КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫlib.madi.ru/fel/fel1/fel10M058.pdfс круговой...

МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

Лабораторный практикум по физике

№460

МОСКВА 2009

МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ИНСТИТУТ

(ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

Кафедра физики

КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ


Под редакцией М.Я. Юшиной, Б.Л. Афанасьева, Е.А. Гусевой МОСКВА 2009

3

Лабораторная работа № 2-К «ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА» 1. Введение 1.1. Среди механических движений важную роль играет

колебательное движение, характеризующееся определённой периодичностью. Физическое описание колебаний реального тела – чрезвычайно сложная задача. Поэтому теория колебаний оперирует с моделями: пружинным, математическим, физическим, крутильным маятниками. В основе всех этих моделей лежит представление о линейном гармоническом осцилляторе.

1.2. В классической механике линейный гармонический осциллятор – это материальная точка или абсолютно твёрдое тело, совершающее одномерные гармонические колебания под действием упругой (или квазиупругой) силы.

1.3. В настоящей лабораторной работе изучаются колебания математического и физического маятников и определяются параметры последнего.

2. Основные понятия 2.1. Математическим маятником называют идеализированную

систему, состоящую из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена точечная масса. Достаточно хорошим приближением служит небольшой тяжёлый шарик, подвешенный на длинной тонкой нити.

2.2. Отклонение маятника от положения равновесия определяется угловым смещением j

r , образованным нитью с вертикалью (рис.1). При этом возникает момент силы тяжести М относительно оси, проходящей через точку О, равный по величине M = m g l sinφ ( m – масса маятника , l – его длина)

Вектор момента силы имеет такое направление, что стремится вернуть маятник в положение равновесия и поэтому при малых отклонениях, когда jj »sin , аналогичен квазиупругой силе. На рис.1 он направлен от нас, перпендикулярно плоскости чертежа. Применим к математическому маятнику основное уравнение динамики вращательного движения ‡”MJ

rr&& =j , где J – момент

инерции маятника относительно упомянутой выше оси, jr&& – угловое

ускорение, ‡”Mr - сумма моментов внешних сил. Для проекций на

ось вращения

4

jj sin-2 mglml =&&& . (1)

Рис.1

При малых углах jj »sin и тогда получаем дифференциальное уравнение

0=+ jj lg&& , (2)

решением которого являются гармонические колебания )cos( 00 awjj += t ,

с круговой частотой и периодом соответственно

,0 lg=w glT p2= , (3) которые зависят только от длины l маятника и ускорения свободного падения g.

2.3. Физическим маятником называется твердое тело, способное совершать колебания вокруг некоторой оси, не проходящей через его центр масс. В положении равновесия центр масс С находится под точкой подвеса О на одной вертикали на расстоянии a (рис.2). При отклонении маятника от положения равновесия возникает момент силы, стремящийся вернуть его обратно.

Так же, как и для математического маятника,

jj sin-mglJ =&& . (4) Здесь J – момент инерции маятника относительно оси,

проходящей через точку О. При малых колебаниях уравнение (4) переходит в

5

0=+ Jmga jj&& , (5)

решением которого является )cos( 00 awjj += t , но теперь с круговой частотой

Jmga=0w и периодом mga

JT p2= . (6)

Рис.2

2.4. При сравнении формул (3) и (6) видно, что математический маятник с длиной

maJlпр = (7) будет иметь такой же период, как и физический. Величина прl называется приведённой длиной физического маятника.

3. Описание лабораторной установки 3.1. Лабораторная установка (рис.3) состоит из вертикальной

стойки 1, основания 2 и элементов подвеса математического и физического 3 маятников, состоящих из горизонтальной стальной калёной призмы 4 и зажима 5. В качестве математического маятника применён стальной шарик 6 небольшого диаметра, подвешенный на нити в точке на линии продолжения ребра призмы, на которое опирается физический маятник. Изменять длину нити можно, наматывая её часть на детали зажима.

6

Рис.3

4. Техника безопасности 4.1. Несмотря на кажущуюся простоту лабораторной работы,

её выполнение следует проводить под руководством преподавателя или лаборанта. Не допускать падения тяжёлого физического маятника.

5. Порядок измерений и обработка результатов 5.1. Внести данные измерительных приборов в табл. 1. 5.2. Туда же внести значения массы физического маятника и

расстояния H между его опорами. Таблица 1

Прибор Предел измерений

Цена деления Погрешность

Линейка

Физ. маятник Значение Погрешность Масса m 3,520 кг 0.001 кг Расстояние H 0,660 м 0,001 м

5.3. Используя математический маятник как отвес, проверить

центровку установки по острию 7. Если она нарушена, восстановить её с помощью установочных винтов под платформой.

5.4. Подвесить физический маятник так, чтобы круглый вырез на его конце оказался внизу. В этом случае расстояние между точкой подвеса и центром масс а1 = (0,379 ± 0,001)м.

Вывести оба маятника из положения равновесия, одновременно отклонив их на одинаковый малый угол. Изменяя

7 длину нити математического маятника, добейтесь синхронного качания обоих маятников.

5.5. Настройку маятников на синхронное качание провести 5 раз, измеряя при этом линейкой приведенную длину физического маятника, состоящую из длины нити l0 и половины диаметра шарика D/2. Данные поместить в табл. 2.

5.6. Подвесить физический маятник так, чтобы круглый вырез на его конце оказался вверху. В этом случае расстояние между точкой подвеса и центром масс а2 = (0,281 ± 0,001)м.

Далее проделать измерения по пункту 5.5. Таблица 2

Продолжение табл. 2.

В табл. 2 рассчитать по представленным формулам приведённые длины 1прl , 2прl с погрешностями 21 , ll DD ( 9.0ѓС (5) = 2,1). Далее в

формулах 2211 , прпр llll ЃЯЃЯ . 5.7. Исходя из формулы (7) рассчитать моменты инерции

., 222111 lmaJlmaJ ==

Круглый вырез внизу nn 1

iпрl 1 iпрl 1D iпрl 12D

1 2 3 4 5

=/)(= 11 nll iпрпр ‡”

=D

=D)1-(

)(‡” 2

11 nn

lnl i

сл at =D+D=D прибсл lll 11 =D±= 111 lll прпр

Круглый вырез вверху nn 1

iпрl 2 iпрl 2D iпрl 22D

1 2 3 4 5

=/)(= 22 nll iпрпр ‡”

=D

=D)1-(

)(‡” 2

22 nn

lnl i

сл at

=D+D=D прибсл lll 22

=D±= 222 lll прпр

8

5.8. Найти абсолютные погрешности

.)(,)( 22

2

2

221

1

1

1

11 J

ll

aa

mmJJ

ll

aa

mmJ D

+D

+D

=DD

+D

+D

=D

5.9.

Представить окончательные результаты расчета в виде

.2211 =D±=D± JJJJ Литература 1. Савельев, И. В. Курс общей физики. T.1. Механика / И. В.

Савельев. - М.: Изд-во «Астрель», 2005.

Приложение Данные H, a1, a2 являются избыточными. Покажем, что, зная

Н и приведенные длины 1l и 2l физического маятника, можно найти положение центра масс а1 , а2 и рассчитать момент инерции Jc относительно оси, проходящей через центр масс С.

Тело физического маятника в нашей лабораторной работе достаточно симметрично (рис. 4).

Рис.4

Из чертежа ясно, что центр масс находится на линии, соединяющей точки подвеса (опоры).

По теореме Штейнера J1 = Jc + ma²1 J2 = Jc + ma²2. (8) Исходя из формул (7) и (8), путём сравнительно сложных

расчётов, найдём

)(=)()(=)9(,)(==

=)+)((=)+()+(=

+/=+/=

2211212211

212211

212122

2121

222111

HlaHlaaaHlalaaamHlmalma

aaaammaJmaJJJ

amaJJamaJJ

cc

cc

------

---

9

KH

aK

KHaK

lHlH

aa

+1=

+1==

)()(

= 211

2

2

1-- (10)

)(+)()(

=)(+)(

)(=

21

12

21

21 lHlH

lHHa

lHlHlHH

a--

---

- (11)

)(=)(= 222111 almaalmaJc -- . (12) По указанию преподавателя выполнить расчёты по

формуле (11) и сравнить с данными а1, а2. Также рассчитать Jc по формуле(12).

Вопросы для самоконтроля 1-й КОМПЛЕКТ

1. Дайте определение квазиупругой силы. 2. Рассчитайте приведенную длину тонкого стержня. Ось проходит

через конец стержня перпендикулярно к нему. 3. Запишите основное уравнение динамики вращательного

движения. 2-й КОМПЛЕКТ

1. Выведите дифференциальное уравнение колебаний математического маятника.

2. Что называется приведённой длиной физического маятника? 3. Дайте определение фазы гармонического колебания.

3-й КОМПЛЕКТ

1. Приведите параметры гармонических колебаний. Чем они определяются?

2. Что представляет собой физический маятник? 3. Покажите линейную зависимость углового ускорения от

углового смещения при гармонических колебаниях маятников. 4-й КОМПЛЕКТ

1. Опишите модель математического маятника. 2. Выведите дифференциальное уравнение колебаний

физического маятника. 3. Исходя из формулы (7) рассчитайте J через lпр.


1. Запишите решение дифференциального уравнения гармонических колебаний.

10

2. Запишите формулы для определения периодов колебаний математического и физического маятников.

3. Дайте определение момента инерции твердого тела.

6-й КОМПЛЕКТ 1. Сформулируйте теорему Штейнера, её применение. 2. Тонкий обруч, подвешенный на гвоздь вбитый в стену,

совершает колебания в плоскости параллельной стене. Найти период малых колебаний и приведенную длину обруча.

3. Покажите, что приведенная длина физического маятника lпр ≥ а.

Написали описание лабораторной работы и составили

вопросы для самоконтроля профессор Юшина М.Я. и ст. преподаватель Афанасьев Б.Л.

Лабораторная работа № 3-КМ

«ИЗУЧЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ КОНТУРЕ»

1. Введение

1.1. Собственные колебания в изолированной системе происходят после окончания внешнего воздействия, которое вывело её из положения равновесия. Частота колебаний в этом случае определяется только свойствами самой системы.

1.2. В реальных колебательных системах, будь то механические или электромагнитные, процесс колебаний всегда сопровождается диссипацией (рассеянием энергии), в силу чего колебания будут затухать. В одних случаях затухание в системе стремятся сделать как можно меньше, в других - искусственно увеличивают (вводят демпфирование).

1.3. Пользуясь универсальностью законов колебаний, можно изучать поведение механической системы на аналогичной ей электромагнитной. В этом случае изменять затухание в системе очень просто – изменяя величину активного сопротивления.

1.4. Целью настоящей лабораторной работы является экспериментальное ознакомление с собственными колебаниями в

11 электромагнитном контуре и влиянием некоторых его параметров на этот процесс.

2. Основные понятия 2.1. Исходя из второго закона Кирхгофа, можно записать

следующее уравнение для падений напряжения в замкнутом контуре, состоящем из индуктивности L, ёмкости С и активного сопротивления R (рис. 1):

Рис. 1

2

2=+

dtqd

Ldtdq

RCq

- , (1)

где q - величина заряда на емкости; dq/dt = i - сила тока; -Ldi/dt - ЭДС самоиндукции. Введя, как обычно: β = R/2L - коэффициент затухания; ω0 = LC

1 - круговую частоту собственных

незатухающих колебаний , получим из (1) дифференциальное уравнение в виде

)ЃЯ(,02 20 dt

dqqqqq &&&& =++ wb . (2)

Решения этого уравнения опишут возможные процессы, происходящие в контуре при различных условиях.

При малом затухании (β < ω0) получаем решение в виде затухающих колебаний

)-cos()( 220

-0 abwb += teAtq t

. (3) При критическом затухании (ω0 = β) решение имеет вид

tt teaeatq bb -

2-

1)( += . (4) При затухании больше критического (β > ω0) зависимость

апериодическая

12

tt ebebtq )---(

2)--(

1

20

220

2

)( wbbwbb += +. (5)

В формулах (3),(4),(5) A0, φ, a1, a2, b1, b2 - константы, зависящие от начальных условий q(0) и i(0).

Хотя функции, описывающие q(t), различны, их графики непрерывно переходят один в другой при плавном изменении коэффициента затухания.

2.2. Для характеристики степени затухания в контуре, кроме величины β, используют логарифмический декремент затухания λ - он равен натуральному логарифму отношения двух последующих амплитуд (отличающихся по времени на период T) (рис. 2):

)ln(2

1

AA

=l . (6)

Из формул (3) и (6) следует:

TAA

N N

bll ==+

;)ln(1

1

1 . (7)

Рис. 2

2.3. В процессе колебаний энергия электрического поля конденсатора переходит в энергию магнитного поля катушки индуктивности и наоборот. Эти переходы сопровождаются потерями - выделяется тепло.

Удобно пользоваться понятием добротности контура Q, которая в радиотехнике вводится, как

lp /=Q . (8) Можно показать, что при достаточно малом затухании (β <<ω0)

периодзаэнергиипотери

энергиязапасённаяQ×××

×= p2 . (9)

2.4. В данной лабораторной работе нужно определить период затухающих колебаний, логарифмический декремент затухания,

13 рассчитать добротность, индуктивность и активное сопротивление контура.

2.5. Зарисовать осциллограммы колебаний. 3. Описание лабораторной установки 3.1. Обычно в курсах общей физики рассматривается

следующая схема возбуждения собственных колебаний в электромагнитном контуре CRL (рис. 3).

Рис. 3

Сначала ёмкость C заряжается через замкнутый ключ K1 от источника напряжения E, затем K1 размыкается, а K2 замыкается на катушку индуктивности RL, после чего возникают собственные колебания.

Однако можно обойтись одним ключом, который на некоторый промежуток времени t будет подключать емкость C к источнику E, как показано на рис. 4.

Рис. 4

Поведение контура в этом случае можно узнать, решив дифференциальное уравнение (2) (см. основные понятия)

02 20 =++ qqq wb &&&&

с начальными условиями CEqq ==)0( 0 ,

)-1(-)0( 2-0

bteREiq ==& . (10)

14

Последние находятся независимо друг от друга, при условии достаточно малого сопротивления ключа в замкнутом состоянии, для ветвей EC и ERL, соответственно (см. приложение 1).

Решение дифференциального уравнения (2) для колебательного режима имеет вид (3)

))-(cos()( 220

-0 jbwb += teAtq t

. Начальная амплитуда напряжения на ёмкости U0 = А0/C в

случае малого затухания находится из начальных условий

22-20 )-1(1 bte

СRLEU += . (11)

Видно, что она существенно зависит от тока i0, текущего в катушке к моменту размыкания ключа.

Так, при: EU =00ЃЁt ;

)(1/1 20 СRLEU +=>> bt . (12)

Учитывая, что 22 =

)(Q

СRL , где Q - добротность контура,

получим следующие интересные результаты: при малом времени τ ёмкость успевает зарядиться до напряжения E, но ток в катушке пренебрежимо мал; наоборот, при τ >> 1/β ток успевает установиться и затем его последующее прерывание при размыкании ключа приводит к ударному возбуждению колебаний с начальной амплитудой, значительно большей напряжения источника

EQQEU ЎЦ+1= 20 . (13)

3.2. Для лабораторной работы были разработаны схемы электронного ключа, реализующие эти два варианта. Для первого варианта зададим в формуле (11)

1.0ЎЬ)-1( 22-2

bteCR

L . (14)

Тогда U0 превысит E не более чем на 5%. Преобразуя формулу (14), получим

201ЎЬ,1.0ЎЬ

2

TLCtt , (15)

где T - период колебаний контура. Время наблюдения свободных колебаний на экране

осциллографа обычно выбирают ~ 10 T. Исходя из этого, следует положить в основу схемы ключа генератор прямоугольных

15 импульсов с большой ~200 скважностью (скважность - это отношение периода повторения импульсов к их длительности).

Для тех, кто не очень разбирается в радиотехнике, подробности электронных схем можно опустить.

Блок-схема электронного ключа представлена на рис. 5.

Рис. 5

Напряжение прямоугольной формы со скважностью 2 (меандр) и периодом 100 мкс с генератора Г последовательно делится двумя декадными счётчиками СТ, что увеличивает его скважность до 200.

Генератор собран на ИМС К155ЛА8 и транзисторе КТ315Б. В качестве счётчиков применены ИМС К155ИЕ1, особенностью которых является то, что на их выходе появляются входные импульсы, задержанные по фазе. В качестве ключа K применен кремниевый транзистор средней мощности КТ814В, работающий в режиме насыщения во время действия импульса отрицательной полярности и запертый остальное время (рис.6).

Рис. 6

3.3. Для второго варианта расчёт показывает, что ток в катушке достигает ≈ 90% своего максимального значения, равного E/R, за время t = T / λ = TQ / p. Это требование на практике заменяется на t ≈(1…3) T. Блок-схема электронного ключа для этого случая показана на рис.7.

16

Рис. 7

Со вторичной обмотки трансформатора выпрямленное диодами напряжение (с периодом 10 мс) поступает на триггер Шмитта ТШ (ИМС К155ТЛ3) , формирующий из него прямоугольное напряжение. Своим спадом оно запускает ждущий мультивибратор Г (ИМС К155АГ1), вырабатывающий импульс нужной длительности для управления работой ключа К на транзисторе КТ814В и диоде. Принципиальная схема приведена на рис.8.

Осциллограммы напряжений в точках A, Б и В для первого варианта и A, Б, В и Г для второго варианта схем показаны на рис. 9 и рис. 10.

Рис. 8

17

Рис. 9

Рис. 10

4. Техника безопасности

18

4.1. Перед началом работы убедитесь в наличии заземления корпуса осциллографа.

4.2. Выполнять работу при наблюдении преподавателя или лаборанта.

4.3. Подключение электронного блока к осциллографу производить при выключенных приборах.

5. Порядок выполнения работы 5.1. В модернизированном варианте лабораторной работы

применяется осциллограф С1-117, который позволяет с большой точностью измерять интервалы времени, показываемые на встроенном цифровом табло. Рассмотрим более подробно, как это делается.

5.1.1. Допустим, нам нужно измерить по осциллограмме период затухающих колебаний, рис.11,(А). Тогда, зная период работы ключа, равный 10 мс, и измерив на экране l0 и l4T , можно рассчитать

T = 10 l4T / (4 l0) мс. (16)

Рис. 11

19

5.1.2. Ту же операцию можно осуществить электронным

способом, используя возможности осциллографа. Вместе с началом развертки, синхронизированной с работой ключа, запускается ждущий мультивибратор с регулируемой длительностью импульса t1 рис.11,(Б), который в свою очередь задним фронтом запускает аналогичный мультивибратор, тем самым формируя «временные ворота» с длительностью t2 рис.11,(В).

Последние обеспечивают подсветку выбранной части осциллограммы рис.11,(Г), а цифровое измерение её длительности t = t2, высвечиваемое на индикаторах, даёт значение для периода: T=t /4 (на рис.11).

5.2. Осциллограф С1-117 позволяет также в цифровом виде измерять абсолютные значения напряжений. Однако этой возможностью пользоваться не будем, так как для вычисления логарифмического декремента затухания λ нам нужно рассчитать отношение размахов колебаний S1/S1+N, которые проще измерить прямо на экране (рис.12).

λ = βT =(1 / N) ln ( S1 / S1+N ), N = 1, 2, 3, 4 ... . (17)

Рис. 12

20

5.3. Блок-схема лабораторной работы показана на рис.13.

Рис. 13

5.3.1. Напряжение с конденсатора колебательного контура, к

которому можно добавить ёмкость из магазина С , подаётся на вход Y канала Б вертикального отклонения осциллографа. Контур и электронный ключ K находятся в отдельном блоке, к которому также можно подсоединять добавочное сопротивление из магазина R (рис.13).

21

Рис. 14

На рис.14 показана передняя панель осциллографа С1-117 и расположение на ней основных регулировок.

5.3.2. Соберите схему согласно рис.13. Выберите в магазине конденсатор с ёмкостью порядка 0,05 мкФ (потом его значение можно изменить). Добавочное сопротивление сначала выбирается равным нулю. В этом случае затухание в основном определяется активным сопротивлением r0 катушки индуктивности.

Включите питание осциллографа и ключа. Дайте им прогреться 5…10 минут.

5.3.3. Ручку норм. измерение канала А поставьте в положение норм.

Регулировками: режим синхронизации - по каналу Б, внутренний; уровень синхронизации; режим развертки - автоматический или ждущий; частота развертки; усиление по вертикали - добейтесь получения осциллограммы, изображённой на рис. 9,(В) или рис.10,(Г). Число полных периодов должно быть порядка 8…10 ; (на рис.10 оно меньше, для наглядности).

5.3.4. Ручку норм. измерение канала А поставьте в положение измерение. Ручку T, V поставьте в положение Т. Ручками метки I, II добейтесь заметной подсветки целого числа периодов N = 4…6. Считайте показания цифрового табло t (мс, мкс). Тогда период

T = t / N. (18)

22

5.3.5. Ручку норм. измерение канала А поставьте в положение норм.

Если по каким либо причинам цифровые измерения не получились, придётся сделать расчёт Т по формуле (9), измерив на экране l0 и lNT .

Расчёт логарифмического декремента производится по формуле (17), предварительно измерив по осциллограмме размахи колебаний S1 и S4 (рис.12).

5.3.6. Увеличивая сопротивление контура, можно наблюдать всё большее затухание колебаний и переход в критический и апериодический режимы. К сожалению, из-за специфики магазина, плавных переходов может не получиться. Зарисуйте полученные осциллограммы (для всех пунктов).

5.4. Работа носит демонстрационно-оценочный характер. Поэтому детальному расчету погрешностей измерений особого внимания уделять нет смысла. В основном относительные погрешности определяются точностью, с которой известна ёмкость конденсатора – она порядка 10%; всё остальное даёт примерно столько же. При желании этот расчет можно выполнить самостоятельно.

6. Обработка результатов измерений 6.1. Запишите значение полной ёмкости контура в табл. 1.

Таблица 1 Элемент контура Номинал Допуск, % Конденсатор С мкФ Экран осциллографа Размер Цена деления

__________ 100мм х 80мм 2 мм 6.2. Запишите в табл. 2 значения t, N ,T и, если нужно, l0, lNT, N.

Рассчитайте период T.

Таблица 2 t,мс N T = t/N, мс l0 ,мм lNT ,мм N T=10 lNT/(Nl0), мс

6.3. Запишите в табл. 3 значения S1, S4. Рассчитайте λ и Q.

23

Таблица 3

S1, мм S4, мм λ = (1/3) ln(S1/ S4) Q = π/ λ

6.4. Рассчитайте β, L, r0. Внесите в табл. 4.

Таблица 4

β = λ/T, 1/c L = (T/2π)2/C, Гн r0 = 2βL, Ом

Литература 1. Савельев, И.В. Курс общей физики.T.2. Электричество и

магнетизм / И.В. Савельев.- М.: Изд-во «Астрель», 2001. 2. Савельев, И.В. Курс общей физики. T.1. Механика /

И.В.Савельев. - М.: Изд-во «Астрель», 2001. Приложение 1 Переходные процессы в цепях RC и RL 1.Проследим за установлением напряжения на ёмкости C в

цепи ERC (рис.15) после замыкания ключа.

Рис. 15

Решив дифференциальное уравнение с начальным условием

q(0)=0 , полученное из 2-го закона Кирхгофа, имеем )1(==,=

1+,=+ / RCteE

Cq

URE

qRCdt

dqE

dtdq

RCq -- . (19)

2. Установление тока в цепи ERL (рис.16) можно найти аналогично из

)1(=)(,=+,= /_ LtReRE

tiLE

LR

idtdi

dtdi

LEiR -- . (20)

24

Рис. 16

На рис.17 показана зависимость U/Um от t/tc, где Um = E-

максимальное напряжение, а tc = RC - постоянная времени цепи с ёмкостью.

График зависимости I/Im от t/tL, где Im = E/R - максимальный ток, а tL = L/R - постоянная времени цепи с индуктивностью, имеет тот же вид (рис.17).

Рис.17

Приложение 2 Основные схемы искрового зажигания современных

двигателей (упрощенные) Все современные двигатели имеют в качестве основного

элемента схем катушку зажигания (бобину), первичная обмотка которой является катушкой индуктивности рассмотренного нами контура, а вместе с вторичной образует трансформатор, повышающий напряжение до достаточного для пробоя искрового промежутка свечи зажигания (примерно с 300В до 30кВ) (рис.18).

1. Первый вариант: имеет механические контакты прерывателя (в настоящее время почти не встречается); работает

25 по принципу ударного возбуждения колебаний в электромагнитном контуре.

2. Второй вариант: применяется коммутатор - мощный электронный ключ, прерывающий ток в несколько ампер, управляемый датчиком на основе магнитодиодов; работает также по принципу ударного возбуждения колебаний.

3. Третий вариант: имеется накопительный конденсатор, который заряжается от преобразователя напряжения до 300…400 В, а затем с помощью тиристора (управляемого кремниевого вентиля) присоединяется к катушке зажигания; работает почти по классической схеме возбуждения колебаний.

Рис. 18

26

Вопросы для самоконтроля 1-й КОМПЛЕКТ 1. Какие колебания называются свободными? Чем

определяется частота их колебаний? 2. Из каких законов физики получается дифференциальное

уравнение свободных колебаний в электромагнитном контуре? 3. Какие величины для механического осциллятора

аналогичны i, L, C ? 2-й КОМПЛЕКТ 1. Какими двумя независимыми способами можно вызвать

свободные колебания в электромагнитном контуре? 2. Напишите дифференциальное уравнение затухающих

колебаний. Его решение при ω0 > β. 3. Сколько колебаний совершится за время релаксации t = 1/β ? 3-й КОМПЛЕКТ 1. По аналогии с чем колебания в контуре в некоторых случаях

называют ударными? 2. Как найти A0 из начальных условий при малом затухании ? 3. Что такое r0, где оно находится? 4-й КОМПЛЕКТ 1. Запишите решение дифференциального уравнения в случае

критического затухания. Найдите a1 и a2, если q (0) = 0, i(0) = E / R. 2. Дайте определение логарифмического декремента

затухания, добротности. 3. В какой системе двигателя внутреннего сгорания

встречаются собственные электромагнитные колебания? 5-й КОМПЛЕКТ 1. Назовите основные параметры затухающих колебаний. 2. Проведите аналогию между пружинным маятником и

электро-магнитным контуром. 3. Зачем в подвеске автомобиля применяются амортизаторы? 6-й КОМПЛЕКТ 1. Какими элементами контура определяются ω0, β? 2. Не противоречит ли формула (17) формуле (6) для расчета

логарифмического декремента затухания λ ?

27

3. Чему аналогична сила упругости пружины для электро-магнитного контура?

7-й КОМПЛЕКТ 1. Оцените, на сколько процентов отличаются ω0 от частоты

затухающих колебаний, если добротность системы Q = 10 . 2. Что такое начальные условия? Дайте их толкование с

энергетической точки зрения. 3. Как по осциллограмме, рис.10,(Г), оценить добротность

контура? 8-й КОМПЛЕКТ (для тех, кто немного знает радиотехнику)

1. Зачем нужен диод в схеме ключа (рис.8) и можно ли обойтись без него (рис. 6)?

2. Почему в формуле (10) у тока i0 стоит знак – (минус). Как это отражается на осциллограмме, рис.10,(Г)?

3. Докажите справедливость формулы (9). 9-й КОМПЛЕКТ (для тех, кто немного знает радиотехнику)

1. На схеме электронного зажигания с коммутатором, рис.18,(2), отсутствует конденсатор. Как же без него оно работает?

2. Какой вид будет иметь осциллограмма рис.9,(В), если сопротивление R очень велико?

3. Объясните работу транзистора в роли ключа (рис.6). 10-й КОМПЛЕКТ (для тех, кто немного знает радиотехнику) 1. Разберитесь в первом варианте схемы искрового зажигания.

Изобразите осциллограммы напряжения на конденсаторе и тока в первичной обмотке катушке зажигания.

2. Если не известна ёмкость конденсатора в контуре, как можно было бы оценить её значение с помощью лабораторной установки?

3. Как влияет наличие сердечника на индуктивность катушки?

Лабораторную работу поставил, написал описание и составил вопросы для самоконтроля

ст. преподаватель Афанасьев Б.Л.

28

Лабораторная работа № 4-К

«ИЗУЧЕНИЕ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ КОНТУРЕ»

1. Введение Колебательная система совершает вынужденные колебания под

действием внешнего периодического воздействия, которым может быть механическая сила, ЭДС, электромагнитное поле.

Изучая поведение системы при изменении частоты внешнего воздействия, оказывается возможным получить исчерпывающие сведения о её свойствах, будь то механическая или электромагнитная система.

Данная лабораторная работа посвящена экспериментальному ознакомлению с вынужденными колебаниями в электромагнитном контуре.

2. Основные понятия

2.1. По второму закону Кирхгофа сумма падений напряжения в контуре, состоящем из индуктивности L, ёмкости С и активного сопротивления R , в который включена переменная ЭДС, изменяющаяся по гармоническому закону E = E0 cosωt (рис.1), равняется сумме ЭДС

Рис.1

,cos- 02

2

tEdt

qdLdtdqR

Cq w+=+ (1)

где q – величина заряда на емкости, dq/dt = i – сила тока, - Ldi/dt - ЭДС самоиндукции. Введя, как обычно: β = R/2L – коэффициент затухания , ω0 =

LC1 - круговую частоту собственных

незатухающих колебаний , получим из (1) дифференциальное

29 уравнение в виде

)ЃЯ()cos(2 020 dt

dqqtL

Eqqq &&&& wwb =++ . (2)

При малом затухании (β < ω0) решение неоднородного дифференциального уравнения (2) имеет вид

)-cos()-cos()( 0122

0-

1 jwjbwb tqteqtq t ++= , (3) где первое слагаемое отвечает собственным затухающим колебаниям, а второе – вынужденным. После окончания переходного процесса установятся вынужденные колебания

)-cos()( 0 jw tqtq = , (4) происходящие с частотой вынуждающей ЭДС ω . Амплитуду вынужденных колебаний и сдвиг фаз φ между колебаниями заряда и вынуждающей ЭДС можно найти методом векторных диаграмм (см. литературу).

Зависимости qo(ω) и φ (ω) называются амплитудно-частотной (АЧХ) и фазо-частотной (ФЧХ) характеристиками и имеют вид

22220

2

00

4)-(

/)(

wbwww

+=

LEq , (5)

)-

2()( 20

2 wwbwwj arctg= . (6)

2.2. АЧХ имеет максимум на частоте

22

0 2- bww =рез , (7) называемой резонансной. При этом отношение максимальной амплитуды заряда max0q к

амплитуде заряда при малых частотах ( ) )0(0ЎЦ 00 qq =w будет равно

220

20

0

max0

-2)0()(

bwb

www=

=

qq рез

, (8)

тогда при β<<ω0

QTq

q====

lp

bp

bw2)0(

0

0

max0 , (9)

где Q – добротность контура. 2.3. Проанализируем поведение АЧХ в области резонансной

частоты при малом затухании. Здесь можно считать ω ≈ ω0 , тогда 2

020

20

20

220

2 )-(4ЎЦ)-()()-( wwwwwwwww += . Подставляя это выражение в формулу (5), получим

30

( ) 220

000

-

)2/()(

bww

ww

+=

LEq (10)

- уравнение АЧХ при малых расстройках. Такой вид зависимости (или, как говорят, резонансный отклик) характерен для большинства колебательных систем независимо от их физической природы.

Найдём значения частот, при которых q0(ω) в √2 раз меньше максимального значения

.,-)-(отсюда

)-(707,0

21)(

02012

02

220max0

0

bwwbwwwwb

bww

bw

+===

+===

и

qq

; (11)

Разность этих значений частоты называется полосой пропускания на уровне 0,7 (от максимального)

(12)

2.4. Так как напряжение на ёмкости UC = q / C, все перечисленные закономерности относятся и к АЧХ напряжения UC. Из формул (4), (5), (7), (8), (9) и (12) получим

)-cos(0 jw tUU C = , (13) где U0 = q0/C - амплитуда напряжения.

При ω ≈ 0, U0(0) = E0 . При ω = ωрез , U0max = QE0. (14)

Также Qрез =D bwww 2/ЎЦ/ 07.0 . (15) 2.5. В лабораторной работе необходимо получить АЧХ

напряжения на ёмкости, снимая зависимость амплитуды напряжения U0 от частоты ν вынуждающей ЭДС, построить АЧХ (резонансную кривую); определить резонансную частоту, полосу пропускания, рассчитать добротность Q и, зная ёмкость конденсатора С, найти индуктивность контура L и его активное сопротивление R.

3. Описание лабораторной установки

3.1. Лабораторная установка состоит из генератора звуковых частот ГЗ-33, платы контура и вольтметра V , измеряющего напряжение на конденсаторе (рис. 2).

.2- 127.0 bwww ==D

31

4. Техника безопасности 4.1. Перед началом работы убедитесь в наличии заземления

корпуса генератора. 4.2. Проводить лабораторную работу только под руководством

преподавателя или лаборанта.

Рис.2

5. Порядок выполнения работы 5.1. Запишите значение ёмкости контура в табл. 1. Туда же

внести технические данные приборов. Таблица 1

Элемент контура Номинал Допуск ,% Конденсатор С мкФ εc =


Цена деления

Класс точности Погрешность

Звуковой генератор _ ∆n =

Вольтметр ∆U0 = 5.2 . Снятие АЧХ 5.2.1.Собрать электрическую схему согласно рис.2. После

проверки схемы преподавателем включить генератор в сеть 220 В. 5.2.2. Дать прогреться генератору 3…5 минут. Установить

выходное сопротивление генератора равным 5 Ом. Ступенчатым регулятором выходного напряжения установить его в пределах 1…3

32 В. Изменяя частоту генератора (ступенчато и плавно), найти резонанс по максимальному показанию вольтметра. Затем, плавно изменяя выходное напряжение, добиться того, чтобы оно равнялось

точно 10,0В. Записать резонансную частоту резn и напряжение Uomax в табл. 2.

5.2.3. Плавно изменяя частоту генератора, измерить напряжение в 7...10 точках ниже резонансной частоты и также в 7…10 точках выше неё. Пределы изменения частоты выбрать такими, чтобы напряжение на конденсаторе уменьшалось примерно до 2…3 В. Можно снять АЧХ по-другому, задавая частоты такими, чтобы напряжение проходило ряд целых значений 2,3,4,5,6,7,8,9,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1 В. Данные записать в табл. 2.

5.2.4. Установить частоту генератора, в 10 раз меньшую резонансной (ступенчатым регулятором). В этом случае U0( 10/резn ) ≈ U0(0). Полученные результаты также поместить в табл. 2

Таблица 2.

6. Обработка результатов измерений

6.1. По данным табл. 2 построить на миллиметровой бумаге график АЧХ.

6.2. Проведя прямую на уровне 0.7 U0max , найти полосу

пропускания 7.0nD (рис.3).

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ν,Гц резn=

Uo ,В Uomax =

N 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

ν,Гц =10/резn

Uo,В Uo(0) =

33

Рис.3

6.3. Так как обычные частоты n и круговые ω связаны

соотношением pnw 2= , то

7.0

7.0 , nnnpb D=D= резQ . (16)

6.4. Используя значения резn , 7.0nD , U0max, U0(0), C, а также погрешности установки частоты ∆n и измерения напряжения ∆U0, рассчитать добротность контура Q, его индуктивность L, сопротивление R , а также относительные погрешности этих величин Qe и Le . Результаты поместить в табл. 3.

Таблица 3

)0(=

0

max0UU

Q 7.0n

nD

= резQ ),4/(1 22 СL резnp= Гн

)0(0

0

max0

0

UU

UU

QD

+D

=e рез

CL nnee D

+= 2 LR b2= ,Ом

резn ,Гц 7.0nD ,Гц pb = 7.0nD ,1/c

34

Литература 1. Савельев, И.В. Курс общей физики. T. 2. Электричество и

магнетизм / И.В. Савельев. - М.: Изд-во «Астрель», 2001. 2. Савельев, И.В. Курс общей физики. T. 1. Механика /

И.В.Савельев.- М.: Изд-во «Астрель», 2001. Вопросы для самоконтроля 1-й КОМПЛЕКТ 1. Какие колебания называются вынужденными? Чем

определяется частота их колебаний? 2. Каков физический смысл добротности? Как она проявляется

в вынужденных колебаниях? 3. Вывести формулу для расчета индуктивности из табл. 3.


1. Что такое резонансная частота? Вывести формулу (7). 2. В чём состоит отличие резонанса в контуре с большой и

малой добротностью? 3. Будут ли проявляться резонансные явления в контуре, если

затухание в нём больше или равно критическому (ω0<β, ω0 = β)? 3-й КОМПЛЕКТ 1. Запишите дифференциальное уравнение вынужденных

колебаний в электромагнитном контуре. Из каких законов физики оно получается?

2. Что такое полоса пропускания контура? От каких параметров она зависит?

3. Где в бытовой технике используется явление резонанса? 4-й КОМПЛЕКТ 1. Запишите общее решение дифференциального уравнения

вынужденных колебаний. Из каких частей оно состоит? 2. Как рассчитать добротность по полосе пропускания? Разберитесь с выводом формул (10), (11), (12).

3. Какой величине для механического осциллятора аналогична внешняя ЭДС?


35

1. Какой смысл имеют величины ω0 , β , ω? 2. Проведите аналогию между вынужденными колебаниями в

электромагнитном контуре и механическими вынужденными колебаниями.

3. В чём заключается переходный процесс? Что наблюдается после его окончания?

6-й КОМПЛЕКТ 1. Что такое АЧХ? Каков её график? 2. Выразите добротность контура Q через его параметры R, L,

C. 3. Каким величинам для механического осциллятора

аналогичны q , i , Uc = q/C ?

Лабораторную работу поставил, написал описание и составил вопросы для самоконтроля

ст. преподаватель Афанасьев Б.Л.


«ИЗУЧЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ»

1. Введение 1.1. Пружинный маятник является одним из самых простых и

важных для технических приложений примеров осциллятора – системы способной совершать собственные (при некоторых условиях близкие к гармоническим) колебания.

1.2. Целью настоящей лабораторной работы является экспериментальное ознакомление с собственными колебаниями пружинного маятника и определение некоторых его параметров.

2. Основные понятия 2.1. Дифференциальное уравнение, описывающее динамику

одномерных затухающих колебаний пружинного маятника (рис.1), при наличии сил сопротивления пропорциональных скорости (движение с небольшими скоростями в газе или жидкости), можно записать на основе законов Ньютона, Стокса и Гука в следующем виде:

36

dtdxxxxx ЃЯ02 2

0 &&&& =++ wb , (1)

ω0=mk

, (2)

где x(t) – смещение маятника от положения равновесия, β = r / 2m - коэффициент затухания; ω0 - круговая частота собственных незатухающих колебаний , m – масса груза, r – коэффициент сопротивления, k – коэффициент упругости пружины.

2.2. Решение этого уравнения при малом затухании (β < ω0) получаем в виде затухающих колебаний- график на рис.(1):

)-cos()( 220

-0 abwb += teAtq t

. (3) Начальные амплитуда А0 и фаза α определяются начальными

смещением и скоростью 00 )0()0( Vxxx == & . 2.3. Для характеристики степени затухания, кроме величины β,

используют логарифмический декремент затухания λ - он равен натуральному логарифму отношения двух последующих амплитуд (отличающихся по времени на период T)

)ln(2

1

AA

=l . (4)

Из формул (3) и (4) следует

)ln(1

1

1

NAA

NT

+

== lbl , (5)

где N – число колебаний, совершенных между измерениями амплитуд.

2.4. В процессе колебаний энергия упругой деформации пружины переходит в кинетическую энергию груза и наоборот. Эти переходы сопровождаются потерями.

Удобно пользоваться добротностью осциллятора Q, которая вводится как lp /=Q (6) . Можно показать, что при достаточно малом затухании (β <<ω0)

периодзаэнергиипотериэнергиязапасённая2p=Q . (7)

2.5. В данной лабораторной работе нужно определить

собственную частоту незатухающих колебаний статическим

37 методом, частоту затухающих колебаний динамическим методом, рассчитать логарифмический декремент затухания и добротность.

3. Описание лабораторной установки 3.1. Общий вид лабораторной установки показан на рис.1.

Изучается затухание колебаний в воздухе. Растяжение пружины и амплитуды колебаний определяется по измерительной линейке Л с помощью измерительного диска Д. Время колебаний определяется ручным секундомером.

Рис.1

4. Техника безопасности 4.1. При проведении работы соблюдайте правила техники

безопасности. 4.2. Бережно относитесь к оборудованию и измерительным

приборам. 5. Порядок выполнения работы и обработка результатов

измерений 5.1. Запишите технические данные приборов в табл. 1.

Таблица 1


Цена деления Погрешность

Линейка

Секундомер

38

5.2. Определение собственной частоты незатухающих колебаний статическим методом.

5.2.1. Измерив статическое удлинение пружины x под действием груза массы m, имеем (из kx = mg) k = mg /x; подставляя в формулу (2), получим

xg

=0w (8)

xl

xx D=

D=D 00

0 2ww

w , (9)

где Δl – погрешность линейки. Данные поместить в табл. 2.

Таблица 2 x = l – l0 ω0 Δω0

Записать результат вычисления частоты в виде ω0 = (ω0 ± Δω0), 1/c 5.3. Измерение частоты затухающих колебаний динамическим

методом 5.3.1. Измерив 5 раз секундомером время t десяти полных

периодов колебаний маятника, можно рассчитать период колебаний и их частоту, с погрешностями, по приведённым формулам (10),(11):

,10/,,)(

,20/)(,10/,5/)( ‡”‡”5

1

2_5

1

_

tTtttSnt

tStTtt

прибслучtслуч

iit

ii

D=DD+D=D=D

D=====

at (10)

TT

TD

=D= wwpw 2. (11)

Данные поместить в табл. 3 и 4. Таблица 3

№п/п

ti Δti Δti²

1 2 3 4 5

39

Таблица 4

T tS полнаяtD w wD

Записать результат расчёта частоты в виде ω = (ω ± Δω), 1/c. Cравнить с данными по ω0.

5.4. Расчёт логарифмического декремента затухания колебаний и добротности пружинного маятника

5.4.1. Задав начальную амплитуду (оттянув маятник вниз от положения равновесия на 20 мм и отпустив), отсчитывают наглядно число N полных колебаний маятника за время уменьшения их амплитуды в 2 раза. Измерение провести один раз. Рассчитать логарифмический декремент λ и добротность Q по формулам (5) и (6) с погрешностями (учитывая только приборные)

lll D

=DD

+D

=D QQNll /)1020

( , (12)

где Δ l - приборная погрешность линейки в мм. Данные поместить в табл. 5.

Таблица 5 N λ=(ln 2)/N Δλ Q = π / λ ΔQ

Записать результаты расчёта в виде λ = λ ± Δλ Q = Q ± ΔQ. Литература

1.Савельев, И.В. Курс общей физики. Т.1. Механика / И.В.Савельев.- М.: Изд-во « Астрель», 2001.

2. Савельев, И.В. Курс общей физики. T2. Электричество и магнетизм / И.В.Савельев.- М.: Изд-во «Астрель», 2001.

Вопросы для самоконтроля 1-й КОМПЛЕКТ 1. Из каких законов физики и как выводится уравнение (1)? 2. Выразите начальную амплитуду (при малом затухании),

исходя из начальных условий x0 = 0.1м V0 = 0 . 3. Чему равно относительное изменение амплитуды за один

период, если λ <<1?

40

2-й КОМПЛЕКТ 1. Назовите основные параметры затухающих колебаний. 2. Запишите дифференциальное уравнение затухающих

колебаний. Его решение при ω0 > β. 3. Сколько колебаний совершится за время релаксации τ =1 / β ? 3-й КОМПЛЕКТ 1. Покажите, что формула для добротности Q (7) приводит к

формуле (6). При каких условиях? 2. Найти A0 из начальных условий при малом затухании (x0 = 0

, V0 = 1 м/c, ω0 =10 1/c). 3. Покажите линейную зависимость ускорения от смещения

при гармонических колебаниях. 4-й КОМПЛЕКТ 1. Запишите решение дифференциального уравнения-

формула (1). Приведите его график (ω0 > β). 2. Дайте определение логарифмического декремента

затухания, добротности. 3. Докажите эквивалентность формул (4) и (5). 5-й КОМПЛЕКТ 1. При каких условиях совершаются колебания близкие к

гармоническим? 2. Проведите аналогию между пружинным маятником и

электромагнитным контуром. 3. Как изменится амплитуда за период, если λ = 0.1? 6-й КОМПЛЕКТ 1. Выведите формулу для частоты собственных гармонических

колебаний тела, подвешенного на пружинке. 2. Что такое время релаксации? От каких параметров оно

зависит? 3. Чему аналогична сила упругости пружины для

математического маятника?

Написал описание лабораторной работы и составил вопросы для самоконтроля

ст. преподаватель Афанасьев Б.Л

41


«ИССЛЕДОВАНИЕ НОРМАЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ»

1. Введение Распространение в пространстве различных возмущений

состояния вещества или поля называется волновым процессом или волной. Примерами волн являются звук (упругие волны) и свет (электромагнитные волны).

Довольно часто наблюдаются стоячие волны, образующиеся в результате сложения падающих и отраженных волн. Так, например, каждый тон звучания музыкальных инструментов является стоячей волной струны или столба воздуха. На приемной антенне телевизора и в рабочем объеме лазера устанавливаются стоячие электромагнитные волны.

В настоящей работе изучаются нормальные колебания струны, являющиеся стоячими упругими волнами.

2. Основные понятия

2.1. Уравнение гармонической плоской волны, распространяющейся вдоль оси OX , имеет вид

),-sin(),( 0jwx += kxtAtx (1)

где x - смещение частиц от положения равновесия; A - амплитуда колебания;

к - волновое число, равное lp2

, где l - длина волны;

ω- циклическая частота колебаний, pnw 2= ;

0j - начальная фаза колебаний. Скорость волны V, длина волны l и частота колебаний n

связаны соотношением

nl=V . (2)

2.2. Рассмотрим пример образования стоячей упругой волны на струне. Предположим, что струна длиной L натянута вдоль оси OX, причем ее концы жестко закреплены (рис. 1).

Возбудим на струне гармоническую волну с начальной фазой 00 =j , бегущую вдоль оси OX слева направo

)-sin(),()( kxtAtx wx =+.

42

Если отражение волны от правого конца происходит без потери энергии, отраженная волна имеет такую же амплитуду, что и падающая, и описывается уравнением

)sin(),( 1)-( jwx ++= kxtAtx ,

где 1j определяется изменением фазы при отражении.

При сложении )(+x и )-(x возникает интерференция и

результирующая стоячая волна имеет

вид )2

sin()2

cos(2),( 11)-()( jwjxxx ++=+= + tkxAtx .

Величина ÷øö

çèæ +=

2cos2 1jkxAA p

(3)

является амплитудой стоячей волны и зависит от координат точки. В случае, когда концы струны жестко закреплены, граничные условия имеют вид

0),(;0),0( == tLt xx . (4) При отражении от закрепленного конца фаза волны меняется

на p , ( pj =1 ). Тогда уравнение (3) примет вид

kxAkxAA p sin2)2

cos(2 =÷øö

çèæ +=

p. (5)

2.3.Покажем, что стоячая волна может существовать только при строго определенных частотах колебаний. Из второго граничного условия 0=)(LAp следует 0=)sin(kL и nkL p= , где n - целое число. Следовательно, волновое число и длина волны могут иметь только следующие строго определенные значения:

nL

Lnkk nn

2, === lp

.

Таким образом, на струне возможны только те стоячие волны, половина длин которых укладывается на длине струны L целое число раз (рис. 1).

2nnL

l= . (6)

43

а

б

в

Рис. 1 Соответствующие этим длинам волн частоты колебаний

nL

Vn 2

=ν называются собственными частотами колебаний струны,

а частота L

V2

=ν1 - основной частотой. Возбужденные в струне

колебания с собственными частотами называются нормальными колебаниями струны (модами) или гармониками. Форма мод для n = 1, 2 и 3 показана на рис. 1. Первая мода называется основной.

Точки, для которых амплитуда равна нулю, называются узлами стоячей волны. Точки, где амплитуда колебаний максимальна и равна 2A , называются пучностями. В пределах одной полуволны колебания всех точек происходят в фазе, при переходе к соседней полуволне фаза скачком меняется на π.

2.4. Отношение фVk =/w определяет фазовую скорость волны, для гармонических волн совпадающую по величине со скоростью распространения волн V.

2.5.Можно показать (см. приложение), что скорость распространения волны по струне зависит от силы натяжения

44 струны T и ее погонной плотности ρ0 (массы на единицу длины) следующим образом:

0rTV = . (7)

2.6. При воздействии на струну внешней гармонической силы на ней установится определенная мода колебаний, если ее частота совпадет с частотой вынуждающей силы.

2.7. В настоящей лабораторной работе изучаются закономерности нормальных колебаний струны, а именно: рассчитывается погонная плотность струны, сравниваются экспериментально найденные и теоретически рассчитанные скорости распространения волны при различных силах натяжения струны.

3. Описание лабораторной установки 3.1. Струна (медная проволока) закреплена одним концом на

неподвижной стойке, к другому концу прикреплена чашечка. Переменный ток в струне создается генератором 3Г. Небольшой участок струны находится в поле электромагнита, питаемого от выпрямителя ВУ (рис. 2). Для измерения длины струны имеется масштабная линейка.

Рис. 2 3.2. В настоящей работе внешней вынуждающей силой

является сила Ампера, с которой магнитное поле взаимодействует с участком струны, по которой протекает переменный ток.

3.3. Техника безопасности Корпуса генератора и выпрямителя должны быть заземлены.

45 Запрещается включать приборы без разрешения преподавателя или лаборанта.

4. Порядок измерений 4.1. Внести технические данные приборов в табл. 1. Таблица 1


Цена деления Приборная погрешность

Звуковой генератор Линейка

4.2. Измерить по линейке рабочую длину L струны. Внести

величину в табл. 2. Туда же записать массу чашечки m0 (указана на её дне), ∆L и ∆m0 - приборные погрешности измерений, указанных выше величин.

Таблица 2 L ∆L m0 ∆m0 4.3. Включить 3Г и ВУ в сеть. Дать приборам прогреться

несколько минут. Поместить на чашечку гирьку массой m = 20 г. Сила натяжения струны рассчитывается как

Т = (m + m0)g. (8) Так как проволока имеет малый диаметр и ее легко порвать,

нужно обращаться с ней достаточно осторожно. 4.4. Ручку «множитель» генератора 3Г поставить в положение

1, ручку «усиление» - в крайнее правое положение. Установить наименьшую частоту (20 Гц).

4.5. Плавно увеличивая частоту, добиться установления на струне основной моды колебаний с наибольшей амплитудой. Наблюдать колебания удобнее сверху, а не с боку. Записать значение частоты в табл. 3. Там же зарисовать профиль струны.

4.6. Продолжая увеличивать частоту 3Г, добиться установления следующих (n = 2, 3, 4, 5) мод колебаний струны.

Соответствующие частоты и профили поместить в табл. 3. Таблица 3

n Профиль струны nn nL

n2

=l V = ln nn 1 2 3

46

4 5

4.7. Записать значения массы гирек (20г) и частоты первой

моды также в табл. 4. 4.8. Поместить на чашечку гирьки с общей массой m = 30 г. Добиться установления основной моды (см. 4.5), записать

значения m и частоты колебаний ni в табл. 4. 4.9. Повторить измерения по пункту 4.8 для масс 40, 50, и 60 г;

данные поместить в табл. 4. Таблица 4

i mi Ti ni Vi = 2Lni DVi Vi теор.

1 2 3 4 5

5.Обработка результатов измерений. 5.1. По данным табл. 3 рассчитать длину волны ln, частоту nn и

скорость распространения Vi = 2Lni, внести эти значения в табл. 3. Рассчитать среднее значение скорости распространения V

(для разных мод колебаний):

5/)(= ‡” iVV . (9)

5.2. Зная V и силу натяжения струны Т, рассчитать погонную плотность струны ρ0:

20 VT

=r

(10)

5.3. По данным табл. 4 рассчитываются экспериментальные значения скорости распространения волны для основной моды при разных значениях силы натяжения струны:

ii LV n2= . (11) 5.4. Абсолютную ошибку скорости ∆Vi можно рассчитать так:

÷÷ø

öççè

æ D+

D=D

i

iii L

LVVnn

, (12)

где ∆L и ∆ni - приборные ошибки в измерении длины струны и частоты колебаний.

5.5. Используя значения ρ0 и предварительно рассчитав по формуле (8) Тi, вычислить теоретические значения скорости

47 распространения (7). Данные расчетов занести в табл. 4. Сравнить полученные данные по экспериментальным и теоретическим значениям скоростей распространения для различных Тi.

Литература 1. Савельев, И.В. Курс общей физики. T.4. Волны. Оптика /

И.В.Савельев.- М.: Изд-во « Астрель», 2001.

Приложение Пусть в положительном направлении оси 0X по струне

поперечная волна смещения

)-cos(),( kxtAtxy w= . (13) Рассмотрим бесконечно малый элемент струны dl около горба

волны c x = 0 при t = 0 (рис. 3).

Рис.3 По второму закону Ньютона ускорение этого элемента

определяется как

dlT

dmF

a yy

0

sin2‡”r

a== , (14)

где Т - сила натяжения струны; r0 - ее погонная плотность. Смысл остальных величин ясен из рис. 3, пользуясь которым, находим

dxAkkdxAk

dxdy 2-)-sin(tgsin »==» aa ; (15)

dxdxkAdxdydxdl 2122 24222 @+=+= . (16)

48 Тогда из (14), (15) и (16)

0

2

2

2

rTAk

dtyda y == . (17)

Находя )0,0(2

2

dtyd

непосредственно из формулы (13) и

сравнивая с (17), получим

0

22

2

2

--r

wTAkA

dtyd

== . (18)

Откуда скорость распространения бегущих по струне поперечных волн определится, как указано в 2.5, формула (7)

0r

w Tk

V == .

Вопросы для самоконтроля 1-й КОМПЛЕКТ 1. Дайте определение волны. Какие волны называются

продольными, поперечными? Какие волны изучаются в настоящей работе?

2. Напишите граничные условия для струны, закрепленной на обоих концах. Найдите спектр собственных частот .

3. Как меняется фаза волны при отражении? 2-й КОМПЛЕКТ 1. Напишите уравнение гармонической волны,

распространяющейся в упругой среде. Назовите её параметры. 2. Что называется узлами и пучностями в стоячей волне? Как

связано расстояние между соседними узлами с длиной волны? 3. В чем заключается явление резонанса, и какую роль оно

играет в данной работе? 3-й КОМПЛЕКТ 1. Напишите уравнения скорости и ускорения движения частиц

среды при распространении волны. 2. Дайте определение длины волны, фазовой скорости,

частоты и периода колебания. Как связаны эти величины?

49

3. Напишите формулу, связывающую частоту любых нормальных колебаний струны с основной частотой.

4-й КОМПЛЕКТ 1. Дайте определение волновой поверхности и волнового

фронта. 2. Напишите выражения для бегущей и стоячей волн.

Объясните их различие. 3. Найдите спектр собственных частот колебаний упругой

узкой тонкой пластины, если один конец её закреплен, а второй свободен.

5-й КОМПЛЕКТ 1. Напишите дифференциальное волновое уравнение.

Каковы его решения? 2. Выведите формулу для вычисления скорости волны при

установлении на струне нормальных колебаний основной частоты. 3. Сколько длин волн укладывается на струне при наблюдении

первой, второй и третьей гармоник основной частоты? 6-й КОМПЛЕКТ 1. Что является вынуждающей силой, действующей на струну? 2. Найдите спектр собственных частот колебаний струны при

данных граничных условиях (4). 3. Напишите уравнение стоячей волны. Приведите её график.

Покажите узлы и пучности. Работу поставили, написали описание и составили вопросы

для самоконтроля ст. преподаватель Афанасьев Б.Л. и доцент Ипполитова Г.К.


«ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ЗВУКА В ВОЗДУХЕ» 1. Введение 1.1. Важнейшей характеристикой любой однородной среды,

связанной с её упругими и инертными свойствами, является скорость распространения звуковых волн. Звуковыми обычно называют упругие волны, частоты которых лежат в диапазоне от 20 до 20000 Гц.

50

1.2. Прямые измерения скорости звука в воздухе (например, по времени прохождения звуковым импульсом заданного расстояния) в лабораторных условиях осуществить трудно (и шумно). В данной работе скорость звука определяется методом стоячих волн, которые образуются в столбе воздуха, заключенного внутри закрытой с обоих концов узкой, длинной трубы. В таких трубах в определенном диапазоне частот звуковые волны близки к плоским, что существенно упрощает расчеты.

2. Основные понятия 2.1.Звуковые волны в газах и жидкостях являются

продольными: колебания частиц среды* происходят вдоль направления распространения волны. Пусть в газе вдоль оси OХ распространяется плоская продольная гармоническая волна смещений

)-sin(),( kxtAtx wx = , (1) где А - амплитуда смещений;w - циклическая частота, pnw 2= ; V- линейная частота; K- волновое число; lp /2=k , l - длина волны.

Рассмотрим элементарный объем газа в виде цилиндра с площадью сечения S и длиной ¶x, его объем W = S¶x. При прохождении волны (1) этот объем подвергается смещению x и деформации ¶x (рис. 1).

Рис.1

Изменение объема газа ∆W = S¶x приводит к изменению давления в нем на ∆P по сравнению с давлением P, которое существует в газе в отсутствие волны. В звуковой волне сжатия и расширения газа следуют друг за другом так быстро, что смежные участки среды не успевают обмениваться теплом. Такие процессы в термодинамике называются адиабатическими. В этом случае связь * Под частицами среды подразумеваются не молекулы, а макроскопические (т.е. заключающие в себя большое число молекул) объемы, для которых применимы такие термодинамические параметры, как давление P и температура Т, но размеры которых много меньше длины волны.

51 между давлением P и объемом W данной массы газа выражается уравнением

const=gPW , (2) где γ - показатель адиабаты, значение которого зависит от вида газа.

Логарифмируя (2) и затем дифференцируя полученное выражение, можно получить соотношение для относительных изменений давления и объема

xxSS

WW

PP

ЃЭЃЭ-

ЃЭЃЭ-- xgxgg

==D

=D

. (3)

Дифференцируя (1) по х и подставляя в (3), получим

)-cos( kxtPkAP wg=D . (4) Величина lpgg /20 PAPkAP ==D называется амплитудой

избыточного (звукового) давления. Для обычных звуковых волн (кроме ударных) амплитуда смещений много меньше длины волны (А << λ), поэтому DP0 << P.

Таким образом, звуковая волна в газе с термодинамической точки зрения представляет собой волну избыточного давления, изменяющуюся по закону

)-cos(0)( kxtPP wD=D + , (5)

которая распространяется в положительном направлении оси OХ со скоростью lnw == kV / .

Рис.2

На рис. 2 изображены "профили" волн избыточного давления

52 и смещений в момент времени t = 0. Из рисунка видно, что нули смещений соответствуют максимумам (минимумам) избыточного давления.

Уравнение волны избыточного давления, распространяющейся вдоль отрицательного направления оси OX, получается заменой х на

–х в (5) )cos(0)-( kxtPP +D=D w . 2.2. Стоячая волна образуется в результате наложения

(интерференции) двух гармонических волн, распространяющихся навстречу друг другу. Уравнение стоячей волны избыточного давления (при равенстве амплитуд) имеет вид

)cos()-cos( 00)-()( kxtPkxtPPPP +D+D=D+D=D + ww или, преобразовав,

tkxPP wcoscos2 0D=D . (6) Из уравнения (6) следует, что в стоячей звуковой волне

существуют точки, в которых избыточное давление постоянно равно нулю. Такие точки называются узлами, их координаты определяются из условия

coskx = 0 или xуз = (m + 1/2)λ/2, (m = 0, ±1, ±2 ...). (7) Точки, для которых |coskx|=1, амплитуда колебаний

избыточного давления максимальна и равна 2∆P0, называются пучностями. Координаты пучностей определяются по формуле

xпуч = mλ/2, (m = 0, 1, 2 ...). (8) Из (7) и (8) видно, что расстояние между двумя соседними

узлами (пучностями) равно λ/2, а расстояние между соседним узлом и пучностью равно λ/4.

Рис. 3

53

На рис. 3 изображены "профили" стоячей волны звукового

давления в различные моменты времени: сплошной линией при t = 0, пунктиром - при t = Т/2.

2.3. На практике стоячие волны чаще всего образуются при наложении прямой волны и волны, отраженной от какого-либо "препятствия".

При распространении звуковых волн в трубах такими "препятствиями" могут служить либо закрытый, либо открытый торцы трубы. Поэтому "профили" стоячих волн, которые могут возбуждаться в столбах газа в трубах, определяются условиями на торцах трубы - граничными условиями:

1) на открытом конце трубы всегда возникает узел звукового давления (так как на открытом торце труба соседствует с атмосферой) или пучность смещений (так как частицы могут свободно смещаться);

2) на закрытом конце трубы образуется пучность звукового давления (так как скачок давления возможен лишь на закрытом конце трубы) или узел смещений (так как частицы вблизи стенки не могут смещаться).

Рис. 4

На рис. 4,а показаны распределения звукового давления в

закрытой с обоих концов трубе, удовлетворяющие граничным условиям (2) для первых двух видов стоячих волн-гармоник. Пунктиром дан вид распределения через полпериода. Для сравнения на рис. 4,б представлены соответствующие распределения для полузакрытой трубы (граничные условия: при х = 0 - пучность, при х = L - узел).

2.4. Частоты, соответствующие возможным при данных граничных условиях стоячим волнам, называются собственными

54 (нормальными) частотами. Для того чтобы найти собственные частоты для закрытой трубы, сравним рис. 3 и 4,а: для первой гармоники (основной тон) - L = λ1 / 2, для второй (первый обертон) L = 2λ2 / 2, для третьей (второй обертон) L = 3λ3 / 2 и т.д. В общем случае L = nλn / 2 , где n = 1, 2, 3, ... Отсюда

λn = 2 L / n. (9)

Собственные частоты соответствующих гармоник

LV

nV

nn 2

=λ

=ν . (10)

2.5. В лабораторной установке площади микрофона и динамика существенно меньше площади торцов трубы, поэтому ее можно считать закрытой с обоих концов (см. рис. 4, а). При возбуждении звука в закрытой трубе в ней возникают резонансы на собственных частотах, определяемых соотношением (10), причем разность частот двух соседних резонансов постоянна и равна

LV

nn 2-1 =+ nn . (11)

Отсюда по известным nn nn ,1+ и L можно найти скорость распространения звука

)-(2 1 nnLV nn += . (12) 2.6. Переход от одной гармоники к другой может быть также

осуществлен путем изменения резонансной длины трубы L при фиксированной частоте и, следовательно, при фиксированной длине звуковой волны nl /V= . Из соотношений (9), (10) и рис. 4,а следует, что изменение d длины трубы L между двумя соседними ее резонансами равно λ/2, т.е.

nl

22-1

VLLd mm === + . (13)

2.7. Скорость звуковых волн в газах зависит от равновесных значений давления P и температуры Т. Для идеальных газов в адиабатическом приближении теоретическое значение скорости звука можно вычислить по формуле (см. приложение)

mg

rg RTpV == , (14)

где γ - показатель адиабаты (γ = 1,4 для воздуха); р, ρ - равновесные значения давления и плотности;

55 μ - молярная масса ; μ возд. = 0,029 кг/моль; R = 8,31 Дж/(мольК) - универсальная газовая постоянная; Т - абсолютная температура.

Подставляя значения постоянных, можно получить приближенную формулу

TV 20= (м/с). (15) 3. Описание лабораторной установки 3.1. Схема экспериментальной установки для определения

скорости звука в воздухе методом стоячих волн приведена на рис. 5. Установка состоит из металлической трубы Т, внутри которой

на заглушках укреплены динамик D и микрофон М. Заглушка с динамиком может перемещаться внутри трубы с помощью штанги Ш, на которой нанесена шкала отсчета. К динамику подводится напряжение звуковой частоты от генератора ЗГ. Звуковые сигналы, преобразованные микрофоном в электрические, подаются через усилитель У на вход осциллографа ЭО.

Рис. 5

Рекомендуемый диапазон частот для работы с данной трубой (2000…4000 Гц) выбран с целью получения звуковых волн, близких к плоским.

3.2. Техника безопасности Корпуса осциллографа, генератора и усилителя должны быть

заземлены. Запрещается включать приборы без разрешения преподавателя или лаборанта.

4. Порядок измерений 4.1. Внести технические данные приборов в табл.1.

56

Таблица 1 Прибор Пределы

измерений Цена деления

Приборная погрешность

Звуковой генератор 2000…4000 Гц ∆ν= Гц Шкала отсчета положения динамика

∆L = м

4.2. Упражнение 1 4.2.1. Включите генератор ЗГ, усилитель У и осциллограф ЭО.

Переместите динамик на минимальное расстояние L0 от микрофона. Его значение, указанное на установке, внесите в табл. 2.

4.2.2. Переключатель "ослабление" ЗГ поставьте в положение "0,1 V", а ручкой "регулировка выхода" ЗГ подберите такую амплитуду звукового сигнала, чтобы на экране ЭО наблюдался сигнал размахом в несколько сантиметров.

4.2.3. Изменением частоты выберите два соседних резонанса, соответствующих n-й и (n +1)-й гармоникам в диапазоне частот 2000 … 4000 Гц. Значения этих частот занесите в табл. 2.

L0 = м Таблица 2

nn ,Гц 1+nn ,Гц )-( 1 nn nn + , Гц

4.3. Упражнение 2 4.3.1. Установите на звуковом генераторе частоту,

соответствующую более сильному резонансу. Занесите значения выбранной частоты в табл. 3.

4.3.2. Постепенно выдвигая динамик, фиксируйте его положения, соответствующие максимуму сигнала. Данные занесите в табл. 3. n = Гц Таблица 3 m Lm i mmi LLd -1+= idD 2

idD

0 1

1 2

2 3

3 4

4 5

5 ‡” =5/)(= idd =Δ 2‡” id

57

5. Обработка результатов измерений 5.1. Вычислите значение скорости звука для упражнения 1 по

формуле

)-(2 10 nnLV nn += . 5.2. Определите приборные погрешности (относительную и

абсолютную)

01 )(

2LL

VV

nnприб

D+

D=

D=

+ nnne .

5.3. Представьте окончательный результат в виде )( VVV D±= , м/c. 5.4. Вычислите среднее значение скорости звука в воздухе для

упражнения 2 по формуле ndV 2_

= . 5.5. Определите относительную приборную погрешность

nne D

+D

=d

Lприб

2.

5.6. Определите случайную погрешность

)1-(‡” 2

NNd

S iD=D ;

=D=D )5(;)( 9,0tSNtdслуч a 2,1;

ddслуч

случ

D=e .

5.7. Найдите полные относительную и абсолютную погрешности

случприб eee += ;

VV e=D . 5.8. Представьте окончательный результат в виде

)( VVV D±= , м/c.

5.9. По формуле (15), зная комнатную температуру, рассчитайте теоретическое значение скорости звука в воздухе. Сравните это значение с результатами предыдущих вычислений.

Литература

58

1. Савельев, И.В. Курс общей физики. T.4. Волны. Оптика / И.В.Савельев.- М.: Изд-во « Астрель», 2001.

Приложение Для вывода формулы скорости звука в воздухе воспользуемся

уравнением движения массы газа, заключенного в элементарном объеме W = S¶x ( рис. 1)

dmF

a xx

‡”= . (16)

Масса газа, заключенного внутри W, равна dm = ρS¶x; ее ускорение ax=¶2x/¶t2; результирующая сила вдоль оси OХ ‡” -))ЃЭ(-)(( PSSxxPxPF x D=+= или, учитывая (3),

‡” )ЃЭ/ЃЭ( SxPFx xg= . Подставляя эти выражения в (16), получим

2222 ЃЭ/ЃЭ)/(ЃЭ/))ЃЭ/ЃЭ((ЃЭ/ЃЭ xPxSSxPt xrgrxgx == . (17)

Сравнивая (17) с дифференциальным волновым уравнением (¶2x/¶t2 = V2¶2x/¶x2), для скорости распространения звука в газе получим формулу

rg /PV = или mg /RTV = , учитывая что RTP )/( mr= . Вопросы для самоконтроля 1-й КОМПЛЕКТ 1. Покажите, что стоячая волна x(x,t) = A cos(kx)· cos(ωt)

удовлетворяет волновому уравнению ¶2x/¶t2 = V2¶2x/¶x2. 2. Нарисуйте профили бегущей волны смещений аналогично

рис.2, в моменты времени t = 0, Т/4, Т/2. 3. Вычислите значение минимальной частоты стоячей волны в

данной трубе при её длине, равной L0. 2-й КОМПЛЕКТ 1. Запишите уравнение плоской гармонической волны и

укажите ее параметры. 2. Нарисуйте профили стоячей волны звукового давления (рис.

3) в момент времени t = 0, Т/4, Т/2. 3.Определите номера гармоник, возбуждаемых при

выполнении данной лабораторной работы на частотах nn и 1+nn (упражнение 1).

59

3-й КОМПЛЕКТ 1. Дайте определение продольным и поперечным упругим

волнам, укажите условия их распространения в твердых, жидких и газообразных средах.

2. Покажите направления скоростей частиц газа x& = ¶x/¶t в бегущей волне в точках х = 0, l/2, l (рис. 2) в моменты времени t = 0 и t = Т/2.

3. Найдите отношение частот первой и третьей гармоник в полузакрытой трубе (рис. 4,б).

4-й КОМПЛЕКТ 1. Выведите уравнение стоячей волны звукового давления и

укажите положения узлов и пучностей, формулы (7) и (8). 2. Объясните физический смысл граничных условий для

смещения частиц и звукового давления. 3. Найдите частоту основного тона столба воздуха в закрытой

трубе длиной L = 1 м. Как изменится эта частота, если труба будет заполнена гелием ( =μHe 0,004кг/моль), углекислым газом ( =μ

2CO 0,044 кг/моль)?

5-Й КОМПЛЕКТ 1. Сформулируйте принцип суперпозиции волн. 2. В момент времени t = Т/4 звуковое давление в стоячей

волне равно нулю при любом х, см. уравнение (6). Поясните причину появления звукового давления в соседние моменты времени.

3. Как будет изменяться частота основного тона закрытой трубы, если ее сначала открыть с одного конца, а потом с другого?

6-Й КОМПЛЕКТ 1. Стоячая волна является частным случаем явления

интерференции. Поясните. 2. Выразите связь граничных условий для смещений частиц и

звукового давления (рис 4, а, б). 3. В упражнении 1 учитывается и вычисляется только

приборная погрешность, а в упражнении 2 - приборная и случайная. Почему?

Описание работы написали и составили вопросы для

самоконтроля ст. преподаватели Афанасьев Б.Л и Гусева Е.А.

60


«ИЗУЧЕНИЕ ИНТЕРФЕРЕНЦИИ СВЕТА»

1. Введение 1.1. Радужная окраска нефтяных и масляных пятен на

поверхности воды, цвета побежалости на закаленных металлах, сиреневый оттенок объектива фотоаппарата – эти и многие другие явления объясняются интерференцией света.Явление интерференции имеет самое широкое применение для измерения длины волны излучения, определения толщины пленок, плотности, показателя преломления и дисперсионных свойств веществ, для контроля качества поверхности, при просветлении оптики и т. д.

1.2. Целью работы является изучение интерференции световых волн методом колец Ньютона и определение радиуса кривизны линзы.

2. Основные понятия 2.1. Интерференцией называется явление перераспределения

световой энергии при наложении когерентных волн, в результате которого возникают максимумы и минимумы интенсивности.

Когерентными называются волны с постоянной во времени разностью фаз.

Рис. 1

61

В интерференционных схемах когерентные волны получают путем искусственного разделения светового потока, исходящего из одного источника, на две или более частей.

В данной работе монохроматический параллельный пучок света падает нормально на установку, состоящую из стеклянной плосковыпуклой линзы и плоскопараллельной пластины (рис. 1). При наложении лучей света 1' и 1'', отраженных соответственно от верхней и нижней границ тонкой воздушной прослойки, находящейся между поверхностью пластинки и соприкасающейся с ней выпуклой сферической поверхностью линзы, наблюдается интерференционная картина. Геометрическая разность хода лучей 1' и 1'' равна удвоенной толщине воздушной прослойки в месте падения лучей. Поскольку луч 1'' отражается от оптически более плотной среды, фаза отраженной волны меняется на p, что эквивалентно дополнительной разности хода лучей, равной l/2. В результате оптическая разность хода D лучей 1' и 1'' равна (см. рис. 1)

22 l

+=D d . (1)

Если оптическая разность хода интерферирующих волн D составляет нечетное число полуволн, наблюдается ослабление света (min интерференции)

21)(2 l

+=D n . (2)

Усиление света (max интерференции) происходит, если оптическая разность хода составляет целое число длин волн

ln=D , (3) где n - порядок интерференции (n = 0, 1, 2...).

Интерференционные максимумы и минимумы соответствуют определенным толщинам воздушной прослойки, образуя интерференционные полосы равной толщины, которые в данном случае имеют вид чередующихся темных (min) и светлых (max) концентрических колец - колец Ньютона.

Условие образования n-го темного кольца с учетом (1) и (2) запишется так:

2)12(

22 ll

+=+ nd. (4)

2.2. При освещении установки белым светом интерференционные кольца окрашены. Число наблюдаемых колец

62 невелико, так как происходит наложение колец разных длин волн, и они расплываются.

2.3. Вследствие деформации контакт линзы с пластиной осуществляется не в одной точке. В результате центральное (нулевое) темное пятно имеет относительно большие размеры. Так как обычно используется тонкая пластинка, то деформируется (прогибается) в основном она. Это изображено на рис.1, где 2r0 - диаметр центрального темного пятна. Приближенно считая остальную часть стеклянной пластинки недеформированной, можно рассчитать радиус кривизны линзы R, измерив радиусы нескольких темных колец.

Из рис.1 следует, что глубину деформации пластины d0 можно выразить как

2sin2cos- 0

02

0

aa RRRd == . (5)

Учитывая малость углов, имеем

2ЎЦ

2

00

aRd , (6)

00 ЎЦsin0 aa RRr = . (7) Решая совместно (6) и (7), получаем

Rrd

2

2

00 = . (8)

Толщины воздушных прослоек находим из выражения (4)

2,

2 21 21

ll ndnd nn == . (9)

Далее, аналогично (6),(7) и

(8) Rr

ddR

rdd n

nn

n 2,

2

2

0

2

02

2

1

1=+=+ .

(10)

Решая совместно (8), (9) и (10), получаем расчетную формулу для радиуса кривизны линзы

,)-(

-,

-

21

22

1

221

2

01

ll nnrr

Rn

rrR nnn == (11)

63 где r0 - радиус центрального темного пятна; rn1 и rn2 - радиусы темных колец с соответствующими номерами; l - длина волны излучения.

2.4. Эксперимент заключается в получении интерференционной картины и измерении радиусов двух темных колец. Дальнейшая обработка результатов измерений позволяет вычислить радиус кривизны линзы R и его погрешность.

3. Описание лабораторной установки 3.1. Установка состоит из микроскопа, окуляр которого снабжен

отсчетным механизмом М. На столик микроскопа помещается система линза-стекло (В-А). Под углом 45° к оси тубуса микроскопа помещена полупрозрачная пластинка С. Параллельный пучок света от источника S, пройдя через светофильтр D, попадает на пластинку С. Отразившись от нее, монохроматический пучок падает на систему (В-А). Отразившись от (В-А), лучи проходят снова пластинку С и попадают в окуляр М.

3.2. Прежде чем произвести измерения, необходимо настроить микроскоп. Для этого надо сфокусировать окуляр на отчетливое видение перекрестия. Общий вид лабораторной установки изображен на рис. 2.

Рис. 2

3.3. Работа микрометра окулярного винтового МОВ-1-15х

Микрометр окулярный винтовой МОВ-1-15х служит для измерения размеров объектов, рассматриваемых в микроскоп. В фокальной плоскости окуляра микрометра расположена неподвижная стеклянная пластина со шкалой от 0 до 8 мм, каждое деление

64 которой равно 1 мм. В этой же плоскости находится вторая подвижная стеклянная пластинка с перекрытием и индексом в виде рисок (рис. 3).

Рис.3

Эта пластинка связана с точным микрометрическим винтом так, что при вращении микрометрического винта перекрестие и риски перемещаются в поле зрения окуляра относительно неподвижной шкалы. Шаг винта равен 1 мм. Таким образом, при повороте барабана винта на один оборот риски и перекрестие в поле зрения окуляра переместятся на одно деление шкалы. Барабан винта разделен на 100 частей, следовательно, поворот барабана на одно деление соответствует перемещению перекрестия на 0,01 мм.

Полный отсчет по шкалам окулярного микрометра складывается из отсчета по неподвижной шкале и отсчета по барабану винта.

Допустим, что риски в поле зрения окуляра расположены между 6-м и 7-м делениями шкалы, а индекс барабана приходится против 45-го деления его шкалы. Тогда в поле зрения по шкале окуляра отсчитываем полные миллиметры, т.е. 6 мм. Так как цена деления барабана 0,01 мм, то отсчет по барабану будет 0,01 х 45 = 0,45 мм. Полный отсчет по шкале окуляра 6,00 + 0,45 = 6,45 мм.

4. Порядок измерений 4.1. Заполнить таблицу технических данных (табл. 1).

Таблица 1

п/п Прибор Предел измерения

Цена деления

Приборная погрешность

65

1 Микрометр-окуляр

2 Светофильтр Пропускание l ± Dl =

3 Микроскоп Увеличение h =

4.2. Измерение радиусов колец 4.2.1. С помощью винтов N-N (см. рис. 2) добиться резкого

изображения интерференционной картины. Вращать винты N-N необходимо плавно, не допуская резких движений.

4.2.2. Измерить диаметры 2-го и 4-го темных колец. Для этого вращением микрометрического винта переместить перекрестие влево, совместить его с краем 2-го или 4-го темного кольца и измерить координаты. Аналогично измеряем координаты правого края 2-го и 4-го темных колец. Результаты измерений занести в табл. 2.

4.2.3. По разности координат справа и слева вычислить диаметры D, а затем и радиусы r темных колец, учитывая, что объектив микроскопа дает увеличенное в h раз изображение интерференционной картины

h2- 12 nn

nXXr = . (12)

Результаты измерений и вычислений записать в табл. 2.

Таблица 2

n

Показания окулярного

микроскопа h2- 12 XXrn =

l2

2

2-2

4 rrR =

Слева Х1 Справа Х2 2 4

4.2.4. Рассчитайте погрешность систRD

Rrr

XR сист ÷÷ø

öççè

æ D+

D=D

ll

h )-(2

24, (13)

66 где DX - приборная погрешность окулярного микрометра. Запишите окончательный результат в виде

систRRR D±= RRсистD

=e .


1. Савельев, И.В. Курс общей физики. T.4. Волны. Оптика / И.В.Савельев.- М.: Изд-во « Астрель», 2001.

Вопросы для самоконтроля 1-Й КОМПЛЕКТ 1. Что называют интерференцией света? Каковы условия

наблюдения интерференции? 2. Какова роль воздушной прослойки между линзой и

пластиной для наблюдения интерференции? 3. Как изменится радиус колец при увеличении радиуса

линзы? 2-Й КОМПЛЕКТ 1. Напишите условия наблюдения интерференционных

максимумов. 2. Почему при наблюдении колец в отраженном свете в

центре интерференционной картины видно темное пятно? 3. Как изменятся радиусы колец, если вместо воздуха будет

среда с другим показателем преломления? 3-Й КОМПЛЕКТ 1. Что такое “потеря полуволны’’? Когда она возникает? 2. Что будет наблюдаться, если в настоящем опыте не

применять светофильтр? 3. Как изменится интерференционная картина, если ее

рассматривать в проходящем свете? 4-Й КОМПЛЕКТ 1. Напишите формулу оптической разности хода волн при

интерференции света в тонкой пленке. 2. Какова причина постепенного исчезновения колец по мере

удаления от центрального пятна? 3. Являются ли кольца Ньютона интерференционными

полосами равного наклона или равной толщины?

67

5-Й КОМПЛЕКТ 1. Что называется оптической разностью хода волн? Напишите

условие образования полос равной толщины. 2. Как находится разность хода интерферирующих волн в

отраженном свете? 3. Почему не учитывается интерференция волн, отраженных

от верхней и нижней поверхностей пластины? 6-Й КОМПЛЕКТ 1. Что называется когерентными волнами? Назовите методы

получения когерентных волн. 2. Почему интерференционная картина имеет форму колец? 3. Как изменился бы радиус Ньютоновых колец при замене

красного светофильтра синим?

Описание работы написали и составили вопросы для самоконтроля ст. преподаватели

Афанасьев Б.Л.и Никитин Б.И.


«ДИФРАКЦИЯ ФРАУНГОФЕРА НА РЕШЕТКЕ» 1. Введение 1.1. С помощью дифракционной решетки можно произвести

разложение немонохроматического (например, белого) света на спектральные составляющие. Дифракционная решетка широко применяется в различных спектрометрах, обеспечивая большую разрешающую способность по сравнению с призменными спектрометрами.

1.2. Цель данной работы - определение длин волн линий спектра излучения источника по измеренным углам дифракции и расчет дисперсии решетки.

2. Основные понятия 2.1. Дифракция представляет собой совокупность явлений,

наблюдаемых при распространении волн в резко неоднородной среде (например, вблизи границ тела, при прохождении волн сквозь отверстия), когда размеры неоднородностей L по величине сравнимы с длиной волны l, L ³ l.

В случае дифракции Френеля (сферических волн) дифракционная картина создается сходящимися лучами. При дифракции Фраунгофера (плоских волн) картина создается

68 параллельными лучами, поэтому для наблюдения на их пути помещают собирающую линзу и устанавливают экран в её фокальной плоскости.

2.2. Дифракционная решетка представляет собой строго периодическую структуру, состоящую из N одинаковых щелей шириной b в непрозрачном экране, отстоящих друг от друга на одно и то же расстояние a. Величина d = а + b называется периодом решетки (рис.1).

Рис. 1

2.3. Наблюдаемая при дифракции Фраунгофера на решетке дифракционная картина представляет собой результат суммарной многолучевой интерференции волн от вторичных когерентных источников на каждой щели и на разных щелях. Каждая щель в отдельности дает дифракционную картину, представленную на рис.2. На рис. 2 изображена зависимость интенсивности волны от синуса угла отклонения j волны от первоначального направления (угла дифракции); (рассматривается случай нормального падения).

69

Рис. 2 Согласно принципу Гюйгенса-Френеля все точки фронта

волны, совпадающего с плоскостью щели, можно рассматривать как точечные когерентные источники вторичных волн. При j = 0 эти волны приходят в точку наблюдения с одинаковой фазой и дают максимум интенсивности нулевого порядка. Минимумы интенсивности отвечают условию b×sinj = ± ml , где l - длина волны, целые числа m (порядок минимума) принимают значения 1, 2, 3,4,...

Данное условие можно интерпретировать следующим образом.

Разобьём волновой фронт на зоны Френеля, которые в данном случае имеют вид плоских полос, параллельных краю щели. При выполнении приведённого условия на ширине щели укладывается чётное число зон Френеля, волны от которых взаимно компенсируют друг друга. Условие максимумов

b×sinj ≈ ± (2m + 1)l/2 выполняется, когда на на ширине щели укладывается нечётное число зон Френеля и волна от одной зоны оказывается нескомпенсированной.

Около 90% всей интенсивности дифрагированной волны сосредоточено в пределах центрального максимума, между минимумами первого порядка.

Ввиду строго периодического расположения щелей когерентные волны, прошедшие через разные щели, будут интерферировать между собой и дадут четкую дифракционную картину. Как видно из рис.1, разность хода волн, прошедших через соседние щели,

70

D = d×sinj. (1) Следовательно, разность фаз этих волн

Dj = 2pD/l = 2p d sinj / l. (2) а) При j = 0 в центре картины (точка Р0 на рис. 1) наблюдается

главный максимум нулевого порядка. При j = 0 все волны приходят в точку наблюдения в одной фазе. Амплитуда волны А = NА0, где А0 - амплитуда волны, прошедшей через одну щель. Интенсивность волны I = N2 I0. Этот результат является следствием интерференции когерентных волн (N некогерентных источников дают интенсивность I = N I0).

б) При углах j, удовлетворяющих условию d×sinj = ± m l , (3)

разность фаз волн, прошедших через соседние щели, Dj = ± m l×2p /l = ± 2p m,

и результат интерференции такой же, как в случае а), поскольку волны приходят в точку наблюдения в одной фазе. Условие (3) определяет главные максимумы m-го порядка.

в) Между главными максимумами расположены минимумы и побочные максимумы. Условия минимумов:

dsinj = ± (m + k/N)l, (4) где k = 1, 2, 3, ..., N – 1.

Эти минимумы интерференционные и обусловлены взаимным гашением волн, прошедших через все щели. Кроме них по-прежнему наблюдаются минимумы в направлениях, когда

b sinj = ± m l, в которых каждая щель дает нулевую интенсивность.

Дифракционная картина выражена тем резче, чем больше число щелей N. Действительно, угловая ширина центрального максимума определяется условием первого минимума (4):

Nd sinj1 = ±l или 2j1 = 2 arcsinl /Nd, что в Nd/b » N раз меньше, чем при дифракции на одной щели. Распределение интенсивности при дифракции Фраунгофера на решетке представлено на рис. 3.

71

Рис.3

Как видно из формулы (3), положение всех главных

максимумов, кроме нулевого, зависит от длины волны. Поэтому главные максимумы различных длин волн будут разделены на экране; таким образом, дифракционная решетка будет производить разложение немонохроматического излучения на спектральные составляющие. Основные характеристики любого спектрального прибора - дисперсия и разрешающая сила.

Дисперсия - угловое (или линейное) расстояние между двумя

спектральными линиями, отличающимися по длине волны на единицу (например, на 1 мкм). Угловая дисперсия D = dj /dl. Продифференцируем левую и правую части уравнения (3): d×cosj dj = m dl, откуда D = m/d cosj или D @ m/d при малых углах дифракции. (5)

Линейная дисперсия D¢ = D×F, где F - фокусное расстояние линзы.

Разрешающая сила определяется минимальной разностью длин волн, при которой две линии в спектре воспринимаются раздельно. Согласно критерию Рэлея две линии в спектре воспринимаются раздельно (считаются разрешенными), если дифракционный максимум первой линии совпадает (или лежит дальше) с минимумом второй линии (рис. 4).

72

Рис. 4

При этом минимальная интенсивность составляет не более 80

% от интенсивности максимумов и видны две отдельные линии. При более близком расположении видна одна слившаяся линия. Запишем условие m-го максимума для линии с длиной волны l + Dl и ближайшего минимума для линии с длиной волны l:

d×sinj = m(l + dl), d×sinj = (m + 1/N)l.

Откуда mdl = l/N и разрешающая сила R = l/dl = mN. (6) Оригинальные дифракционные решетки создаются

нанесением алмазным резцом на полированную стеклянную пластинку непрозрачных равноотстоящих штрихов (до тысячи штрихов на 1 мм длины). В учебной лаборатории применяют так называемые реплики, т.е. желатиновые отпечатки решетки, помещенные между двумя стеклянными плоскопараллельными пластинками. Используются также решетки, сделанные фотографическим способом.

3. Описание установки 3.1. Измерение дифракционных углов производится с

помощью гониометра. Внешний вид гониометра показан на рис. 5. Здесь 1 - микрометр, регулирующий ширину входной щели коллиматора; 2 - фокусировочный винт коллиматора; 3 -

73 предметный столик; 4 - фокусировочный винт зрительной трубы; 5 - окуляр трубы; 6 - окуляр, через который производятся отсчеты по шкале лимба, находящегося внутри прибора; 7 - стопорный винт; 8 - винт, производящий тонкое перемещение зрительной трубы.

Зрительная труба укреплена на подвижном кронштейне, который можно поворачивать вокруг вертикальной оси, проходящей через центр предметного столика. Поворот трубы осуществляется от руки после освобождения стопорного винта 7. При закрепленном винте можно производить тонкое перемещение трубы с помощью винта 8.

Отсчет углов производится с помощью окуляра. При измерении используется только верхняя шкала, по которой перемещается подвижная риска (рис. 6). Цена деления шкалы 20 угловых минут.

В качестве источника света в работе используется ртутная лампа, дающая в видимой области три яркие спектральные линии - фиолетовую, зеленую и оранжевую.

Рис. 5

Рис.6

4. Техника безопасности

74

4.1. При проведении лабораторной работы следует выполнять все требования техники безопасности. Помните, что гониометр, ртутная лампа и дифракционная решетка требуют осторожного обращения.

4.2. Не задерживайте время проведения измерений. Сразу после снятия показаний ртутную лампу следует выключить.

5. Порядок измерений 5.1. Технические данные лабораторной установки внести в

табл.1. 5.2. Измерение дифракционных углов. 5.2.1. Включить ртутную лампу. 5.2.2. Произвести настройку гониометра так, чтобы щель и

визирный крест были видны четко. 5.2.3. Установить дифракционную решетку на столик

гониометра так, чтобы ее штрихи были вертикальны, а плоскость перпендикулярна оси коллиматора.

Таблица 1

Прибор Предел измерений Цена деления Приборная

погрешность

Гониометр

Постоянная решетки d = мкм

5.2.4. С помощью зрительной трубы просмотреть всю

дифракционную картину и определить центральную полосу (рис. 7).

Рис .7

При j = 0 условие (3) выполняется для всех длин волн, поэтому центральная полоса не окрашена. Выбрать цвет линии и установить зрительную трубу на линию первого порядка, слева от центральной полосы. Снять отсчет с помощью окуляра 6, и полученное значение a-1 внести в табл. 2. Зрительную трубу навести на линию первого порядка, справа от центральной полосы, и измерить a+1, также записав в табл. 2. Угол дифракции определить по формуле

75

j1 = |(a+1 – a-1)|/2. (7) Аналогичные измерения провести для спектров второго

порядка данной линии. Измерения проводятся для всех трех длин волн, наблюдаемых в спектре источника.

Таблица 2 Линия Фиолетовая Зеленая Оранжевая

m = ±1

a-1 = a+1 = j1 =

a-1 = a+1 = j1 =

a-1 = a+1 = j1 =

m = ± 2

a-2 = a+2 = j2 =

a-2 = a+2 = j2 =

a-2 = a+2 = j2 =

5.3. Определение длины волны 5.3.1. Вычислить длину волны каждой линии по формуле (3):

l = (d sinj) / m, где m - порядок спектра. Вычисление l провести по измеренным значениям углов

дифракции j1 и j2. Результаты записать в табл. 3. 5.3.2. Оценить систематическую абсолютную погрешность

определения длины волны по формуле Dl = (d cosj×Dj) / m, где Dj - приборная погрешность гониометра, выраженная в радианах (1¢ = p /(60×180) рад).

Результаты записать в табл. 3. Таблица 3

Цвет линии Фиолетовый Зелёный Оранжевый

m=1 =D

=

l

lф

=D=

llз

=D=llо

m=2 =D

=

l

lф

=D=

llз

=D=

llо

5.4. Определение угловой дисперсии решетки 5.4.1. Для двух близко расположенных линий - зеленой и

оранжевой - рассчитать угловую дисперсию по экспериментальным значениям углов дифракции, взяв их из табл. 2, и l - из табл. 3.

76

30

1310

--lljj

dldj

==D - в случае первого порядка и

30

2320

--lljj

dldj

==D - в случае второго порядка.

В расчетах dj выражать в радианах, l - в мкм. Сравнить полученные результаты с теоретическими значениями D, рассчитанными по формуле (5). Результаты записать в табл. 4.

Таблица 4

Порядок спектра Экспериментальное значение D

Теоретическое значение D

m = 1

m = 2


1.Савельев,И.В.Курсобщейфизики.T4.Волны.Оптика./ И.В.Савельев.- М.:Издво«Астрель»,2001.

Вопросы для самоконтроля 1-й КОМПЛЕКТ 1. В чем заключается явление дифракции? При каких условиях

это явление наблюдается? 2. Рассчитайте разрешающую силу используемой

дифракционной решетки для спектра первого порядка, считая, что длина решетки 5 см.

3. Постройте векторную диаграмму для расчета амплитуды волны при дифракции Фраунгофера на щели, при условии b sinj =l.

2-й КОМПЛЕКТ 1. Что такое дифракционная решетка? Напишите условие

наблюдения главных максимумов при дифракции Фраунгофера на решетке.

2. Рассчитайте разрешающую силу используемой дифракционной решетки для спектра второго порядка, считая, что длина решетки 5 см.

77

3. Постройте векторную диаграмму для расчета амплитуды волны при дифракции Фраунгофера на щели, при условии bsinj = 3l/2.

3-й КОМПЛЕКТ 1. Как изменится дифракционная картина (рис. 3) при d = 2b? 2. Чему равен максимальный порядок спектра, который можно

получить с помощью данной дифракционной решетки? 3. Постройте векторную диаграмму для расчета амплитуды

волны при дифракции Фраунгофера на решетке при условиях, определяемых формулой (4), где считать N = 4 , k = 2.

4-й КОМПЛЕКТ 1. Объясните расположение линий в наблюдаемом

дифракционном спектре. 2. Дайте определение разрешающей силы дифракционной

решетки. Как она связана с числом щелей дифракционной решетки? 3. Постройте векторную диаграмму для расчета амплитуды

волны при дифракции Фраунгофера на решетке при условиях, определяемых формулой (4), где считать N = 6 , k = 1.

5-й КОМПЛЕКТ 1. Дайте определение угловой и линейной дисперсий

дифракционной решетки. Как они связаны с периодом решетки? 2. Каково различие между дифракционным и призматическим

спектрами одного и того же источника света? 3. Постройте векторную диаграмму для расчета амплитуды

волны при дифракции Фраунгофера на щели, при условии bsinj = 2l.

6-й КОМПЛЕКТ 1. Что называют дифракцией Фраунгофера на щели? Как

изменится характер дифракционной картины при увеличении ширины щели?

2. Как связана интенсивность главных максимумов при дифракции Фраунгофера на решетке с числом щелей в решетке?

3. Постройте векторную диаграмму для расчета амплитуды волны при дифракции Фраунгофера на решетке при условии dsinj = 5l.

78 Описание работы написали и составили вопросы для самоконтороля профессор Юшина М.Я. и ст. преподаватель Гусева Е.А.

Содержание

Лабораторная работа № 2-К «ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА»……………………………………………………………….

3

Лабораторная работа № 3-КМ «ИЗУЧЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ КОНТУРЕ»…………………………………..

10

Лабораторная работа № 4-К «ИЗУЧЕНИЕ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ КОНТУРЕ»……………………………………

28

Лабораторная работа № 7-К «ИЗУЧЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ»……………………………………….

35


79 «ИССЛЕДОВАНИЕ НОРМАЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ»……. 41 Лабораторная работа № 11-К «ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ЗВУКА В ВОЗДУХЕ»………………..

49

Лабораторная работа № 12-К «ИЗУЧЕНИЕ ИНТЕРФЕРЕНЦИИ СВЕТА»……………………………

60

Лабораторная работа № 14-К «ДИФРАКЦИЯ ФРАУНГОФЕРА НА РЕШЕТКЕ»……………………..

67


Колебания и волны

80

Редактор Н.П. Лапина

Тем. план 2009 г., п. 68-71

Подписано в печать Печать офсетная Тираж 1000 экз.

25.09.2009 г. Усл. печ. л. 4,8 Заказ

Формат 60х84/16 Уч.-изд. л. 3,8 Цена 46 руб.

Ротапринт МАДИ(ГТУ). 125319, Москва, Ленинградский просп., 64

КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫlib.madi.ru/fel/fel1/fel10M058.pdfс круговой...

Documents

Transcript of КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫlib.madi.ru/fel/fel1/fel10M058.pdfс круговой...