Επαλ απο mathematica

1

ΘΘΕΕΜΜΑΑ 11

Σε ένα δείγμα 5 παρατηρήσεων με μέση τιμή x 11 , οι τέσσερις παρατηρήσεις

είναι οι 8,12,14 και 11.

Ε1. Να αποδείξετε ότι η παρατήρηση που λείπει είναι ο αριθμός 10

Ε2. Να βρείτε την επικρατούσα τιμή του δείγματος.

Ε3. Να αποδείξετε ότι το δείγμα έχει τυπική απόκλιση S 2 .

Ε4. Να εξετάσετε εάν το δείγμα είναι ομοιογενές.

ΘΘΕΕΜΜΑΑ 22

Ο βαθμός πρόσβασης του απολυτηρίου 50 μαθητών της Γ΄λυκείου αναγράψεται

στον παρακάτω ελλιπή πίνακα. Αν i

x το κέντρο κλάσης και 2 5

ν 4ν , τότε:

Ε1. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα

Ε2. Να βρεθεί η μέση τιμή

Ε3. Το πλήθος των μαθητών που πήραν τουλάχιστον 16

Ε4. Το ποσοστό των μαθητών που είχαν βαθμό μικρότερο από 14

ΘΘΕΕΜΜΑΑ 33

Δίνονται οι παρατηρήσεις 2,6,7,3,7,x με μέση τιμή 6

Ε1. Να αποδείξετε ότι x 11

Ε2. Να βρείτε την διάμεσο δ , την επικρατούσα τιμή 0

M και το εύρος R

του δείγματος.

Ε3. Να αποδείξετε ότι ισχύει 0 0

3R 2δ M M για τα παραπάνω μεγέθη.

Ε4. Αν όλες οι τιμές που είναι μικρότερες της μέσης τιμής αυξηθούν και

γίνουν ίσες με την μέση τιμή, να υπολογίσετε την μέση τιμή του νέου

δείγματος.

2

ΘΘΕΕΜΜΑΑ 44

Δίνονται οι αριθμοί: 4,5,7,9,8,5,4

Ε1. Βρείτε τη διάμεσό τους.

Ε2. Ποιον αριθμό α πρέπει να προσθέσουμε σε καθέναν από τους

παραπάνω , ώστε η μέση τιμή τους να γίνει 9

Ε3. Αποδείξτε ότι όποιον (ίδιο) αριθμό α και αν προσθέσουμε σε καθέναν

από τους αριθμούς αυτούς, η διακύμανσή τους παραμένει σταθερή.

ΘΘΕΕΜΜΑΑ 55

Οι αριθμοί, 6,7,12,8,α,β (μεα β ) έχουν μέση τιμή 8. Γνωρίζουμε ότι υπάρχουν

δύο επικρατούσες τιμές.

Ε1. Αποδείξτε ότι: α 7,β 8

Για α 7,β 8

Ε2. Υπολογίστε τη διάμεσο των αριθμών.

Ε3. Βρείτε τη διακύμανσή τους.

ΘΘΕΕΜΜΑΑ 66

Σε μια επιχείρηση εργάζονται 50 υπάλλοιλοι, οι οποίοι έχουν μέσο μηνιαίο μισθό

1.120€. Από τους 50 εργαζόμενους, οι 20 είναι γυναίκες και οι30 αντρές.

Ε1. Αν ο μέσος μηνιαίος μισθός των γυναικών είναι 1.000€, να βρείτε τον

μέσο μηνιαίο μισθό των αντρών.

Η ίδια επιχείρηση, τους καλοκαιρινούς μήνες προσελάβε εποχιακό προσωπικό, με

μέσο μισθό αυτών800 €

Ε2. Αν ο μέσος μισθός της επιχείρησης είναι πλεόν 1.000€, να βρεθούν

πόσα άτομα πρεσέλαβε η επιχείρηση για την καλοκαιρινή περίοδο;

3

ΘΘΕΕΜΜΑΑ 77

Δίνεται ο παρακάτω πίνακας κατονομής συχνοτήτων

Ε1. Να συμπληρώσετε τον πίνακα

Ε2. Να βρεθεί η διάμεσος


Ε4. Να βρεθεί το ποσοστό των παρατηρήσεων που οι τιμές τους είναι το

πολύ ίσες με 2

Ε5. Να βρεθεί η διακύμανση

Ε6. Να κρίνεται αν το δείγμα είναι ομοιογενές.

ΘΘΕΕΜΜΑΑ 88

Οι βαθμόι των50 μαθητών της Γ τάξης ενός ΕΠΑΛ παρουσιάζονται στον παρακάτω

πίνακα.

Ε1. Να συμπληρωθεί ο πίνακας

Ε2. Να φτίαξετε το πολύγωνο των αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων

Ε3. Να βρεθεί η διάμεσος

Ε4. Να βρεθεί το ποσοστό των μαθητών που είχε βαθμό τουλάχιστον 12


4

ΘΘΕΕΜΜΑΑ 99

Κατά την αρχή της σχολικής χρονιάς οι 50 μαθητές της τρίτης τάξης ενός Λυκείου

ρωτήθηκαν σχετικά με τον αριθμό των βιβλίων που διάβασαν την περίοδο των

θερινών διακοπών. Σύμφωνα με τις απαντήσεις που δόθηκαν, συντάχθηκε ο

παρακάτω πίνακας:

Ε1. Να υπολογίσετε την τιμή του α .

Στη συνέχεια για α 3 να βρείτε:

Ε2. Τη μέση τιμή του αριθμού των βιβλίων που διάβασαν οι μαθητές.

Ε3. Τη διάμεσο του αριθμού των βιβλίων που διάβασαν οι μαθητές.

Ε4. Πόσοι μαθητές διάβασαν τουλάχιστον 3 βιβλία

Ε5. Τι ποσοστό των μαθητών διάβασε το πολύ 1 βιβλίο

ΘΘΕΕΜΜΑΑ 1100

Δίνεται ο παρακάτω πίνακας κατανομής συχνοτήτων σε κλάσεις ίσου πλάτους (όπου

ix το κέντρο κάθε κλάσης )

Ε1. Να αποδείξετε ότι οι κλάσεις έχουν πλάτος c 4

Ε2. Να αποδείξετε ότι το δείγμα έχει μέγεθος ν 40

Ε3. Να συμπληρώσετε τον πίνακα

Ε4. Να βρείτε την διάμεσο

Ε5. Να βρείτε την επικρατούσα τιμή

5


Ο παρακάτω πίνακας δίνει την διάρκεια ζωής δύο τύπων λυχνίων Α και Β, σε

χιλιάδες ώρες

Μια λύχνιά τύπου Α κοστίζει67,5 €

Ε1. Ποιό τύπο λυχνίας θα προτιμήσετε να αγοράσετε, να μια λύχνιά τύπου Β

κοστίζει: α. 52,8€ , β. 55,72€, γ. 58,7€. Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας

σε κάθε περίπτωση

Ε2. Ποιού τύπου λυχνίες παρουσιάζουν μεγαλύτερη ομοιογένεια ως προς

την διάρκεια λειτουργίας του.


Το παρακάτω δείγμα μαθητών έχει μέσο όρο απουσιών x 4 απουσίες σε διάστημα

μιας εβδομάδας.

Ε1. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό α

Για α 2 , να βρείτε:

Ε2. Τη επικρατούσα τιμή του δείγματος

Ε3. Τη διάμεσο του δείγματος

Ε4. Τον μέσο όρο απουσιών αν στο δείγμα προστεθεί ο Μάκης ,που δεν

απουσιάζει ποτέ από τα μαθήματα

6


Στο διπλανό σχήμα φαίνεται το

πολύγωνο των αθροιστικών

συχνοτήτων των ετών εργασίας ,των

εργαζομένων σε μια εταιρεία. Απο τα

δεδομένα το πολυγώνου να βρεθούν:

Ε1. Πόσους εργάζομενους απασχολεί η εταιρεία.

Ε2. Να κατασκευάσετε πίνακα κατανομής με τις στήλες των i i i i

ν ,N ,f ,F%

Ε3. Να βρεθεί ο μέσος χρόνος εργασίας, των εργαζόμενων στην εταιρεία.

Ε4. Να κατασκευάσετε το ιστογραμμα και το πολύγωνο των σχετικών

αθροιστικών συχνοτήτων της %

Ε5. Να υπολογίσετε την διάμεσο.

Ε6. Να βρεθεί το ποσοστό των εργαζομένων του εργάζονται 6 ή

περισσότερα χρονια στην εταιρεία.

Ε7. Να βρεθεί ο μέσος μισθός των εργαζομένων, αν γνωρίζετε οτι:

• Οι εργαζόμενοι με λιγότερα απο 4 έτη εργασίας έχουν μέσο μηνιαίο μισθό 1.300€

• Οι εργαζόμενoi που εργάζονται 4 ή περισσότερα χρόνια, αλλά λιγότερα απο

8χρονια έχουν μέσο μηνιαίο μισθό 1.600€.

• Οι εργαζόμενοι με 8ή περισσότερα χρόνια έχουν μέσο μηνιαίο μισθό 1.800€


Εξετάσαμε τους πελάτες μιας καφετέριας σχετικά με το χρόνο (σε λεπτά) παραμονής

τους σε αυτή.Τα αποτελέσματα ομαδοποιήθηκαν σε 5 κλάσεις ίσου πλάτους και το

πολύγωνο των συχνοτήτων φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

7

Ε1. Να προσδιορίσετε τις κλάσεις και να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα

συχνότητων

Ε2. Να κατασκευάσετε πινακά κατανομής συχνοτήτων με τις στήλες

i i i iν ,N ,f ,F%

Ε3. Να βρεθεί η μέση τιμή.

Ε4. Να βρεθεί το ποσοστό των πελατών που μένουν στην καφετέρια χρόνο

λιγότερο των 30 λεπτών.


Δίνεται στον παρακάτω πίνακα ένα ομαδοποιημένο δείγμα τιμών.

Ε1. Να υπολογίσετε την διάμεσο δ

Ε2. Να αποδείξετε ότι έχει μέση τιμή x 5

Ε3. Να αποδείξετε ότι έχει διακύμανση 2S x

Ε4. Να εξετάσετε εαν το δείγμα είναι ομοιογενές. Δίνεται ότι 2

2,24 5

8


Στον παρακάτω πίνακα δίνεται η κατανομή συχνοτήτων των βαθμών εξετάσεων

φοιτητών στο μάθημα της Στατιστικής σε μια σχολή ΤΕΙ.

Ε1. Να αποδείξετε ότι o

M δ όπου o

M ,δ η επικρατούσα τιμή και η

διάμεσος του δείγματος αντίστοιχα

Ε2. Να αποδείξετε ότι 2 x

S2

όπου 2S ,x η διασπορά και η μέση τιμή του

δείγματος αντίστοιχα

Ε3. Να εξετάσετε εαν το παραπάνω δείγμα είναι ομοιογενές

Ε4. Αν ο καθηγητής για να βοηθήσει κάποιους φοιτητές κάνει τους βαθμούς

από 4 έως 5 ίσους με 5 , να βρείτε το πλήθος των μαθητών που πέρασαν το

μάθημα

Δίνεται ότι 2

1,41 2 και πως στις σχολές βάση θεωρείται το 5 και άριστα το 10 .


Στον παρακάτω πίνακα δίνονται οι ταχύτητες 400 οδηγών αυτοκινήτων

ομαδοποιημένες σε κλάσεις που κατέγραψε ένα περιπολικό της τροχαίας σε

διάστημα ενός μηνά σε σημείο του δρόμου με ανώτατο επιτρεπόμενο όριο ταχύτητας

τα 110 χιλιόμετρα την ώρα.

Ε1. Να αποδείξετε ότι α 3 .

Ε2. Να βρείτε το ποσοστό των οδηγών που έκαναν παράβαση.

Η τροχαία συμπεριφέρεται στους παραβάτες έως εξής:

9

• Όσοι καταγράφονται να κινούνται με ταχύτητα από 110 έως 120 χιλιόμετρα την

ώρα με παρατήρηση,

• Όσοι κινούνται με ταχύτητα από 120 έως 140 χιλιόμετρα την ώρα με πρόστιμο

100 ευρώ,

•Όσοι κινούνται με ταχύτητα από 140 έως 160 χιλιόμετρα την ώρα με πρόστιμο

200 ευρώ

• Όσοι κινούνται με ταχύτητα από 160 έως 180 χιλιόμετρα την ώρα με αφαίρεση

πινακίδων και πρόστιμο 500 ευρώ.

Ε3. Αν στους παραπάνω παραβάτες, 3 οδηγοί κινούμενοι με ταχύτητες

157,144 και 166 χιλιόμετρα την ώρα απαλλαγούν για διαφόρους λόγους, να

βρείτε τα έσοδα από τις εισπράξεις των προστίμων, θεωρώντας ότι όλα τα

υπόλοιπα πρόστιμα θα πληρωθούν κανονικά.


Εξετάσαμε ένα δείγμα συνδρομητών κινητής τηλεφωνίας σχετικά με τον αριθμό των

κλήσεων που πραγματοποίησαν κατά τη διάρκεια μιας ημέρας και προέκυψαν τα

παρακάτω:

• Oι συνδρομητές πραγματοποίησαν 0,1,2,3,η 4 κλήσεις.

• 10 συνδρομητές πραγματοποίησαν 1 μόνο κλήση.

• Οι συνδρομητές που πραγματοποίησαν 2 κλήσεις είναι τετραπλάσιοι από εκείνους

που δεν πραγματοποίησαν κλήση.

• Το πολύ 2 κλήσεις πραγματοποίησαν 30 συνδρομητές.

• Η γωνία του κυκλικού διαγράμματος που αντιστοιχεί στην τιμή 1

x 0 , είναι 036

• Το ποσοστό των συνδρομητών που πραγματοποίησαν 4 κλήσεις είναι 10%

Ε1. Να βρείτε το μέγεθος του δείγματος v και να κατασκευάσετε πίνακα

κατανομής συχνοτήτων,σχετικών συχνοτήτων i

f καθώς και όλων των

αντίστοιχων αθροιστικών συχνοτήτων.

Ε2. Να βρείτε τη διάμεσο και την επικρατούσα τιμή του δείγματος των

κλήσεων.

Ε3. Να βρείτε τον μέσο αριθμό κλήσεων που πραγματοποίησαν οι

συνδρομητές.

10


Η κατανομή του βάρους (σε κιλά) των 270 μαθητών ενός σχολείου παρουσιάζεται

στον παρακάτω πίνακα:

Ε1. Να βρεθεί το α

Ε2. Να αποδείξετε ότι το μέσο βάρος των μαθητών είναι 72κιλά

Ε3. Πόσοι μαθητές είχαν βάρος τουλάχιστον 72κιλά

Ε4. Τι ποσοστό των μαθητών είχε βάρος μικρότερο από 66 κιλά;

Ε5. Αν καθένα από τα 150 κορίτσια του σχολείου χάσει 3 κιλά και

καθένα από τα αγόρια του σχολείου πάρει 1,5 κιλό , ποιό αναμένετε να είναι

το νέο μέσο βάρος των μαθητών;


Οι ώρες μελέτης 60 φοιτητών στη βιβλιοθήκη

ανά εβδομάδα δίνονται από το διπλανό κυκλικό

διάγραμμα.

Ε1. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα κατανομής συχνοτήτων.

11

Ε2. Να υπολογίσετε την διάμεσο και την μέση τιμή του δείγματος.

Ε3. Στην περίοδο των εξετάσεων, κάθε μαθητής που διάβαζε μέχρι και 10

ώρες αυξάνει το εβδομαδιαίο διάβασμά του κατά 3 ώρες, ενώ οι υπόλοιποι

κατά 2 ώρες. Ποία θα είναι τότε η διάμεσος και ποια η μέση τιμή;


Να υπολογιστεί ο πραγματικός αριθμός α στις παρακάτω περιπτώσεις:

Ε1. f x 2x 3α όταν f (0) f(1) f( 1)

Ε2. 2x α

g x ,x 24x 8

όταν x 1 x 1

2limg x 3 lim g x 5

Ε3. 3x α 1, x 0

h x3 2lnx , x 0

όταν 3h( 2) 2h(e) 4α 5


Να υπολογίσετε τα όρια:

3

3 2x 1

x 3x 2A lim

x x x 1

2x 2

x 2 xB lim

3 x 5

12


Να υπολογίσετε τα όρια:

3x 2

3 x 2 2 5x 1A lim

4x 15x 2

2 x x x

2x 1

2x e 3xe eB lim

x f x xf x

όπου f συνάρτηση συνεχής της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το

σημείο M(1,2012)


Δίνονται οι συνάρτήσεις f (x) x 1 1 και g(x) x 1 3

Ε1. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g

Ε2. Να υπολογίσετε το όριο 2

x 3

f (x) 1lim

x 5x 6

Ε3. Να υπολογίσετε το όριο 3

x 2

2g(x) 4xlim

8 x

Ε4. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης A f(3) 2g(5) f(0)


Δίνεται η συνάρτηση

2

3 2

2

x αx 3α, x 2

x 2x 4x 8

x γ, x 2f (x)

β( x 12 4), x 2

x 2

Ε1. Αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο M( 1,1) , να

δείξετε οτι α 4

13

Για α 4

Ε2. Να υπολογίσετε το x 2lim f(x)

Ε3. Να βρεθεί το x 2lim f(x)

Ε4. Να προσδιορίσετε τις τιμές των β,γ R ώστε η συνάρτηση f να είναι

συνεχής στο 0

x 2


Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια

Ε1. •2

2x 3

x 9lim

2x 9x 9

Ε2. •3 2

2x 2

x 3x 4lim

x 4x 4

Ε3. •2

x 1

x 3 2lim

x 1

Ε4. •2

x 1

x 2 3lim

x 1 x x

Ε5. •x 2

x 1 3 xlim

x 2 2

Ε6. •3

2x 2

x 8lim

x 5 3

Ε7. •4 3 2

2x 1

x 5x 3x 1lim

x x


Δίνεται η συνάρτηση 2

2

x 5x 6f(x)

x x

Ε1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

Ε2. Να βρείτε το όριο x 1lim x 5 2 f(x)

Ε3. Να βρείτε το όριο 2

x 2

f (x)lim

x 4


f (x) f (1),x (1, )

x 1g(x)

α, ,x 1

14

Ε4. Να προσδιορίσετε την τιμή του α R ώστε η συνάρτηση g να είναι


x 1


Να υπολογιστούν οι πραγματικοί αριθμοί α,β στις παρακάτω περιπτώσεις:

Ε1. f x αlnx 2β με x 0 όταν η γραφική παράσταση της f (x)

διέρχεται από τα σημεία (1,6) και (e, 3)

Ε2. 2

αx 2 ,x 3g x

β 2α ,x

1 3

όταν g(3) 2g( 1) 4

Ε3. x 2 3α , 2 x 8

h xβ x 2 ,

x 9

όταν η γραφική παράσταση της

h(x) διέρχεται από τα σημεία 2(2,α 2) και (9,11α)


Δινεται η συνάρτηση

2

2

2x 2x 1 1,x 0

x

α β ,x 0f (x)

x αx β ,x 0



Ε3. Να βρεθούν οι τιμές των α,β R για τις οποιες η f είναι συνεχής στο

0x 0

15

Ε4. Για τις τιμές των α,β R που βρήκατε στο προηγούμενο ερώτημα, να

βρεθεί η αριθμητική τιμή της παράστασης A 2f(0) f(1) f( 1)


Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο:

2

3 2

2

x 1,x 1

x 1

f (x) κx 2μ , 1 x 1

x 6x 7x,x 1

x x

όπου κ,μ R .Υπολογίστε:

Ε1. Τα όρια x 1 x 1lim f(x), lim f(x)

Ε2. Τα όρια x 1 x 1limf(x), limf(x)

Ε3. Τα κ,μ αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R


Ε1. Συμπληρώστε τα παρακάτω κενά:

16

α) x 4lim f(x)

…

β) x 2lim f(x)

…

γ) x 2lim f(x)

…

δ) x 0lim f(x)

…

ε) x 0lim f(x)

…

στ) x 2lim f(x)

…

ζ) x 2lim f(x)

…

η) x 4lim f(x)

Ε2. Βρείτε τα σημεία που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f είναι

ασυνεχής

Ε3. Βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f

είναι συνεχής

Ε4. Βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της συνάρτησης f


Έστω η συνάρτηση

2

2

αx βx 3 ,x 1

3α 6

,

,x 1f x

x β

2 x

x 1

με α,β R

Ε1. Να υπολογίσετε το όριο x 1lim f x


Ε3. Να υπολογίσετε τον πραγματικό αριθμό α ώστε να υπάρχει το

x 1lim f x

Ε4. Για α 2 , να υπολογίσετε τον πραγματικό αριθμό β ώστε η

συνάρτηση f να είναι συνεχής στο o

x 1

17


Έστω συνάρτηση

2

2

α x 3 2, 3 x 1

2x 2

5αf x 2β , x 18

2x 3x 1,x 1

x x

με α,β .

Ε1. Να υπολογίσετε το όριο x 1limf x

.

Ε2. Να υπολογίσετε το όριο x 1limf x

.

Ε3. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό α ώστε να υπάρχει το όριο x 1limf x

.

Ε4. Για α 8 , να βρείτε τον πραγματικό αριθμό β ώστε η συνάρτηση f

να είναι συνεχής στο 0

x 1 .

Ε5. Για α 8 , να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης 2K f( 2) f (2)


Έστω οι συναρτήσεις 2x 3 ,x κ

f x4x 1 ,x κ

και

2

3

f x κ ,x 2g x

4κ 3κ ,x

2

με

κ .

Ε1. Να υπολογίσετε το όριο x κlim f x

Ε2. Να υπολογίσετε το όριο x κlim f x

Ε3. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό κ ώστε η συνάρτηση f να είναι


x κ .

Για κ 1 :

Ε4. να υπολογίσετε το όριο x 2limg x

Ε5. να εξετάσετε εαν η συνάρτηση g είναι συνεχής στο 2

x 2

18


Έστω οι συναρτήσεις

x 53αe 2x ,x 5

f x2ln x 4 3β 2α,x 5

και

2 x

αln x e 2011 ,x 0g x

3 β ,x 0

με α,β R .


.


.

Ε3. Να υπολογίσετε το όριο x 0limg x

.

Ε4. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α και β ώστε να είναι συνεχείς

η συνάρτηση f στο 1

x 5 και η συνάρτηση g στο 2

x 0 .

Ε5. Για α 4 και β 2 , να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης

2K 2f 0 3f e 4 g 0 2012 .



3 2

2

2

x 5x 6x, x 3

x 3x

f (x)

λ x 11 ,x 3

Ε1. Να βρεθούν τα x 3lim f(x)

και

x 3lim f(x)

Ε2. Να προσδιορίσετε τις τιμές του λ R για τις οπόιες η συνάρτηση f

είναι συνεχής στο 0

x 3

Ε3. Για τις τιμές του λ που βρήκατε στο (Ε2) ,να υπόλογίσετε το 2 2

x 5

x (λ 2)x 5lim

x 5

19



5x 10,x 2

x 1 x 7

f (x)

αx 5x 4α ,x 2

Ε1. Να βρεθούν τα x 2lim f(x)

και

x 2lim f(x)

Ε2. Να προσδιορίσετε την τιμή του α R για την οποία η συνάρτηση f

είναι συνεχής στο R

Ε3. Για α 2 να υπολογίσετε το x 1

f (x) f (1)lim

x 1


Δίνονται οι συναρτήσεις 2f (x) 9 x και

x 2g(x)

x 3

Ε1. Να προσδιορίσετε τα πεδία ορισμού των f και g

Ε2. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού και τον τύπο για την συνάρτηση 2

h(x) f (x)·g(x)

Ε3. Να υπολογίσετε το x 3lim h(x)

Ε4. Να υπολογίσετε το x 5

f (x) 2lim

x 5



2

2

3 αx , αν x 1

5x , αν x 1 η x 1f (x)

β, αν x 1

x

20

Ε1. Να βρεθούν τα όρια x 1lim f(x)

και

x 1lim f(x)

Ε2. Να βρεθούν τα όρια x 1limf(x)

και

x 1limf(x)

Ε3. Να προσδιορίσετε τις τιμές των α,β R για τις οποίες η συνάρτηση f

είναι συνεχής στο R

Ε4. Για α 2 και β 5 , να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης

1A f(0) f (2) 4f ( )

2


Θεωρούμε τις συναρτήσεις f x 5x 10,x 2 και 2g x x 3

Να αποδείξετε ότι f 3 h 5h 25,h 5 και 2g 3 h h 6h 12

Ε1. Να υπολογίσετε τα όρια

h 0

f 3 h f 3A lim

h

h 0

g 3 h g 3B lim

h

h 0

f 3 h f 3C lim

g 3 h g 3

h 1

f 3 h f 2D lim

3h g(0)


Να υπολογίσετε το πεδίο ορισμού και την παράγωγο των συναρτήσεων:

Ε1. 2 x 3x 3f(x) x e ημx x lnx 2012

3 x

Ε2. 2 2 4g(x) 4x 3x 2 2x 5x 2 e

Ε3. 2

2

x 3xh(x) xln5

5x 20

Ε4. 2

x

x 3xk(x) 3

e

21


Να εξετάσετε τις παρακάτω συναρτήσεις ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα

Ε1. 3 2

x 5xf(x) 6x 2

3 2

Ε2. 2 xg(x) x e ln3

Ε3. lnx

h(x)x

Ε4. xs(x) e x


Δίνεται η συνάρτηση 3 2f (x) 2x 3x 12x 3,x R

Ε1. Να βρεθούν f και f

Ε2. Να βρεθούν τα x 2

f (x)lim

x 2 2

και

x 1

f (x) f (1)lim

x 1

Ε3. Να βρεθούν τα διαστήματα μονοτονίας και τα τοπικά ακρότατα της f


Δίνεται η συνάρτηση 3 2f (x) 2x αx 12x 1,α R,x R

Ε1. Αν f ( 2) f (1) , να δείξετε οτι α 3

Για α 3

Ε2. Nα μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τοπικά ακρότατα.

Θεωρούμε την συνάρτηση

f (x), x 1

6

g(x)

κx λ ,x 1

Ε3. Να προσδιορίσετε τις τιμές των κ,λ R για τις οποίες η συνάρτηση g

είναι παραγωγίσιμη στη θέση 0

x 1

22


Δίνεται η συνάρτηση 2f (x) αlnx x με f (4) 6

Ε1. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της.

Ε2. Να υπολογίσετε την τιμή του α R

Ε3. Για α 8 , να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα

ακρότατα.

Ε4. Για α 8 , να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης A f(1) f(e)


Δίνεται η συνάρτηση 3 2f (x) x αx 3βx 2,x R

Ε1. Να βρεθούν οι τιμές των α,β R ,αν η γραφική παράσταση της f

διέρχεται απο το σημείο M(1,1) και παρουσιάζει ακρότατο στη θέση x 3

Ε2. Για α 5 και β 1 , να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα

ακρότατα.

Ε3. Για α 5 και β 1 ,να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης

B f(0) 2f(2) f(3)

Ε4. Για α 5 και β 1 , να υπολογίσετε τo όριο x 1

f (x) 1lim

x 1


Δίνεται η συνάρτηση xf (x) αe βx 5,x R και α,β R .Αν η γραφική

παράσταση διέρχεται της f διέρχεται από το σημείο A(0,7) και f (0) 1

Ε1. Nα βρείτε τους α,β R

Ε2. Για α 2 και β 1 , να αποδείξετε ότι για κάθε x R ισχύει

f (x) f (x) 1

Ε3. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα.

Ε4. Να προσδιορίσετε τις τιμές του κ R για τις οποίες ισχύει 2

κ f (x) 3κf (x) 2f (x) 3κ

23


Να υπολογίσετε την παράγωγο των συναρτήσεων:

Ε1. 2f (x) ln(x x 1) log2012 με x

Ε2. 3 4g(x) ημ x lnx με x 0

Ε3. xh(x) 2e 3x με x 0

Ε4. 2

2 x 3x 5x 1k(x) x e e

με x

Ε5. x 1006 el(x) (2e 1) 5 με x

Ε6. x 3m(x) e συν3x 2 με x 0


Δίνεται η συνάρτηση 2 2 π

f (x) αημ x βσυν x,x (0, )2

και α,β R . Αν η γραφική

παράσταση της f διερχεται από το σημείο π 1

A( , )6 2 και

πf ( ) 3

6 , τότε:

Ε1. Να προσδιορίσετε τις τιμές των α,β R

Ε2. Για α 1 και β 1 , να δείξετε οτι η συνάρτηση f είναι γνησίως

αύξουσα στο π

(0, )2

Ε3. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης π π π

A f ( ) f ( ) f ( )4 4 3


Δίνεται η συνάρτηση lnx

f (x) ln( )x


Ε2. Να μελετήθεί η συνάρτηση ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα.

Ε3. Αν α β e να δείξετε οτι β αα β

Ε4. Να συγκρίνετε τους αριθμούς 32 και 3

24


Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα την

συνάρτηση 3

2 3xf x 2x e

3 στις παρακάτω περιπτώσεις

Ε1. x R

Ε2. *x R

Ε3. x 0

Ε4. x 2

Ε5. x 6

Ε6. 1 x 6

Ε7. 4 x 5


Δίνεται η συνάρτηση f : με παράγωγο ημxf x e .

Ε1. Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα η συνάρτηση

f x

Ε2. Να λυθεί η ανίσωση f 2x 3 f 3x 2

Ε3. Να αποδείξετε ότι 2f x 2x f 3x 1

Ε4. Να αποδείξετε ότι f x συνxf x 0


Δίνεται η συνάρτηση lnx

f xx


f x

Ε2. Να αποδείξετε ότι ln3 1

f x3 e

όταν x e,3

Ε3. Να αποδείξετε ότι 2x f x xf x 1 όταν x 0

25


Έστω η συνάρτηση xf x e 3x


Ε2. Να συγκρίνετε τις τιμές f 5 και f 2

Ε3. Να λυθεί η ανίσωση 2

x 2 xe 3x e 3x

Ε4. Να αποδείξετε ότι 3000 4000e 9000 e 12000

Ε5. Να λυθεί η ανίσωση xe 3x e 3


Η συνάρτηση f x xlnx αx με α R παρουσιάζει ακρότατο για x 1 .

Ε1. Να αποδείξετε ότι α 1

Ε2. Να μελετηθεί η f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα

Ε3. Να αποδείξετε ότι xlnx x 1 όταν x 0

Ε4. Να αποδείξετε ότι 2010ln2010 2010 2011ln2011 2011


Θεωρούμε την συνάρτηση 3 2

x xf x 2011

3 2 με α R

Ε1. Να μελετηθεί η f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα

Ε2. Να αποδείξετε ότι f x 2011 όταν x ,1

Ε3. Να αποδείξετε ότι f 2008 f 2009

Ε4. Να συγκρίνετε τις τιμές f e και f π


Δίνεται ορθή γωνία xOy και το ευθύγραμμο τμήμα AB μήκους 10μ . Τα άκρα

του οποίου A και B ολισθαίνουν πάνω στις πλευρές Oy και Ox αντίστοιχα.

26

Το σημείο B κινείται με ταχύτητα u 2m / s και η θέση του πάνω στον άξονα Ox

δίνεται από την συνάρτηση s(t) ut,t [0,5] , όπου t ο χρόνος σε sec

Ε1. Να βρεθεί το εμβαδόν E(t) του τριγώνου OAB ως συνάρτηση του t

Ε2. Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του E(t) , τη χρονική στιγμή που το

μήκος του OA είναι 6m


Ε1. Να αποδείξετε οτι από όλα τα ορθογώνια με περίμετρο 50m , το

μεγαλύτερο εμβαδόν έχει το τετράγωνο.

Ε2. Να αποδείξετε οτι από όλα τα ορθογώνια με εμβαδόν 2400m , τη

μικρότερη περίμετρο έχει το τετράγωνο.

Ε3. Αν ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει υποτείνουσα 10cm , να υπολογίσετε τις

κάθετες πλευρές του ώστε να έχει το μέγιστο εμβαδόν.


Η θερμοκρασία μιας περιοχής σε βαθμούς κελσίου, ως συνάρτηση του χρόνου t σε

ώρες δίνεται από την σχέση 3 2θ(t) t 9t 10t c,0 t 8

Ε1. Να προσδιορίσετε την τιμή της σταθεράς c , αν γνωρίζετε οτι την

χρονική στιγμή t 0 η θερμοκρασία ήταν 016C

Ε2. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της θερμοκρασίας στο τέλος της

τέταρτης ώρας

Ε3. Να βρείτε την ώρα με το μέγιστο ρυθμό μεταβολής.



2

3

2x β ,x 2

f (x)

2αx 11α ,x 2

με α,β R

27

Ε1. Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τα α,β R ώστε η f να είναι συνεχής

στο 0

x 2

Ε2. Να προσδιορίσετε τις τιμές των α,β R για τις οποίες η f είναι

παραγωγίσιμη στο 0

x 2

Ε3. Για 1

α3

και β 1 να υπολογίσετε το h 0

f (1 h) f (1)lim

h


Δινεται η συνάρτηση 3 21 5

f(x) x x 6x,x R3 2

Ε1. Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα.

Ε2. Δινεται επίσης η συνάρτηση 2g(x) αlnx x βx,x 0 με α,β R

Ε3. Να προσδιορίσετε τις τιμές των α,β R , ώστε η συνάρτηση g να

παρουσιάζει τοπικά ακρότατα στις ίδιες θέσεις με την συνάρτηση f

Ε4. Για α 12 και β 10 , να μελετήσετε την συνάρτηση g ως προς την

μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα.

Ε5. Για α 12 και β 10 , να υπολογίσετε το x 3

xg (x)lim

x 6 3


Δίνεται η συνάρτηση 3 2f (x) x αx 9x β , όπου α,β R

Ε1. Αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο Μ(2,5) και ο

ρυθμός μεταβολής της στο σημείο αυτό είναι ίσος με 15 , να αποδείξετε ότι

α β 3 .

Ε2. Για α β 3 , να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης g(x) f (x) 10


Δίνεται η συνάρτηση f : ώστε : 2f (x) (x 1) (x 2)

Ε1. Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα.

Ε2. Να βρεθεί μία παράγουσα της συνάρτησης f .

28


Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο αx

3 2 1

1 1 1f x e

x x x

, α R .

Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από το σημείο A(1,4)


Ε2. Να βρεθεί η τιμή του πραγματικού αριθμού α

Ε3. Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία στο 0,

Ε4. Να λύσετε την εξίσωση f x f x f x f x 2


Ε1. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό α ώστε η συνάρτηση

2

31 αxf x x 4x 2012

3 2 να είναι γνησίως μονότονη στο R

Ε2. Να βρείτε το σημείο της γραφικής παράστασης της

συνάρτησης 3 2

x xf x 2012

3 2 ,στο όποιο ο ρυθμός μεταβολής της

γίνεται μέγιστος

Ε3. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό λ ώστε το ελάχιστο της

2f x x 2λx 2λ 2012 να γίνεται μέγιστο


Θεωρούμε την δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο R που παρουσιάζει

ακρότατο στο σημείο (1,2012) , την παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση g(x) της

οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο (2012,51) καθώς και τις

συναρτήσεις h(x) g(f(x)) με x R και k(x) f(x)lnx με x 0 .

Να υπολογίσετε τις τιμές

Ε1. f (1) και f (1) Ε2. h(1) και k(1)

29

Ε3. h (1) και k (1) Ε4. k (1)


Θεωρούμε τις συναρτήσεις 2 xf x ημx,g x f x ,h x e f 3x

Ε1. Να υπολογίσετε το όριο

x 0

g x f xlim

f x

Ε2. Να αποδείξετε ότι g x 4g x 2 για κάθε x R

Ε3. Να αποδείξετε ότι h x 2h x 10h x 0 για κάθε x R

Ε4. Να βρείτε την παράγουσα της f που διέρχεται από την αρχή των

αξόνων.


Δίνεται η συνάρτηση αxf (x) e β με α,β R .

Ε1. Να προσδιορίσετε τις τιμές των α,β R , αν γνωρίζεται οτι f (0) 1

και f (0) 1

Για α 1 και β 0

Ε2. Να λύθεί η εξίσωση 2κ f (x) 2κf (x) f(x) 0

Ε3. Από σημείο M(x,y) της γραφικής παράστασης της f , με x 0 ,

φέρνουμε ευθείες παράλληλες προς τους άξονες x x και y y , οι οποίες

σχηματίζουν με τους θετικούς ημιάξονες ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Να

προσδιορίσετε τις συντεταγμένες του σημείου M , ώστε το εμβαδόν του

ορθογωνίου να γίνεται μέγιστο.

Ε4. Να βρεθεί η παράγουσα F της f που διέρχεται από το σημείο

K(0,2012)



2x 1f(x) αx βx

3 3 , με α,β R .

30

Ε1. Αν η συνάρτηση f παρουσιάζει ακρότατα στις θέσεις 1

x 2 και

2x 3 , να δείξετε οτι

5α

2 και β 6 .

Για 5

α2

και β 6

Ε2. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα.

Ε3. Να υπολογιστεί το όριο x 2

f (x)lim

x 2 2

Ε4. Να βρεθεί η παράγουσα F της f ,που διέρχεται από την αρχή των

αξόνων.


Θεωρούμε την συνάρτηση αxf x e x 3 με α R .Αν ισχύει ότι αx

e x 3 4

για κάθε x R :

Ε1. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το

σημείο (0,4)

Ε2. Να αποδείξετε ότι α 1

Ε3. Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα η συνάρτηση f

Ε4. Να αποδείξετε ότι xe x 1

Ε5. Να συγκριθούν οι τιμές της f για 1

8x

9 και

2

7x

8


Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα

Ε1. 1

3

0

x ημx συνx dx

Ε2. e 2

1

x x 1dx

x

Ε3. 2

1

3x xdx

Ε4. 1 3

0

x 8dx

x 2

Ε5. e

x

1

3e συν2x dx

x

31



Ε1.

π

3

2 2

π

4

1 1dx

συν x ημ x

Ε2. 1

0

x 3dx

x 1

Ε3. 1

x

0

x·e dx

Ε4. 1

0

x·ημxdx

Ε5. 1

x

0

e ·ημxdx



Ε1. e

2 x

0

x ·e dx

Ε2. 2

20

xdx

x 1

Ε3.

π

3

π

4

ημxdx

συνx

Ε4.

π

3

π

4

ημxdx

συνx

Ε5.

π

2

0

συνxdx

1 ημx



Ε1. π

2

π

2

1ημ( )

x dxx Ε2.

π

2

0

x·ημ2xdx

32

Ε3. 1

x

0

e ·συνxdx Ε4.

π

2

0

ημ3xdx



Ε1. 1

2

0

3xdx

x 1 Ε2. e

1

dnx

1x

xl Ε3. 1 x

x

0

edx

e 2012



Ε1. 2

1

3x 2 5x 1 dx

Ε2. 2 2

2

3

3x 2x 6dx

3x

Ε3. e

1

lnxdx Ε4. 2

3

1

x lnxdx

Ε5.

π

2

0

xσυνxdx


Θεωρούμε την δυο φορές παραγφωγίσιμη συνάρτηση f (x) με συνεχή δεύτερη

παράγωγο στο R με xf x 2e ,για την οποία ισχύει πως f 0 5 και

1

0

f x dx 3 .

Ε1. Να αποδείξετε ότι 1

0

f 0 f 0 f x dx

Ε2. Να βρείτε την συνάρτηση f x

Ε3. Να βρείτε την συνάρτηση f x

33

Ε4. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 1

0

xf x dx


Θεωρούμε τις συναρτήσεις 2

x 4xg x e 3

και 2

x 4xf x 2 x 2 e

Ε1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g x είναι παράγουσα της f x

Ε2. Να βρείτε την παράγουσα της f x που διέρχεται από το σημείο

A(0,1 e)


1

2f x dx


2

3 g x dx


x

0

e g x dx


Αν για την f (x) με συνεχή πρώτη παράγωγο στο R ισχύει ότι 4

1

f x dx 2 και

4

0

f x dx 1

Ε1. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα 1

0

I f x dx και

1

x

0

J 3f x e dx

Ε2. Να αποδείξετε ότι 1

0

xf x dx f 1 3

Θεωρούμε την παράγουσα g της f , της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται

από την αρχή των αξόνων.

34

Ε3. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης g(4)

g(1)

K 2g(4) 3g(1) 2dx 201


Αν οι συναρτήσεις f ,g είναι συνεχής στο R και ισχύουν

4 5 5

1 1 4

f (x)dx 1, f (x)dx 2, g(x)dx 1, να υπολογίσετε την τιμή των ορισμένων

ολοκληρωμάτων

Ε1. 1

4

f (x)dx

Ε2. 5

4

f (x)dx

Ε3. 5

4

3g(x)dx

Ε4. 5

4

2f (x) 3g(x) dx

Ε5. 5

4

2f (x) 2x dx

Ε6. 5

4

1g(x) dx

x

Ε7. 5

x

4

g(x) e 1 dx


Ε1. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f : R R , για την οποία

γνωρίζουμε f (x) 6x,x R και

2

1

f (x)dx 12


2

1

3x f(x) 5f (x) dx

Ε3. Να υπολογίσετε τα όρια 2

x 0

f (x)lim

x x και

3x 1

f (x) f (1)lim

x x


35

Ε1. Αν η γραφική παράσταση της h που έχει συνεχή πρώτη παράγωγο στο

R διέρχεται από τα σημεία A(1,20 e) και B(2,e 3) , να υπολογίσετε το

ολοκλήρωμα 2

1

h x dx

Ε2. Αν η συνάρτηση g με συνεχή δεύτερη παράγωγο στο R παρουσιάζει

τοπικό ακρότατο για x 2 και ισχύει ότι 2

1

4g x 2x 3 dx 4

, να

υπολογίσετε το ρυθμό μεταβολής της g(x) για x 1

Ε3. Αν η συνάρτηση f με συνεχή δεύτερη παράγωγο στο R παρουσιάζει

τοπικό ακρότατο για x 1 με τιμή 3 ,ισχύει πως

1

x

0

5f x 2f x 3e dx 2012 και η γραφική παράσταση της f (x) διέρχεται

την αρχή των αξόνων,να υπολογίσετε την τιμή της f (x) για x 0 .


Δίνεται η συνάρτηση x

f (x)lnx

Ε1. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

Ε2. Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα

Ε3. Να συγκριθούν οι αριθμοί 1

fe

και 2

fe

Ε4. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα

2e

2

e

1 1dx

lnx ln x


Να υπολογιστεί το εμβαδόν που περικλείεται από τον άξονα x'x ,τη γραφική

παράσταση f

C της:

Ε1. 2f (x) 3x 2x 1 και τις ευθείες x 0 και x 1

36

Ε2. x 1

f (x)x 1

και τις ευθείες x 1 και x 2

Ε3. lnx

f (x)x


Ε4. xf (x) xe



Να υπολογιστεί το εμβαδόν που περικλείεται από τον άξονα x'x ,την γραφική


C της:

Ε1. 2f (x) x 4

Ε2. 3f (x) x x

Ε3. xf (x) x(e e)


Να υπολογιστεί το εμβαδόν που περικλείεται από τον άξονα x'x ,την γραφική


C της:

Ε1. 3f (x) x 1 και την ευθεία x 0

Ε2. f (x) lnx και την ευθεία 1

xe

Ε3. 2f (x) x 1 και την ευθεία x 2

Ε4. 2f (x) x x και την ευθεία x 1


Να υπολογιστεί το εμβαδόν που περικλείεται από τη γραφική παράσταση f

C της:

Ε1. 2f (x) x και την ευθεία y 1

Ε2. 2

f (x)x

και την ευθεία y x 3

37


Να υπολογιστεί το εμβαδόν που περικλείεται από την γραφική παράσταση f

C και

gC των συναρτήσεων :

Ε1. 3f (x) x και 2

g(x) x

Ε2. 2f (x) x και g(x) x


Δίνονται οι συναρτήσεις 3 2f x 12x 12x και 3

g x 12x 12x . Να υπολογίσετε

το εμβαδόν του χωριου που περικλείεται μεταξύ:

Ε1. Της f

C και του άξονα x΄x

Ε2. Της f

C και του άξονα x΄x ,του άξονα y΄y και της ευθείας x 2

Ε3. Της g

C και του άξονα x΄x

Ε4. Της f

C και της g

C

Ε5. Της f

C , της g

C , της ευθείας x 1 και της ευθείας x 2.

Ε6. Όπου f

C είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f x και g

C

είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης g x


Δίνεται η συνάρτηση x

2x 2 ,x 0f x

2e ,x 0

Ε1. Να αποδείξετε οτι f είναι συνεχής στο o

x 0

Ε2. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα

1

2

f (x)dx

Ε3. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την

γραφική παράσταση της f , τον άξονα x x και τις ευθείες x 2 και x 1

Ε4. Να βρείτε την μέση τιμή και την διάμεσο των τιμών

f( 1),f (0),f (1),f ( 1),f (1)

Επαλ απο mathematica

Documents

Transcript of Επαλ απο mathematica