「時計の世界の整数論」第２回プログラマのための数学勉強会 #maths4pg

時計の世界の整数論

日曜数学者辻順平（@tsujimotter）http://tsujimotter.info

第２回プログラマのための数学勉強会（2015 年 3 月 27 日）

2015/3/31 1

http://tsujimotter.info/

日曜数学（者）とは

興味の赴くままに「趣味として」

数学を探究する行為（人）

一番「熱い」と思う対象について学ぶ・話す

2015/3/31 2

整数論2015/3/31 3

きっかけ

カール・フリードリヒ・ガウス2015/3/31 4

Disquisitiones Arithmeticae (D.A.)

日本語訳では “ガウス整数論”

2015/3/31 5

0 12

34

567

8

910

11時間時計

0

1

23

4

5時間時計

時計の世界の整数論

「そのような日々の中で，私はゆくりなくあるすばらしいアリトメティカの真理に出会ったのである．（中略）やがて私はついに望みどおりの成功を収めたが，そのころにはこのような研究の魅力にすっかり取り付かれてしまい，もう立ち去ることはできなかった．」

高瀬正仁訳「ガウス整数論」（緒言より抜粋）

2015/3/31 6

気になる！

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理解したい！！

2015/3/31 8

「時計の世界の整数論」の概観

STEP 1: 時計の世界のキソ知識

STEP 2: 時計の世界の中の法則

• フェルマーの小定理• 原始根定理• オイラーの基準

STEP 3: 2つ時計の世界をつなぐ法則

• 平方剰余の相互法則ガウスが見つけた整数論の真理

• 時計の世界とは• 足し算／掛け算ができる• べき乗の表を作る

2015/3/31 9

整数論の２通りの愉しみ方

「芸術」のように愉しむ背景や美しさを理解して鑑賞する

「パズルゲーム」のように愉しむ手を動かして遊ぶ

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手を動かして法則を見つけよう！

美しい法則を鑑賞しよう！

2015/3/31 11










2015/3/31 12

時計の世界とは

…, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, …

一直線上に数が並ぶ

一般的な整数の世界では・・・

2015/3/31 13

0

1

23

4

5

6

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9

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11

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螺旋状に数を巻き付ける

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0

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19

「時計の世界」完成！2015/3/31 15

0

1

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同じ時間に位置する数は合同の関係にある

例：5 時間時計において 1と 6は同じ時間を指している⇔ 5 時間時計において 1と 6は合同である⇔ 1 ≡ 6 mod 5

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0

1

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1 ≡ 6 ≡ 11 ≡ 16 mod 5

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0

1

23

4

合同な数は「同じもの」とみなして最も小さい数で代表して考えてよい例： 5 時間時計では，{0, 1, 2, 3, 4} の数だけ考える

時計の世界＝整数のミニチュア

2015/3/31 18足し算／掛け算ができる！

時計の世界の「足し算」

0

1

23

4

0

1

23

4

0

1

23

4＋ ≡

1 + 3 ≡ 4 (mod 5)2015/3/31 19

時計の世界の「足し算」

0

1

23

4

0

1

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4

0

1

23

4＋ ≡

3 + 4 ≡ 2 (mod 5)

(7) があるつもりで・・・

2015/3/31 20

時計の世界の「掛け算」

0

1

23

4

0

1

23

4

0

1

23

4× ≡

3 × 2 ≡ 1 (mod 5)

(6)があるつもりで・・・

2015/3/31 21

0

1

23

4

0

1

23

4

0

1

23

4× ≡

3 × 3 ≡ 4 (mod 5)

(9)


2015/3/31 22

0

1

23

4

0

1

23

4の 2乗 ≡

32 ≡ 4 (mod 5)

(9)


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0

1

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4

0

1

23

4の 2乗× ≡

32 × 3 ≡ 2 (mod 5)

0

1

23

4


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0

1

23

4

0

1

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4× ≡

4 × 3 ≡ 2 (mod 5)

0

1

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4

(12)


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0

1

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4

0

1

23

4の 3乗 ≡

33 ≡ 2 (mod 5)2015/3/31 26

n n1 n2 n3 n4

3 3 4 2 1

33 ≡ 2 (mod 5)31 ≡ 3 (mod 5)32≡ 4 (mod 5)

34 ≡ 1 (mod 5)

べき乗を並べて表を作る

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n n1 n2 n3 n4

1 1 1 1 1

3 3 4 2 1


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n n1 n2 n3 n4

1 1 1 1 12 2 4 3 13 3 4 2 14 4 1 4 1


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0

1

23

4

5 時間時計の世界

n n1 n2 n3 n4

1 1 1 1 12 2 4 3 13 3 4 2 14 4 1 4 1

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5 時間時計

n n1 n2 n3 n4 n5 n6

1 1 1 1 1 1 1

2 2 4 1 2 4 1

3 3 2 6 4 5 1

4 4 2 1 4 2 1

5 5 4 6 2 3 1

6 6 1 6 1 6 1


2015/3/31 31

01

2

34

5

6

7 時間時計

n n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8 n9 n10

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 2 4 8 5 10 9 7 3 6 13 3 9 5 4 1 3 9 5 4 14 4 5 9 3 1 4 5 9 3 15 5 3 4 9 1 5 3 4 9 16 6 3 7 9 10 5 8 4 2 17 7 5 2 3 10 4 6 9 8 18 8 9 6 4 10 3 2 5 7 19 9 4 3 5 1 9 4 3 5 110 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1


2015/3/31 32

0 12

34

567

8

910

11時間時計

n n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8 n9 n10 n11 n12

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 4 8 3 6 12 11 9 5 10 7 1

3 3 9 1 3 9 1 3 9 1 3 9 1

4 4 3 12 9 10 1 4 3 12 9 10 1

5 5 12 8 1 5 12 8 1 5 12 8 1

6 6 10 8 9 2 12 7 3 5 4 11 1

7 7 10 5 9 11 12 6 3 8 4 2 1

8 8 12 5 1 8 12 5 1 8 12 5 1

9 9 3 1 9 3 1 9 3 1 9 3 1

10 10 9 12 3 4 1 10 9 12 3 4 1

11 11 4 5 3 7 12 2 9 8 10 6 1

12 12 1 12 1 12 1 12 1 12 1 12 1

13時間時計の世界

2015/3/31 33










2015/3/31 34

n n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8 n9 n10

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 2 4 8 5 10 9 7 3 6 13 3 9 5 4 1 3 9 5 4 14 4 5 9 3 1 4 5 9 3 15 5 3 4 9 1 5 3 4 9 16 6 3 7 9 10 5 8 4 2 17 7 5 2 3 10 4 6 9 8 18 8 9 6 4 10 3 2 5 7 19 9 4 3 5 1 9 4 3 5 110 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1

つじのほうそく：1 のべき乗はすべて 1

たとえばこんな法則が・・・

2015/3/31 35

問題

5 時間時計, 7 時間時計, 11 時間時計, 13 時間時計, 17 時間時計, … の世界で「できる限り多くの法則」を見つけてみましょう（２分間）

怪しいところを見つけたら，○で印をつけてみましょう

資料をお持ちの方は，そちらを使ってください。Webで観ている方は，http://tsujimotter.info/maths4pg/2/にある表を使ってください。

2015/3/31 36

http://tsujimotter.info/maths4pg/2/

解答へ Go!!

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n n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8 n9 n10

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 2 4 8 5 10 9 7 3 6 13 3 9 5 4 1 3 9 5 4 14 4 5 9 3 1 4 5 9 3 15 5 3 4 9 1 5 3 4 9 16 6 3 7 9 10 5 8 4 2 17 7 5 2 3 10 4 6 9 8 18 8 9 6 4 10 3 2 5 7 19 9 4 3 5 1 9 4 3 5 110 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1

解答例

2015/3/31 38

n n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8 n9 n10

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 2 4 8 5 10 9 7 3 6 13 3 9 5 4 1 3 9 5 4 14 4 5 9 3 1 4 5 9 3 15 5 3 4 9 1 5 3 4 9 16 6 3 7 9 10 5 8 4 2 17 7 5 2 3 10 4 6 9 8 18 8 9 6 4 10 3 2 5 7 19 9 4 3 5 1 9 4 3 5 110 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1

n10 がすべて

1に合同フェルマーの小定理：pが素数のとき 𝑛𝑛 ≢ 0 (mod 𝑝𝑝)である n に対して

𝑛𝑛𝑝𝑝−1 ≡ 1 mod 𝑝𝑝

2015/3/31 39

解 (1)

n n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8 n9 n10

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 2 4 8 5 10 9 7 3 6 13 3 9 5 4 1 3 9 5 4 14 4 5 9 3 1 4 5 9 3 15 5 3 4 9 1 5 3 4 9 16 6 3 7 9 10 5 8 4 2 17 7 5 2 3 10 4 6 9 8 18 8 9 6 4 10 3 2 5 7 19 9 4 3 5 1 9 4 3 5 110 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1

原始根定理：𝑝𝑝が素数のとき 𝑛𝑛1,𝑛𝑛2,𝑛𝑛3, … ,𝑛𝑛𝑝𝑝−1 (mod 𝑝𝑝)の列が

1, 2, 3, … ,𝑝𝑝 − 1のすべての数を通るような数 𝑛𝑛（原始根）が存在する。

１つの行に 1 から 10 までのすべての数が登場

2015/3/31 40

解 (2)

n n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8 n9 n10

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 2 4 8 5 10 9 7 3 6 13 3 9 5 4 1 3 9 5 4 14 4 5 9 3 1 4 5 9 3 15 5 3 4 9 1 5 3 4 9 16 6 3 7 9 10 5 8 4 2 17 7 5 2 3 10 4 6 9 8 18 8 9 6 4 10 3 2 5 7 19 9 4 3 5 1 9 4 3 5 110 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1

0 12

3

9

456

78

10 21

22

23

24

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210

原始根のべき乗によって，0 以外のすべての数を巡回できる！

原始根 n = 2

2015/3/31 41

n n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8 n9 n10

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 2 4 8 5 10 9 7 3 6 13 3 9 5 4 1 3 9 5 4 14 4 5 9 3 1 4 5 9 3 15 5 3 4 9 1 5 3 4 9 16 6 3 7 9 10 5 8 4 2 17 7 5 2 3 10 4 6 9 8 18 8 9 6 4 10 3 2 5 7 19 9 4 3 5 1 9 4 3 5 110 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1

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解 (3) n2 列（超重要！）

n2 列に{1, 3, 4, 5, 9} のみが現れる

n n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8 n9 n10

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 2 4 8 5 10 9 7 3 6 13 3 9 5 4 1 3 9 5 4 14 4 5 9 3 1 4 5 9 3 15 5 3 4 9 1 5 3 4 9 16 6 3 7 9 10 5 8 4 2 17 7 5 2 3 10 4 6 9 8 18 8 9 6 4 10 3 2 5 7 19 9 4 3 5 1 9 4 3 5 110 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1

2015/3/31 43

解 (3) n5 列（オイラーの基準）

オイラーの基準が1となるようなnは {1, 3, 4, 5, 9} だけ

一致！

n2 列に{1, 3, 4, 5, 9} のみが現れる

0 12

34

567

8

9(-1)

11時間時計

0

1

23

5時間時計

(-1)

4 ≡ -1 (mod 5)

10 ≡ -1 (mod 11)

ちょっと寄り道

2015/3/31 44

オイラーの基準より p 時間時計で (-1) は n2列に存在する ⇔ p は 4N + 1 型

n n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8 n9 n10

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 2 4 8 5 (-1) 9 7 3 6 13 3 9 5 4 1 3 9 5 4 14 4 5 9 3 1 4 5 9 3 15 5 3 4 9 1 5 3 4 9 16 6 3 7 9 (-1) 5 8 4 2 17 7 5 2 3 (-1) 4 6 9 8 18 8 9 6 4 (-1) 3 2 5 7 19 9 4 3 5 1 9 4 3 5 1

(-1) (-1) 1 (-1) 1 (-1) 1 (-1) 1 (-1) 1

n2 列に (-1) が存在しない2015/3/31 45

n5 列（オイラーの基準）n2 列

(11 – 1) / 2 = 奇数 ⇔11は 4N+3型

11時間時計の場合：

n n1 n2 n3 n4

1 1 1 1 12 2 (-1) 3 13 3 (-1) 2 1

(-1) (-1) 1 (-1) 1

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n2 列に (-1) が存在する

n2 列

(5 – 1) / 2 = 偶数 ⇔

5は 4N+1 型

5 時間時計の場合： N(5-1)/2 列（オイラーの基準）

•5 = 22 + 12

•13 = 32 + 22

•17 = 42 + 12

•29 = 52 + 22

•7•11•19•23

フェルマーの二平方定理素数 p が二平方の和で表せる ⇔ p は 4N + 1 型

2015/3/31 47

4N+3 型4N+1 型

オイラーの基準より p 時間時計で (-1) は n2列に存在する ⇔ p は 4N + 1 型

フェルマーの二平方定理素数 p が二平方の和で表せる ⇔ p は 4N + 1 型

2015/3/31 48

深い関係！

ちょっと寄り道










2015/3/31 49

n n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8 n9 n10

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 2 4 8 5 10 9 7 3 6 13 3 9 5 4 1 3 9 5 4 14 4 5 9 3 1 4 5 9 3 15 5 3 4 9 1 5 3 4 9 16 6 3 7 9 10 5 8 4 2 17 7 5 2 3 10 4 6 9 8 18 8 9 6 4 10 3 2 5 7 19 9 4 3 5 1 9 4 3 5 110 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1

ここまでは，１つの時計の世界で完結する話

2015/3/31 50

n n1 n2 n3 n4

1 1 1 1 12 2 4 3 13 3 4 2 14 4 1 4 1

n n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8 n9 n10

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 2 4 8 5 10 9 7 3 6 13 3 9 5 4 1 3 9 5 4 14 4 5 9 3 1 4 5 9 3 15 5 3 4 9 1 5 3 4 9 16 6 3 7 9 10 5 8 4 2 17 7 5 2 3 10 4 6 9 8 18 8 9 6 4 10 3 2 5 7 19 9 4 3 5 1 9 4 3 5 110 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1

最後は，２つの時計の世界を「結ぶ」法則

2015/3/31 51

5 時間時計の世界 11 時間時計の世界

n n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8 n9 n10

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 2 4 8 5 10 9 7 3 6 13 3 9 5 4 1 3 9 5 4 14 4 5 9 3 1 4 5 9 3 15 5 3 4 9 1 5 3 4 9 16 6 3 7 9 10 5 8 4 2 17 7 5 2 3 10 4 6 9 8 18 8 9 6 4 10 3 2 5 7 19 9 4 3 5 1 9 4 3 5 110 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1

1 ≡ 11

n n1 n2 n3 n4

1 1 1 1 12 2 4 3 13 3 4 2 14 4 1 4 1

5 時間時計の世界で n2列に 11 (≡1)がある⇔ 11 時間時計の世界で n2列に 5がある

2015/3/31 52

2015/3/31 53


5 時間時計の世界で n2列に 7 (≡2)がない⇔ 7 時間時計の世界で n2列に 5がない



2015/3/31 54

7時間時計の世界で n2列に 11 (≡4)がある⇔ 11 時間時計の世界で n2列に 7がない

ひっくり返る！ちょっとした例外？

平方剰余の相互法則



2015/3/31 55

4N+1型

4N+1型

4N+3型

4N+3型

7時間時計の世界で n2列に 11 (≡4)がある⇔ 11 時間時計の世界で n2列に 7がない4N+3型

4N+3型

両方 4n+3型のときひっくり返る！

平方剰余の相互法則のイメージ

0

1

23

4

0 12

34

567

8

910

(11)相互法則！

11 時間時計で 5 が n2 列にある5 時間時計で 11 が n2 列にある

平方剰余平方剰余2015/3/31 56

0

1

23

4

5

(270329)

相互法則！

270329 時間時計で 5 が n2 列にある5 時間時計で 270329(≡4) が n2 列にある

平方剰余平方剰余

平方剰余の相互法則を使うと・・・

2015/3/31 57

「ドヤ！！」

と言っていることでしょう

2015/3/31 58

まとめ









2015/3/31 59

「芸術」のように愉しむ背景や美しさを理解して鑑賞する

「パズルゲーム」のように愉しむ手を動かして遊ぶ

2015/3/31 60

先に進みたい方へ• 加藤和也著「数論への招待」丸善出版• 加藤和也著「素数の歌が聞こえる」ぷねうま舎

• kamiyama2 さん「ゆっくり整数論（ニコニコ動画）」http://www.nicovideo.jp/watch/sm24669239

シリーズ１２回で「平方剰余の相互法則」を証明する

• TSKiさん「美的数学のすすめ」http://biteki-math.hatenablog.com/

2015/3/31 61

http://www.nicovideo.jp/watch/sm24669239

http://biteki-math.hatenablog.com/

もっと先に進みたい方へ• 青木昇著「素数と２次体の整数論」共立出版

• 加藤和也, 斎藤毅, 黒川信重著「数論Ⅰ Fermatの夢と類体論」岩波書店

• 高木貞二著「初等整数論講義」共立出版

• ガウス著，高瀬正仁訳「ガウス整数論」朝倉書店

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関連記事（tsujimotterのノートブック）

• 「フェルマーの二平方定理」http://tsujimotter.hatenablog.com/entry/2014/03/21/025930

• 「平方剰余の第一補充則から二平方定理を導く」http://tsujimotter.hatenablog.com/entry/quadratic-residue-and-sum-of-two-squares

• 「続・二平方定理 (オイラーの 6n+1 定理)」http://tsujimotter.hatenablog.com/entry/euler-6n-plus-1-theorem

• 「循環小数(1): フェルマーの小定理」http://tsujimotter.hatenablog.com/entry/2014/04/08/212954

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整数論を一緒に愉しみませんか？

tsujimotter からのメッセージ

日曜数学者辻順平（@tsujimotter）http://tsujimotter.info

http://tsujimotter.info/

以下，補足スライド

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補足：平方剰余の定義• p 時間時計において n2の列に a が存在する⇔ a は p の平方剰余⇔

𝑎𝑎𝑝𝑝

= 1

• p 時間時計において n2の列に a が存在しない⇔ a は p の平方非剰余⇔

𝑎𝑎𝑝𝑝

= −1

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補足：平方剰余の相互法則

𝑝𝑝, 𝑞𝑞を相異なる奇素数としたとき，以下が成り立つ

𝑝𝑝𝑞𝑞

= −1𝑝𝑝−12 ⋅𝑞𝑞−12

𝑞𝑞𝑝𝑝

𝑝𝑝𝑞𝑞

= 𝑞𝑞𝑝𝑝

𝑝𝑝𝑞𝑞

= − 𝑞𝑞𝑝𝑝

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𝑝𝑝または 𝑞𝑞のいずれかが 4𝑛𝑛 + 1型の場合： 𝑝𝑝と 𝑞𝑞のどちらも 4𝑛𝑛 + 3型の場合：

「時計の世界の整数論」第２回プログラマのための数学勉強会 #maths4pg

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