Γιάννης Γ. Πλευριτάκης website: studenthelp.gr Σελίδα 1

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ενότητα 3: Πίεση

Πίεση

Είπαμε σε προηγούμενη ενότητα ότι ένα αποτέλεσμα μιας δύναμης είναι η παραμόρφωση του σώματος στο οποίο ενεργεί. Για να περιγράψουμε το μέγεθος της παραμόρφωσης πρέπει να λάβουμε υπόψη κι ένα άλλο παράγοντα, το εμβαδόν στο οποίο εφαρμόζεται η δύναμη.

Ας πάρουμε για παράδειγμα ένα άνδρα που στέκεται στο χιόνι. Αν φοράει χιονοπέδιλα δεν βουλιάζει στο χιόνι και μπορεί να κινηθεί σ’ αυτό, σε αντίθεση που όταν φοράει μόνο τα παπούτσια του, που τότε βουλιάζει στο χιόνι και δεν μπορεί να κινηθεί. Σε κάθε περίπτωση ο άνδρας ασκεί την ίδια δύναμη στο χιόνι, το βάρος του, αλλά όταν φοράει χιονοπέδιλα αυτή η δύναμη κατανέμεται σε μεγάλη επιφάνεια και λέμε ότι έχουμε μικρή πίεση, σε αντίθεση που όταν φορά τα παπούτσια του που το βάρος του κατανέμεται σε μικρή επιφάνεια, οπότε λέμε ότι έχουμε μεγάλη πίεση.

Ένα άλλο παράδειγμα είναι όταν καρφώνουμε σε ένα κομμάτι ξύλο μια πινέζα. Η δύναμη που ασκούμε στο κεφάλι της πινέζας είναι η ίδια με τη δύναμη που ασκεί η πινέζα στο ξύλο. Αλλά επειδή το κεφάλι της πινέζας έχει πολύ μεγαλύτερο εμβαδόν από τη μύτη της, λέμε ότι η πίεση στο κεφάλι είναι μικρή ενώ η πίεση στη μύτη είναι μεγάλη. Γι’ αυτό το λόγο το ξύλο παραμορφώνεται και εισχωρεί η πινέζα στο ξύλο και δεν έχουμε πρόβλημα με την πίεση που ασκούμε με το χέρι μας στο κεφάλι της πινέζας.

Από τα παραπάνω παραδείγματα καταλαβαίνουμε ότι όσο πιο μικρή είναι η επιφάνεια πάνω στην οποία ενεργεί μια δύναμη, τόσο μεγαλύτερη είναι η ικανότητα της να προκαλέσει παραμόρφωση, όπου αυτή η ικανότητα της δύναμης εκφράζεται με το φυσικό μέγεθος της πίεσης.

Ορισμός: Όταν μια δύναμη μέτρου F ενεργεί ομοιόμορφα και κάθετα σε μια επιφάνεια Α ορίζουμε το φυσικό μέγεθος πίεση, ως το πηλίκο της δύναμης F προς την επιφάνεια Α:

Η μονάδα πίεσης στο Διεθνές Σύστημα Μονάδων είναι το Pascal (Pa) που ορίζεται ως εξής: 1 Pa (πασκάλ) είναι η πίεση που δημιουργεί μια δύναμη μέτρου 1Ν αν ενεργήσει κάθετα σε μια επιφάνεια 1m2

Γιάννης Γ. Πλευριτάκης website: studenthelp.gr Σελίδα 2

Επειδή η πίεση ίση με 1 Pa είναι πολύ μικρή χρησιμοποιούμε το πολλαπλάσιο της το 1kPa (κιλοπασκάλ) = 103Pa = 1000Pa.

Η κυριότερη διαφορά της πίεσης από τη δύναμη είναι ότι η πίεση είναι μονόμετρο μέγεθος ενώ η δύναμη είναι διανυσματικό μέγεθος.

Πίεση των ρευστών Ρευστά ονομάζουμε τα σώματα που δεν έχουν σταθερό σχήμα, αλλά αποκτούν το σχήμα του δοχείου που τα περιέχει. Ονομάζονται ρευστά λόγω της ιδιότητας τους να ρέουν. Ρευστά είναι τα υγρά και τα αέρια.

Κάθε ρευστό που βρίσκεται σε ισορροπία, ασκεί στα τοιχώματα των σωμάτων που βρίσκεται σε επαφή δύναμη και επομένως ασκεί πίεση σ’ αυτά. Η πίεση που ασκεί ένα υγρό που ισορροπεί ονομάζεται υδροστατική πίεση, ενώ η πίεση που ασκείται από τον ατμοσφαιρικό αέρα ονομάζεται ατμοσφαιρική πίεση.

Υδροστατική πίεση Που οφείλεται η υδροστατική πίεση: Σε ένα υγρό που ισορροπεί σε ένα δοχείο ασκούνται δυο δυνάμεις: το βάρος του w και η δύναμη FN που δέχεται το υγρό από το πυθμένα. Αυτές οι δυο δυνάμεις έχουν συνισταμένη μηδέν, οπότε για τα μέτρα τους έχουμε:

FN=w

Ας γράψουμε ότι το υγρό θα ασκεί δύναμη F’N στο πυθμένα του δοχείου. Η δύναμη F’N που ασκεί το υγρό στο πυθμένα με τη δύναμη FN που δέχεται το υγρό από τον πυθμένα θα έχουν σχέση δράσης – αντίδρασης, άρα το μέτρο της δύναμης που ασκεί το υγρό στο πυθμένα θα είναι ίσο με το βάρος του. Οπότε η πίεση του υγρού στον πυθμένα είναι ίση με:

Καταλαβαίνουμε λοιπόν ότι η υδροστατική πίεση των υγρών οφείλεται στο βάρος τους. Ας κάνουμε το παρακάτω νοητό πείραμα: Έστω η υδροστατική πίεση ενός υγρού σε ένα δοχείο που βρίσκεται στη Γη έχει μια τιμή. Αν μεταφέρουμε το δοχείο στη Σελήνη η υδροστατική πίεση θα μειωθεί κατά 6 φορές. Πράγματι επειδή η δύναμη βαρύτητας στη Σελήνη είναι 6 φορές μικρότερη από εκείνη στη Γη, από τον τύπο p=w/A αποδεικνύεται ο ισχυρισμός μας.

Γιάννης Γ. Πλευριτάκης website: studenthelp.gr Σελίδα 3

Μέτρηση της υδροστατικής πίεσης

Για να μετρήσουμε την υδροστατική πίεση ενός υγρού, χρησιμοποιούμαι ειδικά όργανα τα μανόμετρα.Ένας απλός τύπος μανομέτρου που χρησιμοποιούμε στο εργαστήριο της φυσικής, αποτελείται από ένα διαφανές σωλήνα σε σχήμα U ο οποίος περιέχει κάποιο υγρό π.χ. υδράργυρο ή λάδι. Το ένα σκέλος του σωλήνα συνδέεται με ελαστικό σωλήνα ο οποίος η άλλη του άκρη τερματίζεται σε μια κάψα που στην μια της μεριά κλείνεται με ελαστική μεμβράνη. Η κάψα τοποθετείται στο υγρό στο σημείο που θέλουμε να μετρήσουμε την υδροστατική πίεση. Η μεμβράνη παραμορφώνεται και πιέζει τον αέρα που βρίσκεται μέσα στον ελαστικό σωλήνα. Ο αέρας του ελαστικού σωλήνα πιέζει το υγρό του μανομέτρου, οπότε δημιουργείται υψομετρική διαφορά στο υγρό των δυο σκελών του μανομέτρου. Η διαφορά της στάθμης στα δυο σκέλη είναι η ένδειξη του μανομέτρου που είναι ανάλογης της υδροστατικής πίεσης που δέχεται η κάψα.

Όσο μεγαλύτερη είναι η πίεση του υγρού τόσο περισσότερο παραμορφώνεται η μεμβράνη και τόσο περισσότερο μεγαλώνει η διαφορά στάθμης στα δυο σκέλη του μανομέτρου.

Νόμος της υδροστατικής πίεσης Στην αρχή της ενότητας είπαμε ότι η υδροστατική πίεση ενός υγρού οφείλεται στο βάρος του. Στη συνέχεια θα αναζητήσουμε πως συνδέεται η υδροστατική πίεση με τα άλλα φυσικά μεγέθη που έχει σχέση. Για να το πετύχουμε αυτό κάνουμε μια σειρά πειραμάτων.

Υδροστατική πίεση και βάθος Για να συσχετίσουμε την υδροστατική πίεση με το βάθος, καταφεύγουμε στο πείραμα. Τοποθετούμε την μανομετρική κάψα σε διάφορα βάθη και μετράμε την πίεση με το μανόμετρο. Με επεξεργασία των μετρήσεων ανακαλύπτουμε ότι η υδροστατική πίεση αυξάνεται ανάλογα με το βάθος.

Υδροστατική πίεση και πυκνότητα του υγρού Για να βρούμε τη σχέση της υδροστατικής πίεσης με την πυκνότητα του υγρού εκτελούμε το παρακάτω πείραμα: Παίρνουμε δυο δοχεία το ένα με καθαρό οινόπνευμα το οποίο έχει πυκνότητα ροιν=800Kg/m3 και το άλλο με αλατόνερο το οποίο έχει πυκνότητα ραλ=1600Kg/m3. Μετράμε με το μανόμετρο την υδροστατική πίεση, στο ίδιο βάθος, στο δοχείο με το αλατόνερο και βρίσκουμε ότι είναι διπλάσια από την υδροστατική πίεση στο δοχείο με το οινόπνευμα. Με αυτό το πείραμα και καθώς με άλλα συμπεραίνουμε ότι η υδροστατική πίεση είναι ανάλογη με την πυκνότητα του υγρού.

Νόμος της υδροστατικής πίεσης Με τα παραπάνω πειραματικά δεδομένα καθώς και με την εκτέλεση άλλων πειραμάτων, καταλήγουμε στο ότι η υδροστατική πίεση

Γιάννης Γ. Πλευριτάκης website: studenthelp.gr Σελίδα 4

είναι ανάλογη με: 1] Με το βάθος από την επιφάνεια του υγρού. 2] Με την πυκνότητα του υγρού. 3] Με την επιτάχυνση της βαρύτητας.

Τα παραπάνω συμπεράσματα εκφράζονται με τη γλώσσα των μαθηματικών με την παρακάτω σχέση, που λέγεται νόμος της υδροστατικής πίεσης:

p = ρ ∙ g ∙ h

Όπου p η υδροστατική πίεση σε Ν/m2 , ρ η πυκνότητα του υγρού σε Κg/m3 , g η επιτάχυνση της βαρύτητας σε m/s2 και h το βάθος από την επιφάνεια του υγρού σε m.

Απλή απόδειξη του νόμου της υδροστατικής πίεσης. Θεωρούμε ότι έχουμε ένα κυλινδρικό δοχείο με εμβαδόν βάσης Α και ότι έχει ύψος h, το οποίο είναι γεμάτο με υγρό πυκνότητας ρ. Ο όγκος του υγρού που περιέχει είναι ίσος με V = A ∙ h ενώ η μάζα του θα είναι m = ρ ∙ V = ρ ∙ Α ∙ h

Το βάρος του υγρού εκφράζεται με τη σχέση w = m ∙ g = ρ ∙ Α ∙ h ∙ g

Επειδή το υγρό ισορροπεί θα δέχεται δύναμη F από το πυθμένα κατά μέτρο ίση με το βάρος του w δηλαδή F = w. Λόγω του τρίτου νόμου του Νεύτωνα, δηλαδή της σχέσης δράσης – αντίδρασης, το υγρό θα ασκεί στο πυθμένα δύναμη F’ με μέτρο ίσο της δύναμης F, δηλαδή: F’ = F = w και συγκεκριμένα F’ = ρ ∙ Α ∙ h ∙ g

Η πίεση στο πυθμένα λόγω της δύναμης F’ που ασκεί το υγρό στο πυθμένα, θα είναι:

Δηλαδή, η υδροστατική πίεση p υγρού πυκνότητας ρ σε βάθος h από την ελεύθερη επιφάνεια του υγρού εκφράζεται ως: (g η επιτάχυνση της βαρύτητας)

p = ρ ∙ h ∙ g

Υδροστατική πίεση είναι ανεξάρτητη από τον όγκο και το σχήμα του δοχείου.

Εκτελούμε το παρακάτω πείραμα: Έχουμε διάφορα δοχεία από το ίδιο υγρό τα οποία περιέχουν διαφορετική ποσότητα του ίδιου υγρού. Βάζουμε τη μανομετρική κάψα σε καθένα από τα δοχεία και στο ίδιο βάθος και μετράμε την υδροστατική πίεση. Παρατηρούμε ότι η υδροστατική πίεση είναι ίδια για το ίδιο βάθος ανεξάρτητη από το σχήμα του δοχείου και τη μάζα του υγρού.

Γιάννης Γ. Πλευριτάκης website: studenthelp.gr Σελίδα 5

Συγκοινωνούντα δοχεία

Από το νόμο της υδροστατικής πίεσης προκύπτει ότι η πίεση σε δυο διαφορετικά σημεία του υγρού που βρίσκονται στο ίδιο βάθος από την ελεύθερη επιφάνεια του υγρού έχουν την ίδια πίεση. Αυτή η αρχή εφαρμόζεται στα συγκοινωνούντα δοχεία. Συγκοινωνούντα δοχεία λέμε διάφορα δοχεία με διαφορετικό σχήμα και μέγεθος που συνδέονται μεταξύ τους με ένα σωλήνα στο κατώτερο σημείο τους, όπως βλέπουμε στο σχήμα.

Αν ρίξουμε υγρό σε ένα από αυτά, μέσω του σωλήνα θα διοχετευτεί υγρό και στα υπόλοιπα δοχεία. Παρατηρούμε ότι όταν επέλθει ισορροπία η στάθμη του υγρού είναι στο ίδιο επίπεδο για όλα τα δοχεία. Αν σε ένα δοχείο η στάθμη ήταν υψηλότερη από τα υπόλοιπα θα είχαμε διαφορετική υδροστατική πίεση στον πυθμένα και θα είχαμε κίνηση του υγρού, πράγμα που δεν συμβαίνει, άρα η στάθμη του υγρού στα συγκοινωνούντα δοχεία είναι στο ίδιο επίπεδο.

Την αρχή των συγκοινωνούντων δοχείων την εκμεταλλευόμαστε στο σύστημα υδροδότησης των πόλεων. Συγκεκριμένα οι δεξαμενές ύδρευσης κατασκευάζονται στα ψηλότερα σημεία των πόλεων έτσι ώστε λόγω της διαφοράς της υδροστατικής πίεσης το νερό να κινείται μέσω σωληνώσεων και να φτάνει στους υψηλότερους ορόφους των σπιτιών χωρίς να χρειάζεται τη χρήση αντλιών.

Μέτρηση της ατμοσφαιρικής πίεσης Η ατμοσφαιρική πίεση μετρήθηκε για πρώτη φορά το 1643 από το φυσικό Εβαγγελίστα Τορικέλι. Ο Τορικέλι πήρε ένα γυάλινο σωλήνα μήκους 1m, κλειστό από την μια μεριά και τον γέμισε με υδράργυρο. Έπειτα έκλεισε το στόμιο του με το δάκτυλο του και τον αναποδογύρισε σε μια λεκάνη με υδράργυρο και άφησε ελεύθερο το άκρο του. Ο Τορικέλι παρατήρησε ότι το ύψος του υδραργύρου στο σωλήνα μειώθηκε φτάνοντας στο ύψος 76cm από την επιφάνεια της λεκάνης με το υδράργυρο.

Ερώτηση: Γιατί ο υδράργυρος στον σωλήνα δεν άδειασε όλος στη λεκάνη; Απάντηση: Θεωρούμε δυο σημεία Α και Β όπου το Α το παίρνουμε στην επιφάνεια του υδραργύρου της λεκάνης και το άλλο σημείο Β το παίρνουμε στη βάση μέσα στο σωλήνα υδραργύρου στο ίδιο ύψος με το σημείο Α. Σύμφωνα με την αρχή των συγκοινωνούντων δοχείων, η πίεση στα σημεία Α και Β είναι η ίδια, δηλαδή:

pA = pB

Γιάννης Γ. Πλευριτάκης website: studenthelp.gr Σελίδα 6

Η πίεση στο σημείο Α είναι η ατμοσφαιρική πίεση pA=patm ενώ η πίεση στο σημείο Β είναι η υδροστατική πίεση που προκαλεί η στήλη υδραργύρου του σωλήνα: pB=pυδρ . Συγκρίνοντας τις παραπάνω σχέσεις προκύπτει ότι η ατμοσφαιρική πίεση είναι ίση με την πίεση που ασκεί στη βάση η στήλη υδραργύρου με ύψος 76cm (όταν εκτελείται το πείραμα στην επιφάνειά της θάλασσας). Έτσι η ατμοσφαιρική πίεση δεν αφήνει τον υδράργυρο του σωλήνα να χυθεί στην λεκάνη.

Την υδροστατική πίεση που ασκεί στήλη υδραργύρου ύψους 1 mm την ονομάζουμε 1 Torr προς τιμήν του Τορικέλι. Επομένως η ατμοσφαιρική πίεση στην επιφάνεια της θάλασσας ισούται με 760 Torr.

Για τη μέτρηση της ατμοσφαιρικής πίεσης χρησιμοποιούμε όργανα που ονομάζονται βαρόμετρα.

Πως υπολογίζουμε την ατμοσφαιρική πίεση Η ατμοσφαιρική πίεση είναι ίση με την υδροστατική πίεση μιας στήλης υδραργύρου ύψους h που υπολογίζεται από τον τύπο:

patm = pυδρ = ρ ∙ g ∙ h

Γνωρίζουμε την πυκνότητα του υδραργύρου που έχει τιμή ρ=13.600kg/m3 , την επιτάχυνση της βαρύτητας στην επιφάνεια της θάλασσας που έχει τιμή g=9,8m/s2, ενώ το ύψος της στήλης υδραργύρου στο σωλήνα έχει τιμή h-76cm=0,76m. Με αντικατάσταση των τιμών στην παραπάνω σχέση παίρνουμε:

patm = 13.600Kg/m3 ∙ 9,8m/s2 ∙ 0,76m ή patm = 101.293Pa (πασκάλ)

Έτσι υπολογίσαμε ότι η πίεση μιας ατμόσφαιρας είναι ίση με 101.293Pa. Αν δεν θέλουμε μεγάλη ακρίβεια γράφουμε 1atm = 100.000Pa.

Δυνάμεις λόγω ατμοσφαιρικής πίεσης Λόγω της ατμοσφαιρικής πίεσης τα σώματα που βρίσκονται μέσα στον αέρα δέχονται τεράστιες δυνάμεις. Λόγω της ατμοσφαιρικής πίεσης στο ανθρώπινο σώμα ασκούνται δυνάμεις της τάξης των 100.000Ν. Όμως οι δυνάμεις αυτές δεν συνθλίβουν το ανθρώπινο σώμα διότι η πίεση στο εσωτερικό σώμα είναι ίση με την ατμοσφαιρική πίεση. Αν με ένα καλαμάκι αφαιρέσουμε τον αέρα από ένα χάρτινο κουτί πορτοκαλάδας η εξωτερική δύναμη που ασκεί ο ατμοσφαιρικός αέρας προκαλεί την παραμόρφωση του κουτιού.

Γιάννης Γ. Πλευριτάκης website: studenthelp.gr Σελίδα 7

Για να καταφέρουμε να πιούμε το αναψυκτικό μας χρησιμοποιούμε ένα καλαμάκι. Καθώς ρουφούμε τον αέρα που υπάρχει στο καλαμάκι, έχει ως αποτέλεσμα η δύναμη που ασκεί η ατμοσφαιρική πίεση στην επιφάνεια του αναψυκτικού αναγκάζει το αναψυκτικό να ανέβει στο στόμα μας. Στη Σελήνη όπου δεν υπάρχει ατμοσφαιρική πίεση, δεν μπορούμε να πιούμε το αναψυκτικό με το καλαμάκι.

Μετάδοση των πιέσεων στα ρευστά – Αρχή του Πασκάλ Αρχή του Πασκάλ

Έχουμε ένα σφαιρικό δοχείο γεμάτο υγρό (νερό) το οποίο κλείνεται ερμητικά με ένα έμβολο. Σε διάφορα σημεία των τοιχωμάτων του δοχείου υπάρχουν μανόμετρα, τα οποία μετρούν την πίεση στα σημεία αυτά. Ανάλογα με τη θέση του μανόμετρου, το μανόμετρο δείχνει την δική του πίεση λόγω διαφορετικής υδροστατικής πίεσης. Πάνω στο έμβολο τοποθετούμε ένα βάρος οπότε θα έχουμε αύξηση της πίεσης στο υγρό κατά Δp=W/A όπου Α είναι το εμβαδόν του εμβόλου.

Παρατηρούμε τις ενδείξεις των μανόμετρων και βλέπουμε ότι αυξάνονται σε όλα κατά το ίδιο ποσό Δp. Το συμπέρασμα μας είναι ότι η πρόσθετη πίεση που ασκούμε στο έμβολο μεταδίδεται ταυτόχρονα σε όλα τα σημεία του υγρού. Πρώτος το διαπίστωσε ο Πασκάλ το 1648 στην «αρχή του Πασκάλ», η οποία λέει ότι κάθε μεταβολή της πίεσης σε οποιοδήποτε σημείο ενός περιορισμένου ρευστού, που είναι ακίνητο, προκαλεί ίση μεταβολή στην πίεσης σε όλα τα σημεία του.

Υδραυλικά πιεστήρια ή υδραυλικές αντλίες

Η αρχή του Πασκάλ εφαρμόζεται στα υδραυλικά πιεστήρια ή υδραυλικές αντλίες. Αυτές αποτελούνται από δύο δοχεία που κλείνονται από δύο έμβολα διαφορετικής διατομής, γεμάτα με υγρό (συνήθως λάδι) τα οποία επικοινωνούν διαμέσου ενός σωλήνα. Για λόγους απλούστευσης θεωρούμε τα έμβολα αβαρή.

Γιάννης Γ. Πλευριτάκης website: studenthelp.gr Σελίδα 8

Ασκούμε στο έμβολο με τη μικρότερη διατομή A1 δύναμη F1.Τότε η πίεση στο υγρό θα αυξηθεί κατά p1=F1/A1που βάση της αρχής του Πασκάλ θα διαδοθεί σε όλα τα σημεία του. Έτσι και η πίεση στο έμβολο με τη μεγαλύτερη διατομή θα αυξηθεί κατά το ίδιο ποσό και θα δέχεται πίεση από το υγρό p2 με p2=p1 οπότε θα ενεργεί πάνω του μια δύναμη με κατεύθυνση από το υγρό προς το έμβολο που θα έχει τιμή F2 επομένως p2=F2/Α2 (Α2 η διατομή του μεγαλύτερου εμβόλου).

Δηλαδή F2/A2 = F1/A1 οπότε προκύπτει η σχέση F2=(A2/A1) F1

Επειδή το εμβαδόν Α2 είναι μεγαλύτερο από το εμβαδόν Α1 , η δύναμη που ενεργεί στο μεγαλύτερο έμβολο F2 είναι μεγαλύτερη από τη δύναμη που ενεργεί στο μικρότερο έμβολο F1. Γενικά η F2 είναι τόσες φορές μεγαλύτερη από την F1 όσες φορές είναι μεγαλύτερο το εμβαδόν του Α2 από το Α1.

Η αρχή του Πασκάλ όπως την παρουσιάσαμε σε αυτό το νοητό πείραμα βρίσκει εφαρμογές στον υδραυλικό γρύλο, για να ανασηκώνουμε αυτοκίνητα και στα υδραυλικά φρένα των αυτοκινήτων.

Πίεση σε υγρό

Σε ένα υγρό που ηρεμεί σε ένα δοχείο, στην επιφάνεια του ασκείται η ατμοσφαιρική πίεση. Από την αρχή του Πασκάλ η ατμοσφαιρική πίεση που ασκείται στην επιφάνεια του υγρού διαδίδεται σε όλα τα σημεία του υγρού. Επιπλέον σε κάθε σημείο του υγρού ασκείται η υδροστατική πίεση του. Επομένως σε ένα σημείο του υγρού σε βάθος h από την επιφάνεια του η πίεση είναι το άθροισμα της ατμοσφαιρικής πίεσης συν την υδροστατική πίεση του υγρού σε αυτό το βάθος: Pολική = Pατμ + p • g • h.

Άνωση – Αρχή του Αρχιμήδη Όταν βυθίσουμε ένα σώμα σε ένα υγρό, παρατηρούμε ότι εκτός από το βάρος του, ασκείται η δύναμη της άνωσης που ασκεί το υγρό στο σώμα. Για να αντιληφθούμε τη δύναμη της άνωσης εκτελούμε το ακόλουθο πείραμα: Παίρνουμε μια μπάλα και προσπαθούμε να τη βυθίσουμε στο νερό. Παρατηρούμε ότι κάποια δύναμη

Γιάννης Γ. Πλευριτάκης website: studenthelp.gr Σελίδα 9

σπρώχνει προς τα πάνω τη μπάλα. Μάλιστα, όσο περισσότερο τη βυθίζουμε την μπάλα, τόσο μεγαλύτερη είναι η άνωση που την σπρώχνει προς τα πάνω. Αν βυθίσουμε εντελώς την μπάλα στο νερό θα πρέπει να καταβάλουμε μεγάλη προσπάθεια για να την συγκρατήσουμε μέσα στο νερό. Επίσης παρατηρούμε ότι λόγω της άνωσης είναι ευκολότερο να σηκώσουμε μια πέτρα όταν αυτή είναι βυθισμένη στο νερό από ότι όταν βρίσκεται έξω από αυτό.

Μέτρηση της άνωσης σώματος βυθισμένου σε υγρό

Έστω ότι θέλουμε να μετρήσουμε την δύναμη της άνωσης που δέχεται μια πέτρα βυθισμένη μέσα στο νερό. Παίρνουμε την πέτρα και την κρεμάμε σε ένα δυναμόμετρο, τότε η ένδειξη του δυναμόμετρου wφ θα είναι ίση με το βάρος της πέτρας w δηλαδή wφ=w.

Παίρνουμε την πέτρα ενώ ταυτόχρονα είναι κρεμασμένη στο δυναμόμετρο και τη βυθίζουμε μέσα σε υγρό. Παρατηρούμε ότι όσο η πέτρα βυθίζεται, η ένδειξη του δυναμόμετρου μειώνεται και όταν βυθιστεί όλη, το δυναμόμετρο δείχνει σταθερή ένδειξη wφ μικρότερη από το βάρος της πέτρας. Αυτή η ένδειξη ονομάζεται φαινομενικό βάρος του σώματος. Καταλαβαίνουμε ότι η πέτρα δέχεται μια δύναμη Α από το νερό που ονομάζεται άνωση και έχει κατεύθυνση αντίθετη από του βάρους της.

Επειδή η πέτρα ισορροπεί από τη συνθήκη της ισορροπίας προκύπτει η σχέση wφ+Α=w ή Α=w-wφ

Δηλαδή η δύναμη της άνωσης μετράται ως την αφαίρεση των δύο ενδείξεων του δυναμόμετρου πριν και μετά τη βύθιση.

Που οφείλεται η άνωση

Σε προηγούμενη παράγραφο είπαμε ότι όταν βυθίσουμε ένα σώμα σε υγρό ασκείται πίεση σε αυτό, δηλαδή κάθετες δυνάμεις σε κάθε τμήμα της επιφάνειας του.

Γιάννης Γ. Πλευριτάκης website: studenthelp.gr Σελίδα 10

Ας θεωρήσουμε το σώμα του σχήματος το οποίο είναι βυθισμένο σε υγρό. Στο σχήμα είναι σχεδιασμένες μερικές από τις δυνάμεις που δέχεται κάθε επιφάνεια του σώματος. Οι δυνάμεις F2 και F3 που ασκούνται στα πλάγια τοιχώματα είναι αντίθετες και έχουν συνισταμένη μηδέν. Οι δυνάμεις F1 και F4 ασκούνται κατακόρυφα και λόγω της διαφορετικής υδροστατικής πίεσης έχουν διαφορετικό μέτρο.

Επειδή η υδροστατική πίεση στην κάτω επιφάνεια του σώματος είναι μεγαλύτερη από εκείνη της πάνω μεριάς, η δύναμη F4 έχει μεγαλύτερο μέτρο από τη δύναμη F1, με αποτέλεσμα να έχουμε μη μηδενική συνισταμένη με φορά προς τα άνω η οποία είναι η άνωση που δέχεται το σώμα από το υγρό.

Η άνωση δεν εξαρτάται από το σχήμα του βυθισμένη σώματος.

Για να εξετάσουμε πως σχετίζεται η άνωση που δέχεται ένα σώμα βυθισμένο σε υγρό με το σχήμα του εκτελούμε το πείραμα. Παίρνουμε ένα κομμάτι πλαστελίνη και μετράμε την άνωση που δέχεται βυθισμένη σε νερό με τον τρόπο που είπαμε στην προηγούμενη παράγραφο. Αλλάζουμε το σχήμα της και μετράμε την άνωση που δέχεται από το νερό. Κάθε φορά ο όγκος της πλαστελίνης είναι ο ίδιος και βρίσκουμε την ίδια τιμή για την άνωση.

Άρα για τον ίδιο όγκο ενός σώματος η άνωση που δέχεται βυθισμένο σε υγρό, είναι ο ίδιος ανεξαρτήτου σχήματος.

Η άνωση δεν εξαρτάται από το βάρος βυθισμένου σώματος

Για να εξετάσουμε πως σχετίζεται η άνωση που δέχεται ένα σώμα βυθισμένο στο νερό με το βάρος του, εκτελούμε το πείραμα.

Παίρνουμε κύβους συγκεκριμένης ακμής από διάφορα υλικά π.χ. πλαστικό, σίδερο κ.α. και μετράμε την άνωση που δέχονται βυθισμένα σε νερό με τον τρόπο που δείξαμε σε προηγούμενη παράγραφο. Παρατηρούμε ότι δέχονται την ίδια άνωση. Άρα η άνωση που δέχονται τα σώματα συγκεκριμένου όγκου αλλά από διαφορετικά υλικά, είναι η ίδια ανεξάρτητα από το υλικό του σώματος.

Η άνωση είναι ανεξάρτητη από το βάθος που βυθίζουμε το σώμα

Γιάννης Γ. Πλευριτάκης website: studenthelp.gr Σελίδα 11

Για να εξετάσουμε πως σχετίζεται η άνωση που δέχεται ένα σώμα με το βάθος στο οποίο βυθίζεται εκτελούμε το πείραμα:

Παίρνουμε ένα σώμα και το βυθίζουμε σε διάφορα βάθη στο νερό, ενώ ταυτόχρονα μετράμε την άνωση του. Παρατηρούμε ότι το σώμα δέχεται την ίδια άνωση. Άρα η άνωση που δέχεται ένα σώμα βυθιζόμενο σε υγρό σε διάφορα βάθη είναι η ίδια.

Η άνωση είναι ανάλογη της πυκνότητας του υγρού μέσα στο οποίο βυθίζεται ένα σώμα

Για να εξετάσουμε πως σχετίζεται η άνωση που δέχεται ένα σώμα με την πυκνότητα του υγρού στο οποίο βυθίζεται, εκτελούμε το παρακάτω πείραμα:

Παίρνουμε το σιδερένιο κύβο και τον βυθίζουμε κάθε φορά σε διαφορετικό υγρό διαφορετικής πυκνότητας πχ. νερό και οινόπνευμα ενώ μετράμε την άνωση που δέχεται από το υγρό.

Παρατηρούμε ότι ο κύβος βυθιζόμενος στο νερό με τη μεγαλύτερη πυκνότητα δέχεται πιο μεγάλη άνωση από τον κύβο βυθιζόμενο σε οινόπνευμα με τη μικρότερη πυκνότητα. Άρα η άνωση που δέχεται ένα συγκεκριμένο σώμα βυθιζόμενο σε υγρό διαφορετικής πυκνότητας είναι μεγαλύτερη όταν βυθιστεί στο υγρό με τη μεγαλύτερη πυκνότητα.

Η άνωση εξαρτάται από τον όγκο βυθιζόμενου σώματος

Για να εξετάσουμε πως σχετίζεται ο όγκος ενός σώματος με την άνωση που δέχεται βυθιζόμενος σε υγρό εκτελούμε το πείραμα:

Παίρνουμε κύβους από το ίδιο υλικό π.χ. αλουμίνιο αλλά με διαφορετικούς όγκους και μετράμε την άνωση που δέχονται βυθιζόμενα σε νερό. Παρατηρούμε ότι το σώμα με τον μεγαλύτερο όγκο δέχεται την μεγαλύτερη άνωση, άρα η άνωση που δέχεται το σώμα βυθιζόμενο σε υγρό είναι ανάλογη του όγκου του σώματος.

Αρχή του Αρχιμήδη

Πρώτος ο Αρχιμήδης μελέτησε την άνωση που δέχεται ένα σώμα βυθισμένο σε υγρό και την συσχέτισε με το βάρος του νερού που εκτοπίζει το σώμα. Η αρχή του Αρχιμήδη διατυπώνεται ως εξής:

Κάθε σώμα που βυθίζεται σε ένα υγρό δέχεται μια κατακόρυφη με φορά προς τα άνω δύναμη που λέγεται άνωση που κατά μέτρο είναι ίση με το βάρος του υγρού που εκτοπίζεται από το σώμα.

Η Αρχή του Αρχιμήδη επιβεβαιώνεται πειραματικά με την ακόλουθη πειραματική διαδικασία:

Γιάννης Γ. Πλευριτάκης website: studenthelp.gr Σελίδα 12

Παίρνουμε μια σφαίρα όπως αυτή του σχήματος και μετράμε με τη βοήθεια του δυναμόμετρου την άνωση που δέχεται βυθιζόμενη στο νερό (αφαιρούμε από την ένδειξη του δυναμόμετρου όταν η σφαίρα είναι εκτός νερού την ένδειξη του δυναμόμετρου όταν η σφαίρα είναι εντός νερού). Βρίσκουμε για την άνωση την τιμή 0,3Ν.

Παίρνουμε ένα άδειο δοχείο Α και το ζυγίζουμε και έστω ότι βρίσκουμε την τιμή για το βάρος του 5Ν.

Μέσα στο άδειο δοχείο Α τοποθετούμε ένα δεύτερο δοχείο Β, το οποίο είναι γεμάτο νερό. Βυθίζουμε τη σφαίρα στο δοχείο Β και βλέπουμε ότι ένα μέρος του νερού χύνεται στο δοχείο Α. Αυτή η ποσότητα νερού είναι το εκτοπισμένο νερό από τη σφαίρα.

Βγάζουμε το δοχείο Β από το δοχείο Α και ζυγίζουμε το δοχείο Α που περιέχει την εκτοπισμένη ποσότητα νερού από τη σφαίρα.

Βρίσκουμε για αυτό το βάρος την τιμή 5,3Ν. Επομένως το βάρος της εκτοπισμένης ποσότητας νερού είναι ίση W=5,3N – 5N = 0,3N.

Βρίσκουμε ότι το βάρος της εκτοπισμένης ποσότητας από τη σφαίρα ότι είναι ίσο με την άνωση που δέχεται βυθιζόμενη στο νερό.

Μαθηματική σχέση που περιγράφει την Αρχή του Αρχιμήδη

Η σχέση που συνδέει το βάρος wεκτ του εντοπιζόμενου υγρού με τη μάζα του mεκτ είναι:

wεκτ = mεκτ • g

Από τη σχέση της πυκνότητας του υγρού ρυγρού = mεκτ / Vεκτ όπου Vεκτ είναι ο όγκος του εκτοπισμένου υγρού παίρνουμε για τη μάζα mεκτ = ρ • Vεκτ

Γιάννης Γ. Πλευριτάκης website: studenthelp.gr Σελίδα 13

Επειδή η άνωση υγρού Α είναι ίση με το βάρος του εκτοπισμένου υγρού, αυτή δίνεται από τη σχέση Α = wεκτ= mεκτ g = ρυγρού • Vεκτ • g.

Πλεύση Βυθίζουμε ένα σώμα ολόκληρο μέσα σε ένα υγρό και το αφήνουμε. Στο σώμα ασκούνται δύο δυνάμεις, το βάρος του και η μέγιστη άνωση.

Το βάρος τείνει να κινήσει το σώμα προς τον πυθμένα, ενώ η άνωση προς την επιφάνεια. Ανάλογα με τη σχέση του βάρους και της άνωσης διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις.

1) Το βάρος w του σώματος είναι μεγαλύτερο από την άνωση Α

Η συνιστάμενη δύναμη του βάρους και της άνωσης πάνω στο σώμα έχει φορά προς τον πυθμένα και το σώμα βυθίζεται. Αυτό συμβαίνει όταν: w > A ή m • g > ρ • V • g ή ρσώματος• V • g = ρυγρού • V • g ή ρσώματος > ρυγρού

Συνεπώς: Αν η πυκνότητα του σώματος είναι μεγαλύτερη από την πυκνότητα του υγρού, το σώμα βυθίζεται.

2) Το βάρος w του σώματος είναι ακριβώς ίσο με την άνωση Α

Η συνιστάμενη δύναμη του βάρους και της άνωσης πάνω στο σώμα είναι μηδενική με αποτέλεσμα το σώμα να ισορροπεί σε σταθερό βάθος, δηλαδή ούτε να βυθίζεται αλλά ούτε να αναδύεται. Αυτό συμβαίνει όταν: w = A ή m • g = ρυγρού • V • g ή ρσώματος • V • g = ρυγρού • V • g ή ρσώματος = ρυγρού

Συνεπώς: Αν η πυκνότητα του σώματος είναι ίση με την πυκνότητα του υγρού το σώμα ισορροπεί στη θέση που το αφήνουμε.

3) Το βάρος w του σώματος είναι μικρότερο από την άνωση Α

Η συνιστάμενη δύναμη του βάρους του σώματος και της άνωσης πάνω στο σώμα έχει φόρα προς την επιφάνεια. Το σώμα κινείται προς την επιφάνεια και ένα μέρος του αναδύεται. Αυτό συμβαίνει όταν: w < A ή m • g < ρ • V • g ή ρσώματος v • g < ρυγρού • v • g ή ρσώματος < ρυγρού

Γιάννης Γ. Πλευριτάκης website: studenthelp.gr Σελίδα 14

Συνεπώς: Αν η πυκνότητα του σώματος είναι μικρότερη από την πυκνότητα του υγρού το σώμα κινείται προς την επιφάνεια.

Συνθήκη πλεύσης

Παίρνουμε ένα σώμα με πυκνότητα μικρότερη ενός υγρού, το βυθίζουμε σε αυτό το υγρό και έπειτα το αφήνουμε. Το σώμα θα αρχίσει να αναδύεται. Μέχρι να φτάσει στην επιφάνεια του υγρού δέχεται σταθερή άνωση, ίση με τη μέγιστη άνωση. Τότε αρχίζει να εξέρχεται από το υγρό, ενώ ο όγκος του σώματος που είναι βυθισμένος στο νερό μειώνεται με αποτέλεσμα να μειώνεται η άνωση που δέχεται το σώμα από το υγρό. Σε κάποια θέση η άνωση Α γίνεται ίση με το βάρος του σώματος και το σώμα επιπλέει. Όταν ένα σώμα επιπλέει ισχύει η συνθήκη πλεύσης Α= w

Αν πάρουμε μια σφαίρα σιδήρου τότε επειδή η πυκνότητα του σιδήρου είναι μεγαλύτερη από νερό, η σφαίρα θα βυθιστεί. Αν τώρα πάρουμε μια κούφια σφαίρα ίδιας μάζας αλλά μεγάλου όγκου είναι δυνατόν η μέση πυκνότητα της κούφιας σφαίρας να είναι μικρότερη από την πυκνότητα του νερού, συνεπώς η κούφια σφαίρα επιπλέει.

Για τον ίδιο λόγο τα πλοία που είναι κατασκευασμένα από λαμαρίνες επιπλέουν στη θάλασσα.