ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ …6 —àçäåº II ´´¯˜¯˝¨¯ ´ À˝À¸¨˙...
Transcript of ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ …6 —àçäåº II ´´¯˜¯˝¨¯ ´ À˝À¸¨˙...
![Page 1: ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ …6 —àçäåº II ´´¯˜¯˝¨¯ ´ À˝À¸¨˙ ˆºàâà 5. ÔóíŒöŁŁ îäíîØ ïåðåìåííîØ 262 Ò¯˛—¯Ò¨×¯Ñ˚¨É](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040505/5e3d4084ccced91c9b679a51/html5/thumbnails/1.jpg)
Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебника
для студентов высших учебных заведений, обучающихся по экономическим специальностям
Рекомендовано УМО по образованию в области математических методов в экономике в качестве учебника для
студентов, обучающихся по специальности 061800 «Математические методы в экономике» и другим
экономическим специальностям
4-е издание, переработанное и дополненное
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИЧЕСКОГО
БАКАЛАВРИАТА
Под редакцией профессора Н. Ш. Кремера
УЧЕБНИК И ПРАКТИКУМ
Москва • Юрайт • 2012
![Page 2: ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ …6 —àçäåº II ´´¯˜¯˝¨¯ ´ À˝À¸¨˙ ˆºàâà 5. ÔóíŒöŁŁ îäíîØ ïåðåìåííîØ 262 Ò¯˛—¯Ò¨×¯Ñ˚¨É](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040505/5e3d4084ccced91c9b679a51/html5/thumbnails/2.jpg)
Кремер, Н. Ш.Высшая математика для экономического бакалавриата :
учебник и практикум / Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко, И. М. Три-шин, М. Н. Фридман ; под ред. Н. Ш. Кремера. — 4$е изд., пе-рераб. и доп. — М. : Издательство Юрайт ; ИД Юрайт, 2012. — 909 с. — Серия : Бакалавр.
ISBN 978-5-9916-1526-6 (Издательство Юрайт)ISBN 978-5-9692-1251-0 (ИД Юрайт)
Эта книга — полноценное руководство к решению задач. Основные положения учебного материала дополняются задачами с решениями для самостоятельной работы, раскрывается экономический смысл ма-тематических понятий, приводятся простейшие приложения матема-тики в экономике.
Существенным отличием книги является наличие в ней наряду с тра-диционными контрольными заданиями (60 вариантов, более 400 задач) тестовых заданий (27 тестов, более 400 тестовых заданий). Это позво-ляет эффективно использовать учебник при проведении контрольных работ, тестировании студентов, приеме зачетов и экзаменов, а также при самоконтроле.
Для бакалавров экономических специальностей и направлений ву-зов, а также магистров и аспирантов, экономистов, преподавателей и лиц, занимающихся самообразованием.
УДК 51ББК 22.1я73
К79
ISBN 978-5-9916-1526-6 (Издательство Юрайт)ISBN 978-5-9692-1251-0(ИД Юрайт)
© Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Тришин И. М., Фридман М. Н., 2010
© Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Тришин И. М., Фридман М. Н., 2012,с изменениями
© ООО «ИД Юрайт», 2012
Рецензенты:Кафедра высшей математики Московского государственного
университета экономики, статистики и информатики (заведую-щий кафедрой профессор В. А. Никишкин);
Солодовников А. С., заслуженный деятель науки РФ, доктор физико$математических наук, профессор (Финансовая акаде-мия при Правительстве РФ).
УДК 51ББК 22.1я73Б БК79
![Page 3: ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ …6 —àçäåº II ´´¯˜¯˝¨¯ ´ À˝À¸¨˙ ˆºàâà 5. ÔóíŒöŁŁ îäíîØ ïåðåìåííîØ 262 Ò¯˛—¯Ò¨×¯Ñ˚¨É](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040505/5e3d4084ccced91c9b679a51/html5/thumbnails/3.jpg)
Кремер, Н. Ш.Высшая математика для экономических специальностей :
учебник и практикум / Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко, И. М. Три-шин, М. Н. Фридман ; под ред. Н. Ш. Кремера. — 3е изд., пе-рераб. и доп. — М. : Издательство Юрайт; ИД Юрайт, 2010. — 909 с. — (Основы наук).
ISBN 978-5-9916-0611-0 (Издательство Юрайт)ISBN 978-5-9692-0875-9 (ИД Юрайт)
Эта книга не только учебник, но и полноценное руководство к ре-шению задач. Основные положения учебного материала дополняются задачами с решениями и для самостоятельной работы, раскрывается экономический смысл математических понятий, приводятся простей-шие приложения математики в экономике.
Существенным отличием книги является наличие в ней наряду с тра-диционными контрольными заданиями (60 вариантов, более 400 задач) тестовых заданий (27 тестов, более 400 тестовых заданий). Это позво-ляет эффективно использовать учебник при проведении контрольных работ, тестировании студентов, приеме зачетов и экзаменов, а также при самоконтроле.
Для студентов и бакалавров экономических специальностей и на-правлений вузов, а также магистров и аспирантов, экономистов, пре-подавателей и лиц, занимающихся самообразованием.
УДК 51ББК 22.1я73
К79
ISBN 978-5-9916-0611-0 (Издательство Юрайт)
ISBN 978-5-9692-0875-9 (ИД Юрайт)
© Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Три-шин И. М., Фридман М. Н., 2005, 2006
© Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Три-шин И. М., Фридман М. Н., 2009, с изменениями
© ООО «ИД Юрайт», 2010
Рецензенты:кафедра высшей математики Московского государственного уни-
верситета экономики, статистики и информатики (зав. кафедрой проф. В. А. Никишкин);
заслуженный деятель науки РФ, др физ.мат. наук, проф. А. С. Солодовников
(Финансовая академия при Правительстве РФ)
УДК 51ББК 22.1я73ББК79
2
Кремер, Н. Ш.Высшая математика для экономических специальностей :
учебник и практикум / Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко, И. М. Три-шин, М. Н. Фридман ; под ред. Н. Ш. Кремера. — 3-е изд., пере-раб. и доп. — М. : Высшее образование; Юрайт-Издат, 2008. —909 с. — (Основы наук).
ISBN 978-5-9692-0476-8Эта книга не только учебник, но и полноценное руководство к ре-
шению задач. Основные положения учебного материала дополняютсязадачами с решениями и для самостоятельной работы, раскрываетсяэкономический смысл математических понятий, приводятся простей-шие приложения математики в экономике.
Существенным отличием книги является наличие в ней наряду страдиционными контрольными заданиями (60 вариантов, более 400 за-дач) тестовых заданий (27 тестов, более 400 тестовых заданий). Этопозволяет эффективно использовать учебник при проведении конт-рольных работ, тестировании студентов, приеме зачетов и экзаменов, атакже при самоконтроле.
Для студентов и бакалавров экономических специальностей и на-правлений вузов, а также магистров и аспирантов, экономистов, пре-подавателей и лиц, занимающихся самообразованием.
УДК 51ББК 22.1я73
К79
ISBN 978-5-9692-0476-8
© Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Тришин И. М.,© Фридман М. Н., 2005, 2006, с изменениями© Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Тришин И. М., ©Фридман М. Н., 2009© ООО «Высшее образование», 2009
Рецензенты:кафедра высшей математики Московского государственного
университета экономики, статистики и информатики(зав. кафедрой проф. В. А. Никишкин);
заслуженный деятель науки РФ, д-р физ.-мат. наук,проф. А. С. Солодовников
(Финансовая академия при Правительстве РФ)
УДК 51ББК 22.1я73ББК79
3
ОглавлениеПредисловие ...................................................................................... 15Введение .............................................................................................. 20
Раздел IЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА С ЭЛЕМЕНТАМИ
АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
Глава 1. Матрицы и определители ........................................... 26
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС1.1. Основные сведения о матрицах ...................................... 261.2. Операции над матрицами ................................................... 281.3. Определители квадратных матриц ................................. 371.4. Свойства определителей .................................................... 431.5. Обратная матрица ................................................................. 471.6. Ранг матрицы .......................................................................... 51
ПРАКТИКУМ1.7. Действия с матрицами......................................................... 571.8. Определители квадратных матриц ................................. 591.9. Обратная матрица ................................................................. 641.10. Ранг матрицы .......................................................................... 661.11. Задачи с экономическим содержанием......................... 70
Контрольные задания по главе 1«Матрицы и определители» ......................................................... 75Тест 1 .................................................................................................... 77
Глава 2. Системы линейных уравнений ................................. 79
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС2.1. Основные понятия и определения ................................. 792.2. Система n линейных уравнений с n переменными.
Метод обратной матрицы и формулы Крамера ......... 81
![Page 4: ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ …6 —àçäåº II ´´¯˜¯˝¨¯ ´ À˝À¸¨˙ ˆºàâà 5. ÔóíŒöŁŁ îäíîØ ïåðåìåííîØ 262 Ò¯˛—¯Ò¨×¯Ñ˚¨É](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040505/5e3d4084ccced91c9b679a51/html5/thumbnails/4.jpg)
4
2.3. Метод Гаусса ........................................................................ 862.4. Система m линейных уравнений
с n переменными ................................................................. 912.5. Системы линейных однородных уравнений.
Фундаментальная система решений ........................... 962.6. Модель Леонтьева — модель многоотраслевой
экономики (балансовый анализ) .................................. 99
ПРАКТИКУМ2.7. Система n линейных уравнений
с n переменными .................................................................. 1042.8. Система m линейных уравнений с n переменными.
Метод Жордана — Гаусса. Фундаментальнаясистема решений ................................................................. 112
2.9. Модель Леонтьева — модель многоотраслевойэкономики .............................................................................. 118
Контрольные задания по главе 2«Системы линейных уравнений» ............................................ 120Тест 2 .................................................................................................. 121
Глава 3. Элементы матричного анализа .............................. 124
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС3.1. Векторы на плоскости и в пространстве .................... 1243.2. Понятия n-мерного вектора и векторного
пространства ......................................................................... 1303.3. Размерность и базис векторного пространства ........ 1323.4. Переход к новому базису ................................................. 1373.5. Евклидово пространство .................................................. 1393.6. Линейные операторы ......................................................... 1413.7. Собственные векторы и собственные значения
линейного оператора .......................................................... 1453.8. Квадратичные формы ........................................................ 1503.9. Линейная модель обмена .................................................. 155
ПРАКТИКУМ3.10. Векторы на плоскости и в пространстве .................... 1583.11. Понятия n-мерного вектора и векторного
пространства. Евклидово пространство ..................... 1633.12. Линейные операторы ......................................................... 170
Оглавление 5
3.13. Собственные векторы и собственные значениялинейного оператора (матрицы) ................................... 173
3.14. Квадратичные формы ......................................................... 178
Контрольные задания по главе 3«Элементы матричного анализа» ............................................. 182Тест 3 .................................................................................................. 183
Глава 4. Уравнение линии. Прямая и плоскость .............. 186
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС4.1. Системы координат. Простейшие задачи .................. 1864.2. Уравнение линии на плоскости ..................................... 1884.3. Уравнение прямой .............................................................. 1904.4. Условия параллельности и перпендикулярности
прямых. Расстояние от точки до прямой ................... 1954.5. Окружность и эллипс ........................................................ 1984.6. Гипербола и парабола ........................................................ 2034.7. Полярные координаты....................................................... 2104.8. Плоскость и прямая в пространстве ............................ 213
ПРАКТИКУМ4.9. Простейшие задачи. Уравнение прямой
на плоскости .......................................................................... 2174.10. Кривые второго порядка .................................................. 2274.11. Полярные координаты....................................................... 2354.12. Плоскость и прямая в пространстве ............................ 237
Контрольные задания по главе 4«Уравнение линии. Прямая и плоскость» ............................ 244Тест 4 .................................................................................................. 245
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ И ТЕСТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ЛИНЕНАЯАЛГЕБРА С ЭЛЕМЕНТАМИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ»
(РАЗДЕЛУ I)
Учебно-тренировочные тесты по дисциплине«Линейная алгебра с элементами аналитическойгеометрии» (разделу I) ..................................................... 248
Итоговые контрольные задания по дисциплине«Линейная алгебра с элементами аналитическойгеометрии» (разделу I) ..................................................... 255Итоговый тест ЛА ............................................................. 258
Оглавление
![Page 5: ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ …6 —àçäåº II ´´¯˜¯˝¨¯ ´ À˝À¸¨˙ ˆºàâà 5. ÔóíŒöŁŁ îäíîØ ïåðåìåííîØ 262 Ò¯˛—¯Ò¨×¯Ñ˚¨É](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040505/5e3d4084ccced91c9b679a51/html5/thumbnails/5.jpg)
4
2.3. Метод Гаусса ........................................................................ 862.4. Система m линейных уравнений
с n переменными ................................................................. 912.5. Системы линейных однородных уравнений.
Фундаментальная система решений ........................... 962.6. Модель Леонтьева — модель многоотраслевой
экономики (балансовый анализ) .................................. 99
ПРАКТИКУМ2.7. Система n линейных уравнений
с n переменными .................................................................. 1042.8. Система m линейных уравнений с n переменными.
Метод Жордана — Гаусса. Фундаментальнаясистема решений ................................................................. 112
2.9. Модель Леонтьева — модель многоотраслевойэкономики .............................................................................. 118
Контрольные задания по главе 2«Системы линейных уравнений» ............................................ 120Тест 2 .................................................................................................. 121
Глава 3. Элементы матричного анализа .............................. 124
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС3.1. Векторы на плоскости и в пространстве .................... 1243.2. Понятия n-мерного вектора и векторного
пространства ......................................................................... 1303.3. Размерность и базис векторного пространства ........ 1323.4. Переход к новому базису ................................................. 1373.5. Евклидово пространство .................................................. 1393.6. Линейные операторы ......................................................... 1413.7. Собственные векторы и собственные значения
линейного оператора .......................................................... 1453.8. Квадратичные формы ........................................................ 1503.9. Линейная модель обмена .................................................. 155
ПРАКТИКУМ3.10. Векторы на плоскости и в пространстве .................... 1583.11. Понятия n-мерного вектора и векторного
пространства. Евклидово пространство ..................... 1633.12. Линейные операторы ......................................................... 170
Оглавление 5
3.13. Собственные векторы и собственные значениялинейного оператора (матрицы) ................................... 173
3.14. Квадратичные формы ......................................................... 178
Контрольные задания по главе 3«Элементы матричного анализа» ............................................. 182Тест 3 .................................................................................................. 183
Глава 4. Уравнение линии. Прямая и плоскость .............. 186
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС4.1. Системы координат. Простейшие задачи .................. 1864.2. Уравнение линии на плоскости ..................................... 1884.3. Уравнение прямой .............................................................. 1904.4. Условия параллельности и перпендикулярности
прямых. Расстояние от точки до прямой ................... 1954.5. Окружность и эллипс ........................................................ 1984.6. Гипербола и парабола ........................................................ 2034.7. Полярные координаты....................................................... 2104.8. Плоскость и прямая в пространстве ............................ 213
ПРАКТИКУМ4.9. Простейшие задачи. Уравнение прямой
на плоскости .......................................................................... 2174.10. Кривые второго порядка .................................................. 2274.11. Полярные координаты....................................................... 2354.12. Плоскость и прямая в пространстве ............................ 237
Контрольные задания по главе 4«Уравнение линии. Прямая и плоскость» ............................ 244Тест 4 .................................................................................................. 245
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ И ТЕСТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ЛИНЕНАЯАЛГЕБРА С ЭЛЕМЕНТАМИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ»
(РАЗДЕЛУ I)
Учебно-тренировочные тесты по дисциплине«Линейная алгебра с элементами аналитическойгеометрии» (разделу I) ..................................................... 248
Итоговые контрольные задания по дисциплине«Линейная алгебра с элементами аналитическойгеометрии» (разделу I) ..................................................... 255Итоговый тест ЛА ............................................................. 258
Оглавление
![Page 6: ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ …6 —àçäåº II ´´¯˜¯˝¨¯ ´ À˝À¸¨˙ ˆºàâà 5. ÔóíŒöŁŁ îäíîØ ïåðåìåííîØ 262 Ò¯˛—¯Ò¨×¯Ñ˚¨É](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040505/5e3d4084ccced91c9b679a51/html5/thumbnails/6.jpg)
6
Раздел II
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
Глава 5. Функции одной переменной ................................. 262
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС5.1. Понятие множества ............................................................ 2625.2. Абсолютная величина действительного числа.
Окрестность точки .............................................................. 2645.3. Понятие функции. Основные свойства функций ...... 2655.4. Основные элементарные функции ............................... 2695.5. Элементарные функции. Классификация функций.
Преобразование графиков ................................................ 2735.6. Применение функций в экономике ............................. 2775.7. Интерполирование функций. Основные правила
приближенных вычислений ............................................ 280
ПРАКТИКУМ5.8. Функции и графики ........................................................... 284
Контрольные задания по главе 5 «Функции однойпеременной» ..................................................................................... 292Тест 5 .................................................................................................. 292
Глава 6. Пределы и непрерывность ....................................... 294
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС6.1. Предел числовой последовательности ........................ 2946.2. Предел функции в бесконечности и точке ............... 2966.3. Бесконечно малые величины .......................................... 3006.4. Бесконечно большие величины ..................................... 3046.5. Основные теоремы о пределах.
Признаки существования предела ................................ 3076.6. Замечательные пределы. Задача о непрерывном
начислении процентов ...................................................... 3106.7. Непрерывность функции .................................................. 316
ПРАКТИКУМ6.8. Вычисление пределов ........................................................ 3226.9. Замечательные пределы. Применение
эквивалентных бесконечно малых величинк вычислению пределов .................................................... 331
Оглавление 7
6.10. Непрерывность функции и точки разрыва .............. 338Контрольные задания по главе 6 «Пределыи непрерывность» ........................................................................... 340Тест 6 .................................................................................................. 341
Раздел IIIДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Глава 7. Производная и дифференциал .............................. 344
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС7.1. Задачи, приводящиеся к понятию производной .... 3447.2. Определение производной. Зависимость между
непрерывностью и дифференцируемостьюфункции .................................................................................. 346
7.3. Схема вычисления производной.Основные правила дифференцирования ................... 349
7.4. Производная сложной и обратной функций ............ 3537.5. Производные основных элементарных
функций .................................................................................. 3577.6. Производные неявной и параметрически
заданной функций. Понятие производныхвысших порядков ................................................................ 362
7.7. Понятие дифференциала функции............................... 3657.8. Применение дифференциала в приближенных
вычислениях .......................................................................... 3687.9. Понятие о дифференциалах высших порядков....... 3707.10. Экономический смысл производной.
Использование понятия производной в экономике ...... 371
ПРАКТИКУМ7.11. Вычисление производных ................................................ 3787.12. Геометрические и механические приложения
производной .......................................................................... 3857.13. Дифференциал функции .................................................. 3887.14. Экономические приложения производной ............... 389Контрольные задания по главе 7«Производная и дифференциал» ............................................. 395Тест 7 .................................................................................................. 396
Оглавление
![Page 7: ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ …6 —àçäåº II ´´¯˜¯˝¨¯ ´ À˝À¸¨˙ ˆºàâà 5. ÔóíŒöŁŁ îäíîØ ïåðåìåííîØ 262 Ò¯˛—¯Ò¨×¯Ñ˚¨É](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040505/5e3d4084ccced91c9b679a51/html5/thumbnails/7.jpg)
6
Раздел II
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
Глава 5. Функции одной переменной ................................. 262
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС5.1. Понятие множества ............................................................ 2625.2. Абсолютная величина действительного числа.
Окрестность точки .............................................................. 2645.3. Понятие функции. Основные свойства функций ...... 2655.4. Основные элементарные функции ............................... 2695.5. Элементарные функции. Классификация функций.
Преобразование графиков ................................................ 2735.6. Применение функций в экономике ............................. 2775.7. Интерполирование функций. Основные правила
приближенных вычислений ............................................ 280
ПРАКТИКУМ5.8. Функции и графики ........................................................... 284
Контрольные задания по главе 5 «Функции однойпеременной» ..................................................................................... 292Тест 5 .................................................................................................. 292
Глава 6. Пределы и непрерывность ....................................... 294
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС6.1. Предел числовой последовательности ........................ 2946.2. Предел функции в бесконечности и точке ............... 2966.3. Бесконечно малые величины .......................................... 3006.4. Бесконечно большие величины ..................................... 3046.5. Основные теоремы о пределах.
Признаки существования предела ................................ 3076.6. Замечательные пределы. Задача о непрерывном
начислении процентов ...................................................... 3106.7. Непрерывность функции .................................................. 316
ПРАКТИКУМ6.8. Вычисление пределов ........................................................ 3226.9. Замечательные пределы. Применение
эквивалентных бесконечно малых величинк вычислению пределов .................................................... 331
Оглавление 7
6.10. Непрерывность функции и точки разрыва .............. 338Контрольные задания по главе 6 «Пределыи непрерывность» ........................................................................... 340Тест 6 .................................................................................................. 341
Раздел IIIДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Глава 7. Производная и дифференциал .............................. 344
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС7.1. Задачи, приводящиеся к понятию производной .... 3447.2. Определение производной. Зависимость между
непрерывностью и дифференцируемостьюфункции .................................................................................. 346
7.3. Схема вычисления производной.Основные правила дифференцирования ................... 349
7.4. Производная сложной и обратной функций ............ 3537.5. Производные основных элементарных
функций .................................................................................. 3577.6. Производные неявной и параметрически
заданной функций. Понятие производныхвысших порядков ................................................................ 362
7.7. Понятие дифференциала функции............................... 3657.8. Применение дифференциала в приближенных
вычислениях .......................................................................... 3687.9. Понятие о дифференциалах высших порядков....... 3707.10. Экономический смысл производной.
Использование понятия производной в экономике ...... 371
ПРАКТИКУМ7.11. Вычисление производных ................................................ 3787.12. Геометрические и механические приложения
производной .......................................................................... 3857.13. Дифференциал функции .................................................. 3887.14. Экономические приложения производной ............... 389Контрольные задания по главе 7«Производная и дифференциал» ............................................. 395Тест 7 .................................................................................................. 396
Оглавление
![Page 8: ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ …6 —àçäåº II ´´¯˜¯˝¨¯ ´ À˝À¸¨˙ ˆºàâà 5. ÔóíŒöŁŁ îäíîØ ïåðåìåííîØ 262 Ò¯˛—¯Ò¨×¯Ñ˚¨É](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040505/5e3d4084ccced91c9b679a51/html5/thumbnails/8.jpg)
8
Глава 8. Приложения производной ..................................... 398
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС8.1. Основные теоремы дифференциального исчисления ... 3988.2. Правило Лопиталя ........................................................... 4028.3. Возрастание и убывание функций ............................... 4068.4. Экстремум функции ........................................................... 4088.5. Наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке и интервале ...................................................... 4148.6. Выпуклость функции. Точки перегиба ....................... 4168.7. Асимптоты графика функции ......................................... 4198.8. Общая схема исследования функций
и построения их графиков ............................................... 4228.9. Приложение производной в экономической теории 428
ПРАКТИКУМ8.10. Основные теоремы дифференциального
исчисления ............................................................................. 4298.11. Правило Лопиталя .............................................................. 4318.12. Интервалы монотонности и экстремумы
функции .................................................................................. 4358.13. Интервалы выпуклости функции.
Точки перегиба ..................................................................... 4408.14. Асимптоты. Исследование функций
и построение их графиков ............................................... 4428.15. Применение производной в задачах
с экономическим содержанием ...................................... 450
Контрольные задания по главе 8«Приложения производной» ..................................................... 455Тест 8 .................................................................................................. 455
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ И ТЕСТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ
«МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ», ЧАСТЬ 1 (РАЗДЕЛАМ II, III)
Учебно-тренировочные тесты по дисциплине «Мате-матический анализ», часть 1 (разделам II, III) ....... 460
Итоговые контрольные задания по дисциплине«Математический анализ», часть 1(разделам II, III ) ................................................................ 467Итоговый тест МА.1 ......................................................... 469
Оглавление 9Оглавление
Раздел IVФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Глава 9. Функции нескольких переменных ..................... 474
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС9.1. Основные понятия .............................................................. 4749.2. Предел и непрерывность .................................................. 4799.3. Частные производные........................................................ 4819.4. Дифференциал функции .................................................. 4839.5. Производная по направлению. Градиент ................... 4859.6. Дифференцирование сложной функции .................... 4879.7. Экстремум функции нескольких переменных ......... 4909.8. Наибольшее и наименьшее значения функции ....... 4949.9. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа .... 4979.10. Понятие об эмпирических формулах. Метод
наименьших квадратов ...................................................... 5009.11. Функции нескольких переменных
в экономической теории ................................................... 505
ПРАКТИКУМ9.12. Основные понятия .............................................................. 5109.13. Частные производные, градиент,
дифференциал....................................................................... 5139.14. Экстремум функции нескольких переменных.
Условный экстремум.......................................................... 5159.15. Метод наименьших квадратов ....................................... 5209.16. Функции нескольких переменных
в экономических задачах .................................................. 525Контрольные задания по главе 9 «Функциинескольких переменных» ............................................................ 530Тест 9 .................................................................................................. 531
Раздел VИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Глава 10. Неопределенный интеграл ..................................... 534
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС10.1. Первообразная функция и неопределенный
интеграл .................................................................................. 534
![Page 9: ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ …6 —àçäåº II ´´¯˜¯˝¨¯ ´ À˝À¸¨˙ ˆºàâà 5. ÔóíŒöŁŁ îäíîØ ïåðåìåííîØ 262 Ò¯˛—¯Ò¨×¯Ñ˚¨É](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040505/5e3d4084ccced91c9b679a51/html5/thumbnails/9.jpg)
8
Глава 8. Приложения производной ..................................... 398
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС8.1. Основные теоремы дифференциального исчисления ... 3988.2. Правило Лопиталя ........................................................... 4028.3. Возрастание и убывание функций ............................... 4068.4. Экстремум функции ........................................................... 4088.5. Наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке и интервале ...................................................... 4148.6. Выпуклость функции. Точки перегиба ....................... 4168.7. Асимптоты графика функции ......................................... 4198.8. Общая схема исследования функций
и построения их графиков ............................................... 4228.9. Приложение производной в экономической теории 428
ПРАКТИКУМ8.10. Основные теоремы дифференциального
исчисления ............................................................................. 4298.11. Правило Лопиталя .............................................................. 4318.12. Интервалы монотонности и экстремумы
функции .................................................................................. 4358.13. Интервалы выпуклости функции.
Точки перегиба ..................................................................... 4408.14. Асимптоты. Исследование функций
и построение их графиков ............................................... 4428.15. Применение производной в задачах
с экономическим содержанием ...................................... 450
Контрольные задания по главе 8«Приложения производной» ..................................................... 455Тест 8 .................................................................................................. 455
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ И ТЕСТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ
«МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ», ЧАСТЬ 1 (РАЗДЕЛАМ II, III)
Учебно-тренировочные тесты по дисциплине «Мате-матический анализ», часть 1 (разделам II, III) ....... 460
Итоговые контрольные задания по дисциплине«Математический анализ», часть 1(разделам II, III ) ................................................................ 467Итоговый тест МА.1 ......................................................... 469
Оглавление 9Оглавление
Раздел IVФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Глава 9. Функции нескольких переменных ..................... 474
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС9.1. Основные понятия .............................................................. 4749.2. Предел и непрерывность .................................................. 4799.3. Частные производные........................................................ 4819.4. Дифференциал функции .................................................. 4839.5. Производная по направлению. Градиент ................... 4859.6. Дифференцирование сложной функции .................... 4879.7. Экстремум функции нескольких переменных ......... 4909.8. Наибольшее и наименьшее значения функции ....... 4949.9. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа .... 4979.10. Понятие об эмпирических формулах. Метод
наименьших квадратов ...................................................... 5009.11. Функции нескольких переменных
в экономической теории ................................................... 505
ПРАКТИКУМ9.12. Основные понятия .............................................................. 5109.13. Частные производные, градиент,
дифференциал....................................................................... 5139.14. Экстремум функции нескольких переменных.
Условный экстремум.......................................................... 5159.15. Метод наименьших квадратов ....................................... 5209.16. Функции нескольких переменных
в экономических задачах .................................................. 525Контрольные задания по главе 9 «Функциинескольких переменных» ............................................................ 530Тест 9 .................................................................................................. 531
Раздел VИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Глава 10. Неопределенный интеграл ..................................... 534
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС10.1. Первообразная функция и неопределенный
интеграл .................................................................................. 534
![Page 10: ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ …6 —àçäåº II ´´¯˜¯˝¨¯ ´ À˝À¸¨˙ ˆºàâà 5. ÔóíŒöŁŁ îäíîØ ïåðåìåííîØ 262 Ò¯˛—¯Ò¨×¯Ñ˚¨É](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040505/5e3d4084ccced91c9b679a51/html5/thumbnails/10.jpg)
10 Оглавление
10.2. Свойства неопределенного интеграла. Интегралыот основных элементарных функций .......................... 536
10.3. Метод замены переменной .............................................. 54310.4. Метод интегрирования по частям ................................ 54610.5. Интегрирование простейших рациональных
дробей ...................................................................................... 54910.6. Интегрирование некоторых видов иррациональ-
ностей ....................................................................................... 55410.7. Интегрирование тригонометрических функций ..... 55710.8. Об интегралах, «неберущихся» в элементарных
функциях ................................................................................ 559ПРАКТИКУМ10.9. Непосредственное интегрирование ............................. 55910.10. Метод замены переменной............................................ 56110.11. Метод интегрирования по частям ............................. 56810.12. Интегрирование рациональных функций ............. 57310.13. Интегрирование некоторых видов иррацио-
нальностей .......................................................................... 57710.14. Интегрирование тригонометрических
функций ................................................................................ 581Контрольные задания по главе 10 «Неопределенныйинтеграл» ........................................................................................... 584Тест 10 ................................................................................................ 585
Глава 11. Определенный интеграл ......................................... 587
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС11.1. Понятие определенного интеграла, его геомет-
рический и экономический смысл ................................ 58711.2. Свойства определенного интеграла ............................. 59311.3. Определенный интеграл как функция верхнего
предела ..................................................................................... 59711.4. Формула Ньютона — Лейбница ................................... 60011.5. Замена переменной и интегрирование
по частям в определенном интеграле .......................... 60211.6. Геометрические приложения определенного
интеграла ................................................................................ 60511.7. Несобственные интегралы ............................................... 61511.8. Приближенное вычисление определенных
интегралов .............................................................................. 620
11Оглавление
11.9. Применение понятия определенного интегралав экономике ........................................................................... 623
11.10. Понятие двойного интеграла ....................................... 626
ПРАКТИКУМ11.11. Методы вычисления определенного интеграла ...... 63011.12. Геометрические приложения определенного
интеграла .............................................................................. 63611.13. Несобственные интегралы ............................................. 64611.14. Приближенное вычисление определенного
интеграла .............................................................................. 65011.15. Применение понятия определенного интеграла
в экономике ......................................................................... 652
11.16. Двойные интегралы ......................................................... 656Контрольные задания по главе 11 «Определенныйинтеграл» ........................................................................................... 658Тест 11 ................................................................................................ 659
Глава 12. Дифференциальные уравнения ........................... 661
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС12.1. Основные понятия .............................................................. 66112.2. Дифференциальные уравнения первого порядка.
Задача Коши. Теорема о существованиии единственности решения ............................................. 665
12.3. Элементы качественного анализа дифферен-циальных уравнений первого порядка ........................ 668
12.4. Неполные дифференциальные уравненияпервого порядка. Дифференциальные уравненияс разделяющимися переменными.................................. 671
12.5. Однородные дифференциальные уравненияпервого порядка ................................................................... 674
12.6. Линейные дифференциальные уравненияпервого порядка ................................................................... 676
12.7. Дифференциальные уравнения второгопорядка, допускающие понижение порядка ............. 678
12.8. Линейные дифференциальные уравнения вто-рого порядка с постоянными коэффициентами ...... 679
![Page 11: ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ …6 —àçäåº II ´´¯˜¯˝¨¯ ´ À˝À¸¨˙ ˆºàâà 5. ÔóíŒöŁŁ îäíîØ ïåðåìåííîØ 262 Ò¯˛—¯Ò¨×¯Ñ˚¨É](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040505/5e3d4084ccced91c9b679a51/html5/thumbnails/11.jpg)
10 Оглавление
10.2. Свойства неопределенного интеграла. Интегралыот основных элементарных функций .......................... 536
10.3. Метод замены переменной .............................................. 54310.4. Метод интегрирования по частям ................................ 54610.5. Интегрирование простейших рациональных
дробей ...................................................................................... 54910.6. Интегрирование некоторых видов иррациональ-
ностей ....................................................................................... 55410.7. Интегрирование тригонометрических функций ..... 55710.8. Об интегралах, «неберущихся» в элементарных
функциях ................................................................................ 559ПРАКТИКУМ10.9. Непосредственное интегрирование ............................. 55910.10. Метод замены переменной............................................ 56110.11. Метод интегрирования по частям ............................. 56810.12. Интегрирование рациональных функций ............. 57310.13. Интегрирование некоторых видов иррацио-
нальностей .......................................................................... 57710.14. Интегрирование тригонометрических
функций ................................................................................ 581Контрольные задания по главе 10 «Неопределенныйинтеграл» ........................................................................................... 584Тест 10 ................................................................................................ 585
Глава 11. Определенный интеграл ......................................... 587
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС11.1. Понятие определенного интеграла, его геомет-
рический и экономический смысл ................................ 58711.2. Свойства определенного интеграла ............................. 59311.3. Определенный интеграл как функция верхнего
предела ..................................................................................... 59711.4. Формула Ньютона — Лейбница ................................... 60011.5. Замена переменной и интегрирование
по частям в определенном интеграле .......................... 60211.6. Геометрические приложения определенного
интеграла ................................................................................ 60511.7. Несобственные интегралы ............................................... 61511.8. Приближенное вычисление определенных
интегралов .............................................................................. 620
11Оглавление
11.9. Применение понятия определенного интегралав экономике ........................................................................... 623
11.10. Понятие двойного интеграла ....................................... 626
ПРАКТИКУМ11.11. Методы вычисления определенного интеграла ...... 63011.12. Геометрические приложения определенного
интеграла .............................................................................. 63611.13. Несобственные интегралы ............................................. 64611.14. Приближенное вычисление определенного
интеграла .............................................................................. 65011.15. Применение понятия определенного интеграла
в экономике ......................................................................... 652
11.16. Двойные интегралы ......................................................... 656Контрольные задания по главе 11 «Определенныйинтеграл» ........................................................................................... 658Тест 11 ................................................................................................ 659
Глава 12. Дифференциальные уравнения ........................... 661
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС12.1. Основные понятия .............................................................. 66112.2. Дифференциальные уравнения первого порядка.
Задача Коши. Теорема о существованиии единственности решения ............................................. 665
12.3. Элементы качественного анализа дифферен-циальных уравнений первого порядка ........................ 668
12.4. Неполные дифференциальные уравненияпервого порядка. Дифференциальные уравненияс разделяющимися переменными.................................. 671
12.5. Однородные дифференциальные уравненияпервого порядка ................................................................... 674
12.6. Линейные дифференциальные уравненияпервого порядка ................................................................... 676
12.7. Дифференциальные уравнения второгопорядка, допускающие понижение порядка ............. 678
12.8. Линейные дифференциальные уравнения вто-рого порядка с постоянными коэффициентами ...... 679
![Page 12: ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ …6 —àçäåº II ´´¯˜¯˝¨¯ ´ À˝À¸¨˙ ˆºàâà 5. ÔóíŒöŁŁ îäíîØ ïåðåìåííîØ 262 Ò¯˛—¯Ò¨×¯Ñ˚¨É](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040505/5e3d4084ccced91c9b679a51/html5/thumbnails/12.jpg)
12 Оглавление
12.9. Использование дифференциальных уравненийв экономической динамике ............................................. 690
12.10. Системы дифференциальных уравнений ................ 694
ПРАКТИКУМ
12.11. Основные понятия ........................................................... 70112.12. Дифференциальные уравнения
с разделяющимися переменными ............................... 70412.13. Однородные дифференциальные уравнения
первого порядка ................................................................. 70612.14. Линейные дифференциальные уравнения
первого порядка ................................................................. 70912.15. Дифференциальные уравнения, допускающие
понижение порядка .......................................................... 71412.16. Линейные дифференциальные уравнения вто-
рого порядка с постоянными коэффициентами ..... 71712.17. Использование дифференциальных уравнений
в экономической динамике ........................................... 72312.18. Системы дифференциальных уравнений ................ 72812.19. Дополнительные задачи ................................................. 731
Контрольные задания по главе 12 «Дифференциаль-ные уравнения» ............................................................................... 732Тест 12 ................................................................................................ 733
Раздел VIРЯДЫ
Глава 13. Числовые ряды ........................................................... 736
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС13.1. Основные понятия. Сходимость ряда ......................... 73613.2. Необходимый признак сходимости.
Гармонический ряд ............................................................. 74013.3. Ряды с положительными членами ................................ 74213.4. Ряды с членами произвольного знака ......................... 752
ПРАКТИКУМ13.5. Сходимость ряда. Необходимый признак
сходимости ............................................................................. 757
13Оглавление
13.6. Сходимость рядов с положительными членами ..... 76013.7. Сходимость рядов с членами произвольного знака.... 769
Контрольные задания по главе 13 «Числовые ряды» ...... 773Тест 13 ................................................................................................ 774
Глава 14. Степенные ряды ........................................................ 777
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС14.1. Область сходимости степенного ряда ......................... 77714.2. Ряды Маклорена и Тейлора ............................................ 78314.3. Формула Тейлора ................................................................ 788
ПРАКТИКУМ14.4. Область сходимости степенного ряда ......................... 79114.5. Ряды Маклорена и Тейлора ............................................ 79814.6. Применения рядов в приближенных
вычислениях .......................................................................... 805Контрольные задания по главе 14 «Степенные ряды» ........ 816Тест 14 ................................................................................................ 816
Раздел VIIЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ
Глава 15. Комплексные числа .................................................. 820
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС15.1. Арифметические операции над комплексными
числами. Комплексная плоскость ................................. 82015.2. Тригонометрическая и показательная формы
комплексного числа ............................................................ 822
ПРАКТИКУМ15.3. Действия над комплексными числами........................ 827Контрольные задания по главе 15 «Комплексныечисла».................................................................................................. 830Тест 15 ................................................................................................ 831
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ И ТЕСТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ«МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ», ЧАСТЬ 2 (РАЗДЕЛАМ IV—VII)
Учебно-тренировочные тесты по дисциплине«Математический анализ», часть 2(разделам IV—VII) ............................................................. 834
![Page 13: ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ …6 —àçäåº II ´´¯˜¯˝¨¯ ´ À˝À¸¨˙ ˆºàâà 5. ÔóíŒöŁŁ îäíîØ ïåðåìåííîØ 262 Ò¯˛—¯Ò¨×¯Ñ˚¨É](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040505/5e3d4084ccced91c9b679a51/html5/thumbnails/13.jpg)
12 Оглавление
12.9. Использование дифференциальных уравненийв экономической динамике ............................................. 690
12.10. Системы дифференциальных уравнений ................ 694
ПРАКТИКУМ
12.11. Основные понятия ........................................................... 70112.12. Дифференциальные уравнения
с разделяющимися переменными ............................... 70412.13. Однородные дифференциальные уравнения
первого порядка ................................................................. 70612.14. Линейные дифференциальные уравнения
первого порядка ................................................................. 70912.15. Дифференциальные уравнения, допускающие
понижение порядка .......................................................... 71412.16. Линейные дифференциальные уравнения вто-
рого порядка с постоянными коэффициентами ..... 71712.17. Использование дифференциальных уравнений
в экономической динамике ........................................... 72312.18. Системы дифференциальных уравнений ................ 72812.19. Дополнительные задачи ................................................. 731
Контрольные задания по главе 12 «Дифференциаль-ные уравнения» ............................................................................... 732Тест 12 ................................................................................................ 733
Раздел VIРЯДЫ
Глава 13. Числовые ряды ........................................................... 736
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС13.1. Основные понятия. Сходимость ряда ......................... 73613.2. Необходимый признак сходимости.
Гармонический ряд ............................................................. 74013.3. Ряды с положительными членами ................................ 74213.4. Ряды с членами произвольного знака ......................... 752
ПРАКТИКУМ13.5. Сходимость ряда. Необходимый признак
сходимости ............................................................................. 757
13Оглавление
13.6. Сходимость рядов с положительными членами ..... 76013.7. Сходимость рядов с членами произвольного знака.... 769
Контрольные задания по главе 13 «Числовые ряды» ...... 773Тест 13 ................................................................................................ 774
Глава 14. Степенные ряды ........................................................ 777
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС14.1. Область сходимости степенного ряда ......................... 77714.2. Ряды Маклорена и Тейлора ............................................ 78314.3. Формула Тейлора ................................................................ 788
ПРАКТИКУМ14.4. Область сходимости степенного ряда ......................... 79114.5. Ряды Маклорена и Тейлора ............................................ 79814.6. Применения рядов в приближенных
вычислениях .......................................................................... 805Контрольные задания по главе 14 «Степенные ряды» ........ 816Тест 14 ................................................................................................ 816
Раздел VIIЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ
Глава 15. Комплексные числа .................................................. 820
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС15.1. Арифметические операции над комплексными
числами. Комплексная плоскость ................................. 82015.2. Тригонометрическая и показательная формы
комплексного числа ............................................................ 822
ПРАКТИКУМ15.3. Действия над комплексными числами........................ 827Контрольные задания по главе 15 «Комплексныечисла».................................................................................................. 830Тест 15 ................................................................................................ 831
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ И ТЕСТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ«МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ», ЧАСТЬ 2 (РАЗДЕЛАМ IV—VII)
Учебно-тренировочные тесты по дисциплине«Математический анализ», часть 2(разделам IV—VII) ............................................................. 834
![Page 14: ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ …6 —àçäåº II ´´¯˜¯˝¨¯ ´ À˝À¸¨˙ ˆºàâà 5. ÔóíŒöŁŁ îäíîØ ïåðåìåííîØ 262 Ò¯˛—¯Ò¨×¯Ñ˚¨É](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040505/5e3d4084ccced91c9b679a51/html5/thumbnails/14.jpg)
14 Оглавление
Итоговые контрольные задания по дисциплине«Математический анализ», часть 2(разделам IV—VII) .............................................................. 841Итоговый тест МА.2 ......................................................... 843
Приложение. Об использовании математическихпакетов при изучении курса высшей математики ........... 847
Литература ....................................................................................... 854
Ответы ................................................................................................ 856
Предметный указатель ................................................................ 894
15
ПРЕДИСЛОВИЕУчебник написан в соответствии с требованиями государ-
ственных образовательных стандартов (ГОС) по экономиче-ским специальностям. Он соответствует Примерной программедисциплины «Математика», утвержденной МинобразованиемРоссии, и содержит учебный материал по курсам «Линейнаяалгебра с элементами аналитической геометрии» и «Матема-тический анализ», включенным в ГОСы по экономическим на-правлениям и специальностям в виде отдельных математиче-ских дисциплин.
При написании курса высшей математики для экономи-ческих вузов авторы руководствовались принципом повыше-ния уровня фундаментальной математической подготовкистудентов с усилением ее прикладной экономической направ-ленности. При введении основных понятий отдавалосьпредпочтение классическому подходу: так, например, поня-тие непрерывности функции вводится после рассмотренияпонятия предела, определенный интеграл определяется какпредел интегральной суммы и т.п. Там, где это возможно,даются геометрический и экономический смыслы математи-ческих понятий (например, производной, интеграла и т.д.),приводятся математические формулировки ряда экономи-ческих законов (закона убывающей доходности, принципаубывающей предельной полезности, условия оптимальностивыпуска продукции), рассматриваются простейшие прило-жения высшей математики в экономике (балансовые модели,предельный анализ, эластичность функции, производствен-ные функции, модели экономической динамики и т.п.). Такиеприложения рассчитаны на уровень подготовки студентовпервого курса и почти не требуют дополнительной (экономи-ческой) информации.
Данный учебник подготовлен на основе учебника [2] иучебного пособия [18] тех же авторов. По сравнению с указан-ными книгами в него включен ряд дополнительных теорети-ческих вопросов и задач (например, след матрицы, полярные
![Page 15: ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ …6 —àçäåº II ´´¯˜¯˝¨¯ ´ À˝À¸¨˙ ˆºàâà 5. ÔóíŒöŁŁ îäíîØ ïåðåìåííîØ 262 Ò¯˛—¯Ò¨×¯Ñ˚¨É](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040505/5e3d4084ccced91c9b679a51/html5/thumbnails/15.jpg)
14 Оглавление
Итоговые контрольные задания по дисциплине «Математический анализ», часть 2 (разделам IV—VII) . ............................................................ 841 Итоговый тест МА.2 . ....................................................... 843
Приложение. Об использовании математических пакетов при изучении курса высшей математики ............................ 847
Литература . .................................................................................... 854
Ответы . ............................................................................................. 856
Предметный указатель . .............................................................. 894
ПРЕДИСЛОВИЕ
Учебник написан в соответствии с требованиями феде-ральных государственных образовательных стандартов (ФГОС) по экономическим специальностям. Он соответствует Пример-ной программе дисциплины «Математика», утвержденной Минобразованием России, и содержит учебный материал по курсам «Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии» и «Математический анализ», включенным в ФГОСы по экономическим направлениям в виде отдельных математиче-ских дисциплин.
При написании курса высшей математики для экономи-ческих вузов авторы руководствовались принципом повышения уровня фундаментальной математической подготовки студентов с усилением ее прикладной экономической направ-ленности. При введении основных понятий отдавалось предпочтение классическому подходу: так, например, понятие непрерывности функции вводится после рассмотрения понятия предела, определенный интеграл определяется как предел интегральной суммы и т.п. Там, где это возможно, даются геометрический и экономический смыслы математи-ческих понятий (например, производной, интеграла и т.д.), приводятся математические формулировки ряда экономи-ческих законов (закона убывающей доходности, принципа убывающей предельной полезности, условия оптимальности выпуска продукции), рассматриваются простейшие прило-жения высшей математики в экономике (балансовые модели, предельный анализ, эластичность функции, производственные функции, модели экономической динамики и т.п.). Такие приложения рассчитаны на уровень подготовки студентов первого курса и почти не требуют дополнительной (экономи-ческой) информации.
Данный учебник подготовлен на основе учебника [2] и учебного пособия [18] тех же авторов. По сравнению с указан-ными книгами в него включен ряд дополнительных теорети-ческих вопросов и задач (например, след матрицы, полярные
Три предыдущих издания учебника выходили под названием «Высшая математика для экономических специальностей». Переход всех экономических вузов и отделений, начиная с 2011/2012 учебного года, на двухуровневую систему под-готовки «бакалавр-магистр», определил новое название учеб-ника (4-ое издание): «Высшая математика для экономиче-ского бакалавриата».
![Page 16: ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ …6 —àçäåº II ´´¯˜¯˝¨¯ ´ À˝À¸¨˙ ˆºàâà 5. ÔóíŒöŁŁ îäíîØ ïåðåìåííîØ 262 Ò¯˛—¯Ò¨×¯Ñ˚¨É](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040505/5e3d4084ccced91c9b679a51/html5/thumbnails/16.jpg)
16 Предисловие
координаты, системы дифференциальных уравнений, доста-точное условие экстремума функции n переменных, признаксходимости Коши, применение математических пакетов приизучении курса высшей математики и др.). Главное отличиеэтого издания заключается в совмещении в одной книге и учеб-ника, и полноценного практикума, что позволило, в частности,исключить неизбежные повторы учебного и справочного мате-риала.
Известно, что изучение базовых математических дисцип-лин в вузе осуществляется по апробированной многолетнейпрактикой схеме: лекции — практические занятия — конт-рольные работы (типовые расчеты, тестирование) — экза-мен. Данный учебник написан в соответствии с этой схемой.
Каждая глава учебника содержит «Теоретический курс», вкотором раскрывается основное содержание темы и приво-дятся иллюстрирующие учебный материал решенные прак-тические примеры и задачи, и «Практикум», в которомпредставлено достаточно большое число типовых и болеесложных комплексных задач с решениями и для самостоя-тельной работы.
В конце каждой главы по представленной в ней темеприводятся как традиционные контрольные задания (триварианта по пять — девять задач), так и тест (10—15 тесто-вых заданий). Кроме того, в целом по дисциплине «Линей-ная алгебра (с элементами аналитической геометрии)», попервой и второй частям дисциплины «Математический ана-лиз»1 даются как традиционные итоговые контрольные за-дания (пять вариантов по восемь задач), так и итоговые те-сты (по 24 тестовых задания).
Приведенные контрольные задания и тесты могут бытьэффективно использованы для аудиторных и домашнихконтрольных работ, типовых расчетов, собеседований, на за-четах и экзаменах (в частности, письменных), при тестиро-вании студентов (в том числе компьютерном), а также длясамоконтроля по вузовскому общему курсу математики.
Такое построение книги потребовало сделать изложениетеоретического материала более кратким, отказаться без су-щественного ущерба от малозначащих, громоздких или по-вторяющихся по своим идеям доказательств утверждений,
1 Разделение учебного материала дисциплины на части соответствуетпримерным срокам их изучения в экономическом вузе (соответственнов I и II семестрах).
17Предисловие
отличающихся от ранее проведенных лишь техническими де-талями. Вместе с тем авторы стремились к более тщательнойпроработке базовых понятий и доказательств положений, изу-чение которых предусмотрено настоящим курсом. Для лучше-го усвоения учебного материала приведены учебные алгорит-мы (схемы) решения определенного круга задач.
Особенностью предлагаемого «Практикума» является то,что значительная часть задач и примеров имеет экономическоесодержание. Наиболее экономически значимые задачи, пред-ставляющие самостоятельный интерес, выделены в отдель-ные параграфы.
Для оценки уровня подготовленности студентов в настоя-щее время все шире используются методы тестирования, вчастности, с применением современных компьютерных техно-логий. Существенным отличием данной книги от имеющих-ся на книжном рынке изданий является то, что наряду с тра-диционными контрольными заданиями (60 вариантов, более400 задач) в нем предлагается достаточно большое число тес-товых заданий (27 тестов, более 400 тестовых заданий).
При подготовке тестовых заданий авторы ориентирова-лись в основном на открытую форму, когда тестируемыйсам получает ответ в виде произвольного числа (целогоили записанного в виде десятичной дроби) — одного илинескольких, допускаемых при компьютерном тестирова-нии. Такая форма заданий исключает возможность угады-вания правильного ответа, подсказок для его получения.
Приведены также задания в закрытой форме, когда тести-руемый должен выбрать один или несколько вариантов отве-та, предложенных на выбор. При этом авторы отказались отальтернативных тестовых заданий (с двумя вариантами отве-та) из-за высокой (0,5) вероятности угадывания правильногоответа. В ряде тестов использовались тестовые задания на вы-явление соответствия между элементами двух групп с ответа-ми в виде соответствующих пар «число — буква», характери-зующих порядковые номера элементов в каждой группе.
В отдельных случаях применялись тестовые заданияна установление правильной последовательности элемен-тов с ответами в виде последовательности номеров этихэлементов.
Для усвоения учебного материала каждой главы рекомен-дуется вначале изучить теоретические основы с иллюстри-рующими их решенными задачами и примерами, приведенны-
![Page 17: ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ …6 —àçäåº II ´´¯˜¯˝¨¯ ´ À˝À¸¨˙ ˆºàâà 5. ÔóíŒöŁŁ îäíîØ ïåðåìåííîØ 262 Ò¯˛—¯Ò¨×¯Ñ˚¨É](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040505/5e3d4084ccced91c9b679a51/html5/thumbnails/17.jpg)
16 Предисловие
координаты, системы дифференциальных уравнений, доста-точное условие экстремума функции n переменных, признаксходимости Коши, применение математических пакетов приизучении курса высшей математики и др.). Главное отличиеэтого издания заключается в совмещении в одной книге и учеб-ника, и полноценного практикума, что позволило, в частности,исключить неизбежные повторы учебного и справочного мате-риала.
Известно, что изучение базовых математических дисцип-лин в вузе осуществляется по апробированной многолетнейпрактикой схеме: лекции — практические занятия — конт-рольные работы (типовые расчеты, тестирование) — экза-мен. Данный учебник написан в соответствии с этой схемой.
Каждая глава учебника содержит «Теоретический курс», вкотором раскрывается основное содержание темы и приво-дятся иллюстрирующие учебный материал решенные прак-тические примеры и задачи, и «Практикум», в которомпредставлено достаточно большое число типовых и болеесложных комплексных задач с решениями и для самостоя-тельной работы.
В конце каждой главы по представленной в ней темеприводятся как традиционные контрольные задания (триварианта по пять — девять задач), так и тест (10—15 тесто-вых заданий). Кроме того, в целом по дисциплине «Линей-ная алгебра (с элементами аналитической геометрии)», попервой и второй частям дисциплины «Математический ана-лиз»1 даются как традиционные итоговые контрольные за-дания (пять вариантов по восемь задач), так и итоговые те-сты (по 24 тестовых задания).
Приведенные контрольные задания и тесты могут бытьэффективно использованы для аудиторных и домашнихконтрольных работ, типовых расчетов, собеседований, на за-четах и экзаменах (в частности, письменных), при тестиро-вании студентов (в том числе компьютерном), а также длясамоконтроля по вузовскому общему курсу математики.
Такое построение книги потребовало сделать изложениетеоретического материала более кратким, отказаться без су-щественного ущерба от малозначащих, громоздких или по-вторяющихся по своим идеям доказательств утверждений,
1 Разделение учебного материала дисциплины на части соответствуетпримерным срокам их изучения в экономическом вузе (соответственнов I и II семестрах).
17Предисловие
отличающихся от ранее проведенных лишь техническими де-талями. Вместе с тем авторы стремились к более тщательнойпроработке базовых понятий и доказательств положений, изу-чение которых предусмотрено настоящим курсом. Для лучше-го усвоения учебного материала приведены учебные алгорит-мы (схемы) решения определенного круга задач.
Особенностью предлагаемого «Практикума» является то,что значительная часть задач и примеров имеет экономическоесодержание. Наиболее экономически значимые задачи, пред-ставляющие самостоятельный интерес, выделены в отдель-ные параграфы.
Для оценки уровня подготовленности студентов в настоя-щее время все шире используются методы тестирования, вчастности, с применением современных компьютерных техно-логий. Существенным отличием данной книги от имеющих-ся на книжном рынке изданий является то, что наряду с тра-диционными контрольными заданиями (60 вариантов, более400 задач) в нем предлагается достаточно большое число тес-товых заданий (27 тестов, более 400 тестовых заданий).
При подготовке тестовых заданий авторы ориентирова-лись в основном на открытую форму, когда тестируемыйсам получает ответ в виде произвольного числа (целогоили записанного в виде десятичной дроби) — одного илинескольких, допускаемых при компьютерном тестирова-нии. Такая форма заданий исключает возможность угады-вания правильного ответа, подсказок для его получения.
Приведены также задания в закрытой форме, когда тести-руемый должен выбрать один или несколько вариантов отве-та, предложенных на выбор. При этом авторы отказались отальтернативных тестовых заданий (с двумя вариантами отве-та) из-за высокой (0,5) вероятности угадывания правильногоответа. В ряде тестов использовались тестовые задания на вы-явление соответствия между элементами двух групп с ответа-ми в виде соответствующих пар «число — буква», характери-зующих порядковые номера элементов в каждой группе.
В отдельных случаях применялись тестовые заданияна установление правильной последовательности элемен-тов с ответами в виде последовательности номеров этихэлементов.
Для усвоения учебного материала каждой главы рекомен-дуется вначале изучить теоретические основы с иллюстри-рующими их решенными задачами и примерами, приведенны-
![Page 18: ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ …6 —àçäåº II ´´¯˜¯˝¨¯ ´ À˝À¸¨˙ ˆºàâà 5. ÔóíŒöŁŁ îäíîØ ïåðåìåííîØ 262 Ò¯˛—¯Ò¨×¯Ñ˚¨É](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040505/5e3d4084ccced91c9b679a51/html5/thumbnails/18.jpg)
18 Предисловие
ми в «Теоретическом курсе», затем разобрать типовые и бо-лее сложные задачи с решениями и решить часть задач длясамостоятельной работы из «Практикума». А для проверкиуровня подготовленности по материалам каждой главы идисциплинам «Линейная алгебра» и «Математический ана-лиз» в целом рекомендуется выполнить тематические иитоговые контрольные и тестовые задания.
При подготовке задач (а их в учебнике около 2700) былииспользованы различные пособия и методические материа-лы. Часть задач и, в частности, тестовые задания составле-ны специально для настоящего учебника. Наряду с автора-ми в подготовке ряда задач для самостоятельной работы итестовых заданий принимали также участие преподавателикафедры высшей математики ВЗФЭИ: доценты Л. Р. Бори-сова, А. С. Гулько, А. В. Потемкин, А. Ю. Шевелев, канд.физ.-мат. наук Е. М. Воробьева.
Ответы всех задач, контрольных и тестовых заданий поглавам (кроме итоговых по дисциплинам) приводятся в кон-це учебника. Нумерация задач (как с решениями, так и длясамостоятельной работы) единая по каждой главе (начинает-ся в «Теоретическом курсе» и продолжается в «Практику-ме»). В конце книги дан развернутый предметный указатель.
Знаком o обозначается начало доказательства теоремы,знаком n — ее окончание, а знаком — окончание решениязадачи.
В третье издание включены учебно-тренировочные тес-ты (девять тестов по 20 тестовых заданий), которые могутбыть использованы для контроля (экспресс-проверки) уров-ня подготовленности студентов перед курсовыми экзамена-ми (зачетами), для проверки остаточных знаний студентовпри подготовке их к аттестации (аккредитации, комплекс-ной проверке) вуза по циклу общих математических и естест-веннонаучных дисциплин, при решении вопроса о переза-чете дисциплин студентам, переводящимся в данный вуз издругих учебных заведений, и т.п. Эти тесты по указаннымвыше дисциплинам (в целом) помещены вместе с их итого-выми контрольными заданиями и тестами в отдельных раз-делах, а тематические контрольные задания и тесты перене-сены из этих разделов в соответствующие главы учебника.
Авторы выражают глубокую благодарность проф. В. А. Ни-кишкину и проф. А. С. Солодовникову за рецензирование руко-писи и сделанные ими замечания.
19Оглавление
АВТОРЫ:Н. Ш. Кремер, профессор (предисловие, введение,
гл. 2—7, 13—15), а также приложение(совместно с Б. А. Путко));
И. М. Тришин, профессор (гл. 10—12);Б. А. Путко, доцент (гл. 8, 9, а также приложение
(совместно с Н. Ш. Кремером));М. Н. Фридман, доцент (гл. 1);И. М. Эйсымонт, доцент (учебно-тренировочные
тесты).
Итоговые контрольные заданияи итоговые тесты подготовленыавторами соответствующих главучебника совместно.
![Page 19: ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ …6 —àçäåº II ´´¯˜¯˝¨¯ ´ À˝À¸¨˙ ˆºàâà 5. ÔóíŒöŁŁ îäíîØ ïåðåìåííîØ 262 Ò¯˛—¯Ò¨×¯Ñ˚¨É](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040505/5e3d4084ccced91c9b679a51/html5/thumbnails/19.jpg)
18 Предисловие
ми в «Теоретическом курсе», затем разобрать типовые и бо-лее сложные задачи с решениями и решить часть задач длясамостоятельной работы из «Практикума». А для проверкиуровня подготовленности по материалам каждой главы идисциплинам «Линейная алгебра» и «Математический ана-лиз» в целом рекомендуется выполнить тематические иитоговые контрольные и тестовые задания.
При подготовке задач (а их в учебнике около 2700) былииспользованы различные пособия и методические материа-лы. Часть задач и, в частности, тестовые задания составле-ны специально для настоящего учебника. Наряду с автора-ми в подготовке ряда задач для самостоятельной работы итестовых заданий принимали также участие преподавателикафедры высшей математики ВЗФЭИ: доценты Л. Р. Бори-сова, А. С. Гулько, А. В. Потемкин, А. Ю. Шевелев, канд.физ.-мат. наук Е. М. Воробьева.
Ответы всех задач, контрольных и тестовых заданий поглавам (кроме итоговых по дисциплинам) приводятся в кон-це учебника. Нумерация задач (как с решениями, так и длясамостоятельной работы) единая по каждой главе (начинает-ся в «Теоретическом курсе» и продолжается в «Практику-ме»). В конце книги дан развернутый предметный указатель.
Знаком o обозначается начало доказательства теоремы,знаком n — ее окончание, а знаком — окончание решениязадачи.
В третье издание включены учебно-тренировочные тес-ты (девять тестов по 20 тестовых заданий), которые могутбыть использованы для контроля (экспресс-проверки) уров-ня подготовленности студентов перед курсовыми экзамена-ми (зачетами), для проверки остаточных знаний студентовпри подготовке их к аттестации (аккредитации, комплекс-ной проверке) вуза по циклу общих математических и естест-веннонаучных дисциплин, при решении вопроса о переза-чете дисциплин студентам, переводящимся в данный вуз издругих учебных заведений, и т.п. Эти тесты по указаннымвыше дисциплинам (в целом) помещены вместе с их итого-выми контрольными заданиями и тестами в отдельных раз-делах, а тематические контрольные задания и тесты перене-сены из этих разделов в соответствующие главы учебника.
Авторы выражают глубокую благодарность проф. В. А. Ни-кишкину и проф. А. С. Солодовникову за рецензирование руко-писи и сделанные ими замечания.
19Оглавление
АВТОРЫ:Н. Ш. Кремер, профессор (предисловие, введение,
гл. 2—7, 13—15), а также приложение(совместно с Б. А. Путко));
И. М. Тришин, профессор (гл. 10—12);Б. А. Путко, доцент (гл. 8, 9, а также приложение
(совместно с Н. Ш. Кремером));М. Н. Фридман, доцент (гл. 1);И. М. Эйсымонт, доцент (учебно-тренировочные
тесты).
Итоговые контрольные заданияи итоговые тесты подготовленыавторами соответствующих главучебника совместно.
![Page 20: ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ …6 —àçäåº II ´´¯˜¯˝¨¯ ´ À˝À¸¨˙ ˆºàâà 5. ÔóíŒöŁŁ îäíîØ ïåðåìåííîØ 262 Ò¯˛—¯Ò¨×¯Ñ˚¨É](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040505/5e3d4084ccced91c9b679a51/html5/thumbnails/20.jpg)
20 Оглавление
ВВЕДЕНИЕМатематика — наука о количественных отношениях и
пространственных формах действительного мира. В нераз-рывной связи с запросами науки и техники запас количе-ственных отношений и пространственных форм, изучаемыхматематикой, непрерывно расширяется, поэтому приведен-ное определение необходимо понимать в самом общемсмысле.
Академик А. Н. Колмогоров1 выделяет четыре периодаразвития математики2: зарождения математики, элемен-тарной математики, математики переменных величин, со-временной математики.
Понимание самостоятельного положения математикикак особой науки стало возможным после накопления до-статочно большого фактического материала и возникловпервые в Древней Греции в VI—V вв. до н.э. Это было на-чалом периода элементарной математики.
В течение этого периода математические исследованиябазировались лишь на достаточно ограниченном количе-стве основных понятий, возникших в связи с самыми про-стыми запросами хозяйственной жизни. Вместе с тем ужена данном этапе происходит качественное совершенство-вание математики как науки. На основе арифметики по-степенно зарождается теория чисел. Появляется алгебракак буквенное исчисление. А созданная древними грекамисистема изложения элементарной геометрии — геометрииЕвклида — на два тысячелетия вперед стала образцом де-дуктивного построения математической теории.
В XVII в. запросы естествознания и техники привели ксозданию методов, позволяющих математически изучатьдвижение, процессы изменения величин, преобразование
1 Колмогоров Андрей Николаевич (1903—1987) — российский мате-матик.
2 Колмогоров, А. Н. Математика / А. Н. Колмогоров // Математичес-кий энциклопедический словарь. М. : Советская энциклопедия, 1988.
21Введение
геометрических фигур. С употребления переменных вели-чин в аналитической геометрии и создания дифференци-ального и интегрального исчислений начался период мате-матики переменных величин.
На первый план выдвигается понятие функции, сыграв-шее в дальнейшем такую же роль основного и самостоя-тельного предмета изучения, как ранее понятия величиныи числа. Изучение функции привело к формулированиюосновных понятий математического анализа: предела, про-изводной, дифференциала, интеграла. Создание аналитиче-ской геометрии позволило существенно расширить предметизучения геометрии благодаря найденному универсально-му способу перевода вопросов геометрии на язык алгебрыи анализа — методу координат Р. Декарта. С другой сторо-ны, открылась возможность геометрической интерпрета-ции алгебраических и аналитических фактов.
Дальнейшее развитие математики привело в начале XIX в.к постановке задачи изучения возможных типов количест-венных отношений и пространственных форм с достаточнообщей точки зрения. Связь математики и естествознания,оставаясь по существу не менее тесной, приобретает все бо-лее сложные формы. Новые теории возникают не только врезультате запросов естествознания и техники, но и вслед-ствие внутренней потребности самой математики. Замеча-тельным примером такой теории является «воображаемая»геометрия Н. И. Лобачевского. Развитие подобного рода ис-следований в математике XIX—XX вв. позволяет отнести еек периоду современной математики.
Потребности развития самой математики, «математи-зация» различных областей науки, проникновение мате-матических методов во многие сферы практической дея-тельности, прогресс вычислительной техники привели кпоявлению ряда новых математических дисциплин, на-пример, исследование операций, теория игр, математиче-ская экономика и др.
В основе построения математической теории лежит аксио-матический метод, при котором в фундамент теории заклады-ваются некоторые исходные положения, называемые аксиома-ми теории, а все остальные предложения теории получаютсякак логические следствия аксиом. Примером применения ак-сиоматического подхода является евклидова геометрия, в ко-торой четко проведена идея получения основного содержа-ния геометрической теории чисто дедуктивным путем из
![Page 21: ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ …6 —àçäåº II ´´¯˜¯˝¨¯ ´ À˝À¸¨˙ ˆºàâà 5. ÔóíŒöŁŁ îäíîØ ïåðåìåííîØ 262 Ò¯˛—¯Ò¨×¯Ñ˚¨É](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040505/5e3d4084ccced91c9b679a51/html5/thumbnails/21.jpg)
20 Оглавление
ВВЕДЕНИЕМатематика — наука о количественных отношениях и
пространственных формах действительного мира. В нераз-рывной связи с запросами науки и техники запас количе-ственных отношений и пространственных форм, изучаемыхматематикой, непрерывно расширяется, поэтому приведен-ное определение необходимо понимать в самом общемсмысле.
Академик А. Н. Колмогоров1 выделяет четыре периодаразвития математики2: зарождения математики, элемен-тарной математики, математики переменных величин, со-временной математики.
Понимание самостоятельного положения математикикак особой науки стало возможным после накопления до-статочно большого фактического материала и возникловпервые в Древней Греции в VI—V вв. до н.э. Это было на-чалом периода элементарной математики.
В течение этого периода математические исследованиябазировались лишь на достаточно ограниченном количе-стве основных понятий, возникших в связи с самыми про-стыми запросами хозяйственной жизни. Вместе с тем ужена данном этапе происходит качественное совершенство-вание математики как науки. На основе арифметики по-степенно зарождается теория чисел. Появляется алгебракак буквенное исчисление. А созданная древними грекамисистема изложения элементарной геометрии — геометрииЕвклида — на два тысячелетия вперед стала образцом де-дуктивного построения математической теории.
В XVII в. запросы естествознания и техники привели ксозданию методов, позволяющих математически изучатьдвижение, процессы изменения величин, преобразование
1 Колмогоров Андрей Николаевич (1903—1987) — российский мате-матик.
2 Колмогоров, А. Н. Математика / А. Н. Колмогоров // Математичес-кий энциклопедический словарь. М. : Советская энциклопедия, 1988.
21Введение
геометрических фигур. С употребления переменных вели-чин в аналитической геометрии и создания дифференци-ального и интегрального исчислений начался период мате-матики переменных величин.
На первый план выдвигается понятие функции, сыграв-шее в дальнейшем такую же роль основного и самостоя-тельного предмета изучения, как ранее понятия величиныи числа. Изучение функции привело к формулированиюосновных понятий математического анализа: предела, про-изводной, дифференциала, интеграла. Создание аналитиче-ской геометрии позволило существенно расширить предметизучения геометрии благодаря найденному универсально-му способу перевода вопросов геометрии на язык алгебрыи анализа — методу координат Р. Декарта. С другой сторо-ны, открылась возможность геометрической интерпрета-ции алгебраических и аналитических фактов.
Дальнейшее развитие математики привело в начале XIX в.к постановке задачи изучения возможных типов количест-венных отношений и пространственных форм с достаточнообщей точки зрения. Связь математики и естествознания,оставаясь по существу не менее тесной, приобретает все бо-лее сложные формы. Новые теории возникают не только врезультате запросов естествознания и техники, но и вслед-ствие внутренней потребности самой математики. Замеча-тельным примером такой теории является «воображаемая»геометрия Н. И. Лобачевского. Развитие подобного рода ис-следований в математике XIX—XX вв. позволяет отнести еек периоду современной математики.
Потребности развития самой математики, «математи-зация» различных областей науки, проникновение мате-матических методов во многие сферы практической дея-тельности, прогресс вычислительной техники привели кпоявлению ряда новых математических дисциплин, на-пример, исследование операций, теория игр, математиче-ская экономика и др.
В основе построения математической теории лежит аксио-матический метод, при котором в фундамент теории заклады-ваются некоторые исходные положения, называемые аксиома-ми теории, а все остальные предложения теории получаютсякак логические следствия аксиом. Примером применения ак-сиоматического подхода является евклидова геометрия, в ко-торой четко проведена идея получения основного содержа-ния геометрической теории чисто дедуктивным путем из
![Page 22: ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ …6 —àçäåº II ´´¯˜¯˝¨¯ ´ À˝À¸¨˙ ˆºàâà 5. ÔóíŒöŁŁ îäíîØ ïåðåìåííîØ 262 Ò¯˛—¯Ò¨×¯Ñ˚¨É](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040505/5e3d4084ccced91c9b679a51/html5/thumbnails/22.jpg)
22
небольшого числа аксиом, истинность которых представля-лась наглядно очевидной.
Основным методом в математических исследованиях яв-ляются математические доказательства — строгие ло-гические рассуждения. Член-корреспондент РАН Л. Д. Куд-рявцев указывает, что в силу объективной необходимостилогические рассуждения (которые по своей природе, еслиони правильные, являются и строгими) представляют ме-тод математики, без них математика немыслима1. Следу-ет отметить, что математическое мышление не сводитсялишь к логическим рассуждениям. Для правильной поста-новки задачи, оценки ее данных, выделения существенныхиз них и выбора способа ее решения необходима еще мате-матическая интуиция, позволяющая предвидеть нужныйрезультат прежде, чем он будет получен, наметить путь ис-следования с помощью правдоподобных рассуждений. Носправедливость рассматриваемого факта доказывается непроверкой ее на ряде примеров, не проведением серии экс-периментов (что само по себе играет большую роль в мате-матических исследованиях), а чисто логическим путем, позаконам формальной логики.
Сказанное, естественно, не означает, что в предлагаемомкурсе высшей математики нужно использовать только«строгие» доказательства, сводя все к аксиомам. Такой за-дачи авторы не ставили, потому что это не только невоз-можно в рамках вузовского курса (а тем более краткогокурса в экономическом вузе), но часто и нецелесообразно сметодической точки зрения, так как в процессе изучениядисциплины в ограниченные сроки необходимо уделятьбольшое внимание разъяснению математических понятий(в том числе и на интуитивном уровне), их геометриче-скому, физическому и экономическому смыслам, решениюпрактических задач.
В математике изучаются математические модели. Этомогут быть как непосредственно математические моделиреальных явлений, так и объекты (структуры) для изуче-ния этих моделей. Одна и та же математическая модельможет описывать свойства далеких друг от друга по своемуконкретному содержанию реальных явлений. Так, одно ито же дифференциальное уравнение может описывать
1 Кудрявцев, Л. Д. Современная математика и ее преподавание /Л. Д. Кудрявцев. — М. : Наука, 1985.
Введение 23
процессы роста населения и распада радиоактивного веще-ства. Для математики важна не природа рассматриваемыхобъектов, а существующие между ними отношения.
В математике используются два вида умозаключений:дедукция и индукция, позволяющие сделать выводы соот-ветственно на основании общих знаний для конкретногослучая и, наоборот, на основании частных случаев об об-щих суждениях. Принцип математической индукции гла-сит, что утверждение А(n), зависящее от натурального па-раметра n, считается доказанным, если доказано А(1) и длялюбого натурального числа n из предположения, что верноА(n), доказано, что верно также А(n +1).
При формулировке математических утверждений частоиспользуются необходимые и достаточные условия. Пустьрассматривается какое-либо утверждение (положение) В всвязи с некоторым утверждением (условием) А. Если из Вследует А, т.е. В ⇒ А, то А называется необходимым условиемдля В, если же из А следует В, т.е. А ⇒ В, то А называетсядостаточным условием для В. Например, делимость числана 2 — необходимое условие его делимости на 6 (делимостьна 6 ⇒ делимость на 2), а, скажем, делимость числа на 12 —достаточное условие его делимости на 6 (делимость на 12 ⇒делимость на 6). Если одновременно верны утвержденияВ ⇒ А и А ⇒ В, т.е. А ⇔ В, то А называется необходимым идостаточным условием для В. Например, для делимостичисла на 6 необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на2 и 3, ибо «делимость на 2 и 3 ⇔ делимость на 6».
Таким образом, необходимые условия — это такие усло-вия, без которых рассматриваемое утверждение заведомоне может быть верным, а достаточные условия — это такиеусловия, при выполнении которых это утверждение заве-домо верно. Выражение «необходимо и достаточно» можнозаменить равносильными выражениями «тогда и толькотогда», «если и только если», «в том и только в том слу-чае». Необходимые и достаточные условия обладают в ма-тематике большой познавательной ценностью.
Математика играет важную роль при проведении есте-ственно-научных, инженерно-технических и гуманитарныхисследований. Она стала для многих отраслей знаний нетолько орудием количественного расчета, но также мето-дом точного исследования, средством предельно четкойформулировки понятий и проблем. Без современной мате-матики с ее развитым логическим и вычислительным ап-
Введение
![Page 23: ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ …6 —àçäåº II ´´¯˜¯˝¨¯ ´ À˝À¸¨˙ ˆºàâà 5. ÔóíŒöŁŁ îäíîØ ïåðåìåííîØ 262 Ò¯˛—¯Ò¨×¯Ñ˚¨É](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040505/5e3d4084ccced91c9b679a51/html5/thumbnails/23.jpg)
22
небольшого числа аксиом, истинность которых представля-лась наглядно очевидной.
Основным методом в математических исследованиях яв-ляются математические доказательства — строгие ло-гические рассуждения. Член-корреспондент РАН Л. Д. Куд-рявцев указывает, что в силу объективной необходимостилогические рассуждения (которые по своей природе, еслиони правильные, являются и строгими) представляют ме-тод математики, без них математика немыслима1. Следу-ет отметить, что математическое мышление не сводитсялишь к логическим рассуждениям. Для правильной поста-новки задачи, оценки ее данных, выделения существенныхиз них и выбора способа ее решения необходима еще мате-матическая интуиция, позволяющая предвидеть нужныйрезультат прежде, чем он будет получен, наметить путь ис-следования с помощью правдоподобных рассуждений. Носправедливость рассматриваемого факта доказывается непроверкой ее на ряде примеров, не проведением серии экс-периментов (что само по себе играет большую роль в мате-матических исследованиях), а чисто логическим путем, позаконам формальной логики.
Сказанное, естественно, не означает, что в предлагаемомкурсе высшей математики нужно использовать только«строгие» доказательства, сводя все к аксиомам. Такой за-дачи авторы не ставили, потому что это не только невоз-можно в рамках вузовского курса (а тем более краткогокурса в экономическом вузе), но часто и нецелесообразно сметодической точки зрения, так как в процессе изучениядисциплины в ограниченные сроки необходимо уделятьбольшое внимание разъяснению математических понятий(в том числе и на интуитивном уровне), их геометриче-скому, физическому и экономическому смыслам, решениюпрактических задач.
В математике изучаются математические модели. Этомогут быть как непосредственно математические моделиреальных явлений, так и объекты (структуры) для изуче-ния этих моделей. Одна и та же математическая модельможет описывать свойства далеких друг от друга по своемуконкретному содержанию реальных явлений. Так, одно ито же дифференциальное уравнение может описывать
1 Кудрявцев, Л. Д. Современная математика и ее преподавание /Л. Д. Кудрявцев. — М. : Наука, 1985.
Введение 23
процессы роста населения и распада радиоактивного веще-ства. Для математики важна не природа рассматриваемыхобъектов, а существующие между ними отношения.
В математике используются два вида умозаключений:дедукция и индукция, позволяющие сделать выводы соот-ветственно на основании общих знаний для конкретногослучая и, наоборот, на основании частных случаев об об-щих суждениях. Принцип математической индукции гла-сит, что утверждение А(n), зависящее от натурального па-раметра n, считается доказанным, если доказано А(1) и длялюбого натурального числа n из предположения, что верноА(n), доказано, что верно также А(n +1).
При формулировке математических утверждений частоиспользуются необходимые и достаточные условия. Пустьрассматривается какое-либо утверждение (положение) В всвязи с некоторым утверждением (условием) А. Если из Вследует А, т.е. В ⇒ А, то А называется необходимым условиемдля В, если же из А следует В, т.е. А ⇒ В, то А называетсядостаточным условием для В. Например, делимость числана 2 — необходимое условие его делимости на 6 (делимостьна 6 ⇒ делимость на 2), а, скажем, делимость числа на 12 —достаточное условие его делимости на 6 (делимость на 12 ⇒делимость на 6). Если одновременно верны утвержденияВ ⇒ А и А ⇒ В, т.е. А ⇔ В, то А называется необходимым идостаточным условием для В. Например, для делимостичисла на 6 необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на2 и 3, ибо «делимость на 2 и 3 ⇔ делимость на 6».
Таким образом, необходимые условия — это такие усло-вия, без которых рассматриваемое утверждение заведомоне может быть верным, а достаточные условия — это такиеусловия, при выполнении которых это утверждение заве-домо верно. Выражение «необходимо и достаточно» можнозаменить равносильными выражениями «тогда и толькотогда», «если и только если», «в том и только в том слу-чае». Необходимые и достаточные условия обладают в ма-тематике большой познавательной ценностью.
Математика играет важную роль при проведении есте-ственно-научных, инженерно-технических и гуманитарныхисследований. Она стала для многих отраслей знаний нетолько орудием количественного расчета, но также мето-дом точного исследования, средством предельно четкойформулировки понятий и проблем. Без современной мате-матики с ее развитым логическим и вычислительным ап-
Введение
![Page 24: ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ …6 —àçäåº II ´´¯˜¯˝¨¯ ´ À˝À¸¨˙ ˆºàâà 5. ÔóíŒöŁŁ îäíîØ ïåðåìåííîØ 262 Ò¯˛—¯Ò¨×¯Ñ˚¨É](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040505/5e3d4084ccced91c9b679a51/html5/thumbnails/24.jpg)
24
паратом был бы невозможен прогресс в различных облас-тях человеческой деятельности.
Математика является не только мощным средством длярешения прикладных задач и универсальным языком науки, нои элементом общей культуры. В связи с этим математическоеобразование следует рассматривать как важнейшую состав-ляющую в системе фундаментальной подготовки современ-ного экономиста.
Основы высшей математики были разработаны в трудахвыдающихся ученых: математика и механика Древней Гре-ции Архимеда (287—212 до н.э.); французского философа иматематика Р. Декарта (1596—1650); английского физика иматематика И. Ньютона (1643—1727); немецкого философа,математика и физика Г. Лейбница (1646—1716); математи-ка, механика и физика Л. Эйлера (1707—1783); французско-го математика и механика Ж. Лагранжа (1736—1813); не-мецкого математика К. Гаусса (1777—1855); французскогоматематика О. Коши (1789—1857) и многих других круп-нейших ученых.
Большой вклад в развитие математики внесли выда-ющиеся русские ученые Н. И. Лобачевский (1792—1856),М. В. Остроградский (1801—1861), П. Л. Чебышев (1821—1894), А. А. Марков (1856—1922), А. М. Ляпунов (1857—1918) и др.
Современная российская математическая школа зани-мает передовое место в мировой математической наукеблагодаря трудам знаменитых математиков: А. Д. Алек-сандрова, П. С. Александрова, В. И. Арнольда, С. Н. Берн-штейна, Н. Н. Боголюбова, И. Н. Векуа, И. М. Виноградова,В. М. Глушкова, Л. В. Канторовича, М. В. Келдыша,А. Н. Колмогорова, М. А. Лаврентьева, Ю. В. Линника,А. И. Мальцева, П. С. Новикова, Ю. В. Прохорова,В. И. Смирнова, С. Л. Соболева, А. Н. Тихонова и др.
Введение 25
Раздел I
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРАС ЭЛЕМЕНТАМИ
АНАЛИТИЧЕСКОЙГЕОМЕТРИИ
![Page 25: ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ …6 —àçäåº II ´´¯˜¯˝¨¯ ´ À˝À¸¨˙ ˆºàâà 5. ÔóíŒöŁŁ îäíîØ ïåðåìåííîØ 262 Ò¯˛—¯Ò¨×¯Ñ˚¨É](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040505/5e3d4084ccced91c9b679a51/html5/thumbnails/25.jpg)
24
паратом был бы невозможен прогресс в различных облас-тях человеческой деятельности.
Математика является не только мощным средством длярешения прикладных задач и универсальным языком науки, нои элементом общей культуры. В связи с этим математическоеобразование следует рассматривать как важнейшую состав-ляющую в системе фундаментальной подготовки современ-ного экономиста.
Основы высшей математики были разработаны в трудахвыдающихся ученых: математика и механика Древней Гре-ции Архимеда (287—212 до н.э.); французского философа иматематика Р. Декарта (1596—1650); английского физика иматематика И. Ньютона (1643—1727); немецкого философа,математика и физика Г. Лейбница (1646—1716); математи-ка, механика и физика Л. Эйлера (1707—1783); французско-го математика и механика Ж. Лагранжа (1736—1813); не-мецкого математика К. Гаусса (1777—1855); французскогоматематика О. Коши (1789—1857) и многих других круп-нейших ученых.
Большой вклад в развитие математики внесли выда-ющиеся русские ученые Н. И. Лобачевский (1792—1856),М. В. Остроградский (1801—1861), П. Л. Чебышев (1821—1894), А. А. Марков (1856—1922), А. М. Ляпунов (1857—1918) и др.
Современная российская математическая школа зани-мает передовое место в мировой математической наукеблагодаря трудам знаменитых математиков: А. Д. Алек-сандрова, П. С. Александрова, В. И. Арнольда, С. Н. Берн-штейна, Н. Н. Боголюбова, И. Н. Векуа, И. М. Виноградова,В. М. Глушкова, Л. В. Канторовича, М. В. Келдыша,А. Н. Колмогорова, М. А. Лаврентьева, Ю. В. Линника,А. И. Мальцева, П. С. Новикова, Ю. В. Прохорова,В. И. Смирнова, С. Л. Соболева, А. Н. Тихонова и др.
Введение 25
Раздел I
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРАС ЭЛЕМЕНТАМИ
АНАЛИТИЧЕСКОЙГЕОМЕТРИИ
![Page 26: ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ …6 —àçäåº II ´´¯˜¯˝¨¯ ´ À˝À¸¨˙ ˆºàâà 5. ÔóíŒöŁŁ îäíîØ ïåðåìåííîØ 262 Ò¯˛—¯Ò¨×¯Ñ˚¨É](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040505/5e3d4084ccced91c9b679a51/html5/thumbnails/26.jpg)
26
Глава 1
МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС
1.1. Основные сведения о матрицах
Понятие матрицы и основанный на нем раздел матема-тики — матричная алгебра — имеют чрезвычайно важноезначение для экономистов. Объясняется это тем, что значи-тельная часть математических моделей экономическихобъектов и процессов записывается в достаточно простой, аглавное, компактной матричной форме.
Матрицей размера m × n называется прямоугольная таб-лица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, со-ставляющие матрицу, называются элементами матрицы.
Матрицы обозначаются прописными буквами латин-ского алфавита, например А, В, С, ..., а для обозначенияэлементов матрицы используются соответственно строч-ные буквы с двойной индексацией: aij, bij, cij, …, где i — но-мер строки, j — номер столбца.
Например, матрица
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
1 2
..............................
.............................
j n
j n
m n i i ij in
m m mj mn
a a a a
a a a a
Aa a a a
a a a a
×
=
K K
K K
K K
K K
(1.1)
или в сокращенной записи А = (aij); i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n.
27
Например, если т = 2, п = 3, то
2 3
1 0 3.
2 5 8×
− =
А
Наряду с круглыми скобками используются и другиеобозначения матрицы: [ ], || ||.
Две матрицы А и В одного размера называются равны-ми, если они совпадают поэлементно, т.е. аij = bij для любыхi = 1, 2, ..., m; j =1, 2, ..., n.
С помощью матриц удобно записывать некоторые эко-номические зависимости. Например, таблица распределе-ния ресурсов, усл. ед., по отдельным отраслям экономики
Ресурсы Отрасль экономикипромышленность сельское хозяйство
Электроэнерге- 5,3 4,1тическиеТрудовые 2,8 2,1Водные 4,8 5,1
может быть записана в компактной форме в виде матрицы
3 2
5,3 4,1
2,8 2,1 .
4,8 5,1
A×
=
В этой записи, например, матричный элемент а11 = 5,3показывает, сколько электроэнергии потребляет промыш-ленность, а элемент а22 = 2,1 — сколько трудовых ресурсовтребуется для сельского хозяйства.
Виды матриц. Матрица, состоящая из одной строки, на-зывается матрицей(вектором)-строкой, или просто строкой,а из одного столбца — матрицей(вектором)-столбцом, илипросто столбцом: А = ( а11 а12, ..., а1n) — матрица-строка;
11
21
1
K
m
b
bB
b
=
— матрица-столбец.
1.1. Основные сведения о матрицах
![Page 27: ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ …6 —àçäåº II ´´¯˜¯˝¨¯ ´ À˝À¸¨˙ ˆºàâà 5. ÔóíŒöŁŁ îäíîØ ïåðåìåííîØ 262 Ò¯˛—¯Ò¨×¯Ñ˚¨É](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040505/5e3d4084ccced91c9b679a51/html5/thumbnails/27.jpg)
26
Глава 1
МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС
1.1. Основные сведения о матрицах
Понятие матрицы и основанный на нем раздел матема-тики — матричная алгебра — имеют чрезвычайно важноезначение для экономистов. Объясняется это тем, что значи-тельная часть математических моделей экономическихобъектов и процессов записывается в достаточно простой, аглавное, компактной матричной форме.
Матрицей размера m × n называется прямоугольная таб-лица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, со-ставляющие матрицу, называются элементами матрицы.
Матрицы обозначаются прописными буквами латин-ского алфавита, например А, В, С, ..., а для обозначенияэлементов матрицы используются соответственно строч-ные буквы с двойной индексацией: aij, bij, cij, …, где i — но-мер строки, j — номер столбца.
Например, матрица
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
1 2
..............................
.............................
j n
j n
m n i i ij in
m m mj mn
a a a a
a a a a
Aa a a a
a a a a
×
=
K K
K K
K K
K K
(1.1)
или в сокращенной записи А = (aij); i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n.
27
Например, если т = 2, п = 3, то
2 3
1 0 3.
2 5 8×
− =
А
Наряду с круглыми скобками используются и другиеобозначения матрицы: [ ], || ||.
Две матрицы А и В одного размера называются равны-ми, если они совпадают поэлементно, т.е. аij = bij для любыхi = 1, 2, ..., m; j =1, 2, ..., n.
С помощью матриц удобно записывать некоторые эко-номические зависимости. Например, таблица распределе-ния ресурсов, усл. ед., по отдельным отраслям экономики
Ресурсы Отрасль экономикипромышленность сельское хозяйство
Электроэнерге- 5,3 4,1тическиеТрудовые 2,8 2,1Водные 4,8 5,1
может быть записана в компактной форме в виде матрицы
3 2
5,3 4,1
2,8 2,1 .
4,8 5,1
A×
=
В этой записи, например, матричный элемент а11 = 5,3показывает, сколько электроэнергии потребляет промыш-ленность, а элемент а22 = 2,1 — сколько трудовых ресурсовтребуется для сельского хозяйства.
Виды матриц. Матрица, состоящая из одной строки, на-зывается матрицей(вектором)-строкой, или просто строкой,а из одного столбца — матрицей(вектором)-столбцом, илипросто столбцом: А = ( а11 а12, ..., а1n) — матрица-строка;
11
21
1
K
m
b
bB
b
=
— матрица-столбец.
1.1. Основные сведения о матрицах
![Page 28: ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ …6 —àçäåº II ´´¯˜¯˝¨¯ ´ À˝À¸¨˙ ˆºàâà 5. ÔóíŒöŁŁ îäíîØ ïåðåìåííîØ 262 Ò¯˛—¯Ò¨×¯Ñ˚¨É](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040505/5e3d4084ccced91c9b679a51/html5/thumbnails/28.jpg)
28
Матрица называется квадратной n-го порядка, если чис-ло ее строк равно числу столбцов и равно n. Например,
5 0 0
0 1 0
0 0 2
À
= −
— квадратная матрица третьего порядка.
Элементы матрицы аij, у которых номер столбца равенномеру строки (i = j), называются диагональными и образу-ют главную диагональ матрицы. Для квадратной матрицыглавную диагональ образуют элементы а11, а22, …, аnn.
Если все недиагональные элементы квадратной матрицыравны нулю, то матрица называется диагональной1. Напри-мер,
5 0 0
0 1 0
0 0 2
À
= −
— диагональная матрица третьего порядка.
Если у диагональной матрицы n-го порядка все диаго-нальные элементы равны единице, то матрица называетсяединичной матрицей n-го порядка, она обозначается буквойЕ, или En. Например,
1 0 0
0 1 0
0 0 1
=
Å — единичная матрица третьего порядка.
Матрица любого размера называется нулевой, или нуль-матрицей, если все ее элементы равны нулю:
0 0 0
0 0 0.
.................
0 0 0
×
=
K
K
K
0m n
1.2. Операции над матрицамиНад матрицами, как и над числами, можно производить
ряд операций, причем некоторые из них аналогичны опера-циям над числами, а некоторые специфические.
1 Если все диагональные элементы диагональной матрицы одинако-вы, то такая матрица называется скалярной.
Глава 1. Матрицы и определители
m×n
29
1. Умножение матрицы на число. Произведением матри-цы А на число λ называется матрица В = λА, элементы кото-рой bij = λаij для i =1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n.
Например если 2 4
3 2À
=
, то
10 205 .
15 10À
=
Следствие. Общий множитель всех элементов матрицы
можно выносить за знак матрицы. Например,
20 12 6 10 6 32
52 2 0 26 1 0
=
.
В частности, произведение матрицы А на число 0 естьнулевая матрица, т.е. 0 . А = 0.
2. Сложение матриц. Суммой двух матриц А и В одина-кового размера m × n называется матрица С = А + В, эле-менты которой cij = аij + bij для i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n(т.е. матрицы складываются поэлементно). Например,
2 3 0 0 1 4 2 4 4; ;
1 5 6 2 5 1 3 10 7À Â Ñ À Â
= = = + =
.
В частном случае А + 0 = А.3. Вычитание матриц. Разность двух матриц одинако-
вого размера определяется через предыдущие операции«1» и «2»: А – В = А + (–1) . В.
4. Умножение матриц. Операция умножения матрицы Ана матрицу В определена, когда число столбцов первойматрицы равно числу строк второй1. Тогда произведениемматриц
m k k nÀ B× ×
⋅ называется такая матрица m nÑ×
, каждый эле-
мент сij которой равен сумме произведений элементов i-йстроки матрицы А на соответствующие элементы j-го столб-ца матрицы В:
1 1 2 21
; 1, 2, ..., ; 1, 2, ..., .ij i j i j is sji js
ñ a b a b a b a b i m j n=
= + + + = = = ∑Kk
k k
Пример 1.1. Вычислить произведение матриц АВ, где1 0 1
1 0 2; 5 1 4 .
3 1 02 0 1
À Â
− = = −
1 В этом случае матрица А называется согласованной с матрицей В.
1.2. Операции над матрицами
![Page 29: ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ …6 —àçäåº II ´´¯˜¯˝¨¯ ´ À˝À¸¨˙ ˆºàâà 5. ÔóíŒöŁŁ îäíîØ ïåðåìåííîØ 262 Ò¯˛—¯Ò¨×¯Ñ˚¨É](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040505/5e3d4084ccced91c9b679a51/html5/thumbnails/29.jpg)
28
Матрица называется квадратной n-го порядка, если чис-ло ее строк равно числу столбцов и равно n. Например,
5 0 0
0 1 0
0 0 2
À
= −
— квадратная матрица третьего порядка.
Элементы матрицы аij, у которых номер столбца равенномеру строки (i = j), называются диагональными и образу-ют главную диагональ матрицы. Для квадратной матрицыглавную диагональ образуют элементы а11, а22, …, аnn.
Если все недиагональные элементы квадратной матрицыравны нулю, то матрица называется диагональной1. Напри-мер,
5 0 0
0 1 0
0 0 2
À
= −
— диагональная матрица третьего порядка.
Если у диагональной матрицы n-го порядка все диаго-нальные элементы равны единице, то матрица называетсяединичной матрицей n-го порядка, она обозначается буквойЕ, или En. Например,
1 0 0
0 1 0
0 0 1
=
Å — единичная матрица третьего порядка.
Матрица любого размера называется нулевой, или нуль-матрицей, если все ее элементы равны нулю:
0 0 0
0 0 0.
.................
0 0 0
×
=
K
K
K
0m n
1.2. Операции над матрицамиНад матрицами, как и над числами, можно производить
ряд операций, причем некоторые из них аналогичны опера-циям над числами, а некоторые специфические.
1 Если все диагональные элементы диагональной матрицы одинако-вы, то такая матрица называется скалярной.
Глава 1. Матрицы и определители
m×n
29
1. Умножение матрицы на число. Произведением матри-цы А на число λ называется матрица В = λА, элементы кото-рой bij = λаij для i =1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n.
Например если 2 4
3 2À
=
, то
10 205 .
15 10À
=
Следствие. Общий множитель всех элементов матрицы
можно выносить за знак матрицы. Например,
20 12 6 10 6 32
52 2 0 26 1 0
=
.
В частности, произведение матрицы А на число 0 естьнулевая матрица, т.е. 0 . А = 0.
2. Сложение матриц. Суммой двух матриц А и В одина-кового размера m × n называется матрица С = А + В, эле-менты которой cij = аij + bij для i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n(т.е. матрицы складываются поэлементно). Например,
2 3 0 0 1 4 2 4 4; ;
1 5 6 2 5 1 3 10 7À Â Ñ À Â
= = = + =
.
В частном случае А + 0 = А.3. Вычитание матриц. Разность двух матриц одинако-
вого размера определяется через предыдущие операции«1» и «2»: А – В = А + (–1) . В.
4. Умножение матриц. Операция умножения матрицы Ана матрицу В определена, когда число столбцов первойматрицы равно числу строк второй1. Тогда произведениемматриц
m k k nÀ B× ×
⋅ называется такая матрица m nÑ×
, каждый эле-
мент сij которой равен сумме произведений элементов i-йстроки матрицы А на соответствующие элементы j-го столб-ца матрицы В:
1 1 2 21
; 1, 2, ..., ; 1, 2, ..., .ij i j i j is sji js
ñ a b a b a b a b i m j n=
= + + + = = = ∑Kk
k k
Пример 1.1. Вычислить произведение матриц АВ, где1 0 1
1 0 2; 5 1 4 .
3 1 02 0 1
À Â
− = = −
1 В этом случае матрица А называется согласованной с матрицей В.
1.2. Операции над матрицами
![Page 30: ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ …6 —àçäåº II ´´¯˜¯˝¨¯ ´ À˝À¸¨˙ ˆºàâà 5. ÔóíŒöŁŁ îäíîØ ïåðåìåííîØ 262 Ò¯˛—¯Ò¨×¯Ñ˚¨É](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040505/5e3d4084ccced91c9b679a51/html5/thumbnails/30.jpg)
30
Решение.1. Найдем размер матрицы-произведения (если умноже-
ние матриц возможно):2 3 3 3 2 3 × × ×
⋅ =À Â Ñ .
2. Вычислим элементы матрицы-произведения С, умно-жая элементы каждой строки матрицы А на соответству-ющие элементы столбцов матрицы В, следующим образом:
1( 1) 0 5 2( 2) 1 0 0 1 2 0 1 1 0 4 2 1
3( 1) 1 5 0( 2) 3 0 1 1 0 0 3 1 1 4 0 1Ñ
− + ⋅ + − ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ = − + ⋅ + − ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ .
Получаем 5 0 3
.2 1 7
− =
Ñ
Многие свойства, присущие операциям над числами,справедливы и для операций над матрицами (что следуетиз определений этих операций):
1) А + В = В + А; 5) (А + В) С = АС + ВС;2) (А + В) + С = А + (В + С); 6) λ(АВ) = (λА)В = А(λВ);3) λ(А + В) = λА + λВ; 7) А(ВC) = (АВ)С.4) А(В + С) = АВ + АС;
Однако имеются и специфические свойства матриц. Так,операция умножения матриц имеет некоторые отличия отумножения чисел.
а) Если произведение матриц АВ существует, то послеперестановки сомножителей местами произведение мат-риц ВА может и не существовать. Действительно, в приме-ре 1.1 получили произведение матриц А2×3 . В3×3, а произ-ведения В3×3 . А2×3 не существует, так как число столбцовпервой матрицы не совпадает с числом строк второй.
б) Если даже произведения АВ и ВА существуют, то онимогут быть матрицами разных размеров.
Пример 1.2. Найти произведения матриц АВ и ВА, где
0 32 1 1
; 1 50 3 2
1 1
À Â
= = −
.
Решение. 2 3 3 2 2 20 12
1 17A B C× × ×
= = =
;
Глава 1. Матрицы и определители 31
3 2 2 3 3 3
0 9 6
2 16 11
2 2 1
 À D× × ×
⋅ = = −
, т.е. АВ ≠ ВА.
в) Если оба произведения АВ и ВА существуют и оба —матрицы одинакового размера (это возможно только при
умножении квадратных матриц А и В одного порядка),коммутативный (переместительный) закон умножения,вообще говоря, не выполняется, т.е. А . В ≠ В . А.
Пример 1.3. Найти произведения матриц АВ и ВА, где
1 2 0 5;
3 4 6 8À Â
= =
.
Решение. 12 21 15 20
; , ò.å. .24 47 30 44
= = ≠
ÀÂ ÂÀ ÀÂ ÂÀ
Матрицы А и В, для которых выполняется коммутатив-ный закон, называются перестановочными. Можно пока-зать, что скалярные матрицы перестановочны с любымиквадратными матрицами того же порядка.
В частном случае коммутативным законом обладает про-изведение любой квадратной матрицы А n-го порядка наединичную матрицу Е того же порядка, причем это произве-дение равно А:
АЕ = ЕА = А.
o
11 12 1 11 1
21 22 2 21 2
1 2 1
1 0 0
0 1 0.
...................................... .................
0 0 1
n n
n nn n n n
n n nn n nn
a a a a a
a a a a aÀ E A
a a a a a
× ×
⋅ = = =
K KK
K KK
KK K
11 12 1 11 1
21 22 2 21 2
1 2 1
1 0 0
0 1 0.
................. ......................... ..................
0 0 1
× ×
⋅ = = =
K KK
K KK
K K K
n n
n nn n n n
n n nn n nn
a a a a a
a a a a aE A A
a a a a a
n
1.2. Операции над матрицами
![Page 31: ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ …6 —àçäåº II ´´¯˜¯˝¨¯ ´ À˝À¸¨˙ ˆºàâà 5. ÔóíŒöŁŁ îäíîØ ïåðåìåííîØ 262 Ò¯˛—¯Ò¨×¯Ñ˚¨É](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040505/5e3d4084ccced91c9b679a51/html5/thumbnails/31.jpg)
30
Решение.1. Найдем размер матрицы-произведения (если умноже-
ние матриц возможно):2 3 3 3 2 3 × × ×
⋅ =À Â Ñ .
2. Вычислим элементы матрицы-произведения С, умно-жая элементы каждой строки матрицы А на соответству-ющие элементы столбцов матрицы В, следующим образом:
1( 1) 0 5 2( 2) 1 0 0 1 2 0 1 1 0 4 2 1
3( 1) 1 5 0( 2) 3 0 1 1 0 0 3 1 1 4 0 1Ñ
− + ⋅ + − ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ = − + ⋅ + − ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ .
Получаем 5 0 3
.2 1 7
− =
Ñ
Многие свойства, присущие операциям над числами,справедливы и для операций над матрицами (что следуетиз определений этих операций):
1) А + В = В + А; 5) (А + В) С = АС + ВС;2) (А + В) + С = А + (В + С); 6) λ(АВ) = (λА)В = А(λВ);3) λ(А + В) = λА + λВ; 7) А(ВC) = (АВ)С.4) А(В + С) = АВ + АС;
Однако имеются и специфические свойства матриц. Так,операция умножения матриц имеет некоторые отличия отумножения чисел.
а) Если произведение матриц АВ существует, то послеперестановки сомножителей местами произведение мат-риц ВА может и не существовать. Действительно, в приме-ре 1.1 получили произведение матриц А2×3 . В3×3, а произ-ведения В3×3 . А2×3 не существует, так как число столбцовпервой матрицы не совпадает с числом строк второй.
б) Если даже произведения АВ и ВА существуют, то онимогут быть матрицами разных размеров.
Пример 1.2. Найти произведения матриц АВ и ВА, где
0 32 1 1
; 1 50 3 2
1 1
À Â
= = −
.
Решение. 2 3 3 2 2 20 12
1 17A B C× × ×
= = =
;
Глава 1. Матрицы и определители 31
3 2 2 3 3 3
0 9 6
2 16 11
2 2 1
 À D× × ×
⋅ = = −
, т.е. АВ ≠ ВА.
в) Если оба произведения АВ и ВА существуют и оба —матрицы одинакового размера (это возможно только при
умножении квадратных матриц А и В одного порядка),коммутативный (переместительный) закон умножения,вообще говоря, не выполняется, т.е. А . В ≠ В . А.
Пример 1.3. Найти произведения матриц АВ и ВА, где
1 2 0 5;
3 4 6 8À Â
= =
.
Решение. 12 21 15 20
; , ò.å. .24 47 30 44
= = ≠
ÀÂ ÂÀ ÀÂ ÂÀ
Матрицы А и В, для которых выполняется коммутатив-ный закон, называются перестановочными. Можно пока-зать, что скалярные матрицы перестановочны с любымиквадратными матрицами того же порядка.
В частном случае коммутативным законом обладает про-изведение любой квадратной матрицы А n-го порядка наединичную матрицу Е того же порядка, причем это произве-дение равно А:
АЕ = ЕА = А.
o
11 12 1 11 1
21 22 2 21 2
1 2 1
1 0 0
0 1 0.
...................................... .................
0 0 1
n n
n nn n n n
n n nn n nn
a a a a a
a a a a aÀ E A
a a a a a
× ×
⋅ = = =
K KK
K KK
KK K
11 12 1 11 1
21 22 2 21 2
1 2 1
1 0 0
0 1 0.
................. ......................... ..................
0 0 1
× ×
⋅ = = =
K KK
K KK
K K K
n n
n nn n n n
n n nn n nn
a a a a a
a a a a aE A A
a a a a a
n
1.2. Операции над матрицами
![Page 32: ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ …6 —àçäåº II ´´¯˜¯˝¨¯ ´ À˝À¸¨˙ ˆºàâà 5. ÔóíŒöŁŁ îäíîØ ïåðåìåííîØ 262 Ò¯˛—¯Ò¨×¯Ñ˚¨É](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040505/5e3d4084ccced91c9b679a51/html5/thumbnails/32.jpg)
32
Таким образом, единичная матрица играет при умноже-нии матриц ту же роль, что и число 1 при умножении чисел.
г) Произведение двух ненулевых матриц может рав-няться нулевой матрице, т.е. из того, что АВ = 0, не следует,что А = 0 или В = 0. Например,
1 1 1 1 0 0; , íî
1 1 1 1 0 0À Â ÀÂ
= ≠ = ≠ = = − − 0 0 0.
д) Если АВ = АD, то из этого равенства еще не следует,что матрицы В и D равны. Например,
1 1 2 3 1 6; ; ,
2 2 2 4 3 1À Â D
= = =
4 7ò.å. , íî
8 14Â D ÀÂ ÀD
≠ = =
.
5. Возведение в степень. Целой положительной степе-нью Аm (m > 1) квадратной матрицы А называется произве-дение m матриц, равных А, т.е.
ðàç
.m
m
À A A A= ⋅ ⋅ ⋅K14243
Заметим, что операция возведения в степень определя-ется только для квадратных матриц.
По определению полагают А0 = Е; А1 = А. Нетрудно пока-зать, что Аm . Аk = Аm+k; (Am)k = Amk.
Однако равенство (А . В)m = Am . Bm справедливо толькодля перестановочных матриц.
Пример 1.4. Найти А2, где 1 2
3 4À
=
.
Решение. 2 1 2 1 2 7 10
3 4 3 4 15 22À
= =
.
Если матрица А диагональная с диагональными эле-ментами аii (i = 1, 2, ..., n), то для любого натурального тматрица Am тоже диагональная с диагональными элемен-тами m
iia (следует из определения произведения матриц).Например,
Глава 1. Матрицы и определители 33
42 0 16 0;
0 3 0 81À À
= =
.
Выражение вида Р(А) = 20 1 2
mmÅ À À Aα + α + α + + αK ,
где А и Е — соответственно квадратная и единичная матри-цы одинакового порядка; 0 1, , , mα α αK — числа, называет-ся полиномом (многочленом) от матрицы. Он представляетсобой матрицу, которую можно рассматривать как резуль-тат подстановки матрицы вместо переменной х в обычныймногочлен степени m:
20 1 2( ) m
mP x x x x=α + α + α + + αK .
Пример 1.5. Вычислить значение многочлена f(х) = 2x2 –
– 5x + 3 от матрицы 2 4
1 0À
=
.
Решение. Вместо х подставляем в функцию f(х) матрицуА, вместо числа 3 используем матрицу 3 . Е, где Е — еди-ничная матрица второго порядка, что и А.
Найдем
2А2 = 2.А.А = 2 2 4 2 4 8 8 16 16
2 ;1 0 1 0 2 4 4 8
= =
2 4 10 20 1 0 3 05 5 ; 3 3
0 11 0 5 0 0 3
= = = =
À Å .
Теперь
f(А) = 2А2 — 5А + 3Е 16 16 10 20 3 0
4 8 5 0 0 3
= − + =
9 4
1 11
− = − .
Если при подстановке матрицы А вместо х в многочленР(х) получается нулевая матрица, т.е. Р(А) = 0, то матрицаА называется корнем многочлена Р(х), а сам многочлен —аннулирующим многочленом для матрицы А.
Отметим также, что если Аm — нулевая матрица, то изэтого не следует, что матрица А = 0. Например,
1.2. Операции над матрицами
![Page 33: ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ …6 —àçäåº II ´´¯˜¯˝¨¯ ´ À˝À¸¨˙ ˆºàâà 5. ÔóíŒöŁŁ îäíîØ ïåðåìåííîØ 262 Ò¯˛—¯Ò¨×¯Ñ˚¨É](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040505/5e3d4084ccced91c9b679a51/html5/thumbnails/33.jpg)
32
Таким образом, единичная матрица играет при умноже-нии матриц ту же роль, что и число 1 при умножении чисел.
г) Произведение двух ненулевых матриц может рав-няться нулевой матрице, т.е. из того, что АВ = 0, не следует,что А = 0 или В = 0. Например,
1 1 1 1 0 0; , íî
1 1 1 1 0 0À Â ÀÂ
= ≠ = ≠ = = − − 0 0 0.
д) Если АВ = АD, то из этого равенства еще не следует,что матрицы В и D равны. Например,
1 1 2 3 1 6; ; ,
2 2 2 4 3 1À Â D
= = =
4 7ò.å. , íî
8 14Â D ÀÂ ÀD
≠ = =
.
5. Возведение в степень. Целой положительной степе-нью Аm (m > 1) квадратной матрицы А называется произве-дение m матриц, равных А, т.е.
ðàç
.m
m
À A A A= ⋅ ⋅ ⋅K14243
Заметим, что операция возведения в степень определя-ется только для квадратных матриц.
По определению полагают А0 = Е; А1 = А. Нетрудно пока-зать, что Аm . Аk = Аm+k; (Am)k = Amk.
Однако равенство (А . В)m = Am . Bm справедливо толькодля перестановочных матриц.
Пример 1.4. Найти А2, где 1 2
3 4À
=
.
Решение. 2 1 2 1 2 7 10
3 4 3 4 15 22À
= =
.
Если матрица А диагональная с диагональными эле-ментами аii (i = 1, 2, ..., n), то для любого натурального тматрица Am тоже диагональная с диагональными элемен-тами m
iia (следует из определения произведения матриц).Например,
Глава 1. Матрицы и определители 33
42 0 16 0;
0 3 0 81À À
= =
.
Выражение вида Р(А) = 20 1 2
mmÅ À À Aα + α + α + + αK ,
где А и Е — соответственно квадратная и единичная матри-цы одинакового порядка; 0 1, , , mα α αK — числа, называет-ся полиномом (многочленом) от матрицы. Он представляетсобой матрицу, которую можно рассматривать как резуль-тат подстановки матрицы вместо переменной х в обычныймногочлен степени m:
20 1 2( ) m
mP x x x x=α + α + α + + αK .
Пример 1.5. Вычислить значение многочлена f(х) = 2x2 –
– 5x + 3 от матрицы 2 4
1 0À
=
.
Решение. Вместо х подставляем в функцию f(х) матрицуА, вместо числа 3 используем матрицу 3 . Е, где Е — еди-ничная матрица второго порядка, что и А.
Найдем
2А2 = 2.А.А = 2 2 4 2 4 8 8 16 16
2 ;1 0 1 0 2 4 4 8
= =
2 4 10 20 1 0 3 05 5 ; 3 3
0 11 0 5 0 0 3
= = = =
À Å .
Теперь
f(А) = 2А2 — 5А + 3Е 16 16 10 20 3 0
4 8 5 0 0 3
= − + =
9 4
1 11
− = − .
Если при подстановке матрицы А вместо х в многочленР(х) получается нулевая матрица, т.е. Р(А) = 0, то матрицаА называется корнем многочлена Р(х), а сам многочлен —аннулирующим многочленом для матрицы А.
Отметим также, что если Аm — нулевая матрица, то изэтого не следует, что матрица А = 0. Например,
1.2. Операции над матрицами
![Page 34: ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ …6 —àçäåº II ´´¯˜¯˝¨¯ ´ À˝À¸¨˙ ˆºàâà 5. ÔóíŒöŁŁ îäíîØ ïåðåìåííîØ 262 Ò¯˛—¯Ò¨×¯Ñ˚¨É](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040505/5e3d4084ccced91c9b679a51/html5/thumbnails/34.jpg)
34
22 4 0 0, íî .
1 2 0 0À À
− = ≠ = = − 0 0
6. Транспонирование матрицы. Под этой операцией по-нимают переход от матрицы А к матрице А′, в которойстроки и столбцы поменялись местами с сохранением по-рядка. Матрица А′ называется транспонированной относи-тельно матрицы А:
11 12 1 11 21 1
21 22 2 12 22 2
1 2 1 2
; ............................ ..........................
n m
n m
m m mn n n mn
à à à a a a
a a a a a aÀ A
a a a a a a
′= =
K K
K K
K K
(1.2)
Из определения следует, что если матрица А имеет раз-мер m × n, то транспонированная матрица А′ имеет размерn × m. Например,
2 3 3 2
1 41 2 3
; 2 5 .4 5 6
3 6
À À× ×
′= =
В литературе встречаются и другие обозначения транс-понированной матрицы, например Ат.
Свойства операции транспонирования:
1) (А′)′ = А; 2) (λА)′ = λА′;3) (А + В)′ = А′ + В′; 4) (АВ)′ = В′А′.Рекомендуем читателю доказать их самостоятельно.Рассмотренные выше операции над матрицами позволя-
ют упростить решения некоторых экономических задач.
Пример 1.6. Предприятие выпускает продукцию трех ви-дов: Р1, Р2, Р3 и использует сырье двух типов: S1 и S2. Нормы
расхода сырья характеризуются матрицей
2 3
5 2
1 4
À
=
, где
каждый элемент аij (i = 1, 2, 3; j = 1, 2) показывает, сколькоединиц сырья j-го типа расходуется на производство еди-
Глава 1. Матрицы и определители 35
ницы продукции i-го вида. План выпуска продукции заданматрицей-строкой С = (100 80 130), а стоимость единицы каж-
дого типа сырья (ден. ед.) — матрицей-столбцом 30
.50
Â
=
Определить затраты сырья, необходимые для плановоговыпуска продукции, и общую стоимость сырья.
Решение. Затраты первого сырья составляют S1 = 2 . 100 ++ 5 . 80 + 1 . 130 = 730 ед. и второго — S2 = 3 . 100 + 2 . 80 + 4 ×× 130 = 980 ед., поэтому матрица-строка затрат сырья S мо-жет быть записана как произведение S = С . А = (100 80 130) ×
2 3
5 2
1 4
×
= (730 980). Тогда общая стоимость сырья Q = 730 ×
× 30 + 980 . 50 = 70 900 ден. ед. может быть записана в мат-ричном виде Q = S . В = (СА)В = (70 900). Общую стоимостьсырья можно вычислить и в другом порядке: вначале вы-числим матрицу стоимостей затрат сырья на единицу
продукции, т.е. матрицу
2 3 21030
5 2 25050
1 4 230
R A B
= ⋅ = =
, а за-
тем общую стоимость сырья
210
( ) (100 80 130) 250 (70 900).
230
Q = ⋅ = = =
C R C AB
На данном примере мы убедились в выполнении свой-ства 7 (см. с. 24) — ассоциативного закона произведенияматриц: (СА)В = С(АВ).
Очевидно, что при транспонировании матрицы ее диа-гональные элементы остаются на своих местах.
7. След матрицы. Следом квадратной матрицы А называ-ется сумма ее диагональных элементов.
След обозначается trА (от англ. trace — след)1. Он играетважную роль в исследовании матриц и их приложениях(например, в эконометрике).
1 В технических приложениях встречается также обозначение следаматрицы spА от немец. spur — след.
1.2. Операции над матрицами
![Page 35: ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ …6 —àçäåº II ´´¯˜¯˝¨¯ ´ À˝À¸¨˙ ˆºàâà 5. ÔóíŒöŁŁ îäíîØ ïåðåìåííîØ 262 Ò¯˛—¯Ò¨×¯Ñ˚¨É](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040505/5e3d4084ccced91c9b679a51/html5/thumbnails/35.jpg)
34
22 4 0 0, íî .
1 2 0 0À À
− = ≠ = = − 0 0
6. Транспонирование матрицы. Под этой операцией по-нимают переход от матрицы А к матрице А′, в которойстроки и столбцы поменялись местами с сохранением по-рядка. Матрица А′ называется транспонированной относи-тельно матрицы А:
11 12 1 11 21 1
21 22 2 12 22 2
1 2 1 2
; ............................ ..........................
n m
n m
m m mn n n mn
à à à a a a
a a a a a aÀ A
a a a a a a
′= =
K K
K K
K K
(1.2)
Из определения следует, что если матрица А имеет раз-мер m × n, то транспонированная матрица А′ имеет размерn × m. Например,
2 3 3 2
1 41 2 3
; 2 5 .4 5 6
3 6
À À× ×
′= =
В литературе встречаются и другие обозначения транс-понированной матрицы, например Ат.
Свойства операции транспонирования:
1) (А′)′ = А; 2) (λА)′ = λА′;3) (А + В)′ = А′ + В′; 4) (АВ)′ = В′А′.Рекомендуем читателю доказать их самостоятельно.Рассмотренные выше операции над матрицами позволя-
ют упростить решения некоторых экономических задач.
Пример 1.6. Предприятие выпускает продукцию трех ви-дов: Р1, Р2, Р3 и использует сырье двух типов: S1 и S2. Нормы
расхода сырья характеризуются матрицей
2 3
5 2
1 4
À
=
, где
каждый элемент аij (i = 1, 2, 3; j = 1, 2) показывает, сколькоединиц сырья j-го типа расходуется на производство еди-
Глава 1. Матрицы и определители 35
ницы продукции i-го вида. План выпуска продукции заданматрицей-строкой С = (100 80 130), а стоимость единицы каж-
дого типа сырья (ден. ед.) — матрицей-столбцом 30
.50
Â
=
Определить затраты сырья, необходимые для плановоговыпуска продукции, и общую стоимость сырья.
Решение. Затраты первого сырья составляют S1 = 2 . 100 ++ 5 . 80 + 1 . 130 = 730 ед. и второго — S2 = 3 . 100 + 2 . 80 + 4 ×× 130 = 980 ед., поэтому матрица-строка затрат сырья S мо-жет быть записана как произведение S = С . А = (100 80 130) ×
2 3
5 2
1 4
×
= (730 980). Тогда общая стоимость сырья Q = 730 ×
× 30 + 980 . 50 = 70 900 ден. ед. может быть записана в мат-ричном виде Q = S . В = (СА)В = (70 900). Общую стоимостьсырья можно вычислить и в другом порядке: вначале вы-числим матрицу стоимостей затрат сырья на единицу
продукции, т.е. матрицу
2 3 21030
5 2 25050
1 4 230
R A B
= ⋅ = =
, а за-
тем общую стоимость сырья
210
( ) (100 80 130) 250 (70 900).
230
Q = ⋅ = = =
C R C AB
На данном примере мы убедились в выполнении свой-ства 7 (см. с. 24) — ассоциативного закона произведенияматриц: (СА)В = С(АВ).
Очевидно, что при транспонировании матрицы ее диа-гональные элементы остаются на своих местах.
7. След матрицы. Следом квадратной матрицы А называ-ется сумма ее диагональных элементов.
След обозначается trА (от англ. trace — след)1. Он играетважную роль в исследовании матриц и их приложениях(например, в эконометрике).
1 В технических приложениях встречается также обозначение следаматрицы spА от немец. spur — след.
1.2. Операции над матрицами