Ευριπίδης N. Λουκής · 2010-01-24 · Π ΑΑ Ν ΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ...

ΠΠ ΑΑ ΝΝ ΕΕ ΠΠ ΙΙ ΣΣ ΤΤ ΗΗ ΜΜ ΙΙ ΟΟ ΑΑ ΙΙ ΓΓ ΑΑ ΙΙ ΟΟ ΥΥ ΤΤΜΜΗΗΜΜΑΑ ΜΜΗΗΧΧΑΑΝΝΙΙΚΚΩΩΝΝ ΠΠΛΛΗΗΡΡΟΟΦΦΟΟΡΡΙΙΑΑΚΚΩΩΝΝ && ΕΕΠΠΙΙΚΚΟΟΙΙΝΝΩΩΝΝΙΙΑΑΚΚΩΩΝΝ ΣΣΥΥΣΣΤΤΗΗΜΜΑΑΤΤΩΩΝΝ

ΣΣΥΥΣΣΤΤΗΗΜΜΑΑΤΤΑΑ ΥΥΠΠΟΟΣΣΤΤΗΗΡΡ ΙΙ ΞΞΗΗΣΣ

ΑΑΠΠΟΟΦΦΑΑΣΣΕΕΩΩΝΝ

ΠΠ ΑΑ ΝΝ ΕΕ ΠΠ ΙΙ ΣΣ ΤΤ ΗΗΜΜ ΙΙ ΑΑ ΚΚ ΕΕ ΣΣ ΠΠ ΑΑ ΡΡ ΑΑ ∆∆ ΟΟ ΣΣ ΕΕ ΙΙ ΣΣ

ΤΤ ΕΕ ΥΥ ΧΧ ΟΟ ΣΣ ΙΙ II

ΕΕυυρριιππίίδδηηςς NN.. ΛΛοουυκκήήςς ΕΕππίίκκ.. ΚΚααθθηηγγηηττήήςς

Επιµέλεια: Φραγκιαδάκης Ιωάννης ∆ρογκάρης Προκόπης

Συστήµατα Υποστήριξης Αποφάσεων ____________________________________________

3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΧΡΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ

3.1 Εισαγωγή

Γιά την ηλεκτρονική υποστήριξη της λήψης αποφάσεων συχνά είναι

απαραίτητο να λάβουµε υπ’ όψιν µας και το γεγονός ότι η στάση των διαφόρων

ανθρώπων απέναντι στον κίνδυνο διαφέρει :

• κάποιοι είναι συντηρητικοί – αρνητικοί όσον αφορά την ανάληψη κινδύνου

(risk averse) - αποφεύγουν την ανάληψη κινδύνου λόγω φόβου της

πιθανότητας απώλειας,

• κάποιοι άλλοι είναι ριψοκίνδυνοι - θετικοί στην ανάληψη κινδύνου (risk

seeking) - επιδιώκουν την ανάληψη κινδύνου λόγω της πιθανότητας κέρδους

που συχνά συνοδεύει τον κίνδυνο,

• ενώ κάποιοι άλλοι είναι αδιάφοροι (risk neutral – indifferent)

π.χ. γιά µία επένδυση επιχείρησης µε κέρδος:

10.000€ µε πιθανότητα 50%

-10.000€ µε πιθανότητα 50% → EMV=0

η συµπεριφορά των παραπάνω τριών τυπολογιών ανθρώπων θα ήταν η ακόλουθη:

- Ριψοκίνδυνος : θα πλήρωνε ένα ποσό S > EMV - στην επένδυση αυτή EMV=0 -

για να αποκτήσεις τη δυνατότητα αυτή

- Συντηρητικός : θα πλήρωνε ένα ποσό S < EMV - στην επένδυση αυτή EMV=0,

άρα θα απαιτούσε χρήµατα για να αναλάβει την επένδυση αυτή και θα πλήρωνε

χρήµατα για να την αποφύγει,

- Αδιάφορος : θα πλήρωνε ένα ποσό S = EMV - αφού στην επένδυση αυτή EMV=0,

ούτε θα πλήρωνε, ούτε θα απαιτούσε χρήµατα γιά να αναλάβει αυτήν την επένδυση

___________________________________________ 2


Γενικά η ‘υποκειµενική αξία’ S µιας επένδυσης, δηλαδή το σταθερό ποσό S

µε το οποίο θεωρείται ισοδύναµη = η ισοδύναµη βέβαια αξία (certain equivalent) της

επένδυσης, η οποία αναµένεται να αποφέρει τα εξής έσοδα:

S1 µε πιθανότητα P1

S2 µε πιθανότητα P2

..... EMV = S1xP1+S2xP2+….+ PnxSn

Sn µε πιθανότητα Pn

είναι:

- για έναν συντηρητικό : S < EMV

- για έναν ριψοκίνδυνο : S > EMV

- για έναν αδιάφορο : S = EMV

Με βάση τα παραπάνω η ‘χρησιµότητα’ (utility) U(S) της επένδυσης που

φαίνεται στο αριστερό τµήµα του παρακάτω σχήµατος υπολογίζεται ως εξής:

- η χρησιµότητα του χαµηλότερου δυνατού ποσού εξ ορισµού U(S1)≡0

- η χρησιµότητα του υψηλότερου δυνατού ποσού εξ ορισµού U(S2)≡1

- συνεπώς η χρησιµότητα της επένδυσης θα είναι:

U(Sra) για τον συντηρητικό (Sra<EMV)

→ U(επενδ) = (1-P)xU(S1) + PxU(S2)=P U(EMV) για τον αδιάφορο

U(Srs) για τον ριψοκίνδυνο (Srs>EMV)

Συντηρητικός Αδιάφορος Ριψοκίνδυνος

S1 µε πιθαν. 1- P S2 µε πιθαν. P

EMV = (1-P)xS1 + pxS2

EMV S1

(1-p)

P

U(S) 1

EMV S S2

(p)

SrsSra

0

S2S1

Εσοδα επένδυσης

(S2-S1)(1-P)

EMV-S1 = -pS1+pS2 = (S2-S1)P

Από τα παραπάνω προκύπει ότι η καµπύλη της χρησιµότητας των ενδιαµέσων

ποσών (µεταξύ S1 και S2) είναι:

- για έναν συντηρητικό κυρτή

___________________________________________ 3


- για έναν αδιάφορο ευθεία

- για έναν ριψοκίνδυνο κοίλη

Η καµπύλη της χρησιµότητας των ενδιάµεσων ποσών για κάποιο άτοµο ενσωµατώνει

όχι µόνον το πόσο σηµαντικά είναι τα ενδιάµεσα αυτά για το άτοµο αυτό, αλλά και

την στάση του απέναντι στον κίνδυνο.

3.2 Προσδιορισµός Συνάρτησης Χρησιµότητας

Η ‘Συνάρτηση Χρησιµότητας’ (Utility Function) U(x) γενικότερα

ενσωµατώνει την αξία που έχουν για τον αποφασίζοντα τα διάφορα ποσά µεταξύ του

Xmax και του Χmin σε ένα συγκεκριµένο πρόβληµα αποφάσεων καθώς επίσης και την

στάση του απέναντι στον κίνδυνο. Ισχύουν τα ακόλουθα:

U(Xmin) = 0

U(Xmax) = 1

U(X) = a X ισοδύναµο µε a για Xmax

1-a για Χmin

όπου Χ είναι ένα ενδιάµεσο ποσό µεταξύ Xmin και Xmax, δηλαδή το Χ είναι η

ισοδύναµη βέβαια αξία επένδυσης (ή ενός αβέβαιου γεγονότος γενικότερα) µε

πιθ.a→Xmax και πιθ(1-a) → Xmin

Ο υπολογισµός της συνάρτησης χρησιµότητας των διαφόρων ενδιάµεσων

ποσών (µεταξύ του χαµηλοτέρου και του υψηλοτέρου σε ένα συγκεκριµένο

πρόβληµα) µπορεί να γίνει µε δύο µεθόδους: την Μέθοδο Ισοδύναµης Πιθανότητας

(Probability Equivalent Method) και την Μέθοδο Ισοδύναµων Βέβαιων Αξιών

Certainty Equivalents Method). Οι µέθοδοι αυτές αναλύονται στην συνέχεια µέσω

ενός αντιπροσωπευτικού παραδείγµατος.

Παράδειγµα Ο κος Α βγαίνει στη σύνταξη και λαµβάνει ως εφάπαξ ποσό 100

χιλιάδες €. Εχει τρεις εναλλακτικές επιλογές για την επένδυση του ποσού αυτού:

- η 1η ‘ακίνδυνη’ εναλλακτική επένδυση δίνει απόδοση 50 χιλιάδες € σε 3 έτη

- η 2η ‘επικίνδυνη’ εναλλακτική επένδυση δίνει απόδοση 100 χιλιάδες € σε 3 έτη µε

πιθανότητα 60%, όµως υπάρχει και πιθανότητα 40% να χαθούν τα χρήµατα

___________________________________________ 4


- η 3η ‘ενδιάµεση’ εναλλακτική επένδυση δίνει απόδοση σε 3 έτη 70 χιλιάδες € µε

πιθανότητα 55%, όµως υπάρχει πιθανότητα 45% η απόδοση να είναι 30 χιλιάδες €

Α) Αρχικά υπολογίζουµε τις EMV των τριών αυτών εναλλακτικών επενδύσεων:

EMV1 = 50 χιλιάδες €



σύµφωνα µε τις οποίες θα πρέπει να επιλεγεί η 2η ‘επικίνδυνη’ επένδυση. Όµως η

προσέγγιση αυτή δεν λαµβάνει υπ’ όψιν την στάση του κου Α απέναντι στον κίνδυνο.

Β) Για τον σκοπό αυτό εκτιµούµε τη Συνάρτηση Χρησιµότητας U (x) του κου Α:

U(100 χιλιάδες € ) = 1, U(0) = 0

ενώ για τον υπολογισµό των τιµών της U (x) για τις ενδιάµεσες τιµές µεταξύ 0 και U

(x) υποβάλλουµε στον κο Α τις εξής ερωτήσεις:

100 χιλ. € µε πιθ. 50 %

- προτιµάτε το βέβαιο πόσο των 50 χιλιάδων€ ή 0 χιλ. € µε πιθ. 50% ?

απάντηση: το πρώτο

100 χιλ. € µε πιθ. 70 %


απάντηση: το πρώτο

100 χιλ. € µε πιθ. 90 %


απάντηση: το δεύτερο

100 χιλ. € µε πιθ. 80 %


απάντηση: ισοδύναµα

Άρα U(50χιλιάδες€) = 0,8 U(100χιλιάδες€) + 0,2 U(0χιλιάδες€) = 0,8

Οµοίως εκτιµάµε ότι: U(70χιλιάδες€) = 0,9

U(30χιλιάδες€) = 0,5

Βάσει των παραπάνω εκτιµήσεων κατασκευάζουµε την συνάρτηση χρησιµότητας του

κου Α που φαίνεται στο σχήµα µε συνεχή γραµµή (αριθµός 1) – παρατηρούµε ότι

___________________________________________ 5


είναι κυρτή, άρα ο κος Α είναι συντηρητικός όσον αφορά την στάση του απέναντι

στον κίνδυνο. Εάν ο κος Α ήταν ριψοκίνδυνος θα είχαµε εκτιµήσεις της µορφής: U(50)

= 0,4 , U(70) = 0,55, U(30) = 0,2 και η συνάρτηση χρησιµότητάς του (αριθµός 3) θα

ήταν κοίλη. Τέλος εάν ο κος Α ήταν αδιάφορος τότε θα είχαµε εκτιµήσεις της

µορφής: U(50) = 0,50, U(70) = 0,70, U(30) = 0,30 και η συνάρτηση χρησιµότητάς του

(αριθµός 2) θα ήταν ευθεία

1.0U(k)

Γ) Επιλύουµε µε βάση όχι τις τιµές του µεγέθους-στόχου αλλά τις αντίστοιχες τιµές

χρησιµότητας:

Συνεπώς τελικά για τον κο Α, λαµβανοµένης υπ’ όψιν της συντηρητικής στάσης του

απέναντι στον κίνδυνο, θα πρέπει να επιλεγεί η 1η ‘ακίνδυνη’ επένδυση.

Με την παραπάνω µέθοδο προσδιορισµού της συνάρτησης χρησιµότητας για

κάθε ενδεχόµενο ποσό X προσδιορίζω την πιθανότητα a για την οποία αυτό

0,550,4

0,2

0,5

0,80,9

30 50 70 100 Π (χιλιάδες€)

123

0,60

55%

40%

60%

0,72

45%

Επενδυτική Απόφαση

Ι

ΙΙΙ

ΙΙ

30 χιλιάδες€ U=0,8

100 χιλιάδες€ U=1

0 χιλιάδες€ U=0



___________________________________________ 6


καθίσταται ισοδύναµο (=ίσης χρησιµότητας για τον αποφασίζοντα) µε µία αβέβαιη

επένδυση του τύπου:

Χmax µε πιθανότητα a %

Xmin µε πιθανότητα 1-a %

συνεπώς η χρησιµότητα του Χ είναι ίση µε την χρησιµότητα της παραπάνω αβέβαιης

επένδυσης, η οποία ισούται µε a, άρα τελικά : U(X) = a. Για αυτόν τον λόγο η

µέθοδος αυτή ονοµάζεται Μέθοδος Ισοδύναµης Πιθανότητας (Probability Equivalent

Method)

Μια άλλη µέθοδος προσδιορισµού της συνάρτησης χρησιµότητας είναι η

Μέθοδος Ισοδύναµων Βέβαιων Αξιών (Certainty Equivalents Method). Στην µέθοδο

αυτή για κάθε ενδιάµεση πιθανότητα a µεταξύ 0 και 1 (0<a<1) προσδιορίζω την

ισοδύναµο βέβαιο ποσό (ισοδύναµη βέβαια αξία) για τον αποφασίζοντα της αβέβαιης

επένδυσης:

Χmax µε πιθανότητα a %

Xmin µε πιθανότητα 1-a %

Παραδείγµατος χάριν:

~30 U(30)=0,5

Ασκηση 1 : Απόφαση επιλογής µεταξύ δύο εναλλακτικών µορφών A και B ενός νέου

προϊόντος σε µία επιχείρηση, µε βάση α) την συνάρτηση χρησιµότητας των διαφόρων

πιθανών επιπέδων κέρδους για τον ∆ιευθυντή Προϊόντος (συντηρητικότερος) και β)

την συνάρτηση χρησιµότητας των διαφόρων πιθανών επιπέδων κέρδους για τον

∆ιευθυντή Marketing (περισσότερο ριψοκίνδυνου), οι οποίες φαίνονται παρακάτω:

U(X)

0,5

0,75

1,00,8

80% 100 20% 10 10 30 50 70 100

50% 100 50% 10

75% 100 25% 10

~50 U(50)=0,75

~70 U(70)=0,8

___________________________________________ 7


Χ Up(X) Um(Χ)

0 0

0.50

0.90

1 50

30

10

0

0.05

0.30

1

∆ιευθυντής Προϊόντος

50

Um(x)

U(X)

Up(x)

(χιλιάδες €)

∆ιευθυντής Marketing

3010Στο παρακάτω σχήµα φαίνονται το δένδρο απόφασης και η επίλυσή του,

λαµβάνοντας υπ όψιν, όχι τα διάφορα πιθανά επίπεδα κέρδους από το νέο αυτό

προϊόν, αλλά τις αντίστοιχες χρησιµότητες α) γιά τον ∆ιευθυντή Προϊόντος (µε bold)

και β) για τον ∆ιεθυντή Marketing

14 0,37 0,19

Υψηλή (10%)

Μέτρια (30%)

50 εκ € 1,0 1,0

30 εκ € 0,9 0,3

0 Χαµηλή (60%)

Βαθµός Επιτυχίας

Επιλογή Προϊόντος

B

A 10 εκ € 0,5 0,05

___________________________________________ 8


To συµπέρασµα το οποίο τελικά προκύπτει είναι ότι για τον ∆ιευθυντή Προϊόντος,

λαµβανοµένης υπ’ όψιν της συντηρητικής στάσης του απέναντι στον κίνδυνο, η

βέλτιστη επιλογή είναι η µορφή Α, ενώ αντίθετα για τον ∆ιευθυντή Marketing, ο

οποίος είναι περισσότερο ριψικίνδυνος, η βέλτιστη επιλογή είναι η µορφή Β.

Η παραπάνω µεθοδολογία µπορεί να χρησιµοποιηθεί όχι µόνον για προβλήµατα

αποφάσεων µε µεγέθη – στόχους οικονοµικού χαρακτήρα, αλλά και γιά προβλήµατα

αποφάσεων µε κάθε µορφής µη – οικονοµικά (non-monetary) µεγέθη-στόχους (τόσο

ποσοτικά όσο και ποιοτικά).

Ασκηση 2 : Μια επιχείρηση παραγωγής φαρµάκων εξετάζει γιά ένα νέο υπό

ανάπτυξη φάρµακο:

• εάν θα πρέπει να συνεχίσει µε την ίδια µέθοδο έρευνας και ανάπτυξης

• ή εάν θα πρέπει να ακολουθήσει µία νέα µέθοδο έρευνας και ανάπτυξης

µε αντικειµενικό στόχο την ελαχιστοποίηση του χρόνου ολοκλήρωσης (=µέγεθος -

στόχος)

Αρχικά διεξάγεται συνέντευξη µε τον αποφασίζοντα, στην οποία του υποβάλλονται

οι προαναφερόµενες ερωτήσεις, και βάσει των απαντήσεών του προσδιορίζεται η

συνάρτηση χρησιµότητας των διαφόρων επιπέδων του χρόνου ολοκλήρωσης του

νέου φαρµάκου για αυτόν (δεξιά). Στην συνέχεια επιλύεται το δένδρο απόφασης µε

βάση τις τιµές της χρησιµότητας (αριστερά) βέλτιστη επιλογή η συνέχιση της ίδιας

µεθόδου

επίπεδο επιτυχίας

8 έτη 0

U (t)

8

1,0 0,95

0,75 0,50

40%

40%

20%

60%

40%

επίπεδο επιτυχίας

Νέα

Ίδια

Απόφαση Μεθόδου

0,58

0,65

2 έτη 0,95

1 έτος 1

4 έτη 0,75

6 έτη 0,5

6 1έτη

24

___________________________________________ 9


4. ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΞΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ

Οι ιδιωτικές επιχειρήσεις και οι δηµόσιοι οργανισµοί πραγµατοποιούν

µεγάλες επενδύσεις (για πληροφοριακά συστήµατα υποστήριξης αποφάσεων,

συλλογή στοιχείων, πρόσβαση σε ηλεκτρονικές βάσεις δεδοµένων, πραγµατοποίηση

βάσει των στοιχείων αυτών διαφόρων µελετών, εξειδικευµένο προσωπικό, κλπ.) µε

στόχο την παροχή διάφορων µορφών ‘πληροφόρησης’ (π.χ. επεξεργασµένης

πληροφορίας, συγκεντρωτικών στοιχείων, προβλέψεων, κλπ.). Στο κεφάλαιο

περιγράφονται µέθοδοι υπολογισµού της οικονοµικής αξίας την οποία η

πληροφόρηση αυτή δηµιουργεί, αρχικά στην περίπτωση που αυτή είναι τέλεια

(χαρακτηρίζεται από πλήρη βεβαιότητα), και κατόπιν στην περίπτωση που αυτή είναι

ατελής (χαρακτηρίζεται από κάποιο επίπεδο αβεβαιότητας).

4.1 Οικονοµική Αξία Τέλειας Πληροφόρησης

Παράδειγµα: Απόφαση ποσότητας Q ηµερήσιας παραγγελίας ευαίσθητου προϊόντος

(που πρέπει οπωσδήποτε να καταναλωθεί την ίδια ηµέρα), δεδοµένου ότι η τιµή P =

5000 €, το κόστος C = 3000 €, ενώ η ζήτηση D παρουσιάζει αβεβαιότητα και οι

πιθανές τιµές της είναι: 15 (5%), 16 (25%), 17 (55%), 18 (15%) τεµάχια. Ποιά είναι η

βέλτιστη ποσότητα Q ηµερήσιας παραγγελίας ώστε να µεγιστοποιηθεί το κέρδος?

Το σχετικό δένδρο απόφασης απεικονίζεται στην επόµενη σελίδα (οι πιθανότητες των

τεσσάρων ενδεχοµένων της ζήτησης δεν απεικονίζονται λόγω στενότητας χώρου,

όµως θεωρούµε ότι είναι οι αναφερόµενες στην προηγούµενη παράγραφο). Από αυτό

προκύπτει ότι προκύπτει ότι η βέλτιστη ποσότητα Q ηµερήσιας παραγγελίας Q = 17

τεµάχια, η οποία αποφέρει µέσο προσδοκώµενο κέρδος 32,25 χιλ. € ηµερησίως.

Εάν ο επιχειρηµατίας διέθετε τέλεια πληροφόρηση µε µορφή τέλειας πρόβλεψης κάθε

µέρα για την ζήτηση της επόµενης θα παρήγγειλε την ποσότητα αυτή, οπότε το µέσο

ηµερήσιο κέρδος του θα ήταν:

___________________________________________ 10


Ε(ΚΕ) = 0,05*15*2 + 0,25*16*2 + 0,55*17*2 + 0,15*18*2 = 33,6 χιλιάδες €,

συνεπώς το µέσο προσδοκώµενο κέρδος µε τέλεια πληροφόρηση-πρόβλεψη είναι

υψηλότερο από ότι αυτό θα ήταν χωρίς την τέλεια πληροφόρηση-πρόβλεψη, διότι

αυτή παρέχει την δυνατότητα λήψης καλύτερης απόφασης κάθε ηµέρα λόγω µείωσης

των αβεβαιοτήτων (π.χ. σχετικά µε τη ζήτηση) άρα και των λαθών:

η Μέση Προσδοκώµενη Αξία της Τέλειας Πληροφόρησης (Expected Value of Perfect

Information - EVPI) =

Μέσο Προσδοκώµενο Κέρδος µε Τέλεια Πληροφόρηση –

- Μέσο Προσδοκώµενο Κέρδος χωρίς Τέλεια Πληροφόρηση (µε Βέλτιστη Απόφαση)

Στο παράδειγµά µας EVPI = 33,6 – 32,25 = 1,35 χιλιάδες € ηµερησίως, συνεπώς εάν

το κόστος της τέλειας αυτής πληροφόρησης (π.χ. συλλογή στοιχείων, πληροφοριακά

συστήµατα επεξεργασίας τους και υποστήριξης των σχετικών αποφάσεων, κλπ.) είναι

χαµηλότερο, τότε η καθαρή αξία που αυτή δηµιουργεί είναι θετική.

30.000 €30.000 €30.000 €30.000 €

30.000 €

30.000 €

32.250 €

31.750 €

15

15

16

17

16

18

Ποσότητα Παραγγελίας

27.000 €32.000 €32.000 €32.000 €

24.000 €29.000 €34.000 €34.000 €

21.000 €26.000 €31.000 €36.000 €

___________________________________________ 11


4.2 Οικονοµική Αξία Ατελούς Πληροφόρησης

Συχνά όµως στην πράξη η πληροφόρηση-πρόβλεψη, η οποία τελικά

δηµιουργείται από την συλλογή στοιχείων, την επεξεργασία τους µέσω

πληροφοριακών συστηµάτων επεξεργασίας τους και υποστήριξης σχετικών

αποφάσεων, η πραγµατοποίηση µελετών, κλπ., δεν είναι τέλεια: χαρακτηρίζεται από

κάποιο επίπεδο αβεβαιότητας, συνεπώς είναι ατελής. Η µέθοδος υπολογισµού της

οικονοµικής αξίας την οποία η ατελής πληροφόρηση δηµιουργεί βασίζεται στο

Θεώρηµα του Bayes και παρουσιάζεται στην συνέχεια µέσω ενός παραδείγµατος.

Παράδειγµα: Απόφαση εισαγωγής νέου προϊόντος

Είναι δυνατόν να πραγµατοποιήσουµε ένα συνδυασµό ενεργειών, µε κόστος 2 εκατ. €,

(έρευνα αγοράς–συλλογή στοιχείων, πληροφ. σύστηµα αποθήκευσης και ανάλυσης

στοιχείων, σύνδεση µε ηλεκτρονικές πηγές πληροφόρησης). Από αυτήν θα προκύψει

ατελής πληροφόρηση-πρόβλεψη, της οποίας η αξιοπιστία περιγράφεται από τον

παρακάτω πίνακα (βάσει εµπειρίας από προηγούµενες παρόµοιες έρευνες αγοράς):

Πρέπει να πραγµατοποιήσουµε τον παραπάνω συνδυασµό ενεργειών?

ΟΧΙ

ΝΑΙ Χαµηλές (70%)

Υψηλές (30%)

Επίπεδο Πωλήσεων

Εισαγωγή Προϊόντος

0

40 εκατ. €

-20 εκατ. €

Ε(Κέρδη) = 0

Πρόβλεψη (Ζ)

Ζ1 = Υψηλές Πωλήσεις

Ζ2 = Κανένα Συµπέρασµα

Ζ3 = Χαµηλές Πωλήσεις

40 %

40 %

20% 40%

50%

10%

100% 100%

Ε1Υψηλές Πωλήσεις

Ε2Χαµηλές Πωλήσεις

-2 εκατ. €

Για κάθε πιθανό ενδεχόµενο Ei οι πιθανότητες προβλέψεων

= p(Zj/Ei)

___________________________________________ 12


∆ένδρο Απόφασης

(Οι πιθανότητες του τυχαίου γεγονότος ‘πρόβλεψη’ και των τριών τυχαίων

γεγονότων ‘πωλήσεις’ που αντιστοιχούν στις τρεις πιθανές προβλέψεις υπολογίζονται

µε βάση το Θεώρηµα του Bayes, όπως περιγράφεται στην 4.3)

0

0

17,92 Πωλήσεις

Πωλήσεις

Πωλήσεις

Πωλήσεις

Υψηλές 30%

Χαµηλές 70%

Χαµηλές 82,4%

Υψηλές 7,6%

Υψηλές 63,2%


Υψηλές 25,5%


ΧαµηλέςΠωλήσεις

34 %

Κανένα Συµπ. 47%

Υψηλές Πωλήσεις

19%

ΟΧΙ

ΟΧΙ

ΟΧΙ

ΝΑΙ

ΝΑΙ

ΝΑΙ

ΝΑΙ

ΟΧΙ

ΝΑΙ

ΟΧΙ

Πρόβλεψη

3,405


-2


17,92


-4,7


-9,44

-20

40

0

-20

40

0

-20

40

-200

40

0

∆ιεξαγωγή Έρευνας

Μέση Προσδοκώµενη Αξία Ατελούς Πληροφόρησης (Expected Value of Imperfect

Information - EVII) =

Μέσο Προσδοκώµενο Κέρδος µε την Ατελή Πληροφόρηση –

- Μέσο Προσδοκώµενο Κέρδος χωρίς την Πληροφόρηση (µε Βέλτιστη Απόφαση)

Συγκεκριµένα στο παράδειγµά µας:

EVΙI = 3,405 - 0 = 3,405 εκατ. €,

και εάν αφαιρέσουµε το κόστος της ατελούς αυτής πληροφόρησης θα έχουµε τελικά

ότι:

Καθαρή EVΙI = 3,405 - 2 = 1,405 εκατ. €

___________________________________________ 13


4.3. Θεώρηµα Bayes

- Για ένα αβέβαιο γεγονός Ε υπάρχουν n πιθανά ενδεχόµενα: E1, E2, E3, …. En

(αµοιβαία αποκλειόµενα)

- Έχουµε µία πρώτη εκτίµηση των πιθανοτήτων τους = Εκ των προτέρων

Πιθανότητες (Α Priori Probabilities) : P(E1) , P(E2), P(E3), … P(En)

- Για να εκτιµήσουµε καλύτερα τις πιθανότητες των ενδεχοµένων αυτών του Ε

συλλέγουµε κάποια πληροφορία που αφορά ένα άλλο αβέβαιο γεγονός Z, µε m

πιθανά ενδεχόµενα Ζ1, Ζ2, Ζ3, …. Ζm (αµοιβαία αποκλειόµενα), το οποίο συνδέεται

µε το παραπάνω αβέβαιο γεγονός Ε - συνήθως Ζ είναι το αβέβαιο γεγονός

‘πρόβλεψη της έκβασης του Ε µε κάποια µέθοδο’. Το Ζ έχει υψηλότερη ή µικρότερη

αξιοπιστία ως πρόβλεψη του Ε, η οποία περιγράφεται από τις πιθανότητες των

προβλέψεων P(Zj/Ei):

P(Ζ1/E1), P(Ζ1/E2), … P(Ζ1/En)

P(Ζ2/E1), P(Ζ2/E2), ... P(Ζ2/En)

………..

P(Ζm/E1), P(Ζm/E2), ... P(Ζm/En)

- Στη συνέχεια υπολογίζουµε µία καλύτερη εκτίµηση των πιθανοτήτων των

ενδεχοµένων του Ε: E1, E2, E3, … En βάσει των προβλέψεων = Εκ των Υστέρων

Πιθανότητες (Α Posteriori Probabilities):

P(Ε1/Ζ1), P(Ε2/Ζ1), … P(Εn/Ζ1)

P(Ε1/Ζ2), P(Ε2/Ζ2), … P(Εn/Ζ2)

………..

P(Ε1/Ζm), P(Ε2/Ζm), … P(Εn/Ζm)

χρησιµοποιώντας το θεώρηµα του Bayes:

∑==

niji

iji

j

ijiji EZpEp

EZpEpZp

EZpEpZEp

)/(*)()/(*)(

)()/(*)(

)/(

___________________________________________ 14


Εφαρµογή για το παράδειγµα της 4.2 :

α) Πιθανά ενδεχόµενα: Ε1 = Υψηλές Πωλήσεις (ΥΠ), Ε2 = Χαµηλές Πωλήσεις (ΧΠ)

Εκ των Προτέρων Πιθανότητες : P(YΠ) = 0,3 P(XΠ) = 0,7 :

β) Πιθανές Προβλέψεις : Ζ1 = Υψηλές Πωλήσεις(ΠΡΥΠ), Ζ2 = Κανένα Συµπέρασµα

(ΚΣ), Ζ3 = Χαµηλές Πωλήσεις (ΠΡΧΠ)

P(ΠΡΥΠ/ΥΠ) = 0,4 P(ΚΣ/ΥΠ)=0,4 P(ΠΧΡΠ/ΥΠ) = 0,2

Ζ1 Ε1 Ζ2 Ε1 Ζ3 Ε1

p(ΠΡΥΠ/ΧΠ) = 0,1 p(ΚΣ/ΧΠ)=0,5 p(ΠΧΡΠ/ΧΠ) = 0,4

Ζ1 Ε2 Ζ2 Ε2 Ζ3 Ε2

γ) Υπολογισµός P(Z1), P(Z2), P(Z3):

P(ΠΡΥΠ) = P(ΥΠ) * P(ΠΡΥΠ/ΥΠ) + P(ΧΠ) * P(ΠΡΥΠ/ΧΠ) = 0,3*0,4+0,7 *0,1 = 0,19

Ζ1 Ε1 Ζ1 Ε1 Ε2 Ζ1 Ε2

P(ΚΣ) = P(ΥΠ) * P(ΚΣ/ΥΠ) + P(ΧΠ)* P(ΚΣ/ΧΠ) = 0,3*0,4+0,7 *0,5 = 0,47

Ζ2 Ε1 Ζ2 Ε1 Ε2 Ζ2 Ε2

P(ΠΡΧΠ) = P(ΥΠ) * P(ΠΡΧΠ/ΥΠ) + P(ΧΠ) * P(ΠΡΧΠ/ΧΠ) = 0,3*0,2+0,7 *0,4 = 0,34

Ζ3 Ε1 Ζ3 Ε1 Ε2 Ζ3 Ε2

δ) Υπολογισµός των ‘Εκ των Υστέρων Πιθανοτήτων’:

P(ΥΠ/ΠΡΥΠ) = 0,3*0,4/0,19 = 0,632

Ε1 Ζ1

P(ΧΠ/ΠΡΥΠ) = 0,7*0,1/0,19 = 0,368

Ε2 Ζ1

P(ΥΠ/ΚΣ) = 0,3*0,4/0,47 = 0,255

Ε1 Ζ2

___________________________________________ 15


P(XΠ/ΚΣ) = 0,7*0,5/0,47 = 0.745

Ε2 Ζ2

P(ΥΠ/ΠΡΧΠ) = 0,3*0,2/0,34 = 0,176

Ε1 Ζ3

P(ΧΠ/ΠΡΧΠ) = 0,7*0,4/0,34 = 0,824

Ε2 Ζ3

___________________________________________ 16


5. ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΕΥΡΟΥΣ

ΕΠΙΛΟΓΩΝ – ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

5.1 Εισαγωγή

Συχνά σε µία απόφαση, αντί ενός αριθµού διακριτών εναλλακτικών επιλογών,

είναι δυνατόν να έχουµε ένα συνεχές εύρος εναλλακτικών επιλογών: πρέπει να

προσδιορίσουµε την βέλτιστη τιµή µίας συνεχούς µεταβλητής x, ώστε να

µεγιστοποιηθεί ή να ελαχιστοποιηθεί ένα µέγεθος – στόχος z. Σε πολυπλοκότερα

προβλήµατα αποφάσεων έχουµε περισσότερες της µίας µεταβλητές απόφασης: x1, x2,

x3, x4, x5, … xn, και θέλουµε να προσδιορίσουµε την βέλτιστη τιµή κάθε µίας, ώστε

να µεγιστοποιηθεί ή να ελαχιστοποιηθεί ένα µέγεθος – αντικειµενικός στόχος που

είναι συνάρτηση των µεταβλητών απόφασης x1, x2, x3, x4, … xn :

Maximize or Minimize

z = z(x1, x2, x3, … xn) : Αντικειµενική Συνάρτηση (Objective Function)

Σε πολλές περιπτώσεις το z είναι γραµµική συνάρτηση των x1, x2, x3, x4, … xn,

οπότε το πρόβληµα αποφασέων έχει την µορφή:

Maximize or Minimize

z = c1*x1 + c2*x2 + c3*x3 + …. c4*x4

όπου οι συντελεστές c1, c2,…… cn έχουν την φυσική σηµασία µοναδιαίων κερδών,

µοναδιαίων κοστών, κ.λ.π.

Συνήθως οι µεταβλητές απόφασης δεν µπορούν να πάρουν οποιεσδήοτε τιµές,

αλλά µόνον αυτές που ικανοποιούν κάποιους περιορισµούς (constrains) της µορφής:

a11*x1 + a12*x2 + …. + a1n*xn < b1

a21*x1 + a22*x2 + …. + a2n*xn = b2

…..

am1*x1 + am2*x2 + …. + amn*xn > bm

______________________ 1

όπου συνήθως η φυσική σηµασία των συντελεστών είναι: - bi = συνολικά διαθέσιµη ποσότητα του πόρου i - aij = απαιτήσεις πόρου i ανά µονάδα xjέτσι οι περιορισµοί αυτοί συνήθως εκφράζουν περιορισµούς της διαθέσιµης ποσότητας διαφόρων πόρων

_____________________ 7


Ένα τέτοιο πρόβληµα αποφάσεων λέγεται ‘Πρόβληµα Γραµµικού Προγραµµατισµού’

(Linear Programming) και ορίζεται ως ένα ‘Πρόβληµα Βελτιστοποίησης

Αντικειµενικής Συνάρτησης υπό Περιορισµούς’. Η ανάλυση ενός τέτοιου

προβλήµατος περιλαµβάνει τις εξής φάσεις:

- µοντελοποίηση

- επίλυση του µοντέλου προσδιορισµός των βέλτιστων τιµών των

µεταβλητών απόφασης, οι οποίες αποτελούν την x1, x2 του προβλήµατος

- ανάλυση ευαισθησίας

οι οποίες περιγράφονται στις επόµενες ενότητες.

5.2 Μοντελοποίηση

Η µοντελοποίηση περιλαµβάνει τα εξής βήµατα:

ορισµός µεταβλητών απόφασης x1, x2, x3, … xn

ορισµός µεγέθους – στόχου z

διαµόρφωση της αντικειµενικής συνάρτησης, η οποία συνδέει το µέγεθος στόχο ζ

µε τις µεταβλητές απόφασης x1, x2, x3, … xn

έκφραση των περιορισµών ως γραµµικών ανισώσεων – εξισώσεων

Τα βήµατα αυτά καθίστανται σαφή µέσω των παρακάτω παραδειγµάτων

Παράδειγµα 1

Επιχείρηση παράγει δύο χηµικά προϊόντα H και C σε φιάλες των 5lt,

χρησιµοποιώντας ως βάση δύο χηµικά συστατικά Α και Β. Εχουµε τα εξής δεδοµένα:

- για κάθε 5-λιτρη φιάλη του H απαιτούνται 4lt A + 1lt B

- για κάθε 5-λιτρη φιάλη του C απαιτούνται 2lt A + 3lt B

- οι δυνατότητες προµήθειας των συστατικών Α και B είναι περιορισµένες και δεν

µπορούν να υπερβούν τα 20.000lt A και 15.000lt B µηνιαίως.

- περιορισµένες επίσης είναι οι δυνατότητες προµήθειας 5-λιτρων κενών φιαλών για

το H και το C και δεν µπορούν να υπερβαίνουν τον αριθµό των 4000 φιαλών για το H

και 4500 φιαλών για το C.

- ανά φιάλη H το κέρδος είναι 0,3 € ενώ ανά φιάλη C το κέρδος είναι 0,25 €.

___________________________________________ 18


Θέλουµε να προσδιορίσουµε την βέλτιστη ποσότητα φιαλών H και φιαλών C που

πρέπει να παραχθούν µηνιαίως, εάν αντικειµενικός µας στόχος είναι η µεγιστοποίηση

του κέρδους.

Μοντελοποίηση

Μεταβλητές απόφασης : x1 (αριθµός φιαλών H)

x2 (αριθµός φιαλών C) που θα παράγονται µηνιαίως

ώστε: Maximize K = 0,3x1 + 0,25x2 (Αντικειµενική Συνάρτηση)

υπό τους περιορισµούς: 4x1 + 2x2 ≤ 20.000

1x1 + 3x2 ≤ 15.000

x1 ≤ 4.000

x2 ≤ 4.500

x1 ≥ 0

x2 ≥ 0

Παράδειγµα 2

Επιχείρηση παράγει δύο προϊόντα Π1 και Π2 τα οποία αποφέρουν κέρδος 5 € και 8 €

αντίστοιχα ανά τεµάχιο. Εχουµε τα εξής δεδοµένα:

- Και τα δύο πρέπει να υποστούν επεξεργασία σε δύο κέντρα εργασίας Κ1 και Κ2. Για

κάθε µονάδα Π1 απαιτούνται 12 h επεξεργασίας στο Κ1 και 6h στο Κ2, ενώ για κάθε

µονάδα Π2 απαιτούνται 4h επεξεργασίας στο Κ1 και 5h στο Κ2.

- Οι συνολικές διαθέσιµες ώρες των δύο αυτών κέντρων εργασίας εβδοµαδιαίως

είναι 60h για το Κ1 και 40h για το K2.

Πόσα τεµάχια Π1 και πόσα τεµάχια Π2 πρέπει να παράγουµε εβδοµαδιαίως, εάν

αντικειµενικός µας στόχος είναι η µεγιστοποίηση του κέρδους;

Μοντελοποίηση

Μεταβλητές απόφασης: x1 και x2 = εβδοµαδιαία παραγωγή Π1 και Π2

ώστε Maximize K = 5x1 + 8x2

υπό τους περιορισµούς: 12x1 + 4x2 ≤ 60

6x1 + 5x2 ≤ 40

x1 ≥ 0

x2 ≥ 0

___________________________________________ 19


5.2 Γραφική Μέθοδος Επίλυσης Προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού

Η γραφική µέθοδος επίλυσης προβληµάτων γραµµικού προγραµµατισµού

χρησιµοποιείται για προβλήµατα µέχρι 2 – 3 µεταβλητών απόφασης. Βασικό

πλεονέκτηµά της αποτελεί το ότι είναι οπτικοποιήσιµη και κατανοητή. Για

προβλήµατα µεγαλύτερου αριθµού µεταβλητών απόφασης χρησιµοποιείται η µέθοδος

Simplex.

Στην γραφική αυτή µέθοδο κάθε σηµείο στο επίπεδο των x1, x2 που φαίνεται

στο παρακάτω σχήµα είναι ένας συνδυασµός τιµών των x1, x2 και αποτελεί µία

υποψήφια λύση, όµως µόνο ένα υποσύνολο των σηµείων αυτών, τα οποία

ικανοποιούν τους περιορισµούς, αποτελούν τις δυνατές (ή εφικτές) λύσεις. Μεταξύ

αυτών προσδιορίζεται η βέλτιστη λύση, η οποία βελτιστοποιεί (δηλ. µεγιστοποιεί, εάν

το πρόβληµα είναι µεγιστοποίησης, ή ελαχιστοποιεί, εάν το πρόβληµα είναι

ελαχιστοποίησης) το µέγεθος – στόχο z. Η µέθοδος περιλαµβάνει τα εξής βήµατα

Α) Γραφικές παραστάσεις των περιορισµών επιτρεπτή περιοχή δυνατών (εφικτών)

λύσεων που ικανοποιούν τους περιορισµούς

Β) Γραφική παράσταση της αντικειµενικής συνάρτησης

Γ) Εντοπισµός της βέλτιστης λύσης - υπολογισµός των στοιχείων της

∆) Ανάλυση ευαισθησίας

Στην συνέχεια βλέπουµε την εφαρµογή της µεθόδου για το παραπάνω παράδειγµα 1.

x2

x2 = 4500

x1 = 4000

12

I

x1

_______0
4x1 + 2x2 ≤ 20.00
_______________________ 20

x1 + 3x2 ≤ 15.000

II

ΒΛ
ΟΡ
ΟΡ

_____________


Α) Αρχικά γιά κάθε περιορισµό κατασκευάζω την αντίστοιχη ευθεία (δηλαδή

κατασκευάζω τις ευθείες 4x1 + 2x2 = 20.000, x1 + 3x2 = 15.000, x1 = 4000, x2 = 4500,

x1 = 0, x2 = 0) και ακολούθως προσδιορίζω την ‘επιτρεπτή περιοχή του περιορισµού’

(= το σύνολο των σηµείων που ικανοποιούν τον περιορισµό). Στην συνέχεια

προσδιορίζουµε την τοµή των επιτρεπτών αυτών περιοχών των περιορισµών, η οποία

αποτελεί την ‘επιτρεπτή περιοχή του προβλήµατος’ (= το σύνολο των σηµείων που

ικανοποιούν όλους τους περιορισµούς του προβλήµατος). Στο παραδείγµά µας, όπως

βλέπουµε στο παραπάνω σχήµα, η επιτρεπτή περιοχή του προβλήµατος είναι ένα

εξάγωνο.

Β) Από την αντικειµενική συνάρτηση Κ = 0,3x1 + 0,25 x2 προκύπτει ότι για κάθε

επίπεδο κερδοφορίας Κ τα σηµεία (συνδυασµοί τιµών των x1, x2) που δίνουν την

κερδοφορία αυτή ευρίσκονται σε µία ευθεία µε εξίσωση x2 = (K/0,25) – x1 (0,3/0,25)

παράλληλες γραµµές σταθερού κέρδους - µία διαφορετική γραµµή για κάθε K που

τέµνει τον κατακόρυφο άξονα στο σηµείο K/0,25 και έχει κλίση –1,2, όπως είναι η

έντονη (bold) γραµµή Ι

π.χ. για Κ = 1000 : x2 = (1000/0,25) – 1,2x1

για Κ = 1500 : x2 = (1500/0,25) – 1,2x1

Παρατηρούµε ότι αυξανοµένου του Κ η αντίστοιχη γραµµή σταθερού κέρδους

µετατοπίζεται παράλληλα προς άνω-δεξιά, αλλά ταυτόχρονα περιορίζεται το τµήµα

της που ευρίσκεται εντός του παραπάνω εξαγώνου που αποτελεί την επιτρεπτή

περιοχή του προβλήµατος - δηλ περιορίζεται το τµήµα της που ικανοποιεί όλους τους

περιορισµούς του προβλήµατος.

Γ) Παρατηρούµε ότι µετατοπίζοντας παράλληλα αυτήν την γραµµή σταθερού

κέρδους προς υψηλότερα επίπεδα κερδοφορίας, δηλ. προς άνω-δεξιά, η ακραία

(µέγιστης κερδοφορίας) δυνατή θέση της που έχει κοινά(-ό) σηµεία(-ο) µε την

εξαγώνη επιτρεπτή περιοχή του προβλήµατος είναι η έντονη (bold) γραµµή ΙΙ. Η

γραµµή αυτή εφάπτεται στην επιτρεπτή περιοχή του προβλήµατος στην κορυφή ΒΛ,

η οποία συνεπώς αποτελεί την βέλτιστη λύση του προβλήµατος. Για να υπολογίσουµε

όλα τα στοιχεία της βέλτιστης αυτής λύσης επιλύουµε το σύστηµα των εξισώσεων

των δύο περιορισµών που συµβάλλουν (τέµνονται) στο σηµείο ΒΛ:

___________________________________________ 21


4x1 + 2x2 = 20.000 4x1 + 2x2 = 20.000 x1 = 3000

x1 + 3x2 = 15.000 4x1 + 12x2 = 60.000 x2 = 4000

Kmax = 0,3 x 3000 + 0,25 x 4000 = 1900

Παρατηρούµε ότι οι δύο αυτοί περιορισµοί είναι που δεν µας επιτρέπουν (δηλ.

οι δύο αυτοί περιορισµοί µας εµποδίζουν) να πετύχουµε υψηλότερα επίπεδα του

µεγέθους – στόχου (δηλ. του κέρδους στην περίπτωσή µας), γιά αυτό ονοµάζονται

‘δεσµευτικοί περιορισµοί’ (binding constrains). Η αύξηση του δεύτερου µέλους τους

(µέσω εξασφάλισης µεγαλύτερης ποσότητας των αντίστοιχων πόρων), η οποία θα

µετακινήσει τις αντίστοιχες ευθείες, άρα και τις αντίστοιχες επιτρεπτές περιοχές, θα

πρέπει να αποτελεί επενδυτική προτεραιότητα. Αντίθετα οι άλλοι 4 περιορισµοί δεν

µας εµποδίζουν να επιτύχουµε υψηλότερα επίπεδα κέρδους (γενικότερα: υψηλότερα

επίπεδα του µεγέθους – στόχου), γιά αυτό ονοµάζονται ΄µη δεσµευτικοί ΄περιορισµοί’

(non – binding constrains). Συνεπώς η παρέµβαση σε αυτούς (π.χ. αύξηση του

δεύτερου µέλους τους µέσω εξασφάλισης µεγαλύτερης ποσότητας των αντίστοιχων

πόρων) δεν αποτελεί προτεραιότητα. Ως προς τους περιορισµούς αυτούς έχουµε

αρκετό ακόµη ‘περιθώριο’ (Slack) µέχρι να φτάσουµε στα όριά τους, ενώ αντίθετα ως

προς τουε δεσµευτικούς περιορισµούς το ‘περιθώριο’ είναι µηδενικό, δεδοµένου ότι

έχουµε φθάσει στα όριά τους :

S3 = 1000 ενώ αντίθετα S1 = 0

S4 = 500 S2 = 0

5.3 Ανάλυση Ευαισθησίας (Sensitivity Analysis)

Τέλος στο βήµα ∆) πραγµατοποιούµε διάφορες αναλύσεις ευαισθησίας

(sensitivity analysis), στις οποίες εξετάζουµε τις επιπτώσεις στην βέλτιστη λύση και

στην βέλτιστη τιµή του µεγέθους – στόχου, τις οποίες έχουµε προσδιορίσαµε στο

προηγούµενο βήµα, διαφόρων αλλαγών των συντελεστών του µοντέλου µας, και

συγκεκριµένα: των συντελεστών bi (στα δεύτερα µέλη των περιορισµών), ci (στην

αντικειµενική συνάρτηση) και aij (στα πρώτα µέλη των περιορισµών),

π.χ. εάν αυξήσουµε το δεύτερο µέλος του πρώτου δεσµευτικού περιορισµού 4x1 + 2x2

___________________________________________ 22


≤ 20.000 κατά 1 µονάδα (20.000 → 20.001), ποιό θα είναι το νέο βέλτιστο σηµείο και

ποιά η αύξηση του αντίστοιχου κέρδους?

Ι) Ανάλυση ευαισθησίας ως προς bi

(δεύτερα σκέλη περιορισµών - συνήθως διαθέσιµες ποσότητες πόρων)

Αρχικά επισηµαίνεται ότι γιά όλους τους µη-δεσµευτικούς περιορισµούς το

επιπρόσθετο κέρδος από µία αύξηση του δεύτερου µέλους (δηλ. από µία προσαύξηση

του αντίστοιχου πόρου) είναι µηδενική. Συνεπώς η ανάλυση ευαισθησίας ως προς bi

έχει νόηµα µόνο για τους δεσµευτικούς περιορισµούς.

Εάν στον πρώτο δεσµευτικό περιορισµό 4x1 + 2x2 ≤ 20.000 το δεύτερο µέλος

αυξηθεί από 20.000 → 20.001, τότε η αντίστοιχη ευθεία και η επιτρεπτή περιοχή του

περιορισµού αυτού µετατοπίζονται προς άνω δεξιά, και η νέα βέλτιστη λύση

υπολογίζεται επιλύοντας το σύστηµα:

4x1 + 2x2 = 20.001 x1 = 3000,3 ΚΝ1max = 0,3*3000,3 + 0,25*4000 =

1x1 + 3x2 = 15.000 x2 = 4000 = 1.900,065

άρα θα επιτύχουµε αύξηση του µεγίστου κέρδους κατά :

ΚΝ1max - Κmax = 1.900,065 – 1900 =0,065

η οποία ονοµάζεται Οριακή Αξία (Marginal Value) του αντίστοιχου πόρου - στην

περίπτωσή µας του χηµικού συστατικού Α (διότι ισούται µε την επί πλέον αξία, την

οποία δηµιουργεί µία επιπρόσθετη µονάδα του πόρου αυτού, όσον αφορά το µέγεθος-

στόχο). Επίσης είναι ίση µε το µέγιστο επίπεδο κόστους που θα πληρώναµε για µία

επιπρόσθετη µονάδα του Α, έναντι της ευκαιρίας επιπρόσθετου κέρδους που η

µονάδα αυτή δηµιουργεί, για αυτόν τον λόγο ονοµάζεται και Κόστος Ευκαιρίας

(Opportunity Cost).

Είναι προφανές ότι κάθε επιπρόσθετη µονάδα του Α θα δηµιουργεί το ίδιο

επίπεδο επιπρόσθετου κέρδους (=έχει την ίδια οριακή αξία), µέχρις ότου ένας από

τους δύο δεσµευτικούς περιορισµούς πάψει να είναι δεσµευτικός, και κάποιος άλλος

περιορισµός καταστεί δεσµευτικός, δηλαδή µέχρι του σηµείου OP1 (µετά καθίσταται

___________________________________________ 23


δεσµευτικός αντί του 4x1 + 2x2 ≤ 20.000 ο x1 ≤ 4.000 ). Για τον υπολογισµό των

συντεταγµένων τoυ σηµείου OP1 επιλύουµε το σύστηµα:

x1 = 4.000 x1 = 4.000

x1 + 3x2 = 15.000 x2 = 3.666,67 → 4x1 + 2x2 = 23.333,333

Άρα η παραπάνω οριακή αξία του Α ισχύει µέχρι 23.333,333 - µετά καθίσταται

µηδενική διότι ο περιορισµός 4x1 + 2x2 ≤ 20.000 καθίσταται µη – ∆εσµευτικός

Οµοίως µία µοναδιαία µείωση του Α από 20.000 → 19.999 (π.χ. ώστε µία

µονάδα του αντίστοιχου πόρου να χρησιµοποιηθεί για κάποιο άλλο σκοπό)

δηµιουργεί το ίδιο επίπεδο µείωσης του κέρδους κατά 0,065, συνεπώς η οριακή αυτή

αξία συνεχίζει να ισχύει και προς την άλλη κατεύθυνση µέχρις ότου ένας από τους

δύο δεσµευτικούς περιορισµούς πάψει να είναι δεσµευτικός, δηλ, µέχρι του σηµείου

OP2, διότι µετά ο x2 ≤ 4.500 γίνεται δεσµευτικός. Για τον υπολογισµό των

συντεταγµένων τoυ σηµείου OP2 επιλύουµε το σύστηµα:

x2 = 4.500 x2 = 4.500

x1 + 3x2 = 15.000 x1 = 1.500 → 4x1 + 2x2 = 15.000

Άρα η παραπάνω οριακή αξία του Α ισχύει από το επίπεδο των 15.000 µέχρι το

επίπεδο των 23.333,333 µονάδων του.

Παρόµοια ανάλυση πραγµατοποιούµε στην συνέχεια και για τον δεύτερο

δεσµευτικό περιορισµό x1 + 3x2 ≤ 15.000: υπολογίζουµε αρχικά την οριακή αξία του

αντίστοιχου πόρου (χηµικού συστατικού Β), και κατόπιν το άνω και κάτω όριο ισχύος

της:

4x1 + 2x2 = 20.000 x1 = 2.999,8 → KΝ2max = 0,3*2.999,8 + 0,25*4.000,4

x1 + 3x2 = 15.001 x2 = 4.000,4 1900,040

Αρα η οριακή αξία του αντίστοιχου πόρου θα είναι:

ΚΝ2max - Κmax = 1.900,040 – 1900 =0,040

___________________________________________ 24


ενώ για τον υπολογισµό του άνω και του κάτω όριο ισχύος της επιλύουµε τα

συστήµατα:

x2 = 4.500 x1 = 2.750

4x1 + 2x2 = 20.000 x2 = 4.500 → x1 + 3x2 = 16.250

x1 = 4.000 x1 = 4.000

4x1 + 2x2 = 20.000 x2 = 2.000 → x1 + 3x2 = 10.000

Συνεπώς η παραπάνω οριακή αξία του Β ισχύει από το επίπεδο των 10.000 µέχρι το

επίπεδο των 16.250 µονάδων του.

ΙΙ) Ανάλυση ευαισθησίας ως προς ci

(συντελεστές αντικειµενικής συνάρτησης – συνήθως µοναδιαία κέρδη - κόστη, κ.λ.π.)

Είναι γνωστό ότι, όπως φαίνεται και στο παρακάτω σχήµα, εάν σε µία ευθεία

ax1 + bx2 = c αυξηθεί ο συντελεστής a, τότε µειώνεται το c/a, άρα αυτή θα

περιστραφεί µε την φορά των δεικτών του ωρολογίου (clockwise), ενώ εάν αυξηθεί ο

συντελεστής b, τότε µειώνεται το c/b, άρα αυτή θα περιστραφεί αντίθετα προς την

φορά των δεικτών του ωρολογίου (anti-clockwise)

x2

x1

c/a

c/b

ax1 + bx2 = c

Συνεπώς µία αλλαγή ενός Ci θα αλλάξει την κλίση των γραµµών σταθερού

κέρδους (γενικότερα των γραµµών σταθερής τιµής της αντικειµενικής συνάρτησης).

Παρατηρούµε λοιπόν ότι αρχικά, για µικρές αλλαγές ενός Ci άρα και της κλίσης, δεν

αλλάζει η βέλτιστη λύση, όµως µεγαλύτερη αλλαγή του Ci θα µετατοπίσει την

βέλτιστη λύση σε µία άλλη γειτονική κορυφή, π.χ. από το ΒΛ→ΟΡ2. Συνεπώς είναι

απαραίτητο να προσδιορίσουµε για κάθε Ci το άνω και το κάτω όριο αλλαγής του,

µεταξύ των οποίων δεν αλλάζει η βέλτιστη λύση που προσδιορίσθηκε στο

___________________________________________ 25


προηγούµενο βήµα: τα δύο αυτά όρια αντιστοιχούν στις τιµές του Ci για τις οποίες η

γραµµή σταθερού κέρδους γίνεται παράλληλη προς τις γραµµές των δύο δεσµευτικών

περιορισµών που τέµνονται στο ΒΛ.

Π.χ. στο παράδειγµά µας:

Αλλαγή C1 → C1’ : τα οριακά επίπεδα του C1 (τα οποία εάν ξεπερασθούν θα αλλάξει

η βέλτιστη λύση) είναι εκείνα για τα οποία η κλίση των ευθειών κόστους φθάνει να

ισούται µε αυτές των ευθειών των δεσµευτικών περιορισµών:

C1’/ 0,25 = 1/3 → C1’ = 0,083

C1’/ 0,25 = 4/2 → C1’ = 0,50

Συνεπώς το C1 (µοναδιαίο κέρδος ανά φιάλη Η), το οποίο έχει την τιµή 0,30, εάν

αυξηθεί µέχρι 0,50 ή εάν µειωθεί µέχρι 0,083, δεν θα αλλάξει η βέλτιστη λύση που

προσδιορίσθηκε στα προηγούµενα βήµατα.

Αλλαγή C2 → C2’ : οµοίως τα οριακά επίπεδα του C2 (τα οποία εάν ξεπερασθούν θα

αλλάξει η βέλτιστη λύση) είναι εκείνα για τα οποία η κλίση των ευθειών κόστους

φθάνει να ισούται µε αυτές των ευθειών των δεσµευτικών περιορισµών:

0,3/C2’ = 1/3 → C2’ = 0,9

0,3/C2’ = 4/2 → C2’ = 0,15

Συνεπώς το C1 (µοναδιαίο κέρδος ανά φιάλη Η), το οποίο έχει την τιµή 0,25, εάν

αυξηθεί µέχρι 0,90 ή εάν µειωθεί µέχρι 0,15, δεν θα αλλάξει η βέλτιστη λύση που

προσδιορίσθηκε στα προηγούµενα βήµατα.

___________________________________________ 26


5.4 Ειδικές Μορφές Προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού

γραµµές σταθερού κόστους

παράλληλες προς την ευθεία ενός περιορισµού:

άπειρες εναλλακτικές βέλτιστες λύσεις

δεν υπάρχει περιοχή που να ικανοποιεί όλους τους περιορισµούς

(ο άνω αριστερά περιορισµός, του οποίου η επιτρεπτή περιοχή είναι προς την κατεύθυνση που δείχνει το βέλος, έρχεται σε σύγκρουση µε

τους λοιπούς περιορισµούς) πρόβληµα αδύνατο

πλεονάζων περιορισµός (η επιτρεπτή του περιοχή είναι προς την κατεύθυνση

που δείχνει το βέλος): δεν επηρεάζει τη διαµόρφωση της

επιτρεπτής περιοχής

µη πεπερασµένη βέλτιστη λύση (σπάνιο)

___________________________________________ 27

Ευριπίδης N. Λουκής · 2010-01-24 · Π ΑΑ Ν ΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ...

Documents

Transcript of Ευριπίδης N. Λουκής · 2010-01-24 · Π ΑΑ Ν ΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ...