Асташова И.В.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Конспект лекций для студентов 2 курсамеханико-математического факультета

МГУ им. М.В.Ломоносова(2-й поток)

2 семестр 2014-2015 уч.год

Москва 2015

Содержание1 Системы дифференциальных уравнений 3

1.1 Системы дифференциальных уравнений первого порядка. . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.1 Сведение уравнения n-ого порядка к нормальной системе первого порядка . . 41.1.2 Сведение системы в нормальной форме к уравнению n-ого порядка . . . . . . 41.1.3 Первые интегралы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Линейные системы с постоянными коэффициентами. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.1 Экспонента матрицы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.2 Линейные системы с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера. . . . . . . 101.2.3 Решение линейных систем с правой частью специального вида. . . . . . . . . . 111.2.4 Метод вариации произвольных постоянных. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3 Линейные системы дифференциальных уравнений первого порядка. . . . . . . . . . . 121.3.1 Определитель Вронского. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.2 Общее решение линейной системы дифференциальных уравнений. . . . . . . . 15

1.4 Фазовые портреты. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4.1 Фазовая плоскость. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4.2 Свойства траекторий. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4.3 Классификация положений равновесия линейной однородной автономной си-

стемы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4.4 Области зависимости типа особой точки от коэффициентов системы. . . . . . . 251.4.5 Фазовый портрет автономной нелинейной системы. . . . . . . . . . . . . . . . . 251.4.6 Предельные циклы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.4.7 Уравнение Ньютона для уравнения x+ f(x) = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.5 Устойчивость решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.5.1 Простейшие типы точек покоя (положений равновесия) . . . . . . . . . . . . . . 301.5.2 Устойчивость по первому приближению. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.5.3 Основные теоремы об устойчивости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.6 Системы дифференциальных уравнений с параметром . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.6.1 Производная системы по начальным условиям. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2 Уравнения с частными производными первого порядка 382.1 Общее решение линейного однородного уравнения в частных производных первого

порядка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.2 Общее решение линейного неоднородного уравнения в частных производных первого

порядка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.3 Общее решение квазилинейного неоднородного уравнения в частных производных

первого порядка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.4 Постановка задачи Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2

1 Системы дифференциальных уравнений

1.1 Системы дифференциальных уравнений первого порядка.Рассмотрим систему из m дифференциальных уравнений первого порядка от n переменных: F1(t, x1, . . . , xn, x1, . . . , xn) = 0,

. . .Fm(t, x1, . . . , xn, x1, . . . , xn) = 0.

Определение 1.1. Система дифференциальных уравнений первого порядка называется систе-мой в нормальной форме (нормальной системой), если число уравнений равно числу неиз-вестных (m = n), и система имеет вид: x1 = f1(t, x1, . . . , xn),

. . .xn = fn(t, x1, . . . , xn).

Векторная запись: x = f(t, x).

Определение 1.2. Система дифференциальных уравнений первого порядка называется линей-ной системой, если она имеет вид: x1 = a11(t)x1 + · · ·+ a1n(t)xn + g1(t),

. . .xn = an1(t)x1 + · · ·+ ann(t)xn + gn(t).

Векторная запись: x = A(t)x + g(t).

Определение 1.3. Система дифференциальных уравнений первого порядка называется авто-номной, если она имеет вид: x′1 = f1(x1, . . . , xn),

. . .x′n = fn(x1, . . . , xn).

Определение 1.4. Решением системы дифференциальных уравнений первого порядка x = ϕ(t)(x1 = ϕ1(t), . . . , xn = ϕn(t)) называется любой набор дифференцируемых функций, обращающий всеуравнения системы в тождество.

Нормой вектора: ‖x‖ =

(n∑j=1

|xj |2) 1

2

.

Определение 1.5. Задачей Коши для системы дифференциальных уравнений первого порядканазывается задача отыскания решения системы, удовлетворяющего начальным условиям: x1(t0) = x0

1,. . .xn(t0) = x0

n.

Определение 1.6. Непрерывно дифференцируемая функция ψ(t, x1, . . . , xn) называется первыминтегралом системы, если она постоянна вдоль решений системы (если x1(t), x2(t), . . . , xn(t) —решение системы, то ψ(t, x1(t), . . . , xn(t)) = const).

Определение 1.7. Система n независимых первых интегралов образует общий интеграл си-стемы

ψ1(t, x1, . . . , xn) = c1,ψ2(t, x1, . . . , xn) = c2,. . .ψn(t, x1, . . . , xn) = cn.

Замечание 1.1. Все теоремы для линейных уравнений переносятся и на случай линейных систем.

3

Рассмотрим следующую задачу Коши:{x = f(x, t),x(t0) = x0,

(1.1)

где

x =

x1

...xn

, f =

f1

...fn

.

Теорема 1.1. Пусть f(x, t) определена и непрерывна в области D ⊂ Rn+1, и частные производные∂fi∂xj

, i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , n, непрерывны в D. Тогда решение задачи Коши (1.1) существует иединственно на отрезке [t0 − h, t0 + h], где h = r√

M2+1, а r — радиус шара S с центром в (x0, t0),

целиком лежащего в области D, M = supS‖f(x, t)‖.

Теорема 1.2. Пусть f(x, t) определена и непрерывна в области D ⊂ Rn+1, и частные производные∂fi∂xj

, i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , n, непрерывны в D. Пусть существуют непрерывные на (α, β) 3 t0функции a(t) и b(t), такие, что:

‖f(x, t)‖ ≤ a(t) ‖x‖+ b(t).

Тогда решение задачи Коши (1.1) продолжается на весь интервал (α, β), −∞ ≤ α < β ≤ +∞.

1.1.1 Сведение уравнения n-ого порядка к нормальной системе первого порядка

Рассмотрим дифференциальное уравнение n-ого порядка:

x(n) = f(t, x, x′, . . . , x(n−1)

).

Введем переменные x1, x2, . . . , xn следующим образом:

x1 = x,x2 = x′,x3 = x′′ = (x′)′ = x′2,. . .xn = x(n−1) = (x(n−2))′ = x′n−1.

Тогда x′n = (x(n−1))′ = x(n) = f(t, x, x′, . . . , x(n−1)).Таким образом, рассматриваемое уравнение можно переписать в виде системы

x′1 = x2,x′2 = x3,. . .x′n = f(t, x1, x2, . . . , xn).

1.1.2 Сведение системы в нормальной форме к уравнению n-ого порядка

Для сведения нормальной системы x1 = f1(t, x1, . . . , xn),. . .xn = fn(t, x1, . . . , xn),

к обыкновенному дифференциальному уравнению необходимо продифференцировать первое урав-нение n−1 раз, считая xi функциями от t, заменяя их производные функциями из системы, напри-мер:

x′′1 =∂f1

∂t+∂f1

∂x1x1 + . . .+

∂f1

∂xnxn =

∂f1

∂t+∂f1

∂x1f1 + . . .+

∂f1

∂xnfn = Φ2(t, x1, . . . , xn).

4

Продолжая дифференцирование, мы получим систему

x′1 = f1(t, x1, . . . , xn),

x′′1 = ∂f1∂t + ∂f1

∂x1f1 + . . .+ ∂f1

∂xnfn = Φ2(t, x1, . . . , xn),

x′′′1 = ∂Φ2

∂t + ∂Φ2

∂x1f1 + . . .+ ∂Φ2

∂xnfn = Φ3(t, x1, . . . , xn),

· · ·x

(n−1)1 = ∂Φn−2

∂t + ∂Φn−2

∂x1f1 + . . .+ ∂Φn−2

∂xnfn = Φn−1(t, x1, . . . , xn).

(1.2)

и уравнение, вынесенное отдельно:

x(n)1 =

∂Φn−1

∂t+∂Φn−1

∂x1f1 + . . .+

∂Φn−1

∂xnfn = Φn(t, x1, . . . , xn). (1.3)

Будем считать, что ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∂f1∂x2

· · · ∂f1∂xn

∂Φ2

∂x2· · · ∂Φ2

∂xn· · · · · · · · ·

∂Φn−1

∂x2· · · ∂Φn−1

∂xn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 6= 0.

Тогда нелинейная система (1.2) разрешима относительно x2, . . . , xn, при этом они выражаются че-рез t, x1, x

′1, . . . , x

(n−1)1 . Эти выражения необходимо подставить в уравнение (1.3), тогда получим

дифференциальное уравнение n-го порядка

x(n)1 = Φn

(t, x1, x

′1, . . . , x

(n−1)1

). (1.4)

Осталось показать, что, x1 — решение (1.4), и что x1, . . . , xn, найденные из системы (1.2), со-ставляют решение исходной системы.Имеем x1 = f1. Тогда

∂f1

∂x1(x1 − f1) +

∂f1

∂x2(x2 − f2) + . . .+

∂f1

∂xn(xn − fn) = 0,

∂Φ2

∂x1(x1 − f1) +

∂Φ2

∂x2(x2 − f2) + . . .+

∂Φ2

∂xn(xn − fn) = 0,

. . . . .

∂Φn−1

∂x1(x1 − f1) +

∂Φn−1

∂x2(x2 − f2) + . . .+

∂Φn−1

∂xn(xn − fn) = 0.

Так как x1 = f1, то первое слагаемое в каждой строке равно нулю. Так как определитель получив-шейся относительно xi − fi системы не равен нулю, то

x1 = f1,x2 = f2,. . .xn = fn.

1.1.3 Первые интегралы.

Определение 1.8. Первым интегралом нормальной системыx1 = f1(t, x1, . . . , xn),

. . .

xn = fn(t, x1, . . . , xn),

(1.5)

называется такая функция v(t, x1, . . . , xn), что она постоянна вдоль любого решения этой систе-мы. Выражение v(t, x1, . . . , xn) = c называется общим интегралом системы.

5

Замечание 1.2. Если v(t, x1, . . . , xn) — первый интеграл системы (1.5), то его производная вдольрешения равняется нулю, то есть

dv

dt=∂v

∂t+

∂v

∂x1x1 + . . .+

∂v

∂xnxn =

∂v

∂t+

∂v

∂x1f1(x1, . . . , xn) + . . .+

∂v

∂xnfn(x1, . . . , xn) = 0.

Справедливо и обратное, то есть функция, удовлетворяющая такому условию, является первыминтегралом системы.

Пример 1.1. {x = x2−t

y ,

y = −x.

Необходимо выяснить, являются ли функции ϕ1 = t2 +2xy, ϕ2 = x2− ty первыми интеграламисистемы.

dϕ1

dt= 2t+ 2(x2 − t)y

y+ 2x(−x) = 0,

dϕ2

dt= −y − 2x

(x2 − ty

)6= 0.

Ответ: ϕ1 — первый интеграл, ϕ2 — не является первым интегралом.

Физический смысл первого интеграла.Первый интеграл выражает закон сохранения. (Например, закон сохранения энергии, количествадвижения и т. д.)

Геометрический смысл первого интеграла.Пусть существует i : ∂v

∂xi6= 0. Тогда уравнение v(t, x1, . . . , xn) = c определяет поверхность в Rn+1,

состоящую из интегральных линий системы (через каждую точку поверхности проходит единствен-ная интегральная кривая).

Замечание 1.3. Пусть v1, . . . , vm — первые интегралы системы. Они постоянны вдоль решений си-стемы, поэтому функция F (v1, . . . , vm) также постоянна вдоль решений системы, то есть она тожепервый интеграл. Следовательно, первых интегралов бесконечно много.

Определение 1.9. Система первых интегралов vi(t, x1, . . . , xn), i = 1, . . . , k называется функ-ционально независимой в области, если в каждой точке этой области

rank

(∂vi∂xj

)i = 1, ..., kj = 1, ..., n

= k, k 6 n.

Замечание 1.4. Из линейной зависимости следует функциональная зависимость, но не наоборот.Например, t и t2 зависимы функционально, но не линейно.

Теорема 1.3. Система (1.5) в окрестности любой точки (t0, x10, . . . , xn0) имеет n функциональнонезависимых первых интегралов.

Доказательство. Через каждую точку проходит единственное решение

xi = ϕi(t, c1, ..., cn).

Так какϕi(t0, c1, ..., cn) = ci,

то матрица(∂ϕi∂cj

)единичная, поэтому применима теорема о неявной функции, и можно выразить

ci = vi(t, x1, ..., xn).

По теореме о неявной функции det(∂ϕi∂cj

)· det

(∂vi∂xj

)= 1, следовательно, det

(∂vi∂xj

)6= 0, и

rank(∂vi∂xj

)= n, таким образом, получилась система независимых первых интегралов.

6

Теорема 1.4. Автономная система в окрестности неособой точки имеет n − 1 функциональнонезависимых первых интегралов, не зависящих от времени.

Доказательство. Автономную систему в окрестности неособой точки можно привести к эквива-лентной системе из n− 1 уравнений, где x1 считается временем:

dx2

dx1= a2

a1

. . .dxndx1

= ana1

(так как точка неособая, то можно считать, что a1 6= 0).

Теорема 1.5 (без доказательства). Произвольный первый интеграл системы (1.5) v в окрест-ности точки (t0, x10, . . . , xn0) выглядит как композиция n функционально независимых первыхинтегралов v1, . . . , vn в окрестности (t0, x10, . . . , xn0), а именно,

v(t, x1, . . . , xn) = F (v1, . . . , vn),

где F — дифференцируемая функция. Если система автономна, то не зависящий от временипервый интеграл в окрестности неособой точки выглядит как композиция n − 1 функциональнонезависимых и независимых от времени первых интегралов v1, . . . , vn−1

v(x1, . . . , xn) = F (v1, . . . , vn−1).

1.2 Линейные системы с постоянными коэффициентами.1.2.1 Экспонента матрицы.

Пусть x(t) — вектор-функция, A — матрица размера n × n с постоянными коэффициентами.Рассмотрим задачу Кошу {

x = Ax,x(0) = x0.

Теорема 1.6. Решение задачи Коши задается формулой x(t) = eAt · x0.

Определение 1.10. Экспонентой матрицы называется ряд eB = E +B + B2

2! + · · · =∞∑k=0

Bk

k! .

Покажем, что этот ряд сходится абсолютно.Нормой линейного оператора B : Rn → Rn является ‖B‖ = sup

x6=0

|Bx||x| = sup

|x|=1

|Bx|. Действительно,

проверим свойства нормы:

1. ‖B‖ ≥ 0, ‖B‖ = 0⇔ B = 0.

Доказательство. Пусть ‖B‖ = 0, тогда для любого x ∈ Rn имеем |B x| = 0 и B x = 0,следовательно, B = 0.

2. ‖λB‖ = |λ| · ‖B‖.

Доказательство. Для любого x ∈ Rn имеем

| (λB)x| = |λ (Bx) | = |λ| · |B x|,

тогда‖λB‖ = |λ| · ‖B‖.

3. ‖A+ B‖ ≤ ‖A‖+ ‖B‖.

7

Доказательство. Для любого x ∈ Rn имеем

|Bx||x|≤ ‖B‖,

тогда|Bx| ≤ ‖B‖ · |x|.

При этом| (A+ B)x| = |Ax + Bx| ≤ |Ax|+ |Bx| ≤ ‖A‖ · |x|+ ‖B‖ · |x|,

поэтому справедливо следующее неравенство:

| (A+ B)x||x|

≤ ‖A‖+ ‖B‖.

Возьмем супремум по всем x 6= 0 от обеих частей полученного неравенства, таким образом,получаем требуемое

‖A+ B‖ ≤ ‖A‖+ ‖B‖.

4. ‖AB‖ ≤ ‖A‖ · ‖B‖.

Доказательство. Для любого x ∈ Rn справедливо

|ABx| = |A (Bx) | ≤ ‖A‖ · |Bx| ≤ ‖A‖ · ‖B‖ · |x|.

Тогда|ABx||x|

≤ ‖A‖ · ‖B‖

и‖AB‖ ≤ ‖A‖ · ‖B‖.

5. ‖E‖ = 1.

Доказательство. Очевидно.

Продолжим доказательство абсолютной сходимости нашего ряда∞∑k=0

Bk

k! по норме ‖·‖, введенной

выше. В силу свойств 3 и 4 для любого l ∈ N справедливо неравенство∥∥∥∥∥m+l∑k=m

Bk

k!

∥∥∥∥∥ ≤m+l∑k=m

‖B‖k

k!.

Устремив m → +∞, получим сходимость рядов∞∑k=0

Bk

k! и∞∑k=0

‖B‖kk! по признаку Коши. Но это вы-

полнено только в полном пространстве. В нашем случае B ' B ∈ Rn2

, а пространство Rn2

полное.

Утверждение 1.1.d

dteAt = AeAt.

Доказательство. Заметим, что x = ddt (e

Ax · x0) = AeAx · x0 = Ax(t).

d

dteAt = AeAt,

тогдаd

dteAt = AeAt =

d

dt

(E +At+

A2t2

2!+A3t3

3!+ . . .

)= A+A2t+

A3t2

2!+ · · · =

= A

(E +At+

A2t2

2!+A3t3

3!+ . . .

)= AeAt.

8

Завершим доказательство теоремы.

Доказательство. Заметим, что eA0 = E. Тогда имеем x(0) = eA0 · x0 = E · x0 = x0.

Свойства экспоненты.

1. eA+B = eA eB , если AB = BA.

Доказательство.

eA+B = E + (A+B) +(A+B)2

2!+

(A+B)3

3!+ . . .

Необходимо показать, что

eA+B =

(E +A+

A2

2!+A3

3!+ . . .

)(E +B +

B2

2!+B3

3!+ . . .

).

Сравним коэффициенты при степенях в левой и правой частях уравнения. При нулевой сте-пени имеем E = E, при первой степени: A+B = A · E + E ·B, при второй степени:

(A+B)2

2!=

(A+B)(A+B)

2=A2 +B2 +AB +BA

2=A2

2!+B2

2!+AB

и так далее.

2. Если B = T−1AT , то eB = T−1 eA T .

Доказательство.

Bk =(T−1AT

)k= T−1AT T−1AT . . . T−1AT = T−1Ak T.

Суммируя полученные равенства, получаем требуемое.

3.

exp

A1 0 0 . . . 00 A2 0 . . . 0...

......

......

0 0 . . . Ak−1 00 0 . . . 0 Ak

=

eA1 0 0 . . . 00 eA2 0 . . . 0...

......

......

0 0 . . . eAk−1 00 0 . . . 0 eAk

Доказательство. Следует из 2.

4. Если h — собственный вектор матрицы A, соответствующий собственному значению λ, тоeAh = eλh.

Доказательство. Так как Ah = λh, то Akhk! = λkh

k! и, суммируя полученные равенства, полу-чаем требуемое.

Экспонента жордановой клетки.Рассмотрим жорданову клетку

J =

λ 1 0 . . . 00 λ 1 . . . 0...

......

......

0 0 . . . λ 10 0 . . . 0 λ

= λE +N.

9

Тогда используя свойства матричной экспоненты, получаем

eJt = eλEt · eNt = eλtE eNt = eλt(E +Nt+

N2t2

2!+ . . .+

Nn−1tn−1

(n− 1)!

)=

= eλt

1 t t2

2 . . . tn−1

(n−1)!

0 1 t . . . tn−2

(n−2)!

......

......

...0 0 . . . 1 t0 0 . . . 0 1

.

Практическое вычисление матричной экспоненты и решение линейной системы.

1. Решение системы дифференциальных уравнений.В силу свойств матричной экспоненты i-ый столбец матрицы eAt есть решение системы урав-нений x = Ax c с начальными условиями xi(0) = 1, xk(0) = 0 при k 6= i (xi — i-ая координатавектор-функции x). При этом det eA = eTrA.

2. Приведение матрицы к жордановой форме.Пусть известна такая матрица T , что матрица J = T−1AT имеет жорданову форму, то естьсостоит из жордановых клеток. Тогда в силу свойств матричной экспоненты нетрудно найтиeAt = T eJt T−1.

1.2.2 Линейные системы с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера.

Рассматривается однородная система с постоянными коэффициентами

x = Ax.

Для нахождения решений этой системы можно использовать метод Эйлера.Необходимо найти собственные значения матрицы A:

det(A− λE) = 0.

У такого уравнения есть n решений λ1, . . . , λn, возможно комплексных.Первый случай: λ1, . . . , λn ∈ R, λi 6= λj при i 6= j.В этом случае каждому собственному значению соответствует собственный вектор vi. Решение

системы имеет следующий вид:

xоо = c1v1eλ1t + . . .+ cnv

neλnt.

Второй случай: λ1, . . . , λn ∈ R, λ1 = . . . = λm.В этом случае собственному значению λ1 соответствуют k линейно независимых собственных

векторов vi.Если k = m, то часть решения, соответствующая этому собственному значению, имеет вид:

x = c1v1eλ1t + . . .+ cmvmeλ1t.

Если k <m, то часть решения, соответствующая этому собственному значению, имеет вид:

x = c1v1eλ1t + . . .+ cmvmeλ1t +

P1r (t)...

Pnr (t)

eλ1t,

где r = m− k, а P ir(t) — многочлены степени r, коэффициенты которых находятся методом неопре-деленных коэффициентов.

Случай комплексных решений.Рассмотрим системы уравнений

x = A(t)x, (1.6)

x = A(t)x + f1(t) + if2(t), (1.7)

где матрица A(t), вектор-функции f1(t), f2(t) принимают действительные значения, а x — комплекс-ные.

10

Определение 1.11. Комплекснозначная функция x(t) называется решением системы (1.6) или(1.7), если она обращает их в тождества.

Утверждение 1.2. Если x(t) = u(t)+iv(t) — решение системы (1.7), то u(t) — решение системыu = A(t)u + f1(t), а v(t) — решение системы v = A(t)v + f2(t).

Продолжим описание метода Эйлера.Третий случай: λ1, . . . , λn ∈ C, λi 6= λj при i 6= j.Пусть λ1 = a + ib. Так как коэффициенты характеристического многочлена действительны, то

каждому комплексному корню уравнения соответствует комплексно сопряженный корень, поэтомупусть λ2 = a − ib. Этим собственным значениям соответствуют комплекснозначные собственныевектора v1,2 = v1 ± iv2. Тогда часть решения, соответствующая λ1 и λ2 имеет вид:

x = c1 Re(v1eλ1t) + c2 Im(v1eλ1t).

Четвертый случай: λ1, . . . , λn ∈ C, λ1 = . . . = λm.В этом случае собственному значению λ1 соответствуют k линейно независимых собственных

векторов vi. При этом собственному значению, сопряженному λ1, соответствуют k линейно незави-симых сопряженных собственных векторов.Если k = m, то часть решения, соответствующая λ1 и сопряженному собственному значению, имеетвид:

x = c1 Re(v1eλ1t) + . . .+ cm Re(vmeλ1t

)+ cm+1 Im

(v1eλ1t

)+ . . .+ c2m Im

(vmeλ1t

)Если k <m, то часть решения, соответствующая λ1 и сопряженному собственному значению, имеетвид:

x = c1 Re(v1eλ1t

)+ . . .+ cm Re

(vmeλ1t

)+ cm+1 Im

(v1eλ1t

)+ . . .+ c2m Im (vm) +

+eReλ1t

P1r (t)...

Pnr (t)

cos (Reλ1t) + eReλ1t

Q1r(t)...

Qnr (t)

sin (Reλ1t) .

где r = m − k, а P ir(t), Qir(t) — действительные многочлены степени r, коэффициенты которых

находятся методом неопределенных коэффициентов.

1.2.3 Решение линейных систем с правой частью специального вида.

Рассматривается неоднородная система

x = Ax + f(t).

Ее решение представляется как xон = xоо + xчн. Обозначим через Pm(t) многочлен степени m.Если

f(t) =

P1m1

(t)...

Pnmn(t)

eat,

то

xчн(t) =

S1m+r(t)

...Snm+r(t)

eat,

где m = max(m1, . . . ,mn), r — кратность корня a характеристического уравнения.Если

f(t) = eat

P

1m1

(t)...

Pnmn(t)

cos(bt) +

Q1l1

(t)...

Qnln(t)

sin(bt)+

,

то

xчн(t) = eat

R

1m+r(t)...

Rnm+r(t)

cos(bt) +

T1m+r(t)

...Tnm+r(t)

sin(bt)

,

где m = max(m1, . . . ,mn, l1, . . . , ln), r — кратность корня a+ ib характеристического уравнения.

11

1.2.4 Метод вариации произвольных постоянных.

Рассматривается неоднородная система

x = Ax + f(t).

Ее решение удобно искать в виде:

x(t) = c1(t)x1(t) + . . .+ cn(t)xn(t).

При подстановке такого выражения в систему получаем набор дифференциальных уравнений, поз-воляющих найти c1(t), . . . , cn(t).

1.3 Линейные системы дифференциальных уравнений первого порядка.Определение 1.12. Линейной системой дифференциальных уравнений первого порядканазывают систему вида

x = A(t)x + f(t), (1.8)

где

A(t) =

a11(t) . . . a1n(t)...

. . ....

an1(t) . . . ann(t)

, f(t) =

f1(t)...

fn(t)

, x =

x1

...xn

.

Будем считать, что aij(t), i, j = 1, . . . , n, fj(t), j = 1, . . . , n, — непрерывные функции.

Определение 1.13. Линейная система называется однородной, если f(t) = 0, то есть системавида

x = A(t)x. (1.9)

Определение 1.14. Нормой A(t) (обозначение ‖A‖) называется

‖A‖ =

n∑i,j=1

|aij(t)|2 1

2

.

Далее будем использовать обозначения: a(t) = ‖A‖, b(t) = |f(t)| =

(n∑j=1

f2j (t)

) 12

.

Определение 1.15. Задачей Коши для системы (1.8) называется задача отыскания решениясистемы, удовлетворяющего начальным условиям:{

x = A(t)x + f(t),

x(t0) = x0.(1.10)

Теорема 1.7 (о существовании, единственности и продолжаемости решения на интервал). Пустьaij(t), fj(t) — непрерывные функции на (α, β), где i, j = 1, . . . , n, −∞ ≤ α < β ≤ +∞. Тогда решениезадачи Коши (1.10) существует, единственно и продолжается на весь интервал.

Доказательство. По теореме существования и единственности у задачи Коши (1.10) существуетединственное решение на отрезке [t0 − h, t0 + h]. Оценим правую часть системы

|A(t)x + f(t)| ≤ |A(t)x|+ |f(t)| ≤ ‖A‖ · ‖x‖+ |f(t)|.

Действительно, пусть yi — i-ый элемент столбца A(t)x.

yi = ai1x1 + . . .+ ainxn.

Из неравенства Коши следует, что

|yi|2 = (ai1x1 + . . .+ ainxn)2 ≤n∑j=1

|aij |2 ·n∑j=1

|xj |2.

12

Тогда

|A(t)x| = |y| =(|yi|2

) 12 ≤

n∑i=1

n∑j=1

|aij |n∑j=1

|xj |2 1

2

= ‖A‖ · ‖x‖.

Так как |A(t)x| + |f(t)| ≤ a(t)‖x‖ + b(t), то из теоремы о продолжаемости решения следует, чторешение продолжается на весь интервал.

1.3.1 Определитель Вронского.

Определение 1.16. Система функций x1(t), . . . ,xn(t) называется линейно зависимой на ин-тервале (α, β), если существует набор действительных чисел c1, . . . , cn, не всех равных нулю,такой, что c1x1(t), . . . , cnx

n(t) = 0 при любом t ∈ (α, β).

Определение 1.17. Если из равенства c1x1(t), . . . , cnxn(t) = 0 при любом t ∈ (α, β) следует, что

c1 = c2 = . . . = cn = 0, то система функций x1(t), . . . ,xn(t) называется линейно независимой.

Замечание 1.5. Линейная зависимость системы функций x1(t), . . . ,xn(t) в каждой точке t не озна-чает линейную зависимость системы.

Например, x1 =

(11

), x2 =

(tt

)линейно независимы, но линейно зависимы в каждой точке t.

Определение 1.18. Любая система x1(t), . . . ,xn(t) линейно независимых решений системы (1.9)называется фундаментальной системой решений.

Определение 1.19. Матрица, столбцы которой являются фундаментальной системой решений,называется фундаментальной матрицей системы. Обозначим ее через:

Φ(t) =

x11 . . . xn1...

. . ....

x1n . . . xnn

.

Определение 1.20. Определителем Вронского называется определитель фундаментальнойматрицы.

Wx1(t),...,xn(t)(t) =

∣∣∣∣∣∣∣x1

1 . . . xn1...

. . ....

x1n . . . xnn

∣∣∣∣∣∣∣ ,W (t) = det Φ(t).

Рассмотрим определитель Вронского для произвольной системы функций.

Теорема 1.8. Пусть x1(t), . . . ,xn(t) линейно зависимы на (α, β). Тогда Wx1(t),...,xn(t)(t) = 0 на(α, β).

Следствие 1.1. Если Wx1(t),...,xn(t)(t) 6= 0, то x1(t), . . . ,xn(t) линейно независимы на (α, β).

Теорема 1.9. Если существует значение t0 ∈ (α, β), −∞ ≤ α < β ≤ +∞, такое, что W (t0) = 0,и коэффициенты системы (1.9) непрерывны на (α, β), то W (t) ≡ 0, и x1(t), . . . ,xn(t) линейнозависимы.

Доказательство. Пусть W (t0) = 0. Тогда существует ненулевой набор чисел c1, . . . , cn, такой, что

c1x1(t0) + . . .+ cnx

n(t0) = 0, где xi(t0) =

xi1(t0)...

xin(t0)

.

Рассмотрим вектор-функциюx(t) = c1x

1(t) + . . .+ cnxn(t).

Она является решением системы (1.9), поскольку представляет собой линейную комбинацию реше-ний системы. При этом по условию, x(t0) = 0. У системы (1.9) есть решение x(t) = 0. По теоремесуществования и единственности получаем, что x(t) = c1x

1(t)+. . .+cnxn(t) = 0 при любом t ∈ (α, β).

Это означает, что x1(t), . . . ,xn(t) линейно зависимы и Wx1(t),...,xn(t)(t) = 0 на (α, β).

13

Теорема 1.10 (Формула Лиувилля–Остроградского). Определитель Вронского для матрицы, со-ставленной из решений системы (1.9), можно найти по формуле Лиувилля– Остроградского

W (t) = W (t0)e

t∫t0

TrA(s)ds

.

Доказательство. Найдем производную вронскиана:

W (t) =

n∑i=1

Di =

n∑i=1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

x11 . . . xj1 . . . xn1...

......

x1i−1 . . . xji−1 . . . xni−1

x1i . . . xji . . . xni

x1i+1 . . . xji+1 . . . xni+1...

......

x1n . . . xjn . . . xnn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣.

Но xj — решения однородной системы уравнений (1.9), то есть

x =

xj1...xji...xjn

=

a11(t) . . . a1n(t)...

...ai1(t) . . . ain(t)

......

an1(t) . . . ann(t)

xj1...xji...xjn

,

поэтому

xji = ai1(t)xj1 + . . .+ ain(t)xjn =

n∑k=1

aik(t)xjk.

Заменив строчки с производными в выражении производной вронскиана этим выражением, полу-чаем:

W (t) =

n∑i=1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

x11 . . . xj1 . . . xn1...

......

x1i−1 . . . xji−1 . . . xni−1∑n

k=1 aik(t)x1k . . .

∑nk=1 aik(t)xjk . . .

∑nk=1 aik(t)xnk

x1i+1 . . . xji+1 . . . xni+1...

......

x1n . . . xjn . . . xnn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣.

Заметим, что

n∑k=1

aik(t)xjk − ai1xj1 − . . .− aii−1x

ji−1 − aii+1x

ji+1 − . . .− ainx

jn = aiix

ji .

Определитель не изменится при таком преобразовании строк, поэтому

W (t) =

n∑i=1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

x11 . . . xj1 . . . xn1...

......

x1i−1 . . . xji−1 . . . xni−1

aii(t)x1i . . . aii(t)x

ji . . . aii(t)x

ni

x1i+1 . . . xji+1 . . . xni+1...

......

x1n . . . xjn . . . xnn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

n∑i=1

aiiWx1(t),...,xn(t)(t) = W (t) TrA(t),

тогда,W (t) = W (t) TrA(t),

14

W ′(t)

W (t)dt = TrA(t)dt,

t∫t0

W ′(t)

W (t)dt =

t∫t0

TrA(t)dt,

ln|W (t)| − ln|W (t0)| =t∫

t0

TrA(t)dt,

иW (t) = W (t0)e

∫ tt0

TrA(s)ds.

1.3.2 Общее решение линейной системы дифференциальных уравнений.

Определение 1.21. Общим решением системы (1.9) называется совокупность функций, со-держащая все решения системы, и только их.

Теорема 1.11. Пусть x1(t), . . . ,xn(t) — фундаментальная система решений системы (1.9). Тогдаобщее решение системы имеет вид:

xoo(t) = c1x1(t) + . . .+ cnx

n(t),

где c1, . . . , cn — произвольные постоянные.

Доказательство. Очевидно, что любая такая комбинация является решением. То, что всякое ре-шение представляется в таком виде, следует из теоремы существования и единственности.

Замечание 1.6. Если X(t) — фундаментальная матрица, то xoo = X(t) c, где c =

c1...cn

.

Замечание 1.7. Если X(t) — фундаментальная матрица, то Y (t) = X(t)C, где C — невырожденнаяматрица, тоже является фундаментальной матрицей.

Перейдем к рассмотрению неоднородной системы (1.8).

Теорема 1.12. Общее решение неоднородной системы (1.8) образуется как сумма общего решениясоответствующей однородной системы (1.9) и частного решения неоднородной системы (1.8):

xон = xоо + xчн.

Доказательство. Очевидно, что такое выражение является решением. Для доказательства того,что такой вид имеют все решения, рассмотрим два различных частных решения неоднороднойсистемы: xчн и xчн Тогда

xчн = Axчн + f , ˙xчн = Axчн + f .

( ˙xчн − xчн) = A(xчн − xчн),

то есть произвольное решение представляет собой сумму решения однородной системы (xчн − xчн)и частного неоднородной системы:

xчн = (xчн − xчн) + xчн.

15

1.4 Фазовые портреты.1.4.1 Фазовая плоскость.

Рассматривается автономная система уравнений

x = f(x), (1.11)

где x =

x1

...xn

, f =

f1(x)...

fn(x)

.

Имеем t→

x1(t)...

xn(t)

(решение системы)→

f1(x)...

fn(x)

→x1

...xn

— касательный вектор к графику

решений рассматриваемой системы. Таким образом, получаем определенное векторное поле.

Определение 1.22. Пространство переменных x1, . . . , xn называется фазовым простран-ством системы (1.11).

Пример 1.2. Рассмотрим следующую автономную систему:{x = yy = −x .

Продифференцируем первое уравнение системы

x = y = −x,

тогдаx = −x,

x+ x = 0,

откудаx = C1 cos t+ C2 sin t,

y = −C1 cos t− C2 sin t,

y = −C1 sin t+ C2 cos t.

Таким образом, мы получаем решение системы: x =√C2

1 + C22

(C1√C2

1+C22

cos t+ C2√C2

1+C22

sin t

)=√C2

1 + C22 sin(t+ ϕ),

y =√C2

1 + C22 cos(t+ ϕ).

Нетрудно увидеть, что пространство решений представляет собой окружности:

x2 + y2 = C21 .

t

y

x

16

x

y

Определение 1.23. Кривая t→

x1(t)...

xn(t)

называется фазовой кривой или траекторией.

Далее будем предполагать, что f(x) и ∂fi∂xj

, i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , n, непрерывны в некоторойобласти D ∈ Rn. Тогда по теореме существования и единственности траектории не пересекаются.Если xi(t) = ci, ci − const, i = 1, . . . , n, то траектория — это точка.

Определение 1.24. Неподвижной точкой системы (стационарной точкой, положе-

нием равновесия) называется точка x0 =

x01...x0n

, такая, что fi(x0) = 0, i = 1, . . . , n.

1.4.2 Свойства траекторий.

Рассматривается автономная (не зависящая от времени явно) система линейных уравнений

dx

dt= f(x). (1.12)

Определение 1.25. Траекторией называется линия (или точка) в (x1, ..., xn), вычерченная ре-шением системы x(t) при изменении времени t.

Следующие утверждения описывают свойства траекторий автономной системы.

Теорема 1.13. Если x(t) — решение (1.12), то y(t) = x(t + c) — тоже решение (1.12), и соот-ветствующие им траектории равны.

Доказательство.

x′(t) ≡ f(x(t))⇒ x′(t+ c) ≡ f(x(t+ c))⇒ y′(t) ≡ f(y(t)).

Равенство траекторий очевидно — траектория y(t) проходит через все точки траектории x(t) сотставанием c.

Это означает, что одной траектории соответствует множество решений.

Теорема 1.14. Траектории либо совпадают, либо не имеют общих точек.

Доказательство. Доказательство следует из теоремы единственности решения.

Теорема 1.15. Решение не входит в особую точку за конечное время.

Доказательство. Если решение входит в особую точку за конечное время, то оно само особая точка(следует из предыдущей теоремы).

Теорема 1.16. Непостоянное решение x(t), такое, что x(t1) = x(t2) при t1 6= t2 периодическое,имеет наименьший период, и его траектория — замкнутая линия без самопересечений.

17

Доказательство. Заметим, что y(t) = x(t+ t2− t1) — решение, более того, y(t1) = x(t2) = x(t1). Потеореме единственности y(t) ≡ x(t), поэтому x(t+ d) ≡ x(t), где d = t2 − t1. Таким образом, x(t) —периодическое решение с периодом d (возможно, не наименьшим). Мы получили, что решение x(t)периодическое, непостоянное, поэтому у него есть наименьший период p. Очевидно, что траекториязамкнута. Предположим, что есть самопересечение траектории, тогда ее период обязан быть меньшеминимального, приходим к противоречию.

Теорема 1.17. Любая траектория — либо точка, либо замкнутая кривая без самопересечений,либо незамкнутая кривая без самопересечений.

Доказательство. Решение x(t) либо постоянно, либо x(t1) = x(t2) при t1 6= t2, либо x(t1) 6= x(t2)при t1 6= t2. Первый случай соответствует точке, второй — замкнутой кривой, третий — незамкну-той. Самопересечение незамкнутой траектории влечет, что его решение периодическое — противо-речие.

1.4.3 Классификация положений равновесия линейной однородной автономной систе-мы.

Рассматривается линейная однородная автономная система{x = ax+ by,y = cx+ dy.

(1.13)

Заметим, что (0, 0) — положение равновесия системы.Введем обозначение:

A =

(a bc d

).

Теорема 1.18. В зависимости от корней λ1, λ2 характеристического уравнения det(A− λE) = 0возможны следующие типы положений равновесия (см. таблицу).

18

Таблица. Фазовые траектории положения равновесия линейной однороднойсистемы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

19

Доказательство. Найдем корни λ1, λ2 характеристического уравнения det(A− λE) = 0.∣∣∣∣a− λ bc d− λ

∣∣∣∣ = 0,

(a− λ)(d− λ)− bc = 0,

λ2 − λ(a+ d) + (ad− bc) = 0.

Тогда Жорданова форма J матрицы A может иметь один из следующих видов:Случай I. λ1, λ2 ∈ R.

1. λ1 6= λ2.

Если J =

(λ1 00 λ2

), тогда в жордановом базисе имеем систему:(

x1

y1

)=

(λ1 00 λ2

)(x1

y1

),

то есть {x1 = λ1 x1,y1 = λ2 y1,

откуда {x1 = C1e

λ1t,y1 = C2e

λ2t,

илиlnx1

C1= λ1t,

y1 = C2eλ2λ1

lnx1C1 = C2

(x1

C1

)λ2λ1

.

1a) λ1 · λ2 < 0 — седло

(a){λ1 > 0λ2 < 0

x

y

(b){λ1 < 0λ2 > 0

x

y

20

1б){λ1 > 0λ2 > 0

или{λ1 < 0λ2 < 0

(a) |λ2| > |λ1|.Неустойчивый узел:

x

y

Устойчивый узел:

x

y

(b) |λ2| < |λ1|.Неустойчивый узел:

x

y

Устойчивый узел:

21

x

y

Таким образом, траектории касаются направления, определяемого собственным векто-ром, отвечающим наименьшему по модулю собственному значению.

2. λ1 = λ2.

Если J =

(λ1 00 λ1

), то в жордановом базисе получаем систему:{

x1 = λ1x1,y1 = λ1y1,

то есть {x1 = C1e

λ1t,y1 = C2e

λ1t,

откудаy1

x1=C2

C1,

илиy1 =

C2

C1x1.

Если λ1 < 0, то имеем устойчивый дикритический узел:

x

y

Если λ1 > 0, то имеем неустойчивый дикритический узел:

x

y

22

Если J =

(λ1 10 λ1

), то в жордановом базисе получаем систему:

{x1 = λ1x1 + y1,y1 = λ1y1,

откуда {x1 = λ1x1 + C2e

λ1t,y1 = C2e

λ1t.

Решаем первое уравнение системы методом вариации произвольной постоянной

x1 − λ1x1 = C2eλ1t,

x1 − λ1x1 = 0,

x1 = C1eλ1t,

x1 = C1(t)eλ1t,

C ′1(t)eλ1t = C2eλ1t,

C1(t) = C2t+ C1.

Таким образом, получаем решение системы{x1 = (C2t+ C1)eλ1t,y1 = C2e

λ1t,

илиt =

1

λ1lny1

C2,

и, подставляя выражение для t в первое уравнение системы, находим

x1 =C2

λ1eln

y1C2 ln

y1

C2+ C1e

lny1C2 =

y1

λ1lny1

C2+ C1

y1

C2.

λ1 < 0 — устойчивый вырожденный узел:

x1

y1

λ1 > 0 — неустойчивый вырожденный узел:

x1

y1

23

Случай II. λ1,2 = a± bi, b 6= 0.

1. a 6= 0. Пусть собственному значению λ1 = a+ bi соответствует собственный вектор v = u+ iw,

где v =

(v1

v2

),u =

(u1

u2

),w =

(w1

w2

). Тогда

Av = λ1v,

откудаA(u + iw) = (a+ bi)(u + iw),

Au + iAw = (au− bw) + i(bu + aw).

Отсюда {Au = au− bw,Aw = bu + aw.

Разложим решение системы (1.13) по базису u, w

x =

(xy

)= x1u + y1w.

Тогда получимx1u + y1w = A(x1u + y1w) = x1Au + yAw

илиx1u + y1w = x1(au− bw) + y1(bu + aw),

откуда {x1 = ax1 + by1,y1 = −bx1 + ay1.

Перейдем к полярным координатам x1 = r cosϕ, y1 = r sinϕ. Тогда{x1 = r cosϕ− r sinϕ · ϕ = ar cosϕ+ br sinϕ,y1 = r sinϕ+ r cosϕ · ϕ = −br cosϕ+ ar sinϕ,{

r = ar cos2 ϕ+ br sinϕ cosϕ− br cosϕ sinϕ+ ar sin2 ϕ = ar,rϕ = −br cos2 ϕ+ ar sinϕ cosϕ− ar sinϕ cosϕ− br sin2 ϕ = −br,{

r = ar,ϕ = −b, (1.14)

откуда получаем {r = C1e

at,ϕ = −bt+ C2,

или {t = 1

a ln rC1,

ϕ = − ba ln r

C1+ C2,

то есть {t = C2−ϕ

b ,

r = C1e− ab (ϕ−C2)C1e

− abϕ, C1 = C1eaC2b .

Таким образом, при a > 0 получаем логарифмическую спираль, которая закручивается внаправлении точки (0, 0), а при a < 0 — раскручивается от точки (0, 0). Тип особой точки —фокус.

2. a = 0.Из системы (1.14) {

r = 0,ϕ = −b,

получаем {r = c,ϕ = −bt,

то есть имеем концентрические окружности. Тип особой точки — центр.

24

Замечание 1.8. При переходе к базису из собственных векторов совершается линейное преоб-разование, которое может приводить к растяжению (или сжатию) и повороту, но качественнокартина траекторий не меняется.

Случай III. Если жорданова форма матрицы имеет один из следующих видов(0 00 0

),

(0 10 0

),

(0 00 1

),

то получим вырожденные случаи.

1.4.4 Области зависимости типа особой точки от коэффициентов системы.

Рассматривается линейная автономная система (1.13).{Reλ1 < 0Reλ2 < 0

— область устойчивости.

Введем обозначения δ = −TrA2 − (a+ d), ∆ = ad− bc.Тогда

λ2 + δλ+ ∆ = 0,

λ1,2 =−δ ±

√δ2 − 4∆

2,

и в новых обозначениях имеем:{δ > 0∆ > 0

— область устойчивости.

При δ2 − 4∆ = 0 или ∆ = δ2

4 получим, что λ1 = λ2. Таким образом,{

∆ > δ2

4δ 6= 0

— устойчивые и

неустойчивые фокусы,{

∆ > δ2

4δ = 0

— центр.

Если ∆ < δ2

4 , δ 6= 0, то корни характеристического уравнения действительные, одного знака, иполучаем тип особой точки — устойчивый узел (δ > 0) или неустойчивый узел (δ < 0).Если ∆ < 0, то корни характеристического уравнения действительные, разных знаков, и получаемтип особой точки — седло.

1.4.5 Фазовый портрет автономной нелинейной системы.

Рассматривается нелинейная автономная система{x = P (x, y),y = Q(x, y).

25

Найдем положения равновесия (особые точки M1(x1, y1), . . . ,Mk(xk, yk), . . . ) системы:{P (x, y) = 0,Q(x, y) = 0.

Заменой переменных перенесем точки Mk в начало координат (0, 0):{u = x− xk,v = y − yk,

переносим Mk в (0, 0). В окрестности начала координат, используя формулу Тейлора для функ-ций двух переменных, линеаризуем нелинейную систему (если это возможно), и для полученнойлинейной системы изучим характер положения равновесия (0, 0).

После замены координат рассматриваемая система перепишется в виде:{u = P (u, v),

v = Q(u, v),

где P (0, 0) = Q(0, 0) = 0.

Разложим функции P (u, v), Q(u, v) в окрестности точки (0, 0) в ряд Тейлора:{u = au+ bv + f1(u, v),v = cu+ dv + f2(u, v),

(1.15)

где f1 ∼ O(√u2 + v2), f2 ∼ O(

√u2 + v2). После линеаризации исходная система примет следующий

вид: {u = au+ bv,v = cu+ dv.

(1.16)

Теорема 1.19. Если точка (0, 0) — положение равновесия типа узел, фокус, седло для системы(1.16), то точка (0, 0) — положение равновесия типа узел, фокус, седло для системы (1.15) соот-ветственно. Если точка (0, 0) — положение равновесия типа центр для системы (1.16), то онаявляется положением равновесия типа центр, либо фокус для системы (1.15).

1.4.6 Предельные циклы.

Определение 1.26. Предельным циклом автономной системы называется замкнутая траек-тория, у которой существует окрестность, целиком заполненная траекториями системы, бес-конечно приближающимися к замкнутой траектории при t→ +∞ или t→ −∞.

Замечание 1.9. Внутри предельного цикла находится особая точка фокус.

Теорема 1.20 ( Принцип кольца (достаточное условие существования предельного цикла)). Еслина плоскости существует кольцо {(x, y) |r2 6 (x−x0)2 + (y−y0)2 6 R2}, так что все траекториисистемы, пересекающие границу, либо одновременно входят в него, либо выходят из него. Тогдавнутри кольца существует предельный цикл (устойчивый или неустойчивый).

Пример 1.3. Исследуем вопрос о существовании предельного цикла следующей системы{x = −x− y + x(x2 + y2),y = x− y + y(x2 + y2).

Особая точка линейной системы: (0, 0).∣∣∣∣−1− λ −11 −1− λ

∣∣∣∣ = (λ+ 1)2 + 1 = 0,

λ1,2 = −1± i — устойчивый фокус.

Перейдем к полярным координатам x = r cosϕ, y = r sinϕ.

dx

dt=dr

dtcosϕ− r sinϕ

dϕ

dt,

26

dy

dt=dr

dtsinϕ+ r cosϕ

dϕ

dt.

Тогда {drdt cosϕ− r sinϕdϕdt = −r cosϕ− r sinϕ+ r3 cosϕ,drdt sinϕ+ r cosϕdϕdt = r cosϕ− r sinϕ+ r3 sinϕ,{

drdt = −r cos2 ϕ− r sinϕ cosϕ+ r3 cos2 ϕ+ r sinϕ cosϕ− r sin2 ϕ+ r3 sin2 ϕ = r3 − r,dϕdt = sinϕ cosϕ+ sin2 ϕ− r2 sinϕ cosϕ+ cos2 ϕ− sinϕ cosϕ+ r2 sinϕ cosϕ = 1,{

drdt = r3 − r = r(r − 1)(r + 1),dϕdt = 1.

Если 0 < r < 1, то drdϕ < 0.

Если r > 1, то drdϕ > 0. Таким образом, получаем r = 1 — неустойчивый предельный цикл. При

r = 0 имеем устойчивый фокус.

Упражнение. Исследовать вопрос существования предельного цикла системы:{x = y − x+ x3,y = −x− y + y3.

1.4.7 Уравнение Ньютона для уравнения x+ f(x) = 0.

Сведем уравнение к системе: {x = yy = −f(x)

Рассмотрим функцию E(x, y) =∫ xx0f(s) ds + y2

2 , выражающую полную энергию системы,

u(x) =∫ xx0f(s) ds — потенциальная энергия, T (y) = y2

2 — кинетическая энергия.Вдоль решения системы имеем E(x, y) = C. Действительно,

dE

dt= f(x) · x+

2y

2· y = yf(x) + y(−f(x)) = 0.

Интегрируя уравнениеdE(x, y) = f(x) dx+ y dy = 0.

получаем

u(x) +y2

2= C,

илиy = ±

√2(C − u(x)).

Заметим, что u(x) ≤ C, поэтому C − u(x) ≥ 0.Рассмотрим уравнение колебаний маятника: x+ sinx = 0. Потенциальная энергия имеет вид

u(x) =

∫ x

0

sin s ds = 1− cosx.

На основании полученного уравнения построим траектории системы.

27

Уравнение колебания маятника с трением:

x+ bx+ a sinx = 0.

{x = y,y = −f(x).

Заменой переменных, избавившись от члена с x, можно свести уравнение к предыдущему случаю.

1.5 Устойчивость решенияРассмотрим систему дифференциальных уравнений:

dyidt

= Φi(t, y1, y2, ..., yn), i = 1, 2, ..., n. (1.17)

Определение 1.27. Решение φi(t), i = 1, 2, ..., n, системы (1.17) называется устойчивым, или,точнее, устойчивым по Ляпунову, если для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что длявсякого решения y(t) системы (1.17), начальные значения которого удовлетворяют неравенствам| yi(t0)− φi(t0) | < δ, i = 1, 2, ..., n, для всех t ≤ t0 справедливы неравенства

| yi(t)− φi(t) | < ε, i = 1, 2, ..., n. (1.18)

Таким образом, устойчивость означает, что близкие по начальным значениям решения остаютсяблизкими для всех t ≤ t0.

Определение 1.28. Если существует ε > 0, такое, что при сколь угодно малом δ > 0 хотя быдля одного решения y(t) условия (1.18) не выполняются, то решение φi(t), i = 1, 2, ..., n, называетсянеустойчивым.

Определение 1.29. Если решение φi(t), i = 1, 2, ..., n, системы (1.17) устойчиво по Ляпунову иудовлетворяет условию

limt→+∞

| yi(t)− φi(t) | = 0, i = 1, 2, ...n, (1.19)

при | yi(t0)−φi(t0) | < δ1, δ1 > 0, то решение φi(t), i = 1, 2, ..., n, называется устойчивым асимп-тотически.

28

Замечание 1.10. Из неограниченности решения не следует его неустойчивость.

Пример 1.4. {x = 1 + t− x,x(0) = 0.

Найдем решение соответствующего линейного однородного уравнения:

dx

dt= −x,

xoo = C e−t.

Вариацией произвольной постоянной находим общее решение неоднородного уравнения

xo = C(t)e−t,

C ′(t)e−t = 1 + t,

C(t) =

t∫t0

et(t+ 1)dt = t et + C,

xo = Ce−t + t.

Решая задачу Коши, получим, что φ(t) = t. Теперь найдем решение, удовлетворяющее другомуначальному условию: x(0) = x0. Тогда x0(t) = x0 e

−t + t.Зафиксируем ε > 0. Если x0 < ε, то |φ(t) − x0(t) | = |x0 | · | e−t | < ε для любого t ≤ 0,

и, кроме того, limt→∞ ( | e−t | · |x0 |) = 0. То есть, выбрав δ = ε, мы доказали устойчивость иасимптотическую устойчивость решения φ(t) = t.

Замечание 1.11. Из ограниченности решения, как и из ограниченности остальных решения, неследует его неустойчивость.

Пример 1.5. Рассмотрим уравнениеx = sin2 x.

Найдем решениеdx

dt= sin2 x,

откуда [ ∫dx

sin2 x=∫dt,

sinx = 0,

и [−ctgx = t− C,x = πn, n ∈ N,[

x = arcctg(C − t),x = πn, n ∈ N.

Все решения получились ограниченными. Для любого δ > 0, δ < π имеем x(0) = δ, следовательно,limt→∞ x(t) = π. Это означает неустойчивость тривиального решения x(t) ≡ 0.

Замечание 1.12. Из одного условия (1.19) не следует устойчивость решения.

Исследование вопроса устойчивости некоторого решения y(t) системы 1.17 может быть сведенок исследованию на устойчивость тривиального решения (точки покоя, положения равновесия)x(t) ≡ 0 соответствующей системы, получающейся преобразованием исходной к новым переменнымс помощью замены:

x(t) = y(t)− y(t).

Тогда в новых переменных система примет вид:

dxi(t)

dt= −dyi(t)

dt+ Φi(t, x1 + y1(t), x2 + y2(t), ..., xn + yn(t)), i = 1, 2, ..., n. (1.20)

29

Исследуемому решению y(t) системы (1.17) соответствует тривиальное решение x(t) ≡ 0 системы(1.20), и его исследование на устойчивость можно заменить исследованием на устойчивость данноготривиального решения. В дальнейшем без ограничения общности считаем, что на устойчивостьисследуется тривиальное решение или, что одно и то же, расположенная в начале координат точкапокоя системы уравнений. Для нее сформулируем определение устойчивости.

Определение 1.30. Точка покоя x(t) ≡ 0 системы (1.20) называется устойчивой по Ляпуно-ву, если для каждого ε > 0 существует δ > 0, такое что:

|x(t0) | < δ ⇒ |x(t) | < ε , t ≤ t0.

1.5.1 Простейшие типы точек покоя (положений равновесия)

Исследуем расположение траекторий в окрестности точки покоя (0, 0) решений линейной систе-мы двух дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:{

x = a11x+ a12y,y = a21x+ a22y,

a11a22 − a12a21 6= 0. (1.21)

Будем искать решение (1.21) в виде x(t) = α1ekt, y(t) = α2e

kt, используя характеристическоеуравнение ∣∣∣∣a11 − k a12

a21 a22 − k

∣∣∣∣ = 0,

где α и β находятся с точностью до постоянного множителя непосредственной подстановкой висходную систему, то есть

(a11 − k)α+ a12β = 0. (1.22)

Возможны следующие случаи:

1. Корни характеристического уравнения k1 и k2 действительные и различные.Общее решение имеет вид: {

x = c1α1ek1 t + c2α2e

k2 t,y = c1β1e

k1 t + c2β2ek2 t,

где константы αi, βi получены из соотношения (1.22) при k = k1, а cj - произвольные. Здесьвозможно следующее:

• Если k1 < 0, k2 < 0, то точка покоя асимптотически устойчива и носит название устой-чивого узла.

• Если k1 > 0, k2 > 0, то случай переходит в предыдущий при замене t на −t. Следователь-но, траектории имеют тот же вид, но противоположное направление движения точки. А,значит, точка покоя неустойчива по Ляпунову и носит название неустойчивого узла.

• Точка покоя неустойчива по Ляпунову и в случае k1 > 0, k2 < 0. Называем такую точкуседлом.

2. Корни характеристического уравнения комплексны: k1,2 = p± qi, q 6= 0.Общее решение системы (1.21) представимо в виде:{

x = ep t (c1 cos qt+ c2 sin qt),y = ep t (c1 cos qt+ c2 sin qt),

где постоянные c1, c2 произвольны, а c1, c2 получаются из них определенной линейной комби-нацией (подстановкой общей данной формулы в исходную систему). Здесь возможно следую-щее:

• Если p < 0, то точка покоя асимптотически устойчива и носит название устойчивогофокуса.

• Если p > 0, то точка покоя неустойчива по Ляпунову и носит название неустойчивогофокуса.

30

• Если p = 0, то решения получаются периодическими, их периоды совпадают, а, значит,траектории — замкнутые кривые. Наблюдаем устойчивость по Ляпунову и отсутствиеасимптотической устойчивости. Положение равновесия в этом случае носит название цен-тра.

3. Корни характеристического уравнения совпадают.Общее решение имеет вид: {

x = ek t (c1 α1 + c2 α2 t),y = ek t (c1 β1 + c2 β2 t),

где все постоянные введены аналогично случаю 1, но не исключена возможность α2 = β2 = 0,в случае которой α1 и β1 будут произвольными постоянными. Возможно следующее:

• Если k > 0, то точка покоя является устойчивым узлом, который в случае α2 = β2 = 0носит название дикритического узла, который также является асимптотически устойчи-вым.

• Если k < 0, то замена t на −t приводит к предыдущему случаю. Аналогично, получаемнеустойчивый узел.

Замечание 1.13. Более подробная классификация точек покоя приведена в таблице фазовых тра-екторий.

1.5.2 Устойчивость по первому приближению.

Теорема 1.21 (Условие устойчивости линейной системы с постоянными коэффициентами). Пустьв линейной системе дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:

x = Ax , (1.23)

матрица A имеет собственные значения λ1, λ2, ... , λn. Тогда выполнено:

1. Если для любого i = 1, ..., n, все Reλi < 0, то нулевое решение асимптотически устойчиво.

2. Если для любого i = 1, ..., n, все Reλi ≤ 0 и не существует такого собственного значения λiс нулевой вещественной частью, что в жордановой форме матрицы A клетка, отвечающаяему, имеет размерность больше единицы, то нулевое решение системы (1.23) устойчиво поЛяпунову.

Если же клетка, отвечающая собственному значению с нулевой вещественной частью, име-ет размерность больше единицы, то нулевое решение системы (1.23) неустойчиво.

3. Если среди собственных значений существует хотя бы одно λk, такое, что Reλk > 0, тонулевое решение системы (1.23) неустойчиво по Ляпунову.

Доказательство. Из раздела о системах линейных дифференциальных уравнений с постояннымикоэффициентами следует, что общее решение (1.23) имеет в векторной записи вид:

x(t) = P1r1 · e

λ1t + P2r2 · e

λ2t + ...+ Pmrm · eλmt ,

где λ1, ..., λm — различные собственные значения матрицы A, и размеры соответствующих им жор-дановых клеток равны: r1 +1, r2 +1, ..., rm+1. При λ = α+βi, α, β ∈ R представим соответствующееслагаемое общего решения системы:

P(t) eαtcosβt + Q(t) eαtsinβt .

Первый пункт теоремы следует из того, что P(t) · eαt → 0 при t → ∞, в случае, когда α < 0,независимо от степени многочлена P(t), а sinβt и cosβt — ограничены. Поэтому в первом случае всерешения системы стремятся к нулю, что означает асимптотическую устойчивость нулевого решения.Во втором случае α = 0, тогда соответствующее слагаемое, принимающее вид P(t)cosβt+ Q(t)sinβt,ограничено только в том случае, когда максимальная степень многочленовP(t) иQ(t) не превышаетнуля, то есть только в том случае, когда жорданова клетка, отвечающая значению λ = βi, имеетразмер, равный единице. Если это выполнено для всех мнимых собственных значений, то мы имеем

31

ограниченность общего решения и устойчивость по Ляпунову нулевого решения. Если же значениюλ = βi соответствует жорданова клетка большего размера, то найдется неограниченное частноерешение, что означает неустойчивость нулевого решения.В третьем случае слагаемое, соответствующее собственному значению с положительной действи-тельной частью α > 0, неограничено, так как: P(t) · eαt → ±∞ при t → ∞, независимо от степенимногочлена P(t), а sinβt и cosβt — ограничены. Нулевое решение неустойчиво.

Теорема 1.22 (Об устойчивости по первому приближению). Рассмотрим систему

x = Ax + ϕ(t,x), x ∈ Rn. (1.24)

Пусть при t > 0, |x| 6 ρ0 функция ϕ ∈ C1, |ϕ(t,x)| 6 γ(x)|x|, γ(x)→ 0 при x→ 0.

1. Если действительные части всех собственных значений матрицы A строго меньше нуля(Reλj < 0), то нулевое решение системы (1.24) асимптотически устойчиво.

2. Если есть хоть одно собственное значение матрицы A с положительной действительнойчастью (∃λ, Reλ > 0), то нулевое решение системы (1.24) неустойчиво.

3. Если есть хоть одно собственное значение матрицы A с нулевой действительной частью,а остальные — с неположительной (max Reλj = 0), то устойчивость зависит не толькоот матрицы A, но и от ϕ(t,x).

Доказательство. Рассмотрим случай, когда все Reλj < 0.Оценим столбцы матрицы etA. Это фундаментальная матрица для системы y = Ay, ее столбцы

ψ1(t), . . . , ψn(t) — решения этой системы. Каждое решение имеет вид

x = P1(t)eλ1t + . . .+ Pm(t)eλmt,

где Pi(t) — многочлены, коэффициенты которых есть векторы из Rn. Пусть α > 0 такое, что всеReλj < −α < 0. Тогда при t→ +∞ имеем

|Pi(t)eλjt| = |Pi(t)e(λj+α)t| 6 cje−αt.

Поэтому при некотором значении c справедливо

|ψk(t)| 6 ce−αt (k = 1, . . . , n).

Рассмотрим такую функцию Ляпунова

v(x) =

∫ ∞0

|eτAx|2dτ.

Решение системы y = Ay с начальным условием y(0) = x = (x1, . . . , xn)T есть

y(t) = etAx = x1ψ1(t) + . . .+ xnψ

n(t).

Поэтому

|eτAx|2 = |y(τ)|2 = y · y =

n∑i,j=1

dij(τ)xixj , dij(τ) = ψi(τ)ψj(τ).

Из полученной оценки решения следует, что |dij(τ)| 6 c2e−2ατ . Пользуясь этим, преобразуем функ-цию Ляпунова:

v(x) =

n∑i,j=1

bijxixj , bij =

∫ ∞0

dij(τ)dτ = bji.

Используемые интегралы сходятся в силу полученных оценок.Найдем dv

dt в силу системы y = Ay. Имеем

dv(x)

dt

∣∣∣∣y=Ay

=dv(y(t))

dt

∣∣∣∣t=0

=d

dt

∫ ∞0

|eτAy(t)|2dτ∣∣∣∣t=0

,

32

где y(t) — решение системы y = Ay с начальным условием y(0) = x, то есть y(t) = etAx. Подынте-гральное выражение равно |eτAetAx|2 = |e(τ+t)Ax|2. Переход от τ к s = τ + t дает

d

dt

∫ ∞0

|eτAy(t)|2dτ∣∣∣∣t=0

=d

dt

∫ ∞t

|esAx|2ds∣∣∣∣t=0

= −|etAx|2∣∣∣∣t=0

= −|etAx|2∣∣∣∣t=0

= −|x|2.

Теперь найдем производную функции Ляпунова в силу системы (1.24)

dv(x)

dt

∣∣∣∣(1.24)

= (grad v(x)) · (Ax + ϕ(t,x)) = (grad v(x)) ·Ax + (grad v(x)) · ϕ(t,x).

Первое слагаемое — это dvdt |x=Ax, и мы его уже нашли.

Оценим второе слагаемое. Пользуясь неравенством Коши и считая |bij | 6 b, i, j = 1, . . . , n,

dv

dxi= 2

n∑j=1

bijxj ,

(dv

dxi

)2

6 4

n∑j=1

b2ij

n∑j=1

x2j 6 4b2n|x|2.

|grad v(x)|2 =n∑i=1

(dv

dxi

)2

6 4b2n2|x|2; |ϕ(t,x)| 6 γ(x)|x|.

Поэтомуdv(x)

dt

∣∣∣∣(1.24)

6 −|x2|+ 2bn|x| · γ(x)|x| 6 −1

2|x|2

в той области, где γ(x) 6 14bn . Кроме того, из вида функции Ляпунова следует, что v(0) = 0, v(x) >

0 при x 6= 0. Следовательно, выполнены условия теоремы об устойчивости, и нулевое решениеустойчиво.

Рассмотрим второй случай, при котором существует собственное значение с положительнойвещественной частью. Без ограничения общности считаем, что Reλj > 0 при j = 1, . . . ,m, иReλm+k 6 0 при k = 1, . . . , n − m. Существует матрица S, приводящая матрицу A к почти тре-угольному виду, то есть

S−1AS = Λ +B,

где Λ — диагональная матрица из собственных значений, матрица B верхнетреугольная и имеетлишь нули на главной диагонали, причем ||B|| 6 ε0, где ε0 можно выбирать сколь угодно малым.Пусть α — такая константа, что

0 < α < min16j6m

Reλj .

Проводя заменуx = eαtSy

с вообще говоря комплексными S и y, получим уравнение

dy

dt= (Λ− αE)y + ψ(t, y), (1.25)

где матрица (Λ− αE) не имеет собственных значений с нулевой правой частью и

ψ(t,y) = e−αtS−1ϕ(t, eαtSy).

Так как |ϕ(t,x)| 6 ε||x|| при ||x|| 6 h(ε) (h(ε) > 0), то

||ψ(t, y)|| 6 ||s−1|| ||S|| ||y||,

если ||y|| 6 e−αt||S||−1h(ε).Рассмотрим функцию Ляпунова

v(y) =1

2

m∑j=1

|yj |2 −n−m∑k=1

|ym+k|2 .

33

Так как ddt |ys|

2 = ysdysdt + ys

dysdt , то производная в силу системы будет иметь вид:

dv(y)

dt

∣∣∣∣(1.25)

=

m∑j=1

Re(λj − α)|yi|2 +

n−m∑k=1

(−Re(λm+k − α))|ym+k|2 + ρ(t,y)||y||2,

где ρ(t,y) = O(ε) при ||y|| 6 e−αt||S||−1h(ε). Пусть β = minj,k(Re(λj − α) − Re(λm+k − α))). Тогдапри достаточно малом ε > 0 получаем

dv(y)

dt

∣∣∣∣(1.25)

>β

2|y||2 > βv(y).

Следовательно, при t0 = 0 и v(y(0)) > 0 получаем

v(y(t)) > v(y(0))eβt,

то есть||y(t)||2 > 2v(y(0))eβt, (1.26)

если только ||y|| 6 e−αt||S||−1h(ε).Пусть δ > 0 произвольно мало. Можно выбрать y(0) так, что ||y(0)|| < δ, v(y(0)) > 0. Из

оценки (1.26) следует, что в некоторый момент t1 > 0 будет выполнено ||y(t1)|| > e−αt1 ||S||−1h(ε).Возврат к прежней переменной показывает, что тривиальное решение неустойчиво по Ляпунову,что и требовалось доказать.

Примером, иллюстрирующим третье утверждение теоремы, является следующая система{x = y − cx3,

y = −bx3 − cy3.

При различных значениях параметров возможна как устойчивость (разных видов), так и неустой-чивость.

Замечание 1.14. В случае неположительности действительных частей всех корней характеристиче-ского уравнения и наличия хотя бы одного корня с нулевой действительной частью исследованиепо первому приближению невозможно.

Для исследования устойчивости по первому приближению приведем условия отрицательностивсех действительных частей корней характеристического уравнения.

Рассмотрим уравнение с действительными коэффициентами:

a0λn + a1λ

n−1 + ...+ an−1λ+ an = 0 , a0 > 0. (1.27)

Теорема 1.23. Необходимым условием отрицательности действительных частей всех корнейуравнения (1.27) является: ai > 0, i = 0, 1, ..., n. В случае n ≤ 2 это условие необходимое и доста-точное.

Теорема 1.24 (Критерий Рауса–Гурвица). Для отрицательности действительных частей всехкорней уравнения (1.27) необходимо и достаточно положительности всех главных диагональныхминоров матрицы Гурвица:

a1 a0 0 0 0 0 ... 0a3 a2 a1 a0 0 0 ... 0a5 a4 a3 a2 a1 a0 ... 0...

......

......

.... . .

...0 0 0 0 0 0 ... an

, (1.28)

то есть

∆1 = a1 > 0, ∆2 =

∣∣∣∣a1 a0

a3 a2

∣∣∣∣ > 0, ∆3 =

∣∣∣∣∣∣a1 a0 0a3 a2 a1

a5 a4 a3

∣∣∣∣∣∣ > 0, ...

Теорема 1.25 (Условие Льенара–Шипара). Для отрицательности действительных частей всехкорней уравнения (1.27) необходимо и достаточно:

∆n−1 > 0, ∆n−3 > 0, ∆n−5 > 0, ..., ai > 0, i = 0, 1, 2, ..., n.

34

1.5.3 Основные теоремы об устойчивости

Рассматривается система уравнений

x = f(t,x), f(t,0) ≡ 0, f ,x ∈ Rn. (1.29)

Пусть в n-мерной области D задана функция v(x).

Определение 1.31. Производной функции v в силу системы (1.29) называется

dv

dt

∣∣∣∣(??)

=dv

dx1· f1(t,x) +

dv

dx2· f2(t,x) + . . .+

dv

dxn· fn(t,x). (1.30)

Теорема 1.26 (Ляпунова об устойчивости). Пусть в системе (1.29) выполнено f(t,0) ≡ 0. Еслисуществует дифференцируемая в некоторой окрестности |x | < ρ начала координат функцияv(x), такая, что:

1. v(x) ≥ 0, v(x) = 0⇔ x ≡ 0,

2. dvdt

∣∣(1.29) ≤ 0 при t ≥ T ,

то тривиальное решение системы (1.29) устойчиво по Ляпунову.

Доказательство. Зафиксируем положительное ε ≥ ρ.Пусть в области |x | = ε минимальным значением функции v(x) будет являться v(x∗) и по условиютеоремы v(x∗) = m > 0. Тогда найдется δ > 0, такое, что v(x) < m при |x | < δ.

Рассмотрим решение x(t) системы (1.29) с начальным условием |x(t0) | < δ. Пусть оно суще-ствует либо не на всем интервале t0 ≤ t <∞, либо оно не остается в области |x | < ε.В силу следствия из теоремы о продолжаемости решения в замкнутой ограниченной области суще-ствует t1, такое, что

|x(t1) | = ε , |x(t) | < ε t0 ≤, t < t1.

В силу выбора m, δ имеемv(x(t0)) < m , v(x(t1)) ≥ m.

Но по условию v(t) не возрастает. Получаем противоречие.Таким образом, x(t) при данном начальном условии остается в области |x | < ε, что доказывает

устойчивость нулевого решения по Ляпунову.

Пример 1.6. Исследуем на устойчивость нулевое решение системы:{x = −xy4,y = yx4.

(1.31)

Пустьv = x4 + y4 , v > 0,

v = 0 ⇔ x = y = 0.

Тогдаdv

dt

∣∣∣∣(1.31)

= 4x3(−xy4) + 4y3(yx4) = −4x4y4 + 4x4y4 = 0

Таким образом, нулевое решение системы устойчиво по Ляпунову.

Теорема 1.27 (Ляпунова об асимптотической устойчивости). Пусть в системе (1.29) выполненоf(t,0) ≡ 0. Если существует дифференцируемая в некоторой окрестности Uρ(0) = {|x | < ρ}начала координат функция v(x), такая, что:

1. v(x) ≥ 0, v(x) = 0⇔ x ≡ 0,

2. dvdt

∣∣(??) ≤ −w(t) < 0 при t ≥ T , w(t) ∈ C(Uρ(0)),

то тривиальное решение системы (1.29) асимптотически устойчиво.

35

Доказательство. Возьмем ε и δ из предыдущих рассуждений. Предшествующая теорема гласито том, что нулевое решение устойчиво и любое решение x(t) с начальным условием |x(t0) | < δостается в Uε(0) при t0 ≤ t <∞.

Предположим, что среди данных решений существует такое, что limt→∞ x(t) = 0 не выполнено.Это означает, что существют

η > 0, t0 < t1 < t2 < ... , tn →∞, η ≤ |x(ti) | ≤ ε.

Но по условию теоремы будет существовать такое µ > 0, что v(x) ≥ µ в замкнутой области η ≤|x | ≤ ε. Также v(x(t)) как функция от t убывает, следовательно, v(x(t)) > µ.

Из непрерывности v(x) заключаем, что данное решение x(t) никогда не попадет в некоторуюобласть Uγ(0), 0 < γ < η, в которой функция v(x) < µ. Но в замкнутой области γ < |x | < εнепрерывная функция w(x) имеет минимум β > 0. Откуда

v(x(t)) = v(x(t0)) +

t∫t0

dv(x(τ))

dτdτ ≤ v(x(t0))− β(t− t0)→ −∞.

Приходим к противоречию, таким образом, все рассматриваемые решения x(t) с начальными усло-виями |x(t0) | < δ стремятся к нулю.

Пример 1.7. Исследуем на устойчивость нулевое решение системы:{x = −y − x3,y = x− y3.

(1.32)

Пустьv = x2 + y2 , v > 0,

v = 0 ⇔ x = y = 0.

Тогда

dv

dt

∣∣∣∣(1.32)

= 2x(−y − x3) + 2y(x− y3) = −2xy − 2x+ 2xy − 2y4 = −2(x4 + y4) < 0 при x 6= 0илиy 6= 0.

Таким образом, нулевое решение системы асимптотически устойчиво.

Теорема 1.28 (Теорема Четаева о неустойчивости). Рассматривается система

dx

dt= f(x, t). (1.33)

Пусть x(t) ≡ 0 — решение этой системы. Пусть область D пространства x лежит в шареS(|x|, ε), а ее граница Γ = Γ0 ∪ Γ1, 0 ∈ Γ0, |x| < ε на Γ0, |x| = ε на Γ1, Γ1 может быть пустым.Пусть в D ∪ Γ существует непрерывная функция v(x), v(x) = 0 на Γ0, а в D имеем v ∈ C1,v(x) > 0, dvdt |(1.33) > ω(x) > 0, и функция ω непрерывна в D ∩ Γ. Тогда нулевое решение системынеустойчиво.

Доказательство. Будем доказывать от противного. Пусть нулевое решение устойчиво. Тогда най-дется такое δ > 0, что любое решение x(t) с начальным условиям x(t0) ∈ D, |x(t0)| < δ, оста-нется в шаре S при t0 6 t < ∞. Пока x(t) ∈ D, имеем dv(x(t))

dt > 0, значит, v(x(t)) возрастает иv(x(t)) > v(x(t0)) = v0 > 0. Та часть D0 множества D ∪ Γ, где v(x) > v0 — ограниченное замкну-тое множество (в предельных точках этого множества, ввиду непрерывности v(x) также имеемx ∈ D ∪ Γ, v(x) > v0). Решение x(t) не может выйти из D0, так как на Γ0 имеем v(x) = 0, а на Γ1

решение не попадает, так как |x(t)| < ε. На D0 имеем ω(x) > β > 0,

d

dtv(x(t)) > ω(x(t)) > β, v(x(t))− v(x(t0)) > β(t− t0)→∞ при t→∞.

Это противоречит ограниченности функции v(x) в D0. Следовательно, нулевое решение неустойчи-во.

36

1.6 Системы дифференциальных уравнений с параметромРассмотрим задачу Коши для системы дифференциальных уравнений, зависящих от параметра{

x = f(t,x, µ),

x(t0) = a(µ),(1.34)

где µ ∈ (α, β), −∞ < α < β < +∞, (t,x) ∈ D ⊂ Rn+1.

Определение 1.32. Решением задачи (1.34) называется вектор-функция x = x(t, µ), обращающаяуравнения системы в тождество, и удовлетворяющая начальному условию при каждом µ.

Приведем без доказательства теорему о непрерывной зависимости решения задачи (1.34) отпараметра.

Теорема 1.29. Пусть µ ∈ (α, β), (t, x) ∈ D, (t1, t2) 3 t0, и f , ∂fi∂xj, i = 1, ...n, j = 1, ...n непрерывны

по совокупности переменных.Пусть в области D ⊂ Rn+1, такой что (t0,x) ∈ D, определено решение x = ϕ(t, µ0) исходной

задачи при µ = µ0, имеющее максимальную область существования [t1, t2] 3 t0. Пусть в окрестно-сти V = (t,x) : t ∈ [t1, t2], ‖x− ϕ(t, µ0)‖ ≤ ρ определены и непрерывны f , ∂fi∂xj

, i = 1, ...n, j = 1, ...n,

вектор-функция a = a(µ) непрерывна при µ ∈ (α, β).Тогда существует такое η > 0, что для любого такого µ ∈ (α, β), что |µ − µ0| < η решение

ϕ(t, µ) непрерывно.

Теорема 1.30. Пусть µ ∈ (α, β), (t,x) ∈ D, (t1, t2) 3 t0. Пусть f , ∂fi∂xj, ∂fi∂µ ,a

′(µ) непрерывныпо совокупности переменных. (Пусть решение задачи (1.34) существует при любом µ ∈ (α, β).)Тогда существуют ui = ∂xi

∂µ , ui = ui(t, µ), непрерывные в области t ∈ (t1, t2), µ ∈ (α, β), причем, uiявляются решениями системы уравнений в вариациях

ui =

n∑j=1

∂fi∂xj

uj +∂fi∂µ

, i = 1, ...n,

удовлетворяющими начальным условиям

ui(t0) = a′(µ).

Здесь fi = fi (t, x1(t, µ), ..., xn(t, µ)) , где xi(t, µ)—решения исходной системы при некотором µ.

Доказательство. Зафиксируем µ ∈ (α, β). Рассмотрим ∂x∂µ = lim

µ→µx−xµ−µ , где x и x — решения задач

(1.34) при µ и µ соответственно. Обозначим v(t, µ) = x−xµ−µ при µ 6= µ. Вычислим v(t, µ). Имеем:

v(t, µ) =˙x− x

µ− µ=

1

µ− µ(f(t, x, µ)− f(t,x, µ)) =

(обозначим x∗ = x + s(x− x), µ∗ = µ+ s(µ− µ), где 0 ≤ s ≤ 1, и F(s) = f(t,x∗, µ∗))

=1

µ− µ(F(1)− F(0)) =

1

µ− µ

1∫0

F′(s) ds =1

µ− µ

1∫0

(∂f

∂x∗(x− x) +

∂x

∂µ∗(µ− µ)

)ds =

=x− x

µ− µ

1∫0

∂f

∂x∗ds+

1∫0

∂f

∂µ∗ds = v(t, µ)H(t, µ) + h(t, µ),

где H(t, µ) =1∫0

∂f∂x∗ ds и h(t, µ) =

1∫0

∂f∂µ∗ ds. Таким образом,

{v(t, µ) = v(t, µ)H(t, µ) + h(t, µ),

v(t0, µ) = a(µ)−a(µ)µ−µ .

(1.35)

37

Подынтегральные функции в уравнениях выше непрерывны как функции t, x, x, µ, µ, s , а самиинтегралы непрерывны как функции от t, x, x, µ, µ,. Система (1.35) получена для функции v(t, µ)при µ 6= µДоопределим функцию v(t, µ) при µ = µ как решение уравнения из системы (1.35) с начальнымусловием v(t0, µ) = a′(µ). По теореме о непрерывной зависимости решения от параметра v(t, µ)будет определено и при µ = µ.

При µ 6= µ подынтегральные функции в выражениях выше зависят только от t,x∗ = x, µ∗ = µ(не зависят от s), поэтому

H(t, µ) =∂f

∂x=

(∂fi∂xj

)i,j=1,...,n

, h(t, µ) =∂f

∂µ,

следовательно, из системы (1.35) получаем

v =

u1

...un

, где ui =

n∑j=1

∂fi∂xj

uj +∂fi∂µ

, i = 1, ..., n, (1.36)

v(t0, µ) =

u1(t0, µ)...

un(t0, µ)

= a′(µ). (1.37)

Таким образом, по теореме о непрерывной зависимости решения системы (1.36)–(1.37) от параметраполучаем, что ui(t, µ) непрерывны по t и µ (заметим, что правая часть системы (1.36) непрерывна).Далее, варьируя µ ∈ (α, β), можно доказать непрерывную зависимость производной от параметрана всeм интервале.

1.6.1 Производная системы по начальным условиям.

Рассматривается система уравнений {x = f(t,x),

x(t0) = x0,

где x0 = (x10, ..., x

n0 ).

Обозначим: uki = ∂xi∂xk0

.

Теорема 1.31. Пусть fi, ∂fi∂xjнепрерывны в области D ⊂ Rn+1. Тогда функции uki непрерывны по

xk0 и удовлетворяют уравнениям:

uki =

n∑j=i

∂fi∂xj

uki ,

uki (t0) =

{1, i = k,

0, i 6= k.

Доказательство. Следует из предыдущей теоремы, если положить µ = xk0 .

2 Уравнения с частными производными первого порядкаОпределение 2.1. Уравнение вида

F

(x1, . . . , xn, u,

∂u

∂x1, . . . ,

∂u

∂xn

)= 0,

где u = u(x1, . . . , xn), называется уравнением с частными производными первого порядка.

38

Определение 2.2. Уравнение вида

a1(x1, . . . , xn)∂u

∂x1+ . . .+ an(x1, . . . , xn)

∂u

∂xn= b(x1, . . . , xn),

где a1, . . . , an, b ∈ C1(D), D ⊂ Rn, называется линейным неоднородным уравнением с частны-ми производными первого порядка. Если b(x1, . . . , xn) = 0, то уравнение называется линейнымоднородным.

Определение 2.3. Уравнение вида

a1(x1, . . . , xn, u)∂u

∂x1+ . . .+ an(x1, . . . , xn, u)

∂u

∂xn= b(x1, . . . , xn, u),

где a1, . . . , an, b ∈ C1(D), D ⊂ Rn+1, называется квазилинейным неоднородным уравнениемс частными производными первого порядка. Если b(x1, . . . , xn, u) = 0, то уравнение называетсяквазилинейным однородным.

2.1 Общее решение линейного однородного уравнения в частных произ-водных первого порядка.

Рассматривается уравнение

a1(x1, . . . , xn)∂u

∂x1+ . . .+ an(x1, . . . , xn)

∂u

∂xn= 0.

Составим систему уравнений характеристик

dx1

a1(x1, . . . , xn)= . . . =

dxnan(x1, . . . , xn)

Также систему можно записать в виде:x1 = a1(x1, . . . , xn),

. . .

xn = an(x1, . . . , xn).

(2.1)

Теорема 2.1. Функция u(x1, . . . , xn) является решением линейного однородного уравнения в част-ных производных первого порядка тогда и только тогда, когда она является независящим отвремени первым интегралом системы (2.1).

Доказательство. Если u(x1, . . . , xn) — независящий от времени первый интеграл, то он постояненвдоль решений системы (2.1). Тогда производная вдоль решения этой системы равна

du

dt

∣∣∣∣x(t)

=∂u

∂x1x1 + . . .+

∂u

∂xnxn =

∂u

∂x1a1 + . . .+

∂u

∂xnan = 0.

Первый интеграл — решение системы, и наоборот: если u(x1, . . . , xn) — решение уравнения, то изэтого равенства следует, что оно постоянно вдоль решений системы (2.1) и не зависит от времени.

Теорема 2.2. Общее решение линейного однородного уравнения в частных производных первогопорядка имеет вид

F (v1, . . . , vn−1) = 0,

где v1, . . . , vn−1 — функционально независимые первые интегралы системы (2.1), а F (x1, . . . , xn−1)— дифференцируемая функция.

Доказательство. Это следует из предыдущей теоремы (решение — первый интеграл) и теоремыоб общем виде первого интеграла.

39

Пример 2.1. Рассматривается следующее уравнение в частных производных первого порядка:

x∂u

∂x+ y

∂u

∂y+ z

∂u

∂z= 0.

Выпишем систему уравнений характеристик

dx

x=dy

y=dz

z.

Решая ее уравнения, находим первые интегралы xy = C1,

yz = C2. Тогда решение уравнения имеет

вид:u = F

(x

y,y

z

).

2.2 Общее решение линейного неоднородного уравнения в частных про-изводных первого порядка.

Рассматривается неоднородное уравнение в частных производных первого порядка

a1(x1, . . . , xn)∂u

∂x1+ . . .+ an(x1, . . . , xn)

∂u

∂xn= b(x1, . . . , xn).

Для него система уравнений характеристик имеет вид

dx1

a1(x1, . . . , xn)= . . . =

dxnan(x1, . . . , xn)

=du

b(x1, . . . , xn)

Также систему можно записать в виде:x1 = a1(x1, . . . , xn),

. . .

xn = an(x1, . . . , xn),

u = b(x1, . . . , xn).

У такой системы есть n функционально независимых первых интеграловv1(x1, . . . , xn, u), . . . , vn(x1, . . . , xn, u), и общее решение имеет вид

F (v1, . . . , vn) = 0,

где F — дифференцируемая функция (то есть u(x1, . . . , xn) задается неявно.) Если только vn зависитот u, то общее решение системы имеет примет вид:

vn = G(v1, . . . , vn−1).

2.3 Общее решение квазилинейного неоднородного уравнения в частныхпроизводных первого порядка.

Рассматривается квазилинейное неоднородное уравнение

a1(x1, . . . , xn, u)∂u

∂x1+ . . .+ an(x1, . . . , xn, u)

∂u

∂xn= b(x1, . . . , xn, u).

Для него система уравнений характеристик имеет вид

dx1

a1(x1, . . . , xn, u)= . . . =

dxnan(x1, . . . , xn, u)

=du

b(x1, . . . , xn, u)(2.2)

Также систему можно записать в видеx1 = a1(x1, . . . , xn, u),

. . .

xn = an(x1, . . . , xn, u),

u = b(x1, . . . , xn, u).

40

У такой системы есть n функционально независимых первых интеграловv1(x1, . . . , xn, u), . . . , vn(x1, . . . , xn, u), и общее решение имеет вид

F (v1, . . . , vn) = 0,

где F — дифференцируемая функция (то есть u(x1, . . . , xn) опять задается неявно.)

Теорема 2.3 (без доказательства). Решение квазилинейного уравнения состоит из его характе-ристик.

Теорема 2.4 (Об общем решении квазилинейного уравнения). Пустьv1(x1, . . . , xn, u), . . . , vn(x1, . . . , xn, u) — система функционально независимых первых интеграловсистемы (2.2). Тогда функция u(x1, . . . , xn) является решением уравнения (2.2) в окрестноститочки M тогда и только тогда, когда

F (v1(x1, . . . , xn, u), . . . , vn(x1, . . . , xn, u)) = 0,

где F — дифференцируемая функция, F (M) = 0, F ′u 6= 0 в точке M.

Доказательство. Если F (v1(x1, . . . , xn, u), . . . , vn(x1, . . . , xn, u)) = 0, то производная вдоль решенийсистемы характеристик

dF

dt

∣∣∣∣x(t)

=∂F

∂x1x1 + . . .+

∂F

∂xnxn +

∂F

∂uu =

∂F

∂x1a1 + . . .+

∂F

∂xnan +

∂F

∂ub.

По теореме о неявной функции, условия которой выполнены (так как F ′u 6= 0 в точке M), длянеявной функции u(x1, . . . , xn) справедливо

∂u

∂xi= − ∂F

∂xi

/∂F

∂u.

Подставив это выражение и поделив на ∂F∂u , мы докажем требуемое.

Покажем, что других решений нет. Пусть, например, a1(M) 6= 0. Тогда в окрестности точки Mхарактеристики уравнения удовлетворяют системе

dxidx1

=aia1,

du

dx1=

b

a1. (2.3)

Пусть u = f(x1, . . . , xn) ∈ C1 — произвольное решение (2.2), M = (x10, . . . , xn0, u0) — точка на егографике. Решение (2.3) с начальными условиями

xi(x10) = ci, i = 2, ..., n,

z(x10) = f(x10, c2, ..., cn) + cn+1,

обозначим черезxi = ϕi(x1, c2, ..., cn, cn+1), i = 2, ..., n,

u = ϕn+1(x1, c2, ..., cn, cn+1).

При x1 = x10, ci = xi0, i = 2, ..., n, cn+1 = 0 получаем точку M. В этой точке det(∂ϕi∂cj

)i=2,...,n

= 1,

поэтому по теореме о неявной функции можно выразить ci:

ci = ωi(x1, ..., xn, u), i = 2, ..., n+ 1.

Получается, что ωi — первые интегралы системы (2.3). Поверхность ωn+1 = 0 совпадает с поверх-ностью u = f(x1, ..., xn), так как они обе состоят из характеристик с одинаковыми начальнымиусловиями, где cn+1 = 0. Как первый интеграл wn+1 представляется в виде

wn+1 = F (v1, ..., vn),

где v1, ..., vn — независимая система первых интегралов.Поскольку wn+1(x10, ..., xn0, u) = cn+1 = u− f(x10, ..., xn0), то и F ′u 6= 0.

41

Для нахождения первых интегралов можно использовать следующую лемму

Лемма 2.1. Если числа ai, bi такие, что a1b1

= . . . = anbn

= l, то для любого набора k1, . . . , knсправедливо

k1a1 + . . .+ knank1b1 + . . .+ knbn

= l.

Пример 2.2. Рассмотрим неоднородное уравнение в частных производных

2x∂z

∂x+ (y − x)

∂z

∂y= x2.

Выпишем систему уравнений характеристик

dx

2x=

dy

y − x=dz

x2,

откуда

xdx = 2dz ⇒ x2

2− 2z = c1

и1dx+ 1dy

1(2x) + 1(y − x)=d(x+ y)

x+ y=dx

2x⇒ x+ y√

x= c2

Тогда общее решение уравнения можно записать в виде F(x2

2 − 2z, x+y√x

)= 0 или z = x2

4 −12G(x+y√

x).

2.4 Постановка задачи КошиОпределение 2.4. Задачей Коши называется задача нахождения решения уравнения

a1(x, y, z)∂z

∂x+ a2(x, y, z)

∂z

∂y= b(x, y, z),

проходящего через кривую x = ϕ(t),

y = ψ(t),

z = η(t).

Теорема 2.5. Решение задачи Коши существует и единственно в окрестности дуги кривой, накоторой выполнено условие нехарактеристичности∣∣∣∣ a1 a2

ϕ′(t) ψ′(t)

∣∣∣∣ 6= 0.

Замечание 2.1 (Геометрический смысл условия нехарактеристичности). Вектор (a1, a2, b) касатель-ный к характеристике. Вектор (ϕ′, ψ′, η′) касательный к кривой, через которую должно проходитьрешение. Это условие означает, что проекции этих векторов на плоскость (x, y) не параллельны.

Доказательство. Решение такого уравнения состоит из характеристик. Из каждой точки кривой(ϕ(s), ψ(s), η(s)) выходит единственная характеристика x(t, s), y(t, s), z(t, s). По теореме о непре-рывной зависимости решения системы уравнений характеристик непрерывны и непрерывно зави-сят от начальных условий, поэтому x(t, s), y(t, s), z(t, s) — непрерывная функция. Образует ли онаповерхность z = z(x, y)?

Система {x = x(t, s),

y = y(t, s),

по теореме о неявной функции обратима, то есть приводима к виду:{t = t(x, y),

s = s(x, y),

42

если в некоторой точке ∣∣∣∣dxdt dxds

dydt

dyds

∣∣∣∣ 6= 0.

Пусть (ϕ(s), ψ(s), η(s)) = (x(0, s), y(0, s), z(0, s)) . Рассмотрим точку (0, s). В ней dxdt = a1, dy

dt = a2,что следует из системы уравнений характеристик.Так как (ϕ(s), ψ(s)) = (x(0, s), y(0, s)) , то dx

ds = ϕ′, dyds = ψ′. Таким образом,∣∣∣∣dxdt dxds

dydt

dyds

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ a1 a2

ϕ′(t) ψ′(t)

∣∣∣∣ 6= 0.

Следовательно, применима теорема о неявной функции, и поверхность получается как

z = z (t(x, y), s(x, y)) .

Ее единственность следует из единственности характеристик.

43