1

Некоммерческое

акционерное

общество

ФИЗИКА 2

Конспект лекций

для студентов специальности

5В071600 – Приборостроение

Алматы 2017

АЛМАТИНСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ

ЭНЕРГЕТИКИ И

СВЯЗИ

Кафедра технический

физики

2

СОСТАВИТЕЛИ: Т.Д. Дауменов, С.Н. Сарсенбаева. ФИЗИКА 2. Кон-

спект лекций для студентов специальности 5В071600 – Приборостроение. –

Алматы: АУЭС, 2017 –75 с.

Излагается краткое содержание лекций по дисциплине «Физика 2» для

специальности 5В071600 – Приборостроение бакалавриата.

Конспект лекций «Физика 2» представляет собой еще один элемент си-

стемы методического обеспечения учебного процесса по дисциплине и мо-

жет быть использован в качестве раздаточного материала на лекционных за-

нятиях, а также в самостоятельной работе над теоретическим материалом

при подготовке к практическим, лабораторным занятиям и экзаменам.

Ил. 34, табл. 2, библиогр. – 5 назв.

Рецензент: Пользик Е.В.

Печатается по плану издания некоммерческого акционерного общества

«Алматинский университет энергетики и связи» на 2017г.

НАО «Алматинский университет энергетики и связи», 2017 г.

3

Содержание

Введение …………………………………………………………………… 4

1 Лекция №1. Явление электромагнитной индукции ……………………. 5

2 Лекция №2. Уравнения Максвелла …………………………………….. 7

3 Лекция. №3. Электромагнитные колебания …………………………… 11

4 Лекция №4. Оптика …………………………………………………….. 17

5 Лекция №5. Свойства световых волн …………………………………. 24

6 Лекция №6. Дифракция волн ……………………………………………. 30

7 Лекция №7. Электромагнитные волны в веществе …………………… 35

8 Лекция №8. Квантовая физика …………………………………………. 40

9 Лекция №9. Экспериментальное обоснование идей квантовой теории 45

10 Лекция №10. Корпускулярно-волновой дуализм вещества ……….. 47

11 Лекция №11. Решение стационарного уравнения Шредингера ……

12 Лекция №12. Элементы квантовой электроники . . ………………….

49

52

13 Лекция №13. Конденсированное состояние …………………………. 56

14 Лекция №14. Собственная и примесная проводимости полупровод-

ников .

61

15 Лекция №15. Атомное ядро и элементарные частицы ………………… 66

Список литературы …………………………………………………………. 75

4

1 Лекция №1. Явление электромагнитной индукции

1.1 Электромагнитная индукция

Электромагнитная индукция была открыта Фарадеем в 1831 г. Элек-

тромагнитной индукцией называется возникновение электродвижущих сил

под действием магнитных полей. Для демонстрации этого явления берут не-

подвижный магнит и проволочную катушку, концы которой соединены с

гальванометром. При движении катушки в постоянном магнитном поле в ней

возбуждается электрический ток, прекращающийся, когда катушка останав-

ливается. Этот ток называется индукционным током, а само явление – элек-

тромагнитной индукцией. Какова бы ни была причина изменения потока

магнитной индукции, охватываемого замкнутым проводящим контуром, воз-

никающая в контуре ЭДС.

dt

dи

. (1.1)

Единица измерения ЭДС. индукции – вольт (В), действительно:

ВсА

Дж

смА

мН

с

мТл

с

Вб

dt

d

22

.

Знак минус в формуле (1.1) определяется правилом Ленца: индукцион-

ный ток в контуре имеет всегда такое направление, что создаваемое им маг-

нитное поле препятствует изменению магнитного потока, вызвавшему этот

индукционный ток.

1.2 Закон электромагнитной индукции как следствие закона сохра-

нения энергии

К формуле (1.1) можно прийти также с помощью закона сохранения

энергии, как это впервые сделал Гельмгольц (1821-1894 гг.). Рассматривает-

ся замкнутый виток провода, в которой включен гальванический элемент с

электродвижущей силой . Виток движется в постоянном магнитном поле.

За время dt амперовы силы совершают над витком работу Id . Кроме того, в

витке выделяется джоулево тепло dtRI 2 . Сумма этих работ должна равняться

работе гальванического элемента ,Idt т.е.

IdtRdtIId 2 , (1.2)

отсюда

R

dt

d

I

. (1.3)

Таким образом, в движущемся витке ток определяется не только элек-

тродвижущей силой гальванического элемента, к ней добавляется слагаемое -

,/ dtd которое и есть электродвижущая сила индукции.

5

1.3 Зависимость ЭДС индукции от индуктивности

Электрический ток, текущий в замкнутом контуре, создает вокруг себя

магнитное поле, индукция которого, по закону Био-Савара-Лапласа, пропор-

ционально току. Сцепленный с контуром магнитный поток Ф, поэтому про-

порционален току I в контуре:

LI , (1.4)

где коэффициент пропорциональности L называется индуктивностью

контура.

При изменении силы тока в контуре будет изменяться также и сцеп-

ленный с ним магнитный поток; следовательно, в контуре будет индуциро-

ваться ЭДС Возникновение ЭДС индукции в проводящем контуре при изме-

нении в нем силы тока называется самоиндукцией.

Единица измерения индуктивности - генри (Гн):

1 Гн=1 Вб/А=1 В с/А.

Используя формулу (1.4), можно получить выражение для индуктивно-

сти соленоида, которая зависит от числа витков соленоида N, его длины ,

площади S и магнитной проницаемости вещества, из которого изготовлен

сердечник соленоида:

SNL

2

0 . (1.5)

Применяя к явлению самоиндукции закон Фарадея, при условии, что

контур не деформируется и магнитная проницаемость не изменяется, полу-

чим:

dt

dILè . (1.6)

1.4 Коэффициент взаимной индукции

Рассмотрим два неподвижных контура (1 и 2), расположенных доста-

точно близко друг от друга. Пусть в контуре 1 течет ток 1I , а в контуре 2 - 2I .

Пусть 21 - часть магнитного потока, создаваемого первым током, который

пронизывает контур второго тока. Тогда:

12121 IL . (1.7)

Если ток в первом контуре изменяется, то в контуре индуцируется э.д.с

2и :

dt

dIL

dt

dи

121

212

. (1.8)

Если изменяется ток во втором контуре, то Э.Д.С., индуцируемая в

первом контуре, аналогично может быть записана в виде:

dt

dIL

dt

dи

212

121

. (1.9)

6

Явление возникновения э.д.с. в одном из контуров при изменении силы

тока в другом называется взаимной индукцией. Коэффициенты пропорцио-

нальности 1221 LиL называются взаимной индуктивностью контуров. Расчеты,

подтверждаемые опытом, показывают, что:

1221 LL . (1.10)

Можно показать, что взаимная индуктивность двух катушек с количе-

ствами витков 21, NN , намотанных на общий тороидальный сердечник, имеет

вид:

SNN

LL

2102112 . (1.11)

1.5 Магнитная энергия тока. Энергия магнитного поля

Магнитное поле является носителем энергии. Выражение для магнит-

ной энергии тока можно получить через работу, которая затрачивается то-

ком на создание магнитного поля. Для изменения магнитного потока на ве-

личину d необходимо совершить работу LIdIIddA . Тогда работа по

созданию магнитного потока будет равна:

I

LILIdIA0

2 2/ .

Следовательно, магнитная энергия тока может быть определена этой

работой:

2/2LIW . (1.12)

Энергию магнитного поля можно представить как функцию величин,

характеризующих это поле в окружающем пространстве. Можно показать,

что формула (1.12) может быть преобразована к виду:

VBH

VB

W22 0

2

, (1.13)

где V - объем пространства, занятого магнитным полем.

Исследование свойств переменных полей, в частности, распростране-

ния электромагнитных волн, явилось доказательством того, что энергия маг-

нитного поля (1.13) локализована в пространстве, причем в единице объема

пространства заключена энергия с объемной плотностью, равной:

22 0

2 BHBw

. (1.14)

Формула (1.14) справедлива как для однородного, так и для неодно-

родного полей. Она справедлива также и для переменных полей. Отметим,

что это выражение справедливо только для сред, для которых зависимость В

от Н линейная, т.е. оно относится только к пара- и диамагнетикам.

7

2 Лекция №2. Уравнения Максвелла

2.1 Максвеллова трактовка закона индукции

Когда проводник движется в постоянном магнитном поле, индукцион-

ный ток вызывается магнитной составляющей силы Лоренца (1.1). Какая же

сила возбуждает индукционный ток в неподвижном проводнике, находящем-

ся в переменном магнитном поле? Ответ был дан Максвеллом. Согласно

Максвеллу, всякое изменение магнитного поля во времени возбуждает в

окружающем пространстве электрическое поле. Циркуляция вектора напря-

женности E

этого поля по любому неподвижному замкнутому контуру

определяется выражением:

t

dE

. (2.1)

Между максвелловым и фарадеевым пониманием явления электромаг-

нитной индукции имеется существенное различие. Согласно Фарадею, элек-

тромагнитная индукция состоит в возбуждении электрического тока. Для ее

наблюдения необходимо наличие замкнутого проводника. Максвелл, напро-

тив, видит сущность электромагнитной индукции, прежде всего в возбужде-

нии электрического поля, а не тока. Электромагнитная индукция может

наблюдаться и тогда, когда в пространстве вообще нет никаких проводников.

Появление индукционного тока в замкнутом проводнике при внесении по-

следнего в переменное магнитное поле есть лишь одно из проявлений элек-

трического поля E

, возникшего в результате изменения поля магнитного. Но

поле E

может производить и другие действия, например, поляризовать ди-

электрик, вызвать пробой конденсатора, ускорять и тормозить заряженные

частицы и т. п. Оно может вызвать электрический ток и в незамкнутом про-

воднике.

Максвеллова формулировка закона индукции более общая, чем форму-

лировка Фарадея. Она принадлежит к числу наиболее важных обобщений

электродинамики.

2.2 Дифференциальная форма записи закона электромагнитной

индукции

Математически закон индукции в понимании Максвелла выражается

формулой (2.1), где интеграл берется по замкнутому контуру, который может

быть проведен и в диэлектрике, а не обязательно в проводнике, как было у

Фарадея. Магнитный поток определяется интегралом:

S

n

S

dSBSdB

, (2.2)

взятым по произвольной поверхности S, натянутой на контур . Поэтому

формулу (2.1) можно представить в виде:

8

SS

Sdt

BSdB

tdE

. (2.3)

Применив к последнему выражению теорему Стокса, получим:

t

BErot

. (2.4)

Это - дифференциальная форма закона электромагнитной индукции.

Уравнение (2.3) или эквивалентное ему уравнение (2.4) – одно из основных

соотношений теории электромагнитного поля. Оно входит в систему уравне-

ний Максвелла.

2.3 Токи смещения

Основные уравнения электромагнитного поля в неподвижных средах,

применимые не только к постоянным, но и к переменным электромагнитным

полям, были установлены Максвеллом. К уравнениям Максвелла можно

прийти путем последовательного обобщения опытных фактов. Надо решить,

какие из полученных ранее уравнений могут быть сохранены, какие должны

быть отброшены и какие надо обобщить. Можно сохранить только такие

уравнения, которые не противоречат представлениям теории поля.

К основным уравнениям электродинамики присоединим закон сохра-

нения электрического заряда:

0

jdivdt

. (2.5)

Если электромагнитное поле стационарно, то это уравнение переходит

в

0jdiv

. (2.6)

Известная теорема о циркуляции напряженности магнитного поля:

IdH

, (2.7)

также может быть преобразована в дифференциальную форму:

jHrot

, (2.8)

а потому удовлетворяет требованиям теории поля. Однако она не может вхо-

дить в число основных уравнений электродинамики, потому что уравнение

(2.8) противоречит закону сохранения электрического заряда (2.5). Чтобы

устранить это противоречие, продифференцируем по времени соотношение:

Ddiv

;

0

t

Ddiv

t

или, учитывая (2.5):

0)(

t

Djdiv

. (2.9)

Величину

t

Djсм

. (2.10)

9

Максвелл назвал током смещения, а сумму полнсм jjj

- полным током

(точнее - плотностью полного тока). А условие замкнутости тока должно

быть записано для полного тока:

0полнjdiv

, (2.11)

т.е. полный ток всегда соленоидален. Поэтому противоречие с уравнением

(2.5) устранится, если в уравнении (2.8) ток проводимости j

заменить

полным током, т.е. написать:

t

DjHrot

. (2.12)

2.4 Система уравнений Максвелла

Дополнив основные факты из области электромагнетизма установлени-

ем магнитных действий токов смещения, Максвелл мог написать систему

фундаментальных уравнений электродинамики. Таких уравнений четыре.

1) В интегральной форме они имеют вид:

L S

dSt

DjdH

; (I)

SL

Sdt

BdE

; (II)

S V

dVSdD

; (III)

S

SdB 0

. (IV)

2) В дифференциальной форме:

t

DjHrot

; (Iа)

t

BErot

; (IIа)

Ddiv

; (IIIа)

0Bdiv

. (IVа)

Уравнения Максвелла показывают, что источниками электрического

поля могут быть либо электрические заряды, либо магнитные поля меняю-

щиеся во времени. Магнитные же поля могут возбуждаться либо движущи-

мися электрическими зарядами (электрическими токами), либо переменными

электрическими полями. Уравнения Максвелла в интегральной форме спра-

ведливы и в тех случаях, когда существуют поверхности разрыва, на которых

свойства среды или напряженности электрического и магнитного полей ме-

няются скачкообразно. Поэтому в этой форме уравнения Максвелла облада-

ют большей общностью, чем в дифференциальной форме, которая предпола-

гает, что все величины в пространстве и во времени меняются непрерывно.

Поэтому дифференциальные уравнения Максвелла должны быть дополнены

граничными условиями:

10

.,,, 12212112 iHHEEBBDD ttttnnnn (2.13)

Здесь - поверхностная плотность электрических зарядов;

i - поверхностная плотность тока проводимости на рассматриваемой

границе раздела.

В случаях, когда поверхностные заряды и токи отсутствуют, граничные

условия (2.13) преобразуются к виду:

.,,, 12212112 ttttnnnn HHEEBBDD (2.14)

Отметим, что уравнения Максвелла не могут быть выведены. На них

следует смотреть как на основные аксиомы классической электродинамики,

полученные путем обобщения опытных фактов.

2.5 Относительность электрического и магнитного полей

К электромагнитному полю применим только принцип относительно-

сти Эйнштейна, так как факт распространения электромагнитных волн в ва-

кууме во всех системах отсчета с одинаковой скоростью не совместим с

принципом относительности Галилея.

Из принципа относительности вытекает, что отдельное рассмотрение

электрического и магнитного полей имеет относительный смысл. Так, если

электрическое поле создается системой неподвижных зарядов, то эти заряды,

являясь неподвижными относительно одной инерциальной системы отсчета,

движутся относительно другой и, следовательно, будут порождать не только

электрическое, но и магнитное поле. Аналогично, неподвижный относитель-

но одной инерциальной системы отсчета проводник с постоянным током,

возбуждая в каждой точке пространства постоянное магнитное поле, движет-

ся относительно других инерциальных систем, и создаваемое им переменное

магнитное поле возбуждает вихревое электрическое поле.

3 Лекция №3. Электромагнитные колебания

3.1 Колебательный контур

Рассмотрим свободные гармонические колебания в электрическом ко-

лебательном контуре – электрической цепи,

состоящей из конденсатора электроемкости

C, катушки индуктивности L и сопротивле-

ния R (рисунок 3.1). При замыкании на ка-

тушку предварительно заряженного конден-

сатора в колебательном контуре возникают

свободные колебания заряда q конденсатора

и силы тока в катушке i.

Рисунок 3.1

Согласно обобщенному закону Ома:

11

dt

diL

C

qiR , (3.1)

так как по определению силы тока:

t

qi

,

то уравнение (3.1) примет вид:

02

2

LC

q

dt

dq

L

R

dt

qd (3.2)

в случае идеального контура сопротивление R=0, поэтому:

02

2

LC

q

dt

qd. (3.3)

Решение дифференциального уравнения (3.3) имеет вид:

)cos( 00 tqq m (3.4)

и описывает гармонические колебания заряда на обкладках конденсатора с

частотой

LC

10 . (3.5)

3.2 Энергия гармонических колебаний

Энергия гармонического осциллятора в случае колебательного контура

складывается из электрической энергии заряженного конденсатора и магнит-

ной энергии катушки индуктивности:

C

qtt

C

qtLq

C

tqLi

C

qW mmmm

2)sin(cos

22

sin

2

cos

22

2

0

2

0

2

2

0

22

0

2

0

2222

, (3.6)

где учтено, что tqdt

dqi m 00 sin , а также, что LC/1

2

0 .

Соотношение (3.6) означает, что в идеализированном колебательном

контуре, сопротивление R которого бесконечно мало, полная энергия сохра-

няется. Если в начальный момент времени заряженный конденсатор с запа-

сенной в нем энергией W0 замкнуть на катушку индуктивности, то вся энер-

гия из электрической через четверть периода перейдет в магнитную энергию

катушки, а через следующие четверть периода опять превратится в электри-

ческую. При этом максимальные значения:

0

2

max

2

max22

WLI

WC

qW m

mm

e . (3.7)

12

3.3 Дифференциальное уравнение затухающих колебаний. Ампли-

туда и частота затухающих колебаний

Рассмотрим затухающие колебания на

примере электрических колебаний в колеба-

тельном контуре, состоящем из катушки ин-

дуктивности L, конденсатора емкости С и ак-

тивного сопротивления R (рисунок 3.2).

Рисунок 3.2

Для затухающих колебаний справедливо уравнение:

022

02

2

qdt

dq

dt

qd . (3.8)

Введем обозначения: коэффициент затухания:

L

R

2 , (3.9)

собственная частота ω0 незатухающих колебаний системы:

LC

12

0 . (3.10)

Решение данного уравнения зависит от соотношения его коэффициен-

тов ω0 и β. В случае слабого затухания (β2<<ω0

2 ) решение имеет вид:

q(t) = q0 e-βt

cos(ωt+α), (3.11)

где q0 - амплитуда в начальный момент времени;

α - начальная фаза затухающих колебаний (определяются из начальных

условий);

ω - частота свободных затухающих колебаний, равная: 22

0 . (3.12)

Период затухающих колебаний равен:

22

0

22

T . (3.13)

Для колебательного контура: 2

2

1

L

R

LC . (3.14)

Решение (3.11) описывает изменение заряда на обкладках конденсатора

со временем. Если ввести обозначение:

A(t) =q0e – βt

,

(3.15)

то (3.11) примет вид гармонического колебания )cos()()( ttAt , но в

данном случае амплитуда затухающих колебаний A(t) убывает со временем

по экспоненциальному закону (рисунок 3.2).

Напряжение Uc на конденсаторе изменяется по тому же закону, что и

заряд на его обкладках:

13

C

qUc =

C

1 q0 e-βt

cos(ωt+α). (3.16)

Ток в контуре при наличии активного сопротивления R опережает по

фазе Uc более чем на π∕2:

teqtteqdt

dqi tt cossincos 000 , (3.17)

где

2

. (3.18)

Натуральный логарифм отношения амплитуд двух колебаний, взятых

через период Т, называют логарифмическим декрементом затухания θ:

θ = ln)(

)(

TtA

tA

; (3.19)

θ = ln Tt

t

eq

eq

0

0=βT. (3.20)

Логарифмический декремент затухания – это величина, обратная чис-

лу полных колебаний, совершенных за время релаксации τ ( etA

tA

)(

)(

,

TNe ),

eN

1 . (3.21)

Добротностью колебательной системы Q называют величину:

eNQ

. (3.22)

Добротность тем выше, чем слабее затухание. При слабом затухании

CL

RQ

1 . (3.23)

При β2≥ω0

2 колебаний в контуре не возникает, происходит апериоди-

ческий разряд конденсатора. Активное сопротивление контура, при котором

наступает апериодический процесс, называют критическим:

C

LRкр 2 . (3.24)

3.4 Переменный ток как вынужденные колебания. Закон Ома для

переменного тока. Мощность, выделяемая в цепи переменного тока

Переменным током называют установившиеся вынужденные колеба-

ния тока в цепи.

Для получения переменного тока (вынужденных колебаний) в электри-

ческий колебательный контур необходимо подать переменное напряжение от

сети или генератора – источника внешней переменной Э.Д.С (рисунок 3.3).

14

Рисунок 3.3

Пусть подаваемое напряжение изменяется со временем по гармониче-

скому закону:

u=Um cos ωt. (3.25)

В этом случае применение обобщенного закона Ома приводит к диф-

ференциальному уравнению вынужденных колебаний в контуре:

tUC

qiR

dt

diL m cos , (3.26)

или

tL

Uq

LCdt

dq

L

R

dt

qd m cos1

2

2

. (3.27)

Частное решение (3.27) имеет вид:

)cos()( tqtq m , (3.28)

где qm – амплитуда, а - разность фаз между колебаниями заряда q на

обкладках конденсатора и приложенного напряжения u.

Продифференцируем (3.28) по времени и получим закон изменения си-

лы тока в контуре:

)2

cos()sin()(

tqtqdt

dqti mm . (3.29)

Запишем это выражение в виде:

)cos()( tIti m , (3.30)

где Im - амплитуда силы тока, причем mm qI ;

φ - сдвиг по фазе между колебаниями тока i и приложенного напряже-

ния u.

Наша задача - найти значения Im и φ. Представим уравнение (3.26) в ви-

де:

tUuuu mRCL cos , (3.31)

т.е. сумма падений напряжения на индуктивности L, активном сопротивле-

нии R и емкости С в каждый момент времени равна мгновенному значению

приложенного извне напряжения u:

а) по закону Ома падение напряжения на резисторе:

)cos( tRIiRu mR ,

15

откуда следует, что колебания напряжения Ru совпадают по фазе с колебани-

ями тока, а его амплитудное значение равно RIU mRm ;

б) разность потенциалов между обкладками конденсатора:

)2

cos(

tC

I

C

qu m

C ,

следовательно, колебания напряжения Cu по фазе на 2

отстают от колебаний

тока, а их амплитудное значение равно C

IC

qU m

mcm

1 ;

в) падение напряжения uL на катушке индуктивности

)2

cos()sin(

tLItILdt

diLu mmL ,

по фазе эти колебания на 2

опережают колебания тока; LIU mLm .

Величину R называют активным сопротивлением цепи, а величины

CX c

1 и LX l называются соответственно реактивным емкостным и

реактивным индуктивным сопротивлением.

Используем полученные соотношения при построении векторной диа-

граммы напряжений. При последовательном соединении элементов ток в

цепи везде один и тот же, если его можно считать квазистационарным. В

этом случае все векторы амплитуд напряжений на резисторе URm, на катушке

ULm и на конденсаторе UCm откладывают относительно оси тока с учетом их

фазовых соотношений с током (рисунок 3.4).

Рисунок 3.4

Напряжение на резисторе UR совпадает по фазе с током, поэтому век-

тор амплитуды RmU откладывают вдоль оси тока; поскольку напряжение на

конденсаторе отстает по фазе на 2

от тока, то вектор амплитуды напряжения

CmU повернут на диаграмме на угол (- 2

) и так далее.

16

По правилу сложения векторов находим их сумму, которая равна ам-

плитуде приложенного внешнего напряжения Um. Сдвиг по фазе φ между

напряжением и током на диаграмме равен углу, который образует вектор Um

с осью тока; тангенс этого угла равен:

R

CL

tg

1

. (3.32)

По теореме Пифагора 222)( mCmLmRm UUUU и далее, подставляя по-

лученные выше соотношения 2222)

1( mv U

CLRI

, получим соотноше-

ние, связывающее амплитудные значения тока Iм и Uм:

22 )1

(C

LR

UI m

m

. (3.33)

Согласно (3.33) амплитудное значение тока прямо пропорционально

амплитудному значению приложенного напряжения. Это соотношение рас-

сматривают как закон Ома для переменного тока (при последовательном со-

единении). В общем случае произвольного соединения этот закон записыва-

ют в виде:

Z

UI m

m , (3.34)

где Z – полное сопротивление цепи переменному току, или импеданс,

которое зависит от параметров цепи (R, L, C), соединения всех ее элементов и

частоты ω приложенного напряжения.

При C

L

1

падения напряжений на конденсаторе и катушке индук-

тивности одинаковы по амплитуде LmCm UU и противоположны по фазе, зна-

чение амплитуды тока в последовательном колебательном контуре достигает

максимально возможного значения R

UI m

m , а сдвиг фаз обращается в ноль

0 . Это явление называют резонансом тока. Резонансная частота для си-

лы тока совпадает с собственной частотой контура:

LCр

10 . (3.35)

Мгновенная мощность тока в цепи равна:

]cos)2[cos(5,0cos)cos()()()( tUItUtItutitP mmmm . (3.36)

Практический интерес имеет среднее за период Τ значение мощности:

cos2

1cos)2cos(

2

1mmmm UItUIP . (3.37)

Такую же мощность развивает постоянный ток:

2

mII . (3.38)

17

Величины 2

mII и

2

mUU называют действующими (или эффек-

тивными) значениями тока и напряжения. Все амперметры и вольтметры

для цепей переменного тока проградуированы именно по действующим зна-

чениям I и U .

Средняя мощность, потребляемая цепью переменного тока:

cosIUP , (3.39)

где cosφ - коэффициент мощности, равный

Z

Rcos . (3.40)

4 Лекция №4. Оптика

4.1 Волновое уравнение для электромагнитного поля

Согласно теории Максвелла, подтвержденной огромной совокупно-

стью опытных фактов, электрические и магнитные явления взаимосвязаны:

переменное электрическое поле порождает магнитное поле и, в свою оче-

редь, изменяющееся магнитное поле создает в окружающем пространстве

вихревое электрическое поле. Таким образом, если в некоторой области про-

странства возбудить с помощью колеблющихся зарядов переменное элек-

тромагнитное поле, то оно не остается локализованным в этой области. В

окружающем пространстве возникает последовательность взаимных превра-

щений электрического и магнитного полей, распространяющихся с опреде-

ленной скоростью от точки к точке. Этот процесс, периодический во времени

и в пространстве, представляет собой волну.

Можно показать, что существование электромагнитных волн вытекает

из уравнений Максвелла.

Рассмотрим особенно простой случай плоской электромагнитной вол-

ны, распространяющейся вдоль оси ОХ в однородной и изотропной диэлек-

трической среде, в которой отсутствуют свободные электрические заряды и

макроскопические токи, то есть выполняются условия 0j

и ρq=0. В этом

случае уравнения Максвелла имеют следующий вид;

t

BErot

; (I)

0Ddiv

; (II)

t

DHrot

; (III)

0Bdiv

; (IV)

ED

0 ; (V)

HB

0 . (VI)

Распишем (I) ротор вектора E по компонентам с учетом (VI):

18

Erot

i

z

E

y

E yz + j

x

E

z

E zx + k

y

E

x

Exy

=

- i

t

Bx

- j

t

By

- k

t

Bz

= - μμ0 ( i

t

H x

+ j

t

H y

+ k

t

H z

). (4.1)

Поскольку волна плоская и распространяется вдоль оси ОХ, постольку

производные компонентов E

, D

, B

и H

по координатам y и z равны нулю:

y

E

z

E

z

E

y

E xxyz 0; y

H

z

H

z

H

y

H xxyz

=0. (4.2)

Из уравнений (4.1) и (4.2) вытекают следующие равенства:

t

H x 0; t

H

x

E yz

0 ;

t

H

x

Ezy

0 . (4.3)

Аналогично, из уравнений (III) и (4.2) можно получить следующую

группу равенств:

t

Ex

=0;

t

E

x

H yz

0 ;

t

E

x

Hzy

0 . (4.4)

Чтобы получить волновое уравнение для электромагнитного поля и

тем самым показать, что электромагнитные волны могут существовать, про-

дифференцируем по x второе и третье из уравнений (4.3);

2

2

0000002

2

t

E

t

E

tx

H

tt

H

xx

E

x

E

x

zzyyzz

.

Таким образом. доказана справедливость соотношений:

2

2

002

2

t

E

x

E zz

; (4.5)

2

2

002

2

t

E

x

E yy

. (4.6)

Каждое из уравнений (4.5) и (4.6) представляет собой волновое уравне-

ние для компонентов Ez и Ey электрического вектора волны, а коэффициент

пропорциональности перед второй производной по времени – это величина,

обратная квадрату фазовой скорости электромагнитной волны:

v= 00

1

c, (4.7)

где 00

1

с - скорость света в вакууме.

Аналогично, можно получить волновые уравнения для Hz и Hy:

2

2

00

2

21

t

H

x

H yy

;

2

2

00

2

2 1

t

H

x

H zz

. (4.8)

19

Таким образом, показано, как из уравнений Максвелла вытекает суще-

ствование электромагнитных волн.

4.2 Свойства электромагнитных волн

4.2.1 Из равенства нулю производных Ex и Hx как по координатам y и

z, так и по времени t, следует, что Ex и Hx не зависят ни от координат, ни от

времени. Следовательно, для переменных электрического и магнитного по-

лей плоской волны, распространяющейся по оси ОX, выполняется условие:

Ex=Hx=0,

то есть векторы E

и H

перпендикулярны к направлению распространения

волны - оси ОХ. Это означает, что электромагнитная волна поперечная.

4.2.2 Векторы E

и H

не только перпендикулярны к направлению рас-

пространения волны, но и взаимно перпендикулярны. Для доказательства рас-

смотрим следующую пару уравнений: второе из (4.3) и третье из (4.4):

t

H

x

E yz

0 ;

t

E

x

Hzy

0 .

Из последних уравнений следует, что изменяющееся во времени элек-

трическое поле Ez, направленное вдоль оси OZ, порождает магнитное поле

Hy, направленное вдоль оси OY, а изменение во времени магнитного поля Hy,

в свою очередь, порождает электрическое поле Ez, направленное вдоль оси

OZ. При этом ни поля Ey, ни поля Hz не возникает. Аналогично, если взять

другую пару уравнений (4.3) и (4.4), то из них следует, что если изменяюще-

еся во времени электрическое поле E

направлено вдоль оси OY, то оно по-

рождает магнитное поле H

, направленное вдоль оси OZ. Все это свидетель-

ствует о том, что E

H

.

4.2.3 Мгновенные значения электрического и магнитного полей волны

взаимосвязаны. Покажем это на примере плоской электромагнитной волны

произвольной формы (то есть не обязательно гармонической по форме), рас-

пространяющейся вдоль положительного направления оси ОХ:

Ey=Ey(t-x/v); Hz=Hz(t-x/v).

Введя обозначение φ=t-x/v, найдем производные Ey по x и Hz по y:

v

1

yy E

x

E; 1

zz H

t

H

и подставим их в третье уравнение (6.4):

zy HE

0

1

v,

поскольку v=

c, то

zy HE

000 .

Получается, что между мгновенными значениями электрического и

магнитного полей существует связь:

20

zy HE 00 . (4.9)

4.2.4 Это выражение также означает, что векторы E

и H

не только вза-

имно перпендикулярны, но и составляют вместе с вектором v скорости рас-

пространения волны правовинтовую тройку векторов: если вращать рукоять

правого винта по кратчайшему направлению от вектора E

к вектору H

, то

направление поступательного движения винта совпадает с направлением

распространения волны (рисунок 4.1).

Рисунок 4.1 Рисунок 4.2

4.2.5 Соотношение (4.9) также означает, что поля E

и H

изменяются

по одному и тому же закону (с одинаковой частотой и в одинаковой фазе),

то есть синфазны: проекции Ey и Hz одинаковы по знаку, они одновременно

обращаются в ноль и одновременно достигают максимума (рисунок 4.2).

Уравнения плоской гармонической электромагнитной волны, распро-

страняющейся вдоль оси OX:

E

= j

Emcos(ωt-kx+φ0); (4.10)

H

= k

Hmcos(ωt-kx+φ0), (4.11)

где j

и k

- единичные вектора, направленные вдоль осей OY и OZ;

k=2π/λ – волновое число;

λ=vT – длина волны.

4.2.6 В однородной диэлектрической среде фазовая скорость электро-

магнитных волн зависит от электрических и магнитных свойств этой среды -

диэлектрической ε и магнитной μ проницаемостей (4.7).

Тот факт, что скорость распространения электромагнитных волн в ва-

кууме совпадает со скоростью света 00

1

с = 3,0·10

8 м/с, послужил Макс-

веллу основанием для физического вывода об электромагнитной природе

света и разработки электромагнитной теории света (1865 г.).

21

Первые эксперименты с электромагнитными волнами выполнил в 1888

году Г. Герц. Результаты этих экспериментов полностью соответствовали

теории Максвелла.

4.3 Энергия и импульс электромагнитной волны. Вектор Пойнтин-

га

Энергия электромагнитной волны складывается из энергии электриче-

ского и магнитного полей волны. Поэтому плотность энергии, распределен-

ной в области пространства, в которой распространяется электромагнитная

волна, равна:

w=we+wm= 20

20 2

1

2

1HE . (4.12)

С учетом (4.9) связи между значениями напряженностей электрическо-

го и магнитных полей получается, что плотности энергии обоих полей волны

(в вакууме и диэлектрической среде) равны между собой:

v

EHEHHEww me

222

1

2

100

2

0

2

0 . (4.13)

Таким образом, плотность энергии электромагнитной волны равна:

2

0EEH

w v

. (4.14)

Умножив выражение для w на скорость v волны, получим соотноше-

ние, определяющее плотность потока энергии электромагнитной волны:

jw= wv=EH. (4.15)

Векторы E

и H

взаимно перпендикулярны и образуют с вектором

скорости волны правовинтовую тройку векторов. Следовательно, векторное

произведение [ E

, H

] по направлению совпадает с направлением переноса

энергии, а модуль этого вектора равен плотности потока энергии jw . Вектор

плотности потока энергии электромагнитной волны называют вектором

Пойнтинга:

j

w= wv= [ E

H

]. (4.16)

Напомним, что аналогичный по своему физическому смыслу вектор

плотности потока энергии упругой волны называется вектором Умова. По

модулю векторы Умова и Пойнтинга равны количеству энергии, переноси-

мой волной в единицу времени через единичную площадку, перпендикуляр-

ную направлению распространения волны, поэтому единица их измерения 1

Вт/м2.

Интенсивность волны, по определению, равна усредненной за период

(или за очень большой по сравнению с периодом промежуток времени) плот-

ности потока энергии волны:

I=<jm>= <w>v. (4.17)

В случае плоской гармонической волны вида (15) плотность энергии

равна:

22

w=v

EH= εε0E

2= εε0Еm

2cos

2(ωt-kx) . (4.18)

Интенсивность такой волны, согласно (6.17), (6.18) и с учетом равен-

ства <cos2(ωt-kx)>=0,5:

I=0

0

2

1

Em

2, (4.19)

то есть интенсивность электромагнитной I волны пропорциональна квадрату

амплитуды ее электрической напряженности Em.

Максвелл показал, что электромагнитные волны, отражаясь или по-

глощаясь в телах, на которые падают, оказывают на них давление. Это давле-

ние объясняется силовым действием магнитного поля волны на электриче-

ские токи, которые возбуждаются электрическим полем той же волны.

Поскольку электромагнитная волна оказывает давление на тело, следо-

вательно, она обладает импульсом. Иначе говоря, распространение электро-

магнитной (так же, как и упругой) волны сопровождается переносом импуль-

са. Если энергия, переносимая волной, равна W, то величина переносимого

ею импульса:

p=W/c. (4.20)

Импульс волны, отнесенный к единице объема, можно выразить через

вектор плотности потока энергии (вектор Пойнтинга):

21 c

pHE

. (4.21)

4.4 Излучение диполя

Согласно представлениям классической электродинамики электромаг-

нитные волны возбуждаются электрическими зарядами, движущимися с

ускорением. Простейшей излучающей системой является электрический ди-

поль, момент которого изменяется периодически.

Рассмотрим излучение гармонического осциллятора – элементарного

диполя, размер ℓ которого много меньше длины волны ℓ<<λ, а электриче-

ский момент изменяется со временем по гармоническому закону

p=pmcosωt . (4.22)

Примером такой системы служит неподвижный точечный заряд +q и

колеблющийся около него точечный заряд – q. Вблизи диполя картина элек-

тромагнитного поля очень сложная. Она упрощается в так называемой волно-

вой зоне диполя, то есть на расстояниях r, значительно превышающих длину

волны r>>λ. Если волна распространяется в однородной и изотропной сре-

де, то волновые поверхности в волновой зоне имеют сферическую форму.

Направление векторов E и H в каждой точке перпендикулярно к лучу; при

этом E направлен по касательной к «меридиану», а H – по касательной к «па-

раллели» (рисунок 6.3).

В каждой точке векторы E и H колеблются по закону cos(ωt-kr), иначе

говоря, заряд, совершающий гармонические колебания с частотой ω, излуча-

23

ет монохроматическую волну той же частоты. Амплитуды Em и Hm зависят

от расстояния r до излучателя и от угла между напра влением радиус-

вектора и осью диполя. Для вакуума эта зависимость имеет вид:

Em ~Hm~ sin1

r.

Интенсивность волны согласно (4.19) равна:

I~ 2

2sin

1

r. (4.23)

Из (4.23) следует, что интенсивность волны изменяется вдоль луча об-

ратно пропорционально квадрату расстояния r. Кроме того, она сильно зави-

сит от угла . На рисунке 4.4 приведена полярная диаграмма направленности

излучения. Вдоль оси диполя излучение от-

сутствует (I=0), а в направлениях, перпенди-

кулярных к оси, интенсивность излучения

максимальна.

Теоретические расчеты показывают,

что мощность излучения диполя (энергия,

излучаемая в единицу времени) пропорцио-

нальна квадрату второй производной ди-

польного момента по времени:

Рисунок 4.4

P~ 2p , (4.24)

для гармонически осциллирующего диполя:

P~ pm2ω

4cos

2ωt. (4.25)

Усреднение за период колебания T=2π/ω дает:

<P>~ pm2ω

4. (4.26)

Таким образом, средняя мощность излучения диполя пропорциональна

квадрату амплитуды его дипольного момента и четвертой степени частоты.

При решении некоторых проблем в оптике (дисперсия, поглощение в

средах, поляризация) атом рассматривают как излучающий диполь, в кото-

ром оптический электрон совершает колебания около ядра. Также всякая ре-

альная передающая антенна может быть представлена как совокупность то-

чечных диполей.

Рисунок 4.3

24

5 Лекция №5. Свойства световых волн

5.1 Волновой пакет. Групповая скорость

Уравнение гармонической волны описывает волну бесконечную во

времени и безграничную в пространстве. Но в реальности волновое движение

ограничено во времени, поскольку излучение любой волны длится конечный

промежуток времени. Значит, реальные волны, которые представляют прак-

тический интерес, не являются гармоническими и монохроматическими. В

этом случае так же, как и в случае ангармонических колебаний, можно при-

менить разложение в ряд Фурье по гармоническим функциям. Но сначала

рассмотрим обратную задачу: что происходит, если в некоторой области

пространства одновременно распространяется несколько волн?

Опыт показывает, что в линейных средах волны распространяются

независимо друг от друга и справедлив принцип суперпозиции:

ξ = i

ξi , (5.1)

при распространении в линейной среде нескольких волн каждая из них рас-

пространяется независимо от других так, что результирующее смещение ча-

стицы среды равно геометрической сумме смещений в каждой из волн в от-

дельности.

Линейными называют среды, свойства которых не зависят от внешних по-

лей. Например, диэлектрическая проницаемость ε такой среды не зависит от ве-

личины E напряженности электрического поля. Упругая среда является линей-

ной, если ее модуль Юнга не зависит от величины деформаций.

Особую роль играют одиночные возмущения (короткий волновой им-

пульс от выстрела, взрыва или вспышки); их можно представить как волно-

вые пакеты.

Волновой пакет – это группа близких по волновым числам и по часто-

там монохроматических волн, амплитуды и фазы которых таковы, что в лю-

бой момент времени их сложение дает локализованный в некотором объеме

пространства одиночный волновой импульс.

Волновой пакет характеризуется средними значениями волнового чис-

ла k0 и частоты ω0, и интервалами ∆k и ∆ω в спектральных разложениях вол-

нового пакета по волновым числам и частотам:

(k0 - ∆k) ≤ k ≥ (k0 + ∆k); ∆k<< k0 ;

(ω0 - ∆ω) ≤ ω ≥ (ω0+∆ω); ∆ω<< ω0 .

Установлено, что чем меньше временная длительность ∆t пакета, тем

больше интервал частот ∆ω в его спектральном разложении; и - чем короче

его пространственная протяженность Δx, тем больше интервал волновых чи-

сел ∆k.

Пусть в одном направлении с одной и той же скоростью v распростра-

няются две плоские гармонические волны с одинаковыми амплитудами A0 и

близкими по значению частотами (ω и ω+dω) и волновыми числами (k и

k+dk).

25

Согласно принципу суперпозиции:

])()sin[()sin(),( 00 xdkktdAkxtAtx

)sin(]2

)(cos[2 0 kxt

xdktdA

.

Формально полученное выражение можно рассматривать как уравне-

ние квазигармонической волны с медленно периодически изменяющейся ам-

плитудой:

2

)(cos2),( 0

kdxtdAtxA

. (5.2)

За скорость u распространения этой несинусоидальной волны прини-

мают скорость перемещения точки M, в которой амплитуда имеет макси-

мальное значение. Следовательно, точка M движется по закону (tdω-

xdk)=const. Величина

dk

d

dt

dxu М

(5.3)

называется групповой скоростью (скоростью группы волн). Поскольку в этой

точке максимальна и плотность энергии, то групповая скорость и есть ско-

рость перемещения энергии волны.

Связь между групповой и фазовой скоростями волны имеет вид:

d

dvu

v . (5.4)

5.2 Дисперсия волн

Дисперсией называется зависимость фазовой скорости распростране-

ния монохроматической волны от ее частоты ω или длины волны λ, то есть

зависимость v=f(ω), либо )f(v .

Для всех прозрачных бесцветных сред с увеличением длины λ волны в

видимой части спектра показатель преломления n=v

c уменьшается, а ско-

рость v увеличивается. В этом случае дисперсия называется нормальной .

Рассмотрим распространение произвольной волны как совокупности

монохроматических составляющих. Если дисперсия отсутствует, то все эти

составляющие распространяются с одинаковыми фазовыми скоростями и по-

тому не смещаются друг относительно друга. Значит, при отсутствии диспер-

сии (например, в случае электромагнитных волн в вакууме и звуковых волн в

воздухе) любая волна сохраняет в процессе распространения свою форму.

При наличии дисперсии сложные (негармонические) волны изменяют

свою форму, в частности происходит расплывание волновых пакетов. При

этом групповая скорость (5.4) может быть как больше, так и меньше фазовой.

26

5.3 Свет как электромагнитная волна

Согласно теории Максвелла свет – электромагнитное излучение, длины

волн которого лежат в пределах от 0,001 мкм до 100 мкм, то есть свет, в ши-

роком смысле слова, включает ультрафиолетовую, видимую и инфракрасную

области спектра. Длины волн видимого света лежат в интервале от 380 нм до

770 нм (в вакууме), а частоты занимают диапазон ν=(0,39 Гц1510)75,0 . Бе-

лый свет – составной, он представляет собой наложение волн, длины λ кото-

рых охватывают весь диапазон воспринимаемых глазом электромагнитных

волн.

При переходе из вакуума в прозрачную (диэлектрическую) среду ча-

стота ν световых колебаний не изменяется, а фазовая скорость и длина вол-

ны уменьшаются в n раз:

n

cv ,

nn

c 0

vTv ; (5.5)

здесь 0 - длина волны в вакууме,

n – показатель преломления этой среды.

Для подавляющего большинства прозрачных веществ n и зависит

от .

В электромагнитной волне колеблются векторы E

и H

. Физиологиче-

ское, фотохимическое, фотоэлектрическое и другие действия света вызыва-

ются колебаниями электрического вектора E

, поэтому его называют свето-

вым вектором. Интенсивность монохроматической световой волны пропор-

циональна квадрату амплитуды светового вектора 2~ mEI .

5.4 Интерференция света

Пусть в некоторой области перекрываются две световые, то есть элек-

тромагнитные волны. В линейных средах и в вакууме взаимодействие меж-

ду полями отсутствует. Поэтому волны распространяются независимо друг

от друга и в области перекрытия имеет место суперпозиция полей:

E

= 1E

+ 2E

.

Все без исключения приемники света инерционны. Для глаза время

разрешения составляет по порядку величины τ ≈ 0,1 с, у фотоматериалов τ ≈

10-2

÷10-4

с, в ячейках Керра (оптические затворы) τ ≈ 10-9

с. Наиболее быст-

родействующие современные фотоэлементы имеют τ ≈ 10-10

с, но и в этом

случае τ>>T, то есть время разрешения τ много больше периода T световых

колебаний, так как в области видимого света T≈10-15

с. Поэтому все приемни-

ки света могут измерить величину, пропорциональную среднему за время

разрешения τ квадрату напряженности <E2>, то есть интенсивность света I.

В области, в которой перекрываются две световые волны, приемник

может зафиксировать величину, равную:

I=<( 1E

+ 2E

)2>= I1 + I2 +2< 1E

2E

>. (5.6)

27

Последнее слагаемое в выражении (6.9) называется интерференцион-

ным членом. Его величина может быть выражена в виде:

2112 2 III <cosδ>, (5.7)

где δ – разность фаз складываемых колебаний.

Результаты сложения волн определяются тем, являются ли волны коге-

рентными или нет:

а) если две волны излучаются двумя независимыми источниками, то

разность фаз таких волн в каждой точке (например, экрана) непрерывно из-

меняется случайным образом, принимая с равной вероятностью любые зна-

чения от 0 до 2π, тогда <cos δ> = 0, І12 = 0 и

I = I1 + I2 . (5.8)

Таким образом, при наложении некогерентных волн наблюдаемая ин-

тенсивность равна сумме интенсивностей каждой из волн в отдельности;

б) если разность фаз δ, возбуждаемых волнами колебаний, остается

постоянной во времени, то волны называются когерентными и в этом случае:

I=I1 + I2 +2 cos21II . (5.9)

Рассмотрим случай, когда обе волны строго монохроматичны и имеют

одну и ту же частоту ω. Монохроматическая волна – это строго синусои-

дальная волна с постоянными во времени частотой ω, амплитудой A и

начальной фазой φ; при этом амплитуда и начальная фаза могут меняться от

одной точки пространства к другой, а частота одна и та же везде.

В точках пространства, где выполняется условие cos δ = 1, или

δ=0, 2π, 4π, 6π,…, (5.10)

при разности фаз, равной четному числу π, возникают максимумы интенсив-

ности Imax =I1 + I2 +2 21II .

Минимумы возникают в таких точках, в которых cos δ = -1, значит,

условие образования интерференционного минимума имеет вид:

δ=π, 3π, 5π,…, (5.11)

то есть разность фаз должна быть равна нечетному числу π. При этом

Imin =I1 + I2 - 2 21II .

Таким образом, при наложении когерентных волн происходит перерас-

пределение потока в пространстве, в результате чего в одних местах воз-

никают максимумы, а в других – минимумы интенсивности. Это явление

называется интерференцией волн.

Частным случаем интерференции является образование стоячей волны.

Стоячая волна образуется при наложении двух когерентных волн, распро-

страняющихся в противоположных направлениях.

Пусть вдоль оси OX распространяются во встречных направлениях две

монохроматические с частотой ω и одинаковой амплитудой A0 волны:

E1=A0cos(ωt-kx) и E2=A0cos(ωt+kx).

В результате их наложения образуется волна:

E =E1 + E2 = 2 A0coskx·cosωt. (5.12)

Амплитуда полученной волны определяется выражением:

28

kxAAст cos2 0 . (5.13)

В отличие от бегущей волны амплитуда стоячей волны зависит от ко-

ординаты x. В точках, в которых │coskx│= 1, амплитуда удваивается (мак-

симальна) и равна 2A0, а в точках, где │coskx│= 0, амплитуда равна нулю

(минимальна). Эти точки называют соответственно пучностями и узлами

стоячей волны.

5.5 Временная и пространственная когерентность

Излучение обычных источников (не лазеров) некогерентно; это обу-

словлено тем, что оно складывается из волн, излучаемых громадными сово-

купностями его атомов. Процесс излучения атома продолжается в течение

времени, длительностью порядка 10-8

с. За это время успевает образоваться

цуг волн длиной примерно 3 м. Свет от обычного источника представляет

хаотичную последовательность отдельных цугов. Поэтому при наложении

световых волн от разных источников фазовые соотношения между колебани-

ями многократно изменяются случайным образом, и устойчивой интерфе-

ренционной картины не возникает.

Тем не менее, когерентные световые волны можно получить даже от

обычных источников. Общий метод таков: волну, излучаемую одним источ-

ником света, разделяют каким–либо способом на две части, которые затем в

некоторой области пространства перекрываются. В области перекрытия

происходит наложение интерференция расщепленных «половинок» элемен-

тарных волновых цугов, излученных отдельными атомами.

Оптическая длина пути L – это произведение расстояния ℓ, которое

проходит волна в некоторой среде, на показатель n преломления в данной

среде nlL . Разность оптических длин проходимых волнами путей от точки

расщепления до точки их наложения называют оптической разностью хода:

221121 lnlnLL . (5.14)

Связь между разностью фаз двух волн и оптической разностью хода:

0

2

. (5.15)

Тогда условие образования интерференционных максимумов:

00

22

mm ; m=0, 1, 2, 3,… (5.16)

Интерференционные минимумы наблюдаются, если волны приходят в

противофазе, при этом оптическая разность хода равна нечетному числу по-

луволн:

2

)12( 0 m ; m=0, 1, 2, 3,… (5.17)

Когерентностью называется согласованное протекание нескольких

колебательных или волновых процессов.

Согласованное протекание волновых процессов, происходящих в одной

и той же точке, но в разные моменты времени, называют временной коге-

29

рентностью. Промежуток времени τког, в течение которого случайные изме-

нения начальной фазы волны в данной точке достигают значения порядка π,

называется временем когерентности. За это время колебание становится не-

когерентным по отношению к самому себе. Расстояние, на которое переме-

щается волна за время τког, называют длиной когерентности ко гко г сl . Сле-

довательно, расщепленные волны, приходящие в точку наблюдения с разно-

стью хода, равной или превышающей ℓког, не образуют интерференционной

картины, т.к. некогерентны.

Соответствующий расчет дает, что время ког когерентности обратно

пропорционально интервалу частот ν , представленных в данной световой

волне: ν

1~ког . Это означает, что чем уже интервал частот, представленных

в данной световой волне, тем больше время когерентности этой волны. Для

монохроматической волны 0ν и время когерентности ког .

Длину когерентности можно оценить с помощью соотношения

2

~ког . Для солнечного света λ=0,50 мкм (зеленая часть спектра) и Δλ=0,40

мкм, тогда

ℓког≈(0,50)2/0,40 мкм ≈0,6 мкм=0,6·10

-3 мм.

Пространственная когерентность – это согласованное протекание ко-

лебательных процессов, которые совершаются в один и тот же момент

времени в разных точках поверхности, перпендикулярной направлению рас-

пространения волны (так называемой квазиволновой поверхности). Про-

странственная когерентность зависит от условий излучения и формирования

световых волн. В реальной световой волне, излучаемой множеством незави-

симых атомов протяженного источника света, разность фаз колебаний в двух

точках квазиволновой поверхности Q, - случайная функция времени.

Радиусом когерентности ρког называют расстояние между двумя точ-

ками поверхности Q, случайные изменения разности фаз δ, в которых дости-

гают порядка π. Если источник имеет форму диска, диаметр которого виден

из данной точки под углом φ, то

~ког . Для Солнца φ≈0,01 рад, λ≈0,50 мкм,

ρког ≈0,05 мм.

5.6 Методы наблюдения интерференции света

5.6.1 Опыт Юнга. В опыте Юнга пучок яркого солнечного света про-

пускался через узкую щель S. Прошедшим светом освещались две узкие па-

раллельные и близко расположенные щели S1 и S2 во втором непрозрачном

экране. На экране в области перекрытия пучков наблюдались параллельные

чередующиеся темные и светлые интерференционные полосы.

Расстояние между двумя соседними максимумами интенсивности называют

расстоянием между интерференционными полосами, а расстояние между со-

седними минимумами интенсивности – шириной интерференционной поло-

30

сы. Расстояние между полосами и ширина полосы имеют одинаковое значе-

ние, равное:

d

lx . (5.18)

Рисунок 5.1

5.6.2 Интерференция в тонких пленках. Пусть на плоскопараллельную

пленку толщины d с показателем преломления n падает параллельный пучок

монохроматического света с длиной волны λ0. При отражении от обеих по-

верхностей пленки разность хода между волнами 1 и 2 (рисунок 5.1) равна:

2)( 0 ADnBCAB .

«Потеря» полуволны обусловлена тем, что при отражении от оптиче-

ски более плотной среды (с бóльшим показателем преломления n) фаза от-

раженной волны скачком изменяется на , а при отражении от оптически

менее плотной среды – не изменяется.

После геометрических преобразований и с учетом закона преломления

света:

2sin2 022

nd . (5.19)

5.6.3 Кольца Ньютона. При отражении света от поверхностей зазора

между стеклянной пластиной и прижатой к ней плоско-выпуклой линзой

наблюдаются кольца Ньютона. При нормальном падении света интерферен-

ционная картина имеет вид чередующихся темных и светлых концентриче-

ских колец. В отраженном свете в центре картины - темное пятно; радиусы

темных колец:

0Rmrm , (5.20)

где m - номер кольца, m=1, 2, 3, …;

R – радиус кривизны линзы.

6 Лекция №6. Дифракция волн

6.1 Принцип Гюйгенса-Френеля

В однородных и изотропных средах распространение волн происходит

прямолинейно и подчиняется законам геометрической оптики.

31

В средах с резкими неоднородностями, например, вблизи краев непро-

зрачного экрана или отверстия, наблюдается дифракция - огибание волнами

препятствий (соизмеримыми с длиной волны падающего света) и проникно-

вение в область геометрической тени (отклонение от законов геометриче-

ской оптики).

Для объяснения и расчета дифракционных явлений в теории волн при-

меняется принцип Гюйгенса-Френеля.

Согласно принципу Гюйгенса-Френеля каждый элемент волновой по-

верхности (в общем случае - любой вспомогательной поверхности, до кото-

рой доходит излучение) dS можно рассматривать как источник вторичной

сферической волны. Поскольку эти вторичные волны являются составными

частями единой исходной волны, они когерентны между собой, поэтому в

произвольной точке наблюдения P, в которую приходят вторичные волны,

будет происходить их наложение (интерференция), в результате чего вол-

ны либо усиливают друг друга, либо гасят.

Амплитуда вторичной волны пропорциональна площади элемента

волновой поверхности dS, на расстоянии r от него она убывает по закону 1/r.

Следовательно, от каждого элемента волновой поверхности в точку наблю-

дения P (рисунок 6.1) приходит колебание светового вектора:

dE=K(φ)r

АdScos(ωt-kr+α), (6.1)

Рисунок 6.1

где (ωt+α) – фаза колебания в месте расположения поверхности S;

r – расстояние от элемента dS поверхности до точки P;

A – множитель, определяемый амплитудой световой волны в том месте,

где находится площадка dS;

K(φ) – коэффициент, зависящий от угла φ между нормалью n

к пло-

щадке dS и направлением от нее к точке P.

При φ =0 этот коэффициент максимален, при φ = π/2 он обращается в

нуль.

Результирующее колебание в точке P представляет собой суперпози-

цию колебаний (6.1), взятых по той части волновой поверхности S, которая

открыта для точки наблюдения P:

32

dskrtr

AKE

S

)cos()( . (6.2)

Формула (6.2) - аналитическое выражение принципа Гюйгенса – Фре-

неля.

6.2 Метод зон Френеля

В тех случаях, когда источники света имеют симметричную форму и

соответственной симметрией обладают волновые поверхности излучаемых

ими волн, амплитуду результирующего колебания можно найти простым ал-

гебраическим или геометрическим суммированием.

Этот простой и эффективный метод носит название метода зон Френе-

ля и заключается в следующем. В качестве вспомогательной поверхности

выбирается одна из волновых поверхностей (во всех точках которой фазы

волны одинаковы). Эта поверхность разбивается на участки, называемые зо-

нами Френеля, таким образом, чтобы разность хода волн от внутреннего и

внешнего краев каждого участка до точки наблюдения была равна половине

длины волны λ/2. В некоторых случаях вместо точки наблюдения задается не-

которое направление в пространстве, тогда половине длины волны должна

равняться разность хода волн от краев участка в данном направлении.

Рассмотрим метод зон Френеля на примере точечного источника света

S, волновые поверхности которого представляю собой (в однородной и изо-

тропной среде) концентрические сферы. Рассмотрим одну из этих сфер, уда-

ленную от точки наблюдения на расстоянии b. Разобьем эту волновую по-

верхность на кольцевые зоны таким образом, что расстояния от краев (внут-

реннего и внешнего) каждой зоны отличались на λ/2. Ясно, что расстояние

от края первой (центральной) зоны до точки P, равно (b+λ/2), а от внешнего

края m–ой зоны – (b+mλ/2).

Колебания, приходящие в точку P от аналогичных участков (например,

лежащих в середине зон или у внешних краев) двух соседних зон, приходят в

противофазе. Поэтому и результирующие колебания, создаваемые каждой из

зон в целом, будут для соседних зон отличаться по фазе на π. Следовательно,

вторичные волны двух соседних зон будут приходить в точку наблюдения в

противофазе и при наложении друг друга гасить.

Точный расчет дает, что площади кольцевых зон при не слишком

больших m примерно одинаковы. Расстояние bm от зоны до точки P медленно

растет с ростом номера m. Все это приводит к тому, что амплитуда Am коле-

бания, возбуждаемого m–ой зоной в рассматриваемой точке P, монотонно

убывает с ростом m, так что

A1> A2>A3>A4> … > Am-1>Am>Am+1> …

Вследствие монотонного убывания амплитуд оказывается, что ампли-

туда Am колебания от некоторой m–й зоны Френеля равна среднему арифме-

тическому от амплитуд примыкающих к ней зон:

33

Am =2

11 mm AA. (6.3)

Фазы колебаний, возбуждаемых соседними зонами, отличаются на π,

поэтому амплитуда A результирующего колебания в точке P может быть

представлена в виде знакопеременного ряда:

A= A1 – A2 + A3 – A4+ A5- … (6.4)

Перепишем выражение (6.4) следующим образом:

...22222)5

433

211

AA

AAA

AAА (6.5)

С учетом соотношения (6.3) при m→ ∞ (на пути от источника S до

экрана P нет никаких препятствий) выражение (6.5) упрощается:

A = A1/2. (6.6)

Полученное соотношение означает, что амплитуда, создаваемая в неко-

торой точке P всей сферической волновой поверхностью, равна половине

амплитуды, создаваемой одной лишь центральной зоной.

Рисунок 6.2

Если на пути волны поставить непрозрачную преграду с вырезанным в

ней круглым отверстием, оставляющим открытой лишь одну центральную

зону, то амплитуда в точке P будет равна A1, то есть в два раза будет боль-

ше, чем A. Соответственно интенсивность света в этом случае будет в че-

тыре раза больше, чем в отсутствие преград между источником и экраном

(между точками S и P).

Внешний радиус m–ой кольцевой зоны можно определить по формуле:

mba

abmr

. (6.7)

Из соотношения (6.4) следует, что если между источником S

и экра-

ном P находится круглая диафрагма (отверстие в непрозрачной преграде), то

интенсивность света в точке наблюдения P – центре дифракционной картины

- будет зависеть от того, сколько зон укладываться в этом отверстии.

34

Минимумы интенсивности будут наблюдаться при четном числе зон m

=2,4,6,… (поскольку колебания от каждой пары соседних зон взаимно гасят

друг друга), а максимумы – при нечетном числе зон m =1,3,5,… В целом,

дифракционная картина от круглого отверстия имеет вид чередующихся

светлых и темных колец.

6.3 Дифракция на одной и многих щелях

Пусть на узкую длинную щель шириной a падает по нормали к ней

плоская световая волна. Поместим за щелью собирающую линзу, а в фокаль-

ной плоскости линзы - экран (рисунок 6.3).

Дифракционная картина на экране при освещении узкой щели моно-

хроматическим светом от лазера представляет собой систему симметрически

расположенных вдоль прямой линии светлых (того же цвета, что и лазерное

излучение) пятен, при этом в центре картины располагается максимум, по

интенсивности значительно превосходящий остальные максимумы. Макси-

мумы разделены минимумами.

Рисунок 6.3

Дифракционные минимумы наблюдаются при таких углах дифракции θ,

для которых в щели укладывается четное число зон Френеля:

ma sin , (6.8)

где m – порядок минимума, принимает значения 1, 2, 3, …

Дифракционная решетка представляет собой совокупность большо-

го числа расположенных в одной плоскости, отстоящих друг от друга на одно

и то же расстояние, одинаковых параллельных щелей.

Расстояние d между серединами соседних щелей называется периодом

(или постоянной) решетки. Период решетки равен сумме ширины щели a и

непрозрачного промежутка между щелями: d=a+b.

Для получения более четкой дифракционной картины между дифрак-

ционной решеткой и экраном располагают собирающую линзу так, что экран

находится в ее фокальной плоскости (рисунок 6.3).

При прохождении через дифракционную решетку имеет место, во-

первых, интерференции световых волн, дифрагировавших на каждой щели в

35

отдельности; во-вторых, интерференция волн, дифрагировавших от разных

щелей. При этом положение минимумов (6.8), соответствующих дифракции

на одной щели, остается неизменным и при дифракции на N щелях.

Положение главных дифракционных максимумов при нормальном па-

дении параллельного пучка монохроматического света длиной волны λ на

дифракционную решетку определяется из формулы:

dsinθ = mλ , m=0, 1, 2, 3, …, mпред , (6.9)

где mпред – наибольший порядок наблюдаемого максимума, равный це-

лому числу

dmпред , ближайшему к отношению d/λ с меньшей стороны.

6.4 Спектральное разложение

Положение дифракционных максимумов (кроме центрального) зависит

от длины волны λ. Поэтому при падении на решетку немонохроматического

(например, белого) света разным длинам волн будут соответствовать сдвину-

тые относительно друг друга максимумы, то есть все максимумы ненулевого

порядка (m=1, 2,…) разложатся в спектр.

Рисунок 6.4

Таким образом, дифракционная решетка позволяет установить спек-

тральный состав направленного на нее излучения и потому представляет со-

бой спектральный прибор. Если излучение состоит из нескольких монохро-

матических волн, например, λ1 и λ2, то и каждый из максимумов (кроме цен-

трального) будет состоять из отдельных (двух - в нашем примере) спектраль-

ных линий; причем очень важно, что максимумы для каждой длины волны

(при большом числе N щелей в дифракционной решетке) получаются очень

узкими. Поэтому решетка – это спектральный прибор высокого разрешения.

В отличие от стеклянной призмы дифракционная решетка:

36

а) сильнее отклоняет не фиолетовые, а наоборот, красные лучи – с

большей длиной волны λ;

б) равномерно растягивает спектр, в то время как призма – неравно-

мерно, т. к. длинноволновая (красная) часть ее спектра сжата, а коротковол-

новая (фиолетовая) более растянута.

7 Лекция №7. Электромагнитные волны в веществе

7.1 Дисперсия

Явление дисперсии характеризуется зависимостью показателя

преломления среды от частоты электромагнитных волн:

)(wfn . (7.1)

Согласно теории Максвелла показатель преломления определяется как

n , поэтому при распространении электромагнитных волн в диэлектри-

ках дисперсия отсутствует. Однако с точки зрения классической электронной

теории (микро электродинамики) явление дисперсии может быть объяснено

решением соответствующего дифференциального уравнения.

7.2 Вынужденное колебание связанного электрона в электрическом

поле

Вынужденное колебание электрона во внешнем электрическом поле с

амплитудой 0E

и частотой w описывается уравнением:

iwteEermwrmrm 0

2

0

, (7.2)

- коэффициент радиационного трения,

0w – частота свободного колебания электрона.

Это неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка.

Решение (7.2) (без сдвига фазы) может быть представлено в виде:

wiww

eE

m

er

iwt

22

0

0

. (7.3)

Переменный дипольный момент колеблющегося электрона выражается

формулой:

wiww

eE

m

erep

iwt

22

0

0

2

. (7.4)

Предположим, что в единице объема вещества находятся N

независимых друг от друга электронов. Тогда вектор поляризованности P

можно записать в виде:

wiww

eE

m

NeNp

iwt

22

0

0

2

P . (7.5)

37

С одной стороны, вектор электрического смещения D

, напряженность

электрического поля E

и вектор поляризованности P

связаны соотношени-

ем:

P

ED 0 ,

с другой стороны

ED

0 .

7.3 Диэлектрическая проницаемость среды

Из последних формул найдем выражение для диэлектрической прони-

цаемости среды :

wiwwm

Ne

22

00

2

1 . (7.6)

Видно, что диэлектрическая проницаемость зависит от частоты w па-

дающей волны, причем она оказалась комплексной величиной. Соответ-

ственно этому факту волновое число также будет комплексным:

c

wk

.

Запишем комплексное волновое число k в виде:

ibak (7.7)

при этом электрический вектор падающей волны

rkwtieEE

0 .

С учетом (7.7) его можно представить следующим образом:

rkwtirb eeEE

0 , (7.8)

т.е., вещественная часть a

комплексного вектора k

будет волновым

вектором, а мнимая часть b

характеризует ослабление волны при поглоще-

нии ее средой или усиление волны активной средой.

7.4 Показатель преломления среды

Из формулы (7.6) найдем выражение для показателя преломления сре-

ды n . В разряженных газах и средах с малой концентрацией электронов

справедливо неравенство:

11

22

00

2

wiwwm

Ne

, (7.9)

поэтому:

38

wiwwm

Nen

22

00

2 1

21 . (7.10)

Представим комплексную проницаемость n , выделяя ее вещественную

и мнимую части:

www

wi

www

ww

m

Nen

2222

0

22222

0

22

0

0

2

21

. (7.11)

Ее вещественная часть n~ характеризует показатель преломления дис-

пергирущей среды ( рисунок 7.1).

Рисунок 7.1

Несмотря на простоту рассмотренной модели формула (7.11) достаточ-

но полно характеризует диспергирующие свойства разряженных газов и не-

которых растворов.

Особенностью явления дисперсии является то обстоятельство, что в

окрестности частоты 0ww показатель преломления испытывает быстрое

возрастание (нормальная дисперсия), затем уменьшение скачком (область

аномальной дисперсии) с последующим его возрастанием (снова нормальная

дисперсия). Если в веществе имеются различные заряды, совершающие вы-

нужденные колебания с различными собственными частотами i0 , то

kk

kk

www

wwN

m

Nen

22222

0

22

0

0

2

21~

. (7.12)

7.5 Поглощение (абсорбция) света

Поглощением (абсорбцией) света называется явление уменьшения

энергии световой волны при ее распространении в веществе вследствие пре-

39

образования энергии волны в другие виды энергии. В результате поглощения

интенсивность света при прохождении через вещество уменьшается.

Поглощение света в веществе описывается законом Бугера:

xeII 0 , (7.13)

где 0I и I - интенсивности плоской монохроматической световой вол-

ны на входе и выходе слоя поглощающего вещества толщиной

,x - коэффициент поглощения, зависящий от длины волны света, хи-

мической природы и состояния вещества и не зависящий от интенсивности

света.

При /1x интенсивность света на выходе уменьшается в e раз.

Явление поглощения широко используются в абсорбционном спек-

тральном анализе смеси газов, основанном на измерениях спектров частот и

интенсивностей линий поглощения. Структура спектров поглощения опреде-

ляется составом и строением молекул, поэтому изучение спектров поглоще-

ния является одним из основных методов количественного и качественного

исследования веществ.

7.6 Поляризация света

Следствием теории Максвелла является поперечность световых волн:

векторы напряженностей электрического Е

и магнитного Н

полей волны

взаимно перпендикулярны и колеблются перпендикулярно вектору скорости

v распространения волны. Поэтому для описания закономерностей поляриза-

ции света достаточно знать поведение лишь одного из векторов. Обычно все

рассуждения ведутся относительно светового вектора – вектора напряженно-

сти Е

электрического поля.

7.7 Естественный и поляризованный свет

Свет представляет собой суммарное электромагнитное излучение мно-

жества атомов. Атомы же излучают световые волны независимо друг от дру-

га, поэтому световая волна, излучаемая в целом, характеризуется всевозмож-

ными равновероятными колебаниями светового вектора (рисунок 7.2 а; луч

перпендикулярен плоскости рисунка). В данном случае равномерное распре-

деление векторов Е

объясняется большим числом атомарных излучателей, а

равенство амплитудных значений векторов Е

– одинаковой интенсивностью

излучения каждого из атомов. Свет со всевозможными равновероятными

ориентациями вектора Е

(также и Н

) называется естественным.

Свет, в котором направления колебаний светового вектора каким-то

образом упорядочены, называется поляризованным. Так, если в результате

каких-либо внешних воздействий появляется преимущественное направле-

ние колебаний векторов Е

(рисунок 7.2 б), то имеем дело с частично поляри-

40

зованным светом. Свет, в котором вектор Е колеблется только в одном

направлении, перпендикулярном лучу (рисунок 7.2 в), называется плоскопо-

ляризованным.

Рисунок 7.2

Степенью поляризации называется величина:

minmax

minmax

II

IIP

, (7.14)

где - соответственно максимальная и минимальная интенсивности ча-

стично поляризованного света, пропускаемого анализатором.

Для естественного света maxI = minI и Р = 0, для плоскополяризованного

minI = 0 и Р = 1.

7.8 Закон Малюса

Естественный свет можно преобразовать в плоскополяризованный, ис-

пользуя так называемые поляризаторы, пропускающие колебания только

определенного направления. В качестве поляризаторов могут быть использо-

ваны среды, анизотропные в отношений колебаний вектора Е

, например,

природный кристалл – турмалин. Если направить естественный свет перпен-

дикулярно турмалину 1T (рисунок 9.2), вырезанный параллельно его оптиче-

ской оси, то при вращении этого турмалина вокруг направления луча, ника-

ких изменений интенсивности прошедшего через турмалин света не наблю-

даем. Если на пути луча поставить вторую пластинку турмалина 2T и вращать

ее вокруг направления луча, то интенсивность света, прошедшего через пла-

стинки, меняется в зависимости от угла между оптическими осями кри-

сталлов по закону Малюса:

2

0 cosII , (7.15)

где 0I и I - соответственно интенсивности света, падающего на вто-

рой кристалл и вышедшего из него.

Следовательно, интенсивность прошедшего через пластинки света из-

меняется от минимума (полное гашение света) при 2/ (оптические оси

41

пластинок перпендикулярны) до максимума при 0 (оптические оси пла-

стинок параллельны).

Рисунок 9.2

Если пропустить естественный свет через два поляризатора, главные

плоскости которых образуют угол , то из первого выйдет плоскополяризо-

ванный свет, интенсивность которого ectII2

10 ,. Тогда интенсивность света,

прошедшего через два поляризатора равна:

2cos2

1ectII . (7.16)

7.9 Закон Брюстера

Если естественный свет падает на границу раздела двух диэлектриков,

то часть его отражается, а часть преломляется. Исследования показали, что в

отраженном луче преобладают колебания, перпендикулярные плоскости па-

дения, в преломленном – колебания, параллельные плоскости падения.

Степень поляризации зависит от угла падения лучей и показателя пре-

ломления. Шотландский физик Д. Брюстер установил закон, согласно кото-

рому при угле падения (угол Брюстера), определяемого соотношением:

21ntgiB (7.16)

( 21n - показатель преломления второй среды относительно первой), отражен-

ный луч является плоскополяризованным (содержит только колебания, пер-

пендикулярные плоскости падения). Преломленный же луч при угле падения

Брюстера поляризуется максимально, но не полностью. Если свет падает на

границу раздела под углом Брюстера, то отраженный и преломленный лучи

взаимно перпендикулярны.

8 Лекция №8 Квантовая физика

8.1 Тепловое излучение

Свечение тел, т.е. излучение телами электромагнитных волн, может

осуществляться за счет различных видов энергии. Испускание электромаг-

42

нитных волн за счет внутренней энергии тел - тепловое излучение. Все

остальные виды свечения, возбуждаемые за счет любого вида энергии, кро-

ме внутренней, – люминесценция: хемилюминесценция, электролюминес-

ценция, катодолюминесценция, фотолюминесценция. Тепловое излучение –

равновесное, все остальные виды излучения неравновесные. К равновесным

состояниям и процессам применимы законы термодинамики.

Энергетическая светимость тела R, испускательная способность тела

r связаны между собой соотношением:

0

drdRR TTT . (8.1)

Пусть поток лучистой энергии, падающий на элемент площади - dФ, а

dФ 1 часть потока, поглощенная телом. Безразмерная величина:

dФ

dФT

1

, (8.2)

называется поглощательной способностью тела. Для абсолютно черного те-

ла 1Т , если 1Т , то тело – серое.

Закон Кирхгофа гласит: отношение испускательной и поглощающей

способностей не зависит от природы тела, оно является для всех тел одной

и той же (универсальной) функцией частоты (длины волны) и температу-

ры:

....)()()( 321 T

T

T

T

T

T rrr

(8.3)

или

),( Tfr

T

T

. (8.4)

Функция f (, Т) может быть названа испускательной способностью

абсолютно черного тела.

При теоретических исследованиях для характеристики спектрального

состава равновесного теплового излучения удобнее пользоваться функцией

частоты f (, Т). В экспериментальных работах - функцией длины волны.

Обе функции связаны друг с другом формулой:

),(2

),(2

),(2

2T

cT

cTf

. (8.5)

Абсолютно черных тел в природе не существует. Однако можно со-

здать устройство, сколь угодно близкое по своим свойствам к абсолютно

черному телу. Такое устройство представляет собой почти замкнутую по-

лость, снабженную малым отверстием и излучение, проникшее внутрь через

отверстие, прежде чем выйти обратно из отверстия, претерпевает многократ-

ные отражения. При каждом отражении часть энергии поглощается, в ре-

зультате чего практически все излучение любой частоты поглощается такой

полостью. Согласно закону Кирхгофа испускательная способность такого

43

устройства очень близка к f (, Т) Т – температура стенок полости. Если

стенки полости поддерживать при некоторой температуре Т, то из отверстия

выходит излучение, близкое по спектральному составу к излучению абсо-

лютно черного тела. Результаты опытов по исследованию поведения функ-

ции ),( T приведены на рисунке 9.1.

В равновесном состоянии энергия из-

лучения будет распределена в объеме поло-

сти с определенной плотностью энергии u = u

(T). Спектральное распределение этой энер-

гии можно охарактеризовать функцией u (,

Т), определяемой условием ,),( dTudu где

du доля плотности энергии, приходящаяся

на интервал частот .d Полная плотность

энергии u (T) связана с функцией u (, Т)

формулой:

0

),()( dTuTu . (8.6)

Рисунок 8.1

Универсальная функция ),( Tf связана со спектральным распределе-

нием плотности энергии ),( Tu выражением:

),(4

),( Tuc

Tf . (8.7)

Закон Стефана-Больцмана связывает энергетическую светимость абсо-

лютно черного тела с его абсолютной температурой:

4

0

),( TdTfR

, (8.8)

где - постоянная Стефана-Больцмана.

Закон смещения Вина связывает абсолютную температуру и длину

волны ,m на которую приходится максимум функции ),( T :

bT m , (8.9)

где b - константа, численно равная (экспериментальное значение):

b = 2,90 10 3 м.К.

8.2 Проблемы излучения абсолютно черного тела

Полученная по классической теория формула Релея-Джинса выглядит

следующим образом:

kTc

Tu32

2

),(

(8.10)

44

или

kTc

Tf22

2

4),(

. (8.11)

Эта формула удовлетворительно согла-

суется с экспериментальными данными лишь

при больших длинах волн и резко расходится

с опытом для малых длин волн (рисунок 7.2).

Подстановка формулы (7.10) в (7.6) дает для

равновесной плотности энергии u (T) беско-

нечно большое значение. Этот результат, по-

лучивший название ультрафиолетовой ката-

строфы, также находится в противоречии с

опытом.

Равновесие между излучением и излу-

чающим телом устанавливается при конечных

значениях u (T). Рисунок 8.2

8.3 Квантовая гипотеза и формула Планка

Формула Планка (1900 г.): h или 2

h - постоянная Планка. Вели-

чина энергии квантов пропорциональна частоте излучения:

. (8.12)

Можно показать, что средняя энергия излучения частоты равна:

1)(

kTехр

, (8.13)

тогда

1)exp(

1

4),(

22

3

kTc

Tf

(8.14)

(8.14) – формула Планка, дает исчерпывающее описание равновесного теп-

лового излучения.

9 Лекция №9. Экспериментальное обоснование идей квантовой

теории

9.1 Фотоэффект

Явление фотоэффекта (1887 г.) – Г. Герц. Опыты А.Г. Столетова по ис-

следованию явления фотоэффекта (1888 – 1889 гг.) Опыты Ленарда и других

исследователей по усовершенствованию прибора А.Г. Столетова (1898 г.).

45

9.2 Энергия и импульс световых квантов

Опыт Боте. Фотоны. Энергия и импульс фотона. Масса покоя фотона.

Согласно гипотезе световых квантов Эйнштейна, свет испускается, погло-

щаются и распространяется дискретными порциями (квантами), названными

фотонами. Масса фотона может быть определена из закона взаимосвязи мас-

сы и энергии:

2/chm . (9.1)

Фотон - элементарная частица, которая всегда движется со скоростью

света с и имеет массу покоя, равную нулю.

Импульс фотона определяется по формуле:

chp / . (9.2)

Фотон, как и любая другая частица, характеризуется энергией, массой и

импульсом. Выражения (9.1), (9.2) связывают корпускулярные характеристи-

ки фотона – массу, импульс и энергию с волновой характеристикой света –

его частотой .

Поскольку фотоны обладают импульсом, то свет, падающий на тело,

должен оказывать на него давление:

cEp e /)1( , (9.3)

где hNEe есть энергия всех фотонов, падающих на единицу поверх-

ности в единицу времени, т.е. энергетическая освещенность поверхности,

- коэффициент отражения света.

Формула (9.3), выведенная на основе квантовых представлений, совпа-

дает с выражением, получаемым из электромагнитной теории Максвелла.

9.3 Гипотеза и уравнение Эйнштейна

Идея А. Эйнштейна по объяснению закономерностей фотоэффекта.

Формула Эйнштейна:

Amv 2

2 . (9.4)

Условие возникновения фотоэффекта A , (9.5)

где А – работа выхода.

A 0

или

Ac 2

0 . (9.6)

Частота 0 или длина волны 0 - красная граница фотоэффекта.

46

9.4 Эффект Комптона

Эффект Комптона (1923 г.). А. Комптон, исследуя

рассеяние рентгеновских лучей различными вещества-

ми, обнаружил, что в рассеянных лучах наряду с излу-

чением первоначальной длины волны содержатся

также лучи большей длины волны / .

Рисунок 9.1

Оказалось, что

)(/ f . (9.7)

угол, образуемый направлением

рассеянного излучения с направлени-

ем первичного пучка. т.е. разность

от длины волны и от природы веще-

ства не зависит.

Схема опыта показана на рисун-

ке 9.1. На рисунке 9.2 приведены ре-

зультаты исследования рассеяния мо-

нохроматических (характеристиче-

ских) рентгеновских лучей (линия K )

молибдена на графите.

Рисунок 9.2

Кривая а характеризует первичное излучение. Остальные кривые отно-

сятся к разным углам рассеяния , значения которых указаны на рисунке. По

оси ординат отложена интенсивность излучения, по оси абсцисс – длина

волны. Все особенности эффекта Комптона можно объяснить, рассматривая

рассеяние как процесс упругого столкновения рентгеновских фотонов с

практически свободными электронами. Если на первоначально

Рисунок 9.3

покоящийся свободный электрон падает фотон с энергией и импульсом

k

(рисунок 9.3), то, используя законы сохранения энергии и импульса,

можно показать, что:

47

)1( сosc , (9.8)

где

mcc 2 (9.9)

носит название комптоновской длины волны.

Определяемая выражением (9.6) формула дает для комптоновской дли-

ны волны электрона значение: 00243,0 Ac .

Результаты измерений Комптона и последующих измерений находятся

в полном согласии с формулой (9.9), если подставить в неё значение для c .

10 Лекция №10. Корпускулярно-волновой дуализм вещества

10.1 Гипотеза де Бройля и ее экспериментальное подтверждение

Гипотеза де Бройля (1924 г.) – дуализм не является особенностью од-

них только оптических явлений, но имеет универсальное значение. Фотон

обладает энергией Е и импульсом

2р .

По идее де Бройля движение электрона или какой-либо другой частицы

связано с волновым процессом, длина волны которого равна:

mvр

22 , (10.1)

а частота

/E . (10.2)

Опыт Дэвиссона – Джермера (1927 г.) – отражение электронов от мо-

нокристалла никеля (кубическая система). Рассеяние оказалось особенно ин-

тенсивным при определенном значений угла рассеяния , который соответ-

ствовал отражению от атомных плоскостей, расстояние между которыми d

было известно из рентгенографических исследований.

Вычисленная по формуле (10.1) длина волны для максимального тока

(U Вуск 54 ) равна 1,67 А 0 . Брэгговская длина волны, отвечающая условию:

2dSin n ,

равнялась 1,65 А 0 . Опыты Дэвиссона – Джермера подтвердили идеи де Брой-

ля.

В 1927 г. Г.П. Томсон и независимо от него П.С. Тартаковский полу-

чили дифракционную картину при прохождении электронного пучка через

металлическую фольгу.

Было обнаружено, что дифракционные явления обнаруживаются также

у атомных и молекулярных пучков.

Л.М. Биберман, Н.Г. Сушков, В.А. Фабрикант (1949 г.) – опыт со сла-

бым электронным пучком.

48

10.2 Волновые свойства микрочастиц и соотношение неопределен-

ностей Гейзенберга

В классической механике состояние материальной точки определяется

заданием динамических переменных (координата, импульс, энергия и т.д.).

В.Гейзенберг (1927 г.): «Произведение неопределенностей значений

двух сопряженных переменных не может быть по порядку величины меньше

постоянной Планка . (Принцип неопределенности Гейзенберга)». Своеобра-

зие микрочастиц, при измерениях не для всех переменных, получает опреде-

ленные значения:

xpx . (10.3)

Любая микрочастица не может иметь одновременно точных значений

координаты x и компоненты импульса р x . Если одна из переменных имеет

точное значение, другая переменная при этом оказывается совершенно не-

определенной.

Энергия Е и время t - также канонически сопряженные величины, по-

этому tE . (10.4)

9.3 Уравнение Шредингера. Состояние частицы в квантовой меха-

нике. Пси-функция. Временное и стационарное уравнения Шредингера

Э. Шредингер (1926 г.) – в развитие идеи де Бройля о волновых свой-

ствах вещества получил свое временное уравнение:

tiU

m

2

2

. (10.5)

),,,( tzyx - комплексная функция (пси- функция) координат и времени,

характеризует состояние микрочастицы. Это основное уравнение нереляти-

вистской квантовой механики. Для стационарных состояний оно имеет вид:

0)(2

2 UE

m

. (10.6)

По Борну (1926 г.) квадрат модуля функции определяет вероятность

dP того, что частица будет обнаружена в пределах объема dV:

dVAdVAdP *2. (10.7)

А - коэффициент пропорциональности, для пси-функции выполняется

следующее условие нормировки:

1 dV . (10.8)

Пси – функция должна быть однозначной, непрерывной и конечной,

кроме того, она должна иметь непрерывную и конечную производную –

стандартные условия.

49

11 Лекция №11. Решение уравнения Шредингера для простейших

квантовых систем

11.1 Задача о частице в одномерной прямоугольной яме

Найдем собственные значения энергии и соответствующие им соб-

ственные функции для частицы, находящейся в бесконечно глубокой одно-

мерной потенциальной яме. Предположим, что частица может двигаться

только вдоль оси x. Пусть движение ограничено непроницаемыми для части-

цы стенками: x = 0 и x =l. Потенциальная энергия в этом случае равна нулю

при lx0 и обращается в бесконечность при x 0 и x l. Уравнение Шре-

дингера для такой задачи упрощается:

02

22

2

Em

dx

d

, (11.1)

функция удовлетворяет условию

0)()0( l , (11.2)

l - ширина ямы.

Можно показать, что собственные значения энергии частицы являются

дискретными:

2

2

22

2n

mlEn

(n = 1, 2, 3, . . .). (11.3)

Таким образом, энергия частицы в «потенциальной яме» с бесконечно

высокими «стенками» принимает лишь определенные дискретные значения,

т. е. квантуется. Квантованные значения энергии nE называются уровнями

энергии, а число n, определяющее энергетические уровни частицы, называет-

ся главным квантовым числом. Собственные функции имеют вид:

l

xn

lxn

sin

2)( (n =1, 2, 3, . . .). (11.4)

11.2 Атом водорода. Энергетический спектр атома водорода. Про-

странственное квантование

Эта задача сводится к задаче о движении электрона в кулоновском поле

ядра.

Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром, обладаю-

щим зарядом Z (для атома водорода Z = 1):

r

ZerU

0

2

4)(

, (11.5)

где r - расстояние между электроном и ядром.

U(r) с уменьшением r (при приближении электрона к ядру) неограни-

ченно убывает.

50

С учетом (11.5) стационарное уравнение Шредингера примет следую-

щий вид:

,0)4

(2

0

2

2

r

ZeE

m

(11.6)

где m – масса электрона;

Е – полная энергия электрона в атоме.

Поле, в котором движется электрон, является центрально-

симметричным. Поэтому нужно воспользоваться сферической системой ко-

ординат: r, .,

Можно показать, что уравнение (10.6), в сферической системе коорди-

нат, имеет требуемые (т.е. однозначные, конечные и непрерывные) решения

в следующих случаях:

- при любых положительных значениях Е;

- при дискретных отрицательных значениях энергии, равных:

2

2

20

2

4

8 n

Z

h

meEn

(n = 1, 2, 3, …). (11.7)

Самый нижний уровень ,1Е отвечающий минимальной возможной

энергии, - основной, все остальные ( ,1EEn n = 2,3, …) – возбужденные.

При отрицательных энергиях движение электрона является связанным – он

находится внутри гиперболической «потенциальной ямы». По мере роста

главного квантового числа n энергетические уровни располагаются теснее и

при n = .0 E При Е 0 движение электрона является свободным, эта об-

ласть непрерывного спектра соответствует ионизованному атому. Энергия

ионизации атома водорода равна:

эВh

meEEi 55,13)8( 2

0

2

4

1

.

В квантовой механике доказывается, что уравнению Шредингера (11.6)

удовлетворяют собственные функции ),,(,, rmln , определяемые тремя

квантовыми числами: главным n, орбитальным l , и магнитным lm .

Главное квантовое число n определяет энергетические уровни электро-

на в атоме и может принимать любые целочисленные значения, начиная с

единицы:

n = 1,2,3, …

Из решения уравнения Шредингера вытекает, что момент импульса

(механический орбитальный момент) электрона квантуется:

,)1( llLl (11.8)

где l – орбитальное квантовое число, которое при заданном n принима-

ет значения

l = 0,1, …, (n – 1),

т.е. всего n значений, и определяет момент импульса электрона в атоме.

Из решения уравнения Шредингера следует также, что вектор lL мо-

мента импульса электрона может иметь лишь такие ориентации в простран-

51

стве, при которых его проекция zlL на направление z внешнего магнитного

поля принимает квантованные значения, кратные :

lzl mL , (11.9)

где lm - магнитное квантовое число, которое при заданном l может

принимать значения

,...,,2,1,0 lml (11.10)

т.е. всего 2l + 1 значений. Таким образом, магнитное квантовое число lm

определяет проекцию момента импульса электрона на заданное направление,

причем вектор момента импульса электрона в атоме может иметь в про-

странстве 2l + 1 ориентаций. Число различных состояний, соответствующих

данному n, равно

.)12( 21

0nl

n

l

(11.11)

Квантовые числа n и l характеризуют размер и форму электронного об-

лака в пространстве.

Квантовые числа n, l, и lm позволяют более полно описать спектр ис-

пускания (поглощения) атома водорода, полученный в теории Бора.

В квантовой механике вводятся правила отбора, ограничивающие чис-

ло возможных переходов электронов в атоме, связанных с испусканием и по-

глощением света:

- изменение орбитального квантового числа l удовлетворяет условию

;1l (11.12)

- изменение магнитного квантового числа lm удовлетворяет условию

.1,0 lm (11.13)

11.3 Спин электрона

Опыты О. Штерна и В. Герлаха по прямым измерениям магнитных мо-

ментов в неоднородном магнитном поле (1922 г.).

Для объяснения тонкой структуры спектральных линий, а также ряда

других трудностей в атомной физике американские физики Д. Уленбек и С.

Гаудсмит предположили, что электрон обладает собственным неуничтожи-

мым механическим моментом импульса, не связанным с движением электро-

на в пространстве, - спином.

Спин электрона (и всех других микрочастиц) – квантовая величина, у

неё нет классического аналога; это внутреннее неотъемлемое свойство элек-

трона, подобное его заряду и массе.

Если электрону приписывается собственный механический момент им-

пульса (спин) sL , то ему соответствует собственный магнитный момент

.msp . Спин квантуется по закону:

,)1( ssLs (11.14)

где s – спиновое квантовое число.

52

По аналогии с орбитальным моментом импульса, проекция szL спина

квантуется так, что вектор sL может принимать 2s + 1 ориентаций. Так как в

опытах Штерна и Герлаха наблюдались только две ориентаций, то 2s + 1 = 2,

откуда S=1/2. Проекция спина на направление внешнего магнитного поля,

являясь квантованной величиной, определяется выражением, аналогичным

(11.9):

ssz mL , (11.15)

где sm - магнитное квантовое число; оно может иметь только два зна-

чения:

21sm .

Таким образом, опытные данные привели к необходимости характери-

зовать электроны (и микрочастицы вообще) добавочной внутренней степе-

нью свободы. Поэтому для полного описания состояния электрона в атоме

необходимо наряду с главным, орбитальным и магнитным квантовыми чис-

лами задавать ещё магнитное спиновое квантовое число.

12 Лекция №12. Элементы квантовой электроники

12.1 Молекулы: химические связи

Молекула – наименьшая частица вещества, состоящая из одинаковых

или различных атомов, связанных между собой химическими связями, и яв-

ляющаяся носителем его основных химических и физических свойств. Хи-

мические связи обусловлены взаимодействием внешних, валентных электро-

нов атомов. Наиболее часто в молекулах встречается два типа связи: ионная

и ковалентная.

Ионная связь (NaCl, KBr) осуществляется электростатическим взаимо-

действием атомов при переходе электрона одного атома к другому, т.е. при

образовании положительного и отрицательного ионов. Ковалентная связь

(H2, C2, CO) осуществляется при обобществлении валентных электронов дву-

мя соседними атомами (спины валентных электронов должны быть антипа-

ралельны). Ковалентная связь объясняется на основе принципа неразличимо-

сти частиц, например электронов в молекуле водорода.

12.2 Спонтанные и вынужденные излучения

Рассмотрим атомы, которые находятся в квантовых состояниях с дис-

кретными значениями энергии Е1 и Е2. Если атом находится в основном со-

стоянии 1, то под действием внешнего излучения может осуществляться вы-

нужденный переход в возбужденное состояние 2, приводящий к поглощению

излучения.

Атом, находясь в возбужденном состоянии 2, может через некоторый

промежуток времени спонтанно, без каких-либо внешних воздействий, пе-

53

рейти в состояние с низшей энергии, отдавая избыточную энергию в виде

электромагнитного излучения ( 12 EEh ). Процесс испускания фотона

возбужденным атомом без каких-либо внешних воздействий называется

спонтанным излучением.

Согласно исследованиям Эйнштейна (1916 г.), помимо поглощения и

спонтанного излучения, должен существовать третий, качественно иной тип

взаимодействия. Если на атом, находящийся в возбужденном состоянии 2,

действует излучение с частотой, удовлетворяющей условию 12 EEh , то

возникает вынужденный переход, в основное состояние 1 с излучением фо-

тона той же энергии.

Эйнштейн и Дирак показали, что вынужденное излучение тождествен-

но вынуждающему излучению: оно имеет такие же частоту, фазу, поляриза-

цию и направление распространения, как и вынуждающее излучение. Испу-

щенные фотоны, двигаясь в одном направлении и встречая другие возбуж-

денные атомы, стимулируют дальнейшие индуцированные переходы, и число

фотонов растет лавинообразно. Однако наряду с вынужденным излучением

возможен и конкурирующий процесс – поглощение.

Чтобы среда (активная) усиливала падающее на нее излучение, необхо-

димо создать неравновесное состояние системы, при котором число атомов

в возбужденных состояниях было бы больше, чем их число в основном со-

стоянии. Такие состояния называются состояниями с инверсией населенно-

стей. Процесс создания неравновесного состояния вещества называется

накачкой. Накачку можно осуществить оптическими, электрическими и дру-

гими способами.

Практически инверсное состояние среды осуществлено в оптических

квантовых генераторах – лазерах.

12.1 Понятие о квантовой статистике

В квантовой статистике системы, состоящие из огромного числа ча-

стиц, исследуются с помощью законов квантовой механики, в основе кото-

рых лежат корпускулярно – волновой дуализм частиц вещества и принцип

неразличимости тождественных частиц. Последний означает, что все одина-

ковые частицы (например, электроны в металле) являются неразличимыми

друг от друга.

В квантовой статистике ставится задача о распределении частиц по

ячейкам фазового пространства (шестимерного пространства координат и

скоростей), элемент которого равен ZYX pppzyxГ , а также зада-

ча определения средних значений физических величин, характеризующих

макроскопическое состояние системы. Состоянию частицы в фазовом про-

странстве, с учетом соотношения неопределенностей Гейзенберга, соответ-

ствует не точка, а ячейка фазового объема h3, где h – постоянная Планка.

54

Частицы, число которых равно ΔNi в объеме ΔГi , могут различными

способами распределиться между Δgi состояниями с энергией Ei. Тогда чис-

ло квантовых состояний в объеме ΔГi с энергиями от Ei до Ei + ΔEi равно:

3h

Гg i

i

. (12.1)

Среднее значение любой функции определяется с помощью функции

распределения, которая позволяет также найти вероятность данного состоя-

ния системы.

12.2 Распределения Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака

В квантовой механике различают два вида частиц: бозоны – частицы с

целым или нулевым спином (в единицах ), на которые не распространяется

принцип Паули и подчиняющиеся распределению Бозе-Эйнштейна (напри-

мер, некоторые ядра, фотоны, фононы) и фермионы – частицы с полуцелым

спином (электроны, протоны, нейтроны и т.д.). Последние описываются

квантовой статистикой Ферми-Дирака и подчиняются принципу Паули, со-

гласно которому в каждом квантовом состоянии может находиться только

одна частица. Функция распределения Бозе-Эйнштейна fБ выражает среднюю

«населенность» бозонами состояний с данной энергией или среднее их число

в одном состоянии:

i

iБ

g

ENf

)(,

где )( iEN - число частиц с энергией в интервале от Ei до Ei + ΔEi;

ig - число квантовых состояний в этом интервале энергий.

Распределение бозонов по энергиям получается из канонического рас-

пределения Гиббса при условии сохранении энергии E в системе и числа ча-

стиц N:

,

1}exp{

1

kT

Wf

i

Б (12.2)

где k – постоянная Больцмана;

Т – термодинамическая температура;

μ – химический потенциал, равный работе, совершаемой в изобарно-

изотермических условиях при увеличении числа частиц в системе на едини-

цу. μ≤0, иначе среднее число бозонов в данном состоянии становится отрица-

тельным, что лишено смысла.

Функция распределения Ферми-Дирака определяется аналогично:

.

1}exp{

1

kT

Ef

i

Ф (12.3)

Здесь μ, в отличие от (12.2), может быть положительным.

55

Функции распределения в классической (Максвелла-Больцмана) и

квантовой статистиках, интерпретируемые как среднее число частиц в одном

состоянии, можно выразить единой формулой:

.

}exp{

1

kT

Ef

i

(12.4)

Для распределения Максвелла-Больцмана δ = 0

и μ = 0, для распределения Бозе-Эйнштейна δ =

-1 и для распределения Ферми-Дирака δ = +1.

Все три распределения показаны на рисунке

12.1.

Рисунок 12.1

Система частиц называется вырожденной, если ее свойства описыва-

ются квантовыми закономерностями. Вырождение становится существенным

для бозе- или ферми-газов при низких температурах и больших плотностях.

Параметром вырождения А называется величина .exp

kTA

При

A<<1 (малое вырождение) в (12.4) можно пренебречь величиной δ и кванто-

вые функции распределения переходят в классическую. Параметр А опреде-

ляется из условия сохранения общего числа частиц:

,2 2

3

mkT

nhA

(12.5)

где n – концентрация частиц;

m – масса частицы;

Т – температура;

k –постоянная Больцмана;

h – постоянная Планка.

Примером вырожденного газа являются электроны в металле, которые

не подчиняются классической статистике Максвелла-Больцмана.

12.3 Вырожденный электронный газ в металлах

Распределение электронов в металле по энергиям описывается функци-

ей распределения Ферми-Дирака:

.

1exp

1

kT

EfФ

(12.6)

Число квантовых состояний электронов в единице объема металла в

интервале энергий от E до E+dE равно:

.)2(24

)(3

21

23

3

2

3 h

dEEm

h

dpp

h

dГEdg

(12.7)

56

Здесь была использована связь между импульсом р и энергией E элек-

трона:

p2 = 2mE; .

2

21

dEE

mdp

Число электронов в единице объема металла для энергий от E до E+dE

равно:

.

1exp

)2(4)(2)(

21

3

23

0

kT

E

dEE

h

mEdgfEdn Ф

(12.8)

Коэффициент 2 учитывает, что электроны подчиняются принципу Пау-

ли. Итак, получен закон распределения электронов по энергиям.

При абсолютном нуле (Т = 0 К) при E<μ0, где μ0 – химический потен-

циал, имеем fФ → 1 и при E >μ0 fФ → 0. График функции распределения

Ферми-Дирака fФ при Т = 0 К показан (рисунок 12.1). Понятно, что μ0 пред-

ставляет собой максимальную энергию электронов. Она называется энергией

Ферми: μ0 = EF. Наивысший уровень, занятый электронами в металле, назы-

вается уровнем Ферми.

Закон распределения электронов проводимости в металле при Т = 0 К

имеет вид:

3

21

23

0

)2(4)(

h

dEEmEdn

. (12.9)

Общее число электронов в единице объема металла равно:

.3

2)2(4)2(4)( 2

3

3

23

0

21

3

23

0

00 F

EE

Eh

mdEE

h

mEdnn

FF (12.10)

Отсюда можно определить энергию Ферми

32

02

8

3

2

n

m

hEФ (12.11)

и среднюю энергию электрона при Т = 0 К:

.8

3

25

3

5

3 32

2

n

m

hEE F (12.12)

Рисунок 12.1

57

Взяв концентрацию n0 = 6.1028

м-3

и соответствующие значения кон-

стант, получим <E> = 9.10-19

Дж = 5,4 эВ.

При Т ≥ 0 К функции распределения Ферми- Рисунок 12.2

Дирака имеет вид, изображенный на рисунке 12.2.

13 Лекция №13. Конденсированное состояние

Теплоемкость кристаллической решетки. Фононный газ. Электропро-

водность металлов. Носители тока как квазичастицы.

13.1 Теплоемкость кристаллической решетки

По классическим представлениям твердое тело с N атомами имеет 3N

колебательных степеней свободы. На каждую степень свободы приходится

энергия kT, тогда молярная теплоемкость кристаллической решетки:

,33 RkNC A (13.1)

где NA – число Авогадро;

R – мольная газовая постоянная.

Опыт дает, что закон Дюлонга-Пти (13.1) справедлив для химически

простых веществ при достаточно высоких температурах. При низких темпе-

ратурах С убывает с Т, стремясь к нулю при Т→ 0.

Квантовая теория теплоемкости твердых тел, разработанная Эйн-

штейном в предположении, что квантовые гармонические осцилляторы, ка-

ковыми являются атомы кристалла, колеблются независимо друг от друга с

одинаковой частотой, дает, что при Т→ 0 теплоемкость С → 0, что каче-

ственно согласуется с опытом. Однако количественного совпадения с опытом

не наблюдается. В квантовой теории Дебая полагается, что кристалл являет-

ся системой N упруго связанных атомов, колебания которых не являются не-

зависимыми. Каждому нормальному колебанию решетки соответствует стоя-

чая волна с частотой, определяемой определенными условиями. Число нор-

мальных колебаний (число фононов с частотами от ν до ν+ dν) равно:

,

1exp

kT

h

dgdN

(13.2)

где dg – число квантовых состояний (ячеек) в объеме V, равное:

,4

33

2

Vh

dppdg

(13.3)

где p = hν/vз – квазиимпульс фонона;

vз- скорость звука в кристалле.

Тогда

.

1exp

.12

3

2

kT

hv

NddN

з

(13.4)

58

Внутренняя энергия кристалла U с точностью до нулевой энергии рав-

на:

max max

0 0

3

3,

1exp

12.

kT

h

d

v

VhdNhU

з

(13.5)

где 3

1

max4

3

V

Nv з

- максимальная частота фононов, дающих вклад в

энергию тепловых колебаний кристалла.

При вычислении U вводится характеристическая температура Дебая

k

hD

max , под которой для каждого вещества понимается температура,

ниже которой становится существенным квантование энергии колебаний, и

рассматриваются два предельных случая:

а) высокие температуры T>>ΘD. Тогда

kT

h

kT

h

1exp

и

NkTv

VkTdkT

v

VU

зз

33

12123

max

3

0

2

3

max

.

Для 1 моля N=NA и молярная теплоемкость соответствует закону Дю-

лонга-Пти:

RRNT

UC A 33

; (13.6)

б) низкие температуры Т<<ΘD.

При вычислении интеграла вводится новая переменная kT

hx

и верх-

ний предел заменяется на ∞:

max

0

4

33

45

0

34

3

3

3.

5

4

1

12

1exp

12

T

vh

Vk

e

dxx

h

kT

v

Vh

kT

h

d

v

VhU

з

x

зз

Тогда молярная теплоемкость С, пропорциональная кубу температуры,

подчиняется закону Дебая:

C = const.T3. (13.7)

Формула Дебая хорошо описывает зависимость теплоемкости от

температуры только для химически простых веществ, а для тел со слож-

ной структурой она неприменима в виду того, что у таких тел спектр коле-

бания является чрезвычайно сложным.

59

13.2 Фононный газ

Положение системы с s степенями свободы можно задать с помощью s

величин qi, называемых обобщенными координатами системы. Их можно

выбрать так, что изменение каждой из них будет представлять собой незави-

симое гармоническое колебание со своей частотой. Тогда энергию кристалла

можно выразить как сумму энергий нормальных колебаний решетки:

,)2

1(3

1

Nr

i

iinU (13.8)

где N – число элементарных ячеек в кристалле;

r – число атомов в ячейке;

ni – колебательное квантовое число.

За вычетом энергии нулевых колебаний энергия нормального ко-

лебания частоты i слагается из порций величины:

ii , (13.9)

называемой фононом. Фонон имеет квазиимпульс

kp

, (13.10)

где k

- волновой вектор нормального колебания.

Фонон, в отличие от обычных частиц (электронов, фотонов и т.д.), не

может возникнуть в вакууме. Он существует только в среде, поэтому являет-

ся квазичастицей.

При тепловом равновесии среднее число фононов частоты i равно

.

1

1

kT

ii

e

n (13.11)

Из (13.11) следует, что в кристалле одновременно может возбуждаться

неограниченное количество фононов.

Таким образом, колебания кристаллической решетки можно пред-

ставить как фононный газ в пределах образца, подобно тому как электро-

магнитное излучение можно представить как фотонный газ, заполняющий

полость. Однако между ними есть существенное различие: фотоны являются

истинными частицами, а фононы – квазичастицами.

13.3 Электропроводность металлов

Согласно квантовой теории удельная электрическая проводимость ме-

талла равна выражению:

F

F

um

lne 2

, (13.12)

напоминающему классическую формулу, но имеющую отличное физическое

содержание.

60

Здесь Fl - средняя длина свободного пробега электрона с энергией,

равной энергии Ферми;

Fu - средняя скорость теплового движения такого электрона.

Формула (13.12) дает результаты, соответствующие опытным данным.

В рамках квантовой теории можно объяснить аномально большие значения

средней длины свободного пробега электронов в металле, превышающие пе-

риод решетки в сотни раз, а также зависимость σ ~ 1/T: величина Fl опре-

деляется выражением:

nkT

EdF

,

где Е – модуль Юнга;

d – период решетки,

тогда

kTum

Ede

F

2

, (13.13)

т.е. σ ~ 1/T, тогда как по классической теории

σ ~T

1.

13.4 Энергетические зоны в кристаллах

Согласно зонной теории, существующее в твердых телах периодиче-

ское электрическое поле существенно изменяет энергетические состояния

электронов. Вместо характерного для изолированного атома энергетического

уровня в кристалле, содержащей N взаимодействующих атомов, образуются

энергетические зоны, содержащие N уровней, разделенных интервалом по-

рядка 10-23

эВ. Такие разрешенные энергетические зоны разделены запре-

щенными зонами (рисунок 13.1).

Рисунок 13.1 Рисунок 13.2

На рисунке 13.2 показано расщепление уровней как функция расстоя-

ния r между атомами. Заметно расщепляются лишь уровни валентных элек-

тронов и вышележащие, не занятые электронами, уровни. При расстоянии

61

типа r1 между зонами имеется запрещенная зона, при расстоянии типа r2 про-

исходит перекрытие соседних зон.

Существование энергетических зон позволяет объяснить существова-

ние металлов, полупроводников и диэлектриков. Разрешенную зону, возник-

шую из уровня валентных электронов в основном состоянии атома, называют

валентной зоной. В зависимости от степени заполнения этой зоны возможны

три случая: в случае (а) эта зона заполнена электронами не полностью. Дан-

ный кристалл является металлом.

То же самое будет при перекрытии соседних разрешенных зон. Во

втором случае на рисунке 13.3 (б) валентная зона полностью заполнена элек-

тронами и отделена от ближайшей разрешенной зоны (зоны проводимости)

небольшой шириной запрещенной зоны ΔЕ (порядка десятых долей эВ). Та-

кой кристалл является полупроводником. Если же ширина ΔЕ велика (поряд-

ка нескольких эВ), как в случае (в), кристалл является диэлектриком.

Рисунок 13.3

14 Лекция №14. Собственная и примесная проводимости полупро-

водников

14.1 Полупроводники

Полупроводниками (рисунок 14.1) являются вещества, удельное сопро-

тивление которых изменяется в широком интервале от 10-5

до 108 Ом.м и

очень быстро уменьшается с ростом температуры. Наиболее широко приме-

няются такие полупроводники, как Si и Ge. Различают собственные и при-

месные полупроводники.

62

Рисунок 14.1 Рисунок 14.2

Собственными являются химически чистые полупроводники. В них

при Т = 0 К все уровни валентной зоны (ВЗ) заполнены электронами и в зоне

проводимости электроны отсутствуют.

Электрическое поле не может перебросить их из валентной в зону про-

водимости (ЗП), поэтому собственные полупроводники при Т = 0К ведет себя

как диэлектрики. При Т > 0 К в результате тепловой генерации часть элек-

тронов переходит с верхних уровней ВЗ на нижние уровни ЗП. Вследствие

образования вакантных уровней в ВЗ поведение электронов ВЗ может быть

представлено как движение положительно заряженных квазичастиц, называ-

емых дырками.

Распределение электронов по уровням ВЗ и ЗП подчиняется распреде-

лению Ферми-Дирака (рисунок 12.1). У собственных полупроводников зна-

чение уровня Ферми равно:

*

*

ln.4

3

2Э

Д

Fm

mkT

EE

, (14.1)

где ΔЕ – ширина запрещенной зоны;

mД* и mЭ

* - эффективные массы дырки и электрона в ЗП. Обычно вто-

рое слагаемое мало и EF = ΔE/2.

Электропроводность собственных полупроводников зависит от темпе-

ратуры по следующему закону

),exp(0 kTE (14.2)

где ΔЕ – ширина ЗЗ;

σ0 – константа.

Имея температурную зависимость lnσ от 1/T, можно по графику опре-

делить ширину запрещенной зоны полупроводника ΔЕ.

Примесная проводимость делится на электронную (или n-типа) и ды-

рочную (р-типа) проводимость. Для получения полупроводника n-типа

(например, кремния (Si) – элемента IY группы) вводят донорную примесь, т.е.

элемент Y группы (фосфор, мышьяк и т.д.). Атом Si имеет по своему строе-

63

нию 4 соседних атома, с которыми, отдавая по одному электрону, образует

ковалентные связи. Пятый электрон атома примеси остается «лишним».

Энергетические уровни таких электронов располагаются ниже дна ЗП, для

перевода электронов в которую требуется небольшая энергия (для As в Si

ΔEД = 0,054 эВ), получаемая, например, при тепловом возбуждении. При за-

мещении атома Si трехвалентным атомом акцепторной примеси (бор, алю-

миний и т.д.) возникает недостаток одного электрона для образования насы-

щенных ковалентных (атомных) связей. Недостающий электрон может быть

позаимствован у соседнего атома Si, у которого появляется при этом поло-

жительная дырка. Последовательное заполнение дырок соседними электро-

нами эквивалентно движению дырок и приводит к проводимости полупро-

водника. Акцепторные уровни возникают в ЗЗ полупроводника выше потол-

ка ВЗ (для В в Si ΔEА = 0,08 эВ), переход электронов из ВЗ на акцепторные

уровни приводит к появлению в ВЗ дырок. Обратный переход соответствует

разрыву одной из четырех ковалентных связей атома примеси с соседями и

рекомбинации образовавшегося при этом электрона и дырки.

При повышении температуры концентрация примесных носителей

быстро достигает насыщения, т.е. примесная проводимость доминирует при

низких Т, с ростом температуры увеличивается вклад собственной проводи-

мости. Таким образом, проводимость полупроводника при высоких Т стано-

вится смешанной.

14.2 Контактная разность потенциалов в металлах

Валентные электроны в металле (М) находятся в потенциальной яме,

т.е. Еp= Евне – U0, где U0 = - еφ. Обычно принимают Евне = 0, Еp = - U0 < 0, по-

тенциал внутри металла φ > 0 (рисунок 14.3).

Рисунок 14.3 Рисунок 14.4

Сообщение металлу избыточного q > 0 увеличивает φ на поверхности и

внутри М, Wp электрона уменьшается.

Ее = Ек + Ер. При Т = 0 Ек имеет значения от 0 до ЕF. Для удаления е– с

нижнего уровня требуется энергия U0, с уровня Ферми – энергия (U0 – EF)

(рисунок 14.4).

Работа выхода:

ФЕе 0U . (14.3)

64

Между двумя разными металлами при соприкосновении возникает

контактная разность потенциалов (рисунок 14.5). Она обусловлена тем, что

часть электронов из одного М переходит в

другой. В результате М1 заряжается по-

ложительно, а М2-отрицательно. Вокруг

возникает электрическое поле. φ1 возрас-

тает, φ2 убывает; напротив, Ер1 уменьшает-

ся, Ер2 увеличивается. Равновесие устанав-

ливается при совпадении уровней Ферми.

Также видно, что Ер электрона вблизи по-

верхности М1 меньше, чем у М2, на вели-

чину (еφ2 – еφ1). Рисунок 14.5

Внешняя контактная разность равна:

121212

12

e

AA

e

eeU . (14.4)

Между внутренними точками металлов имеет место внутренняя кон-

тактная разность потенциалов:

e

EEU FF 21

12/

. (14.5)

На такую величину уменьшается потенциал φ при переходе из М1 в

М2.

Для различных пар металлов внешняя 12U изменяется от десятых воль-

та до нескольких вольт. Контактная разность потенциалов возникает также

между М и П/П, р- и n- полупроводниками.

14.2 Полупроводниковые p-n переходы. Полупроводниковый диод

P-N переходом называют тонкий слой между двумя областями одного

и того же полупроводникового кристалла (например, кремния), отличающи-

мися типом примесной проводимости.

В контактном слое полупроводника n - типа образуется объемный за-

ряд, образованный неподвижными положительными ионами донорной при-

меси (элемента V - группы) после диффузии электронов из n-области в р-

область, а в р-типе – объемный заряд отрицательных ионов акцепторной

примеси (элемента III группы) (рисунок 14.6а) после диффузии дырок в об-

ратном направлении. Диффузия прекращается после того, как уровень Фер-

ми, находящийся в запрещенной зоне полупроводника, становится одинако-

вым в обеих областях.

65

Рисунок 14.6 Рисунок 14.7

Эти объемные заряды образуют собственное поле p-n перехода, кото-

рое связано с контактной разностью потенциалов и препятствует дальнейше-

му переходу основных носителей заряда – электронов из n – области в р –

область и дырок из р – области в n – область (рисунок 14.6b, зонная диаграм-

ма).

Изгибание энергетических зон в области перехода связано с тем, что

потенциал р – области при равновесии ниже, чем в n – области (соответ-

ственно потенциальная энергия электрона в р – области больше, чем в n – об-

ласти). На рисунке 14. 6b выше запрещенной зоны лежит зона проводимости,

в которой находятся свободные электроны, ниже – валентная зона, в которой

при отрыве электронов от атомов (ионизации) образуются дырки, которые

могут перемещаться и давать вклад в общий ток.

При приложении к p – n переходу внешнего напряжения в прямом

(пропускном) направлении (плюс подается на р – область) высота потенци-

ального барьера снижается, ширина самого p – n перехода также уменьшает-

ся, сопротивление перехода мало. Это приводит к резкому росту тока основ-

ных носителей по экспоненциальному закону (прямая ветвь вольтамперной

характеристики, (рисунок 14.7).

При приложении обратного напряжения (минус подключен к р – обла-

сти) высота потенциального барьера возрастает, основные носители не могут

перейти в соседнюю область, ток определяется только неосновными носите-

лями, которые могут переходить в соседнюю область (электроны из р –

области в n – область, а дырки – в противоположном направлении) и число

которых невелико и определяется тепловой генерацией при данной темпера-

туре. Таким образом, обратный ток постоянен и лишь при значительном об-

ратном напряжении начинает резко возрастать, что обусловлено электриче-

ским пробоем перехода (левая ветвь, рисунок 14.7).

Из данной характеристики следует, что p – n переход в обратном

направлении имеет гораздо большее сопротивление, чем в прямом. Это поз-

воляет использовать p – n переходы для выпрямления переменного тока.

66

14.3 Вентильный фотоэффект

В диэлектриках и полупроводниках наблюдается внутренний фотоэф-

фект, заключающийся в увеличении электропроводности вещества под дей-

ствием света. Если энергия светового кванта ћω должна превышать ширину

запрещенной зоны ΔЕg, тогда поглотивший квант электрон переходит из ва-

лентной зоны в зону проводимости, т.е. становится свободным, соответ-

ственно в валентной зоне возникает дырка. Эти дополнительные носители

заряда увеличивают электрическую проводимость вещества. Это явление но-

сит название собственной фотопроводимости. Если в веществе имеются

примеси, под действием света электроны могут переходить из валентной зо-

ны на уровни примеси или с примесных уровней в зону проводимости. Пер-

вым переходам соответствует дырочная, а вторым – электронная примесная

фотопроводимость.

На внутреннем фотоэффекте базируется действие фотосопротивлений,

в основном из полупроводников – PbS, PbSe, PbTe и InSb, в которых фото-

проводимость пропорционально световому потоку, т.е. они используются в

фотометрии.

В p-n переходе, а также на границе металла с полупроводником, может

наблюдаться вентильный фотоэффект, заключающийся в возникновении

фото-ЭДС. Возникшие при освещении p-n перехода неосновные для каждой

области носители заряда (дырки в n – области и электроны в р – области)

беспрепятственно проходят через переход и там накапливаются, т.е. в n – об-

ласти возникает избыточный отрицательный заряд, а в р – области - избы-

точный положительный заряд. Это приводит к возникновению приложенного

к переходу напряжения, являющегося фото-электродвижущей силой. Воз-

никающие неравновесные основные носителя составляют ничтожно малую

долю от равновесных носителей и не дают ощутимого вклада. Соединенные

последовательно кремниевые p-n переходы образуют солнечные батареи,

используемые для питания радиоаппаратуры на спутниках и космических

станциях.

15 Лекция №15. Атомное ядро и классификация элементарных ча-

стиц

15.1 Основные свойства и строение ядра

Ядром является центральная часть атома, в котором сосредоточена

практически вся масса атома и его положительный электрический заряд. Все

ядра, кроме ядра атома водорода, включающего один протон, состоят из нук-

лонов - протонов и нейтронов (модель Иваненко-Гейзенберга).

Заряд ядра равен Ze, где е – величина заряда протона, Z – зарядовое

число, равное порядковому номеру химического элемента (атомному номеру)

в периодической системе Менделеева. В настоящее время известны ядра с Z

от 1 (водород) до 118 (юнуноктий).

67

Число нуклонов в ядре A = N + Z называется массовым числом, где N –

число нейтронов. Для определения числа нуклонов в ядре им приписывается

массовое число, равное 1, электрону – нулевое значение числа А.

Ядра с одинаковыми Z, но разными А, называются изотопами; ядра с

одинаковыми А, но разными Z, - изобарами; ядра с одинаковыми N называют

изотонами; существуют также изомеры – радиоактивные ядра с равными A и

Z, отличающиеся периодом полураспада.

В настоящее время известно около 300 устойчивых и более 2000 ра-

диоактивных изотопов химических элементов.

Для обозначения ядер применяют символ ZXA

или

A

ZX, например,

1Н1.

Радиус ядра задается эмпирической формулой: r = r0A1/3

, где r0 = (1,3-

1,7)10-15

м. Таким образом, объем ядра пропорционален числу нуклонов, т.е.

плотность ядерного вещества является константой, составляющей по порядку

величины 1017

кг/м3.

Нуклоны в ядрах являются фермионами. Спин ядра – собственный мо-

мент импульса ядра равен )1( IILЯ , где I – внутреннее (полное) спино-

вое квантовое число. Спин ядра определяется числом нуклонов. Нуклоны

также обладают собственными магнитными моментами, которыми определя-

ется магнитный момент ядра, единицей измерения которого является ядер-

ный магнетон P

ЯДm

е

2

, где mp – масса протона.

15.2 Энергия связи ядер

Энергией связи ядра называется физическая величина, равная работе по

расщепления ядра на нуклоны без сообщения им кинетической энергии. Она

является разностью между энергией всех свободных нуклонов, составляю-

щих ядро, и их энергией в ядре:

,2 mcEcв (15.1)

где Δm – дефект масс, характеризующий уменьшение суммарной мас-

сы при образовании ядра из нуклонов;

с – электродинамическая постоянная.

,)( Яnp MmZAZmm (15.2)

где mp, mn – массы соответственно протона и нейтрона;

МЯ – масса ядра. Обычно массы выражают в атомных единицах массы

(а.е.м.).

Обычно массы ядра и протона заменяют массами соответственно атома

Ма и водородного атома mH, тогда

.)( AnH MmZAZmm (15.3)

68

Рисунок 15.1

На рисунке 15.1 представлена зависимость удельной энергии связи от

массового числа А. Сильнее всего связаны нуклоны в ядрах с 50≤А≥ 60 (Cr-

Zn). У них Есв = 8,7 МэВ/нуклон. У самого тяжелого природного ядра Есв = 7,5

МэВ/нуклон.

Такая зависимость делает энергетически возможным деление тяжелых

ядер и слияние (синтез) легких ядер.

15.3 Ядерные силы. Модели ядра

В атомных ядрах действуют особые ядерные силы притяжения, отлич-

ные от гравитационных и электромагнитных сил и намного превышающие

их. Эти силы относятся к классу сильных взаимодействий.

Основные свойства ядерных сил:

1) Ядерные силы являются короткодействующими. Радиус их действия

порядка 1 ферми (10-15

м ).

2) Они обнаруживают зарядовую независимость, т.е. силы взаимодей-

ствия двух протонов, двух нейтронов или протона с нейтроном являются

одинаковыми.

3) Им свойственно насыщение, т.е. каждый нуклон взаимодействует с

ограниченным числом других нуклонов.

4) Ядерные силы зависят от ориентации спинов взаимодействующих

нуклонов.

Например, дейтрон – ядро изотопа 1Н2 образуется из протона и нейтро-

на только при параллельной ориентации их спинов.

5) Ядерные силы не являются центральными, т.е. действующими по

линии, соединяющей центры нуклонов.

Ядерные силы носят обменный характер. По современным представле-

ниям нуклоны виртуально обмениваются π-мезонами- квантами ядерного

поля. Такая гипотеза впервые была высказана в 1935 году японским физиком

Х.Юкавой и подтверждена их экспериментальным обнаружением в 1947 г.

Оккиалини и Поуэллом.

В результате виртуальных процессов нуклон оказывается окруженным

облаком образующих ядерное поле виртуальных π-мезонов:

69

np ; pn ; 0 pp ;

0 nn .

Обменное взаимодействие между нуклонами можно описать виртуаль-

ными процессами:

pnnnnp ; npnpnp 0 ;

pppppp 0 .

Из-за сложного характера сильного взаимодействия до сих пор нет

единой последовательной теории атомного ядра. Из множества существую-

щих моделей ядра рассмотрим: капельную и оболочечную.

Капельная модель Бора и Френкеля (1936 г.) основана на аналогии

между поведением нуклонов в ядре и поведением молекул в капле жидкости

– короткодействующие силы, свойство насыщения, постоянная плотность,

пропорциональность объема числу частиц. Модель позволила получить фор-

мулу для энергии связи ядра и объяснить реакцию деления ядер. Однако она

не смогла объяснить повышенную устойчивость ядер с магическими (2, 8, 20,

28, 50, 82, 126) числами нуклонов.

В оболочечной модели Марии Гепперт-Майер и др. (1949 г.) нуклоны

заполняют дискретные энергетические уровни в соответствии с принципом

Паули. Уровни образуют оболочки, в которых находится определенное число

нуклонов. Ядра с полностью заполненными оболочками являются наиболее

устойчивыми. Кроме того, модель позволила объяснить спины и магнитные

моменты ядер, периодичность изменения их свойств.

15.4 Радиоактивное излучение и его виды. Закон радиоактивного

распада

Радиоактивностью называется превращение одних ядер в другие, со-

провождаемое испусканием некоторых частиц. Различают естественную ра-

диоактивность существующих в природе неустойчивых изотопов и искус-

ственную радиоактивность изотопов, полученную в результате ядерных ре-

акций.

Основными видами радиоактивного излучения являются α-, β- и γ-

излучение. Различают и другие виды, связанные с испусканием протонов или

позитронов, а также спонтанное деление ядер, К-захват.

Альфа-излучение представляет собой поток ядер гелия, заряд α-

частицы равен +2е, масса совпадает с массой ядра 2Не4. Это излучение обла-

дает высокой ионизирующей и малой проникающей (задерживается листом

бумаги) способностью.

Бета-излучение является потоком быстрых электронов с меньшей

ионизирующей (~ на 2 порядка), но большей проникающей способностью,

чем у α-частиц.

Гамма-излучение – коротковолновое электромагнитное излучение с λ<

10-10

м, по существу, поток частиц (γ-квантов или фотонов), не отклоняю-

щийся электрическим и магнитным полями и обладающий относительно сла-

70

бой ионизирующей и очень большой проникающей (проходит через свинец

толщиной 5 см) способностью.

Теория радиоактивного распада основана на предположении, что ядра

претерпевают радиоактивные превращения независимо друг от друга. Тогда

число ядер dN, распадающихся за малый промежуток времени dt, пропорци-

онально числу имеющихся ядер N и времени dt: NdtdN , (15.4)

где λ – характерная для данного радиоактивного вещества постоянная,

называемая постоянной радиоактивного распада.

После интегрирования получим закон радиоактивного распада:

)exp(0 tNN , (15.5)

где N0 – начальное число нераспавшихся ядер;

N – число нераспавшихся ядер в момент времени t.

Закон (15.5) можно трактовать так: число нераспавшихся ядер убывает

со временем по экспоненте.

Число ядер, распавшихся за время t, находится из выражения:

).1(00

teNNN (15.6)

Время, за которое распадается половина первоначального числа ядер,

называется периодом полураспада Т, которое можно определить из условия: teNN 005,0 ,

откуда

693,02lnT . (15.7)

Среднее время жизни τ радиоактивного ядра связано с λ и Т соотноше-

ниями:

T

2ln1

. (15.8)

Таким образом, среднее время жизни τ есть величина, обратная посто-

янной радиоактивного распада.

Активностью нуклида, т.е. ядра, отличающегося от других ядер значе-

ниями А и Z, называется число распадов ядер за 1 секунду:

Ndt

dNA . (15.9)

Единицей активности в СИ служит беккерель (Бк), когда за 1 с проис-

ходит один распад. В ядерной физике используется внесистемная единица,

называемая кюри (Ки): 1 Ки = 3,7.1010

Бк.

Распад ядер происходит в соответствии с правилами смещения, позво-

ляющими определить, какое ядро возникнет в итоге:

-для α-распада:

ZXA

→ Z-2YA-4

+ 2He4; (15.10)

-для β-распада:

ZXA

→ Z+1YA + -1e

0. (15.11)

Правила смещения являются следствием законов сохранения электрического

заряда и массового числа.

71

15.5 Ядерные реакции

Ядерной реакцией называется процесс сильного взаимодействия атом-

ного ядра с элементарной частицей или другим ядром, приводящий к преоб-

разованию ядра (или ядер). Символически ядерная реакция записывается в

виде:

X+ a→ Y+b или X(a,b)Y,

где Х и Y – исходное и конечное ядра;

a и b – налетающая и испускаемая(ые) частица(ы).

Количество выделяющейся энергии называется энергией реакции. 2)]43()21[( cmmmmQ , (15.12)

где 1-я сумма масс берется для исходных ядра и частицы; а 2-я – для

конечных.

Если (m1+m2)>(m3+m4), энергия выделяется и реакция называется эк-

зотермической, в противном случае – энергия поглощается и реакция назы-

вается эндотермической.

Ядерная реакция характеризуется эффективным сечением σ:

,nNdx

dN (15.13)

где N – число частиц, падающих за 1 с на единичную площадь попе-

речного сечения вещества, имеющего в единице объема n ядер;

dN – число этих частиц, участвующих в реакции в слое толщиной dx.

Сечение σ характеризует вероятность того, что при падении частиц на

вещество произойдет реакция, и измеряется в барнах. 1 барн=10-28

м2.

В 1936 г. Н. Бор установил, что реакции, вызываемые не очень быст-

рыми частицами, протекают в два этапа. При захвате Х-ядром а- частицы

образуется составное (или компаунд-) ядро, которое на втором этапе испус-

кает частицу b:

bYПaX . (15.14)

Некоторые реакции протекают без образования промежуточного ядра,

их называют прямыми ядерными взаимодействиями.

Особое место в ядерных реакциях занимают реакции деления тяжелых

ядер под действием нейтронов, сопровождающиеся испусканием двух-трех

вторичных нейтронов. При этом образуются осколки деления, близких по

массе. Большинство нейтронов испускаются почти мгновенно (t < 10-14

c, их

называют мгновенными), а небольшая часть (около 0,7%), называемых запаз-

дывающими нейтронами, испускается через период от 0,05 с до 60 с. В этих

реакциях высвобождается энергия, равная примерно 1,1 МэВ/нуклон. Испус-

каемые при делении вторичные нейтроны могут вызвать новые акты деления,

что делает возможным осуществление цепной реакции деления. Последняя

характеризуется коэффициентом размножения k нейтронов, который дол-

жен быть больше единицы для развития цепной реакции. Цепные реакции

72

делятся на управляемые и неуправляемые. Первые осуществляются в атом-

ных реакторах, вторые – при взрыве при достижении критической массы.

Реакции синтеза атомных ядер характерны тем, что в них энергия, вы-

деляемая на один нуклон, значительно больше, чем в реакциях деления тяже-

лых ядер. Например, при делении ядра 92U238

выделяется примерно 200 МэВ

или 0,84 МэВ/нуклон, тогда как при синтезе дейтерия и трития эта величина

равна примерно 3,5 МэВ/нуклон.

Реакции синтеза легких ядер в более тяжелые, происходящие при

сверхвысоких температурах (Т > 107 К), называются термоядерными реакци-

ями. Управляемый термоядерный синтез открывает человечеству возмож-

ность доступа к практически неисчерпаемому источнику энергии.

15.6 Виды взаимодействий и классы элементарных частиц

Под элементарными частицами можно понимать такие микрочастицы,

внутреннюю структуру которых на современном уровне развития физики

нельзя представить как объединение других частиц. Они ведут себя как еди-

ное целое и могут превращаться друг в друга.

Известны 4 вида взаимодействия между элементарными частицами:

сильное, электромагнитное, слабое, гравитационное. В таблице № 15.1 при-

ведены порядки величины констант разных видов взаимодействия и среднее

время жизни частиц, распадающихся за счет данного взаимодействия.

По данным таблицы 15.1 можно судить, когда и при каких условиях

преобладает тот или иной вид взаимодействия. Так, например, гравитацион-

ное взаимодействие не ограничено по радиусу действия, является универ-

сальным, но в процессах микромира заметной роли не играет, являясь самым

слабым по интенсивности взаимодействия.

Элементарные частицы принято делить на 3 основных класса:

- к первому классу относится лишь одна частица – фотон. Это – квант

электромагнитного излучения;

- второй класс образуют лептоны. Они участвуют в электромагнитном

и слабом взаимодействиях. К ним относятся нейтрино, электрон, мюон, таон

(τ-лептон) и их античастицы;

- третьему классу принадлежат адроны. Они обладают, помимо элек-

тромагнитного и слабого, сильным взаимодействием. К ним относятся про-

тон, нейтрон, пионы и каоны.

Т а б л и ц а 15.1

Взаимо

мо-

дейcтв

ие

αi

R,м

τ, с

Законы

сохранения

Участ

ни-

ки*

Пере-

носчики

Изменя-

ются

Цвет /

Аромат

S

E

~1

~10-2

10-15

∞

~10-23

~10-20

Все

Все,кроме Т

q(H)

q(H),

gi(i=1...8)

γ

+ -

- -

73

W

G

~10-10

~10-38

~10-18

∞

~10-13

?

p,E,J

q,B,L

?

ℓ±

W±

q(H),

ℓ

все

W±

G

- +

? ?

Обозначения: S – сильное; Е – электромагнитное; W – слабое; G –

гравитационное; q – кварки; H – адроны; ℓ - лептоны.

Для всех видов взаимодействия выполняются законы сохранения энер-

гии, импульса, момента импульса и электрического заряда. Кроме того, в

сильных взаимодействиях выполняется закон сохранения изотопического

спина. Это- одна из внутренних характеристик, показывающая только число

членов в изотопическом мультиплете, например, в мультиплете нуклонов

изоспин I = ½ (число членов в мультиплете нуклона равно двум – протон,

нейтрон).

Гипотеза об античастицах была выдвинута П. Дираком в 1928 г. Через

4 года К. Андерсон обнаружил в космических лучах позитрон – античастицу

электрона. Из квантовой теории следует, что частица и античастица должны

иметь одинаковые массы, времена жизни в вакууме, одинаковые по модулю,

но противоположные по знаку электрические заряды и магнитные моменты,

одинаковые спины и изоспины, а также остальные квантовые числа элемен-

тарных частиц, служащие для описания закономерностей их взаимодействия

(лептонное и барионное числа, странность, очарование и т.д.). В 1956 году

было доказано, что такая симметрия имеет место для сильного и электромаг-

нитного взаимодействий, но нарушается для слабого. Античастицы были об-

наружены экспериментально для протона (1955) и нейтрона (1956), π+-

мезона, каонов и гиперонов. Однако существуют истинно нейтральные ча-

стицы, не имеющие античастиц. Это- фотон, π0-мезон, η-мезон. Они не спо-

собны к аннигиляции, но обладают фундаментальным свойством элементар-

ных частиц к взаимным превращениям.

15.7 Кварки

В 1964 г. Гелл-Манн и Цвейг выдвинули гипотезу о существовании

фундаментальных частиц, названных кварками, на основании которых можно

построить все адроны. В настоящее время для объяснения существования

всех известных адронов введены шесть видов кварков u, d, s, c, b, t и соответ-

ствующих антикварков tbcsdu~

,~

,~,~,~

,~ .

Характеристики кварков указаны в таблице 15.2. Кварки имеют дроб-

ное значение элементарного электрического заряда, их спин равен 1/2, по-

скольку только из фермионов можно сконструировать как фермионы, так и

бозоны.

Адроны строятся из кварков следующим образом: мезоны состоят из

пары кварк-антикварк, барионы – из трех кварков (антибарионы - из трех ан-

74

тикварков. Для некоторых барионов была введена специфическая квантовая

характеристика кварка – цвет: «желтый» , «синий», «красный». Теперь квар-

ки с разной «окраской» не противоречили принципу Паули. Открытие в 1974

году истинно нейтрального (J/Ψ)-мезона массой около 6000 me привело к

введению нового кварка – с-кварка и новой сохраняющейся величины –

«очарования».

Т а б л и ц а 15.2

Кварк

(анти-

кварк)

Электрический

заряд в единицах

е

Барионное

число

В

Спин,

в единицах

ħ

Странность

S

u ( d~

)

d ( d~

)

s ( c~ )

c ( c~ )

b ( b~

)

t ( t~ )

+2/3 (-2/3)

-1/3 (+1/3)

-1/3 (+1/3)

+2/3 (-2/3)

-1/3 (+1/3)

+2/3 (-2/3)

+1/3 (-1/3)

+1/3 (-1/3)

+1/3 (-1/3)

+1/3 (-1/3)

+1/3 (-1/3)

+1/3 (-1/3)

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

0

0

-1(+1)

0

0

0

Кварковая модель оказалась очень плодотворной, она позволила опре-

делить все основные квантовые числа адронов. Из этой модели получаются,

как и в эксперименте, целочисленный спин для мезонов и полуцелый – для

барионов. По ней была предсказана новая частица – Ω—

гиперон. Но возникли

и трудности: по ней невозможно определить массу адронов. Для построения

открытого в 1977 г. сверхтяжелого мезона массой около 20 000me был введен

новый тип кварка – b-кварк, являющийся носителем новой сохраняющейся

величины – «прелести». Предполагается существование и шестого кварка,

который уже решено назвать «истинным».

По аналогии с квантами полей различных взаимодействий были введе-

ны частицы – переносчики взаимодействий между кварками, названные глю-

онами. Они переносят цвет от одного кварка к другому, в результате чего

кварки удерживаются вместе.

Еще одна характеристика – «аромат», объединяющая все указанные

признаки, кроме цвета, сохраняется в сильных и электромагнитных взаимо-

действиях.

В настоящее время общепринятой считается такое мнение относи-

тельно кварков, согласно которой кварки, будучи цветными объектами, в

принципе не могут существовать в свободном состоянии, а могут находиться

только внутри адронов. Решение проблемы связано с необычным свойством

сил, действующих между кварками, – энергия взаимодействия возрастает с

ростом расстояния между ними.

С помощью кварков удалось объяснить все многообразие свойств и

превращений адронов. Результаты экспериментов по рассеянию высокоэнер-

гетических лептонов на нейтронах и протонах позволили установить наличие

75

кварков внутри адронов, равенство их спинов ½, дробный электрический за-

ряд и существование в трех цветовых разновидностях.

Итак, составными элементами материи являются кварки шести арома-

тов (и трех цветов) и лептоны также шести ароматов. Взаимодействия между

этими фундаментальными частицами обеспечиваются за счет обмена пере-

носчиками – глюонами, фотонами, промежуточными бозонами и гравитона-

ми.

15.8 Понятие об основных проблемах современной физики и аст-

рофизики

В современной физике первоочередной является задача построения

единой теории всех фундаментальных взаимодействий. Уже создана теория,

объединяющая электромагнитное и слабое взаимодействия. Эти фундамен-

тальные взаимодействия при низких энергиях выступают как разные прояв-

ления единого электрослабого взаимодействия и различие между которыми

исчезает по мере роста энергии частиц.

Во многом успешны и попытки «великого объединения» электрослабо-

го и сильного взаимодействий в одно электроядерное взаимодействие и на

очереди – решение грандиозной проблемы объединенного описания всех че-

тырех фундаментальных взаимодействий («расширенная супергравитация»).

Однако до сих пор не разрешены некоторые проблемы этого «суперобъеди-

нения».

Особенно выдающиеся открытия были совершены на стыке физики ча-

стиц, астрофизики и космологии. Наиболее неожиданным было открытие так

называемой «темной энергии», плотность которой составляет ¾ полной

плотности энергии во Вселенной. Пока единственным необычным проявле-

нием этой субстанции является то, что, в отличие от гравитационного притя-

жения обычной материи, она не замедляет космологический разлет далеких

галактик, а ускоряет его. Это проявляется в спектрах далеких сверхновых.

В отличие от «темной энергии», «темная материя» известна с 30-х го-

дов прошлого века, но из каких частиц состоит эта темная материя, пока не-

ясно. Она группируется внутри и вокруг галактик, что приводит к слишком

быстрому вращению вокруг центра галактик. Видимая масса звезд и межга-

лактического газа примерно в пять раз меньше, чем масса темного вещества,

вызывающего аномально быстрое вращение звезд в галактиках и галактик в

скоплениях. Так что обычное вещество составляет в среднем не более 5%

средней плотности энергии Вселенной. Попытки обнаружить частицы неви-

димого вещества в подземных низкофоновых лабораториях и в околоземном

пространстве пока успеха не принесли.

76

Список литературы

1. Детлаф А.А., Яворский Б. Курс физики: Уч. пособие для вузов.-5-е

изд., стер. - М.: Академия, 2005. - 720 с.

2. Трофимова Т.И. Курс физики: Уч. пособие для вузов.-8-е изд./ сте-

реотип. - М.: Высшая школа, 2004. - 544 c.

3. Савельев И.В. Курс общей физики. В 5 - кн: Уч. пособие для вузов.

Кн.1: Механика. - М.: Астрель. АСТ, 2004. – 336 с.

4. Савельев И.В. Курс общей физики. В 5 - кн: Уч. пособие для втузов.

Кн.2: Электричество и магнетизм. - М.: Астрель. АСТ, 2004. – 336 с.

5. Савельев И.В. Курс общей физики. В 5- кн: Уч. пособие для вузов.

Кн.3: Молекулярная физика и термодинамика. - М.: Астрель. АСТ, 2004.-208

с.

77

Св.план 2017 г., поз.199

Тлеухан Дауменович Дауменов

Сулукас Низаматдиновна Сарсенбаева

ФИЗИКА 2

Конспект лекций

для студентов специальности

5В071600 – Приборостроение

Редактор Л.Т. Сластихина

Специалист по стандартизации Н.К. Молдабекова

Подписано в печать Формат 6084 1/16

Тираж 30 экз. Бумага типографская № 1

Объем уч. 4.7 изд.л. Заказ ___. Цена тг.2400

Копировально-множительное бюро

некоммерческого акционерного общества

«Алматинский университет энергетики и связи»

050013, Алматы, ул. Байтурсынова, 126

78

Некоммерческое акционерное общество

АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ

Кафедра технический физики

УТВЕРЖДАЮ

Проректор

по учебно-методической работе

__________________

"____"________________ 2017 г.

ФИЗИКА 2

Конспект лекций

для студентов специальности

5В071600 – Приборостроение

СОГЛАСОВАНО:

Директор УМД

_____________Р.Р. Мухамеджанова

"___"____________2017 г.

Председатель ОУМК и МОиЭ

______________ Б.К. Курпенов

Редактор

________________ Н.М.Голева

"___"____________2017 г.

Специалист по стандартизации

________________ Н.К. Молдабекова

«___» ___________2017г.

Рассмотрено и одобрено на

заседаний кафедры физики

Протокол №1 от 22.09.2016 г.

Зав. кафедрой физики

_______________ М.Т. Кызгарина

Составители:

_______________ Т. Дауменов

_______________ С.Н. Сарсенбаева