Поверхностные интегралы -...
Transcript of Поверхностные интегралы -...
Поверхностные интегралы
Поверхностные интегралы первого рода
Вычисление поверхностного интеграла первого рода
• Пусть функция определена и непрерывна
на гладкой поверхности , которая задана уравнением
• тогда поверхностный интеграл
первого рода можно определить с помощью двойного интеграла
по формуле
• Если - угол между нормалью к поверхности и осью , то
формула вычисления может быть записана в виде
w f(x,y,z)
S
xyz z(x,y),(x,y) D .
2 2
x y
S
f (x,y,z)d f (x,y,z(x,y)) 1 (z ) (z ) dxdy.
Dxy
Oz
S
dxdyf (x, y, z)d f (x, y, z(x, y)) .
cosDxy
• Симметричные формулы справедливы в случае
задания поверхности уравнениями S
,( , ), ( , )yz
x x y z y z D
dzdyf (x, y, z)d f (x(y, z), y, z) .
cosDS yz
S
dxdzf (x,y,z)d f (x,y(x,z),z) .
cosDxz
( , ), ( , ) .xz
y y x z x z D
Площадь поверхности
• Площадь гладкой поверхности определяется
формулой
S
S
(S) d .
Пример
• Вычислить , где - часть
поверхности вырезанная цилиндрической
поверхностью .
S
zd S
z xy,
2 2x y 4
Поверхностные интегралы второго рода
7
Ориентация поверхности
• Гладкую поверхность будем называть
ориентированной поверхностью, если для любой точки ,
лежащей на этой поверхности и любой замкнутой непрерывной
кривой проходящей через точку , нормаль,
выпущенная из точки при движении по кривой
не изменит своего направления в точке .
• Такая поверхность называется также двусторонней
поверхностью
S
M,
ML S
L
ML
n
M
S
M
8
Неориентированные поверхности
• Если существует кривая на поверхности, при движении по которой, нормаль, возвращаясь в исходную точку, меняет своё направление, то такая поверхность называется неориентированной или односторонней.
• На такой поверхности нормаль - разрывная функция, а на ориентированной –непрерывная.
Бутылка Клейна
n(M)
9
Определение поверхностного интеграла второго рода
• Пусть - ориентированная поверхность, и
- нормаль, задающая выбранную ориентацию.
На поверхности заданы функции
• Поверхностным интегралом второго рода
по ориентированной поверхности будем называть
интеграл вида
S
n (cos ,cos ,cos )
P(M), Q(M), R(M), M(x,y,z) S
S
S
S
P(x,y, z)dydz Q(x,y, z)dxdz R(x,y, z)dxdy
S
(P(M)cos Q(M)cos R(M)cos )d .
10
Замечания.
• Обозначение поверхностного интеграла второго рода связано с
проекцией меры поверхности на координатные плоскости
• На на
• Если ввести векторную функцию
и векторную меру на ориентированной
поверхности , то поверхностный интеграл второго рода
можно записать в векторном виде
dxOy dxdy,
a(M) (P(M), Q(M), R(M)) , M(x,y,z) S,
S
d n(M)d
S S
a d a nd
xOz dxdz, yOz dydz.
11
Изменение ориентации поверхности
• Обозначим через ориентируемую поверхность ,
ориентация которой определяется нормальным вектором
а через - поверхность,ориентированная нормальным
вектором направленным противоположно. Справедливы
формулы
• Таким образом, при изменении ориентации поверхности
интеграл второго рода меняет знак.
S S
n,
S
n,
S SS S
a d a ( n)d a nd a d
12
Вычисление поверхностного интеграла второго рода
• Пусть гладкая поверхность задана уравнением
и ориентация задана нормальным вектором,
образующим острый угол с осью ,
например, вектором
• Тогда справедлива формула, выражающая поверхностный
интеграл второго рода через двойной интеграл
Sz f(x,y),(x,y) D
x y
2 2
x y
( f , f ,1)Nn .
N f f 1)
xyS D
R(x,y,z)dxdy R(x,y,f (x,y))dxdy
Nz
xyD
S
x
y
Oz
N gradF, F z f(x,y).
13
Вычисление поверхностного интеграла второго рода
общего вида
• Поверхностный интеграл второго рода общего вида, заданный в
векторном виде, можно вычислить по формуле
где - нормаль, задающая
ориентацию поверхности .
xyS D
dxdya d a(x, y, f (x, y)) n
cos
n (cos ,cos ,cos )
xyS : z f (x,y), (x,y) D .
14
Аналогично
• если
• если
yzS D
dydzad a(y,z,g(y,z)) n ,
cos
yzS : x g(y,z), (y,z) D .
xzS D
dxdzad a(x,z,h(x,z)) n ,
cos
xzS : x h(x,z), (x,z) D .
15
Примеры
• Пример 1. Вычислить интеграл , где -
нижняя часть поверхности
• Пример 2. Вычислить интеграл , где - замкнутая
поверхность, состоящая из поверхности
и плоскостей
Нормаль - внешняя к замкнутой поверхности, образуемой
заданными поверхностями. Вектор-функция имеет
вид
S
dxdy S
2 2 2z x y , 0 z 1.
S
adS
2 2
cS : x z 9,
1 2P : y 0, P : y 1
a y j xzk.
a(x,y,z)
16
Примеры
• Пример 3. Вычислить интеграл где
а - цилиндрическая поверхность из примера 2:
• Пример 4. Вычислить интеграл где
часть плоскости отсекаемая
координатными плоскостями
с нормалью, направленной к началу координат.
S
ad ,
S 1,x y z
a y i zk,
S
ad , a x i zk,
S
2 2
cS : x z 9, 0 y 1
17
Интеграл от радиус-вектора
• В приложениях часто требуется вычислить интеграл
где векторная функция, которая
называется радиус – вектором.
• Задача. Вычислить интеграл по внешней поверхности
конуса, ограниченного конической поверхностью
и плоскостью
,r dS
r xi yj zk
2 2 2:S x y zk
.: , 0o
S z H H
18
Решение
• Так как - единичная нормаль, то где
проекция вектора на вектор . Поэтому
• На конической поверхности
• На основании - Отсюда
n ,n
r n r
r nn
r
.n
r d r dS S
.n
Hr
2 3( )
n n
k
o
o
n
o
H
r drr dS
H H S H H
dSS
dS
rH
0.n
r
r
n
n
H
19
Домашнее задание
• 1. Вычислить интеграл , где
- замкнутая поверхность, состоящая из
поверхности
и плоскостей
• 2. Вычислить интеграл , где
- замкнутая поверхность, состоящая из плоскости
и координатных плоскостей с
внешней нормалью к замкнутой поверхности.
.: 0, : 51 2
P z P z
S
ad
2 2: 1,S x yc S
2 ,y z a j k
S
ad 2 ,za k
S
2 2 1x y z
20
Домашнее задание
• 3. Вычислить интеграл
• a) по внешней поверхности сферы
• в) по внешней поверхности цилиндра
,r dS
2.2 2 2: RS x y z
, 0 .2 2 2 z Hx y R
21
Физическое истолкование поверхностного интеграла
2-го рода Теорема Гаусса- Остроградского
22
Векторное поле
• Если на задана векторная функция
где функции, определённые
на , то функция называется
векторным полем.
G
G
( ) ( ) ( ) ( ) , , F M P M i Q M j R M k M G
( ), ( ), ( ) P M Q M R M( )F M
23
Поток векторного поля
• Потоком векторного поля через
ориентированную поверхность называется
поверхностный интеграл второго рода
• Физически поток векторного поля можно
истолковать как количество жидкости, протекающей в
единицу времени , через поверхность в направлении
заданной нормали, где поле скоростей
S
S S
v d v nd .
( )Mv
S( )Mv
( )Mv
24
Поток =
• Объём жидкости через
nv t
n
S S S
v d v nd vd
S
d
v
n nd пр v t d v t d
25
Дивергенция векторного поля
• Дивергенцией векторного поля
• называется скалярная величина равная
( ) ( ) ( ) ( ) , ,a M P M i Q M j R M k M
.P Q R
divax y z
26
Теорема Гаусса - Остроградского
• Если в пространственной области координаты
векторного поля непрерывны вместе со
своими производными
то для любой замкнутой кусочно-гладкой поверхности
справедлива формула
где - область, ограниченная поверхностью
( ), ( ), ( ), ,P M Q M R M M
( ), ,a M M
, , ,P Q R
x y z
S
S G
ad diva dxdydz,
G .S
27
Физическое истолкование дивергенции
• Если дивергенция векторного поля положительна
то поток жидкости, вытекающий из , по формуле
Гаусса – Остроградского также положителен. В этом
случае внутри имеется источник. Отрицательная
дивергенция означает наличие стока.
• Применяя к тройному интегралу теорему о среднем и
стягивая в точку, получаем определение дивергенции,
не зависящее от выбора координат
( ) 0, ,diva M M G
G
G
G
S
d(G) 0
ad
diva(M) lim .V(G)
28
Пример
• Вычислить поток радиус – вектора замкнутую
поверхность (нормаль внешняя)
; 0; .2 2 2: z z HS x y R
29
Домашнее задание
• 5. Вычислить поток векторного поля
через замкнутую поверхность (нормаль внешняя)
.e 2 2 1y x x y z
a i j k
: 2 2, 0, 0, 0.S x y z x y z