LA STORIA COSA SONO

APPARTENENZA E NON APPARTENENZA

RAPPRESENTAZIONE DI UN INSIEME SOTTOINSIEMI LE OPERAZIONI

LA STORIA• Il concetto di insieme è sicuramente nato con l’uomo,si pensi a un insegnante

che si rivolge agli alunni della propria classe come ad un unico soggetto .– Per una teoria organica bisogna giungere però a Georg Cantor (1845-

1918) matematico tedesco di origine russa, il quale intorno al 1870 fornì una trattazione sistematica della teoria degli insiemi e solo nel 1895 pubblicò l’opera «I CONTRIBUTI A UNA FONDAZIONE TRASFINITA DEGLI INSIEMI». In essa Cantor afferma che non ha importanza la natura degli elementi con cui si opera bensì le leggi delle operazioni a caratterizzare l’insieme risultato.

– Gli studi di Cantor diedero origine alla cosiddetta teoria ingenua degli insiemi che però non era priva di contraddizioni.

– Il primo a mettere in evidenza tali contraddizioni fu il matematico e filosofo inglese Bertrand Russel (1872-1970), con lui comincia il cosiddetto” periodo della crisi dei fondamenti “ della matematica che però fu superato grazie a studi successivi che limitavano e precisavano i criteri per comprendere un insieme.

– Agli inizi del 1900 Ernst Zermelo (1871-1953)sviluppava una nuova teoria detta assiomatica che superava le contraddizioni della teoria ingenua e che è ancora oggi attuale.

COSA SONO

• Pare che una volta CANTOR per far conoscere la propria concezione degli insiemi abbia esclamato, guardando verso l’infinito: «Io mi raffiguro un insieme come un abisso»

• DEDEKIND, invece, si raffigurava un insieme come un sacco chiuso che contenesse degli oggetti determinati, che non si potevano né vedere, né conoscere salvo il fatto che erano determinati.

• UN GRUPPO DI NAVI FORMA UNA

«FLOTTA»

• UN GRUPPO DI UCCELLI IN VOLO É CHIAMATO «STORMO»

…QUINDI UN INSIEME È UNA COLLEZIONE DI OGGETTI, CONSIDERATI NELLA LORO GLOBALITÀ

Gli oggetti, le persone, ecc. che formano un insieme si definiscono elementi. Essi devono essere riconoscibili e distinti fra loro.

Stabilisci quali delle seguenti frasi individuano un insieme

I libri di una biblioteca

I ragazzi studiosi

Gli uomini alti

I giorni della settimana

SI

SI

SI

SI

NO

NO

NO

NO

Forse non hai capito il concetto. Rivedilo e poi riprova.

APPARTENENZA E NON APPARTENENZA

Indicheremo, in generale, gli insiemi con le lettere maiuscole A, B, C….. e gli elementi con quelle minuscole: a, b, c…..

Per affermare che S è un insieme e a un suo elemento useremo i simboli e

Il primo per indicare che a appartiene a S e il secondo per indicare che non vi appartiene.

Dato l’insieme A = { 2, 3, 5, 7 } indica quali delle seguenti affermazioni sono vere o false:

• a) 2 A V F

• b) c A V F

• c) 3 A V F

• d) 4 A V F

Forse non hai capito il concetto. Rivedilo e poi riprova.

RAPPRESENTAZIONE DI UN INSIEME

TABULARE

GRAFICA

PER CARATTERISTICA

La rappresentazione tabulare consiste nell’elencare se possibile tutti gli elementi di un insieme.Per esempio l’insieme A delle lettere della parola mare è:

A = { m, a, r, e }

• La rappresentazione grafica consiste nell’indicare gli elementi di un insieme con punti interni a una linea piana chiusa e non intrecciata.Tale rappresentazione si deve al logico inglese VENN che ideò il metodo più originale, anche se altri come EULERO e LEIBNIZ avevano utilizzato questa tecnica soprattutto per la sua efficacia didattica.

.a .b

.c

La rappresentazione caratteristica consiste nello specificare un certo numero di proprietà, che servano a decidere, in modo inequivocabile, quali elementi appartengano all’insieme considerato e quali non vi appartengano.

L’insieme A = { 4, 5, 6, 7 } ha la seguente rappresentazione caratteristica:

A ={x|x N e 3 < x < 8}

SOTTOINSIEMI

Sottoinsiemi di un insieme

Dati due insiemi A e B si dice che B è sottinsieme di A se tutti gli elementi di B appartengono anche ad A. Si dice anche che B è incluso in A e si scrive : B AOppure che A include B e si scrive: A B.

A.2

.4 .6 .8

.10.12

B .14 .16

Considera gli insiemi A = {1,2, 3, 4}, B = {1,2}, C = {2,5}. Quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali false?

a. A B V F

b. B C V F

c. B = C V F

d. B A V F

Forse non hai capito il concetto. Rivedilo e poi riprova.

LE OPERAZIONI INTERSEZIONE

UNIONE

DIFFERENZA

PRODOTTO CARTESIANO

INTERSEZIONE

Dati due insiemi A e B, si dice loro intersezione l’insieme C i cui elementi appartengono sia ad A che a B. Per indicareche C è l’intersezione di A e B si scrive:

C = A B

1

3 6 8 4 5 7

A B

Può capitare che due insiemi non abbiano elementi comuni, ad esempio gli insiemi P = {a, b, c, d} e Q = { r, s, t}; in questo caso l’intersezione dei due insiemi è l’insieme vuoto e si dice che i due insiemi sono disgiunti. I due insiemi si rappresentano separatamente.

.a .b

.c .d .r .s .t

P Q

L’UNIONE

Dati due insiemi A e B, si dice loro unione l’insieme D i cui elementi appartengono ad A oppure a B. Per indicare che D è l’unione di A e B si scrive:

D = A B

A1

23

B 4 5 6

D

1

2 34

5 6

LA DIFFERENZA

Dati due insiemi A e B, si dice insieme differenza A – B l’insieme degli elementi di A che non appartengono a B. Quando B è un sottinsieme di A, allora l’insieme differenza viene anche detto insieme complementare di B rispetto ad A.

.e .f .g

.a .b

.c .dA – B = {a,c}

A B

A – B B – A

PRODOTTO CARTESIANO

COPPIE ORDINATE

PRODOTTO CARTESIANO

Coppie ordinate

Per coppia ordinata si intende un insieme di due

elementi nei quali è fissato chi deve essere il primo e

chi il secondo.

Se i due elementi della coppia sono x e y, si scrive

(x,y), se x è il primo elemento e y il secondo;

(y,x), se y è il primo elemento e x il secondo.

PRODOTTO CARTESIANO

Dati due insiemi A e B non vuoti, si chiama prodotto cartesiano

A B = {( x,y) | x A e y B }.

Si può rappresentare in vari modi,i più comuni sono: per

elencazione, i diagrammi di Venn, le tabelle a doppia entrata.

Dati gli insiemi A = {1, 2, 3} e B = {a, b}

A B = {( 1,a), (1,b), (2,a), (2,b), (3,a), (3,b)}

Dati gli insiemi A = {1, 2, 3} e B = {a, b}

1. 2 .

3..a .b

A B

.(1,a)

.(1,b).(2,a)

.(2,b)

.(3,a).(3,b)

A B

Dati gli insiemi A = {1, 2, 3} e B = {a, b}

AB

1 2 3

a

b

( 1, a )

( 2, a ) ( 3, a )

( 1, b) ( 2, b ) ( 3, b )