НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯlib.madi.ru/fel/fel1/fel18E469.pdf · 5 Цели...

МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ)

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

РУКОВОДСТВО

ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ)»


РУКОВОДСТВО

ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Под редакцией канд. техн. наук, доц. О.А. Оганесова

Утверждено в качестве учебного пособия редсоветом МАДИ

МОСКВА МАДИ 2018

УДК 514.18 ББК 22.151.3

Н365

Авторский коллектив: Оганесов О.А., Доброгаев П.Р., Рябикова И.М., Кузенева Н.Н.

Рецензенты:

доц. каф. «Инженерная графика» Московского авиационного института (НИУ), канд. техн. наук Миролюбова Т.И.;

доц. каф. «Начертательная геометрия и черчение» МАДИ, канд. техн. наук Суворова Е.П.

Н365 Начертательная геометрия. Руководство для самостоятельной работы:

учеб. пособие / О.А. Оганесов [и др.]; под ред. канд. техн. наук, доц. О.А. Ога-несова. – М.: МАДИ, 2018. – 124 с.

Учебное пособие представляет собой руководство для самостоятельной

работы и предназначено для обучающихся по направлению подготовки специали-стов 08.05.01 «Строительство уникальных зданий и сооружений» и изучающих раздел учебного курса инженерной графики «Начертательная геометрия». Тема-тика, содержание и объём разбираемых в пособии расчетно-графических работ (РГР) соответствуют требованиям действующего федерального государственного образовательного стандарта высшего образования (ФГОС ВО). Основная цель учебного пособия – научить студентов-первокурсников самостоятельно работать с учебно-методической и справочной литературой, приобретая при этом необходи-мые знания и навыки.

Пособие состоит из четырех глав и приложения. Каждая глава посвящена одной из 4-х выполняемых РГР: 1) расчетно-графическая работа №1 «Чертежи поверхностей»; 2) расчетно-графическая работа №2 «Главные позиционные зада-чи»; 3) расчетно-графическая работа №3 «Метрические задачи»; 4) расчетно-графическая работа №4 «Границы земляных работ». В каждой главе даются ос-новные определения и теоретические материалы по тематике РГР, формулируют-ся условия входящих в неё задач; приводятся сведения о вариантах заданий на РГР, указания и рекомендации по решению задач РГР, примеры поэтапного вы-полнения этих задач. В приложении приведены варианты заданий для выполне-ния РГР №2.

УДК 514.18 ББК 22.151.3

© МАДИ, 2018

3

ВВЕДЕНИЕ

Пособие рассчитано на обучающихся по направлению подготовкиспециалистов 08.05.01

Основные задачи учебного курса НГ

«Строительство уникальных зданий и сооружений» иизучающих начертательную геометрию (НГ).

– изучение методов отображенияпространственных объектов на плоскость по их графическим моделям(чертежам), являющимся средством общения людей в их производственнойдеятельности, и развитие пространственного воображения обучаемых, безкоторого невозможна никакая творческая деятельность и создание чего-тонового. Под пространственным воображением здесь подразумевается психо-логический процесс, заключающийся в способности человека формировать всознании пространственный образ предмета или явления, который создаетсявоздействием на органы чувств не самого предмета или явления, а его чертежа.Тем самым чертежи дают возможность представить не только существующие,но и воображаемые объекты, отразить впечатления от внешнего мира, передатьих органам чувств и сохранить их в памяти.

Решающая роль в усвоении теоретических основ построения чертежей,приобретении навыков их выполнения и чтения, выработке умений синтезиро-вать отдельные изображения объекта в единый пространственный образ иразвитии вследствие этого пространственного воображения отводится графи-ческим и расчетно-графическим работам (РГР), выполняемым в процессеобучения студентами самостоятельно вручную на листе бумаги с помощьюпростейших чертежных инструментов: карандаша, ластика, циркуля, угольникаи линейки. Именно такая организация учебного процесса позволяет при условиисамостоятельных занятий студентов предметом добиться в отведенное для егоосвоения время желаемых результатов. Организации самостоятельной работыстудентов под руководством преподавателя при выполнении ими РГР поосновным разделам учебного курса НГ и посвящено это пособие.

Пособие состоит из 4-х глав, соответствующих 4-м выполняемым РГР:1) расчетно-графическая работа №1 «Чертежи поверхностей»; 2) р

Главные позиционные задачи»; 3) рМетрические задачи»; 4) р

Границы земляных работ». В каждой главе даются основныеопределения и теоретический материал по тематике РГР, формулируютсяусловия входящих в неё задач; приводятся сведения о вариантах заданий наРГР, указания и рекомендации по решению задач РГР, примеры поэтапноговыполнения этих задач.

Поэтапное выполнение задач предполагает, что каждому этапу решениязадачи соответствует отдельный чертеж, дополняемый на этом этапе необходи-мыми построениями. Естественно, что студент все построения, приводящие крешению задачи, осуществляет на одном чертеже.

РГР выполняют карандашом на листах ватмана формата А3 (297х420) иА4 (210х297). На каждом формате должны быть рамка чертежа и основнаянадпись. Рамка чертежа имеет форму прямоугольника, левая сторона, которогоудалена от левой границы формата на 20 мм, а остальные стороны – на 5 мм от

асчетно-графическая работа №2 « асчетно-графическая работа №3 « асчетно-графическаяработа №4 «

соответствующих границ формата. Формат А4 располагается только вертикаль-

– код кафедры; – номер РГР, например, 01для РГР №1; – номер варианта, например, 005 для варианта №5 или 012для варианта №12; 000 – три нуля, которыми заканчивается обозначениечертежей с рассматриваемыми в пособии РГР. В других случаях на месте нулеймогут указываться номера выполняемых деталей или задач.

Для всех задач РГР разработано по тридцать вариантов заданий. Номерварианта, присваиваемый студенту на эти РГР, соответствует номеру, подкоторым фамилия студента записана в журнале группы и (или) карточкепреподавателя.

Для примеров выполнения задач РГР разработан типовой 31-й вариантзаданий.

Координаты точек и размерные числа в условиях задач приведены в мм.Размеры в заданиях даются для вычерчивания условий задач и на чертеже ненаносятся.

Толщину и тип используемых при графических построениях линий уста-навливает ГОСТ 2.303–68.

Изначально задача выполняется в тонких линиях: для вычерчиванияпроекций линий видимого контура, линий связи, осей проекций, линийграфических построений и проекций несуществующих контурных линийприменяется тонкая сплошная линия; проекций линий невидимого контура –штриховая линия; осевых и центровых линий – тонкая штрихпунктирная линия.После проверки (проверок) задачи преподавателем с его разрешенияосуществляется обводка проекций линий видимого контура сплошной основнойлинией.

Надписи и обозначения на листах с задачами РГР выполняются стандарт-ным шрифтом по ГОСТ 2.304–81*. Высота шрифта для буквенно-цифровых обозна-чений – 5 мм, а для цифровых подстрочных и надстрочных индексов – 3,5 мм.

В задачах РГР используется система условных обозначений исокращений, принятая в лекционном курсе ], и практикуме [ ].[1 [2] 3

но (его короткая сторона должна занимать горизонтальное положение).В основной надписи чертежа с задачами указывают: обозначение

чертежа – 40. , где 40YY.XXX.000 YYXXX

4

5

Цели РГР №1 «Чертежи поверхностей» и одноименного раздела курсаначертательной геометрии (НГ) – изучить наиболее часто встречающиеся вдеталях современных машин поверхности; научиться представлять формыэтих поверхностей; задавать их на чертеже; читать чертежи поверхностей ипонимать какая поверхность изображена на чертеже; решать основнуюпозиционную задачу – строить точки на поверхности.

Приступать к РГР №1 следует, изучив раздел НГ «Задание геометричес-ких образов на чертеже», в частности, вопросы образования и задания

поверхностей. Этот раздел подробно рассматривается на лекциях,практических занятиях и в учебной литературе 1 . Поэтому напомним толькоосновные понятия и определения по данной тематике.

, согласно используемому в НГ способу её образования, –это совокупность всех последовательных положений некоторой линии,перемещающейся в пространстве по определенному закону.

Линия, перемещающаяся в пространстве и образующая поверхность,называется или .

Процесс перемещения образующей непрерывен.

, а не совокупностью всехпоследовательных положений одной движущейся образующей линии.

В этом случае, например, ( , ) – закон

образования конической поверхности, любая образующая которой – прямая,пересекающая кривую и проходящая через точку .

– это линия, которую пересекают всеобразующие линии поверхности, или точка, через которую проходят все еёобразующие линии (в примере кривая и точка , рис. 1.1).

– это геометрические образы (ГО),входящие в закон образования поверхности и позволяющие строить по немулюбую образующую поверхности (в примере это кривая и точка ).

Для каждой изучаемой поверхности можно привести– знаковую запись, в которой указаны образующая, определитель

и закон образования поверхности. Структура формулы:

Так, – формула конической поверхности ( :поверхности обозначаются прописными буквами греческого алфавита).

начертеже

[3] [ ]

Поверхность

образующей линией образующей поверхностиПоэтому поверхность

удобнее представлять её непрерывным каркасом – непрерывным множеством образующих линий поверхности

закон образования поверхности – закон построениялюбой образующей линии поверхности

Направляющая поверхности

Определитель поверхности

формулуповерхности

-

l a l T

a T

a T

a T

{l(a,T)(l a, l T)

l

Ф напоминание

1.1. Основные понятия и определения

1. РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА №1«ЧЕРТЕЖИ ПОВЕРХНОСТЕЙ»

i i

i

...{ ... ( ... ) ( ... ) }.обозначениеповерхности

образующаяповерхности

определительповерхности

закон образованияповерхности

ii

6

– совокупность проекций всех точекповерхности, являющаяся в общем случае бесконечным неупорядоченныммножеством точек. Поэтому поверхности, в отличие от точек и линий, обычно незадаются на чертеже своими проекциями, так как задавать бесконечноенеупорядоченное множество точек на чертеже бессмысленно и невозможно.

в широком смысле слова –.

поверхность задана на чертеже, есличертеж позволяет решать задачу на принадлежность точки данной поверхности.

точка принадлежитповерхности, если она принадлежит линии этой поверхности; сначала наповерхности строят линию, а затем на линии берут нужную точку, так как всеточки этой линии принадлежат данной поверхности.

В этом случае на чертеже можно построить проекции любойобразующей линии поверхности, а значит и проекции любой её точки.

Чертеж определителя поверхности называют её .Задача на принадлежность точки поверхности называется

(ОПЗ). ОПЗ имеет три формулировки:

Проекция поверхности

Чертеж конечное множество точек и линийна плоскости

Критерий заданности поверхности:

Условие принадлежности точки поверхности:

Согласно критерию заданности поверхности и условию принад-лежности точки поверхности для задания поверхности на чертежедостаточно задать на чертеже её определитель и знать закон образованияповерхности.

элементарным чертежомосновной

позиционной задачей• на чертеже задана поверхность; построить проекции произвольной точки,принадлежащей поверхности;

• на чертеже заданы поверхность и одна проекция точки, принадлежащейповерхности; построить вторую проекцию точки;

• на чертеже заданы поверхность и точка; определить, принадлежит точкаповерхности или нет.

– последовательность геометрических построений в пространстве, приводящих к решениюзадачи.

Согласно условию принадлежности точки поверхности ОПЗ выпол-няется по такому ПА:

Пространственный алгоритм (ПА) решения задачи -

• на поверхности строится линия;• точка задаётся (находится, ищется, берется) на этой линии.

– последовательность графическихпостроений на чертеже, приводящих к решению задачи.

Изучаемые поверхности можно условно разделить на линейчатыеповерхности и поверхности вращения. В основе такого деления – линия,используемая для построения точек на поверхности.

поверхности, образованные перемещениемпрямой линии (поверхности, получаемые при вращении прямой линии, включимв группу поверхностей вращения). Линейчатые поверхности, входящие в РГР:коническая, пирамидальная, цилиндрическая, призматическая и поверхности сплоскостью параллелизма.

Договоримся далее буквами и обозначать только прямые линии, абуквами и – окружности и их дуги.

Графический алгоритм (ГА)

Линейчатые поверхности –

l tm q

7

ПА построения произвольной точки на линейчатой поверхности :Точки на линейчатых поверхностях строят с помощью их образующих

прямых. M Ф

– строится произвольная образующая поверхности (дляэтого используют закон образования поверхности).

l lФ Фi. i

– точка берется на образующей .M l M li i.

Если кривая линия, то это формула конической поверхности; еслиломаная линия, то пирамидальной (в обоих случаях и точка не лежат водной плоскости); если прямая линия, то это формула плоскости.

На рисунке 1.1 решена ОПЗ в её первой формулировке для конической( ), пирамидальной ( ) поверхностей и плоскости ( ) – с помощью произвольнойобразующей построена произвольная точка указанных поверхностей.Поверхности на рис. 1.1 заданы элементарным чертежом – направляющейлинией и точкой . Проекции образующей построены по заданному законуобразования: , и , . Проекции точки расположенысоответственно на проекциях образующей : и .

– обобщенная формула конической и пирамидальной поверхностей.

Всеобразующие прямые конической и пирамидальной поверхностейпроходят через одну точку

i

1 21 1 2 2 2i i i i

1i i

2 2i

1 1

11

12

l2

l1

T2

T1

а б в

M2

M 1

a2

a 1i

i

11

12

l1

l2

T2

T1

M2

M1

a2

a1

i

i

11

12

l1

l2T2

T1

M2

M1

a2

a1

i

i

Рис. .11

Если кривая линия, то это формула цилиндрической поверхности; еслиломаная линия, то призматической (в обоих случаях линии и не лежат в

одной плоскости); если прямая линия, то это формула плоскости.

На рисунке 1.2на цилиндрической ( ), призматической ( ) поверхностях и

плоскости ( ). При этом , и , , а и .

– обобщенная формула цилиндрической ипризматической поверхностей.

У цилиндри-ческой и призматической поверхностей все образующие прямые парал-лельны друг другу

i

1 21 1 2i i i

1i

1 12i

2i

2 2

i

8

11

а б вa2

11

12

l2

M1

a2

a1

i

11

12

l1

l2

M2

M1

a2

a1

i

i

Рис. .21

l2

l2i

M2

M1

l1i

l1

12

l1l1i

l2

M2l2

l1a1

Прежде чем перейти к рассмотрению линейчатых поверхностей сплоскостью параллелизма, называемых также поверхностями Каталана,напомним о проецирующих плоскостях и их задании на чертеже. Дело втом, что плоскостями параллелизма при задании поверхностей Каталанаявляются проецирующие плоскости и плоскости уровня.

– плоскость, перпендикулярная к плоскости проекций (ПП) и проецирующаяся на эту ПП в прямую линию,называемую основной проекцией плоскости. обладаетсобирательным свойством – в неё проецируются все точки и фигурыпроецирующей плоскости.

Проецирующая плоскость

Основная проекция

Проецирующая плоскость задается на чертежеодной прямой линией – своей основной проекцией.

-

– плоскость, параллельная плоскости проекций,частный случай проецирующей плоскости.

Плоскость уровня

На рисунке 1.3 задана плоскость , соответственно проецирующая на( ), на ( ), параллельная ( ) и ( ). Знак « » означает проеци-

рую ГО, указанного левее зн ка, относительно ГО, укзанногоправее его. На каждом чертеже приведены проекции произвольной точки

.

S

M S

П П П Па б в гщее положение а

21 1 2

x

2

11

2

а б в г1 2 1 2

x

1

2

2

x

1

2

1

x1

2

–(поверхности Каталана).

Если направляющие линии и являются скрещивающимися прямыми,то поверхность называют гиперболическим параболоидом или косой плос-костью; если одна из направляющих прямая линия, а вторая кривая линия,

обобщенная формула линейчатойповерхности с плоскостью параллелизма

то поверхность называют коноидом; если обе направляющие являютсякривыми линиями, то поверхность называют цилиндроидом. Все образую-щие этих поверхностей пересекают две направляющие и параллельныплоскости параллелизма – см. закон образования поверхности.

Гиперболический параболоид и коноид называют прямыми, если пря-молинейная направляющая (для гиперболического параболоида – любая издвух) перпендикулярна к плоскости параллелизма.

Элементарные чертежи гиперболического параболоида, коноида ицилиндроида приведены соответственно на рис. 1.4 , рис. 1.4 и рис. 1.4 .Каждый чертеж состоит из проекций , и , направляющих и ,а также основной проекции плоскости параллелизма .

Кроме того, на рис. 1.4 для каждой перечисленной поверхности Фрешена ОПЗ в её второй формулировке, когда по одной проекции точкиповерхности (на рис. 1.4 и 1.4 была задана проекция , на рис. 1.4проекция ) строится её вторая проекция. Задачи решались с помощьюобразующих прямых , проходящих через точку . Проекцииобразующей строились по закону образования поверхности. Проекция

точки на рис. 1.4 и 1.4 была найдена согласно такому ГА:

а б в

а в б

а в

b b d d b d

MM

Ml M

lM M

D

Ф Ф

–

9

1. l M , l D .1 3.

2.

1 b , d .

1 = l b 2 = l d, .

5.

4. l 1 2, .

2

2

M l .

1 1 1 1 1 1

1 1 1 2 22 2

2 2

2 2

1 12 2

1

2

2

Проекция на рис. 1.4 искалась аналогично, начиная с проведе-ния , .

Ml M l

бD2

1

2 2 2

d1D1

D2

1

b2

b1

d2

d1

b2

b1

d2

d1

b 2

b1

d2

Рис. 1.4

вба

D

l2

l1

1222

M2

M 121

11

l2 M2

l1

12 22

1121

M2

M121

11

22

12

l2

l1

Поверхность вращения – поверхность, которая может быть полученавращением какой-то образующей вокруг неподвижной оси .a j

(вращение обозначается знаком или ).– обобщенная формула поверхности вращения

M1

10

Рис. 1.5

j

q

q

q

q

k

k

a

M

1

1

2

3

Ki

i

При вращении линии вокруг оси всеточки линии , например точка , вращаютсявокруг оси по окружностям , называемым

(рис. 1.5). Поэтому любая поверх-ность вращения несет на себе непрерывныйкаркас окружностей-параллелей .

В этойсвязи точку на поверхности вращения строятс помощью окружностей (параллелей) со-гласно ПА: .

Параллель наименьшего радиуса ( называют , а наибольшего ( –

(рис. 1.5). Параллель – границаили линия обреза отсека (см. ниже)

a ja K

j q

q

Mq

q q

q

параллелями

Плоскости параллелей перпендикулярны к оси вращения и на ПП, перпенди-кулярную к оси, параллели проецируются вокружности, а на другую ПП – в отрезки.

горломэкватором

-

Ф

Ф. Mq -q)

параллель )

поверхности.

i

i

i

i

. .1

3

1

2

Линии пои )

если – .

На рисунке 1.6 решена ОПЗ в первой формулировке для заданныхэлементарными чертежами закрытого тора ( ) и конической поверхностивращения ( ). В обоих случаях для построения произвольной точки поверх-ности использована окружность-параллель этой поверхности. Окружность

верхности, расположенные в плоскостях, проходящих через осьвращения, называют поверхности (на рис. 1.5 это линии .

В РГР встречаются торы и линейчатые поверхности вращения.– поверхность, которая может быть образована при вращении вокруг

оси окружности или её дуги, причем у тора ось вращения и образующаяокружность расположены в одной плоскости. Формула тора:

.Вместо точек в формуле записывают условие, раскрывающее взаимное

расположение образующей окружности и оси , в зависимости от которого. Если – окруж-

ность и ось не имеют общих точек, то тор называют открытым (кольцом);если – окружность и ось касаются, то тор называют закрытым (содной конической точкой); если – окружность и ось пересекаются, тотор называют пересекающимся или закрытым тором с двумя коническимиточками. укоторой центр образующей окружности находится на оси вращения.

образуется при вращении вокруг осипрямой линии: . Если , то образуется

; если – ;Положение образующей

прямой и оси вращения может указываться в первой круглой скобкеформулы, как это сделано в формуле тора.

меридианами

Тор

торможет быть открытым, закрытым и пересекающимся

Частным случаем пересекающегося тора является сфера,

Линейчатая поверхность вращенияцилиндрическая

поверхность вращения коническая поверхность вращения

k k

l j

Mq

j m

{m(m, j; ...)(m = m j)}

m jm j

m jm j m j

m j m j

j {l(l,j)(l = l j)} l jl j

Ф

ФФ

однополостный гиперболоид вращения

аб

i

i

i

i

i

i

11

q 1 m1 l

q

для тора образуется при вращении точки , а для конической поверхности – при вращении точки . Заметим, что ось вращения тора перпендикулярнак , а ось вращения конической поверхности перпендикулярна к . Поэтомудля тора параллель на проецируется в окружность и на в отрезок, перпендикулярный к оси, а для конической поверхности наоборот.

-

-П П

П П

i

1 2i

1 2

M2

M 1

j 2а

q 2

q 1

m 1

m2

j1 C 1q i

i

iM2

M 1

j 1

б

q 2

q 1

j2 C2qi

i

i

l1

l2

1 2

11

Рис. 1.6

– это часть («кусок») поверхности.– это элементарный

чертеж поверхности, дополненный проекциями контурных линий.

Следует понимать, что

Линия точек касания поверхности проецирующими прямыми существуеттолько у гладкой поверхности, являясь для неё линией видимости,отделяющей видимую часть поверхности от невидимой.

Преимуществом элементарного чертежа, позволяющего в принциперешать любую задачу, связанную с поверхностью, является его простота, асущественным недостатком – полное отсутствие наглядности. Отчастиэтого недостатка лишен основной чертеж поверхности.

Поверхность рассматривается как тончайшая непрозрачная оболочка.

-

Отсек поверхностиОсновной чертеж поверхности или его отсека

К контурным линиям поверхности относятся: линии точек касанияповерхности проецирующими прямыми, линии пересечения (перехода)или сопряжения поверхностей, когда поверхность состоит из кусковразных поверхностей (см. РГР №2), ребра гранных поверхностей(призматических и пирамидальных), границы отсека (линии обреза) –границы поверхностей и т. д.

контурные линии находятся на поверх-ности, а на чертеже изображают их проекции.

Положение и форма линий точек касания поверхности проецирующими прямыми (линий видимости) зависят от направленияпроецирования (взгляда).

1 2

1 1

12

1 1

12

T2

T1

M2

M1

l14

l13

l1i

l22

l21

A2

B2l2i

m2

m1

Рис. 1.7

Образующие прямые , – линии точеккасания поверхности проецирующими прямыми,перпендикулярными к , а образующие прямыеи – перпендикулярными к .

– контурныелинии или их части, точки которых обладаютследующим свойством: проецирующая прямая,проходящая через точку линии, не имеет другихобщих точек с поверхностью. Исключение –конкурирующие контурные линии, принадле-жащие проецирующим поверхностям.

Крайними контурными линиями отсека,изображенного на рис. 1.7, относительноявляются образующие , , точка и видимаядуга окружности ,

l l

l l

l l TBA m

ПП

П

Крайние контурные линии

Является ли контурная линия крайнейзависит от направления взгляда.

а относительно – обра-П

1 2

23 4

1

зующие , , точка и окружность , хотя она пересекается проецирующимина прямыми в двух точках. Здесь мы имеем дело с упомянутым исключе-нием: окружность расположена во фронтальной плоскости, проецирующейотносительно , поэтому конкурирующими относительно являются еёверхняя и нижняя полуокружности.

l l T m

mП

П П

Крайние контурные линии всегда видны относительно соответ-ствующей ПП.

Проекции крайних контурных линий на ПП образуют замкнутуюлинию, называемую очерком поверхности на этой ПП.

Проекции точек поверхности на элементарном и основном чертежах стро-ятся одинаково: см. рис. 1.2 и 1.7, на которых с помощью проекций и обра-зующей построены проекции и произвольной точки .

а l ll M M M l MФ Ф

21 2

13 4

1

i1 2

i

i1 2

i

На рисунке 1.7 приведен основной чертеж отсека коническойповерхности , границами которого являются окружностьи точка .

Ф{l(m,T)(l m, l T)} mT

i i

На рисунке 1.8 приведен основной чертеж отсека гиперболическогопараболоида , границами (линиями обре-за) которого являются направляющие прямые , и образующие и ,проходящие соответственно через точки и , заданные на прямой .

Для получения чертежа отсека гиперболического параболоида строятдостаточно плотный дискретный каркас образующих , включая образую-щие и . На рис. 1.8 образующие строились по заданному вформуле закону образования поверхности согласно такому ГА:

Ф П{t(b,d, )(t b; t d; t )}b d t t

A B b

tt A t B t

D D

1. t N t D .13.

2.

, d .

K = t d .

5.

4. .2

N b .

1 1 1

1 1 1 2 2

2 2

1 1

N b .2 2 .6

K

t KN

i i

i i ,

i i i2

21

i

21 i

1 1

1

E1

K 1

1d

D 1

B1

N 1t1i

1t2

1D

1

1

2d

2B

A

D2 2

2

A1

p

t1

t2i

2t1

1

K2

N2

2t2

22

2

12

b2

E2

b1

В результате полностью выявляют границы (линии обреза) отсекаповерхности – отрезки и направляющих и соответственно( , ) и отрезки и крайних контурных образую-щих и соответственно и получают возможность провести проекциюпараболы как огибающую проекций образующих (линия касаетсяфронтальной проекции каждой образующей поверхности). Парабола –линия касания поверхности проецирующими прямыми, перпендикуляр-ными к .

Ф=

ФП

[A,B] [D,E] b dD = t d E t d [A,D] [B,E]

t t pp t t p

t p

Направлениевçãлÿäа на П2 Рис. 1.8

1

2

2

12

i2

i2

i

2

При определении видимости контурных линий учитывалось, что край-ние относительно ПП контурные линии видны всегда, а поверхностьявляется непрозрачной оболочкой. Поэтому относительно все контурныелинии ( ; ; и ) видны.

Относительно , как крайние контурные линии, видны отрезок ,парабола , отрезок , а также отрезки и образующих исоответственно. Чтобы разобраться в видимости отрезков и , ис-пользовались конкурирующие точки и . Относительновидна точка – она ближе к наблюдателю (см. на проекции и с уче-том направления взгляда), следовательно, относительно виден отрезок

образующей и не виден отрезок образующей .

П

П

П

П

[A,B] [B,E] [E,D] [D,A][A,B]

p [D,E] [E,1] [2,A] t t[B,1] [D,2]

1 [B,E] 2 [A,D]1 1 2

[B,1] t [D,2] t

13

1

212

2

1 1

22 1

14

РГР №1 состоит из двух задач, выполняемых на горизонтальнорасположенном формате А3 в масштабе 1:1.

На поверхности , заданной элементарным черте-жом, построить проекции произвольной точки , принадлежащей ( ) ине лежащей на элементах определителя, записав ПА и ГА решения задачи.

Построить основной чертеж отсека той жеповерхности , ограниченного указанными в задании границами (линиямиобреза) поверхности.

Варианты заданий к РГР №1 приведены в пособии 3 .Рекомендации для студентов по выбору номера варианта РГР даны во

введении данного пособия.

Условие задачи №1.

Условие задачи №2.

ФФ Ф

Ф

M M

[ ]

1.2. Пояснения и рекомендации к выполнению РГР №1

Рекомендуемая последовательность выполнения РГР №1По приведенным в задании формуле поверхности и её элементарно

му чертежу определяют название этой поверхности и в верхней части форматачертежным шрифтом выполняют запись: .

Формат условно делят на две части, правую и левую, в каждой изкоторых тонкими линиями по заданным размерам в масштабе 1:1 вычерчиваютэлементарный чертеж поверхности , задавая на чертеже проекции элементовеё определителя, записанных в первых круглых скобках формулы.

1.

2.

Ф

Ф такаÿ-то поверхность

Ф

-

{ ... } –

В правой части формата, где будет выполняться задача №1, оставляетсяместо для записи условия этой задачи: а также ПА и ГА её решения. Наэлементарном чертеже в левой части формата, где будет решаться задача №2,задают геометрические образы, определяющие положение границ отсекаповерхности, который надо построить в задаче, а на свободном месте этойчасти формата выполняют запись о линиях, являющихся границами отсека.

M Ф,

Решают задачу №1 – ОПЗ в её первой формулировке, осуществляяследующие действия.

3.

3.1. Записывают ПА – план решения задачи.Точка на линейчатой поверхности строится согласно ПА, приведен-

ному на с. 7, а на поверхности вращения – согласно ПА, приведенному на с. 10.3.2. На чертеже в зависимости от заданной поверхности согласно тому или

иному ПА строят тонкими линиями проекции произвольной точки и запи-сывают ГА решения задачи, раскрывающий эти построения.

Решают задачу №2, строя основной чертеж отсека поверхности.

Для этого необходимо дополнить заданный элементарный чертежпроекциями контурных линий – линий точек касания поверхности проецирую-щими прямыми, рёбер для гранных поверхностей и границ отсеков. Напрактических занятиях студенты в упражнении 5 пособия 3 выполняютпостроение основных чертежей отсеков конической, цилиндрической ипризматической поверхностей, сферы, тора и однополостного гипербо-лоида вращения.

M

M

ФФ

ФФ

Ф4.По условию задачи границы задают большую часть

отсека поверхности, если этот отсек не задается границами.

сзаданными границами

однозначно

[ ]

15

45

l145

30

l2

D g11

1

50

m1

m2

D k2 2

Ф{l(m,l)(l m, l l)}i i

Границы отсека: m, k , gD D1На рисунке 1.9 приведен 31-й ва-

риант задания на РГР №1, которыйбудет использоваться в .примере 1.1

В задание входят (рис. 1.9): фор-мула поверхности, её элементарныйчертеж, указания о границах отсекаповерхности (для второй задачи) иразмеры. Размеры, приведенные взадании, на чертеже не наносятся: ониданы для вычерчивания проекцийэлементов определителя поверхности

и определения положения границотсека.Ф

Условия задачи №1 и задачи №2РГР №1 приведены в разделе 1.2 нас. 14. О проецирующих плоскостях, ис-пользуемых в задаче №2, см. рис. 1.3и комментарии к нему на с. 8 пособия.

Рис. 1.9

4.1. Строят проекции линий касания поверхности проецирующимимыми для гладких поверхностей или рёбер для гранных

Линиями точек касания поверхности проецирующими прямыми являются:• крайние контурные относительно плоскостей проекций образующиепрямые для цилиндрической или конической поверхностей;

• главный меридиан поверхности вращения;• экватор для большинства торов, включая сферу, и горло для однополост-ного гиперболоида вращения и некоторых торов.

4.2. Строят проекции границ отсеков .Границами отсеков поверхностей в РГР №1 могут быть элементы

определителя поверхности; образующие прямые для линейчатых поверхностей;окружности-параллели для поверхностей вращения, образующиеся привращении указанных в задании точек вокруг оси вращения; линииповерхностей, одна проекция которых известна, – это линии, расположенные впроецирующих плоскостях, или непосредственно заданные одной проекцией.

решать ОПЗ во 2-й её формулировке, когда по известной проекции точкиповерхности ищется её вторая проекция.

точек пря-поверхностей.

(линий обреза)

Для построения неизвестной проекции границы отсека часто приходится

4.3. Определяют видимость контурных линий построенного отсека поверх-ности, проекции которых обводятся соответствующим типом линий: основнойлинией, если контурная линия видна относительно ПП, и штриховой линией,если контурная линия относительно ПП не видна.

1.3. Примеры выполнения РГР №1

16

Нумерация пунктов при описании решения примера 1.1 соответствуетнумерации рекомендаций по выполнению РГР №1, изложенных в разделе 1.2.

Согласно приведенной в примере 1.1 – цилиндрическаяповерхность, относящаяся к линейчатым поверхностям. В верхней частиформата посередине стандартным шрифтом выполняют надпись (рис. 1.10):

– .В правой части формата над основной надписью по заданным размерам

тонкими линиями вычерчивают элементарный чертеж поверхности – проекции ,направляющей окружности и проекции , образующей , которой па-

раллельны все образующие поверхности (рис. 1.10). Правее чертежа пишутусловие задачи и оставляют место для записи ПА и ГА её решения.

В левой части формата также изображают элементарный чертеж поверх-ности и дополнительно – проекции и плоскостей и , в которыхрасположены соответственно линии и – границы отсека поверхности,который надо построить (рис. 1.10). На свободном месте в левом верхнем углуэтой части наносят надпись о линиях, являющихся границами отсека.

Ещё раз обращаем внимание, что размеры на чертежах не проставляются.Выполняют задачу №1, строя на чертеже в правой части формата

проекции произвольной точки цилиндрической поверхности .3.1. Под условием задачи ( ) записывают ПА решения задачи.

Поскольку поверхность линейчатая, точка на ней строится спроизвольной образующей по следующему ПА: . . . (рис. 1.11).

3.2. Строят проекции произвольной точки и записывают ГА решения задачи.Прямые и – проекции произвольной образующей строятся по

закону образования поверхности – . Согласно этому закону всеобразующие прямые пересекают направляющую окружность идруг другу. Так как , то , , а так как

1.

2.

3.

Ф

Ф цилинäрическаÿ поверхность

Ф

Ф

ФФ

ФФ

ФФ

Ф

формуле,

помощью

параллельны, то , .

{l(m,l)(l m, l l)}

mm m l l l

M

k g

MM

Ml l M l

Ml l l

l m, l lm

l m l m l m

№1:

D D D D

l l l l l l

Построение проекций точки на рис. 1.11 осуществляется последующему ГА.

M

i i

2

1

21

112

1

i i i

ii i21

i i

i i i1 2 21 1

i i1

i2 2

– находят точку пересечения и (точка – точкапересечения и ).

2. 1 = l m 1 l m 1l m

– проводят произвольную прямую , пересекающуюи параллельную .

1. ,l m l l lm l

1 1

i

1

1

– находят точку как точку пересечения линии связи, проведенной из точки , с линией .

3. 1 = (1 ,1 ) m 1(1 ,1 ) 1 m

2 2 2

i

1

i1i

1 1

1

1 1

1

i1 1

2

1 2 1 2

– через точку параллельно проводят прямую .4. l 1 , l l 1 l l2 2 2i

2i

2 2 2i

– на прямой берут произвольную точку .1. M l l M1 1i

11i

– на линии связи ходят.

2 MM

. M = (M ,M ) l l (M , )с помощью на точку2 2 21i

2i

212

Рис. 1.10

17

Рис. 1.11

18

19

Данный ГА без комментариев записывается наформате (рис. 1.11).Заметим, что на -м этапе построение проекций образующей можно

было начать с построения проекции , а на -м этапе можно было сначала взятьточку на .

В левой части формата строят основной чертеж отсека цилиндрическойповерхности .

4.1. Линиями касания цилиндрической поверхности проецирующими напрямыми являются крайние контурные относительно образующие и , а

проецирующими на прямыми – крайние контурные относительно обра-зующие и (левая часть рис. 1.11).

Проекции и образующей заданы на чертеже как проекции элемен-та определителя, проекцию образующей проводят параллельно черезлевый конец отрезка точку , а проекцию образующей – параллельночерез точку . Образующие и начинают строить с проекций

и , параллельных и касающихся окружности в точках и соот-ветственно. Проекции и параллельны и проходят через точки

и (рис. 1.11).Заметим, что и относительно , а и относительно являются

рядовыми образующими (см. на их проекции , , , на рис. 1.11).4.2. Строят проекции границ отсека линий и .

Граница отсека окружность задана на чертеже своими проекциями какэлемент определителя поверхности.

Границы отсека кривые и расположены в проецирующих плоскостяхи соответственно.

На рисунке 1.11 и последующих рисунках плоскости и с проекциями

ll

M l

l l

l ll l l

l l lm D l l l

D = (D ,D ) m l ll l l m A B

l l l A == (A , A ) m B = (B , B ) m

l l l ll l l lk g

m

k g

4.Ф

ФП П

П П

П П

D D

D DD D

i

2i

2 2i

2 21

1 12 3

2 112

12

2 2 11 1

1

1 1 122 3

2 31 1 1 1 1 1

22

23

2 2

2 2 2 2 211

12 3

2

1 1 2 22 31

1

1

1

1

Проекция кривой строится по её известной проекции и условиюпринадлежности цилиндрической поверхности . Чтобы построить проекцию

произвольной точки , на берут произвольную точку – фронталь-ную проекцию точки и ищут с помощью образующей цилиндрическойповерхности согласно следующему ГА (рис. 1.11 и 1.12).

k k kk

M k M k k MM M l

Ф1 2

1 1 2 2

1i

– ищут точку , в которой пересекает .3 E l m E l m. = i2 2 2 2

i2 2

– на отрезке берут произвольную точку .1. M k k M2 2 2 2

– через точку параллельно проводят прямую– проекцию образующей цилиндрической поверх-

ности.

2. l M , l l M ll l

2 2 2i

2i

2 2

2i i

k gk k g g k [1 ,2 ] 1 = l

2 = l g [5 ,9 ] 5 = m 9 = lk g k g

и обозначены иначе, чем на рис. 1.9 и 1.10. Так как , а , топроекции кривой и кривой известны: – отрезок , где ,

, а – отрезок , где , (рис. 1.11 и 1.12).Заметим, что и – эллипсы, неизвестные проекции и которых строятсяприближенно по точкам.

D DD

D D D

П П2 1 21

1

2 1 2 2 2 2 2 2

2 2 21

1 1 1 1 1 1 1 1 11 12

1 2

3 E l m .. = i1 1 1

5. l E , l l .2 2 2i

2i

1. N g .1 1

6. N = (N ,N ) l .2 2 21i

2. l N , l l .1 1 1i

1i

4. E = (E ,E ) m .12 2 2

20

– через точку параллельно проводят прямую .5. l E , l l E l l1 1 1i

1i

1 1 1i

– линии связи на ходят.

6. M = (M ,M ) l (M , ) lMMс помощью на точку1 1 12

i1i

12

1

– линии связи на ходят.

4. E = (E ,E ) m (E ,E ) mEс помощью на точку21 2 11 1 1

1

Аналогично по заданной проекции строится проекция кривой ,только известными здесь являются горизонтальные проекции точек. Построениепроекции произвольной точки с помощью образующей можноописать следующим образом (рис. 1.11 и 1.12).

g g g

N N g l Ф

1

2i

2

Обязательными для построения являются характерные точки линий и, расположенные на контурных линиях цилиндрической поверхности. Длялинии характерными являются точки , , и , а для линии– точки , , , и (рис. 1.12).

Чтобы более точно выявить формы линий и ,строят ещё несколько произвольных точек этих линий, не занных и

не обозначенных Через соответствующие построенныхточек плавными тонкими линиями проводят (рис. 1.12).

На рисунке 1.12 не обозначены проекции , , , , , .

kg

k 1 l 2 l 3 l 4 lg 5 m 6 l 7 m 8 l 9 l

k g

A A D D E E

аналогично точками пока

на рисунках. проекциикривые и

M N

k g

1 32

1 2

21

1 2

1 2 2 21 14.3. Определяют видимость контурных линий отсека цилиндрической

поверхности относительно ПП и , учитывая, что цилиндрической поверхностине существует выше плоскости , ниже окружности и перед плоскостью , т. е., , – верхняя, нижняя и ближняя границы отсека соответственно.

Напомним, что крайние контурные относительно ПП линии поверхностивсегда видны. Поэтому относительно , как крайние контурные линии, видны(см. рис. 1.12): дуга окружности между точками и ; образующая междуточками и ; дуга линии с точками , , ; образующая между точками и; линия между точками и (см. рис. 1.13). Крайними контурными линиямиотсека относительно являются (см. рис. 1.12): дуга линии между точками

; образующая между точками и ; линия между точками и ;образующая между точками и ; дуга линии между точками и ; дугаокружности между точками и (см. рис. 1.13).

Остается решить вопрос видимости дуги линии с точками , , , дугиокружности между точками и относительно и дуги линии междуточками и относительно (см. рис. 1.12). Так как выше линии и ближелинии цилиндрической поверхности нет, то линия вся видна относительно ,а линия – относительно (рис. 1.13). Дуга окружности находится под

П П

П

П

ПП

ПП

D Dmk m g

m 5 B lB 4 k 4 1 3 l 3

9 g 9 5g 5

6 l 6 2 k 2 1l 1 8 g 8 7m 7 5

k 4 2 3m B 7 g

6 8 kg k

g m

и

1 21

1

1 2

2

2

1

3

1

2

1

2

21

Рис. 1.12

22

Рис. 1.13

23

i

321

1 22 2 1 1

31 2

Задание к показано на рис. 1.14.примеру 1.2Согласно приведенным на

рис. 1.14 формуле и чертежу в примере 1.2поверхность Ф – пересекающийся тор,относящийся к поверхностям вращения.Заданный тор образуется при вращениидуги окружности вокруг оси , перпен-дикулярной к . В верхней части форматапосередине чертежным шрифтом выпол-няют надпись: Ф –пересекающийся тор (рис. 1.15).

В правой части формата надосновной надписью по заданным размерамтонкими линиями вычерчивают элемен-тарный чертеж поверхности, состоящий изпроекций , дуги образующей окружности и проекций , оси вращения(рис. 1.15). Правее чертежа записываютусловие задачи №1: и оставляютместо для записи ПА и ГА её решения.

1.

2.

m j

{m(m,j; m j)(m = m j)}

m mm j j j

M

П

Ф

-

В левой части формата такжеизображают элементарный чертеж поверх-ности , на котором дополнительно задаютпроекции точки , образующей при

ФA m

i

1

21

21

цилиндрической поверхностью и закрыта ей, поэтому относительно она невидна (рис. 1.13).

Выполнив в задачах №1 и №2 все необходимые построения в тонкихлиниях, чертеж предъявляют преподавателю и после его разрешения, убравненужные элементы и обозначения, обводят (рис. 1.13).

В задаче №1 основной сплошной линией толщиной = 0,8...1 мм обводятпроекции элементов определителя окружности и образующей , проекцииобразующей обводят основной линией или, как на рис. 1.13, линией толщиной ,линии связи изображают тонкими сплошными линиями (рис. 1.11, 1.12 и 1.13).

Как указывалось во введении, в задаче №2 проекции всех видимыхконтурных линий обводят основной линией, невидимых контурных линий –штриховой линией. Проекции несуществующих после построения отсекаконтурных линий показывают тонкими линиями (рис. 1.13).

На рисунке 1.13 не показаны обозначения проекций точек , , , ,проекции образующих , , и обозначения проекций , , .

При заполнении основной надписи учитывали, что пример 1.1 соответ-ствует 31 варианту задания на РГР №1 (см. Введение). На рис. 1.13 приведенитоговый чертеж с полностью выполненным примером 1.1.

П

S

S/2(S/3)

m ll

1 ... 9 Bl l l l l l

1

30

D k2 2

Ф{m(m,j; m j)(m =m j)}i

Границы отсека: n=A j, k , gD D1

Рис. 1.14

j2

R80

A2

A1

j1

m2

m1

D g11

1

20 40 50

24

Рис. 1.15

25

вращении границу , и проекции , плоскостей , , в которых распо-ложены границы отсека линии и соответственно. На свободном месте влевом верхнем углу над чертежом наносят надпись о линиях, являющихсяграницами отсека (рис. 1.15).

Выполняют задачу №1, строя на чертеже в правой части форматапроекции произвольной точки .

3.1. Под условием задачи ( записывают ПА её решения.Так как поверхность – поверхность вращения, то точка на ней строится

с помощью окружности-параллели согласноПА: (рис. 1.16).

nk g

MM

Mq q M q

D D D D

3.Ф

ФФ

Ф.

)

3.2. Строят проекции произвольной точки и записывают ГА решениязадачи.

Поскольку ось вращения – проецирующая на , то окружность-парал-лель на проецируется в окружность , а на – в отрезок . Длинаотрезка равна диаметру окружности . Так как параллели образуются

образующей окружности при её вращении вокруг оси , то центры всехпараллелей расположены на .

Построение проекций точки при решении задачи №1 в правой частирис. 1.16 выполнялось по следующему ГА.

M

jq q q

q qm j C

q jM

Ф

ПП П

точ-ками

. .i i i

2 11 1

1i

1i1 2

i2

i2 1

i

i

– на нашли точку – проекцию точки образующей, которая при вращении образует параллель .

2. 1 = q m m 1 1m q

– из центра провели произвольную окружность ,пересекающую проекцию образующей .

1. ,q m C j j qm m

1 1

i

1

1

– с помощью линии связи на нашли точку .3. 1 = (1 ,1 ) m (1 ,1 ) m 12 2 2

ii1

1 1

1

1 1

1

1

21 2 2

– перпендикулярно к через точку провели отрезок– фронтальную проекцию параллели .

4. q 1 , q j j 1q q

2 2 2i

2i

2 2

2i

– на окружности взяли произвольную точку .1. M q q M1 1i

11i

1

i

i

– на отрезке линии связи.

2 MM

. M = (M ,M ) q q (M , )с помощьюнашли точку

2 2 21i

2i

21

2

q

Данный ГА без комментариев записывается на формате (рис. 1.16).Заметим, что построение проекций параллели на -м этапе можно было

начать с проекции , а на этапе сначала можно было взять .В левой части формата строят основной чертеж отсека тора .

4.1. Линиями касания тора проецирующими относительно прямымиявляется меридиан тора, состоящий из дуги образующей окружности

определителя тора и дуги образующей окружности , длякоторой дугу окружности поворачивают вокруг оси на 180 (рис. 1.16).

Линией касания тора проецирующими относительно прямымиявляется окружность , которая образуется при вращении вокруг оси точки ипроецируется на в окружность , на – в отрезок (рис. 1.16). По форме дугиокружности и положению на ней точки можно утверждать, что окружность– экватор тора.

qq M q

mm

m j

n j An n

m An

4. ФФ П

Ф П

П П

– эле-мента построений

О

i

2

1

2

2i

1

1 1 2

q

2i

2

26

Рис. 1.16

4.2. Строят проекции границ отсека тора.Нижней границей отсека тора является окружность ; верхней границей

кривая (эллипс), расположенная в – кривая ,расположенная в плоскости .

Проекцию кривой и проекцию кривой строят по известнымпроекциям и соответственно и условию принадлежности и тору. Точкина торе ищутся с помощью параллелей, которые на проецируются в окруж-ности (ось вращения тора ), а на – в отрезки.

Построение проекции произвольной точки и проекции произ-вольной точки с использованием параллели , показанное на рис. 1.16 в еголевой части, осуществлялось по следующему ГА.

nk g

g g k kg k g k

jN N g M

M k q

–плоскости ; ближнейТак как плоскость , а плоскость

, то проекции и кривых и известны: и(рис. 1.16). На рис. 1.16 и последующих рисунках плоскости , и проекции и

обозначены иначе, чем на рис. 1.14 и 1.15.

DD

D D D D DD D

ПП

ПD П

ПП П

k g k g k gk

g

27

12

1 21

1 121

2 2 1 11

12

1

2 1

1 2

1

21

2 1i

– нашли проекцию точки , которая, вращаясьвокруг оси , образует параллель .

3 B q m B B mj q

. =Ф

1 1 1

– через точку перпендикулярно к провелиотрезок .

5. q B , q j B jq

2 2 22

– на проекции взяли произвольную точку .1. N g g N1 1

– через точку из центра провели окружность .2. q N , C j N j q1 1 11 1i

– на линии связи шли проекциюи .

4. B = (B ,B ) m mB B

с помощью наточк

12 22 2

2

i q

1 1

1

i1

1i

i i2 2

2i

– на отрезке , проведя линию связи из , нашлиточку .

6. N = (N ,N ) q q NN

2 2 21i

2i

1

2– в точке пересечения линий и расположенапроекция точки .

7. =M q k q kM M k

2 2 2i

2i

2

28 – проведя из линию связи, на нашли проек-

цию точки .. M = (M ,M ) q M q

M M21 21 1

i1i

1

Аналогичный результат можно было получить, взяв на произвольнуюточку и начав строить проекции параллели с проекции и .

Одной проекцией на поверхности тора задаются две конкурирующиеотносительно точки. Их горизонтальные проекции точки и расположены на окружности на одной линии связи с . Заметим также, что на параллели

расположены две точки кривой – точка и точка (рис. 1.16).Таким образом можно строить любое количество горизонтальных

проекций точек линии и фронтальных проекций точек линии для проведения через них кривых и соответственно. Некоторые эти проекциипоказаны, но не обозначены на рис. 1.17. Не обозначены на рис. 1.17, как и нарис. 1.18, точки , , и .

kM q q M q j

MM M

q Mq g N N

k gk g

N N M C

П -

-

i2 2

1

12 1

2

2i i

2

2

2 1 1

2

2

1i

i 1

1

1q

1

1 1 1

28

Характерными точками эллипса являются самые левая и верхняяточка , правая и нижняя точка , ближняя точка и дальняя точка (рис. 1.1 ).Точка , точка , поэтому их горизонтальные проекции ищутся поизвестным проекциям и с помощью линии связи. Точки и на прое-цируются в точку – середину отрезка (рис. 1.1 ). Проекции и най-дены с использованием параллели, проходящей через точку , так, как искаласьпроекция точки .

Для кривой характерными являются (рис. 1.17) точки и , располо-женные на граничной параллели , и точка – самая верхняя точка . Еёпроекция известна – это середина отрезка , а проекция ищется попроекции с помощью параллели, проходящей через точку и касающейсяплоскости .

Через построенные проекции соответствующих точек плавными тонкимилиниями проводят проекции и границ и (рис. 1.17).

4.3. Определяют видимость контурных линий отсека тора относительно ППи , учитывая что поверхности не существует выше линии , ниже линии

и ближе линии (рис. 1.17 и 1.18).Относительно видны крайние контурные линии отсека – большая

часть окружности , находящаяся за плоскостью и отрезки линии , а такжедуга эллипса верхняя граница. Видимыми относительно являютсяконтурные линии , дуги меридианов и

Проекции всех перечисленных контур-ных линий обведены на рис. 1.18 основной линией.

k1 2 3 31 m 2 m

1 2 3 33 [1 ,2 ] 3 3

3M M k

g 4 5n 6 g

6 [4 ,5 ] 66 6

k g k g

k ng

nk

m m

1 2 6

7

7П

П П

П

П

D

D ,– крайние

, , а также дуги линии – самойближней к наблюдателю границы отсека.

Выполнив задачи №1 и №2 в тонких линиях, чертеж с разрешенияпреподавателя обводят, убрав с него некоторые элементы и обозначения.Например, на рис. 1.18 оставлены линии, используемые для построения точек, , , , ..., , но убраны обозначения проекций точек , , ..., .

На рис. 1.18 приведен итоговый чертеж с полностью выполненнымпримером 1.2. Рекомендации по обводке чертежа на рис. 1.18 и егообозначению такие же, как для примера 1.1 на с. 23.

g

n k g

M N 1 2 6

2

2

2 2 11

1

1 1 2

1

1

2

1 2

11

2

1

1

1

1

2 21

1

1

29

Рис. 1.17

30

Рис. 1.18

Из множества позиционных задач выделяют две главные позиционныезадачи (ГПЗ): первая ГПЗ (1ГПЗ) – задача на пересечение линии иповерхности; вторая ГПЗ (2ГПЗ) – задача на пересечение двух поверхностей.

Линию называют проецирующей относительно плоскости проекций(ПП), если все точки линии проецируются на эту ПП в одну точку,называемую основной проекцией линии. Поверхность называют прое-цирующей относительно ПП, если все точки поверхности проецируются наэту ПП в линию, называемую основной проекцией поверхности.

Все точкипроецирующей прямой являются конкурирующими в ихвидимости относительно той ПП, к которой прямаяперпендикулярна.

Приступая к выполнению РГР №2 «Главные позиционные задачи», необ-ходимо разобраться в вопросах образования поверхностей и задания их начертеже; уметь решать основную позиционную задачу (ОПЗ) – задачу на принад-лежность точки поверхности; знать, какие геометрические образы (ГО) являютсяпроецирующими и какими свойствами они обладают; знать алгоритмы решенияГПЗ и уметь их использовать; знать, что такое геометрические тела. Образо-вание поверхностей, задание их на чертеже, решение ОПЗ – см. РГР №1.

Проецирующими при ортогональном проецировании из линий можетбыть только прямая линия, а из поверхностей – плоскость (её основнаяпроекция – прямая линия), цилиндрическая и призматическая поверхности (ихосновные проекции – кривая и ломаная линии соответственно). Можно сказать,что проецирующий относительно ПП ГО к этой ПП перпендикулярен.

Символ « » далее обозначает «Геометрический образ, проецирующийна или относительно...» (для ГО, записанного левее символа).

На рисунке 2.1 задана горизонтально проецирующая прямая , перпенди-кулярная к . Все точки прямой , в том числе точки и ,проецируются на в точку – основную проекцию прямой. Так как , то , поэтому отрезок проецируетсяна в натуральную величину: | | | |.

Из двух конкурирующих точек иотносительно видна точка , так как она дальше от иближе к наблюдателю (см. и на рис. 2.1).

о проецирующих плоскостях и плос-костях уровня см. с. 8 и рис. 1.3. Проецирующая плоскостьзадается на чертеже своей основной проекцией – прямой, вкоторую проецируются все точки плоскости. На рис. 2.2прямой задана фронтально проецирующая плоскость ( ) и принадле-жащие ей точка , прямая и кривая , так как , , .

aa A B

aa a a [A,B]

A,B = A ,B

A BB

B A

M l k M l k

ПП

П ПП

П П

П

Напоминание:

аS S S

S

B2

A2

A B,

a

a

1 A1 B1

Рис. .2 1

Направление вçãлÿäанаблюäателÿ на П1

2

31

2.1. Теоретические основы решения главных позиционных задач.Содержание РГР №2

2. РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА №2«ГЛАВНЫЕ ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ»

2

1

1

1

1

2

2

2

1 1

2 2

2 2

2 2 2 2

Частным случаем проецирующей плоскости является плоскость уровня,параллельная ПП. На рис. 2.2 задана плоскость .б S П

Цилиндрическая и призматическая поверхности занимают проецирую-щее относительно ПП положение, если образующие прямые указанных поверх-ностей являются проецирующими на эту ПП, т. е. проецируются на неё в точки.

На рисунке 2.2 задана проецирующая на цилиндрическая поверхность, на рис. 2.2 – проецирующая на призматическая поверхность . Окруж-

ность и треугольник – основные проекции указанных проецирующихповерхностей. Все точки цилиндрической поверхности проецируютсяна в окружность , а все точки призматической поверхности прое-цируются на в треугольник ( и ).

вг

ПП

ПП П

П Ф Ф

F YF Y

FF Y

Y Y YM M M M

32

1

2

2 1

1 1

2

2 2 1

M2

Ф

t2

l22

l1

M 1t1

M1

M2

Y 1

Рис. 2.2

а

M

Ml

l2

2

1

1

x 21

k1

k2 S2

x 21

S1

б в г

Вывод: основные проекции проецирующих ГО обладают собирательным свойством – на основные проекции проецируются все точкипроецирующих ГО.

-

ГПЗ решаются согласно трём алгоритмам, соответствующим трёмвозможным случаям расположения пересекающихся ГО относительноплоскостей проекций:

• 1-й случай 1ГПЗ и 2ГПЗ (1ГПЗ–1 и 2ГПЗ–1) – оба пересекающихся ГОявляются проецирующими;

• 2-й случай 1ГПЗ и 2ГПЗ (1ГПЗ–2 и 2ГПЗ–2) – один пересекающийся ГОявляется проецирующим, а второй нет;

• 3-й случай 1ГПЗ и 2ГПЗ (1ГПЗ–3 и 2ГПЗ–3) – оба пересекающихся ГОнепроецирующие.При выполнении ГПЗ должны учитываться следующие условия:

• алгоритмы решения 1ГПЗ для всех 3-х возможных случаев расположенияпересекающихся линии и поверхности относительно ПП основанына

;• алгоритмы решения 2ГПЗ для всех 3-х возможных случаев расположенияпересекающихся поверхностей относительно ПП основаны на :

•

условии 1: точка пересечения линии и поверхности принадлежити линии, и поверхности

условии 2линия пересечения принадлежит обеим пересекающимся поверхностям;условие 3: поверхность является тончайшей непрозрачной оболочкой;

2

2 2 1 1

В рассматриваемом в разделе случае пересекаются два проецирую-щих ГО. ГПЗ решаются согласно следующему алгоритму.

1. Искомый общий элемент (точка пересечения для 1ГПЗ и линия пере-сечения для 2ГПЗ) непосредственно задан на чертеже.

2. Его проекции принадлежат основным проекциям пересекающихся ГО.3. Решение задачи сводится к простановке соответствующих обозначений.В основе этого алгоритма – условия 1 и 2, согласно которым искомая

точка или линия пересечения принадлежат обоим пересекающимся ГО, а такжесобирательное свойство основных проекций проецирующих ГО.

Примеры решения 1ГПЗ–1 иллюстрирует рис. 2.3, а примеры решения2ГПЗ–1 – рис. 2.4.

На рисунке 2.3 фронтально проецирующая прямаяа aM = a M a

MM a

a aa M = a

M M a

M Na

пересекается в точ-ке с горизонтально проецирующей плоскостью . Так как , то ,

и . Поэтому решение задачи сводилось кнанесению обозначений (в основнуюпроекцию прямой точку проеци-руются все точки прямой ) и (всеточки плоскости проецируются в её основ-ную проекцию , а и ).

На рисунке 2.3 обозначены проекции точеки , в которых горизонтально проецирующая

прямая пересекается с фронтально проецирую-щей призматической поверхностью . Так как

D M DD

DDD D

П

П

Ф

б

2. . Решение ГПЗ в первом случае расположенияпересекающихся ГО относительно плоскостей проекций (ГПЗ–1)

2

aM

N

2

2

2

M N a1 1 1

D1

a1

Ma 22

ба

Рис. .2 3

2 2

2 2

1 1 1

1

1

•

•

• видимые существующие контуры поверхностей обводятсяосновной линией, невидимые существующие контуры поверхностей –штриховой линией, несуществующие в результате пересечения контурныелинии поверхностей – тонкой сплошной линией.Алгоритмы и примеры решения ГПЗ приводятся ниже.В РГР №2 входят три задачи: задача №1 выполняемая

с использованием 2ГПЗ на листе ватмана формата А4, расположенномвертикально

условие 4: видимость точек поверхности относительно ПП может ме-няться только на крайних относительно этой ПП контурных линиях;условие 5: пересекающиеся поверхности образуют единую фигуру ипри пересечении друг в друга не проникают;условие 6:

– задача 1ГПЗ–3,–2

; задачи №2 и №3, выполняемые на одном горизонтальнорасположенном листе ватмана формата А3, – задачи на построениеизображений геометрических тел с вырезами, решаемые с использованием2ГПЗ–1 и 2ГПЗ–2.

Такой выбор задач для РГР №2 обусловлен тем, что на практике при по-строении технических чертежей ГО наиболее часто приходится выполнять 2ГПЗ–1,2ГПЗ–2 и 1ГПЗ–3. Поэтому и на экзамене по теме «Главные позиционныезадачи» студенты решают 2ГПЗ–2 и 1ГПЗ–3 (2ГПЗ–1 имеет очевидное решение).

33

F2

M1

M = a NиФ , то согласно условию 1 точки и принадлежат прямойи поверхности Ф. Поэтому (все точки прямой проеци-руются в её основную проекцию точку ) и ,

, находятся также на прямой ). Отрезокпрямой , находящийся внутри призматической поверхности , виден относитель-но , поскольку поверхность рассматривается как оболочка – условие 3.

На рисунке 2.4 обозначены проекции и линии

пересечения фронтальнопроецирующей плоскости сгоризонтально проецирующейцилиндрической поверхностью. Так как , то линия

принадлежит и плоскости , иповерхности . Поэтому обо-значают и : (всеточки цилиндрической поверх-ности проецируются веё основную проекцию окруж-ность на ) и(все точки плоскости проецируются в её основную проекцию прямую

на , причем – это только отрезок прямой , расположенный в границахизображения цилиндрической поверхности на ). Линия , проецируясь на

в окружность, а на в отрезок, в действительности является эллипсом.

= a M N aM N a a

a M = a N = a

M N a [M ,N ]a

k kk

k = k

k k k

k

kk

ФП

Ф ФФ П

ФФ

П

Ф Ф

ФФ

Ф П

Ф ПП

ПП

П П

(все точкипризматической поверхности проецируются в её основную проекциютреугольник , но точки

-а

D

DD

DD

D D

На рисунке 2.4 строится линия пересечения горизонтально прое-цирующей призматической поверхности с фронтально проецирующейцилиндрической поверхностью . Поскольку , то , и по-строение проекций линии сводится к обозначению и , где тре-угольник – основная проекция призматической поверхности , в которуюна проецируются все её точки, а окружность – основная проекция ци-линдрической поверхности , в которую на проецируются все её точки.При этом – часть треугольника , расположенная в границах изображенияцилиндрической поверхности на , а – часть окружности , находящаясяв границах изображения призматической поверхности на , так как – общаялиния поверхностей и . Тонкими линиями на рис. 2.4 показаны проекциинесуществующих из-за пересечения контуров поверхностей и : согласноусловию 5 контуры пересекающихся поверхностей в другую поверхность непроникают.

б

б

k

k = k kk k k

kk

k

YY Y

YY Y

Y

YY

Y

Ф Ф ФФП

П ФФ П П

Ф П ФП

ФФ

1 1

1

1 1 2 2

2

2 2 2

1 2

2

1 1 2 2

1 1

1 2

2 2

1 1

1 2

2

Ф1

D2 k2

k1

k2

Ф2

k1

Y1

ба

Рис. .2 4

1 1 1

21

1

21 2 222 2

2

2 2 2

34

1 2

2

2

2

Сформулируем алгоритм решения ГПЗ для случая, когда одинпересекающийся ГО является проецирующим, а второй нет.

1. Одна проекция искомого элемента (точки пересечения для 1ГПЗ и линиипересечения для 2ГПЗ) непосредственно задана на чертеже.

2. Эта проекция принадлежит основной проекции проецирующего ГО.3. Вторая проекция искомого элемента (точки или линии пересечения)

ищется из условия принадлежности искомого элемента (точки или линии пере-сечения) непроецирующему ГО.

В основе пунктов 1 и 2 алгоритма – условия 1 и 2 (точка или линияпересечения принадлежат обоим пересекающимся ГО и собирательноесвойство основной проекции проецирующего ГО, а в основе пункта 3

)– условия

1 и 2 и умение решать ОПЗ – задачу на принадлежность точки или линиипересечения непроецирующему ГО.

Примеры решения 1ГПЗ–2 разобраны на рис. 2.5 и 2.6.На рисунке 2.5 построены проекции точек , и , , в которых прямые

и соответственно пересекаются со сферой .Так как и , то точки и принадлежат и прямой , и

сфере . Но , поэтому проекции и то-чек и известны: (точка – основ-ная проекция на фронтально проецирующейпрямой ). Аналогично , и ,поэтому проекции и точек и известны:

(точка – основная проекция на го-ризонтально проецирующей прямой ).

Далее решалась ОПЗ: по известным проек-циям и точек и сферы строились ихпроекции и , а по известным проекциям и

точек и сферы – их проекции и .– единственная

(так на рис. 2.5 были найденыпроекции и ),

(такна рис. 2.5 были найдены проекции и ).

В заключение определялась видимостьпрямой относительно и прямой относитель-но .

Границей видимости точек сферы относитель-но является меридиан сферы : точки сферы,

M N E F ab

M = a N = a M N aa M N

M N M N a a

a E = b F = b bE F E F

E F b bb

M N M NM N E

F E F E F

M N

E F

a b

m

ФФ Ф

Ф П

ПФ Ф П

П

ПП

П

Сфера поверхность вра-щения, точки на которой можно строить спомощью окружностей двух семейств: окруж-ностей, проецирующихся на в окружности ина в отрезки

или окружностей, проецирую-щихся на в отрезки и на в окружности

2.3. Решение ГПЗ во втором случае расположенияпересекающихся ГО относительно плоскостей проекций (ГПЗ–2)

E2

F2

mb2

2

M N2 2 a2

q 2

Направлениевçãлÿäа на П1

a1 E F1 1 b1

q 1

M

N1

1m1


Рис. 2.5

2 2 2

2 2 2 2

2

11

1

1 1

1

2 2

1 1 1

1 2 2

1 1

2 2

1

2

2

35

1 1

расположенные перед меридианом

-

mE F

b b b[E,F]

q

M Na

t MM = t

M t M MM M = t

M M

t t

tt

tM

t

M N

M = t N = t MN t

M N M N M = t N = t MN MN t

t[M,N] t

tN N M

и точки самого меридианаотносительно видны, а остальные нет. Поэтому точки и пересеченияпрямой со сферой, как и вся прямая , видны относительно (прямая пе-ресекает сферу в её передней части), кроме отрезка прямой, находящегосявнутри непрозрачной сферы.

Границей видимости точек сферы относительно является экваторсферы: точки экватора и точки сферы, находящиеся выше экватора,относительно видны, а другие нет. Точки и расположены ниже экватора иотносительно не видны – прямая пересекает сферу в её нижней части,поэтому сфера относительно закрывает прямую.

На рисунке 2.6 прямая общего положения пересекает в точке фрон-тально проецирующую плоскость : .

Согласно условию задачи , и , поэтому проекцияточки известна: .Проекция точки найдена спомощью линии связи на проек-ции прямой .

Относительно вся прямаявидна. Поскольку плоскость

выше правой ветви прямой (см.изображение на ), то относи-тельно часть прямой правееточки закрыта плоскостью ине видна.

На рисунке 2.6 прямая общего положения пересекается вточках и с горизонтальнопроецирующей цилиндрической

поверхностью : , . Из условия задачи следует, что точки ипринадлежат прямой и поверхности , а все точки поверхности прое

цируются на в окружность – основную проекцию поверхности . Поэтомупроекции и точек и известны: и . Проекции и

найдены с помощью линии связи из условия принадлежности точек ипрямой .

Относительно вся прямая видна, так как поверхность – тончай-шая оболочка. Относительно не виден отрезок прямой , расположен-ный внутри непрозрачной цилиндрической поверхности, и участок прямойправее точки : точка в отличие от точки расположена в заднейотносительно части поверхности (см. изображение на ).

Приведенный в начале раздела 2.3 алгоритм справедлив для 2ГПЗ–2 –задачи на пересечение двух поверхностей, одна из которых проецирующая, а

ПП

П

ПП

П

П

П

ПП

Ф Ф ФФ Ф П

П Ф ФФ Ф

П ФП

П П

а

б

D DD D

D

D

D

её

-

на t

D

1

M

2t2

2

tM1


Ф1

1t

t2M2

M1

N1


N2

Рис. 2.6

ба1

2

1

2

2

2

1

1

1

2 2 2

2

2

1

2

1

1 1

1 1 1 11 1 11

2 2

1

2

1

36

1

1

вторая нет. При этом 2ГПЗ–2 рекомендуется решать в следующейпоследовательности.

По чертежу и формулам определяют название пересекающихся поверх-ностей и разбираются в заданном чертеже.

По чертежу определяют, какая поверхность проецирующая, относи-тельно какой ПП она проецирующая и обозначают её основную проекцию.

Если проецирующая поверхность является плоскостью, то обычно еёосновная проекция (прямая линия) на чертеже уже обозначена, «подсказывая»к какой ПП плоскость перпендикулярна.

Обозначают известную проекцию линии пересечения, принадлежащуюосновной проекции проецирующей поверхности.

Если проецирующая поверхность плоскость, то известная проекциялинии пересечения – отрезок основной проекции этой плоскости, располо-женный в границах изображения поверхности, с которой пересекаетсяданная проецирующая плоскость. При пересечении бесконечных плоскостейизвестная проекция линии пересечения полностью совпадает с прямой –основной проекцией проецирующей плоскости.

По известной проекции линии пересечения и условию принадлеж-ности этой линии непроецирующей поверхности строится вторая проекциялинии пересечения. В общем случае она определяется неизвестнымипроекциями точек линии пересечения. Чтобы найти эти неизвестные проек-ции, нужное число раз решают ОПЗ, когда по известной проекции точкилинии пересечения строится неизвестная проекция этой точки из условияпринадлежности её непроецирующей поверхности. ОПЗ в этом случаерешают с помощью образующих прямых непроецирующей поверхности,если она линейчатая, или с помощью параллелей непроецирующейповерхности, если она является поверхностью вращения.

При этом строятся неизвестные проекции произвольных, а такжехарактерных точек линии пересечения – её точек, расположенных наконтурных линиях пересекающихся поверхностей, и её крайних точек –самой верхней, нижней, левой и т. д.

Определяют видимость линии пересечения, учитывая, что поверхнос-ти – непрозрачные оболочки, и что видимость линии пересечения можетменяться только на крайних контурных линиях пересекающихся поверх-ностей.

Определяют видимость контурных линий поверхностей, учитывая,как уже отмечалось, что поверхности – тончайшие непрозрачные оболочки,а также то, что при пересечении поверхности образуют единую фигуру идруг в друга не проникают, поэтому контурные линии поверхности, которыепри пересечении должны были бы попасть внутрь второй поверхности, несуществуют и изображаются тонкой сплошной линией.

1.

2.

3.

4.

Считается, что построено нужное число неизвестных проек-ций точек линии пересечения, если построенные проекции её произ-вольных и характерных точек однозначно с достаточной степеньюточности раскрывают форму неизвестной проекции линии пересе-чения.

5.

6.

37

Рассмотрим примеры решения 2ГПЗ–2, в которых проецирующейповерхностью является плоскость. Поэтому примеры начинают выпол-няться с пункта приведенных рекомендаций.

Построить прямую – линию пересечения плоскостис плоскостью общего положения ( ).Решение примера приведено на рис. 2.7 , а на рис. 2.7 дан

уменьшенный исходный чертеж задачи.Так как , тои .Поскольку , то

проекция прямой из-вестна и её обозначают:

(рис. 2.7 ). Проек-ция ищется с помощьюточек и по проекции .

Для определения ви-димости плоскостей иотносительно использова-лись произвольные конку-рирующие относительно точки и ( ). Выше линиипересечения видна плоскость , а ниже – плоскость (см. проекции и

на рис. 2.7 ).Построить линию пересечения плоскости с ко-

нической поверхностью .Решение примера приведено на рис. 2.8 , а на рис. 2.8 дан

исходный уменьшенный чертеж задачи.В примере линия – эллипс (конические сечения см. в ).Так как , то проекция линии известна и её просто обозна-

чают: (рис. 2.8 ). В действительности – это отрезок .Характерные точки (самая верхняя и правая) и (самая нижняя и левая)линии расположены на контурных относительно образующих и по-верхности. Их проекции и совпадают с осью симметрии изображенияконической поверхности на (рис. 2.8 ).

Проекцию произвольной точки ищут по её проекциии условию, что точка . Точки на конической поверхности

строят по закону её образования с помощью образующихпрямых по следующему графическому алгоритму (рис. 2.8 ):

3Пример 2.1.

Пример 2.2.

da b

d =d d

d d

dd1 a 2 b -

d

3 4 3 43 a

4k

{l(m,T)(l m; l T)}

kk k

k k [1 ,2 ]1 2

k l ll l

M M kM k M

(l m; l T)l

D S

D SD S

D

D

D S

D SS D

DD

DD D

П

П

П

П

ПФ

П

П

П

Ф Ф

б а

б

б

б а

б

б

б

[1]

1 1

1

2

1

2

2

2

2

2

1

1

i

38

1

b2

12

3

4D

a2

a

b1d1 1

1

1

11

432 2d2

Рис. 2.7

1

b2

D

a2

a

b11

ба

1

1

2

2

1 1

1 1

2i i

2 2 2 2

2

1 21 1

1

2 2i i

1. M 2 3.

222.

2

M

A2 = 2 2 ..

.

k

l

l 5.

6.4. 1 M 1A .1

T1 ,

.

.

l

A 1

m

l 1

1i , 2T

mi i

i

12

22

2 2

x 21x 21


M212

4

l

T

T1

2

l

4

14

l 13

21

6

5

1

1

3

4

1

1

11

li1

l11 l 1

2

M1

N1

m132 2

2

652 2

m22

ll 2 23

2

2

A1

A2

Рис. 2.8

По данному ГА строят нужное число горизонтальных проекций точек(см. п. 4 на с. 37) для проведения проекции линии . Одной проекцией

, исключая проекции , , на конической поверхности задаются дветочки, определяемые проекциями ( , ) и ( , ) на рис. 2.8 (вторая точкарасположена на образующей, проходящей через точки и .

Характерными точками линии , кроме точек и , являются точки и, задающие малую ось эллипса , и точки и , расположенные на

контурных относительно образующих и конической поверхности.Фронтальная проекция точек и – середина отрезка , а ихгоризонтальные проекции ищутся по приведенному выше ГА. Точки иопределяют следующим образом: по проекциям и строят проекцию ,находят , а затем и (рис. 2.8 ).

Согласно п. 5 на с. 37 видимость точек поверхности может менятьсятолько на её крайних контурных линиях, а поверхность тончайшаянепрозрачная оболочка. Поэтому относительно (рис. 2.8 ) видны точкиконической поверхности, расположенные на её крайних относительно

k kM k 1 2

M M N MT A

k 1 2 34 k 5 6

l l3 4 3 4 [1 ,2 ]

5 6l l l l

5 6 = l l k 5 l 6 l

б

б

б

П

ПП

1

2 2

3 42 2

2

k1

39

m2

D2

T1

m1

а б

m1

T2

l2i

l21

2 2 2 2

2 21 1

13 4

2 2

3 41 1

2 23 42 2 1 1

31 1

4

1

1

A21

A11

1

образующих прямых , и выше (левее) этих образующих. Следователь-но, относительно видна левая дуга линии , проходящая через точки ,, (видимость линии меняется в точках и ). При этомотносительно также видна часть дуги эллипса , просматриваемаясквозь окружность (рис. 2.8 ).

Построить линию пересечения плоскости с цилиндрической поверхностью (рис. 2.9). На исходномчертеже по аналогии с рис. 2.7 были заданы проекция плоскости,изображения цилиндрической поверхности и обозначения , , , .

l lk 5

2 6 k 5 l 6 lk

mk

{l(l,m)(l l; l m)}

m m l l

П

П

ПФ

б

а

Пример 2.3. D

D

-

В примере линия пересечения– эллипс (дуга эллипса).

Так как , то проекциялинии пересечения известна –

это отрезок . Проекцияпроходит через фронтальные

проекции точек линии .Проекция произвольной

точки строится по проекциис помощью образующих

цилиндрической поверхности соглас-но ГА (рис. 2.9):

k

k k[1 ,2 ]

kk

MM k

M k l

= ФП

DD

D

1

43

13 4

1. M1

3.

1

A1= 1 1.

.k

l

5.

6.

4. 2

M 2

A .2

,

..

l

A2

m

l 2

2

mi

i

i2li

2lM1

1


3

4

2 D

1

l i2

k

A1

2A

k

11

l 12

l11

1

1

11

12 32

42

2

N2

M2

m2

m1

l 1

l22

22

l2

l2

112. M .l i , 1l l1i

Одной горизонтальной проекцией на цилиндрической поверхностив общем случае задаются две точки: ( , ), находящаяся на образующей, и ( , ), находящаяся на образующей ( ).

Кроме нужного количества фронтальных проекций произвольных точек(см. п. 4 на с. 37), строят проекции характерных точек линии , располо-

женных на контурных линиях цилиндрической поверхности: точки ; точки; точки ( – контурная относительно образующая поверхности);

точки ( – контурная относительно образующая поверхности).

MM M

l M N l l l

M k k1 m

3 m 2 l l4 l l

ПП

Рис. 2.9

1

1

1 1 1

2

2

1 1i

1

1

1

2

2

111

2

1

40

1

1 2 1 2

l 1i l 1

3

l23

i i1 1

3 3

Относительно видны точки передней части цилиндрической поверх-ности, расположенные на её образующих, пересекающих нижнюю половинуокружности между образующими и (см. изображение в поле нарис. 2.9). Поэтому относительно видна дуга эллипса с точками ,, , и .

П

ПП

m l lk 3 m

N 2 M 4 lПостроить линию пересечения плоскости с

цилиндроидом (рис. 2.10).Задача решается на рис. 2.10 , а на рис. 2.10 дан её исходный

уменьшенный чертеж.

Пример 2.4. k{t(b,d, )(t b, t d, t )}

DG G

ПФ

б а

2

21

2

1

1i i i

1

t22

t21

k2

222

M2

N2

K

2i

12

d2t

2

2

t12

b1N1

K1

11

d1

k1

t11

1it

21

Рис. 2.10

G

b

1

M1

2b

b1

d2

d1

D

2G

а б

Так как , то проек-ция линии пересеченияизвестна и её только обозна-чают – это отрезок

D

D

Пk k

[1 ,2 ](рис. 2.10 ). Точки и –характерные точки линии ( и

– контурные линии поверхности).

б 1 d 2 tk t

d -

Проекцию проводят через фронтальные проекции точек линии .Проекция произвольной точки строится по её проекции спомощью образующей согласно следующему ГА (рис. 2.10 ).

k kM M k M k

t M б

2

1 1 1

1

1

2i

1 1

1. t t b dГ , , .2 3.

22.

N b K d, .

N = t b K = t d, .

5.

6.4. M 2t N K, . .t2i

i2 2

i2 2

2i

2i

2 22

1 11 1

1i

1 1

M = t k .1 1i

1

Поскольку все точки цилиндроида относительно видны, то всялиния относительно видна.

ППk

2

2

2

2

41

1D

2 2

B

A E

2

2 2

D1

A1 1 11 1

31M 1

21E1

p t

k t

K 1

d

B1

N 1

t 13

t1i

1

32

M2

K2

2d2

1t2

b2N2

t23

t2i

22

2t1

2k

12

Рис. 2.11

D2

1

D 1

1G

b1

42

Построить линию пересечения плоскости сгиперболическим параболоидом .

Пример 2.5. k{t(b,d, )(t b, t d, t )}

DG G

ПФ

Задача выполняется на рис. 2.11 , а на рис. 2.11 приведен еёуменьшенный исходный чертеж. Границами отсека гиперболического пара-болоида являются отрезок , контурные образующие , иотрезок ( , ). Относительно контурной линиейотсека является также парабола (рис. 2.11 ), проекцию которойстроят при решении задачи как огибающую проекций образующих по-верхности (см. с. 12, 13 и рис. 1.8).

Так как , то проекция линии (в примере – парабола)известна и её обозначают: – это отрезок . Проекцию ли-нии проводят через фронтальные проекции её точек. Фронтальную проек-цию произвольной точки строят по следующему ГА (рис. 2.11 ).

б а

б

б

Ф [A,B] b t A t B[D,E] d D t d E = t d

p pt t

k kk [ ,2 ] k

kM M k

= П

П1

DD

k

i i i1

1 2

1 2

2

2

2i i

2

1

1 1

1

11 2

Проекций обра-зующих нужно построитьдостаточное количество длявозможности проведенияпроекции параболы иполучения нужного числапроекций произвольныхточек линии , чтобыпровести её проекцию .

t

p p

Mk

k

t

M

а б

i2

i

2

2

b1

d11G

D1

1. M k .1 3.

12.

N = t b , K = t d .

t M , t Г .

5.

6.4. M 2N b K d, . .ti i1 1

i11 1

2

t N K .,

1 1i

1

1i

1

22 2

2i

2 2

2

A2A1 D 1

D2

E1

E2

B2

B1

b2 2t2

2d2t1

1t2

1t1

2

43

Проекции характерных точек и линии расположены на кон-турных образующих поверхности: и (рис. 2.11, ). Важ-нейшей характерной точкой является точка – верхняя точка параболыи нижняя точка параболы (вершины парабол). Точку строят прибли-женно на образующей , проекция которой горизонтальна.

О видимости точек гиперболического параболоида см. рис. 1.8 икомментарии к нему на с. 12 и 13. Отметим только то, что относительно

видна дуга линии между точками и (см. на и ), а такжечасть линии , расположенная ниже образующей (рис. 2.11 ).

1 2 k1 = t k 2 = t k

3 kp 3

t t

k 2 3 2 3k t

б

бП

1 2

3

2

32

21 1

Построить линию пересечения плоскости спересекающимся тором (рис. 2.12).

Решение примера приведено на рис. 2.12 , а на рис. 2.12 дануменьшенный исходный чертеж примера.

Пример 2.6. k{m(m,j;m j)(m = m j)}

D ПФ

б а

i1

j2

3242

N2

m21

m

2k

2

A2

M2

1 222

11

2131

1kA1m1

m1

41

j 1m1

m2

j2

j 1D1

D1

Рис. 2.12

а

бПроекция известна – этоотрезок ( ).

Проекция линии проходитчерез фронтальные проекции её харак-терных и ряда произвольных точек.

Проекцию произвольной точкистроят по её проекции с

помощью параллели согласно сле-дующему ГА (рис. 2.12 ).

k[1 ,2 ]

k k

MM k M k

q

D D П

б

1

1 1 1 1

2

2

1 1

C1N1

1. M k .1 3.

12.

A = q m .

q M , C j .

5.

6.4. M 2A m . .qi i1 1

i1

2

q A q j .,

1 1q

1

1

2

2i

2 2i

2

2

q 1

q 2

M1

1

q 1i

q 2

q

i

i

1 1

44

На параллели помимо точки расположена еще точка , укоторой (рис. 2.12 ).

Построив нужное число фронтальных проекций произвольных точеклинии , ищут фронтальные проекции её характерных точек: ужеупомянутых точек и , расположенных на контурной параллели ; точки

( – часть меридиана тора); верхней точки линии , находящейсяна параллели, касающейся плоскости (рис. 2.12 ).

У тора относительно видны точки его меридианов , и точки,расположенные перед ними. Поэтому относительно в примере 2.6 виднадуга линии , проходящая через точки , и (рис. 2.12 ).

Построить линию пересечения плоскости соткрытым тором (рис. 2.13).

На исходном чертеже задачи по аналогии с чертежом на рис. 2.12примера 2.6 были даны проекция плоскости , изображения тора и обоз-начения , , , .

q M N kN = q k

k1 2 q

3 m m 4 k

m m

k 2 N 3k

{m(m,j;m j)(m = m j)}

m m j j

б

б

б

а

D

D

D

ПП

ПФ

Пример 2.7.

i

1i1 1

2

2

1

i

1 12 2

1

212

A2

q2

3

3

m

k

jB2

N2

32

k2

m2 A12

42 M2

22

q2 q2i

q22

D2

Cq

1j 1M 11

q 1

41A11A1B1

1

N1

21

q1 q1i

M 13 1

2

q1

Рис. 2.13

Так как , то проекцияизвестна – это отрезок ,, обозначенный .Проекция линии опре-

деляется горизонтальными проек-циями её характерных и рядапроизвольных точек.

Проекция произвольнойточки строится по её проек-ции с помощью параллели

тора согласно ГА (рис. 2.13).

D

D

Пk [1 2 ]

kk k

MM k

M kq

2 2 2

2 2

2

1

2 2i

1. M k .2

22. q M ,

C j .

2

2

1q

1

3. A = q m .

4. A m .

2i

2

1

2

1

5.

6. M 1.qi

q A ,

q j .

1i

1

2i

1

2i

1

1

1 1

2

1

.

45

На торе, приведенном на рис. 2.13, одной проекцией задаются однаили две точки. Так, проекцией определяются две точки, имеющие проекции

, и , соответственно. Вторая точка расположена на параллели ,образованной вращением точки , причем . А проекцией за-даётся одна точка ( , ), расположенная на параллели , образованнойвращением точки . На рис. 2.13 радиусы параллелей и оди-наковы, в результате чего и .

Построив нужное число фронтальных проекций произвольных точеклинии (см. п. 4 на с. 37), ищут фронтальные проекции её характерныхточек: точки ; точки ; точки , находящейся на экваторе ; точ-ки , расположенной на нижней параллели тора (рис. 2.13).

Относительно у тора видны экватор и точки тора выше экватора.Поэтому относительно видна дуга линии , проходящая через точки ,, , и не видна её дуга, расположенная ниже точки (рис. 2.13).

MM M M M q

A m q q NN N q

B m q qB A q q

k1 m 4 m 3 q

2qk 1

N 3 3

ПП

2

1 11

2 21

1 12 2 2

212

2

1 1 1 12

i

i

1

1

2.4. Задача №1 РГР№2: решение 1ГПЗ в третьем случаерасположения пересекающихся ГО относительно

плоскостей проекций (1ГПЗ–3)В этом случае пересекающиеся линия и поверхность не являются

проецирующими, на чертеже нет их основных проекций и ни однаиз проекций точки пересечения не задана. Основной способ решения1ГПЗ–3 – способ вспомогательных секущих поверхностей.

В задаче №1 РГР №2 рассматривается частный, но самый распро-страненный в практике случай 1ГПЗ, в котором пересекаются непроеци-рующие прямая и поверхность . Сформулируем пространственныйалгоритм (ПА) решения 1ГПЗ для этого случая, состоящий из 3-х этапов.

1. , или – прямую заключают во вспомога-тельную секущую плоскость , проецирующую относительно или . Взадаче №1 РГР №2 не имеет значения относительно какой ПП плоскость

является проецирующей.2. – строят линию пересечения проецирующей плос

кости с данной поверхностью , решая 2ГПЗ–2, в том числе определяявидимость линии относительно ПП.

3. – искомая точка Ф есть точка пересеченияпостроенной линии и заданной прямой линии (таких точек может бытьнесколько). Этот этап завершается определением видимости прямойотносительно и .

При решении 1ГПЗ–3 наиболее трудоемки построения, относящиесяко 2-у этапу алгоритма, на котором выполняется 2ГПЗ–2 – ищется линияпересечения вспомогательной проецирующей плоскости с заданнойповерхностью. Задачи на пересечение проецирующей плоскости с непрое-цирующей поверхностью подробно рассмотрены в семи примерах(2.1...2.7) раздела 2.3 пособия. В данном разделе приведены семь

g

g g

e = e -

eM = e g M = g

e gg

Ф

П ПП П

ФФ

П П

Ф

D D DD

DD

D

1 2

1 2

1 2

i

3

3

46

примеров (примеры 2.8...2.14) 1ГПЗ–3, в которых прямая общего положе-ния пересекается с теми же поверхностями Ф, причем в этих примераходна из проекций или прямой совпадает с основной проекцией прое-цирующей плоскости из примеров 2.1...2.7. Это позволяет в примерах2.8...2.14 сосредоточиться на освоении графических построений, относя-щихся к 1 и 3 этапам решения 1ГПЗ–3, а на 2-м этапе её решенияиспользовать выполненную в разделе 2.3 соответствующую задачу 2ГПЗ–2.

Построить точку пересечения прямой общего поло-жения с плоскостью общего положения (рис. 2.14).

gg g g

M g(a b)

D

SПример 2.8.

1

b2

1

2

3

MD

a2

a

b1d1 1

1 1

11

5

32

2

d2

Рис. 2.14

1

b2

g

a

b11

б

а

12a 2

g 2

g1

41

51

M2 4222

Задача решается на рис. 2.14 ,а на рис. 2.14 дан её уменьшенныйисходный чертеж.

ба

g2

Пример выполняют согласно ПА со с. 45 (рис. 2.14 ).б1. , – прямую заключают во вспомогательную секу-

щую плоскость : на рис. 2.14 наносят обозначение .D D

D Dg g

gП

П б2. – решают 2ГПЗ–2: строят прямую , по которой плос-

кость пересекается с плоскостью . Так как , то ,а строится из условия принадлежности прямой плоскости спомощью точек и (подробное решение 2ГПЗ–2 см. пример 2.1 на с. 38).

d = d(a b) d

d d (a b)1 2

D SD S D D

SП П

3. – искомая точка – точка пересеченияпрямых и .

M = d g M = gd g

S

Относительно не видна часть прямой левее точки – из кон-курирующих относительно точек и ( ) выше располо-жена точка плоскости (см. на и ). Поэтому левая часть прямойнаходится под плоскостью .

Относительно не видна часть прямой правее точки : из кон-курирующих относительно точек и ( ) ближе к наблю-дателю расположена точка плоскости (см. на и ). Поэтому праваячасть прямой находится за плоскостью и закрыта ей.

Задача на нахождение точки пересечения прямой и плоскости

ПП

ПП

g M1 b 3 g 1 3

1 1 3 g

g M4 b 5 g 4 5

4 4 5g

S

S

1

1 1 1

1 1 1 1

2

1

1 1 1

2

2 22

1 2

2 2

1 1

47

используется в РГР №3 при определении расстояния от точки доплоскости.

Построить точки пересечения и прямой с коничес-кой поверхностью .

Решение примера приведено на рис. 2.15 , а на рис. 2.15 дануменьшенный исходный чертеж задачи этого примера.

Задачи в примерах 2.9...2.14 – типовые задачи №1 РГР №2.Пример 2.9. E F g

{l(m,T)(l m,l T)}Фб а

i i

M212

4

l

T1

l

4

14

l 13

21

6

5

1

1

3

4

1

1

11

li1

l11 l 1

2

M1

32 2

2

652 2

m22

ll 2 23

2

2

A1

A2

Рис. 2.15

k1m1

б

T2

l2i l2

1

T2

m2

g2

T1

а

m1 g1

g1F1

E1

72

82

F2 781 1

Пример выполняют согласно ПА на с. 45 (рис. 2.15 ).б1. , – прямую заключают во вспомогательную секу-

щую плоскость : на рис. 2.15 наносят обозначение .D D

D Dg g

gП

П б2. – решают 2ГПЗ–2: строят линию пересечения

(эллипс) плоскости с конической поверхностью , используя еёобразующие прямые.

Построение линии с определением её видимости относительно –см. пример 2.2: рис. 2.8 и описание его на с. 38...40. Почти все по-строения и обозначения перенесены с рис. 2.8 на рис. 2.15 . Исключе-ние: на рис. 2.15 нет обозначения проекции , проекции образующей,

k = k

N

D FD FП

Пk

б бб

2

2 2 2

2

1

1

E2

48

на которой расположена и точки , в которой эта образующаяпересекает окружность ; нет проекции образующей, проходящей черезточку ; нет проекции образующей, на которой находится проекция

точки ; в поле нет перпендикуляров, позволяющих точно построитьпроекции контурных относительно образующих и коническойповерхности .

3. – искомые точки и пересечения прямой с поверх-ностью Ф есть точки пересечения этой прямой с построенной линией :проекции , определяют сразу, а проекции , ищут на ,используя линии связи.

Отрезок прямой находится внутри непрозрачной коническойповерхности, не просматривается через направляющую и не виден ниотносительно , ни относительно (рис. 2.15 ).

Определим видимость частей прямой левее точки и правееточки относительно . Обычно вопросы видимости решают методомконкурирующих точек. Напомним, как применяют этот метод.

Возьмем конкурирующие относительно точки и ( ).Относительно видна точка конической поверхности (точка на рис. 2.15выше точки ), поэтому часть прямой между точками и находитсяпод поверхностью и относительно не видна.

Но в данном и последующих примерах вопрос видимости частейпрямой можно решать иначе. Так, при построении линии , которойпринадлежат точки и , была определена видимость относительно (см.рис. 2.8 и его описание на с. 39, 40). Точка относительно видна, аточка не видна: точка находится на видимой, а точка на невидимойдугах линии (см. и на рис. 2.15 ). Поэтому относительно частьпрямой левее точки видна, а правее точки нет.

Возможен третий вариант определения видимости точек и отно-сительно . Относительно видны точки конической поверхности, распо-ложенные выше её контурных относительно образующих и – проек-ции видимых точек выше (левее) проекции . относительновидна, а точка нет (см. и на рис. 2.15 ).

Видимость точек и относительно можно определить методомконкурирующих точек или используя следующие рассуждения. Относительно

видны точки конической поверхности, расположенные перед контурнымиотносительно её образующими и – проекции видимых точекнаходятся перед проекцией (рис. 2.15 ). Точки и расположеныза образующими и в задней части поверхности и относительно евидны. Поэтому не видны относительно участки прямой левее точкии правее точки .

N Am

3 43 3

l l

E,F = g E F gk

E F = k g E F g

[E,F] gm

g EF

7 m 8 g 8 77 7

8 g 8 F

kE F k

EF E F

k E Fg E F

E F

l ll l E

F E FE F

l ll l E F

l lg

E F

ПП

П П

П

ПП

П

ПП

П

П ПП

П

П

ПП

П нП

Fk

Точка

б

б

б

б

б

1

4

1

2 2

11

13

1 1 1 2 2 2

1 2

1 1 1

1 2

2

1

2

1

1

1 1 1

1 1

13 4

3 41

2 2

2

21 2

1 21 1

1 22

2

1

2 2

1

49

Построить точки и пересечения прямой сцилиндрической поверхностью .

Решение примера приведено на рис. 2.1 , а на рис. 2.16 дануменьшенный исходный чертеж задачи этого примера.

Пример выполняют согласно ПА со с. 45 (рис. 2.16 ).

Пример 2.10. E F g{l(l;m)(l l,l m)}Ф

6а б

а1. , – прямую заключают во вспомогательную секу-

щую плоскость , нанося на рис. 2.15 обозначение .D D

D Dg g

gП

П б2. – решают 2ГПЗ–2, строя линию пересечения (дугу

эллипса) плоскости с цилиндрической поверхностью .k = kD F

D FП

Построение линии с определением её видимости см. пример 2. :рис. 2. и его описание на с. , 4 . Большинство построений иобозначений с рис. 2.9 перенесены на рис. 2.16 . Исключение: на рис. 2.16нет проекций , , , , , а также обозначений проекций и .

3. – искомые точки – точки пересеченияпрямой с построенной линией . Проекции , определяют

k 39 40 1

k

а аl l l l N l l

E,F = g E F = gg k E F = k g

, F

1

1 1 1

1

M1

1

3

4

5D

l i2

k

A1

2A

k

1

1

1

1

11

12 32

42

2

M2

m2

m1

l 1

22

l2

l 1i

m1

m2 g2

g1l1

l2а б

Рис. 2.16

E262

61

52

F2

g2

g1

21

F1

E1

311 1

221

221 2

32

2 2 2 2

i i

50

сразу, а проекции и ищут , используя линии связи.Отрезок прямой между точками пересечения и находится

внутри цилиндрической поверхности и не виден ни относительно , ниотносительно (рис. 2.16 ). Из двух конкурирующих относительно то-чек и ( ) точка поверхности выше точки прямой(см. и ). Поэтому прямая на участке закрыта поверх-ностью относительно и не видна. Из двух конкурирующих относительно

точек и ( ) точка поверхности ниже точки прямой(см. и ). Поэтому прямая на участке выше поверхности иотносительно видна (рис. 2.16 ).

Точка находится на невидимой, а точка на видимой относитель-но дугах линии (см. и на рис. 2.16 ). Поэтому относитель-но часть прямой левее точки не видна, а вся прямая правее точкивидна.

Построить точку пересечения прямой с цилиндрои-дом (рис. 2.17).

E F gg E F

2 l 5 g 2 52 l 5 g [F,5]

1 m 6 g 6 1 1 61 6 [E,6]

E Fk E F

E F

E g{t(b,d, )(t b,t d,t )}

на

ПП П

2 5

ПП

П

ПП

а

а

а

Пример 2.11.F G G

2

1 1 1

1

2 1

1 1

2 2 2 2

1

1 1

2

1

2 2 2

2

i i i

t22

t21

k2

222

M2

N2

K

2i

12

d2t

2

2

t12

b1N1

K1

11

d1

k1

t11

1it

21

Рис. 2.17

G

b

M1

Е2

32

D1 g1

g2

41

5 1

52 42

E1

На исходном чер-теже были заданы изо-бражения цилиндроида( , ; , ; ; , ;, ) и прямой ( , ).

Пример решался вприведенной ниже по-следовательности.

1. , –прямую заключают вплоскость , наносяна чертеже обозначение

.2. – ре-

шают 2ГПЗ–2, строя линиюпересечения плоскости

с цилиндроидом .Построение линии

см. пример 2.4: рис. 2.10и его описание на с. 41.Все построения и обозна-чения с рис. 2.10 пе-ренесены на рис. 2.17,кроме проекций образую-

Фb b d d t tt t g g g

gg

gk =

k

Г

П

П

Ф

Ф

D D

D

DD

D

k

1 2 1 2 2 2

2

1

1 1 2

1 1

2 2

щих, используемых для построения (исключение – проекции и ).3. – искомая точка – точка пересечения

k t tE = k g E = g Ф

1

1

31

2

1 1

1i

2i

51

прямой с построенной линией . Проекцию определяют сразу,а проекцию ищут на , используя линию связи.

Из двух конкурирующих относительно точек и ( )точка поверхности выше точки прямой (см. на и ). Поэтомуотносительно прямая на участке закрыта поверхностью и не виднарис. 2.17), а левее точки видна. Из двух конкурирующих относительно

точек и ( ) точка прямой ближе к наблюдателюточки поверхности (см. и ). Поэтому прямая левее точки

находится перед поверхностью и относительно видна, а значит невидна относительно часть прямой правее точки , так как в нейменяется видимость прямой (рис. 2.17).

Построить точки и пересечения прямой сгиперболическим параболоидом (рис. 2.18).

(

g k E = k gE g

1 d 3 g 1 31 3 1 d 3 g

[E,3]E

5 t 5 4 45 4 g 5 t g

EE

C F g{t(b,d, )(t b,t d,t )}

П

П

П 4 g

ПП

Пример 2.12.F G Gi i i

1

11

2

1

1 1

2 2 2 2

1

2 2

2 22

2

1 1 12

2

2

Пример выполнен на рис. 2.18 , а на рис. 2.18 приведен исход-ный чертеж примера – его графическое условие в уменьшенном масштабе.На исходном чертеже заданы (рис. 2.18 ): прямая ( , ); плоскостьпараллелизма ( ) гиперболического параболоида; часть основного чер-тежа его отсека, границами которого являются направляющие ( , ) и

а б

б g g g

b b bГ Г

1 2

1

1 2

d d d t t t A A Ab d D D D t t t

B B B b dE E E t t

p pp

g gg

( , ), контурные образующие ( , ), проходящая через точку ( , )и пересекающая направляющую в точке ( , ), и ( , ),

проходящая через точку ( , ) и пересекающая направляющую вточке ( , ), причем и параллельны . На рис. 2.18 , как и нарис. 2.11 , отсутствует имеющаяся на рис. 2.18 проекция параболы ,которая строится в процессе выполнения примера (парабола – линиякасания гиперболического параболоида проецирующими прямыми, перпенди-кулярными к – см. рис. 1.8 и с. 12, 13, а также рис. 2.11 на с. 42.

ример выполняют согласно ПА со с. 45 (рис. 2.18 ).1. , – прямую заключают в секущую плоскость ,

нанося на рис. 2.18 обозначение .

Г

ПП

П П

ба а

ба

а

)

D D DD

1 1 1

1

1 12 2 2

21 22 22

1

1 2

1 211

21 1

2

2

1 1

1 1

2. – решают 2ГПЗ–2, строя линию пересеченияплоскости с гиперболическим параболоидом .

k = kD FD F

Построение линии (параболы) с определением её видимости отно-сительно – см. пример 2.5: рис. 2.11 и описание на с. 42, 43. Напом-ним, что для проведения проекции линии и проекции контурнойотносительно параболы строился достаточно плотный каркас обра-зующих . Все построения и обозначения с рис. 2.11 перенесены нарис. 2.18 .

k

k k pp

t

П

Пб

а

1

2 2

2i

3. – искомые точки , есть точки пересеченияпрямой с построенной линией : проекции , определяютсразу, а проекции , ищут на , используя линии связи.

C,F = k g F = gg k C F = k g

F g

С Ф

С2 2 2 2

1 1 1

52

Для определения видимости прямой относительно используютдве пары конкурирующих относительно точек , ( ) и

, ( ). Точки и прямой выше точек и поверхностисоответственно (см. на и , а также на и на рис. 2.18 ), поэтомупрямая на участках и выше поверхности и относительно вид-на. В точках и прямая , пересекая поверхность, уходит под неё истановится относительно невидимой.

g1 t 4 g 1 4

2 t 5 g 5 2 4 5 1 24 1 5 2

g [4 C] [F 5C F g

ПП

, , ] П

П

а

Относительно прямая на участке не видна: из двух конку-рирующих относительно точек и ( ) ближе к наблюда-телю точка поверхности (см. и на рис. 2.18 ), которая на участке

прямую загораживает. В точке прямая пересекает поверхностьи на участке располагается перед ней, становясь относительно ви-димой. На участке прямая опять уходит за поверхность и становитсяотносительно невидимой: из двух конкурирующих относительно точек

и ( ) точка поверхности ближе к наблюдателю (см. ина рис. 2.18 ). В точке прямая пересекает гиперболический

параболоид, снова становясь правее точки ближе к наблюдателю ивидимой относительно .

ПП

П

П П

П

g [6,C]6 g 7 b 7 6

7 6 7[6,C] g C g

[C,9][8,F] g

8 t 9 g 9 8 89 F g

F

а

а8

1

11

1 12

1 1

2 2 2 2

1

1

2

2 2 2

1 1

2

2 22

2 2 1

1

2

2 2

B

A E

2

2 2

A1

1 1 1 1

31 M 1

21E1

p t

k t

K 1

d

B1

N1

t 13

t1i

1

32

M2

K2

2d2

1t2

b2

N2

t23 t2

i

22

2t1

2k

12

Рис. 2.18

D2

1

D 1

1G

b1

а

б

b1

d11G

A2A1 D 1

D2

E1

E2

B2

B1

2t2

2d2t1

g2

D1g 1

1g

6272

71

61

1t2

1t1

42

41

8292

81

91

51

52

F2

F1

g2

C1

C2

b2

53

Построить точки и пересечения прямой спересекающимся тором (рис. 2.19).

Пример 2.13. E F g{m(m,j;m j)(m = m j)}Ф

Пример выполнен на рис. 2.19 , а на рис. 2.19 приведен исход-б аный чертеж примера – его графи-ческое условие в уменьшенном масш-табе: прямая ( , ) и изображенияотсека тора на и .

g g gП П

Пример выполняют согласно ПА со с. 45 (рис. 2.19 ).б1. , – прямую заключают в секущую плоскость ,

нанося на рис. 2.19 обозначение .D D D

Dg g

gП Пб

2. – решают 2ГПЗ–2, строя линию пересеченияплоскости с тором .

Построение линии с определением её видимости относительно– см. пример 2.6: рис. 2.12 и описание на с. 43, 44. Напомним, что

неизвестная проекция линии строилась с помощью параллелей(окружностей) . Большинство построений и обозначений перенесены срис. 2.12 на рис. 2.19 . Исключение: на рис. 2.19 нет обозначений

, , , , (задана только ).3. – искомые точки , есть точки пересечения

прямой с построенной линией : проекции , определяют

k = k

k

k kq

N N q q C j jE,F = k g E F = g

g k E K = k g

D FD FП

П

Ф

б б б

1 1

1 1

1

i

j2

3242

m21

m

2k

2

A2M2

1 222

11

2131

1kA1

m1

m1

41

j 1

m1

m2

j2

j1

Рис. 2.19

а

б

M1

1 2

1 2

g2

g2

D1g 1

1g

q 2i

E2

F2

E1 1

F1

q 1i

1 11 12 2

2

i

2 2 2 2

2

1q

1E

54

сразу, а проекции , ищут на , используя линии связи.Все точки тора, приведенного на рис. 2.19, на виде сверху, включая

точки и , видны. Поэтому относительно не виден только участокпрямой , находящийся внутри тора. Относительно (на виде спе-

реди) видны точки, расположенные на меридиане тора ( ) и передним, – точка относительно не видна, а точка видна. Поэтому отно-сительно участок прямой правее точки виден, а левее точки нет.

Построить точки и пересечения прямой соткрытым тором (рис. 2. 0).

Задача примера решается на рис. 2.20 , а на рис. 2.20 приве-

E F g

E F[E,F] g

m mE F

g F FE F g

{m(m,j;m j)(m = m j)}

ПП

ПП

Ф

,

2Пример 2.14.

б а

i

1 1

2

12

A2

q2

3

3

m

k

j

32

k2

m2

42 M2

22

q2i

D2

1j

41A1

1

1

21

q1i

M 13 1

q1

Рис. 2.20

g2 52

51

g1

61

ден уменьшенный исходный чер-теж примера, на котором заданапрямая ( , ) и основной чер-теж тора – одной четвертой частикольца с обозначенными эле-ментами определителя ( , ) и( , ).

g g g

j j jm m m

2

2

21

1

1

1 1 1

1

21

2

2

62

F1

F2

E2

m1 1j

2j

m2

g2

g1

Задача примера 2.14 также является 1ГПЗ–3, которая выполняетсяв три этапа согласно ПА со с. 45.

1. , – прямую общего положения заключают в секу-щую плоскость : на рис. 2.20 наносят обозначение .

D DD Dg g

gП

П б2

2 2 2

б

а

55

2. – решают 2ГПЗ–2: строят линию пересеченияпроецирующей плоскости с тором , используя проекции его парал-лелей . Эта задача с определением видимости линии относительно

k = k

q k

D FD F

Пприведена в примере 2.7: см. рис. 2.13 и его описание с. 44 и 45. Боль-шая часть построений и обозначений с рис. 2.13 перенесена на рис. 2.20 .Исключение – на рис. 2.20 нет точек , и , нет обозначений проек-ций параллелей и , а также отсутствуют их проекции и .

бб A B N

q q q q3. – искомые точки , есть точки пересечения

прямой с построенной линией : ции , определяютсразу, а проекции и ищут на , используя линии связи.

E,F = g k E F = gg k E F = g k

E F g

Фпроек

Точка находится выше, а точка ниже экватора тора. Следо-вательно, точка относительно видна, а точка нет (см. также ви-димость линии относительно , определенную при решении 2ГПЗ–2).Поэтому относительно левее точки прямая вся видна, а междуточками и и правее точки она имеет невидимый участок, закрытыйтором (рис. 2.20 ).

E F gE Fk

E gE F F

ПП

П

бИз конкурирующих относительно точек и ( ) точ-

ка тора ближе к наблюдателю точки прямой (см. и ). Это озна-чает, что часть прямой между точками и закрыта тором и относи-тельно не видна (рис. 2.20 ). Участок прямой находится внутритора – полой непрозрачной оболочки. Поэтому часть отрезка прямой

сквозь окружность относительно видна, а другая его часть нет. Всвою очередь точка относительно видна: из конкурирующих относи-тельно точек и ( ) точка прямой ближе к наблю-дателю точки тора. Поэтому правее точки прямая находится передповерхностью и вся относительно видна.

П

П

ПП

П Ф

П

1 m 5 g 1 51 5 1 5

5 E[E,F]

[E,F]g m

F2 6 g 2 6 6

2 F g

б

Напомним, что 1ГПЗ–3, семь примеров которой были рассмотрены,является задачей №1 РГР №2, выполняемой на листе формата А4 вмасштабе 1:1. Дадим в конце раздела рекомендации по оформлению этойзадачи, используя рис. 2.21, занимающий лист формата А4, на котором вмасштабе 1:1 приведен итоговый чертеж задачи примера 2.9, решенной нарис. 2.15 в уменьшенном масштабе и выбранной в качестве типового ва-рианта задания задачи №1 РГР №2 (см. Введение). Исходный чертежэтого варианта задания в уменьшенном масштабе без размерных линийпоказан на рис. 2.15 .

б

а

31

Варианты заданий на задачу №1 РГР №2 даны в Приложении 1 по-собия. Выбор номера варианта студентом – см. Введение.

.

Условие задачи №1 РГР №2. Заданы прямая общего положенияи непроецирующая поверхность (приводятся проекции прямой, чер-теж поверхности, её формула и размеры для задания прямой ивыполнения чертежа поверхности). Построить точки (точку) пересеченияпрямой и поверхности , определив видимость прямой относительноПП и

1

1

1 2 1 21 2

1 1 1 1

2 2 23

1

1

1

2 2 2

1 1

2

2

2

2 2 2

2

i

56

40.02.031.000

Главныепоçиционные çаäачи

МАДИ 1МС__

40.0 .031.00021:1Чертил Иванов

Провер. ПетровЛист 1 Листов 2

Масшт.

Рис. 2.21

Ф{l(m,T)(l m, l T)}ФE,F = g

i i – коническаÿ поверхность

M2

l

T1

l

4

14

l 13

li1

l11 l1

2

M1

m22

ll 2 23

2

A1

A2

k1

m1

T2

l2i l2

1

g1

F1E1

F2

57

На итоговом чертеже с полностью решенной и проверенной препо-давателем задачей №1 необходимо отразить и (или) обозначить следующее(рис. 2.21).

1. Записать в верхней части формата формулу поверхности и черезтире её название, а на строке ниже – условие задачи, например,

2. Обозначить проекции заданной прямой ( , ) и элементов опре-делителя поверхности (на рис. 2.21 это ( , ) и ( , )).

3. Установить и отразить на чертеже видимость контурных линийповерхности относительно ПП и (в задаче на рис. 2.21 все контур-ные линии поверхности относительно и видны).

4. Нанести обозначения или, как на рис. 2.21, ,означающие, что прямая была заключена во вспомогательную секу-щую плоскость , проецирующую относительно или (в примере нарис. 2.21 ), а при построении линии на 2-м этапе решенияпроекция или (в примере это ) была известна.

5. Обозначить построенную в примере проекцию или линии(на рис. 2.21 это проекция ) и учесть её видимость относительносоответствующей ПП (в примере на рис. 2.21 относительно ).

6. Показать построение неизвестной проекции произвольной точкилинии по её известной проекции. На рис. 2.21 по известной проекции

точки с помощью проекций и образующей ,построена проекция (точка ( , ) использовалась при построении).

7. На проекциях и линии «кружочками» указать проекции ха-рактерных точек линии .

8. Показать «кружочками» и обозначить проекции построенных точекпересечения. На рис. 2.21 это точки ( , ) и ( , ).

9. Отразить видимость прямой относительно ПП и .10. Заполнить основную надпись (см. рис. 2.21). Тот факт, что на рис. 2.21

приведена задача №1 РГР №2, выполняемой на двух листах, отражено вграфах основной надписи « » и « ».

По согласованию с преподавателем или по его совету можно пока-зать и обозначить проекции контурных линий поверхности (на рис. 2.21это проекции образующих , , , ); проекции конкурирующих точек,используемых для определения видимости прямой относительно ПП; нетолько показать, но и обозначить проекции характерных точек линии , атакже показать другие ГО и построения, используемые при решениизадачи.

E,Fg

g g gT T T m m m

k g k gg

k =k k k

k k kk

Mk

M M k l l l l MM A A Ak k kk

E E E F F Fg

l l l lg

k

== Ф

П ПП П

П ПП Ф

П

k Ф

П П

Лист 1 Листов 2

Ф

.

D D

DD D

12

1 2

1 2

1

1

2

2

1 1 2 2

1

1 2

1 2

1

1

2 2i i i2 1

i

1 1 2

1 2

1 2 1 2

1 2

1 2 3 4

1 2

2

2

2

58

2.5. Построение изображений геометрических тел с вырезами:задачи №2 и №3 РГР №2

Вторая часть РГР №2 состоит из задач №2 и №3, в которых строятизображения соответственно цилиндра вращения и шара со сквознымивырезами. Цилиндр вращения и шар – простейшие геометрические тела,формы которых наиболее часто используются в конструктивных элементахсовременных деталей.

Напомним, что задачи №2 и №3 выполняют на одном горизонтальнорасположенном формате А3. Примеры их компоновки и оформления показанына рис. 2.28. Варианты заданий задач №2 и №3 приведены в практикуме 3 .

Геометрическим телом называют замкнутую часть пространства,ограниченную отсеками поверхностей и заполненную однородным материалом.При построении изображений геометрических тел с вырезами (срезами)решается задача на построение линий пересечения поверхностей геометри-ческих тел с поверхностями, образующими вырез (срез), а также линийпересечения поверхностей, образующих вырез (срез), между собой. Заметим,что в задачах №2 и №3 изображения геометрических тел строят на три ПП:фронтальную (вид спереди), горизонтальную (вид сверху) и профильную

(вид слева).

[ ]

П ПП

Пример 2.15. Условие примера и задачи №2 РГР №2: заданоизображение на фронтальную ПП цилиндра вращения, имеющегосквозной вырез (срез), образованный фронтально проецирующими плос-костями. Построить изображения цилиндра на горизонтальную ипрофильную ПП.

12

3

Напомним, что цилиндр вращения –простейшее геометрическое тело, огра-ниченное боковой цилиндрической по-верхностью вращения и плоскостями двухоснований.

На рисунке 2.22 приведен 31-й вариантзадания задачи №2 РГР №2 – условиезадачи примера 2.15.

Анализ исходного чертежа на рис. 2.22показывает, что в РГР №2 цилиндричес-кая поверхность является проецирующейна , а плоскости оснований цилиндразанимают горизонтальное положение.

Задачу №2 РГР №2 рекомендуетсявыполнять в приведенной ниже последо-вательности.

П

Рис. 2.22

75

20

1

В левой половине формата А3 в тонких линиях вычерчивают изображе-ния цилиндра вращения на фронтальную, горизонтальную и профильную ПП(рис. 2.23). При этом изображение цилиндра на с положением образующих вы-рез проецирующих плоскостей дано в задании (рис. 2.22) и перечерчивается по за-данным размерам. Изображением цилиндра на без учета выреза является ок-

1.

П

П

2

1

На рисунке 2.23 также приведеныпроекции координатных осей, связанных сцилиндром.

2. Решение задачи по существусводится к решению 2ГПЗ–1, в которойстроится линия пересечения проеци-рующей относительно цилиндрическойповерхности с секущими проецирующимиотносительно плоскостями , , , .Проекции и линии пересеченияизвестны: , а на линия прое-цируется в отрезки , , , (рис. 2.23).Для выполнения задачи остается по-

k

k k kk k

П

П Г Ф

ПГ Ф

S D

YS D

59

ружность , а на – прямоугольник. Размеры на чертеже не наносят.Для объяснения дальнейших построений на чертеже обозначены

проецирующие секущие плоскости (рис. 2.23).роекции контурных относительно образ ющих цилиндрической поверх-

ности а совпадают с проекцией оси цилиндр налогично напроекцией о и цилиндра совпадают проек ии контурных относител но бра-зующих и поверхности цилиндра

Y П

П уи н а. А с

с ц ь о.

Пl l П П

Пl l

2

3

2

1

31 2

3

3 4

строить профильную проекцию линии по её известным проекциями , а также проекции линий пересечения секущих плоскостей между

собой и с плоскостью основания. При этом – составная линия, состоящаяпо числу секущих плоскостей из 4-х частей.

k kk k

k

Проводится анализ формы линий пересечения (рис. 2.23, 2.24).3.Плоскость пересекает цилиндрическую поверхность по дугам эллипса

и , которые на проецируются в отрезок , на – в дуги иокружности , а на – в дуги эллипса, которые следует построить (рис. 2.24).

SS

YАС ÂD П П A B D

ПС

1

2

1 2

2 1

3

Рис. 2.23

D

ll ll

l

l

l ll l

Г

2

1

33 322 32 243 13

3

4

1 24 2

2

1

1

2

2

Ф

S

Y

l 12

l11

k1

k2

2

3

1 2

2

1

1 1

2 2 2 2

Плоскость , перпендикулярная к оси цилиндра, пересекает его поверхD -

1 1 1 1

x2

y1

01x1

02

03 y3

z2 z3

60

ность по дугам и окружности, которые на проецируются в отрезок, на – в дуги окружности , на – в отрезки, которые необходимо построить.

Плоскость , параллельная оси цилиндра, пересекает его поверхность поотрезкам и образующих прямых, которые на проецируются в отрез, на – в точки и , на – в вертикальные параллельные

отрезки, которые следует построить (рис. 2.24).

АUЕ BQF ПП П

ГСЕ DF П

П C E D F П

D Y

окГ

2

1 3

2

1

2 1

2 311 1 1

Рис. 2.24

A

D

A

EE

ll ll

l

l

l ll l

A

B

B

F

Г

F

SK

T

C

LL

LC

ND

SK

K

P

P

CN

TE

SF

T

M

M

DN

D

B

P M

2

1

2

2 3

3

33 322 32 243 13

3

4

1 24 22

2

2

3

3 3

3

3

3

3

3

32

1

1

1

1

11

1

11

1

1

22

2

2

22

11

1

1

2

2

2

23

3Ф

S

Y

отрезкам. Например, плоскости и пересекаются по отрезку , , плоскостьпересекает плоскость основания цилиндра по отрезку , и т. д. (рис. 2.24).

Профильные проекции линий пересечения цилиндрической поверхностис секущими плоскостями (кроме плоскости ) строятся по проекциямпринадлежащих им точек.

Построение профильной проекции точки цилиндрической поверхностипоказано на примере произвольных точек эллипса (рис. 2.24):

• на берется произвольная точка, являющаяся фронтальной проекциейточек и цилиндрической поверхности ( );

• из точки проводится вертикальная линия связи до пересечения

D S

S

[ ][ ]

А Â ФL N

Ф

М Ð М ÐМ Ð

4.

М Ðи

2

1

3l 12

l11

Плоскость пересекает цилинд-рическую поверхность по дуге эллипса

(рис. 2. ), которая на прое-цируется в отрезок , на – в дугуокружности , на – в дугу окруж-ности радиусом , равным радиусуцилиндра, так как плоскость сос-тавляет с осью цилиндра угол 45(рис. ).

Ф

LKN ПП

ПR

Ф

24

2.22

ФY

О

Между собой и с плоскостью осно-вания цилиндра секущие плоскостипересекаются по соответствующим

2

1

2

2 2

x2

y101

02

03 y3

z2

Q U2 2Y

{

U1

Q1

x1

Y

Q3 U3

z3

2 2

61

с окружностью и определяются проекции и точек и (точкаотносительно видна, а точка нет);

• из точки проводится горизонтальная линия связи, на ней от точкипересечения с проекцией оси откладываются отмеченные на рас

ния – координаты и определяются их проекции и .

Y М Ð М Ð МП Ð

М Ð

Y М ÐПz

М Ð-

стоя точек и

2

1 11

2 2

3 1

3 3Проекции обязательных для построения точек (рис. 2.24) , , , , ,

и необходимых промежуточных точек строились аналогично. Проекциихарактерных точек , , , , найдены из условия принадлежности этих точекконтурным образующим цилиндрической поверхности (проекцию можно нестроить).

Построенные в поле проекции точек соединяют тонкими сплошнымилиниями (рис. 2.24):

• через точки , , , и , , , проводят дуги эллипса (жела-тельно построить дополнительные промежуточные точки), а через точкии штрихпунктирной линией проводят проекцию оси этого эллипса;

A B C D E F

Ê L N S TK

П

B P S D A М Ò С

S Ò

5.

• отрезками соединяют точки и ; и ; и (проекция дуги );и (проекция дуги ); и ; и (проекция отрезканаходится на отрезке );

• через точки , и проводят дугу окружности радиусом .В поле тонкими линиями проводят отрезки через точки и , и

, и – проекции отрезков , , соответственно.Определяется видимость линий пересечения относительно плоскос

тей и .В рассматриваемом примере относительно видно только ограничен-

ное окружностью верхнее основание цилиндра. Поэтому на проекции отрезков, , ( ), по которым пересекаются секущие плоскости, и

отрезка , по которому секущая плоскость пересекает плоскость нижнегооснования цилиндра, проводят штриховой линией (рис. 2.28 на с. 65).

Относительно видны точки цилиндрической поверхности, лежащие передобразующими и , в частности , , , , а также те еёточки, расположенные за образующими и , которые становятся видны врезультате выреза части тела, например, точки и (рис. 2.24 и 2.28).Поэтому часть отрезков и , расположенных в «задней» относитель-но половине цилиндра, «выглядывает» из-за дуг эллипса и становитсявидимой (рис. 2.28).

Отрезки , и расположены внутри цилиндра и не видныотносительно .

F D E С B Q BQFA U AUE B A C Q [F ,E ][F,E] [Q ,U ]

L Ê N RА Â

Е F

П ПП

П[A,B] [E,F] [C,D] [E ,F ] [C ,D ]

[L,N]

Пl l S Q U

l lЕ F

[F,D] [ , ]П

[A,B] [E,F] [C,D]

П

Ф

Е С

П

6.

LN [A,B] [L,N] [E,F]

L K N T M A B P

l l S U Ò Q

-

, , , , , , ,

нимание вырезаны контурные относительнообразующие и соответственно между точками и , и (рис. 2.24

и 2.28).На рисунке 2.28 представлен итоговый чертеж выполненной задачи

примера 2.15 – задачи №2 РГР №2.

Следует обратить в на то, чтоП

3

3 3 3 3 3 3 3 3

3 3 3 3

3 3 3

1 1 1

1 1

1

1

1

1

3

1

33 4

3 4

3

3

3

3 4

3 3

3 3 3 3 3 3 3 3

3 3

3

1 1 1 1

62

–На рисунке 2.25 приведен 31-й вариант задания задачи №3 РГР №2 –

условие задачи примера 2.16, в

Две соосные поверхности вращенияпересекаются по окружностям-параллелям, которые образуются при вращенииточки пересечения меридианов этих поверхностей .

адачу рекомендуется выполнять

Пример 2.16. Условие примера и задачи №3 РГР №2: заданоизображение шара на фронтальную ПП со сквозным вырезом (срезом),образованным фронтально проецирующими плоскостями, а в некоторыхвариантах ещё и фронтально проецирующей цилиндрической поверхностью.Построить изображения шара на горизонтальную и профильную ПП.

Шар это часть пространства, ограниченная сферой.

котором сквозной вырез образуют проецирующиеплоскости и цилиндрическая поверхность вращения. Цилиндрическая поверх-ность и сфера имеют общую ось вращения, перпендикулярную к плоскостипроекций . Поверхности вращения, имеющие общую ось вращения, называют-ся .

З №3 РГР №2 в следующей последо-вательности.

Псоосными поверхностями вращения

Рис. 2.25

В правой части формата А3 в тонкихлиниях вычерчивают изображения шара нафронтальную, горизонтальную и профильную ПП(рис. 2.26). Изображение шара на с положениемобразующих вырез проецирующих плоскостей ,и проецирующей цилиндрической поверхностидано в задании (рис. 2.25) и перечерчивается нарис. 2.26 по заданным размерам.

Изображения шара на и располага-ют в проекционной связи с его изображениемна .

1.

П

Ф

П П

П

S G

80

2

2

1 3

2Контурной линией шара (сферы) относительно плоскости являетсяокружность главного меридиана , относительно – окружность экватора ,относительно – окружность профильного меридиана (рис. 2.26). Поэтомуи

Пm П q

П gзображением шара на является проекция его главного меридиана ,на – проекция его экватора , на – проекция его профильногомеридиана . На рис. 2.26 также даны проекции координатных осей, связанныхс шаром, и начала отсчета , расположенного в центре сферы.

ПП П

О

m mq q g

g

1

2

3

2 2

3 31 1

2. С вырез образуют фронтально проецирующие

фронтальная проекция линии их пересечения со сферой (поверхностьюшара) известна (рис. 2.27). Решение задачи сводится к построениюгоризонтальных и профильных проекций линий пересечения сферы с секущимипроецирующими поверхностями , , (2ГПЗ–2) и к построению линийпересечения проецирующих поверхностей между собой (2ГПЗ–1).

квозной плоскости ,и цилиндрическая поверхность вращения (рис. 2.26). Поэтому

При анализе характера линий пересечения сферы с секущимиплоскостями следует учитывать, что любая плоскость пересекает сферу поокружности.

S ПГ П Ф П

k k

S Г Ф

3.

2

3

2

2

Плоскость пересекает сферу по окружности, проецирующейся на вотрезок , а на и – в дуги эллипсов (рис. 2. ).

Эллипс – лекальная кривая, которая строится приближенно по точкам. Гори-зонтальные проекции произвольных точек и для построения эллипсов(рис. 2.27) найдены по их проекции взята на произвольно) спомощью окружности и линии связи . Профильные проекции этих точекпостроены по их фронтальным и горизонтальным проекциям с использованиемкоординаты . Аналогично ищут проекции характерных точек и , задающихположение второй оси эллипсов и других их произвольных точек (принеобходимости). Характерная точка найдена из условия её принадлежностиглавному меридиану сферы , а характерные точки и – её экватору иокружностям и .

S27

[ , ]( , )

ПП П[A E ]

1 21 2 A E

q 1 1

Y B D

Am C E q

m m

,

(

63

Так как сфера и цилиндрическаяповерхность соосны – их общаяось вращения перпендикулярна к ,то они пересекаются по двум полуокружностям и , проходящимчерез точки и соответственно(рис. 2.27). На эти полуокружностипроецируются в полуокружность ,а на и – в отрезки , и

, соответственно.

Ф

m mC K E N

m mm m

П

,П

ФП П

-

,

21

2

2

2

1 3

x

Рис. 2.26

m

gz2 2

2

Г2

m2

z3

O2

g 3

y3

m 3

q2

q g

1

11

1

y1

S

x2

Ф2

q 3

2 22 2

2

1

1

2

2 2 1 3

O3

O1

Плоскость пересекает сферу по полуокружности , проецирующейсяна в отрезок длиной, равной радиусу этой окружности, на – вотрезок , на – в полуокружность (рис. 2.27).

ГП П

П

g[K L ]

[K N ] g,

,2 2

1

2 1

1 1 313

1

2

1 21 1

1 23 3

Без учета выреза относительно видны точки сферы, находящиесявыше экватора , а относительно – точки сферы, расположенные передпрофильным меридианом и проецирующиеся на и левее и соот-ветственно (рис. 2.27).

В связи с изложенным, дуга окружности, по которой сфера пересекаетсяплоскостью , проецируется на и в видимые дуги эллипсов (рис. 2.27 и 2.28).

ПП

П

П П

qg g gП

S

64

x

Рис. 2.27

m

g

YR

1 2

2

A 2

Ê2 N

k2

Ф

E2

B

t

m

g

q

12 2 m 2

2

22

B2 D2

C2

1

z2 2

2

2

Г2q

2

2

m2

g

A3z3

2 1 33

D3 B 31

g 13O2 O3

C Ê3

3

N 3 E3

m23 m 3

1

t3 g 3

y3

3

m 3

N

A1 O

E 1

C1

D

1

Ê1

q2

q g

1

11

1

21

1

1

q1 11

1

11

1

m11

y1

m 12

L2

S

x2

1

3

3

экватора сферы. В свою очередь относительно видны половины этих полуокружностей, расположенные в передней относительно части сферы, и невидны симметричные их половины, расположенные в её задней относительно

части (рис. 2.28).Плоскость и цилиндрическая поверхность пересекаются по отрезку

, расположенному внутри шара (рис. 2.27) и не видимому ни на , ни на.

Относительно не видна нижняя контурная образующая цилиндрической поверхности , находящаяся внутри шара (рис. 2.27 и 2.28).

В результате выреза у шара (сферы) отсутствуют часть меридианамежду точками и (рис. 2.27 и 2.28), часть экватора – остались только егодуги и (рис. 2.27 и 2.28) и большая часть профильного меридиана – ос-

ПП

ПФ

П

ПФ

-

(рис. 2.28)-

S[ , ]C E

t

mA L q

CE KN g

П

1

21

3

1 2

1 3

Полуокружность , по которойсферу пересекает плоскость , находит-ся в верхней относительно и в заднейотносительно части сферы (рис. 2.26).Поэтому на полуокружность прое-цируется в видимый отрезок , а на

– в невидимую полуокружность(рис. 2.28).

Благодаря вырезу, относительновидна часть дуг полуокружностей

и (рис. 2.28), расположенных ниже

g

g

mm

ГП

ПП

П

П

1

1

3

1

3

11

2

3

3

3

65

талась лишь его дуга в нижней части сферы (рис. 2.28).Полностью выполненная задача №3 РГР №2 приведена в правой части

формата на рис. 2.28.

Рис. 2.28

Для выполнения метрических задач необходимо знать следующие темыи разделы учебного курса:

• задание на чертеже геометрических образов (ГО) – см. главу 1;• главные позиционные задачи (ГПЗ) – см. главу 2;• теорему о проецировании прямого угла;• основные метрические задачи;• задание новой плоскости проекций.

Теорема о проецировании прямого угла выделяет случай, когдапрямой угол между прямыми линиями проецируется на плоскость проекций(ПП) в натуральную величину:

. В общем же случае прямой угол припроецировании искажается, проецируясь на ПП в острый или тупой угол.Заметим, что здесь и далее речь идет об углах как между пересекаю-щимися, так и между скрещивающимися прямыми ( уголмежду скрещивающимися прямыми равен углу между пересекающимисяпрямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимся прямым).

Через точку можно провести бесконечное множество прямых перпен-дикулярно к данной прямой. Если точка не лежит на данной прямой, тоиз множества перпендикуляров к ней, проходящих через эту точку, толькоодин пересекает данную прямую, а остальные скрещиваются с ней.

прямой угол проецируется на ПП впрямой угол, если хотя бы одна из его сторон параллельна этой ПП, авторая к ней не перпендикулярна

напоминание:

3.1. Теоретические основы решения метрических задач

3. РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА №3«МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ»

h

h

M

Ml

l2

2

22

1

1

1

C

С 1

Рис. 3.1

x 21

На рисунке 3.1 через точку проведена произвольная прямая , перпен-дикулярная к горизонтали и с ней скрещивающаяся, а на рис. 3.1 – прямая, перпендикулярная к и её пересекающая. В обоих случаях , так как

, при этом на рис. 3.1 проведена через произвольно, а на рис. 3.1проходит через , где .

На рисунке 3.2 через точку надо было провести прямую, перпендикулярную к прямой общего положения. Задача имеет бесконечное множестворешений. Но сразу, без дополнительных построений можно провести к прямой

аб

а б

M lh

l h l hh l Ml C C = l h

Ma

a

П

-

1 1

1

h

h

M

Ml

l22

2

1

1

1

С 1

x 21

2 2

2

ба

66

2

два перпендикуляра – горизонталь или фронталь. В общем случае эти горизонталь и фронталь спрямой будут скрещиваться.

На рисунке 3.2 построены проекции проходя-щей через точку фронтали , перпендикулярнойк прямой общего положения и скрещивающейся сней ( , так как и ; поскольку ).

hf

a

M fa

f a f f a f xf

ПП

-

f

f

M

M

22

2

a

a 1

1

1

Рис. 3.2Основу решения большинства метрических задач составляют две

(ОМЗ).Первая ОМЗ ( )

основные метрические задачи1ОМЗ – задача на перпендикулярность прямой и

плоскости. Она имеет две формулировки:• через точку провести прямую, перпендикулярную к данной плоскости;• через точку провести плоскость, перпендикулярную к данной прямой.1ОМЗ решается согласно

: прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендику-лярна к двум пересекающимся прямым этой плоскости. Поскольку вобщем случае прямой угол между прямыми при проецировании иска-жается, то

, используя признак перпендикулярности прямой и плоскости итеорему о проецировании прямого угла.

Алгоритм решения 1ОМЗ на чертеже для 1-ой её формулировки:

.На рисунке 3.3 построена проходящая через точку прямая , перпен

дикулярная к плоскости . Плоскость задана пересекающимися

признаку перпендикулярности прямой иплоскости

1ОМЗ на чертеже удобно решать с помощью прямыхуровня

чтобыпостроить прямую перпендикулярно к плоскости, в плоскости строятгоризонталь и фронталь , после чего проводят и

-

1 22 1

2

горизонталью и фронталью , что позволило сразу провести проекции прямой: и .

h fl l h l fS

На рисунке 3.3 плоскость была задана точкой и прямой , поэтомуперед проведением проекций и прямой , проходящей через точку пер-

б S A al l l M

M

M

2

1

l2

h 1

h 2

l1f1

f2

M

M

2

1f1

f2

S2A

A

2

1

M

M

2

1

l2

l1

a2

a1

f1

h 1

h 2

f2

Рис. 3.3

а б в1 1 2 2

1 2

2 2

x 21

67

пендикулярно к плоскости , в плоскости строились горизонталь и фронталь .

к плоскости перпендикулярна горизонталь , а к плоскости –фронталь (напоминание: знак « » означает, что ГО, записанный левеезнака, проецирующий относительно ГО, стоящего правее знака). На рис. 3.3через точку перпендикулярно к плоскости проведена фронталь , укоторой проекция по теореме о проецировании прямого угла.

Алгоритм решения 1ОМЗ на чертеже для 2-ой еёформулировки:

.На рисунке 3.4 горизонталью и фронталью ,

проходящими через точку , задана плоскость ,перпендикулярная к прямой :

и ;

S

S S

SS

h f

hf

M ff

Перпендикуляром к проецирующей плоскости является прямаяуровня:

плоскость, перпендикулярную кпрямой , задают горизонталью и фронталью ,проводя и

П П

вП

П f иП f fa aa

a

.Таким образом, прямая перпендикулярна к двумпересекающимся прямым плоскости , поэтому .S S

2

h

M

M

f2

2

1

1

Рис. 3.4

a 1

h 2

f1

a 2

1

2 2

21 1 1 2 2

Вторая ОМЗ (2ОМЗ) – задача на определение длины отрезка(расстояния между двумя точками).

2ОМЗ решается по правилу прямоугольного треугольника. Дляпояснения этого правила проведем некоторые рассуждения на наглядномизображении (рис. 3.5), содержащем ПП , расположенный в пространствеотрезок и его проекцию на отрезок .

В плоскости, проецирующей отрезокна , через точку проведем отрезок

. При этом . Очевидно, чтопрямоугольный, в нем катет равен

отрезку , катет определяется раз-ностью расстояний точек и до ПП , агипотенузой является отрезок .

Сформулируем правило прямоуголь-ного треугольника.

1. Длина отрезка равна длине гипотенузыпрямоугольного треугольника, который строят

по двум катетам. Первый катет – проекция отрезка на ПП, второй катет –разность расстояний концов отрезка до этой ПП. Если прямоугольныйтреугольник строится в поле , то его второй катет равен разности координатконцов отрезка, а если в поле – разности их координат .

2. Угол между отрезком (прямой) и ПП определяется углом между отрезком(прямой) и проекцией отрезка (прямой) на эту ПП. На рис. 3.5 угол равен углумежду отрезком и ПП .

ПП

П

П

ПП

П

[A,B] [A ,B ]

[A,B] A[A,D] [A ,B ] D BADB [A,D]

[A ,B ] [B,D]A B

[A,B]

ZY

[A,B]

ф

a

A1

AB

D

B D1 1

a

Рис. 3.5

1

1 1 1

1

1 1 1 1

1 1

1

1

2

1

68

2

Применение правила прямоугольного треугольника на комплексномчертеже иллюстрирует рис. 3.6, на котором определяется длина отрезка .[A,B]

A2

A1

D2

B2

a B D1 1

N

A2

A1

B2

B1

A,B

E 1

M

E2

а б

Рис. 3.6

A,B

На рисунке 3.6 прямоугольный треугольник строится в поле . Первыйкатет этого треугольника – горизонтальная проекция отрезка ;второй катет – отрезок , отложенный на прямой, проходящей черезточку перпендикулярно к . Отрезок равен отрезку , длинакоторого есть разность координат точек и (превышение одного концаотрезка над другим). Длина гипотенузы треугольника определяетдлину отрезка : |

приведены на рис. 3.6 в поле . Наэтом рисунке построен прямоугольный треугольник, один катет которого –фронтальная проекция отрезка , а второй – отрезок ,равный отрезку – разнице координат (глубин) концов отрезка

. Длина гипотенузы | | равна длине отрезка | |Угол (рис. 3.6 ) определяет угол наклона отрезка к ПП , а

угол (рис. 3.6 ) – угол его наклона к ПП .Отметим, что положение оси проекций, перпендикулярной к линиям

связи ( , ) и ( , ), не влияет на построения, связанные с определениемдлины отрезка по правилу прямоугольного треугольника, а прямой угол втреугольниках, построенных на рис. 3.6 для определения длины отрезка ,мог быть не при вершинах и , а при вершинах и соответственно.

При решении многих инженерно-геометрических задач используютпреобразование комплексного чертежа с целью получения дополнительныхпроекций (изображений) ГО, упрощающих решение задачи, делающих егоболее точным, удобным и т. д. Одним из основных методов преобразованиячертежа является .

Аналогичные построения

а

б

аб

П

ПП

[A ,B ] [A,B][A ,N]

A [A ,B ] [A ,N] [B ,D ]Z A B

[A,B] [B ,N][A,B] B ,N = A,B .

П

[A ,B ] [A,B] [A ,M][A ,E ] Y

[A,B] B ,M A,B[A,B]

A A B B

[A,B]A A B B

| | |

.a

b

способ задания новой плоскости проекцийСуть преобразования чертежа способом задания новой ПП заключается

в том, что дополнительно к ПП и вводится новая ПП, проецируя на кото-рую ГО получают его новую проекцию.

П П

21

1

1 1

1

1 1 1 2

1

1

2

2 2 2

1 1

1

2

1 2 1 2

1 12 2

1 2

2

69

Зададим новую ПП и найдем проекции , и точки наПП , и (рис. 3.7). В системе ПП ( , ) точка задавалась проекциями

, , а в новой системе ПП ( , ) .

П ПП П П П П

П П

A A A AA

A A A A– проекциями и

3 1 1 32

1 2 3 1 2

1 2 1 3 1 3

A

A1

x

x

П2 A2

Ax

A3

Ax

A2

A1

A3

x 21

x 31

AxAx

Рис. 3.7 Рис. 3.8

Для перехода к плоскому изображению повернём и вокруг прямой( ) до их совпадения, а затем повернем вокруг прямой

до совпадения с и . В результате получим комплексный чертеж(КЧ) точки (рис. 3.8)

П ПП П П

П Пx x = x

x -x x

x

()

– плоскость, содержащую три проекции точки на три ПП. Нарис. 3.8 – ось проекций, разделяющая поля проекций и и являющаяся проекцией прямой на и ; – ось проекций, разделяющая поляпроекций и и являющаяся проекцией прямой на и .

x == П П

П ПП П

П П П ПВ общем случае порядок построения проекции точки при задании

новой ПП следующий (см. рис. 3.8).A A

П П1. Перпендикулярно к линии связи ( , ) проводят ось проекций ,A A x

если она не задана на исходном чертеже.

1 2

1 2 3

1 2

1 2 1 2

1 2 1 3

1 3 1 3

3

3 1

1 2 1 2

1 3

2. В заданном направлении проводят новую ось проекций (на рис. .x 3 8направление оси выбрано произвольно).x

3. Из точки перпендикулярно к оси проводят новую линию связи.A x4. Определяют расстояние от точки до – на рис. . и . этоA П 3 7 3 8

A Aотмеченное расстояние от точки до точки .

1 3

1 3

1 1 3

1

2 x

5. Это расстояние откладывают от точки по новой линии связи ( , ).Обычно на чертежах точки и не показывают и не обозначают.Подобным образом можно последовательно задавать любое число но-

вых ПП, но с условием – новая ПП должна быть перпендикулярна к одной изимеющихся ПП. В общем случае расстояние новой проекции точки от новой осиравно растоянию от заменяемой проекции точки до предыдущей оси. Нарис. . приведен КЧ точки , полученный при задании новых ПП в следующейпоследовательности: , , , , (все оси проекцийпроводились произвольно, а откладываемые расстояния отмечены).

A A AA A

A3 9П П П П П П П П П П

x

xx

1 3

3 2 4 3 5 1 6 5 7 6

70

Рис. .3 9

A1

A2

A3

A5

A6

A7

A4

x 43x 21

x 51

x 65

x 76

x 32

Решение любой задачи с применением новых ПП сводится к решениючетырех задач, называемых основными задачами преобразования чертежа(ОЗПЧ), и (или) их комбинаций. Эти четыре задачи условно обозначаются1ОЗПЧ, 2ОЗПЧ, 3ОЗПЧ, 4ОЗПЧ.

прямую общегоположения перевести в положение прямойуровня. Для выполнения 1ОЗПЧ новую ППзадают параллельно и перпендикулярнок или к . Новая ось проекций при этомпараллельна или .

Условие 1ОЗПЧ: a

a

a aП П

На рисунке 3.10 прямая , заданнаяпроекциями и , переведена в положе-ние прямой уровня с применением новой ПП

и (новая ось проекций ).Для построения проекции прямой наней были взяты произвольные точки и .

aa a

a x aa a

A B

П П П

x 21x 31

B2

B1

A1a1

a2A2

A3B3

a3

A,B

Рис. 3.10

1 2

1 2

1 2

13 3 1 11 3

3

На рисунке 3.10 найдена длина отрезка , так как отре-зок расположен на прямой .

[AB] A,B = A ,B[AB] a

:П

прямую уровня перевести в положение проецирующей прямой.Выполняя 2ОЗПЧ, новую ПП задают перпен-дикулярно к прямой уровня. Для горизонталиновая ось проекций , а для фрон-

тали новая ось проекций .На рисунке 3.11 фронталь , заданная

проекциями и , переведена в проецирующее положение

Условие 2ОЗПЧ:

h x hf x f

ff f

f

-

-( , ). Для

построения проекции использовалась точ-ка .

П f x ff

A f

3

3 3

x 32

A1 1

2A2

fA3 3

f

fx 21

Рис. 3.11

1 3 1

2 3 2

1 2

3 3 2 3 2

3

71

72

Для перевода прямой общего положения в положение проецирующейпрямой надо последовательно задавать две новые ПП.

1. Задают и перпендикулярно к (новая ось проекций )или к (новая ось проекций ) и решают 1ОЗПЧ.

2. Задают (новая ось проекций) и решают 2ОЗПЧ.

На рисунке 3.12 для переводапрямой в проецирующее положение(были заданы , и ) на 1-м шагеиспользовали . Проекции истроили с помощью проекций точек и

прямой , откладываемые расстоя-ния на рис. 3.12 обозначены.

a

a x ax a

ax a

aa a x

a aA

B a

П ППП

П П

3 1 1 3 1

2 2 3 2

Рис. 3.12

x 31

x 43

a1

2

A2

B1

B2

A1

4 A Ba 4 4 a3 A3B3

a

x 21

4

3 4 3

1 2 1 2

3 1 3 4

,

Условие 3ОЗПЧ: плоскость общего положения перевести в положениепроецирующей плоскости. Новую ПП задают перпендикулярно к горизонталиили фронтали плоскости, новая осьпроекций перпендикулярна к или к .

На рисунке 3.13 плоскость ( ) переведена в проецирующее положение с по-мощью новой ПП . Были заданы точкаи прямая . П

строилась горизонталь , начиная с ,и задавалась ось . Для построенияосновной проекции плоскости исполь-зовались точки и

hf

h fA a

hA a

h h xx h

A

ГГ

П

Г Г

-

роводилась ось ( ),

.

x A ,A

D a

h

h

h

A

A

Рис. 3.13

x 31

x 21

a

a1

2

2 2

11

3

3

Г

A3

D1

D2

D3

1 2

3

3

1 2 1 2

1 3 1

3

2 1 2

Условие 4ОЗПЧ: проецирующую плоскостьперевести в положение плоскости уровня. НовуюПП задают параллельно проецирующей плоскости,новую ось проекций проводят параллельноосновной проекции этой плоскости.

На рисунке 3.14 найден натуральный вид, расположенного в плоскости . Для этого

плоскость перевели в положение плоскости уро-вня, задав (новая ось проекций ).

1ОЗПЧ используют при решении 2ОМЗ, задачна теорему о проецировании прямого угла; 1ОЗПЧ и2ОЗПЧ – при определении расстояний от точки до

ABD

x

Г ПГП Г Г B

B

A

A

A

D

D

Г

x 32

x 21

2

1

2

1

1

2

3

3

3

D2B

Рис. 3.14

2

3 2 3 2

ABD

прямой и между скрещивающимися прямыми; 3ОЗПЧ – при решении 1ОМЗ иопределении расстояния от точки до плоскости; 3ОЗПЧ и 4ОЗПЧ – при опреде-лении натурального вида плоской фигуры.

РГР №3 состоит из четырех задач, решаемых на трех листах ватманаформата А3: задача №1 – на листе, расположенном вертикально; задача №2 –на листе, расположенном в зависимости от варианта горизонтально иливертикально; задачи №3 и №4 – на одном листе, расположенномгоризонтально.

Задача №1 выполняется в увеличенном масштабе 2:1, а задачи №2, №3и №4 – в натуральном масштабе 1:1.

Примеры выполнения, компоновки и оформления чертежных листов срешенными задачами показаны на рис. 3.19 (с. 78), рис. 3.22 (с. 81) и 3.27 (с. 86).Пример задачи №2 на рис. 3.22 (с. 81) дан для случая, когда задачу №2 целесо-образно было выполнять на формате А3, расположенном вертикально. Нарисунке 3.27 (с. 86) задача №3 решалась в правой части формата, а задача №4 –в его левой части. Такая компоновка задач №3 и №4 на чертежном листе не обяза-тельна – задачи в зависимости от их условий могут размещаться на нём наоборот.

Варианты заданий на РГР №3 приведены в практикуме 3 . Как уже нераз отмечалось, указания по выбору варианта, присваемого студенту, даны вовведении. Каждый вариант задания содержит следующую информацию.

1. В миллиметрах заданы координаты , , точек , , и .2. Для задачи №3 указано, через какие две точки проходит прямая и от

какой точки ищется расстояние до этой прямой.3. Для задачи №4 указано, через какие точки проходят скрещивающиеся

прямые, между которыми ищется расстояние.В задачах №1, №2, №4 используются все четыре точки , , и , а в

задаче №3 – три точки, указанные в варианте задания.Выполнение всех задач начинается с построения по заданным

координатам горизонтальных и фронтальных проекций точек. На рис. 3.15показано, как это делается, на примере построения проекций точки .

Сначала в поле чертежа проводят ось проекций и указывают на нейначало координат точку (рис. 3.15). Напомним, что оси и , проходящиечерез начало координат, перпендикулярны к оси проекций , причем осьнаправлена вниз, а ось z вверх.

[ ]

X Y Z A B D E

A B D E

Ax

0 y zx y

3.2. Общие указания к РГР №3

AX

XA

x 21

A2E2

D2

OB2

E1B1

A1D1x 21

A1

A2

O

Рис. 3.16

1 2

1 2

Рис. 3.15

73

Для построения проекций и точки от точки влево по осиоткладывают – координату точки , получая точку ; затем от в на-правлении оси (перпендикулярно к оси вниз) откладывают

A A A 0 xX A A A

y x YY A z x

Z Z A A AY = 0 A A Z = 0 A A Y = Z = 0

A A A

X– коорди-

нату точки , а в направлении оси (перпендикулярно к оси вверх) откла-дывают – координату точки , получая точки и соответственно(рис. 3.15). Если , то ; если , то ; если , то

.Аналогично строят проекции точек , и , после чего убирают с чертежа

точки , , и (рис. 3.16).Перед заданием на листе ватмана оси проекций и

начала координат на ней рекомендуется, используя черновик, установить,куда будут направлены основные графические построения, приводящие крешению задачи.

Для каждой задачи приводят знакокодовую запись её условия.На свободных местах всех трех чертежных листов вычерчивают

таблицу с заданными координатами точек.Точки на чертежах для наглядности выделяют кружочками.Для лучшего восприятия материала задачи РГР №3 в пособии

решают поэтапно на отдельных чертежах, начиная с исходного и заканчи-вая итоговым. При этом часть обозначений и построений с промежуточныхчертежей на итоговый чертеж в пособии не переносят. Студент же всепоэтапные построения выполняет тонкими линиями на одном чертеже.После проверки выполненной задачи преподавателем и с его разрешения,проекции прямых линий (отрезков прямых) на чертеже и основнуюпроекцию проецирующей плоскости обводят основной линией, а линиисвязи и оси проекций сплошной тонкой линией толщиной 1/3...1/2 оттолщины основной линии. При этом на чертеже рекомендуется оставлятьпостроения и обозначения, приведенные на рис. 3.19 (с. 78), 3.22 (с. 81) и3.27 (с. 86) пособия.

B D EA B D E

xВнимание.

21 X

1 21 2

A X X

1 2 A

1 2

A 1 2

A 1 X A 2 X A A

1 2

X X X X

3.3. Пример решения задачи №1

Условие задачи №1: найти расстояние от точки до плоскости ,заданной точками , и , без преобразования чертежа. В знакокодовойсистеме плоскость , заданную точками , , , обозначают , заданнуютреугольником , условие задачи №1 записывают так: .

Р о.

асстояние от точки до плоскости определяется длин й отрезкаперпендикуляра, проведенного из точки к плоскости

езависимо от способа1. Через точку провод перпендикуляр плоскости .2. Определя точк ересечения плоскост

отрезок, длина которого искомо расстояни .

Алгоритм опреде-ления этого расстояния н его нахождения следующий.

ят к , решая 1ОМЗют у п перпендикуляра с ью,

решая 1-ю главную позиционную задачу (1ГПЗ) и получаяперпендикуляра равна му ю

74

Находят у , решая 2ОМЗПоэтапное решение задачи №1 иллюстрируют рис. 3.17, 3.18 и 3.19,

причем на рис. 3.19 дан итоговый чертеж полностью выполненной задачи №1на листе ватмана с основной надписью. Рекомендуется приведенная нижепоследовательность выполнения задачи №1.

На вертикально расположенном листе ватмана формата А3 задается осьпроекций , начало отсчета на ней точка и по удвоенным координатамточек , , , строятся их проекции и , и , и , и . В ре-зультате на листе появляется исходный чертеж, такой же как на рис. 3.16, ноувеличенный в два раза. Точки , , задают плоскость .

Переходят от способа задания плоскости тремя точками ( ) кспособу задания её треугольником ( ). Для этого отрезками соединяютточки , , и , , (рис. 3.17).

Решают 1ОМЗ, проводя через точку перпендикуляр к плоскости(рис. 3.17):

• в плоскости строят горизонталь и фронталь , начиная с проведениячерез точку проекции и через точку проекции ;

• используя признак пер-пендикулярности прямой иплоскости и теорему о прое-цировании прямого угла (см.рис. 3.3 и комментарии кнему), проводят через точку

прямую и черезточку прямую .

3. длин этого отрезка .

1.

2.

3.

x 0A B D E A A B B D D E E

A B D (A,B,D)(A,B,D)

( A,B,D)A B D A B D

E l( A,B,D)

h fD h x A f x

E l hE l f

SS S

S

SS

ф

ф

21

1 2

1 1 12 2 2

x 21

A2 E 2

D2

OB2

E 1B1

A 1

D1

1222

21

11

f

l

h2

h1

f1

2

l2

1

Рис. 3.17

21 1 1 2 2

2 2 1 2 1 1 1 2

1 1 1

2 2 2

75

5 62 2

Решают 1ГПЗ–3 (рис. 3.18), определяя точку пересечения перпенди-куляра с плоскостью : (см. рис. 2.7 на с. 38 и рис. 2.14 нас. 46 и комментарии к ним):

• прямую заключают в горизонтально проецирующую плоскость –на чертеже появляется запись ;

• строят проекции прямой , по которой плоскость пересекаетданную плоскость ; так как , то ; ищется из условия при-надлежности прямой плоскости с помощью точек и ;

• находят проекции точки : и .точка является границей видимости прямой

относительно плоскости – в точке эта видимость меняется.Для определения видимости перпендикуляра относительно ПП ис-

пользуются конкурирущие относительно точки и ( ): точкадальше от наблюдателя, чемточка (см. на и ). По-этому ветвь прямой правееточки относительно видна,а левее нет (рис. 3.18).

Аналогично из двух конку-рирующих относительно то-чек и ( ) точкаближе к наблюдателю, чемточка (см. на и ). По-этому относительно ветвьпрямой левее точки невидна, а правее видна.

Точка может располагаться на одной из сторон

, а также находиться внепределов этого треугольника,так как им задается бесконеч-ная плоскость.

4. Kl ( ABD) K = l

ll

t =t t t

t 3 4K = l = t l K = t l K l t

K = l lK

l5 6 5 6 5

6 l 5 6l

K

3 7 3 7 3

7 l 3 7

l K

K = l

ABD

S S

DD

D S DS D D

SS D

SS

S

S

S

ф

ф

П

ПП

П

П

П

Напоминание:

-

x 21

A2 E 2

D2

OB2

E 1B1

A 1

D1

1222

21

11

f

l

h2

h1

f1

2

l2

1 D t1 1

t2

7 31 1

72

32

42

K2

K1

51

6141

наблюäателÿНаправление

на П1вçãлÿäа

наблюäателÿНаправление

на П2

вçãлÿäаРис. 3.18

2

1

1

1 1

1 1 2

2 2 2 1 1 1 1

2

2 2 2

1 1

2

1

1

2

1

76

.

5. Решают 2ОМЗ, определяя по правилу прямоугольного треугольникадлину отрезка , равную искомому расстоянию от точки до плоскости: | | | | (рис. 3.19):

• в качестве первого катета прямоугольного треугольника принят отрезок;

• из точки проводят прямую ;• от точки по прямой откладывают отрезок , длина которого

равна длине отрезка | | ;• отрезок – гипотенуза треугольника, длина которого | | равна

длине отрезка , определяющей искомое расстояние: | | | |После нахождения длины отрезка задача №1 полностью

выполнена (рис. 3.19).

[E,K] l EE,K = E,

[E ,K ]E d lE d

[E , ][ K ,N[E,K] E,K = E,

E,K

S S

S

[E ,N]F E ,N = E ,F

E,K [ ]

( | |)

| |

K ,N]


Условие задачи №2: используя способ задания новой ПП, найтирасстояние от точки до плоскости и определить натуральный вид

. В знакокодовой системе это условие выглядит следующим образом:| | и | | .

Из условия задачи №2 следует, что она состоит из двух частей: 1-я часть –нахождение искомого расстояния, 2-я часть – определение натурального видаплоской фигуры.

Для примера решения задачи №2 в пособии используется лист ватманаформата А3 вертикального расположения. Как указывалось выше, некоторыеварианты задачи №2 удобнее выполнять на формате А3, расположенномгоризонтально.

Алгоритм решения задачи на определение расстояния от точки доплоскости был сформулирован в разделе 3.3 и остаётся неизменным: дляпостроения перпендикуляра, проведённого из точки к плоскости , выпол-няется 1ОМЗ; для определения точки пересечения указанного перпендику-ляра с плоскостью решается 1ГПЗ, в результате появляется отрезокперпендикуляра, длина которого равна искомому расстоянию; для определения| | – длины отрезка решается 2ОМЗ.

Цель задания новой ПП при решении 1-ой части задачи №2 – преобразо-вать плоскость общего положения в проецирующую, чтобы найтиискомое расстояние, выполняя указанные 1ОМЗ, 1ГПЗ и 2ОМЗ с исполь-зованием свойства прямых и плоскостей частного положения.

Решение задачи №2, как и задачи №1, начинается с задания на листеватмана оси проекций и начала координат на ней; построения по координатам точек , , и , в результате чего на листе появляется чертеж,приведенный на рис. 3.16; перехода от задания плоскости точками , , кзаданию треугольником , вследствии чего на рис. 3.20 – исходном рисункевыполнения задачи №2 появляются , и точка ( ).

1 1

2 2 2 2

1 1

1

1 1

1 2

21 1 1 2 2 1 2

77

1

1

Метрическиеçаäачи

МАДИ 1МС

40.03.031.0002:1Чертил Иванов


Êоорäинаты

X Y Z

A

B

D

E

ZY

ZY

ZY

ZY

A A

B B

D D

E E

X

X

X

X

A

B

D

E

SЕA B D),, ,(S

Е,S

Заäача №1

Рис. 3.19

x 21

A2 E 2

D2

OB2

E 1B1

A 1

D1

1222

21

11

f

l

h2

h1

f1

2

l2

1 D t1 1

t2

7 31 1

72

32

42

K2

K1

51

6141

5 62 2

F2

d

Е,S Е,K=

N

78

_

Внимание: построения в задаче №2 в отличие от задачи №1 выпол-няются в масштабе 1:1.

Дальнейшее поэтапное решение 1-ой части задачи №2 иллюстрируютрис. 3.20 и 3.21. Рекомендуемая последовательность построений на этихрисунках следующая.

1. П ь аданием новой преобразуют в проеци-рующую, решая ОЗПЧ.

Для этого ПП задают перпендикулярно к горизонтали или фрон-тали плоскости. При задании ПП , как в примере на рис. 3.20,выполняют следующие построения:

• через точку проводя через пря-мую , а затем через точки и

•

П

П hf П h

Dh х D 1 h

3

S

лоскост ( ) з ПП

строят горизонталь , проходящую ,прямую ;

задают ;• н , для чего

роводят новую линию связи и тотмечен-

ное ;•

–, в которую проецируются все её точки на ПП .

Учитывая условие решаемой задачи, строят также проекцию точки(рис. 3.21).

S

S

ABD

h D

х hА А А

х хА х

Â D Â DА B D

E E

новую ось проекцийаходят новую проекцию точки из точки перпендику-лярно к оси п о оси по этойлинии связи откладывают расстояние от точки до оси ,

на чертежеаналогичным образом строят проекции и точек и .Через точки , и проводят прямую основную проекцию

плоскости П

3

2

1 2

1 3 1

12 1 1

1 3 1 3

3 1

2 1 2

3 3

3 3 3

3

3

x 21

A2 E2

D2h2 1 2

OB2

E1

h1

A3

D 1h 33 3B3

B1

A1D1

1 1S3

x 31

Рис. 3.20

3

2.

3

Решают 1ОМЗ (рис. 3.21), за-давая проекциями и пря-мую , перпендикулярную к заданнойплоскости ( ).

Так как , а прямая , топо теореме о проецировании прямогоугла (см. рис. 3.21). Посколькуплоскость – проецирующая относи-тельно ПП и , то , и по тойже теореме (см. рис. 3.21).

. Решают 1ГПЗ:(рис. 3.21).

В задаче №2 1ГПЗ решаетсядля 2-го случая, так как плоскость –проецирующая на ПП . Поэтому однапроекция точки известна: ,а проекцию находят на , проведя

l Е l El

ABDl h

l h

l ll

K = l

K K = lK l

SS

SS P

SS

S

S

ф

П

П

П

1 1 3 3

1

1

1

3 3

3 3

из линию связи перпендикулярно к оси . Проекция расположена налинии связи, проведенной из перпендикулярно к оси , и удалена от этойоси на расстояние, равное расстоянию от точки до оси (рис. 3.21).

K x KK x

K x

1 3 2

1

3

3 3 3

1

3

1 1 2

3 1 3

3

3

79

В задаче №2 вопрос видимости перпендикуляра относительноплоскости не рассматривается.

Построив точку , получим отрезок прямой , длинакоторого равна расстоянию от точки до плоскости .

l

K = l [E,K] lE

SS S

S4. Длина | | отрезка на

чертеже (рис. 3.21) уже есть: так какотрезок , то | | | |.Решение 1-й части задачи №2 завер-шается нанесением у отрезкаравенства | | | |.

На рисунке 3.21 приведен итого-вый чертеж 1-й части задачи №2.

Найдя расстояние от точки доплоскости (рис. 3.21), переходят ко2-ой части задачи №2

госпособом

задания новой ПП

• решают 3ОЗПЧ:общего положения -

н -к и горизонтали плос-

кости к и фронтали плоскости

E K

E K E K

E K E S

S

S

S

,

П , = ,

, ,

[E,K]

[E,K]

[E ,K ]=

E

.

ABD(A,B,D)

ПП hП f

Для определения натуральноговида , лежаще в плоскостиобщего положения ,

последовательнорешают две задачи:

преобразуютплоскость в проецирующую, задавая овую ПП перпендикулярно

или ;

ф

Ê2

x 21

A2E2

D2h2 1 2

OB2

E1

h1

A3

D 1h 33 3B3

B1

A1D1

1 1

E3

Ê3

Ê1S3

x 31

l1

l3

E S,

Рис. 3.21

E,K =

роецирующую плоскость заданием новой ПП параллельно и перпендикулярно переводят в положение плоскости уровня,в результате чего на ПП будет проецироваться в натуральную величину.

SS

ПП

Пк

ф

• решают 4ОЗПЧ: п -

ABD

1

2

4

3

4

3

3

3 3

Первое преобразование уже выполнено в 1-й части задачи и для реше-ния её второй части достаточно осуществить только второе преобразование,исходным чертежом для которого является чертеж, приведенный на рис. 3.21(точки и при втором преобразовании не используются).

Натуральный вид определяют с использованием новой ПП( , ), выполняя следующие построения .

Проводят новую ось проекций ., для чего

E K

хА Â D А Â D

ф ПП П П

1. SСтроят проекции , и точек , и2. из точек , и

от оси расстояния, аналогичные расстоянию, отмеченному для точкина рис. 3.22.

Соединяют точки , и , получая треугольник нат ральный вид треугольника : .

Итоговый чертеж задачи №2 приведен на рис. 3.22.

А Â D

хА

А Â D А Â DABD ABD = A B D

перпендикулярно оси х

3.

ABDS (см. рис. 3.22)

к проводят новые линии связи и отклады

– у -| | | |

вают поним

ф ф

3 4

4 4 4 4 4 4

4 4 4

4

3 4

3 4

4

4 4 3

3

4 4 4 3 3 3

3 3

80

x

SЕA B D),, ,(S

ABDЕ,S

Заäача №2

Метрическиеçаäачи

МАДИ 1МС__

40.0 .031.00031:1Чертил Иванов


Рис. 3.22

Ê2

B4

x 21

A2E2

D2h2 12

OB2

E1

h1

A3

D 1h 33 3B3

B1

A1D1

1 1

E3

Ê3

Ê1S3

43

D4

A4

x 31

ABD

Êоорäинаты

X Y Z

A

B

D

E

ZY

ZY

ZY

ZY

A A

B B

D D

E E

X

X

X

X

A

B

D

E

81

Е,S


Для задачи № в каждом варианте указано от какой точки тсярасстояние и какими точками задается прямая . Пусть, например,

требуется найти расстояние от точки допрямой , проходящей через точки и .

Цель задания новой ПП при решении задачи преобразовать даннуюпрямую в проецирующую, чтобынайти искомое расстояние, используя свойства прямых частного положения.

задач № рис. .

3 , ищев задании

записано . Это означает, что

Как указывалось, а 3 решается в правой части листа ( 3.27)

Условие задачи № : используя способ задания новой , найти расстояние от данной точки до прямой , проходящей через две указанные точки.

Расстояние от точки до прямой определяется длиной отрезкаперпендикуляра, опущенного из точки на прямую.

3 ПП -

–общего положения в прямую уровня, а затем

По координатам

строят проекции точек , и осле госоединяют точки , и , , получая проекции прямой (рис. ). Построенияаналогичны построениям, показанным нарис. и .

Рекомендуемая последовательностьрешения задачи №3 при определении расстоя-ния от точки до прямой , проходящей черезточки и , на рис. 3.23, 3.24 и 3.25 следующая.

роводят ось (рис. 3.23), указы-вают на ней начало отсчета и п

. П это-

и 3.23

3.15 3.16 Чертеж на рис. 3.23 – исходныйчертеж решения задачи №3.

A aD E

x

А D ЕЕ D Е D

а

1.

а а

a

a

2. Выполняют 1ОЗПЧ (см. рис. 3.10 ипояснения к нему на с. 71): прямую переводят вположение прямой уровня, задавая новую ПП

параллельно и перпендикулярно к илик (в примере ) и выполняя следующиепостроения (рис. 3.24):

П ПП П П

1 2

1 1 2 2

1 2

2

2

2

1

D

Е

D0

а

а

1

2

1

A

A

21х

1Е

Рис. 3.23

3 1

2 13

• проводят новую ось проекций;

• строят проекции , и точек, и ;

• с

x aA D E

A D ED Е

а аоединяют точки и , получаяпроекцию прямой .3

3 3 3

1 3 1

3 3

31

3

2

2

2

1

3

3

AЕ

Е

D

Е

D0

D

31х

а

а

а

1

2

1

A

A

21х

Рис. 3.24

82

2K

K1

K3

№( ).

Поскольку , то прямая с точками, , проецируется на в точку

( и ). Отрезок – проекцияотрезка на .

Так как и , то отрезокпроецируется на в натуральную величину: |

| (рис. 3.25) – задача решена.Компоновка решенной задачи 3 на листе

ватмана приведена на рис. 3.27 с. 86

a aD K E a D K Ex a x a [A ,K ]

[A,K][A,K] a a [A,K]

А,а == А,Ê = А ,Ê

ПП

ПП П

П || | |

3

4

1

3

4

2

2

2

1

3

3

4

A

A

Е

Е

Е

D

Е

D0

D

D

31х

А,а

а

а

а

а

43х

3Ê

4 4Ê

1

1

Ê

2Ê2

1

A

A

21х

4

4

Строят проекции отрезка перпендикуляра, опущенного из точкина прямую (рис. 3.2 ).

Для этого из точки проводят отрезок (по теореме о прое-цировании прямого угла: и ). Проекции и точкипоследовательно находят с помощью линий связи на проекциях и прямойсоответственно.

Соединив точки с и с , на рис. 3.2 получают проекцииотрезка , длина которого | | равна искомому расстоянию.

Однако длина | | неизвестна: отрезок занимает относительно ПП, , общее положение.

3. [A,K] Aa

A [A ,K ] aa [A,K] a K K K a

a a a

A K A K [A ,K ][A ,K ] [A,K] A,K

A,K [A,K]

П

П П П

и

3 3

Рис. 3.25

Определяют искомоерасстояние (рис. )

4.3.25 | | | |,

выполняя 2ОЗПЧ и переводя пря-мую в проецирующее положение, задав новую ПП .

Наносят новую ось проек-ций . Для построения проек-ции точки на линии связи,проведенной из перпендикулярно к оси , откладывают от этойоси отмеченное на рис. 3.25 рас-стояние от точки до оси .

A,a = A,K

aa

x aA A

Ax

A x

ПП

-

-

4

4

3 3

3 1 2

1 2

1 1 2 2 1 1

2 2

1 2 3

3

43 3

4

3

43

1 31

43 3 31 1

4 4 4 4 4

4 4

4

4 4

4

4 4


.

Условие задачи № : используя способ задания новой плоскостипроекций, найти расстояние между скрещивающимися прямыми и ,проходящими через заданные пары точек

4

Для задачи № в каждом варианте указано через какие пары точек проходят скрещивающиеся прямые, .

4 , -расстояниемежду которыми определяется

Расстояние между скрещивающимися прямыми определяетсядлиной отрезка общего перпендикуляра, проведенного к обеим прямым.

Способ задания новой ПП при решении задачи применяют дляпреобразования одной из данных прямых в проецирующую с тем, чтобы далее

83

Пусть условие рассматриваемого ниже примера задачи №4 в заданиизаписано следующим образом: . Это означает, что надо найтирасстояние между прямыми, одна из которых проходит через точки и(прямая ), а другая – через точки и (прямая ).

(A,E) (B,D)A E

a B D bзадачи № (рис. )Последовательность выполнения примера 4 3.26

следующая.Проводят ось проекций с началом отсчета, по координатам строят

проекции точек , , , (см. с. 73, рис. 3.15, 3.16 и пояснения к ним) и соединяютсоответствующие проекции точек , (прямая ) и точек , (прямая ).

1. xА Â D Е

А Е a Â D bПрямую переводят в положение прямой уровня заданием новой

ПП (в примере и ).2. а

П П а П ПНа этом этапе выполняются построения, подобные построениям этапа 2

при решении задачи №3: проводят новую ось проекций ; строят проек-ции , , и точек , , и ; через точки и проводят прямую ,а через точки и прямую (рис. 3.26).

х аА Â D Е А Â D Е А Е а

Â D b–

Задают новую ПП ( , ) и переводят прямую уровня впроецирующее положение, выполняя построения, подобные построениямэтапа 4 при решении задачи №3.

3. П П а П П a

1 2

3 3 3 2

2 3 2

3 3 3 3 3 3 3

3 3 3

4 4 34

32х

2

1

2

1

1

1

11

1

2

2

2

2

22

1

A

A

B

B

b

b

b

a

a

a

a

l

Е

D

Е

D

О21х

3

3

D

3B

3

4

A

A

N

N

N

3

3

3

3

3

4 4

Е

Е

M

M

M

4M

b

l

a b

4

4D

4B

4N

4

43х

Рис. 3.26

84

найти искомое расстояние, используя свойства прямых частного положения.

Для этого проводят новую ось проекций и строят проекции ,, и точек , , и (для точки откладываемые расстояния отме-

чены на рис. 3.26)

х а АB D Е А Â D Е D

.В результате прямая проецируется на в точку ( ), пря-

мая ( ) остается относительно прямой общего положения.a A E a

b b B , DП

ПОпределяют искомое расстояние .4. (A,E) (B,D) = a b

прям перпендикулярной к прямым ии их пересекающей (рис. 3.26):

l l l a bСтроят проекции и ой ,

• проводят и (так как , то ; так как , ,l a l b l a l a l a a Пто , но и по теореме о проецировании прямого угла );l l b l bП

• находят проекции точки : , а проекции , иN l b N = l b N N N=

3 4 3 4

4 4 4

4 4 4 4

4 4 4 4

43

4 4 4 4 4 4 4

4 4 4

4 4 4 3 2 1

ищут соответственно на проекциях , и прямой с помощьюb b b bпоследовательного проведения линий связи из проекций точки ;N

• проводят и ( , , поэтому по теореме о проеци-l N l a l a a Провании прямого угла );l a

; проекции иМ = l a M a M = l a М М• определяют проекции точки : ;находят соответственно на проекциях и с помощью линий связи;a aсоединяя соответствующие проекции точек и , получают проекцииМ N•отрезка , определяющего искомое расстояние ;[M N] a b,

скомое расстояние• обозначают и , так какa b = M ,N [M,N] П( , а ) и .[M,N] l l M,N = M ,NП

Если обе прямые иa ba b

a b

– прямые общего положения, то проецирующейможно делать любую из них, при этом на этапе 2, делая или прямой уровня,можно задавать новую ПП . Если по условию одна из прямых илиявляется прямой уровня, то проецирующей следует делать эту прямую, исполь-зуя для этого одну новую ПП.

П П

В левой части рис. 3.27 приведен итоговый чертеж задачи №4.

3 2 1

3 3 3 3 3

3 3

4 4 3 3 3 2 1

2 1

4 4 4

4 44

3 1

85

Расстояние между прямыми на рис. 3.26 определено.a b

Рис. 3.27

Òочки

86

4. РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА №4«ГРАНИЦЫ ЗЕМЛЯНЫХ РАБОТ»

4.1. Основные понятия и определения

87

При изображении земной поверхности и инженерных объектов на ней,высота которых существенно меньше их горизонтальных размеров в плане(дорог, аэродромов, дамб, плотин и т. д.), нецелесообразно использоватьрассмотренный метод проецирования на две взаимно перпендикулярные плос-кости проекций. В практике строительства для получения чертежей указанныхобъектов успешно используется метод изображения, получивший названиеметода проекций с числовыми отметками, позволяющий успешно решатьинженерные задачи, возникающие при проектировании и возведении различныхземляных сооружений.

Метод проекций с числовыми отметкамиСуть этого метода в том, что геометрический образ (ГО) ортогонально

проецируют на одну горизонтальную плоскость проекций (ПП) – плоскостьнулевого уровня, а фронтальную ПП, определяющую высоты точек ГО,заменяют – числами, указывающими расстояние,обычно в метрах, от этих точек до плоскости и делающими чертеж обра-тимым. Такие чертежи называют планами.

Все чертежи в проекциях с числовыми отметками (планы) выполняют вмасштабе уменьшения и дополняют линейным масштабом с ценой деления 1или несколько метров.

П

Пчисловыми отметками

Задание точек в чертежах с числовыми отметкамиПоложение любой точки в пространстве, изображенной в проекциях с

числовыми отметками, определяется двумя парамет-рами: её проекцией на и высотной отметкой точки.Обычно проекцию точки обозначают буквой снадстрочным индексом « » (штрихом), а высотучисловой отметки указывают как подстрочный индексу этой буквы (см. проекции точек , и на рис. 4.1).Отметка точки положительная, если точка находитсянад ПП ( – знак «+» перед положительнойотметкой можно не писать), отрицательная, еслиточка находится под ПП ( ), и нулевая, еслиточка расположена в ПП ( ).

Допускается (рис. 4.1) величину числовой отметки указывать в круглыхскобках правее буквенного обозначения проекции точки ( ( )), у буквенногообозначения проекции точки не указывать надстрочный штрих ( ), не даватьбуквенного обозначения проекции точки, указывая около неё только числовуюотметку ( ).

Отметим, что на плане с проекциями точек (рис. 4.1) дан его линейныймасштаб.

П

П

ПП

A B C

A

BC

D 3E

6

-2,0

5,0

0

Рис. 4.1

0 1 2 3ì-1

B-2,0

C0

5,0A

D (3)

E7

6

7

Задание прямой линииПрямая общего положения в общем случае задается проекциями двух

точек с числовыми отметками. На рис. 4.2 дано наглядное изображение, а нарис. 4.2 приведен чертеж в проекциях с числовыми отметками прямой,проходящей через точки и , и линейным масштабом.

аб

A BЗаложение отрезка

Превышение отрезкапрямой – длина горизонтальной проекции отрезка

в единицах масштаба. – разность числовых отметокконцов отрезка. На рис. 4.2 заложение | | (с учетоммасштаба), а превышение .

Прямая общего положения может быть задана своей проекцией, проек-цией одной из принадлежащих ей точек с числовой отметкой, направлением спускаилибо углом наклона прямой к плоскости (рис. 4.3), либо уклоном (рис. 4.4).

– угол между прямой(отрезком) и её (его) проекцией на эту плоскость проекций (рис. 4.2 ).

называют тангенс угла наклона прямой к плос-кости проекций (рис. 4. ).

Из рисунка 4.2 следует, чтоуклон прямой есть отношение пре-вышения отрезка этой прямойк его заложению : .

– зало-жение отрезка прямой (рис. 4.2 ),имеющего превышение , равноеединице длины ( м). Из приве-денного в предыдущем абзацевыражения следует, что –

уклон прямой обратно пропорционален её интервалу .Прямая в проекциях с числовыми отметками может обозначаться

строчной буквой латинского алфавита со штрихом (рис. 4.3 и 4.4).

aa

a

i

HL i = H L

H1

i = 1/li l

Угол наклона прямой к плоскости проекций

Уклоном прямой

Интервал прямой

а

аа

а

2,8 6,4

AB

B6,42,8A

0 1 2 3 ì-1

Рис. 4.2

A

B

B6,42,8A

а б

0 1 2 3 ì-1

Рис. 4.4Рис. 4.3

a

b

5

-7

0 1 2 3 ì-1

88

Знание интервала позволяет – определятьпроекции её точек с отметками, выраженными целыми числами, отличаю-щимися на 1 м. В общем случае градуирование прямой основано наспособе пропорционального деления отрезков по теореме Фалеса. Еслиизвестны интервал прямой и проекция её точки, отметка которой целоечисло, то градуирование сводится к откладыванию интервала по проекциипрямой. Примеры градуирования прямых, заданных различными способами,рассмотрены в 2 .

Горизонтальная прямая (прямая уровня) параллельна ПП , все еёточки имеют одинаковые отметки. На чертежах в проекциях с числовымиотметками она задается своей проекцией с числовой отметкой (рис. 4.5) иобозначается буквой со штрихом и отметкой ( ) или только отметкой ( ).

градуировать прямую

[ ]П

h 52

Для задания проецирую-щей (вертикальной) прямой начертеже достаточно задать еёосновную проекцию – точку, вкоторую проецируются все точкипрямой. На рис. 4.5 заданыпрямые и с отрез-ком на последней.

a bA,B

П П[ ]

В общем случае кривая в проекциях с числовыми отметкамизадается её проекцией, являющейся кривой линией, и проекциями

некоторого числа точек кривой с указан-ными числовыми отметками. На рис. 4.6своей проекцией и расположеннымина ней проекциями точек с отметками ,, , , представлена кривая . Этиточки градуируют кривую с превыше-нием в каждой точке, равным 1 м.Интервалы кривой различны, различен иуклон кривой в разных её точках.

k

k1

2 3 4 5

5

h2

Ab B1 5

a0 1 2 3 ì-1

Рис. 4.5

Рис. 4.6

0 1 2 4ì3

A

B CD

EF

G

Q

1

2 3

4

k

2

23

5

Задание плоскости

Плоскость общего положения в проекциях с числовыми отметкамиможет быть задана тремя точками, двумя параллельными прямыми,двумя пересекающимися прямыми, прямой и точкой, любым плоскимотсеком. Но при решении позиционных и метрических задач возникаетнеобходимость в градуировании плоскости и задании её масштабомуклона или горизонталями.

– построение её горизонталей с отмет-ками, выраженными целыми числами и отличающимися друг от друга наединицу длины (1 м) . Так, на рис. 4.7 проградуирована плоскость,заданная . Для этого сначала с использованием теоремы Фалеса

Градуирование плоскости

[2]ABC

89

Задание кривых линий

S

градуировалась сторона , концы которой имеют наибольшую разностьчисловых отметок, и строилась проекция горизонтали плоскости, прохо-дящая через проекцию точки на проградуированной стороне с отметкой

и проекцию вершины . Проекции других горизонталей плоскости про-ходят параллельно через проекции точек проградуированной стороны( , , , , (рис. 4.7).

[B,C]h

[B,C]4 A

hB 3 5 6 C 72 )

4

4

2 7– градуированная проекция

линии ската плоскости, которую изображают двумя параллельными прямыми(тонкой и толстой). – прямая плоскости,перпендикулярная к горизонтали плоскости и обозначаемая (рис. 4.7);по теореме о проецировании прямого угла проекции линии ската игоризонтали плоскости взаимно перпендикулярны ( ). Обычно линияската плоскости градуируется её горизонталями (рис. 4.7).

Масштаб уклона (падения) плоскости

Линия ската плоскостиSi

Рис. 4.7

0 2 4 ì

6

5

4

3

2

7

A

2B

C7

n i

2

4

7

– расстояние между соседними проекция-ми её горизонталей с отметками, отличающимися на единицу длины (рис. 4.7).Интервал плоскости равен интервалу её линии ската.

(поэтомулинию ската плоскости и обозначают ). Уклон или(рис. 4.7).

Масштаб уклона определяет положениеплоскости в пространстве. Следовательно,плоскость на чертеже может быть заданамасштабом уклона. Такую плоскость обозначают ( ) (рис. 4.8).

Интервал плоскости

Уклон плоскости определяется уклоном её линии ската

Плоскость имеет спуск (уклон) в направлении линии скатаплоскости от горизонталей с большими отметками к горизонталям сменьшими отметками.

l

Si

0 2 4 ì

Рис. 4.8

n i

910

1112

S

S

4

90

Si

При проектировании поверхностей искусственных земляных сооруже-ний часто используется коническая поверхность вращения с вертикальнойосью прямой круговой конус). Эта поверхность образуется вращениемпрямой (образующей) вокруг пересекающей её оси и задается форму-лой .

Горизонтали конической поверхности – окружности, по которым гори-зонтальные плоскости пересекают коническую поверхность. На ПП этигоризонтали проецируются в концентрические окружности, центр которых –проекция оси вращения и вершины конической поверхности науказанную ПП (рис. 4.9).

Построение горизонталей поверхности отметками, выраженнымицелыми числами, отличающимися наединицу длины, называется

. Горизонтали,градуирующие поверхность, градуируют ивсе её образующие. Градуированнаяпроекция любой образующей является

, асама образующая – линией скатаповерхности. Радиусы проекций соседнихгоризонталей, градуирующих поверхностьконуса вращения, отличаются на вели-чину интервала поверхности, равногоинтервалу её образующей .

Задание конической поверхности

(

c

t j{t(t,j;t j)(t =t j)}

j V

nt

ll t

Ф

П

градуи-рованием поверхности

масштабом уклона поверхности

i

Ф

Фi

Рис. 4.9

V3

h

n iФ

0 2 4ìt

j

0

1h

h2

Поверхность откосов насыпей и выемок участков автомобильныхдорог представляет собой поверхность равного уклона (поверхность нарис. 4.10 ).

Образование поверхности равного уклона иллюстрирует рис. 4.10 .На нем по направляющей – пространственной кривой перемещаетсявершина образующего прямого кругового конуса с вертикальной осью,последовательно занимая положение , , и т. д. Поверхности и ,огибающие образующие конусы, являются поверхностями равного уклона.

Поверхность равного уклона

Y

W

аб

a

A B D Ф

Рис. 4.10

A

B

D

Ф

a

h1

2

3

0h

h

h

W

lA B Dl l

а б

Y

91

1 32a

A

D

1

3

2

0

0 2 6 ì4

1B2

210

Рис. 4.11

Винтовые поверхности (геликоиды) используются в дорожномстроительстве при проектировании инженерных земляных сооружений,съезда с путепровода (рис. 4.12), являющегося элементом транспортнойразвязки на пересечении двух автодорог, проложенных в разных уровнях.

Поверхность равного уклона – линейчатая поверхность, обра-зующие , , и т. д. которой (рис. 4.10 имеют постоянный угол наклонак горизонтальной плоскости и являются линиями ската поверхности .Образующие , , и т. д. при этом совпадают с образующими соот-ветствующего конуса, по которым его поверхность касается поверхностиравного уклона .

Градуирование поверхности равного уклона с уклоном ,направляющей пространственной кривой и точками , , на ней счисловыми отметками , , соответственно показано на рис. 4.11.

Сначал в точки , ,круговых -

и градуируют их поверхности, проводяиз проекций , , радиусами,кратными интервалу окружности – проекции горизонталей коничес-ких поверхностей. Линии, огибающиепроекции горизонталей конических по-верхностей с одинаковыми отметками,являются проекциями горизонталей по-верхности равного уклона. На рис. 4.11у проекций этих горизонталей нанесеныотметки , , .

В частных случаях поверхностями равного уклона, встречающимисяв дорожном строительстве, могут быть две пересекающиеся плоскости (на-правляющая – прямая линия), поверхность прямого кругового конуса, атакже рассматриваемые далее винтовые поверхности.

Ф

Ф

Ф

ì -

l l l

l l l

i = 1:2a A B D

1 2 3A B D

A B Dl = 1/i = 2

0 1 2

a

б)

а помещаютвершины вспомогательных конусов

,

A B D

A B D

Ф

a Ýвольвента

k

b

l

it

i

j

S

Рис. 4.12

Проекции ãориçонталейповерхности равноãо уклона

92

Топографическая поверхностьТопографическая поверхность является геометрическим образом

Земли и относится к незакономерным поверхностям, не имеющимгеометрического закона образования. Поэтому топографическую поверх-ность (рельеф местности) представляют дискретным каркасом еёгоризонталей (планом местности). Эти горизонтали являются результатомсечения поверхности земли горизонтальными плоскостями, взятыми повысоте через одинаковые расстояния, называемые шагом сечения.

зависит от масштаба чертежа и рельефа местности, в учебныхработах он равен 1 м.

На рисунке 4.13 изображена, которая получается следующим образом (рис. 4.13 ):

исходный поверхностный слой земли, показанный на рис. 4.13 основнойлинией, минус срезаемый слой земли плюс слой насыпного грунта.

Шагсечения

учебная модель земляного полотнаавтомобильной дороги

ба

а

При отсутствии поперечного уклона дорожного полотна съезд ограни-чен поверхностью прямого закрытого геликоида, аоткосы насыпи – поверхностью косого открытого геликоида (рис. 4.12).

Ф{t(k,j)(t k; t j; t j)}S

Косой (наклонный) открытый геликоид на рис. 4.12 являетсяповерхностью равного уклона, направляющая которой представляет собойцилиндрическую винтовую линию с вертикальной осью . Формула этогогеликоида имеет вид:

k j

S{l(k)(l k)}.i

i i i

Насыпной слойãрунта

Исхоäный поверхностныйслой çеìли

t= - линиÿнулевых работ

Поверхностьçеìли

Среçаеìыйслой

Ф

Ф

Áровка откосавыеìки

Áровка кювета

Áровки полотна äороãи

t Ось äороãиПоäошва откоса

насыпи

Границы çеìлÿных работ Рис. 4.13

çеìли

б

а

93

94

проезжая часть дороги не имеет поперечного уклона, аповерхность дороги (земляного или дорожного полотна) – линейчатаяповерхность, образующей которой является горизонтальная прямая,пересекающая ось дороги и в каждой точке направленная по нормали кней. Поверхность дороги (дорожного полотна) может быть ограниченаотсеком плоскости (ось дороги – прямая линия или горизонтальнаякривая) либо коноида (ось дороги – кривая с продольным уклоном), вчастности, прямого закрытого геликоида (ось дороги – винтовая линия).

– линия пересечения поверхности дорогис поверхностью земли (рис. 4.13). Она является границей между выемкой,расположенной ниже поверхности земли (на рис. 4.13 левее ), и насыпью,расположенной выше поверхности земли (на рис. 4.13 правее ). Пристроительстве дороги в выемке часть поверхностного слоя земли срезаетсяи удаляется, а в насыпи на исходную поверхность земли насыпаютнужный слой грунта.

Уже отмечалось, что откосы земляного полотна ограничивают поверх-ности равного уклона, направляющими которых являются бровки полотнадороги или кювета (рис. 4.13 ).

– линии пересечения откосов насыпей ивыемок с топографической поверхностью на рассматриваемом участкедороги. Границы земляных работ устанавливают по плану дороги. Для на-сыпи ищут границу подошвы откоса, для выемки – бровку откоса выемки.Границы земляных работ – линии, ограничивающие области подсыпки илисрезания грунта и позволяющие установить объемы земляных работ.

При проектировании и строительстве участков дорог, проходящих ввыемке, для избежания затопления проезжей части талыми и дождевымиводами предусматривается сооружение кюветов. – боковая сточнаяканава определенной формы для отвода поверхностных вод с полотна иоткосов выемки дороги.

кювет имеет квадратное поперечное сечение ширинойи глубиной 1 м; продольный уклон дна кювета равен уклону оси дороги;кювет начинается непосредственно от бровки земляного полотна (бровкидороги), являющейся линией пересечения стенки кювета с поверхностьюдороги; внешняя бровка кювета (бровка кювета) – линия пересечения еговторой стенки с откосами выемки, представляющая собой линию, эквиди-стантную бровке дороги и удаленную от неё на ширину кювета; отметкиточек бровки кювета равны отметкам соответствующих точек бровкидороги. Для изображения бровки кювета в плане достаточно перенестипроекцию бровки земляного полотна на 1 м – ширину кювета. Приналичии кювета горизонтали откосов в выемке строят от бровки кювета.

Допущение:

Линия нулевых работ

Границы земляных работ

Кювет

Допущения:

Ф

Фt

tt

W

б

Проекции границ земляных работ получают, соединяя плавной линиейточки пересечения проекций одноименных горизонталей откосов земляногополотна и топографической поверхности. При определении границ земляных

Определение границ земляных работ

работ проводят анализ рельефа заданного участка местности, в результатечего выявляют положения выемок и насыпей, определяя линии и точки нулевыхработ. На участке чертежа, где дорога проходит в выемке, показывают кюветы.На основании анализа рельефа устанавливают, какие поверхностиограничивают откосы выемок и насыпей, и градуируют эти поверхности, строяпроекции их горизонталей с использованием заданных уклонов откосов насыпи

и выемки .Построение проекций горизонталей откосов для различных участков

дороги рассмотрено в разделе 12.6 пособия 2 . Напомним, что отметкигоризонталей откосов для насыпей убывают при удалении горизонтали отбровки дороги, а для выемки возрастают.

Определение и построение границ земляных работ для различныхучастков автомобильной дороги с горизонтальной площадкой будет поэтапнорассмотрено при решении примера типового варианта №31 РГР №4.

Профилем поверхности называют фигуру её сечения вертикальнойпроецирующей плоскостью (раздел 13.1.1 пособия 2 ).

Продольный и необходимое число поперечных профилей даютпредставление о характере земляных работ при строительстве дороги.Продольный профиль (в РГР №4 не строится) характеризует уклон и кривизнуотдельных участков местности и дороги вдоль её оси, позволяет установить,где расположены участки насыпей и выемок, какова их высота или глубинаи т. д. Поперечные профили несут информацию о форме, размерах иконструкции земляного полотна дороги с откосами на различных участках ипозволяют определить объём земляных работ при возведении дороги.

Поперечные профили обычно строят в более крупных масштабах, чемпродольные, и в одинаковых масштабах для вертикальных и горизонтальныхрасстояний.

При выполнении РГР №4 надо будет построить два поперечных профи-ля – по насыпи и выемке. Необходимые пояснения будут даны при решениипримера типового варианта №31 РГР №4.

В таблице приведены условные графические обозначения некото-рых материалов (грунтов) в сечениях.

i i

[ ]

[ ]

н в

Грунт насыпной

Смесь песчано-гравийная

Общее графическое обозначение материаловв сечениях независимо от вида материала

Обозначение естественного грунта земли

Таблица

Материал Обозначение

95

Построение профилей (сечений) автомобильной

4.2. Пояснения и рекомендации к выполнению РГР №4Цель РГР №4 «Границы земляных работ» – приобретение навыков

построения в проекциях с числовыми отметками поверхностей, ограничивающих земляные сооружения – дорог и откосов мостов, нахождениелиний пересечения поверхностей откосов между собой и с топографичес-кой поверхностью, освоение построения профилей дороги.

-

РГР №4 выполняется на горизонтально расположенном формате А2в масштабе 1:200.

Условие задания РГР №4На местности, заданной топографической поверхностью, расположена

автомобильная дорога. Найти проекции границ земляных работ – линийпересечения откосов насыпей и выемок с топографической поверхностью;

поперечные сечения для выемки и насыпи. Ширина кювета состороны выемки – 1 м.построить

Исходными данными на эту работу являются:• план топографическойавтомобильной дороги, расположенной наповерхности, представленной горизонталями;

• автомобильная дорога, состоящая из прямолинейного горизонтальногоучастка с горизонтальной площадкой сложной формы, имеющиходинаковые высотные отметки, и наклонного участка, который можетиметь прямолинейные и криволинейные части;

• данные для построения линейного масштаба и графика масштабауклонов наклонного участка дороги, откосов насыпей и выемок.Варианты заданий на РГР №4 приведены в практикуме 3 .[ ]Рекомендуемая последовательность выполнения РГР №4

1. На лист чертежной бумаги формата А2 с рамкой чертежа и запол-ненной основной надписью, используя вспомогательную сетку с квадратнымиячейками, перечертить задание своего варианта, увеличив размеры в 4 ра-за. В результате на листе появится план топографической поверхности срасположенной на ней дорогой, выполненный в масштабе 1:200.

При перечерчивании задания на листе следует оставить места длярасположения на нем линейного масштаба и графика масштабов уклонов,а также поперечных профилей (рис. 4.14).

Проанализировать доставшийся вариант задания.2.Начертить линейный масштаб и построить график масштаба уклонов.3.Проградуировать поверхность наклонного участка дороги.4.Определить точки нулевых работ, а при наличии и линию (линии)

нулевых работ.5.

Определить проекции границ земляных работ – проекции линийпересечения откосов насыпи и выемки с топографической поверхностью, атакже построить проекции линий пересечения смежных откосов горизон-тальной площадки и примыкающих к ней участков дороги.

6.

Вычертить поперечные профили дороги в насыпи и выемке. Положе-ния секущих плоскостей для получения профилей (сечений) задаютсясамостоятельно.

7.

Обвести (оформить) чертеж согласно чертежу, приведенному на рис. 4.25.8.

96

Рис. 4.14

97

В левой части исходного чертежа на рис. 4.14, представляющегособой уменьшенное изображение листа чертежной бумаги формата А2 срамкой чертежа и заполненной основной надписью, вычерчивают увеличен-ное в 4 раза задание варианта №31. Показанная на задании сетка с квадратными ячейками использовалась для более точного переноса горизонталейтопографической поверхности с исходного задания, приведенного в практи-куме . Масштаб полученного чертежа плана местности принимается 1:200.

В варианте №31 (рис. 4.14) задана топографическая поверхность,горизонтали которой, проведенные через 1 м, имеют числовые отметки,лежащие в пределе 47...55 м.

Заданные горизонтальная площадка и примыкающий к ней справагоризонтальный участок дороги имеют числовую отметку .

Левее горизонтальная площадка переходит в наклонный участокдороги с уклоном состоящий из прямолинейной и криволинейнойчастей.

Уклон откосов насыпи

Пример выполнения варианта №31 РГР №41.

2.

-

, а уклон откосов выемки .В правой части формата (рис. 4.14) строят линейный масштаб и

график масштаба уклонов в соответствии с масштабом чертежа 1:200.График масштаба уклонов вычерчивают для определения размеров

интервалов наклонного участка дороги , откосов насыпей и выемокпо их заданным уклонам. Его горизонтальная ось – линейный масштаб

чертежа. Для каждого данного уклона строят соответствующую емупрямую линию, проходящую через начало координат и точку, абсциссойкоторой является величина интервала – заложение отрезка с превыше-нием 1 м, а ординатой – величина высоты, откладываемые в единицахлинейного масштаба. Например, уклону соответствует прямая, прохо-дящая через точку с абсциссой, равной двум единицам – знаменателюотношения, задающего уклон, и ординатой, равной одной единице –числителю указанного отноше-ния, а уклону – пря-мая, проходящая через точку,абсцисса которой равна 1,5единицам, а ордината – 1 еди-нице (см. увеличенный фрагментлинейного масштаба и гра-фика масштабов уклонов нарис. 4.15 ).

[3]

,

53 ì

1:10i =

i = i =

l ll

i = 1:2

i = 1:

1:2 1:1,5

1,5

3.

а

а

н в

а н

в

н

в

Рис. 4.15

l

в

a

нll

Линейный ìасштаби ãраôик ìасштаба уклонов

0

2

4

2 4 6 8 10ì

0

2

21

1

3

а б

Заметим, что все построения до п. 8 должны осуществляться тонки-ми линиями. Обводить чертеж можно только после проверки (проверок)чертежа преподавателем и с его разрешения. В данном пособии РГР выпол-няется по этапам, каждому из которых соответствует «промежуточный»чертеж. Для большей наглядности и ясности эти «промежуточные» черте-жи в пособии даны обведенными.

98

На итоговом рис. 4.25 дан чертеж полностью выполненного рас-сматриваемого примера. Все построения на этом чертеже осуществлялисьс использованием линейного масштаба и графика масштаба уклонов,приведенных на рис. 4.14 и 4.25. Но при поэтапном решении примерадля лучшего восприятия графических построений и пояснений к ним

.Линейный масштаб и график масштабов уклонов (рис. 4.15 ) дают

возможность проградуировать поверхность наклонного участка дороги,которое начинают с градуирования проекции её оси последовательнымоткладыванием интервала м от точки в направлении спуска(уклона) дороги (рис. 4.16). Через полученные на проекции оси точкипроводят проекции горизонталей дороги – отрезки, перпендикулярные кпроекции её оси.

рис. 4.16...4.20 выполнялись укрупненно в соответствии с линейныммасштабом и графиком масштаба уклонов, данным на рис. 4.15

4.бб

l = 10 Cа 53

Рис. 4.16

51

52 53 54 55

47

48

49

50

52

51

49

53,00C53

50

Сравнение числовых отметок точек на бровках дороги и конкури-рующих с ними точек на топографической поверхности показывает(рис. 4.16), что на участке земляного полотна между его горизонталями сотметками и должна быть линия нулевых работ – линия пересе-чения поверхностей дороги и окружающей местности. Левее этой линиидорога проходит по насыпи, правее переходит в выемку.

На участке дороги, проходящем в выемке (верхняя часть чертежа),проводят проекции и бровок кюветов, перенося проекции и бровокдороги на 1 м – принятую ширину кювета (рис. 4.17). Проекции и на-

5.

50 ì 51 ì

a d a da d

K K

K K

Проекциÿ оäной иçãориçонталей äороãи

99

b – ãраницакриволинейноãоучастка äороãи

51 52 53

47

48

4950

52

51

50

49

E

EK

DDK

параллельные горизонтали с отмет-ками и , проходящие черезточки бровки с такими же отмет-ками. Проекции и этих точек – точкипересечения проекций бровки доро-ги и горизонталей поверхности дорогис отметками и (рис. 4.17). Проек-ции параллельных горизонталей вспо-могательной цилиндрической поверх-ности с отметками и проводятиз точек и так, чтобы они пересе-кали проекции горизонталей топо-графической поверхности исоответственно в точках и(рис. 4.17), находящихся в пределахчертежа. Линия – проекциялинии пересечения вспомо-

50 51

a

50 51

50 51

50 51A B

(A B )(A,B)

,

B51

A50

a

aK

ddK

50 51

Рис. 4.17

носят с некоторым запасом – до пересечения и с проекциейгоризонтали дороги с отметкой . На проекциях , , , бровоквыделяют точки их пересечения с проекциями горизонталей поверхностидороги, имеющими отметки (точки , , , соответственно) и(точки , , , соответственно).

– точки пересечения бровок дороги , икюветов , с топографической проверхностью (с линией нулевыхработ) в РГР №4

.Заключим бровку во вспомогательную цилиндрическую поверх-

ность, направляющей которой является бровка , а образующими –

a d50 a a d d

50 51

a da d

aa

Точки нулевых работ

будем определять способом использования вспо-могательных проецирующих поверхностей [2]

KK

K K

K K

гательной цилиндрической поверхности с топографической поверхностью.Точка – проекция точки – точки нулевыхработ.

D = (A ,B ) a D = (A,B) a

Аналогично определялись проекции точки нулевых работ набровке дороги и проекции и точек и нулевых работ набровках и кюветов соответственно. Проекции горизонтальныхобразующих вспомогательных цилиндрических поверхностей, проходящихчерез бровки , и , проводились через точки и , и , и .

Через проекции , , , точек нулевых работ проходитпроекция линии нулевых работ на наклонном участке дороги (на рис. 4.17эта проекция не проведена). Как уже отмечалось, левее линии нулевыхработ дорога проходит по насыпи, а правее – в выемке.

В примере есть ещё одна линия нулевых работ – горизонталь топогра-фической поверхности с отметкой , по которой пересекаются поверхнос-ти окружающей местности и горизонтальной площадки (рис. 4.21 и 4.22).

E Ed D E D Ea d

a d dD D E E

53

50 51

50 51

K K K K

K K

K K

K K

100

101

Точки , ..., , , и их обозначения после определения проек-ций точек нулевых работ с чертежа убирают.

На этапе построения границ земляных работ целесообразно услов-но разбить дорогу на отрезки с различными формами поверхностейоткосов и выполнить для каждого необходимые построения.

Сначала. Построение проекций горизонталей поверхностей

откосов для различных участков дороги (прямолинейных, криволинейных,горизонтальных, с уклоном) подробно приведено в пособии 2 .

После построения проекций горизонталей откосов.

Определим границы земляных работ на наклонном криволинейномотрезке дороги левее точек нулевых работ и , где будет сооружатьсянасыпь (см. рис. 4.18). Поверхность откосов насыпи на этом участкепредставляет собой поверхность равного уклона – открытый наклонный гели-коид. Градуирование поверхности равного уклона показано на рис. 4.11.Направляющими поверхностей равного уклона слева и справа от

дороги будут её проградуированные бровки и. Построения проекций точек нулевых работ

, , , с рис. 4.18 убраны.Чтобы точнее построить проекции

горизонталей откосов насыпи левеедороги условно принимают, что насыпьпродолжается за точкой нулевыхработ до горизонтали поверх-ности дороги с отметкой . Вточки , , бровки с отмет-ками , , соответствен-но и точки , бровки сотметками , соот-ветственно помещаютвершины вспомогатель-ных круговых конусов(см. рис. 4.10 ) иградуируют их по-верхности , с трояпроекции горизон-талей к онусов –

A B

D E

daD D E E

E51

P Q S d49 50 51

T R a49 50

6.

строят проекции горизонталей поверхностей откосовнасыпи и выемки

определяют гра-ницы земляных работ

Обычно горизонтали топографической поверхности вычерчи-вают сплошными тонкими линиями (каждую пятую – более толстой),а в пределах искусственного инженерного сооружения – штриховыми.Горизонтали откосов изображают на чертеже тонкими линиями.

[ ]

б

50 51

F49

51

47

48

4950

Рис. 4.18

51

50

49

E

EK

DDK

H50

K48

N 47

U 50

M48G 49

R50

K K

S51

Q50

ad

P49T49

Проекциÿ оäной иç ãориçон-талей поверхности

откоса насыпи

51

5253

54

55

Рис. 4.19

52

51

53,00

C53

E

EK

D

DK

G

F

NM52 53

54

55

K52 W53 U54

окружностей с отметками , , , (рис. 4.18). Радиусы этихокружностей кратны интервалу (рис. 4.15 ). Окружностиполностью вычерчивать не обязательно – достаточно провести их дуги.Например, из точки строят 3 дуги концентрических окружностей срадиусами , и , которые и будут являться проекциями горизонта-лей данного вспомогательного конуса с отметками , и . нии,огибающие проекции горизонталей конических поверхностей с одинаковымиотметками, представляют собой проекции горизонталей поверхностиравного уклона насыпи данного участка дороги (рис. 4.18).

Далее ищут точки пересечения проекций горизонталей поверхностейоткосов и топографической поверхности, имеющих одинаковые отметки(точки , , , левее дороги и точки , , правее дорогина рис. 4.18). Через полученные точки и проекции точек нулевых работ и

соответственно проводятся плавные кривые, являющиеся проекциями ли-ний пересечения поверхностей откосов и топографической поверхности –проекциями границ земляных работ на рассматриваемом участке дороги(рис. 4.18). Построив эти линии, с чертежа убирают проекции точек , ,, , , , , , , , , и их обозначения, обозначения проекций

бровок и .Рассмотрим наклонный отрезок дороги (рис. 4.19), расположенный в

выемке между задаваемойточками , , , лини-ей нулевых работ (на рисун-ке не проведена) и горизон-тальной площадкой и сос-тоящий из прямолинейного(от точки до радиальнойпрямой ) и криволинейного(левее прямой ) участков.Откосы выемки на этомотрезке дороги образуют по-верхности равного уклона –наклонная плоскость дляпрямолинейного и открытыйнаклонный геликоид длякриволинейного участков. Таккак проекции горизонталейоткосов выемки строят изпроекций бровок кюветов, тонаправляющими этих поверх-н о с т е й я в л яю т с я п р о -градуированные бровки и

кюветов.

47 48 49 50l 1/i = 2

R2 4 6

49 48 47

H F K N U G ME

D

P QS T R N K F H M G U

a d

D D E E

Cb

b

ad

= ì

ì

б

Ли

50

4750 49 48 50 49 48

102

нн

Проекциÿ оäной иç ãориçон-талей поверхностиоткоса насыпи

aK

dK A52

B53

T51

P51

Q52

S53

H55

b ãраницакриволинейноãоучастка äороãи

–

K K

K

K

t

z

В точки , , бровки с отметками , , и точки , ,бровки с отметками , , помещают вершины вспомогательныхконусов, поверхности которых градуируют, строя проекции их горизонта-лей – концентрические окружности (дуги), проводимые из проекций указан-ных точек (рис. 4.19) радиусами, кратными интервалу(рис. 4.15 ). Проекции горизонталей откосов – линии, огибающие проекциигоризонталей конических поверхностей с одинаковыми отметками. Напрямолинейном участке дороги правее границы эти линии прямолиней-ны, а на криволинейном участке дороги левее границы – криволинейны.

Проекции границ земляных работ (рис. 4.19) – плавные кривые и, проходящие соответственно через точки , , , , и , ,, , ( и – проекции точек нулевых работ, а остальные точ-

ки – точки пересечения проекций горизонталей поверхностей откосов итопографической поверхности с одинаковыми отметками). Отметим, чтопроекции и построены до точек и с запасом, чтобы вдальнейшем на рис. 4.21 можно было найти угловые точки и , вкоторых эти проекции пересекаются с проекциями границ земляных работпри возведении горизонтальной площадки.

На рисунке 4.20 дано изображение наклонного участка дороги, гдерассмотренные (на рис. 4.18 и 4.19) отрезки дороги соединены в единоецелое. Проекции точек , , , , , , , , , , , , , , и их

T A B a 51 52 53 P Q Sd 51 52 53

l = 1/i = 1,5

bb

tz E M N F G D KW U H E D

t z G HM N

C T A B P Q S M N F G K W U H

ìб

K

K

в в

103

51

5253 54 55

47

48

49

50

Рис. 4.20

52

51

50

49

53,00

E

EK

D

DK

b – ãраницакриволинейноãоучастка äороãи

K 5352 5554 K 52

53 54 55

55 55

z

t

104

обозначения, а также обозначения и проекций бровок кювета нарис. 4.20 не показаны.

a d

Для указания направления ската от проекций верхних кромок(бровок) откосов перпендикулярно проекциям их горизонталей (рис. 4.20)тонкими сплошными линиями на расстоянии 1,5...2 мм друг от другапроводят чередующиеся длинные и короткие штрихи (короткие штрихивдвое короче длинных). Их наносят по всей верхней кромке откоса илитолько в свободных от изображений и обозначений местах.

Поэтапное построение границ земляных работ при возведении наместности горизонтальной площадки и примыкающего к ней справа гори-зонтального прямолинейного участка дороги, имеющих высотную отметку

, приведено на рис. 4.21 и 4.22. Их анализ показывает, что бровкуплощадки образуют полуокружность и отрезки прямых, пересекающиесямежду собой и с прямолинейной бровкой дороги. Поэтому на рассмат-риваемом земляном сооружении имеются пересекающиеся смежные (со-седние) откосы. Кроме того, с откосами площадки пересекаются откосыпримыкающего к ней слева наклонного участка дороги. В связи с этим нарис. 4.21 и 4.22 выполнены следующие построения:

53

a

ì

• проградуированы поверхности откосов площадки и горизонтальногоучастка дороги (рис. 4.21);

K K

K

Рис. 4.2153

54 55 55 54 53 52 51 50 49 48

53,00

52

53

52

M

N

AK

A

BBK

EG

T

C

d a

t

z

b

e

p

g

l

• построены проекции линий пересечения соседних откосов (рис. 4.21);• найдены проекции границ земляных работ (рис. 4.22);• определены угловые точки, в каждой из которых сходятся три линии:

линии пересечения топографической поверхности со смежными отко-сами и линия пересечения этих откосов (рис. 4.21 и 4.22).Уже отмечалось, что горизонталь топографической поверхности с

отметкой является линией нулевых работ. Правее её в насыпи расположены часть площадки и горизонтальный участок дороги, а левее ввыемке – другая часть площадки. Поэтому перед началом построений ввыемке на расстоянии 1 м от проекций бровок площадки с учетомлинейного масштаба провели проекции бровок кювета, также имеющихотметку . Если бровка площадки – отрезок прямой, то бровка кювета –отрезок, параллельный бровке площадки. Если бровка площадки имеетформу дуги окружности, то бровка кювета – дуга окружности, концентрич-ная дуге бровки площадки. Точки пересечения линии нулевых работ сбровками дороги ( и ) и кювета ( и ) – точки нулевых работ.

Градуирование поверхностей откосов начинают с построенияв удобном для каждого откоса месте. На

рис. 4.21 из точек , , , проекций бровок дороги проведены масштабыуклонов откосов насыпи, а из точек , , , проекций бровок кювета –масштабы уклонов откосов выемки. Масштабы уклона откосов перпендику-лярны к проекциям бровок, если бровки прямолинейны, или направленырадиально, если проекция бровки представляет собой дугу окружности. Намасштабах уклонов откосов насыпи от проекций бровок дороги отложенывеличины интервала , а на масштабах уклонов откосов выемки отпроекций бровок кювета – величины интервала . При удалении отбровок высотные отметки на масштабах уклонов откосов насыпи убывают, ана масштабах уклонов откосов выемки растут.

Градуирование завершается проведением через отметки масштабовуклонов откосов проекций их горизонталей. Проекциями горизонталей являются прямые линии, параллельные прямолинейным проекциям бровокплощадки, дороги и кюветов

или дуги концентрических окружностей для откосов,проекции бровок которых имеют форму дуг окружностей

.

53

A B A B

l = 2l = 1,5

ìì

-

масш-таба уклона их поверхностей

-

(так как , то поверхности откосов –наклонные плоскости),

(поверхностьоткоса – поверхность прямого кругового конуса) При этом проекциямигоризонталей откосов участка площадки с бровкой являются прямые,переходящие в дуги окружностей (рис. 4.21).

В общем случае проекции линий пересечения смежных откосовпроводят через точки пересечения проекций горизонталей этих откосов содинаковыми отметками. Таким образом построена проекция параболы(рис. 4.21), по которой плоский откос пересекает поверхность откоса,имеющего форму прямого кругового конуса. Проекция проведена черезточку пересечения проекций бровок смежных кюветов и точки пересече-ния проекций горизонталей смежных откосов с отметками , , .

53

i 0

C B

p

pE

54 55 56

=

–

105

K K

н

в

106

K

Рис. 4.2253

54 55 55 54 53 52 51 50 49 48

53,00

52

53

52

F

M

N

AK

A

BBK

EG

e

T

C

DS

d a

Плоские смежные откосы пересекаются по прямой линии. Дляпостроения её проекции достаточно двух точек – точки пересеченияпроекций бровок дороги, площадки или кюветов и точки пересеченияпроекций двух горизонталей смежных откосов с одинаковой отметкой. Такпостроены проекции линий пересечения смежных откосов , , , (рис. 4.21),проходящие соответственно через точки , , , пересечения проекцийсмежных бровок и точки пересечения проекций горизонталей откосов сотметками ( ), ), ( ), ( ).

Перед построением границ земляных работ и определением угло-вых точек напомним следующее. Границы земляных работ – линии пере-сечения поверхностей откосов сооружения и местности, на которой оновозводится. Проекции границ земляных работ – линии, проходящие черезточки пересечения проекций горизонталей поверхностей откосов и топогра-фической поверхности с одинаковыми отметками. Угловые точки на черте-же – точки, в которых пересекаются три линии, две из которых – проек-ции границ земляных работ на смежных откосах сооружения, а третья –проекция линии пересечения смежных откосов. Угловые точки ищут какточки пересечения каких-то двух из этих линий, одна из которых обычно –линия пересечения смежных откосов. Часто для нахождения угловых

b e l gC G K T

49 b 55 l 54 g(56 e

br

q

u

wg

v

p

nJ

l

t

z

107

точек границы земляных работ и (или) линию пересечения откосов строятна участках, где эти линии не существуют. Проекции несуществующихчастей этих линий за угловыми точками изображают штриховыми линиями.

Указанным образом на рис. 4.21 были найдены угловые точкии , где и – проекции линий пересечения со-

ответствующих откосов; и – проекции границ земляных работ нанаклонном участке дороги, построенные ранее (рис. 4.19) с запасом допроекции горизонтали топографической поверхности с отметкой .

На прямолинейном участке дороги и части площадки с бровкой ,которые проходят по насыпи, проекция границы земляных работ пройдетчерез проекцию точки нулевых работ и точки пересечений горизонталейсоответствующего откоса и топографической поверхности с отметками ,, (рис. 4.22).

Проекция границы земляных работ для откоса участка дороги сбровкой (правее точки ), проходящего по насыпи, обозначена . Дляболее точного её построения и определения угловой точки ис-пользовались точки пересечения проекций горизонталей откоса и топо-графической поверхности с отметками , и (последняя точкаобозначена ) (рис. 4.22).

Для участка площадки с бровкой , также возводимого в насыпи,проекция границ земляных работ – кривая , проходящая через точку(проекция точки нулевых работ), точки пересечения проекций горизонталейоткосов и местности с отметками , , и угловую точку (рис. 4.22).

Проекция границы земляных работ для откоса выемки с бровкойкювета – проведена через точку , точки пересечения проекцийгоризонталей соответствующего откоса и топографической поверхности сотметками , , , а также уже построенную угловую точку .

Далее строилась проекция границы земляных работ для откосавыемки с бровкой – , проходящая через точки пересечения проекцийгоризонталей откоса и топогафической поверхности с отметками , и, что позволило найти угловые точки и (рис. 4.22).

Полученные угловые точки и дали возможность построитьпроекции границ земляных работ для откосов выемки с бровками – и– , так как взаимное расположение проекций горизонталей топографи-

ческой поверхности и откосов выемки на данных участках не позволяетбез нанесения дополнительных промежуточных горизонталей достаточноточно построить проекции границ земляных работ.

Проекция границы земляных работгоризон-

талей с отметками , и найденную угловую точку .Для построения проекции границы земляных работ для откоса

выемки с бровкой – достаточно соединить точки и .

M == g t N = l z g l

t z

55d

uA

5251 50

a C rD = r b

49 50 51S

C Bq B

52 51 50 D

A T A

54 55 55 Mn

E G54 55

55 J = n e F = n pJ F

B EG K

vB E B

54 55 F

G K J N

w

–

для откоса выемки с бровкой– проводилась через точку , точки пересечения проекций

K K

K

K

K

После выполнения необходимых построений с чертежа убираютсяпроекции всех точек и буквенные обозначения точек и линий (аналогичныебуквенные обозначения могут быть использованы на следующих рисунках).

Напоминание: на данных этапах все построения выполняютсятонкими линиями.

7. Поперечный профиль дороги – это профиль поверхности земляного(дорожного) полотна с откосами и профиль топографической поверхности,представляющие собой линии пересечения этих непроецирующих поверх-ностей вертикальной проецирующей плоскостью, основная проекциякоторой в плане направлена по нормали к проекции оси дороги. Попереч-ные профили несут информацию о форме, размерах и конструкцииземляного полотна дороги с откосами на различных участках и позволяютопределить объем земляных работ при возведении дороги.

Используемый в пособии способ построения профиля дороги можетиспользоваться для горизонтального и для наклонного участков дороги, втом числе криволинейных, расположенных как в насыпи, так и в выемке.

На рисунке 4.23 приведен план, а на рис. 4.24 – поперечныйпрофиль – горизонтального участка дороги в насыпи, полученный прирассечении поверхностей земляного полотна с откосами и земли верти-кальной плоскостью . Согласно ГОСТ 2.305–68 её положение на рис. 4.23показывают штрихи разомкнутой линии, направление взгляда – стрелки,упирающиеся в эти штрихи, и у каждого штриха нанесена буква(поэтому поперечный профиль (сечение) и обозначается – ). Основнаяпроекция секущей плоскости изображена в плане тонкой линией, прохо-дящей через штрихи разомкнутой линии.

Пусть плоскость пересекает поверхность земляного полотна соткосами по линии , а топографическую поверхность по линии .

Линия на рис. 4.23 задана проекцией ( ) ирасположенными на ней проекциями точек , , , . Точки и

– точки на бровках дороги, точки и – точки на границах земляныхработ, принадлежащие обеим линиям и . Точка имеет отметку ,поскольку она оказалась точкой пересечения границы земляных работ игоризонтали топографической поверхности с отметкой , а отметкаточки была найдена приближенно с помощью теоремы о деленииотрезка в заданном соотношении (используемые для этого построения по-казаны на плане).

Напомним на отдельном примере в увеличенном масштабе, какприближенно определить отметку точки топографической поверхности, рас-положенной между её горизонталями. На рис. 4.23 по теореме Фалеса сточностью до 0,1 м найдена отметка некой точки , расположенной междугоризонталями топографической поверхности с отметками и . Для этогоиспользовались следующие построения:

• через проекцию точки провели произвольный отрезок прямой,концы которого находятся на проекциях указанных горизонталей;

а

а

а

б

A A

AA A

q pq q q

K F G S FG K S

q p K 50

50 49,4S

Q3 4

Q Q

Г

Г

Г

Г Г П Г

108

50 53 53 49,4

5150

49 48

53,00

S

MN

E50

T49

A

A

F53

0 2 4 6 8 10ì

qpГ

K50

G53C49,5

D49,549,4

109

49,7

3

4

а б

Q12345678910

• из одного конца отрезка провели произвольный луч;• на луче отложили десять произвольных одинаковых отрезков, концыкоторых пронумеровали от до ;

• 10-ю точку деления и второй конец отрезка, проходящего черезточку , соединили отрезком;

• через точку параллельно этому отрезку провели отрезок, пересе-кающий луч между 3-м и 4-м делениями.Так как точка пересечения луча отрезком находится ближе к 4-у де-

лению, то было принято, что отметка точки примерно равна .Линия на плане представлена проекцией ( ) и

расположенными на ней проекциями , , , , , , то-чек пересечения земной поверхности плоскостью , где:

• и – точки линии , первая из которых находится на горизон-тали откоса с отметкой , а вторая – на горизонтали топографи-ческой поверхности с отметкой ;

1 10

7 ìГ Г П Г

Г

QQ

Q 3,p p p

T K M C S D E

T E p49

50

49 50 49,7 49,5 49,4 49,5 50

Рис. 4.23

• – точка топографической поверхности, проекция которой располо-жена на проекции оси дороги;

• – точка топографической поверхности, проекция которой совпа-дает с проекцией точки , расположенной на бровке дороги;

• – промежуточная точка топографической поверхности на линии .

M

C CG G

pD

Точки , , , , уточняют профиль топографической поверхности,отметки точек , , определялись приближенно по теореме Фалеса –см. рис. 4.23 и его описание.

T M C D EM C D

б

( )Q3,7

3,7=

110

Далее на базу наносим точки , , , , , , , со-ответствующие проекциям в плане точек, расположенных на линиях и. Для этого на проекции оси дороги задают начальную точку

(рис. 4.23 ), а на базе профиля – начало отсчета точку .Чтобы получить, например, точку , отображающую проекцию , наплане замеряют расстояние от точки до точки (рис. 4.23 ) иоткладывают расстояние (масштабы профиля и плана одинаковы)от точки по базе (рис. 4.24). Точку профиля находят, откладываяот точки перпендикулярно базе вертикальную координату

. Аналогично строят и другие точки профиля (рис. 4.24).Для получения профиля топографической поверхности плавной

линией соединяют построенные точки , , , , , , (рис. 4.24).Профиль земляного полотна проходит через точки профиля , , , .Так как точки и принадлежат границам земляных работ, то в точках

и пересекаются профили и : и .Поперечный профиль земляного полотна при спокойном рельефе

можно строить, проводя из точек профиля и на бровках дорогипрямые, соответствующие уклону откосов насыпи например, нарис. 4.24 : : ).

b T K F M G C S D Eq

p NN b N

K b KL N K

L = LN b KK b H = H - H

= 50 - 48 = 2p

T K M C S D Eq K F G S

K SK S p q K = p q S = p q

qF G

i = 1:G,C G ,S = 1 2

(| | | |

ГM

=ì

2

а

а

48 b

48 50

K 50

K K

b48

48

KK

48b

н

Профили и строятся с использованием перечисленных точек,расположенных соответственно на линиях и .

q pq p

При выборе масштаба построения профиля примем, что его гори-зонтальный и вертикальный масштабы одинаковы и равны линейномумасштабу плана на рис. 4.15 и 4.23.б

В качестве основания профиля примем горизонталь с отметкой ипроведём горизонтальную прямую – основание профиля (базу) (рис. 4.24)и параллельно ему другие горизонтали профиля с отметками , , ,

и (расстояние между соседними горизонталями – 1 м с учётоммасштаба).

48b

5152 53

49 50ì

48

b48495051525354

53,00

NbK

F G

F C

A A–

SE

E

D

D48

M

M

q

p

K C

TT G S

Рис. 4.24

111

Подобным образом строят поперечный профиль – на прямо-линейном участке дороги с уклоном, расположенном в выемке (рис. 4.25).Построение профиля горизонтальной площадки, часть которой располо-жена в выемке и снабжена кюветом, можно посмотреть в пособии нарис. 10 (с. 88).

При оформлении поперечных профилей по насыпи и выемкеиспользуются условные графические обозначения материалов в сечениях(см. табл. на с. 95). Так, при изображении поперечного профиля насыпинеобходимо показать условное обозначение песчано-гравийной смеси иобозначение естественного грунта земли, а на поперечном профилевыемки – только обозначение грунта земли.

После проверки чертежа преподавателем и с его разрешениячертеж обводится и надлежаще оформляется (см. итоговый рис. 4.25).

На итоговом рис. 4.25 приведен полностью готовый и оформленныйчертеж примера выполнения РГР №4. На этом рисунке показаны планзаданного участка дороги с построенными границами земляных работ,профили – и – частей дороги, расположенных в насыпи и выемкесоответственно, а также линейный масштаб с графиком масштаба уклонов,соответствующий приведенным плану и профилям.

Необходимо напомнить, что на плане на рис. 4.25 в единый учас-ток дороги объединены отдельные отрезки дороги, построения границземляных работ на которых осуществлялись поэтапно на рис. 4.17...4.22 вувеличенном линейном масштабе, указанном на рис. 4.15 . Построениепрофиля – на рис. 4.24 также выполнялось в линейном масштабе,увеличенном по сравнению с линейным масштабом, показанным нарис. 4.25.

Обращаем внимание на то, что с плана и профилей на итоговомчертеже (рис. 4.25) убраны проекции и обозначения точек и линий,используемых на отдельных этапах для соответствующих построений и ихразъяснений.

Á Á

Á Á

А А

[2]в

б

8.

A A

Рис. 4.25

112

113

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

РГР №1 «Чертежи поверхностей»

1. В чем заключается кинематический способ образования поверхностей?2. Какую структуру имеет формула поверхности?3. Что называют образующей, направляющей и законом образования

поверхности?4. Какие геометрические образы (ГО) образуют определитель поверхности?5. Что называют проекцией поверхности?6. Критерий заданности поверхности.7. Какую задачу называют основной позиционной задачей (ОПЗ)?8. Какие формулировки имеет ОПЗ?9. Условие принадлежности точки поверхности. Как строится точка на

поверхности?10. Объясните, почему чертеж определителя поверхности при условии

задания закона её образования является чертежом поверхности?11. Что называют элементарным чертежом поверхности?12. Какие поверхности относятся к линейчатым поверхностям? Какие

линейчатые поверхности изучаются в курсе?13. Каков алгоритм решения ОПЗ для линейчатых поверхностей? С

помощью каких линий целесообразно строить точки на этих поверхностях?14. В каком случае формула задает гиперболичес-

кий параболоид? Коноид? Цилиндроид? Задайте элементарные чертежиперечисленных поверхностей.

15. Какую поверхность определяет формула , если – ло-маная линия, не лежащая с образующей прямой в одной плоскости?Задайте эту поверхность элементарным чертежом.

16. Что называют основным чертежом поверхности? Что такое «отсекповерхности»?

17. Какие линии относятся к контурным линиям поверхности?18. Какие контурные линии являются крайними контурными линиями? Что

такое очерк поверхности?19. Существование, положение и (или) форма каких контурных линий опре-

деляется направлением проецирования (взгляда)?20. Говоря о каких контурных линиях, следует указывать «контурная отно-

сительно плоскости проекций линия»?21. Как связаны между собой «крайние относительно плоскости проекций

(ПП) контурные линии поверхности» и вопросы видимости контурныхлиний и точек поверхности относительно этой ПП?

22. Как образуется поверхность вращения? Какие поверхности вращенияизучаются в курсе?

23. Что такое параллель, экватор, горло, меридиан поверхности вращения?24. Какие поверхности называют торами? Напишите формулу тора.25. Напишите формулу сферы. Задайте сферу элементарным чертежом.

Задайте сферу основным чертежом.

Ф

Ф

{l(a,b, )(l a; l b; l )}

{l(a,l)(l a; l l)} al

S Si i i

i i

114

26. В каком случае формула задает цилиндрическуюповерхность вращения? Коническую поверхность вращения? Однопо-лостный гиперболоид вращения? Задайте последнюю элементарнымчертежом.

27. Каков алгоритм решения ОПЗ для поверхности вращения? С помощьюкаких линий целесообразно строить точки на поверхности вращения?

28. Какую плоскость называют проецирующей? Как задается проецирующаяплоскость на чертеже? Что представляет собой основная проекцияпроецирующей плоскости?

29. Какую плоскость называют плоскостью уровня? Как плоскость уровнязадается на чертеже?

30. Изучите и усвойте, как на чертеже изображаются изучаемые поверх-ности и как на них решается ОПЗ – задача на принадлежность точкиповерхности.

Ф{t(t,j)(t = t j)}i

РГР №2 «Главные позиционные задачи»

1. Какая поверхность является проецирующей относительно плоскостипроекций (ПП)?

2. Какие поверхности могут быть проецирующими при ортогональном прое-цировании?

3. Что называют основной проекцией проецирующей поверхности? В чемзаключается её собирательное свойство?

4. Какие задачи называются главными позиционными задачами (ГПЗ)?5. Какое очевидное условие лежит в основе алгоритмов решения ГПЗ?6. Сформулируйте алгоритм решения 2-й ГПЗ в случае, когда обе пересе-

кающиеся поверхности проецирующие.7. Сформулируйте алгоритм решения 2-й ГПЗ в случае, когда одна пере-

секающаяся поверхность проецирующая, а вторая нет.8. В какой последовательности рекомендуется решать 2-ю ГПЗ в случае,

когда одна из пересекающихся поверхностей проецирующая, а вторая нет.9. Сформулируйте алгоритм решения 1-й ГПЗ в случае, когда пересе-

кающиеся линия и поверхность непроецирующие.10. По каким линиям плоскость может пересекать сферу?11. По каким линиям плоскость может пересекать цилиндрическую поверх-

ность вращения?12. По каким линиям плоскость может пересекать коническую поверхность

вращения?13. В какие линии может проецироваться окружность на ПП?14. Какие точки линии пересечения называют характерными?15. На каких линиях поверхностей меняется видимость линии пересечения

этих поверхностей?16. По каким линиям пересекаются между собой соосные поверхности вра-

щения?17. Что называют геометрическим телом?

115

РГР №3 «Метрические задачи»

1. Как формулируется теорема о проецировании прямого угла? В какомслучае прямой угол проецируется на плоскость проекций (ПП) внатуральную величину? Приведите пример.

2. Сколько прямых, перпендикулярных к данной прямой можно провестичерез точку, не принадлежащую этой прямой?

3. Как через точку, не лежащую на прямой уровня, провести прямую, перпен-дикулярную к прямой уровня и её пересекающую? Приведите пример.

4. Как формулируется признак перпендикулярности прямой и плоскости?5. Как на чертеже строятся проекции прямой , перпендикулярной к плос-

кости общего положения ? Приведите пример.6. Какое положение относительно ПП занимает прямая перпендикулярная к

плоскости, проецирующей относительно этой ПП? Приведите пример.7. Какое ограничение накладывается на новую ПП, задаваемую

дополнительно к имеющимся ПП?8. Как строится новая проекция точки по двум её данным проекциям при

задании новой ПП? Приведите пример.9. Как формулируется 1-я основная задача преобразования чертежа

(1ОЗПЧ)? Как задается новая ПП для решения этой задачи?10. В каком случае отрезок прямой проецируется на ПП в натуральную

величину?11. Как, используя способ задания новой ПП, определить длину отрезка пря-

мой общего положения? Приведите пример.12. Как формулируется 2ОЗПЧ? Как задается новая ПП для решения этой

задачи? Приведите пример.13. Как, используя способ задания новой ПП, перевести прямую общего

положения в положение проецирующей прямой? Приведите пример.14. Как формулируется 3ОЗПЧ? Как задается новая ПП для решения этой

задачи? Приведите пример.15. Как формулируется 4ОЗПЧ? Как задается новая ПП для решения этой

задачи? Приведите пример.16. Как, используя способ задания новой ПП, перевести плоскость общего

положения в положение плоскости уровня? Приведите пример.17. В каком случае плоская фигура проецируется на ПП в натуральную

величину?18. Как, используя способ задания новой ПП, найти натуральный вид треу-

гольника, расположенного в плоскости общего положения? В плоскостиуровня? Приведите пример.

19. Чем определяется расстояние от точки до плоскости?20. Как, используя способ задания новой ПП, найти расстояние от точки до

плоскости общего положения? Приведите пример.21. Чем определяется расстояние от точки до прямой?22. Как, используя способ задания новой ПП, найти расстояние от точки до

прямой общего положения? Приведите пример.

a

a

S

116

РГР №4 «Границы земляных работ»

1. Как задается точка в проекциях с числовыми отметками?2. Что такое отметка точки? Что такое превышение отрезка?3. Как называется длина проекции отрезка прямой в проекциях с число-

выми отметками?4. Что такое интервал прямой?5. Какова зависимость между интервалом и уклоном прямой?6. Что значит градуировать прямую?7. Какие основные способы задания прямой общего положения в проек-

циях с числовыми отметками?8. Что значит градуировать плоскость?9. Что называют линией ската плоскости?10. Что называют масштабом уклона плоскости?11. Как определить интервал и уклон плоскости?12. Как градуировать коническую поверхность?13. Что является линией ската и масштабом уклона прямого кругового

конуса?14. Что называют поверхностью равного уклона? Как градуировать поверх-

ность равного уклона?15. Что называют топографической поверхностью? Как она задается на

чертеже?16. Какую линию называют линией нулевых работ? Что такое точки нулевых

работ?17. Что называют границами земляных работ на участке дороги?18. Как определяются проекции границ земляных работ?19. Какую поверхность образуют откосы насыпи и выемки на наклонном

криволинейном участке дороги?20. Какую поверхность образуют откосы насыпи и выемки на прямолиней-

ном наклонном участке дороги?21. Какую поверхность образуют откосы насыпи и выемки на прямолиней-

ном горизонтальном участке дороги?22. Как построить линию пересечения двух смежных откосов?23. Что представляет собой и как строится линия пересечения двух смежных

плоских откосов?24. Что такое поперечный профиль автомобильной дороги?

23. Чем определяется расстояние между скрещивающимися прямыми?24. Как, используя способ задания новой ПП, найти расстояние между

скрещивающимися прямыми? Приведите пример.

117

ПРИЛОЖЕНИЕВарианты заданий к задаче №1 (РГР №2)

10060

50

2t

1t

F n,{l( l)(l n, l l)} F{l(m,S)(l m, l S)}

100

70

2

1

m

m

1S

2S

2

1t

t, t,

tl2

n2

n1l1

90

70

F n,{l( l)(l n, l l)}t,

l2

2t

1t

n2

n1

l1

F{m(m,j; m j)(m =m j)}t,

2

1

1j

m

m

80

60

2j

2t

1t

F{q(q,j; q j)(q =q j)}t,

100R

10100

2t

1t

2j

1j

1q

2q70R75

F D D{l(b,d, )(l b,l d,l )}t,

D2

30

2t

1t

2b2d

1d

1b

108R

118

F n,{l( l)(l n, l l)}t,

90

n1l1

l2

2t

1t

n2

70

F n,{l( l)(l n, l l)}t,100

50

60

2t

1t

n1

n2

l2

l1


2

1 1j

m

m

80

60

2t

2j1t

1j

2j

F{m(m,j; m j)(m =m j)}

40

2m

1m

2t

1t

t,

F{l(m,S)(l m, l S)}

100

70

2

1

m

m

1S

2S

2

1t

t,

t


105

20

2t

1t

1b

1d

2d

2b

D1

119

t, F{m(m,j; m j)(m =m j)} t,

F{l(m,S)(l m, l S)}t, t,

1m

2m

2j 2t

1t

1j

90


1m

2m2j

2t

1t

1j

2

1

m

m

1S

2S

110

1t2t

F n,{l( l)(l n, l l)}

70

l2

1t

n2

n1

l1

15

2t

100

F{l(m,S)(l m, l S)}t,

80

2

1

m

m

1S

2S2t

1t

12

10


2t

80

2j

1j

2m

1m

1t

60

120

t,t,

t, t,


F n,{l( l)(l n, l l)}

F{l(m,S)(l m, l S)}t, F{m(m,j; m j)(m =m j)}t,

80

2

1

2

1

j

j

m

m

2t

1t

F{l(m,S)(l m, l S)}2

1

m

m

1S

S

1 01

1t2

t2


100

40

1j

1m

2t

1t

2m

70

2 1t

n2

n1l1

2t

100

l

2

2

1

m

m

1S

S

1 01

1tt2

2

1

2jm

m

t

1t

2

80

1j

2j

121

t, F{m(m,j; m j)(m =m j)}

1t

t2

60


1d

D1

70R

1b

30

75

2d

2b

1t

2t

1m

2m

1j

2j

2t

2m

2S

1t

1S

110

1m

F{l(m,S)(l m, l S)}t,

D2

50R

70


100


1t

2t

2d

1d

2b

1b

2t

1t

D1

2b

1b

2d

1d

Парабола строитсÿ при решении çаäачи


D2

2t

1t

2d

1d

2b

1b

108R

Парабола строитсÿпри решении çаäачи

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Курс лекций по начертательной геометрии: учеб. пособие для студентовстроительных специальностей. В 2 ч. Ч.1 / О.А. Оганесов и др. . – 2-е изд.,перераб. и доп. – М.: МАДИ, 2009. – 98 с.

2. Курс лекций по начертательной геометрии: учеб. пособие для студентовстроительных специальностей. В 2 ч. Ч.2 / О.А. Оганесов и др. . – 2-е изд.,перераб. и доп. – М.: МАДИ, 2010. – 99 с.

3. Начертательная геометрия: практикум / О.А. Оганесов и др . – М.: МАДИ,2016. – 72 с.

[ ]

[ ]

[ ]

122

123

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение ................................................................................................................... 3

1. Расчетно-графическая работа №1 «Чертежи поверхностей» ..................... 5 1.1. Основные понятия и определения ................................................................ 5 1.2. Пояснения и рекомендации к выполнению РГР №1 .................................. 14 1.3. Примеры выполнения РГР №1 .................................................................... 15

2. Расчетно-графическая работа №2 «Главные позиционные задачи» ...... 31 2.1. Теоретические основы решения главных позиционных задач.

Содержание РГР №2 .................................................................................... 31 2.2. Решение ГПЗ в первом случае расположения пересекающихся ГО

относительно плоскостей проекций (ГПЗ–1) .............................................. 33 2.3. Решение ГПЗ во втором случае расположения пересекающихся ГО

относительно плоскостей проекций (ГПЗ–2) .............................................. 35 2.4. Задача №1 РГР№2: решение 1ГПЗ в третьем случае расположения

пересекающихся ГО относительно плоскостей проекций (1ГПЗ–3) ......... 45 2.5. Построение изображений геометрических тел с вырезами:

задачи №2 и №3 РГР №2 ............................................................................ 58

3. Расчетно-графическая работа №3 «Метрические задачи» ........................ 66 3.1. Теоретические основы решения метрических задач ................................. 66 3.2. Общие указания к РГР №3 .......................................................................... 73 3.3. Пример решения задачи №1 ....................................................................... 74 3.4. Пример решения задачи №2 ....................................................................... 77 3.5. Пример решения задачи №3 ....................................................................... 82 3.6. Пример решения задачи №4 ....................................................................... 83

4. Расчетно-графическая работа №4 «Границы земляных работ» .............. 87 4.1. Основные понятия и определения .............................................................. 87 4.2. Пояснения и рекомендации к выполнению РГР №4 .................................. 96

Контрольные вопросы и задания .................................................................... 113

Приложение. Варианты заданий к задаче №1 (РГР №2) .................................. 117

Список рекомендуемой литературы ................................................................ 122

Учебное издание

Авторский коллектив:

ОГАНЕСОВ Олег Авакович ДОБРОГАЕВ Павел Ростиславович РЯБИКОВА Ирина Михайловна КУЗЕНЕВА Наталья Николаевна


РУКОВОДСТВО ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Под редакцией канд. техн. наук, доц. О.А. Оганесова

Редактор М.Н. Брусова

Редакционно-издательский отдел МАДИ. E-mail: [email protected]

Подписано в печать 16.05.2018 г. Формат 60×84/8. Усл. печ. л. 15,5. Тираж 200 экз. Заказ . Цена 505 руб.

МАДИ, Москва, 125319, Ленинградский пр-т, 64.

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯlib.madi.ru/fel/fel1/fel18E469.pdf · 5 Цели...

Documents

Transcript of НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯlib.madi.ru/fel/fel1/fel18E469.pdf · 5 Цели...