Коледно Математическо състезание 2012

TEMA 1 клас

ИМЕ ........................................................................... ВХ.№..........

УЧИЛИЩЕ .........................................................................

1.

2.

= ?

3.

1 2

0

7

4.

5.

6.

+ - =

6

1

8

4 1 0

1+

3+

8+

9 -

2 +

8

7. 6 + 2 + 0 = 9 = 2 + 7 -

3 + 3 + = 9 9 – 4 + 2 =

7 – 0 - = 1

8.

9 > 5 4 4 2 < 4 4 1< 4 0

0 3 > 2 3 2 > 3 2

9.

a) 7 - - = 1 7 - - = 1

7 - - = 1 7 - - = 1

7 - - = 1 7 - - = 1

7 - - = 1

10.

-2

+2

-3

++ - ?

9

3

СМБ – Секция”ИЗТОК” КОЛЕДНО МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ – 08.12.2012 г.

2 клас Времето за решаване е 120 минути. Регламент: Всяка задача от 1 до 9 има само един верен отговор. “Друг отговор“ се приема за решение само при отбелязан верен резултат. Задачите са разделени на групи по трудност: от 1 до 3 се оценяват с по 3 точки; от 4 до 6 - с по 5 точки и от 7 до 9 – с по 7 точки. Задача 10 се решава и описва подробно. Оценява се с 15 точки. Максималният брой точки е 60. Неправилни решения и задачи без отговор се оценяват с 0 точки. Организаторите Ви пожелават успех ! Име …………………………………………… училище ………………………... град/село …………………

Зад.1 Иван изписал 46 листа от тетрадката си и му останали още 14 листа. Колко листа има тетрадката? а) 32 б) 50 в) 60 г) друг отговор Зад.2 Дадени са изразите: 14 + 8; 53 - 28; 16 + 11; 54 - 24. Сборът от цифрите на най-големия резултат е: а) 3 б) 4 в) 9 г) друг отговор Зад.3 Дадени са редиците от числа: 13, 23, 33, 3; 22, 12, 2, 28; 30, 33, 23, 13; 24, 25, 21, 20. Сборът от числата на редицата, в която всички двуцифрени числа имат еднакъв брой десетици е: а) 72 б) 73 в) 90 г) друг отговор Зад.4 Колко е сборът от цифрите на липсващото число в редицата 2, 11, 20, 29, ....... ? а) 3 б) 5 в) 8 г) друг отговор

Зад.5 В състезание по математика участвали 87 деца. От тях 38 са момичета. С колко момчетата са повече от момичетата? а) 1 б) 11 в) 13 г) друг отговор Зад.6 Колко кг тежат общо двете котета и кучето от картинката? а) 13 б) 14 в) 16 г) друг отговор

Зад.7 Ако обиколката на триъгълника от чертежа е 66 см, то дължината на третата страна е: а) 1 дм б) 38 см в) 94 см г) друг отговор 28 см 28 см

Зад.8 В магазин има 27 бели саксии, с 9 по-малко кафяви и зелени колкото белите. Колко са общо саксиите? а) 63 б) 70 в) 90 г) друг отговор Зад.9 Сборът от годините на Росен и Иван е 32. Преди 3 години Росен е бил на 15 години. На колко

години е Иван сега? а) 11 б) 14 в) 20 г) друг отговор Зад.10 Боби и Петьо ще ходят на мач и имат общо 20 лв. Двамата пътуват с автобус на отиване и на

връщане и изхарчват всичките си пари. Какви еднакви неща могат да си купят, ако: • цените на билетите за мача са 4 лв., 5лв. и 10 лв.; • билетът за автобуса до стадиона в едната посока е 1 лв.; • знаменцата са по 2 лв.; • сладоледите са по 1 лв. и по 3 лв.; • шалчетата са по 4 лв.

Упътване: Посочете възможно най-много случаи.

ОТГОВОРИ И РЕШЕНИЯ 2 клас

Отговори: Зад.1-в, Зад.2-а, Зад.3-в, Зад.4-г 11, Зад. 5-б, Зад.6-г 17, Зад.7-а, Зад.8-г 72, Зад.9-б Зад.10 Всеки може да си купи:

І случай • билет за мача от 4 лв.; • билет за автобуса до стадиона и обратно 2 лв.; • 2 знаменца по 2 лв.;

IІ случай • билет за мача от 4 лв.; • билет за автобуса до стадиона и обратно 2 лв.; • знаменце за 2 лв.; • 2 сладоледа по 1 лв.;

IIІ случай • билет за мача от 4 лв.; • билет за автобуса до стадиона и обратно 2 лв.; • 4 сладоледа по 1 лв.;

IV случай • билет за мача от 4 лв.; • билет за автобуса до стадиона и обратно 2 лв.; • шалче от 4 лв.

V случай • билет за мача от 4 лв.; • билет за автобуса до стадиона и обратно 2 лв.; • един сладолед от 1 лв. и един от 3 лв.;

VI случай • билет за мача от 5 лв.; • билет за автобуса до стадиона и обратно 2 лв.; • един сладолед от 3 лв.;

VII случай • билет за мача от 5 лв.; • билет за автобуса до стадиона и обратно 2 лв.; • три сладоледа от 1 лв.;

VIII случай • билет за мача от 5 лв.; • билет за автобуса до стадиона и обратно 2 лв.; • знаменце за 2 лв.; • сладолед от 1 лв.

Оценяване: Един случай 5 точки; два случая 8 точки; три случая 10 точки; всеки следващ случай по

1 точка.

Секция “Изток” – СМБ КОЛЕДНО МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ – 8. 12. 2012 г

3 клас Времето за решаване е 120 минути. Регламент: Всяка задача oт 1 до 9 има само един верен отговор от четири възможни. “Друг отговор” се приема за решение само при отбелязан верен резултат. Задачите са разпределени на групи по трудност: от 1 до 3 се оценяват с по 3 точки; от 3 до 6 – с по 5 точки и от 7 до 9 – с по 7 точки. Задача 10 се решава и описва подробно. Оценява се с 15 точки. Максималният брой точки е 60. Неправилни решения и задачи без отговор се оценяват с 0 точки. Организаторите Ви пожелават успех!

Име.........................................................................................училище......................................................град..................... ЗАД.1 Намерете сбора на най-малкото и най-голямото от трицифрените числа, образувани с някои от цифрите 2, 0 и 5. А) 755 Б) 725 В) 770 Г) друг отговор ЗАД.2 Пресметнете израза 2.((33:5.0+50):5+1.1.10.0)-20 А) 10 Б) 0 В) 1 Г) друг отговор ЗАД.3 Колко правоъгълника има на фигурата? А) 6 Б) 18 В) 19 Г) друг отговор ЗАД.4 Лек автомобил изминава за час и половина 120 км. Колко километра ще измине за 4 часа? А) 480 Б) 360 В) 400 Г) друг отговор ЗАД.5 Обърнете внимание в колко часа и в каква последователност светват лампичките около елхата и отговорете кой номер лампичка ще светне в 23ч 15мин.?

А) 8 Б) 5 В) 3 Г) друг отговор ЗАД.6 Средно голяма елха струва 10 лв и 50 ст. Голямата елха е 2 пъти по-скъпа от средно голямата. Малката елха струва 3 пъти по-малко от голямата. Колко струва малката елха? А) 7лв Б) 21лв В) 3лв Г) друг отговор ЗАД.7 Всеки ден бързоходец се движи по следния начин: по пунктираните линии минава веднъж, а по всички останали минава по 2 пъти. Колко метра на ден изминава бързоходеца? А) 19 м Б) 27 м В) 666 м Г) друг отговор ЗАД.8 Най-много колко съботи и недели общо може да има в период от 45 дена? А) 7 Б) 14 В)12 Г) друг отговор ЗАД.9 На коледното състезание участват 48 ученика от трети клас. Разпределени са в стаи по равен брой. Във всяка стая има по шест момчета. В колко стаи са разпределени учениците, ако момичетата са по-малко от момчетата? А) 12 Б) 6 В) 4 Г) друг отговор ЗАД.10 Парите на Ива са колкото парите на Илия. Парите на Радо са колкото парите на Руми и с 10 лв. повече от парите на Ива. Петя има толкова пари колкото са общо парите на Руми и Илия. Всички деца заедно имат общо 90 лв. А) По колко лева има всяко дете? Б) Децата се нареждат в колона един след друг. Първи е Радо, след него Ива, след това Илия, Петя и накрая Руми. Първият дава половината от парите си на втория, след това втория дава половината от парите си на третия и така нататък докато се стигне до последния. Колко пари ще има Руми след тази размяна? В) Ако всяко дете даде по 2лв. на Ани, колко книги по 3лв. и 35ст. може да купи Ани?

    22 часа  22ч 45 мин 22ч 30 мин 22ч 15мин 

Отговори на теста: 1-А, 2-Б, 3-В, 4-Г 320км., 5-А, 6-А, 7-Б, 8-Б, 9-Б, ЗАД10 А) Руми - 20лв., Ива - 10лв., Радо- 20лв., Петя - 30лв., Илия - 10лв. (5 точки) Б) Руми ще има 40 лв. (5 точки) В) 2 книги (5 точки)

СМБ – Секция “Изток”

КОЛЕДНО МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ – 08.12.2012г. 4 клас

Времето за решаване е 120 минути. Регламент: Всяка задача oт 1 до 9 има само един верен отговор от четири възможни. “Друг отговор” се приема за решение само при отбелязан верен резултат. Задачите са разпределени на групи по трудност: от 1 до 3 се оценяват с по 3 точки; от 3 до 6 – с по 5 точки и от 7 до 9 – с по 7 точки. Задача 10 се решава и описва подробно. Оценява се с 15 точки. Максималният брой точки е 60. Неправилни решения и задачи без отговор се оценяват с 0 точки. Организаторите Ви пожелават успех ! Име……………………………………………………..училище………………....................град…………... зад. 1. Кои 3 цифри трябва да се зачертаят в числото 3 728 954 106 така, че без да се променя редът на

останалите цифри, да се образува възможно най-малкото число? а) 7, 9, 6 б) 3, 7, 1 в) 3, 7, 9 г) друг отговор

зад. 2. Колко стълба трябва да се поставят в продължение на 2 километра, ако разстоянието от стълб до стълб е 5 метра? а) 400 б) 390 в) 399 г) друг отговор

зад. 3. Намерете стойността на израза А = 2013 – 13.х, където х е неизвестното число от равенството 30 : (2.х + 1) = 2. а) 14 000 б) 1 922 в) 1 292 г) друг отговор

зад. 4. Теодор поискал да си купи от книжарницата няколко молива и дал банкнота от 10 лева. В последния момент се сетил, че трябва да си купи и гума, която струвала 2 лева. Оказало се, че му върнали толкова пари, колкото стрували моливите. Колко лева е платил Теодор за цялата покупка? а) 4 лева б) 8 лева в) 6 лева г) друг отговор

зад. 5. В едно училище има 50 четвъртокласници и всички те изучават български език. 20 от тях изучават и английски език, 35 ученика изучават и френски език, а 10 не изучават нито един от двата чужди езика. Колко ученика изучават едновременно английски и френки език? а) 15 б) 5 в) 20 г) друг отговор

зад. 6. В сладкарница “Коледна звезда” всички маси имат по 4 крака и до всяка маса са поставени по 4 трикраки столчета. Краката на масите и на столчетата общо са 240. Колко най-много деца могат да седнат в сладкарницата, ако на всеки стол сяда по едно дете? а) 20 б) 80 в) 15 г) друг отговор

зад. 7. За Коледното тържество в една детска градина купили 11 кукли и 13 мечета, като общата стойност на покупката била 1 420лева. Известно е, че 5 кукли и 6 мечета струват 650 лева. Колко лева струват общо 1 кукла и 1 мече? а) 120 лв б) 70 лв в) 50 лв г) друг отговор

зад. 8. Рози участва в тренировките на спортен клуб. Едно от упражненията се състои от равномерно ходене с последващ отскок на място /изправен/. Дължината на тренировъчната пътека е 6 метра. В началото и в края на пътеката са поставени знаменца. Рози преминава разстоянието по следния начин: две крачки напред, отскок на място, една крачка назад, отскок на място, след това две крачки напред, отскок на място, една крачка назад и т.н. докато стигне до второто знаменце. Колко крачки прави Рози, ако дължината на една нейна крачка е 50см? а) 12 б) 33 в) 34 г) друг отговор

зад. 9. Двама приятели тръгват едновременно от град А до град В. Единият изминава по 7 километра на ден, а другият изминава първия ден 1 километър, на следващия – 2 км, на третия – 3 км, и т.н. по 1км повече на ден. След колко дни двамата приятели ще се настигнат? а) 7 б) 13 в) 5 г) друг отговор

зад 10. В една кутия има 20 топчета – бели, черни и червени. По колко топчета от всеки цвят има в кутията, ако белите топчета са 6 пъти повече от черните?

Кратки решения и отговори:

точки 3 3 3 5 5 5 7 7 7 задача 1 2 3 4 5 6 7 8 9 отговор в г - 401 б в а г - 60 а г - 32 б

зад. 1. Търсеното число е 2 854 106. зад. 2. 2 км = 2 000м 2 000 : 5 = 400 Броят на стълбовете е с 1 по-голям: 400 + 1 = 401. зад. 3. х = 7, А = 2013 – 13.7 = 2013 – 91 = 1 922. зад. 4. 10 лв – 2лв = 8 лв – това е два пъти цената на моливите.

Теодор е платил 4 лв за моливите + 2 лв за гума = 6лв общо. зад. 5. ( 20 + 35 + 10 ) – 50 = 65 – 50 = 15. зад. 6. За един комплект маса и столове краката са 1 . 4 + 4 . 3 = 16. Броят на комплектите е 240 :

16 = 15. Като се има предвид, че в комплект има по 4 стола, децата могат да са 15.4 = 60. зад. 7. 5 кукли + 6 мечета = 650 лв, следователно 10 кукли + 12 мечета = 650.2 = 1 300 лв.

Разликата между стойността на закупените играчки и 1 300лв е 120лв. зад. 8. На всеки 3 крачки Рози се придвижва с 50 сантиметра. Следователно тя ще измине 1

метър за 2.3 = 6 крачки. След 30 (= 6.5) крачки тя ще се е отдалечила на 5 метра от старта. След още 2 крачки тя ще достигне до второто знаменце и след отскока тя ще приключи с упражнението. Необходими са 30 + 2 = 32 крачки.

зад. 9. На седмия ден двамата приятели ще изминат еднакво разстояние – по 7 километра. След това вторият ще трябва да навакса километрите, с които е изостанал през първите дни –

(7 - 6) + (7 - 5) + (7 - 4) + (7 - 3) + (7 - 2) + (7 - 1) + 7 + (7 + 1) + (7 + 2) + (7 + 3) + (7 + 4) + (7 +5 ) + (7 + 6) = 7х.

91 = 7х и х = 13. зад. 10. Нека броят на черните топчета е Х, тогава броят на белите топчета ще е 6Х. Броят на

червените топчета ще е 20 – (Х + 6Х) = 20 - 7Х. Тъй като броят на топчетата е цяло число има две възможни решения на задачата: - Х = 1 и има 1 черно, 6 бели и 13 червени топчета. - Х = 2 и има 2 черни, 12 бели и 6 червени топчета.

Изразяване брой черни топчета – 1т. Изразяване брой бели топчета – 1т. Изразяване брой червени топчета – 2т. Съобразяване, че броят топчета трябва да е цяло число – 1т. За Х = 1 и намиране на отговор – 5т. За Х = 2 и намиране на отговор – 5т.

Варна

СМБ – Секция”ИЗТОК” КОЛЕДНО МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ – 08. 12. 2012

5 клас Времето за решаване е 120 минути. Регламент: Всяка задача от 1 до 9 има само един верен отговор. “Друг отговор ” се приема за решение само при отбелязан верен резултат. Задачите от 1 до 3 се оценяват с по 3 точки, задачите от 4 до 6 се оценяват с по 5 точки, задачите от 7 до 9 се оценяват с по 7 точки. Задача 10 се решава подробно и се оценява с 15 точки. Организаторите Ви пожелават успех Име……………………………………………………..училище…….................……......................…град…………....................................................

1.Стойността на израза 20,13.1,3 – 2,012.13 е: а) 0,013 б) 1,3 в) 0,13 г) друг отговор 2. Намерете неизвестното число х от равенството а.(х – 3) – 0,25 = 5,25 , ако a е частното на числата 5 и 10 : а) 14 б) 13 в) 4,1 г) друг отговор 3. Триста грама банани струват 80 ст., а двеста и петдест грама портокали струват 50 стотинки. Ясен купил 1,2 килограма банани и 1350 грама портокали. Колко лева са му върнали, ако е дал банкнота от 10 лева: а) 5,90 б) 4,10 в) 5 г) друг отговор 4. Сборът на двуцифрено и трицифрено число е 596. Едното от тях завършва на 2. Ако тази цифра се зачеркне, ще се получи другото число. Числата са: а) 49 и 492 б) 552 и 44 в) 544 и 52 г) друг отговор 5. В работилницата на Дядо Коледа работят 6 джуджета, като всяко след най-младото е по-голямо от предходното с 4 години. Най-възрастното джудже е 3 пъти по-голямо от най-младото. Колко е сборът от годините на шесте джуджета? а) 80 б) 100 в) 120 г) друг отговор 6. При строеж на ограда около правоъгълен участък били забити 128 стълба на разстояние 3,6 м един от друг. Решили да заменят стълбовете с нови, които поставили на разстояние 3,2 метра един от друг. Колко стълба повече са използвани при замяната? а) 32 б) 144 в) 36 г) друг отговор 7. От правоъгълен лист хартия с размери 30 см и 20 см е отрязан квадрат с максимална дължина на страната. Полученият квадрат е разрязан на 2 еднакви правоъгълника. От единия правоъгълник отново е отрязан квадрат с максимална дължина на страната. Лицето на последния квадрат в квадратни дециметри е: а) 0,1 кв.дм б) 1 кв.дм в) 10 кв. дм г) друг отговор 8. Магьосникът ЗИГЗАГ е на 66 години и има 66 гърнета с вълшебства, които номерира по странен начин 1 2 1 2 3 2 1 2 3 4 3 2 1 2 3 4 5 4 3 2 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 и така нататък. Колко гърнета са номерирани с любимото му число 6. а) 4 б) 5 в) 6 г) друг отговор 9. На електронно табло 7 х 7 през първата секунда светнало централното и четирите ъглови квадратчета. През всяка следваща секунда едновременно светвали тези , които имат обща страна със светнало квадратче. На коя секунда е светнало цялото табло:

а) 4 б) 5 в) 6 г) друг отговор 10.Двама колоездачи тръгнали в 7ч. и 45 мин. от едно и също място, в една и съща посока около град с обиколка 15 км, като 18 км се изминават от единия за един час, а от другия 1,2 пъти по-бавно. Ако след втория час всеки от двамата намали скоростта си 1,5 пъти, в колко часа те отново ще бъдат заедно и колко обиколки ще е направил всеки от тях?

ОТГОВОРИ

1. а) 0,013 2. а) 14 3. б) 4,10 4. г) друг отговор 54 и 542 5. в) 120

6. г) друг отговор 16 7. б) 1 кв.дм 8. в) 6 9. а) 4

първа сек. втора сек. трета сек. четвърта сек.

Решение на задача 10:

Намиране скоростта на първия- 18 км/ч 0,5т.

времето и скоростта на втория- 1,2 часа и 18:1,2= 15 км/ч 1 т

За 2 часа единият ще измине 36 км 0,5т.

другият 30 км 0,5т.

36-30=6 км ще избърза първият 0,5 т. (3т.)

За да са отново заедно трябва разликата в пътищата да бъде 15 км.,

т.е. остават още 9 км за наваксване 2т.

Новите скорости са съответно 18:1.5=12 км/ч 0,5т.

15:1,5=10 км/ч 0,5т.

Ще бъдат отново заедо след 9:( 12-10)=4,5 часа 3т.

общо за 6,5ч= 6ч 30 мин. 1т.

Намиране на часа- 14ч и 15 мин 1т. (8т)

Първият е изминал 90 км 1т.

направил 6 обиколки 1т.

другият е изминал 75 км 1т.

и направил 5 обиколки 1т. (4т)

СМБ – Секция”ИЗТОК” КОЛЕДНО МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ – 08. 12. 2012

6 клас Времето за решаване е 120 минути. Регламент: Всяка задача от 1 до 9 има само един верен отговор. “Друг отговор ” се приема за решение само при отбелязан верен резултат. Задачите от 1 до 3 се оценяват с по 3 точки, задачите от 4 до 6 се оценяват с по 5 точки, задачите от 7 до 9 се оценяват с по 7 точки. Задача 10 се решава подробно и се оценява с 15 точки. Организаторите Ви пожелават успех Име……………………………………………………..училище…….................………град…………...

Зад. 1. Стойността на израза 42332.327 2222 . ++= −A

а) 122 б) 56 в) 481922 + г) друг отговор Зад. 2. Върху числовата ос са изобразени точките A и B , като A е образ на най-малкото едноцифрено

цяло число, а B е образ на реципрочното на 41

. Точките M е средата на отсечката AB и е образ на

числото: а) -6,5 б) 2 в) -2,5 г) друг отговор Зад. 3. Правоъгълен трапец има основа cma 2,9= , височина cmh 3= и голямото бедро cmc 6= .

Ако лицето на трапеца 26,21 cmS = , то обиколката на трапеца е: а) 3,6 б) 20,8 в) 2 г) друг отговор Зад. 4. Произведението на две числа е 240. Ако едното число се удвои, а другото число се намали с 5, то произведението на новополучените числа е отново 240. Сборът на дадените числа е: а) 38 б) 53 в) 29 г) друг отговор Зад. 5. Ако a е стойността на цифрата на четирицифреното число a127 , така че то се дели на 6, x е стойността на неизвестното в уравнението ( ) 20314,033,0:66.05,006,3 =++− x и ако а > x , то стойността на

( )xaxaA −−= )..25,2.812( е:

а) 9,5 б) 32 в) 124 г) друг отговор Зад. 6. Основата на правоъгълен паралелепипед е квадрат с обиколка 2 dm . Сборът от околните ръбове е

.cmn , където 315:

3.733.5

8

89 −=n . Обемът на правоъгълния паралелепипед е:

а) 3775,0 dm б) 35423 cm в) 35,77 cm г) друг отговор

Зад. 7. Цифрата на единиците на числото 20128=Р е:

а) 0 б) 2 в) 4 г) друг отговор Зад. 8. В 8 часа приятели тръгват от град А с моторна лодка по течението на река и пристигат на брега В

в 9 ч. 30 мин. Скоростта на лодката в спокойна вода е ,/2112 hkm а скоростта на течението е hkm /5,2 .

Колко часа е престоят на приятелите на брега, ако в 16 часа те са се завърнали обратно в град А.

а) h414 б) h6 в) h

216 г) друг отговор

Зад. 9. Дробта 210221 се получава, като сбор от три обикновени дроби с едноцифрени знаменатели.

Най-малката от тези дроби е:

а) 71 б)

72 в)

61 г) друг отговор

Зад. 10. За Коледа Ани, Ния, Ванеса и Денис направили 120 мъфини за деца от Дома за сираци.

Ани е направила 50 % от мъфините, които направили останалите трима, Ния направила 31 от мъфините

направени от останалите, а направените от Денис мъфини са 1,5 пъти по-малко от мъфините направените от Ванеса. а) По колко мъфини е направил всеки от тях? б) Колко % от мъфините направени от Денис са мъфините направени от Ани?

КМС 08. 12.2012 г. ОТГОВОРИ: 6 клас Зад.1. б); Зад. 2. в); Зад. 3. г) 23,4 ; Зад. 4. г) 34; Зад. 5 б).; Зад. 6. в) ; Зад. 7. г) 6; Зад. 8. а); Зад. 9. в); Зад. 10. а) 20; б) 200%. Кратки решения:

Зад. 1. 5642523242522427222.22 42332.327 =++=++−=++= −A Зад. 2. Точка А е образ на (-9), а т.В е образ на 4. ⇒= ..13 емАВ т.М е образ на числото (-2,5).

Зад. 3. ( ) .2,52

3).2.9(6.212

.=⇒

+=⇒

+= bbhbaS Малкото бедро d съвпада с h cmPcmd 4,233 =⇒=⇒

Зад. 4. Нека числата са a и b , за които 240. =ba . Но ( ) .2401022405..2 =−⇒=− aabbа Заместваме ba. с 240 и намираме 24=a , 10=b .Следователно .34=+ ba Зад. 5. ( ) 420314,033,0:66.05,006,3 =⇒=++− xx . Числото а127 се дели на 6, ако 2=а или .8=а От

условието a > х ⇒ 8=a . ( ) ( ) 324).917(484.25,28.8

17)..25,2.812( =−=−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=−−= хaхaA

Зад. 6. От условието, че основата и квадрат, следва че обиколката на основата bP 4= , но 2 дм = 20 см

cmb 5=⇒ . cmn5

62531.

714

531.

83.7

)13.5(83315:

3.733.5

8

89==

−=

−= . Броят на околните ръбове (с) е 4

cmcc1031

2062

562.4 ==⇒=⇒ . 35,77

1031.5.5.. cmcaaV === .

Зад. 7. Р= 50348

503.48

20128

20128 ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=== .

Цифрата на единиците на числото 48 е 6, а последната цифра на n6 е 6. Следователно цифрата на единиците на числото Р е 6. Зад. 9. Знаменателят 210 =2.3.5.7. От условието , че знаменателите на трите обикновени дроби са

едноцифрени числа ⇒ че знаменателите са 5, 6 и 7. Нека об. дроби са .7

;6

;5

cba От тук следва че

съответните допълнителни множители са съответно 42; 35; 30. Тогава 221.30.35.42 =++ cba . Числото c.30 има за цифра на единиците 0→ , 035 →b или 5 , →а.42 0,2,4,6,8. Тъй като сборът на числата е

нечетно, следователно b e нечетно число и b35 има за цифра на единиците 5. Следователно цифрата на единиците на 42а е 6. Откъдето следва а = 3 2;1196795.30.35 ==⇒=+⇒=+⇒ cbcbcb . Следователно

об. дроби са: 72;

61;

53 . Най-малката от тях е

61 .

Зад. 10. а) Нека мъфините направени от Ани са х , то останалите са направили х−120 . 1 точка Тогава ( ) 40120%50 =⇒−= ххх мъфини 3 точки. Ния е направила у мъфини, а останалите у−120 1 точка

⇒ ( )уу −= 12031 30=⇒ у мъфини 3 точки

Следователно Ани и Ния са направили общо 70 мъфини, Ванеса и Денис общо 50 мъфини 1 точка Нека z са направените от Денис мъфини, тогава Ванеса е направила z−50 мъфини. 1 точка От ( ) 205,1:50 =⇒−= zzz , следователно Денис е направил 20 мъфини, а Ванеса -30 мъфини 3 точки

б) 2004020.100

4020% =⇒=⇒= рротр % 2 точки

СМБ – Секция “Изток” КОЛЕДНО МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ – 8.12.2012

7 клас

Времето за решаване е 120 минути. Регламент : Всяка задача oт 1 до 16 има само един правилен отговор от четири възможни (отбелязани с а), б), в), г) ) . За задачи 17 до 22 трябва да бъдат записани само отговорите, а задачи 23 и 24 трябва да бъдат подробно решени. Задачите от 1 до 4 се оценяват с по 1 точка; задачи от 5 до 10 – с по 2 точки; задачи от 11 до 16 – с по три точки; задачи 17 до 20 – с по 5 точки; задачи 21 и 22 – с по 8 точки и задачи 23 и 24 – с по 15 точки. Максималният брой точки е 100. Неправилни решения и задачи без отговор се оценяват с 0 точки. Организаторите Ви пожелават успех ! Име……………………………………………………..училище………………..град…………...

1.Ако a и b са рационални числа и 0;0 <> ba , кое от следните неравенства винаги е ВЯРНО? 1) ba <− 2) 0>+ ba 3) ba −< 4) 0. <ba

а) първото б) второто в) третото г) четвъртото

2.Приведете в нормален вид израза ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + 2

241

21 aaa

а) 41

2

23 +−

aa б) 813 −a в)

813 +a г)

413 −a

3.Намерете стойността на израза 22

33

xyyxxyyx

++− за

323−=x и

31

=y

а) 4 б) -4 в) 331 г)

312−

4.Правилна шестоъгълна пирамида с височина 6 см има основен ръб, равен на 6 см и апотема на основата 4,2 см. Обемът на пирамидата е равен на:

а) 75,6 куб.см б) 151,2 куб.см в) 153,4 куб.см г) 164,8 куб.см

5.Пресметнете стойността на отношението baba

+− , ако

25

=ba .

а) 37 б)

73 в)

52 г)

53

6.Точките А, В и С лежат на една права, като АВ=2 см и ВС=5 см. На колко см е равна АС?

а) 3 см б) 7 см в) 3 см или 7 см г) 1 см или 3 см.

7.Разликата на квадратите на две естествени числа е равна на 41. По-малкото от тези числа е: а) 26 б) 24 в) 18 г) 20.

8. Лъчите OM и ON сключват ъгъл, равен на 0340 ′° . Лъчът OP е перпендикулярен на лъча OM , а лъчът OQ е противоположен на лъча ON. Мярката на ъгъл POQ е:

а) 03139 ′° б) 0349 ′° или 03130 ′° в) 0349 ′° или 03139 ′° г) 03130 ′° или 0340 ′°

9.Сборът на три числа е равен на 510. Второто число едва пъти по-голямо от първото, а третото се отнася към второто, както 4:3. Кое е най-голямото от трите числа?

а) 240 б) 180 в) 360 г) 420

10.Лъчът ОС е вътрешен за ъгъл АОB . Ъгъл СОВ е с °10 по-малък от ъгъл АОС и е 65 от него.

Намерете мярката на ъгъл АОВ. а) °50 б) °60 в) °110 г) °130

11.Даден е изразът 32

2

..nnmnmmM

+−

= , където m и n са естествени числа. Ако m е стойността на

израза ( ) ( )( ) ( )48

342

9.227.2−−−−− , а n е модула на най-голямото цяло отрицателно число,, то стойността на израза

M е равна на:

а) 1− б) 52

− в) 53 г)

51

12.Сборът на дължините на две от страните на триъгълник е 18 см, а височините към тях са 6 см и 3 см. Намерете лицето на триъгълника.

а) 12 кв.см б) 18 кв.см в) 21 кв.см г) 24 кв.см

13.Ако 522,32,342 2233 +−−=+−=+−= xxCxxBxxA , то нормалният вид на многочлена CBA 2+− е:

а) 1043 +− xx б) 2422 23 +−− xxx в) 1082 23 +−− xxx г) 10323 +−− xxx

14. Правоъгълник е разделен на четири по-малки правоъгълника. Три от тях имат лица 6 кв.см, 8 кв.см и 10 кв.см.Намерете лицето на четвъртия от малките правоъгълници.

а) 4 кв.см б) 8 кв.см в) 12кв.см г) 7,5 кв.см

15. Дадени са многочлените ( ) ( ) 2222 ,2 aaxxxQaaxxxP +−=++= . За кои стойности на a е вярно равенството ( ) ( ) 2122 =− QP ?

а) 1 б) 2 в) 2− г) 0

16. На колко е равно 33 3 yxyx ++ , ако 1=+ yx ? а) 1 б) 3 в) 26x г) 0

17. 103 от прасковите в една касетка са равни на 25% от прасковите във втора касетка, а 0,8 части от

прасковите във втората касетка са с 1 кг по-малко от тези в първата. Колко кг праскови има в първата касетка?

18.В тъпоъгълен триъгълник острите ъгли са α и β . Намерете стойностите на ъглите, сключени между продълженията ва височините в триъгълника.

19.За кои стойности на a и b изразът 232206 22 +−−+ abbba приема най-малка стойност?

20.Разложете на множители израза 44 +x .

?

21. Правоъгълна градинка с дължина ( )10<xx м и широчина y м, където x и y са цели числа, трябва да се огради от четирите страни с пътека, широка 1 м. Лицето на пътеката е равно на лицето на градинката. Намерете: а) размерите на градинката; б) лицето на целия обект (градинката и пътеката). 22.Построена е шатра във вид на конус. Височината на шатрата е 3 м, а за радиуса, височината и образувателната на конуса знаем, че се отнасят както 8:6:10.

а) колко кг боя е необходима за боядисване на шатрата, ако за 1 кв.м площ се използва 0,6 кг боя? б) подът на шатрата е покрит с балатум(подово покритие). Колко кв.м балатум е необходим за

покриването му? 23. а) Да се разложи на множители изразът 623 −−+ xyxy .

б) Да се докаже, че има точно две двойки цели числа ( )11; yx и ( )22; yx , за които е изпълнено равенството 0523 =−−+ xyxy и да се намерят тези числа .

в) Ако ( )11; yxM и ( )22; yxN са точки в координатната система, да се намери лицето на триъгълника OMN .

24. Даден е равнобедрен триъгълник ABC , в който °=∠ 20ACB . Върху бедрото AC е взета точка M , така че °=∠ 60ABM , а върху бедрото BC е взета точка N , така че °=∠ 50BAN .

а) да се определи видът на триъгълника ABN ; б)Да се намерят ъглите AMN и ANM.

x y

1

СМБ – Секция”ИЗТОК” КОЛЕДНО МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ – 08. 12. 2012

8 клас Времето за решаване е 120 минути. Регламент: Всяка задача от 1 до 9 има само един верен отговор. “Друг отговор ” се приема за решение само при отбелязан верен резултат. Задачите от 1 до 3 се оценяват с по 3 точки, задачите от 4 до 6 се оценяват с по 5 точки, задачите от 7 до 9 се оценяват с по 7 точки. Задача 10 се решава подробно и се оценява с 15 точки. Организаторите Ви пожелават успех Име……………………………………………………..училище…….................………град…………... Зад. 1. Най-голямата числена стойност на израза 3 1x− − − е равна на: а) 3 б) 4 в) 2 г) друг отговор Зад. 2. Лицето на ромб е 260,5см , а периметърът му е 44 см. Колко е градусната мярка на най- големия ъгъл на ромба? а) °120 б) °150 в) °30 г) друг отговор Зад. 3. Корените на уравнението 22 5 4 5x x+ = са:

а) 5 22± б) 5 5

2±

− в) няма реални корени г) друг отговор

Зад. 4. В равнобедрен трапец ABCD бедрото AD е равно на малката основа CD , а диагонала AC - на голямата основа AB . На колко градуса е равен острият ъгъл на трапеца? а) 72° б) 60° в) °30 г) друг отговор

Зад. 5. След опростяване на дробта 7 2 102 5−−

се получава:

а) 1 б) -1 в) 2 10 73− г) друг отговор

Зад. 6. Периметърът на правоъгълник, дължините на страните на който са корени на уравнението

(4 2 ) 21 8x x x+ = − е: а) 17 б) 34 в) 4 г) друг отговор Зад. 7. Страната AB на успоредника ABCD е равна на 10 см. Върху страната CD е взета точка M така, че DM = 6 см. Ако AB a=

uuur r и AC b=uuur r

, то векторът AMuuuur

е равен на; а) 0,4b a+

r r б) ( )0,4 b a−r r в) 0, 4b a−

r r г) друг отговор

Зад. 8. След две последователни намаления с един и същ процент цената на една блуза от 50 лв. станала 40,50 лв. С колко процента е намалявана цената на блузата? а) 20% б) 8% кг в) 9,5% г) друг отговор Зад. 9. Височините AD и CM на остроъгълен ABCΔ се пресичат в точка H , която разполовява CM . Ако точка D дели страната CB в отношение 1:2 считано от C , то намерете отношението :AH HD : а) 2:3 б) 3:1 в) 1:2 г) друг отговор Зад. 10. За Коледа учениците от 8б клас, които членуват в кръжока „Сръчни ръце” и са 14 на брой, изработили снежинки и звездички за украсата на класната стая. Момчетата са по-малко от момичетата и са направили звездичките, а момичетата – снежинките. Общо звездичките и снежинките са били 96 на брой. Всяко момиче направило по толкова снежинки, колкото са на брой момчетата, а всяко момче – по толкова звездички, колкото са на брой момичетата. Колко са момчетата и момичетата, и колко са звездичките и снежинките?

ОТГОВОРИ: 8 клас

Зад.1. в); Зад. 2. б); Зад. 3. г) 5 55± ; Зад. 4. а); Зад. 5. б) ; Зад. 6. а) ; Зад. 7. в);

Зад. 8. г) 10 %; Зад. 9. б); Зад. 10. 6, 8, 48, 48. Кратки решения: Зад. 2. 44 11Р а см= ⇒ = .

. 60,5 :11 5,5S a h h см= ⇒ = = 30 150А В⇒ = ⇒ =o o . Зад. 4. А В α= = АСВ В α⇒ = = 180 2АСD ВAC α⇒ = = −o 180 2CАB ACD α⇒ = = −o

180 2DАС ACD α⇒ = = −o 180 2 180 2α α α⇒ − + − =o o 72α⇒ = o .

Зад. 5. 2 5 2( 5 2)7 2 10 5 2 1

2 5 2 5 2 5 2 5

−−− −= = = = −

− − − −.

Зад. 6. 21 2

1 1(4 2 ) 21 8 2 17 8 0 8; 2.8 2. 172 2

x x x x x x x P+ = − ⇒ − + = ⇒ = = ⇒ = + = .

Зад. 8. Ако намалението е x%, то цената след първото намаление е 50 1100

x⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

лв., а след

второто2

50 1100

x⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

. Следователно 2

50 1 40,5100

x⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠

. x = 10 %.

Зад. 9. Ако N е средата на BD ,то отсечките HD и MN са средни отсечки съответно в MNCΔ и

ADBΔ . тогава височината CM е и медиана, т.е. ABCΔ е равнобедрен. Освен това 1 12 4

HD MN AD= = ,

откъдето 1 34 4

AH AD HD AD AD AD= − = − = : 3 :1AH HD⇒ = .

Зад. 10. Нека момичетата са x . Тогава момчетата са 14-x и x>14-x, x>7. Тогава момичетата са направили x(14-x) снежинки, а момчетата (14-x)x звездички. Тъй като общият брой на звездичките и снежинките е 96, получаваме: x(14-x)+ (14-x)x=96 2

1 214 48 0 8, 6x x x x− + = ⇒ = = Но x>7, затова момичетата са 8, а момчетата са 6. Звездичките и снежинките са по 48 броя. Автори:Нели и Николай Сиракови

Ботевград

C 

B

A

t

    Секция “Изток” – СМБ КОЛЕДНО МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ – 8.12.2012 г.

9 клас

Времето за решаване е 120 минути.

Регламент: Всяка задача от 1 до 9 има само един верен отговор. „Друг отговор” се приема за решение само при отбелязан верен резултат. Задачите от 1 до 3 се оценяват с по 3 точки, от 4 до 6 с по 5 точки и от 7 до 9 с по 7 точки. Задача 10 се решава подробно и се оценява с 15 точки.

Организаторите желаят успех!

Име...........................................................училище..........................................град......................

1. Определете недопустимите стойности на променливата в израза ( )( ) 12:

331

2

2

+−

−+−

xx

xxx

а) 1,3 ±± б) 3± в) 2 и 3± г) друг отговор .

2. Разстоянието между средите на катетите в правоъгълен триъгълник е 26 см. радиусът на описаната около този триъгълник окръжност е: а) 212 см б) 23 см в) 22 см г) друг отговор .

3. Кое от уравненията има корени с различни знаци? а) 05245 2 =−+ xx б) 011207 2 =+− xx в) 0162 =++ xx г) 06332 =−+− xx 4. За кои стойности на параметъра a графиките на функциите 92,32 −=−−= xyaaxy и

xy −= 6 минават през една точка? а) 4 и 1 б) няма такива в) 4 и – 1 г) друг отговор

5. В окръжност k хордата АВ сключва с допирателната t към окръжността в точка А ъгъл 450. Хордата ВС е успоредна на t . Ако разстоянието между t и ВС е 13 см, то дължината на ВС e: а) 6,5 см б) 13 см в) 26 см г) друг отговор .

6. Произведението на различните реални корени на уравнението

( ) ( ) 99626 222 =−−− xxxx е: а) – 3 б) 9 в) – 11 г) друг отговор

7. ABCD (АВ || CD) е правоъгълен трапец, АD⊥AB и ∠ABC :∠ BCD = 1:5. Точките M и N са съответно от основите AB и CD, като MN || AD. Ако в четириъгълниците AMND и MBCN могат да се впишат окръжности, а SABCD = 40 см2, намерете PAMND в сантиметри. а) 32 б) 16 в) 24 г) друг отговор .

8. За кои стойности на параметъра a уравнението 0442 22 =+−+− ааaxx има реални реципрочни корени? а) 1 б) 3 в) 2 г) друг отговор

9. В ΔABC 4:3:2:: =γβα . Около ΔABC е описана окръжност. Симетралите на страните BC, CA и AB пресичат принадлежащите на тези страни дъги съответно в точките А1, B1 и C1. Намерете ∠В1А1C1. а) 700 б) 600 в) 500 г) друг отговор

10. Ако a е параметър, да се реши уравнението

22

22

61138

323 aaxxax

axx

axax

+−−

=−

+−− .

Отговори 9 клас: 1.в); 2.г) 26 ; 3.а); 4.а); 5.в); 6.г) – 33; 7.б) ; 8.г) 1 и 3; 9.а). Задача 10. Решение:

Намиране корените на парам.уравнение 06113 22 =+− aaxx 3

2,3 21axax == 3 т.

Разлагане ( )( )axaxaaxx 3236113 22 −−=+− 2 т.

Определяне ДМ: aax 3;3

2≠ 1 т.

Определяне НОК и свеждане до уравн. ( )( ) ( ) 228233 axaxxaxax −=−+−− 2 т.

Извършване на приведение и получаване на уравн. 0232 22 =−+ aaxx 2 т.

Решаване на последното уравнение 2

,2 21axax =−= 2 т.

Проверка кога тези корени са решения и кога –не 2 т. Оформяне на извода, че:

1. при 0≠a задачата има 2 решения 2

,2 21axax =−=

2. при 0=a няма решение 1 т.

emilia.melnikliyska@gmail.com

Секция “Изток” – СМБ КОЛЕДНО МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ – 08.12.2012 г.

10 клас Времето за решаване е 120 минути. Регламент: Всяка задача от 1 до 9 има само един верен отговор. “Друг отговор ” се приема за решение само при отбелязан верен резултат. Задачите от 1 до 3 се оценяват с по 3 точки, задачите от 4 до 6 се оценяват с по 5 точки, задачите от 7 до 9 се оценяват с по 7 точки. Задача 10 се решава подробно и се оценява с 15 точки. Организаторите Ви пожелават успех? Име..................................................................................................училище..........................................град.....................................

Зад 1. Ако точка А( 3 ; a) е от графиката на функцията y = x 12+ , то а е равно на:

а) 4 б) 2 3 в) ± 13 − г) друг отговор

Зад 2. В правоъгълен триъгълник са дадени: c = 10 см и cotgα =34 . Намерете катетите a и b.

а) a = 2 см, b = 322 см б) а =

7715 см, b =

7720 см в) a = 6 см, b = 8 см г) друг отговор

Зад 3. На дефиниционното множество на израза 2

22

yxyyyx

−− принадлежи наредената двойка:

а) (4;4) б) (3,2;0) в) (0;0) г) (0;4)

Зад 4. Решенията на неравенството 01

)65)(2( 2

>−

+−−x

xxx са:

а) ( ) ( )3;21; ∪∞−∈x б) ( ) ( )3;22;1 ∪∈x в) ( )3;1∈x г) ( )2;1∈x

Зад 5. Ако 2=αtg , то стойността на αα 22 cossin

1 е:

а) 10 б) 4,5 в) 41 г) друг отговор

Зад 6. Стойността на израза αα 22 cot1

11

1gtg +

++

е:

а) 21 б) αα 22 cot2 gtg ++ в) 1 г) друг отговор

Зад 7. Параболата cbxaxxf ++= 2)( не пресича абсцисната ос. Вярно е, че: а) 0>ac б) 0≥ac в) 0<ac г) 0≤ac

Зад 8. Даден е правоъгълен триъгълник ABC )90( °=∠C с котангенс на ъгъла между катета AC и

височината към хипотенузата равен на 43 . Катетът B C= 9см. Дължината на катета AC е равна на:

а) 5 см б) 4

27 см в) 12 см г) друг отговор

Зад 9. За коя стойност на x , изразът A приема най-малка стойност, където 62 2 +−−−= xxA а) ─ 3 б) 2 в) 6,25 г)друг отговор

Зад 10. За кои стойности на параметъра k изразът 42)1(2)5( 2 −++−+= kxkxkA е дефиниран за всяка реална стойност на x?

Отговори: № 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Отг. а в г б г

416 в а в г -0,5 [ )+∞∈ :3k

Решение на Задача 10:

042)1(2)5( 2 ≥−++−+ kxkxk за всяко x 3т.

Съставяне на системата 00

≤>

Da

3т.

Намиране на 5−>k 3т. Решаване на дискриминантата

20410212 22 ++−−++= kkkkkD 2142 +−−= kkD

( ] [ )+∞∪−∞−∈=−=

=≤+−−

;37;37

250214

2

1

2

kkkD

kk

3т.

Определяне на сечението на двете неравенства [ )+∞∈⇒ ;3k 4т.

Елизабет Игова, Ваня Цветкова Перник

a α

4

Секция “Изток” – СМБ КОЛЕДНО МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ – 08.12.2012 г.

11 клас Времето за решаване е 120 минути. Регламент: Всяка задача от 1 до 9 има само един верен отговор. “Друг отговор ” се приема за решение само при отбелязан верен резултат. Задачите от 1 до 3 се оценяват с по 3 точки, задачите от 4 до 6 се оценяват с по 5 точки, задачите от 7 до 9 се оценяват с по 7 точки. Задача 10 се решава подробно и се оценява с 15 точки. Организаторите Ви пожелават успех? Име..................................................................................................училище..........................................град.....................................

Зад 1. Дадена е числова редица с общ член 232

++

=nnan . Петият член на тази редица е:

а) 35 б)

713 в) 5 г) друг отговор

Зад 2. Сборът на първия и втория член на аритметична прогресия е 7, а сборът на четвъртия и шестия член е 28. Разликата на прогресията е: а) 1 б) 2 в) 5 г) друг отговор. Следващите две задачи (зад.3 и зад. 4) са свързани със следното условие: С цифрите 0, 1, 2, 5 и 7 са образувани всички различни трицифрени числа, без повтарящи се цифри.

Зад 3. Общият брой на числата е: а) 48 б) 60 в) 125 г) друг отговор. Зад 4. Вероятността произволно избрано число да се дели на 5 е:

а) 489 б)

4821 в)

6021 г) друг отговор.

Зад 5. Ако 0≥b , то b е тъждествено равно на:

а) 6 b б) 3b в)

8 b г) друг отговор Зад 6. На чертежа е даден правоъгълен триъгълник. Стойността на

( )090cos +α е равна на::

а) a4

− б) 216 a

a

+− в)

216

4

a+− г)

216 a

a

+

Зад 7. Знаете ли, че гугъл е наименование на числото 10100. На колко е равно 1001000: а) гугъл10 б) (10гугъл)2 в) гугъл20; г) друг отговор

Зад 8. Дължините на страните на триъгълник образуват аритметична прогресия с разлика 3. Косинусът на

най-големия ъгъл е 41cos −=ϕ . Периметъра на триъгълника е равен на :

а) 9 б) 12 в) 18 г) друг отговор Зад 9. За кои цели стойности на параметъра а, неравенството ( ) 01 222 <−−− axax има точно 4

целочислени решения: а) 3±=a б) 2±=a в) 4=a г) друг отговор

Зад 10. Дадени са биквадратното уравнение ( ) ( ) 0112 22224 =−++− axax и геометричната прогресия, за

която са изпълнени условията 6015

24

13

=−=−

bbbb

а) Решете уравнението, ако стойността на а е равна на първия член на прогресията; б) Определете за кои стойности на реалния параметър а,уравнението има 4 различни, реални

корена.

Отговори: 1 Б; 2 Г 3; 3 А; 4 Б; 5 В; 6 Б; 7 В; 8 Г 27; 9 Б

Зад 10. а) записване на условията 60

15

13

1

12

1

=−

=−

qbqb

bqb 1 точка

намиране b1 = 1 3 точки формиране на уравнението 04 24 =− xx 1 точка

получаване на корените 22,1 ±=x 2 точки

получаване на корените 043 == xx 1 точка

б) полагане 02 ≥= xt и получаване на уравнението ( ) ( ) 0112 2222 =−++− atat 1 точка I начин

Пресмятане 24aD = или 216aD = 2 точки Намиране на ( ) 01 2

2,1 ≥±= at 1 точка

Получаване ( )12,1 +±= ax 1 точка

Получаване ( )14,3 −±= ax 1 точка

Извод: 1,0 ±≠a четири различни 1 точка II начин

За да има 4 различни реални корена биквадратното уравнение, квадратното за t трябва да има два различни положителни корена 2 точки

От формулите на Виет 0

00

21

21

>>>+

Dtt

tt 1 точка

Тогава

( )( )

001

012

2

22

2

>

>−

>+

aa

a

2 точки

Решения на системата са 1,0 ±≠∀ a 1 точка

Стефчо Наков Монтана nakkoff@abv.bg

СМБ – Секция “Изток” КОЛЕДНО МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ – 08.12.2012г.

12 клас Времето за решаване е 120 минути. Организаторите Ви пожелават успех ! Име……………………………………………………..училище………………....................град…………... ПЪРВА ЧАСТ Всяка задача има само един верен отговор. „Друг отговор” се приема за решение само, ако е отбелязан верен резултат. Задачите се оценяват с по 2 точки.

1. Ако 2

232

11212

−−−+

=a , то:

а) а=1; б) а=2; в) а=3; г) друг отговор. 2. Броят на решенията на уравнението 11 +=+ xx е: а) 0; б) 1; в) 2; г) друг отговор. 3. Сборът на модата и медианата на данните 4, 3, 4, 4, 5, 7, 12, 6, 13, е: а) 9; б) 16; в) 15; г) друг отговор. 4. Ако за аритметичната прогресия {an} е известно, че 3а13 – а27 = 10, то сборът на първите единадесет члена на прогресията е: а) 50; б) 52; в) 60; г) друг отговор.

5. Ако cosα = 31 , то tg2

2α , е:

а) 21 ; б) 3 ; в)

223 ; г) друг отговор.

6. Ако x1 и x2 са корени на квадратното уравнение x2 – 4x +1 = 0, стойността на израза ( )221 xx − , е: а) 1; б) 2; в) 3; г) друг отговор. 7. Ако за растяща аритметична прогресия с общ член аn e известно, че а2 + а6 = 14, вярно е че: а) а4 = 4; б) а2 + а4 + а6 = 21; в) S6 = 48; г) друг отговор. 8. Вероятността първото изтеглено число в играта „шест от четиридесет и девет” да е четно число, е равна на :

а) 253 ; б)

496 ; в)

4924 ; г) друг отговор.

9. Даден е ромб с остър ъгъл 300 и страна 10 см. Радиусът на вписаната в ромба окръжност е: а) 1,25 см; б) 2,5 см; в) 0,8 см; г) друг отговор.

10 Четириъгълникът ABCD е вписан в окръжност с радиус 3

35 см и ∠DCB = 1200. Дължината на

диагонала BD в сантиметри, е: а) 5 3 ; б) 5; в) 15/4; г) друг отговор. 11. В трапецът ABCD е вписана окръжност с център O. Ако AO=4 и DO=3 височината на трапеца е: a) 4,8; б) 9,6; в) 4; г) друг отговор. 12. В правоъгълния трапец ABCD голямата основа AB е 6 см и ∠DAB = 900, разстоянието от пресечната точка на диагоналите до бедрото AD е 2 см. Дължината на малката основа CD е: а) 3,5 см; б) 4 см; в) 5 см; г) друг отговор.

ВТОРА ЧАСТ Следващите две задачи са със свободен отговор, който трябва да се запише. Задачите се оценяват с по 3 точки. 13. Първият член на безкрайна геометрична прогресия с частно ⏐q⏐ < 1 е равен на 1 и сумата и е S. Квадратите на членовете на тази прогресия образуват също безкрайно намаляваща прогресия. Да се намери сумата и. Отговор……………………….. 14. Даден е равнобедреният триъгълник ABC (AC = BC) с бедро AC = 4 5 см и медиана AD = 5 см (D ∈ BC). Да се намери дължината на основата AB. Отговор………………………… ТРЕТА ЧАСТ На следващите три задачи трябва да се опише подробно решението. Задачите се оценяват с по 10 точки.

15. Намерете броя на целите стойности на а, за които 2,25 < aa

aa−

−−2

2 12 < 2,5.

16. Да се реши системата23

3422

=++=+xyyx

yx

17. Периметърът на правоъгълния триъгълник ABC (∠ ACB = 900) е равен на 3 + 3 см и ∠ BAC = 600. Намерете радиуса на вписаната в триъгълника окръжност.

12 клас Отговори: 1в; 2б; 3а; 4г –55; 5а; 6б; 7б; 8в; 9б; 10б; 11а; 12г –3см; 13

12

2

−SS ; 14 10=AB

Решение:

15. ДС а≠0 и а≠1. След преобразуване се получава ( )

( ) 2512

49

212

12112

412 <

+<⇔<

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

<аа

аа

аа

( )4;01249

∈⇔+

< ааа

. ( ) ( )+∞∪∞−∈⇔<+ ;20;

25112 а

аа

⇒ а∈(2;4) ⇒ a=3. Отг. 1

16. Записваме системата във вида: ( )23

3422

=++=−+

xyyxxyyx . Полагаме

vxyuyx

==+

⇒ 23

3422

=+=−

vuvu

⇒158

3310

1

1

1

1

==

=−=

vu

vu . Първата система няма решение, а втората (3;5) и (5;3).

17. Означаваме страната АС=b. AB=2b 3bBC = 3332 +=++=++ bbbBCACAB , b=1. От

213

131

31

1300 −

=+

=⇒=−

⇒=−

rr

rtgrb

r