Προβλήμαα και Εφαρμογές ης Άλγεβρας Β΄...

ΠΡΟΤΥΠΟ

ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ

ΛΥΚΕΙΟ

ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ

ΣΧΟΛΗΣ

ΣΜΥΡΝΗΣ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

2014 - 2015

Ομάδα Εφαρμοσμένων

Μαθηματικών – Προβλημάτων

Τζελέπης Αλκιβιάδης

Μανιατοπούλου Αμαλία

Αρμάος Πέτρος

Αρμάου Αντωνία

Καλαφάτη Μυρτώ

Προβλήματα και Εφαρμογές της Άλγεβρας Β΄ Λυκείου

Ομάδα Εφαρμοσμένων Μαθηματικών – Προβλημάτων

2

Προβλήματα και Εφαρμογές της

Άλγεβρας Β΄ Λυκείου

Εσωτερικά και Εξωτερικά Ζητήματα – Μοντελοποίηση

Στη φωτογραφία του εξώφυλλου απεικονίζεται ο “Δακτύλιος του Αϊνστάιν”.

O πορτοκαλί δακτύλιος είναι η παραμορφωμένη εικόνα ενός μακρινού γαλαξία. Η

γαλάζια αίγλη είναι το φως ενός ενδιάμεσου γαλαξία, όπως απεικονίστηκε από το

Hubble. Credit: (ALMA, B. Saxton, NASA/ESA, T. Hunt)


3

Περιεχόμενα ΠΡΟΛΟΓΟΣ ................................................................................................................................. 6

Κεφάλαιο 1o .............................................................................................................................. 8

Συστήματα ................................................................................................................................. 8

1.1 Μετατροπή Θερμοκρασίας .............................................................................................. 10

1.2 Αθήνα – Βεργίνα ............................................................................................................... 13

1.3 Ο Χορογράφος .................................................................................................................. 14

Κεφάλαιο 2ο ............................................................................................................................ 15

Συναρτήσεις ............................................................................................................................ 15

2.1 Η συνάρτηση θέσης ενός κινητού (I)................................................................................ 16

2.2 Η συνάρτηση θέσης ενός κινητού (II)............................................................................... 19

2.3 Ισορροπία Εφοδιασμού .................................................................................................... 21

Κεφάλαιο 3ο ............................................................................................................................ 22

Τριγωνομετρία – Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις .................................................................... 22

3.1 Ο θεοδόλιχος .................................................................................................................... 23

3.2 Το Αερόστατο ................................................................................................................... 25

3.3 Αεροπλάνο – Παρίσι ......................................................................................................... 26

3.4 Πτήση Chicago – St. Louis ............................................................................................... 28

3.5 Ο Κινηματογράφος ........................................................................................................... 30

3.6 Το Σταυρόνημα ................................................................................................................. 33

3.7 Το Ψηφιδωτό .................................................................................................................... 36

Ομαλή Κυκλική Κίνηση ............................................................................................................ 41

3.8 The London Eye ................................................................................................................. 42

Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση με Ιδανικό Ελατήριο ............................................................ 50

3.9 Το Ελατήριο ...................................................................................................................... 52

Κεφάλαιο 4ο ............................................................................................................................ 68

Πολυώνυμα – Πολυωνυμικές Εξισώσεις................................................................................. 68

Α. Τα τρία μη επιλύσιμα προβλήματα της αρχαιότητας ........................................................ 69

4.1 Ο διπλασιασμός του κύβου ( Το Δήλιον Πρόβλημα ) ....................................................... 75

4.2 Η τριχοτόμηση γωνίας ....................................................................................................... 76

Β. Προβλήματα κίνησης και εφαρμογής στη Γεωμετρία ........................................................ 80

4.3 Πρόβλημα Απομάκρυνσης ................................................................................................ 80

4.4 Πρόβλημα Διαστήματος ................................................................................................... 82


5

4.5 Η Δεξαμενή ........................................................................................................................ 84

Κεφάλαιο 5ο ............................................................................................................................ 86

Εκθετική και Λογαριθμική Συνάρτηση .................................................................................... 86

5.1 Πληθυσμιακή αύξηση ....................................................................................................... 87

5.2 Μοντέλο Εκθετικής Μεταβολής ........................................................................................ 88

5.3 Ημιζωή του πολωνίου –210 ............................................................................................. 89

5.4 Ένταση ήχου ...................................................................................................................... 91

5.5 Σεισμική ένταση ............................................................................................................... 92

5.6 Εκφόρτιση πυκνωτή .......................................................................................................... 93

5.7 Φθίνουσα ταλάντωση ελατηρίου ..................................................................................... 96

5.8 Πρόβλημα Ραδιενέργειας ................................................................................................. 99

5.9 Η Καμπύλη Μάθησης ...................................................................................................... 101

5.10 Η Συνάρτηση Βάρους – Ύψους ...................................................................................... 103

Παράρτημα Α......................................................................................................................... 104

Δημιουργία μαθηματικού μοντέλου ..................................................................................... 104

Α.1. Τα Πρυμναία Κύματα ..................................................................................................... 105

Παράρτημα Β ......................................................................................................................... 110

Προβλήματα Λήψης Απόφασης ............................................................................................ 110

Β.1. Ο Συγκοινωνιολόγος ...................................................................................................... 110

Β.2. Διασφάλιση Ποιότητας (TQM) ....................................................................................... 111

Παράρτημα Γ ......................................................................................................................... 112

Προβλήματα από την Αρχαία Ελλάδα .................................................................................. 112

Βιβλιογραφία – Bibliography ................................................................................................ 119


6

ΠΡΟΛΟΓΟΣ

Μία από τις βασικές συνιστώσες της διδασκαλίας των μαθηματικών στη

δευτεροβάθμια εκπαίδευση είναι η επίλυση προβλημάτων. Η διαδικασία επίλυσης

μαθηματικών προβλημάτων οδηγεί στην κατάκτηση της ικανότητας διαχείρισης της

γνώσης, της διερεύνησης και των μεταγνωστικών δεξιοτήτων. Υπάρχουν

διαφορετικοί τρόποι με τους οποίους μπορούν να χρησιμοποιηθούν τα προβλήματα

στην εκπαίδευση. Ο ιδανικός τρόπος είναι η χρησιμοποίηση των προβλημάτων για να

διδαχθούν τα μαθηματικά και με τον τρόπο αυτό να αποκτήσουν οι μαθητές την

ικανότητα επίλυσης προβλημάτων. Προνομιακός χώρος, από όπου μπορούν να

αντληθούν προβλήματα για τον σκοπό αυτό, είναι ο χώρος των υπολοίπων θετικών

επιστημών και ιδιαίτερα της φυσικής. Δεν είναι τυχαίο ότι για την κατανόηση της

έννοιας της παραγώγου στην ανάλυση χρησιμοποιούνται τα προβλήματα της

εφαπτομένης (γεωμετρική έννοια) και της στιγμιαίας ταχύτητας (φυσική έννοια). Ο

ουσιαστικότερος λόγος είναι αφενός η μεγάλη δύναμη της γεωμετρίας στη

διαισθητική προσέγγιση εννοιών, αφετέρου δε η ύπαρξη ενός αληθινού προβλήματος

από το φυσικό κόσμο.

Στο παρόν τεύχος γίνεται προσπάθεια εισαγωγής των ανωτέρω στοιχείων

στην Άλγεβρα της Β΄ Λυκείου. Η κεντρική ιδέα που διατρέχει την εργασία αναλύεται

σε τρείς άξονες:

Α. Εσωτερικά ζητήματα των μαθηματικών: μονοτονία, μέγιστη και ελάχιστη τιμή,

μελέτη γραφικής παράστασης συνάρτησης, μετασχηματισμοί γραφικών

παραστάσεων, επίλυση εξισώσεων – ανισώσεων και συστημάτων, αποδεικτικές

διαδικασίες, όλα δηλαδή τα ζητήματα που αφορούν στην Άλγεβρα. Επιπροσθέτως

αναδεικνύονται οι διασυνδέσεις της με τη Γεωμετρία και την Ανάλυση.

Β. Εξωτερικά ζητήματα των μαθηματικών: μελέτη και επίλυση προβλημάτων από

το φυσικό κόσμο – αρκετά από τα οποία είναι πραγματικά, αναδεικνύοντας

ταυτόχρονα τη σύνδεση μεταξύ των φυσικών και των αντίστοιχων μαθηματικών

εννοιών που τις περιγράφουν.

Γ. Προτυποποίηση: όπου είναι εφικτό αναζητείται και δημιουργείται το μοντέλο –

πρότυπο το οποίο μπορεί να περιγράψει το πρόβλημα. Είναι προφανές ότι

μεγαλύτερη δυσκολία έχει η ανακάλυψη του μοντέλου, παρά η μελέτη ενός

φαινομένου για το οποίο υπάρχουν ήδη έτοιμες οι εξισώσεις που το περιγράφουν.

Οι τρεις αυτοί άξονες διατρέχουν όλα τα κεφάλαια της Άλγεβρας Β΄ Λυκείου

– Συστήματα, Συναρτήσεις, Τριγωνομετρία, Πολυώνυμα, Εκθετική και Λογαριθμική

Συνάρτηση – και τα προβλήματα ακολουθούν την πορεία της σχολικής ύλης.

Επιπροσθέτως στα παραρτήματα υπάρχουν αναφορές σε ιστορικά στοιχεία, καθώς

και σε προβλήματα διερεύνησης μοντέλων και λήψης αποφάσεων

Με την ελπίδα η εργασία αυτή να είναι ένα χρήσιμο εργαλείο για όλους τους

συναδέλφους εκπαιδευτικούς, καθώς και τους μαθητές,


7

Η Ομάδα Εφαρμοσμένων Μαθηματικών – Προβλημάτων:

Τζελέπης Αλκιβιάδης

Μανιατοπούλου Αμαλία

Αρμάος Πέτρος

Αρμάου Αντωνία

Καλαφάτη Μυρτώ

Εργαστήριο Άλγεβρας Πρότυπου Πειραματικού Λυκείου

Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης – 3ος

χρόνος

(http://algebrateacherlab.blogspot.gr/)

http://algebrateacherlab.blogspot.gr/


8

Κεφάλαιο 1o

Συστήματα

Η επίλυση ενός συστήματος εξισώσεων δεν περιορίζεται σε ένα «στενό»

αλγεβρικό πλαίσιο αλλά επεκτείνεται και στην επίλυση προβλημάτων. Τα συστήματα

εξισώσεων αποτελούν καλά μαθηματικά μοντέλα για πολλά προβλήματα του

πραγματικού κόσμου, διότι τέτοια προβλήματα περιλαμβάνουν συνήθως διάφορα

συναφή πρότυπα. Αναζητούμε λοιπόν τις τιμές ενός ή περισσοτέρων μεγεθών που

συνδέονται με συγκεκριμένες αλγεβρικές σχέσεις και πρέπει ταυτόχρονα να

ικανοποιούν τις συνθήκες που περιγράφονται στα προβλήματα.

Πολλές εφαρμογές ουσιώδους φυσικής σημασίας συνδέονται μέσω

γραμμικών εξισώσεων. Στο πρώτο πρόβλημα που ακολουθεί, εκμεταλλευόμαστε τη

γραμμική σχέση που υπάρχει μεταξύ των θερμοκρασιών Fahrenheit και Celsius ώστε

να κάνουμε μετατροπές από τη μία κλίμακα στην άλλη.

Ένα ενδιαφέρον ερώτημα είναι κατά πόσο μπορεί να ανακαλυφθεί αν υπάρχει

ή όχι γραμμική εξάρτηση, αλλά και το είδος της εξάρτησης που μπορεί να συνδέει

δύο μεγέθη. Σε αυτό το ερώτημα γίνεται μια προσπάθεια να δοθεί απάντηση με το

πρόβλημα των πρυμναίων κυμάτων που βρίσκεται στο τέλος του τεύχους.

Γραμμικά και μη γραμμικά φαινόμενα

Μία ποσότητα λέγεται γραμμική αν ισούται με το άθροισμα των μερών από τα οποία

απαρτίζεται, διαφορετικά η ποσότητα λέγεται μη γραμμική. Ο όγκος του νερού που

ρέει σε έναν αποχετευτικό σωλήνα είναι γραμμική ποσότητα, γιατί ισούται με το

άθροισμα των όγκων νερού που καταλήγουν στο σωλήνα από όλα τα σπίτια. Ο όγκος

του χιονιού σε μια χιονοστιβάδα είναι μη γραμμικός, γιατί μια ελάχιστη ποσότητα

χιονιού μπορεί να συμπαρασύρει ολόκληρο τον όγκο του χιονιού που σκεπάζει τη

βουνοπλαγιά.

Τα γραμμικά φαινόμενα είναι απλά και επιδέχονται εύκολα αναλύσεων και

προβλέψεων. Τα μη γραμμικά φαινόμενα όμως είναι πολύπλοκα, εμφανίζουν

εξαιρετική πολυμορφία και οι σχετικές προβλέψεις είναι δύσκολες. Οι επιστήμονες

και οι μηχανικοί τα τελευταία χρόνια δείχνουν μεγάλο ενδιαφέρον για ένα είδος μη

γραμμικής συμπεριφοράς που ονομάζεται χάος.

Όταν η χωροχρονική καμπύλωση είναι ασθενής (όπως συμβαίνει στο ηλιακό μας

σύστημα), θεωρείται κατά μεγάλη προσέγγιση γραμμική. Για παράδειγμα, οι

παλίρροιες των ωκεανών της Γής είναι το αποτέλεσμα της υπέρθεσης των παλιρροιών


9

που δημιουργούνται από τη χωροχρονική καμπύλωση (παλιρροϊκή βαρυτική δράση)

της Σελήνης και των παλιρροιών που δημιουργούνται από τον Ήλιο. Αντίθετα, όταν η

χωροχρονική καμπύλωση είναι έντονη (όπως τη στιγμή της Μεγάλης Έκρηξης ή

κοντά σε μία μαύρη τρύπα), οι νόμοι της γενικής θεωρίας της σχετικότητας

προβλέπουν ότι θα πρέπει να είναι και έντονα μη γραμμική – μεταξύ των

εντονότερων μη γραμμικών φαινομένων του σύμπαντος.


10

1.1 Μετατροπή Θερμοκρασίας

Οι κλίμακες θερμοκρασίας Fahrenheit

(F) και Celsius (C) συνδέονται με μία

γραμμική σχέση. Είναι γνωστό ότι το

σημείο πήξεως του νερού είναι

και το σημείο βρασμού

(ζέσεως) του είναι

α) Να βρείτε τη σχέση που εκφράζει αυτήν τη γραμμική εξάρτηση

β) Να βρείτε τις συναρτήσεις

γ) Να βρείτε τις ισοδύναμες θερμοκρασίες των και των

δ) Υπάρχει κάποια θερμοκρασία στην οποία ένα θερμόμετρο Fahrenheit παρουσιάζει

την ίδια ένδειξη με ένα θερμόμετρο Celsius; Αν ναι, βρείτε ποια είναι αυτή η

θερμοκρασία

ε) Να σχεδιάσετε σε κοινό διάγραμμα τις ευθείες:

Να εξηγήσετε τη σημασία του διαγράμματος όσον αφορά στο προηγούμενο ερώτημα

Τι άλλο παρατηρείτε;


11

Λύση

α) Ως γνωστόν η σχέση που εκφράζει τη γραμμική εξάρτηση μεταξύ δύο μεταβλητών

x και y, είναι (α και β όχι συγχρόνως μηδέν) και

γραφικά παριστάνει ευθεία γραμμή. Αν το , δηλαδή η ευθεία δεν είναι

κατακόρυφη, η εξίσωση μετασχηματίζεται στην

. Τότε η ζητούμενη

σχέση είναι η

. Επειδή τα σημεία

δεν ανήκουν σε κατακόρυφη ευθεία, προκύπτει

ότι αναζητούμε έτσι ώστε , η οποία επαληθεύεται από τις

συντεταγμένες των δύο σημείων.

Τότε είναι:

Άρα η ζητούμενη σχέση είναι η

(1)

β) Από την (1) προκύπτει ότι:

Επιπλέον, λύνοντας την (1) ως προς C, έχουμε

, από όπου προκύπτει

ότι:

γ) Είναι:

και

Επομένως αντιστοιχούν σε

και σε

δ) Αναζητούμε τη δυνατότητα να υπάρχει τιμή . Από την (1) έχουμε:

.

Επομένως η θερμοκρασία αντιστοιχεί σε θερμοκρασία

ε) Οι πίνακες τιμών για τις ευθείες και αντίστοιχα είναι:

x 0 5 x 32 100

y 32 41 y 0 212

Η ευθεία είναι η διχοτόμος της 1ης

και 3ης

γωνίας των αξόνων


12

Η κοινή ένδειξη βαθμοί και στις δύο κλίμακες, αντιστοιχεί στο σημείο

της γραφικής παράστασης, το οποίο είναι σημείο της ευθείας y = x.

Αυτό σημαίνει ότι η κοινή ένδειξη μπορεί να προκύψει από τη λύση των

συστημάτων:

Παρατήρηση: Οι γραφικές παραστάσεις των δύο συναρτήσεων, όπως εκφράζονται

γραφικά από τις ευθείες και , είναι συμμετρικές ως προς τη διχοτόμο της 1ης

και

3ης

γωνίας των αξόνων

Fahrenheit Celsius


13

1.2 Αθήνα – Βεργίνα

Ένα σχολείο της Αθήνας διοργανώνει εκδρομή με προορισμό τον αρχαιολογικό χώρο

της Βεργίνας στη Μακεδονία. Οι διοργανωτές γνωρίζουν ότι αν το εκδρομικό

πούλμαν κινείται με σταθερή ταχύτητα 60 km/h θα φθάσουν στον προορισμό τους

στις 3μ.μ. Αν κινείται με 80 km/h θα φθάσουν 1 ώρα μετά το μεσημέρι.

Να βρείτε την απόσταση Αθήνας – Βεργίνας και την ώρα εκκίνησης.

Λύση

Ας συμβολίσουμε με t την ώρα εκκίνησης και s τη ζητούμενη απόσταση. Αν το

πούλμαν κινείται με σταθερή ταχύτητα 60 km/h θα φθάσει στον προορισμό του σε

χρόνο

ώρες, ενώ αν κινείται με σταθερή ταχύτητα 80 km/h θα φθάσει στον

προορισμό του σε χρόνο

ώρες.

Επομένως είναι:

Η απόσταση Αθήνας – Βεργίνας είναι 480 km και το πούλμαν ξεκίνησε στις 7 το

πρωί.


14

1.3 Ο Χορογράφος

Ένας χορογράφος σχεδιάζοντας τις θέσεις των χορευτών σε μία χορογραφία, θέλει να

τους διατάξει σε τετράγωνο. Αν σχηματίσει x σειρές με x χορευτές σε κάθε σειρά,

θα του περισσέψουν 10 χορευτές. Αν προσθέσει 2 χορευτές σε κάθε σειρά για να

σχηματίσει ένα νέο τετράγωνο, θα του λείπουν 10 χορευτές. Να βρεθεί ο αριθμός x

των χορευτών μιας σειράς του πρώτου τετραγώνου και ο συνολικός αριθμός y των

χορευτών.

Λύση

Το πλήθος των χορευτών του πρώτου τετραγώνου είναι , ενώ του δεύτερου είναι

.

Αν ο συνολικός αριθμός των χορευτών είναι y, τότε έχουμε:

Ο συνολικός αριθμός των χορευτών είναι 24 και το πρώτο τετράγωνο σχηματίσθηκε

με 4 χορευτές.


15

Κεφάλαιο 2ο

Συναρτήσεις

Η πιο σημαντική ενδεχομένως έννοια σε ολόκληρα τα μαθηματικά είναι αυτή

της συνάρτησης – σε όλους σχεδόν τους κλάδους των σύγχρονων μαθηματικών οι

συναρτήσεις αποδεικνύονται το κεντρικό αντικείμενο έρευνας.

Επιπλέον, οι συναρτήσεις είναι τα σπουδαιότερα εργαλεία περιγραφής του

πραγματικού κόσμου με μαθηματική γλώσσα, καλύπτοντας ένα τεράστιο εύρος

φαινομένων, από τις θερμοκρασιακές μεταβολές έως τις κινήσεις των πλανητών, από

τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα του εγκεφάλου έως τους επιχειρησιακούς κύκλους και

από τους καρδιακούς ρυθμούς έως την πληθυσμιακή αύξηση. Οι τριγωνομετρικές

συναρτήσεις περιγράφουν κυκλικές – επαναλαμβανόμενες διεργασίες. Οι εκθετικές,

οι λογαριθμικές και οι λογιστικές συναρτήσεις περιγράφουν αύξηση και ελάττωση.

Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις δε, μπορούν να προσεγγίσουν τις προαναφερθείσες

συναρτήσεις καθώς και τις περισσότερες από τις υπόλοιπες.

Στο παρόν τεύχος γίνεται μία προσπάθεια ανάδειξης των περισσότερων

πτυχών των συναρτήσεων, δίνοντας ιδιαίτερη σημασία σε δύο ζητήματα. Αφενός μεν

την ανάγκη να “διαβάζεται” σωστά η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης και με τη

βοήθειά της να μελετάται η συμπεριφορά της. Αφετέρου δε η διαπραγμάτευση

βασικών μαθηματικών εννοιών που δίδονται μέσα από συναρτήσεις, όπως η

μονοτονία, η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή, οι συμμετρίες, οι μετατοπίσεις γραφικών

παραστάσεων, κ.λπ. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον έχει επίσης, η σύνδεση των μαθηματικών

εννοιών που περιγράφονται μέσω των συναρτήσεων με τα φυσικά φαινόμενα που

καλούνται να περιγράψουν. Για παράδειγμα η μελέτη της μονοτονίας ή του

προσήμου σε ένα διάγραμμα διαστήματος – χρόνου μας δίνει πολλές και

συγκεκριμένες πληροφορίες για το είδος και τη «συμπεριφορά» της συγκεκριμένης

κίνησης.


16

2.1 Η συνάρτηση θέσης ενός κινητού (I)

Ένα σημείο κινείται πάνω στον άξονα x΄x και η θέση του κάθε χρονική στιγμή

περιγράφεται από τη συνάρτηση:

της οποίας η γραφική παράσταση φαίνεται στο παρακάτω σχήμα

1. Από τη γραφική παράσταση, να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της

2. Να βρείτε σε ποια θέση βρίσκεται το κινητό τις χρονικές στιγμές:

3. α) Για η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα, δηλαδή αν ,

τότε . Πώς ερμηνεύετε αυτήν την πληροφορία

σχετικά με την κίνηση του κινητού πάνω στον άξονα x΄x;

β) Θα μπορούσατε να ερμηνεύσετε υπόλοιπα διαστήματα μονοτονίας της

συνάρτησης με ανάλογο τρόπο;

4. Τι συμβαίνει τη χρονική στιγμή t =1;

5. Να βρείτε το συνολικό διάστημα που θα διανύσει το κινητό όταν

6. Η ταχύτητα του συγκεκριμένου κινητού περιγράφεται από τη συνάρτηση


17

α) Να προσδιορισθεί το πρόσημο της παραπάνω συνάρτησης αλγεβρικά και

γραφικά

β) Να συσχετίσετε το πρόσημο της συνάρτησης με τη μονοτονία της

συνάρτησης . Τι παρατηρείτε;

Λύση

1. Για 0 t 1 και t 3 η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα και για

1 t 3 είναι γνησίως φθίνουσα

2. x(0) = 0, x(1) = 4, x(3) = 0, x(5) = 20

3. α) Αφού x(t2) > x(t1) η κίνηση στον οριζόντια άξονα θα είναι προς τη θετική

φορά

β) Ομοίως για t 3 η κίνηση θα είναι προς τη θετική φορά ενώ για 1 t 3

η κίνηση θα είναι προς την αρνητική φορά.

4. Tη στιγμή t = 1 τo κινητό αλλάζει φορά κίνησης και κινείται προς την

αρνητική φορά, όπως φαίνεται και από το σχήμα. Αντίστοιχα τη χρονική

στιγμή t = 3 αλλάζει φορά κίνησης και κινείται προς τη θετική φορά.

5. Η κίνηση πρέπει να μελετηθεί ξεχωριστά στα διαστήματα μονοτονίας.

Πιο συγκεκριμένα:

Για 0 t1: s1 = (1) (0)x x = 4

Για 1 t3: s2 = (3) (1)x x = 4

Για 3 t 5: s3 = (5) (3)x x = 20

Άρα sολ = s1 + s2 + s3 = 28 m


18

6. α) i) Αλγεβρική επίλυση:

Η έχει ρίζες t1 = 1 και t2 = 3. Οπότε:

0 < t < 1 ή 3 < t < 5 και

1 < t < 3

ii) Γραφική επίλυση:

H γραφική παράσταση της παραβολής βρίσκεται πάνω από τον οριζόντιο

άξονα όταν 0 < t < 1 και t > 3

H γραφική παράσταση της βρίσκεται κάτω από τον οριζόντιο άξονα όταν

1 < t < 3

β) Παρατηρούμε ότι η είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα όπου η

είναι θετική, ενώ είναι γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα όπου η είναι

αρνητική.


19

2.2 Η συνάρτηση θέσης ενός κινητού (II)

Στο παρακάτω σχήμα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων θέσεων

τριών κινητών, τα οποία κινήθηκαν πάνω στον άξονα x΄x, στο χρονικό διάστημα από

0 sec έως 8 sec.

Να βρείτε, με τη βοήθεια των γραφικών παραστάσεων:

i) Ποιό κινητό ξεκίνησε από την αρχή του άξονα κίνησης

ii) Ποιό κινητό κινήθηκε μόνο προς τα δεξιά

iii) Ποιό κινητό άλλαξε φορά κίνησης τη χρονική στιγμή , ποιο τη χρονική

στιγμή και ποιο τη χρονική στιγμή

iv) Ποιό κινητό κινήθηκε προς τα αριστερά σε όλο το χρονικό διάστημα από 0 sec

έως 4 sec

v) Ποιό κινητό τερμάτισε πιο κοντά στην αρχή του άξονα κίνησης

vi) Ποιό κινητό διήνυσε το μεγαλύτερο διάστημα


20

Λύση

i) Από την αρχή του άξονα κίνησης ξεκίνησε το κινητό Β

ii) Η συνάρτηση θέσης του κινητού Γ είναι γνησίως αύξουσα όταν .

Επομένως το κινητό Γ κινήθηκε μόνο προς τα δεξιά

iii) Τη χρονική στιγμή άλλαξε φορά κίνησης το κινητό Β, γιατί στο

διάστημα για η συνάρτηση θέσης του ήταν γνησίως φθίνουσα,

ενώ στο διάστημα γίνεται γνησίως αύξουσα

Τη χρονική στιγμή άλλαξε φορά κίνησης το κινητό Α,

γιατί η συνάρτηση θέσης του από γνησίως φθίνουσα αριστερά του 4 γίνεται γνησίως

αύξουσα δεξιά του 4

Τη χρονική στιγμή άλλαξε φορά κίνησης το κινητό Β,

γιατί η συνάρτηση θέσης του από γνησίως αύξουσα αριστερά του 5 γίνεται γνησίως

φθίνουσα δεξιά του 5

iv) Στο χρονικό διάστημα το κινητό Α κινήθηκε μόνο αριστερά, γιατί η

συνάρτηση θέσης του εκεί είναι γνησίως φθίνουσα

v) Πιο κοντά στην αρχή των αξόνων τερμάτισε το κινητό Β

vi) Παρατηρώντας την προβολή των γραφικών παραστάσεων στον άξονα κίνησης,

έχουμε:

α) Το κινητό Α διαγράφει διάστημα μήκους: .

β) Το κινητό Β διαγράφει διάστημα μήκους: .

γ) Το κινητό Γ διαγράφει διάστημα μήκους:

Συμπέρασμα: Το κινητό που διάνυσε το μεγαλύτερο διάστημα είναι το Α

Το συμπέρασμα προκύπτει διαισθητικά, αλλά αν επιθυμούμε μπορούμε να βρούμε

και συγκεκριμένες τιμές. Σε κάθε περίπτωση μας ενδιαφέρει το θεωρητικό πλαίσιο.


21

2.3 Ισορροπία Εφοδιασμού

Μία συνάρτηση «ζήτησης» (demand function) εκφράζει το ποσό που απαιτείται για

την παραγωγή ενός αγαθού ως συνάρτηση των παραγόμενων μονάδων. Μία

συνάρτηση «εφοδιασμού» (supply function) εκφράζει το ποσό που αναμένεται από

την παραγωγή του ίδιου αγαθού ως συνάρτηση των παραγόμενων μονάδων. Όταν το

ποσό ζήτησης είναι ίσο με το ποσό εφοδιασμού, τότε επιτυγχάνεται η λεγόμενη

ισορροπία εφοδιασμού της αγοράς (market equilibrium).

Οι δύο συναρτήσεις – ζήτησης και εφοδιασμού – είναι παραβολές και οι γραφικές

τους παραστάσεις (στο 1ο τεταρτημόριο) φαίνονται στην ανωτέρω εικόνα. Η επίλυση

του συστήματος των δύο εξισώσεων δίνει την ποσότητα των παραγόμενων μονάδων

που απαιτούνται για να υπάρξει ισορροπία.

Αν λοιπόν είναι η συνάρτηση εφοδιασμού και

είναι η συνάρτηση ζήτησης, τότε για την ισορροπία

εφοδιασμού ισχύει:

Όμως , άρα η ποσότητα των παραγόμενων μονάδων που απαιτείται για να

υπάρξει ισορροπία είναι 15.


22


Τριγωνομετρία – Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις

Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι πολύ σημαντικές διότι είναι περιοδικές,

δηλαδή επαναλαμβανόμενες. Οι συναρτήσεις ημx και συνx είναι περιοδικές με

περίοδο 2π, ενώ οι συναρτήσεις εφx και σφx είναι περιοδικές με περίοδο π.

Η σπουδαιότητα των περιοδικών συναρτήσεων έγκειται στο γεγονός ότι

πολλά φαινόμενα του κόσμου τα οποία μελετούν οι φυσικές επιστήμες παρουσιάζουν

περιοδική συμπεριφορά. Έτσι, μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως μοντέλα πολλών

περιοδικών διεργασιών στη φύση, όπως οι καθημερινές θερμοκρασιακές

διακυμάνσεις στην ατμόσφαιρα της Γής, η κυματική φύση των μουσικών φθόγγων, η

αρτηριακή πίεση του αίματος στην καρδιά ή η κυμαινόμενη στάθμη της θάλασσας

κατά την παλίρροια και την άμπωτη. Τα εγκεφαλικά κύματα, η λειτουργία της

καρδιάς και το ηλεκτρικό ρεύμα που έχουμε στο σπίτι μας είναι όλα περιοδικά

φαινόμενα. Το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο που θερμαίνει το φαγητό στο φούρνο

μικροκυμάτων είναι περιοδικό, όπως επίσης οι εισπράξεις των εποχικών

επιχειρήσεων ή η λειτουργία των περιστροφικών μηχανών. Οι εποχές του έτους είναι

περιοδικές, το ίδιο και ο καιρός. Επίσης, οι διάφορες φάσεις της σελήνης, καθώς και

οι κινήσεις των πλανητών. Υπάρχουν ισχυρές ενδείξεις ότι οι περίοδοι των

παγετώνων είναι περιοδικές, με περίοδο 90.000 έως 100.000 ετών.

Η οθόνη της διπλανής συσκευής δείχνει την

περιοδική φύση μερικών ζωτικών λειτουργιών

του ανθρώπινου σώματος. Η ηλεκτρονική

αυτή διάταξη εποπτεύει δυναμικά (διαρκώς) το

ηλεκτροκαρδιογράφημα (ECG), την αναπνοή

και την πίεση του ασθενούς

Γιατί όμως αποβαίνουν τόσο χρήσιμες οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις στη

μελέτη των περιοδικών φαινομένων; Η απάντηση έρχεται από ένα θεώρημα του

απειροστικού λογισμού, σύμφωνα με το οποίο κάθε περιοδική συνάρτηση μπορεί να

γραφεί ως ένας αλγεβρικός συνδυασμός ημιτόνων και συνημιτόνων. Η βαθύτερη

κατανόηση λοιπόν των τριγωνομετρικών αριθμών θα μας καταστήσει ικανούς στο

μέλλον να κατασκευάσουμε μαθηματικά μοντέλα για τη συμπεριφορά των

περισσότερων περιοδικών φαινομένων.

Στο παρόν τεύχος γίνεται η προσπάθεια να μελετηθούν μεταξύ άλλων κάποια

περιοδικά φαινόμενα, όπως η ταλάντωση ενός ελατηρίου ή η ομαλή κυκλική κίνηση,

τα οποία είναι συμβατά με την ύλη της Άλγεβρας Β΄ Λυκείου. Τέλος, επειδή

τριγωνομετρία σημαίνει “μέτρηση τριγώνου”, υπάρχουν προβλήματα που στόχος τους

είναι η μέτρηση μηκών και γωνιών.


23

3.1 Ο θεοδόλιχος

Να υπολογίσετε το ύψος υ ενός υψηλού αντικειμένου, το οποίο φαίνεται υπό γνωστές

γωνίες φ και ω, από δύο συγκεκριμένα σημεία Α και Β του (οριζόντιου) εδάφους.

Εφαρμογή : φ = 30ο, ω = 45

ο και ΑΒ = 20 μέτρα

Λύση

Το παρακάτω σχήμα προσφέρει μία εικόνα του προβλήματος, το οποίο προφανώς

έχει καθολική εφαρμογή, με την έννοια ότι προσφέρει έναν τρόπο για να μετρήσουμε

το ύψος ενός υψηλού αντικειμένου, χρησιμοποιώντας τρία δεδομένα:

Δύο γωνίες θέασης του αντικειμένου και μία απόσταση επάνω στο έδαφος

Σχηματίζονται δύο ορθογώνια τρίγωνα, τα ΚΒΓ και ΚΑΓ, στα οποία έχουμε:

Επιπλέον ισχύει

Επομένως προκύπτουν τα ακόλουθα:


24

Εφαρμογή : Για φ = 30ο, ω = 45

ο και ΑΒ = 20 μέτρα, είναι

Επομένως το ύψος του αντικειμένου είναι περίπου 27,32 μέτρα.

Πρόβλημα: “Θέλουμε να μετρήσουμε το ύψος μιας πυραμίδας, έχοντας στη

διάθεσή μας μόνο έναν θεοδόλιχο”

Ο θεοδόλιχος είναι ένα τοπογραφικό όργανο με το οποίο μπορούμε να μετρήσουμε

γωνίες. Δηλαδή δεν έχουμε στη διάθεσή μας ένα όργανο με το οποίο να μπορούμε να

μετρήσουμε απόσταση. Το πρόβλημα δόθηκε σε σχολική τάξη ως ανοικτό

πρόβλημα. Η απάντηση μαθήτριας ήταν:

«Θα πάμε σε ένα σημείο από όπου θα μετρήσουμε με τη βοήθεια του θεοδόλιχου τη

γωνία θέασης της πυραμίδας. Στη συνέχεια θα περπατήσουμε σε ευθεία γραμμή,

μετρώντας τα βήματά μας, και θα φθάσουμε σε μία δεύτερη θέση από όπου θα

επαναλάβουμε εκ νέου τη μέτρηση με τον θεοδόλιχο»

Η συνέχεια είναι όπως περιγράφεται ανωτέρω. Το αποτέλεσμα εκφράστηκε σε

βήματα και μετρώντας το μήκος του βήματος έχουμε το τελικό αποτέλεσμα σε μέτρα.


25

3.2 Το Αερόστατο

Δύο παρατηρητές οι οποίοι απέχουν μεταξύ τους απόσταση 2 χιλιομέτρων μετρούν

ταυτόχρονα τη γωνία ανυψώσεως ενός αερόστατου της μετεωρολογικής υπηρεσίας.

Ο ένας παρατηρητής βρίσκει γωνία 45ο και ο δεύτερος 60

ο. Αν το αερόστατο

βρίσκεται ακριβώς πάνω από τη νοητή ευθεία που συνδέει τις θέσεις των δύο

παρατηρητών, να βρεθεί το ύψος του.

Λύση

Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε ότι το αερόστατο βρίσκεται μεταξύ των

θέσεων των δύο παρατηρητών. Τότε σχηματίζονται δύο ορθογώνια τρίγωνα, τα ΑΚΒ

και ΑΚΓ, στα οποία έχουμε:

Επιπλέον ισχύει

Έτσι προκύπτουν τα ακόλουθα:

Επομένως το ύψος στο οποίο παρατηρήθηκε το αερόστατο ήταν τα 1268 μέτρα.


26

3.3 Αεροπλάνο – Παρίσι

Ένα αεροπλάνο πλησιάζει στο Παρίσι κινούμενο σε σταθερό ύψος h με σταθερή

ταχύτητα. Ένας τεχνικός εδάφους βρίσκεται στο σημείο A και παρατηρεί το

αεροπλάνο. Στις 11:10, η γωνία ανύψωσης του αεροπλάνου είναι 25ο και στις 11:11

είναι 50ο. Ποιο είναι το ύψος h στο οποίο πετά το αεροπλάνο, εάν η ταχύτητά του

είναι ίση με 600 km/h ;

Λύση

Θεωρούμε ότι ο τεχνικός βρίσκεται στο έδαφος στο σημείο Α. Tο αεροπλάνο,

ακολουθώντας την πορεία ΓΒ παράλληλη προς το έδαφος, στις 11:10 βρίσκεται στο

σημείο Γ και η γωνία . Επομένως, ως εντός εναλλάξ, η γωνία

Στις 11:11 το αεροπλάνο βρίσκεται στο σημείο Β και η γωνία

, επομένως και η γωνία


27

Το αεροπλάνο, κατά τη διάρκεια της παρατήρησης, εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή

κίνηση με σταθερή ταχύτητα . Έτσι, σε ένα λεπτό, δηλαδή σε

, διανύει απόσταση

Επομένως ΒΓ = 10. Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές διότι οι προσκείμενες στη βάση

του γωνίες ίσες με 25ο, οπότε ΑΒ = 10.

Φέρνοντας το ευθύγραμμο τμήμα ΒΔ κάθετο προς το έδαφος, σχηματίζεται το

ορθογώνιο τρίγωνο ΒΔΑ (Δ = 90ο), με την υποτείνουσα ΑΒ = 10, τη γωνία Α = 50

ο

και άγνωστη την πλευρά του ΒΔ, που είναι το ζητούμενο ύψος h.

Τότε, είναι:

Επομένως το αεροπλάνο προσεγγίζει το αεροδρόμιο κινούμενο σε ύψος

.


28

3.4 Πτήση Chicago – St. Louis

Κατά τη διάρκεια μιας αεροπορικής πτήσης από το Chicago προς το St. Louis,

ο κυβερνήτης συνειδητοποιεί ότι το αεροσκάφος έχει αποκλίνει από την ενδεδειγμένη

πορεία του κατά 12 μίλια, έχοντας διανύσει μέχρι τότε 180 μίλια. Ζητά οδηγίες από

τον πύργο ελέγχου του St. Louis και του απαντούν τα εξής:

1. Αν διορθώσετε την πορεία σας κατά α μοίρες, θα αποκτήσετε πορεία παράλληλη

προς την ενδεδειγμένη (αρχική) πορεία.

2. Αν στη συνέχεια διορθώσετε στρίβοντας πάλι προς την ίδια κατεύθυνση κατά β

μοίρες θα φθάσετε στον προορισμό σας (S. L.) μετά από 60 μίλια πορείας.

Να βρείτε τη συνολική στροφή που πρέπει να κάνει ο κυβερνήτης για να φθάσει στον

προορισμό του.

Παραδοχή: Το αεροσκάφος κινείται ευθύγραμμα

“Υποδείξεις”

1η : Να κάνετε ένα σχήμα που θα περιγράφει το πρόβλημα

2η : Να βρείτε πρώτα τα ημα και ημβ

Λύση

Στο τρίγωνο ΑΒΔ έχουμε:

Οι πλευρές ΑΒ =180, ΒΔ = 60 και το ύψος ΒΓ = 12.

Επιπλέον ως εντός εκτός και επί τα αυτά, ενώ ως εντός εναλλάξ.

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: ημα =

=

12 1

180 15


29

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΒΓΔ ισχύει ημβ = 12 1

60 5

Για την εύρεση της ζητούμενης γωνίας α + β μπορούμε να υπολογίσουμε το

ημ(α + β). Για τον σκοπό αυτό, απαιτείται πρώτα να προσδιορίσουμε το συνα και το

συνβ.

Έτσι είναι:

συν α = 2 21 4 141 1 ( )

15 15

συνβ = 2 21 2 61 1 ( )

5 5

ημ(α + β) = ημα συνβ + ημβ συνα = 1

15

2 6

5 +

1

5

4 14

15=

2( 6 2 14)

75

0,265

Οπότε η συνολική στροφή που πρέπει να κάνει ο κυβερνήτης είναι περίπου 15ο 21΄.


30

3.5 Ο Κινηματογράφος

Στο παρακάτω σχήμα βλέπετε τη θέση σας σε μία κινηματογραφική αίθουσα. Η

οθόνη έχει μήκος 12 μέτρα και απέχει 3 μέτρα από τον πλευρικό τοίχο. Η απόστασή

σας από τον τοίχο που βρίσκεται η οθόνη είναι x μέτρα.

α) Να εκφράσετε τη συνεφαπτομένη της γωνίας θέασης α, ως συνάρτηση της

απόστασης του θεατή x από την οθόνη

β) Αν η γωνία θέασης που έχετε είναι α = 30ο να βρείτε τη θέση σας στην αίθουσα

( Δίδεται: )

γ) Μπορείτε να μετακινηθείτε στην αίθουσα, παραμένοντας δίπλα στον τοίχο:

i) Να αποδείξετε ότι η για κάθε τιμή της γωνίας α

ii) Να βρείτε τη θέση που πρέπει να βρίσκεστε στην αίθουσα, έτσι ώστε να βλέπετε

την οθόνη με τη μεγαλύτερη δυνατή γωνία θέασης.


31

Μοντελοποίηση:

Κατασκευάζεται το παρακάτω σχήμα. Τα τρίγωνα ΟΑΜ και ΟΒΜ είναι ορθογώνια

στο Ο. Τα ευθύγραμμα τμήματα ΟΑ = 3, ΑΒ = 12 και ΟΜ = x. Η γωνία θέασης είναι

η και οι γωνίες και . Όλες οι ανωτέρω γωνίες είναι

οξείες. Τα μήκη μετρώνται σε μέτρα (m) και οι γωνίες σε ακτίνια (rad)

α) Είναι , επομένως

Από τα ορθογώνια τρίγωνα ΟΜΒ και ΟΜΑ προκύπτουν αντίστοιχα

Επομένως

(1)

β) Για γωνία θέασης 30ο, είναι

. Από την (1) λοιπόν προκύπτει η

εξίσωση:

Είναι (με ) και ως εκ τούτου οι λύσεις της εξίσωσης είναι


32

Επομένως υπάρχουν δύο δυνατές θέσεις μέσα στην αίθουσα από τις οποίες η γωνία

θέασης προς την οθόνη είναι 30ο. Αυτές που απέχουν από τον τοίχο που βρίσκεται η

οθόνη μέτρα ή μέτρα.

γ) i) Η συνάρτηση της εφαπτομένης είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα

.

Είναι λοιπόν

ii) Ως γνωστόν

, έτσι από την (1) προκύπτει ότι

Επειδή όμως

, η γωνία α γίνεται μέγιστη όταν η γίνεται μέγιστη.

Έστω ότι

Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα, γιατί εκφράζει την

και επιπλέον είναι .

Επομένως έχουμε:

(2)

Η (2) είναι μία δευτέρου βαθμού παραμετρική εξίσωση, η οποία έχει πραγματικές

ρίζες αν και μόνο αν

Επομένως η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστη τιμή την

Τότε από την (2) προκύπτει:

Έτσι η παίρνει τη μέγιστη τιμή της όταν

Επομένως η θέση που πρέπει να βρίσκεται ο θεατής στην αίθουσα, έτσι ώστε να

βλέπει την οθόνη με τη μεγαλύτερη δυνατή γωνία θέασης, είναι σε απόσταση

μέτρων από τη οθόνη.


33

3.6 Το Σταυρόνημα

Οι εξισώσεις των καμπυλών που αποτελούν την περίμετρο μιας επίπεδης μεμβράνης,

ως προς το σταυρόνημα του μικροσκοπίου,

είναι:

Η μεμβράνη πρόκειται να καλυφθεί με ένα γυάλινο ορθογώνιο πλακίδιο.

Ποιες πρέπει να είναι οι ελάχιστες διαστάσεις του πλακιδίου;

“Υποδείξεις”

1. Να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων που αντιστοιχούν στις

γραμμές με εξισώσεις και

για

2. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παραβολής και τη μέγιστη τιμή της

τριγωνομετρικής συνάρτησης.

3. Να βρείτε τη μέγιστη απόσταση μεταξύ των δύο καμπυλών.

4. Να βρείτε τις ελάχιστες διαστάσεις του πλακιδίου.


34

Λύση

Α) Μελέτη των συναρτήσεων:

και

για

Η παριστάνει μία παραβολή η οποία παρουσιάζει ελάχιστο

στην κορυφή της

Επιπλέον η είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα

, γνησίως αύξουσα στο

διάστημα

και τέμνει τον άξονα x΄x στα σημεία .

Η γραφική παράσταση της

προκύπτει από κατακόρυφη

μετατόπιση της γραφικής παράστασης της κατά

μονάδες προς τα

πάνω

H είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα

, γνησίως φθίνουσα στο διάστημα

και παρουσιάζει μέγιστο στο σημείο

. Επιπλέον, τέμνει τον άξονα y΄y

στο σημείο

.


35

Β) Η ελάχιστη τιμή της παραβολής και η μέγιστη τιμή της τριγωνομετρικής

συνάρτησης παρουσιάζονται στην ίδια θέση, για

.

Επομένως, η μέγιστη απόσταση μεταξύ των δύο καμπυλών είναι:

και συνιστά το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΚΛ

Γ) Επομένως οι ελάχιστες διαστάσεις που πρέπει να έχει το ορθογώνιο πλακίδιο για

να καλύψει πλήρως τη μεμβράνη είναι:

Μήκος ίσο με το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος

Πλάτος ίσο με 3, που αποτελεί το πλάτος του διαστήματος , γιατί η περίμετρος

της μεμβράνης καθορίζεται επίσης από τις εξισώσεις

Απάντηση:

Ελάχιστες διαστάσεις πλακιδίου:


36

3.7 Το Ψηφιδωτό

Ένας καλλιτέχνης ήθελε να φιλοτεχνήσει ένα ψηφιδωτό με συγκεκριμένες διαστάσεις

στο δάπεδο ενός μνημείου με τον τρόπο που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Επειδή

όμως υπάρχουν πολλοί τρόποι για να γίνει αυτό, έπρεπε να επιλέξει έναν

συγκεκριμένο τρόπο. Σκέφθηκε λοιπόν ότι για λόγους αισθητικής, η επιφάνεια –

βάση πάνω στην οποία θα τοποθετήσει το ψηφιδωτό πρέπει να έχει το μεγαλύτερο

δυνατόν εμβαδό. Να βρείτε ποιο είναι το μέγιστο εμβαδόν που πρέπει να έχει η

επιφάνεια – βάση και με ποιόν τρόπο μπορεί να το επιτύχει ο καλλιτέχνης.


37

Λύση

Μοντελοποίηση:

Ας συμβολίσουμε με α και β τις σταθερές διαστάσεις του ψηφιδωτού, το οποίο έχει

σχήμα ορθογώνιο. Η βάση ΑΒΓΔ (σχήματος ορθογωνίου επίσης) έχει μεταβλητό

εμβαδόν, επομένως πρέπει να ορίσουμε μία μεταβλητή, συναρτήσει της οποίας θα

μεταβάλλεται το εμβαδόν της. Θεωρούμε λοιπόν ότι η γωνία

Τα ανωτέρω φαίνονται στο παρακάτω σχήμα:

Οι γωνίες ΑΘΕ, ΒΕΖ, ΓΖΗ και ΔΗΘ είναι οξείες γωνίες με τις πλευρές τους

κάθετες (ανά δύο με τη σειρά που γράφονται).

Επομένως, είναι:

Αρχικά υπολογίζουμε τα μήκη των πλευρών ΑΒ και ΑΔ συναρτήσει του φ

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΘΑΕ ( είναι:

και

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΕΒΖ ( είναι:

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΘΔΗ ( είναι:


38


και

Έτσι το εμβαδόν της βάσης θα είναι:

Θεωρούμε λοιπόν, ότι μία συνάρτηση που εκφράζει το εμβαδόν της

ζητούμενης επιφάνειας της βάσης, είναι η

Η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστη τιμή

Πράγματι, για κάθε

ισχύει:

Δηλαδή

, επομένως η συνάρτηση παίρνει μέγιστη

τιμή και

Για ποια τιμή του η παίρνει τη μέγιστη τιμή της;


39

Επειδή όμως

, είναι:

Έτσι έχουμε

Συμπέρασμα:

Για να επιτύχει λοιπόν ο καλλιτέχνης το επιθυμητό αποτέλεσμα, πρέπει να

τοποθετήσει το ψηφιδωτό του με τέτοιον τρόπο, ώστε η γωνία που θα σχηματίζουν οι

πλευρές του ψηφιδωτού με τις πλευρές της βάσης να ισούται με 45ο . Αυτό μπορεί να

γίνει, αν τα εξωτερικά τρίγωνα που σχηματίζονται, μεταξύ της βάσης και του

ψηφιδωτού, είναι ορθογώνια και ισοσκελή.


40

Το ψηφιδωτό της Αμφίπολης:

Το ψηφιδωτό της Αμφίπολης έχει μήκος 4,5 μέτρα και πλάτος 3 μέτρα.

Ως εκ τούτου, η μέγιστη τιμή, της υποτιθέμενης βάσης του, θα έπρεπε να ήταν


41

Ομαλή Κυκλική Κίνηση

Ομαλή κυκλική κίνηση είναι μία περιοδική κίνηση κατά την οποία το σώμα κινείται

σε κυκλική τροχιά και το μέτρο της ταχύτητας του παραμένει σταθερό.

Τα φυσικά μεγέθη:

Περίοδος είναι ο χρόνος που χρειάζεται το σώμα για να κάνει μία πλήρη

περιστροφή.

Συχνότητα είναι ο αριθμός των περιστροφών στη μονάδα του χρόνου και ισχύει:

Η ταχύτητα (γραμμική), σταθερή κατά μέτρο, έχει κατεύθυνση εφαπτόμενη στην

κυκλική τροχιά. Τα διανυόμενα τόξα είναι ανάλογα των χρόνων στους οποίους

διανύονται, δηλαδή

.

Σε χρόνο μιας περιόδου, το διανυόμενο τόξο έχει μήκος , επομένως η

ταχύτητα έχει μέτρο

Επιπλέον της ταχύτητας υπάρχει η γωνιακή ταχύτητα, η οποία εκφράζει το ρυθμό με

τον οποίο μεταβάλλεται η γωνία που διαγράφει η ακτίνα καθώς το σώμα κινείται.

Το μέτρο της δε, είναι το σταθερό πηλίκο της γωνίας που διαγράφηκε από την

ακτίνα σε χρονικό διάστημα δια του αντίστοιχου χρονικού διαστήματος, δηλαδή

Σε χρόνο μιας περιόδου, η διανυόμενη γωνία έχει μέτρο , επομένως η γωνιακή

ταχύτητα έχει μέτρο

Η ταχύτητα είναι ανάλογη της γωνιακής ταχύτητας, όπως δείχνει η σχέση .


42

3.8 The London Eye

Ένα μοντέρνο και πολύ δημοφιλές τουριστικό αξιοθέατο του Λονδίνου είναι το

“London Eye”. Πρόκειται για μία κατασκευή σε σχήμα κυκλικού τροχού διαμέτρου

120 μέτρων, στον οποίο είναι προσαρμοσμένες 32 «κάψουλες» (βαγόνια) σε ίση

απόσταση μεταξύ τους. Ο χρόνος μίας πλήρους περιστροφής κάθε κάψουλας είναι 30

λεπτά και η απόσταση του ανώτατου σημείου του τροχού από το έδαφος είναι 135

μέτρα. Να βρεθεί το ύψος κάθε κάψουλας από το έδαφος, οποιαδήποτε χρονική

στιγμή t.

Α. Η Μοντελοποίηση:

Έστω Κ1, Κ2,…, Κ32 οι κάψουλες θεωρώντας ως πρώτη την κάψουλα που στην

αφετηρία είναι πλησιέστερα στο έδαφος, όπως φαίνεται στο σχήμα.

Σε χρόνο t (min) η Κ1 διαγράφει γωνία ω (rad) και σε 30 min ολοκληρώνει μία

πλήρη περιστροφή δηλαδή γωνία 2π (rad).


43

Οπότε ισχύει η σχέση 2 30

t

και ισοδύναμα ω =

15

t

Επιπλέον είναι:

και

Επομένως η συνάρτηση που εκφράζει το ύψος της κάψουλας Κ1

από το έδαφος κάθε χρονική στιγμή t είναι:

Οι 32 κάψουλες είναι κορυφές κανονικού 32 –γώνου. Άρα κάθε κάψουλα ακολουθεί

την αμέσως προηγούμενη κατά γωνία 16

rad. Για την κάψουλα Κ2 ισχύει:

Επομένως το ύψος κάθε κάψουλας Κi τη χρονική στιγμή t εκφράζεται από τη

συνάρτηση:

ή ισοδύναμα την


44

Γενίκευση του μοντέλου:

Η (1) γίνεται

Όπου η απόσταση του κέντρου του κύκλου από το έδαφος, η ακτίνα του κύκλου,

η περίοδος της κυκλικής κίνησης και το πλήθος των καμπινών.

Ο συντελεστής του εκφράζει τη γωνιακή ταχύτητα της κυκλικής κίνησης και ο

δεύτερος όρος του αθροίσματος τη διαφορά φάσης μεταξύ των καμπινών.

Στο συγκεκριμένο πρόβλημα είναι:

, , και

Β. Η Μελέτη του προβλήματος:

Αν το ύψος κάθε κάψουλας Κi τη χρονική στιγμή t εκφράζεται από τη συνάρτηση

ή ισοδύναμα την

Να απαντήσετε στα ακόλουθα ερωτήματα:

1. Να βρείτε τη συνάρτηση που εκφράζει το ύψος της 1ης

κάψουλας Κ1

2. Να γίνει η γραφική παράσταση της y1(t) και της y2(t)

3. Να βρεθεί ο χρόνος που χρειάζεται η κάψουλα Κ1 για να φτάσει στο υψηλότερο

σημείο από το έδαφος για 1η φορά. Ποιος είναι ο αντίστοιχος χρόνος για τη δεύτερη,

τρίτη, …, 32η κάψουλα;

4. Να βρείτε τη διαφορά φάσης μεταξύ των καψουλών και πώς συνδέεται αυτή με τις

αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων


45

5. Να υπολογισθεί το μέτρο της γραμμικής και της γωνιακής ταχύτητας κάθε

κάψουλας.

6. Να βρείτε ποιά είναι η αντιστοιχία των φυσικών μεγεθών της περιόδου και της

συχνότητας της ομαλής κυκλικής κίνησης, με τις μαθηματικές έννοιες που

εκφράζονται στη συνάρτηση.

Λύση

1. Για είναι:

2. Για είναι:

Οι γραφικές παραστάσεις των δύο συναρτήσεων – ξεχωριστά και στο ίδιο σχήμα,

είναι:


46

3. Το υψηλότερο σημείο απέχει 135 μέτρα από το έδαφος.

Άρα y1(t) =135 75 – 60συν15

t = 135 συν

15

t = –1

15

t = 2κπ + π, t = 30κ +15, . Όμως t[ 0, 30 ], οπότε:

0 t 30 0 30 κ +15 30 1 1

2 2 , με

Άρα κ = 0 και επομένως t =15.

Η κάψουλα Κ1 χρειάζεται λοιπόν 15 λεπτά για να φτάσει στο υψηλότερο σημείο,

δηλαδή το μισό χρόνο της περιόδου κίνησης του τροχού, κάτι που είναι προφανώς

αναμενόμενο, διότι η κίνηση είναι ομαλή κυκλική.

Ομοίως για την κάψουλα Κ2, με θα ισχύει:

Όμως t[ 0, 30 ], οπότε:

0 t 30 0 30 κ +

215

16 30 0 2κ +

15

16 2

– 15

32 κ

17

32, . Άρα κ = 0 και επομένως t =

225

16= 15 –

15

16

Γενικά για είναι:


47

– 1

2κ π + π

30 κ + 15

t = 30 κ + 15 – 15

16

Όμως t[ 0, 30 ], οπότε: 0 t 30 0 30 κ + 15 – 15

16 30

1 1 1 1

2 16 2 16i i , από όπου προκύπτουν και οι αντίστοιχες

χρονικές στιγμές.

4. H διαφορά φάσης μεταξύ δύο διαδοχικών καψουλών είναι 15

15

16=

16

και

μαθηματικά εκφράζει την οριζόντια μετατόπιση κατά 16

μονάδες προς τα αριστερά

της γραφικής παράστασης της σε σχέση με τη γραφική παράσταση της .

Επίσης η διαφορά φάσης κάθε Ki+1 κάψουλας από την πρώτη κάψουλα Κ1 ισούται με

16

, με

5. Σε χρόνο 30 λεπτών η κάθε κάψουλα εκτελεί μία πλήρη περιστροφή, διατρέχοντας

κύκλο με μήκος 2πR = 120 π μέτρα. Άρα η (γραμμική) ταχύτητα του ισούται με:

120

30

π m/min

Σε χρόνο 30 λεπτών η γωνία που διαγράφει κάθε κάψουλα είναι 2π rad.

Άρα η γωνιακή ταχύτητα ω ισούται με: ω = 2

30

=

15

0,209 rad/min

6. Έχουμε:

15

16

Γνωρίζουμε ότι σε μία συνάρτηση της μορφής η

περίοδος της είναι Τ = 2

. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα η συχνότητα ω =

15

,

οπότε Τ = 30 που είναι ο χρόνος μίας πλήρους περιστροφής κάθε κάψουλας.

Σχόλιο: Ακολουθεί μία αναλυτικότερη προσέγγιση του ζητήματος


48

Μετασχηματισμοί γραφικών παραστάσεων τριγωνομετρικών συναρτήσεων

Υπάρχουν κανόνες οι οποίοι μας επιτρέπουν να μετατοπίζουμε, να επιμηκύνουμε, να

συρρικνώνουμε και να κατοπτρίζουμε τη γραφική παράσταση οποιασδήποτε

συνάρτησης. Προφανώς οι ίδιοι κανόνες ισχύουν και για τις τριγωνομετρικές

συναρτήσεις. Το ακόλουθο διάγραμμα μπορεί να βοηθήσει να θυμόμαστε το ρόλο

κάθε παραμέτρου σε καθεμία από αυτές τις διεργασίες.

Εφαρμογή στο παρόν πρόβλημα:

Αφετηρία είναι η τριγωνομετρική συνάρτηση για την οποία είναι:

Για την

είναι:

Για την

είναι:


49

Η φυσική σημασία του

:

εκφράζει τη γωνιακή ταχύτητα ω της κυκλικής κίνησης

Η μαθηματική σημασία του

:

εκφράζει το μήκος του διαστήματος μιας περιόδου

Η φυσική σημασία του

:

εκφράζει τη διαφορά φάσης

Η μαθηματική σημασία του

:

εκφράζει την οριζόντια μετατόπιση


50

Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση με Ιδανικό Ελατήριο

Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση λέγεται η παλινδρομική κίνηση μεταξύ δυο ακραίων

θέσεων γύρω από μια θέση ισορροπίας που πραγματοποιεί ένα σώμα με τον ίδιο

ακριβώς τρόπο σε ίσα χρονικά διαστήματα, όταν η τροχιά του είναι ευθύγραμμη και η

μετατόπισή του από τη θέση ισορροπίας ημιτονοειδής συνάρτηση του χρόνου.

Το πρόβλημα

Ένα ελατήριο τοποθετείται κατακόρυφα

συνδέοντας το πάνω άκρο του σταθερά.

(Θέση φυσικού μήκους Φ.Μ.).

Προσαρμόζουμε ένα συμπαγές σώμα

μάζας m στο κάτω άκρο του ελατηρίου

και αυτό ακινητοποιείται σε μία θέση Ο

(θέση ισορροπίας Θ.Ι.). Απομακρύνουμε

το σώμα από τη θέση Ο, το

μεταφέρουμε κατακόρυφα προς τα πάνω

στη θέση Α συμπιέζοντας το ελατήριο

και το αφήνουμε ελεύθερο να εκτελέσει

ταλάντωση. Η ταλάντωση είναι γραμμική, πραγματοποιούμενη μεταξύ δύο ακραίων

θέσεων Α και Β και είναι ευθύγραμμη.

Τα φυσικά μεγέθη:

1. η απομάκρυνση του σώματος, δηλαδή η αλγεβρική τιμή της

μετατόπισης από τη θέση ισορροπίας του (Θ.Ι.)

2. η μέγιστη τιμή του μέτρου του (πλάτος ταλάντωσης)

3.

, όπου η κυκλική συχνότητα και η περίοδος της ταλάντωσης


51

4. η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας του σώματος συναρτήσει του

χρόνου

5. η μέγιστη τιμή του μέτρου του

Ισχύει:

6. η αλγεβρική τιμή της επιτάχυνσης του σώματος συναρτήσει του

χρόνου

7. η μέγιστη τιμή του μέτρου του

Ισχύει:

Οι εξισώσεις κίνησης:

1. Η εξίσωση της απομάκρυνσης συναρτήσει του χρόνου, είναι:

2. Η εξίσωση της ταχύτητας συναρτήσει του χρόνου, είναι:

3. Η εξίσωση της επιτάχυνσης συναρτήσει του χρόνου, είναι:

Το ζητούμενο είναι η μελέτη και η περιγραφή της Γραμμικής Αρμονικής

Ταλάντωσης που εκτελεί ένα Ιδανικό Ελατήριο με τη βοήθεια των Τριγωνομετρικών

Συναρτήσεων

Το πρόβλημα θα μελετηθεί για απομάκρυνση που δίνεται από τη συνάρτηση:

Τότε θα είναι: και

Επομένως οι συναρτήσεις ταχύτητας και επιτάχυνσης αντίστοιχα, είναι:

και

Ακολουθεί η διαμόρφωση του προβλήματος, ένα Φύλλο Εργασίας και οι

αναμενόμενες απαντήσεις από τους μαθητές.


52

3.9 Το Ελατήριο




Προσαρμόζουμε ένα συμπαγές σώμα μάζας

m στο κάτω άκρο του ελατηρίου και αυτό

ακινητοποιείται σε μία θέση Ο (θέση

ισορροπίας Θ.Ι.). Απομακρύνουμε το σώμα

από τη θέση Ο, το μεταφέρουμε

κατακόρυφα προς τα πάνω στη θέση Α

συμπιέζοντας το ελατήριο και το αφήνουμε

ελεύθερο να εκτελέσει ταλάντωση.

Η ταλάντωση είναι γραμμική, πραγματοποιούμενη μεταξύ δύο ακραίων θέσεων Α

και Β και είναι ευθύγραμμη. Για το σώμα δίνονται οι παρακάτω εξισώσεις κίνησης:

Η απομάκρυνση του από τη Θ.Ι. του, συναρτήσει του χρόνου, είναι:

Η ταχύτητα του, συναρτήσει του χρόνου, είναι:

Η επιτάχυνση του, συναρτήσει του χρόνου, είναι:

Να απαντήσετε στα παρακάτω ερωτήματα:

1. Να βρείτε την ελάχιστη θετική περίοδο των συναρτήσεων

2. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών:

0 1 2 3 4

3. Να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις των τριών συναρτήσεων σε διάστημα μιας

περιόδου


53

4. Χρησιμοποιώντας τις γραφικές παραστάσεις των τριών συναρτήσεων να

απαντήσετε στα παρακάτω ερωτήματα:

Ι. Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις:

Όταν το σώμα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας Ο,

η απομάκρυνση του είναι …………………………...,

η ταχύτητα του είναι ………………………………..,

και η επιτάχυνση του είναι ………………………….

Όταν το σώμα διέρχεται από τις ακραίες θέσεις του Α και Β,

η απομάκρυνσή του είναι ……………………………,

η ταχύτητα του είναι …………………………………,

και η επιτάχυνση του είναι …………………………..

ΙΙ. Σύνδεση του προσήμου της ταχύτητας και της μονοτονίας της απομάκρυνσης:

i) Όταν η συνάρτηση είναι ………………………………………..

Για η ταχύτητα είναι ………………………………………………

ii) Όταν η συνάρτηση είναι ………………………………………..


iii) Όταν η συνάρτηση είναι ………………………………………


Τις χρονικές στιγμές η ταχύτητα ………………………..

και η συνάρτηση ……………………………………………………………….

ΙΙΙ. Σύνδεση των προσήμων της ταχύτητας και της επιτάχυνσης με τη δυνατότητα

ένα κινητό να εκτελεί επιταχυνόμενη ή επιβραδυνόμενη κίνηση:

i) Όταν , είναι

και το σώμα εκτελεί …………………………… κίνηση


54

ii) Όταν , είναι

και το σώμα εκτελεί ……………………………. κίνηση

iii) Όταν , είναι

και το σώμα εκτελεί ……………………………. κίνηση

iv) Όταν , είναι

και το σώμα εκτελεί …………………………….. κίνηση

ΙV. Να κάνετε την περιγραφή της κίνησης του σώματος

5. α) Να βρείτε το χρόνο που μεσολαβεί από τη στιγμή που το σώμα, καθώς

απομακρύνεται από τη Θ.Ι. του για πρώτη φορά, βρίσκεται σε θέση όπου η

απομάκρυνση του είναι ίση με ώσπου να βρεθεί στην ίδια ακριβώς θέση

καθώς επιστρέφει προς τη Θ.Ι. του.

β) Να βρείτε πόσο είναι το συνολικό διάστημα που διήνυσε το σώμα κατά τη

διάρκεια της προηγούμενης κίνησης

γ) Να βρείτε ποιες χρονικές στιγμές το σώμα βρίσκεται σε απόσταση από τη

Θ.Ι. του, κατά τη διάρκεια της πρώτης ταλάντωσης

6. Να βρείτε ποιες χρονικές στιγμές το σώμα βρίσκεται σε απόσταση από τη

Θ.Ι. του, κατά τη διάρκεια της δεύτερης ταλάντωσης.

Να γενικεύσετε.


55

ΑΝΑΜΕΝΟΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

1. Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις

και

έχουν μέγιστη τιμή , ελάχιστη τιμή και (ελάχιστη θετική) περίοδο

.

Ως εκ τούτου και οι τρεις συναρτήσεις είναι περιοδικές με περίοδο

2. Ο πίνακας τιμών για τις τρεις συναρτήσεις για , είναι:

0 1 2 3 4

0 0,2 0 – 0,2 0

0,1π 0 – 0,1π 0 0,1π

0 0 0

Είναι:

και

και

και

3. Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων για , είναι:


56


57

4. Ι.

Όταν το σώμα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας Ο, η απομάκρυνση

του είναι ίση με μηδέν, η ταχύτητα του είναι μέγιστη (κατά απόλυτη

τιμή) και η επιτάχυνση του είναι ίση με μηδέν

Όταν το σώμα διέρχεται από τις ακραίες θέσεις του, η απομάκρυνσή

του είναι μέγιστη (κατά απόλυτη τιμή), η ταχύτητα του είναι ίση με

μηδέν και η επιτάχυνση του είναι μέγιστη (κατά απόλυτη τιμή)


i) Όταν η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα

Για η ταχύτητα είναι θετική

ii) Όταν η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα

Για η ταχύτητα είναι αρνητική

iii) Όταν η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα

Για η ταχύτητα είναι θετική

Τις χρονικές στιγμές η ταχύτητα μηδενίζεται και η

συνάρτηση παρουσιάζει ακρότατο



i) Όταν είναι και το σώμα εκτελεί επιβραδυνόμενη

κίνηση

ii) Όταν είναι και το σώμα εκτελεί επιταχυνόμενη

κίνηση

iii) Όταν είναι και το σώμα εκτελεί επιβραδυνόμενη

κίνηση

iv) Όταν είναι και το σώμα εκτελεί επιταχυνόμενη

κίνηση


58

ΙV. Περιγραφή της κίνησης:

Τη χρονική στιγμή (έναρξη της παρατήρησης) το σώμα

βρίσκεται στη θέση ισορροπίας του Ο, δηλαδή στην αρχή των

αξόνων Ο(0,0). Επομένως η απομάκρυνση του από αυτήν είναι μηδέν.

Κατά το χρονικό διάστημα το σώμα ανεβαίνει, δηλαδή η

απομάκρυνση του αυξάνει, έως ότου τη χρονική στιγμή να

λάβει τη μέγιστη τιμή της (πλάτος ταλάντωσης) και το σώμα φθάσει

στην άνω ακραία θέση ταλάντωσης του Α.

Η ταχύτητα του σώματος σταδιακά μειώνεται έως ότου μηδενισθεί.

Προφανώς, λοιπόν, το σώμα εκτελεί επιβραδυνόμενη κίνηση με το

μέτρο της επιτάχυνσης να μεγαλώνει, έως ότου να λάβει τη μέγιστη

(απολύτως) τιμή της

Κατά το χρονικό διάστημα το σώμα κατεβαίνει

επιστρέφοντας από την ακραία άνω θέση του Α προς τη θέση

ισορροπίας του Ο. Έτσι η απομάκρυνση του μειώνεται, έως ότου

μηδενισθεί τη χρονική στιγμή .

Στο διάστημα αυτό είναι λογικό η ταχύτητα του να αυξάνει. Πράγματι,

από τη γραφική παράσταση φαίνεται να μεγαλώνει η απόλυτη

τιμή της ταχύτητας.

Το αρνητικό πρόσημο υποδηλώνει την αλλαγή της φοράς της κίνησης

(θετικό – κίνηση προς τα πάνω και αρνητικό – κίνηση προς τα κάτω).

Επομένως η κίνηση του σώματος πρέπει να είναι επιταχυνόμενη.

Μαθηματικά αυτό εξηγείται επειδή το πρόσημο της ταχύτητας και της

επιτάχυνσης είναι το ίδιο (αρνητικό), δηλαδή το διάνυσμα της

επιτάχυνσης έχει την ίδια φορά με το διάνυσμα της ταχύτητας (προς τα

κάτω).

Τη χρονική στιγμή , οπότε το σώμα βρίσκεται στη θέση Ο, η

ταχύτητα λαμβάνει τη μέγιστη (απολύτως) τιμή της και η επιτάχυνση

του είναι στιγμιαία μηδέν.

Κατά το χρονικό διάστημα το σώμα συνεχίζει να κατεβαίνει

έως ότου τη χρονική στιγμή φθάσει στην άλλη ακραία θέση της

ταλάντωσης του Β και η απομάκρυνση του λάβει εκ νέου τη μέγιστη

(απολύτως) τιμή της (πλάτος ταλάντωσης).


59

Η ταχύτητα βαίνει μειούμενη (απολύτως), με αρνητικό πρόσημο

(διάνυσμα προς τα κάτω), έως ότου τη χρονική στιγμή

μηδενισθεί στιγμιαία.

Η επιτάχυνση αυξάνει, έχει θετικό πρόσημο (διάνυσμα προς τα πάνω)

και το κινητό εκτελεί επιβραδυνόμενη κίνηση, έως ότου σταματήσει.

Τότε, όταν η επιτάχυνση λαμβάνει τη μέγιστη τιμή της

Κατά το χρονικό διάστημα το σώμα ανεβαίνει

επιστρέφοντας από την ακραία θέση ταλάντωσης Β προς τη θέση

ισορροπίας του Ο. Η απομάκρυνση λοιπόν μειώνεται (απολύτως) και

τη χρονική στιγμή (Θ.Ι.) μηδενίζεται.

Η ταχύτητα του σώματος αυξάνει, έχει θετικό πρόσημο (διάνυσμα

προς τα πάνω) έως ότου λάβει τη μέγιστη τιμή της, όταν διέρχεται από

τη θέση ισορροπίας του.

Η επιτάχυνση του σώματος μειώνεται, έχει θετικό πρόσημο (διάνυσμα

προς τα πάνω), επομένως το σώμα εκτελεί εκ νέου επιταχυνόμενη

κίνηση και τη χρονική στιγμή (Θ.Ι.) μηδενίζεται.

5. α) Ζητάμε ουσιαστικά να βρούμε ποια χρονική στιγμή , η απομάκρυνση

του σώματος είναι

Έχουμε

Επειδή όμως , έχουμε:

(1)

(2)

Και από τις δύο σχέσεις προκύπτει ότι , επομένως:

ή


60

Επομένως ο ζητούμενος χρόνος που μεσολαβεί, είναι

β) Το σώμα κινείται μεταξύ των χρονικών στιγμών

και

. Από τη θέση

Κ, ακολουθώντας τη γραφική παράσταση της συνάρτησης της απομάκρυνσης,

μεταβαίνει μέσω του σημείου Μ στη θέση Λ.

Δηλαδή διανύει διάστημα:

Η συμβολή όμως της γραφικής – διαισθητικής προσέγγισης της λύσης δεν είναι

πάντα εφικτή και ενδεχομένως μπορεί να μας παραπλανήσει.

Απαραίτητη προϋπόθεση για να υπολογίσουμε το συνολικό διάστημα κίνησης είναι η

γνώση της μονοτονίας της . Γνωρίζοντας ότι η απομάκρυνση είναι γνησίως

αύξουσα στο διάστημα [0,1] και γνησίως φθίνουσα στο [1,2], έχουμε:

, δηλαδή


61

, δηλαδή

Και τελικά

γ) Εύρεση των χρονικών στιγμών στις οποίες το σώμα βρίσκεται σε απόσταση

από τη Θ.Ι. του, κατά τη διάρκεια της πρώτης ταλάντωσης:

Αυτό συμβαίνει όταν

Είναι

ή

και επιπλέον

Επειδή όμως , έχουμε:

(1)

(2)

Από την (1) προκύπτει , οπότε

Από την (2) προκύπτει , οπότε

Συμπερασματικά λοιπόν, το σώμα που εκτελεί ταλάντωση βρίσκεται σε απόσταση

από τη Θ.Ι. του, κατά τη διάρκεια της πρώτης ταλάντωσης, τέσσερις χρονικές

στιγμές, τις


62

Στο επόμενο σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης:

στην οποία φαίνονται οι τέσσερις λύσεις

6. Η συνάρτηση της απομάκρυνσης είναι περιοδική με περίοδο . Η μελέτη της

κίνησης έγινε για , χρονικό διάστημα κατά το οποίο το σώμα έκανε την

πρώτη του ταλάντωση. Η δεύτερη ταλάντωση γίνεται στο διάστημα , και οι

ζητούμενες χρονικές στιγμές είναι:

Γενικά λοιπόν, οι διαδοχικές χρονικές στιγμές κατά τις οποίες το

σώμα βρίσκεται σε απόσταση από τη Θ.Ι. του, είναι:


63

ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ

Ας υποθέσουμε τώρα ότι η ταλάντωση είναι φθίνουσα, δηλαδή το πλάτος της

μειώνεται με την πάροδο του χρόνου και ότι ο τρόπος με τον οποίο γίνεται η μείωση

προσεγγίζεται ικανοποιητικά από τη συνάρτηση , όπου είναι μία

σταθερά που εκφράζει το αρχικό πλάτος της ταλάντωσης, ο χρόνος, το πλάτος

κάθε χρονική στιγμή και μία θετική σταθερά (εξαρτάται από τη σταθερά

απόσβεσης και τη μάζα του σώματος).

Να βρείτε:

α) Το πλάτος της ταλάντωσης τις χρονικές στιγμές

Τι παρατηρείτε; Μπορείτε να γενικεύσετε;

β) Αν το αρχικό πλάτος της ταλάντωσης είναι και η σταθερά

, τότε η

συνάρτηση έχει τύπο

.

Να κάνετε τη γραφική της παράσταση, αφού πρώτα συμπληρώσετε τον παρακάτω

πίνακα τιμών:

0 4 8 12

γ) Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης

που εκφράζει την απομάκρυνση του σώματος από τη θέση

ισορροπίας του, όταν το πλάτος της ταλάντωσης μειώνεται εκθετικά σύμφωνα με τη

συνάρτηση του προηγούμενου ερωτήματος.


64

i) Να αποδείξετε ότι

ii) Μπορείτε να ερμηνεύσετε (από τη γραφική παράσταση) τι συμβαίνει για το πλάτος

της ταλάντωσης και την απομάκρυνσή της κάθε χρονική στιγμή;

Σχόλιο: Η επίλυση του προβλήματος του δεύτερου μέρους θα δοθεί στο 5ο Κεφάλαιο,

όπου μελετάται διεξοδικά η εκθετική συνάρτηση


65

Το Ελατήριο – Φύλλο Εργασίας




Προσαρμόζουμε ένα συμπαγές σώμα μάζας

m στο κάτω άκρο του ελατηρίου και αυτό

ακινητοποιείται σε μία θέση Ο (θέση

ισορροπίας Θ.Ι.). Απομακρύνουμε το σώμα

από τη θέση Ο, το μεταφέρουμε

κατακόρυφα προς τα πάνω στη θέση Α

συμπιέζοντας το ελατήριο και το αφήνουμε

ελεύθερο να εκτελέσει ταλάντωση. Η

ταλάντωση είναι γραμμική, πραγματοποιούμενη μεταξύ δύο ακραίων θέσεων Α και

Β και είναι ευθύγραμμη. Για το σώμα δίνονται οι παρακάτω εξισώσεις κίνησης:

Η απομάκρυνση του από τη Θ.Ι. του, συναρτήσει του χρόνου, είναι:

Η ταχύτητα του, συναρτήσει του χρόνου, είναι:

Η επιτάχυνση του, συναρτήσει του χρόνου, είναι:

Να απαντήσετε στα παρακάτω ερωτήματα:

1. Να βρείτε την ελάχιστη θετική περίοδο των συναρτήσεων

2. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών:

0 1 2 3 4

3. Να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις των τριών συναρτήσεων σε διάστημα μιας

περιόδου

4. Χρησιμοποιώντας τις γραφικές παραστάσεις των τριών συναρτήσεων να

απαντήσετε στα παρακάτω ερωτήματα:


66

Ι. Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις:

Όταν το σώμα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας Ο,

η απομάκρυνση του είναι …………………………...,

η ταχύτητα του είναι ………………………………..,

και η επιτάχυνση του είναι ………………………….

Όταν το σώμα διέρχεται από τις ακραίες θέσεις του,

η απομάκρυνσή του είναι ……………………………,

η ταχύτητα του είναι …………………………………,

και η επιτάχυνση του είναι …………………………..


i) Όταν η συνάρτηση είναι …………………………………………


ii) Όταν η συνάρτηση είναι ………………………………………..


iii) Όταν η συνάρτηση είναι ………………………………………


Τις χρονικές στιγμές η ταχύτητα ………………………..

και η συνάρτηση ……………………………………………………………….



i) Όταν είναι και το σώμα εκτελεί

………………………. Κίνηση

ii) Όταν είναι και το σώμα εκτελεί

………………………. κίνηση

iii) Όταν είναι και το σώμα εκτελεί

………………………. κίνηση

iv) Όταν είναι και το σώμα εκτελεί

……………………….. κίνηση

ΙV. Να κάνετε την περιγραφή της κίνησης του σώματος


67

5. α) Να βρείτε το χρόνο που μεσολαβεί από τη στιγμή που το σώμα, καθώς

απομακρύνεται από τη Θ.Ι. του για πρώτη φορά, βρίσκεται σε θέση όπου η

απομάκρυνση του είναι ίση με ώσπου να βρεθεί στην ίδια ακριβώς θέση

καθώς επιστρέφει προς τη Θ.Ι. του.

β) Να βρείτε πόσο είναι το συνολικό διάστημα που διήνυσε το σώμα κατά τη

διάρκεια της προηγούμενης κίνησης

γ) Να βρείτε ποιες χρονικές στιγμές το σώμα βρίσκεται σε απόσταση από τη

Θ.Ι. του, κατά τη διάρκεια της πρώτης ταλάντωσης

6. Να βρείτε ποιες χρονικές στιγμές το σώμα βρίσκεται σε απόσταση από τη

Θ.Ι. του, κατά τη διάρκεια της δεύτερης ταλάντωσης.

Να γενικεύσετε.


68


Πολυώνυμα – Πολυωνυμικές Εξισώσεις

Στο πρώτο μέρος του κεφαλαίου αυτού αναδεικνύεται η δυνατότητα της

Άλγεβρας να επιλύει προβλήματα της Γεωμετρίας. Δίδεται λοιπόν μια εφαρμογή της

θεωρίας των πολυωνυμικών εξισώσεων στις γεωμετρικές κατασκευές με κανόνα και

διαβήτη, σύμφωνα με τα «Στοιχεία» του Ευκλείδη. Πιο συγκεκριμένα, αναλύονται τα

τρία προβλήματα που απασχόλησαν τους αρχαίους Έλληνες Μαθηματικούς – ο

διπλασιασμός του κύβου, η τριχοτόμηση της γωνίας και ο τετραγωνισμός του κύκλου

και αποδεικνύεται η μη επιλυσιμότητα των δύο πρώτων εξ αυτών.

Στο δεύτερο μέρος χρησιμοποιούνται οι δυνατότητες των πολυωνυμικών

εξισώσεων και ανισώσεων στην επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων και

προβλημάτων κίνησης.


69

Α. Τα τρία μη επιλύσιμα προβλήματα της αρχαιότητας

Τον 5ο π.Χ. αιώνα διατυπώθηκαν στην αρχαία Ελλάδα τρία προβλήματα, τα οποία

απασχόλησαν όλους τους γεωμέτρες της αρχαιότητας και η αναζήτηση των λύσεων

τους έδωσε ισχυρή ώθηση στα μαθηματικά.

1ο Πρόβλημα: Ο διπλασιασμός του κύβου (το Δήλιον Πρόβλημα)

«Να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη κύβος όγκου διπλάσιου του όγκου

δοθέντος κύβου».

Το πρόβλημα απαιτεί την κατασκευή με κανόνα και διαβήτη ενός ευθύγραμμου

τμήματος του οποίου το μήκος είναι ο μη κατασκευάσιμος αριθμός

2ο Πρόβλημα: Η τριχοτόμηση γωνίας

«Να χωρισθεί με κανόνα και διαβήτη δοθείσα γωνία σε τρία ίσα μέρη»


τμήματος του οποίου το μήκος είναι ένας μη κατασκευάσιμος αριθμός (στη γενική

μορφή του προβλήματος), αφού πρέπει να αποτελεί ρίζα μιας κυβικής εξίσωσης

3ο Πρόβλημα: Ο τετραγωνισμός του κύκλου

«Να κατασκευασθεί με κανόνα και διαβήτη τετράγωνο με εμβαδόν ίσο με το

εμβαδόν δοθέντος κύκλου»


τμήματος του οποίου το μήκος είναι ο μη κατασκευάσιμος αριθμός

Τα τρία προβλήματα δεν είναι επιλύσιμα εξαιτίας δύο περιορισμών που είχαν τεθεί

από τους Έλληνες μαθηματικούς της αρχαιότητας, οι οποίοι ορίζονται στα «Στοιχεία»

του Ευκλείδη.

1. Η χρήση μόνο του κανόνα και του διαβήτη, για να κατασκευάζονται ευθείες

γραμμές και κύκλοι με γνωστό το κέντρο τους και ένα σημείο της περιφέρειάς τους,

αντίστοιχα.

2. Η λύση που προκύπτει να μην απαιτεί άπειρο αριθμό βημάτων.


70

Πέρασαν περισσότερα από 2000 χρόνια έως ότου καταφέρουν να αποδείξουν οι

μαθηματικοί ότι τα προβλήματα δε λύνονται με κανόνα και διαβήτη. Η απόδειξη της

αδυναμίας επίλυσης του προβλήματος του διπλασιασμού του κύβου και της

τριχοτόμησης της γωνίας δόθηκε το 1837 με χρήση της θεωρίας Galois από τον

Γάλλο μαθηματικό P.L.Wantzel (1814 – 1848). Για το πρόβλημα του τετραγωνισμού

του κύκλου η απόδειξη δόθηκε από τον Γερμανό μαθηματικό C.L.F.Lindemann το

1882, όταν απέδειξε ότι ο αριθμός π είναι υπερβατικός.

Βασικές Έννοιες

Ένας αριθμός α ονομάζεται αλγεβρικός αριθμός (algebraic number), αν αποτελεί

ρίζα ενός πολυωνύμου του οποίου οι συντελεστές είναι ακέραιοι ή ρητοί

αριθμοί.

Ο βαθμός του πολυωνύμου, του οποίου ο αλγεβρικός αριθμός α αποτελεί ρίζα,

ονομάζεται βαθμός (degree) του αλγεβρικού αριθμού α.

Η πολυωνυμική εξίσωση ονομάζεται ελάχιστη εξίσωση (minimal

equation) του αλγεβρικού αριθμού α, αν ο α δεν μπορεί να αποτελέσει λύση μιας

τέτοιας εξίσωσης με μικρότερο βαθμό. Έτσι, οι ρητοί αριθμοί είναι αλγεβρικοί

αριθμοί βαθμού ένα. Ένας αλγεβρικός αριθμός με βαθμό μεγαλύτερο από ένα είναι

άρρητος. Για παράδειγμα, ο αριθμός είναι αλγεβρικός αριθμός βαθμού δύο.

Κατασκευάσιμοι αριθμοί (constructible numbers) είναι οι αριθμοί οι οποίοι,

δοθείσης μιας μονάδας μήκους, μπορούν να κατασκευαστούν με κανόνα και διαβήτη.

Το σύνολο των κατασκευάσιμων αριθμών περιλαμβάνει όλους τους ρητούς

(αλγεβρικούς αριθμούς βαθμού ένα), όλους τους τετραγωνικούς άρρητους

(αλγεβρικούς αριθμούς βαθμού δύο), καθώς και όλους τους αριθμούς που μπορούν να

σχηματισθούν από αυτούς, χρησιμοποιώντας τις βασικές πράξεις της αριθμητικής

(πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό και διαίρεση) και την εξαγωγή τετραγωνικών

ριζών.

Όλοι οι κατασκευάσιμοι αριθμοί είναι αλγεβρικοί.

Υπερβατικός αριθμός (transcendental) ονομάζεται ένας αριθμός, ο οποίος δεν

μπορεί να αποτελέσει ρίζα για κανένα πολυώνυμο του οποίου οι συντελεστές είναι

ακέραιοι ή ρητοί αριθμοί.


71

Ιστορική αναδρομή

Η θεωρία των αριθμών ασχολείται, κυρίως, με τους ακέραιους ή γενικότερα με τους

λόγους των ακεραίων, δηλαδή τους ρητούς αριθμούς:

Από τον ορισμό τους προκύπτει, ότι οι ρητοί είναι πάντοτε ρίζες της γραμμικής

εξίσωσης με ακέραιους συντελεστές.

Η πραγματική ανάλυση ασχολείται με αριθμούς που μπορεί να είναι είτε ρητοί είτε

άρρητοι.

Ο Ευκλείδης γνώριζε ότι οι ρίζες της εξίσωσης , όπου οι

συντελεστές α, β και γ είναι ακέραια πολλαπλάσια ενός δεδομένου μήκους,

μπορούν να κατασκευασθούν γεωμετρικά με κανόνα και διαβήτη.

Αν όμως οι συντελεστές της εξίσωσης ,

είναι ακέραιοι και φυσικός αριθμός, τότε οι ρίζες της

εξίσωσης δεν μπορούν να κατασκευασθούν με ευκλείδειο τρόπο. Οι ρίζες μιας

τέτοιας εξίσωσης, για , είναι γνωστές ως αλγεβρικοί αριθμοί, υποδεικνύοντας

έτσι τον τρόπο που ορίζονται. Εφόσον δε, κάθε ρητός αριθμός είναι μία ρίζα μιας

τέτοιας εξίσωσης για , το ερώτημα που τίθεται είναι αν κάθε άρρητος αριθμός

είναι μία ρίζα μιας τέτοιας εξίσωσης, για κάποιο . Η πρόταση αυτή απεδείχθη

τελικά μη αληθής από τον Joseph Liouville (1809 – 1882), ο οποίος το 1844

κατασκεύασε μία εκτεταμένη κλάση μη αλγεβρικών πραγματικών αριθμών. Η

συγκεκριμένη κλάση, ονομάστηκε αριθμοί Liouville, και αποτελούσαν το

πληρέστερο σύνολο μη αλγεβρικών πραγματικών αριθμών, τους αποκαλούμενους

υπερβατικούς αριθμούς.

Είναι πολύ δύσκολο να αποδείξουμε ότι ένας συγκεκριμένος πραγματικός αριθμός,

όπως για παράδειγμα το e (η βάση των φυσικών λογαρίθμων) ή τo π δεν είναι

αλγεβρικός. Ο Liouville απέδειξε (1844, Journal), ότι ούτε ο e ούτε ο

μπορούσαν να είναι ρίζες μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης με ακέραιους συντελεστές.

Επομένως, δεδομένου ενός μοναδιαίου ευθύγραμμου τμήματος, δεν μπορούμε να

κατασκευάσουμε τα τμήματα e και με την ευκλείδεια μέθοδο. Ο Charles Hermite

(1822 – 1901) κατάφερε να αποδείξει (1873, Comptes Rendus) ότι ο e δεν μπορούσε


72

να είναι ρίζα οποιασδήποτε πολυωνυμικής εξίσωσης με ακέραιους συντελεστές,

δηλαδή ότι ο e είναι υπερβατικός.

Ο χαρακτήρας του αριθμού π ταλαιπώρησε τους μαθηματικούς εννέα χρόνια

περισσότερο από τον αριθμό e. Ο Lambert το 1770 και ο Legendre το 1794 είχαν ήδη

αποδείξει ότι οι αριθμοί π και είναι άρρητοι, αλλά η απόδειξη αυτή δεν έδινε

την απάντηση στο πανάρχαιο ερώτημα του τετραγωνισμού του κύκλου.

Ο C.L.F. Lindemann (1852 – 1939) απέδειξε την υπερβατικότητα του π

(1882, , Mathematische Annalen). Με αυτόν τον τρόπο δόθηκε η

απάντηση στο κλασικό πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου. Για να ήταν

δυνατός ο τετραγωνισμός του κύκλου με τον ευκλείδειο τρόπο, θα έπρεπε ο αριθμός

π να είναι ρίζα μιας αλγεβρικής εξίσωσης με μία ρίζα που μπορεί να εκφρασθεί ως

τετραγωνική ρίζα. Εφόσον όμως ο π δεν είναι αλγεβρικός, ο κύκλος δεν μπορεί να

τετραγωνισθεί σύμφωνα με τους κλασικούς κανόνες (κανόνα και διαβήτη).


73

Κριτήριο κατασκευασιμότητας

Ακολουθούν δύο θεωρήματα τα οποία μας δείχνουν τί προϋποθέσεις πρέπει να

ικανοποιεί ένας πραγματικός αριθμός, έτσι ώστε να θεωρείται κατασκευάσιμος με

την κλασική έννοια (με κανόνα και διαβήτη)

Θεώρημα 1ο (Θ. Wantzel)

Αν ένας αριθμός είναι κατασκευάσιμος με κανόνα και διαβήτη, τότε είναι ρίζα ενός

πολυωνύμου με ακέραιους συντελεστές, το οποίο είναι ανάγωγο στο σύνολο των

πολυωνύμων με ρητούς συντελεστές και ο βαθμός του είναι δύναμη του 2.

Θεώρημα 2ο

Αν ένας αριθμός είναι ρίζα ενός ανάγωγου πολυωνύμου ν – οστού βαθμού, τότε δεν

μπορεί να είναι ρίζα άλλου ανάγωγου πολυωνύμου διαφορετικού βαθμού.


74

Ρητοί – Άρρητοι και Κατασκευασιμότητα

Για τα προβλήματα που θα ακολουθήσουν είναι απαραίτητο να διευκρινιστούν τα

ακόλουθα:

1. Όλοι οι ρητοί είναι κατασκευάσιμοι διότι από τον ορισμό τους είναι πάντοτε ρίζες

της γραμμικής εξίσωσης με ακέραιους συντελεστές.

2. Κάποιοι άρρητοι είναι κατασκευάσιμοι και κάποιοι όχι.

Επομένως έχει ενδιαφέρον να μπορούμε να ελέγχουμε αν ένας αριθμός είναι ρητός ή

άρρητος.

Για τον σκοπό αυτό παρατίθεται το θεώρημα των ρητών ριζών:

Θεώρημα ρητών ριζών

Δίνεται η πολυωνυμική εξίσωση με

ακέραιους συντελεστές. Αν ο ρητός

(

ανάγωγο κλάσμα) είναι ρίζα της

εξίσωσης, τότε ο κ είναι διαιρέτης του σταθερού όρου και ο λ είναι διαιρέτης του

συντελεστή

Εφαρμογή: Nα αποδειχθεί ότι ο αριθμός δεν είναι ρητός αλλά είναι

κατασκευάσιμος

α) Η εξίσωση είναι μία πολυωνυμική εξίσωση με ακέραιους συντελεστές

και μία από τις ρίζες της είναι ο αριθμός . Σύμφωνα με το θεώρημα των ρητών

ριζών, αν η εξίσωση έχει ρητές ρίζες αυτές είναι κάποιες εκ των αριθμών ,

οι οποίες προφανώς δεν επαληθεύουν την εξίσωση.

Επομένως ο αριθμός είναι άρρητος.

β) Είναι

Ο αριθμός είναι ρίζα του πολυωνύμου , το οποίο έχει ακέραιους

συντελεστές, είναι ανάγωγο στο σύνολο των πολυωνύμων με ρητούς συντελεστές και

επιπλέον ο βαθμός του είναι δύναμη του 2.

Επομένως ο αριθμός είναι κατασκευάσιμος.


75

4.1 Ο διπλασιασμός του κύβου ( Το Δήλιον Πρόβλημα )

«Να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη κύβος όγκου διπλάσιου του όγκου

δοθέντος κύβου».

Μπορούμε χωρίς βλάβη της γενικότητας να θεωρήσουμε ότι η ακμή του αρχικού –

δοθέντος κύβου είναι , οπότε ο όγκος του είναι . Επομένως ο

ζητούμενος κύβος πρέπει να έχει όγκο και η ακμή του x πρέπει να επαληθεύει

την εξίσωση , η οποία ως γνωστόν έχει ρίζα την

Η εξίσωση αυτή είναι μία πολυωνυμική εξίσωση τρίτου βαθμού με ακεραίους

συντελεστές.

Η εξίσωση είναι ανάγωγη, δηλαδή δεν μπορεί να αναλυθεί σε γινόμενο πολυωνύμων

με ακεραίους συντελεστές, και ο βαθμός της δεν είναι δύναμη του 2.

Επιπλέον δεν μπορεί να υπάρξει άλλη ανάγωγη εξίσωση με συντελεστές ακεραίους

της οποίας το ζητούμενο μέγεθος να είναι ρίζα και της οποίας ο βαθμός να είναι

δύναμη του 2.

Επομένως, σύμφωνα με το κριτήριο κατασκευασιμότητας, το τμήμα x δεν

κατασκευάζεται με κανόνα και διαβήτη.

Ως εκ τούτου, ο διπλασιασμός του κύβου με κανόνα και διαβήτη είναι αδύνατος.


76

4.2 Η τριχοτόμηση γωνίας

«Να χωρισθεί με κανόνα και διαβήτη δοθείσα γωνία σε τρία ίσα μέρη»

Μία γωνία θ μπορεί να

κατασκευασθεί, αν μπορεί να

κατασκευασθεί ένα ευθύγραμμο τμήμα

μήκους συνθ.

Στο διπλανό σχήμα (τριγωνομετρικός

κύκλος) έχουμε μία γωνία θ και το

τμήμα ΟΑ = συνθ. Έτσι, αν το συνθ

είναι κατασκευάσιμο (δηλαδή το

τμήμα ΟΑ), τότε και η γωνία θ είναι

κατασκευάσιμη

Θεωρούμε μία γωνία, η οποία είναι κατασκευάσιμη, για παράδειγμα η , και

θα αποδείξουμε ότι δεν μπορούμε να την τριχοτομήσουμε. Δηλαδή δεν μπορούμε να

κατασκευάσουμε τη γωνία .


77

Υπενθύμιση: η γωνία 120ο είναι κατασκευάσιμη, διότι

και όπως γνωρίζουμε όλοι οι ρητοί αριθμοί είναι κατασκευάσιμοι (αλγεβρικοί

αριθμοί 1ου

βαθμού).

Τα ερωτήματα λοιπόν είναι δύο:

το συν40ο είναι ρητός ή άρρητος και

στη δεύτερη περίπτωση, αν είναι ή όχι κατασκευάσιμος άρρητος

Το πρόβλημα: Η γωνία δεν είναι κατασκευάσιμη

1ο βήμα: Καταρχάς χρειαζόμαστε μία σχέση που να συνδέει το και το .

Να αποδειχθεί ότι (1)

Είναι:

2ο βήμα: Δημιουργούμε μία πολυωνυμική εξίσωση με άγνωστο το συν40

ο

Αν είναι γνωστό το και άγνωστο το , τότε η (1) μετατρέπεται

στην πολυωνυμική εξίσωση τρίτου βαθμού:

(2)

Πράγματι για το

και η (2) γίνεται

(3)

Επομένως η εξίσωση (3) θα μας δώσει την τιμή του

3o βήμα: Να αποδειχθεί ότι το είναι άρρητος

Αρκεί να δείξουμε ότι η εξίσωση (3) δεν έχει ρητές ρίζες. Σύμφωνα με το θεώρημα

των ρητών ριζών, αν η εξίσωση (3) έχει ρητές ρίζες, τότε αυτές θα είναι κάποιες εκ

των αριθμών:


78

Με απλή αντικατάσταση των τιμών στην εξίσωση (3) προκύπτει ότι καμία εξ αυτών

δεν την επαληθεύει. Επομένως η εξίσωση δεν έχει ρητές ρίζες και ως εκ τούτου το

είναι άρρητος

4o βήμα: Να αποδειχθεί ότι το δεν είναι κατασκευάσιμος αριθμός

Η εξίσωση (3) είναι μία πολυωνυμική εξίσωση τρίτου βαθμού με ακεραίους

συντελεστές.

Η εξίσωση είναι ανάγωγη, δηλαδή δεν μπορεί να αναλυθεί σε γινόμενο πολυωνύμων

με ακεραίους συντελεστές, και ο βαθμός της δεν είναι δύναμη του 2.

Επιπλέον δεν μπορεί να υπάρξει άλλη ανάγωγη εξίσωση με συντελεστές ακεραίους

της οποίας το ζητούμενο μέγεθος να είναι ρίζα και της οποίας ο βαθμός να είναι

δύναμη του 2.

Επομένως, σύμφωνα με το κριτήριο κατασκευασιμότητας, το τμήμα x δεν

κατασκευάζεται με κανόνα και διαβήτη.

Ως εκ τούτου, η γωνία 40ο δεν κατασκευάζεται και επομένως η γωνία 120

ο

δεν τριχοτομείται.

ΣΧΟΛΙΟ:

Είναι προφανές ότι υπάρχουν γωνίες οι οποίες μπορούν να τριχοτομηθούν,

όπως για παράδειγμα η γωνία 90ο. Τότε η εξίσωση (2), για , γίνεται:

Επομένως η εξίσωση παραγοντοποιείται σε γινόμενο ενός πρωτοβάθμιου και ενός

δευτεροβάθμιου πολυωνύμου με ακέραιους συντελεστές, οπότε το x είναι

κατασκευάσιμο.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ:

Η δυνατότητα τριχοτόμησης μίας γωνίας εξαρτάται από την τιμή του πραγματικού

αριθμού στην εξίσωση:


79

Η γωνία δεν είναι κατασκευάσιμη

Φύλλο Εργασίας

1. Να βρείτε μία σχέση που να συνδέει το και το

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

2. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση δεν έχει ρητές ρίζες

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

3. Να αποδείξετε ότι

…………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………….

4. Να αποδείξετε ότι το είναι άρρητος αριθμός

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

5. Να αποδείξετε ότι το δεν είναι κατασκευάσιμος αριθμός

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………


80

Β. Προβλήματα κίνησης και εφαρμογής στη Γεωμετρία

4.3 Πρόβλημα Απομάκρυνσης

Ένα σώμα κινείται ευθύγραμμα και η απομάκρυνση του από το αρχικό σημείο

εκκίνησης δίνεται από την συνάρτηση , όπου ο χρόνος

σε δευτερόλεπτα και σε μέτρα

α) Να βρείτε τις χρονικές στιγμές κατά τις οποίες το σώμα διέρχεται από το αρχικό

σημείο

β) Να βρείτε τα χρονικά διαστήματα στα οποία η απομάκρυνση είναι θετική και τα

αντίστοιχα χρονικά διαστήματα στα οποία είναι αρνητική

γ) Να υπολογίσετε το διάστημα το οποίο θα διανύσει το σώμα μεταξύ του δεύτερου

και του τρίτου δευτερολέπτου της κίνησης

δ) Να ερμηνεύσετε τα συμπεράσματα σας με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης

της συνάρτησης


81

ε) Μπορείτε να βρείτε ποιες πληροφορίες σας είναι αναγκαίες για να υπολογίσετε το

συνολικό διάστημα που θα διανύσει το σώμα από τη στιγμή της εκκίνησης έως και τη

χρονική στιγμή .

Λύση

Υποθέτουμε ότι η κίνηση του σώματος γίνεται πάνω στον άξονα x΄x

α) Όταν το σώμα διέρχεται από το σημείο εκκίνησης, τότε είναι s = 0. Λύνουμε

λοιπόν την εξίσωση , η οποία

έχει λύσεις: t1 = 0, t2 = 1, t3 = 2

Επομένως, το σώμα διέρχεται τρεις φορές από την αφετηρία της κίνησής του, την

πρώτη κατά την έναρξη της κίνησης, την δεύτερη όταν sec και την τρίτη όταν

sec

β) Είναι:

ή

γ) Αναζητούμε το s(3) – s(2) = 6 – 0 = 6

Επομένως το ζητούμενο διάστημα είναι 6 m

δ)

Τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης με τον οριζόντια άξονα t

(δηλαδή όταν t = 0, t = 1, t = 2) παριστάνουν τις χρονικές στιγμές στις οποίες

το κινητό επιστρέφει στην αρχική θέση εκκίνησης

Tα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση βρίσκεται πάνω από τον

άξονα t (δηλαδή όταν 0 < t < 1 ή t > 2), αντιστοιχούν στα χρονικά

διαστήματα στα οποία η απομάκρυνση είναι θετική

Tο διάστημα στο οποίο η γραφική παράσταση βρίσκεται κάτω από τον άξονα

t (δηλαδή όταν 1 < t < 2), αντιστοιχεί στο χρονικό διάστημα στο οποίο η

απομάκρυνση είναι αρνητική

ε) Χρειάζεται απαραίτητα η γνώση της μονοτονίας της συνάρτησης (από τη δοθείσα

γραφική παράσταση), η απομάκρυνση τη χρονική στιγμή t = 3 sec καθώς επίσης και

τις χρονικές στιγμές που αλλάζει η μονοτονία.


82

4.4 Πρόβλημα Διαστήματος

Το διάστημα σε m που έχει διανύσει ένα κινητό τη χρονική στιγμή σε sec,

δίνεται από τον τύπο:

α) Να βρείτε το διάστημα που έχει διανύσει το κινητό τις χρονικές στιγμές

και

β) Να βρείτε πόσο χρόνο χρειάζεται το κινητό για να διανύσει απόσταση 30m

γ) Επειδή το εκφράζει το διάστημα που διανύει το κινητό, θα πρέπει να είναι

πάντα μη αρνητικό. Μπορείτε να αποδείξετε αλγεβρικά αυτόν τον ισχυρισμό;

δ) Δίνονται οι γραφικές παραστάσεις τριών πολυωνύμων . Μία μόνο από αυτές

μπορεί να εκφράσει διάστημα. Μπορείτε να την βρείτε, δικαιολογώντας την

απάντησή σας;

ε) Θεωρούμε δύο χρονικές στιγμές .

Να αποδείξετε ότι

Λύση

α) (το κινητό βρίσκεται στην αφετηρία) και m

β) (1). Η τιμή

επαληθεύει την εξίσωση και με τη βοήθεια του σχήματος Horner, έχουμε:

1 – 3 5 – 15 3

3 0 15

1 0 5 0


83

Άρα η (1)

Επομένως το κινητό θα χρειαστεί 3 sec για να διανύσει απόσταση 30 m.

γ) Πραγματικά, έχουμε:

, διότι (εκφράζει το χρόνο)

και (έχει Δ = – 11< 0 και α = 1 > 0)

δ) Η 1η είναι μεν μη αρνητική, αλλά δε διατηρεί το ίδιο είδος μονοτονίας

Η 2η παίρνει και αρνητικές τιμές

Η 3η είναι μη αρνητική και γνησίως αύξουσα παντού, ως εκ τούτου αποτελεί την

ενδεδειγμένη απάντηση

ε) Θεωρούμε δύο χρονικές στιγμές . Αρκεί να

αποδείξουμε ότι . Είναι:

Επομένως αρκεί να αποδείξουμε ότι:

Θεωρούμε το

Είναι

Το έχει , άρα για κάθε

Επομένως και ως εκ τούτου για κάθε

Συμπερασματικά, αποδείξαμε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο

πεδίο ορισμού της.


84

4.5 Η Δεξαμενή

Θέλουμε να κατασκευάσουμε μία δεξαμενή χωρητικότητας 48 m3 από λαμαρίνα, η

οποία έχει σχήμα ορθογωνίου με διαστάσεις 10 x 8 (σε m). Για να γίνει η κατασκευή,

κόβουμε από κάθε γωνία της λαμαρίνας ίσα τετράγωνα και τα γυρίζουμε έτσι ώστε

να δημιουργήσουμε ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο.

α) Να βρεθεί το μήκος της πλευράς του κάθε τετραγώνου που αποκόπτεται

β) Αν θέλουμε να βάψουμε τη δεξαμενή, με κόστος 5 ευρώ/m2, να βρείτε την

επιλογή που πρέπει να κάνουμε, αν θέλουμε να έχουμε το μικρότερο δυνατό κόστος,

το οποίο να βρεθεί

Λύση

α) Συμβολίζουμε με x το μήκος της πλευράς του κάθε τετραγώνου που αποκόπτεται.

Η δεξαμενή που δημιουργείται, είναι ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο με:

μήκος α = 10 – 2x , πλάτος β = 8 – 2x και ύψος γ = x


85

Επειδή α, β, γ > 0 και δεν πρέπει να ξεπερνάνε τις αρχικές διαστάσεις της λαμαρίνας,

είναι:

Ο όγκος του ορθογώνιου παραλληλεπίπεδου είναι . Έτσι έχουμε

και επομένως

(1)

Πιθανές ακέραιες ρίζες της (1) είναι οι διαιρέτες του – 12.

Η τιμή επαληθεύει την εξίσωση και με τη βοήθεια του σχήματος Horner,

έχουμε:

1 – 9 20 – 12 1

1 – 8 12

1 – 8 12 0

Με τη βοήθεια του σχήματος Horner, η εξίσωση παραγοντοποιείται στη μορφή

Επιτρεπτές λύσεις λοιπόν είναι οι δύο πρώτες, οπότε έχουμε δύο δυνατότητες:

ι) για :

ιι) για :

β) Το μικρότερο δυνατό κόστος προκύπτει αν η δεξαμενή έχει τη μικρότερη δυνατή

επιφάνεια. Το εμβαδόν της επιφάνειας του (ανοικτού από πάνω) ορθογώνιου

παραλληλεπίπεδου δίνεται από τον τύπο:


. Έτσι και

Άρα τη μικρότερη επιφάνεια έχει η δεξαμενή που κατασκευάστηκε με αποκοπή

τετραγώνων πλευράς

Η συνολική επιφάνεια που θα βαφεί (εξωτερικά και εσωτερικά) είναι

και το ζητούμενο κόστος είναι ευρώ.


86


Εκθετική και Λογαριθμική Συνάρτηση

Ι. Μοντέλο Εκθετικής Μεταβολής

Οι εκθετικές συναρτήσεις της μορφής , όπου k είναι μία μη

μηδενική σταθερά, χρησιμοποιούνται συχνότατα ως μοντέλα εκθετικών αυξήσεων ή

μειώσεων. Πιο συγκεκριμένα, αν k > 0 αποτελεί μοντέλο εκθετικής αύξησης, ενώ αν

k < 0 εκθετικής μείωσης.

Ένα παράδειγμα εκθετικής αύξησης είναι ο συνεχής ανατοκισμός κεφαλαίου,

όπου εφαρμόζεται το μοντέλο . To Ρ είναι το αρχικό κεφάλαιο, r είναι το

επιτόκιο (ως δεκαδικός αριθμός) και t το χρονικό διάστημα τοκισμού σε έτη.

Ένα παράδειγμα εκθετικής μείωσης είναι το μοντέλο της ραδιενεργούς

διάσπασης. Πιο συγκεκριμένα, εργαστηριακά πειράματα απέδειξαν ότι τα άτομα

ορισμένων στοιχείων εκπέμπουν μέρος της μάζας τους ως ακτινοβολία και στη

συνέχεια αναδιοργανώνονται σχηματίζοντας άτομα κάποιου νέου στοιχείου. Για

παράδειγμα ο ραδιενεργός άνθρακας –14 (14

C) διασπάται σε άζωτο και το ράδιο μετά

από μία αλληλουχία διασπάσεων διασπάται τελικά σε μόλυβδο.

ΙΙ. Μοντέλο Λογαριθμικής Μεταβολής

Η λογαριθμική συνάρτηση έχει μεγάλη χρησιμότητα ως ένα μέσο περιγραφής

καταστάσεων του φυσικού κόσμου. Η ένταση του ήχου, η σεισμική ένταση, ο τρόπος

υπολογισμού του και πολλές άλλες εφαρμογές καταδεικνύουν

αυτήν τη σημαντικότητα.

Όταν ένα μέγεθος μεταβάλλεται πολύ γρήγορα –“γεωμετρικά”– και ένα άλλο,

που σχετίζεται με αυτό, πολύ αργά –“αριθμητικά”– τότε η μεταξύ τους σχέση μπορεί

να εκφρασθεί (αρκετά ικανοποιητικά) λογαριθμικά. Πίσω από αυτό κρύβεται η

αρχική ιδέα της αντιστοιχίας μιας αριθμητικής και μιας γεωμετρικής προόδου, στην

οποία στηρίζεται η έννοια του λογαρίθμου.

Εύκολα αποδεικνύεται ότι: “οι θετικοί αριθμοί είναι διαδοχικοί

όροι γεωμετρικής προόδου αν και μόνο αν οι αριθμοί είναι

διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου”


87

Προβλήματα Εκθετικής Συνάρτησης

5.1 Πληθυσμιακή αύξηση

Σε ορισμένες περιπτώσεις η αύξηση ενός πληθυσμού μπορεί να περιγραφεί

μαθηματικά με μία εκθετική συνάρτηση. Στον παρακάτω πίνακα δίνονται κάποιες

τιμές που αναφέρονται στον (ανθρώπινο) πληθυσμό της Γής. Σε μια τρίτη στήλη

έχουμε διαιρέσει τον πληθυσμό κάθε έτους με αυτόν του προηγούμενου έτους,

προκειμένου να αποκτήσουμε μία αίσθηση του πώς αυξάνεται ο πληθυσμός.

Έτος Πληθυσμός (σε εκατομμύρια) Πηλίκο

1986 4.936

1987 5.023 5.023/4.936 1,0176

1988 5.111 5.111/5.023 1,0175

1989 5.201 5.201/5.111 1,0176

1990 5.329 5.329/5.201 1,0246

1991 5.422 5.422/5.329 1,0175

Πηγή: Statistical Office of the United Nations, Monthly Bulletin Statistics, 1991

Πρόβλεψη του παγκόσμιου πληθυσμού

Να χρησιμοποιήσετε τα δεδομένα του παραπάνω πίνακα και ένα εκθετικό

μοντέλο, έτσι ώστε να προβλέψετε τον πληθυσμό της Γής το έτος 2010

Λύση

Βασιζόμενοι στην τρίτη στήλη του πίνακα (και παρά τις όποιες παρεκκλίσεις)

φαίνεται εύλογη η εικασία ότι “ο παγκόσμιος πληθυσμός κάθε έτους ισούται περίπου

με 1,018 φορές τον πληθυσμό του προηγούμενου έτους.

Συμβολίζουμε τον αρχικό πληθυσμό (το έτος 1986) και τον

πληθυσμό τα επόμενα έτη.

Σχηματίζεται μία γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο

και λόγο . Επομένως ο γενικός της όρος είναι:

Έτσι, μετά την παρέλευση t ετών από το 1986, ο πληθυσμός θα είναι

εκατομμύρια άνθρωποι. Ο πληθυσμός το έτος 2010, δηλαδή

t = 24 έτη μετά το 1986, θα είναι περίπου

δηλαδή 7,6 δισεκατομμύρια άνθρωποι.


88

Στην πραγματικότητα, όπως φαίνεται παρακάτω, ο παγκόσμιος πληθυσμός το 2010

ήταν 6,9 δισεκατομμύρια άνθρωποι, επομένως έχουμε μία αρκετά ικανοποιητική

προσέγγιση.

5.2 Μοντέλο Εκθετικής Μεταβολής

Αν y0 είναι ο αριθμός των ραδιενεργών πυρήνων που υπάρχουν τη χρονική στιγμή

μηδέν, τότε ο αριθμός των πυρήνων που θα συνεχίζουν να υπάρχουν σε μία τυχαία

μεταγενέστερη στιγμή t θα ισούται με

Ο αριθμός r λέγεται ρυθμός διάσπασης της ραδιενεργούς ουσίας. Για τον

ραδιενεργό άνθρακα –14 έχει προσδιορισθεί πειραματικά ότι είναι r =1,2 10-4

όταν

ο χρόνος t μετριέται σε έτη.

Η διάσπαση του άνθρακα –14 χρησιμεύει στη χρονολόγηση λειψάνων νεκρών

οργανισμών (κοχυλιών, σπόρων) καθώς και ξύλινων αντικειμένων.

Μπορείτε να προβλέψετε το ποσοστό του άνθρακα –14 που θα έχει απομείνει

σε ένα δείγμα ουσίας μετά την παρέλευση 866 ετών;

Λύση: Aν y0 είναι ο αριθμός των πυρήνων που υπήρχαν αρχικά, τότε μετά από 866

έτη θα έχουν απομείνει y = y0 41,2 10 866e 0,901 y0

Άρα τελικά θα έχουν απομείνει περίπου το 90% της αρχικής ποσότητας.


89

Μία ομάδα επιστημόνων έκανε μία σειρά μετρήσεων 14

C σε δείγματα οστών 8

διαφορετικών ειδών δεινοσαύρων. Αν υποτεθεί ότι η ηλικία ενός τέτοιου

δείγματος υπολογίζεται σε 1.000.000 περίπου έτη, ποιο θα είναι περίπου το

ποσοστό του 14

C που θα εχει απομείνει στο δείγμα;

Λύση:

Άρα τελικά θα έχουν απομείνει περίπου το 7,6676 10-51

% , δηλαδή ουσιαστικά

τίποτα

5.3 Ημιζωή του πολωνίου –210

Η ημιζωή (ή χρόνος ημιζωής) ενός ραδιενεργού στοιχείου είναι ο χρόνος που

απαιτείται έτσι ώστε να διασπαστεί η μισή ποσότητα του στοιχείου. Το αξιοσημείωτο

γεγονός είναι ότι η ημιζωή αποτελεί σταθερό μέγεθος, το οποίο δεν εξαρτάται από

τον αριθμό των αρχικών ραδιενεργών πυρήνων, αλλά μόνον από τη φύση της

ραδιενεργούς ουσίας.

Να αποδειχθεί ότι ο χρόνος ημιζωής είναι σταθερό μέγεθος

Για να αποδείξουμε το παραπάνω, ας υποθέσουμε ότι είναι ο αριθμός των

ραδιενεργών πυρήνων που αρχικά υπήρχαν στο δείγμα. Ο αριθμός των πυρήνων

που έχουν απομείνει μετά από χρονικό διάστημα t θα ισούται με .

Ζητάμε την τιμή t για την οποία ο αριθμός των ραδιενεργών πυρήνων είναι ακριβώς

ο μισός του αρχικού, δηλαδή

. Είναι:

Η τιμή αυτή του t είναι η ημιζωή του στοιχείου και εξαρτάται μόνο από τη σταθερά

που χαρακτηρίζει το στοιχείο. Στην περίπτωση του ραδιενεργού πολωνίου –210 ο

αριθμός k ισούται με 5 10-3

.

Τον Δεκέμβριο του 2006 η βρετανική αστυνομία διέταξε να ερευνηθούν οι

συνθήκες θανάτου ενός πρώην κατασκόπου της KGB. Πιο συγκεκριμένα,

υπήρχαν υποψίες ότι το άτομο αυτό δηλητηριάστηκε με ραδιενεργό πολώνιο-

210 και πέθανε 3 εβδομάδες αργότερα. Αν οι υποψίες της αστυνομίας ήταν

βάσιμες, πιστεύετε ότι οι ιατροδικαστές που ανέλαβαν τη νεκροψία θα έπρεπε

να λάβουν επιπλέον μέτρα προστασίας ώστε να μην εκτεθούν σε ακτινοβολία;


90

Λύση: Θα υπολογίσουμε το χρόνο ημιζωής της συγκεκριμένης ουσίας.

Ο χρόνος ημιζωής του πολωνίου –210 είναι τόσο μικρός που τον προσμετράμε σε

ημέρες αντί για έτη. Ο αριθμός των ραδιενεργών ατόμων που έχουν απομείνει μετά

από t ημέρες, σε δείγμα που αρχικά είχε ραδιενεργά άτομα, είναι

Τότε η ημιζωή του συγκεκριμένου στοιχείου είναι:

Ημιζωή =

ημέρες

Αν η νεκροψία ξεκίνησε 3 εβδομάδες μετά τη δηλητηρίαση του ατόμου με πολώνιο,

τότε πράγματι οι ιατροδικαστές θα έπρεπε να λάβουν αυξημένα και κατάλληλα μέτρα

προστασίας.


91

Προβλήματα Λογαριθμικών Συναρτήσεων

5.4 Ένταση ήχου

Ένα παράδειγμα εφαρμογής λογαρίθμων είναι η κλίμακα ντεσιμπέλ (db) που

χρησιμοποιείται στην ηχομέτρηση. Αν Ι είναι η ακουστική ένταση σε Watt ανά

τετραγωνικό μέτρο, τότε η αντίστοιχη ηχοστάθμη θα είναι:

Ηχοστάθμη = 10 log(Ι 1012

) db

Τυπικές εντάσεις ήχων

Όριο ακοής 0 db

Θρόισμα φύλλων 10 db

Συνήθης ψίθυρος 20 db

Αθόρυβο αυτοκίνητο 50 db

Συνήθης ομιλία 65 db

Κυκλοφοριακή κίνηση 80 db

Αεροσυμπιεστής (κομπρεσέρ)

σε απόσταση 3 μέτρων 90 db

Όριο πόνου 120 db

Αεριωθούμενο 140 db

Αν διπλασιάσουμε την ένταση του ενισχυτή ενός στερεοφωνικού συστήματος

να υπολογισθεί πόσα db θα αυξηθεί η στάθμη του εξερχόμενου ήχου

Λύση

Αν Ι είναι η αρχική ένταση, D η αντίστοιχη ηχοστάθμη και D΄ ζητούμενη

ηχοστάθμη, τότε:

D΄ = 10 log(2Ι 1012

) = 10[log2 + log(Ι 1012

)] = 10 log2+10 log(Ι 1012

)

10 0,3 + D = 3 + D

Επομένως η ένταση του ήχου θα αυξηθεί κατά μόλις 3db.

Αν η ένταση του ήχου σε μία ροκ συναυλία είναι 1 W/m2 να υπολογισθεί

πόσα db θα είναι η στάθμη του ήχου στον οποίο εκτίθεται το κοινό

Λύση: D = 10 log(1 1012

) = 10 12 = 120

Επομένως η ηχοστάθμη είναι 120 db, δηλαδή αγγίζει το όριο του πόνου.


92

5.5 Σεισμική ένταση

Η ένταση ενός σεισμού συνήθως καταγράφεται στη λογαριθμική κλίμακα Richter.

Ο σχετικός τύπος είναι:

Μέγεθος

όπου α το πλάτος της ταλαντωτικής κίνησης του εδάφους στον σταθμό μέτρησης και

μετριέται σε μικρά (μm), T η περίοδος του σεισμικού κύματος σε δευτερόλεπτα και Β

ένας εμπειρικά προσδιοριζόμενος παράγοντας που περιγράφει την εξασθένιση του

σεισμικού κύματος καθώς η απόσταση από το επίκεντρο του σεισμού αυξάνεται.

Για ένα σεισμό με επίκεντρο που απέχει 10.000 km από τον σταθμό μέτρησης είναι

Β = 6,8.

Αν η καταγραφείσα κατακόρυφη κίνηση του εδάφους είναι α =10μm και η

περίοδος είναι Τ =1sec, να βρεθεί το μέγεθος του σεισμού

Λύση

Το μέγεθος του σεισμού είναι

που αντιστοιχεί

σε σεισμό με καταστρεπτικές ενδεχομένως συνέπειες

Αρκετά συχνά, μετά την εκδήλωση ενός τέτοιου φαινομένου, ανακοινώνονται

διαφορετικές μετρήσεις της σεισμικής έντασης και μάλιστα με σχετική ευκολία.

Αν υποθέσουμε ότι η διαφορά σε δύο τέτοιες μετρήσεις είναι περίπου 0,3 της

κλίμακας, να υπολογισθεί πόσο πιο “ισχυρός” είναι ο σεισμός

Λύση

Έστω R1 και R2 οι δύο μετρήσεις με R1 – R2 = 0,3 και I1, I2 οι αντίστοιχες

εντάσεις.

Τότε είναι R1 = logI1 + 6,8 και R2 = logI2 + 6,8, οπότε:

R1 – R2 = logI1 – logI2 0,3 = log( 1

2

I

I)

1

2

I

I = 10

0,3 1

2

I

I 1,995 I1 2 I2

Δηλαδή η πρώτη μέτρηση αντιστοιχεί σε σεισμό με σχεδόν διπλάσια ισχύ από το

δεύτερο.


93

5.6 Εκφόρτιση πυκνωτή

Ένας πυκνωτής έχει χωρητικότητα C (σε F) και φορτίο (σε Cb). Συνδέουμε τον

πυκνωτή με μία αντίσταση R (σε Ohm) και το φορτίο του ελαττώνεται σύμφωνα με

τον τύπο

, t (σε sec)

α) Να βρείτε το χρόνο που απαιτείται ώστε να υποδιπλασιαστεί το φορτίο του

πυκνωτή

β) Να ερμηνεύσετε τι εκφράζει η σταθερά της εκθετικής μεταβολής

γ) Αφού συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών, να κάνετε τη γραφική

παράσταση της συνάρτησης

t 0 RC 2RC 3RC

q(t)

δ) i) να αποδείξετε ότι και

ii) να βρείτε το χρονικό διάστημα, στο οποίο το φορτίο παίρνει τιμές μεταξύ των

και

iii) αν οι τιμές του χρόνου t είναι της μορφής kRC (όπου k ακέραιος),

να βρείτε τις τιμές του k στο προηγούμενο ερώτημα

Λύση

α) Ο χρόνος που θα έχει περάσει έως ότου το φορτίο του πυκνωτή απομείνει το μισό

του αρχικού, είναι:

(1)

β) Η σταθερά της εκθετικής μεταβολής είναι

. Οι τιμές των φυσικών

μεγεθών της χωρητικότητας και της ωμικής αντίστασης, από τις οποίες εξαρτάται,

είναι προφανώς θετικές, οπότε k < 0 και ως εκ τούτου η εκθετική συνάρτηση είναι

φθίνουσα.

Τη χρονική στιγμή το αρχικό φορτίο του πυκνωτή είναι:

Τη χρονική στιγμή το φορτίο του πυκνωτή είναι:


94

Από τη σχέση (1) προκύπτει ότι

,

δηλαδή η απόλυτη τιμή της σταθεράς k εκφράζει το πηλίκο του προς το χρόνο

που απαιτείται ώστε το φορτίο του πυκνωτή να γίνει το μισό

γ) Ο πίνακας τιμών και η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι:

t 0 RC 2RC 3RC

q(t)

δ) i) Είναι γνωστόν ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα.

Ισχύει: και επιπλέον


95

ii) Λύνεται το σύστημα των ανισώσεων:

<

iii) Αν τότε είναι:

ή


96

5.7 Φθίνουσα ταλάντωση ελατηρίου

Το παρόν πρόβλημα αποτελεί το δεύτερο μέρος της περιγραφής της ταλάντωσης ενός

ελατηρίου που παρουσιάστηκε στο κεφάλαιο των τριγωνομετρικών συναρτήσεων.

Υποθέτουμε ότι η ταλάντωση είναι φθίνουσα, δηλαδή το πλάτος της μειώνεται με την

πάροδο του χρόνου και ότι ο τρόπος με τον οποίο γίνεται η μείωση προσεγγίζεται

ικανοποιητικά από τη συνάρτηση , όπου είναι μία σταθερά που

εκφράζει το αρχικό πλάτος της ταλάντωσης, ο χρόνος, το πλάτος κάθε χρονική

στιγμή και μία θετική σταθερά (εξαρτάται από τη σταθερά απόσβεσης και τη μάζα

του σώματος).

Να βρείτε:

α) Το πλάτος της ταλάντωσης τις χρονικές στιγμές

Τι παρατηρείτε; Μπορείτε να γενικεύσετε;

β) Αν ο χρόνος που απαιτείται ώστε το πλάτος της ταλάντωσης να γίνει το μισό είναι

, να βρείτε την τιμή της σταθεράς

γ) Αν το αρχικό πλάτος της ταλάντωσης είναι και η σταθερά

, τότε η

συνάρτηση έχει τύπο

, όπου (σε sec), (σε cm)

Να κάνετε τη γραφική της παράσταση, αφού πρώτα συμπληρώσετε κατάλληλο

πίνακα τιμών

Λύση

α) Είναι: , .

Παρατηρούμε ότι

(σταθερό) και γενικότερα για διαδοχικές

ακέραιες χρονικές τιμές ισχύει:

όπου

β) Αφού

, έχουμε:


97

γ) Επιλέγουμε τις χρονικές στιγμές γιατί είναι ακέραια πολλαπλάσια

της “περιόδου” της ταλάντωσης, επομένως τα διαδοχικά πλάτη θα πρέπει να

υποδιπλασιάζονται.

Πραγματικά, από τον τύπο

, έχουμε:

Έτσι προκύπτει ο παρακάτω πίνακας τιμών

0 4 8 12

0,2 0,1 0,05 0,025

Επομένως η γραφική παράσταση της είναι η ακόλουθη:


98

Στο επόμενο σχήμα φαίνεται και το πλάτος της ταλάντωσης στις επιλεγμένες

χρονικές στιγμές:


99

5.8 Πρόβλημα Ραδιενέργειας

Ο φημισμένος πίνακας « Disciples at Emmaus », πιστοποιήθηκε από τον ιστορικό

τέχνης A. Bredius ως αυθεντικός πίνακας του 17ου αιώνα ζωγραφισμένος από τον

Vermeer. Έτσι αγοράστηκε από το σύλλογο με το όνομα « Rembrandt ». Τo 1945, ο

παραχαράκτης έργων τέχνης Van Meegeran, ανακοίνωσε μέσα από φυλακή του

Βελγίου ότι αυτός ήταν ο ζωγράφος του πίνακα (αυτό μάλλον το έκανε για να

αποφύγει τυχόν τιμωρία, γιατί είχε ήδη πουλήσει ως αυθεντικό πίνακα του Vermeer,

έναν άλλο πίνακα στους Ναζί κατά τη διάρκεια του 2ου

παγκοσμίου πολέμου).

Να δώσετε κριτήρια για την αυθεντικότητα του πίνακα αν γνωρίζετε ότι:

α) Μία χρωστική ουσία στη ζωγραφική είναι ο λευκός μόλυβδος ο οποίος περιέχει

ραδιενεργό ισότοπο του μολύβδου Pb210

β) O χρόνος υποδιπλασιασμού του Pb210

είναι 22 χρόνια

γ) Αν η ποσότητα του μολύβδου Pb210

είναι 3.276,8 μg ανά Kg χρωστικής και μετά

από εξέταση στον πίνακα βρέθηκε ότι η ποσότητα του μολύβδου Pb210

είναι 0,05 μg

ανά Kg χρωστικής, να απαντήσετε αν είναι τελικά ο πίνακας αυθεντικός


100

Λύση

Έστω y0 αρχική ποσότητα του λευκού μολύβδου στον πίνακα. Τότε η ποσότητα του

εναπομείναντος μολύβδου μετά την πάροδο t ετών παριστάνεται από τη συνάρτηση:

Αφού ο χρόνος υποδιπλασιασμού είναι 22 χρόνια, έχουμε:

0,5 y0 y022ke = 0,5y0

22ke = 0,5 22k = ln 0,5

k =ln 2

22

k – 0,0315

Άρα και σύμφωνα με τα δεδομένα

Επομένως έχουμε:

0,05 = 3276,8 – – = 0,05 : 3276,8

– 0,0315 t = ln (1,526 10-5

)

Ο πίνακας φιλοτεχνήθηκε πριν από 352 έτη, δηλαδή περίπου το 17ο αιώνα.

Επομένως είναι αυθεντικός.


101

5.9 Η Καμπύλη Μάθησης

Στην Ψυχολογία η γραφική παράσταση της συνάρτησης

ονομάζεται

καμπύλη μάθησης όπου t ο χρόνος σε εβδομάδες, Ν το μέτρο μάθησης που

επιτυγχάνεται, Α το μέγιστο δυνατό μέτρο μάθησης και c μία σταθερά που εξαρτάται

από τον τρόπο μάθησης του ατόμου.

Παράδειγμα 1:

Κάποιος πηγαίνει σε σχολή εκμάθησης δακτυλογραφίας, με σκοπό να μπορεί να

δακτυλογραφεί 50 λέξεις το λεπτό. Το μέγιστο αναμενόμενο όριο είναι 75 λέξεις το

λεπτό. Να βρεθεί πόσες περίπου εβδομάδες απαιτούνται για να πετύχει το στόχο του,

αν c = 0,09.

Απάντηση:

Το μοντέλο προβλέπει ότι απαιτούνται περίπου 12 εβδομάδες ώστε να μπορεί

κάποιος να δακτυλογραφεί 50 λέξεις το λεπτό.


102

Παράδειγμα 2:

Ένα πείραμα που ασχολείται με την εκπαίδευση χιμπαντζήδων σε γλωσσικά

σχήματα, δείχνει ότι ένας τυπικός χιμπαντζής έχει την ικανότητα να ξεχωρίσει μέχρι

65 τέτοια σχήματα. Να βρεθεί πόσες περίπου εβδομάδες απαιτούνται ώστε να μπορεί

να ξεχωρίσει 30 σχήματα, αν c = 0,03

Απάντηση:

Το μοντέλο προβλέπει ότι απαιτούνται περίπου 21 εβδομάδες ώστε να μπορεί ένας

χιμπαντζής να ξεχωρίσει 30 σχήματα.


103

5.10 Η Συνάρτηση Βάρους – Ύψους

Ο τύπος χρησιμοποιείται για να προσδιορίσει το

φυσιολογικό βάρος w σε kg ενός αγοριού με ύψος h σε cm


104

Παράρτημα Α

Δημιουργία μαθηματικού μοντέλου

Είναι μάλλον δύσκολο να διακρίνουμε τη σχέση που διαμορφώνεται μεταξύ δύο

ποσοτήτων απλά διαβάζοντας τις αντίστοιχες στήλες αριθμητικών δεδομένων. Για το

λόγο αυτό προτιμούμε να απεικονίζουμε τα δεδομένα σε διάγραμμα (ονομάζεται

διάγραμμα διασποράς), έτσι ώστε να δούμε αν τα αντίστοιχα σημεία εκδηλώνουν

κάποια δυναμική ή διαμορφώνουν κάποια χαρακτηριστική συμπεριφορά. Αν είναι

έτσι και αν επιπλέον μπορούμε να βρούμε την εξίσωση μιας καμπύλης που

προσεγγίζει τη συμπεριφορά του διαγράμματος, τότε έχουμε έναν τύπο, ο οποίος:

αφενός μεν, συνοψίζει τα δεδομένα μέσω μιας απλής μαθηματικής έκφρασης

αφετέρου δε, μας επιτρέπει να προβλέπουμε τιμές του για τιμές του πέραν

αυτών που ήδη διαθέτουμε

Η διαδικασία εύρεσης ενός συγκεκριμένου τύπου καμπύλης που να ταιριάζει στα

αριθμητικά δεδομένα ονομάζεται παλινδρομική ανάλυση, η δε καμπύλη καλείται

καμπύλη παλινδρόμησης. Υπάρχουν πολλοί χρήσιμοι τύποι παλινδρομικών

καμπυλών, όπως οι καμπύλες δύναμης, οι πολυωνυμικές, οι εκθετικές, οι

λογαριθμικές και οι ημιτονοειδείς καμπύλες.

Στη συνέχεια γίνεται μία προσπάθεια (χωρίς να χρησιμοποιήσουμε παλινδρομική

ανάλυση με υπολογιστή) να κατασκευασθεί ένα μαθηματικό μοντέλο επίλυσης

προβλήματος. Επιπλέον αναδεικνύεται η χρησιμότητα των συναρτήσεων που

μελετώνται από τους μαθητές στην ύλη της Άλγεβρας Β΄ Λυκείου προς την

κατεύθυνση της μοντελοποίησης.


105

Α.1. Τα Πρυμναία Κύματα

Οι παρατηρήσεις που έχουν γίνει στα πρυμναία κύματα που δημιουργεί μία βάρκα σε

κάθετες διευθύνσεις προς την πορεία της, έχουν δείξει ότι η απόσταση μεταξύ των

κορυφών των κυμάτων αυτών (το μήκος κύματος) αυξάνεται με την ταχύτητα της

βάρκας. Τα δεδομένα φαίνονται στον παρακάτω πίνακα.

Πίνακας: Μήκη κύματος

Μήκος κύματος (m) Ταχύτητα (km/h)

0,20 1,8

0,65 3,6

1,13 5,4

2,55 7,2

4,00 9,0

5,75 10,8

7,80 12,6

10,20 14,4

12,90 16,2

16,00 18,0

18,40 19,8

α) Βρείτε μία συνάρτηση “δύναμης” της μορφής , όπου

x είναι το μήκος κύματος και y είναι η ταχύτητα της βάρκας, η οποία να προσεγγίζει

ικανοποιητικά τα δεδομένα του πίνακα

β) Να τοποθετήσετε στην ίδια γραφική παράσταση της συνάρτησης και το

“διάγραμμα διασποράς” των δεδομένων

γ) Από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης, να προβλέψετε την ταχύτητα της

βάρκας όταν το μήκος κύματος γίνει 11m. Να επαληθεύσετε αλγεβρικά το

αποτέλεσμα που βρήκατε

δ) Να ελέγξετε αν υπάρχει η δυνατότητα να έχετε μία γραμμική προσέγγιση για το

πρόβλημα. Μπορείτε να προβλέψετε στην περίπτωση αυτή την ταχύτητα της βάρκας

όταν το μήκος κύματος γίνει 11m; Ποια από τις δύο ταιριάζει καλύτερα στα

δεδομένα, η ευθεία ή η καμπύλη του α) ερωτήματος;

ε) Να ελέγξετε αν υπάρχει η δυνατότητα να υπάρξει μία λογαριθμική προσέγγιση για

το πρόβλημα.


106

Λύση

α) Έστω η συνάρτηση . Από τον πίνακα των

δεδομένων επιλέγουμε δύο ζεύγη τιμών, τα (4, 9) και (16, 18)

Τότε έχουμε:

Επομένως, η ζητούμενη συνάρτηση που εικάζουμε ότι προσεγγίζει ικανοποιητικά τα

δεδομένα του πίνακα, είναι η

β) Αν τοποθετήσουμε τα δεδομένα σε καρτεσιανό σύστημα αξόνων, έχουμε το

παρακάτω διάγραμμα διασποράς των δεδομένων:

Αν στη συνέχεια, στο προηγούμενο διάγραμμα, τοποθετήσουμε και τη γραφική

παράσταση της συνάρτησης

, έχουμε το παρακάτω αποτέλεσμα:


107

γ)

Από τη γραφική παράσταση “φαίνεται” ότι αν το μήκος κύματος είναι 11m, τότε η

ταχύτητα της βάρκας προβλέπεται να είναι περίπου 15m.

Αλγεβρικά, ζητάμε το

m

δ) Έστω η συνάρτηση . Από τον πίνακα των

δεδομένων επιλέγουμε δύο ζεύγη τιμών, τα (4, 9) και (16, 18).



108

Επομένως, η ζητούμενη συνάρτηση που εικάζουμε ότι προσεγγίζει ικανοποιητικά τα

δεδομένα του πίνακα, είναι η

Από την παρακάτω γραφική παράσταση “φαίνεται” ότι αν το μήκος κύματος είναι

11m, τότε η ταχύτητα της βάρκας προβλέπεται να είναι λίγο μεγαλύτερη των 14m.

Αλγεβρικά, ζητάμε το

m

Αν τοποθετήσουμε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των

συναρτήσεων f και g μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι η γραμμή που ταιριάζει

καλύτερα στα δεδομένα του πίνακα είναι αυτή της συνάρτησης f


109

ε) Έστω η συνάρτηση . Από τον πίνακα των

δεδομένων επιλέγουμε δύο ζεύγη τιμών, τα (4, 9) και (16, 18).


Είναι

, οπότε έχουμε

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης και τα δεδομένα του πίνακα φαίνονται στην

παρακάτω εικόνα:

Είναι: m

Συμπέρασμα: Από τις τρεις συναρτήσεις, αυτή που φαίνεται να προσεγγίζει καλύτερα

τη συμπεριφορά του διαγράμματος διασποράς των δεδομένων του προβλήματος είναι

η συνάρτηση της δύναμης.


110

Παράρτημα Β

Προβλήματα Λήψης Απόφασης

Σε αυτήν την ενότητα παρουσιάζονται δύο προβλήματα με τα εξής χαρακτηριστικά:

Διαπραγματεύονται βασικές μαθηματικές έννοιες

Αναδεικνύουν την εφαρμοσιμότητα των μαθηματικών σε διάφορους

επαγγελματικούς τομείς

Απαιτούν Λήψη Απόφασης από τον επαγγελματία

Β.1. Ο Συγκοινωνιολόγος

Ας υποθέσουμε ότι είστε συγκοινωνιολόγος και εργάζεστε στην εταιρεία

εκμετάλλευσης των Μέσων Μαζικής Μεταφοράς μιας μεγάλης πόλης. Τη

συγκεκριμένη χρονική στιγμή, κατά τη διάρκεια της πρωινής ώρας αιχμής, οι

περισσότεροι επιβάτες μετακινούνται προς το κέντρο της πόλης παρά προς την

αντίθετη κατεύθυνση. Ωστόσο, η ανερχόμενη οικονομία δημιουργεί νέες δουλειές

στα προάστια και όσο αυτές συνεχίζουν να αναπτύσσονται, τόσο περισσότεροι

πολίτες θα μετακινούνται έξω από το κέντρο. Σας έχει ανατεθεί να μελετήσετε την

κατάσταση, εστιάζοντας στο πώς η τάση αυτή θα επηρεάσει τις υπάρχουσες

λεωφορειακές γραμμές και τα χρονοδιαγράμματα και πόσο σύντομα.

Μετά από λεπτομερή μελέτη της χρήσης των μέσων μαζικής μεταφοράς,

βρίσκετε ότι ο αριθμός των μετακινουμένων επιβατών προς το κέντρο της πόλης κάθε

πρωί, μπορεί να περιγραφεί από την εξίσωση , όπου x είναι ο

αριθμός των μηνών, με αφετηρία τη χρονική στιγμή της μελέτης. Ο αριθμός των

μετακινουμένων από το κέντρο της πόλης προς τα προάστια κάθε πρωί, μπορεί να

περιγραφεί από την εξίσωση , όπου x είναι ο αριθμός των

μηνών με αφετηρία τη χρονική στιγμή της μελέτης. Βραχυπρόθεσμα, όσο ο αριθμός

των μετακινουμένων σε κάθε κατεύθυνση αυξάνει, επιπλέον λεωφορεία μπορούν να

τοποθετηθούν σε υφιστάμενες γραμμές, ώστε να γίνει ορθολογική εξυπηρέτηση του

κοινού. Αλλά μόλις ο αριθμός των μετακινουμένων οι οποίοι αφήνουν το κέντρο της

πόλης, υπερβεί τον αριθμό των μετακινουμένων που ταξιδεύουν προς το κέντρο της

πόλης, οι διαδρομές των λεωφορείων θα πρέπει να ανανεωθούν πλήρως.

Η εταιρεία των Μέσων Μαζικής Μεταφοράς χρειάζεται συνήθως 1,5 χρόνο

για να σχεδιάσει σημαντικές αλλαγές στα δρομολόγια των λεωφορείων. Εάν οι

αλλαγές απαιτείται να γίνουν πιο γρήγορα, μια εταιρεία συμβούλων μπορεί να

προσληφθεί για να επιταχυνθεί η διαδικασία.

Αποφασίστε αν θα χρειαστεί η βοήθεια μιας εταιρείας συμβούλων για να

αναδιοργανωθούν τα δρομολόγια των λεωφορείων.


111

Β.2. Διασφάλιση Ποιότητας (TQM)

Ας υποθέσουμε ότι εργάζεστε ως υπεύθυνος διασφάλισης ποιότητας σε μια

εταιρεία παραγωγής ηλεκτρονικού υλικού. Το τμήμα σας διεξήγαγε μελέτη

αξιοπιστίας για ένα νέο μοντέλο DVD player. Το αποτέλεσμα της μελέτης δείχνει ότι

η αξιοπιστία ενός DVD player μπορεί να περιγραφεί από την εκθετική συνάρτηση

όπου η αξιοπιστία εκφράζεται ως η πιθανότητα το DVD player να λειτουργεί

χρόνια μετά την κατασκευή του.

Το τμήμα marketing της εταιρείας σας ζητά να καταθέσετε την πρόταση σας

αναφορικά με την περίοδο εγγύησης που πρέπει να συνοδεύει την αγορά ενός DVD

player. Οι δημοφιλείς περίοδοι εγγύησης που προσφέρουν οι ανταγωνιστικές

εταιρείες είναι 1 έτος, 2 έτη και 3 έτη.

Με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης της συνάρτησης αξιοπιστίας,

μπορείτε να αποφασίσετε ποια χρονική περίοδο εγγύησης θα προτείνατε; Εξηγείστε

την επιλογή σας στον διευθυντή της εταιρείας σας. Ποιούς άλλους παράγοντες θα

επιθυμούσατε να συνυπολογίσετε;


112

Παράρτημα Γ

Προβλήματα από την Αρχαία Ελλάδα

Εισαγωγή

Είναι κοινή διαπίστωση ότι οι μαθητές προτιμούν να λύνουν εξισώσεις κάθε

μορφής παρά προβλήματα που τις χρησιμοποιούν.

Παρακάτω προτείνονται προβλήματα από την Αρχαία Ελλάδα που δίνονται με

το πρωτότυπο κείμενο για να προκαλέσουν το ενδιαφέρον των μαθητών αλλά και να

τονισθεί η αυθεντικότητα τους. Παράλληλα γίνεται αντιληπτό ότι οι εξισώσεις

χρησιμοποιούνται για την επίλυση προβλημάτων καθημερινής ζωής και όχι απλώς ως

εξάσκηση.

Τι είναι η Παλατινή Ανθολογία.

Ο τίτλος Παλατινή Ανθολογία έχει δοθεί σε μια συλλογή που απαρτίζεται από

15 βιβλία και περιλαμβάνει περίπου 3.700 επιγράμματα με περισσότερους από

23.000 στίχους, τα οποία γράφτηκαν από τον 6ο αι. π.Χ. έως το 10ο αι. μ.Χ.

Διασώζεται σε ένα χειρόγραφο με δύο τμήματα (κώδικες). Το βασικό τμήμα, που

περιλαμβάνει τα πρώτα 13 βιβλία, φυλάσσεται σήμερα στην Παλατινή Βιβλιοθήκη

της Χαϊδελβέργης (Palatinus Vaticanus gr. 23) και γι’ αυτό ολόκληρη η συλλογή

ονομάστηκε Παλατινή Ανθολογία.

Το άλλο τμήμα, που διασώζει τα υπόλοιπα 2 βιβλία, βρίσκεται στο Παρίσι (Parisinus

suppl. gr. 384). Σύμφωνα με την ευρέως αποδεκτή άποψη, το χειρόγραφο

χρονολογείται στο 10ο αιώνα.

Μεταξύ των επιγραμμάτων της συλλογής υπάρχουν και σαράντα έξι (46)

επιγράμματα ανωνύμων συγγραφέων που παρουσιάζουν μαθηματικό ενδιαφέρον

(14ο βιβλίο). Τα μαθηματικά αυτά επιγράμματα αποδίδονται στον γραμματικό

Μητρόδωρο, ο οποίος τα συγκέντρωσε από άλλους συγγραφείς. Ορισμένα πάντως

είναι πιθανόν να επινοήθηκαν και από τον ίδιο το Μητρόδωρο.

Τα προβλήματα που συνέλεξε αναφέρονται σε θέματα διανομής αντικειμένων (π.χ.

μήλων ή καρυδιών κ.λπ.) σε συγκεκριμένο αριθμό ατόμων, προβλήματα εύρεσης

βάρους, προβλήματα ηλικιών, προβλήματα χρόνου και μείξεως.


113

Από τα 46 προβλήματα της συλλογής μπορούμε να κάνουμε την ακόλουθη

ταξινόμηση:

23 προβλήματα απλών εξισώσεων με έναν άγνωστο: Α΄, Β΄ Γυμνασίου

12 προβλήματα απλών συστημάτων δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους.

(Αυτά με μια εύκολη απαλοιφή ανάγονται σε προβλήματα με μία εξίσωση

και έναν άγνωστο επίσης): Γ΄ Γυμνασίου

1 πρόβλημα με τρεις εξισώσεις και τρεις αγνώστους: Α΄ Λυκείου

1 πρόβλημα με τέσσερις εξισώσεις και τέσσερις αγνώστους: Α΄ Λυκείου

6 προβλήματα του είδους πλήρωσης και εκκένωσης κάποιων δοχείων μέσω

σωλήνων.

1 πρόβλημα (xiv. 136) εκτέλεσης έργου με πλίνθους που είναι παρόμοιας

μορφής με τα προηγούμενα 6 πλήρωσης και εκκένωσης δοχείων.

2 προβλήματα με εξισώσεις πρώτου βαθμού απροσδιόριστης μορφής. Αυτό

δείχνει ότι ο Διόφαντος (3ος μ.Χ. αι.) δεν είναι ο μόνος που ασχολήθηκε,

τότε, με προβλήματα απροσδιόριστων μορφών.

Παραδείγματα μαθηματικών της Παλατινής Ανθολογίας και η επεξεργασία τους

Σε κάθε πρόβλημα παρουσιάζεται η μαθηματική του αντιμετώπιση, η οποία

δεν είναι δύσκολο να παρουσιασθεί σε μαθητές, σε ανάλογες ενότητες του

αναλυτικού τους προγράμματος.

Αν υπάρχει πρόβλημα κατανόησης των πρωτότυπων κειμένων, κρίνεται απαραίτητη

η συνεισφορά των φιλολόγων, οι οποίοι θα ερμηνεύσουν τις πιθανές άγνωστες λέξεις,

όπως στο παράδειγμα 1 που ακολουθεί. Εξυπακούεται ότι σε μια ανάλογη

διαθεματική προσέγγιση θα πρέπει πρώτα να γίνει η γλωσσική επεξεργασία, να

μεταφραστεί δηλαδή – όπου υπάρχει ανάγκη – το πρωτότυπο κείμενο και στη

συνέχεια, να γίνει η μαθηματικοποίηση του προβλήματος.

Στη συνέχεια παρατίθενται δύο χαρακτηριστικά παραδείγματα:


114

Παράδειγμα 1ο

Ἡμίονος καὶ ὄνος φορέουσαι σῖτον ἔβαινον·

αὐτὰρ ὄνος στενάχιζεν ἐπ’ ἄχθει φόρτου ἑοῖο·

τὴν δὲ βαρυστενάχουσαν ἰδοῦσ’ ἐρέει νεν ἐκείνη·

«Μῆτερ, τί κλαίουσ’ ὀλοφύρεαι, ἠύτε κούρη;

εἰ μέτρον ἕν μοι δοίης, διπλάσιον σέθεν ἦρα·

εἰ δὲ ἕν ἀντιλάβοις, πάντως ἰσότητα φυλάξεις.»

Εἰπὲ τὸ μέτρον, ἄριστε γεωμετρίης ἐπίιστορ.

Μερικές άγνωστες λέξεις

στεναχίζω = στενάζω,

αναστενάζω, θρηνώ

ἄχθος = βάρος

ἑοῖο (ευκτ. του ἑάω – ἑῶ =)

αὐτὰρ = αλλά, όμως

βαρυστενάχω =

βαρυαναστενάζω

κούρη = (Ιων.) αντί κόρη

αἴρω(αόρ. ἦρα) = σηκώνω

ἐπίιστορ (κλητ. του ἐπιίστωρ

= αυτός που γνωρίζει καλά

κάτι, επιστάμενος)

(Αποδίδεται στον Ευκλείδη, Επίγραμμα 2.2

line 1-7)

Το συγκεκριμένο επίγραμμα είναι από τη

συλλογή:

Anthologia Graeca Appendix, Problemata et

aenigmata (TLG).

Μετάφραση

Μια γαϊδουρίτσα και ένα μουλαράκι προχωρούσαν στο δρόμο, φορτωμένα με σιτάρι.

Όμως η γαϊδουρίτσα από το βάρος του φορτίου αναστέναζε.

Το μουλαράκι, σαν την είδε να βαριαναστενάζει της είπε:

« Γιατί, μανούλα μου, θρηνείς κι οδύρεσαι, σαν κοριτσάκι; Αν μου έδινες μια

ποσότητα από το φορτίο σου, θα σήκωνα το διπλάσιο από σένα. Αν πάλι μου πάρεις

την ίδια ποσότητα, θα διατηρήσεις τη μεταξύ μας ισότητα »

Βρες μου, πόσο είναι αυτή η ποσότητα, εσύ που είσαι άριστος γνώστης της

γεωμετρίας.


115

Μαθηματικοποίηση του προβλήματος:

Ονομάζουμε X τα χιλιόγραμμα βάρους, που κουβαλούσε το μουλάρι και

Υ τα χιλιόγραμμα βάρους, που κουβαλούσε η μητέρα του.

Έστω ότι παίρνουμε από το γάιδαρο Ζ κιλά σιτάρι και τα φορτώνουμε στο μουλάρι.

Ο γάιδαρος θα έχει τώρα Υ – Ζ κιλά φορτίο και το μουλάρι Χ + Ζ κιλά. Το φορτίο,

όμως, στο μουλάρι, θα ήταν διπλάσιο από το φορτίο στο γάιδαρο στη φάση αυτή.

Χ + Ζ = 2 (Υ – Ζ) (1)

Αν όμως πάρουμε από το αρχικό φορτίο του μουλαριού την ίδια ποσότητα Ζ και τη

φορτώσουμε στο γάιδαρο, θα είχαν ίσα φορτία. Δηλαδή θα ήταν:

Χ – Ζ = Υ + Ζ (2)

Οι εξισώσεις (1) και (2) αποτελούν σύστημα πρώτου βαθμού με δύο εξισώσεις και

τρεις αγνώστους. Λύνουμε ως προς Χ τη δεύτερη και έχουμε:

Χ + Ζ = 2 (Υ – Ζ)

Χ = Υ + 2 Ζ

Με αντικατάσταση του Χ από τη δεύτερη εξίσωση στην πρώτη είναι:

Καταλήγουμε σε ένα πρόβλημα απροσδιόριστης μορφής με θεωρητικά άπειρες

λύσεις, αρκεί αυτές να κυμαίνονται στα πλαίσια του εφικτού βάρους που μπορεί να

σηκώσει ένα ζώο.

π.χ. για Ζ = 10 κιλά, το μουλάρι είχε αρχικά 70 κιλά και ο γάιδαρος 50.

Σημείωση: Εδώ μπορούν να γίνουν και ορισμένα σχόλια κοινωνιολογικού

ενδιαφέροντος, όπως π.χ. άλλος σηκώνει τα βάρη και άλλος στενάζει κλπ.


116

Παράδειγμα 2ο

Δός μοι δέκα μνᾶς, καὶ τριπλοῦς σοῦ γίνομαι.

- Κἀγὼ λαβὼν σοῦ τὰς ἲσας σοῦ πενταπλοῦς.

(xiv. 145)

Μετάφραση

Δώσε μου δέκα μνες και θα έχω τριπλάσιο βάρος από σένα.

Και εγώ αν πάρω από εσένα το ίσο ποσό των δέκα μνων, θα έχω πενταπλάσιο βάρος

από σένα.

Πόσες μνες έχει ο καθένας μας;

Δύο αγάλματα μιλούν για το βάρος τους.

Η μνα (αρχ. ελλ. μνᾶ, λατ. mina) είναι μονάδα μέτρησης της μάζας

(υποδιαίρεση του ταλάντου) που χρησιμοποιήθηκε στην αρχαιότητα και σαν νόμισμα.

Μαθηματικοποίηση του προβλήματος:

Έστω ότι αρχικά ο Α έχει x μνες και ο Β έχει y μνες. Ο Α ζητάει 10 μνες από τον Β

και θα έχει μνες, ενώ ο Β . Θα ισχύει τότε ότι:

(1)

Στην άλλη περίπτωση θα είναι:

(2)

http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%91%CF%81%CF%87%CE%B1%CE%AF%CE%B1_%CE%B5%CE%BB%CE%BB%CE%B7%CE%BD%CE%B9%CE%BA%CE%AE_%CE%B3%CE%BB%CF%8E%CF%83%CF%83%CE%B1

http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%9B%CE%B1%CF%84%CE%B9%CE%BD%CE%B9%CE%BA%CE%AC

http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%9C%CE%AC%CE%B6%CE%B1

http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%A4%CE%AC%CE%BB%CE%B1%CE%BD%CF%84%CE%BF

http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%91%CF%81%CF%87%CE%B1%CE%B9%CF%8C%CF%84%CE%B7%CF%84%CE%B1


117

Συμπεράσματα

Με την παρούσα ενότητα, στόχος είναι να σχολιαστούν συγκεκριμένα

παραδείγματα, ώστε να αποτελέσουν κίνητρο για ανάλογες προσεγγίσεις στην τάξη

με τη συνεργασία και των μαθητών. Έτσι, αξιοποιείται η δυνατότητα της

διαθεματικής προσέγγισης, με συγκερασμό κειμένων από την ελληνική λογοτεχνία

διαφόρων εποχών. Υπάρχει άφθονο υλικό για μια ανάλογη αξιοποίηση.

Παρατηρήσεις:

1. Το πρωτότυπο κείμενο δίνεται στα Αρχαία Ελληνικά έτσι ώστε να

αναδειχθεί η αυθεντικότητα των προβλημάτων που εγράφησαν πριν από

αιώνες.

2. Το γλαφυρό ύφος του κειμένου τονώνει το ενδιαφέρον των μαθητών,

προκαλεί την περιέργεια τους, παρακινώντας τους έτσι να λύσουν τα

προβλήματα.

3. Γίνεται άμεση σύνδεση μαθημάτων, όπως τα Μαθηματικά και τα Αρχαία

Ελληνικά τα οποία οι μαθητές θεωρούν όχι μόνο ασύνδετα αλλά και εκ

διαμέτρου αντίθετα. Έτσι μέσω μίας τέτοιας εργασίας αποκτούν τελικά

μια πιο «ολιστική» θεώρηση των μαθημάτων του Αναλυτικού τους

προγράμματος.

4. Τα παραπάνω προβλήματα μπορούν να αποτελέσουν έναυσμα για

διαθεματικές εργασίες που θα αφορούν στα Μαθηματικά, τα Αρχαία

Ελληνικά και την Ιστορία.

Αρχικά τα προβλήματα δίνονται για μετάφραση, ακολούθως ερευνώνται,

σχολιάζονται στοιχεία που αφορούν στην καθημερινότητα της εποχής

εκείνης. Όπως στο παράδειγμα 4: μονάδες μέτρησης βάρους στην Αρχαία

Ελλάδα, νομίσματα της εποχής.

5. Μπορεί να γίνει διαθεματική εργασία που να αφορά οριζόντια σε όλες τις

τάξεις του Γυμνασίου μέχρι και τη Β΄ Λυκείου.


118

Βιογραφικά στοιχεία

Ο Ευκλείδης (περίπου 325-265 π.Χ.), έζησε και δίδαξε στην Αλεξάνδρεια. Από το

έργο του πιο ξακουστό είναι το σύγγραμμά του “Στοιχεία”, αποτελούμενο από 13

βιβλία.

Ο Διόφαντος ο Αλεξανδρεύς, άκμασε περί το 250 μ.Χ. στην Αλεξάνδρεια. Το πιο

γνωστό του βιβλίο “Αριθμητικά” αποτελείται από 13 βιβλία. Έχουν σωθεί τα έξι

στην ελληνική γλώσσα και τα 4 στην αραβική. Θεωρείται ο βασικός αλγεβριστής της

αρχαιότητας, αφού στα Αριθμητικά του υπάρχουν 189 (στα 6 σωσμένα στην

ελληνική γλώσσα βιβλία του) αλγεβρικά προβλήματα, τα οποία λύνονται με

εξισώσεις και συστήματα πρώτου και δευτέρου βαθμού. Είναι αυτός που εισήγαγε

ένα συγκεκομμένο συμβολισμό στην άλγεβρα, που αποτέλεσε και τον προάγγελο στο

να οδηγηθούμε, μετά από χρόνια, στη συμβολική άλγεβρα.

Ο Μητρόδωρος ο Χίος ήταν αρχαίος Έληνας φιλόσοφος, ιατρός και μαθηματικός,

που έζησε στο τέλος του 5ου

αιώνα π.Χ. με αρχές του 4ου

αιώνα π.Χ.. Υπήρξε

πρόδρομος της Σχολής των Σκεπτικών. Δίδασκε παράλληλα ιατρική και ασχολήθηκε

με μαθηματικές έρευνες. Έργο του φέρει τον τίτλο "Ελληνική Ανθολογία" που

περιλαμβάνει 46 αριθμητικά επιγράμματα που μερικά εξ αυτών αναφέρονται στον

πατέρα της άλγεβρας Διόφαντο και στον Πλάτωνα. Τα επιγράμματα αυτά

αναφέρονται κυρίως σε συστήματα εξισώσεων και κρίνονται ως μεγάλου

ενδιαφέροντος στην ιστορία της αριθμητικής και των μαθηματικών γενικότερα.


119

Βιβλιογραφία – Bibliography

Anthologia Graeca, bοοκ xiv., (TLG)

Anthologia Graeca Appendix, Problemata et aenigmata, (TLG)

Ανθολογία Ελληνική 11 Παλατινή, Εκ. Κάκτος

Philip J. Davis, Reuben Hersh, (1981), The Mathematical Experience, Birkhäuser

Carl B. Boyer – Uta C. Merzbach, (1997), Η Ιστορία των Μαθηματικών, Εκδόσεις

Γ. Α. Πνευματικού

Thomas B. G – Finney L. R, Massachusetts Institute of Technology, (2001),

Εισαγωγή στον Απειροστικό Λογισμό

Ανδρεαδάκης Α. Σ., (1975), Μαθήματα επί της θεωρίας του Galois

Φελλούρης Α, Εισαγωγή στη θεωρία πολυωνύμων

K. Elayn Martin – Gay, Intermediate Algebra (4th edition), Pearson, Prentice Hall

Προβλήμαα και Εφαρμογές ης Άλγεβρας Β΄...

Documents

Transcript of Προβλήμαα και Εφαρμογές ης Άλγεβρας Β΄...