РОБОЧА ПР ПРООГГРРАМА НА...

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

ФАКУЛЬТЕТ КІБЕРНЕТИКИ

Кафедра теорії та технології програмування

«ЗАТВЕРДЖУЮ»

Заступник декана

з навчальної роботи

__________ Кашпур О.Ф.

«____»____________2013 року

РРООББООЧЧАА ППРРООГГРРААММАА ННААВВЧЧААЛЛЬЬННООЇЇ ДДИИССЦЦИИППЛЛІІННИИ11

ТЕОРІЯ АЛГОРИТМІВ

для студентів денної форми навчання

напрям підготовки 6.040302 «Інформатика» (шифр і назва напряму підготовки)

КИЇВ – 2013

1 Робоча програма навчальної дисципліни є нормативним документом вищого навчального закладу і містить

виклад конкретного змісту навчальної дисципліни, послідовність, організаційні форми її вивчення та їх обсяг,

визначає форми та засоби поточного і підсумкового контролів.

Робоча програма навчальної дисципліни «Теорія алгоритмів»

для студентів напряму підготовки 6.040302 «Інформатика»

«____» ______________ 2013 року – 18 с.

Розробник: професор Шкільняк Степан Степанович доктор фіз.-мат. наук, доцент

Робоча програма дисципліни «Теорія алгоритмів» затверджена на засіданні кафедри

теорії та технології програмування

Протокол № 11 від 25 червня 2013 року

Завідувач кафедри Нікітченко М.С.

_______________________

(підпис)

«_____» _________________2013 року

Робоча програма дисципліни «Теорія алгоритмів» затверджена на засіданні вченої

ради факультету кібернетики

Протокол № 11 від 25 червня 2013 року

Декан факультету кібернетики Анісімов А.В.

_______________________

(підпис)

«_____» _________________2013 року

Схвалено науково-методичною комісією факультету кібернетики

Протокол №__ від «____» _____________ 2013 року

Голова науково-методичної комісії Хусаїнов Д.Я.

_______________________

(підпис)

«_____» _________________ 2013 року

© Шкільняк С.С., 2013 рік

ВСТУП

Навчальна дисципліна «Теорія алгоритмів» є складовою освітньо-

професійної програми підготовки фахівців за освітньо-кваліфікаційним рівнем

«бакалавр» галузі знань «Інформатика» з напряму підготовки 6.040302

«Інформатика».

Дана дисципліна базова нормативна за спеціальністю «Інформатика».

Викладається у 4 семестрі 2 курсу в обсязі – 180 год. ( 5 кредитів ECTS2)

зокрема: лекції – 51 год., практичні заняття –34 год., самостійна робота – 95 год.

У курсі передбачено 3 змістових модулі 3 модульних контрольних роботи та 2

колоквіуми. Завершується дисципліна – іспитом в 4 семестрі.

Мета дисципліни – засвоєння базових знань з основ теорії алгоритмів,

включаючи вивчення формальних моделей алгоритмів та алгоритмічно

обчислюваних функцій, питань обчислюваності, розв’язності та нерозв’язності

масових проблем.

Завдання – набуття компетенцій, знань, умінь та навиків на рівні новітніх

досягнень у теорії алгоритмів, відповідно до кваліфікації фахівець з

інформаційних технологій.

В результаті вивчення навчальної дисципліни студент повинен

знати: основні поняття, засоби і методи теорії алгоритмів та їх застосування;

основні формальні моделі алгоритмів та обчислюваних функцій; властивості

рекурсивних та рекурсивних перелічних множин, рекурсивних та частково-

рекурсивних предикатів, арифметичних множин та предикатів; мати сучасні

уявлення про розв’язність, часткову розв’язність та нерозв’язність масових

проблем, складність обчислень, про ефективні операції на функціях та множинах.

вміти: будувати формальні моделі алгоритмів та обчислюваних функцій

(МНР-програми, машини Тьюрінга, системи Поста, рекурсивні та частково-

рекурсивні функції, програмовані функції), використовувати тезу Чорча;

встановлювати розв’язність, часткову розв’язність та нерозв’язність масових

проблем, встановлювати клас множини та предиката, їх місце в арифметичній

ієрархії; використовувати теореми про нерухому точку.

Місце дисципліни. Нормативна навчальна дисципліна «Математична

логіка» є складовою циклу професійної підготовки фахівців освітньо-

кваліфікаційного рівня „бакалавр”.

Зв’язок з іншими дисциплінами. Дисципліна «Теорія алгоритмів» є

базовою для засвоєння матеріалу нормативних дисциплін "Бази даних та

інформаційні системи", "Інтелектуальні системи", "Теорія програмування",

"Системне програмування", "Теорія обчислень", "Штучний інтелект", "Формальні

методи розробки програмних систем", "Інформаційні технології", "Прикладна

логіка", низки спецкурсів відповідного напряму.

2 кредитів ECTS – кредит кратний 36 годинам (Наприклад, 3 кредити ECTS відповідає 108 год.).

Контроль знань і розподіл балів, які отримують студенти.

Контроль здійснюється за модульно-рейтинговою системою.

У змістовий модуль 1 (ЗМ1) входять теми 1–4

у змістовий модуль 2 (ЗМ2) – теми 6–10,

у змістовий модуль 3 (ЗМ2) – теми 11–15.

Обов’язковим для іспиту є отримання студентом протягом семестру не менше 20 балів.

Оцінювання за формами контролю3:

ЗМ 1 ЗМ 2 ЗМ 3

Min. –

4 балів

Max. –

13 балів

Min. –

8 балів

Max. –

24 бали

Min. –

8 балів

Max. –

23 бали

Модульна

контрольна робота

4 10 5 13 5 12

Колоквіум 0 0 3 8 3 8

Активна робота 0 3 0 3 0 3

„3” – мінімальна/максимальна оцінку, яку може отримати студент.

1 – мінімальна/максимальна залікова кількість робіт чи завдань.

Студенти, які набрали меншу за мінімальну кількість балів для певної контрольної

роботи чи колоквіуму, для допуску до іспиту зобов’язані перескласти відповідну контрольну

роботу чи колоквіум.. Студенти, які набрали сумарно меншу кількість балів ніж критично-

розрахунковий мінімум – 20 балів – до складання іспиту не допускаються.

Студент має право на одне перескладання контрольних робіт чи колоквіумів із

можливістю отримання максимально таких балів:

за контрольні роботи – 8 (ЗМ1), 11 (ЗМ2), 10 (ЗМ3), за колоквіум – 7.

Термін перескладання визначається викладачем.

У випадку відсутності студента з поважних причин відпрацювання та перездачі МКР

здійснюються у відповідності до „Положення про порядок оцінювання знань студентів при

кредитно-модульній системі організації навчального процесу” від 1 жовтня 2010 року.

При простому розрахунку отримаємо:

Змістовий

модуль 1

Змістовий

модуль 2

Змістовий

модуль 3

іспит Підсумкова

оцінка

Мінімум 4 8 8 20 60

Максимум 13 24 23 40 100

3 Див. Положення про порядок оцінювання знань студентів при кредитно-модульній системі організації навчального процесу від 1 жовтня

2010 року, а також Розпорядження ректора «Про методику розрахунку підсумкової оцінки дисциплін, які читаються два і більше

семестри» від 29 вересня 2010 року

При цьому, кількість балів:

1-34 відповідає оцінці «незадовільно» з обов’язковим повторним вивченням дисципліни;

35-59 відповідає оцінці «незадовільно» з можливістю повторного складання;

60-64 відповідає оцінці «задовільно» («достатньо»);

65-74 відповідає оцінці «задовільно»;

75 - 84 відповідає оцінці «добре»;

85 - 89 відповідає оцінці «добре» («дуже добре»);

90 - 100 відповідає оцінці «відмінно».

Шкала відповідності (за умови іспиту) Шкала відповідності (за умови заліку)

За 100 – бальною шкалою За національною шкалою

90 – 100 5 відмінно

85 – 89 4 добре

75 – 84

65 – 74 3 задовільно

60 – 64

35 – 59 2 не задовільно

1 – 34

За 100 – бальною шкалою За національною шкалою

90 – 100

Зараховано

85 – 89

75 – 84

65 – 74

60 – 64

1 – 59 не зараховано

ППРРООГГРРААММАА ННААВВЧЧААЛЛЬЬННООЇЇ ДДИИССЦЦИИППЛЛІІННИИ

Змістовий модуль 1. Формальні моделі алгоритмів та обчислюваних

функцій

Тема 1. Формальні моделі алгоритмів (14 год.).

Aлгоритми, відносні алгоритми. Алгоритмічно обчислювані функції. Алгоритмічна

перелічність, розв'язність. Формальні моделі алгоритмів. МНР-програми. Машини Тьюрінга.

МТ-обчислюваність. Нормальні алгоритми Маркова. НА-обчислюваність.

Тема 2. Системи Поста. Комбінаторні системи (8 год.).

Системи Поста. Обчислюваність за Постом. Комбінаторні системи. Формальні граматики.

Тема 3. Обчислювані функції на N. Частково рекурсивні функції.

Програмовані функції (15 год.).

Квазіарні та фінарні ЧРФ, алгебри квазіарних та фінарних ЧРФ. Частково рекурсивні,

рекурсивні, примітивно рекурсивні функції. Алгебри n-арних ЧРФ та ПРФ. Теореми про

підсумовування, мультиплікацію, обмежену мінімізацію. Програмовані функції. Операції

розгалуження, циклу. Примітивні програмні алгебри квазіарних та n-арних функцій.

Тема 4. Кодування. Універсальні класи алгоритмів. Теза Чорча. (14 год.).

Кодування. Нумерації, ефективні нумерації. Універсальні класи алгоритмів. Канторові

нумерації. Кодування та нумерації МНР-програм, МТ, OT. Функція Гьоделя. Елімінація

примітивної рекурсії. Еквівалентність формальних моделей алгоритмів. Теза Чорча, її значення.

Змістовий модуль 2. Hумерації. Універсальні функції. Розв’язність та

нерозв’язність. m-звідність

Тема 5. Нумерації ЧРФ. s-m-n-теорема. Універсальні функції (12 год.).

Нумерації n-арних ЧРФ та ПРФ Обчислювані та Гьодельові нумерації. s-m-n-теорема. Універсальні функції, їх зв’язок з нумераціями. Теореми про універсальні функції. Універсальні

ЧРФ, МТ, МНР-програма.

Тема 6. Теореми Кліні про нерухому точку для РФ (8 год.).

Теореми Кліні про нерухому точку для РФ. Наслідки.

Тема 7. Рекурсивні та рекурсивно перелічні множини (14 год.).

Рекурсивно перелічні, рекурсивні та примітивно рекурсивні множини, їх властивості.

Теорема Поста. Еквівалентні визначення РПМ. Нумерації РПМ. Частково рекурсивні,

рекурсивні та примітивно рекурсивні предикати, їх властивості. Теорема Кліні про нормальну

форму. Теорема Сколема. Співвідношення між класами функцій та їх графіків.

Тема 8. Часткова розв’язність та нерозв’язність (10 год.).

Алгоритмічна нерозв’язність проблем зупинки та самозастосовності. Наслідки.

Замкненість ПРМ, РМ та РПМ відносно теоретико-множинних операцій. Замкненість ПРП, РП

та ЧРП відносно логічних операцiй.

Тема 9. Індексні множини. Теореми Райса, Райса-Шапіро (8 год.).

Індексні множини. Теорема Райса, її значення. Дуальна до теореми Райса. Теорема Райса-

Шапіро. Використання теорем Райса та Райса-Шапіро. Скінченні множини, їх нумерація.

Тема 10. m-звідність. Продуктивні та креативні множини (14 год.).

Звідності. m-звідність. m-степені. Продуктивні та креативні множини. Достатні умови

продуктивності індексних множин. m-повнота і креативність. Теорема Майхілла. Рекурсивно

нероздільні та ефективно нероздільні множини. Імунні та прості множини. Гіперімунні та

гіперпрості множини.

Змістовий модуль 3. Відносна обчислюваність. Т-звідність.

Складність обчислень. Арифметика.

Ефективні операції на функціях та множинах

Тема 11. Відносна обчислюваність. Т-звідність. (16 год.).

Відносна обчислюваність. МНРО-обчислювані функції, -ЧРФ. Теза Тьюрінга.

Релятивізація теорем. Т-звідність, її властивості. Т-степені, їх властивості. Т-повні множини.

Операція скачка на множинах та степенях; n-скачок та -скачок.

Тема 12. Складність обчислень (6 год.).

Обчислюваність за лінійний та за поліноміальний час. P-повні та NP-повні проблеми.

Класи P та NP. Міри обчислювальної складності. Теорема про прискорення. Елементарні

функції, їх властивості.

Тема 13. Арифметика. Арифметична ієрархія. Теорема Тарського (16 год.).

Арифметика. Арифметичність ЧРФ і РПМ. Арифметична ієрархія. Алгоритм Тарського-

Куратовського. Теорема Тарського. Теореми Гьоделя про неповноту, їх значення. Перелічність,

розв’язність та нерозв’язність логічних числень. Нерозв’язність формальної арифметики.

Тема 14. Ефективні оператори на функціях та множинах (8 год.).

Функціональні та множинні оператори. Монотонність, та неперервність операторів.

Оператори переліку. Частково рекурсивні, рекурсивні, загальнорекурсивні оператори.

Тема 15. Теорема Майхілла-Шепердсона. Теореми Кліні про нерухому точку

(14 год.).

Теорема Майхілла-Шепердсона. Теореми Кліні про нерухому точку для ОП і РО. Зв'язок

теорем про нерухому точку для ОП і РО із теоремами про нерухому точку для РФ. Метод НТ та

семантика мов програмування.

ССТТРРУУККТТУУРРАА ННААВВЧЧААЛЛЬЬННООЇЇ ДДИИССЦЦИИППЛЛІІННИИ

ТЕМАТИЧНИЙ ПЛАН ЛЕКЦІЙ І СЕМІНАРСЬКИХ ЗАНЯТЬ

№ лекції

Назва лекції

Кількість годин

Лекції Практ. заняття

Сам. р-та

Змістовний модуль 1. Формальні моделі алгоритмів та обчислюваних функцій

1. Тема 1. Формальні моделі алгоритмів. 4 4 6

2. Тема 2. Комбінаторні системи. Системи Поста. 2 2 4

3. Тема 3. Обчислювані функції на N. Частково рекурсивні

функції. Програмовані функції 6 3 6

4. Тема 4. Кодування. Універсальні класи алгоритмів.

Теза Чорча. 4 2 8

Модульна контрольна робота № 1 1

Всього по модулю 1 16 12 24

Змістовний модуль 2. Hумерації. Універсальні функції. Розв’язність та нерозв’язність. m-звідність

5. Тема 5. Нумерації ЧРФ. s-m-n-теорема. Універсальні функції. 4 2 6

6. Тема 6. Теореми Кліні про нерухому точку для РФ 2 2 4

7. Тема 7. Рекурсивні та рекурсивно перелічні множини.

Рекурсивні та частково рекурсивні предикати. 4 2 8

8. Тема 8. Часткова розв’язність та нерозв’язність. 2 2 6

9. Тема 9. Індексні множини. Теореми Райса, Райса-Шапіро 2 2 4

10. Тема 10. m-звідність. Продуктивні та креативні множини. 4 2 8



Змістовний модуль 3. Відносна обчислюваність. Т-звідність. Складність обчислень. Арифметика. Ефективні операції на функціях та множинах

11. Тема 11. Відносна обчислюваність. Т-звідність. 4 4 8

12. Тема 12. Складність обчислень. 2 0 4

13. Тема 13. Арифметика. Арифметична ієрархія. Теорема

Тарського. 4 2 10

14. Тема 14. Ефективні оператори на функціях та множинах. 2 2 4

15. Тема 15. Теорема Майхілла-Шепердсона. Теореми Кліні

про нерухому точку. 4 2 8



ВСЬОГО 51 34 95

Загальний обсяг– 180 год., у тому числі: Лекцій – 51 год., Практичних занять– 34 год., Самостійна робота - 95 год.

ЗЗММІІССТТООВВИИЙЙ ММООДДУУЛЛЬЬ 11

Формальні моделі алгоритмів та обчислюваних функцій

Тема 1. Формальні моделі алгоритмів (14 год.).

Лекція 1. Aлгоритми. Формальні моделі алгоритмів. МНР-програми (2 год.)

Предмет теорії алгоритмів. Aлгоритми, відносні алгоритми. Алгоритмічно обчислювані

функції. Алгоритмічна перелічність, розв'язність. Формальні моделі алгоритмів. Машини з

натуральнозначними регістрами. МНР-програми. МНР-обчислюваність

Практичне заняття 1. МНР-програми (2 год.)

1. Опитування та обговорення лекційного матеріалу.

2. Розвязання задач на побудову МНР-програм.

Лекція 2. Машини Тьюрінга. Нормальні алгоритми (2 год.)

Машини Тьюрінга. МТ-обчислюваність. Нормальні алгоритми Маркова. НА-

обчислюваність.

Практичне заняття 2. Машини Тьюрінга. Нормальні алгоритми (2 год.)


2. Розвязання задач на побудову машин Тюрінга та нормальних алгоритмів.

Завдання для самостійної роботи (6 год.)

Регістрові машини. Різновидності машин Тюрінга та нормальних алгоритмів

Рекомендована література: [1, 3–6, 8, 11, 13, 15, 18].

Тема 2. Комбінаторні системи. Системи Поста (8 год.).

Лекція 3. Комбінаторні системи. Системи Поста (2 год.)

Системи Поста. Обчислюваність за Постом. Комбінаторні системи. Формальні граматики.

Практичне заняття 3. Системи Поста (2 год.)


2. Розвязання задач на побудову систем Поста.


Комбінаторні системи. Формальні граматики.

Рекомендована література: [1, 3, 5, 8–10].

Тема 3. Обчислювані функції на N. Частково рекурсивні функції.

Програмовані функції (15 год.).

Лекція 4. Обчислювані функції на N. Частково рекурсивні функції (2 год.)

Операції примітивної рекурсії та мінімізації. Квазіарні та фінарні ЧРФ, алгебри квазіарних

та фінарних ЧРФ. Операції суперпозиції, примітивної рекурсії та мінімізації для n-арних функцій.

Частково рекурсивні, рекурсивні, примітивно рекурсивні функції (ПРФ, ЧРФ, РФ). Алгебри n-

арних ЧРФ та ПРФ.

Лекція 5. Властивості частково рекурсивних та примітивно рекурсивних функцій (2 год.)

Приклади ПРФ, ЧРФ, РФ. Теореми про підсумовування, мультиплікацію, обмежену

мінімізацію.

Практичне заняття 4. Обчислювані функції на N (2 год.)


2. Розвязання задач на побудову операторних термів алгебр ПРФ, ЧРФ, квазіарних ЧРФ.

Лекція 6. Програмовані функції. ППА (2 год.)

Програмні алгебри. Програмовані функції. Примітивні програмні алгебри. Операції

розгалуження, циклу. ППА квазіарних та n-арних функцій.

Практичне заняття 5. Програмовані функції на N (1 год.)


2. Розвязання задач на побудову операторних термів ППА.


Властивості квазіарних ЧРФ. Властивості ПРФ, ЧРФ, РФ. Програмовані n-арні функції.

Рекомендована література: [2–5, 8, 17].

Тема 4. Кодування. Універсальні класи алгоритмів. Теза Чорча. (14 год.).

Лекція 7. Кодування. Універсальні класи алгоритмів. Канторові нумерації. Елімінація

примітивної рекурсії (2 год.)

Кодування. Нумерації, ефективні нумерації. Універсальні класи алгоритмів. Канторові

нумерації. Кодування та нумерації МНР-програм, МТ, OT. Функція Гьоделя. Елімінація

примітивної рекурсії.

Лекція 8. Теза Чорча (2 год.)

Еквівалентність формальних моделей алгоритмів. Теза Чорча. Значення тези Чорча.

Практичне заняття 6. Кодування (2 год.)


2. Розвязання задач на кодування МНР-програм, МТ, ОТ.


Функція Гьоделя та її основна властивість. Теорема про елімінацію примітивної рекурсії

Еквівалентність формальних моделей алгоритмів та АОФ.

Рекомендована література: [1–6, 8, 13, 18].

Типове завдання модульної контрольної роботи №1.

1. МНР-програма для f(x, y) = 3x+y+1. 2. Машина Тьюрінга для функції f(x, y) = sg(x+y). 3. НА для функції f(x, y) = 2x+3y.

4. Система Поста для f(x) = x4x.

5. 1) ОТ алгебри n–арних ЧРФ для 2)(),,( 31321x

xxxxxf ;

2) ОТ алгебри ЕQ-ЧРФ для f(x, y) = [log x y]; 3) ОТ ППА-EQ-N для f(x, y, z) = min(x, mod(y, z)).

Контрольні запитання до змістового модуля 1.

1. МНР. МНР-програми. МНР-обчислюваність.

2. Машини Тьюрінга. МТ-обчислюваність.

3. Нормальні алгоритми Маркова. Обчислюваність за Марковим.

4. Системи Поста. Обчислюваність за Постом.

5. Комбінаторні системи, формальні граматики.

6. Обчислюваність квазіарних функцій на N. Операції примітивної рекурсії та мінімізації.

7. Алгебри квазіарних та фінарних ЧРФ. Операторні терми.

8. Обчислюваність n-арних функцій на N. Поняття ПРФ, ЧРФ та РФ.

9. Алгебри n-арних ЧРФ та ПРФ. Операторні терми.

10. Теореми про сумування, мультиплікацію, обмежену мінімізацію.

11. Програмні алгебри, ППА. Операції розгалуження, циклу.

12. ППА квазіарних та n-арних функцій на N.

13. Кодування. Нумерації, ефективні нумерації.

14. Канторові нумерації.

15. Функція Гьоделя, її основна властивість.

16. Елімінація примітивної рекурсії.

17. Кодування та нумерації формул, МНР-програм, МТ, операторних термів.

18. Теза Чорча. Значення тези Чорча.

19. Стандартні нумерації n-арних ЧРФ та ПРФ.


Hумерації. Універсальні функції. Розв’язність та нерозв’язність. m-звідність

Тема 5. Нумерації ЧРФ. s-m-n-теорема. Універсальні функції (12 год.). Лекція 9. Нумерації ЧРФ. s-m-n-теорема (2 год.) Стандартні нумерації n-арних ЧРФ та ПРФ Обчислювані та Гьодельові нумерації.

s-m-n-теорема. Лекція 10. Універсальні функції (2 год.) Універсальні функції, їх зв’язок з нумераціями. Теореми про універсальні функції.

Універсальні ЧРФ, МТ, МНР-програма. Практичне заняття 7. Нумерації ЧРФ. s-m-n-теорема (2 год.) 1. Опитування та обговорення лекційного матеріалу.

2. Розвязання задач на побудову нумерацій МНР-програм, МТ, ЧРФ. Приклади використання s-m-n-теореми.

Завдання для самостійної роботи (6 год.) Обчислювані нумерації. Гьодельові нумерації Універсальні алгоритми. Універсальні функції.

Рекомендована література: [1, 3–6, 8, 18].

Тема 6. Теореми Кліні про нерухому точку для РФ (8 год.). Лекція 11. Теореми Кліні про нерухому точку для РФ (2 год.) Теореми Кліні про нерухому точку (НТ) для РФ. Наслідки. Практичне заняття 8. Теореми Кліні про нерухому точку для РФ (2 год.) 1. Опитування та обговорення лекційного матеріалу.

2. Розвязання задач на використання теореми Кліні про нерухому точку для РФ. Завдання для самостійної роботи (4 год.) Теорема про парну рекурсію. Самотворні МТ, МНР-програма.

Рекомендована література: [1, 3, 5, 6, 8, 18].

Тема 7. Рекурсивні та рекурсивно перелічні множини. Рекурсивні та частково рекурсивні предикати (14 год.). Лекція 12. Рекурсивні та рекурсивно перелічні множини (2 год.) Рекурсивно перелічні, рекурсивні та примітивно рекурсивні множини, їх властивості.

Теорема Поста. Еквівалентні визначення РПМ. Нумерації РПМ. Лекція 13. Рекурсивні та частково рекурсивні предикати (2 год.) Частково рекурсивні, рекурсивні та примітивно рекурсивні предикати, їх властивості.

Теорема Кліні про нормальну форму. Теорема про графік. Практичне заняття 9. Властивості РМ, РПМ, РП, ЧРП. 1. Опитування та обговорення лекційного матеріалу.

2. Розвязання задач на властивості РМ, РПМ, РП, ЧРП. Завдання для самостійної роботи (8 год.) Властивості РМ, РПМ, ПРМ. Теорема Сколема. Співвідношення між класами функцій та їх

графіків.

Рекомендована література: [1–6, 8, 14].

Тема 8. Часткова розв’язність та нерозв’язність (10 год.). Лекція 14. Часткова розв’язність та нерозв’язність масових проблем (2 год.) Алгоритмічна нерозв’язність проблем зупинки та самозастосовності. Наслідки.

Замкненість ПРМ, РМ та РПМ відносно теоретико-множинних операцій. Замкненість ПРП, РП та ЧРП відносно логічних операцiй.

Практичне заняття 10. Часткова розв’язність та нерозв’язність (2 год.) 1. Опитування та обговорення лекційного матеріалу.

2. Розвязання задач на властивості РП, ЧРП із використанням алгоритмічної нерозв’язності проблем зупинки та самозастосовності.


Комбінаторні проблеми (відповідностей Поста, еквівалентності слів), їх нерозв’язність.

Рекомендована література: [1, 3, 5, 6, 8–10].

Тема 9. Індексні множини. Теореми Райса, Райса-Шапіро (8 год.).

Лекція 15. Індексні множини. Теореми Райса та Райса-Шапіро (2 год.)

Індексні множини. Теорема Райса, її значення. Дуальна до теореми Райса. Теорема Райса-

Шапіро. Скінченні множини, їх нумерація.

Практичне заняття 11. Використання теорем Райса та Райса-Шапіро (2 год.)


2. Розвязання задач на встановлення класу множини, предиката з використанням теорем

Райса та Райса-Шапіро.


Теореми Райса та Теорема Райса-Шапіро, їх використання. Зв'язок між канонічними та

стандартними iндексами скінченних множин.

Рекомендована література: [1, 3, 5, 6, 8].

Тема 10. m-звідність. Продуктивні та креативні множини (14 год.).

Лекція 16. m-звідність. Продуктивні та креативні множини (2 год.)

Звідності. m-звідність. m-степені. Продуктивні та креативні множини. Достатні умови

продуктивності індексних множин.

Лекція 17. m-повнота і креативність. Імунні та прості множини (2 год.)

m-повнота і креативність. Теорема Майхілла. Рекурсивно нероздільні та ефективно

нероздільні множини. Імунні та прості множини. Гіперімунні та гіперпрості множини.

Практичне заняття 12. m-звідність. Продуктивні та креативні множини (2 год.)


2. Розвязання задач на встановлення m-звідності, на встановлення класу множини,

предиката з використанням умов продуктивності індексних множин та m-звідності.


1-звідність, 1-степені. Структура рекурсивних 1-степенів. Рекурсивний ізоморфізм,

зв’язок з 1-еквівалентністю. Гіперімунні та гіперпрості множини.



1. Чи існує РФ s: a) xy ?}2,3{)( 32),( yxxEDЕ yxyxs

b) xyz ?)(\),,( zyxzyxs EDED

2. Доведіть: а) існує п: }. непарне |{})23(|{ хxxxЕ nn

b) існує РФ g: для всіх х }1)(5{ 2)( xxgD xg .

3. Чи буде ЧРП предикат “Ex та скінченна“?

4. Встановіть клас множини {x | Dx креативна}{x | xпарне}.

5. Нехай А={9x+1 | 1Dx }. В якому відношенні щодо т-звідності ? та , , DDАA

Типові питання колоквіуму №1 (модулі 1 та 2)

01. Обчислюваність за Постом.

02. Теза Чорча.

03. Еквівалентні визначення РПМ.

04. Теорема Поста.

05. Нерозв’язність проблем зупинки та самозастосовності.


1. Стандартні нумерації n-арних ЧРФ та ПРФ.

2. Обчислювані та Гьодельові нумерації.

3. s-m-n-теорема.

4. Універсальні функції, їх зв’язок з нумераціями.

5. Теореми про універсальні функції.

6. Універсальні ЧРФ, МТ, МНР-програма.

7. Теореми Кліні про нерухому точку (НТ) для РФ. Наслідки.

8. Теорема про парну рекурсію.

9. РПМ, РМ та ПРМ, їх властивості. Теорема Поста.

10. Еквівалентні визначення РПМ. Нумерації РПМ.

11. ЧРП, РП та ПРП, їх властивості.

12. Теорема Кліні про нормальну форму.

13. Нерозв’язність проблем зупинки та самозастосовності. Наслідки.

14. Замкненість ПРМ, РМ та РПМ відносно теоретико-множинних операцій.

15. Замкненість ПРП, РП та ЧРП відносно логічних операцій.

16. Індексні множини.

17. Теорема Райса, її значення.

18. Теорема Райса-Шапіро.

19. Звідності. m-звідність m-степені та

20. 1-звідність, 1-степені.

21. Продуктивні та креативні множини.

22. Умови продуктивності індексних множин.

23. m-повнота і креативність.

24. Рекурсивно нероздільні та ефективно нероздільні множини.

25. Імунні та прості множини.

26. Гіперімунні та гіперпрості множини.


Відносна обчислюваність. Т-звідність. Складність обчислень. Арифметика.

Ефективні операції на функціях та множинах

Тема 11. Відносна обчислюваність. Т-звідність. (16 год.).

Лекція 18. Відносна обчислюваність. Релятивізація теорем (2 год.)

Відносна обчислюваність. МНРО-обчислювані функції, -ЧРФ. Теза Тьюрінга.

Релятивізація теорем.

Практичне заняття 13. Відносна обчислюваність (2 год.)


2. Розвязання задач на відносну обчислюваність. Приклади релятивних варіантів теорем.

Лекція 19. Т-звідність (2 год.)

Т-звідність, її властивості. Т-степені. Т-повні множини. Операція скачка на множинах та

степенях; n-скачок та -скачок.

Практичне заняття 14. Т-звідність (2 год.)


2. Розвязання задач на встановлення та властивості Т-звідності.


Релятивні варіанти теорем.

Структура та властивості Т-степенів.

Рекомендована література: [1, 3, 5, 6, 8, 18].

Тема 12. Складність обчислень (6 год.).

Лекція 20. Складність обчислень (2 год.)

Обчислюваність за лінійний та за поліноміальний час. Класи P та NP. Міри обчислювальної

складності. Теорема про прискорення. Елементарні функції.


P-повні та NP-повні проблеми. Міри обчислювальної складності. Теорема про прискорення.

Властивості елементарних (за Кальмаром) функцій.

Рекомендована література: [1, 3, 5, 18].

Тема 13. Арифметика. Арифметична ієрархія. Теорема Тарського (16 год.).

Лекція 21. Арифметика. Арифметична ієрархія (2 год.)

Арифметичність ЧРФ і РПМ. Арифметична ієрархія. Алгоритм Тарського-Куратовського.

Практичне заняття 15. Метод резолюцій логіки 1-го порядку (2 год.)


2. Розвязання задач на на встановлення місця предикату чи множини в арифметичній

ієрархії.

Лекція 22. Теорема Тарського. Неповнота і нерозв’язність арифметики (2 год.)

Теорема Тарського. Теореми Гьоделя про неповноту, їх значення. Нерозв’язність

формальної арифметики.


Арифметична ієрархія. Теореми про ієрархію.

Перелічність, розв’язність та нерозв’язність логічних числень. Hерозв’язність арифметики.

Рекомендована література: [1, 3, 5–8, 13–16, 19].

Тема 14. Ефективні оператори на функціях та множинах (8 год.).

Лекція 23. Функціональні та множинні оператори. Оператори переліку Частково

рекурсивні, рекурсивні оператори (2 год.)

Функціональні та множинні оператори. Монотонність, та неперервність операторів.

Оператори переліку. Частково рекурсивні, рекурсивні, загальнорекурсивні оператори.

Практичне заняття 16. Оператори (2 год.)


2. Розвязання задач на встановлення монотонності та неперервності операторів, на

встановлення РО. Встановлення співвідношення між ЧРО, РО та ЗРО.


Топологія скінченної інформації. Композиції МО, НО та РО. n-aрні ОП, ЧРО, РО та ЗРО..


Тема 15. Теорема Майхілла-Шепердсона. Теореми Кліні про нерухому точку

(14 год.).

Лекція 24. Теорема Майхілла-Шепердсона. Теореми Кліні про нерухому точку (2 год.)

Теорема Майхілла-Шепердсона. Теореми Кліні про нерухому точку для ОП і РО.

Лекція 25. Теорем про нерухому точку для РО та для РФ. Метод НТ та семантика мов

програмування (2 год.)

Зв'язок теорем про нерухому точку для ОП і РО із теоремами про нерухому точку для РФ.

Використання методу НТ для опису семантика мов програмування.

Практичне заняття 17. Теореми Кліні про нерухому точку (2 год.)


2. Розвязання задач на знаходження нерухомих точок операторів.


Теорема Майхілла-Шепердсона.

Теореми про нерухому точку в математиці.



1. Доведіть: якщо В, то BA T AB.

2. Чи існують множини А та В:

а) А<T АВ та АВm АВ ?

b) АВ<T B та АВm A ?

3. Вкажіть місце в арифметичній ієрархії множини {x | Ex =D}.

4. Чи буде РО : F1F1 такий:

інакше

cкінченна, якщо,)(

f

DEgg gg ?

5. Доведіть неперервність та знайдіть ННТ оператора :

0 якщо),1(25

, 0 якщо,4))((

хxfxх

хf .

Типові питання колоквіуму №2 (модуль 3)

01. Властивості Т-звідності.

02. Теза Тюрінга.

03. Теорема Тарського.

04. Визначення РО.

05. Теорема Кліні про нерухому точку для ОП.


1. Відносна обчислюваність. МНРО-обчислювані функції, -ЧРФ.

2. Теза Тьюрінга.

3. Релятивізація теорем.

4. Т-звідність її властивості.

5. Т-степені. Т-повні множини.

6. Операція скачка, n-скачок та -скачок.

7. Обчислюваність за лінійний та за поліноміальний час.

8. Класи P та NP.

9. Міри обчислювальної складності.

10. Теорема про прискорення.

11. Елементарні за Кальмаром функції.

12. Арифметичність ЧРФ та РПМ.

13. Теорема Тарського.

14. Арифметична ієрархія.

15. Алгоритм Тарського-Куратовського.

16. Теореми Гьоделя про неповноту, їх значення.

17. Перелічність, розв’язність та нерозв’язність логічних числень.

18. Функціональні та множинні оператори.

19. Монотонність та неперервність операторів.

20. Оператори переліку (ОП).

21. Частково рекурсивні, рекурсивні оператори (ЧРО, РО).

22. Критерій РО.

23. Загальнорекурсивні оператори (ЗРО).

24. Співвідношення між ЧРО, РО та ЗРО.

25. Теорема Майхілла-Шепердсона.

26. Теореми Кліні про нерухому точку для ОП і РО.

27. Зв'язок теоремі про нерухому точку для ОП і РО із теоремами про НТ для РФ.

28. Метод нерухомої точки та семантика мов програмування.

Перелік питань до іспиту

1. Поняття алгоритму. Відносні алгоритми. АОФ. Алгоритмічна перелічність, розв'язність.

2. МНР. МНР-обчислюваність.

3. Машини Тьюрінга. МТ-обчислюваність.

4. Нормальні алгоритми Маркова. Обчислюваність за Марковим.

5. Системи Поста. Обчислюваність за Постом. Комбінаторні системи. Формальні

граматики.

6. Обчислюваність квазіарних функцій на N. Операції примітивної рекурсії та мінімізації.

7. Алгебри квазіарних та фінарних ЧРФ. Операторні терми.

8. Обчислюваність n-арних функцій на N. Поняття ПРФ, ЧРФ та РФ.

9. Алгебри n-арних ЧРФ та ПРФ. Операторні терми.

10. Теореми про сумування, мультиплікацію, обмежену мінімізацію.

11. Програмні алгебри, ППА. Операції розгалуження та циклу.

12. ППА квазіарних та n-арних функцій на R та на N.

13. Кодування. Нумерації, ефективні нумерації.

14. Канторові нумерації. Нумерації скінченних послідовностей N. Функція Гьоделя.

15. Теорема про елімінацію примітивної рекурсії.

16. Еквівалентність формальних моделей алгоритмів. Теза Чорча. Значення тези Чорча.

17. Кодування та нумерації МНР-програм, МТ, операторних термів відповідних алгебр.

18. Стандартні нумерації n-арних ЧРФ та ПРФ. Гьодельові нумерації. Обчислювані

нумерації.

19. s-m-n-теорема.

20. Універсальні функції, їх зв’язок з нумераціями. Теореми про універсальні функції.

Універсальна ЧРФ, універсальна МТ, універсальна МНР-програма.

21. Теореми Кліні про нерухому точку для РФ. Нескінченність множини нерухомих точок.

22. Неіснування природних однозначних ефективних нумерацій n-арних ЧРФ. Теорема про

парну рекурсію.

23. ПРМ, РМ, РПМ, їх властивості. Теорема Поста. Еквівалентні визначення РПМ. Нумерації

РПМ.

24. ПРП, РП, ЧРП, їх властивості. Теорема Кліні про нормальну форму.

25. Нерозв’язність проблем зупинки та самозастосовності. Наслідки.

26. Замкненість ПРМ, РМ та РПМ відносно теоретико-множинних операцій. Замкненість

ПРП, РП та ЧРП відносно логічних операцій.

27. Теорема Сколема.Співвідношення між класами функцій та їх графіків.

28. Індексні множини. Теорема Райса, її значення. Дуальна до теореми Райса.

29. Скінченні множини. Зв'язок між канонічними та стандартними iндексами.

30. Теорема Райса-Шапіро.

31. Звідності. m-звідність та 1-звідність, їх властивості.

32. m-степені та 1-степені, їх властивості. Теорема про сюпремум.

33. Продуктивні та креативні множини, їх властивості.

34. m-повні множини, зв’язок з креативними множинами.

35. Рекурсивно нероздільні та ефективно нероздільні множини.

36. Імунні та прості множини. Гіперімунні та гіперпрості множини.

37. Відносна обчислюваність. МНРО-обчислювані функції, -ЧРФ. Теза Тьюрінга.

38. Релятивізація теорем.

39. Т-звідність, властивості Т-звідності. Т-степені, властивості Т-степенів.

40. Т-повні множини. Операція скачка, її властивості. n-скачок та -скачок.

41. Обчислюваність за лінійний та за поліноміальний час. Класи P та NP.

42. Міри обчислювальної складності. Теорема про прискорення. Елементарні функції.

43. Арифметичність ЧРФ, РПМ та ЧРП. Теорема Тарського.

44. Арифметична ієрархія. Алгоритм Тарського-Куратовського.

45. Функціональні та множинні оператори. Монотонність та неперервність операторів.

46. Оператори переліку (ОП). Частково рекурсивні оператори (ЧРО). Рекурсивні оператори

(РО).

47. Критерій РО. Загальнорекурсивні оператори (ЗРО). Співвідношення між ЧРО, РО та ЗРО.

48. Теорема Майхілла-Шепердсона.

49. Теореми Кліні про нерухому точку для ОП і РО.

50. Зв'язок теорем про нерухому точку для РО та для РФ.

Рекомендована література Основна

1. Катленд Н. Вычислимость. Введение в теорию рекурсивных функций. – М., 1983. 2. Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории

алгоритмов. – М., 1975. 3. Лісовик Л.П., Шкільняк С.С. Теорія алгоритмів. – К., 2003. 4. Мальцев А.И. Алгоритмы и рекурсивные функции. – М.: Наука, 1965. 5. Нікітченко М.С., Шкільняк С.С. Математична логіка та теорія алгоритмів. – К., 2008.

6. Роджерс Х. Теория рекурсивных функций и эффективная вычислимость. – М., 1972.

7. Шкільняк С.С. Математична логіка. Приклади і задачі. – К., 2007. 8. Шкільняк С.С. Tеорія алгоритмів. Приклади й задачі. – К., 2012.

Додаткова

9. Глушков В.М., Цейтлин Г.Е., Ющенко Е.Л. Алгебра, языки, программирование. – К., 1978.

10. Гросс М., Лантен А. Теория формальних грамматик. – М.: Мир, 1971.

11. Капітонова Ю.В., Кривий С.Л., Летичевський О.А. та ін. Основи дискретної математики. –

К., 2002.

12. Клини С. Математическая логика. – М.: Наука, 1973.

13. Лисовик Л.П., Редько В.Н. Алгоритмы и формальные системы. – К., 1981.

14. Манин Ю.И. Вычислимое и невычислимое. – М., 1980. 15. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. – М.: Наука, 1976. 16. Непейвода Н.Н. Прикладная логика. – Новосибирск: НГУ, 2000. 17. Редько В.Н. Универсальные программные логики и их применение. – Системное и

теоретическое программирование. Тезисы докл. 4 Всес. симпозиума. – Кишинев, 1983.

18. Успенский В.А., Семенов А.Л. Теория алгоритмов: основные открытия и приложения. – М.,

1987.

19. Шенфилд Дж. Математическая логика. – М.: Наука, 1975.

РОБОЧА ПР ПРООГГРРАМА НА...

Documents

Transcript of РОБОЧА ПР ПРООГГРРАМА НА...