ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ......5 решения ”. Занятие 5....
130
ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА» Кафедра «Математические методы в экономике» Гереева Тату Рашидовна Учебное пособие по дисциплине «Численные методы» Махачкала – 2014
Transcript of ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ......5 решения ”. Занятие 5....
ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО
ХОЗЯЙСТВА»
Кафедра «Математические методы в экономике»
Гереева Тату Рашидовна
Учебное пособие по дисциплине «Численные методы»
Махачкала – 2014
2
УДК 519.6 ББК 22.193я73 Г 37 Составитель: Гереева Тату Рашидовна, кандидат экономических наук, преподаватель кафедры «Математические методы в экономике» Дагестанского государственного института народного хозяйства Внутренний рецензент: Атагишиева Гульнара Солтанмурадовна, кандидат физико-математических наук, доцент, руководитель Центра качества и инноваций в образовании Дагестанского государственного института народного хозяйства Внешний рецензент: Рагимханов Вадим Римиханович, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры линейной алгебры и геометрии Дагестанского государственного университета Гереева Т.Р. Учебно пособие по дисциплине «Численные методы» – Махачкала, 2014- 110с. Печатается по решению Учебно-методического совета Дагестанского государственного института народного хозяйства.
3
Содержание
Введение 6
Тема №1. Приближенные вычисления. 1. Числа точные и приближенные. 2. Абсолютная и относительная погрешность. 3. Приближенные вычисления с помощью правила
подсчета цифр. 4. Приближенные вычисления по способу границ. 5. Величины и пропорции.
7
Тема № 2. Метод итераций для одного уравнения с одним неизвестным. 1. Понятие метода итераций. 2. Метод касательных (Ньютона).
Тема № 3. Аппроксимация функций. Метод наименьших квадратов.
1. Интегральное среднеквадратичное приближение функций ортогональными многочленами 2. Метод наименьших квадратов. Эмпирические формулы.
Тема № 4. Интерполирование функций. Формула Лагранжа.
1. Интерполирование функций. 2. Интерполяционная формула Лагранжа.
Тема № 5. Интерполирование функций кубическими сплинами.
Тема № 6. Численное дифференцирование.
1. Вычисление производной по её определению. 2. Конечно-разностные аппроксимации.
Тема № 7. Численное интегрирование.
1. Предварительные рассуждения. 2. Формулы прямоугольников.
4
3. Формула трапеций. 4. Формула Симпсона. Тема № 8. Численные методы безусловной оптимизации.
1. Унимодальные функции. 2. Схема сужения промежутка унимодальности функции. 3. Метод половинного деления.
Тема № 9. Численное решение дифференциальных уравнений первого порядка. 1. Понятие о численном решении задачи коши. 2. Метод Эйлера.
Практикум
Занятие №1. Решение нелинейного уравнения с одним неизвестным. 1.1 Отделение корней. 1.2 Уточнение корней: метод итераций. 1.3 Уточнение корней: метод Ньютона. 1.4. Уточнение корней: метод бисекции (деления отрезка пополам). 1.5 Уточнение корней: подпрограмма EXCEL “Подбор параметра”.
Занятие №2. Системы линейных алгебраических уравнений. 2.1.Матричный метод. 2.2. Метод приближенных вычислений. 2.3. Метод Гаусса – Зайделя.
Занятие №3. Решение систем нелинейных уравнений. 3.1. Выбор начальных приближений. 3.2 Метод Ньютона. 3.3. Метод итераций.
Занятие №4. Численные методы одномерной оптимизации. 4.1. Метод дихотомии. 4.2. Метод золотого сечения. 4.3. Встроенная подпрограмма EXCEL “Поиск
5
решения”. Занятие №5. Многомерные задачи оптимизации. 5.1. Безусловная оптимизация: метод покоординатного спуска. 5.2. Безусловная оптимизация: метод наискорейшего спуска. 5.3. Безусловная оптимизация: подпрограмма EXCEL “Поиск решения”. 5.4. Условная оптимизация: метод штрафных функций. 5.5. Условная оптимизация: подпрограмма EXCEL “Поиск решения”. 5.6. Условная оптимизация: линейное программирование.
Занятие №6. Метод наименьших квадратов.
Занятие №7. Вычисление определенных интегралов.
Занятие №8. Численное решение обыкновенного дифференциального уравнения. 8.1. Метод Эйлера. 8.2. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка. 8.3. Метод прогноза и коррекции: метод Адамса.
Занятие № 9. Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений. 9.1. Задача Коши. 9.2. Краевая задача: метод стрельбы. 9.3. Краевая задача: метод прогонки.
Занятие №10. Численное решение уравнений с частными производными.
ЛИТЕРАТУРА
6
ВВЕДЕНИЕ
Численные методы – самостоятельное направление современной
математики. Она изучает методы приближенного решения математических
задач, сводящихся к выполнению конечного числа элементарных операций над
числами.
В данном учебном пособии содержание разделов дисциплины «Численные
методы» определяются требованиями федерального государственного
образовательного стандарта профессионального образования, предъявляемыми
к дисциплине «Численные методы» направлений «Прикладная информатика в
экономике», «Математика и компьютерные науки», «Бизнес-информатика» и
«Информационная безопасность. К этим разделам относятся: аппроксимация и
интерполирование функций, численное дифференцирование и интегрирование
и др.
По программе курса выполняется контрольная работа и расчетно-
графическое задание. При составлении пособия и вариантов индивидуальных
заданий использовались литературные источники, приведенные в
библиографическим списке.
Лекция 1. Приближенные вычисления.
1. Числа точные и приближенные. Числа, с которыми мы встречаемся на практике, бывают двух родов. Одни дают истинное значение величины, другие - только приблизительное. Первые называют точными, вторые - приближенными. Чаще всего удобно пользоваться приближенным числом вместо точного, тем более, что во многих случаях точное число вообще найти невозможно.
Так, если говорят, что в классе есть 29 учеников, то число 29 - точное. Если же говорят, что расстояние от Москвы до Киева равно 960 км, то здесь число 960 - приближенное, так как, с одной стороны, наши измерительные инструменты не абсолютно точны, с другой стороны, сами города имеют некоторую протяженность.
Результат действий с приближенными числами есть тоже приближенное число. Выполняя некоторые действия над точными числами (деление, извлечение корня), можно также получить приближенные числа.
7
Теория приближенных вычислений позволяет: 1) зная степень точности данных, оценить степень точности результатов; 2) брать данные с надлежащей степенью точности, достаточной для обеспечения требуемой точности результата; 3) рационализировать процесс вычисления, освободив его от тех выкладок, которые не окажут влияния на точность результата.
2. Округление. Одним из источников получения приближенных чисел является округление. Округляют как приближенные, так и точные числа.
Округлением данного числа до некоторого его разряда называют замену его новым числом, которое получается из данного путем отбрасывания всех его цифр, записанных правее цифры этого разряда, или путем замены их нулями. Эти нули обычно подчеркивают или пишут их меньшими. Для обеспечения наибольшей близости округленного числа к округляемому следует пользоваться такими правилами: чтобы округлить число до единицы определенного разряда, надо отбросить все цифры, стоящие после цифры этого разряда, а в целом числе заменить их нулями. При этом учитывают следующее:
1) если первая (слева) из отбрасываемых цифр менее 5, то последнюю оставленную цифру не изменяют (округление с недостатком);
2) если первая отбрасываемая цифра больше 5 или равна 5, то последнюю оставленную цифру увеличивают на единицу (округление с избытком).
Покажем это на примерах. Округлить:
а) до десятых 12,34;
б) до сотых 3,2465; 1038,785;
в) до тысячных 3,4335.
г) до тысяч 12375; 320729.
Ответы.
а) 12,34 ≈ 12,3;
б) 3,2465 ≈ 3,25; 1038,785 ≈ 1038,79;
в) 3,4335 ≈ 3,434.
г) 12375 ≈ 12 000; 320729 ≈ 321000.
Примечание . Еще Несколько лет назад в случае отбрасывания одной лишь цифры 5 пользовались "правилом четной цифры": последнюю цифру оставляли
8
без изменения, если она четная, и увеличивали на единицу, если нечетная. Теперь же "правила четной цифры" не придерживаются: если отбрасывают одну цифру 5, то к последней оставленной цифре прибавляют единицу независимо от того, четная она или нечетная.
3. Абсолютная и относительная погрешности. Разность между точным числом и его приближенным значением называется абсолютной погрешностью приближенного числа. Например, если точное число 1,214 округлить до десятых, получим приближенное число 1,2. В данном случае абсолютная погрешность приближенного числа 1,2 равна 1,214 - 1,2, т.е. 0,014.
Но в большинстве случаев точное значение рассматриваемой величины неизвестно, а только приближенное. Тогда и абсолютная погрешность неизвестна. В этих случаях указывают границу, которую она не превышает. Это число называют граничной абсолютной погрешностью. Говорят, что точное значение числа равно его приближенному значению с погрешностью меньшей, чем граничная погрешность. Например, число 23,71 есть приближенное значение числа 23,7125 с точностью до 0,01, так как абсолютная погрешность приближения равна 0,0025 и меньше 0,01. Здесь граничная абсолютная погрешность равна 0,01*.
Граничную абсолютную погрешность приближенного числа а обозначают символом ∆ a . Запись
x ≈ a (±∆ a )
следует понимать так: точное значение величины x находится в промежутке между числами а – ∆ a и а + ∆ а , которые называют соответственно нижней и верхней границей х и обозначают НГ x ВГ х.
Например, если x ≈ 2,3 (±0,1), то 2,2< x < 2,4.
Наоборот, если 7,3< х < 7,4, то х ≈ 7,35 (±0,05). Абсолютная или граничная абсолютная погрешность не характеризует качество выполненного измерения. Одна и та же абсолютная погрешность может считаться значительной и незначительной в зависимости от числа, которым выражается измеряемая величина. Например если измеряем расстояние между двумя городами с точностью до одного километра, то такая точность вполне достаточна для этого изменения в то же время при измерении расстояния между двумя домами одной улицы такая точность будет недопустимой. Следовательно, точность приближенного значения величины зависит не только от величины абсолютной погрешности, но и от значения измеряемой величины. Поэтому мерой точности служит относительная погрешность.
9
Относительной погрешностью называется отношение абсолютной погрешности к величине приближенного числа. Отношение граничной абсолютной погрешности к приближенному числу называют граничной относительной
погрешностью; обозначают ее так:a
a∆ . Относительную и граничную
относительную погрешности принято выражать в процентах. Например, если измерения показали, что расстояние х между двумя пунктами больше 12,3 км, но меньше 12,7 км, то за приближенное значение его принимают среднее арифметическое этих двух чисел, т.е. их полусумму, тогда граничная абсолютная погрешность равна полуразности этих чисел. В данном случае х ≈ 12,5 (±0,2). Здесь граничная абсолютная погрешность равна 0,2 км, а граничная относительная
%6,1016,05,12
2,0 ==
Приближенные вычисления с помощью правил подсчета цифр.
1. Предварительные замечания. Различают приближенные вычисления со строгим учетом погрешностей и без строгого учета. В менее ответственных вычислениях с приближенными числами пользуются вторым способом, основанным на так называемых правилах подсчета цифр.
В этих правилах используются понятия десятичных знаков, значащих цифр, точных и сомнительных цифр. Напомним, что десятичными знаками числа называют все его цифры, стоящие правее запятой. Например, числа 3,5 и 3,05 имеют соответственно один и два десятичных знака.
Значащими цифрами числа называются все его цифры, начиная с первой слева отличной от нуля, кроме нулей, стоящих в конце записи числа на месте отброшенных при округлении цифр (как уже отмечалось, эти нули обычно подчеркивают или пишут меньшими).
Примеры. В числе 3,5 - две значащих цифры, в числе 0,0307 - три значащих цифры. В числе 35000, полученном в результате округления до тысяч, две значащих цифры.
Если граница абсолютной погрешности приближенного числа равна половине единицы разряда последней его цифры, то все цифры этого числа называют точными. Если же эта граница больше половины единицы разряда последней цифры числа, то последняя цифра такого числа называется сомнительной.
Примеры. В числе 2,06 (±0,005) цифры 2, 0 точные, а 6 - сомнительная. В числе 2,06 (±0,01) цифры 2 и 0 точные, а 6 - сомнительная. В числе 35000,
10
полученном в результате округления до тысяч, цифры 3 и 5 точные, а все три нуля - сомнительные.
Правила подсчета цифр тесно связаны с принципом А.Н. Крылова (1863-1945): Приближенное число следует писать так, чтобы в нем все значащие цифры, кроме последней, были верны и лишь последняя цифра была бы сомнительна и при том не более как на одну единицу. Например, если приближенное число записано так: х ≈ 3,52, то это значит, что оно дано с точностью до сотых, т.е. х ≈ 3,52(±0,01). Если же известно, что х ≈ 3,72 (±0,02), то, согласно принципу А.Н. Крылова, его надо писать так: х ≈ 3,7.
Вычисления с приближенными числами, записанными таким способом, выполняют как и над точными числами, но, придерживаясь таких правил.
2. Правила подсчета цифр.
I. При сложении и вычитании приближенных чисел в результате следует сохранять столько десятичных знаков, сколько их в приближенном данном с наименьшим числом десятичных знаков.
Пример. Найти сумму приближенных чисел 127,42; 67,3; 0,12 и 3,03.
Решение.
9,19787,197
03,3
12,0
3,67
42,127
≈
+
Пример. Найти разность чисел: 418,7 - 39,832
Решение.
11
II. При умножении и делении приближенных чисел в произведении надо сохранить столько значащих цифр, сколько их есть е данном числе с наименьшим количеством значащих цифр.
Пример. Умножить приближенные числа 3,4 и 12,32.
Решение.
Задача. Площадь прямоугольной грядки приближенно равна 7,6 кв. м, ширина -2,38 м. Чему равна ее длина?
Решение. Длина грядки равна частному от деления 7,6 на 2,38.
Действие деления выполняют так:
Последнюю цифру частного 9 можно было и не писать, а, получив в частном две значащие цифры, заметив, что остаток больший половины делителя, округлить частное с избытком.
III. При возведении приближенных чисел в квадрат, и куб в результате сохраняется столько значащих цифр, сколько их в основании.
Примеры.
2,32 = 5,29 ≈ 5,3;
0,83 = 0,512 ≈ 0,5.
IV. В промежуточных результатах следует брать одной цифрой больше, чем рекомендуют предыдущие правила.
12
V. Если некоторые данные имеют больше десятичных знаков (при действиях первой ступени) или больше значащих цифр (при действиях II и III ступеней), чем другие, то их предварительно следует округлить, сохраняя лишь одну запасную цифру.
VI. Если данные можно брать с произвольной точностью, то для получения результата с k цифрами данные следует брать с таким числом цифр, которое дает согласно правилам I - IV k + 1 цифру в результате.
3. Применение правил. Применение вычислений способом подсчета цифр рассмотрим на примере.
Пример. Найти значение ( )ba
cbax
+−= , если а ≈ 9,31, b ≈ 3,1, с ≈ 2,33.
Решение.
а - b = 9,31 - 3,1 = 6,21;
( а - b ) с = 6,21 · 2,33 ≈ 14,5;
а + b = 9,31 + 3,1 = 12,4;
х = 14,5 : 12,4 ≈ 1,2.
Ответ. х ≈ 1,2.
Примечание. Сформулированные выше правила подсчета цифр имеют вероятностный смысл: они наиболее вероятны, хотя существуют примеры, не удовлетворяющие этим правилам. Поэтому вычисления способом подсчета цифр - самый грубый способ оценки погрешности результатов действий. Однако он очень прост и удобен, а точность таких вычислений вполне достаточна для большинства технических расчетов. Поэтому этот способ широко распространен в вычислительной практике.
В более ответственных вычислениях пользуются способом границ или способом граничных погрешностей.
Приближенные вычисления по способу границ.
Наилучшим в смысле строгости из известных способов приближенных вычислений является способ границ. Пользуясь этим способом, по известным нижним и верхним границам данных чисел, находят отдельно нижнюю и верхнюю границы результата.
Пусть, например, надо сложить два числа:
13
х ≈ 3,2 (±0,05) и y ≈ 7.9 (±0,05).
Имеем: 3,15< х < 3,25, 7,85< у < 7,95, откуда 11,00< х + у < 11,20.
Итак, х + у ≈ 11,1 (±0,1).
Вообще, нижняя граница суммы приближенных чисел равна сумме нижних границ слагаемых, а верхняя - сумме верхних границ слагаемых. Символически это можно записать так:
( ) ;НГyНГxyxНГ +=+
( ) ;ВГyВГxyxВГ +=+
Аналогичные правила справедливы для умножения:
( ) ;НГyНГxxyНГ ⋅=
( ) ;ВГyВГxxyВГ ⋅=
Для обратных действий - вычитания и деления - соответствующие
правила имеют такой вид:
( ) ;ВГyНГxyxНГ −=−
( ) ;НГyВГxyxВГ −=−
;ВГy
НГx
y
xНГ =
НГy
ВГx
y
xВГ =
Из определения НГ и ВГ вытекают также следующие правила:
1) округлять НГ можно только по недостатку, а ВГ - по избытку;
2) чем меньше разность ВГ х - НГ х , тем точнее определяется х ;
3) в качестве приближенного значения х рекомендуется брать среднее арифметическое чисел НГ х и ВГ х или число, близкое к нему.
Применение способа границ при вычислениях рассмотрим на примере.
Пример. Найти значение
( )ba
cbax
+−=
14
если а ≈ 9,21 (±0,01); b ≈ 3,05 (±0,02), с ≈ 2,33 (±0,01).
Решение. Определяем НГ и В Г каждого из чисел а , b , c и, выполнив над ними соответствующие действия, находим НГ и ВГ числа х .
Запись удобно оформить в виде такой таблицы.
Компоненты а b с
а - b ( а - b ) с а + b
x
НГ 9,20 3,03 2,32 6,13 14,22 12,23 1,15
ВГ 9,22 3,07 2,34 6,19 14,49 12,29 1,19
1,15< x < 1,19
2,34 : 2 = 1,17; 0,04 : 2 = 0,02
x ≈ 1,17 (±0,02).
ВЕЛИЧИНЫ И ПРОПОРЦИИ
Измерение величин
1. Величины и их измерения. Дать строгое определение понятию "величина" нельзя. Это одно из основных (неопределяемых) понятий, смысл которого раскрывают при помощи различных описаний. В старых книгах величинами называли все то, что способно увеличиваться или уменьшаться. Однако это нельзя считать строгим определением, так как говорят, например, об увеличении аппетита, прав, обязанностей и других понятий, которых не принято считать величинами.
Примерами величин есть: длина, площадь, объем, вес, скорость, время и др.
Характерное свойство величины состоит в том, что наряду с другими свойствами она имеет и числовую характеристику. Поэтому говорят о том или ином числовом значении величины. Величины можно измерять.
15
Измерить какую-нибудь величину - значит сравнить ее значение со значением другой величины такого же рода, принятой за единицу.
В каждом государстве установлены определенные единицы для измерения основных величин. Единицы измерения, вошедшие в употребление, называются мерами. Так, сейчас у нас приняты: за единицу длины метр, за единицу веса - грамм, за единицу времени - секунда и т.д.**
Однако не всегда у нас пользовались такими мерами, а в некоторых странах и теперь приняты другие меры.
*Абсолютная погрешность бывает и положительной и отрицательной. Например, 1,68 ≈ 1,7. Абсолютная погрешность равна 1,68 – 1,7 ≈ –0,02. Граничная абсолютная погрешность всегда положительна **Для каждого рода величин выбирают несколько единиц: одни более крупные (кратные), другие более мелкие (дольные).
Лекция №2. Решение нелинейных уравнений. Метод половинного
деления.
1. Отделение корней. Пусть 0)( =xf - некоторое уравнение. Число с называют корнем или
решением данного уравнения, если оно, будучи подставленным в это уравнение, обращает его в верное числовое равенство, то есть 0)( =cf . Также число с называют нулём функции ).(xfy = При решении некоторых нелинейных уравнений невозможно найти корни с помощью традиционных методов, применявшихся ранее. Заметим, что, как правило, эти методы решения относятся к каким-либо конкретным классам уравнений: алгебраических, тригонометрических, показательных и так далее. Но, например, даже такое, внешне несложное уравнение, как 01cos =+− xx , невозможно решить привычными способами. Для алгебраических уравнений доказано, что не существует общих формул вычисления корней для уравнений степени выше четвёртой. Поэтому во многих случаях приходится прибегать к численным методам решения уравнений, которые позволяют найти действительные корни уравнения 0)( =xf с любой заранее заданной точностью. Процесс нахождения действительных корней с определённой точностью можно разделить на два этапа: 1) отделение корней, то есть установление числовых промежутков, в каждом из которых содержится один корень уравнения; 2) вычисление корня, принадлежащего данному промежутку, с заданной точностью.
16
Известно, что если функция )(xf непрерывна и принимает на концах отрезка [ ]ba; значения разных знаков, то внутри этого промежутка найдётся хотя бы один нуль функции. Условие, согласно которому функция принимает на концах отрезка значения разных знаков, можно сформулировать в виде:
.0)()( <bfaf Отделение корней уравнения 0)( =xf для непрерывной в области определения функции можно осуществить различными способами. 1) Составляют таблицу значений функции )(xfy = на определённом промежутке изменения переменной х, и если окажется, что для соседних значений аргумента значения функции имеют разные знаки, то нуль функции (и корень уравнения) находится между ними. 2) Уравнение 0)( =xf заменяют равносильным ему )()( xx ψϕ = . Строят графики функций )(xy ϕ= и )(xy ψ= ; искомые корни являются абсциссами точек пересечения этих графиков. 3) Строят график функции )(xfy = на промежутке изменения х; тогда абсциссы точек пересечения графика с осью ОХ – нули функции (и корни данного уравнения). Заметим, что перечисленные способы не только позволяют отделить корни, но и определить их количество.
Пример 1. Выяснить, сколько корней имеет уравнение 024 2 =−− xex , и найти промежутки, в которых эти корни находятся.
Решение.
Рассмотрим три функции: .)(,24)(,24)( 22 xx exxxxexf =−=−−= ψϕ
Уравнение 024 2 =−− xex эквивалентно уравнению .24 2 xex =− Отделим его корни первым из перечисленных способов. Из таблицы значений функции )(xf
на промежутке [ ]1;3− с шагом изменения х, равным 1, видно, что существуют корни уравнения на отрезках [ ]1;2 −− и [ ],1;0 так как значения функции имеют на концах этих отрезков разные знаки.
X -3 -2 -1 0 1
f(x) -14,05 -4,14 1,63 3,00 -0,72 ϕ(x) -14,00 -4,00 2,00 4,00 2,00 ψ(x) 0,05 0,14 0,37 1,00 2,72
Заметим, что аналогичный результат получится, если использовать второй способ, построив графики указанных функций (необходимые данные содержатся в таблице).
17
2. Метод половинного деления для уравнения f(x)=0. Пусть дано уравнение
(*)0)( =xf , причём функция )(xf непрерывна на отрезке [ ]ba; и .0)()( <bfaf Для вычисления корня уравнения (*), принадлежащего указанному промежутку,
найдём середину этого отрезка: .21
bax
+= Если 0)( 1 ≠xf , то для продолжения
вычисления выберем ту из частей данного отрезка [ ]1; xa или [ ]bx ;1 , на концах которой функция )(xf имеет противоположные знаки. Концы нового отрезка обозначим [ ].; 11 ba Новый суженный промежуток снова делим пополам и проводим вычисления по указанной схеме и так далее. В результате получаем либо точный корень на одном из этапов, либо последовательность вложенных отрезков [ ] [ ] [ ] ...,,...,,;,; ;11 nn bababa таких, что
)3().(2
1
)2(...,,2,1,0)()(
abab
ibfaf
nnn
ii
−=−
=<
Число с – общий предел последовательностей { }na и { }nb - является
корнем уравнения (*). Оценку ε погрешности решения на п-м шаге вычислений можно получить из соотношения (3) в виде
)4(.)(2
10 nnnn ababac −=−≤−≤
Здесь can ≈ с точностью ε, не превышающей ).(2
1ab
n−
Пример 2. Методом половинного деления найти корень уравнения 024 2 =−− xex с точностью ε=0,01.
Решение. В предыдущем примере было при отделении корней уравнения
установлено, что один из искомых корней принадлежит отрезку [ ]1;0 . На
каждом шаге вычислений значение корня принимаем равным 2
nnn
bax
−= с
погрешностью nnn bad −= . Будем производить вычисления и выбирать последовательность вложенных отрезков [ ]nn ba ; , используя условие (2). Имеем
[ ] [ ] .5,02
,1;0; 1 =+== baxba
Так как 72,0)(,8513,1)(,3)( 1 −=== bfxfaf и 0)()( 1 <bfxf , то принимаем: .5,0;1,5,0 111111 =−===== abdbbxa
Тогда [ ] [ ] .75,02
,1;5,0; 11211 =
+==
baxba
Здесь .0)()(,72,0)(,758,0)(,8513,1)( 12121 <=== bfxfbfxfaf
18
Следовательно, .25,0;1,75,0 2221222 =−===== abdbbxa
Тогда [ ] [ ] .125,0;875,02
,1;75,0; 322
322 ==+== dba
xba
Производя вычисления далее (рекомендуется воспользоваться специальной компьютерной программой), можно убедиться, что требуемая точность достигается на 7-м шаге: 8828125,07 =x с погрешностью
.01,000785,07 =<= εd Задание. Методом половинного деления найти корни уравнений (предварительно отделив их):
1. ;0243 =+− xx с точностью до 0,001; 2. ;0523 =−− xx с точностью до 0,01. 3. ;0754 =−+ xx 4. ;0262 24 =+−+ xxx 5. ;025 =−− xx 6. 02 =−− xex .
Лекция № 3. Метод итераций для одного уравнения с одним неизвестным.
1. Понятие метода итераций.
Рассмотренный в предыдущей лекции метод половинного деления обладает очевидными недостатками. Несмотря на математическую простоту этого метода, он позволяет вычислить более или менее точное приближённое значение корня уравнения только лишь после нескольких последовательных его применений. В рассмотренном примере 2 относительно невысокая точность (до 0,01) была достигнута только на 7-м шаге. Поэтому на практике часто используют иные методы, позволяющие быстрее достигнуть приемлемой точности приближённых вычислений.
Пусть требуется решить уравнение, представленное в виде: ).1(),(xgx =
Правая часть уравнения – непрерывная на отрезке [ ]ba; функция )(xg . Суть метода итераций (последовательных приближений) состоит в следующем. Начиная с произвольной точки 0x , принадлежащей данному отрезку, последовательно получаем:
)( 01 xgx = - первое приближение, )( 12 xgx = - второе приближение,
… )(1 kk xgx =+ - k+1-е приближение,
… Последовательность
19
)2(...,,...,,,, 1210 +kk xxxxx называется последовательностью итераций для уравнения (1) с начальной точкой 0x . Если все точки (2) принадлежат отрезку [ ]ba; , и существует предел
)(limlim 1 kk
kk
xgxc∞→+∞→
== , то, перейдя к пределу в равенстве
)3(...,3,2,1),(1 ==+ kxgx kk получим )(limlim 1 k
kk
kxgx
∞→+∞→= , то есть )(cgc = .
Следовательно, если существует предел последовательности итераций (2), то он является корнем уравнения (1). Достаточные условия сходимости последовательности итераций содержатся в следующей теореме. Теорема. Пусть функция )(xg имеет на отрезке [ ]ba; непрерывную производную и выполнены два условия:
1) 1)( <≤′ qxg при [ ]bax ;∈ ;
2) значения функции )(xgy = принадлежат отрезку [ ]ba; для любого х из этого отрезка.
Тогда при любом выборе начального приближения [ ]bax ;0 ∈ процесс итераций сходится к единственному корню с уравнения (1) на отрезке [ ]ba; . Оценка погрешности k-го приближения kx к корню стакова:
11 −−−
≤− kkk xxq
qxc ,
где )(max xgqbxa
′=≤≤
.
Заметим, что чем меньше q, тем быстрее, очевидно, сходится процесс итераций. Укажем теперь один из способов преобразования уравнения
)4(0)( =xf к виду (1), допускающему применение метода итераций, сходящихся к корню с уравнения (4). Для любого числа 0≠λ уравнение (4) равносильно уравнению (1), где
)()( xfxxg λ+= . Предположим, что производная )(xf ′ положительна и непрерывна на отрезке [ ]ba; . Пусть
[ ] [ ])(min,)(max
;;xfmxfM
baba′=′= . Положим
M
mq
M−=−= 1,
1λ и рассмотрим функцию
)5()(1
)( xfm
xxg −= .
Для этой функции выполняется достаточное условие сходимости метода итераций, сформулированное выше в теореме. Далее, используя формулу (5), можно находить корень уравнения (4) с любой заданной точностью. Замечание 1. Если окажется, что производная отрицательна на отрезке[ ]ba; , то уравнение (4) можно заменить равносильным уравнение 0)( =− xf и применить указанное преобразование. Замечание 2. Если вычисление точного значения М затруднительно, то можно заменить его произвольным числом MM >1 . Однако при большом
20
значении 1M число 1
1M
mq −= ближе к единице и процесс итераций сходится
медленнее. Замечание 3. При нахождении корня уравнения (1) с заданной точностью
0>ε или при оценке погрешности k-го приближения можно, не вычисляя точного значения числа
[ ])(max
;xgq
ba= , ограничиться следующей рекомендацией.
)6(
12
1,10
;2
10,
1
1
<<≤−
≤<≤−≤−
−
−
qxx
qxxxc
kk
kk
k
ε
ε.
Пример 1. Решить уравнение 0cos2 =− xx с точностью 01,0=ε . Решение. Для отделения корней представим данное уравнение в виде
xx cos2
1= . Построив графики функций xy = и xy cos2
1= , увидим, что корень
уравнения содержится внутри отрезка
2;0
π.
Здесь
.cos3
1
3
1)cos2(
3
1)()(
;3
11;3)sin2(max;0sin2)(;cos2)(
2;0
xxxxxxfxxg
MxMxxfxxxf
+=−−=+=
−=−==+=>+=′−=
λ
λπ
Положим 5,00 =x . Последовательные приближения найдём по формулам
...,3,2,1,cos3
1
3
11 =+=+ kxxx kk
450299978,0
;44964938,0
;45263292,0
;4389128,0
4
3
2
1
====
x
x
x
x
.
Для оценки погрешности четвёртого приближения воспользуемся неравенством
(6). Так как 2
1sinmax
2
1)(max
2;0
2;0
==′=
xxgq
ππ, то 3
344 100006504,0 −=<=−≤− εxxxc .
Следовательно, 450,04 ≈≈ xc с точностью 001,0=ε . Заметим, что мы получили приближённое значение корня с точностью более высокой, чем задано в условии.
2. Метод касательных (Ньютона).
Существуют различные математические интерпретации метода итераций. Одной из наиболее эффективных и, в то же время, простых разновидностей этого метода является так называемый метод касательных (метод Ньютона). Не вдаваясь глубоко в теоретическое обоснование этого метода, сформулируем
21
условия, в которых он применим, а также запишем соответствующую итерационную формулу.
Пусть снова дано уравнение 0)( =xf , и известно, что существует его корень [ ]bac ;∈ , причём на отрезке [ ]ba; первая производная функции )(xfy = не меняет знака. Предположим ещё, что и вторая производная не меняет знака на указанном отрезке (при необходимости этого можно добиться, уменьшая длину интервала, содержащего корень). Последнее условие, очевидно, означает, что кривая )(xfy = либо выпукла, либо вогнута на всём данном интервале. Тогда для решения уравнения 0)( =xf используется следующая итерационная формула:
)(
)(1
k
kkk xf
xfxx
′−=+ .
В качестве начальной точки итераций следует брать тот из концов отрезка [ ]ba; , в котором совпадают знаки функции и второй производной. Заметим, что если отрезок [ ]ba; содержит внутри себя точку перегиба, то данный метод может дать значение корня, не принадлежащую отрезку. Однако, как было сказано выше, можно решить эту проблему, сузив отрезок, содержащий корень. Оценку погрешности при использовании метода касательных следует проводить так, как было описано в пункте 1 настоящей лекции. Вообще, обычно данный метод уже при первой итерации даёт достаточно точное значение корня и поэтому весьма эффективен. Пример 2. Один из корней уравнения 0263 =+− xx заключён в отрезке [ ]1;0 . Найти приближённое значение этого корня методом касательных с помощью двух итераций и оценить погрешность вычисления. Решение. Здесь xxfxxfxxxf 6)(;63)(;26)( 23 =′′−=′+−= . Заметим, что на отрезке [ ]1;0 сохраняют знак и первая и вторая производные: 0)(;0)( >′′<′ xfxf . Таким образом, выполняются условия применения метода касательных. В качестве 0x можно взять, например, 0=x , так как 02)0( >=f и 00)0( ≥=′′f .
Тогда имеем 3333,03
1
)0(
)0(01 ==
′−=
f
fx . Оценим погрешность вычисления. Найдём
значения необходимых параметров:
[ ] [ ] [ ] 2
1
6
311;6)63(max;3)63(min)(min 2
1;0
2
1;01;0=−=−==−==−=′=
M
mqxMxxfm .
Тогда ε<=−≤−3
1011 xxxc .
Вторая итерация: 144
29
432
147
144
1
3
1
3
1627
1
3
1
3
13
1
3
12 ==+=
−−=
′
−=f
fx .
22
Оценим погрешность вычисления: ε<≈=−≤− 007,0144
1122 xxxс .
Таким образом, мы уже на второй итерации получили приближённое значение корня такой же точности, как в примере из предыдущей лекции лишь на седьмом шаге. Задание. 1. Методом итераций решить уравнения:
;0ln =+ xx ;0=+ xex с точностью до 0,001.
2. Методом касательных решить уравнения: ;02034 =−− xx
;0533 =++ xx ;0ln2 =+ xx с точностью до 0,01.
Лекция № 4. Аппроксимация функций. Метод наименьших квадратов.
1. Интегральное среднеквадратичное приближение функций ортогональными многочленами.
Пусть на отрезке [ ]ba; задана функция )(xf и определена система функций ...,3,2,1)),(( =kxg k Обобщённым полиномом (многочленом) порядка (степени) n называют функцию вида
∑=
=+++=n
iinnn xgCxgCxgCxgCxQ
i1
1100 )()(...)()()( , где nCCC ...,,, 10 - некоторые
постоянные. Обобщённый многочлен )(xQn называют многочленом наилучшего среднеквадратического приближения функции )(xf на отрезке [ ]ba; , если расстояние от многочлена до данной функции по среднеквадратичной норме (среднеквадратичное отклонение) является наименьшим. Иначе говоря, выполняется условие:
)1())()((),( 2∫ −=b
a
nn dxxQxfQfd - наименьшее.
Задачу о нахождении такого многочлена )(xQn называют задачей об интегральном среднеквадратичном приближении (аппроксимации) функции
)(xf на отрезке [ ]ba; обобщённым многочленом. Эта задача сводится к нахождению коэффициентов nCCC ...,,, 10 из условия (1). Если функция )(xf и система функций ...,3,2,1)),(( =kxg k определены на множестве точек { }mxxx ...,,, 21 , то приближение функции )(xf многочленом
)(xQn называют точечным среднеквадратичным приближением на множестве
23
точек { }mxxx ...,,, 21 . При этом для обобщённого многочлена наилучшего приближения )(xQn среднеквадратичное отклонение
∑=
−=m
iinin xQxfQfd
1
2))()((),( на системе точек { }mxxx ...,,, 21 .
Задача нахождения многочлена наилучшего приближения )(xQn функции )(xf на отрезке [ ]ba; упрощается, если система функций ...,3,2,1)),(( =kxg k
обладает свойством ортогональности на данном отрезке. Введём сначала ряд определений. Определение 1. Скалярным произведением функций )(xgi и )(xg j на
отрезке [ ]ba; называется определённый интеграл от их произведения на этом отрезке. Обозначим скалярное произведение, как ))(),(( xgxg ji и запишем:
∫=b
a
jiji xxgxggg )()(),( .
Определение 2. Нормой функции )(xgi на отрезке [ ]ba; называется число
∫==b
a
iiii dxxgggg )(),( 2 . Функция )(xf , для которой существует интеграл
∫b
a
dxxf )(2 , называется интегрируемой с квадратом на отрезке [ ]ba; .
Определение 3. Функции )(xgi и )(xg j называются ортогональными на
отрезке [ ]ba; , если их скалярное произведение на этом отрезке равно нулю, то есть
∫ ≠==b
a
jiji jidxxgxggg )(0)()(),( .
Определение 4. Система функций ...,3,2,1)),(( =kxg k называется ортогональной на отрезке [ ]ba; , если все функции этой системы попарно ортогональны на этом отрезке.
Коэффициенты nCCC ...,,, 10 обобщённого многочлена )2()(...)()()( 1100 xgCxgCxgCxQ nnn +++=
называются коэффициентами Фурье функции )(xf относительно ортогональной системы функций, если они определяются по формулам
)3()...,,2,1,0(
)(
)()(),(
2
nk
dxxg
dxxgxf
g
gfС
b
a
b
a
k
k
kk ===
∫
∫
Теорема. Для любой функции )(xf , интегрируемой с квадратом на отрезке [ ]ba; , обобщённый многочлен п-го порядка )(xQn с коэффициентами Фурье функции )(xf относительно ортогональной на отрезке [ ]ba; системы
24
функций ...,3,2,1)),(( =kxg k является многочленом наилучшего среднеквадратичного отклонения этой функции, причём квадрат наименьшего среднеквадратичного отклонения определяется соотношением
2
0
222 ),( ∑=
−=n
kkkn gCfQfd , где kC - коэффициенты Фурье, определяемые
по формулам (3). 2. Метод наименьших квадратов. Эмпирические формулы.
Пусть данные некоторого эксперимента представлены в виде таблицы значений переменных х и у.
ix 1x 2x ... mx
iy 1y 2y ... my Можно поставить задачу об отыскании аналитической зависимости между переменными, то есть некоторой формулы )(xfy = , явным образом выражающей зависимость у от х. Естественно требовать, чтобы график искомой функции )(xfy = изменялся плавно и не слишком уклонялся от экспериментальных точек ( )ii yx , . Поиск такой функциональной зависимости называют “сглаживанием” экспериментальных данных. Задачу о сглаживании экспериментальных данных можно решать методом наименьших квадратов. Согласно методу наименьших квадратов, указывается формула
)4()...,,,,( 10 naaaxQy = , где naaa ...,,, 10 - числовые параметры. Наилучшими значениями параметров naaa ...,,, 10 (которые обозначим
naaa ~...,,~,~10 ) считаются те, для которых сумма квадратов уклонений функции
)...,,,,( 10 naaaxQ от экспериментальных точек ( )ii yx , является минимальной, то есть функция
)5())...,,,,(()...,,,(1
21010 ∑
=
−=m
iinin yaaaxQaaaS
в точке ( naaa ~...,,~,~10 ) достигает минимума. Отсюда, используя необходимые
условия экстремума функции нескольких переменных, получаем систему уравнений для определения параметров naaa ~...,,~,~
10 :
)6(.0...,,0,010
=∂∂=
∂∂=
∂∂
na
S
a
S
a
S.
Если система (6) имеет единственное решение naaa ~...,,~,~10 , то оно является
искомым и аналитическая зависимость между экспериментальными данными
25
определяется формулой )~...,,~,~,()( 10 naaaxQxfy == . Заметим, что в общем случае эта система нелинейна. Рассмотрим подробнее аппроксимирующие зависимости с двумя параметрами: ( )βα ,,xQy = . Используя соотношения (6) и опуская несложные выкладки, получим систему двух уравнений с двумя неизвестными α и β :
)7(
0),,(
)),,((
,0),,(
)),,((
1
1
=∂
∂−
=∂
∂−
∑
∑
=
=
m
i
iii
m
i
iii
xQyxQ
xQyxQ
ββαβα
αβαβα
.
В частном случае аппроксимации экспериментальных данных с помощью линейной функции имеем:
1,,),,( =∂∂=
∂∂+==
b
Qx
k
QbkxbxkQy .
Система (7) для этого случая является линейной относительно неизвестных k и b :
=−+
=−+
∑
∑
=
=
m
iiii
m
iii
xybkx
ybkx
1
1
0))(
,0))(
)8(
,
1 1
2
1
11
=+
=+⇔
∑ ∑∑
∑∑
= ==
==
m
i
m
iiii
m
ii
m
ii
m
ii
yxxkxb
yxkbn
.
Если для переменных х и у соответствующие значения экспериментальных данных ( )ii yx , не располагаются вблизи прямой, то выбирают новые переменные
)9(),(),,( yxYyxX ψϕ == так, чтобы преобразованные экспериментальные данные
),(),,( iiiiii yxYyxX ψϕ == в новой системе координат ),( YX давали бы точки ),( ii YX менее уклоняющиеся от прямой. Для аппроксимирующей прямой
BkXY += коэффициенты можно определить из уравнений (8), где вместо ix и
iy подставляют соответствующие значения iX и iY . Нахождение зависимостей (9) называют, выравниваем экспериментальных данных. Функциональная зависимость )(xfy = определена неявно уравнением byxkyx += );();( ϕψ разрешимым относительно ув частных случаях. Пример 1. Установить вид эмпирической формулы )(xfy = , используя аппроксимирующие зависимости с двумя параметрами α и β , и определить наилучшие значения параметров, если опытные данные представлены таблицей:
ix 1 2 3 4 5
iy 7,1 27,8 62,1 110 161
26
Решение. Легко заметить, что экспериментальные точки ( )ii yx , лежат приблизительно на одной прямой. Положим yYxX ln;ln == и составим таблицу для экспериментальных данных в новых переменных:
iX 0,000 0,693 1,099 1,386 1,609
iY 1,960 3,325 4,129 4,700 5,081 Точки ),( ii YX лежат приблизительно на одной прямой, в чём легко убедиться, построив их в системе координат ),( YX . Наилучшие значения параметров k и b находятся из системы уравнений (8):
=+=+
⇔
=+
=+
∑ ∑ ∑
∑ ∑
= = =
= =
535,21200,6787,4
,166,19787,45
;
,
1 1 1
2
1 1
kb
kb
YXXkXb
YXkbn
m
i
m
i
m
iiiii
m
i
m
iii
.
Решив эту систему, получим: 95,1;97,1 == kb . Неявное уравнение, выражающее связь между переменными x и y имеет вид 97,1ln95,1ln += xy . Отсюда легко получить прямую зависимость между переменными в виде степенной функции:
95,197,1 xey = . Для сравнения можно привести таблицу экспериментальных данных, и данных, полученных с помощью найденной формулы:
ix 1 2 3 4 5
iy 7,1 27,8 62,1 110 161 95,197,1 xey = . 7,16 27,703 61,081 107,04 165,39
Формула, полученная в результате решения приведённого примера, является частным случаем аппроксимирующей зависимости с двумя параметрами, имеющей вид βαβα xxQ =),,( . Параметры этой зависимости можно было бы найти из системы нелинейных уравнений (7) непосредственно, однако применение способа выравнивания существенно упрощает вычисление параметров. В данном случае keb == βα , .
Рекомендации по переведению экспериментальных данных в аппроксимирующие зависимости с двумя переменными приведены в следующей таблице.
№ Выравнивание данных (преобразование переменных)
Эмпирическая формула
1 xyYxX == ; bkxy ==+= βα
αβα ,,
27
2 y
YxX1
; == bkx
y ==+
= βαβα
,,1
3 y
xYxX == ; bk
x
xy ==
+= βα
βα,,
4 yYxX ln; == kbx eey === βααβ ,, 5 yYxX == ;ln bkxy ==+= βαβα ,,ln 6 yYxX ln;ln == kexy b === βαα β ,,
Одну из шести предложенных формул преобразования следует выбирать одновременно с проверкой линейной зависимости к исходным данным. Условием выбора наилучшей эмпирической формулы является наименьшее уклонение исходных или преобразованных экспериментальных данных от прямой. Его можно определить по формуле:
2
1
1
2
1
2)(
−−=
∑
∑
=
=m
ii
m
iii
Y
bkXYd .
Для наилучшей эмпирической формулы значение d будет наименьшим. Задание. Экспериментальные данные содержатся в таблицах. Для каждой из них выполнить следующие операции:
1. Нанести экспериментальные точки ( )ii yx ; на координатную сетку ( )yx; . 2. Выбрать одну из шести предложенных формул преобразования к новым
переменным ( )YX ; так, чтобы преобразованные экспериментальные данные ( )ii YX ; наименее уклонялись от прямой.
3. Методом наименьших квадратов найти наилучшие значения параметров k и b в уравнении прямой bkXY += .
4. Найти явный вид эмпирической формулы ),,( βαxQy = и построить график эмпирической функции.
а)
ix 1 2 3 4 5
iy 1,1 1,4 1,6 1,7 1,9 б)
ix 1 2 3 4 5
iy 1,05 1,55 1,7 1,75 1,8 в)
28
ix 1 2 3 4 5
iy 7,5 6,2 5,5 3,5 3,0 г)
ix 1 2 3 4 5
iy 0,4 0,55 0,13 0,09 0,07
Лекция № 5. Интерполирование функций. Формула Лагранжа.
1. Интерполирование функций.
Пусть при изучении некоторого явления установлено, что существует функциональная зависимость между величинами x и y , описывающая количественную сторону данного явления; при этом функция )(xfy = остаётся нам неизвестной. Однако на основании эксперимента установлены значения этой функции nyyyy ...,,,, 210 , при некоторых значениях аргумента nxxxx ...,,,, 210 , принадлежащих отрезку [ ]ba; .
Задача заключается в том, чтобы найти функцию, по возможности более простую с точки зрения вычисления её значений (например, многочлен), которая бы представляла неизвестную функцию )(xfy = на отрезке [ ]ba; точно или приближённо. В более общей форме эту задачу можно представить так: на отрезке [ ]ba; заданы значения неизвестной функции )(xfy = в 1+n различных точках nxxxx ...,,,, 210 .
)(...,),(),(),( 221100 nn xfyxfyxfyxfy ==== . Требуется найти многочлен )(xP степени n≤ , приближённо выражающий функцию )(xfy = . В качестве такого многочлена естественно взять многочлен, значения которого в точках nxxxx ...,,,, 210 совпадают с соответствующими значениями
nyyyy ...,,,, 210 функции )(xfy = (рисунок). Тогда поставленная задача, называемая “задачей интерполирования функции”, формулируется так: для данной функции найти многочлен )(xP степени n≤ , который при заданных значениях nxxxx ...,,,, 210 принимал бы значения
)(...,),(),(),( 221100 nn xfyxfyxfyxfy ==== . В качестве искомого многочлена возьмём многочлен п-й степени вида
)1())((...))...()(())...()(()( 10201210 −−−++−−−+−−−= nnnn xxxxCxxxxxxCxxxxxxCxP
Доказано, что многочлен (1) является единственным, удовлетворяющим сформулированным условиям. Построение этого многочлена можно осуществлять различными способами, разница между которыми состоит лишь в методах вычисления коэффициентов )...,,1,0( nkCk = .
29
2. Интерполяционная формула Лагранжа. Одним из наиболее распространённых и удобных практически способов
построения многочлена, интерполирующего неизвестную функцию )(xfy = , является применение интерполяционной формулы Лагранжа.
Пусть функция )(xfy = определена таблицей
ix 0x 1x ... nx
iy 0y 1y … ny
Значения аргументов )...,,1,0( nixi = будем называть узлами интерполяции. Поставим задачу построить многочлен )(xL , значения которого в узлах интерполяции равны соответствующим значениям данной функции, то есть
)...,,1,0()( niyxL ii == . Для многочлена (1) из пункта 1-го определим значения коэффициентов
)...,,1,0( nkCk = следующим образом. Должно выполняться условие: )2()(...,,)(,)( 1100 nn yxLyxLyxL === .
Положив в формуле (1) 0xx = , тогда, учитывая равенства (2), получим:
( )( ) ( )nxxxxxxCy −−−= 0201000 ... , откуда ))...()(( 02010
00
nxxxxxx
yC
−−−= .
Аналогично, положив 1xx = , получим
( )( ) ( )nxxxxxx
yC
−−−=
12101
11 ...
,
…
( )( ) ( )110 ... −−−−=
nnnn
nn xxxxxx
yC .
Подставив полученные выражения для коэффициентов в формулу (1), получим многочлен
( )( ) ( )( )( ) ( )
( )( ) ( )( )( ) ( )
( )( ) ( )( )( ) ( ) )3(
...
...
......
...
...
...)(
110
110
112101
200
02010
21
nnnnn
n
n
n
n
n
yxxxxxx
xxxxxx
yxxxxxx
xxxxxxy
xxxxxx
xxxxxxxL
−
−
−−−−−−
+
+−−−
−−−+
−−−−−−
=
Многочлен )(xL называется многочленом (полиномом) Лагранжа, а формула (3) – интерполяционной формулой Лагранжа.
Если известно аналитическое выражение, задающее функцию, то погрешность интерполяционной формулы (3) (в случае непрерывности на отрезке [ ]nxx ;0 самой функции )(xfy = и её производной до 1+n - го порядка включительно) оценивается неравенством:
30
( ) ( )4)(!1
)()( 11 xП
n
MxLxf n
n+
+
+≤− ,
где [ ]
( ) ( )( ) ( )nnn
xxn xxxxxxxПxfM
n
−−−== ++
+ ...)(,)(max 1011
;1
0
.
Пример 1. Представить приближённо функцию )(xfy = многочленом 2-й степени, если из эксперимента получены следующие её значения:
ix 1 2 -4
iy 3 -5 4
Решение. По формуле (3) при 2=n имеем:
( )( )( )( )
( )( )( )( ) ( ) ( )( )
( )( ) 30
252
30
123
30
394
2414
215
4212
413
4121
42)( 2 +−−=⋅
−−−−−−+−⋅
+−+−+⋅
+−+−= xx
xxxxxxxL .
Пример 2. Построить многочлен Лагранжа второй
степени, интерполирующий функцию xy sin= на отрезке
4;0
π, если заданы
значения функции в трёх узлах интерполяции.
x 0 5235988,06
≈π 7853982,04
≈π
xsin 0 0,5 0,7071068 С помощью интерполяционной формулы вычислить приближённое значение
12sin
π и оценить погрешность результата вычислений.
Решение. Многочлен Лагранжа для трёх узлов интерполяции запишется так:
( ) ( )( )( )( )
( )( )( )( )
( )( )( )( ) 2
1202
101
2101
200
2010
21 yxxxx
xxxxy
xxxx
xxxxy
xxxx
xxxxxL
−−−−
+−−
−−+
−−−−
=
или
πππππ
π
πππ
πxx
xxxx
xL 344,3064,2707,0
644
65,0
466
4)(
2
2
+⋅−=⋅
−
−+⋅
−
−= .
При 2617994,012
≈= πx получим 264298,0
12=
πL .
С помощью неравенства (4) находим оценку погрешности. Имеем
≤
−
12!31212sin 3
3 πππП
ML ,
где
31
( )( )( )3
3
2103
122
6121212
46)(
=
−
−=
−
−=−−−=
πππππ
ππ
П
xxxxxxxxxxП
,
Так как xxfxxfxxfxxf cos)(,sin)(,cos)(,sin)( −=′′′−=′′=′= , то 1cosmax)(max
4;0
4;0
3 =−=′′′=
xxfM
ππ,
и, следовательно, 006,0123
1
1212sin
3
≈
≤
−
πππL . Итак, 006,0264,0
12sin ±≈
π.
Заметим, что значение
12sin
π с шестью верными цифрами есть 0,258819.
Задание. 1. Построить многочлен Лагранжа второй степени для функции, заданной таблицей:
ix 0 1 2
iy 4 6 10 2. На основании эксперимента получены значения функции )(xfy = в виде таблицы:
ix 1 2 3 4
iy 2 1 -1 5 Построить многочлен четвёртой степени, приближённо представляющий данную функцию. 3. Функция xy cos= аппроксимируется интерполяционным многочленом Лагранжа второй степени для системы трёх равномерно расположенных на
отрезке
4;0
π узлов. Найти приближённое значение функции в точке
12
π и
оценить погрешность вычисления. Лекция № 6. Интерполирование функций кубическими сплинами.
Пусть отрезок [ ]ba; разбит наn частей точками { }ix :
bxxxxa n =<<<<= ...210 . Сплином (иначе – сплайном) −k й степени называется функция, представляющая собой многочлен степени не выше k на каждом из последовательно примыкающих друг к другу интервалов ( ) nixx ii ...,,2,1,;1 =− , причём во всех точках стыка двух интервалов 1...,,2,1, −= nixi функция непрерывна вместе со своими производными до порядка не выше k .
32
Например, непрерывная кусочно-линейная функция (графиком которой является ломаная) является сплином первой степени с производной, терпящей разрыв в точках излома. Пусть на отрезке [ ]ba; определена функция )(xfy = , значения которой в точках ix равны )( ii xfy = . Задача интерполяции функции )(xfy = на отрезке [ ]ba; кубическим сплином (сплайном третьей степени) состоит в нахождении функции )(xS , равной многочлену третьей степени )(xSi на каждом отрезке [ ] nixx ii ...,,2,1,;1 =− , то есть
)1()()( 322
13
0 iiiii axaxaxaxSxS +++== , причём значения сплина в узлах интерполяции ix равны соответствующим значениям заданной функции iy и сплин-функция непрерывна в узлах интерполяции вместе со своими производными первого и второго порядков:
( ) ( ) ( ) )2(;1...,,2,1,0,)(1 nnnniiii yxSxSniyxSxS ==−=== + ; ( ) );3(;1...,,2,1,0),(1 −== + nixSxS iii
( ) ( )4;1...,,2,1,0,)( 1 −=′=′ + nixSxS iiii ; ( ) ( )5;1...,,2,1,0,)( 1 −=′′=′′ + nixSxS iiii .
Условия (2) – (5) дают 24 −n линейных алгебраических уравнений для определения п4 неизвестных коэффициентов nipаip ...,,2,1;3,2,1,0, == при
соответствующих степенях x в многочленах ( )xSi . Можно показать, что интерполяционный кубический сплин для функции
)(xfy = существует и является единственным, если вместе с уравнениями (2) – (5) удовлетворяется пара дополнительных (краевых) условий следующего типа:
I. ( ) ( ) ( );,)( bfbSafaS ′=′′=′ II. ( ) ( ) ( ) ( );, bfbSafaS ′′=′′′′=′′ III. ( ) ( ) ( ) ( )bSaSbSaS ′′=′′′=′ , .
Рассмотрим случай разбиения отрезка [ ]ba; на п равных частей с шагом h , для которого ( ) nabhbxhxxhxxax nii /;...,,...,,, 1010 −==+=+== + . Разберём подробно построение интерполяционного кубического сплина для условия типа I. При построении сплина, удовлетворяющего краевым условиям типа I, введём величины ( )ii xSm ′= , называемые иногда наклонами сплайна в узлах интерполяции. Можно показать, что интерполяционный кубический сплин вида
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) [ ] )6(.1...,,2,1,;;
22
12
21
12
2
3
21
131
2
−=∈−−
+
+−−
++−−
++−−
==
−−
−−
−−
nixxxmh
xxxx
mh
xxxxy
h
hxxxxy
h
hxxxxxSxS
iiiii
iii
iii
iii
i
удовлетворяет условиям (2), (3), (4) для любых im . Из условия (5) и краевых условий I можно определить 1+n параметр im .
33
Действительно, легко проверить, что ( ) 1...,,2,1,0,)(1 −=== + niyxSxS iiii . Кроме того, вычисления показывают, что ( ) nimxSxS iiii ...,,2,1,)( ==′=′ и
( ) iiiii mxSxS =′=′ +1)( . Если учесть, что
( ) 1...,,2,1,642
211 −=
−−+=′′ −− ni
h
yy
h
m
h
mxS iiii
ii ,
и ( ) 1...,,2,1,624
211
1 −=−
+−−=′′ +++ ni
h
yy
h
m
h
mxS iiii
ii ,
а также краевые условия типа I и условие (5), то получим систему из 1+п линейных уравнений относительно неизвестных im :
( )( )
( )( )7
.
,1...,,2,1,3
4
,
1111
00
′==
−=−
==++
′==
−++−
bfbm
nih
yybmmm
afbm
nn
iiiiii
Решение этой системы позволяет найти значения неизвестных im и определить интерполяционный сплин с помощью формулы (6).
Пример 1. На отрезке
2;0
π построить кубический сплин,
интерполирующий функцию xy sin= с шагом 2
π=h , удовлетворяющий на
концах отрезка краевым условиям типа I. С помощью интерполяционной
формулы вычислить приближённое значение 6
sinπ и сравнить его с точным
значением. Решение. Будем искать уравнение кубической параболы ( )xSy = , удовлетворяющее
следующим условиям на концах отрезка 00 =x и 21
π== hx :
( ) ( )( ) .0cos)(,1cosnsi
,1sin,0sin
10000
1000
==′===′=′=======
hhSmxxxSm
hhSyxxSy
Подставив полученные значения 1010 ,,, mmyy и h в формулу (6) и получим сплин вида
( ) ( ) ( )( ) ( ) [ ]hxh
xhx
h
hxhxxSxS ;0,
22
2
3
2
1 ∈−++−== ,
откуда ( ) ( ) ( ) 3233
22
2
11074,0057385,04434
xxxxxxxS −−=−−−−=π
ππ
π.
Тогда 49196983,066
sin =
≈ ππS . Точное значение, как известно, равно 0,5. Здесь
01,0008,0 <=ε . Как видим, в данном (достаточно простом) примере сплин-метод обеспечивает достаточно высокую точность приближённых вычислений.
34
Пример 2. На отрезке
2;0
π построить кубический сплин с шагом
4
π=h ,
интерполирующий функцию xy sin= , если заданы значения функции в трёх узлах интерполяции: x 00 =x 7853982,04/1 == πx 570596,12/2 == πx
xy sin= 00 =y 7071068,01 =y 12 =y
С помощью интерполяционной формулы вычислить приближённое значение
6sin
π и сравнить с точным значением.
Решение. Представим сплин в виде (6):
( )( )
( )
∈=
.2
;4
,
,4
;0,
2
1
ππ
π
xS
xxS
xS
При таком представлении должны удовлетворяться уравнения системы (7):
( ),
3
.0cosnsi
34
,1cosnsi
222
02210
000
hxxm
h
yymmm
xxm
=
==′=
−=++
==′=
где4
π=h .
Заметим, что hx 242 == π . Тогда имеем:
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
∈−−++−−++−−=
∈−+−++−=
2;
4,
22222
,4
;0,2
12
2
3
2
13
2
2
12
2
2
2
13
2
1
ππ
π
xmh
hxhx
h
hxhhxy
h
hhxhxxS
xmh
hxx
h
xhxy
h
hxhxxS
.
Учитывая, что 70493,04
121241 11 =−=⇔=+
ππ
πmm , получим после преобразований:
∈−−=4
;0,15514782,00050683975,0)( 321
πxxxxxS ;
( )
∈−+=2
;4
,10224607,002897055,0166023415,0 322
ππxxxxxS .
Тогда 499938,066
sin 1 =
≈ ππS . Здесь 0001,0000062,0 <=ε - весьма высокая
точность. Из данных примеров видно, что чем больше количество узлов интерполяции, тем выше точность приближённых вычислений. Задание.
35
Построить для указанных функций )(xfy = кубический сплин, интерполирующий их на данном отрезке [ ]ba; с заданным шагом h .
1) .2
,2
;0,cosππ =
∈= hxxy В данном задании найти приближённое значение
3cos
π и сравнить с точным значением.
2) .4
,2
;0,cosππ =
∈= hxxy
3) [ ] 1,1;0, =∈= hxey x . В данном задании найти приближённое значение 4
e и
сравнить с точным значением. 4) [ ] .1,2;1,ln =∈= hxxy
Лекция № 7. Численное дифференцирование.
1. Вычисление производной по её определению.
Пусть функция ( )xfy = определена в некоторой окрестности точки 0x и имеет производную в этой точке, то есть существует предел отношения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю.
( ) ( ) ( )1lim0
00 x
yxfxy
x ∆∆=′=′
→∆
Значение производной в точке 0x можно получить, переходя к пределу в
(1) по последовательности целых чисел пи полагая, например, ( ) ( )nn
xxx
α0∆
=∆=∆ .
Здесь 0)( x∆ - некоторое начальное приращение аргумента, α - некоторое число, большее единицы, { }...,3,2,1,0=n . Тогда значение производной функции ( )xfy = в точке 0x запишется так:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )0000 ,lim xfxxfy
x
yxfxy nn
n
n
n−∆+=∆
∆∆
=′=′∞→
.
Отсюда получаем приближённое равенство
( ) ( )( ) ( )20
n
n
x
yxy
∆∆
≈′ .
Для функции ( )xfy = , имеющей непрерывную производную до второго порядка включительно в окрестности точки 0x , точность приближения можно установить, воспользовавшись формулой Тейлора:
( ) ( )( ) ( )
[ ]( )cfLx
L
x
yxy
xxc
n
n
n ′′=∆≤∆∆
−′∈
−
;00
0
max,2
α .
Для достижения заданной точности ε приближения производной можно при определённом (конечном) числе вычислений использовать неравенство:
36
( )( )
( )( ) ( )3
1
1 ε<∆∆
−∆∆
−
−
n
n
n
n
x
y
x
y.
Пример 1. Вычислить производную функции xy sin= в точке 3/0 π=x с точностью ( ) 047198,13/10 3 ≈= − πε . Решение. Положим ( ) n
nxx −⋅=∆==∆ 101,0;10;1,0)( 0 α , откуда:
( )3
sin101,03
sinππ −
⋅+=∆ −nny .
Определим приближённое значение производной:
( )( ) ...,2,1,0,
101,03
sin101,03
sin
3=
⋅
−
⋅+=
∆∆
≈
′−
−
nx
yy
n
n
n
n
πππ
Найдём отношения, аппроксимирующие производную: ( ) ( ) ( ) ( )
49995670,0)(
,49956690,0)(
,49566158,0)(
,45590189,0)( 3
3
2
2
1
1
0
0 =∆∆
=∆∆
=∆∆
=∆∆
x
у
x
у
x
у
x
у.
Заметим, что ( )( )
( )( ) ε<=∆∆
−∆∆
00003897939,02
2
3
3
x
y
x
y. Таким образом, начиная с третьего
приближения, в соответствии с оценкой (3), получаем искомое приближение производной данной функции с точностью не меньшей заданной. Точное
значение 5,03
cos3
==
′ ππy .
2. Конечно-разностные аппроксимации.
Пусть отрезок [ ]bа; разбит на правных частей точками { } bxxxxax ni =<<<<= ...: 210 .
Разность расстояний между соседними значениями аргумента постоянна, то есть шаг ( )nixxh ii ...,,2,11 =−= − . Далее, пусть на отрезке [ ]bа; определена функция )(xfy = , значения которой в точках ix равны )( ii xfy = . Запишем выражения для первой производной данной функции в точке ix с помощью отношения конечных разностей следующих типов: а) аппроксимация с помощью разностей вперёд (правых разностей)
( ) iiiiiii
ii yyyhxxx
x
yxy −=∆=−=∆
∆∆
≈′ ++ 11 ,, ( ) ( ) ( )41...,,,1,0, 1 −=−
≈′ + nih
yyxy ii
i ;
б) аппроксимация с помощью разностей назад (левых разностей)
( ) iiiiiii
ii yyyhxxx
x
yxy −=∆−=−=∆
∆∆
≈′ −− 11 ,, ( ) ( ) ( )5...,,2,1, 1 nih
yyxy ii
i =−
≈′ − ;
в) аппроксимация с помощью центральных разностей (точка ix является центром системы точек 11 ,, +− iii xxx ):
37
( ) 1111 ,2, −+−+ −=∆=−=∆∆∆
≈′ iiiiiii
ii yyyhxxx
x
yxy ( ) ( ) ( )61...,,2,1
2, 11 −=
−≈′ −+ ni
h
yyxy ii
i .
Очевидно, что аппроксимация производной с помощью центральных разностей представляет собой среднее арифметическое отношений (4) и (5) в точках { } 1...,,2,1, −= nixi . Отметим, что соотношения (4) и (6) не позволяют вычислить значение производной в правом конце отрезка а, а соотношения (5) и (6) – в левом конце отрезка b . Можно показать, что для функции )(xfy = , имеющей непрерывную производную до второго порядка включительно, погрешность аппроксимации производных разностями вперёд и назад имеет один и тот же порядок ( )hθ , а погрешность аппроксимации центральными разностями для функции, имеющей непрерывную производную до третьего порядка включительно, имеет порядок
( )2hθ . Приближённое значение производной второго порядка в точке ix выразим через значения функции 11 ,, +− iii yyy . Для этого представим вторую производную с помощью правой разности:
( ) iiiiiii
ii yyyhxxx
x
yxy ′−′=′∆=−=∆
∆′∆
≈′′ ++ 11 ,, ,
а производные первого порядка 1+′iy и iy′ - с помощью левых разностей:
( ) ( )h
yyxyy
h
yyxyy ii
iiii
ii11
11 , −+++
−≈′=′−
≈′=′
и окончательно получим:
( ) ( ) ( )71...,,2,12
211 −=
+−≈′′ −+ ni
h
yyyxy iii
i .
Погрешность последней аппроксимации имеет порядок ( )2hθ для функции )(xfy = , имеющей непрерывную производную до четвёртого порядка
включительно на отрезке [ ]ba; . Естественно, представление (7) позволяет вычислять значения производной с помощью конечных разностей только во внутренних точках отрезка.
Лекция № 8. Численное интегрирование.
1. Предварительные рассуждения. Из курса математического анализа известно, что существуют неопределённые интегралы, не выражающиеся в элементарных функциях – так называемые неберущиеся интегралы. Таким, например, является интеграл
∫ xdxx cos . Поэтому, очевидно, в некоторых случаях невозможно вычисление
определённого интеграла с помощью формулы Ньютона-Лейбница
38
( ) ( ) ( )aFbFdxxfb
a
−=∫ , так как нельзя найти первообразную подынтегральной
функции ( )xf . В то же время существование такого интеграла обусловлено непрерывностью функции ( )xf на отрезке [ ]ba; . В таких случаях прибегают к численным методам интегрирования. Разумеется, вычислить определённый интеграл можно, непосредственно пользуясь его определением, как предел интегральных сумм:
( ) ( )∫ ∑=∞→
∆=b
a
n
iii
nxcfxf
1
lim , где n - число отрезков разбиения (частичных отрезков), ic -
некоторые точки, произвольно выбранные на каждом из отрезков, ix∆ - длина одного частичного отрезка. Однако такой способ, во-первых, достаточно громоздок, во вторых, обычно даёт результаты приемлемой точности только при больших значениях п . Чаще всего формулы приближённого вычисления определённого интеграла вытекают из его геометрического смысла. Следовательно, задача о приближённом вычислении определённого интеграла заменяется другой, равносильной ей – задачей о вычислении площади криволинейной трапеции. При этом кривая ( )xf заменяется другой линией, достаточно близкой к ней. В качестве этой новой линии выбирается такая кривая, для которой площадь криволинейной трапеции подсчитывается просто, то есть для которой можно легко найти первообразную. В зависимости от выбора этой кривой и различаются формулы численного интегрирования. Предположим сначала для определённости, что ( ) 0≥xf для всех [ ]bax ;∈ . Разобьём отрезок [ ]ba; на n равных частей точками bxxxax n =<<<<= ...210 .
Длина каждого отрезка равна n
abh
−= . Через точки деления проведём
вертикальные прямые, которые пересекут линию ( )xf в точках
nnii AAAAAA ,...,,,...,,, 1110 −− . 2. Формулы прямоугольников. Заменим кривую ( )xfy = ломаной, расположенной выше её (рисунок). Тогда определённый интеграл будет приблизительно равен площади ступенчатой фигуры, состоящей из п прямоугольников:
( ) ( )1...1
21 ∑∫=
=+++≈n
iin
b
a
yhhyhyhydxxf .
Здесь ( )ii xfy = - значения подынтегральной функции в правых концах отрезков разбиения. Если же кривую ( )xfy = заменить ломаной, расположенной ниже её, то получится формула:
39
( ) ( )2...1
0110 ∑∫
−
=− =+++≈
n
iin
b
a
yhhyhyhydxxf .
Здесь ( )ii xfy = - значения подынтегральной функции в левых концах отрезков разбиения. Формулы (1) и (2) называют формулами прямоугольников. Оценка погрешности данного метода приближённого вычисления определённого интеграла находится по формуле:
hMab
12
−≤ε (3),
где [ ]
( )xfMba
′=;
1 max - наибольшее значение первой производной подынтегральной
функции на отрезке интегрирования. Пример 1. Вычислить по одной (на выбор) из формул прямоугольников
интеграл ∫1
0
dxе х , разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Оценить ошибку
вычислений и сравнить полученное значение с точным значением, вычисленным с помощью микрокалькулятора (1,718281). Решение. Вычислим значения подынтегральной функции хе в точках деления и соответствующие значения занесём в таблицу: х 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 у 1,0 1,10517 1,2214 1,34986 1,49282 1,64872 1,82212 2,01375 2,22554 2,45960 Воспользуемся формулой (1):
∫ ∑ =⋅=−≈=
1
0
9
0
612534,112534,161,010
01
ii
x ydxe .
Оценим ошибку вычисления. Имеем: ( )[ ]
71828,2max; 1
1;0≈==′
eeee xxx . Подставляя в
формулу (3), получаем 135914,01,071828,22
01 =⋅⋅−≤ε . Действительно, сравнивая
полученное значение с точным значением, получаем ε≤=−= 105747,0612534,1718281,1d . Это весьма значительная ошибка.
Замечание. Во многих случаях формулы (1) и (2) дают приближённые значения определённого интеграла одна – с избытком, а вторая – с недостатком. Поэтому более точное значение можно получить, найдя среднее арифметическое результатов применения обеих формул. 3. Формула трапеций.
40
Соединив отрезками каждые две соседние точки ( )niAA ii ...,,1,0,,1 =− , полученные способом, указанном в конце предыдущего пункта, заменим кривую ( )xfy = ломаной nnii AAAAAA 1110 ...... −− . Она сверху ограничивает фигуру, составленную из прямоугольных трапеций, каждая из которых опирается на один из частичных отрезков разбиения. Площадь элементарной криволинейной трапеции с основанием [ ]ii xx ;1− заменим площадью прямоугольной трапеции, ограниченной сверху отрезком ii AA 1− . Тогда искомая площадь криволинейной трапеции, ограниченной линией ( )xfy = , будет приближённо равна сумме площадей данных прямоугольных трапеций. Площадь каждой такой трапеции легко подсчитать, используя хорошо известную из школьного курса геометрии
формулу: nihyy
S iii ...,,2,1,
21 =
+= − . Сумма таких площадей равна:
hyy
hyy
hyy
hyy
hyy
S nnnniin 22
...2
...22
11212110 ++
+++
+++++
+= −−−− .
После очевидных преобразований получим:
++
= ∑−
=
1
1
0
2
n
ii
nn y
yyhS . Таким
образом, имеем следующую приближённую формулу вычисления определённого интеграла:
( )42
)(1
1
0
++
=≈ ∑∫−
=
n
ii
na
b
n yyy
hSdxxf .
Формула (4) носит название формулы трапеций. Ошибку для метода трапеций можно оценить по формуле:
( )512
22hM
ab −≤ε ,
где [ ]
( )xfMba
′′=;
2 max - наибольшее значение второй производной подынтегральной
функции на отрезке интегрирования. Пример 2. В условиях примера 1 использовать формулу трапеций. Оценить ошибку вычисления; сравнить полученное приближённое значение
∫1
0
dxе х с точным.
Решение. Воспользуемся таблицей значений, которую мы применяли в предыдущем примере. х 0,
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
у 1,0
1,10517
1,2214
1,34986
1,49282
1,64872
1,82212
2,01375
2,22554
2,45960
2,71828
Сразу по формуле (4) получаем:
41
71971,119712,1710
133798,15
2
71828,20,1
10
011
0
=⋅=
++−≈∫ dxex .
Оценим ошибку вычисления. Имеем ( )[ ]
71828,2max;1;0
≈==″eeee xxx . Подставляя в
формулу (5), получаем: 00271,001,071828,210
01 =⋅⋅−≤ε . Действительно, сравнивая
полученное значение с точным, получаем ε≤=−= 00143,071971,171828,1d .
Заметим, что данный способ дал нам гораздо более точное приближение, чем используемый в предыдущем примере. 4. Формула Симпсона. Для случаев, когда количество точек разбиения ix чётно, то есть
Nmmn ∈= ,2 , удобно использовать так называемую формулу Симпсона (параболических трапеций). Примем её без вывода:
( ) ( )∫ ∑∑
+++≈=
−
−
=a
m
ii
m
iim yyyy
hdxxf 642
3 112
1
1220 .
Напомним, что здесь 2
nm = .
Оценка ошибки при вычислении определённого интеграла методом Симпсона:
( )7180
44hM
ab −≤ε ,
где [ ]
( ) ( )xfMba
4
;4 max= - наибольшее значение производной четвёртого порядка
подынтегральной функции на отрезке интегрирования. Пример 3. В условиях примеров 1 и 2 найти приближённое значение
∫1
0
dxе х методом Симпсона. Оценить ошибку; сравнить полученное значение с
точным. Решение. Воспользуемся таблицей значений, которую мы применяли в предыдущих примерах. х 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 у 1,0 1,10517 1,2214 1,34986 1,49282 1,64872 1,82212 2,01375 2,22554 2,45960 Подставим соответствующие значения в формулу (7):
42
.71828,130
54844,51)30840,3452176,1371828,3(
30
1)45960,201375,264872,1
34986,110517,1(422554,282212,149182,122140,1(271828,20,1(56
011
0
==++=+++
++⋅++++⋅++⋅−≈∫ dxex
(здесь 52/ == nm ) При расчёте по данной формуле получили все 5 верных цифр после запятой. Таким образом, в одинаковых начальных условиях метод Симпсона даёт наибольшую точность приближённых вычислений определённого интеграла. Задание. Найти приближённые значения следующих определённых интегралов. Оценить ошибку вычисления и сравнить с точным значением. Вычисления вести с пятью знаками после запятой.
1) ∫1
0
;cosxdx использовать метод прямоугольников; применить обе формулы (1) и
(2), найти среднее арифметическое полученных результатов.
2) ∫2
1 x
dx - методом трапеций.
3) ∫1
0
sinxdx - методом Симпсона.
4) ∫2
1 x
dx - методом трапеций и методом Симпсона.
Лекция № 9. Численные методы безусловной оптимизации.
1. Унимодальные функции.
Из курса математического экстремума нам известны понятия локального и глобального экстремума функции одной переменной.
Пусть дана функция )(xfy = , непрерывная на некотором множестве X , являющемся подмножеством множества действительных чисел R )( RX ⊂ . Задачейбезусловной оптимизациидля функции )(xfy = называется задача отыскания всех её локальных минимумов (максимумов) в случае, если множество Xсовпадает с множеством R( )RX = . Функция )(xfy = называется при этом целевой функцией.
Аналогично данная задача формулируется для функции двух и более переменных, для множества nR .
Мы рассмотрим численные методы решения данной задачи для нахождения минимума функции одной переменной. Задачу отыскания локального минимума целевой функции )(xfy = символически записывают так:
Rxxf ∈→ min,)( .
43
Определение. Непрерывная функция )(xfy = называется унимодальной на отрезке [ ]ba; , если:
1) точка 0x локального минимума функции принадлежит отрезку [ ]ba; ; 2) для любых двух точек отрезка 21, xx взятых по одну сторону от точки
минимума, точке, более близкой к точке минимума соответствует меньшее значение функции; то есть из условий 012 xxx << или 210 xxx << следует условие ( )21)( xfxf < . Достаточное условие унимодальности функции )(xfy = на отрезке [ ]ba;
содержится в следующей теореме. Теорема. Если функция )(xfy = дважды дифференцируема на отрезке
[ ]ba; и ( ) 0>′′ xf в любой точке этого отрезка, то данная функция является унимодальной на отрезке [ ]ba; .
Заметим, что условие ( ) 0>′′ xf определяет выпуклость вниз (вогнутость) функции на указанном отрезке.
Пример 1. Для функции xxxf ln2)( 2 −= найти:
1) промежуток Х, на котором функция является унимодальной; 2) решение задачи RXXxxf ⊂∈→ ,min,)( .
0 2 4
5
10
2x2
ln x( )−
x Решение.
Функция )(xf определена при 0>x ; найдём её производные:
( ) ( )2
22 14,
14
x
xxf
x
xxf
+=′′−=′ . Заметим, что ( ) 0>′′ xf при ( )∞∈ ;0x . Следовательно,
функция )(xf унимодальна на интервале ( )∞;0 . Далее, 0)( =′ xf при 5,00 =x . Знаки производной меняются в окрестностях точки 0,5 с “- “ на “+”, поэтому, согласно достаточном условию экстремума, данная точка является точкой локального минимума.
2. Схема сужения промежутка унимодальности функции. Пусть требуется решить задачу
RXXxxf ⊂∈→ ,min,)( (1)
44
Применение численных методов для отыскания точек 0x локального минимума предполагает: 1) определение промежутков унимодальности функции, то есть нахождение
отрезков, каждому из которых принадлежит одна точка локального минимума;
2) вычисление значения 0x , принадлежащего выбранному промежутку, с заданной точностью.
0 2 4 6
5x 3−( )
2
x
Для непрерывной функции )(xf строят её график на некотором отрезке
[ ]ba; и, если окажется, что на этом отрезке график функции имеет вид, изображённый на рисунке, то [ ]ba; - отрезок унимодальности функции. Отрезок [ ]ba; берётся, по возможности, малым.
При вычислении точки минимума точность достигается последовательным уменьшением отрезка [ ]ba; , содержащего точку 0x , до размеров, не превышающих заданную точность ( )εε ≤− ab .
Замечание. Если функция )(xf имеет производную во всей области определения, то для отыскания её стационарных точек нужно решить уравнение ( ) 0=′ xf . Для решения этого уравнения, как правило, необходимо использовать численные методы, описанные в лекциях 1 и 2. Однако, для решения задачи (1) проще применять прямые численные методы поиска минимума функции )(xf .
Рассмотрим один из приёмов, позволяющих сузить отрезок унимодальности функции. Пусть функция )(xf унимодальна на отрезке [ ]ba; . Возьмём две произвольные точки 1x и 2x , принадлежащие этому отрезку и такие, что 21 xx < . Возможны, очевидно, следующие три случая, в каждом из которых можно указать отрезок меньших размеров [ ]11;ba , содержащий точку минимума 0x и принадлежащий первоначальному отрезку. I. Если ( ) ( )2211 xfyxfy =<= , то положим 211 , xbaa == и получим меньший
отрезок унимодальности [ ]11;ba . II. Если ( ) ( )2211 xfyxfy =>= , то положим bbxa == 111 , . III. Если ( ) ( )2211 xfyxfy === , то, очевидно, 2111 , xbxa == .
45
Пример 2. Для функции xxxf ln2)( 2 −= , выбрав отрезок унимодальности [ ] [ ]1;25,0; =ba и две произвольные точки [ ]baxx ;, 21 ∈ , найти меньший отрезок унимодальности [ ]11;ba .
Решение.
В примере 1 было установлено, что данная функция имеет точку минимума 5,00 =x и является унимодальной на любом отрезке, содержащем эту точку и
лежащем в области её определения ( )∞;0 . Возьмём 625,0,375,0 21 == xx ; тогда: ( ) ( ) ( )212211 ,2512536,1)(,2620793,1 xfxfxfyxfy >==== .
Здесь естественно положить 375,011 == xa и 11 == bb (случай II). Получили новый, меньший отрезок унимодальности [ ]1;375,0 . Методы, с помощью которых вычисляют значения точки минимума функции одной переменной, отличаются алгоритмами выбора точек 1x и 2x для локализации точки 0x с заданной точностью. 3. Метод половинного деления. Пусть при решении задачи (1) определён отрезок [ ]ba; , которому принадлежит точка локального минимума 0x , и функция )(xf унимодальна на этом отрезке. Далее для сужения отрезка унимодальности используем точки 1x и 2x , расположенные симметрично относительно середины данного отрезка:
222,1
abk
bax
−+= m .
Будем считать, что число kгораздо меньше единицы )1( <<k . Тогда точки 1x и 2x принадлежат отрезку [ ]ba; и, следуя рассмотренной в предыдущем пункте схеме, получим новый суженный отрезок [ ]11;ba и оценим его длину в каждом из трёх возможных случаев:
I. ( )abk
abab
kba
xbaayy −+=−−++===<2
1;
22,, 1121121 ;
II. ( )abk
abbbab
kba
xayy −+=−=−−+==>2
1;,
22, 1111121 ;
III. ( )abkabxbxayy −=−=== 11211121 ;,, . Таким образом, после первого шага преобразований найден новый отрезок унимодальности [ ]11;ba , длина которого уменьшилась. Названия метода (метод половинного деления) мотивировано тем, что если величина k очень мала, то длина отрезка унимодальности уменьшается почти вдвое (в случаях I и II). Теперь в новом суженном промежутке [ ]11;ba выберем точки 11x и 21x , симметричные относительно его середины:
221111
21,11
abk
bax
−+= m .
46
Произведя вычисления, аналогичные проделанным ранее, получаем отрезок [ ]22 ;ba , длина которого не больше, чем
( )2
1 222
abkab
−+=− ,
и так далее. В результате приходим к последовательности таких вложенных отрезков [ ] [ ] [ ]nn bababa ;,;,; 11 , что точка локального минимума 0x функции )(xf принадлежит каждому из них и является общим пределом последовательностей { }na и { }nb . Отсюда получаются приближённые равенства: nn bax ≈≈0 , оценить точность которых на п-м шаге вычислений можно с помощью неравенства:
( ) ( ) )2(2
10 0 ε<−+≤−≤−≤ ab
kabax
n
n
nnn .
Пример 3. Найти точку 0x локального минимума функции xxxf ln2)( 2 −= на отрезке [ ]1;25,0 методом половинного деления с точностью 1,0=ε . Провести вычисления, полагая 1,0=k и предварительно оценив минимальное число шагов, необходимое для достижения указанной точности. Решение. В примере 1 было установлено, что функция унимодальна на отрезке [ ]1;25,0 ; точка 0x принадлежит этому отрезку. Воспользуемся неравенством (2) и определим число шагов п:
( ) ( ) 4;37,3
2
1,1ln
75,0
1,0ln
2
1ln
ln;
2
1min =≈=
+−><−+
nkabnab
kn
nε
ε .
Введём обозначения:
( ) ( ) ( ) ( )3...,,2,1,0,;22 22112,1 nixfyxfy
abk
bax iiii
iiiiii ===
−+= m .
Здесь 1,25,0 00 ==== bbaa , ia и ib - координаты начала и конца отрезка, полученного на −i м шаге вычислений, точки ii xx 21 , принадлежат отрезку [ ]ii ba ; . Проведём последовательные вычисления.
1) Отрезок [ ] [ ]1;25,0; =bа : 2895,12221,1,6625,0,5875,0 2121 =<=== yyxx .
2) Отрезок [ ] [ ] [ ]6625,0;25,0;; 211 == xaba : 1953,12105,1,4769,0,4356,0 21112111 =>=== yyxx .
3) Отрезок [ ] [ ] [ ]6625,0;4356,0;; 21122 == xxba : 2072,11987,1,5604,0,5377,0 22122212 =<=== yyxx .
4) Отрезок [ ] [ ] [ ]5604,0;4356,0;; 221133 == xxba : 1932,11934,1,5043,0,4918,0 23132313 =>=== yyxx .
47
5) Отрезок [ ] [ ] [ ]5604,0;4918,0;; 221344 == xxba . Разность 1,00686,044 =<=−= εabd . Следовательно, точкой локального минимума, найденной с заданной точностью, является 4918,040 =≈ ax . Задание. Для заданной целевой функции ( )xfy = найти промежуток RX ⊂ , на котором она унимодальна. Найти точное решение задачи минимизации
RXXxxf ⊂∈→ ,min,)( . Найти приближённое решение этой задачи с точностью 01,0=ε методом половинного деления.
1. 23
3x
xy += ;
2. xxxy 96 23 ++= ;
3. 2
2
−=
x
xy ;
4. 4
43 x
xy += .
Лекция № 10. Численное решение дифференциальных уравнений первого порядка.
1. ПОНЯТИЕ О ЧИСЛЕННОМ РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ КОШИ. Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешённое относительно производной, имеет вид:
( ) ( )1, yxfy =′ . Решением дифференциального уравнения (1) называется функция ( )xϕ ,
подстановка которой в уравнение обращает его в тождество: ( ) ( )( )xxfx ϕϕ ,=′ . График решения ( )xy ϕ= называется интегральной кривой. Например, решением уравнения yy =′ является функция ( ) xCex =ϕ при любом значении постоянной С.
Задача Коши для дифференциального уравнения (1) состоит в том, чтобы найти его решение, удовлетворяющее условию
( )200yy xx == .
Пару чисел ( )00 , yx называют начальными данными (условиями). Решение задачи Коши называется частным решением уравнения (1) при начальном условии (2). Например, частным решением задачи Коши
1, 0 ==′ =xyyy
является функция ( ) xex =ϕ .
48
Частному решению соответствует одна из интегральных кривых, проходящая через точку ( )00 , yx . Условия существования и единственности решения задачи Коши содержатся в следующей теореме. Теорема. Пусть функция ),( yxf - правая часть дифференциального
уравнения (1) – непрерывна вместе со своей частной производной y
f
∂∂ в
некоторой области D на плоскости. Тогда при любых начальных данных ( )00 , yx из этой области задача Коши имеет единственное решение ( )xy ϕ= . При выполнении условий теоремы через точку ( )00 , yx на плоскости проходит единственная интегральная кривая. Будем считать, что условия теоремы выполняются. Численное решение задачи Коши состоит в том, чтобы получить искомое решение ( )xy ϕ= в виде таблицы его приближённых значений для заданных значений аргумента на некотором отрезке [ ]ba, :
( )3,...,,,, 1210 bxxxxax nn == − . Точки (3) называют узловыми точками, а множество этих точек называют сеткой на отрезке [ ]ba, . Будем использовать равномерную сетку с шагом h:
niihxxhxxn
abh iii ...,,2,1,;; 01 =+=+=−= − .
Приближённые значения численного решения задачи Коши в узловых точках ix обозначим через iy , таким образом ( ) nixy ii ...,,2,1, =≈ ϕ . Для любого численного метода решения задачи Коши начальное условие (2) выполняется точно, то есть, имеем ( )00 xy ϕ= . Величина погрешности численного метода решения задачи Коши на сетке отрезка [ ]ba, оценивается величиной ( ){ }ii
nixyd ϕ−=
≤≤1max .
Говорят, что численный метод имеет р-й порядок точности по шагу h на сетке, если расстояние d можно представить в виде степенной функции от h:
0, >= pChd p , гдеС – некоторая постоянная, зависящая от правой части уравнения (1) и от рассматриваемого метода. Очевидно, что когда шаг h стремится к нулю, погрешность d также стремится к нулю.
2. Метод Эйлера.
Простейшим численным методом решения задачи Коши в виде (1)-(2)
является метод Эйлера, иногда называемый также методом ломаных Эйлера. Угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в точке
( )000 , yxP есть ( )000 , yxfy =′ . Найдём ординату 1y касательной, соответствующей абсциссе hxx += 01 . Так как уравнение касательной к кривой в точке ( )000 , yxP имеет вид ( )000 xxyyy −′=− , то ( )0001 , yxhfyy += .
Угловой коэффициент в точке ( )111 , yxP также находится из данного дифференциального уравнения ( )111 , yxfy =′ . На следующем шаге получаем новую точку ( )222 , yxP , причём ( )111212 ,, yxhfyyhxx +=+= .
49
Продолжая вычисления в соответствии с намеченной схемой, получим формулы Эйлера для пприближённых значений решения задачи Коши с начальными данными ( )00 , yx на сетке отрезка [ ]ba, с шагом h:
( ) ( )4...,,2,1,,, 1111 niyxhfyyhxx iiiiii =+=+= −−−− .
Графической иллюстрацией приближённого решения является ломаная, соединяющая последовательно точки nPPPP ...,,,, 210 , которую называют ломаной Эйлера (см. рисунок). Оценим погрешность данного метода на одном шаге. Примем без вывода следующее утверждение: погрешность на одном шаге имеет порядок 2h и после п шагов погрешность вычисления значения ny возрастает не более чем в п раз. Погрешность метода Эйлера можно оценить неравенством
[ ]( )
[ ]( ) ( )habxnhxd
baba−⋅′′=⋅′′≤ ϕϕ
,
2
,max
2
1max
2
1
или представить в виде Chd = , где [ ]
( ) ( )
−⋅′′∈ abxCba
ϕ,
max2
1;0 .
Это означает, что метод Эйлера имеет первый порядок точности. В частности, при уменьшении шага h в 10 раз, погрешность тоже уменьшится примерно в 10 раз. Практическую оценку погрешности решения, найденного на сетке
отрезка [ ]ba, с шагом 2
h , в точке [ ]baxi ,∈ производят с помощью
приближённого равенства – правила Рунге:
( )( )
p
ii
ii
hyhy
hyx
2
2
2
−≈
−ϕ , где р – порядок точности численного метода. (5)
Таким образом, оценка полученного результата по формуле (5) вынуждает проводить вычисления дважды: один раз с шагом h, другой– с шагом h/2. Пример 1.Решить задачу Коши
1, 0 =+=′ =xyyxy
методом Эйлера на отрезке [ ]4,0;0 . Найти решение на равномерной сетке с шагом 1,0=h в четырёх узловых точках. Вычислить погрешность вычисления, сравнив его результат с точным значением (аналитическое решение задачи имеет вид ( ) 12 −−= xex xϕ ). Решение.
Здесь ( ) ( ) 1,0/;4,0,0;4;, =−====+= nabhbanyxyxf . На основе этих данных имеем, используя формулы (4), получаем рекуррентные формулы
( ) 4,3,2,1,1,0,1,0,1,0 111100 =++=+=== −−−− iyxyyxxyx iiiiii . Последовательно находим
50
при :1=i ( ) 1,1101,01,1,0 11 =++== yx ; при :2=i ( ) 22,11,11,01,01,1,2,0 22 =++== yx ; при :3=i ( ) 362,122,14,01,022,1,3,0 33 =++== yx ; при :4=i ( ) 5282,1362,13,01,0362,1,4,0 44 =++== yx .
Составим следующую таблицу:
i ix ( )hyi ( )ixϕ id 1 0,1 1,1 1,110342 0,01342 2 0,2 1,22 1,242805 0,022805 3 0,3 1,362 1,399718 0,037718 4 0,4 1,5282 1,583649 0,055449
Таким образом, погрешность для приближённых вычислений с шагом 0,1 составляет ( ) ( ) 06,044 ≈−= xhyd ϕ .
Заметим, что если бы мы использовали формулы (5) (это целесообразно делать с применением специальных компьютерных программ), то величина id достигает значения 03,0≈d - ошибка метода Эйлера при вычислении с шагом при вычислении с шагом 0,05.
Задание.
Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения первого
порядка на равномерной сетке отрезка [ ]ba; с шагом 0,2 методом Эйлера. Сравнить численное решение с точным значением. Результаты представить в виде таблиц, аналогичных приведённой в примере.
1) [ ] ( )
−=∈=+=′ = xxxxy
x
xyy x
1
2
1,2,1,0,
112
ϕ ;
2) [ ] ( ) 12,1,0,1,2
0 −=∈=−=′ = xxxyy
xyy x ϕ ;
3) [ ] ( ) 2/0
2
,1;0,1, xx exxyxyy =∈==′ = ϕ .
ПРАКТИКУМ
Занятие №1 РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ.
Уравнение с одним неизвестным можно записать в каноническом виде
f(x) = 0
Решение уравнения заключается в нахождении корней, т.е. таких значений х, которые обращают уравнение в тождество. В зависимости от того, какие
51
функции входят в уравнение, разделяют два больших класса уравнений - алгебраические и трансцендентные. Функция называется алгебраической, если для получения значения функции по данному значению х нужно выполнить арифметические операции и возведение в степень. К трансцендентным функциям относятся показательная, логарифмическая, тригонометрические прямые и обратные и т.п. Найти точные значения корней можно лишь в исключительных случаях. Как правило, используются методы приближенного вычисления корней с заданной степенью точности Е. Это означает, что если установлено, что искомый корень лежит внутри интервала [a,b], где a - левая граница, а b - правая граница интервала, и длина интервала (b-a) <= E, то за приближенное значение корня можно принять любое число, находящееся внутри этого интервала. Процесс нахождения приближенных значений корней разбивается на два этапа: 1) отделение корней и 2) уточнение корней до заданной степени точности. Рассмотрим эти этапы подробнее.
1.1 Отделение корней.
Любой корень уравнения считается отделенным на отрезке [a,b], если на этом отрезке исследуемое уравнение не имеет других корней.
Отделить корни - это значит разбить всю область допустимых значений х на отрезки, в каждом из которых содержится только один корень. Эту операцию можно провести двумя способами - графическим и табличным. Если функция f(x) такова, что можно легко построить качественный график ее изменения, то по этому графику достаточно грубо находятся два числа, между которыми лежит одна точка пересечения функции с осью абсцисс. Иногда с целью облегчения построения, целесообразно представить исходное каноническое уравнение в виде f1(x) = f2(x), затем построить графики этих функций, причем абсциссы пересечения графиков и служат корнями данного уравнения.
При наличии компьютера наиболее распространен табличный способ отделения корней. Он заключается в табулировании функции f(x) при изменении х от некоторого значения хнач до значения хкон с шагом dx. Задача заключается в том, чтобы найти в этой таблице такие два смежных значения х, для которых функция имеет разные знаки. Предположим, что такие два значения a и b=a+dx найдены, т.е. f(a)*f(b)<0. Тогда согласно теореме Больцано-Коши внутри отрезка [a,b], если функция f(x) непрерывна, существует точка с, в которой f(c)=0. EXCEL позволяет легко реализовать оба способа отделения корней. Рассмотрим их на примере.
Пример 1.1.
Требуется отделить корни уравнения
ex-10x = 0
52
Для этого надо протабулировать функцию f(Х) = exp(Х) - 10*Х, записанную по правилам EXCEL, и построить ее график при изменении Х от какого-то Хнач до Хкон с шагом dХ. Пусть эти значения сначала будут таковы: Хнач = 0, Хкон = 5, dХ = 0,5. Если в этих пределах изменения Х нам не удастся отделить ни одного корня, тогда надо будет задать новые начальное и конечное значения х и, может быть, изменить шаг.
Для построения таблицы целесообразно воспользоваться специальной подпрограммой ТАБЛИЦА. Для этого на новом рабочем листе в ячейке B1 введем текст: ОТДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ. Затем в ячейку А2 введем текст: x, а в смежную ей ячейку В2 - текст: f(x). Далее оставим ячейку А3 пустой, но в ячейку В3 введем формулу исследуемой функции по правилам EXCEL, а именно
=EXP(A3)-10*A3
Затем заполним числовой ряд изменений X в строках А4:A14 от 0 до 5 с шагом 0,5.
Выделим блок ячеек А3:B14. Теперь дадим команду меню Данные- Таблица. Результаты табулирования будут помещены в блок ячеек В4:В14. Для того чтобы сделать их более наглядными, нужно отформатировать блок В4:B14 так, чтобы отрицательные числа окрашивались в красный цвет. В этом случае легко найти два смежных значения X, для которых значения функции имеют разные знаки. Их и надо принять за концы интервала отделения корней. В нашем случае таких интервалов, как видно из таблицы два - [0;0,5] и [ 3,5;4].
Далее следует построить график нашей функции, выделив блок А4:B14 и вызвав Мастер Диаграмм. В результате получим на экране диаграмму изменения f(X), из которой видны следующие интервалы отделения корней [0;1] и [3;4].
Если изменять теперь числовые значения х в блоке А4:A14 то значения функции в ячейках B4:B14и график будут изменяться автоматически.
53
1.2 Уточнение корней: метод итераций.
Для уточнения корня методом итераций должно быть задано:
1) уравнение f(X) = 0, причем f(X) должно быть задано в виде формулы,
2) числа a - левая граница и b - правая граница интервала, внутри которого лежит один корень,
3) число Е - заданная точность получения корня.
Сам метод можно разбить на два этапа: а) переход от канонического вида записи уравнения f(X)=0 к итерирующему виду X = g(X), б) вычислительная итерирующая процедура уточнения корня.
Перейти от канонического вида уравнения к итерирующему можно различными способами, важно лишь чтобы при этом выполнялось достаточное условие сходимости метода: g’(X) <1 на [a,b], т.е. модуль первой производной итерирующей функции должен быть меньше 1 на интервале [a,b]. Причем чем меньше этот модуль, тем больше скорость сходимости.
Вычислительная процедура метода состоит в следующем. Выбираем начальное приближение, обычно равное Х0 = (a+b)/2. Затем вычислим X1=g(X0) и D= X1- X0. Если модуль D <= E, то X1 является корнем уравнения. В противном случае переходим ко второй итерации: вычисляем Х2=g(X1) и новое значение D=X2- X1. Опять проводим проверку на точность и при необходимости продолжаем итерации. Если g(X) выбрано правильно и удовлетворяет достаточному условию сходимости, то эта итерирующая процедура сойдется к корню. Следует отметить, что от знака g’(X) зависит характер сходимости: при g’(X)>0сходимость будет монотонной, т.е. с увеличением итераций D будет приближаться к Е монотонно (не меняя знака), в то время как при g’(X)<0
54
сходимость будет колебательной, т.е. D будет приближаться к Е по модулю, меняя знак на каждой итерации.
Рассмотрим реализацию метода итераций на EXCEL на примере.
Пример 1.2
Уточним методом итераций значение корней, отделенных в примере 2.1. Итак пусть f(X)= exp(X) - 10*X, для первого корня a=0 и b=0,5. Пусть Е=0,00001. Как выбрать итерирующую функцию? Например, так g(X)=0,1*exp(X). На интервале [a,b] g’(X)<1 и достаточное условие сходимости выполняется. Кроме того, эта производная >1 на интервале [a,b] и характер сходимости будет монотонный.
Запрограммируем метод итераций для этого примера на том же рабочем листе, где мы проводили отделение корней. В ячейку А22 внесем число, равное 0. В ячейку В22 запишем формулу =0,1*EXP(A22), а в ячейку С22 формулу =А22- В22. Таким образом 22 строка содержит данные по первой итерации. Чтобы получить в строке 23 данные по второй итерации, скопируем содержимое ячейки В22 в ячейку А23, записав в А23 формулу =В22. Далее
надо скопировать формулы ячеек В22 и С22 в ячейки В23 и С23. Для получения данных всех остальных итераций надо выделить ячейки А23,В23,С23 и скопировать их содержимое в блок А24:C32. После этого следует проанализировать изменение D = Х - g(X) в столбце С, найти D<0,00001 по модулю и выбрать соответствующее ему значение Х из столбца А. Это и есть приближенное значение корня.
Для большей наглядности можно построить диаграмму для метода итераций. Выделяя блок А22:С32 и используя Мастер диаграмм, получим три графика
55
изменения Х,g(X) и D в зависимости от номера итераций, для чего на шаге 3 из 5 выберем формат 2, а на шаге 4 из 5 построения диаграммы нужно отвести ноль столбцов для меток оси Х. Теперь хорошо виден монотонный характер сходимости D.
Для уточнения второго корня этого уравнения на интервале [3,5;4], нужно выбрать другую итерирующую функцию, такую чтобы ее первая производная была по модулю меньше единицы. Выберем g(X)= LN(X)+LN(10). В ячейку А22 внесем новое Х0=3,75, а в ячейку В22 - новую формулу =LN(A22)+LN(10). Скопируем формулу из В22 в блок В23:В32 и сразу получим новые данные и перестроенную диаграмму. Определим приближенное значение второго корня.
1.3 Уточнение корней: метод Ньютона.
Для уточнения корня методом Ньютона должно быть дано:
1) уравнение f(X) = 0, причем f(X) должно быть задано в виде формулы,
2) числа a - левая граница и b - правая граница интервала, внутри которого лежит один корень,
3) число Е - заданная точность получения корня,
4) функция f(X) должна быть дважды дифференцируемой, причем формулы f’(X) и f”(X) должны быть известны.
Метод состоит в итерационных вычислениях последовательности
X i+1 = Xi - f(X i)/f’(X i), где i=0,1,2, ...,
исходя из начального приближения Х0, принадлежащего интервалу [a,b] и удовлетворяющего условию f(X0)*f”(X 0)>0. Достаточные условиясходимости метода заключаются в том, что первая и вторая производные исследуемой функции должны сохранять знак на интервале [a,b]. В качестве начального приближения выбирают обычно или a, или b, в зависимости от того, кто из них соответствует формуле выбора Х0.
Метод Ньютона допускает простую геометрическую интерпретацию. Если через точку с координатами (Xi;f(X i)) провести касательную к кривой f(X), то абсцисса точки пересечения этой касательной с осью 0Х и есть очередное приближение корня Хi+1.
Метод Ньютона можно рассматривать как некоторую модификацию метода итераций, дающую наилучшую итерирующую функцию g(X) на каждом шаге итерации. Проведем следующие преобразования с исходным каноническим уравнением f(X)=0. Умножим левую и правую его части на некоторое число λ, отличное от нуля. Затем прибавим слева и справа по Х. Тогда будем иметь
56
Х = g(X) = Х +λ*f(X).
Дифференцируя g(X), получим g’(X) = 1 + λ*f’(X). Из достаточного условия сходимости метода итераций g’(X)<1. Потребуем, чтобы на i-том шаге итерации сходимость была самой быстрой, т.е. g’(X i) =0. Тогда λ=-1/ f’(X i) и мы пришли к методу Ньютона.
Вычислительная процедура метода состоит в следующем. Выбираем начальное приближение X0, обычно равное a или b. Затем вычислим X1= X0 - f(X0)/f’(X 0) и D= X1- X0. Если модуль D <= E, то X1 является корнем уравнения. В противном случае переходим ко второй итерации: вычисляем Х2 и новое значение D=X2- X1. Опять проводим проверку на точность и при необходимости продолжаем итерации. Если X0 выбрано правильно, а функция удовлетворяет достаточному условию сходимости, то эта итерирующая процедура быстро сойдется к корню.
Пример 1.3.
Уточним методом Ньютона значение корня, отделенного в примере 1.1. Итак пусть f(X)= exp(X) - 10*X, для первого корня a=0 и b=0,5. Пусть Е=0,00001. Формулы для первой и второй производной f(X) таковы
f’(X) = exp(X) - 10 и f”(X) = exp(X).
Очевидно, что X0 = a = 0, т.к. f(0)*f”(0) = 1 >0.
Запрограммируем метод Ньютона для этого примера на том же рабочем листе, где мы проводили отделение корней. В ячейку А42 внесем число, равное Х0=0. В ячейку В42 запишем формулу=EXP(A42)-10*А42,в ячейку С42 формулу
=EXP(A42)-10,а в ячейку D42 формулу =А42- В42/C42. Затем в ячейку Е42 запишем формулу =А42-D42. Таким образом 42 строка содержит данные по первой итерации.
57
Чтобы получить в строке 43 данные по второй итерации, скопируем содержимое ячейки D42 в ячейку А43, записав в А43 формулу =D42. Далее надо скопировать формулы ячеек В42, С42, D42, E42 в ячейки В43, С43, D43, E43. Для получения данных всех остальных итераций надо выделить ячейки в 43 строке и скопировать их
содержимое в блок А44:Е47. После этого следует проанализировать изменение D в столбце E, найти D<0,00001 по модулю и выбрать соответствующее ему значение Х из столбца А. Это и есть приближенное значение корня. При правильно введенных формулах метод Ньютона сходится за 3 или 4 итерации. Поэтому строить диаграмму для этого метода нет необходимости.
1.4. Уточнение корней: метод бисекции ( деления отрезка пополам ).
Для уточнения корня методом бисекции должно быть дано:
1) уравнение f(X) = 0, причем f(X) должна быть задана в виде формулы,
2) числа a - левая граница и b - правая граница интервала, внутри которого лежит один корень,
3) число Е - заданная точность получения корня.
Напомним, что на концах интервала функция f(X) имеет разные знаки. Вычислительная процедура метода состоит в том, что на каждом шаге итерации на интервале [a,b] выбирают промежуточную точку с так, чтобы она являлясь серединой интервала, т.ет с=(a+b)/2. Тогда интервал разделится этой точкой на два равных отрезка [a,c] и [c,b], длины которых равны (b-a)/2. Из двух полученных отрезков выберем тот, на концах которого функция f(X) принимает значения противоположных знаков. Обозначим его снова как [a,b]. На этом заканчивается первая итерация. Далее новый отрезок [a,b] делим снова пополам и проводим вторую и последующие итерации. Процесс деления отрезка пополам производим до тех пор, пока на каком-либо К-том шаге вновь получающийся отрезок не станет меньше или равным величине точности Е. Значение шага К легко рассчитать из формулы
(b-a)/2k<=E,
где a и b - начальные значения левой и правой границ интервала.
Метод бисекций сходится для любых непрерывных функций, в том числе и недифференцируемых.
Пример 1.4.
58
Уточним методом бисекции значение корня, отделенного в примере 1.1. Итак пусть f(X)= exp(X) - 10*X, для первого корня a=0 и b=0,5. Пусть Е=0,00001.
Запрограммируем метод бисекции для этого примера на том же рабочем листе, где мы проводили отделение корней. В ячейки А52 и В52 надо внести числовые значения a и b,в ячейку С52 - формулу =(А52+В52)/2. Далее в ячейку D52 внесем формулу =EXP(A52)-10*A52, в ячейку Е52 - формулу =EXP(C52)-10*C52, в ячейку F52 - формулу =D52*E52, и, наконец, в ячейку G52 запишем формулу =B52- A52. В строке 52 мы сформировали первую итерацию. На второй итерации значения в ячейках А53 и В53 зависят от знака числа в ячейке F52. Если F52>0, то значение А53 равно С52. В противном случае оно должно быть равно А52. В ячейке В53 наоборот: если F52<0, то значение В53 равно С52, иначе В52.
Разрешить это затруднение поможет встроенная функция EXCEL, которая носит название ЕСЛИ. Сделаем текущей ячейку А53. В строке формул, рядом с зеленой галочкой щелкнем на кнопке с изображением f(x). Так вызывается Мастер Функций. В появившемся диалоге выберем в поле КатегорииФункции категорию Логические, а в поле Имя Функции - имя ЕСЛИ. На втором шаге диалога заполним три свободных поля следующим образом: в поле Логическое_выражение внесем “F52>0” (разумеется без кавычек!), в поле Значение_если_истина внесем С52, а в поле Значение_если_ложь - А52. Щелкнем по кнопке Закончить. Вот и все.
То же самое надо проделать с ячейкой В53. Только Логическое выражение будет “F52<0”, Значение_если_истина будет С52, а Значение_если_ложь соответственно В52.
Далее надо скопировать формулы в блоке ячеек С52:G52 в блок С53:G53. После этого вторая итерация будет проведена в строке 53. Для получения следующих итераций достаточно скопировать формулы из строки 53 в блоке А53:E53 в блок А54: E68. Затем, как обычно, следует найти с столбце Е такую строку, где значение D будет меньше Е. Тогда число в столбце С в этой строке и есть приближенное значение корня.
59
Можно построить диаграмму изменения значений в столбцах А, В и С, начиная с первой и кончая последней итерацией. Для этого нужно выделить блок ячеек А52:С68. За дальнейшими инструкциями обратитесь к примеру 1.2.
1.5 Уточнение коней: подпрограмма EXCEL “ Подбор параметра”.
EXCEL обладает большим набором средств, позволяющих решить те или иные вычислительные задачи. Для решения нелинейного уравнения предусмотрена подпрограмма Подбор параметра. Продемонстрируем действие этой подпрограммы на предыдущем примере.
Уточним значение корня, отделенного в примере 1.1. Итак пусть f(X)= exp(X) - 10*X. Найдем корень, лежащий на интервале [0; 0,5]. Оставим пустой ячейку А70. В ячейку В70 запишем формулу =EXP(A70)-10*A70. Выберем команду
меню Сервис- Подбор параметра. Откроется диалог Подбор параметра, в котором в поле Установить в ячейке запишем В70, в поле Значение занесем 0 (ноль), в поле Изменяя ячейку укажем А70. Щелкнем по кнопке ОК и появится новый диалог, в котором будет
показан результат выполнения операции. В окне Состояниеподбора решения будет показано найденное значение. Теперь если щелкнуть на кнопке ОК, в ячейку А70 будет внесено найденное значение корня, а в ячейку B70 - значение функции.
Для того, чтобы найти другой корень, лежащий на интервале [3,5; 4] необходимо изменить начальное приближение, которое в нашей таблице находится в ячейке A70. Запишем в эту ячейку одну из границ интервала, например, 4, и снова выполним процедуру подбора параметра. Содержимое
60
клеток A70 иB70 изменится, теперь в этих клетках появятся координаты большего корня.
61
Занятие №2 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАНЕНИЙ
В общем виде система линейных алгебраических уравнений записывается так:
a11x1+a12x2+... +a1nxn = b1 a21x1+a22x2+... +a2nxn = b2
.................................................... an1xn+an2x2+... +annxn = bn
Совокупность коэффициентов этой системы запишем в виде квадратной матрицы A из n строк и n столбцов
a11a12 ... a1n a21a22 ... a2n
........................... an1an2 ... ann
Используя матричное исчисление, исходную систему уравнений можно записать в виде
А*Х = В, где Х - вектор- столбец неизвестных размерностью n, а В - вектор- столбец свободных членов, тоже размерностью n.
Эта система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и определенной, если она имеет одно единственное решение. Если все свободные члены равны нулю, то система носит название однородной. Необходимым и достаточным условием существования единственного решения системы является условие DET=0, где DET - определитель матрицы А. На практике при вычислениях на компьютере не всегда удается получить точное равенство DET нулю. В том случае, когда DET близко к нулю, системы называются плохо обусловленными. При их решении на компьютере малые погрешности в исходных данных могут привести к существенным погрешностям в решении. Условие DET~0 является необходимым для плохой обусловленности системы, но не достаточным. Поэтому при решении системы на КОМПЬЮТЕР требуется оценка погрешности, связанной с ограниченностью разрядной сетки компьютера. Существуют две величины, характеризующие степень отклонения полученного решения от точного. Пусть Хк - истинное решение системы, Хc - решение, полученное тем или иным методом на КОМПЬЮТЕР, тогда погрешность решения: Е = Хк - Хc. Вторая величина - невязка, равная R = B - A*Xc. В практических расчетах контроль точности осуществляется с помощью невязки, хотя это и не совсем корректно.
2.1. Матричный метод.
62
EXCEL дает возможность решить систему линейных алгебраических уравнений матричным методом, т.е.
Х = А-1*В.
Таким образом, алгоритм решения системы матричным методом можно представить в виде следующей последовательности вычислительных процедур:
1) получить матрицу А-1, обратную матрице А; 2) получить решение системы по формуле Хс = А-1*В; 3) вычислить новый вектор свободных членов Вс = А*Хс; 4) вычислить невязку R = B - Bc; 5) получить решение системы по формуле dXc = А-1*R ; 6) сравнить все компоненты вектора dXc по модулю с заданной погрешностью Е: если все они меньше Е, то закончить вычисления, иначе повторить вычисления с п.2, где Хс = Xc + dXc. Рассмотрим матричный метод решения системы с помощью EXCEL на примере.
Пример 2.1.
Решить систему уравнений
20,9x1+ 1,2x2 + 2,1x3+ 0,9x4 = 21,7
1,2x1+21,2x2 + 1,5x3+ 2,5x4 = 27,46
2,1x1+ 1,5x2 +19,8x3+ 1,3x4 = 28,76
0,9x1+ 2,5x2 + 1,3x3+32,1x4 = 49,72
EXCEL имеет следующие встроенные функции, реализующие матричные вычисления:
а) МОБР - обращение матрицы,
б) МУМНОЖ - умножение двух матриц,
в) МОПРЕД - вычисление определителя матрицы.
При использовании этих функций важно правильно и компактно расположить на рабочем листе блоки ячеек, соответствующие исходным и рабочим матрицам и вектор-столбцам. Откроем новый рабочий лист, щелкнув на выбранном Вами ярлычке. Отведем под матрицу А блок ячеек А3:D6. Для наглядности заключим его в черную рамку. Для этого выделим блок A3:D6, дадим команду меню Формат- Ячейки и в открывшемся диалоге выберем вкладку Рамка. Откроется новый диалог, в котором щелкнем по полю Рамка- Контур и выберем в поле Рамка- Стиль самую толстую ширину линии. Подтвердим свое решение, щелкнув на кнопке ОК. Выделим теперь блок A8:D11 под матрицу А-1 и также заключим его в черную рамку, проделав действия, аналогичные блоку матрицы А. Далее выделим блоки ячеек под вектор-столбцы (обведя их черной рамкой): блок F8:F11 - под вектор В, блок H8:H11 - под вектор Хс, получающийся в результате умножения А-1*В, блок
63
H3:H6 - под вектор Вс, получающийся в результате умножения А*Хс, причем для наглядности выделим дополнительный блок F3:F6, куда скопируем компоненты вектора Хс из блока H8:H11. И наконец, занесем в ячейки Е4 и Е9 знак умножения *, а в ячейки G4 и G9 знак равенства =, затем, выделяя по очереди столбцы Е и G, дадим команду меню Формат- Столбец - Подгонширины. Таким образом мы подготовили рабочий лист к решению нашей задачи.
Внесем исходные данные: числа матрицы А в ячейки блока A3:D6, а числа вектора свободных членов В - в ячейки блока F8:F11.
Начнем выполнение алгоритма с обращения матрицы А. Для этого выделим блок А8:D11, куда должен быть помещен результат операции. Этот блок окрасится в черный цвет, за исключением ячейки А8. Щелкнем по кнопке fxна панели Стандартная, осуществив вызов Мастера Функций. Откроется диалог, в котором из поля Категория функций выберем строку Мат. итригонометрия, а из поля Имя функции - строку МОБР. Перейдем ко второму шагу диалога, щелкнув по кнопке Шаг> . Здесь в поле Массив надо набить с клавиатуры А3:D6, что соответствует блоку ячеек, занятому матрицей А. Щелкнув на кнопке Закончить, можно увидеть, что в блоке А8:D11 заполнена лишь ячейка А8. Для завершения операции обращения EXCEL требует выполнения еще двух действий. Сначала надо сделать активной строку формул, щелкнув по ней ( в любом месте строки!) - курсор мыши примет при этом форму I. Проверкой правильности Ваших действий будет появление слева от строки формул четырех кнопок, в том числе с зеленой галочкой. После этого следует нажать на клавиатуре клавишу “Ctrl”, затем не отпуская ее - клавишу “Shift”, и не отпуская и ее - клавишу “Enter”, т.е. в результате должны быть нажаты все три клавиши одновременно! Вот теперь весь блок А8:D11 будет заполнен числами и можно выделить блок H8:H11, чтобы начать операцию умножения А-1*В.
Выделив этот блок, снова вызовите Мастер функций и в поле Имя функции - выбирайте функцию МУМНОЖ. Щелкнув по кнопке Шаг> , перейдем ко второму шагу диалога, где в поле Массив1 внесем адрес А8:D11, а в поле Массив2 - адрес F8:F11. Щелкнем по кнопке Закончить и обнаружим, что в блоке Н8:H11 заполнена лишь ячейка Н8. Активизируем строку формул ( должна появиться зеленая галочка!) и по методике, описанной выше, нажмем
64
одновременно три клавиши “Ctrl”-”Shift”-”Enter”. Результат умножения появится в блоке Н8:H11.
Для проверки точности полученного решения системы, проведем операцию вычисления Вс=А*Хс. С этой целью скопируем только числовые значения ( а не формулы!) ячеек из блока H8:H11 в ячейки F3:F6. Сделать это надо следующим образом. Выделим блок H8:H11. Дадим команду меню Правка- Копировать. Выделим блок F3:F6. Дадим команду меню Правка- Специальнаявставка. Откроется диалог, в котором в поле Вставить следует выбрать режим Значения. Подтвердим свое решение, щелкнув по кнопке ОК.
После этой операции заполнены числами блоки А3:D6 и F3:F6. Можно приступить к умножению матрицы А на вектор Хс. Для этого надо выделить блок Н3:H6, вызвать Мастер Функций и, действуя так же, как и при вычислении Хс=А-1*В, получить Вс. Как видно из таблицы, числовые значения векторов В и Вс совпадают, что говорит о хорошей точности вычислений, т.е. невязка в нашем примере равна нулю.
Подтвердим хорошую обусловленность матрицы А вычислением ее определителя. Для этого сделаем активной ячейку D13. С помощью МастераФункций вызовем функцию МОПРЕД. В поле массив занесем адрес блока А3:D6. Щелкнув по кнопке Закончить, получим в ячейке D13 числовое значение определителя матрицы А. Как видно, оно значительно больше нуля, что говорит о хорошей обусловленности матрицы.
2.2. Метод приближенных вычислений.
Одним из наиболее распространенных итерационных методов решения систем линейных алгебраических уравнений, отличающийся простотой и легкостью программирования, является метод приближенных вычислений или метод Якоби.
Пусть надо решить систему a11x1+a12x2+a13x3 = b1 a21x1+a22x2+a23x3 = b2 a31x1+a32x2+a33x3 = b3
Предположим, что диагональные элементы a11, a22, a33 отличны от нуля. В противном случае можно переставить уравнения. Выразим переменные из первого, второго и третьего уравнений соответственно. Тогда
x1= [b1-( a12x2+a13x3)]/ a11
x2= [b2-( a21x1+a23x3)]/ a22
x3= [b3-( a31x1+a33x3)]/ a33
Зададим начальные приближения неизвестных
x1 = x1 (0)
65
x2 = x2 (0)
x3 = x3 (0)
Подставляя их в правую часть преобразованной системы, получим новое первое приближение
x1(1)= [b1-( a12x2
(0)+a13x3(0))]/ a11
x2 (1)= [b2-( a21x1
(0)+a23x3(0))]/ a22
x3 (1)= [b3-( a31x1
(0)+a33x3(0))]/ a33
На этом заканчивается первая итерация. Далее, используя вычисленные значения x1
(1), x2 (1) и x3
(1), можно провести следующую итерацию, чтобы найти x1
(2),x2(2) и x3
(2), Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока на какой-либо k-той итерации все значения xi
(k)не станут близкими к xi(k-1). Близость этих
значений можно характеризовать максимальной абсолютной величиной их разности D. Тогда при заданной допустимой погрешности Е критерий окончания итерационного процесса можно записать так
D = max [ABS(xi(k)- xi
(k-1))] <=E для i=1,2,3. Достаточные условия сходимости итерационного процесса
i i i jj
a a, ,=
=∑
1
3
где j#i , i=1,2,3
При этом хотя бы для одного уравнения неравенство должно выполняться строго.
Пример 2.2. Решим систему примера 2.1 методом Якоби.
Дано:
система уравнений
20,9x1+ 1,2x2 + 2,1x3+ 0,9x4 = 21,7
1,2x1+21,2x2 + 1,5x3+ 2,5x4 = 27,46
2,1x1+ 1,5x2 +19,8x3+ 1,3x4 = 28,76
0,9x1+ 2,5x2 + 1,3x3+32,1x4 = 49,72 начальные приближения
x1 (0)= b1=21,7
x2 (0)= b2=27,46
x3 (0)= b3=28,76
x4 (0)= b4=49,72
допустимая погрешность
Е = 1Е –5. Очевидно, что достаточные условия сходимости метода выполняются. Откроем новый рабочий лист EXCEL. Внеся в ячейку А1 текст с названием метода, отведем вторую строку для заголовка таблицы
Ячейка
Текст заголовка
66
А2 № итерации В2 Х1 С2 Х2 D2 X3 E2 X4 F2 DX1 G2 DX2 H2 DX3 I2 DX4 J2 D
Следующая третья строка должна содержать информацию о нулевой итерации, т.е. в ячейку А3 занесем ноль, а в ячейки В3, С3, D3 и E3 – начальные приближения, равные значениям свободных членов уравнения. Четвертая строка будет содержать формулы для вычисления первой итерации
Ячейка Формула А4 1 В4 =(21,7 –
(1,2*C3+2.1*D3+0.9*E3))/20.9 С4 =(27.46-
(1.2*B3+1.5*D3+2.5*E3))/21.2 D4 =(28.76-
(2.1*B3+1.5*C3+1.3*E3))/19.8 E4 =(49.72-
(0.9*B3+2.5*C3+1.3*D3))/32.1 F4 =ABS(B4-B3) G4 =ABS(C4-C3) H4 =ABS(D4-D3) I4 =ABS(E4-E3) J4 =МАКС(F4:I4)
Для проведения остальных итераций следует скопировать формулы ячеек B4:J4 в нижние строки с 5 по, например, 15. Если числовые значения в столбце J будут меньше Е, решение найдено. В противном случае следует продолжить копирование. Результат решения показан на рисунке.
67
2.3. Метод Гаусса – Зайделя.
Этот метод является модификацией метода приближенных вычислений и отличается от него формулами вычислений первого и последующего приближений.
Пусть надо решить систему a11x1+a12x2+a13x3 = b1 a21x1+a22x2+a23x3 = b2 a31x1+a32x2+a33x3 = b3
Предположим, что диагональные элементы a11, a22, a33 отличны от нуля. В противном случае можно переставить уравнения. Выразим переменные из первого, второго и третьего уравнений соответственно. Тогда
x1= [b1-( a12x2+a13x3)]/ a11
x2= [b2-( a21x1+a23x3)]/ a22
x3= [b3-( a31x1+a33x3)]/ a33
Зададим начальные приближения неизвестных
x1 = x1 (0)
x2 = x2 (0)
x3 = x3 (0)
Подставляя их в правую часть преобразованной системы, получим новое первое приближение
x1(1)= [b1-( a12x2
(0)+a13x3(0))]/ a11
x2 (1)= [b2-( a21x1
(1)+a23x3(0))]/ a22
x3 (1)= [b3-( a31x1
(1)+a33x3(1))]/ a33
На этом заканчивается первая итерация. В отличии от метода Якоби, здесь использовались не только начальные приближения, но и уже вычисленные значения неизвестных на первой итерации. Далее, используя вычисленные значения x1
(1), x2 (1) и x3
(1), можно провести следующую итерацию, чтобы найти x1
(2),x2(2) и x3
(2), Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока на какой-либо k-той итерации все значения xi
(k)не станут близкими к xi(k-1). Близость этих
значений можно характеризовать максимальной абсолютной величиной их
68
разности D. Тогда при заданной допустимой погрешности Е критерий окончания итерационного процесса можно записать так
D = max [ABS(xi(k)- xi
(k-1))] <=E для i=1,2,3. Достаточные условия сходимости итерационного процесса
i i i jj
a a, ,=
=∑
1
3
где j#i , i=1,2,3
При этом хотя бы для одного уравнения неравенство должно выполняться строго.
Пример 2.3. Решим систему примера 2.1 методом Гаусса-Зайделя. При этом оформление листа EXCEL останется тем же. Изменятся лишь формулы в четвертой и последующих строках.
Ячейка Формула А4 1 В4 =(21,7 –
(1,2*C3+2.1*D3+0.9*E3))/20.9 С4 =(27.46-
(1.2*B4+1.5*D3+2.5*E3))/21.2 D4 =(28.76-
(2.1*B4+1.5*C4+1.3*E3))/19.8 E4 =(49.72-
(0.9*B4+2.5*C4+1.3*D4))/32.1 F4 =ABS(B4-B3) G4 =ABS(C4-C3) H4 =ABS(D4-D3) I4 =ABS(E4-E3) J4 =МАКС(F4:I4)
Для проведения остальных итераций следует скопировать формулы ячеек B4:J4 в нижние строки с 5 по, например, 15. Если числовые значения в столбце J будут меньше Е, решение найдено. В противном случае следует продолжить копирование. Результат решения показан на рисунке.
Как видно, в данном случае метод Гаусса – Зайделя оказался быстрее метода приближенных вычислений.
69
Занятие №3
РЕШЕНИЕ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Система нелинейных уравнений в общем виде записывается так
f1(x1,x2,...xn) = 0
f2(x1,x2,...xn) = 0
..............................
fn(x1,x2,...xn) = 0
где fi - нелинейные алгебраические функции. Для решения таких систем обычно используются итерационные методы. Ниже будут рассмотрены два метода - метод Ньютона и метод итераций. Успех применения этих методов во многом определяется выбором начальных приближений. Они должны быть достаточно близки к истинному значению. В противном случае итерационный процесс может не сойтись. Следует заметить, что в общем случае формализованных процедур выбора начальных приближений нет. Только в случае системы второго порядка можно предложить такую процедуру, сравнительно легко реализующуюся на EXCEL.
3.1. Выбор начальных приближений.
Пусть задана система нелинейных уравнений 2-го порядка
f1(x1,x2) = 0
f2(x1,x2) = 0
Зададим несколько значений x1 в диапазоне от хнач до хкон с шагом dx. Подставим сначала в f1(x1,x2) = 0 значение хнач. Тогда это уравнение становится одномерным, зависящим только от х2, и его можно решить подпрограммой EXCEL Подбор параметра (см. 2.4). То же самое можно проделать и для всех остальных значений х1. В результате мы будем иметь набор значений х1 и х2, для которых f1(x1,x2) = 0. Далее, для того же самого набора значений х1, используя подпрограмму Подбор параметра, найдем значения х2, для которых f2(x1,x2) = 0. Если теперь построить с помощью EXCEL графики изменения х2 в зависимости от х1 для двух этих случаев, то на пересечении этих графиков можно приближенно определить значения начальных приближений по х1 и х2. Если графики не пересекаются, следует задать новый диапазон изменения х1 и повторить процедуру сначала.
Пример 3.1.
Пусть надо решить систему
х13 + х2
3 - 6х1 + 3 = 0
х13 - х2
3 - 6х2 + 2 = 0
Подберем начальные приближения. Выберем хнач = 0, хкон = 1, dx = 0,2. Откроем новый рабочий лист EXCEL и занесем эти значения х1 в блок А4:A9.
70
Выделим блок В4:В9 под значения х2 первой серии, для которой f1(x1,x2) = 0, и блок С4:С9 - под значения х2 второй серии, для которой f2(x1,x2) = 0. Блок D4:D9 отведем для функции f1(x1,x2), а блок Е4:Е9 - для функции f2(x1,x2) . Сделаем текущей ячейку D4. В нее запишем формулу =А4^3+B4^3-6*A4+3. В ячейку Е4 запишем формулу =A4^3-C4^3-6*C4+2. Теперь выделим блок D4:E4 и скопируем эти формулы в блок ячеек D5:E9. Разумеется, адреса ячеек столбцов А и С в них будут автоматически изменены.
Перейдем к заполнению блока В4:В9. Снова сделаем текущей ячейку D4. Дадим команду меню Сервис- Подбор параметра. В открывшемся диалоге в поле Установить в ячейке должен быть указан адрес ячейки D4 в абсолютных адресах. В поле Значение следует занести ноль, а в поле Изменяя ячейку - занести адрес ячейки В4 ( можно в относительных адресах). Щелкнем по кнопке ОК. Появится новый диалог Состояние подбора параметра. Если решение найдено, то, щелкнув по кнопке ОК, получим в ячейке B4 нужное нам числовое значение. Далее эту процедуру надо повторить для всех ячеек блока D4:D9. В результате будет заполнен блок В4:В9.
Аналогичным образом следует заполнить блок С4:С9, используя блок Е4:Е9.
Если блоки в столбцах В и С заполнены, можно построить диаграмму. Для этого необходимо выделить блок А3:Е9. Затем щелкнуть по кнопке
МастерДиаграмм на панели Стандартная. Передвигаясь по диалогу с помощью кнопки Шаг> , выполнить все 5 шагов построения диаграммы, причем на Шаге 2 из 5 выбрать тип XY-точечная, а на Шаге 3 из 5 - формат 6. Анализируя построенную диаграмму, можно сделать вывод о том, что в качестве начальных приближений можно выбрать х1 =0,5 и х2 = 0,5.
3.2 Метод Ньютона.
Пусть задана система нелинейных уравнений 2-го порядка
f1(x1,x2) = 0
f2(x1,x2) = 0
причем левые части уравнений известны в виде формул. Заданы также числовые значения начальных приближений х10 и х20, а также Е - точность
71
вычислений значений корней. Функции должны быть дифференцируемы и формулы частных производных тоже должны быть известны.
Исходную систему можно записать в матричном виде
F(X) = 0,
где X - двумерный вектор- столбец с компонентами { x1,x2 }, а F - двумерный вектор- функция. Метод Ньютона - это метод последовательных приближений по формуле
Хi+1 = Xi - Pi,
где Pi = Ji-1*F i,
i - номер итерации, ( i = 0,1,2,...)
Ji-1 - матрица, обратная матрице J на i-той итерации,
J - матрица Якоби, т.е. матрица первых частных производных:
df1/dx1 df1/dx2
df2/dx1 df2/dx2.
Таким образом на каждой итерации вычисляется вектор Р, его компоненты сравниваются с заданной погрешностью Е по формуле
D=( p1i2+p2i
2)(1/2),
причем когда D <= E , вычисления прекращаются и вектор Хi считается решением. В противном случае вычисляются новые значения Х и выполняется следующая итерация.
Достаточным условием сходимости метода служит неособенность матрицы Якоби, т.е. ее определитель (якобиан) не должен быть равным нулю на любой итерации.
Пример 3.2.
Решим систему из примера 3.1 методом Ньютона. Начальные приближения также возьмем из того же примера. Пусть Е = 0,00001. Выпишем формулы частных производных:
df1/dx1 = 3x12 - 6 df1/dx2 = 3x2
2
df2/dx1 = 3x12 df2/dx2 = -3x2
2 - 6.
Для решения задачи воспользуемся встроенными в EXCEL матричными функциями и процедурами так, как это сделано в разделе 2 настоящего пособия при решении систем линейных уравнений.
72
Проведем вычисления на том же рабочем листе, что и в примере 3.1.
Необходимо отвести блоки ячеек для векторов Х,F и P, для матриц J и J-1, а также ячейки для вычисления якобиана и текущей величины погрешности D. Затем занести начальные приближения в блок Х и формулы в блоки J и F. Далее с помощью Мастера функций надо организовать вычисление якобиана функцией МОПРЕД , матрицы J-1 - функцией МОБР и вектора Р - функцией МУМНОЖ по аналогии с примером 2.1. В результате будет выполнена первая итерация метода Ньютона и по численному значению D следует принять решение о проведении дальнейших итераций.
Из таблицы ясно, что D>E и дальнейшие итерации необходимы. По формуле Ньютона для получения новых числовых значений вектора Х нужно из значений блока Х вычесть значения блока
Р. Это можно выполнить таким образом. Выделим блок Р и дадим команду меню Правка- Копировать. Затем выделим блок Х и дадим команду меню Правка- Специальная вставка. В появившемся диалоге выберем в поле Вставить переключатель Значения, а в поле Операция - переключатель Вычесть и подтвердим свой выбор щелчком по кнопке ОК. В результате будет выполнена вторая итерация. Блок ячеек Р будет обрамлен бегущей пунктирной линией. Если значение D получится все еще большим чем Е, то следует снова выделить блок Х и повторить команду меню Правка- Специальная вставка с указанием тех же переключателей. Эти манипуляции можно проводить до тех пор, пока D не станет меньше, чем Е. Во время проведения итераций нужно визуально контролировать числовое значение якобиана для выполнения достаточных условий сходимости метода.
3.3. Метод итераций.
Пусть задана система нелинейных уравнений 2-го порядка
73
f1(x1,x2) = 0
f2(x1,x2) = 0
причем левые части уравнений известны в виде формул. Заданы также числовые значения начальных приближений х10 и х20, а также Е - точность вычислений значений корней.
Для применения итераций исходная система приводится к виду
х1 = g1(x1,x2)
x2 = g2(x1,x2),
где функции gi называются итерирующими. Алгоритм решения задается итерирующими формулами
х1i+1 = g1(x1i,x2i)
x2i+1 = g2(x1i,x2i),
где i -номер итерации, i = 0,1,2,... Для прекращения итераций вычисляются значения
p1i+1 = х1i+1 - x1i
p2i+1 = x2i+1 - x2i,
D=( p1i2+p2i
2)(1/2),
и D сравнивается с Е. Итерации продолжаются до тех пор, пока не выполнится условие D<=E. Чтобы процесс вычислений сходился к этому условию, нужно выполнение достаточного условия сходимости:
dg1/dx1 + dg1/dx2 < 1,
dg2/dx1 + dg2/dx2 < 1.
Возможно также суммирование по столбцам.
Пример 3.3.
Решим систему из примера 3.1 методом итераций. Начальные приближения также возьмем из того же примера. Пусть Е = 0,00001. Выпишем формулы для итерирующих функций
g1(x1,x2) = (x13 + x2
3 + 3)/6
g2(x1,x2) = (x13 - x2
3 + 2)/6.
При изменении независимых переменных в пределах 0<= x1<=1 и 0<= x2<=1 достаточное условие сходимости выполняется, т.к.
dg1/dx1 + dg1/dx2 = (x12)/2 + (x2
2)/2,
dg2/dx1 + dg2/dx2 = (x12)/2 + -(x2
2)/2.
74
Проведем вычисления на том же рабочем листе, что и в примере 4.2.
Отведем столбец А, начиная с 26 строки под значения х1, столбец В под значения х2, столбец С - под g1, столбец D - под g2, следующие три столбца под р1,р2 и D.
В строке 27 сформируем формулы для второй итерации, а затем скопируем их в блок А28:G32, с учетом изменений относительных адресов ячеек. В результате будем иметь заполненную таблицу
Как видно, процесс итераций сходится достаточно быстро.
Занятие №4
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ОДНОМЕРНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ
Одномерная задача оптимизации в общем случае формулируется следующим образом: найти значение независимой переменной Х, заданной на интервале[a,b], при котором некоторая целевая функция f(X) принимает минимальное значение. Если ставится задача нахождения максимума, например, функции g(X), то преобразованием f(X) = - g(X) она приводится к отысканию минимума f(X). Целевая функция f(X) должна быть задана в виде формулы. Если существует производная f’(X), то задача сводится к решению уравнения f’(X) = 0, например, методами, описанными в разделе 2.
Численные методы оптимизации используются тогда, когда целевая функция недифференцируема и, в общем случае, может быть не гладкой и даже непрерывной, т.е. может иметь разрывы первого рода по Дирихле.
Единственное условие, предъявляемое к целевой функции - она должна быть унимодальной на интервале [a,b], т.е. иметь на этом интервале только один
75
минимум и не иметь ни максимумов, ни точек перегиба. Математически свойство унимодальности записывается так. Функция f(X) называется унимодальной на интервале [a,b], если на этом интервале существует такая точка Х*, что для значений Х
X1<X2<X*<X 3<X4
выполняется условие
f(X1)>f(X2)>f(X*)<f(X 3)<f(X4).
В этом определении очень важно, что все неравенства - строгие.
Процесс нахождения минимума унимодальной функции численными методами оптимизации, называемыми иногда методами поиска, состоит в последовательном сужении интервала [a,b] - начального интервала неопределенности - так, чтобы его длина достигала значения Е - заданной погрешности решения.
Алгоритм сужения интервала [a,b] называется стратегией поиска. Заметим, что если выбрать два любых значения Х1 и Х2 на интервале [a,b] и вычислить для них значения функции f(X1) и f(X2), то сравнивая эти значения по величине и используя свойство унимодальности, всегда можно сократить начальный интервал неопределенности, отбрасывая отрезок
[a,X1] или отрезок [X2,b]. Таким образом, стратегии поиска отличаются правилами выбора значений Х1 и Х2 на интервале [a,b]. Далее будут рассмотрены три метода одномерной оптимизации.
4.1. Метод дихотомии.
Для использования метода дихотомии должно быть дано:
а) формула целевой функции f(X),
б) численные значения а - левой границы и b - правой границы начального интервала неопределенности, на котором целевая функция унимодальна,
в) численное значение Е - точности нахождения значения Х, при котором f(X) принимает минимальное значение на [a,b].
Сущность метода состоит в том, что выбираются значения Х1 и Х2 так, чтобы они были как можно ближе к середине интервала неопределенности с=(a+b)/2. Обычно Х1 = с-r и Х2 = c+r, где r = E/3 или E/4 в зависимости от точности вычислений компьютера. Таким образом, на каждой итерации отбрасывается отрезок длиной (c-r), почти равной половине интервала неопределенности. Через К итераций начальный интервал неопределенности уменьшится до длины
76
d = (b-a)/2K + r(2K - 1)/2(K-1) .
Итерации прекращаются, если d <= E.
Итак, алгоритм метода дихотомии состоит в следующем.
1) для заданных значений a и b вычисляются с=(a+b)/2, X1 = c-E/3 и X2=c+E/3,
2) вычисляются значения f(X1) и f(X2) и сравниваются между собой,
3) если f(X1) > f(X2), то а= X1, иначе b= X2,
4) если длина нового интервала d=(b-a) <=E, то вычисления останавливаются и в качестве решения можно взять любое значение Х, лежащее внутри этого интервала; в противном случае выполняется новая итерация.
Пример 4.1.
Пусть надо найти минимум функции f(X) = 2X2 + e-X. По правилам EXCEL эта функция должна быть записана так =2*Х^2 + EXP(-X), где вместо Х нужно подставить тот или иной адрес ячейки. Зададим Е= 0,0001.
Первый этап решения задачи состоит в нахождении начального интервала неопределенности, на котором функция f(X) унимодальна. С помощью EXCEL это легко сделать, протабулировав функцию f(X) в некоторых пределах, например, от -1 до 1 с шагом 0,2.
Откроем новый рабочий лист EXCEL. Поместим числовой ряд Х в блок А5:А16, оставив ячейку А4 пустой. В ячейку В4 занесем формулу =2*А4^2+EXP(-А4). Далее можно воспользоваться подпрограммой ТАБЛИЦА, вызвав ее командой меню Данные- Таблица и действуя так, как описано в примере 2.1. Как видно из таблицы, интервал неопределенности можно выбрать между а=0 и b=1.
Запрограммируем решение нашей задачи методом дихотомии в блоке А24:G37, внеся
необходимые числовые значения и формулы. Для изменения значений a и b используем функцию ЕСЛИ Мастера Функций.Приведем таблицу формул в соответствующих ячейках для первых двух итераций в строках 24 и 25. Формулы для остальных строк блока копируются из 25 строки.
Адрес Формула A24 0 B24 1 C24 =(A24+B24)/2-0,0001/3 D24 =(A24+B24)/2+0,0001/3 E24 =2*C24^2+EXP(-C24)
77
F24 =2*D24^2+EXP(-D24) G24 =B24-A24 A25 =ЕСЛИ(E24>F24; C24; A24) B25 =ЕСЛИ(E24<F24; D24; B24) C25 =(A25+B25)/2-0,0001/3 D25 =(A25+B25)/2+0,0001/3 E25 =2*C25^2+EXP(-C25) F25 =2*D25^2+EXP(-D25) G25 =B25-A25
Из вычислений видно, что достаточно 12 итераций для получения решения с заданной точностью. Для построения диаграммы, иллюстрирующей изменения концов интервала неопределенности, следует выделить блок А23:В37 и воспользоваться Мастером Диаграмм, выбрав тип График и формат 1.
4.2. Метод золотого сечения.
Как известно, золотым сечением отрезка называют деление отрезка так, что отношение длины всего отрезка к длине большей части равно отношению длины большей части к меньшей части отрезка. Нетрудно проверить, что золотое сечение отрезка [a,b] производят две симметричные точки
Х1 = a + L(b-a) и X2 = b - L(b-a), где L = (3 - √(5))/2.
Заметим, что точка Х1 в свою очередь производит золотое сечение отрезка [a, X2], а точка X2 - золотое сечение отрезка [Х1,b].
Опишем алгоритм поиска. Начальный отрезок [a,b] делим точками Х1 и X2 по правилу золотого сечения. Вычисляем значения функций f(Х1) и f(X2). Сравнение этих значений позволяет отбросить либо интервал [a,Х1], либо интервал [X2,b]. На оставшемся интервале уже есть одна точка, производящая его золотое сечение. Поэтому следует вычислить значение второй такой точки. На этом заканчивается первая итерация. Таким образом на каждой итерации, начиная со второй, требуется лишь одно вычисление функции и при этом интервал неопределенности уменьшается на величину L ~ 0,382. Итерации продолжаются до тех пор, пока интервал неопределенности [a,b] не станет меньше заданной точности решения Е.
78
Пример 4.2.
Решим задачу примера 4.1 методом золотого сечения на том же рабочем листе, на котором приведено решение методом дихотомии. Величину L вычислим в ячейке Е39, а под решение отведем блок А41: G60. Приведем таблицу формул в соответствующих ячейках для первых двух итераций в строках 41 и 42. Формулы для остальных строк блока копируются из 42 строки. Для вычисления квадратного корня из 5 используется функция КОРЕНЬ Мастера Функций. В формулах строк 41 и 42 использован абсолютный адрес ячейки Е39, т.к. он не должен меняться при копировании.
Адрес Формула E39 (3-КОРЕНЬ(5))/2 A41 0 B41 1 C41 =A41+(B41-A41)*$E$39 D41 =B41-(B41-A41)*$E$39 E41 =2*C41^2+EXP(-C41) F41 =2*D41^2+EXP(-D41) G41 =B41-A41 A42 =ЕСЛИ(E41>F41; C41; A41) B42 =ЕСЛИ(E41<F41; D41; B41) C42 =ЕСЛИ(E41>F41; D41; A42+(B42-
A42)*$E$39 D42 =ЕСЛИ(E41<F41; C41; B42-(B42-
A42)*$E$39) E42 =2*C42^2+EXP(-C42) F42 =2*D42^2+EXP(-D42) G42 =B41-A41
Как видно из таблицы, и в этом случае широко используется функция ЕСЛИ Мастера функций. После того как блок будет заполнен формулами , EXCEL предоставит решение задачи. Данный метод сходится медленнее метода
79
дихотомии и количество итераций для получения решения с одинаковой точностью методом золотого сечения будет большей. Как и в предыдущем примере, можно построить диаграмму изменения концов интервала неопределенности.
4.3. Встроенная подпрограмма EXCEL “ Поиск решения”.
EXCEL имеет специальную подпрограмму, позволяющую решать многие оптимизационные задачи, в том числе и задачи одномерной оптимизации. Продемонстрируем применение этой подпрограммы для решения задачи из примера 4.1. Будем искать решение на том же рабочем листе. Выделим ячейку А63 для значений независимой переменной Х, а ячейку В63 - для значений целевой функции f(X). Занесем в ячейку В63 формулу =2*А63^2 + EXP(-A63).
Теперь можно запустить подпрограмму, дав команду меню Сервис- Поискрешения. Откроется диалог Поиск решения. В поле Установить целевуюячейку занесем адрес В63, с помощью переключателей в левой части диалога установим режим поиска минимального значения в этой ячейки. В поле Изменяя ячейки занесем адрес А63 и, наконец, в списке Ограничения укажем дополнительные условия нахождения минимума c помощью кнопки Добавить. Для нашей задачи таких условий два: А63≥0 и A63≤1. Они указывают начальный интервал
неопределенности, на котором целевая функция унимодальна.
Поиск решения начинается щелчком на кнопке Выполнить. Когда программа находит решение, открывается новый диалог Результаты поиска решений. Щелчком на кнопке ОК можно сохранить найденное решение.
80
Занятие №5
МНОГОМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ
В этом разделе будут рассмотрены методы, позволяющие находить минимум целевой функции многих переменных u = f(X1,X2, ... ,Xn). Из курса математического анализа известно, что значения независимых переменных, при которых целевая функция достигает минимума, можно найти, решая систему нелинейных уравнений
du/dX1= 0,
du/dX2 = 0,
....................
du/dXn = 0.
Рассмотренный прием можно использовать лишь для дифференцируемой целевой функции, но и в этом случае могут возникнуть серьезные вычислительные трудности (см. раздел 3).
Здесь мы рассмотрим численные методы оптимизации, основанные на идее целенаправленного поиска минимума. Эти методы различаются прежде всего по характеру изменения целевой функции: если нет никаких ограничений ни на изменение независимых переменных, ни на значения целевой функции, то это - методы безусловной оптимизации. При наличии каких-либо ограничений используются методы условной оптимизации.
Кроме того, методы многомерной оптимизации классифицируются по возможности использования частных производных от целевой функции: если производные не используются, то это - методы прямого поиска, в противном случае - градиентные методы.
5.1. Безусловная оптимизация: метод покоординатного спуска.
Это метод прямого поиска, в котором используются только значения целевой функции. Чтобы воспользоваться этим методом, необходимо иметь следующие исходные данные:
а) формулу целевой функции f(X1,X2, ... , Xn),
б) Е - точность нахождения значений независимых переменных, при которых функция достигает минимума,
в) начальные приближения X10,X20 ... , Xn0.
Зафиксируем все значения Х-ов в виде начальных приближений, кроме первого. Тогда f(X1, X20 ... , Xn0) - функция одной переменной X1. Решая задачу одномерной оптимизации, найдем минимум этой функции по координате X1
81
при фиксированных остальных координатах - X11. В этом состоит первый шаг процесса оптимизации, заключающийся в спуске по координате X1.
Зафиксируем теперь все координаты, кроме X2. Снова решая одномерную задачу оптимизации, находим минимум функции по координате X2. Далее процедура повторяется до Xn. На этом заканчивается первая итерация.
Таким образом, метод покоординатного спуска сводит многомерную задачу оптимизации к многократному решению одномерных задач по каждой независимой пременной.
После каждой итерации вычисляется
D = Х1i+1 - X1i + Х2i+1 - X2i+ .... +Хni+1 - Xni
и если D<=E , то вычисления прекращаются и последний набор Х-ов считается решением. В противном случае проводится следующая итерация.
Пример 5.1.
Число независимых переменных равняется двум. Ограничения отсутствуют. Требуется найти минимум функции
u = (X2-X12)2 + (1-X1)
2
из начальной точки ( 0,5;0,5) c точностью 0,0001. Проанализировав функцию, заметим, что она будет иметь минимум, равный нулю. Для чего и первое, и второе слагаемое тоже должны быть равны нулю. Откуда координаты точки минимума (1;1).
Решим эту задачу на EXCEL. Откроем новый рабочий лист. Выделим столбец А под значения X1, столбец В - под значения X2, в столбец С будем заносить значения целевой функции и, наконец, в столбец D - значения погрешности D.
Занесем в ячейки А3 и В3 значения начальных приближений, равных 0,5 и в ячейку С3 формулу =(В3-А3^2)^2+(1-A3)^2. Скопируем эту формулу в блок ячеек С4:С17. На этом заканчивается подготовительный этап.
1 итерация.
1 шаг. Скопируем содержимое ячейки В3 в ячейку В4. Сделаем текущей ячейку С4. Процесс одномерной оптимизации для нахождения X1 выполним с помощью подпрограммы EXCEL Поиск решения. Вызовем эту подпрограмму командой меню Сервис- Поиск решения. В открывшемся диалоге в поле Установить целевую ячейку занесем адрес С4, а в поле Изменяя ячейки - адрес А4. Щелкнем по кнопке Выполнить и, во вновь открывшемся диалоге Результаты поиска решения щелкнем по кнопке ОК. В результате в ячейке А4 получим числовое значение, при котором целевая функция достигает минимального значения в ячейке С4 по координате X1.
2 шаг. Скопируем содержимое ячейки А4 в ячейку А5. Сделаем текущей ячейку С5. Дадим команду меню Сервис- Поиск решения. В открывшемся диалоге в поле Установить целевую ячейку занесем адрес С5, а в поле Изменяя ячейки -
82
адрес В5. Щелкнем по кнопке Выполнить и, во вновь открывшемся диалоге Результаты поиска решения щелкнем по кнопке ОК. В результате в ячейке В5 получим числовое значение, при котором целевая функция достигает минимального значения в ячейке С5 по координате X2.
3 шаг. Занесем в ячейку D5 формулу =ABS(A3-A5)+ABS(B3-B5) для вычисления погрешности решения на первом шаге. На этом заканчивается первая итерация.
Вторая и все последующие итерации проводятся аналогично, но с учетом соответствующих адресов ячеек. Например, во второй итерации будут участвовать адреса ячеек в 6 и 7 строках. Результаты проведения первых семи итераций представлены в таблице. Как видно, значения целевой функции уменьшаются от шага к шагу, но метод сходится чрезвычайно медленно.
Можно построить диаграмму изменения на каждой итерации, выделив блок А2:В17 с помощью Мастера Диаграмм, выбрав тип диаграммы XY-точечная и формат 2. На диаграмме хорошо видны перпендикулярные ломаные линии движения от точки к точке параллельно одной из осей координат.
83
5.2. Безусловная оптимизация: метод наискорейшего спуска.
Это метод градиентного поиска, в котором используются как значения целевой функции, так и значения ее первых частных производных. Чтобы воспользоваться этим методом, необходимо иметь следующие исходные данные:
а) формулу целевой функции f(X1,X2, ... , Xn),
б) Е - точность нахождения значений независимых переменных, при которых функция достигает минимума,
в) начальные приближения X10,X20 ... , Xn0,
г) формулы первых частных производных целевой функции по каждой независимой переменной.
С помощью рассмотренного ранее метода покоординатного спуска осуществляется поиск в направлении, параллельном одной из осей координат, до точки минимума в этом направлении. Кажется разумным попытаться модифицировать этот метод таким образом, чтобы на каждом шаге поиск минимума производился вдоль “наилучшего” направления. Не ясно, какое направление является наилучшим, но известно, что направление градиента является направлением наискорейшего возрастания функции. Следовательно, противоположное направление - антиградиента - является направлением наискорейшего убывания функции.
Множество точек, для которых целевая функция имеет постоянное значение, называется линией уровня. Направление градиента перпендикулярно к любой точке линии уровня. Под градиентом понимается вектор-столбец из первых частных производных целевой функции, если она непрерывна и дифференцируема.
84
Идея метода наискорейшего спуска состоит в следующем. Выбираем начальную точку и вычисляем в ней градиент целевой функции. Определяем направление поиска, противоположное градиенту. Решая задачу одномерной оптимизации, ищем точку минимума целевой функции по этому направлению.
Например, для функции двух переменных формулы первой итерации будут иметь вид
u = f(X1нов,X2нов) ⇒ min,
где X1нов = X10- h(du/dX1)X10 и X2нов = X20 -h(du/dX2) X20, а h - длина отрезка от точки нулевого приближения до точки минимума по выбранному направлению. Эта длина определяется методом одномерной оптимизации. На этом кончается первая итерация.
В найденной точке (X1нов,X2нов) снова вычисляем градиент, снова определяем направление поиска, снова методом одномерной оптимизации ищем точку минимума. Эти итерации продолжаются до тех пор, пока не выполнится условие прекращения вычислений, а именно: квадратный корень из суммы квадратов частных производных целевой функции должен быть меньше заданной точности Е.
Пример 5.2.
Решим задачу примера 5.1 методом наискорейшего спуска. Для этого прежде всего найдем частные производные целевой функции
u = (X2-X12)2 + (1-X1)
2,
du/dX1 = - 4(X2-X12) X1-2(1-X1),
du/dX2= 2(X2-X12).
Составляющие антиградиента должны быть взяты с обратным знаком
antigrad u = {- du/dX1, -du/d X2 }.
Будем решать задачу на том же рабочем листе, где мы исследовали метод покоординатного спуска. Выделим столбец А под переменную h, столбцы В и С - под X1,X2, столбцы D и Е - под составляющие антиградиента, столбцы F и G - под X1нов,X2нов , столбец Н - под целевую функцию u, столбец I - под переменную D. Приведем таблицу формул в соответствующих ячейках для первых двух итераций в строках 21 и 22. Заметим, что числовые значения в столбце А появляются в результате выполнения подпрограммы EXCEL Поиск решения для решения задачи одномерной оптимизации. Формулы блока В23:I28 получаются путем копирования в них формул блока В22:I22.
85
После подготовки формул в блоке А21:I28, проведем первую итерацию. Для этого сделаем текущей ячейку Н21. Дадим команду меню Сервис- Поискрешения. В появившемся диалоге занесем в поле Установить целевую ячейку адрес Н21, а в поле Изменяя ячейки - адрес А21. Щелкнув по кнопке Выполнить, получим новый диалог, в котором щелкнем по кнопке ОК. В результате в ячейке А21 получим значение h, а ячейках F21 и В22 - новое значение Х1, в ячейках G21 и С22 - новое значение Х2.
Теперь можно приступить ко второй итерации, сделав текущей ячейку Н22. Снова используя подпрограмму Поиск решения так же, как и в первой итерации, получим очередные новые значения шага и независимых переменных. Продолжая итерации, как видно из таблицы, можно получить решение с заданной точностью за семь итераций. Точность решения контролируется по столбцу I.
ячейка формула B21 0,5 C21 0,5 D21 =4*(C21-B21^2)*B21+2*(1-
B21) E21 =-2*(C21-B21^2) F21 =B21+A21*D21 G21 =C21+A21*E21 H21 =(G21-F21^2)^2+(1-F21)^2 I21 =КОРЕНЬ(D21^2+E21^2) B22 =F21 C22 =G21 D22 =4*(C22-B22^2)*B22+2*(1-
B22) E22 =-2*(C22-B22^2) F22 =B22+A22*D22 G22 =C22+A22*E22 H22 =(G22-F22^2)^2+(1-F22)^2
86
Выделяя блок В20:С28, можно построить диаграмму, аналогично примеру 5.1. На ней изображены перпендикулярные ломаные линии, причем в отличие от примера 5.1 их направление не совпадает с направлениями координатных осей.
5.3. Безусловная оптимизация: подпрограмма EXCEL “ Поиск решения”.
Подпрограмма Поиск решения позволяет решать не только задачи одномерной, но и многомерной оптимизации. В ней можно воспользоваться двумя более мощными методами: методом сопряженных градиентов и методом Ньютона. Оба метода - градиентные. Отличие их от метода наискорейшего спуска заключается в том, что составляющие антиградиента в них - частные производные целевой функции- вычисляются не аналитически, а методами численного дифференцирования.
Продемонстрируем применение этой подпрограммы для решения задачи примера 5.1 на том же рабочем листе. Выделим ячейки А31 и В31 под независимые переменные Х1 и Х2, а ячейку С31 - под целевую функцию u.
Занесем в ячейку С31 формулу =(В31- A31^2)^2+(1-A31)^2. Cделав ячейку С31 текущей, вызовем подпрограмму командой меню Сервис- Поиск решения. В появившемся диалоге занесем в поле Установить целевую ячейку адрес С31, а в поле Изменяя ячейки - адреса A31:B31.
Теперь надо щелкнуть по кнопке Параметры. Откроется диалог Параметрыпоиска решения, в котором можно выбрать переключатели поля Оценка - квадратичная, поля Производные - прямые, поля Метод - сопряженных градиентов.
Щелкнув по кнопке Выполнить, получим новый диалог, в котором щелкнем по кнопке ОК. В результате в ячейке А31 получим минимальное значение Х1, а в ячейке В31 - минимальное значение Х2. Легко убедиться, что оба они очень близки к 1.
При желании можно повторить вычисления, выбрав другие значения переключателей и сравнив результаты вычислений.
5.4. Условная оптимизация: метод штрафных функций.
87
Чтобы воспользоваться этим методом, необходимо иметь следующие исходные данные:
а) формулу целевой функции f(X1,X2, ... , Xn),
б) Е - точность нахождения значений независимых переменных, при которых функция достигает минимума,
в) начальные приближения X10,X20 ... , Xn0,
г) формулы функций - ограничений в виде равенств g(X1,X2, ... , Xn)=0,
д) формулы функций - ограничений типа неравенств h(X1,X2, ... , Xn)>=0.
Здесь важно, что ограничения записаны в канонической форме, т.е. они или равны, или больше или равны нулю.
Сущность метода состоит в том, что задачу условной оптимизации при наличии ограничений мы заменяем на задачу безусловной оптимизации: поиска минимума некоторой другой - расширенной целевой функции без каких-либо ограничений
R(X1,X2, ... , Xn)= f (X1,X2, ... , Xn)+ Bs(X1,X2, ... , Xn),
где s - штрафная функция, В - коэффициент штрафа.
Штрафная функция должна учитывать заданные ограничения, а именно:
1) она должна равняться нулю для всех значений Х-ов, удовлетворяющих заданным ограничениям, т.е. когда все Х лежат в разрешенной области,
2) она должна быть очень большой, стремиться к бесконечности для тех точек, которые лежат в запрещенной области там, где ограничения не выполняются.
Таким образом, при выполнении ограничений в разрешенной области функции f (X1,X2, ... , Xn) и R(X1,X2, ... , Xn) имеют один и тот же минимум. Если хотя бы одно из ограничений нарушится, значение штрафной функции сильно возрастает и значение функции R(X1,X2, ... , Xn) значительно удаляется от минимума функции f(X1,X2, ... , Xn). Другими словами, при несоблюдении ограничений на целевую функцию налагается “штраф”.
Пусть есть только по одному ограничению типа равенства и неравенства. Тогда шрафную функцию можно записать в виде
s(X1,X2, ... , Xn)= g2(X1,X2, ... , Xn)+ h2(X1,X2, ... , Xn){1 - sign[h(X1,X2, ... , Xn)]},
где sign[Z] -знаковая функция, равная 1 при Z>0 и равная -1 при Z<0.
Если ограничение типа равенства выполняется, то g = 0, в противном случае первое слагаемое штрафной функции g2(X1,X2, ... , Xn) больше нуля и при умножении на коэффициент штрафа сильно увеличивает значение расширенной целевой функции.
Если ограничение типа неравенства выполняется, то h(X1,X2, ... , Xn) больше нуля, т.е. знаковая функция равна 1 и выражение в фигурных скобках равно
88
нулю. В противном случае это выражение равно2, а значит второе слагаемое штрафной функции больше нуля и при умножении на коэффициент штрафа сильно увеличивает значение расширенной целевой функции. Таким образом, эта формула обеспечивает выполнение условий, наложенных на штрафную функцию. Если ограничений любого вида несколько, то для каждого из низ записываются аналогичные формулы и все они суммируются.
Доказано, что если минимум f лежит внутри разрешенной области, то минимумы R и f совпадают. В противном случае минимум R лежит снаружи вблизи границ разрешенной области. Поэтому этот метод называют иногда методом внешних штрафных функций.
Наибольшую трудность при применении этого метода вызывает выбор значения коэффициента штрафа В, который, по существу, определяет “вес” штрафной функции по сравнению с исходной целевой функцией. Нельзя сразу задать величину В очень большой, например, В=1000000, т.к. в этом случае “вес” штрафной функции намного превышает “вес” целевой функции и компьютер найдет минимум не функции f, а функции s. Поэтому используется следующий итерационный алгоритм.
Положим В=1. Из точки начального приближения методом покоординатного спуска ( или любым другим прямым методом поиска, т.к. знаковая функция не дифференцируема) начнем искать минимум расширенной целевой функции. Когда на каком-либо шаге покоординатного спуска модуль штрафной функции уменьшится приблизительно на порядок, увеличим величину коэффициента штрафа В на два порядка и продолжим поиск минимума расширенной целевой функции. Этот прием следует использовать до тех пор, пока модуль штрафной функции не станет меньше заданной точности Е.
Формальной проверкой правильности решения может служить близость полученных значений Х-ов к границе допустимой области ограничений, причем с внешней стороны.
Пример 5.3.
Решим задачу примера 5.1 методом штрафных функций. Как известно, координаты точки минимума есть (1;1). Введем ограничение типа неравенства (Х1
2+Х22)<= 0,64. Это означает, что решение может находиться лишь внутри
окружности с центром в начале координат и радиусом, равным 0,8. Таким образом, настоящий минимум лежит в запрещенной области и решение должно быть близко к окружности, определяемой ограничением, причем с внешней стороны.
Прежде всего перепишем формулу неравенства в каноническом виде
0,64 -(Х12+Х2
2) >= 0 .
89
Вернемся к рабочему листу EXCEL, на котором проведено решение примера 5.1 методом покоординатного спуска. Там столбцы А и В отведены под независимые переменные, столбец С - под функцию f, столбец D - под значения погрешности D. Проведем подготовительный этап для метода штрафных функций. Для этого выделим блок А5:D17 и уничтожим его содержимое, нажав на клавиатуре клавишу “Delete”. В ячейку D3 занесем формулу = 0,64-(A3^2+B3^2), в ячейку Е3 - формулу =D3^2*(1- ЗНАК(D3)), где функция ЗНАК соответствует знаковой функции sign. Если теперь в ячейку F3 занести 1, то в ячейке G3 можно сформировать формулу расширенной целевой функции =C3+F3*G3. На этом подготовительный этап заканчивается.
1 итерация. Скопируем формулы блока С3:G3 в блок С4: G30. Следует заметить, что заранее неизвестно, сколько итераций потребуется для получения решения. Поэтому может случиться, что формулы из 3 строки придется скопировать и ниже 30 строки. Сделаем ячейку А4 пустой, а в ячейку В4 занесем 0,5. Теперь определим ячейку G4 текущей и проведем первый шаг метода покоординатного спуска так, как это описано в примере 6.1. Продолжим шаги метода покоординатного спуска до тех пор, пока модуль чисел в столбце Е не уменьшится на порядок по сравнению с числом в ячейке Е3.
2 итерация. Изменим значение величины коэффициента штрафа, занеся число 100 в соответствующую ячейку столбца F, и вновь продолжим покоординатный спуск до тех пор, пока модуль чисел в столбце Е снова не уменьшится еще на порядок.
После этого следует опять увеличить В на два порядка и так до тех пор, пока какое-нибудь число в строке Е не станет меньше по модулю заданного значения Е. Числа в соответствующей строке в столбцах А и В и есть координаты точки минимума.
5.5. Условная оптимизация: подпрограмма EXCEL “ Поиск решения”.
Подпрограмма Поиск решения имеет модификацию методов сопряженных градиентов и Ньютона для решения задач условной оптимизации. Следует отметить, что эта модификация работает успешно лишь для некоторых видов целевой функции - линейной и квадратичной и лишь для некоторых видов ограничений, например, типа шара, координатного параллелепипеда, гиперплоскости или полиэдра. После вызова подпрограммы командой меню Сервис- Поиск решения появляется диалог, в котором кроме уже знакомых Вам полей Установить целевую ячейку и Изменяя ячейки, следует обратить внимание на поле Ограничения и кнопки управления ограничениями Добавить, Изменить и Удалить. Например, чтобы задать новое ограничение следует щелкнуть по кнопке Добавить. В открывшемся новом диалоге Добавить ограничение нужно внести адрес одной или блока ячеек в поле Ссылка на ячейку, а затем указать тип ограничения и его условия. После этого нужно щелкнуть по кнопке ОК. Работа с другими кнопками управления не вызывает затруднений.
90
Выбор параметров подпрограммы вызывается щелчком по кнопке Параметры. Работа с открывшемся диалогом описана в п.5.3.
Продемонстрируем работу подпрограммы решением задачи примера 5.4.
Выделим ячейку А35 под переменную Х1, ячейку В35 - под Х2, в ячейку С35 запишем формулу целевой функции в обозначениях EXCEL
=(B35-A35^2)^2+(1- A35)^2, в ячейку D35 запишем формулу ограничений
=0,68 - (A35^2+B35^2). Сделаем ячейку С35 текущей и дадим команду меню Сервис- Поиск решения. В открывшемся диалоге в поле Установить целевуюячейку занесем адрес С35, в поле Изменяя ячейки - адрес блока А35:В35. Теперь щелкнем по кнопке Добавить и в открывшемся новом диалоге в поле Ссылкана ячейку занесем адрес D35, выберем вид ограничения >= и правую
часть ограничения - 0 (ноль). Щелкнув по кнопке ОК, вернемся к первоначальному диалогу.
Далее щелкнем по кнопке Параметры и выберем следующие переключатели: оценка - квадратичная, производные - прямые, метод - сопряженных градиентов. Щелкнув по кнопке Выполнить получим новый диалог
Результаты поиска решения, в котором щелкнем по кнопке ОК. Результаты расчетов представлены в таблице. Особый
интерес вызывает числовое значение в ячейке D35. Оно очень близко к нулю, но все же отрицательно, т.е. независимые переменные находятся в запрещенной области.
5.6. Условная оптимизация: линейное программирование. В общем случае задача линейного программирования формулируется следующим образом: найти величины X1, …, Xn, при которых достигается экстремум (максимум или минимум) линейной целевой функции
u = a1X1 + a2X2 + … + anXn и удовлетворяется система ограничений вида
ci1X1+ … + cin Xn<= bi, ck1X1+ … + ckn Xn = bk, cp1X1+ … + cpn Xn>= bp, гдеi # k # p.
На практике часто встречаются условия неотрицательности всех или части переменных
X j>= 0, j = 1,2,…, s,
91
которые выделяют в особую группу. Для решения задачи линейного программирования разработан специальный метод, названный симплекс – методом. Этот метод реализован в EXCELв подпрограмме Поиск решения. В случае правильного решения задачи EXCEL печатает сообщение “Решение найдено. Все ограничения и условия оптимальности выполнены” . Если коэффициенты системы ограничений таковы, что эта система несовместна, то появится сообщение “Поиск не может найти подходящего решения” . Если же система ограничений такова, что область допустимых решений не ограничена сверху при поиске максимума ( или снизу при поиске минимума), то будет напечатано “Значения целевой ячейки не сходятся” . Задача линейного программирования является достаточно распространенной задачей условной оптимизации, особенно в экономике. Решение этой задачи рассмотрим на примере задачи распределения ресурсов.
Пример 5.4. Пусть некоторое предприятие может изготавливать изделия 4 типов. Для изготовления изделий требуются ресурсы 3 видов: трудовые ресурсы, сырье и финансы. Количество ресурса каждого вида, необходимое для выпуска одной единицы изделия каждого типа, называется нормой расхода. Пусть все нормы расхода известны иприведены в таблице ресурсы изделие
1 изделие2
изделие3
изделие4
трудовые
1 1 1 1
сырье 6 6 4 3 финансы
4 5 10 13
Пусть известна также прибыль, получаемая от реализации каждого типа изделия изделие
1 изделие2
изделие3
изделие4
прибыль
60 70 120 130
и располагаемое количество ресурсов ресурсы наличие трудовые
16
сырье 110 финансы
100
Необходимо найти такие количества изделий каждого типа, чтобы прибыль предприятия была максимальной. Введем некоторые обозначения.
92
Пусть аj - прибыль, получаемая от реализации единицы изделия j-го типа, bi - располагаемое количество i-го ресурса, сij - норма расхода i-го ресурса для изготовления единицы j-го изделия, xj - неизвестное количество изделий j-го типа. Целевую функцию - суммарную величину прибыли предприятия - можно записать так
u = а1x1+а2x2+а3x3+а4x4⇒max. Зная нормы расхода и располагаемое количество каждого ресурса, можно составить систему ограничений:
c11x1+c12x2+c13x3+c14x4<= b1 c21x1+c22x2+c23x3+c24x4<= b2 c31x1+c32x2+c33x3+c34x4<= b3
Следует добавить также граничные условия из содержания задачи x1>=0, x2>=0, x3>=0, x4>=0.
Для нашего примера критерий оптимизации (целевая функция):
u = 60 x1+70 x2+120 x3+130 x4⇒max ограничения
x1+ x2+ x3+ x4<=16 6 x1+5 x2+4 x3+3 x4<=110
4 x1+6 x2+10 x3+13 x4<=100 граничные условия
x1>=0, x2>=0, x3>=0, x4>=0. Откроем новый рабочий лист и подготовим его к решению задачи. Внесем исходные данные так, как это показано на рисунке.
Теперь надо подготовить таблицы, связанные с решением задачи, ячейки для целевой функции и ограничений
93
Далее внесем необходимые формулы для расчета:
ячейка формула D19 =CУММПРОИЗВ(В18:Е18;В10:Е1
0) A22 =CУММПРОИЗВ(В18:Е18;В5:Е5) A23 =CУММПРОИЗВ(В18:Е18;В6:Е6) A24 =CУММПРОИЗВ(В18:Е18;В7:Е7) A25 =B18 A26 =C18 A27 =D18 A28 =E18
После этого вызовем подпрограмму Сервис - Поиск решения. В появившемся диалоге внесем в окно Установить целевую ячейку адрес D19, в окно Изменяя ячейки адреса блока В18:Е18. Если в окне Ограничения оставлены какие-либо формулы от решения предыдущей задачи, их следует удалить по одному, выделяя каждое мышью и нажимая мышью кнопку Удалить. Затем следует внести нужные нам ограничения по одному, нажимая мышью кнопку Добавить. Каждый раз будет появляться новое диалоговое окно. Для первого ограничения в окно Ссылка на ячейку следует внести адрес А22, знак ограничения выбрать мышью из ниспадающего списка, а в правое окно занести адрес С22. Затем щелкнуть по кнопке Добавить и продолжить внесение ограничений.. Закончив ввод ограничений, щелкнем по кнопке ОКи снова попадем в окно Поиск решения. Теперь щелкнем по кнопке Параметры. В открывшемся диалоге надо включить параметр Линейная модель. Щелкнув по кнопке ОК, возвратимся в окно Поиск решения. Проверим, что переключатель указывает на поиск максимального значения и щелкнем по кнопке Выполнить. Появится новое диалоговое окно Результаты поиска решения. Если все формулы и ограничения были внесены правильно, то в этом окне будет написано “Решение найдено, Все ограничения и условия оптимальности выполнены”. Щелкнем по кнопке ОК и перейдем к анализу решения. Если же появится надпись “Поиск не может найти подходящего
94
решения”, то щелкнем по кнопке Отмена и проверим правильность внесения исходных данных. Результаты решения задачи нашего примера приведены в таблице изделие1 изделие2 изделие3 изделие4 кол-во 10 0 6 0 Значение целевой функции = 1320. Анализ задачи линейного программирования на устойчивость и по пределам, который обычно проводят после получения решения, выходит за рамки данного пособия.
Занятие №6
МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
Пусть требуется исследовать зависимость Y=f(X), причем величины X и Y получены экспериментально, в одних и тех же экспериментах. Обычно считают, что величины Х измеряются точно, в то время как измерение величин Y содержит случайные ошибки. Это означает, что погрешность измерения Х пренебрежимо мала по сравнению с погрешностью измерения Y. Задача состоит в установлении функциональной зависимости Y = f(X) по результатам измерений (Xi,Yi), где i = 1,2,...,n.
Пусть функция f(X) может быть представлена в виде f(X,a1,a2,...,ak), где a1,a2,...,ak - неизвестные параметры. Тогда результаты измерений можно представить как
Y i = f(Xi,a1,a2,...,ak)+χi,
где χi - случайные величины, характеризующие погрешности эксперимента. Обычно предполагают, что они - независимые нормально распределенные с нулевым математическим ожиданием и одинаковыми дисперсиями.
Задача состоит в том, чтобы по опытным данным наилучшим образом определить значения параметров ak. При этом в методе наименьших квадратов считается, что наилучшими будут те значения параметров ak, при которых сумма квадратов отклонений расчетных величин Y от экспериментальных окажется наименьшей, т.е.
S = Σi (f(X i,a1,a2,...,ak)- Yi)2⇒ min.
На практике метод наименьших квадратов состоит из трех этапов.
1 этап. Выдвигают гипотезу о виде функции f(X i,a1,a2,...,ak). Она должна быть линейна относительно параметров. Например, функция
a0+a1X i+a2 X i2+ ....+ ak Xi
k
линейна по параметрам ak, т.к. любая функция, на которую умножается любой параметр , полностью вычисляется по экспериментальным данным и не зависит от параметров.
95
2 этап. По имеющимся экспериментальным данным определяют численные оценки параметров. Для отыскания минимума функции S нужно приравнять нулю ее частные производные по параметрам
dS/da0= 0
dS/da1= 0
..............
dS/dak = 0
Если f(X i,a1,a2,...,ak) линейна по параметрам, то полученная в результате дифференцирования система уравнений является системой линейных алгебраических уравнений. Решая ее методами, описанными , например, в разделе 3, можно получить значения параметров .
3 этап. Проверяют выдвинутую на первом этапе гипотезу о виде функции f, т.е. насколько эта функция адекватно описывает связь экспериментальных данных (Xi,Yi). Для этого вычисляют величину
F = ss/ssresid,
где ss - общая сумма квадратов, равная сумме квадратов разностей между экспериментальными значениями Yi и средним значением Y, посчитанным по всем экспериментам, ssresid - остаточная сумма квадратов, равная Σi(f(X i,a1,a2,...,ak)- Yi)
2 . Вычисленное значение F сравнивают с Fтабл, полученным по статистическим таблицам для критерия Фишера. Если F>Fтабл, то считается что вид функции был выбран правильно, т.е. математическая модель описания эксперимента адекватна.
Иногда для проверки адекватности модели используют коэффициент детерминированности r2, который изменяется в пределах от 0 до1. Если он равен 1, то выбранная модель абсолютно адекватна экспериментальным данным; если он равен 0, то никакой связи между экспериментом и выбранной моделью нет. Обычно по степени близости r2 к 1 судят о мере адекватности математической модели.
Пример 6.1.
Аппроксимировать полиномами первой и второй степени по методу наименьших квадратов экспериментальные данные, заданные таблицей:
EXCEL позволяет решить эту задачу несколькими способами. Рассмотрим вначале самый простой. Откроем новый рабочий лист и поместим заданные числовые данные в блок А3:В17, отведя столбец А под значения Х, а столбец В - под значения Y. Выделим блок А2:В17 и с помощью Мастера Диаграмм постоим график зависимости Y от Х, выбрав тип диаграммы - XY-точечная, формат 1. Щелкнув по кнопке Закончить на шаге 5 из 5, получим на рабочем
96
листе диаграмму в виде 16 точек на плоскости X-Y. Поле диаграммы будет обведено черной рамкой. Поместим курсор мыши в виде стрелки внутрь поля диаграммы и дважды быстро щелкнем. Поле диаграммы станет активным, что подтверждается изменением рамки диаграммы - она будет заштрихована синей линией. Теперь надо расположить острие стрелки курсора на любую из 16 точек диаграммы и щелкнуть. Изменится цвет всех 16 точек. Дадим команду меню Вставка- Линия тренда. Откроется диалог Линия тренда. Выберем тип тренда - линейный, щелкнув на соответствующем квадратике. В этом же диалоге выберем вкладку Параметры. Сделаем активными два указателя - Показывать уравнение на диаграмме и Показывать значение R-квадрат на диаграмме. И, наконец, щелкнув по кнопке ОК, получим решение на диаграмме. Как видно, на ней не только появляется непрерывная прямая, соответствующая линейной функциональной зависимости, но и формула
зависимости Y(X) с числовыми коэффициентами и значение коэффициента детерминированности.
Для аппроксимации исходных данных полиномом второго порядка нужно вновь дать команду меню Вставка-Линия тренда. В открывшемся диалоге выберем тип тренда - полиномиальный, в поле Степень - занесем число 2. Щелкнув по кнопке ОК, получим новую диаграмму с новыми формулами.
97
К сожалению, этот способ решения задачи дает слишком мало статистической информации и не позволяет статистически оценить адекватность модели.
Пример 6.2.
Решим задачу примера 6.1 с помощью встроенной в EXCEL функции ЛИНЕЙН. Для решения задачи нам понадобится столбец с числовыми значениями Х2. Поэтому скопируем значения блока А2:А17 в блок А20:А35. В ячейку В20 занесем текст Х*Х, в ячейку В21 формулу = А21*А21 и скопируем ее в блок В22:В35. Наконец, в блок С20:С35 скопируем содержимое блока В2:В17. Таким образом, мы подготовили таблицу из 3 столбцов, в первом из которых содержатся числовые значения Х, во втором - Х2, в третьем - Y.
Функция ЛИНЕЙН имеет 4 параметра, записываемых в скобках и разделяемых точкой с запятой
=ЛИНЕЙН( Р1;Р2;Р3;Р4),
где Р1 - адреса блока Y ( заметьте, пожалуйста, Y , а не Х !),
Р2 - адреса блока Х,
Р3 - если вместо Р3 записано ИСТИНА, то а0 вычисляется; если записано ЛОЖЬ - то а0 = 0;
Р4 - если вместо Р4 записано ИСТИНА, то вычисляются всевозможные статистические параметры, если записано ЛОЖЬ - то вычисляются только коэффициенты ак,...,а0. Статистические параметры помещаются в таблицу вида
В этой таблице ак,...,а0 - коэффициенты математической модели,
SEk, ...,SE0 - значения стандартных ошибок коэффициентов математической модели,
r2 - значение коэффициента детерминированности 0 < r2< 1,
SEy - значение стандартной ошибки Y,
F - расчетное значение F-критерия.
df - cтепени свободы,
SSreg - регрессионная сумма квадратов, равная разности между общей суммой квадратов и остаточной суммой квадратов,
SSresid- остаточная сумма квадратов.
Проведем сначала расчет линейной модели. Занесем ячейку F20 текст: а1, а в ячейку G20 - текст: а0.
98
В ячейку F21 введем формулу
= ЛИНЕЙН(C21:C35;A21:A35;ИСТИНА;ИСТИНА)
и выделим блок F21:G25 под итоговую статистическую таблицу. Этот блок при выделении будет покрашен в черный цвет, за исключением ячейки F21. Cделаем строку формул этой ячейки активной, при этом рядом со строкой формул появится зеленая галочка. Теперь последовательно будем нажимать клавиши клавиатуры: “Ctrl”, затем, не отпуская ее, клавишу “Shift”, затем, не отпуская уже обе, клавишу “Enter”. В результате получим заполненную таблицу статистических коэффициентов в блоке F21:G25. Обратим внимание на содержимое ячеек F23 - там хранится коэффициент детерминированности и F24 - она содержит расчетное значение F-критерия.
Проверим адекватность рассчитанной модели. Для этого надо получить табличное значение F- критерия. Воспользуемся для этого статистической функцией EXCEL, которая называется FРАСПОБР. Сделаем текущей ячейку Н24. Вызовем Мастер функций и из группы Статистические выберем FРАСПОБР. Щелкнув по кнопке Шаг> , обратимся к диалогу, в котором в поле Вероятность занесем 0,01, в поле Степени свободы 1 - занесем число 15 ( общее число заданных экспериментов), в поле Степени свободы 2 - число 13 ( это-df из статистической таблицы результатов, полученных для нашей модели). Если теперь щелкнуть по кнопке Закончить, то в ячейке Н24 получим F табл. Поскольку оно много меньше числа в ячейке F24, то модель следует считать адекватной.
Перейдем к расчету квадратичной модели. Занесем в ячейки E27,F27,G27 тексты соответственно: а2, а1, а0.
В ячейку Е28 введем формулу
= ЛИНЕЙН(C21:C35;A21:В35;ИСТИНА;ИСТИНА)
99
и выделим блок Е28:G32 под итоговую статистическую таблицу. Этот блок при выделении будет покрашен в черный цвет, за исключением ячейки Е28. Далее проделаем те же манипуляции, что и при расчете линейной модели. В результате получим статистическую таблицу.
Может вызвать недоумение содержание ячеек G30:G32. В них записано #Н/Д. Тем не менее, так и предусмотрено в EXCEL при правильной работе функции ЛИНЕЙН.
Выделим ячейку Н31 для расчета F табл. При вызове функции FРАСПОБР изменится только число Степенейсвободы 2. Оно в соответствии с полученной статистической таблицей равняется 12. Сравнив F c F табл, увидим, что и оно гораздо больше F табл. Поэтому и квадратичная модель статистически адекватна.
Занятие №7 ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Формулы для приближенного вычисления определенных интегралов, называемые также квадратурными формулами, применяются очень часто. Дело в том, что для большого числа элементарных функций первообразные уже не выражаются через элементарные функции, в результате чего нельзя вычислить определенный интеграл по формуле Ньютона - Лейбница.
Для численного вычисления определенного интеграла должно быть задано:
1) формула f(X) -подынтегральной функции,
2) численные значения а- нижнего и b- верхнего пределов интегрирования,
3) численное значение Е - точности вычисления интеграла.
Общий подход к решению задачи будет следующим. Определенный интеграл I представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой f(X), осью Х и прямыми х=а и х=b. Мы будем вычислять I, разбивая интервал от а до b на множество меньших интервалов, находя приблизительно площадь каждой малой полоски и суммируя площади этих полосок.
Разобьем интервал интегрирования на n равных частей, каждая длиной h=(b-a)/n. При этом интервал от а до b будет содержать (n+1) узлов х0,x1, ..., xn. Аппроксимируя f(X) на каждом малом интервале простейшими полиномами малого порядка, можно получить различные формулы вычисления интеграла I.
Заменяя f(X) прямыми, параллельными оси Х, получим различные формулы прямоугольников. Вычисляя Yi =f(X i) во всех узлах и учитывая, что площадь прямоугольника равна произведению основания, которое у всех элементарных интервалов одинаковое и равно h, на высоту, которое есть Yi , получаем
для метода прямоугольников с узлом слева
Iслева ~ h*(Y0+Y1+Y2+...+Yn-1),
100
для метода прямоугольников с узлом справа
Iсправа ~ h*( Y1+Y2+...+Yn-1+Yn),
для метода прямоугольников с узлом в центре
Iцентр ~ h*[f(X 0+h/2),f(X1+h/2), ..... , f(Xn-1+h/2)].
Если на каждом элементарном интервале заменить f(X) на трапецию, то
для метода трапеций
Iтрапеций ~ h*( Y0/2+Y1+Y2+...+Yn-1+Yn/2).
Наконец, заменяя трапецию на параболу, получим формулу Симпсона
для метода парабол
Iпарабол ~ (h/3)*( Y0+4Y1+2Y2+4Y3+2 Y4...+4Yn-1+Yn),
причем n должно быть обязательно четным.
Все эти формулы вычисляют интеграл приближенно. Для оценки погрешности, возникающей при этих расчетах, используется правило двойного пересчета: вычисляют интеграл по выбранной квадратурной формуле дважды - сначала с некоторым шагом h, затем с шагом h/2, т.е. удваивают число n. Обозначив результаты вычислений через In и I2n, сравнивают их по модулю. Если In - I2n< E, то полагают I ~I2n. В противном случае расчет повторяют с шагом h/4. В качестве начальной величины шага можно рекомендовать число, близкое к Е(1/4), учитывая что Е всегда меньше 1.
Пример 7.1.
Пусть f(X) = 1/(1+X), a=0, b = 0,8 и E = 0,0001. Вычислим с помощью EXCEL определенный интеграл всеми приведенными выше методами. Как видно из формул, все они предусматривают вычисление тех или иных сумм значений f(X) с последующим умножением на коэффициенты, пропорциональные h.
Откроем новый рабочий лист. Отведем столбец А под значения Х. Исходя из численного значения Е, выберем начальное значение hнач = 0,1. Учитывая правило двойного пересчета, положим h = 0,05 и внесем числовой ряд по Х от 0 до 0,8 с шагом 0,05 в блок А3:А18, т.к. Х=0,8 в формуле не участвует. Отведем столбцы В и С для решения по формуле прямоугольников с узлом слева. Это значит, что в ячейки В3 и С3 надо внести одну и ту же формулу =1/(1+A3). Далее формулу В ячейке В3 надо скопировать в блок В4:В18, т.е. в этом столбце вычисляются значения f(X) с шагом 0,05. В столбце С значения f(X) надо вычислять с шагом 0,1, т.е. формулу из ячейки С3 надо копировать в ячейки С5,С7,С9 и т.д. Проще всего это сделать так. Оставить ячейку С4 пустой и выделить блок С3:С4. Далее этот блок из двух ячеек скопировать в блок С5:С17.
Отведем строку 20 для вычисления интегралов. Занесем в ячейку В20 формулу =СУММ(В3:В18)*0,05, где СУММ - встроенная функция EXCEL, вызываемая
101
Мастером Функций. В ячейку С20 введем формулу =СУММ(С3:С17)*0,1. Числа, появившиеся в этих ячейках, достаточно сильно различаются между собой.
Проведем аналогичные операции в столбцах D и Е для вычисления интеграла методом прямоугольников с узлом справа. Следует обратить внимание на то, что на этот раз в формулах отсутствуют значения, равные Х0.
В столбцах F и G проведем вычисления интеграла методом трапеций. Здесь следует обратить внимание на формулы в строках 3 и 19. В них подынтегральная функция должна быть поделена на 2 согласно формуле трапеций.
Для метода прямоугольников с узлом в центре выделим столбцы Н и I. В ячейку Н3 должна быть введена формула =1/(1+A3+0,025), а в ячейку I3 - формула =1/(1+A3+0,5). Далее эти формулы должны быть скопированы до строки 18.
И, наконец, для метода парабол возьмем столбцы J и K. В столбце J вычислим интеграл с шагом 0,05. Введем в ячейку J3 формулу =1/(1+A3), в ячейку J4 - формулу =4/(1+A4), в ячейку J5 - формулу =2/(1+A5). Далее выделим блок J4:J5 и скопируем его в блок J6:J18. Затем в ячейку J19 запишем формулу =1/(1+A19). При вычислении суммы в ячейке J20 надо не забыть, что в формуле участвует выражение h/3, а не просто h.
Что касается столбца К, то формула в ячейке К3 совпадает с ячейкой J3, в ячейке К5 подынтегральная функция должна быть умножена на 4, а в ячейке К7 - умножена на 2 и т.д., кроме ячейки К19.
Как видно из таблицы, метод парабол обладает наибольшей точностью из всех рассмотренных методов.
102
Занятие №8
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
Как известно, лишь небольшое число типов уравнений первого порядка допускает интегрирование в квадратурах. Еще реже удается получить решение в элементарных функциях. Тем большее значение имеют численные методы, позволяющие получить приближенное решение одного обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка.
Пусть требуется найти приближенное решение уравнения
dY/dX = Y’ = f(X,Y),
удовлетворяющее начальному условию Y(X0) = Y0. Численное решение задачи состоит в вычислении таблицы приближенных значений Y1,Y2, ... , Yn решения уравнения Y(X) в точках Х1,Х2, .... ,Хn. Обычно, Xi = X0+ih, где i=1,2, ... ,n. Точки Хi называются узлами сетки, а величина h - шагом, причем 0<h<1.
8.1. Метод Эйлера.
Этот метод относится к группе одношаговых методов, в которых для расчета точки Yi+1 = Y(Xi+1) требуется информация только о последней вычисленной точке Yi. Формула Эйлера вычисления любого Y такова
Y i+1 = Yi +hf(Xi,Yi), где i=0,1,2,...,n-1.
Для оценки погрешности применяется правило двойного пересчета: расчет повторяют с шагом h/2 и погрешность более точного значения Yi* при шаге h/2 оценивают так
max Y i * - Y i <Ε для i=1,2,...,n .
Метод Эйлера называют методом первого порядка, поскольку его погрешность пропорциональна h и для вычисления новой точки решения функция f вычисляется лишь один раз.
Метод Эйлера можно усовершенствовать множеством различных способов. Из этих способов наиболее распространены два. Это так называемые исправленный и модифицированный методы Эйлера.
Обозначим К1 = f(Xi,Yi). Тогда оба метода описываются формулой
Y i+1 = Yi +hФ(X i,Yi), где
Ф(X i,Yi) = a1K1 + a2f(X i+b1h, Yi+b2hK1).
Для исправленного метода a1= a2=0,5 и b1= b2=1.
Для модифицированного метода a1=0, a2=1 и b1= b2=0,5.
Это методы второго порядка, погрешность решения пропорциональна h2.
103
Пример 8.1.
Найти решение уравнения
Y’ = 0,25Y2 + X2
c начальным условием Y(0) = -1 на отрезке [0;0,5] с шагом 0,1. Точность решения принять Е=0,0001.
Откроем новый рабочий лист EXCEL. Отведем столбец А под значения Х. Учитывая правило двойного пересчета занесем в блок А3:А13 значения Х от 0 до 0,5 с шагом 0,05. Значения Y по методу Эйлера с шагом 0,05 и 0,1 будем вычислять в столбцах B и C, для оценки погрешности отведем столбец D. Проведем для сравнения здесь же решение этой задачи исправленным методом Эйлера. Столбцы E и F отведем под значения Yисп с шагом h и h/2, столбцы G и H- под значения коэффициента K1, столбцы I и J- под значения функции Фисп, столбец К - для оценки погрешности.В ячейки В3,С3,E3 и F3 внесем начальные значения Y=-1. Основные формулы в строках 3, 4 и 5 приведены в таблице ячейка формула
Строка 3 B3 -1 C3 -1 D3 =ABS(C3-B3) E3 -1 F3 -1 G3 =0,25*E3^2+A3^2 H3 =0,25*F3^2+A3^2 I3 =0,5*G3+0,5*(0,25*(E3+0,05*G3)^2+(A3+0,05)^2) J3 =0,5*H3+0,5*(0,25*(F3+0,1*H3)^2+(A3+0,1)^2) K3 =ABS(F3-E3) Строка 4 B4 =B3+0,05*(0,25*B3^2+A3^2) E4 =E3+0,05*I3 Строка 5 C5 =C3+0,1*(0,25*C3^2+A3^2) F5 =F3+0,1*J3
Формулы в остальных строках получаются копированием содержимого строк, указанных в таблице. Результаты вычислений EXCEL приведены ниже. Как видно из таблицы, расчеты методом Эйлера на порядок хуже, чем расчеты исправленным методом.
104
8.2. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка.
По этому одношаговому методу вычисления проводятся по формуле
Y i+1 = Yi +hФ(X i,Yi), где
Ф(X i,Yi) = (K1+2K2+2K3+K4)/6
и К1 = f(Xi,Yi),
K2=f(X i+h/2,Yi+hК1/2),
K3=f(X i+h/2,Yi+hК2/2),
K4=f(X i+h,Yi+hК3).
Метод Рунге-Кутта имеет порядок точности h4 на всем отрезке интегрирования. Оценка погрешности метода очень затруднительна. Для оценки погрешности применяется правило двойного пересчета: расчет повторяют с шагом h/2 и погрешность более точного значения Yi* при шаге h/2 оценивают так
max {Y i * - Y i /15}<Ε для i=1,2,...,n .
Пример 8.2.
Решим задачу примера 8.1 методом Рунге-Кутта на том же рабочем листе. Отведем блок ячеек А17:А22 под значения Х с шагом 0,1. Соответственно, в столбце В будем вычислять Y , в столбцах С,D,E,F - значения коэффициентов К1, K2, K3 и K4. Столбец G отведем под Ф(X i,Yi). Основные формулы в строках 17 и 18 приведены в таблице.
ячейка формула С17 =0,25*B17^2+A17^2 D17 =0,25*(B17+0,05*C17)^2+(A17+0,05)^2 E17 =0,25*(B17+0,05*D17)^2+(A17+0,05)^2 F17 =0,25*(B17+0,1*E17)^2+(A17+0,1)^2 G17 =C17+2*D17+2*E17+F17 B18 =B17+0,1*G17/6
105
Содержимое остальных ячеек в строках с 18 по 22 получается копированием из строк 17 и 18.Результаты решения приведены ниже. Для оценки погрешности следует провести те же вычисления с шагом, равным 0,05.
8.3. Метод прогноза и коррекции: метод Адамса.
В методах прогноза и коррекции каждое новое значение Yi определяют в два этапа. На первом определяют приближенное значение, которое называют прогнозом. Затем на втором этапе его уточняют с помощью итерационного процесса коррекции. Этот итерационный процесс продолжают до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность решения. Таким образом, одно из достоинств метода прогноза и коррекции состоит в том, что одновременно с решением контролируется оценка погрешности.
С другой стороны, этот метод не является одношаговым, т.е. для вычисления прогноза необходимо иметь уже несколько вычисленных точек решения.
Пусть для уравнения
dY/dX = Y’ = f(X,Y),
с начальным условием Y(X0) = Y0 найдены каким-либо способом (методом Эйлера, Рунге-Кутта и т.п.) три последовательных значения искомой функции, так называемый начальный отрезок: Y1,Y2 и Y3 для точек Х1,Х2 и Х3, вычисленных с шагом h. Имея эти значения можно вычислить значения функции f1=f(Х1,Y1),f2=f(Х2,Y2), f3=f(Х3,Y3) и f0 =f(X0,Y0).
Метод Адамса состоит в вычислении Y4 сначала по формуле прогноза
Y4pred = Y3+hФpred/24 = Y3+h(55f3-59f2+37f1-9f0)/24
а затем уточнения этого значения, вычислив f4pred=f(Х4,Y4pred) и применив формулу коррекции
Y4kor= Y3+hФkor/24 =Y3+h(9f4pred+19f3-5f2+ f1)/24.
Эти формулы имеют достаточно большую точность и дают погрешность порядка h4. Обычно вычисляют D=Y4kor - Y4pred и если D<E, то переходят к вычислению следующей точки по тем же самым формулам, вводя переобозначения. Если же D>E, то проводят одну или несколько итераций по формуле коррекции, вычисляя f4pred=f(Х4,Y4pred) и подставляя в эту формулу Y4kor вместо Y4pred. Как правило, для достижения заданной точности хватает одной или двух итераций.
Пример 8.3.
Решим методом Адамса задачу примера 8.1. Из примера 8.2 возьмем вычисленные значенияY1,Y2 и Y3. Продолжим вычисления по формулам Адамса для Х4 и Х5 на том же рабочем листе. Отведем блок А26:А31 под значения Х с шагом 0,1. В блок В26:В29 занесем значения Y из примера 9.2. В столбце С будем вычислять значения функции f на каждом шаге. В остальных
106
столбцах будем последовательно располагать значения Фpred, Y4pred, f4pred, Фkor, Y4kor, D. Необходимые для вычислений формулы приведены в таблице
ячейка формула C26 =0,25*B26^2+A26^2 D29 =55*C29-59*C28+37*C27-9*C26 E29 =B29+0,1/24*D29 F29 =0,25*E29^2+A30^2 G29 =9*F29+19*C29-5*C28+C27 H29 =B29+0,1/24*G29 I29 =ABS(E29-H29) B30 =H29
Формулы в остальных ячейках, участвующих в вычислениях, получаются копированием. Результаты вычислений приведены в таблице
Видно, что погрешность удовлетворяет заданному значению для последних двух точек и итераций не требуется. В противном случае следовало бы воспользоваться встроенной подпрограммой EXCEL Поиск решения так, как это описано в разделе
Занятие № 9
РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Рассмотренные в предыдущем разделе одношаговые методы могут быть использованы для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений или для нахождения решения одного дифференциального уравнения высокого порядка. В последнем случае введением новых переменных оно сводится к решению системы дифференциальных уравнений первого порядка. Рассмотрим последовательно решение задачи Коши и краевой задачи применительно к системам таких уравнений.
9.1. Задача Коши.
Для получения однозначного решения системы дифференциальных уравнений должны быть заданы дополнительные условия. Их должно быть задано столько, каков порядок решаемой системы. Если все эти условия задаются в одной точке, т.е. при одном значении Х=Х0, то такая задача называется задачей Коши.
107
Эти дополнительные условия называются начальными условиями, а Х0 - называется начальной точкой.
Покажем применение метода Рунге-Кутта четвертого порядка для решения задачи Коши системы двух уравнений вида
dY/dX = f1(X,Y,Z)
dZ/dX = f2(X,Y,Z).
Начальные условия зададим в виде Y(Х0)=Y0 и Z(Х0)=Z0.
По аналогии с разделом 8.2 запишем формулы Рунге-Кутта для приближенного решения этой системы
Y i+1=Yi+hФ1= (K1+2K2+2K3+K4)/6,
Zi+1 = Zi+hФ2=(L1+2L2+2L3+L4)/6,
где
K1= f1(X i,Yi,Zi) и L1= f2(X i,Yi,Zi),
K2= f1(X i +h/2, Yi+hK1/2, Zi+hL1/2) и L2= f2(X i +h/2, Yi+hK1/2, Zi+hL1/2),
K3= f1(X i +h/2, Yi+hK2/2, Zi+hL2/2) и L3= f2(X i +h/2, Yi+hK2/2, Zi+hL2/2),
K4= f1(X i +h,Yi+hK3, Zi+hL3) и L4= f2(X i +h,Yi+hK3, Zi+hL3).
В этих формулах i = 0,1,2,...,n-1. Для оценки погрешности используется правило двойного пересчета точно так же, как и при решении одного уравнения.
К решению подобной системы уравнений можно свести решение задачи Коши для уравнения второго порядка
d2Y/dX2 = f(X,Y,dY/dX)
с начальными условиями Y(Х0)=Y0 и Y’(Х0)=Z0 .
Введем новую переменную Z(X) = dY/dX. Тогда исследуемое уравнение заменяется следующей системой из двух уравнений
dZ/dX= f(X,Y,Z)
dY/dX=Z,
с начальными условиями Y(Х0)=Y0 и Z(Х0)=Z0.
Пример 9.1.
Применяя метод Рунге-Кутта, вычислить на отрезке [1;1,5] таблицу значений решения уравнения
Y” +Y’/X+Y=0
108
с начальными условиями Y(1)=0,77 и Y’(1)=-0,5, выбрав шаг 0,1 с погрешностью 0,0001.
С помощью подстановки новой переменной Z, перейдем к решению системы уравнений
Y’=Z
Z’=-Z/X-Y,
с начальными условиями Y(1)=0,77 и Z(1)=-0,5.
Откроем новый рабочий лист EXCEL и выделим в нем столбцы А, В и С под переменные X, Y и Z. В последующие столбцы будем вычислять последовательно, как и в примере 8.2, значения коэффициентов Ki, Ф1, Li, Ф2. Пусть значения Х помещаются в блок А3:А8. Тогда в ячейки В3 и С3 занесем начальные значения Y(1) и Z(1). Формулы в остальных ячейках строки 3 и 4 приведены в таблице
Формулы в остальных строках решения получаются путем копирования.
Результаты решения задачи с шагом 0,1 приведены в таблице. Для оценки погрешности полученного решения следует провести решение вновь с шагом, равным половине начального, т.е. 0,05.
109
9.2. Краевая задача: метод стрельбы.
Если при решении дифференциального уравнения высокого порядка дополнительные условия, определяющие однозначное решение, заданы при разных значениях независимой переменной, обычно в двух точках, являющихся границами области решения уравнения, то такая задача называется краевой. При этом сами дополнительные условия называются граничными или краевыми.
Рассмотрим решение краевой задачи для уравнения второго порядка
d2Y/dX2 = f(X,Y,dY/dX)
с граничными условиями Y(Х0)=Y0 и Y(Хn)=Yn.
Сущность метода стрельбы заключается в сведении краевой задачи к многократному решению задачи Коши для того же уравнения с подбором недостающего начального условия Y’(Х0)=Z0 так, чтобы решение задачи Коши в точке Хn совпадало бы с заданным граничным условием Yn с заданной точностью Е.
Алгоритм метода стрельбы таков.
1) выбирается любое значение Z0,
2) исходное уравнение второго порядка приводится к системе из двух уравнений первого порядка введением дополнительных переменных,
3) полученная система решается численным методом, например, методом Рунге-Кутта при некотором начальном значении шага h и запоминается полученное решение в точке Хn,
4) шаг h уменьшается в два раза и вновь находится решение в точке Хn,
5) если новое решение отличается от старого меньше, чем на заданную точность Е, то переходят к следующему этапу; иначе - возвращаются к предыдущему этапу и снова уменьшают шаг h в два раза и т.д. до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность,
6) при выбранном значении шага, обеспечивающего необходимую точность решения, многократно решают задачу Коши, подбирая начальное условие Y’(Х0)=Z0 так, чтобы получаемое в точке Y(Хn) решение отличалось от заданного краевого условия Yn меньше, чем на заданную величину Е.
Пример 9.2.
Решим задачу примера 10.1 с граничными условиями Y(1)=0,77 и Y(1,5)=0,49281, выбрав шаг 0,1 с погрешностью 0,001.
Для этого можно использовать таблицу примера 10.1, где был запрограммирован метод Рунге-Кутта. Изменяя значение в ячейке С3, нужно добиться получения в ячейке В8 заданного граничного значения. Конечно,
110
сначала по правилу двойного пересчета следует убедиться в том, что выбранное значение шага h достаточно для достижения необходимой точности решения.
9.3. Краевая задача: метод прогонки.
Рассмотрим метод прогонки на примере решения уравнения второго порядка вида
Y”+p(X)Y’+q(X)Y=f(X)
на отрезке [Х0, Хn] с заданными граничными условиями Y(Х0)=Y0=А и Y(Хn)=Yn=В. Смысл решения заключается в расчете таблицы приближенных значений искомой функции Y(Х) в узлах Хi= Х0+ih, где h=(Хn - Х0)/n и i=1,2,...,n-1.
Заменим приближенно в каждом внутреннем узле производные Y” и Y’ конечными центрально-разностными отношениями
Y i“=( Y i+1 -2Yi + Yi-1)/h2и Yi‘=( Y i+1 - Yi-1)/(2h).
Обозначим pi=p(Хi), qi=q(Хi), fi=f(Хi).
Используя эти формулы, приближенно заменим исходное дифференциальное уравнение второго порядка на систему линейных алгебраических уравнений
( Yi+1 -2Yi + Yi-1)/h2 + pi ( Yi+1 - Yi-1)/(2h) + qiY i = fi,
где i=1,2,...,n-1 , Y0=А и Yn=В. Решив эту систему, получим таблицу приближенных значений искомой функции. При большом n непосредственное решение такой системы, например, методом Гаусса становится громоздким. Учитывая специфический вид полученной системы алгебраических уравнений, а именно- что матрица коэффициентов ее трехдиагональна, применим специальный метод решения, называемый методом прогонки.
Запишем систему в виде
ai Y i-1+bi Y i +ci Y i+1 =di ,
где ai =1-hpi /2, bi = h2qi -2, ci =1+hpi /2, di = h2f i.
Введем дополнительные переменные
vi = - ci /( bi + ai vi-1) и ui = (di - ai ui-1)/(bi + ai vi-1).
Чтобы сделать схему вычислений однородной, положим a0=0 и cn=0. Тогда vn=0 и Yn=un. Кроме того, v0 = - c0/b0и u0 = d0/b0.
Тогда решение системы определяется формулой
Y i = ui + vi Yi+1 .
Пример 9.3.
Решим задачу примера 9.1 с граничными условиями Y(1)=0,77 и Y(1,5)=0,49281, выбрав шаг 0,1 с погрешностью 0,001.
Как видно из условий задачи, h = 0,1, q=1, f=0, d=0, p=1/X для всех Х.
111
Откроем новый рабочий лист и выделим блок А4:А9 под значения Х от 1 до 1,5. В блок В5:В8 занесем значения 1/X, отведем столбцы С,D,E для текущих значений ai, bi, ci, столбцы F и G - для значений vi и ui , а столбец Н - для значений Y.
Занесем числа: в ячейку F4 - ноль, в ячейки G4 и H4 - число 0,77. Соответственно, в ячейку F9 - тоже ноль, в ячейки G9 и H9 - число 0,49281.
Формулы ячеек в строке 5 представлены в таблице. ячейка формула
B5 =1/A5 C5 =1-B5*$B$2/2 D5 =$B$2^2-2 E5 =1+B5*$B$2/2 F5 =-E5/(D5+C5*F4) G5 =-C5*G4/(D5+C5*F4) H5 =G5+F5*H6
Формулы в строках 6,7,8 должны быть скопированы из строки 5. Результаты вычислений приведены ниже. Можно сравнить их с результатами расчетов в примере 10.2, чтобы оценить полученную погрешность.
Занятие №10
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ
ПРОИЗВОДНЫМИ
Метод сеток или метод конечных разностей является одним из самых распространенных в настоящее время методов численного решения уравнений с частными производными. В его основе лежит идея замены производных конечно-разностными отношениями. Мы ограничимся случаем двух независимых переменных.
112
Рассмотрим в качестве примера смешанную задачу для уравнения теплопроводности: найти значения функции U(X,T) , удовлетворяющие уравнению
2
2
X
UD
T
U
∂∂=
∂∂
с начальными условиями (т.е. при Т=0) U(X,0) = f(X) и
краевыми условиями первого рода U(0,T) = g1(T) и U(L,T) = g2(T).
Таким образом может быть описана задача о распространении тепла в однородном стержне длины L , на концах которого поддерживается заданный температурный режим. Соответствующей заменой переменных эту задачу можно свести к каноническому уравнению при D=1 и L=1
2
2
X
U
T
U
∂∂=
∂∂
Заметим, что начальные и граничные условия должны быть согласованы, т.е. U(0,0) = f(0)= g1(0) и U(1,0)=f(1)= g2(0).
Построим на плоскости X0T равномерную прямоугольную сетку с шагом h в направлении Х и шагом l - в направлении Т:
Х= ih ( i= 0,1,2,...,n) и T=jk (j=0,1,2,...).
Обозначим Xi= ih и Tj= jk, а также U(Xi, Tj)=Ui,j. Любой узел этой сетки, номер которого (i,j), определяется координатами(Xi,Tj). Узлы сетки, лежащие на границе полуполосы Т>=0 и 0<=X<=1, называются граничными, все остальные узлы - внутренними. Начальные и краевые условия считаются заданными в граничных узлах сетки. Приближенно заменим в каждом внутреннем узле вторую частную производную по пространственной координате Х конечно-разностным отношением
2
1,,1,
,
2
2 2
h
UUU
X
U jijiji
ji
+− +−=
∂∂
а первую частную производную по временной координате - конечно-разностным отношением
k
UU
T
U jiji
ji
,1,
,
−=
∂∂ +
Тогда вместо исходного дифференциального уравнения, получаем алгебраическое уравнение вида
( Ui,j+1 - Ui,j)/k = ( Ui-1,j -2Ui,j + Ui+1,j)/h2.
Обозначив q=k/h2 , приведем это уравнение к виду
Ui,j+1 =(1-2q)Ui,j + q(Ui-1,j+Ui+1,j).
113
Задавая i=0,1,2,..,n и j=0, увидим, что все слагаемые в правой части этого уравнения могут быть вычислены из граничных условий. Поэтому таким образом можно вычислить все значения U на первом временном слое при j=1. Далее, задавая j=1, можно вычислить по этой формуле значения функции U во всех узлах второго временного слоя при j=2 и т.д. Такая схема вычислений называется явной. Доказано, что вычисления по этой схеме будут устойчивы, если 0<q<= 0,5. Задавая q=0,5, получим алгебраическое уравнение
Ui,j+1 =(Ui-1,j+Ui+1,j)/2.
Таким образом, используя это уравнение, можно вычислить значения функции U на каждом временном слое через значения на предыдущем слое.
Пример 10.1.
Hайти значения функции U(X,T) , удовлетворяющие уравнению
2
2
X
UD
T
U
∂∂=
∂∂
с начальными условиями (т.е. при Т=0) U(X,0) = Sin(πX) и 0<X<=1,
краевыми условиями первого рода U(0,T) = 0 и U(1,T) = 0.
Выберем по аргументу Х шаг h=0,1, т.е. n=10. Так как q=0,5, то по аргументу Т
получаем шаг 005,02
2
== hk .
Откроем новый рабочий лист EXCEL. Отведем столбец А под номера временных слоев от 0 до, например, 25. Заполним блок А3:А28 числами от 0 до 25. Во второй строке в ячейки В2:L2 занесем значения пространственной координаты Х от 0 до 1. В блок В3:В28 и в блок L3:L28 занесем нули - значения краевых условий. В ячейку С3 занесем формулу =SIN(ПИ()*C2) и скопируем ее в блок D3:K3. Тем самым введем в нулевой временной слой начальные условия. Далее в ячейку С4 введем основную расчетную формулу, полученную из алгебраического конечно-разностного уравнения =(B3+D3)/2. Эту формулу надо скопировать в блок С4:L28.
Результаты вычислений представлены в таблице для первых 19 слоев.
114
Как видно, таблица малообозрима, а при увеличении количества временных слоев вообще становится неудобочитаемой. Результаты расчетов лучше всего представить в виде диаграммы. Для построения диаграммы надо выделить блок А2:L28 и выбрать вкладку Вставка, затем – Диаграмма, выбрать тип диаграммы - Поверхность. Название диаграммы введем текст “Уравнение теплопроводности”, в поле Название основной горизонтальной оси введем текст - “слой”, в поле Название основной вертикальной оси - текст”температура”, в поле Название оси Z - текст “длина”. Получим диаграмму, примерный вид которой приведен ниже.
Задания для
Задача № 1.
Построить кусочно-интерполяции. Для построения
интерполянта использовать формулу
где (xi,yi), ( xi+1,yi+1 построенного интерполянта значенияузлами интерполяции. Определитьв точках х01= 23,4, х02 = = 50,2 ( εi = | F(x0i) - P1(x0i)| i=1,2). Вариант 1.F(x) = lnx2
xi -11,2 -0,5
F(xi) 4,83 -1,39
115
Задания для самостоятельной работы.
-линейный интерполянт по заданнойДля построения аналитического выражения
использовать формулу: ()(1
11
ii
iii xx
xx
yyyxP −
−−
+=+
+
) – узлы интерполяции. Вычислитьинтерполянта значения функции в точках, расположенных
интерполяции Определить погрешность вычисления значений= = 50,2 ( для вычислений использовать формулы1,2).
18,3 43,7 69,2 110,8
5,81 7,55 8,47 9,41
по заданной таблице узлов выражения линейного
)ix ,
Вычислить с помощью точках расположенных между вычисления значений функции использовать формулы:
116
По построенному интерполянту вычислить значения функции F(x) в точках х01= 23,4 и х02 = 50,2. Вариант 2.F(x) = 5е18х
xi -0,2 0,03 0,1 0,22 0,32
F(xi) 0,03 1,72 6,05 52,46 317,35
По построенному интерполянту вычислить значения функции F(x) в
точках х01= 0,05 и х02 = 0,15. Вариант 3.F(x) = х3 + 7x2 + 5х
xi -5,2 -2,5 0,8 2,4 4,1
F(xi) 22,67 15,63 8,99 66,14 207,09
По построенному интерполянту вычислить значения функции F(x) в
точках х01= 0,2 и х02 = 1,8.
Вариант 4.xxexF 52
)( −=
xi -0,95 -0,5 -0,2 0,6 1,02
F(xi) 284,29 15,64 2,83 0,07 0,02
По построенному интерполянту вычислить значения функции F(x) в точках х01= -0,41 и х02 = 0,32.
Вариант 5.F(x) = ex
xi 1,01 1,04 1,11 1,16 1,20
F(xi) 2,75 2,83 3,03 3,19 3,32
По построенному интерполянту вычислить значения функции F(x) в точках х01= 1,031 и х02 = 1,152. Вариант 6.F(x) = cosx
117
xi 1,01 1,04 1,07 1,13 1,18
F(xi) 0,53 0,51 0,48 0,43 0,38
По построенному интерполянту вычислить значения функции F(x) в точках х01= 1,022 и х02 = 1,145. Вариант 7.F(x) = shx
xi 1,01 1,03 1,08 1,14 1,19
F(xi) 1,19 1,22 1,30 1,40 1,49
По построенному интерполянту вычислить значения функции F(x) в точках х01= 1,053 и х02 = 1,172. Вариант 8.F(x) = lnx
xi 1,01 1,06 1,10 1,14 1,19
F(xi) 0,01 0,06 0,09 0,13 0,17
По построенному интерполянту вычислить значения функции F(x) в точках х01= 1,032 и х02 = 1,171. Вариант 9.F(x) = e-x
xi 1,01 1,05 1,10 1,14 1,20
F(xi) 0,36 0,35 0,33 0,32 0,30
По построенному интерполянту вычислить значения функции F(x) в точках х01= 1,028 и х02 = 1,172.
Вариант 10.F(x) = sinx
xi 1,00 1,04 1,08 1,10 1,17
F(xi) 0,84 0,86 0,88 0,89 0,92
По построенному интерполянту вычислить значения функции F(x) в точках х01= 1,058 и х02 = 1,124.
Задача № 2.
118
Задание: По заданной таблице узлов интерполяции построить полином Лагранжа. Пусть заданы узлы интерполяции (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3). Для этих узлов полином Лагранжа имеет вид:
))((
))((
))((
))((
))((
))(()(
2313
213
3212
312
3121
3212 xxxx
xxxxy
xxxx
xxxxy
xxxx
xxxxyxL
−−−−
+−−
−−+
−−−−
=
Вычислить с помощью построенного полинома значения функции в точках, расположенных между узлами интерполяции. Для этого значения х01 и х02 подставляются вместо x в построенный полином. В указанных точках (х01 и х02) рассчитать погрешность вычисления значений функции F(x) с помощью аналитического выражения функции и полинома Лагранжа по формуле: εi = = |F(x0i) - Ln(x0i)| i=1,2 где Ln(x0i) - значение полинома Лагранжа. Использовать интерполяционную таблицу задачи № 1.
Задача № 3.
По заданной таблице узлов интерполяции построить аналитическое выражение сплайна или Эрмитова кубического интерполянта для каждого отрезка, образованного двумя соседними узлами интерполяции: [xi, xi+1]. Коэффициенты интерполянта для каждого отрезка определить методом Крамера. Для этого необходимо использовать функцию MsExcel МОПРЕДдля вычисления определителей каждой системы или вычислить определители вручную, разложив главный определитель на миноры 3 – го порядка, или вычислить определители с помощью программы MathCAD, найденные определители позволят вычислить коэффициенты сплайнов или Эрмитовых интерполянтов методом Крамера. Указание: имеется ввиду, что общий вид кубического сплайна или Эрмитова кубического интерполянта следующий
33
2210 xaxaxaay +++= . Необходимо определить коэффициенты аii=0-3 из
системы линейных уравнений. Вариант 1.F(x) = lnx2
xi -11,2 -0,5 18,3 43,7 69,2 110,8
F(xi) 4,83 -1,39 5,81 7,55 8,47 9,41
F′(xi) -0,179 -4,00 0,109 0,265 0,029 0,018
Вариант 2.F(x) = 5е18х
xi -0,2 0,03 0,1 0,22 0,32
F(xi) 0,03 1,72 6,05 52,46 317,35
119
F′(xi) 0,54 30,96 108,90 944,28 5712,30
Вариант 3.F(x) = х3 + 7x2 + 5х
xi -5,2 -2,5 0,8 2,4 4,1
F(xi) 22,67 15,63 8,99 66,14 207,09
F′′(xi) -17,20 -1,00 18,80 28,40 38,60
Вариант 4.xxexF 52
)( −=
xi -0,95 -0,5 -0,2 0,6 1,02
F(xi) 284,29 15,64 2,83 0,07 0,02
F′(xi) -1961,60 -93,84 -15,28 -0,27 -0,06
Вариант 5.F(x) = ex
xi 1,01 1,04 1,11 1,16 1,20
F(xi) 2,75 2,83 3,03 3,19 3,32
F′′(xi) 2,75 2,83 3,03 3,19 3,32
Вариант 6.F(x) = cosx
xi 1,01 1,04 1,07 1,13 1,18
F(xi) 0,53 0,51 0,48 0,43 0,38
F′′(xi) -0,53 -0,51 -0,48 -0,43 -0,38
Вариант 7.F(x) = ln x
xi 1,01 1,06 1,10 1,14 1,19
F(xi) 0,01 0,06 0,09 0,13 0,17
F′(xi) 0,99 0,94 0,91 0,88 0,84
Вариант 8.F(x) = e-x
xi 1,01 1,05 1,10 1,14 1,20
120
F(xi) 0,36 0,35 0,33 0,32 0,30
F′(xi) -0,36 -0,35 -0,33 -0,32 -0,30
Вариант 9.F(x) = sin x
xi 1,00 1,04 1,08 1,10 1,17
F(xi) 0,84 0,86 0,88 0,89 0,92
F′′(xi) -0,84 -0,86 -0,88 -0,89 -0,92
Вариант 10.F(x) = х3 + 7x2 + 5х
xi -5,2 -2,5 0,8 2,4 4,1
F(xi) 22,67 15,63 8,99 66,14 207,09
F′′(xi) -17,20 -1,00 18,80 28,40 38,60
Задача № 4.
Найти корни уравнения F(x) = 0 методом половинного деления с точностью ε = 0,01. Указание по выполнению: прежде, чем начать выполнение работы необходимо определить отрезок, на котором находится корень данного уравнения. Это можно сделать графически или построить таблицу значений функции на некотором, достаточно обширном, диапазоне значений аргумента. Описанные действия можно выполнить с применением компьютера и электронной таблицы MsExcel или на листе бумаги с помощью калькулятора. Выполнить проверку знаков данной функции на концах найденного отрезка (функция, соответствующая данному уравнению, должна иметь разные знаки в точках, определяющих концы отрезка). Получить в качестве результата значение корня уравнения и значение полученной погрешности решения (она определяется по
формуле: ε = n
ab
2
)( − , где n - номер итерации).
Вариант 1. 02034 =−+ хх х > 0 Вариант 2. 0523 =−− хх х > 0
121
Вариант 3. 0ln2
=−+
xx
x
Вариант 4. 0754 =−+ хх х > 0 Вариант 5. ех - х - 2 = 0 Вариант 6.2 - lnx - x = 0 Вариант 7.2ех + х - 1 = 0
Вариант 8. 012
1 =−− xex
Вариант 9.lnx + 0,5 x -1 = 0
Вариант 10. 0ln1
12
=−+
xх
Задача № 5.
Найти корни уравнения F(x) = 0 методом касательных (Ньютона) с точностью ε = 0,01. (Для выполнения задачи №5 использовать варианты заданий задачи № 4.) Указание по выполнению: Начальное приближение х0 определяется из отрезка определённого в задаче № 4. Аналитически или численным методом вычисляется производная функции F(x) и используется для вычисления очередного значения корня уравнения F(x) = 0. Итерационная формула метода Ньютона (касательных):
)(
)(1
i
iii xf
xfxx
′−=+
Указанная точность вычислений считается достигнутой, если разность (взятая по модулю) между корнями уравнения, полученными в двух соседних итерациях | xi+1 - xi)| <ε.
Задача № 6.
Задание: Найти корни уравнения F(x) = 0 методом простых итераций с точностью ε = 0,01. (Для выполнения задачи №5 использовать варианты заданий задачи № 4.)
122
Указание по выполнению: Прежде чем применить к предложенному уравнению метод простых итераций необходимо преобразовать данное уравнение из вида F(x) = 0 к виду х = g(x). Для этого необходимо использовать отрезок [a,b] в пределах которого лежит корень исходного уравнения и найти значение производной функции F′(x) на этом отрезке. Далее, определяется максимальное значение производной на этом отрезке, обозначим его через М, а также - минимальное значение производной на этом отрезке, обозначим его через m.
Определяется коэффициент сходимости метода q = 1 - M
m и проверяется
условие сходимости метода простых итераций: q< 1. Если условие сходимости метода выполняется, то студентом делается вывод о возможности решения данной ему задачи методом простых итераций, после чего им определяется итерационная формула метода x = g(x), т.е. функция g(x) строится следующим
образом: g(x) = x – )(1
xFM
. В качестве начального приближения можно
использовать приближение х0, взятое из самостоятельной работы № 5 (соответствующего варианта). После чего, по полученной итерационной формуле, выполняются необходимые вычисления. Указанная точность вычислений считается достигнутой, если разность (взятая по модулю) между корнями уравнения, полученными в двух соседних итерациях: | xi+1 - xi)| <ε.
Задача № 7.
Тема: Решение систем нелинейных уравнений с двумя неизвестными методом простых итераций. Задание: Найти корень системы нелинейных уравнений с двумя неизвестными:
методом простых итераций с точностью ε = 0,01. Указание по выполнению: прежде, чем начать выполнение задачу необходимо определить приближённое значение корня данного уравнения. Это можно сделать графически или построить таблицу значений функций на некотором, достаточно обширном, диапазоне значений аргументов. Описанные действия можно выполнить с применением компьютера и электронной таблицы MsExcel. Средствами MsExcel можно построить в одной системе координат гладкие графики функций, соответствующие уравнениям системы, и с их помощью определить вектор начального приближения к корню заданной системы уравнений. Далее, необходимо преобразовать начальную систему уравнений
( )( )
==
2212
1211
,
,
xxxG
xxxGк виду:
( )( )
==
0,
0,
212
211
xxF
xxF
F1(x1,x2) = 0 F2(x1,x2) = 0
123
Для этого необходимо определить частные производные в точке х0:
2
2;
1
2;
2
1;
1
1
0000
x
F
x
F
x
F
x
F
xxxxxxxx∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
====
Полученные значения частных производных подставляем в системы линейных уравнений (получаем две независимых системы линейных уравнений, каждая из которых содержит две неизвестных):
=+−
=+
=+
=++
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
==
==
==
==
0
2
2
2
11
0
1
2
1
1
0
2
2
2
1
0
1
2
1
11
00
00
00
00
2221
2221
1211
1211
x
F
x
F
x
F
x
F
x
F
x
F
x
F
x
F
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
λλ
λλ
λλ
λλ
Из данных систем уравнений находим неизвестные λ11, λ12, λ21, λ22 . После чего определяем функции G1(x1, x2) и G2(x1, x2), которые имеют вид:
G1(x1, x2) = х1 + λ11F1(x1,x2) + λ12F2(x1,x2) G2(x1, x2) = х2 + λ21F1(x1,x2) + λ22F2(x1,x2)
После чего, по полученным итерационным формулам выполняются необходимые вычисления для решения данной задачи. Указанная точность вычислений считается достигнутой, если максимальная из разностей (взятой по модулю) координат векторов - корней уравнения, полученных в двух соседних итерациях, по модулю не превышает заданного ε:
ε<−+=
ijijj
xx ,1,2,1
max j -номер координаты вектора, i, i+1 – номера итераций.
Результаты выполнения данной задачи определяются правильно выполненной проверкой метода на сходимость и преобразованием уравнений:
( )( )
==
2212
1211
,
,
xxxG
xxxG к виду
( )( )
==
0,
0,
212
211
xxF
xxF
124
Вариант 1.
=−=+
02
4
221
3
2
23
2
1
xx
xx 01 >x
Вариант 2.
=−+=−01
0cos22
21
211
xx
xxx01 <x
Вариант 3.
=−+=+−
02
01
222
21
12
xxx
xx01 >x
Вариант 4.
=+
=+
0
12
3
2
12
22
21
xx
xxx2<0
Вариант 5.
=−+=−
01
0sin22
21
12
xx
xxx1<0
Вариант 6.
=−=−+
− 0
021
2
222
21
xex
xxxx1>0
Вариант 7.
=+−=+−+−
01
0122
12
2221
21
xx
xxxxx1>0
Вариант 8.
=−=−+0ln
02
12
122
21
xx
xxxx2>0
Вариант 9.
=−+=+
02
1
122
21
3
2
23
2
1
xxx
xx x2>0
125
Вариант 10.
=−+=−01
0sin22
21
211
xx
xxxx1>0
Задача № 8.
Для функции F(x) найти значение производной в точках х01 = =1,6 ( х02 = 1,8) с шагом h1 = 0,1; a1=10 и h2 = 0,05; a2=20 с помощью формулы: F′(x0)≈
nii
nii
n
n
ah
xFahxF
x
y−
− −+=∆∆ )()(
)(
)( 00 . Найти погрешность решения, используя формулу:
ε<∆∆−
∆∆
−
−
1
1
)(
)(
)(
)(
n
n
n
n
x
y
x
y . Погрешность найденного решения не должна превышать
ε=0.01. Для вариантов 1-5 найти значение производной в точке х01 = 1,6; для вариантов 6-10 – в точке х02 = =1,8. Вариант 1. Вариант 2. Вариант 3.
tgxxF =)( ( ) xxF sin2= ( ) xxF cos3−= Вариант 4. Вариант 5. Вариант 6.
( ) ctgxxF −= ( ) xxF ln4= ( ) xxF sin= Вариант 7. Вариант 8. Вариант 9.
( ) xxF cos−= ( ) tgxxF 2= ( ) xxF ln= Вариант 10.
( ) ctgxxF 3=
Задача № 9.
Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения первого
порядка на равномерной сетке отрезка [a,b] один раз с шагом h = 0,2, другой – с шагом 0,1 методами Эйлера, Эйлера-Коши и классическим методом Рунге – Кутта. Оценить погрешность численного решения по принципу Рунге. Сравнить численное решение с точным. Указание по выполнению: для выполнения задания использовать следующие итерационные формулы:
126
1) метод Эйлера: р=1 – порядок метода, xi – узлы сетки отрезка [a,b], h – шаг разбиения; xi = xi-1+ h, yi = yi-1 + hf (xi-1, yi-1), i=1, 2, …., m.
2) метод Эйлера-Коши:р=2 – порядок метода, xi – узлы сетки отрезка [a,b], h –
шаг разбиения; xi = xi-1+ h, yi = yi-1 + ∆yi-1; ∆yi-1= ][2
1 ]1[2
]1[1
−− + ii kk ; i = 1,2,…,m
),,( 11]1[
1 −−− = iii yxhfk ),(),( 1111
]1[2 −−−−
− ++= iiiii yxhfyhxhfk
3) метод Рунге-Кутта:р=4 – порядок метода, xi – узлы сетки отрезка [a,b], h –
шаг разбиения; xi = xi-1+ h, yi = yi-1 + ∆yi-1; ∆yi-1= ]22[6
1 ]1[4
]1[3
]1[2
]1[1
−−−− +++ iiii kkkk ;
i = 1,2,…,m; ),,( 11]1[
1 −−− = iii yxhfk
[ ]
++= −−−
− 1111
]1[2 2
1,
2i
iii ky
hxhfk ,
[ ]
++= −−−
− 1211
]1[3 2
1,
2i
iii ky
hxhfk , ),( ]1[
311]1[
4−
−−− ++= i
iii kyhxhfk .
Для оценки погрешности найденного решения задачи Коши используют
принцип Рунге (правило Рунге): εi 12
2)(
−
−≈
p
ii
hyhy
Вариант 1.
2
1
0x
xyy
y
+=′=
, 1≤x≤ 2,
−=x
xx1
2
1)(ϕ
Вариант 2.
,2
1y
xyy
y
−=′=
0≤x≤ 1, 12)( += xxϕ
Вариант 3.
x
yx
oy
y3+
=
=′ , 1≤x≤ 2, )1()( 2 −= xxxϕ
Вариант 4.
xyyy
=′=1
, 0≤x≤ 1, 2
2
)(x
ex =ϕ
Вариант 5.
127
2
2
1x
xyyy
y
+=′=
, 1≤x≤ 2, x
xx
ln1)(
−=ϕ
Вариант 6.
x
xyy
y
ln1
0
+−=′=
, 1≤x≤ 2, xx ln)( =ϕ
Вариант 7.
x
yxy
y
+=′=0
, 1≤x≤ 2, xxx ln)( =ϕ
Вариант 8.
22 xxexyy
oy
−=+′=
, 0≤x≤ 1, 22
2
1)( xexx −=ϕ
Вариант 9.
xxyyy
2sin21
cos0
=+′=
, 0≤x≤ 1, 1sin)( sin −+= − xexxϕ
Вариант 10.
xytgxyy
2sin1
=+′−=
, 0≤x≤ 1, xxx cos)cos21()( −=ϕ
Задача № 10
Вычислить заданные интегралы по формулам прямоугольников, трапеций и Симпсона, если отрезок интегрирования разбит на n=2 и n=4 равные части. Оценить погрешность результата и сравнить приближенные значения интеграла с точными. Указание по выполнению: для выполнения задания использовать следующие итерационные формулы: Формула приближённого вычисления интеграла методом прямоугольников:
128
)()(2
1
2
1
2
3
2
1 −− +++++≈∫ ni
b
a
yyyyhdxxf KK
Формула приближённого вычисления интеграла методом трапеций:
)2
()( 1210
−+++++
≈∫ n
b
a
n yyyyy
hdxxf K
Формула приближённого вычисления интеграла методом Симпсона:
)(2)(4(6
)( 121
2
1
2
3
2
10 −− +++++++++≈∫ nnn
b
a
yyyyyyyyh
dxxf KK
Вариант 1.
∫ +
1
01 2x
dx
≈= 785,04
Iπ
Вариант 2.
∫ +
1
01 x
dx
( )693,02lnI ≈=
Вариант 3.
∫4
0
4sin
π
xdx ( )5,0I =
Вариант 4.
∫ +
1
01 2x
dx
( )881,0)21ln(I ≈+=
Вариант 5.
∫e
xdx
0
ln ( )1I =
Вариант 6.
∫ +
1
0
)1ln( dxx ( )386,012ln2I ≈−=
129
Вариант 7.
∫2
0
cos
π
xdxx
≈−= 571,012
Iπ
Вариант 8.
∫ +
1
01 2 x
x
e
dxe
≈−= 433,04
Iπ
arctg
Вариант 9.
∫x
xdx
0
cos3
( )0I =
Вариант 10.
∫4
0cos
π
x
dx
( )881,021ln(I ≈+=
Литература:
1. В. И. Ракитин, В. Е. Первушин,«Практическое руководство по методам вычислений с приложениемпрограмм для персональных компьютеров». М.: Наука, 2009.
2. В.И. Киреев. «Численные методы в примерах и задачах», М.: издательство
МАИ, 2008
3. В.С. Рябенький, «Введение в вычислительную математику», М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007
130
4. Дж. Голуб, «Матричные вычисления», М.: 2009 5. Д. Каханер, К. Моулер, С. Нэш,“ Численные методы и программное
обеспечение ”,Издательство “ Мир ”, Москва ,2008.
6. М.В. Вербицкий «Численные методы. Линейная алгебра и нелинейные уравнения», М. Издательство « Высшая школа», 2010.
7. Ю.В. Васильков «Компьютерные технологии вычислений в математическом
моделировании», М. Издательство «Финансы и статистика» , 2009. 8. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 2010. 9. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.:
Наука, 2011. 10. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 2008. 11. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы
анализа. М.: Наука, 2007. 12. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 2012. 13. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 2010. 14. Волков Е.А. Численные методы. М.: Наука, 1987. 15. Моисеев В.С., Горбунов Д.А. Метод малого параметра для решения
задач анализа и синтеза проектных решений на базе неявно заданных функциональных зависимостей. //Изв.вузов, Авиационная техника, 1998, №4, с.3-10.
16. Иванов В.С., Ляшев А.С. Лабораторный практикум по дисциплине «Вычислительная техника в инженерных и экономических расчетах». Казань, КАИ, 2004.
17. Горбунов Д.А., Вахонина Г.С. Применение численных методов для решения инженерных задач на КОМПЬЮТЕРе. Казань, Изд-во Казан.гос. техн. ун-та, 2011
