Я.І. Перельман · 2018-07-02 · жить, наприклад, знаменитий...
15
Transcript of Я.І. Перельман · 2018-07-02 · жить, наприклад, знаменитий...
К л а с и К и п о п у л я р и з а ц і ї н а у К иК р а ї н а п е р е л ь м а н і я
Я.І. Перельман
ЗАХОПЛЮЮЧА АЛгебрА
Переклад з російської мови, передмова, примітки та загальна редакція
В.О. Тадеєва
ТЕРНОПІЛЬНАВЧАЛЬНА КНИГА — БОГДАН
ББК 22.1я72 П27
Охороняється законом про авторське право. Жодна частина цього видання не може бути використана чи відтворена
в будь-якому вигляді без дозволу автора чи видавництва
Серію «Класики популяризації науки» засновано 2007 року.
ISBN978-966-408-435-9(серія)ISBN978-966-10-0139-7
© ТадеєвВ.О.,переклад,анотація,передмова,приміт-ки,загальнаредакція,ідеяхудожньогооформлен-ня,2011
© КравчукА.В.,художнєоформлення,2011© Навчальнакнига–Богдан,макет,художнєоформ-
лення,2011
Перельман Я.І.П27 Захоплюючаалгебра:Пер.зрос. /Заред.В.О.Тадеєва.—Терно-
піль:Навчальнакнига–Богдан,2011.—336с.:іл.(Класикипопуля-ризаціїнауки;КраїнаПерельманія).
ISBN 978-966-10-0139-7
«Захоплююча алгебра» Я. І. Перельмана — одна з найзахопливі-ших книжок про алгебру. У ній ця наука ніби відокремлюється від класної дошки, з якою вона тісно «зрослася» у свідомості більшості читачів, і переноситься у вільний простір, де знаходить найрізнома-нітніші застосування.
Основне своє завдання автор вбачає у тому, аби прищепити чи та чеві інтерес до занять алгеброю та викликати у нього бажан-ня самостійно усунути прогалини своєї математичної підготовки. Прочитавши книгу, читач знатиме незмірно більше про основні ідеї алгебри та про її застосування, ніж про це можна довідатися з десят-ків «шкільних» підручників та посібників.
Книга перекладена багатьма мовами світу. Повний переклад українською мовою виходить уперше.
Книга зацікавить усіх, хто хоче мати правдиве уявлення про ма-тематику, зокрема, одержати переконливі свідчення про можливості її практичного застосування.
ББК 22.1я72
РОЗДІЛ ПЕРШИЙ
П’ЯТА МАТеМАТИЧНА ДІЯ
П’ята дія
Алгебру нерідко називають «арифметикою с е м и дій», якщо хочуть наголосити на тому, що до чотирьох загальновідо-мих математичних операцій вона приєднує три нових: підне-сення до степеня та дві йому обернених дії. Це значно харак-терніше для алгебри, ніж застосування буквених позначень1). В історії математики ми знаємо твори, навіть цілу низку їх, які зовсім не містять буквених позначень, а все ж безсумнівно є підручниками з алгебри; до таких «риторичних» алгебр нале-жить, наприклад, знаменитий підручник Фібоначчі (Леонардо
1) Це і наступне речення були вилучені редакторами з повоєнних видань.
16 Розділ перший. П’ята математична дія
Пізанського)1), що з’явився у 1202 р. і застосовувався потім ще протягом трьох століть.
Наші алгебраїчні бесіди розпочнуться з «п’ятої дії» — з під-несення до степеня.
Чи викликана потреба у цій новій дії практичним жит-тям? Безумовно. Ми дуже часто стикаємося з нею у реальній дійсності. Згадаймо про численні випадки обчислення площ і об’ємів, де зазвичай доводиться підносити числа до другого і третього степеня. Далі: сила всесвітнього тяжіння, електро-статична та магнітна взаємодії, світло, звук — послаблюють-ся пропорційно до другого степеня відстані. Тривалість обер-тання планет довкола Сонця (та супутників довкола планет) пов’язана з відстанями від центра обертання також степене-вою залежністю: другі степені періодів обертання відносяться між собою, як треті степені відстаней2).
Не слід думати, що практика зіштовхує нас тільки з другими й третіми степенями, а вищі показники існують лише у вправах алгебраїчних задачників. Інженер, проводячи розрахунки на міцність, часто-густо має справу з четвертими степенями, а при інших обчисленнях (наприклад, діаметра паропроводу) — навіть із шостим степенем. Досліджуючи силу, з якою текуча вода несе каміння, гідротехнік натрапляє на залежність також шостого сте-пеня: якщо швидкість течії в одній річці учетверо більша, ніж в іншій, то швидка річка здатна перекочувати по своєму річищі ка-мені у 46, тобто у 4 096 разів важчі, ніж повільна3).1) Фібоначчі (дослівно з італійської — син Баначчі), або Леонардо
Пізанський (бл. 1170 – після 1228) — італійський математик, один із фундаторів нової європейської математики. Опанувавши арабську мову, відвідав декілька східних країн, вивчаючи скарби математики, а по-вернувшись на батьківщину, описав їх у трьох манускриптах, які мали визначний вплив на європейську науку. Основний із них, що з’явився у 1202 р., мав назву «Книга абака». Незважаючи на свою назву, у ньому йшлося не так про абак (тобто про пристрій, подібний до нашої рахівни-ці), як про загальні методи для проведення обчислень у новій для того-часної Європи позиційній (арабській) системі числення. Там була також викладена алгебра лінійних та квадратних рівнянь.
2) Це так званий третій закон Кеплера. 3) Детальніше про це див. у «Захоплюючій механіці» Я. І. Перельмана.
(Прим. автора).
181Перестановка годинникових стрілок
Перестановка Годинникових стрілок
З а д а ч аБіограф і друг знаменитого фізика А. Ейнштейна, доволі ві-
домий математик А. Мошковський1), якось, аби розважити сво-го приятеля під час хвороби, запропонував йому задачу, яка відноситься до того розділу алгебри, з яким ми зараз маємо справу (рис. 32).
«Візьмемо,— сказав Мошковський,— розміщення стрілок о 12 годині. Якби у цьому положенні велика й мала стрілки помі-нялися місцями, то вони да ли б усе ж правильні покази. Проте в інші моменти, наприклад, о 6 годині, взаємний обмін стрілок призвів би до абсурду — до розміщення, якого на справному го-диннику бути не може: хвилинна стрілка не може стояти на 6, коли годинна стрілка показує 12. Виникає питання: коли і як часто стрілки годинника займають такі положення, при яких заміна однієї з них на іншу дає нове положення, теж можливе на справному годиннику?
— Так,— відказав Ейнштейн,— це цілком підходяща зада-ча для людини, змушеної через хворобу залишатися у ліжку: доволі цікава і не надто легка. Потерпаю тільки, що розвага триватиме недовго: я вже натрапив на шлях до розв’язання.
І піднявшись на ліжку, він кількома штрихами накинув на папері схему, яка відображала умову задачі. Для розв’язування йому знадобилося не більше часу, ніж мені на формулювання задачі. Одержалось невизначене рівняння, яке він розв’язав у цілих числах».
Як же розв’язується ця задача?1) Підводячи підсумок своїх численних бесід з Ейнштейном на філософські
та фізичні теми, А. Мошковський написав про це книгу. Існує її переклад російською мовою під назвою: Альберт Эйнштейн. Беседы с Эйнштейном о теории относительности и общей системе мира. — М.: «Работник просве-щения», 1922. — 210 с. Ця книга цитується як першоджерело у біографіях Ейнштейна. Основні її розділи такі: Явища на тверді небесній. Про нашу силу. Вальхалла (палац Одіна). Питання виховання. Відкриття та його автор. Із різних світів. Головні лінії та побічні шляхи. Про популярні ви-клади. Він сам.
182 Розділ четвертий. Діофантові рівняння
розв’язанняБудемо вимірювати шлях стрілок по колу циферблата від
точки, де стоїть число 12, у 60-х частинах кола. Оскільки хви-линна стрілка пробігає повне коло за годину, а годинна всти-гає за цей час пройти лише 1
12 частину кола, то кожну поділку, яка містить 1
60 кола, хвилинна стрілка проходить за 1 хвили-ну, а годинна — за 12 хвилин.
Р и с . 3 2 . С т р і л к и г о д и н н и к а м о ж у т ь п о м і н я т и с я м і с ц я м и .
Нехай одне із шуканих положень стрілок спостерігалося об х-вій годині у хвилин (рис. 32). Хвилинна стрілка знаходилася тоді від числа 12 на відстані у поділок, а годинна — на деякій відстані z поділок. Знайдемо залежність між х, у і z. Оскільки від 12 пройшло х годин, то хвилинна стрілка здійснила х по-
12 12
z z
y y
183Перестановка годинникових стрілок
вних обертів і пройшла ще у поділок, тобто загалом 60х + у по-ділок. Годинна ж стрілка, яка рухається у 12 разів повільніше, пройшла 12-у частину від 60х + у, тому її відстань (z поділок) від числа 12 становить:
zx y
=+60
12.
Коли стрілки поміняються місцями, годинник показуватиме нову кількість х1 годин і z хвилин; при цьому годинна стрілка перебуватиме від числа 12 на відстані у поділок. Ця відстань у повинна дорівнювати:
yx z
=+60
121 .
Маємо систему двох рівнянь з 4-ма невідомими:
zx y
yx z
=+
=+
6012
6012
1
,
,
у якій х та х1 — цілі числа від 0 до 111). Аби знайти ці значення невідомих, виразимо z і у через х та х1. Одержимо:
yx x
=+( )60 12
1431 ,
zx x
=+( )60 12
1431 .
У цих двох виразах х та х1 — цілі кількості годин; вони мо-жуть змінюватися від 0 до 11:
х = 0, 1, 2, 3, ..., 11; х1 = 0, 1, 2, 3, ..., 11.
Надаючи х та х1 цих значень, ми визначимо всі шукані мо-менти. Оскільки кожне з 12 значень х можна зіставляти з кож-
1) Значення х = 12, х1 = 12 практично рівнозначні з х = 0, х1 = 0. (Прим. ав-тора).
184 Розділ четвертий. Діофантові рівняння
ним з 12 значень х1, то, здавалося б, кількість усіх розв’язків дорівнює 12 × 12 = 144. Проте насправді вона дорівнює 143, оскільки при х = 0, х1 = 0 та х = 11, х1 = 11 одержується одне й те саме положення стрілок. При х = 11, х1 = 11 маємо:
z = 60, у = 60,тобто годинник показує 12, як і у випадку х = 0, х1 = 0.
Усіх можливих положень ми розглядати не будемо; візьме-мо лише два приклади.
Приклад перший: х = 1, х1 = 1;
y =⋅
=60 13143
55
11, z = 5
511
,
тобто годинник показує 1 годину 5 511
хвилин; у цей момент стріл-
ки суміщаються; їхнє положення, звичайно, можна змінити одне на одне (як і при всіх інших з’ясованих суміщеннях стрілок).
Приклад другий: х = 5, х1 = 8;
y =+ ⋅( )
≈60 5 12 8
14342 38, ,
z =+ ⋅( )
≈90 8 12 5
14328 53, .
Відповідні моменти часу: 5 годин 42,38 хвилини і 8 годин 28,53 хвилини.
Кількість розв’язків ми знаємо: 143. Аби знайти всі точки циферблата, які визначають потрібне розміщення стрілок, слід обвід циферблата поділити на 143 рівних частини (починаючи від позначки 12): одержимо 143 точки, які і є шуканими. У про-міжних точках потрібні положення стрілок неможливі.
Першим автором цієї задачі1) був французький математик Ш. Лезан, який став відомим у нас завдяки своїй талановитій книжці «Початки математики». Задача була опублікована ним у французькому «Журналі елементарної математики» у 1882 р.
1) Цей абзац був вилучений редакторами, починаючи із 4-го видання.
329Застосування таблиці логарифмів
застосування таблиці лоГарифмів
З н а х о д ж е н н я л о г а р и ф м а1. Знайти lg 138.На перетині рядка «1,3» і стовпчика «8» знаходимо мантису
140. Характеристику (2) визначаємо із загальних міркувань. Маємо: lg 138 ≈ 2,140.
2. Знайти lg 5,27.На перетині рядка «5» і стовпчика «2» знаходимо мантису
716 для числа 52. Поправку для третьої цифри відшукуємо у т о м у с а м о м у р я д к у та у стовпчику під цифрою 7: ма-ємо 6. Отже, мантиса для 527 дорівнює: 716 + 6 = 722. Тому lg 5,27 ≈ 0,722.
3. Знайти lg 0,608.На перетині рядка «6» і стовпчика «0» знаходимо мантису
778. Поправку для третьої цифри відшукуємо у тому ж рядку та у стовпчику поправок під цифрою 8: тут маємо 5. Отже, ман-тиса для 608 дорівнює 778 + 5 = 783. Тому lg 0,608 ≈ – 1,783.
З н а х о д ж е н н я ч и с л а4. Знайти число, логарифм якого дорівнює 1,193.Відшукавши мантису 193, ми бачимо, що вона відповідає
числу 156. Отже, 1,193 ≈ lg 15,6.5. Знайти число, логарифм якого дорівнює – 1,927.У таблиці немає мантиси 927. Найближча менша мантиса —
924, відповідає числу 84. Поправку числа для неврахованих 3-х одиниць відшукуємо у стовпчику поправок н а д цифрою 3 того ж рядка, з якого було узято мантису; над трійками стоять зверху стовпчиків цифри 5 і 6. Отже, мантиса 927 відповідає числу 845 або 846, а шукане число дорівнює приблизно 0,845 або 0,846. Визначити число точніше у цьому випадку немож-ливо.
331Зміст
ЗМІСТПередмова редактора ...................................................................................... 3Із передмов автора до 2-го і 3-го видань ..................................................... 13
Р о з д і л п е р ш и й . П’ЯТА МАТЕМАТИЧНА ДІЯ ................................................................. 15
П’ята дія .......................................................................................................... 15Астрономічні числа ........................................................................................ 17Скільки важить усе повітря? ........................................................................ 19Горіння без полум’я й жару .......................................................................... 21Розмаїття погоди ............................................................................................ 22Замок із секретом ........................................................................................... 24Двійники ......................................................................................................... 25[Марновірний велосипедист] ........................................................................ 26Результати систематичного подвоєння ....................................................... 27Незвичайні ліки ............................................................................................. 29Чотирма одиницями ...................................................................................... 34Трьома двійками ............................................................................................ 34Трьома трійками ............................................................................................ 35Трьома четвірками ......................................................................................... 36Трьома однаковими цифрами ...................................................................... 36Чотирма двійками ......................................................................................... 37Універсальна бібліотека ............................................................................... 39Мислячі машини ............................................................................................ 48Літературний автомат ................................................................................... 53Музична суперечка ........................................................................................ 61Секрет шахового автомата ............................................................................ 62Кількість можливих шахових партій .......................................................... 64
Р о з д і л д р у г и й . МОВА АЛГЕБРИ.................................................................................... 68
Мистецтво складати рівняння ..................................................................... 68Життя Діофанта ............................................................................................. 69Кінь і мул ........................................................................................................ 71Четверо братів ................................................................................................ 72Птахи біля річки ............................................................................................ 73Дід та онук ...................................................................................................... 75Продаж годинників ....................................................................................... 75Прогулянка ..................................................................................................... 77Задача Льва Толстого .................................................................................... 79Корови на пасовиську .................................................................................... 84Задача Ньютона ............................................................................................. 87Семеро гравців ............................................................................................... 89
332 Зміст
Чисельність племені ...................................................................................... 91[Вміння відгадувати числа] .......................................................................... 92Удавана безглуздість ..................................................................................... 95Рівняння думає за нас ................................................................................... 96Курйози й несподіванки ................................................................................ 96У перукарні ................................................................................................... 100Трамвай і пішохід ........................................................................................ 102[Пароплав і плоти] ....................................................................................... 105Дві жерстянки кави ..................................................................................... 106Дорогою до заводу ........................................................................................ 108Вечірка .......................................................................................................... 109Морська розвідка ......................................................................................... 109На велодромі................................................................................................. 111Ескалатор метро ........................................................................................... 113Змагання автомобілів .................................................................................. 115Середня швидкість руху .............................................................................. 119Машини для розв’язування рівнянь ......................................................... 120
Р о з д і л т р е т і й . НА ДОПОМОГУ АРИФМЕТИЦІ Й ГЕОМЕТРІЇ ................................ 125
Миттєве множення ...................................................................................... 126Цифри 1, 5 і 6 ............................................................................................... 128Числа 25 і 76 ................................................................................................. 129[Нескінченні «числа»] .................................................................................. 130Доплата ......................................................................................................... 133Подільність на 11 ......................................................................................... 134[Номер автомобіля] ...................................................................................... 137Подільність на 19 ......................................................................................... 139Піфагорові числа.......................................................................................... 142Теорема Софі Жермен ................................................................................. 148Складені числа ............................................................................................. 148Кількість простих чисел .............................................................................. 151[Найбільше відоме просте число] ............................................................... 152Відповідальний розрахунок ....................................................................... 152Коли без алгебри простіше ......................................................................... 156На допомогу геометрії ................................................................................. 157
Р о з д і л ч е т в е р т и й . ДІОФАНТОВІ РІВНЯННЯ ....................................................................161
Купівля капелюха ........................................................................................ 161Ревізія кооперативу ..................................................................................... 166Купівля поштових марок ............................................................................ 169Купівля фруктів ........................................................................................... 171Відгадати день народження ....................................................................... 172Продаж курей ............................................................................................... 175
333Зміст
Два числа і чотири дії ................................................................................. 177Який прямокутник? ..................................................................................... 178Два двозначних числа ................................................................................. 179Перестановка годинникових стрілок ......................................................... 181[Суміщення годинникових стрілок[ ........................................................... 185Сто тисяч за доведення теореми ................................................................ 185
Р о з д і л п ’ я т и й . ШОСТА МАТЕМАТИЧНА ДІЯ ............................................................193
Шоста дія....................................................................................................... 193Накрутки ....................................................................................................... 195Із тестів Едісона ........................................................................................... 197Що більше? ................................................................................................... 198Чому це дорівнює? ........................................................................................ 200Розв’язати одним поглядом ........................................................................ 202Алгебраїчні комедії ...................................................................................... 203
Р о з д і л ш о с т и й . РІВНЯННЯ ДРУГОГО СТЕПЕНЯ .......................................................207
Здоровкання ................................................................................................. 207Бджолиний рій ............................................................................................. 209Ватага мавп .................................................................................................. 210Передбачливість рівнянь ............................................................................ 211Задача Ейлера ............................................................................................. 213Гучномовці .................................................................................................... 216Алгебра місячного перельоту ..................................................................... 219«Важка задача» ............................................................................................ 222Сума кубів ..................................................................................................... 225[Невизначене рівняння третього степеня] ................................................ 227Які числа? ..................................................................................................... 231Хитромудра система .................................................................................... 232Два поїзди ..................................................................................................... 233Де влаштувати полустанок? ....................................................................... 236Як прокласти шосе? ..................................................................................... 239Коли добуток найбільший? ......................................................................... 241Коли сума найменша? ................................................................................. 245Брус найбільшого об’єму ............................................................................. 246Дві земельні ділянки ................................................................................... 247Паперовий змій ............................................................................................ 247Спорудження будинку ................................................................................. 249[Дачна ділянка] ........................................................................................... 251Жолоб найбільшого перерізу ...................................................................... 252Лійка найбільшої місткості ........................................................................ 254Найяскравіше освітлення ........................................................................... 256
334 Зміст
Р о з д і л с ь о м и й . ПРОГРЕСІЇ ........................................................................................... 259
Найдавніша прогресія ................................................................................. 259Алгебра на клітчастому папері .................................................................. 261Поливання городу ........................................................................................ 262Табун курей .................................................................................................. 264Артіль землекопів ........................................................................................ 265Вартість колодязя ........................................................................................ 267Яблука ........................................................................................................... 269Новина ........................................................................................................... 270Прогресія розмноження .............................................................................. 272Розведення кролів ........................................................................................ 275Сарана ........................................................................................................... 277Бур’яни .......................................................................................................... 278Розмноження інфузорій .............................................................................. 280Купівля коня ................................................................................................ 281Винагорода воїна ......................................................................................... 283
Р о з д і л в о с ь м и й . СЬОМА МАТЕМАТИЧНА ДІЯ ............................................................ 285
Сьома дія ....................................................................................................... 285Суперники логарифмів ............................................................................... 287Еволюція логарифмічних таблиць ............................................................ 289Логарифмічні дивовижі .............................................................................. 291Найпростіша таблиця логарифмів ............................................................ 293Логарифми на естраді ................................................................................. 296Логарифми у кошарі .................................................................................... 299Логарифми у музиці .................................................................................... 300Зорі, шум і логарифми ................................................................................ 303Логарифми в електроосвітленні ................................................................ 305Заповіти на сотні років ................................................................................ 307Із заповіту Аракчеєва .................................................................................. 309Золотий дощ із мідного п’ятака .................................................................. 311Два американські борги .............................................................................. 313Неперервний ріст капіталу ......................................................................... 314Число «е» ........................................................................................................ 315Два степені.................................................................................................... 318Два корені ..................................................................................................... 319Скільки людей жило на світі? .................................................................... 320Логарифмічна комедія ................................................................................ 326Будь-яке число — трьома двійками .......................................................... 327Застосування таблиці логарифмів ............................................................. 329Тризначні логарифми ................................................................................. 330
Навчальне видання
Класикипопуляризаці ї науки
ПЕРЕЛЬМАНЯківІсидорович
ЗахоПлююча алгебра
ПерекладзросійськоїВ.О.Тадеєва
ЗаредакцієюВ.О.Тадеєва
ГоловнийредакторБогдан БуднийРедакторВолодимир Дячун
Дизайнтакомп’ютернаверсткаАндрія КравчукаХудожникобкладинкиВолодимир Басалига
ХудожникПавлоШелякКомп’ютернийнабірОлени Поліщук
Підписанододруку13.02.2011.Формат60×84/16.Папірофсетний.ГарнітураCenturySchoolBook.Умовн.друк.арк.19,53.Умовн.фарбо-відб.78,12.
Видавництво"Навчальнакнига–Богдан"СвідоцтвопровнесеннядоДержавногореєструвидавців
ДК№370від21.03.2001р.
Навчальнакнига–Богдан,а/с529,м.Тернопіль,46008тел./факс(0352)52-06-07;52-05-48;52-19-66;(067)350-18-70
