- MATEMÁTICA I: Apuntes de Cátedra

Universidad Nacional de Formosa Matemática I

Facultad de Ciencias de la Salud U.3: Matrices

UNaF – Facultad de Ciencias de la Salud – Año Académico 2020 - Matemática I – Apuntes de cátedra Material elaborado y/o recopilado por el Esp.- Prof. Jorge Mora

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE FORMOSA

FACULTAD DE CIENCIAS DE LA SALUD

CARRERAS:

- Técnico en Laboratorio de Análisis Clínico

- Licenciatura en Bromatología

ASIGNATURA

- MATEMÁTICA I: Apuntes de Cátedra

UNIDAD 3: Matrices

INTEGRANTES DE LA CÁTEDRA

Profesor Adjunto Ordinario (a Cargo de la Cátedra): Esp-Prof. Jorge Mora

Profesor Adjunto Interino: Esp-Prof. Mario E. Quintana

Jefe de Trabajos Práctico Interino: Prof. Teresa E. Cardozo

Jefe de Trabajos Práctico Interino: Prof. José H. Pereira




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Unidad N° 3: Matrices

Hamilton (irlandés), Sylvester (inglés) y Cayley (inglés) introdujeron a mediado del siglo XIX

el concepto de matriz y con él designaron un arreglo o caja rectangular de números. Posteriormente

estudiosos norteamericanos y europeos, estudiaron el pase del álgebra de matrices al álgebra lineal. Naciendo así los conceptos de transformaciones lineales y espacios vectoriales y aparecen los entes

matemáticos: vectores y espacios vectoriales entre otros.

Sylvester en 1850 llamó MATRIZ a una disposición rectangular de números.

Otros matemáticos como Frobenius, Hermite, Jordan entre otros, han contribuido notablemente al desarrollo del álgebra de matrices.

Concepto: Para arribar al concepto de matrices partiremos de dos intervalos naturales iniciales:

Im = {1, 2, ..., m} y In = {1, 2, ..., n}

Realizando con ellos el producto cartesiano Im x In. Por definición de producto cartesiano

obtenemos un conjunto formado por los pares ordenados que resultan de ese producto, a tal conjunto se

lo designa con X

X = Im x In = {(1, 1); (1, 2); ...; (1, n); ...; (i, j); ...; (m, n)}

tal que o(X) = m x n “el cardinal del conjunto X es igual a m x n”

Si al conjunto X se lo considera Dominio de la función f: X K/ f le asigna como imagen a

cada par que pertenece X un escalar de K.

f: X K/ f(i;;j) = aij o f: Im x In K

Con la notación aij se designa al elemento de K que es imagen del par (i, j) / (i, j) pertenece al

Im x In. Entonces por la definición de la función f, resultará: f(i;j) = aij.

Dominio de la función: X = {(i, j) / i = 1, 2...,m; j = 1, 2, ...n}

Codominio o imagen de la función: I / I K

I = {aij / aij K f(j; j) = aij}

La regla de formación o asignación f(i;j) = aij que define los elementos de la imagen de la

función, no necesariamente debe responder a una fórmula matemática conocida, tampoco debe

depender de los valores de los subíndices i,j. Puede afirmarse que por lo general esa regla es arbitraria.

La función f : Im x In K recibe el nombre

de matriz de clase mxn. No se impone a la función f la condición de

ser función inyectiva ni sobreyectiva.




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Al conjunto imagen se lo puede escribir en forma de cuadro, ese cuadro contendrá los mxn elementos, dispuestos en m filas y n columnas, de forma tal que cada fila esté formada por los

elementos que son imágenes de los pares ordenados que tienen la misma primera componente y cada

columna contendrá los elementos que son imágenes de los pares ordenados que tienen la misma

segunda componente. Simbólicamente se designa con M (u otra letra de imprenta mayúscula) al conjunto imagen, a

los elementos de ese conjunto se los encierra entre paréntesis o corchetes.

mna . . . mj

a . . . m2a m1a

.....................................

ina . . .

ija . . .

i2a

i1a

.....................................

2na . . . 2j

a . . . 22a 21a

1na . . . 1j

a . . . 12a 11a

M a f(i;,j) = aij se lo denomina elemento genérico

A la Matriz M también se la puede simbolizar mediante M = [aij] mxn, ó M Kmxn

Los subíndices de cada elemento expresan el número de la fila y de la columna a la que

pertenecen: así aij que pertenece a M es elemento de la fila i-ésima y de la columna j-ésima, y es la

imagen del par (i,j) a través de la función f. Por ejemplo: a21 es elemento de la 2da fila 1ra columna

EJEMPLO: supongamos m = 2 n = 3 y f(i,j) = i . j

Dominio de la función: X = {(i, j) / i = 1, 2 j = 1, 2, 3} = {(1, 1); (1, 2); (1, 3); (2, 1); (2, 2); (2, 3)}

Codominio o imagen de la función: I = {1, 2, 3, 4, 6}

f(1, 1) = 1 . 1 = 1 f(2, 1) = 2

f(1, 2) = 2 f(2, 2) = 4

f(1, 3) = 3 f(2, 3) = 6

El cuadro que representa a la matriz será:

M K2x3

, se lee: “matriz M de clase 2 por 3”

Matriz: función: ImxIn K que puede escribirse como un conjunto ordenado de números,

dispuestos en m filas y n columnas.

Orden de una matriz: está dado por el número de filas y columnas que la forman.

M = [a ij] mxn M Kmxn

6 4 2

3 2 1 M




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Las matrices como tablas de doble entrada: las matrices suelen utilizarse para organizar

sistemáticamente información de carácter estadístico útil para la toma de decisiones.

EJEMPLO: Un investigador efectúa un experimento repetidas veces bajo diversas

condiciones utilizando diferentes tratamientos. Si al número de tratamientos lo simbolizamos con “m” y

al número de medidas en cada tratamiento, “n”.

Las variables discretas o índices serán:

i = número de tratamiento

j = número de medida

aij: es la j-ésima medida del i-ésimo tratamiento.

La tabla de medidas de los tratamientos será la matriz cuyo elemento de lugar (i,j) es aij.

Tabla:

Tratamiento

Nº medida número

j = 1 j = 2 j = 3 j = 4

i = 1 0,9 1,1 1,3 1,9

i = 2 0,8 0,9 1,2 1,7

i = 3 1,0 1,4 1,7 2,1

Matriz:

2,1 1,7 1,4 1,0

1,7 1,2 0,9 0,8

1,9 1,3 1,1 0,9

T T K3x4

Otro EJEMPLO de aplicación de Matriz:

La empresa comercial "Reactivos S XXI", registra sus ventas mensuales de reactivos de acuerdo con la siguiente clasificación: reactivo A, reactivo B y reactivo C. Al elaborarse el informe para

el primer bimestre de actividades del año en curso, se han registrado los siguientes datos de venta; los

mismos están expresados en miles de pesos.

Reactivo A Reactivo B Reactivo C

Enero 10,4 5 9,1

Febrero 12 6,5 10

El resumen, los valores se pueden representar en la matriz:

10 6,5 12

9,1 5 10,4 A

CLASIFICACIÓN DE MATRICES Algunas matrices presentan características particulares en la disposición o naturaleza de sus

elementos. En función a estas características podemos clasificar a las matrices de la siguiente forma:

I) Si A Kmxn es m = n A es matriz cuadrada.




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Las matrices cuadradas se pueden clasificar entre otras en: superior

triangular

inferior

diagonal o casi escalar

Matrices cuadradas escalar

identidad

simétrica

antisimétrica

II) Si A Kmxn es m n A es matriz rectangular.

Matrices rectangulares

n m si r verticalrectangula

n m si horizontalr rectangula

Nula,

Opuesta

Conjugada

III) Otras matrices especiales (nómina no exhaustiva): Hermitiana Regular

Singular

Inversible Adjunta

I) Matriz cuadrada

Si m = n, la matriz AKmxn se llama matriz cuadrada y tiene igual número de filas que de columnas.

Si m = n = 3 es A = [aij]3x3 =

333231

232221

131211

a a a

a a a

a a a

A K3x3

A es de clase n x n; o matriz cuadrada de orden n. Ejemplo:

0,8- 13-

25 0,15 B

Generalizando: A = [aij]nxn o A Knxn o

nnn2n1

1n1211

a . . . . . a a

. . . . . . . . . . . . . .

a . . . . . a a

En las matrices cuadradas tiene particular interés la diagonal principal, que es la diagonal que

va del vértice superior izquierdo al vértice inferior derecho y está formada por los elementos a ij en los que i = j.

D = {aij /i = j} D = {a11; a22; ... ;ann} subconjunto ordenado del conjunto imagen de la matriz.

Los elementos de la diagonal principal se simbolizan: aij con i = j = 1, 2, . . . , n

En A = [aij]3x3 es D = {a11; a22; a33}




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En estas matrices la diagonal secundaria es la que va desde el vértice inferior izquierdo al vértice superior derecho.

Los elementos aij y aji elementos de subíndices permutados son simétricos respecto a la diagonal principal y reciben el nombre de elementos conjugados, los que están en la diagonal principal

son conjugados de sí mismo.

Entre las matrices cuadradas trataremos A: matriz triangular superior, matriz triangular inferior, matriz diagonal, matriz escalar, matriz identidad, simétrica y matriz antisimétrica.

La matriz de clase 1 x 1 se identifica con un escalar.

Matriz triangular superior: todos los elementos bajo la diagonal principal son nulos.

A = [aij] nxn es triangular superior aij = 0 i > j Ejemplo A =

1- 0 0

2 5- 0

5- 0 2

Matriz triangular inferior: A = [aij] nxn es triangular inferior aij = 0 i < j Ejemplo A =

4 9 1-

0 1 2

0 0 5-

Matriz diagonal o casi escalar: matriz que tiene nulos a todos sus elementos no pertenecientes a la

diagonal principal.

A = [aij] nxn es diagonal aij = 0 i j

A es diagonal

j i si 0 a

j i si 0 a

ij

ij Ejemplo A =

2 0 0

0 7- 0

0 0 5

Matriz escalar: matriz diagonal en la que todos sus elementos diagonales son iguales.

A = [aij] nxn es escalar

j i si a

j i si 0 a

ij

ij

Ejemplo A =

2 0 0

0 2 0

0 0 2

Matriz unidad o matriz identidad: matriz en la que sus elementos diagonales son iguales a la unidad.

A = [aij] nxn es matriz unidad

j i si 1 a

j i si 0 a

ij

ij Ejemplo A =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Suele escribirse [1]nxn

Matriz simétrica: matriz cuadrada en la que aij = aji i, j, Ejemplo M =

1 2

2 1- m21 = m12

Las matrices: diagonales, escalares y la unidad son simétricas.

Matriz antisimétrica: Es la matriz A= [aij]nxn en la que:i j:

j i si 0 a

j i si a- a

ij

jiij Ejemplo R=

0 5 2-

5- 0 6-

2 6 0

La definición de matriz antisimétrica implica que los términos de la diagonal principal sean nulos.




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II) Matriz rectangular

Si m n, la matriz A = [aij]mxn se llama matriz rectangular. Todas las matrices que no son

cuadradas son rectangulares.

Si m n y en A = [aij] mxn es m > n A es matriz rectangular vertical.

A=[aij]3x2 A =

32

a 31

a

22a

21a

12a

11a

Si m n y en A = [aij] mxn es m < n A es matriz rectangular Horizontal

A=[aij]2x3 A =

23a

22a

21a

13a

12a

11a

Vector nulo: vector fila o vector columna con todos sus elementos ceros. 0 ... 0 0 o

0...00

Vector unidad: Es el vector fila donde el j-ésimo componente es la unidad y todos los demás

elementos son nulos. l1 = 0 ... 0 0 1

l2 = 0 ... 0 1 0

. . . . . . . . . . . . . . . . .

ln = 1 ... 0 0 0

Si consideramos vectores columnas, el vector unidad es aquel en el que el i-ésimo elemento es la unidad y todos los demás elementos son nulos.

l1 =

0...001

. . . . . . . . . . . . . .lm =

1...000

III) OTRAS MATRICES ESPECIALES

Matriz nula: matriz en la cual todos sus elementos son nulos.

A = [aij]mxn es nula aij = 0 i j Suele escribirse: N = 0 = [nij]mxn con nij = 0, i j

Matriz inversa aditiva u opuesta: A = [aij]mxn es inversa aditiva u opuesta de B = [bij]mxn

bij = - aij i j B = -A, es decir, los elementos de B son opuestos a los elementos de A.

Reemplazando la matriz B tendremos: A = [aij]mxn y - A = [-aij]mxn matrices opuestas




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Matriz traspuesta: Sea la matriz A = [aij]mxn la traspuesta de A será la matriz de clase n x m que se

obtiene intercambiando filas por columnas o viceversa sin alterar el orden relativo de los elementos. A

esa nueva matriz la identificaremos At.

A = [aij]mxn tiene su traspuesta en At = [aij]nxm.

Propiedades de la matriz traspuesta

1) (a A) t = a . A t 2) (A + B) t = A t + B t 3) (A . B) t = B t . A t

Relaciones entre matrices

Igualdad de Matrices: A = [aij]mxn y B = [bij]rxs son iguales satisfacen las siguientes condiciones:

i) son del mismo orden ( s n r m )

ii) los elementos correspondientes son iguales ij

b ij

a

OPERACIONES ELEMENTALES SOBRE UNA MATRIZ A Km x n

Sea A K mxn, las operaciones elementales que pueden realizarse sobre ella son:

1) Intercambio o permutación de 2 líneas paralelas entre si.

2) Adición de una línea al múltiplo otra paralela y reemplazo de una de ellas por la resultante. 3) Multiplicación o división de una línea por un escalar no nulo.

Al efectuar estas operaciones sobre una matriz obtenemos otra matriz que es equivalente a la dada.

B ~ A B se obtiene efectuando un número finito de operaciones elementales sobre A.

B ~ A: se lee B es equivalente a A.

Sea A K mxn A1, A2 . . . Am son sus vectores filas.

Se llama operación elemental de filas sobre A a toda matriz obtenida por operaciones del tipo:

A =

m

j

i

2

1

A

A

A

A

A

A* = B =

m

i

j

2

1

A

A

A

A

A

A =

m

i

2

1

A

A

A

A

A* = B =

m

i

2

1

A

Ak

A

A

k 0

Intercambio y de 2 filas entre sí. Producto de una fila por un escalar.

A =

m

j

i

2

1

A

A

A

A

A

A* =

m

ji

i

2

1

A

KA A

A

A

A

Las matrices que se obtienen al realizar las operaciones elementales sobre las líneas de A se llaman matrices elementales.

Suma de una fila (Ai) a otra (Aj) multiplicada por

un escalar (k) y reemplazo en (Aj).

En símbolos:

ij

b ij

a

s n r m B A

ji




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Equivalencia de matrices

Sean A Kmxn B Kmxn, podemos decir que A es equivalente a B y expresar A ~ B, sí y sólo si B se obtiene efectuando un número finito de operaciones elementales sobre A.

Equivalencia de matrices: goza de las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva.: ~ es una

relación de equivalencia establecida en Km x n.

Ejemplo:

A=

473

452

121

710

610

121

100

610

121

100

010

021

100

010

001

= B

OPERACIONES ENTRE MATRICES

1.- Adición de matrices: Dadas las siguientes matrices, todas pertenecientes a Kmxn :

A = [aij]mxn B[bij]mxn ........ K = [kij]mxn

Se define suma de estas matrices a la matriz S/ S Kmxn , cuyos elementos se obtienen sumando los elementos correspondientes de las matrices A, B ... K

S = [Sij]mxn = [aij + bij + . . . + kij]mxn

S =

mnm2m1

1n1211

S SS

.

.

.

S. . . SS

=

mnm1

1n11

a. . . a

a. . . a +

mnm1

1n11

b. . . b

b. . . b + . . . +

mnm1

1n11

k. . . k

k. . . k

Ejemplo: A =

6 0

3 1

2 3-

B =

2 1-

1- 0

3 1

C =

5 3

5 4

3- 2-

S =

13 2

7 5

2 4-

Propiedades de la suma de matrices:

1) Propiedad de cierre o clausura

A Kmxn B Kmxn A + B = S S Kmxn

2) Propiedad asociativa: (A + B) + C = A + (B + C)

3) Existencia elemento neutro: 0 Kmxn / A + 0 = 0 + A = A A Kmxn

4) Existencia del inverso aditivo: A Kmxn; (-A) Kmxn / (-A) + A = A + (-A) = 0

5) Propiedad conmutativa: A + B = B + A

F2 + (– 2). F1 en F2 F3 + (– 3). F1 en F3

F3 + (–1). F2 en F3

F1 + F3 en F1

F2 + (– 6). F3 en F2

Combinaciones

de operaciones

elementales

sobre A para

obtener B

F1 + (–2). F2 en F1




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2.- Diferencia de Matrices

Sean A = [aij]mxn B = [bij]mxn se define la diferencia A – B como la matriz D = [dij]mxn cuyas

componentes se obtienen sumando a los elementos de la matriz A los elementos correspondientes de la matriz opuesta de B.

D = A – B = A + (-B) siendo cada elemento de la matriz D dij = aij + (-bij)

Ejemplo: sean Q =

31

13; R =

52-

32 y -R =

5-2

3-2- Q – R = Q +(-R) =

2-3

2-1

3.- Producto de una matriz por un escalar

Sean la matriz A = [aij]mxn y el número ordinario o escalar .

El producto del escalar por la matriz A de clase m x n es otra matriz de clase m x n,

definida del siguiente modo: . A = [aij]mxn donde cada elemento se obtiene multiplicando por cada

uno de los elementos de la matriz A. Si [ . A] = B bij = aij i, j

. A = [aij]mxn = [ aij]mxn = [aij . ]mxn = A .

Casos especiales

* Si = 0 . A = 0 . A = 0; A Kmxn, cualquiera sea la matriz A : o . A = 0

* Si = 1 . A = 1 . A = A; A Kmxn

* Si = -1 . A = - 1 . A = - A; A Kmxn

* si A = O . A = . 0 = 0 por la matriz nula es la matriz nula R

* si A = I . A = . I = B siendo B una matriz escalar 1 0

Ejemplo: = 2; I =

2 0

0 2 I .

1 0

0 1

Propiedades Sean A Kmxn; B Kmxn; R R

1) R A Kmxn . A Kmxn Ley de composición externa.

2) ( . ) . A = . ( . A) Propiedad asociativa del producto de escalares por una matriz.

3) . (A + B) = . A + . B Propiedad distributiva del producto de un escalar respecto a la suma de matrices.

4) ( + ). A = . A + . B Propiedad distributiva del producto de una matriz respecto a la suma de escalares.

5) 1R /1.A = A. 1 = A Existencia del elemento neutro del producto de un escalar por una matriz.

4.- Producto de matrices

Sean las matrices A = [aij]mxn y B = [bij]nxq. El producto A . B será factible si los factores

cumplen con el siguiente requisito: el número de columnas de la matriz A es igual al número de filas de

la matriz B. En la matriz A cada uno de los m vectores fila tiene n componentes y en la matriz B cada uno

de sus q vectores columnas tiene n componentes se puede multiplicar cada vector fila de la matriz A por cada vector columna de la matriz B, siendo por lo tanto A . B realizable.

1) Podemos indicar a la matriz A como un conjunto m vectores filas de n componentes cada uno y a la matriz B como un conjunto de q vectores columnas de n componentes cada uno.

2) Efectuaremos los m . q productos: “cada vector fila de A por cada vector columna de B”,

multiplicando los elementos en el orden de cada vector, por ejemplo a11 . b11; a12 . b21; ...; a1n . bn1 y

luego hallar la suma de esos productos

3) Cada suma de productos conforma un elemento de la matriz producto, la que será de clase m x q,

es decir, tantas filas como la matriz A y tantas columnas como la matriz B.

A = [aij]mxn B = [bij]nxq A . B = P/ P= [pij]mxq

El elemento genérico “pij” del producto queda definido por la expresión: pij =

n

1

kjik b . a k

;

o bien, pij = ai1 . b1j + ai2 . b2j + ai3 . b3j + ... + ain . bnj

con i = 1, 2,..., m j = 1, 2, ..., q




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El elemento pij que se encuentra en la i-ésima fila y j-ésima columna de P se obtiene

multiplicando los elementos de la i-ésima fila de la matriz A por los elementos correspondientes de la j-ésima columna de la matriz B y sumando los productos parciales.

A modo de ejemplo se plantean las siguiente matrices A=

232221

131211

a a a

a a a B=

3231

2221

1211

b b

b b

b b

A . B = P se dispone en una, gráfica como la siguiente:

b11 B b12

b21 b22

b31 b32

a11 A a13 p11 P p12

a21 a22 a23 p21 p22 p11 = a11 b11 + a12 b12 + a13 b31

p21 = a21 b11 + a22 b21 + a23 b31

p12 = a11 b12 + a12 b22 + a13 b32

p22 = a21 b12 + a22 b22 + a23 b32

Los q elementos pij con j = 1, ..., q de la primer fila de la matriz P se obtienen multiplicando

la primer fila de A por cada una de las q columnas de B ( p11 y p12 para el planteo anterior).

Los elementos de la m-ésima fila de P se obtiene multiplicando la fila m de A por cada una de las q columnas de B (p21 y p22 en el planteo dado).

A2x3 . B3x2 = P2x2 , o sea, P tiene tantas filas como la matriz A y tantas columnas como la

matriz B.

Propiedades

1) No conmutativa: A . B B . A 2) Distributiva a izquierda respecto a la adición: A .(B + C) = A . B + A .C

n

1k

kjik

n

1k

kjik

n

1k

kjkjikij c . a b . a c b .a p

3) Distributiva a derecha respecto a la adición: (B + C ) .A = B . A + C . A

4) Asociativa: (A. B) . C = A . (B . C)

5) A . B = 0 no implica A= 0 ó B = 0. Ejemplo:

0 0

0 0

2

1

2

1-

2

1-

2

1

. 2- 2-

1- 1-

6) A . B = A. C no implica B = C

7) B . A B .A

8) (A . B) t = Bt . At

Casos especiales

* El producto de un vector fila por un vector columna, es un número.

* El producto de una matriz por un vector columna, es un vector columna.

* El producto de un vector fila por una matriz, es un vector fila.

* El producto de un vector columna por un vector fila, es una matriz.

Indicando: La matriz A en el 3er cuadrante.

La matriz B en el 1er cuadrante.

La matriz P en el 4to cuadrante




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Para la elaboración del presente apunte se ha consultado la siguiente BIBLIOGRAFÍA cuya

lectura se recomienda

Angel Allen, R. (2008). Algebra Intermedia. México. Pearson Educación. Séptima edición.

Antón, H. (2.000). Introducción al Algebra Lineal. México. Noriega Editores.

Batschelet, E. Matemáticas Básicas para Biocientíficos. Madrid – España. Editorial Dossat, S.A.

Garcia Venturini, A. (1996). Algebra con Aplicaciones Económicas. Buenos Aires – Argentina. Edición

de la Secretaría de Cultura (C.E.C.E de la U.B.A.). 10ª Edición.

Gigena, S. y otros (2004). Matemática I para Ciencias Naturales. Teoría, Práctica y Aplicaciones.

Córdoba - Argentina. Universitas Editorial Científica Universitaria. Segunda Edición 1º reimpresión.

Martínez – Mediano, J. y otros. Matemática II. Madrid – España. McGRAW-HILL/

INTERAMERCANA DE ESPAÑA, S.A.

RESCALA, C. (2007). Matrices. Compilación de materiales para la Asignatura Análisis Matemático de la Carrera Contador Público de la FAEN – UNaF.

Rojo, A. Algebra II. Buenos Aires - Argentina. Librería-Editorial El Ateneo. Décima tercera edición.

Seymour Lipschutz, Ph.D. Teoría y Problemas de Algebra Lineal. Mexico. Ediciones McGraw - Hill

Strang, G. Algebra Lineal. Madrid – España. Ediciones Pirámide.

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