РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ...

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (СИБСТРИН)

Кафедра начертательной геометрии

РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

для студентов, обучающихся по направлениям подготовки 08.03.01 «Строительство» и 07.03.01 «Архитектура»

всех форм обучения

НОВОСИБИРСК 2017

Рабочая тетрадь разработана доцентом И.В. Субботиной, ст. преподавателем С.В. Максимовой

Утверждена учебно-методической комиссией архитектурно-градостроительного факультета

5 июня 2017 года Рецензенты:

− К.А. Вольхин, канд. пед. наук, доцент, зав. кафедрой «Начертательная геометрия» НГАСУ (Сибстрин);

− О.Б. Болбат, канд. пед. наук, доцент, зав. кафедрой «Графика» СГУПС

© Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет (Сибстрин), 2017

1

СОДЕРЖАНИЕ

ОБЩИЕ ПРАВИЛА ОФОРМЛЕНИЯ ЧЕРТЕЖЕЙ ................................................................. 2

ТЕМА 1. ТОЧКА .............................................................................................................................. 4

ТЕМА 2. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ .......................................................................................................... 7

ТЕМА 3. ПЛОСКОСТЬ ................................................................................................................ 14

ТЕМА 4. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ ................................... 20

ТЕМА 5. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С ПЛОСКОСТЬЮ ..................................................... 24

ТЕМА 6. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ ................................................................. 27

ТЕМА 7. CПОСОБ ЗАМЕНЫ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ .............................................. 31

ТЕМА 8. ПОВЕРХНОСТИ ........................................................................................................... 41

ТЕМА 9. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ПРОЕЦИРУЮЩЕЙ ПЛОСКОСТЬЮ, ПРЯМОЙ ......................................................................................................................... 46

ТЕМА 10. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ...................................................................... 53

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ............................................................................................................ 68

2

ОБЩИЕ ПРАВИЛА ОФОРМЛЕНИЯ ЧЕРТЕЖЕЙ

1. ГОСТ 2.301-68 [1] устанавливает форматы листов чертежей: А0 – 841 × 1189 мм А1 – 594 × 841 мм А2 – 420 × 594 мм А3 – 297 × 420 мм А4 – 210 × 297 мм – только вертикально. 2. ГОСТ 2.302-68 [1] устанавливает масштабы изображений:

– масштабы уменьшения – 1:2, 1:2,5, 1:4, 1:5, 1:10, 1:15, 1:20, 1:25, 1:40, 1:50, 1:75, 1:100, 1:200, 1:400, 1:500, 1:800, 1:1000;

– масштабы увеличения – 2:1, 2,5:1, 4:1, 5:1, 10:1, 20:1, 40:1, 50:1, 100:1; – натуральная величина – 1:1; – масштаб, указанный в графе основной надписи, обозначается по типу 1:1, 2:1 и т.д.; – масштаб на чертеже указывается по типу М1:2, М2:1 и т.д.

3. ГОСТ 2.303-68 [1] устанавливает начертание и основные назначения линий на черте-жах:

Наименование Начертание

Толщина линии (S) по отношению к толщине

основной линии

Основное назначение

1. Сплошная толстая основная

S от 0,5 до 1,4 мм Линии видимого контура

2. Сплошная тонкая От

S

3 до

S

2

Линии размерные и выносные;

линии штриховки

3. Штриховая

От S

3 до

S

2

Линии невидимого контура

4. Штрихпунктирная тонкая

От S

3 до

S

2

Линии осевые

4. ГОСТ 2.306-68 [1] устанавливает графические обозначения материалов в сечениях.

45

1...10 мм

5. ГОСТ 2.304-81 [1] устанавливаетРазмер шрифта h – высота прописныхТолщина буквы d = 1/10 h.

3

устанавливает чертежные шрифты. прописных букв в миллиметрах – 2,5; 3,5; 5; 7; 10; 14; 20; 28; 40.

Шрифт. Тип Б с наклоном 75°

5; 5; 7; 10; 14; 20; 28; 40.

4

ТЕМА 1. ТОЧКА

ВОПРОСЫ

1. Что означает выражение «ортогональное проецирование»? 2. Что такое эпюр Монжа? 3. Перечислите все элементы эпюра точки. 4. Присутствует ли сам объект на эпюре? 5. Что такое линия проекционной связи? 6. Сколько проекций необходимо для определения положения точки в пространстве? 7. Какие точки называются конкурирующими? Как определить видимость конкурирующих точек? Как обозначить видимость конкурирующих точек?

ОТВЕТЫ

1. Ортогональное проецирование – это проецирование объекта на плоскость лучами, пер-пендикулярными (ортогональными) к плоскостям проекций (оrto – прямой, gonios – угол). 2. Эпюр Монжа, или чертеж Монжа, – это плоский чертеж, в котором проецирование ве-дется на три взаимно перпендикулярные плоскости. Он образуется в результате совмещения плоскостей П1 и П3 с плоскостью П2 со всем тем, что на эти плоскости спроецировано. На-зван в честь основателя начертательной геометрии Гаспара Монжа. 3. Плоскости проекций: П1 – горизонтальная плоскость проекций; П2 – фронтальная плоскость проекций; П3 – профильная плоскость проекций. Оси: Ох, Оу, Оz. Линии проекционной связи. Проекции точки: А1 – горизонтальная проекция точки А; А2 – фронтальная проекция точки А; А3 – профильная проекция точки А. 4. На эпюре изображаются только проекции объекта, но если объект (точка, прямая, плос-кость) принадлежит плоскости проекций, то он совпадает с одной из своих проекций. 5. Прямая линия, связывающая разноименные проекции точки и перпендикулярная оси, называ-ется линией проекционной связи или линией связи.

6. Достаточно двух проек-ций точки, так как по двум любым проекциям можно определить все коорди-наты. 7. Конкурирующие точ-ки – это точки, расположен-ные на одном проецирую-щем луче (рис. 1.1). На эпю-ре они обозначаются знаком совпадения ≡. Видимой яв-ляется та точка, которая расположена ближе к на-блюдателю. Проекцию не-видимой точки заключают в скобки.

Рис. 1.1

5

Задача 1 Задача 2

Построить по координатам проекции точки K (20, 30, 15).

1. По двум проекциям построить третью проекцию точки М. 2. Записать координаты точки. 3. Перечислить все элементы чертежа (эпюра).


1. Построить по координатам проекции конкурирующих точек А и В: А (25, 10, 30);

В (25, 40, 30). 2. Показать видимость точек.

1. Построить по координатам проекции конкурирующих точек С и D: С (20, 25, 35); D (20, 25, 10). 2. Показать видимость точек.

6

Задача 5

Каким плоскостям проекций принадлежат точки А, В и С? Совпадение точки со своей проек-цией обозначить знаком ≡ по примеру рис. 1.1. Записать координаты точек (мм).


Определить положение недостающих осей, если точка В принадлежит П1. За-писать координаты точки.

Определить положение недостающих осей. Записать координаты точки.


Определить положение осей, если точка D находится на расстоянии 10 мм от плоско-сти П2. Записать координаты точки.

Определить положение осей, если точка Е находится на расстоянии 30 мм от плоскости П3. Записать координаты точки.

7

ТЕМА 2. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ

ВОПРОСЫ 1. Сформулируйте свойство принадлежности точки прямой линии. 2. Перечислите все положения прямых линий относительно плоскостей проекций, дайте их

определения. 3. Сформулируйте теорему о проекциях прямого угла. 4. Перечислите графические признаки параллельных, пересекающихся и скрещивающихся

прямых. 5. Какие точки называются точками кажущегося пересечения? 6. Как определить натуральную величину прямой общего положения методом прямоуголь-

ного треугольника? 7. Что такое след прямой?

ОТВЕТЫ 1. Если точка лежит на прямой, то ее проекции должны лежать на одноименных проекциях этой прямой. 2. Все прямые делятся на прямые общего и частного положения (рис. 2.1).

Рис. 2.1

– это прямая линия, не параллельная и не перпендикулярная плоскостям проекций.

или горизонтальная линия – это линия, параллельная горизонтальной плоскос-ти проекций (П1).

или фронтальная линия – это линия, параллельная фронтальной плоскости проекций (П2).

8

линия – это линия, параллельная профильной плоскости проекций (П3).

прямая – это прямая линия, пер-пендикулярная горизонтальной плоскости проекций (П1).

прямая – это прямая линия, пер-пендикулярная фронтальной плос-кости проекций (П2).

прямая – это прямая линия, пер-пендикулярная профильной плос-кости проекций (П3). 3. Теорема о проекциях прямого угла: если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая не перпендикулярна ей, то на эту плоскость прямой угол про-ецируется в натуральную величину.

9

4. У параллельных прямых одноименные проекции параллельны между собой: p1 II n1, p2 II n2 (рис. 2.2). У пересекающихся прямых точки пересечения их одноименных проекций находятся на одной линии связи (рис. 2.3). У скрещивающихся прямых одноименные проекции могут и пересекаться, но точки пересечения не лежат на одной линии связи (рис. 2.4, 2.5).

Рис. 2.2 Рис. 2.3 Рис. 2.4 Рис. 2.5 5. Точки, в которых пересекаются проекции скрещивающихся прямых, называют точками кажущегося пересечения. Они являются конкурирующими точками. На рис. 2.4 это точ-ки 1 и 2. На рис. 2.5 это точки 3 и 4. Невидимые точки заключают в скобки. 6. Натуральная величина отрезка прямой общего положения – это гипотенуза прямо-угольного треугольника, один катет которого является любой проекцией этого отрезка, а другой катет равен разности координат противоположной проекции отрезка. Натуральную величину отрезка прямой общего положения можно найти одним из двух способов, но в одном случае будет найден угол α (рис. 2.6), а в другом – угол β (рис. 2.7).

Рис. 2.6 Рис. 2.7

7. След прямой – это точка пересе-чения прямой с плоскостью проекций. На рис. 2.8 точка М – горизонтальный след прямой АВ, а точка N – фронталь-ный след прямой АВ. На чертеже след прямой всегда совпа-дает с одной из проекций.

Рис. 2.8

10


Определить положение точек С, D и Е относительно прямой АВ.

Определить, принадлежит ли точка С прямой АВ.


На прямой АВ отложить отрезок АС = 35 мм.

Построить недостающую проекцию отрезка АВ, если его длина равна 60 мм.

11

Задача 14

Определить натуральную величину и углы наклона отрезков к плоскостям проекций. Подписать названия прямых линий.

12

Задача 15

а) б) в)

г) д) е)

На каких чертежах прямая a ⊥ b?

13


Определить расстояние от точки С до прямой АВ.

Построить квадрат АВСD со стороной ВС, лежащей на прямой МN.

Задача 18

Определить взаимное положение прямых. На скрещивающихся прямых отметить конкури-рующие точки (точки кажущегося пересечения). Определить их видимость.

14

ТЕМА 3. ПЛОСКОСТЬ

ВОПРОСЫ

1. Как можно задать плоскость на чертеже? 2. Перечислите возможные положения плоскости относительно плоскостей проекций. Дайте их определения. 3. Сформулируйте правило принадлежности прямой и точки плоскости. 4. Перечислите и дайте определение главным линиям плоскости.

ОТВЕТЫ

1. На чертеже плоскость можно задать проекциями: • трех точек, не лежащих на одной прямой; • прямой и не лежащей на ней точки; • двух пересекающихся прямых; • двух параллельных прямых; • любой плоской фигуры; • следа плоскости. След плоскости – это линия пересечения плоскости с плоскостями

проекций. 2. Все плоскости делятся на плоскости общего и частного положения (рис. 3.1).

Рис. 3.1

– это плоскость, не параллельная и не перпендикулярная плоскостям проекций.

15

– это плоскость, параллельная горизонтальной плоскости проекций (П1).

– это плоскость, параллельная фронтальной плоскости проекций (П2).

– это плоскость, параллельная профильной плоскости проекций (П3).

– это плоскость, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций (П1).

– это плоскость, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций (П2).

16

– это плоскость, перпендикулярная профильной плоскости проекций (П3).

3. Прямая принадлежит плоскости, если две точки этой прямой принадлежат плоскости (рис. 3.2). На-пример: прямая 1–2 принадлежит плоскости АВС, так как точка 1 принадлежит плоскости АВС и точка 2 принадлежит плоскости АВС (см. рис. 3.2). Точка принадлежит плоскости, если она лежит на прямой, принадлежащей этой плоскости. Например, точки N и М лежат в плоскости АВС (см. рис. 3.2).

Рис. 3.2

Рис. 3.3

4. Главные линии плоскости: Горизонталь плоскости – это пря-мая, лежащая в плоскости и парал-лельная горизонтальной плоскости проекций (П1). Фронталь плоскости – это прямая, лежащая в плоскости и параллель-ная фронтальной плоскости проек-ций (П2). Линия наибольшего наклона плоскости к какой-либо плоскости проекций – это линия, перпендику-лярная линии уровня (рис. 3.3). Линия наибольшего наклона плос-кости к П1 имеет свое название – линия ската.

17

Задача 19

а) б) в) г)

Как расположены по отношению к плоскостям проекций плоскости на чертежах? Подписать, какое положение они занимают относительно плоскостей проекций.


Проверить, лежат ли все точки А, В, С и D в одной плоскости.

Построить недостающие проекции вершин плоского пятиугольника АВСDЕ.

18

Задача 22

В плоскости ската крыши АВСD размечен четырехугольник для слухового окна KLMN. По-строить его недостающую проекцию.

Задача 23

Построить горизонталь и фрон-таль плоскости АВС.

19

Задача 24

Построить направление потоков дождя на крыше здания (определить линии ската элементов крыши).

20

ТЕМА 4. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

ВОПРОСЫ

1. Перечислите возможные случаи взаимного расположения прямой и плоскости. 2. Сформулируйте признак параллельности прямой и плоскости. 3. Сформулируйте признак параллельности двух плоскостей. 4. Сформулируйте графический признак перпендикулярности прямой и плоскости. 5. Сформулируйте признак перпендикулярности плоскостей.

ОТВЕТЫ

1. Возможны следующие случаи: а) прямая принадлежит плоскости; б) прямая параллельна плоскости; в) прямая пересекает плоскость. Частный случай пересечения – прямая перпендикулярна

плоскости. 2. Прямая параллельна плоскости, если проекции этой прямой параллельны одноименным проекциям любой прямой, принадлежащей этой плоскости. 3. Плоскости параллельны между собой, если проекции двух пересекающихся прямых одной плоскости соответственно параллельны одноименным проекциям двух пересекающихся прямых другой плоскости. 4. Прямая линия перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекаю-щимся прямым, принадлежащим этой плоскости. Удобно за эти прямые принять горизонталь и фронталь, тогда на эпюре горизонтальная проекция перпендикуляра перпендикулярна го-ризонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция перпендикуляра перпендику-лярна фронтальной проекции фронтали (рис. 4.1). Эту фразу можно записать так:

5. Две плоскости перпен-дикулярны, если одна из них проходит через перпен-дикуляр к другой (рис. 4.2).

Рис. 4.1 Рис. 4.2

21

Задача 25 Через точку K провести прямую, параллельную плоскости АВС. Через точку D провести плоскость, параллельную плоскости АВС.

Задача 26 Проверить, параллельна ли прямая МN плоскости АВС.

22


Через точку М провести плоскость, парал-лельную плоскости α (а II b).

Через точку М провести плоскость, парал-лельную плоскости АВС.

Задача 29 Определить, перпендикулярна ли прямая m плоскости. а) б) в)

23

Задача 30 Через точку В провести перпендикуляр ВС к плоскости KМL. Как расположены плоскости АВС и KМL?

Задача 31

Через точку K, принадлежащую плос-кости α (а II b), провести перпенди-куляр к этой плоскости. Определить его видимость.

24

ТЕМА 5. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С ПЛОСКОСТЬЮ

ВОПРОСЫ 1. Какие задачи относятся к позиционным? 2. Как решается задача по определению точки пересечения прямой и плоскости? 3. Упрощается ли решение задачи, если один из элементов пересечения – плоскость или прямая – являются проецирующими? 4. Как определяется видимость прямой?

ОТВЕТЫ 1. К позиционным задачам относятся такие задачи, в которых определяется взаимное распо-ложение (позиция) геометрических фигур в пространстве:

• пересечение прямой с плоскостью или поверхностью; • пересечение плоскости с плоскостью или поверхностью; • пересечение двух поверхностей.

2. Алгоритм решения задачи на пересечение прямой и плоскости: а) через заданную прямую провести вспомогательную проецирующую плоскость-пос-

редник; б) построить линию пересечения вспомогательной плоскости с заданной; в) найти точку, в которой линия пересечения плоскостей пересекает заданную прямую;

эта точка и будет искомой; г) определить видимость прямой линии.

3. Если плоскость или прямая является проецирующей, то решение задачи упрощается, так как на одной из проекций точка пересечения прямой и плоскости совпадает со следом про-ецирующей прямой или со следом проецирующей плоскости. Остается найти вторую проекцию. 4. Видимость прямой линии определяется с помощью точек кажущегося пересечения (кон-курирующих точек) (см. пример, п. 4).

Пример решения задачи на пере-сечение прямой и плоскости (рис. 5.1) Дано: прямая а и плоскость α (∆АВС). 1. Через прямую а проводят фрон-тально-проецирующую плоскость β (след плоскости показан толстой линией). 2. Плоскость α ∩ β по линии 1–2. 3. Так как прямая а и прямая 1–2 при-надлежат плоскости β, то они пересе-каются в точке М, которая и является искомой. 4. Для определения видимости на го-ризонтальной плоскости проекций вос-пользуемся точками 3 и 4. Точка 3 при-надлежит прямой а, 4 – стороне АС. Су-дя по фронтальной проекции, точка 4 расположена выше и на горизонтальной проекции закрывает точку 3. Следова-тельно, прямая проходит на этом участке под плоскостью. На фронтальной проек-

ции точками кажущегося пересечения являются 2 и 5. Точка 2 расположена ближе к наблюдате-лю и на фронтальной проекции закрывает точку 5; следовательно, прямая на этом участке про-ходит за плоскостью.

Рис. 5.1

25


Построить точку пересечения прямой MN с плоскостью ABC. Определить ви-димость прямой.

Построить точку пересечения прямой k с плоскостью β (а II b). Определить види-мость прямой.


Построить точку пересечения прямой k с плоскостью (m ∩ n). Определить види-мость прямой.

Построить точку пересечения прямой k с плоскостью (а II b). Определить видимость прямой.

26


Построить точку пересечения прямой k с плоскостью ABCD. Определить видимость прямой k.

Построить точку пересечения прямой k с плоскостью ABCD. Определить види- мость прямой k.


Построить точку пересечения прямой k с плоскостью АВС. Определить видимость прямой k.

Яблоко упало с дерева прямо на пленку теплицы по направлению прямой k. В ка-ком месте пленки (плоскость АВСD) обра-зовалось отверстие? Определить види-мость прямой k.

27

ТЕМА 6. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ

ВОПРОСЫ

1. Как найти линию пересечения двух плоскостей? 2. Упрощается ли решение задачи, если одна из плоскостей проецирующая?

ОТВЕТЫ

1. Две плоскости пресекаются по прямой линии, для определения которой достаточно найти две точки, принадлежащие одновременно каждой из заданных плоскостей. Чтобы найти эти точки, надо ввести две вспомогательные секущие плоскости, т.е. дважды выполнить алго-ритм позиционной задачи. 2. Если плоскость является проецирующей, то на одной из проекций линия пересечения совпадает со следом проецирующей плоскости. Остается найти вторую проекцию.

Пример (рис. 6.1) І. 1) Проводят вспомогатель-ную фронтально-проецирую-щую плоскость γ, пересекаю-щую заданные плоскости α и β (след плоскости γ показан тол-стой линией); 2) плоскость γ ∩ α по линии 1–2. Плоскость γ ∩ β по ли-нии 3–4; 3) точка пересечения гори-зонтальных проекций этих прямых и будет являться од-ной из точек пересечения за-данных плоскостей (точка М). Фронтальная проекция точки М2 находится на следе плос-кости γ2.

Рис. 6.1

ІІ. 1) Проводят вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость ϕ, пересекающую заданные плоскости (след плоскости ϕ показан толстой линией); 2) плоскость ϕ ∩ α по линии 5–6. Плоскость ϕ ∩ β по линии 7–8; 3) точка пересечения горизонтальных проекций этих прямых и будет являться второй точкой пересечения заданных плоскостей (точка K). Фронтальная проекция точки K2 находится на следе плоскости ϕ2. ІІІ. Прямая МK является линией пересечения плоскостей α и β. ПРИМЕЧАНИЕ. В некоторых задачах удобно плоскость-посредник проводить через пря-мые, ограничивающие плоскость. В таком случае находят точки пересечения двух прямых, принадлежащих одной плоскости, с другой.

28

Задача 40

Построить линию пересечения плоскостей α (АВ ∩ ВС) и β (l II m).

Задача 41

Построить линию пересечения плоскостей α (∆АВС) и β (k II m). Определить видимость.

29

Задача 42

Построить линию пересечения плоскостей α (ABCD) и β (KMNE). Определить видимость.


Построить линию пересечения плоскостей α (ABC) и β (KDE). Определить видимость.

Построить линию пересечения плоскостей α и β (ABC). Определить видимость.

30

Задача 45

Построить линию пересечения плоскостей α (ABC) и β (MNE). Определить видимость.

Задача 46

Построить линию пересечения плоскостей α (ABC) и β (KDE). Определить видимость.

31

ТЕМА 7. СПОСОБ ЗАМЕНЫ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ

ВОПРОСЫ

1. В чем состоит сущность способа замены плоскостей проекций? 2. Как построить новую проекцию точки при способе замены плоскостей проекций? 3. Перечислите четыре основные задачи способа замены плоскостей проекций. 4. Как преобразовать прямую общего положения в проецирующую? 5. Как найти натуральную величину плоскости общего положения?

ОТВЕТЫ

1. Сущность способа замены плоскостей проекций заключается в том, что при неизменном положении объекта в пространстве одна из плоскостей проекций заменяется на новую. При

этом должны соблюдаться следующие условия: а) новая плоскость должна быть перпендикулярна одной из оставшихся плоскостей; б) новое направление проецирования должно быть перпендикулярно новой плоскости. 2. Разберем пример (рис. 7.1). В данном примере но-вая ось проведена произвольно. Для того чтобы по-строить новую проекцию точки, необходимо: а) провести новую линию связи перпендикулярно новой оси: А1 А4 ⊥ х14; б) расстояние от заменяемой проекции А2 до заме-няемой оси х12 отложить от новой оси х14 до новой проекции А4.

3. Четыре основные задачи способа замены плоскостей проекций I. Преобразование прямой общего поло-жения в прямую уровня Для того чтобы преобразовать прямую об-щего положения в прямую уровня, необхо-димо новую ось провести параллельно од-ной из проекций прямой линии. В данном примере (рис. 7.2) новая ось х14 проведена параллельно горизонтальной проекции А1В1. В результате в новой системе координат П1П4 прямая АВ является прямой уровня. Новая проекция прямой А4В4 является нату-ральной величиной, α – угол наклона прямой к плоскости П1.

Рис. 7.2

Рис. 7.1

32

II. Преобразование прямой уровня в прямую проецирующую

Для того чтобы преобразовать прямую уровня в прямую проецирующую, необходимо новую ось провести согласно следующему условию: В данном примере (рис. 7.3), для того чтобы преобразовать фронталь в проецирующую прямую, необходимо провести новую ось х24 ⊥ f2. Тогда на плоскости П4 проекция пря-мой преобразуется в точку.

Рис. 7.3 III. Преобразование плоскости общего положения в плоскость проецирующую

Для того чтобы преобразо-вать плоскость общего поло-жения в плоскость проеци-рующую, необходимо новую ось провести согласно сле-дующему условию:

В данном примере (рис. 7.4) новая ось х14 ⊥ h2.

Рис. 7.4

33

IV. Преобразование проецирующей плоскости в плоскость уровня

Для того чтобы преобразовать про-ецирующую плоскость в плоскость уровня, необходимо новую ось про-вести параллельно следу плоскости. В данном примере (рис. 7.5) плос-кость АВС является фронтально-проецирующей, поэтому новая ось х24 проведена параллельно фрон-тальному следу А2В2С2. В результа-те в новой системе П2П4 плоскость АВС является плоскостью уровня, а значит, А4В4С4 является натураль-ной величиной.

Рис. 7.5

4. Для того чтобы преобра-зовать прямую общего по-ложения в проецирующую, необходимо последовательно выполнить задачи I и II. В примере (рис. 7.6) новая ось х14 проведена параллель-но А1В1. В следующем пре-образовании ось х45 проведе-на перпендикулярно новой проекции А4В4. В результате в новой системе П4П5 проек-ция прямой преобразуется в точку, т.е. является про-ецирующей прямой.

Рис. 7.6

34

5. Для того чтобы найти натуральную величину плоскости общего положения (преоб-разовать ее в плоскость уровня), необходимо последовательно решить задачи III и IV. В примере (рис. 7.7) новая ось х14 ⊥ h1. В следующем преобразовании ось х45 проведена па-раллельно новой проекции А4В4С4. В результате в новой системе П4П5 плоскость АВС явля-ется плоскостью уровня, а значит, А5В5С5 является натуральной величиной.

Рис. 7.7


Определить натуральную величину отрезка АВ и углы наклона к плос-костям проекций П1 и П2.

Построить фронтальную проекцию точки D, если длина отрезка CD равна 55 мм.

35

Задача 49

На прямой l отложить от точки А отре-зок АВ, равный 35 мм.

Задача 50

Найти расстояние от точки А до прямой ВС.

Задача 51

Построить горизонтальную проекцию точки А, если она отстоит от прямой m на 15 мм.

36

Задача 52

Определить углы наклона треугольника АВС к плоскостям П1 и П2.

Задача 53

Определить расстояние между двумя параллельными прямыми.

37

Задача 54

Определить расстояние между скрещивающимися прямыми.

38

Задача 55

Построить биссектрису угла АВС треугольника АВС.

Задача 56

Определить расстояние от точки K до плоскости ∆АВС.

39

Задача 57

Определить расстояние между двумя параллельными плоскостями.

Задача 58 Определить величину двугранного угла между плоскостями АВС и CDA.

40

Задача 59

Построить линию пересечения двух плоскостей α (∆АВС) и β (∆DEK). Определить видимость.

Задача 60

Преобразовать прямую АВ в проецирующую.

41

ТЕМА 8. ПОВЕРХНОСТИ

ВОПРОСЫ

1. Перечислите виды поверхностей. 2. Какие элементы участвуют в образовании этих поверхностей? 3. Что такое определитель поверхности? Какие элементы составляют определитель поверх-ности? 4. Что такое каркас, контур, очерк? 5. Как найти недостающую проекцию точки, лежащей на линейчатой поверхности? 6. Перечислите основные виды поверхностей с плоскостью параллелизма. Как они образу-ются? 7. Перечислите главные линии поверхности вращения. 8. Как найти недостающую проекцию точки, лежащей на поверхности вращения? 9. Как образуется поверхность геликоида?

ОТВЕТЫ

1.

2. Образующая – это линия, которая своим движением образует поверхность; направ-ляющая – линия, которая задает закон движения образующей; ось – линия, вокруг которой вращается образующая; плоскость параллелизма – плоскость, параллельно которой пе-ремещаются образующие. 3. Определитель поверхности – это минимально достаточное количество геометрических элементов и закона их взаимодействия, однозначно определяющих поверхность в простран-стве. Обозначается ∆. В определитель поверхности входят все геометрические элементы, участвующие в образовании поверхности, а также закон образования поверхности.

42

4. Каркас – это множество точек и линий, образующих форму поверхности. Контур – ли-ния, которую образуют точки касания проецирующих лучей с поверхностью. Очерк – про-екция контура, граница проекции поверхности. 5. Для того чтобы найти недостающую проекцию точки, лежащей на линейчатой поверх-ности, нужно через точку провести образующую. Затем найти ее вторую проекцию. На ней и будет лежать искомая проекция точки. 6. Коноид, цилиндроид, гиперболический параболоид (гипар или «косая плоскость»). Все эти поверхности образуются движением прямолинейной образующей по двум направляю-щим, причем в каждом положении все образующие параллельны некоторой плоскости, на-зываемой плоскостью параллелизма. 7. Параллель – это окружность, по которой все точки образующей вращаются вокруг оси. Самая большая параллель – экватор; самая маленькая – горло (или горловина). ГМП – главная меридиональная плоскость – это плоскость, проходящая через ось поверх-ности и параллельная одной из плоскостей проекций. Главный меридиан – это линия пересечения ГМП с поверхностью.

8. Для того чтобы найти недостающую проекцию точки, лежащей на поверх-ности вращения, необходимо построить параллель, на которой лежит эта точка. Затем найти ее вторую проекцию. На ней и будет лежать искомая проекция точки. 9. Поверхность геликоида образуется одновременно вращением отрезка прямой линии вокруг оси и его поступательным движением параллельно оси.

Задача 61

Построить очерк поверхности вращения общего вида. Подписать главные линии поверхности.

43


Построить очерк и каркас конической поверхности ∆ (m, l, S). Определить ви-димость очерковых линий.

Построить очерк и каркас цилиндрической поверхности ∆ (m, l). Определить видимость очерковых линий.


Построить каркас и очерк коноида, за-данного определителем ∆ (m, n, П1). Най-ти линию пересечения коноида с плос-костью α. Определить видимость.

Построить каркас и очерк цилиндроида, задан-ного определителем ∆ (m, n, α).

44


Построить каркас и очерк гипара, заданного оп-ределителем ∆ (m, n, П2). Определить видимость очерковых линий.

Построить каркас и очерк прямого геликоида ∆ (n, i).


Найти недостающие проекции точек М и N, лежащих на поверхности.

Найти недостающую проекцию линии K-М-N, принадлежащую поверхности.

45


Построить очерк поверхности однополост-ного гиперболоида вращения.

Найти горизонтальную проекцию звезды.


Найти недостающую проекцию точки K и линии m, принадлежащих поверхности.

46

ТЕМА 9. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ПРОЕЦИРУЮЩЕЙ ПЛОСКОСТЬЮ, ПРЯМОЙ

ВОПРОСЫ

1. Какое свойство проецирующей плоскости облегчает решение задачи? Что это значит? 2. Какой вид имеет линия пересечения поверхности с плоскостью? 3. Какие точки являются главными (опорными, характерными)? 4. Как найти точки пересечения прямой с поверхностью? 5. Какие линии получаются при пресечении поверхности конуса с плоскостями?

ОТВЕТЫ

1. Если поверхность пересекается проецирующей плоскостью, то решение задачи облегчает-ся, так как проецирующая плоскость обладает свойством собирательности. Это значит, что все точки и линии этой плоскости как бы собираются в одну прямую, совпа-дающую со следом этой проецирующей плоскости. 2. При пересечении поверхности с плоскостью получается плоская фигура, которую называют сечением. Сечение представляет собой кривую или ломаную линию. 3. При нахождении линии пересечения поверхности с про-ецирующей плоскостью необходимо начинать построение с главных (опорных, характерных) точек, принадлежащих линии пересечения и лежащих на главных линиях поверх-ности. Такие точки для поверхности вращения – главный меридиан, экватор, горло и самая высокая и самая нижняя точка сечения, которые находятся с помощью перпендику-ляра, проведенного от оси к следу проецирующей плоско-сти (рис. 9.1, точка 3). Для линейчатых поверхностей – на-правляющие и очерковые образующие, ребра. 4. Для решения задачи на пересечение прямой и поверх-ности применяют алгоритм решения задачи:

а) через заданную прямую провести вспомогательную проецирующую плоскость-посредник;

б) построить линию пересечения вспомогательной плоскости с поверхностью; в) отметить точки, в которых найденная линия пересечения пересекает заданную пря-

мую; эти точки и будут искомые; г) определить видимость прямой линии.

5. В зависимости от положения секущей плоскости в сечении конуса вращения могут получиться раз-личные линии, называемые линиями конических се-чений или КОНИКАМИ (рис. 9.2). Если секущая плос-кость проходит через вершину конуса, в его сечении получается пара образующих прямых. При пересече-нии конуса плоскостью, перпендикулярной оси конуса, получается окружность. Если секущая плоскость па-раллельна одной из образующих конуса, в сечении по-лучается парабола. Если секущая плоскость парал-лельна двум образующим конуса, в сечении получается

гипербола. Если секущая плоскость не параллельна ни одной из образующих конуса и не перпендикулярна оси, в сечении получается эллипс.

Рис. 9.1

Рис. 9.2

47


Построить линию пересечения плоскости α с пирамидой. Определить видимость.

Построить линию пересечения плоскости β с пирамидой. Определить видимость.


Построить линию пересечения конуса с плоскостью α. Определить видимость ли-нии пересечения.

Построить точки пересечения прямой k с поверхностью конуса. Определить види-мость прямой k.

48


Построить точки пересечения прямой m с поверхностью цилиндра. Определить видимость прямой m.

Построить точки пересечения прямой m с по-верхностью цилиндра. Определить видимость прямой m.


Построить линию пересечения коноида (клина) ∆ (m, n, П2) с плоскостью α.

Построить точки пересечения коноида ∆ (а, b, П1) с прямой k. Определить видимость прямой k.

49


Построить точки пересечения пря-мой а с призмой. Определить ви-димость.

Построить точки пересечения прямых с и k с призмой. Определить видимость.


Построить точки пересечения прямой k с пирамидой. Опреде-лить видимость.

Построить точки пересечения прямой k с призмой. Определить видимость.

50


Построить линию пересечения плоскости с поверхностью.


Построить линию пересечения плоскости с поверхностью. Определить видимость.

51


Построить линию пересечения плоскости с поверхностью. Показать видимость.

Построить точки пересечения прямой АВ с поверхностью. Показать видимость.


Построить точки пересечения прямой с поверхностью. Показать видимость.

52

Задача 94

Построить линию пересечения поверхности тора с плоскостью α. Найти точки пересечения поверхности тора с прямой а. Определить видимость. (Рекомендуется при решении задачи на нахождение точек пересечения поверхности с прямой а воспользоваться горизонтально-проецирующей плоскостью.)

53

ТЕМА 10. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ

ВОПРОСЫ 1. Перечислите возможные виды пересечения двух поверхностей. 2. Какой вид имеет линия пересечения двух поверхностей? 3. Перечислите шаги в алгоритме решения задачи на пересечение двух поверхностей.

ОТВЕТЫ

1. Полное пересечение одной поверхности другой (пронизание) и частичное пересечение (врезание). При пронизании получаются две замкнутые линии (рис. 10.1); при врезании – од-на замкнутая линия пересечения (рис. 10.2, 10.3).

Рис. 10.1 Рис. 10.2 Рис. 10.3

2. При пересечении двух криволинейных поверхностей линия пересечения в общем случае представляет собой пространственную кривую линию (одну или более) (см. рис. 10.1). При пересечении гранной и криволинейной поверхностей линия пересечения представляет собой совокупность пространственных плоских кривых с переломами на ребрах (см. рис. 10.2). При пересечении двух гранных поверхностей линия пересечения представляет собой про-странственную ломаную линию (рис. 10.3). 3. Прежде чем решать задачу на пересечение поверхностей, необходимо проанализировать чертеж: есть ли среди двух поверхностей хоть одна проецирующая (призма, цилиндр)? 3.1. Если одна из поверхностей является проецирующей, то линия пересечения на одной из проекций уже определена, она совпадает со следом проецирующей поверхности. Остается найти вторую проекцию линии пересечения. Пример решения этой задачи см. на рис. 10.4. 3.2. Если нет проецирующей поверхности, пробуем использовать метод секущих вспомога-тельных плоскостей-посредников. Пример решения такой задачи см. на рис. 10.5. При сечении вспомогательными плоскостями обеих поверхностей должны получаться про-стые для построения линии (окружность, прямая). 3.3. Если при пересечении секущими плоскостями не получаются простые линии, пробуем метод вспомогательных концентрических сфер (рис. 10.6). Для использования этого метода должны выполняться следующие условия:

а) пересекаются две поверхности вращения; б) оси поверхностей должны пересекаться; в) плоскость, которая проходит через оси вращения поверхностей, должна быть парал-

лельна одной из плоскостей проекций.

54

Рис. 10.5

Пример 1 (см. рис. 10.4) решения задачи на пересечение двух поверхно-стей, одна из которых занимает проецирующее положение В данном примере пересекаются тор и призма. Вид пересечения – частичное. Это значит, что линия пересечения будет одна. Вид линии пересечения – пространственная кривая линия с перегибами на ребрах (так как пересекается кривая поверхность (тор) с гранной (призма)). Так как призма является фронтально-прое-цирующей, то линия пересечения на фронталь-ной плоскости проекций совпадает со следом призмы. Необходимо найти проекцию линии пересечения на горизонтальной плоскости про-екций. Построенные точки соединяем методом обхода: сначала обходим видимые точки, затем невиди-мые: 1–2′–3′–4′–5′–6′–7–6–5–4–3–2–1. На горизонтальной плоскости проекций види-мой будет та часть линии, которая лежит на видимых частях поверхностей.

Рис. 10.4 Пример 2 (рис. 10.5)

решения задачи способом вспомогательных секущих плоскостей-посредников В данном примере пересекаются два конуса. Вид пересечения – частичное. Это значит, что линия пересечения будет одна. Вид линии пересечения – пространственная кривая линия (так как пересекаются две кривые поверхности). Так как ни одна из поверхностей не является проецирующей, то будем применять способ вспомогательных секущих плоскостей-пос-редников. Этот способ целесообразно приме-нять только в том случае, когда две поверхно-сти пересекаются с заданной плоскостью-посредником по простым для построения ли-ниям (в данном примере это окружности). 1. Для нахождения самой высокой точки линии пересечения разрежем обе поверхности плос-костью, параллельной П2 и проходящей через оси обеих поверхностей (данная плоскость но-сит название ГМП). Обе поверхности пересе-каются с ГМП по главным меридианам. Ре-зультатом их пересечения является точка 1. Для нахождения самых нижних точек сечения

проведем вспомогательную плоскость через основания поверхностей – αэкв. Обе поверхности пересекаются по экваторам. Результатом пересечения являются точки 2 и 3.

55

2. Для нахождения промежуточных точек разрежем обе поверхности плоскостями, перпен-дикулярными осям поверхностей. В этом случае поверхности разрежутся по параллелям (ок-ружностям). Для нахождения точек 4 и 5 через обе поверхности проведем вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость β. Эта плоскость пересекает обе поверхности по ок-ружностям. Для построения этих окружностей на П1 измерим радиусы полученного сечения от оси до очерка поверхностей (Rлевый и Rправый) и проведем окружности на горизонтальной плоскости. Эти окружности, пересекаясь, дают две точки – 4 и 5. На фронтальной плоскости проекций эти точки лежат в плоскости β. 3. Для нахождения точек 6 и 7 проведем плоскость γ. Все построения аналогичны пункту 2. 4. Полученные точки соединяем последовательно.

Пример 3 (рис. 10.6) решения задачи способом вспомогательных концентрических сфер Данный способ применяется потому, что: а) пересекаются две поверхности вращения (два конуса); б) оси поверхностей пересекаются; в) плоскость, которая проходит через оси вращения поверхностей (ГМП), параллель-на П2. Вид пересечения – полное. Это значит, что линий пересечения будет две. Вид линий пересечения – пространст-венные кривые линии (так как пересекают-ся две кривые поверхности). 1. Для нахождения самых высоких и самых низких точек линий пересечения разрежем обе поверхности плоскостью, параллельной П2 и проходящей через оси обеих поверх-ностей (данная плоскость носит название ГМП). Обе поверхности пересекаются с ГМП по главным меридианам. Результатом их пересечения являются точки 1, 2, 3, 4. 2. Определим центр вспомогательных се-кущих сфер. Он находится на пересечении

Рис. 10.6 осей поверхностей ОС.

3. Определим радиус минимальной (min) сферы: минимальная сфера должна одной поверх-ности касаться, а другую пересекать. В данном примере минимальной является сфера, каса-тельная к вертикальному конусу. Для нахождения точки касания проведем перпендикуляр из точки ОС2 к очерковой образующей вертикального конуса. Так как сфера и конусы являются соосными поверхностями (т.е. поверхностями с общей осью), то они пересекаются по ок-ружностям. Результатом пересечения будут точки 5, 6, 7, 8 (рис. 10.7). 4. Определим радиус максимальной (max) сферы. Он равен расстоянию от ОС до самой уда-ленной точки пересечения. В примере это точка 4.

56

5. Для нахождения дополнительных точек разрежем поверхности сферами, имеющими ради-ус больше min, но меньше max. В примере это сфера, которая определяет точки 9 и 10. 6. Для определения точек, лежащих на границе видимости, необходимо провести сферу ра-диусом от ОС до точки пересечения оси горизонтального конуса с главным меридианом вер-тикального. Результатом пересечения этой сферы с поверхностями будут окружности, кото-рые определяют точки 11, 12, 13, 14. 7. Итогом пересечения поверхностей будут две линии. Перенесем все точки на горизонталь-ную плоскость проекций, соединяем их методом обхода. Определим видимость линии. На фронтальной плоскости проекций линии будут видимыми. На горизонтальной плоскости проекций видимыми будут те части линии, которые лежат выше точек 11, 12, 13, 14. 8. Определим видимость очерковых линий конуса, используя конкурирующие точки.

Рис. 10.7

57


Построить линию пересечения тора с ци-линдром. Определить видимость.

Построить линию пересечения тора с призмой. Определить видимость.

58

Задача 97 Задача 98 Задача 99

Построить линию пересечения поверхностей. Определить видимость.

59



60


Построить линию пересечения поверхностей. Определить видимость. Для решения задачи 103 применить метод обхода и метод условной развертки.

61


Построить линию пересечения поверхностей. Для соединения точек в линии пересечения использовать метод обхода и метод условной развертки. Определить видимость.

62


Построить линии пересечения поверхностей. Определить видимость.

63



64


Построить линию пересечения поверхностей способом концентрических сфер. Определить видимость.

65



66



67



68

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. ЕСКД. Общие правила выполнения чертежей. ГОСТ 2.301-68 – ГОСТ 2.303-68, ГОСТ 2.304-81, ГОСТ 2.305-68 – ГОСТ 2.307-68, ГОСТ 2.308-79, ГОСТ 2.309-73, ГОСТ 2.310-68, ГОСТ 2.311-68, ГОСТ 2.312-72, ГОСТ 2.313-82, ГОСТ 2.314-68 – ГОСТ 2.316-68, ГОСТ 2.317-69, ГОСТ 2.318-81, ГОСТ 2.320-82, ГОСТ 2.321-84. – Москва : ИПК Изда-тельство стандартов, 2006. – 160 с.

2. Сальков, Н. А. Начертательная геометрия: базовый курс : учеб. пособие / Н. А. Сальков. – Москва : ИНФРА-М, 2015. – 184 с.

3. Фролов, С. А. Начертательная геометрия : учебник / С. А. Фролов. – 3-е изд., перераб. и доп. – Москва : ИНФРА-М, 2015. – 285 с.

4. Георгиевский, О. В. Конспект лекций по начертательной геометрии : метод. пособие / О. В. Георгиевский ; под ред. Т. М. Кондратьевой. – Москва : АСВ, 2009. – 80 с.

5. Талалай, П. Г. Начертательная геометрия на примерах : учеб. пособие / П. Г. Талалай. – Санкт-Петербург : БХВ-Петербург, 2011. – 288 с.

6. Начертательная геометрия [Электронный ресурс] : сборник индивидуальных графиче-ских заданий с методическими указаниями по их выполнению для студентов, обучаю-щихся по направлениям подготовки 08.03.01 «Строительство», 07.03.01 «Архитектура» и 27.03.01 «Стандартизация и метрология» / сост. К. А. Вольхин ; Новосиб. гос. архи-тектур.-строит. ун-т (Сибстрин). – Электрон. текстовые, граф. дан. и прикладная про-грамма (107 Мб). – Новосибирск : НГАСУ (Сибстрин), 2014. – Режим доступа: http://ng.sibstrin.ru/wolchin/umm/igz_ng/index.htm. – Загл. с экрана.

7. Адонкина, Е. В. Начертательная геометрия и инженерная графика. Мультимедийное со-провождение лекций [Электронный ресурс] : электронный курс для преподавателей и студентов архитектурно-строительных университетов / Е. В. Адонкина; Новосиб. гос. архитектур.-строит. ун-т (Сибстрин). – Новосибирск : НГАСУ (Сибстрин), 2011. – 1 электрон. опт. диск (CD-ROM). – Загл. с экрана.

Составители

Ирина Витальевна Субботина

Светлана Витальевна Максимова

РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

для студентов, обучающихся по направлениям подготовки 08.03.01 «Строительство» и 07.03.01 «Архитектура»

всех форм обучения

Редактор Э.Е. Полякова Корректор Е.Л. Корецкая

________________________________________________________________ Новосибирский государственный

архитектурно-строительный университет (Сибстрин) 630008, Новосибирск, ул. Ленинградская 113

____________________________________________________________________

РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ...

Documents

Transcript of РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ...