11ηηΘ

ήΕό

∆δάΣ

ήΘ

ήΕό

∆δάΣ

ή11ηηΘεµατική Ενότητα

: ∆υαδικά

Συστή

µατα

Θεµατική Ενότητα

: ∆υαδικά

Συστή

µατα

Ψηφιακοί Υ

πολογιστές

Μονάδα

Ελέγχου

Αριθµητική

Μονάδα

Μονάδα

Μνή

µης

Κρυφή

Μνή

µη

∆ιαχείριση

Μονάδων Ι/Ο

∆υαδικά Συστήµατα

2

∆ικτυακές

Μονάδες

∆ίσκοι

Οθόνες

Πληκτρολόγιο,

ποντίκι

∆υαδικοί

Αριθµοί

∆εκαδικό

Σύστη

µα: Β

άση το

10,

ψηφία

10 και συντελεστές

x δυνάµεις του

10

7392

.25

= 7x

103

+ 3x

102

+ 9x

101

+ 2x

100

+ 2x

10-1

+ 5x

10-2

a 3a 2

a 1a 0

.a-1

a -2όπου

0 ≤

a i≤

9,

…+

a ix10

i + ..

.

∆υαδικό Σύστηµα:

Βάση το

2, ψηφία

2 και

συντελεστές

x δυνάµεις του

2

1011

011

230

221

211

200

21

12

2

∆υαδικά Συστήµατα

3

1011

.01

= 1x

23+

0x22

+ 1x

21+

1x20

+ 0x

2-1+

1x2-2

a 3a 2

a 1a 0

.a-1

a -2όπου

0 ≤

a i≤

1,

…+

a ix2i +

...

r-αδικό

Σύστη

µα: Β

άση το

r, ψηφία

r και συντελεστές

x δυνάµεις του

r

a na n

-1...

a 2a 1

a 0.a

-1a -

2…a -

m=

a nrn

+ a n

-1rn-

1+

...a 2

r2 +

a 1r1 +

a 0r0

+ a -

1r-1a -

2r-2…

a -m

r-m

όπου

0 ≤

a i≤

r-1

∆υαδικοί

Αριθµοί

∆υαδικά Συστήµατα

4

∆υαδικοί

Αριθµοί

–Αριθµητικές

Πράξεις

1 0

1 1

0 1

1 0

0 1

1 1

+1

0 1

0 1

0 0

1 0

1 1

1 1

01

0 1

1 0

11

0 0

1 1

1-

0 0

0 1

1 0

00

01

1 0

00

- (0

+ 0)

=

0 0

A

-(B

+Cin) =

C S

0 - (

0 +

1)

= 1

1

0 - (

1 +

0)

= 1

1

0 - (

1 +

1)

= 1

0

1 - (

0 +

0)

= 0

1

1 - (

0 +

1)

= 0

0

1 - (

1 +

0)

= 0

0

1(1

+1)

=1

1

A -

B -

Cin

= C

S

∆υαδικά Συστήµατα

5

1 0

1 1

1 0

1x 1

0 1

10

0 0

01

0 1

11

1 0

1 1

1

1 0

1 0

1 1

01

0 1

1 0

11

0 0

0 1

0 1

1 0

1 0

10

0 1

1 - (

1 +

1)

= 1

1

Μετατροπή

Αριθµού

από

Bάση

rσε

Bάση

10

r-αδικό

σύστη

µα αρίθµησης

:

Πολ

/ζουµε κ

άθε συντελεστή

µε την αντίστοιχη

δύναµη του

rκαι

κάνουµε π

ρόσθεση

(630

.4) 8

= 6

x 82

+ 3

x 81

+ 0

x 80

+ 4

x 8-1

= 38

4 +

24 +

0.5

= (4

08.5

) 10

∆υαδικά Συστήµατα

6

∆υαδικό σύστηµα αρίθ

µησης:

Βρίσκου

µε το

άθροισµα των δυνά

µεων του

2 εκείνων των

συντελεστών που έχουν τι

µή 1

.

(101

0.01

1)2

= 23

+ 21

+ 2-2

+ 2-3

= 8

+ 2

+ 0.

25 +

0.1

25 =

(10.

375)

10

Μετατροπή

∆εκαδικού

Αριθµού

σε

Bάση

rΑκέραιο

Μέρος

Χ=a

nrn

+ a n

-1rn-

1+

...a 2

r2 +

a 1r1 +

a 0Χ

/r=[a

nrn-

1+

a n-1

rn-2

+ ...

a 2r1

+ a 1

]+a 0

/r (a

0<r)

Χ m

od r

= a 0

(X /

r)αποκοπή

= a n

rn-1

+ a n

-1rn-

2+

...a 2

r1 +

a 1

∆ιαδοχικές

∆ιαιρέσεις

µε r

Οι συντελεστές

είναι τα υπόλοιπα

∆υαδικά Συστήµατα

7

Παράδειγµα:Μετατροπή

του

41στο δυαδικό σύστηµα

41 :

2=

20 +

1 /

220

: 2

= 10

+ 0

/ 2

10 :

2 =

5 +

0 /

2(4

1)10

= (1

0100

1)2

5 : 2

=

2 +

1 / 2

2 : 2

=

1 +

0 / 2

1 : 2

=

0 +

1 / 2

Μετατροπή

∆εκαδικού

Αριθµού

σε Αριθµό σε

Bάση

r

Κλασµατικό Μέρος

Χ=a

-1r-1

+ a -

2r-2+

... +

am

r-m

Χ *

r =

a -1+

a-2

r-1+

... +

am

r-(m

-1)

(X *

r)ακέραιο

µέρος

= a -

1

∆ιαδοχικοί

Πολλαπλασιασµοί

µε

r

Οι συντελεστές

είναι

τα ακέραια

µέρη

∆υαδικά Συστήµατα

8

(X *

r)χωρίς α

κέραιο

µέρος

= a -

2r-1+

... +

am

r-(m

-1)

Παράδειγµα:Μετατροπή

του

.687

5 στο δυαδικό σύστηµα

.687

5 x

2=

1 .3

750

.375

0 x

2 =

0 .7

500

.750

0 x

2 =

1 .5

000

(.687

5)10

= (.1

011)

2

.500

0 x

2 =

1 .0

000

Μετατροπή

8-/1

6-αδικού

Αριθµού

σε

∆υαδικό και αντίστροφα

Κάθε οκταδικό

/δεκαεξαδικό

ψηφίο

αντιστοιχεί

σε

3/4 δυαδικά ψη

φία:

Εύκολη

Μετατροπή

& Συµπίεση∆εδο

µένων

Παράδειγµα:

8-αδικό

σε δυαδικό και αντίστροφα

010

110

001

101

011

. 111

100

000

110

∆υαδικά Συστήµατα

9

Παράδειγµα:

16-αδικό σε

δυαδικό

και

αντίστροφα

2

6

1

5

3

.

7

4

0

6

0010

1100

0110

1011

. 111

100

0001

10

2

C6

B

.

F

0

6

Μετατροπή

Βάσης

Αριθµού

: Ανακεφαλαίωση

1) Μετατροπή

από

r-αδικό σε

δεκαδικό:

Πολ

/ζουµε τους σ

υντελεστές

µε τις α

ντίστοιχες

δυνάµεις της

βάσης

r και

προσθέτουµε.

2) Μετατροπή

από

δεκαδικό σε

r-αδικό :

Χωρίζουµε α

κέραιο

και

κλασµατικό

µέρος.

Ακέραιο

µέρος

: διαιρού

µε συνέχεια

µε r και κρατά

µε το υπόλοιπο

.

∆υαδικά Συστήµατα

10

Κλασµατικό

µέρος:

πολ

/ζουµε σ

υνέχεια

µε r και κρατά

µε το

ακέραιο

µέρος

.3)

Μετατροπή

από

8-αδικό

/16-αδικό σε

δυαδικό

:Αντικαθιστού

µε κάθε ψη

φίο

µε το

ν αντίστοιχο

3-ψήφιο

/4-ψήφιο

δυαδικό αριθ

µό.

4) Μετατροπή

από

δυαδικό

σε

8-αδικό/

16-αδικό

:Ο

µαδοποιούµε τα δυαδικά ψη

φία σε

τριάδες/τετράδες

και

αντικαθιστού

µε κάθε

µία

µε το

αντίστοιχο ψη

φίο του

8-/1

6-αδικού

.

Συµπληρώ

µατα

Τα συµπληρώ

µατα

απλοποιούν την πράξη της α

φαίρεσης

:

α) Συµπλήρω

µα ως π

ρος Β

άση

β) Συµπλήρω

µα ως π

ρος Β

άση-

1

Συµπλήρω

µα ως π

ρος Β

άση

r –1αριθ

µού

µε n

ψηφία

∆υαδικά Συστήµατα

11

Α΄=

(rn

–1)

–A

∆εκαδικό

σύστη

µα: (για

4 ψη

φία)

Α΄ =

999

9 –Α

=> αφαίρεση κάθε

ψηφίου του Α

από

το 9

(δεν

υπάρχουν κρατού

µενα

)

∆υαδικό σύστηµα:

Α΄ =

11…

1 –Α

=> αντιστροφή κάθε

ψηφίου

1011

0100

11΄=

0100

1011

00

Συµπληρώ

µατα

Συµπλήρω

µα ως π

ρος Β

άση

r

Ασr

= rn

–A

για

Α ≠

0 και Α

σr =

0 για

Α =

0

Ασr

= rn

–A

–1

+1

= [(

rn –

1) –Α

]+1

= A΄+

1

∆υαδικά Συστήµατα

12

Εύρεση

του συ

µπληρώ

µατος ω

ς προς r

-1 και

πρόσθεση του

1

1011

0100

11σ2

=01

0010

1100

+1

=01

0010

1101

Συµπληρώ

µατα

: Ανακεφαλαίωση

Συµπλήρω

µα ως π

ρος B

άση

r –1:

Αφαιρού

µε κάθε ψη

φίο από το

r–

1.

Συµπλήρω

µα ως π

ρος B

άση

r : ∆υαδικά Συστήµατα

13

1) Βρίσκου

µε το

συµπλήρω

µα ως π

ρος r

–1 και προσθέτου

µε 1

.

ή 2) Αφαιρού

µε το

πρώ

το µη-

µηδενικό

λιγότερο ση

µαντικό ψη

φίο

από το

r και όλα

τα υπόλοιπα περισσότερο ση

µαντικά ψη

φία

από το

r –

1.

Αφαίρεση

µε Συµπληρώ

µατα

Η αφαίρεση δύο αριθ

µών Μ

–Ν

σε βάση

r και µε

n ψη

φία γίνεται ω

ς εξής:

1. Προσθέτου

µε στο

µειωτέο Μ

το συµπλήρω

µα ως π

ρος r

του

αφαιρετέου

οπότε

έχουµε Μ

+ (r

n –

N) =

M –

N+

rn

2.Αν

Μ≥Ν

το άθροισµα θα

έχει τελικό κρατού

µενο

rnτο

οποίο

αγνοούµε

3.Αν

Μ<Ν

το άθροισµα δεν έχει

τελικό

κρατούµενο και ισούται

µε

rn

–(N

–Μ

) το οποίο είναι το συ

µπλήρω

µα ως π

ρος r

του Ν

–Μ

. Με

λήθ

ίβί

ΝΜ

∆υαδικά Συστήµατα

14

συµπλήρω

µα ως π

ρος r

του αθροίσ

µατος β

ρίσκου

µε το

Ν –Μ

µε

πρόσηµο

(–) µπροστά

.Μ

–Ν

= 7

2532

–32

5072

532

(Συµπλ

. 10)

+ 9

6750

1692

82(Αγνοώ

κρατ)

–10

0000

6928

2

Μ –Ν

=32

50 –

7253

2 3250

(Συµπλ

. 10)

+ 2

7468

3071

8(∆εν

υπάρχει

κρατ)

.

–69

282

Προση

µασµένοι

∆υαδικοί Α

ριθµοί

Το πρόση

µο δηλώνεται µε την τοποθέτηση

ενός b

it στην

αριστερότερη θέση

(0=+

, 1=-

)

Τρόποι

Απεικόνισης

Προση

µασµένο Μέτρο

: Το αριστερότερο

bit πρόσηµο

και το υπόλοιπο

είναι το

µέτρο

(απόλυτη

τιµή

)Προση

µασµένο Συ

µπλήρω

µα ως προς

1: Το αριστ.

bit πρόση

µο

και όλος ο

αριθµός

(µε το

πρόση

µο) σε συ

µπλ.

ως π

ρος 1

Προση

µασµένο Συ

µπλήρω

µα ως προς

2: Το αριστ.

bit πρόση

µο

και όλος ο

αριθµός

(µε το

πρόση

µο) σε συ

µπλ.

ως π

ρος 2

∆υαδικά Συστήµατα

15

ςρ

µς(

µρ

ηµ)

µς

ρς

Το Προση

µασµένο Μέτρο

χρησι

µοποιείται

στην συνηθισµένη αριθ

µητική

αλλά

δεν

είναι

εύχρηστο για τον Η

/Υ. Π

ιο εύκολη αναπαράσταση

για

τον Η

/Υ

είναι το Προση

µασµένο Συ

µπλήρω

µα ως π

ρος 2

.

Απεικόνιση

µε 8

ψηφία

του

-9

Προση

µασµένο Μέτρο

: 1

0001

001

Προση

µασµένο Συ

µπλ.

ως προς

1:

111

1011

0

Προση

µασµένο Συ

µπλ.

ως προς

2:

111

1011

1

Αριθµητική Πρόσθεση/Αφαίρεση

Αριθµητική Πρόσθεση

(απαιτεί

σύγκριση προσήµων)

1. Αν τα

πρόση

µα είναι

ίδια

προσθέτου

µε τα

µέτρα

µε τελικό

πρόση

µο το

κοινό

.

2. Αν τα

πρόση

µα είναι

διαφορετικά

αφαιρού

µε από

τον

µεγαλύτερο

τον

µικρότερο

µε τελικό

πρόση

µο αυτό του

µεγαλυτέρου

Πρόσθεση Προση

µασµένου

Συµπληρώ

µατος ω

ς προς 2

∆υαδικά Συστήµατα

16

Απλή πρόσθεση

και

το τελικό

κρατούµενο αγνοείται. Αν

το αποτέλεσµα είναι

αρνητικό

θα είναι σε συ

µπλήρω

µα ως π

ρος 2

. Καµία

µετατροπή

ή σύγκριση δεν

απαιτείται

.

Αφαίρεση Προση

µασµένου

Συµπληρώ

µατος

Αφαίρεση Προση

µασµένου

Συµπληρώ

µατος ω

ς προς 2

(8 ψηφίων)

Πχ

(–6)

–(–

13)

6 =

000

0011

0-6

=

1111

1010

13 =

000

0110

1-1

3 =

1111

0011

∆υαδικά Συστήµατα

17

(–6)

–(–

13)=

1111

1010

–11

1100

11 =

1111

1010

+ 0

0001

101

=

0000

0111

= +

7

∆υαδικοί

Κώδικες

Είναι τρόποι αναπαράστασης

πληροφοριών

µε χρήση

δυαδικώ

ν ψη

φίων

(bits

).

∆υαδικά Συστήµατα

18

Mετατροπή

ενός α

ριθµού

στο

δυαδικό

σύστη

µα ≠δυαδική κω

δικοποίηση

395

∆υαδικός

: 11

0001

011

(9 b

its)

∆υαδική Κωδικοποίηση

BC

D:

0011

100

1 01

01 (1

2 bi

ts)

Οι κώδικες e

xces

s-3,

o 2

4 2

1, o

8 4

-2 -1

είναι αυτό-συ

µπληρω

µατικοί: το

συµπλ

. ως

προς

9 βγαίνει

µε αντικατάσταση των

0 -1

.

Ο κώδικας B

iqui

nary

ανιχνεύει

σφάλµατα

Κώδικες Α

νίχνευσης Σ

φαλµάτων

Τα φυσικά

µέσα

µετάδοσης

επηρεάζονται

από

θόρυβο

και

προκαλούν λάθη

. Για αυτό

χρησιµοποιούνται

οι

κώδικεςα

νίχνευσης

∆υαδικά Συστήµατα

19

κώδικες α

νίχνευσης

σφαλ

µάτων

(π.χ

. pa

rity

bits

).

Η µέθοδος

ισοτιµίας

ανιχνεύει περιττό

αριθ

µό λαθών

Κώδικας G

ray

Οι διαδοχικοί αριθµοί

στον

κώδικα

gra

yµεταβάλλονται κατά

ένα

µόνο

bit.

Χρησι

µοποιείται

όταν κατά

τη

άδάβ

ί

∆υαδικά Συστήµατα

20

µετάδοση

η µετάβαση γίνεται σε

γειτονικούςαριθ

µούς

και

θέλου

µε

να µειώσουµε την

αβεβαιότητα

κατά

την εναλλαγή

.

Αλφαριθ

µητικοί Κ

ώδικες

Κώδικας A

SCII

Περιλαµβάνει:

τα 1

0 δεκαδικά

ψηφία

,

τα 2

6 γράµ

µατα

του

αλφαβήτου

(x2)

,

32 ειδικού ς

∆υαδικά Συστήµατα

21

ςχαρακτήρες

(&,*

,+),

34 χα

ρακτήρες

ελέγχου

Χαρακτήρες

Ελέγχου

∆ιαµορφω

τές Μ

ορφής Κ

ειµένου

(bac

kspa

ce, t

ab)

∆ιαχωριστές

Πληροφορίας

(∆ιαχωριστής

Αρχείων)

Ελέγχου Επικοινωνίας

(STX

, ETX

)

∆υαδική Αποθήκευση και Κ

αταχωρητές

Τα διακριτά στοιχεία

πληροφορίας

αποθηκεύονται σε δυαδικά κύτταρα

(bin

ary

cells

).

Καταχωρητής :

είναι

µία

οµάδα

από

δυαδικά κύτταρα.

01

00

11

00

11

00

∆υαδικά Συστήµατα

22

Το περιεχό

µενο

του καταχωρητή

µπορεί

να ερ

µηνευτεί

µε αρκετούς

διαφορετικούς τρόπους

: Ακέραιος:

9829

, Αλφαριθ

µητικά

: &

eκλπ

∆υαδική Αποθήκευση και Κ

αταχωρητές

Η επεξεργασία

των δεδο

µένων απαιτεί

εκτός α

πό τα

κυκλώ

µατα

επεξεργασίας,

κυκλώ

µατα

αποθήκευσης

των

πληροφοριών.

∆υαδικά Συστήµατα

23

Η επεξεργασία

γίνεται

µε ψη

φιακά

λογικά

κυκλώ

µατα

, ενώ

η συχνότερα

χρησιµοποιού

µενη

δοµήαποθήκευσης

πληροφοριών είναι ο

καταχωρητής

∆υαδική Λογική

Ασχολείται µε

µεταβλητές

που

µπορούν να

έχουν

δύο

µόνο

διακριτές

τιµές, και µε

λογικές π

ράξεις

.Λογικές

Πράξεις

:ΚΑΙ (

AN

D):

X. Y

=1 όταν Χ

=Υ=1

Η (O

R):

X+Y

=1 όταν Χ

=1 ή

Υ=1

ΟΧΙ (ΝΟΤ)

: X΄=

1 όταν

Χ=0

∆υαδικά Συστήµατα

24

Το αριθµητικό Χ

+Υ είναι

διαφορετικό

από

το λογικό Χ

+Υ:

1+1=

10 (αριθµ

), 1+

1=1

(λογικό)

Κυκλώ

µατα

∆ιακοπτών και ∆

υαδικά

Σήµατα

∆υαδικά Συστήµατα

25

Οι χειροκίνητοι διακόπτες

παριστάνουν

δυο

δυαδικές µ

εταβλητές A

και

B

Ο λαµπτήρας

L παριστάνει µία

τρίτη δυαδική

µεταβλητή

Τα δύο

κυκλώ

µατα

εκφράζονται

σε δυαδική λογική

µε τις π

ράξεις

AN

D και

OR

Κυκλώ

µατα

∆ιακοπτών και ∆

υαδικά

Σήµατα

Τα κυκλώ

µατα

ανάλογα

µε τον

τρόπο

κατασκευής

τους

και

τις συνθήκες

λειτουργίας

τους

επηρεάζονται

από

θόρυβο

καθώς η

λειτουργία τους

δεν

είναι απόλυτα

σταθερή

.

∆υαδικά Συστήµατα

26

Πραγµατική εικόνα

λογικών

τάσεων και αντιµετώπισης α

πό τα

λογικά

κυκλώ

µατα

Λογικές

Πύλες

∆υαδικά Συστήµατα

27

∆ιαγρά

µµατα Λογικής

συµπεριφοράς

σηµάτων στον

άξονα του χρόνου

.