 998.
Ответ: {8; 998}.
2.5. Решим уравнение xlog2 x + 2 = 8. Решение. D(log): x > 0, x ≠ 1.
Логарифмируем xlog2 x + 2 = 8 по основанию 2:
log2
xlog2 x + 2 = log2
8 ⟺ (log2
x + 2) ∙ log2
x = 3.
Пусть log2
x = t, получим: (t + 2)t = 3 ⟺ t2+ 2t – 3 = 0, t1 = –3, t2 = 1.
Получим два уравнения:
а) log2
x = –3 ⟺ x = 2–3 =
1
8;
б) log2
x = 1 ⟺ x = 2.
Ответ:
{1
8; 2}.
3. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
При решении логарифмических неравенств вида log
аf(x) < log
ag(x)
используют свойство монотонности логарифмической функции. Таблица 2
Решение логарифмических неравенств
D(log):
f(x) > 0 g(x) > 0
logа
f(x) < loga
g(x)
1 случай. а > 1 2 случай. 0 < а < 1
( ) ( )f x g x ( ) ( )f x g x
Знак неравенства
не изменяется изменяется
на противоположный
3.1. Решить неравенство 25log (3 ) 0,5.x
Решение. D(log): 3 – х > 0, х < 3.
Имеем 25log (3 ) 0,5x log25(3 – х) < log2525–0,5.
51
Знак неравенства не изменится, так как основание логарифма а = 25 > 1: 3 – х < 0,2, х > 2,8.
Имеем х < 3 и х > 2,8, то есть 2,8 < х < 3.
Ответ: (2,8; 3).x
3.2. Решить неравенство 1 1
7 7
log (2 3) log (3 2).x x
Решение. D(x): {2x + 3 > 0
3x – 2 > 0⟹
2.
3x
Знак неравенства изменится на противоположный, так как 0 < а < 1: 2 3 3 2 5.x x x
Ответ: 2
( ; 5).3
x
52
Лекция по теме «ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ»
1. ПОНЯТИЕ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
1.1. Определение числовой последовательности Бесконечная числовая последовательность – это функция
натурального аргумента, область определения которой есть множе-ство N всех натуральных чисел:
y = f(n), n ∈ N. Примеры числовых последовательностей: 1) 1; 3; 5; 7; 9; 11; … – последовательность нечётных чисел; 2) 1; 4; 9; 16; 25; … – последовательность квадратов натураль-
ных чисел; 3) 3; 1; 4; 1; 5; 9; … – последовательность десятичных знаков в
записи числа . Обозначение последовательности:
{yn}: y
1; y
2; y
3; …; y
n–1; y
n; y
n+1; …
y1 = f(1) – первый член последовательности;
y2 = f(2) – второй член последовательности;
yn = f(n) – n-ый член последовательности;
yn–1
= f(n – 1) – предыдущий член;
yn+1
= f(1 + n) – последующий член.
1.2. Способы задания последовательностей 1. Аналитический способ (по формуле общего члена y
n = f(n)).
Например:
yn = n3; y
n = 5n + 2; y
n = 2n
; yn =
(–1)n–1
n; y
n = sin
n
2.
2. Табличный способ. Таблица значений членов последовательности в зависимости от
номера члена.
n 1 2 3 … n
yn y
1 y
2 y
3 … y
n
Например:
1 → 3; 2 → 6; 3 → 9; 4 → 12; 5 → 15.
n 1 2 3 4 5
yn 3 6 9 12 15
53
3. Графический способ.
График последовательности есть множество точек (n; yn) плос-кости, абсциссы которых – натуральные числа.
4. Рекуррентный способ (от латинского recurro – «возвращаться»). Задан первый член (или несколько первых членов) и формула,
выражающая последующие члены последовательности, начиная с не-которого, через предыдущие.
Пример. Записать члены последовательности {an}, если a1= 3; a2= 4, при n ≥ 3 an = an–2 + an–1.
Решение. а3 = а1 + а2 = 3 + 4 = 7; а4 = a2 + a3 = 4 + 7 = 11; … Ответ: {an}: 3; 4; 7; 11; … 1.3. Виды последовательностей Конечная последовательность имеет конечное число членов. Например: 2; 4; 6; 8 – последовательность имеет четыре члена. Бесконечная последовательность имеет бесконечное число
членов.
Например: { n3} ⇒ 1; 8; 27; 64; … Последовательность ограничена, если существуют числа М и
K такие, что M ≤ yn ≤ K для всех n ∈ N.
Например: yn = cos n , –1 ≤ cos n ≤ 1, M = –1; K = 1.
Последовательность {yn} называется монотонно возрастающей
(убывающей), если для любых n последующий член больше (мень-ше) предыдущего y
n+1 > y
n (y
n+1< y
n).
Например:
1;1
2;
1
3;
1
4 – убывающая последовательность;
уn = n ⇒ 1; 2; 3; 4… – возрастающая последовательность.
2. ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Рассмотрим последовательность
54
yn = 1 +
(–1)n
n.
{yn}: 0;
3
2;
2
3;
5
4;
4
5;
7
6;
6
7;
9
8;
8
9; …
Построим график этой последовательности.
Мы видим, что с увеличением номера n (n → ) расстояние от точки (n; y
n) до прямой у = 1 уменьшается (стремится к нулю). Число 1
называют пределом последовательности {yn} при n → (при n,
стремящемся к бесконечности) и пишут limn→ yn
= 1, или yn → 1 при
n → . 2.1. Определение предела числовой последовательности Число А есть предел числовой последовательности {y
n}, если
для любого сколь угодно малого > 0 можно найти такой номер N, что
для всех n > N выполняется неравенство |yn – А|< . (При этом N зави-
сит от ). Запись в символах:
(limn →
yn
= A) ⇔ (∀ > 0 ∃ N: ∀ n > N ⇒ |yn – А| < ).
Последовательность, у которой есть предел, называется схо-дящейся.
55
3. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
Арифметическая прогрессия – это числовая последовательность
вида: a1; a1 + d; a1+ 2d; … a1+ (n – 1)d; … Например: {аn}: –4; –1; 2; 5; 8; 11; 14; … 3.1. Определение арифметической прогрессии Числовая последовательность, в которой каждый член, начиная
со второго, получается из предыдущего прибавлением к нему посто-янного числа d (разность прогрессии), называется арифметической прогрессией.
an = an–1 + d (n ≥ 2), где d – const, d – разность прогрессии.
Обозначение: {an}: a1; a2; a3; …; an. 3.2. Формула общего члена арифметической прогрессии По определению арифметической прогрессии:
a2 = a1 + d, a3 = a2 + d = a1 + 2d, a4 = a3 + d = a1 + 3d,
…………….
an = a1 + d(n – 1) – формула общего члена арифметической про-грессии, где a1 – первый член, d – разность прогрессии арифметиче-
ской прогрессии, n – номер члена. 3.3. Свойства членов арифметической прогрессии 1. Среднее арифметическое. Если an–1, an, an+1 – три последовательных члена арифметиче-
ской прогрессии, то an есть среднее арифметическое его соседних членов:
an = an–1 + an+1
2 (n ≥ 2).
Доказательство.
По определению an – an–1 = an+1 – an ⇔ 2an = an+1 + an–1 ⇔
an = an–1 + an+1
2.
2. Свойство членов, равноудалённых от концов прогрессии. Пусть a1; a2; a3; … an–2; an–1; an – конечная арифметическая про-
грессия, которая имеет n членов: a1 и an – крайние члены a2 и an–1
a3 и an–2 члены, равноудалённые от концов прогрессии
… ak и an–(k–1)
Здесь ak = a1 + d(k – 1) и
56
an–(k–1) = a1+ d(n – (k – 1) – 1) =
= a1 + d(n – k + 1 – 1) = a1 + d(n – k). Найдём
ak + an–(k–1) = a1+ d(k – 1) + a1 + d(n – k) =
= a1 + a1 + d(k – 1 + n – k) = = a1 + a1 + d(n – 1) = a1 + an.
an Итак, сумма членов, равноудалённых от концов конечной ариф-
метической прогрессии, постоянна и равна сумме её крайних членов. 3.4. Сумма n первых членов арифметической прогрессии Sn Сумма n первых членов арифметической прогрессии вычисляет-
ся по формуле
Sn = a1 + an
2∙n.
Доказательство. Sn = a1 + a2 + a3 + … + an–2 + an–1 + an Sn = an + an–1 + an–2 + … + a3 + a2 + a1
Сложим почленно: 2Sn = (a1 + an) + (a2 + an–1) + (a3 + an–2) + … +
+ (an–2 + a3) + (an–1 + a2) + (an + a1).
2Sn = (a1 + an)∙n ⇔ Sn = a1 + an
2∙n,
или Sn = 2a1 + d(n – 1)
2∙n,
так как an = a1 + d(n – 1).
4. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
4.1. Определение геометрической прогрессии Числовая последовательность {bn}, в которой каждый последу-
ющий член, начиная со второго, получается из предыдущего умноже-нием на постоянное число q (знаменатель прогрессии), называется геометрической прогрессией (b1 ≠ 0, q ≠ 0):
bn = bn–1q (n ≥ 2),
b1; b2 = b1q; b3 = b2q; …; bn = bn–1q,
bn
bn–1
= q, q – const.
Обозначение: {bn}: b1; b2; b3; … bn; … Например: 1
16;
1
8;
1
4;
1
2; 1; 2; 4; 8; 16; … – геометрическая прогрессия.
57
4.2. Формула общего члена геометрической прогрессии По определению:
b2 = b1q,
b3 = b2q = b1q2,
b4 = b3q = b1q3 и т.д.
bn = b1∙qn–1 – формула общего члена геометрической прогрес-сии; b1 – первый член, q – знаменатель геометрической прогрессии.
4.3. Свойство членов геометрической прогрессии с положи-тельными членами (среднее геометрическое)
Если bn–1, bn, bn+1 – три последовательных члена геометриче-
ской прогрессии с положительными членами, то член bn есть среднее геометрическое его соседних членов, т.е.
bn =√bn–1∙bn+1, где bn > 0, bn–1 > 0, bn+1 > 0 (n ≥ 2).
Доказательство. По определению геометрической прогрессии
bn
bn–1
= bn+1
bn
.
По свойству пропорции bn2 = bn–1bn+1, поэтому bn =√bn–1bn+1.
4.4. Сумма n первых членов геометрической прогрессии Сумма n первых членов геометрической прогрессии вычисляет-
ся по формуле:
Sn = b1(qn – 1)
q – 1, где q ≠ 1.
Доказательство. Sn = b1 + b2 + b3 + … + bn–1 + bn |∙q (почленно умножим на q):
Sn∙q = b1q + b2q + b3q + … + bn–1q + bnq. Так как b1q = b2; b2q = b3; b3q = b4 и т.д., то
Snq = b2 + b3 + … + bn–1 + bnq.
Составим разность Snq – Sn, получим: Snq – Sn = (b2 + b3 + … + bn–1 + bnq) –
– (b1 + b2 + b3 + … + bn–1 + bn) = bnq – b1.
Имеем Snq – Sn = bnq – b1.
Отсюда Sn(q – 1) = bnq – b1, или
Sn = bnq – b1
q – 1
здесь bnq = b1qn–1q = b1qn и
Sn = bnq – b1
q – 1 =
b1(qn – 1)
q – 1 (q ≠ 1).
58
Если |q| < 1, то удобно использовать формулу в виде
Sn = b1(1 – q
n)
1 – q.
4.5. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия Бесконечная геометрическая прогрессия, в которой |q| < 1, назы-
вается бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Например:
1; 1
2;
1
4;
1
8;
1
16; …
Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрес-сии вычисляется по формуле
S = b1
1 – q.
Доказательство:
S = limn →
Sn = limn →
b1(1 – qn)
1 – q =
b1
1 – qlim(1 –
n → qn) =
b1
1 – q.
59
Лекция по теме «ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ»
1. ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ
Рассмотрим некоторые случаи изменения функции y = f(x) при стремлении аргумента х к некоторому значению ( )a x a или к бес-
конечности (х → ).
Пример. Рассмотрим функцию 2 1
( )1
xf x
x
(D(f) = R∖{1}) в
окрестности точки x = 1. Графиком функции 2 1
( )1
xf x
x
является
прямая y = x + 1 с «выколотой точкой» (1; 2). Если значения х близки к 1, то соответствующие значения функции y близки к 2. Число 2 назы-вают пределом функции f(x) в точке х = 1 (или при х, стремящемся к
1). Это пишут: 1
lim ( ) 2,x
f x
или ( ) 2 при 1.f x x
1.1. Определение предела функции в точке: lim ( )x a
B f x
Число B есть предел функции ( )y f x при х, стремящемся к
а, если для любого сколь угодно малого числа 0 можно найти та-
кое число 0 ( зависит от : ( ) ), что для всех х, не равных а
и | | ,x a выполняется неравенство | ( ) | .f x B
Обозначение: lim ( ), или ( ) при .x a
B f x f x B x a
В символах: ( lim ( )) ( 0 0 : и | | | ( ) | ).
x aB f x x a x a f x B
Смысл предела функции lim ( )x a
B f x
состоит в том, что для всех
значений x, близких к a, значения f(x) приближаются к B.
Геометрически lim ( )x a
B f x
значит, что для любого числа > 0
найдётся такая -окрестность точки a, что для всех x из этой окрест-
Y
B+ f(x)
B
B–
f(x)–B
2
X
|x–a|
a– a+ a x
60
ности ( x a ) значения функции f(x) будут заключены в полосе
( ) .B f x B
1.2. Определение предела функции в бесконечности: lim ( )x
A f x
Число A есть предел функции ( )y f x при х, стремящемся к
бесконечности, если для любого малого числа 0 можно найти та-
кое число 0,S что для всех x S выполняется неравенство
| ( ) |f x A (S зависит от , ( )S S ).
Обозначение: lim ( ), или ( ) при .x
А f x f x A x
В символах:
( lim ( )) ( 0 0 : S | ( ) | ). x a
A f x S x f x A
Смысл этого предела состоит в том, что для достаточно боль-ших значений х значения функции мало отличаются от А.
Геометрически lim ( )x
A f x
значит, что для любого маленького
положительного числа можно найти такое число S > 0, что для всех
x S соответствующие значения f(x) будут заключены в полосе
( ) .A f x A
1.3. Определение бесконечного предела в точке: lim ( )x a
f x
61
Рассмотрим функцию 1
( )f xx
(х ≠ 0) в окрестности точки х = 0
(х → 0). При приближении к точке х = 0 слева и справа значения функ-ции по абсолютной величине неограниченно возрастают. Пишем
0
1 1lim , или при 0.x
xx x
Определение. Предел функции y = f(x) равен бесконечности при х, стремящемся к а, если для любого большого числа M > 0
можно найти число такое, что для всех х, не равных а и |x – a| < , выполняется неравенство |f(x)| > M.
В символах:
(lim ( ) ) ( 0 0 : и | | | ( ) | ).x a
f x M x a x a f x M
Примеры. Вычислить пределы следующих функций:
1) 2 2
1 1 ( 1 1)( 1 1)lim lim
2 ( 2)( 1 1)x x
x x x
x x x
2 2
2 1 1lim lim .
2( 2)( 1 1) 1 1x x
x
x x x
2)
22 2
22
2
2 5(1 )
2 5 1lim lim .
1 1 22 1 (2 )x x
xx x x x
x x xx x
2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ (СВОЙСТВА ПРЕДЕЛОВ)
Пусть пределы функций u1(x) и u2(x), указанные ниже, существуют. 2.1. Предел алгебраической суммы функций равен алгебраиче-
ской сумме пределов функций:
1 2 1 2lim ( ) lim lim .x a x a x a
u u u u
62
2.2. Предел произведения функций равен произведению преде-лов этих функций:
1 2 1 2lim ( ) lim lim .x a x a x a
u u u u
2.3. Предел частного функций равен частному их пределов, если предел знаменателя не равен нулю:
11
2
2 2
limlim , lim 0.
lim
x a
x a x a
x a
uu
uu u
3. «ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ» ПРЕДЕЛЫ
Первый «замечательный» предел: 0
sinlim 1.x
x
x
Второй «замечательный» предел:
1
0
1lim (1 ) или lim(1 ) .x y
x ye y e
x
4. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
4.1. Определение функции, непрерывной в точке Функция у = f(x) называется непрерывной в точке 0,x если она
определена в точке 0x (т.е. существует f( 0x )), имеет конечный предел
в точке 0x и этот предел равен f( 0x ):
00lim ( ) ( ).
x xf x f x
Примеры:
1) 1
,yx
D(f) = R\{0}. Здесь f(0) не существует. Функция не явля-
ется непрерывной в точке х = 0.
2) 1 при 0,
1 при 0.
x xy
x x
Здесь
0lim ( )x
f x
не существует. Значит,
функция не является непрерывной в точке х = 0.
f(x)=1/x
63
3) 2 при 0;
1 при 0.
x xy
x
Здесь
0lim ( ) (0).x
f x f
Функция не является
непрерывной в точке х = 0.
4) y = 2.x Здесь f(0) = 0 и
0lim ( ) 0.x
f x
Эта функция является не-
прерывной в точке x = 0.
Точка x0 называется точкой разрыва функции f(x), если эта функция в данной точке не является непрерывной.
В примерах 2 и 3 – точки разрыва первого рода; в примере 1 x = = 0 – точка разрыва второго рода.
4.2. Определение функции, непрерывной на интервале Если функция непрерывна в каждой точке интервала (а; b), то
говорят, что функция непрерывна на этом интервале.
Пример. Функция 2 непрерывна при ( ; ).xy x
Y
X
1
1 -1 -1
x
y
y
y
x
y = x2
64
5. СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ
1) Если функция непрерывна на отрезке [a; b], то она имеет на этом отрезке наименьшее значение m и наибольшее значение M.
2) Если функция непрерывна на отрезке [a; b] и ( ) ( ),f a f b то
для любого числа C, ( ) ( ),f a C f b найдётся хотя бы одна точка
( ; )c a b такая, в которой f(c) = C.
Пример. Доказать, что уравнение 3 24 3 0x x имеет корень на отрезке [–1; 0].
Решение. Функция 3 2( ) 4 3f x x x непрерывна на отрезке
[–1; 0], f(–1) = 2, f(0) = 3. По свойству 2 на интервале (–1; 0) существует точка с такая, что f(c) = 0, т.е. данное уравнение имеет корень на от-резке [–1; 0].
65
Лекция по теме «ПРОИЗВОДНАЯ»
1. ПРИРАЩЕНИЕ ФУНКЦИИ И ПРИРАЩЕНИЕ АРГУМЕНТА
Пусть функция ( )y f x определена на промежутке X. Возьмём
точку 0 .x X Дадим значению x0 приращение .x Тогда функция
( )y f x получит приращение ∆y = f(x0 + x ) – f(x0).
Прямая ММ1 – секущая; – угол наклона секущей.
x – приращение аргумента; y или f – приращение функ-
ции.
Отношение tg .y
x
2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ
Производной функции ( )y f x называется предел отношения
приращения функции y к приращению аргумента ,x когда x
стремится к нулю:
0 0
( ) ( )( ) ( ) lim lim .
x x
y f x x f xf x y x
x x
( )f x читаем: «эф штрих от икс».
Нахождение производной функции называется дифференци-рованием этой функции. Если функция в точке x имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке.
Пример. Найти производную функции 2,y x используя опреде-
ление производной. Решение.
66
1) 2 2 2( ) ( ) ( ) 2 ( ) ;y f x x f x x x x x x x
2) 22 ( )
2 ;y x x x
x xx x
3) 2
0lim (2 ) 2 ( ) 2 .x
y x x x x x
3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ
Геометрический смысл производной состоит в том, что зна-чение производной в точке есть тангенс угла наклона касательной к графику в этой точке.
Пусть 0.x Тогда 1 .M M
Секущая 1MM стремится занять положение касательной 2MM
00 0
tg tg . ( ) lim lim tg tg .x x
yf x
x
Итак, 0( ) tg .f x
4. УРАВНЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ К КРИВОЙ y = fʹ(x)(x – x0) + f(x0)
X
Y
f(x0 + x)
f(x0 + x) – f(x0)
f(x0)
y = f(x)
x
x0 x0 + x 0
M
M2 M1
67
0 0tg ( )y y x x – уравнение прямой, проходящей через точку
0 0( ; ).x y Так как это прямая – касательная к графику функции у = f(x),
то tg = f'(x0). Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид:
0 0 0( ) ( )( ),y f x f x x x или 0 0 0( )( ) ( ).y f x x x f x
5. МЕХАНИЧЕСКИЙ (ФИЗИЧЕСКИЙ) СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ
Пусть точка движется по закону S(t). ср.
sv
t
– средняя скорость
движения точки. Тогда мгнов.0
limt
sS V
t
– мгновенная скорость точ-
ки в момент времени t. По определению 0
( ) lim .x
ff x
x
Механический смысл производной состоит в том, что значение производной в точке есть мгновенная скорость изменения функции.
6. ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
Пусть u(x) и v(x) – дифференцируемые в точке х функции. 1. Производная алгебраической суммы функций равна алгебра-
ической сумме производных этих функций:
( ( ) ( )) ( ) ( ).u x v x u x v x
Доказательство. Пусть f(x) = u(x) + v(x).
Тогда ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).f x x f x u x x u x v x x v x
Отношение ( ) ( ) ( ) ( )
.f u x x u x v x x v x
x x x
Переходим к пределу при 0.x Предел первой дроби равен
( )u x , предел второй дроби – ( ).v x По свойствам пределов
( ) ( ) ( ).f x u x v x
2. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:
( ( )) ( ).cu x cu x
Доказательство. Пусть f(x) = cu(x). Тогда
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).
f x x f x cu x x cu x u x x u xc
x x x
Переходя в этом равенстве к пределу при 0,x получаем
( ) ( ), то есть ( ( )) ( ).f x cu x cu x cu x
3. Производная произведения двух функций равна произведе-нию производной первой функции на вторую функцию плюс произве-дение первой функции на производную второй функции:
68
( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ).u x v x u x v x u x v x
4. Производная дроби равна дроби, у которой знаменатель ра-вен квадрату знаменателя данной дроби, а числитель равен разности между произведением знаменателя на производную числителя и про-изведением числителя на производную знаменателя.
Производная частного функций ( )
( )
u x
v x вычисляется по формуле:
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ),
( ) ( )
u x u x v x u x v x
v x v x
( ) 0.v x
5. Производная сложной функции.
( ( ))y f u x – сложная функция; ( ( )) ( ).xy f u x u x
Таблица Производные основных элементарных функций
1) ( ) 0;c
2) 1( ) ;x x
3) ( ) ln ;x xa a a
( ) ;x xe e
4) 1
(log ) ;ln
axx a
1(ln ) ;x
x
5) (sin ) cos ;x x
6) (cos ) sin ;x x
7) 2
1(tg ) ;
cosx
x
8) 2
1(ctg ) ;
sinx
x
9) 2
1(arcsin ) ;
1x
x
10) 2
1(arccos ) ;
1x
x
11) 2
1(arctg ) ;
1x
x
12) 2
1(arcctg ) .
1x
x
Примеры. Вычислить производные следующих функций:
1) 1
3 3 121
;y x x x x xx
12 2 22
2
1 1 13 3 ;
2 2y x x x x
xx
2) ln ;y x x
1( ) ln ( ln ) 1 ln ln 1;y' x ' x x x ' x x x
x
3) 2 12(3 5 4) ;y x x 2 11 2 2 1112(3 5 4) (3 5 4) 12(3 5 4) (6 5).y x x x x x x x
69
Лекция по теме «ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ»
Производная позволяет исследовать поведение функции и нарисовать эскиз графика функции.
1. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ НА ВОЗРАСТАНИЕ И УБЫВАНИЕ
Теорема 1 (необходимое условие возрастания функции)
Рис. 1 Рис. 2
Если функция ( )y f x возрастает в промежутке Х, то её про-
изводная в этом промежутке неотрицательна. Рассмотрим график возрастающей функции (рис. 1).Во всех точ-
ках графика касательная либо образует острый угол с положитель-ным лучом оси абсцисс, либо параллельна оси абсцисс, а потомуtg 0. Но, как известно, tg равен значению производной в точке
касания. Таким образом, рисунок иллюстрирует тот факт, что произ-водная возрастающей функции неотрицательна.
Теорема 2 (необходимое условие убывания функции) Если функция ( )y f x убывает в промежутке Х, то её произ-
водная в этом промежутке неположительна (рис. 2).
Например, функция 3y x возрастает на всей числовой прямой
и её производная 23y x неотрицательна при .x R Функция 2y x
убывает в промежутке ( , 0] и возрастает в промежутке [0, ). Её
производная 2y x неположительна при 0x и неотрицательна при
0.x Теорема 3 (достаточное условие возрастания и убывания
функции)
70
Если для всех х в интервале Х имеет место неравенство( ) 0,f x то в этом интервале функция ( )y f x возрастает. Если
же для всех х в интервале Х имеет место неравенство ( ) 0,f x то
в этом интервале функция ( )y f x убывает.
Доказательство. Возьмём две точки х1 и х2 (х1 < х2) в интервале Х. По теореме
Лагранжа существует число : х1 < < х2 и 2 1 2 1( ) ( ) ( )( ).f x f x f x x
Если 2 1 2 1( ) 0 и 0, то ( ) ( ),f x x f x f x следовательно, f(x)
убывает.
Если 2 1 2 1( ) 0 и 0, то ( ) ( ),f x x f x f x значит, f(x) возрастает.
Пример. Доказать, что функция 3 22 3 6 1y x x x возрастает
на всей числовой прямой.
Решение. Так как 2 21 3
( ) 6 6 6 6(( ) ) 02 4
f x x x x при
всех х R, то функция возрастает для х R.
Рис. 3
Пример. На рисунке 3 изображён график функции ( )f x – произ-
водной функции f(x). Определить промежутки монотонности функции y = f(x).
Решение. ( )f x > 0, если х (–1; 3), значит, f(x) возрастает при
х (–1; 3); ( )f x < 0, если х (–5; –1) ∪ (3; 5), f(x) убывает, если
х (–5; –1) ∪ (3; 5).
2. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ НА ЭКСТРЕМУМЫ
Определение критической точки Точка 0x области определения называется критической точ-
кой функции y = f(x), если в этой точке производная равна нулю или не существует.
Теорема 4 (необходимое условие экстремума)
Если в точке 0x функция y = f(x) имеет экстремум, то производ-
ная 0( ) 0f x или не существует.
71
Теорема 5 (достаточное условие экстремума)
Если при переходе через критическую точку 0 ( )x D f производ-
ная функции меняет знак с «–» на «+», то 0x – точка минимума
функции. Если при переходе через критическую точку 0 ( )x D f произ-
водная функции меняет знак с «+» на «–», то 0x – точка максимума
функции.
Рис. 4 Рис. 5
Пример. На рисунке 6 дан график функции f'(x), являющейся про-изводной функции y = f(x). Определить точки экстремумов функции.
Рис. 6
Решение. В точках x = –6, х = 0 производная равна нулю и меня-ет знак с «–» на «+», значит, это точки минимума: хmin = –6, хmin = 0.
В точке х = –4 производная равна нулю и меняет знак с «+» на «–», значит, это точка максимума: хmax = –4.
f'(x0) = 0
y y
x x x0 x0
72
Пример. Найти экстремумы функции ln .y x x
Решение. Область определения функции ( ) (0; ).D f
Производная 1
1 ln ln 1.y x x xx
Найдём критические точки функции: 1
0, ln 1, .y x xe
Исследуем поведение функции на полуинтервалах 1 1
(0; ] и [ ; ).e e
2 2
1 1, ( ) 2 1 1 0.x f
e e
Функция у убывает, если 1
(0; ].xe
, ( ) 1 1 2 0.x e f e
Функция y возрастает, если 1
[ ; ).xe
При переходе через точку 1
xe
производная меняет знак с «–»
на «+», следовательно, это точка минимума, 11 1 1( ) lnf ee e e
– ми-
нимум функции.
Ответ: min min
1 1, если .y x
e e
3. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения непрерывной на отрезке [a; b] функции f(x), имеющей на интервале (a; b) несколько критических точек, достаточно вычислить значения функции f(x) во всех этих точках, а также значения f(a) и f(b) и из всех полученных чи-сел выбрать наибольшее и наименьшее.
Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
3 3( )f x x
x на отрезке [0,5; 2].
Решение. 4
2
2 2
3 3 3(0,5) 6,125, (2) 9,5; ( ) 3 ,
xf f f x x
x x
73
43 3 0, откуда 1.x x Отрезку [0,5; 2] принадлежит одна критиче-
ская точка 1,x f(1) = 4. Из чисел 6,125, 9,5 и 4 наибольшее – число
9,5, наименьшее – число 4, т.е. наибольшее значение функции равно 9,5, а наименьшее равно 4.
4. АСИМПТОТЫ
Определение асимптоты графика функции Прямая называется асимптотой графика функции y = f(x), ес-
ли расстояние от точки (x; f(x)) до этой прямой стремится к нулю. Асимптоты бывают вертикальными, горизонтальными и
наклонными.
Вертикальная асимптота. Прямая x = a – вертикальная асимп-тота графика функции f(x), если x = a – точка разрыва и lim ( ) .
x af x
На рисунке ось OY – вертикальная асимптота.
Горизонтальная асимптота. Прямая y = b – горизонтальная асимптота графика функции f(x), если lim ( ).
xb f x
x
y
x
y
x
y
0
y = f(x)
74
Наклонная асимптота. Прямая y = kx + b – наклонная асимпто-
та графика функции y = f(x), если ( )
lim ;x
f xk
x lim [ ( ) ].
xb f x kx
5. ОБЩАЯ СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКА
1. Найти область определения функции. Если есть точки разры-ва функции, найти вертикальные асимптоты.
2. Исследовать функцию на чётность. 3. Найти корни функции и интервалы постоянного знака функции. 4. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции. 5. Найти горизонтальную или наклонную асимптоты (если они
существуют). 6. Построить график и определить множество значений функции.
5.1. Исследовать функцию 3 22 52
3 2y x x x и построить её
график. 1. ( ) ( ; ),D f точек разрыва нет, вертикальных асимптот нет.
2. Чётность.
3 22 5( ) 2 ;
3 2f x x x x
3 2 3 2
3 2
2 5 2 5( ) ( ) ( ) 2( ) 2 ;
3 2 3 2
2 5( ) 2 .
3 2
f x x x x x x x
f x x x x
( ) ( ) ( ),f x f x f x функция не является ни чётной, ни нечётной.
3. Нули функции, интервалы постоянного знака.
3 2 22 5 2 52 ( 2 ) 0.
3 2 3 2x x x x x x x
20 или 4 15 12 0;x x x 1 21,2; 2,6.x x
0, (0; 1,2) (2,6; ); 0, ( ; 0) (1,2; 2,6).y x y x
x
y
0
y = f(x) M
наклонная асимптота
75
4. 2 22 5 2, 0 2 5 2 0.y x x y x x
1 20,5, 2x x – критические точки.
x 0,5 2
f + 0 – 0 +
y max min
11
24 –
2
3
5. Многочлен не имеет ни горизонтальной, ни наклонной асимптот. 6. ( ) ( ; ).E f
5.2. Исследовать функцию 2
2
9
xy
x
и построить график.
1. ( ) \ { 3}, 3D f R x – точки разрыва функции.
23
2lim .
9x
x
x
Прямые 3x – вертикальные асимптоты.
2. Чётность: 2
2( ) ;
9
xf x
x
2
2( ) ;
9
xf x
x
2
2( ) .
9
xf x
x
( ) ( ) ( ),f x f x f x функция не является ни чётной, ни нечётной.
3. 2
20 0 2;
9
xy x
x
0 при ( 3; 2) (3; );y x
20 при ( ; 3) ( 2; 3); если 0, то .
9y x х у
4. 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
( 2) ( 9) ( 9) ( 2) 9 2 ( 2) 4 9.
( 9) ( 9) ( 9)
x x x x x x x x xy
x x x
0.y
– + + –
76
х –3 3
f – нет – нет –
f
Экстремумов нет.
5. 2
2
2
1 22 0
lim lim 0,9 19 1
x x
x x xx
x
прямая y = 0 – горизонтальная
асимптота. 6. ( ) ( ; ).E f
5.3. Исследовать функцию 3
2
4xy
x
и построить график.
1. 2 0; ( ) \ {0}; 0x D f R x – точка разрыва; 3
20
4lim ,x
x
x
значит, прямая x = 0 – вертикальная асимптота графика функции.
2. Чётность. 3
2
4( ) ;
xf x
x
3
2
4( ) ;
xf x
x
3
2
4( ) .
xf x
x
( ) ( ) ( ),f x f x f x функция не является ни чётной, ни нечётной.
3. 3
3
2
40 0 4 1,6; 0, ( 1,6; 0) (0; ).
xy x y x
x
0, ( ; 1,6).y x
4. 2 2 3 4 4 4 3
4 4 4 3
3 2 ( 4) 3 2 8 8 8.
x x x x x x x x x xy
x x x x
77
x 0 2
f + нет – 0 +
f ∪ min
3
5. 3 3
3 3
41
8lim lim 1, 1;x x
x x kx x
3
2 2
4 4lim ( ( ) ) lim ( ) lim 0.x x x
xf x kx x
x x
30 8 0 2y x x – критическая точка.
Прямая y = x – наклонная асимптота.
6. ( ) ( ; ).E f
x
y
3
2
-1,6 0
78
Лекция по теме «ПЕРВООБРАЗНАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ»
1. ПОНЯТИЕ ПЕРВООБРАЗНОЙ
Мы знаем, что нахождение производной у = f'(x) от функции у = = f(x) называется дифференцированием.
Например, если f(x) = cos2x, то f'(x) = –sin2x∙(2x)' = –2sin2x для все х x ∈ R.
Нахождение функции f(x) по заданной её производной f'(x) назы-вается интегрированием.
Таким образом, операция интегрирования обратна операции дифференцирования. Следовательно, операция интегрирования со-стоит в том, что по заданной производной f'(x) находят (восстанавли-вают) функцию f(x).
Например, пусть f'(x) = 4х3. Следует найти f(x). Опираясь на пра-вило дифференцирования, нетрудно увидеть, что f(x) = х4. Действи-тельно, (х4)' = 4х3.
Определение первообразной Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на
промежутке X, если для всех x из этого промежутка F'(x) = f(x). Пример. Функция F(x) = х4 есть первообразная для функции
f(x) = 4х3 на промежутке (–; +), так как для всех x ∈ R справедливо равенство F'(x) = (х4)' = 4х3. Заметим, что F(x) = х4 + 3 и F(x) = х4 – 3 то-же её первообразные, так как (х4 + 3)' = (х4 – 3)' = 4х3.
Множество всех первообразных для функции f(x) можно пред-ставить в виде F(x) + С, где С ∈ R.
Рис. 1
Теорема. Если функция F(х) есть первообразная для функции f(х) на промежутке Х, то любая функция F(x) + С также является пер-вообразной для функции f(х) на промежутке Х (С – const).
x
y
0
79
Это следует из того, что (F(x) + С)' = F'(x) + С' = f(x) + 0 = f(x). Обратная теорема. Если F(х) первообразная для у = f(х) на
промежутке Х, то любая другая её первообразная на этом промежутке имеет вид F(x) + С.
Геометрически это значит, что графики всех первообразных данной функции f(x) получаются из любого из них параллельным пе-реносом вдоль оси Оу (рис. 1).
2. ПЕРВООБРАЗНЫЕ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ
Таблица
Функция Общий вид первообразных k (постоянная) kx + C
x ( ∈ R, ≠ –1) x+1
+ 1 + C
1
√x 2√x + C
sinx –cosx + C cosx sinx + C
1
cos2x tgx + C
1
sin2x –ctgx + С
1
x ln│x│+ C
ex ex + C
ax, a > 0, a ≠ 1 ax
ln a+ C
3. ПРАВИЛА НАХОЖДЕНИЯ ПЕРВООБРАЗНЫХ
3.1. Если F(x) – первообразная для f(x), а G(x) – первообразная для g(x), то F(x) + G(x) есть первообразная для f(x) + g(x):
(F(x) + G(x))' = f(x) + g(x). 3.2. Если F(x) – первообразная для f(x), k – постоянная, то kF(x)
есть первообразная для kf(x): (kF(x))' = kf(x).
Пример. Найти первообразную для функции f(x) = 2x3 – 4x2 – 5. Решение.
F(x) = 2x4
4 – 4
x3
3 – 5x =
x4
2 –
4
3x3 – 5x.
80
4. ПОНЯТИЕ НЕОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА
Если функция у = f(х) имеет на промежутке Х хотя бы одну пер-вообразную F(x), то ее называют интегрируемой на этом промежутке.
Мы видим, что каждая интегрируемая функция у = f(х), х Є Х, имеет целое семейство первообразных F(x) + С на этом промежутке.
Определение неопределённого интеграла Если F(x) – первообразная для у = f(x), С – любая постоянная, то
выражение F(x) + С называется неопределённым интегралом эф от
икс по дэ икс и обозначается ∫ f(x) dx:
∫ f(x) dx = F(x) + С.
у = f(х) – подынтегральная функция; f(x) dx – подынтегральное выражение; х – переменная интегрирования.
Пример 1. Найти
∫dx
√x3
.
Решение.
∫dx
√x3
= ∫ x–
13 dx .
Первообразная для
х–
13 – это
х–
13
+ 1
– 13
+ 1 =
3х23
2 ∫ х
–13 dx =
3√х23
2 + С.
Пример 2. Найти
∫dx
х2 + 4.
Решение. Первообразная для функции 1
х2 + 22 есть
1
2arctg
x
2 ∫
dx
х2 + 22 =
1
2arctg
x
2 + C.
5. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА
5.1. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов слага-емых:
∫ (f(x) + g(x))dx = ∫ f(x)dx + ∫ g(x)dx .
Доказательство. Пусть F(x) – первообразная для f(x), а G(x) – первообразная для
g(x). Так как (F(x) + G(x))' = F'(x) + G'(x) = f(x) + g(x), то F(x) + G(x) – пер-
вообразная для f(x) и g(x). Значит ∫ (f(x) + g(x))dx = F(x) + G(x) + C.
C другой стороны,
81
∫ f(x)dx + ∫ g(x)dx = (F(x) + C1) + (G(x) + C2) = F(x) + G(x) + C1 + C2=
= F(x) + G(x) + C (C1 + C2 = C).
Итак, ∫ (f(x) + g(x))dx = ∫ f(x)dx + ∫ g(x)dx .
5.2. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:
∫ kf(x)dx = k ∫ f(x)dx.
Пример. Вычислить
∫√x + x2 – 5
x2√xdx .
Решение. Разделим почленно числитель на знаменатель:
∫√x + x2 – 5
x2√xdx = ∫ (
1
x2 +
1
√x –
5
x2√x)dx =
= ∫ x–2dx + ∫ x–
12dx – ∫ x
– 52dx =
= x–2+1
–2 + 1 +
x–
12+1
– 12
+ 1 – 5
x–
52+1
– 52
+ 1 + C = –
1
x + 2√x +
10
3x√x + C.
82
Лекция по теме «ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ПЛОЩАДЬ КРИВОЛИНЕЙНОЙ ТРАПЕЦИИ»
1. ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА
Во многих задачах надо найти разность значений первообразной в заданных точках а и b (F(b) – F(a)), т.е. приращение первообразной.
Определение определенного интеграла Определенным интегралом от a до b функции f(x) называется
приращение первообразной F(x) для этой функции, т.е. F(b) – F(a) и
обозначается ∫ f(x)dx = F(b) – F(a)b
a (читаем: интеграл от «а» до «b» эф
от икс дэ икс); а – нижний предел интегрирования; b – верхний предел интегрирования
∫ f(x)dx = F(b) – F(a)b
a – формула Ньютона-Лейбница.
Разность F(b) – F(a) записывают в виде F(x)a
b: F(b) – F(a) = F(x)a
b.
Пример. Вычислить ∫ x23
2dx.
Решение.
∫ x2
3
2
dx = x3
32
3 =
27
3 –
8
3 =
19
3 = 6
1
3.
2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
2.1. Интеграл от a до b от суммы двух функций f(x) и g(x) равен сумме интегралов от этих функций.
∫ (f(x) + g(x))dx = ∫ f(x)dx – ∫ g(x)dx.
b
a
b
a
b
a
2.2. Постоянный множитель можно вынести за знак определен-ного интеграла.
∫ kf(x)dx = k ∫ f(x)dx.
b
a
b
a
2.3. Если нижний и верхний пределы интегрирования поменять местами, то знак интеграла изменится на противоположный.
∫ f(x)dx = – ∫ f(x)dx.
a
b
b
a
2.4. Если точка С лежит на отрезке [a; b], то
∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx = ∫ f(x)dx.
b
a
b
с
с
a
83
Пример. Вычислить
∫ (2
sin2
x
4
–3
+ 3
cos2x) dx .
∫2
sin2
x
4
–3
dx = –2ctgx–3
4 = –2 – ctg
3 = –2 –
2√3
3. (1)
∫3
cos2x
4
–3
dx = –3tgx–3
4 = 3 + 3tg
3 = 3 + 3√3. (2)
(1) + (2) = –2 – 2√3
3 + 3 + 3√3 = 1 +
7√3
3.
3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ КРИВОЛИНЕЙНОЙ ТРАПЕЦИИ
Определение. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком неотрицательной и непрерывной на отрезке [a; b] функции f(x), осью Ox и прямыми х = а и х = b (рис. 1).
Рис. 1
Теорема. Пусть f(х) – неотрицательная и непрерывная на отрез-ке [a; b] функция, а S – площадь соответствующей криволинейной трапеции. Если F(х) есть первообразная для f(х) на интервале, содер-жащем отрезок [a; b], то S = F(b) – F(a).
Площадь трапеции S = ∫ f(x)dx = F(x)a
b = F(b) – F(a)
b
a.
3.1. Вычислить площадь S криволинейной трапеции, ограничен-ной осью Ох, прямыми х = –1, х = 2 и параболой у = 9 – х2 (рис. 2).
Y
y = f(x)
x = b
x = a
a b X 0 1
1
84
Решение. На отрезке [–1; 2] функция у = 9 – х2 принимает поло-жительные значения. Искомая площадь S:
S = ∫ (9 – x2)dx = (9x – x3
3
2
–1
) –1
2 = (9∙2 –
23
3) – (9(–1) –
(–1)3
3) = 24.
Рис. 2 Рис. 3
3.2. Найти площадь фигуры, ограниченной параболами y = x2, y = = 2x – x2 и осью Ox.
Решение. Построим графики функций y = x2, y = 2x – x2 (рис. 3). Найдём абсциссы точек пересечения этих графиков из уравнения x2 = = 2x – x2, х1 = 0, х2 = 1. Данная фигура состоит из двух криволинейных трапеций.
Следовательно, искомая площадь равна сумме площадей этих трапеций:
S = ∫ x2 dx + ∫ (2x – x2
2
1
1
0
) dx = x3
30
1 + (x2 –
x3
3)
1
2 = 1.
3.3. Найти площадь фигуры, ограниченной отрезком
[
2;
3
2]
оси Ох и графиком функции y = cosx на этом отрезке.
Рис. 4
85
Искомая площадь S равна площади фигуры, симметричной дан-ной относительно оси Ox (рис. 4). На этом отрезке – cosx ≥ 0, поэтому
S = ∫ (–cosx)dx = (–sinx)
32
2
2
32 = (–sin
3
2) – (–sin
2) = 2.
Замечание. Если f(x) ≤ 0 на отрезке [a; b], то площадь S криволи-
нейной трапеции равна S = ∫ (–f(x))dxb
a.
Рис. 5
3.4. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой y = x2 + 1 и прямой у = х + 3.
Решение. Построим графики функций y = x2 + 1 и у = х + 3 (рис. 5). Искомую площадь можно найти как разность площадей S1 и S2 двух трапеций, опирающихся на отрезок [–1; 2]:
S1 = ∫ (x + 3)dx,
2
–1
S2 = ∫ (x2 + 1)dx,
2
–1
S = S1 – S2 = ∫ (x + 3)dx
2
–1
– ∫ (x2 + 1)dx.
2
–1
S можно записать в виде одного интеграла:
S = ∫ ((x + 3)
2
–1
– (x2 + 1))dx = ∫ (x + 2 – x2
2
–1
)dx = (x2
2 + 2x –
x3
3)–1
2 =
9
2.
3.5. Рассмотрим фигуру, ограниченную отрезками прямых x = a, x = b и графиками непрерывных функций y = f1(x) и y = f2(x), где f2(x) ≥ f1(x) ≥ 0 (рис. 6). Площадь S этой фигуры равна разности пло-щадей криволинейных трапеций аА2В2b и аА1В1b:
S = ∫ (f2(x) – f1(x))dx
b
a
.
86
Рис. 6
Эта формула справедлива для любых непрерывных функций f1(x) и f2(x) (принимающих значения любых знаков), удовлетворяющих условию f2(x) ≥ f1(x).
3.6. Найти площадь фигуры, ограниченной параболами y = x2 и y = 2x2 – 1 (рис. 7).
Рис. 7
S = ∫ (x2
1
–1
– (2x2 – 1))dx = ∫ (–x2 + 1)dx = (–x3
3
1
–1
+ x) –1
1 =
4
3.
87
Лекция по теме «ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ»
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Основные понятия – это простейшие понятия, которые нельзя определить с помощью ещё более простых.
• A
Точка А Прямая b
Плоскость
2. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ТОЧЕК, ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ
2.1. Принадлежность
A a
Точка А лежит на прямой а (точка А
принадлежит прямой а).
A
Точка А лежит на
плоскости (точка А принадлежит
плоскости ).
a
Прямая а лежит на
плоскости (прямая а принадлежит
плоскости ).
2.2. Пересечение
a b C
Прямые а и b пересекаются
в точке С.
a B
Прямая а и плоскость
пересекаются в точке В.
a m
Плоскость и пересекаются по прямой m.
3. НЕКОТОРЫЕ АКСИОМЫ ГЕОМЕТРИИ
Аксиома – математическое предположение, принимаемое без доказательства.
88
Аксиома 1
Через две точки можно провести только одну прямую. , .A a B a
Аксиома 2
Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллель-
ную данной. , ,A a A b .b a
Аксиома 3
Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести только одну плоскость.
, , .A B C
Следствия из аксиомы 3
Через прямую и точ-ку вне этой прямой
можно провести только одну плоскость.
, , .A a a A
Через две пересекающиеся прямые можно
провести только одну плоскость.
, , .a b A a b
Через две параллельные прямые можно
провести только одну плоскость.
, , .a b a b
Аксиома 4
Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.
.
A a
B aa
A
B
89
Аксиома 5
Если две плоскости имеют общую точку, то эти плоскости пересекаются и их общая точка принадлежит линии пересечения плоскостей.
, .M
a M aM
4. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ
Стереометрия – раздел геометрии, изучающий точки, прямые, плоскости, геометрические тела и их взаимное расположение в про-странстве.
Теорема – математическое предположение, истинность которо-го требует доказательства.
4.1. Взаимное расположение прямых в пространстве Определение параллельных прямых
Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
.
a
b a b
a b
Теорема о параллельных прямых Две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой
.a c
a bb c
Определение пересекающихся прямых
Две прямые в пространстве называются пересекающи-мися, если они имеют одну общую точку.
0.a b
Определение скрещивающихся пря-мых. Прямые, которые не пересекаются и не ле-жат в одной плоскости, называются скрещива-ющимися.
;a b ;a
;b ,a a ,b b
– угол между
скрещивающимися прямыми
90
4.2. Параллельность прямой и плоскости Определение. Прямая и плоскость называются параллельны-
ми, если они не имеют общих точек (не пересекаются). Теорема «Признак параллельности прямой и плоскости» Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-
либо прямой в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости.
Дано: , , .a b a b
Доказать: .a
Доказательство (метод от противного). 1. Предположим противоположное тому, что нужно доказать, т.е.
пусть a .a M
2. Построим плоскость через параллельные прямые .a b
3. , ,M a a М .a М М
4. По аксиоме (5) М
bМ
и .М b
5. Имеем: .М b
a b ММ a
6. Так как a b (дано), то .a b Следовательно, предположение
a неправильно. Отсюда ,a что и требовалось доказать.
Обратная теорема (без доказательства). Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой
плоскости и пересекает её, то линия пересечения плоскостей парал-лельна первой прямой.
4.3. Параллельность двух плоскостей Определение. Две плоскости называются параллельными, ес-
ли они не имеют общих точек (не пересекаются). Теорема «Признак параллельности двух плоскостей» Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответ-
ственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоско-сти, то эти плоскости параллельны.
Дано:
1 1 1 1 1;, , Ma b a b
2 2 2 2 2, ;, a b Ma b
1 2,a a 1 2.b b
Доказать: .
Доказательство (метод от противного).
1. Предположим, что , следовательно, .c
91
2. 1 2
1
2
a a
aa
(по признаку параллельности прямой и плос-
кости).
3.
1
1 1
a
a c
c
a
(по обратной теореме).
Аналогично 1 .b c
4. Если 1a c и 1 ,b c то 1 1,a b что противоречит условию
1 1 1( ).a b M
5. Следовательно, наше предложение ( ) неправильно, т.е.
, что и требовалось доказать.
4.4. Перпендикулярность прямой и плоскости Определение. Прямая называется перпендикулярной к плос-
кости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой в плоскости.
Дано: ,a b ,a c ,b c О , .b c
Доказать: .a Доказательство. Проведём произвольную прямую d в плоско-
сти . Если прямые b, c, d не проходят через точку 0, то перенесем их параллельно.
1. На прямых а, b, c, d выберем векторы , , ,a b c d так, что
.d b c
2. a b a b a b = 0; a c a c a c = 0.
3. 0a b a c ( ) 0.a b c
4. Так как ,b c d то 0a d .a d Следовательно,
.a d a 4.5. Перпендикуляр и наклонная
a
Отрезок АВ – перпендикуляр, опущенный
из точки А на плоскость . Точка В – основание перпендикуляра. Длина отрезка АВ – расстояние
от точки А до плоскости .
Отрезок АС – наклонная к плоскости . Точка С – основание наклонной. Отрезок ВС – проекция наклонной АС
на плоскость .
92
Угол между прямой АС и плоскостью – это угол между пря-мой и её проекцией.
4.6. Теорема о трёх перпендикулярах Если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна проекции
наклонной, то она перпендикулярна и наклонной.
Дано: ,АВ
АС – наклонная, ВС – проекция, , .m m ВС
Доказать: .m АС
Доказательство.
1. Прямые АВ, ВС, АС определяют плоскость .
2. .АВ
AB m m ABm
3. m AB
mm BC
(по признаку перпендикулярности прямой и
плоскости).
4. .m
m AC AC mАС
Обратная теорема (без доказательства). Если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна наклон-
ной, то она перпендикулярна и её проекции. 4.7. Двугранный угол. Линейный угол двугранного угла Двугранный угол образуется при пересечении двух полуплос-
костей.
,c
, – грани двугранного угла, с – ребро двугранного угла,
c – двугранный угол.
Линейный угол двугранного угла – это угол между двумя пер-пендикулярами к ребру, проведёнными из одной точки. Каждый пер-пендикуляр лежит в плоскости грани.
, a ,
, ,
a c О a
b b c О baОb
– линейный угол двугранного угла.
Двугранный угол измеряется его линейным углом. 4.8. Перпендикулярность двух плоскостей Определение. Две пересекающиеся плоскости называются
перпендикулярными, если они образуют прямой двугранный угол (соответствующий линейный угол – прямой).
93
Теорема «Признак перпендикулярности двух плоскостей» Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную дру-
гой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
Дано: ,a ,m , .a О m
Доказать: .
Доказательство. 1. ,a ,a a m значит, а – сторона линейного угла.
2. Проведем ,b ,b m b – сторона линейного угла.
3. ,b a .a b
4. Следовательно, линейный угол aOb – прямой, двугранный угол m – прямой, значит, .
Теорема (дополнительная, без доказательства). Если прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плос-
костей, перпендикулярна их линии пересечения, то она перпендику-лярна другой плоскости.
94
Лекция по теме «МНОГРАННИКИ. ВИДЫ МНОГОГРАНИКОВ»
1. МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ
Трёхгранный угол – фигура, составлен-ная из трех плоских углов с общей вершиной.
S – вершина угла. Прямые а, b, c – рёбра. Плоские углы (а, b), (b, c), (а, с) – это грани.
Многогранный угол – фигура, состав-ленная из несколь-ких плоских углов с общей вершиной.
S – вершина угла. Прямые а1, а2, …, аn – рёбра. Плоские углы (а1, а2), (а2, а3), … – это грани.
2. МНОГОГРАННИК
Многогранником называется тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников.
Плоские многоугольники называются гранями. Стороны много-угольников называются рёбрами. Вершины многогранных углов называются вершинами многогранника.
3. ПРИЗМА
Определение. Призма – это многогранник, две грани которого расположены в параллельных плоскостях, а остальные грани пересе-каются по параллельным прямым.
Основные элементы призмы
Грани ABCDЕ и A1B1C1D1Е1, расположенные в параллельных плоскостях, – основания призмы. Основания призмы – равные многоугольники с соответственно параллельными сторонами. Остальные грани призмы – боковые грани. Боко-вые грани – параллелограммы – образуют боко-вую поверхность призмы.
95
Сечение abcdе – перпендикулярное сечение, многоугольник, стороны которого перпендикулярны к боковым рёбрам.
Отрезок Мm, перпендикулярный к плоскостям оснований и за-ключённый между ними, – высота призмы.
Отрезок, соединяющий вершины оснований, не принадлежащих одной боковой грани (например, D1B), – диагональ призмы.
Параметры призмы Sосн. – площадь основания призмы, Росн. – периметр основания
призмы, l – длина бокового ребра, H – высота призмы, Рперп.сеч. – пери-метр перпендикулярного сечения, Sбок. – площадь боковой поверхно-сти – сумма площадей всех боковых граней:
Sбок. = Рперп.сч.∙ℓ. Площадь полной поверхности призмы: Sполн. = 2Sосн. + Sбок.. Объём призмы:
Vпр. = Sосн.∙H.
Виды призм
наклонная прямая
правильная
3.1. Наклонная призма Призма называется наклонной, если её боковые рёбра не пер-
пендикулярны к плоскости основания. 3.2. Прямая призма Призма называется прямой, если её боковые рёбра перпендику-
лярны к плоскости основания.
ℓ = H (высота прямой призмы равна длине бокового ребра). Основание прямой призмы есть её перпендикулярное сечение.
3.3. Правильная призма
Призма называется правильной, если она прямая и её основание – правильный многоугольник (в правильном многоугольнике все стороны и внутренние углы равны между собой).
а – сторона основания
правильной n-угольной
призмы, Росн. = n∙a.
96
3.4. Параллелепипед Параллелепипед – это призма, основания которой параллело-
граммы.
Виды параллелепипеда Свойства
Наклонный параллелепипед
Все грани – параллелограммы, нет плоских прямых углов. H – высота.
Прямой параллелепипед
Основания – параллелограммы; боковые грани – прямоугольники. Боковое ребро – высота H.
Прямоугольный параллелепипед
Основания и боковые грани – прямо-угольники; все плоские углы – прямые.
длина измерения
ширина прямоугольного
высота параллелепипеда.
a
b
c
V = a∙b∙c; Sполн. = 2(ab + ac + bc), d – диагональ, d2 = a2 + b2 + c2.
Куб
Все грани – квадраты. а – ребро куба, S = 6a2, V = a3, d – диагональ, d2 = 3a2.
4. ПИРАМИДА
Пирамида – это многогранник, ограниченный гранями много-гранного угла и плоскостью, пересекающей это грани.
Боковые грани пирамиды – треугольники с общей вершиной.
97
Многоугольник ABCDE – основание пирамиды (любой многоугольник). Треугольники АBK, BCK … – боковые грани. K – вершина пирамиды. Отре-зок OK – перпендикуляр из вершины к плоскости основания – высота пи-рамиды. Сечение АСK – диагональ-ное сечение.
Усеченная пирамида ABCDA1B1C1D1 – часть пирамиды, заключенная между основанием и секущей плос-костью, параллельной основанию. h – высота.
Параметры пирамиды Sосн – площадь основания пирамиды. Росн – периметр основания пирамиды. H – высота пирамиды, Sбок – сумма площадей боковых граней. Площадь полной поверхности пирамиды: Sполн. = Sосн. + Sбок. Vпир. – объём пирамиды равен одной трети произведения пло-
щади основания на высоту:
Vпир. = 1
3Sосн∙Н.
Правильная пирамида Пирамида называется правильной, если её основание – пра-
вильный многоугольник и высота проходит через центр основания.
ℓ – длина бокового ребра. Все бо-ковые грани – равные равнобед-ренные треугольники; а – сторона основания, b – высота боковой грани – апофема ( ).KЕ ВС
Sбок. = 1
2n∙a∙b; Росн = n∙a.
98
Лекция по теме «ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ»
Тела вращения образуются при вращении плоской фигуры во-круг неподвижной прямой; эта неподвижная прямая – ось вращения.
1. ЦИЛИНДР
Цилиндр вращения (прямой круговой ци-линдр) образуется при вращении прямо-угольника вокруг од-ной его стороны.
Развертка цилиндра
Основные элементы цилиндра OO1 – ось цилиндра; H – высота; АВ – образующая; ℓ – длина
образующей; H = ℓ; R – радиус основания. АВСD – осевое сечение цилиндра – сечение, которое проходит
через ось цилиндра. Развёртка цилиндра состоит из прямоугольника со сторонами H
и 2R (боковая поверхность) и двух кругов радиуса R (основания). Параметры цилиндра
Площадь основания Sосн. = R2.
Площадь боковой поверхности Sбок. = 2RH. Площадь полной поверхности Sполн. = Sбок. + 2Sосн.;
Sполн. = 2R(R + H).
Vц. – объем, V = R2H.
2. КОНУС
Конус вращения (прямой круговой конус) образуется при вращении прямоугольного треугольника во-круг его катета.
Развертка конуса
Основные элементы конуса KО – ось конуса; H – высота; АK – образующая; ℓ – длина обра-
зующей; R – радиус основания; АKВ – осевое сечение конуса.
99
Развёртка конуса состоит из сектора радиуса – ℓ (боковая по-
верхность) и длиной дуги 2R и круга радиуса – R (основание). Параметры конуса
Площадь основания Sосн. = R2.
Площадь боковой поверхности Sбок. = Rℓ. Площадь полной поверхности Sполн. = Sбок. + Sосн.;
Sполн. = 2R(R + I).
Vk – объём, V = 1
3Sосн.H, или V =
1
3R2H.
Усечённый конус
Усечённый конус – часть конуса, за-ключённая между основанием и секу-щей плоскостью, параллельной осно-ванию.
3. ШАР
Шар образуется при вращении полукруга вокруг его диаметра.
O – центр шара; R – радиус шара; Поверхность шара – сфера, точки которой удалены от центра шара на расстояние R.
Основные элементы шара. Параметры шара
Любое сечение шара плоскостью есть круг. Сечение, которое проходит через центр ша-ра – это сечение большого круга. Радиус се-чения большого круга равен R. Соответствующая дуга на поверхности шара – дуга большого круга.
Расстояние по дуге большого круга – наименьшее расстояние между двумя точками по сфере.
Шаровой сектор
Шаровой сегмент
Уравнение сферы радиуса R с центром в точке А (а, b, c):
2 2 2 2( ) ( ) ( ) .x a y b z c R
S – площадь сферы, 24 .S R
V – объём шара, 34.
3V R
Шаровой пояс
100
СОДЕРЖАНИЕ
Лекция по теме «ВЕКТОРЫ» ..................................................................... 3
Лекция по теме «ФУНКЦИЯ. СВОЙСТВА ФУНКЦИИ» ......................... 10
Лекция по теме «ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ» ......................................................................... 17
Лекция по теме «ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ» ........................................... 23
Лекция по теме «ГРАФИКИ И СВОЙСТВА ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ» .................................................. 28
Лекция по теме «ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ» .................................................. 31
Лекция по теме «ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ» ................ 34
Лекция по теме «ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА» .......................... 42
Лекция по теме «ЛОГАРИФМЫ. СВОЙСТВА ЛОГАРИФМОВ» ................................................................... 45
Лекция по теме «ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ» ............................ 48
Лекция по теме «ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ» ............. 52
Лекция по теме «ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ» .................................................................. 59
Лекция по теме «ПРОИЗВОДНАЯ» ........................................................ 65
Лекция по теме «ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ» ............................................................ 69
Лекция по теме «ПЕРВООБРАЗНАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ» ......................................................... 78
Лекция по теме «ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ПЛОЩАДЬ КРИВОЛИНЕЙНОЙ ТРАПЕЦИИ» ........................................ 82
Лекция по теме «ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ» ................................................................................. 87
Лекция по теме «МНОГРАННИКИ. ВИДЫ МНОГОГРАНИКОВ» .......... 94
Лекция по теме «ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ» ..................................................... 98
