(ΤΑ ΑΝΟΙΧΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΑ ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΗΣ Ε΄ ΤΑΞΗΣ ΤΟΥ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ – Μία πρώτη ερευνητική απόπειρα

Παρασχίδης Κυριαζής. Σύμβουλος Πρωτοβάθμιας Εκπαίδευσης 3ης Περιφέρειας Ξάνθης.

Εισαγωγή:Η λύση προβλημάτων αποτελεί ένα από τα πιο πολυσυζητημένα θέματα στο χώρο

της μαθηματικής εκπαίδευσης. Η ανάγκη να ενσωματώσει η εκπαίδευση τη λύση προβλήματος ως βασικό συστατικό του Α.Π. αποτελεί κυρίαρχο θέμα σε πολλά εθνικά πρότυπα (AAAS 1993, NCSS 1997, NCTE 1996, NCTM 1989, 1991). Αυτό συμβαίνει γιατί η λύση προβλήματος μπορεί να αποτελέσει τον πυρήνα του Α.Π. που συνδέει διάφορα γνωστικά πεδία, έννοιες, στρατηγικές και δεξιότητες. Επομένως, η αναθεώρηση των Α.Π. πρέπει να περιλαμβάνει ολοκληρωμένα μαθησιακά περιβάλλοντα, τα οποία θα ενθαρρύνουν τους/τις μαθητές –ριες1 να χρησιμοποιούν διανοητικές ικανότητες ανώτερης τάξης και ιδιαίτερα ικανότητες λύσης προβλημάτων (Jamie Kirkley, 2003).

Την αρχή αυτή φαίνεται να συμμερίζονται και οι συγγραφείς των νέων βιβλίων των Μαθηματικών του Δημοτικού, καθόσον στο Βιβλίο του Δασκάλου (ΒτΔ) της Ε΄ Δημοτικού τονίζεται ότι οι στόχοι εκμάθησης κυρίως των αλγόριθμων των τεσσάρων πράξεων και των τύπων χωρίς κατανόηση μετατοπίζονται προς την εκμάθηση λύσης προβλημάτων με μία ή πολλές λύσεις. Ο χρόνος που διατίθεται γι’ αυτή τη γνωστική περιοχή των μαθηματικών είναι περίπου το 1/6 των συνολικών διδακτικών ωρών στο Α.Π. των μαθηματικών κάθε τάξης και αφορά σε προβλήματα της καθημερινής ζωής που έχουν νόημα για τα παιδιά, προβλήματα συνηθισμένα ή πιο πρωτότυπα που κινητοποιούν τη λογική των παιδιών και την ικανότητά τους να σκέφτονται (Χριστόδουλος Κακαδιάρης, Νατάσσα Μπελίτσου, Γιάννης Στεφανίδης, Γεωργία Χρονοπούλου 2006).

Τα λεγόμενα ανοιχτά προβλήματα (open ended problems) τα συναντάμε σε αρκετά κεφάλαια, τόσο στο Βιβλίο του Μαθητή (ΒτΜ) όσο και στα Τετράδιο Εργασιών (ΤΕ) της Ε΄ Δημοτικού και αποτελούν, κατά τη γνώμη μου, μία από τις πιο ενδιαφέρουσες καινοτομίες των νέων βιβλίων (Χριστόδουλος Κακαδιάρης, Νατάσσα Μπελίτσου, Γιάννης Στεφανίδης, Γεωργία Χρονοπούλου 2006). Ως ανοιχτό πρόβλημα ορίζεται ένα πρόβλημα που έχει πολλές σωστές απαντήσεις και πολλούς τρόπους να φτάσεις στις σωστές απαντήσεις. Τα πλεονεκτήματα των ανοιχτών προβλημάτων, σύμφωνα με το Sawada (1977) είναι πέντε: Α) Οι μαθητές συμμετέχουν περισσότερο ενεργητικά στο μάθημα και εκφράζουν τις ιδέες του πιο συχνά, γιατί η λύση ανοιχτών προβλημάτων παρέχει ελεύθερο, υπεύθυνο και υποστηριχτικό περιβάλλον, όπου η ύπαρξη πολλών σωστών λύσεων δίνει στον κάθε μαθητή την ευκαιρία να φτάσει στη δική του σωστή απάντηση. Επιπλέον οι μαθητές είναι περίεργοι για τις άλλες λύσεις, τις οποίες μπορούν να συγκρίνουν με τις δικές τους και αργότερα να συζητήσουν πάνω σ’ αυτές. Β) Οι μαθητές έχουν περισσότερες ευκαιρίες να κάνουν συνειδητή χρήση της μαθηματικής τους γνώσης και των δεξιοτήτων τους. Εφόσον υπάρχει πληθώρα λύσεων, οι μαθητές μπορούν να επιλέγουν το δικό τους δρόμο προς την απάντηση, δημιουργώντας έτσι ο καθένας τη δική του μοναδική λύση. Γ) Κάθε μαθητής -ρια2 μπορεί να ανταποκριθεί στο πρόβλημα με το δικό του αποκλειστικό τρόπο. Δ) Το μάθημα μπορεί να προσφέρει στους μαθητές μία εμπειρία συλλογισμού. Η σύγκριση των διαφορετικών λύσεων και

1 Εφεξής μαθητές2 Εφεξής μαθητής

η συζήτηση πάνω σ’ αυτές κινητοποιεί τους μαθητές να επιχειρηματολογήσουν υπέρ των λύσεών τους, με αποτέλεσμα να αναπτύσσουν τη μαθηματική τους σκέψη. Ε) Παρέχονται πολλές ευκαιρίες στους μαθητές να βιώσουν την ευχαρίστηση της ανακάλυψης και την επιδοκιμασία των συμμαθητών τους (What is the Open – Ended Problem Solving). Η διδασκαλία ανοιχτών προβλημάτων μπορεί να συνεισφέρει στην ανάπτυξη πολλών προσωπικών δεξιοτήτων, όπως: α) ανάπτυξη κριτικής σκέψης μέσα από την αναζήτηση της σωστής ερώτησης για την εύρεση λύσης, β) ανάπτυξη δημιουργικής σκέψης μέσα από την εύρεση μοναδικών λύσεων σε κριτικές ερωτήσεις γ) σωστή διαχείριση του χρόνου, όταν ζητείται η ολοκλήρωση της λύσης μέσα στον προβλεπόμενο χρόνο (How to Run an Open – Ended Problem).

Για το σχεδιασμό μιας δραστηριότητας επίλυσης ενός ανοιχτού προβλήματος δεν υπάρχει ένα συγκεκριμένο μοντέλο αλλά κάποιες γενικές κατευθύνσεις όπως: Α) Η περιγραφή του προβλήματος, η οποία παρέχει ένα περιβάλλον διερεύνησης και τονίζει τη σημασία του προβλήματος για το μαθητή. Β) Η αξιολόγηση της προηγούμενης γνώσης, η οποία παρέχει στο διδάσκοντα τη δυνατότητα να αντιληφθεί διάφορες παρανοήσεις των μαθητών και να σχεδιάσει κατάλληλες δραστηριότητες με σκοπό να τις διορθώσει. Γ) Η ομαδική εργασία, η οποία ενθαρρύνει τους μαθητές να συνεργάζονται και να συζητούν, εξηγώντας με κατανοητό τρόπο τις έννοιες και τον τρόπο σκέψης τους στους συμμαθητές τους. Με αυτό τον τρόπο κατανοούν και τις απόψεις των άλλων, αμφισβητούν, αν χρειαστεί, το κύρος των δικών τους απόψεων και αναθεωρούν και αναδιαμορφώνουν τις αντιλήψεις τους. Επιπλέον μπορούν να εσωτερικεύσουν και να ενσωματώσουν τη διαδικασία μοντελοποίησης, παρατήρησης και σκέψης στο προσωπικό τους ρεπερτόριο. Δ) Η ατομική εργασία, η οποία καλλιεργεί την προσωπική ευθύνη του μαθητή να εκτελέσει σωστά την εργασία του και Ε) Η επέκταση των δραστηριοτήτων με εφαρμογή όσων έμαθαν οι μαθητές σε νέα ή συγγενικά περιβάλλοντα (Open – Ended Problem Solving Activities. A Description).

Η πληθώρα των ανοιχτών προβλημάτων που συναντάμε στα εγχειρίδια των μαθηματικών της Ε΄ Δημοτικού αποτελούν, όπως προαναφέραμε, μία σημαντική καινοτομία, αλλά υποστηρίζονται ελάχιστα στο ΒτΔ με αποτέλεσμα να υπονομεύεται εξαρχής η εισαγωγή τους. Ενώ θα περίμενε κανείς, π.χ., μία ιδιαίτερη εισαγωγική αναφορά στο βιβλίο του δασκάλου, προκειμένου να ενημερωθούν και οι εκπαιδευτικοί για την αξία και τη σπουδαιότητα αυτού του είδους των προβλημάτων, δε συναντάμε τίποτα ιδιαίτερο σχετικά με αυτά τα προβλήματα, εκτός από μία παράγραφο που αναφέρει: «Τα παιδιά… αποκτούν άνεση να λύνουν σύνθετα προβλήματα σε διαφορετικά πλαίσια, προβλήματα που μπορεί να έχουν πολλές ή μοναδική λύση, και να εκφράζουν με σαφήνεια τη σκέψη τους χρησιμοποιώντας κατάλληλο λεξιλόγιο». (ΒτΔ σελ. 6).

Τα ανοιχτά προβλήματα της Ε΄ δημοτικού μπορούμε να τα κατηγοριοποιήσουμε: Α) Ανάλογα με τη χρήση τους: Άλλοτε προτείνονται ως καθαρά ανοιχτά προβλήματα, με στόχο να διερευνήσουμε αν οι μαθητές είναι ικανοί να διαχειρίζονται προβλήματα που επιδέχονται παραπάνω από μία λύσεις, αν έχουν αναπτύξει τη συνδυαστική σκέψη και αν μπορούν να αναγνωρίσουν έναν κανόνα σε ένα μοτίβο και να τον επεκτείνουν (ΒτΔ σελ. 58, ΒτΜ σελ. 22, ΤΕ τεύχος α΄, σελ. 17).

Άλλοτε προτείνονται ως προβλήματα που επιδέχονται μεν πολλές λύσεις, αλλά επιδιώκουν άλλους στόχους, π.χ. την κατανόηση των ποσοστών (ΒτΜ σελ. 65). Β) ανάλογα με το σύνολο των λύσεων: Σε μερικά προβλήματα υπάρχουν συγκεκριμένες λύσεις, τις οποίες οι μαθητές μπορούν να αναζητήσουν με βάση κάποιο μοτίβο και τον κανόνα που προκύπτει από αυτό. Η δραστηριότητα του κινηματογράφου (ΒτΜ σελ. 22) ανήκει στην κατηγορία αυτών των προβλημάτων. Παρατηρούμε στην εικόνα ότι, ενώ πρόκειται για μία δραστηριότητα – ανακάλυψη, το βιβλίο καθοδηγεί ασφυκτικά τους μαθητές στον τρόπο με τον οποίο θα φτάσουν στις λύσεις, χωρίς να τους αφήνει πολλά περιθώρια να ερευνήσουν και να βρουν μόνοι τους όλους τους δυνατούς συνδυασμούς και να τους ανακοινώσουν στην τάξη. Στα περισσότερα

ανοιχτά προβλήματα οι λύσεις είναι πάρα πολλές και οι μαθητές επιλέγουν δύο τρεις λύσεις στην τύχη. Η δ΄ εργασία στο ΤΕ τεύχος α΄, σελ. 17: «Η Γιάννα έχει 50 κέρματα που η συνολική τους αξία είναι μεγαλύτερη από 5 ευρώ και λιγότερη από 6 ευρώ. Τι κέρματα μπορεί να έχει; Προτείνω 2 διαφορετικές λύσεις» είναι ένα πρόβλημα με πολύ μεγάλο αριθμό λύσεων. Πρόκειται για ένα κακό, κατά τη γνώμη μου, πρόβλημα, γιατί οι μαθητές μαντεύουν δύο λύσεις, χωρίς να αναζητούν το μοτίβο, βάσει του οποίου θα προκύψει ο τρόπος εύρεσης όλων των δυνατών συνδυασμών. Γ) ανάλογα με το είδος του προβλήματος. Συναντάμε, π.χ., προβλήματα συνδυαστικής, όπως οι δραστηριότητες στον κινηματογράφο, προβλήματα εύρεσης ισεμβαδικών παραλληλογράμμων ή ισοπεριμετρικών σχημάτων, προβλήματα ανισοτήτων, προβλήματα σχηματισμού ισόψηφων αριθμών με συγκεκριμένα ψηφία, προβλήματα εύρεσης ενδιάμεσων δεκαδικών αριθμών, προβλήματα ίσων αθροισμάτων, ανοιχτά παιχνίδια κ.λπ.

Οι οδηγίες που παρέχει το ΒτΔ κατά κεφάλαιο για τη διαχείριση των ανοιχτών προβλημάτων είναι τις περισσότερες φορές ελάχιστες έως ανύπαρκτες. Στη δραστηριότητα του κινηματογράφου το ΒτΔ θέτει ως πρόβλημα επέκτασης όλους τους δυνατούς συνδυασμούς με τους οποίους μπορούν να καθίσουν 4 παιδιά και δίνει ως απάντηση 24, χωρίς να εξηγεί με ποιες στρατηγικές μπορεί να βρεθεί το αποτέλεσμα αυτό. Το ίδιο συμβαίνει και με τη δ΄ εργασία του ΤΕ τεύχος α΄, σελ. 17, όπου προτείνονται δύο λύσεις και στη συνέχεια αναφέρει ότι υπάρχουν πολλές λύσεις (ΒτΔ σελ. 59). Εξαίρεση αποτελεί η εργασία του ΒτΜ στο 21ο κεφάλαιο «Στατιστική Μέσος Όρος», όπου το ΒτΔ παρέχει σαφείς οδηγίες για το ποιες στρατηγικές μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε, προκειμένου να φτάσουμε σε κάποιες λύσεις (ΒτΔ σελ. 107). Με παρόμοιο τρόπο το ΒτΔ (σελ. 183) παρέχει πολύ χρήσιμες και σωστές οδηγίες για το πώς παίζεται το κινέζικο παιχνίδι που προτείνει το ΒτΜ στη σελίδα 127.

Συμπερασματικά, λοιπόν, μπορούμε να υποστηρίξουμε ότι η απόπειρα εισαγωγής ανοιχτών προβλημάτων στα εγχειρίδια της Ε΄ τάξης ακυρώνεται διότι: α) δεν τονίζεται στο ΒτΔ η σημασία και η παιδαγωγική και μαθηματική τους αξία, β) οι εκπαιδευτικοί δεν είναι κατάλληλα προετοιμασμένοι για τη διδασκαλία τέτοιων προβλημάτων και το ΒτΔ δεν παρέχει ουσιαστική βοήθεια, εκτός από ελάχιστες εξαιρέσεις και γ) πολλά ανοιχτά προβλήματα έχουν πάρα πολλές λύσεις και οι μαθητές είναι αδύνατο να βρουν μόνοι τους στρατηγικές εύρεσης όλων των δυνατών συνδυασμών. Το ότι ζητούνται μόνο μερικές λύσεις και όχι το μοτίβο βάσει του οποίου μπορεί να προκύψουν όλοι οι δυνατοί συνδυασμοί θεωρώ ότι υπονομεύει τη δυναμική του προβλήματος.

Η έρευναΗ έρευνα πραγματοποιήθηκε στις 19-12-2007 με 19 μαθητές της ΣΤ΄ Δημοτικού.

Η πλειοψηφία των μαθητών προέρχεται από εργατικά στρώματα, ενώ και τέσσερις

μαθητές είναι παιδιά μεταναστών. Στο μάθημα συμμετείχαν μόνο δεκαπέντε μαθητές, γιατί οι υπόλοιποι τέσσερις προτίμησαν να ασχοληθούν με καρτέλες αυτοκινήτων και ζωγραφική τεράτων. Μόνο προς το τέλος του μαθήματος, όταν έβαλα ένα πρόβλημα με αυτοκίνητα και μηχανές, ένας από τους τέσσερις αποφάσισε να ασχοληθεί με το πρόβλημα. Το μάθημα ξεκίνησε με καταιγισμό ιδεών για το τι θεωρούν ότι είναι τα μαθηματικά σε σχέση με όσα διδάχτηκαν στο σχολείο, αλλά και με βάση τη χρήση τους στην καθημερινή ζωή. Στη συνέχεια παίξαμε ένα παιχνίδι εύρεσης δύο αριθμών, το οποίο ενθουσίασε τα παιδιά, και ακολούθησε μία σειρά δραστηριοτήτων που τις πρότεινα και αυτές ως παιχνίδι. Η πλειοψηφία των μαθητών ανταποκρίθηκε στις προτεινόμενες δραστηριότητες, εκτός από την ομάδα των τεσσάρων αγοριών. Η πρώτη δραστηριότητα ήταν ένα ανοιχτό πρόβλημα, το οποίο ζητούσε από τους μαθητές να σχηματίσουν όλους τους δυνατούς δυαδικούς συνδυασμούς με κέρματα των 5, 10 και 20 λεπτών. « Έχω στην τσέπη μου κέρματα των 5,10 και 20 λεπτών. Αν βγάλω από την τσέπη μου δύο κέρματα στην τύχη ποια κέρματα θα μπορούσα να έχω βγάλει;». Τη δραστηριότητα αυτή οι μαθητές την χαρακτήρισαν ως πρόβλημα, γιατί τη θεώρησαν αρκετά δύσκολη. Παρόλα αυτά βρήκαν όλους τους συνδυασμούς οχτώ μαθητές, από τους οποίους πέντε τους έγραψαν με μία σειρά και οι υπόλοιποι τρεις ανακατεμένους. Πέντε μαθητές επανέλαβαν κάποιους συνδυασμούς και μόνο δύο έγραψαν μερικούς συνδυασμούς.

Στη συνέχεια ακολούθησαν κάποιες εύκολες ασκήσεις, οι οποίες βαθμιαία δυσκόλευαν και ορισμένες κατέληγαν σε ανοιχτά προβλήματα:ΑΣΚΗΣΗ: Υπολόγισε ποιο ποσό μας δίνουν 3 πεντάλεπτα και 4 δεκάλεπτα. Στην άσκηση αυτή δε συνάντησαν καμία δυσκολία οι μαθητές και την έλυσαν είτε με οριζόντιες είτε με κάθετες πράξεις. Οι ερωτήσεις που συνόδευαν αυτή την άσκηση ήταν οι εξής:1. Μπορεί το ποσό των 55 λεπτών να σχηματιστεί μόνο με πεντάλεπτα; (ναι – όχι, γιατί;)2. Μπορεί το ποσό των 55 λεπτών να σχηματιστεί μόνο με δεκάλεπτα; (ναι – όχι, γιατί;)3. Ποιους συνδυασμούς από πεντάλεπτα και δεκάλεπτα μπορείς να σχηματίσεις, ώστε να πάρεις 55 λεπτά; (Τους βρήκες όλους τους συνδυασμούς; Γιατί πιστεύεις ότι τους βρήκες όλους;)Το πρόβλημα αυτό επιδέχεται πέντε συνδυασμούς, που τους βρήκαν δέκα μαθητές. Από αυτούς οι έξη έγραψαν τους συνδυασμούς με μία σειρά και οι τέσσερις υπόλοιποι χωρίς σειρά.

Εύρεση όλων των συνδυασμών με μία σειρά.

Εύρεση μερικών συνδυασμών, οι πρώτοι με μία σειρά, οι δεύτεροι στην τύχη.

Στο τέλος ως πρόβλημα επέκτασης έθεσα την εξής δραστηριότητα: «Ένας γεωργός έχει στο αγρόκτημά του 3 αγελάδες και 8 κοτόπουλα. Πόσα πόδια έχουν όλα τα ζώα μαζί; Υπάρχει άλλος ή άλλοι συνδυασμοί αγελάδων και κοτόπουλων που να μας δίνουν 28 πόδια;». Προκειμένου να κινητοποιήσω το ενδιαφέρον και των μαθητών που ασχολούνταν με τη ζωγραφική, έθεσα ως εναλλακτική δραστηριότητα και το εξής πρόβλημα: Ένας μηχανικός έχει στο γκαράζ του 3 αυτοκίνητα και 8 μηχανές. Μπορείς να βρεις πόσες είναι οι ρόδες που έχουν μαζί τα αυτοκίνητα και οι μηχανές; Υπάρχει άλλος ή άλλοι συνδυασμοί αυτοκινήτων και μηχανών που να μας δίνει τον ίδιο αριθμό ροδών;». Τελικά από τους τέσσερις αδιάφορους μαθητές ένας ενδιαφέρθηκε και μάλιστα έλυσε σωστά το πρόβλημα.

Η απάντηση στην ερώτηση είναι πολύ εύκολη (3*4 + 8*2 = 28), γι’ αυτό και την βρήκαν όλοι εκτός από έναν που έγραψε 3 + 8 =11 και έναν άλλο που υπολόγισε σωστά 3*4 = 12 και 8*2 = 16, αλλά στην πρόσθεση 12 και 16 βρήκε 22. Στη δεύτερη ερώτηση τρεις μαθητές δεν απάντησαν, ένας έδωσε ένα λανθασμένο συνδυασμό (4*4 + 7*2), πέντε έδωσαν μερικούς συνδυασμούς και εφτά βρήκαν όλους τους συνδυασμούς, είτε με μία σειρά είτε μπερδεμένους.

Εύρεση μερικών συνδυασμών, οι πρώτοι με μία σειρά, οι δεύτεροι μπερδεμένοι.

Εύρεση όλων των συνδυασμών με την ίδια ακριβώς σειρά. Το δεύτερο γραπτό αφορά στην εναλλακτική δραστηριότητα.

ΕπίλογοςΗ πλειοψηφία των μαθητών εργάστηκε ατομικά, γιατί θεώρησε κάθε

δραστηριότητα ως ένα ενδιαφέρον μαθηματικό παιχνίδι, στο οποίο άξιζε ο κόπος να ερευνήσει για την εύρεση της λύσης. Επειδή οι προτεινόμενες δραστηριότητες ήταν πρωτόγνωρες για τα παιδιά, μερικά στην αρχή δυσκολεύτηκαν και ζήτησαν, μετά από προτροπή μου, βοήθεια από το διπλανό τους. Μετά όμως από κάθε ενασχόληση με το προτεινόμενο πρόβλημα οι μαθητές ανακοίνωναν στην τάξη τον τρόπο λύσης και ακολουθούσε συζήτηση πάνω στον τρόπο σκέψης τους. Ήδη από την επεξεργασία του πρώτου προβλήματος μερικοί μαθητές τόνισαν ότι τους συνδυασμούς πρέπει να τους παίρνουμε με μία σειρά, ώστε να μπορούμε να τους βρούμε όλους. Και οι σειρές που πρότειναν ήταν είτε να πάρουμε αρχικά τα όμοια κέρματα (5-5, 10-10, 20-20) και μετά τα διαφορετικά (5-10, 1-20, 10-20) είτε να ξεκινήσουμε με τους συνδυασμούς του 5, μετά του 10 και στο τέλος του 20 (5-5, 5-10, 5-20, 10-10, 10-20, 20-20). Έχει μεγάλο ενδιαφέρον επίσης η περίπτωση του μαθητή που ασχολήθηκε με το μάθημα μόνο στο τέλος, στο πρόβλημα με τις ρόδες των αυτοκινήτων και των μηχανών. Μία μαθήτρια σχολίασε ότι πρόκειται για το ίδιο πρόβλημα, γιατί οι αριθμοί δεν άλλαζαν. Για το συγκεκριμένο, όμως, μαθητή το πρόβλημα απέκτησε νόημα, μόνο όταν είχε σχέση με αυτοκίνητα και μηχανές, δηλαδή με αντικείμενα του άμεσου ενδιαφέροντός του. Ίσως θα ήταν δυνατόν να κινητοποιήσω το ενδιαφέρον και των άλλων μαθητών αν τους έθετα παρόμοια προβλήματα με τέρατα που είχαν, π.χ., δύο και τέσσερα αυτιά. Η έρευνα θα μπορούσε να συνεχιστεί με παρόμοια, αλλά δυσκολότερα προβλήματα, όπως να βρεθούν όλοι οι δυνατοί συνδυασμοί αγελάδων και κοτόπουλων που έχουν συνολικά 60 πόδια ή να ζητήσουμε να φτιάξουν δικά τους προβλήματα και να τα παρουσιάσουν στην τάξη. Ακόμη πιο ενδιαφέρον θα είχε να προτείνουμε να φτιάξουν προβλήματα με τέρατα που έχουν 3 και 5 πόδια, να δίνουν το σύνολο των ποδιών και να ζητούνται πάλι όλοι οι δυνατοί συνδυασμοί. Όλες αυτές οι δραστηριότητες αντιστοιχούν στις λεγόμενες διοφαντικές εξισώσεις τύπου αχ + βψ = γ, τις οποίες θυμάμαι ότι είχα διδαχθεί στην Α΄ Λυκείου. Μήπως, λοιπόν, είναι πρόωρο να επιχειρούμε κάτι παρόμοιο σε πολύ μικρότερες ηλικίες; Η απάντηση είναι ανεπιφύλαχτα όχι, αν πρόκειται για δραστηριότητες που έχουν μορφή γρίφου ή παιχνιδιού, που παροτρύνουν σε μία περιπέτεια έρευνας και ανακάλυψης και έτσι αποκτούν νόημα για όλα τα παιδιά.

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

How to Run an Open – Ended Problem. www . tjhsst.edu/~jleaf/probsolve/index.htm JAMIE KIRKLEY, 2003. Principles for Teaching Problem Solving, PLATO learning, Inc., Indiana University. Open – Ended Problem Solving Activities. A Description. http://shs.westport.k12.ct.us/msvl/science/capt/handbook What is the Open–Ended Problem Solving. http :// www . wiste . niuc . edu / users / aki / open - ended Χριστόδουλος Κακαδιάρης, Νατάσσα Μπελίτσου, Γιάννης Στεφανίδης, Γεωργία Χρονοπούλου, 2006. Μαθηματικά Ε΄ Δημοτικού, Βιβλίο Δασκάλου, ΟΕΔΒ, Αθήνα Χριστόδουλος Κακαδιάρης, Νατάσσα Μπελίτσου, Γιάννης Στεφανίδης, Γεωργία Χρονοπούλου, 2006. Μαθηματικά Ε΄ Δημοτικού, Βιβλίο του Μαθητή, ΟΕΔΒ, ΑθήναΧριστόδουλος Κακαδιάρης, Νατάσσα Μπελίτσου, Γιάννης Στεφανίδης, Γεωργία Χρονοπούλου, 2006. Μαθηματικά Ε΄ Δημοτικού, Τετράδιο Εργασιών, ΟΕΔΒ, Αθήνα