Sinyaller & Sistemler – Fourier Serisi

30

Sinyallerin Zaman – Frekans Analizleri : FOURIER TEORİSİ Bu bölümden itibaren işaret işleme (signal processing) kavram ve yöntemlerine eğilerek işaretleri analiz etmeye çalışacağız. Özellikle bir işaretin frekansa bağlı değişimini gösteren analizi çok daha önemlidir.

FOURIER SERİSİ Fourier serisi, Fransız matematikçi ve fizikçi (1768-1830) Jean Baptista Joseph Fourier in 1800 li yıllarda (1822) ortaya koyduğu Fourier teorinin periyodik işaretler kısmıyla ilgili olan ilk bölümünü oluşturmaktadır. Bu amaçla, periyodik işaret olarak durağan işaretler (stationary signals) üzerinde durulacaktır. Aşağıda Fourier serisine tipik olan genel bir periyodik işaret verilmiştir. )(tx

t

T− 2

T− 0

2

T T

Şekil 1.Periyodik işaret (sonsuz enerjili işaret): Fourier serisi Verilen işaretin,

)()( Ttxtx += periyodiklik koşulunu sağladığını görmekteyiz.

Trigonometrik Fourier Serisi ile Periyodik İşaretlerin Gösterimi

},sin,,2sin,sin,)0sin( ;

,cos,,2cos,cos,)0cos({)(

00201

0

00

00201

1

00

�������

�������

tnωbtωbtωbtωb

tnωatωatωatωatf

n

n

×

×=

},sin,,2sin,sin; ,cos,,2cos,cos,{)( 00201002010 ���� tnωbtωbtωbtnωatωatωaatf nn=

tnωbtnωatf n

n

n 00

0 sin cos)( ∑∞

=

+=

Ç A L I Ş

M A

N O

T L A R I

Aşkın Demirkol

31

Fourier Serisi Formülleri Bulunan bağıntılar neticesinde Fourier serisi ne ait denklemleri toparlarsak aşağıdaki ifadeler yazılabilecektir. Fourier serisi

0

001101

00

2 ; ; )sin( )cos()(

TωTttttnωbtnωaatf nnn

n

n

πθθ =+≤≤++++= ∑

∞

=

durumu göz önüne alınırsa

∫+

=01

1

)(1

0

0

Tt

tdttf

Ta

∫+

=01

1

cos)(2

0

0

Tt

tn dttnωtf

Ta

∫+

=01

1

sin)(2

0

0

Tt

tn dttnωtf

Tb

)(tan 1

n

n

na

b−=

−θ

Alternatif gösterim

)sin( )cos()( 01

00 nn

n

nn tnωbtnωaatf θθ ++++= ∑∞

=

)cos()(1

00 n

n

n tnωCCtf θ++= ∑∞

=

22nnn baC +=

00 aC =

nnn

nnn

Cb

Ca

θ

θ

sin

cos

−=

=

Fourier Serisinin Spektrum Gösterimi

nC

0

0 2

Tω

π=

ω 0 0ω 02ω 03ω 04ω

Şekil 2. ωCn − Düzlemi : ayrık Fourier spektrumu

Ç A L I Ş

M A

N O

T L A R I

Sinyaller & Sistemler – Fourier Serisi

32

Fourier Serisinin Varlığı ve Dirichlet Koşulları Fourier serisinin mevcudiyeti ve varlığı Dirichlet koşulları ile tanımlanmaktadır. İki türlü Dirichlet koşulu vardır ; 1. Zayıf Dirichlet koşulu

Bu koşulda Fourier serisinin varlığı test edilmektedir : ∞<∫0

)(T

dttf

2. Kuvvetli Dirichlet koşulu Eğer )(tf fonksiyonunun bir periyodluk süreçte sonlu sayıda maksimum ve minumum

noktası var ve eğer aynı zamanda aynı periyod içinde sonlu sayıda ve her biri sonlu süreksiz (discontinuity, piecewise fonksiyonlar) noktası varsa, kuvvetli Dirichlet koşulu olduğu kabul edilir. Çok Bilinen İşaretlerin Fourier Serisiyle Gösterimi 1. Kare dalga )(tf A

∑∞

= −

−=

1

0

)12(

] 2)12sin[(4)(

n n

tfnAtf

π

π t

T

2. Darbe dizisi )(tf

∑∞

=

+=1

00 ) 2cos) sin( 2

)(n

tnffnn

A

T

Atf πτπ

π

τ A

t τ T

Exponensiyel gösterim

∑∞

−∞=

=

n

tfnjn eDtf

2 0 )( π

dtetfT

DT

T

tfnjn ∫−

−=

2/

2/ 2 0 )(

1 π

) (sin 0ττ

fncT

ADn =

Ç A L I Ş

M A

N O

T L A R I

Aşkın Demirkol

33

3. Üçgen dalga )(tf A

∑∞

=

=

12

0

2

) 2sin(

2sin

8)(

n n

tfnAtf

ππ

π t

T

4. Testere dişi dalga )(tf A

∑∞

=

−=1

0 ) 2sin(2)(

n n

tfAtf

π

π t

A− T

Şekil 3.Çeşitli periyodik işaretlerin Fourier serisi Gösterimleri Örnek

)6

7cos(5)

3

2cos(3)

2cos(72)( 321 θθθ ++++++=

ttttf İşaretinin periyodikliğini araştırın.

Çözüm Verieln işaret )cos(5)cos(3)cos(72)( 332211 θθθ ++++++= tωtωtωtf olarak

düşünüldüğünde frekansların )6

7 ,

3

2 ,

2

1( 321 === ωωω olduğu görülecektir. İşaretin

periyodik olması, 0=n harmoniği hariç için harmoniklerdeki “t” değişkeninin katsayıları

durumundaki frekansların yani )6

7,

3

2,

2

1( oranlarının rasyonel bir sayı olması ile mümkündür.

Buna bakarsak,

7

4

6/7

3/2 ve

4

3

3/2

2/1==

elde edilen 4

3 ve

7

4rasyonel sayılar olduğundan, verilen işaretin periyodik olduğu görülür.

Bunun ardından, temel frekansın ne olduğunun hesaplanması gerekir. Bunun için verilen zamana ait katsayılar

2

1)

6

1( 3 = ,

3

2)

6

1( 4 = ve

6

7)

6

1( 7 =

olarak düşünüldüğünde tüm harmonikleri kapsayan temel frekansın 6

10 =ω olduğunu

görmekteyiz. Temel frekans 3. 4. ve 7. harmoniklerle gösterildiğinden verilen )(tf işareti

üçüncü, dördüncü ve yedinci harmoniklerden oluşmaktadır. Temel frekans 6

1 olduğuna göre

temel periyod,

πππ

12)6/1

22

0

0 ===ω

T

Ç A L I Ş

M A

N O

T L A R I

Sinyaller & Sistemler – Fourier Serisi

34

Örnek Aşağıda değişimi verilen )(tf işaretini Fourier serisine açın.

)(tf

1 2/te

− t π3− π2− π− 0 π π2 π3 Şekil 4.Periodik bir işaretin Fourier serisi Çözüm Öncelikle Fourier serisine açılma koşulu olan işaretinin

)()( Ttftf +=

olan periodik olma koşulunun şekilden

)()( π+= tftf

ile sağladığını görmekteyiz. İşaretin 0T temel periodu π olduğundan ( π=0T ), periodik olup,

Fourier serisine açılabileceği görülmektedir. Bu onaylamanın ardından Fourier serisinin

nnn baa θ ve ,,0 parametrelerinin bulunması aşamasına geçilebilir.

Daha önce yukarıda ana hatlarıyla ele alınan örneği bu kez Fourier serisinin formülasyonları kullanılarak tekrar çözülecektir. Eğer verilen şekil Fourier serisi ile ifade edilecekse periodik olması düşünüleceğinden, verilen işaretin bu önemli koşulu sağladığını değişiminden de

görmekteyiz. Şimdi bu yeni duruma göre exponensiyel bir fonksiyonu gösteren 2/)( tetf −=

işaretinin Fourier karşılığını bulmamız gerekiyor. Bunun için Fourier serisini gösteren genel ifadesindeki

)sin()cos()( 01

00 nnn

n

n tnωbtnωaatf θθ ++++= ∑∞

=

nn baa ve,0 katsayılarını ilgili denklemlerinden bulmamız gerekiyor.

)sin()cos()( 01

00 tnωbtnωaatf n

n

n ++= ∑∞

=

önecelikle

π≤≤=− tetf t 0 , )( 2/

Ç A L I Ş

M A

N O

T L A R I

Aşkın Demirkol

35

ifadesinde,

π=0T

22

0

0 ==T

ωπ

buna göre,

ntbntaatf n

n

n 2 sin2 cos)(1

0 ++= ∑∞

=

yazılır, buradan,

504.0

1

)(1

0

2/

0

0

01

1

=

== ∫∫−

+ π

πdtedttf

Ta t

Tt

t

Serinin ortalama veya d.c. değeri olarak bilinen 0a , fonksiyon üst yarı düzlemde olduğu için

00 ≠a bulundu. Eğer fonksiyon üst yarı düzlemde olmasaydı 00 =a olurdu.

∫

∫

−

+

=

=

π

π 0

2/

0

0

2 cos2

cos)(2 01

1

dtnte

dttnωtfT

a

t

Tt

tn

bu bir kısmi integrasyon ifadesidir.

∫ ∫−= vduuvudv

çözüm için,

−==

=−=

==

=

∫∫

∫

−

−

−

ππ

π

ππ

π

00

2/

2/

0

2/

2

2

2sin2

1 ,

2

1

2cos ,

2 cos2

duvuvdvua

ntn

vdtedu

dtntdveu

dtntea

n

t

t

t

n

eğer,

Ç A L I Ş

M A

N O

T L A R I

Sinyaller & Sistemler – Fourier Serisi

36

nqp 2 , 2

1=−=

( )

+=

+

+=

=

=

∫

∫−

2

0

22

0

0

2/

161

2 504.0

sincos

q cos2

2 cos2

n

qtqqtpqp

e

dtte

dtntea

pt

pt

t

n

π

π

π

π

π

aynı şekilde nb çözülürse, ∫∫−

+

==π

π 0

2/0

0

2 sin2

sin)(2 01

1

dtntedttnωtfT

bt

Tt

tn

burada da

kısmi integrasyon gerekecektir.

−==

−=−=

==

=

∫∫

∫

−

−

−

ππ

π

ππ

π

00

2/

2/

0

2/

2

2

2cos2

1 ,

2

1

2sin ,

2 sin2

duvuvdvub

ntn

vdtedu

dtntdveu

dtnteb

n

t

t

t

n

eğer,

nqp 2 , 2

1=−=

( )

+=

−

+=

=

=

∫

∫−

2

0

22

0

0

2/

161

8n 504.0

sinsin

q sin2

2 sin2

n

qtqqtpqp

e

dtte

dtnteb

pt

pt

t

n

π

π

π

π

π

sonuçta bulunan katsayılara göre Fourier serisinin ifadesi,

π≤≤

+

++= ∑

∞

=

tntnntn

tfn

0 , )2sin42(cos161

21 504.0)(

12

Ç A L I Ş

M A

N O

T L A R I

Aşkın Demirkol

37

)cos()(1

00 n

n

n tnωCCtf θ++= ∑∞

=

gibi kompakt forma dönüştürürsek,

504.00 =C

+=

++

+=+=

222

2

22

22

161

2 504.0

)161(

64

)161(

4 504.0

nn

n

nbaCn

nna

b

n

n

n 4tan)4(tan)(tan 111 −−−−=−=

−=θ

)4tancos(161

121 504.0)( 1

10

2

−

++=

−∞

=

∑ ntnωn

tfn

nC

0.504 • 0 2 4 6 8 10 ω Şekil 5.Periodik bir işaretin Fourier serisindeki Frekans genlikleri 0 2 4 6 8 10 nθ ω

2

π−

Şekil 6.Periodik bir işaretin Fourier serisindeki Faz - Frekans görüntüsü Örnek Aşağıda verilen kare dalgayyı Fourier serisine açınız. )(tf

1 t

π3− π2− π− 2

π− 0

2

π π π2 π3

Şekil 7.Periodik darbe işaretinin Fourier serisi

Ç A L I Ş

M A

N O

T L A R I

Sinyaller & Sistemler – Fourier Serisi

38

Çözüm Öncelikle Fourier serisine açılma koşulu olan işaretinin

)()( Ttftf +=

olan periodiklik koşulunun şekilden yine,

)2()( π+= tftf

ile sağladığını görmekteyiz. İşaret ( π20 =T ) temel periodlu olup, Fourier serisine

açılabileceği görülmektedir. Böylece Fourier serisinin nnn baa θ ve ,,0 parametreleri

hesaplanabilir. Şekilden de görüldüğü gibi işaret 1)( =tf , ),( ππ− aralığında tanımlıdır.

π20 =T

12

22

0

0 ===π

ππ

Tω .

Fourier serisini gösteren genel ifadesindeki

)sin()cos()( 01

00 nnn

n

n tnωbtnωaatf θθ ++++= ∑∞

=

nn baa ve,0 katsayılarını ilgili denklemlerinden bulmamız gerekiyor.

)sin()cos()( 01

00 tnωbtnωaatf n

n

n ++= ∑∞

=

ilk anda tesbit ettiğimiz değerler

ππ ≤≤= ttf - , 1)(

ifadesinde yerine konulursa,

ntbntaatf n

n

n sin cos)(1

0 ++= ∑∞

=

olur. Buradan,

[ ]

2

1

02

11 1

2

2 1

2

1 )(

1 2/0

2/

0

2/

2/0

0

01

1

=

−===== ∫∫∫ −

+ π

ππππ

πππ

πtdtdtdttf

Ta

Tt

t

Ç A L I Ş

M A

N O

T L A R I

Aşkın Demirkol

39

Serinin ortalama veya d.c. değeri olarak bilinen 0a , eğer fonksiyon üst yarı düzlemde

olmasaydı 00 =a olurdu.

=

=

×=== ∫∫∫ −

+

2sin

2

sin12

cos 2

22 cos1

2

2 cos)(

22/

0

2/

0

2/

2/0

0

01

1

π

π

πππ

πππ

π

n

n

ntn

dtntdtntdttnωtfT

aTt

tn

=

=

=

=

=

2 sinc

2

2

sin

2

2

2sin2

2sin2

2sin

2

π

π

π

π

π

π

π

π

π

na

n

n

n

n

n

n

n

na

n

n

=−

=

=

=

�

�

,15,11,7,3

2

,13,9,5,1

2

sayıçift 0

nn

nn

n

an

π

π

aynı şekilde nb çözülürse,

0

2cos

2cos

2

cos12

sin12

2 sin)(

22/

2/

2/

2/0

0

01

1

=

−−=

−=×==

−−

+

∫∫

ππ

π

ππ

π

π

π

π

nnn

ntn

dtntdttnωtfT

bTt

tn

Zaten çift fonksiyon özelliğinden 0=nb olacağı açıktır. Öte yandan faz ifadesi ise, çift

fonksiyon olduğundan ( 00

==a

arctga

barctg ), buradan muhtemelen bir π kadarlık faz açısı

görünüyor.

==−

==

�,15,11,7,3 ,tek

çift 0

nn

n

πθ

Sonuçta bulunan katsayılara göre Fourier serisinin ifadesi,

−++−++−++= ))11cos(

11

19cos

9

1)7cos(

7

15cos

5

1)3cos(

3

1cos

2

2

1)( �πππ

πtttttttf

Eğer )cos(cos π±=− xx

Ç A L I Ş

M A

N O

T L A R I

Sinyaller & Sistemler – Fourier Serisi

40

özelliği kullanılırsa, seri aşağıdaki gibi yazılır.

+−+−+= �tttttf 7cos

7

15cos

5

13cos

3

1cos

2

2

1)(

π

tnn

tfn

n

)12cos()1(2

)1(2

2

1)(

1

−−

−−= ∑

∞

=π

Bu ifadeyi,

)cos()(1

00 n

n

n tnωCCtf θ++= ∑∞

=

gibi kompakt forma dönüştürürsek,

2

10 =C

nn aabaC =+=+= 0 222

0)0

(tan 1=

=−=

−

n

n

na

bθ

0=nθ anlamı serinin bileşenleri (terimleri) arasında faz farkı yoktur, yani sıfırdır. Dolaysıyla

faz spektrumlarına gerek yoktur. Ancak spektrumdan faz farkının π olması, bileşenlerin fazların aynı olma gerçeğini değiştirmez. Çünkü )cos(cos π±=− xx olduğundan bileşenler

aynı fazda olacaklardır. Bu durumda Fourier spektrumu,

tek , ] )12cos[(2

sin)12(

12

2

1 )cos(

2sin

2

2

1)(

110 =−

−+=+

+= ∑∑

∞

=

∞

=

ntnn

ntnω

n

ntf

n

n

n

π

πθ

π

π

nC

1 0.5

π5

2

0 2 4 6 8 10 ω

π3

2−

Şekil 8.Periodik bir işaretin Fourier serisindeki Frekans genlikleri

Ç A L I Ş

M A

N O

T L A R I

Aşkın Demirkol

41

EXPONENSİYEL FOURİER SERİSİ

0

0

0

0

( )

1( )

jn ω t

n

n

j n ω t

nT

f t D e

D f t e dtT

∞

=−∞

−

=

=

∑

∫ Exponensiyel formüller

Exponensiyel Fourier Serisinde Genlik ve Faz Spektrumun Dağılımı Reel periyodik )(tf işaretinin klasik ve exponensiyel gösterimdeki genlik spektrumlarını

aşağıdaki gösterimleriye göz önüne alalım.

nC

)(tf

(a) (b) 0ω

t ω 0 0 Şekil 9. (a) Fourier serisinde sürekli işaret, (b) ayrık frekans spektrumu

nD

(c) 0ω

ω 0 Şekil 10. (c) Fourier serisinde genlik spektrumu

θ nj Dj

n n nD D e D e

∠= = nD∠

π ω 15− 11− 7− 3− 0 3 7 11 15 π− Şekil 11.Periyodik darbe işaretinin faz spektrumu

Ç A L I Ş

M A

N O

T L A R I

Sinyaller & Sistemler – Fourier Serisi

42

Örnek

Aşağıda nD genlik ve nD ∠ faz bilgileri Fourier serisiyle verilmiş işareti araştırın.

nD nD ∠

2/π 4 3 4/π 2 1 6/π 3 6 9 ω 9− 6− 3− 0 ω

9− 6− 3− 0 3 6 9 6/π− 4/π−

Şekil 12. nD ve nD ∠ Spektrumları 2/π−

Çözüm Bu işaretin exponensiyel Fourier serisine açmak için gereken parametreleri hesaplamamız gerekiyor. İlk olarak şekilden yararlanarak temel frekansın rad/sn 30 =ω olduğunu

3,2,1,0=n harmonikleri için açıkça görmekteyiz. Bununla birlikte nD , nC ve nD ∠

spektrumları sırasıyla aşağıdaki gibi elde edilir. 1 , 2 , 3 , 4 3210 ==== DDDD

2/nn CD =

4C , 4C , 6C , 4 3210 ====C

Buna göre nC spektrumu aşağıdaki gibi olacaktır.

nC nθ

6 0 3 6 9 ω 4 6/π− 4/π− 2 2/π− ω 0 3 6 9 Şekil 13. nC Spektrumu

Faz spektrumundan ise

2 ,

4 ,

6321

πθ

πθ

πθ −=−=−=

Ç A L I Ş

M A

N O

T L A R I

Aşkın Demirkol

43

bilgilerini elde etmekteyiz. Şimdi exponensiyel fourier serisi 3,2,1,0=n harmonikleri için

aşağıdaki gibi oluşturulabilir.

∑∑−=−=

==

3

3

3 3

3

0 )(n

tnjn

n

tωnjn eDeDtf

nj

nn eDDθ =

0

3 3 3 ( 3) 3 ( 2) 3

3 23 3

( 1) 3 (0) 3 (1) 3 (2) 3 (3) 3 1 0 1 2 3

3 2

0 31 1 2

( )

j jj jj n ω t j n t j t j t

n n

n n

j jj j jj t j t j t j t j t

n nf t D e e D e e D e e D e e

D e e D e e D e e D e e D e e

θ θθ θ

θ θθ θ θ

− −

− −

=− =−

−

−

− −

−

= = = +

+ + + + +

∑ ∑

9 6 3 062 4

3 6 9 6 2 2

(3 )( 9 ) (6 ) 0 62 4

3

(1) (2) (3) (4)

(3) (2) (1)

2 3 4

jj jj t j t j t

j j jj t j t j t

j tj t j tj t

e e e e e e e

e e e e e e

e e e e

ππ π

π π πθ

ππ π

− − −

− − −

− −− − − −

= + + +

+ + +

= + + +

(3 ) ( 6 ) (9 )6 4 2

(3 ) (3 ) ( 6 ) (6 ) (9 ) ( 9 )6 6 4 4 2 2

(3 ) (3 ) ( 6 ) (66 6 4

3 2

4 3( ) 2( ) ( )

4 2 3( ) 2(

2

j t j t j t

j t j t j t j t j t j t

j t j t j t j

e e e

e e e e e e

e e e e

π π π

π π π π π π

π π π

− − −

− − − − − − − − −

− − − − −

+ + +

= + + + + + +

+ += + +

) (9 ) ( 9 )4 2 2

) ( )2 2

4 2 3cos(3 ) 2cos(6 ) cos(9 ) 6 4 2

4 6cos(3 ) 4cos(6 ) 2cos(9 ) 6 4 2

t j t j t

e e

t t t

t t t

π π π

π π π

π π π

− − − − + +

= + − + − + −

= + − + − + −

2cos

αα

αjj ee +

=

)2

9cos(4)4

6cos(2)6

3cos(64)(πππ

−+−+−+= ttttf

Örnek Aşağıda verilen kare dalgaya ilişkin Fourier serisinin exponensiyel formda analizini yapın. )(tf

1 t

π3− π2− π− 2

π− 0

2

π π π2 π3

Şekil 14.Periodik darbe işaretinin Fourier serisi

Ç A L I Ş

M A

N O

T L A R I

Sinyaller & Sistemler – Fourier Serisi

44

Çözüm

Şekilden de görüldüğü gibi işaret 1)( =tf , )2

,2

(ππ

− aralığında tanımlı ve π genişliğindeki

dörtgen darbelerden oluşan periyodik işaretin periyodu [ ππ ,− ], π20 =T ve ,

12

0

0 ==T

ωπ

. Seri periodik olduğundan, Fourier serisi karşılığı olarak,

0

0 2

, )( 0

TωeDtf

n

tωjn

n

π== ∑

∞

−∞=

∫∫ −

−

−

−==

2/

2/

0

2/

2/

0

)( 1

)( 1 0

0

0π

πdtetf

Tdtetf

TD

tnjT

T

tωjn

n

Period 0T , ( 2/, 2/ ππ− ) , olarak düşünülürse, π20 =T

12

2 0 ==

π

πω

[ ]

[ ] [ ] [ ]

=

−=

−=−−=−−=

−=

−===

−

−−−−−

−

−

−

−

−

−

−

−

∫∫

)2

sin(1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

11

2

1 (1)

2

1 )(

1

2/ 2/

2/ 2/ 2/ 2/ )2/( )2/(

2/

2/

2/

2/

2/

2/

2/

2/

0

0

0

0

π

π

π

πππ

πππ

ππ

ππππππ

π

π

π

π

π

π

n

n

j

ee

n

eenj

eenj

eenj

ejn

ejn

dtedtetfT

D

jnjn

jnjnjnjnjnjn

tjntjntnjT

T

tωjn

n

= )

2sin(

1 π

π

n

nDn

)2

( sinc2

1

2

)2

sin(

2

1

2

)2

sin(2

1

)2

sin(

2

2

1

)2

sin()2/1(

)2/1(1)

2sin(

1

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

nDn

=

==

=

×

×=

=

)2

(sin2

1 πncDn =

0=n için, 1)0( sinc = olduğundan

Ç A L I Ş

M A

N O

T L A R I

Aşkın Demirkol

45

2

1)0(sin

2

1)

2

0(sin

2

10 === ccD

π

�,18,14,10,6,2=n için

0

2

)2

sin(

2

1)

2(sin

2

1===

π

π

π

n

n

ncDn

�,17,13,9,5,1=n için

ππ

π

π

nn

n

ncDn

1

2

)2

sin(

2

1)

2(sin

2

1===

�,19,15,11,7,3=n

ππ

π

π

nn

n

ncDn

1

2

)2

sin(

2

1)

2(sin

2

1−===

2

10 =D ,

=−

=

=

=

�

�

,15,11,7,3

1

,13,9,5,1

1

çift 0

nn

nn

n

Dn

π

π

�),2

11sin(

11

1),

2

9sin(

9

1),

2

7sin(

7

1),

2

5sin(

5

1),

2

3sin(

3

1),

2sin(

1)

2sin(

1 π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π==

n

nDn

))2

11sin(

11

1)

2

9sin(

9

1)

2

7sin(

7

1)

2

5sin(

5

1)

2

3sin(

3

1)

2(sin(

1�++++++=

ππππππ

πnD

nD

1/2 π/1 π/1 π5/1 π5/1 π9/1 π9/1 9− 5− 1− 0 1 3 5 7 9 ω π7/1− π3/1− π3/1− π7/1− Şekil 15.Periodik bir işaretin Fourier serisindeki Frekans genlikleri

Ç A L I Ş

M A

N O

T L A R I

Sinyaller & Sistemler – Fourier Serisi

46

SÜREKLİ FOURIER SERİSİNİN ÖZELLİKLERİ

0 0

0

ω ω

0

1( ) ( )j n t j n t

n nT

n

x t D e D x t e dtT

∞−

=−∞

= → =∑ ∫

veya

0 0

0

ω ω

0

1( ) ( ) ( ) ( ) j n t j n t

Tn

x t X n e X n x t e dtT

∞−

=−∞

= → =∑ ∫

Lineerlik

)( ve)( tytx 0T periodlu fonksiyonlar ve nn ba ve de bunların ilgili Fourier seri

katsayıları ise,

n

FS

atx ⇒)(

n

FS

bty ⇒)(

bu fonksiyonların linear olması için çıkışın )(tz ,

)()()( 21 tyctxctz +=

olması gerekir.

nn

FS

bcactyctxc 2121 )()( +⇒+

Fourier serisi bu özelliği sağladığı için lineer bir seri olduğu düşünülebilir. Zaman öteleme (time shifting)

( ) ( )FS

nx t D X n⇒ =

0 0

0 0 0

0 0

( )0

( )

( )

jn ω t t

n

n

jn ω t jn ω t

n

n

jn ω t

x t t D e

e D e

e x t

∞−

=−∞

∞−

=−∞

−

− =

=

=

∑

∑

0 0 0( )

FSjn ω t

nx t t e D

−− ⇒

0 0 ω 0( ) ( )

FSj n t

x t t e X n−

− ↔

Ç A L I Ş

M A

N O

T L A R I

Aşkın Demirkol

47

Zaman tersleme (time reversal)

( ) ( )FS

nx t D X n−

− ↔ = = −

( )FS

nx t D⇒

0

0

0

( )

( )

( )

jn ω t

n

n

jn ω t

n

n

jn ω t

n

n

x t D e

D e

D e

∞−

=−∞

∞−

=−∞

∞

−

=−∞

− =

=

=

∑

∑

∑

( ) FS

nx t D

−− ⇒

Zaman ölçekleme (time scaling)

( )FS

nx t D⇒

0

0

( )

( )

( )

jn ω α t

n

n

jn ω t

n

n

x t D e

D eα

α∞

=−∞

∞

=−∞

=

=

∑

∑

Zaman Ölçekleme Özelliği

, ( )

0

FSn n

X Zx a t a a

∈

↔

Frekans Öteleme Özelliği : Modülasyon Özelliği

0 0 ω 0( ) ( )

FSj n t

e x t X n n↔ −

Fourier Serisi ve Güç

)sin()cos()( 00

0 nn

n

nn tnωbtnωatf θθ +++=∑∞

=

Ç A L I Ş

M A

N O

T L A R I

Sinyaller & Sistemler – Fourier Serisi

48

1) ∑∞

=

++=1

00 )cos()(n

nn tnωCCtf θ

ise bunun Parseval karşılığı

2

10

2

0

2

100

)cos(2

1

)cos(

∑

∫ ∑

∞

=

∞

∞−

∞

=

++=

++=

n

nn

n

nnav

tnωCC

dttnωCCP

θ

θ

∑∞

=

+=1

220

2

1

n

nav CCP

2) )sin()cos()( 01

00 nn

n

nn tnωbtnωaatf θθ ++++= ∑∞

=

yapısında ise bunun Parseval karşılığı da aşağıdaki gibi olacaktır.

∑∑∑∫∞

=

∞

=

∞

=−

++=++==1

2

1

220

0

220

220

2/

2/

2)( )(

1

n

n

n

n

n

n

T

Tav baabaadttf

TP

3) Eğer Fourier serisi

∑∞

−∞=

=n

tωnj

n eDtf 0 )(

∑∞

=

+=1

220

n

nav DDP

Harmonik Distorsiyonun Hesaplanması Örnek Giriş işareti tωtx 0cos10)( = olarak verilen bir işaret çıkışında 8± volt seviyesinden

kırpılırsa oluşan bozulmuş işaretteki harmoniklerin seviyesini hesaplayın (B.P. Lathi , Signal

Processing and Linear Systems, s.213). Çözüm

tωtx 0cos10)( = işareti aşağıdaki gibidir.

Ç A L I Ş

M A

N O

T L A R I

Aşkın Demirkol

49

)(tx

10 )(tyd

8 )(ty

05.0 T 05.0 T

01024.0 T t

0 Şekil 16.Distorsiyonlu dalga : kırpılmış tω0cos işareti

Görüldüğü gibi kırpılan kısım )(tyd (kesik çizgili)

)()()( tytxtyd −=

8cos10)( 0 −= tωtyd

Buna göre )(tyd aşağıdaki gibi olacaktır.

)(tyd

8cos10 0 −tω

t 0 01024.0 T 8cos10 0 +tω

Şekil 17.Distorsiyonlu işaretin kırpılmış parçaları Buna göre çıkıştaki )(tyd aşağıdaki gibi düzenlenir.

+≤≤−+

≤−

=

0

1024.02

1024.02

8cos10

1024.0 8cos10

)( 000

00

TT

tTT

tω

Tttω

tyd

Böyle bir tanıma sahip )(tyd işaretinin mevcut yöntemlerden herhangi biri kullanılarak

Fourier serisine açılması mümkündür.Bu fonksiyonun Fourier serisi için gerekli işlemler yapıldığında )(tyd çift fonksiyon olduğu için 0=nb ve nn aC = olur. Bu durumda Fourier

serisi, nn aC = katsayılarını içeren Fourier serisi aşağıdaki gibi elde edilir.

∑∞

=

=1

0cos)(n

nd tnωCty

Ç A L I Ş

M A

N O

T L A R I

Sinyaller & Sistemler – Fourier Serisi

50

Buradan nC

=

=

−

−

−+

+

+

=

çift 0

tek 6435.0sin32

1

)1(6435.0sin

1

)1(6435.0sin20

n

nn

n

n

n

n

n

Cn ππ

buradan seri,

�+++= tωtωtωtyd 000 5cos311.03cos733.0cos04.1)(

olarak hesaplanır.

dttyT

dttyT

P

T

d

T

Tdyd

)(4/

1

)(1

24/

0

2

0

22/

2/0

0

0

0

∫

∫

=

=−

865.0

)8cos10(4 01024.0

0

20

0

=

−= ∫ dttωT

PT

yd

Giriş işaretinin tωtx 0cos10)( = enerjisi

502

102

==fP

Buradan bozulmaya sebep olan harmoniklere ait toplam enerjisi hesaplanır,

100 ×=f

yd

topP

PD

73.1%100 50

865.0=×=topD

Bulunan harmoniklere ait toplam enerjideki topD her bir harmoniğin ne kadar payının

olduğunu hesaplamak için de,

100 ×=f

D

nP

PD n

bağıntısından yararlanılır. Buradan birinci ve üçüncü harmoniklere ait bozulmayı hesaplayalım. Birinci harmonik için,

0.54082

)04.1( 2

1==DP

08.1%100 50

5408.01 =×=D

üçüncü harmonik için,

Ç A L I Ş

M A

N O

T L A R I

Aşkın Demirkol

51

0.26352

)726.0( 2

3==DP

527.0%100 50

2635.03 =×=D

LINEER ZAMANDAN BAĞIMSIZ SÜREKLİ SİSTEMLERİN PERİYODİK GİRİŞLERE CEVABI

tSe

τττ τdethtfethdtfthtfthty

tStS

∫∫∞

∞−

−∞

∞−==−== )()(*)( )( )()(*)()( )(

tS

e fonksiyonunun özelliğinden dolayı burada “ s “ sabit durumundadır. İfade biraz

düzenlenirse,

ττ τdehety

Sts

∫∞

∞−

−= )()(

ττ τdehsH

S

∫∞

∞−

−= )()(

Burada bahsettiğimiz gibi “ s “ in değerleri için )(sH transfer fonksiyonu sabit (reel veya

kompleks) gibi davranmaktadır. Bu yüzden )(sH fonksiyonu vektörel yaklaşımla, özdeğer

(eigenvalue) olarak düşünülebilir.

tSesHty )()( =

Bu yazımda “s” in kompleks değişken değeri için )(sH transfer fonksiyonu olarak

anılmaktadır. Bu durumda giriş işareti olarak )(tf nin

tSetf )( =

alınması durumunda transfer fonksiyonu,

)(

)()(

sF

tysH =

olacaktır. Bu yazım yalnızca LTIC sistemler için geçerli olacaktır, lineer olmayan sistemler için geçerli değildir. Bu durumu Fourier serisine uyarlarsak,

)( 0∑∞

−∞=

=n

tωjn

n eDtf

Ç A L I Ş

M A

N O

T L A R I

Sinyaller & Sistemler – Fourier Serisi

52

Biliyoruz ki, giriş )()( sFetf tS== için çıkış,

tSesHty )()( =

idi. Bu yaklaşımı frekansa göre yazarsak girişte tSe

yerine tωje

buna uygun olarak da tsesH )( çıkış yerine de tωjejωH )( alınacağından

����������

ş ık ı ç

ş ir i g

)( tωjtωjejωHe =

elde edilir. Dikkat edilirse girişteki tωje

fonksiyonu, çıkışta da aynen elde edilmiştir. Hatırlanacağı gibi bu tam değer fonksiyonlarının en önemli özelliği, ve de avantajıydı. Buna göre,

���� ����� ���� ��� ��

p a ve c

0

ş ir i g

00 ) ( ∑∑∞

−∞=

∞

−∞=

=

n

tωjnn

n

tωjnn eωjnHDeD

olacaktır. Böylece periodik bir giriş

00

2 , )( 0

TωeDtf

n

tωjnn

π== ∑

∞

−∞=

için LTIC sistem cevabı olarak

∑∞

−∞=

=

n

tωjnn ejnωHDty

0

0 )( )(

elde edilecektir. Diğer bir deyişle bir LTI sistemin Fourier serisi karekterindeki bir girişe, verdiği cevap elde edilmiştir. ) ( 0ωjnH nin sistem transfer fonksiyonu olduğu düşünülürse,

periodik LTIC sistem için

∑∞

−∞=

=

n

tωjnn eD

tyωjnH

0

0

)() (

Bunların sonucunda gerek elde edilen

∑∞

−∞=

=

n

tωjnn etjnωHDty

0

0 )( )(

gerekse

∑∞

−∞=

=

n

tωjnn eD

tyωjnH

0

0

)() (

Ç A L I Ş

M A

N O

T L A R I

Aşkın Demirkol

53

ifadelerinden girişi sinusoid olan sistemin çıkışı veya transfer fonksiyonu da sinusoid özellikte elde edilmiştir. Ancak dikkat edilirse, çıkış girişle aynı frekansta olmasına rağmen, farklı genlik ve fazda oluşabilmektedir. Bu girişi sinusoid olan sistemlerin frekans cevaplarının önemli özelliğidir. Örnek Aşağıda girişi verilen LTIC sistemin )(tf

1 2/te

− t π3− π2− π− 0 π π2 π3 Şekil 18.Periodik bir işaretin Fourier serisi

transfer fonksiyonu 32

)(2

++=

ss

ssH ise, sistemin cevabını hesaplayınız.

Çözüm Verilen )(tf işaretinin Fourier serisine açılımı daha önce yapılmıştı.

+=

2161

2 504.0

nan

ve

+=

2161

8n 504.0

nbn

njnjnj

nj

n

nj

n

nj

nn

nj

njbaD nnn

41

0.504

)41)(4(1

41504.0

161

41 504.0

161

4

161

1 504.0

161

8 504.0

161

2 504.0

2

1)(

2

1

2

2222

+=

+−

−=

+

−=

+−

+=

+−

+=−=

njDn

41

504.0

+=

Ayrıca π=0 T ve 2 0 =ω idi. Bunların ışığında sistemin cevabı

32)(

2++

=ss

ssH ise

3)(2)()(

02

0

00

++==

jnωjnω

jnωjnωsH

Ç A L I Ş

M A

N O

T L A R I

Sinyaller & Sistemler – Fourier Serisi

54

∑∑

∑∑∞

−∞=

∞

−∞=

∞

−∞=

∞

−∞=

+−++=

+++=

+==

n

tjn

n

tjn

n

tjn

n

tωjn

n

nnjjn

nej

nje

jnjn

jnω

nj

ejnHnj

ejnωHDty

344)2(

2

41

504.0

3)2(2)2(

41

504.0

)2( 41

504.0 )( )(

2

2 2

2

0

2 0

0

∑∑∞

−∞=

∞

−∞= +−−−+=

+−++=

n

tjn

n

tjn

njn

nej

njnnjjn

nej

njty

3)1(44

2

41

504.0

344)2(

2

41

504.0)(

2

2

2

2

∑∞

−∞= −−++−=

n

tjn

njn

nej

njty

3)1(44

2

41

504.0)(

2

2

Ç A L I Ş

M A

N O

T L A R I