Леонард ОйлерЛеонард Ойлер Leonhard Euler

Швейцарски математик, математик,

физик, астрономфизик, астроном, работил през по голямата част от

живота си в Германия и Русия.

Смятан за един от най-великите математици на 18 век Ойлер пръв

използва голяма част от съвременните обозначения, най-вече в областта на

анализа, сред които знаците за функция, косинус, синус, тангенс.

Леонард Ойлер е роден в Базел, Швейцария на 15 Април 1707г. Отгледан от родителите си Маргрет Брукер и Паул Ойлер (баща му, който иска Леонард да учи теология[богословие]).

Животът на Ойлер всъщност е почти 60 години творческа дейност, главно в областта на математиката. Той написва 40 книги, около 760 статии за списания и 15 труда по повод на обявени награди, изпълва със записки многобройни бележници и разпраща из Европа няколко хиляди писма.

Освен това хиляди негови страници са останали непубликувани. От статистическа гледна точка Ойлер е правел по едно откритие всяка седмица.

От друга страна, изключителната многостранност на неговите научни постижения подпомага значително развитието на всички дялове на математиката. Всички математици от следващото поколение са се учили от него.

Формула на Ойлер

Научната дейност на Ойлер е просто Научната дейност на Ойлер е просто невероятна. Написал е трийсет и два пълноценни невероятна. Написал е трийсет и два пълноценни труда, някои от които в повече от един том, и труда, някои от които в повече от един том, и много стотици оригинални статии в областта много стотици оригинални статии в областта на математиката и точните науки. Събраните на математиката и точните науки. Събраните му научни произведения обхващат повече от му научни произведения обхващат повече от седемдесет тома! Ойлеровият гений е обогатил седемдесет тома! Ойлеровият гений е обогатил почти всеки дял от чистата и приложната почти всеки дял от чистата и приложната математика, а приносът му в математическата математика, а приносът му в математическата физика намира безкрай приложения. физика намира безкрай приложения.

Ще докажем една забележителна т-ма, с чиято Ще докажем една забележителна т-ма, с чиято помощ ще получим важни метрични зависимости помощ ще получим важни метрични зависимости

в успоредник и трапецв успоредник и трапец

Във всеки четириъгълник сборът от квадратите на страните е равен на сбора на квадратите на диагоналите и учетворения квадрат на отсечката с краища средите на диагоналите, т.е

AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4.EF2

ДоказателствоДоказателство

Понеже точките E и F са среди съответно на диагоналите AC и BD, то ако O е произволна точка, ще са верни равенства OE=1/2(OA+OC) и OF =1/2(OB+OD), които ще използваме при доказателството.

За лявата страна на равенството За лявата страна на равенството имаме:имаме:

AB2+BC2+CD2+DA2

=(OA-OB)2+(OB-OC)2+(OC-OD)2+(OD-OA)2

=2.(OA2+OB2+OC2+OD2)-(OA.OB+OB.OC+OC.OD+OD.OA)

За дясната страна, като приложима За дясната страна, като приложима равенствата за равенствата за OE OE ии OF OF, получаваме:, получаваме:

AC2+BD2+4.EF2 =(OA-OC)2+(OB-OD)2+4.(OE-OF)2

=(OA-OC)2+(OB-OD)2+(OA-OB+OC-OD)2

=2.(OA2+OB2+OC2+OD2)-2.(AO.OB+OB.OC+OC.OD+OD.OA)

Следствие 1

Един четириъгълник е успоредник тогава и само тогава, когато

сборът на квадратите на страните му е равен на сбора от квадратите на диагоналите му.

Доказателството е учевидно, предвид теоремата, че един

четириъгълник е успоредник тогава и само тогава, когато диагоналите му

имат обща среда.

Следствие 2

Във всеки трапец сборът от квадратите на диагоналите е

равен на сбора от квадратите на бедрата и удвоеното произведение

на основите.

Доказателство:Доказателство:

Съгласно задача решавана в осми клас, отсечка EF е успоредна на основите AB и CD на трапеца и

EF=a-b/2. Тогава AC2+BD2+4.EF2=d1

2+d22 +

(a-b)2 и от теоремата на Ойлер лесно получаваме : d1

2+d22

=c2+d2+2.ab

ЗадачаЗадача

Даден е равнобедрен трапец с основи a=8, b=2 и бедро c=5. Да се намери:

Височината на трапеца; Косинусът на ъгъла при основата; Диагоналът на трапеца; Синосът на ъгъла м/у диагоналите;

Височината на трапеца

Понеже трапеца е равнобедрен, BH=a-b/2=8-2/2=3.

От правоъгълния т-к HBC получаваме CH2=CB2-HB2=52-32=25-9=16.Следователно

височината CH=4.

Косинусът на ъгъла при основата

От правоъгълния т-к HBC следва cos a = HB/BC = 3/5.

Диагоналът на трапеца

Прилагаме косинусовата теорема за т-к ABC

AC2=AB2+BC2-2.AB.BC.cosa,√ AC2=64+25-2.8.5.3/5=41 => AC= 41

Синосът на ъгъла между диагоналите

Прекарваме през върха C права, успоредна на диагонала DB и отбелязваме

пресечената й точка с продължението на основата AB с K

ACK = AOB= като съответни.AK=a+b=8+2=10.От косинусовата теорема за т-к ACK

намирамеAK2=AC2+CK2-2.AC.CK.cos откъдето

2 2 2 41 41 100 9

2 . 82 41

AC CK AK

AC CK

22

81 40cos 1 cos 1

41 41

cos 2 2 2 41 41 100 9

2 . 82 41

AC CK AK

AC CK

cos 2 2 2 41 41 100 9

2 . 82 41

AC CK AK

AC CK

cos

22

81 40cos 1 cos 1

41 41

2 2 2 41 41 100 9

2 . 82 41

AC CK AK

AC CK

cos

22

81 40cos 1 cos 1

41 41

2 2 2 41 41 100 9

2 . 82 41

AC CK AK

AC CK

cos

ACK = AOB= като съответни.AK=a+b=8+2=10.От косинусовата теорема за т-к ACK

намирамеAK2=AC2+CK2-2.AC.CK.cos откъдето

ACK = AOB= като съответни.AK=a+b=8+2=10.От косинусовата теорема за т-к ACK

намирамеAK2=AC2+CK2-2.AC.CK.cos откъдето

ACK = AOB= като съответни.AK=a+b=8+2=10.От косинусовата теорема за т-к ACK

намирамеAK2=AC2+CK2-2.AC.CK.cos откъдето

ACK = AOB= като съответни.AK=a+b=8+2=10.От косинусовата теорема за т-к ACK

намирамеAK2=AC2+CK2-2.AC.CK.cos откъдето

ACK = AOB= като съответни.AK=a+b=8+2=10.От косинусовата теорема за т-к ACK

намирамеAK2=AC2+CK2-2.AC.CK.cos откъдето

ACK = AOB= като съответни.AK=a+b=8+2=10.От косинусовата теорема за т-к ACK

намирамеAK2=AC2+CK2-2.AC.CK.cos откъдето

Калина Танева Петя Вангелова 2010 година СОУ”Железник” Учител по математика Марго Малинова