ローレンツ型 IIB 行列模型に基づく 初期宇宙の研究
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ローレンツ型 IIB 行列模型に基づく初期宇宙の研究
東工大セミナー2013 年 2 月 8 日 ( 金 )
西村 淳 (KEK,総研大)
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目次1. はじめに2. これまでの研究と問題点3. ローレンツ型の行列模型4. 宇宙誕生の様子と「インフレーション」5. 十分時間が経った後の発展6. プランクスケールの有効理論の導出に向けて7. まとめと展望
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collaborators
•土屋麻人 (静岡大)•Sang-Woo Kim (大阪大)•Konstantinos Anagnostopoulos (アテネ工科大)
•伊藤祐太 (総研大)•小井塚裕己 (総研大)
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1 . はじめに
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1. はじめに
場の理論における非摂動的定式化の重要性
e.g.) QCDにおけるクォーク閉じ込め
格子ゲージ理論( Wilson, 1974 年)
面積則
強結合展開、モンテカルロ・シミュレーション
摂動論では、絶対に説明できない性質
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超弦理論においても、同様ではないか?
1980 年代以来、無数の「真空」が存在する、と考えられてきた。
「ランドスケープ」という見かた(開き直り?)
我々の宇宙は、無数に実現しうる宇宙の一つにすぎない
超弦理論を非摂動的に定式化したら、真空がユニークに決まっている可能性もあるのでは。
時空の次元ゲージ対称性物質場(世代数)
様々なものが「真空」として存在
そのような「真空」を具体的に構築し、その性質を解明することが、超弦理論の目標になってしまった。
しかし、
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タイプ IIB 行列模型(石橋 , 川合 , 北澤 , 土屋 1996 年)
Het SO(32)
Het E8 x E8
M
IIA
IIB I
10 次元タイプ IIB 超弦理論に基づく、超弦理論の非摂動的定式化
摂動論との対応、という観点では、 10 次元タイプ IIB 超弦理論との等価性が見やすい定式化になっている。
worldsheet action, light-cone string field Hamiltonian, etc.
非臨界弦の非摂動的定式化として確立している、“one-matrix model” のアイディアを自然に拡張。
「超弦理論の双対性」という観点から →超弦理論そのものの非摂動的な定式化と予想される。
行列模型のファインマン図を、弦の世界面と見なす。
(タイプ IIB行列模型の摂動論的真空として、他のタイプの超弦理論も表わせるだろう。)
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タイプ IIB 行列模型 SO(9,1) 対称性
添え字の上げ下げには、ローレンツ計量 を用いる。
エルミート行列
ウィック回転ユークリッド型の行列模型 SO(10) 対称性
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2 . これまでの研究と問題点
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対角的配位の周りの摂動論、ブランチ・ポリマー描像 Aoki-Iso-Kawai-Kitazawa-Tada(1999)
フェルミオン行列式(パフィアン)の複素位相の効果 J.N.-Vernizzi (2000)
モンテカルロ・シミュレーション Ambjorn-Anagnostopoulos-Bietenholz-Hotta-J.N.(2000) Anagnostopoulos-J.N.(2002)
ガウス展開法 J.N.-Sugino (2002) 、 Kawai-Kawamoto-Kuroki-Matsuo-Shinohara(2002)
ファジー Imai-Kitazawa-Takayama-Tomino(2003)
これまでの研究:ユークリッド化した行列模型の力学的性質
SO(9,1) ローレンツ対称性ではなく、 SO(10)回転対称性を持った模型
4次元時空の力学的生成?
( SO(10)回転対称性の自発的破れ)
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ガウス展開法に基づく最新の結果J.N.-Okubo-Sugino, JHEP1110(2011)135, arXiv:1108.1293
d=3 のときに自由エネルギーが最小 時空は、すべての方向に有限の広がりを持つ
ユークリッド化したタイプ IIB行列模型の興味深い力学的性質。しかし、物理的な意味は不明。
広がっている方向
縮んでいる方向
SO(10) SO(3)SSB
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そもそもユークリッド化したのが問題では? 場の理論では、相関関数の解析接続として、完全に正当化可能。 (だからこそ格子ゲージ理論が使える。)
一方、重力を含む理論では、ユークリッド化した理論との対応は微妙。 (古典解レベルでは良いだろうが。)
ランダム単体分割に基づく量子重力の研究 ( Ambjornら 2005) (ユークリッド型重力での失敗、ローレンツ型重力での成果)
宇宙項問題に対する、 Colemanのワームホール・シナリオ (ユークリッド型重力での問題点と、ローレンツ型重力に おける新しい解釈) 岡田、川合 (2011)
宇宙誕生の様子など、実時間のダイナミクスに対して、 ユークリッド化した理論は無力。
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3 . ローレンツ型の行列模型
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ローレンツ型タイプ IIB 行列模型のモンテカルロ・シミュレーション
Kim-J.N.-Tsuchiya PRL 108 (2012) 011601 [arXiv:1108.1540]
まず、分配関数をどう定義するか?
弦の世界面に対する理論との対応から、こう取るのが自然。
( 世界面の座標もウィック回転しないといけない。 )
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ローレンツ型タイプ IIB 行列模型の問題15年近く、誰も手をつけなかったのには、わけがあった。
逆符号! 極めて不安定な系。
ユークリッド化しちゃえば、
正定値!flat direction( )は、量子効果で持ち上がる。 Aoki-Iso-Kawai-Kitazawa-Tada (’99)
Krauth-Nicolai-Staudacher (’98), Austing-Wheater (’01)
ユークリッド化した模型は、カットオフなしに、 well defined
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正則化とラージN極限ユークリッド型の模型と異なり、そのままでは well definedでない。
時間方向と空間方向を、いったん有限にしておく。 (カットオフを導入)
これらのカットオフは、ラージNの極限で外せることがわかった。 (極めて非自明な力学的性質)
SO(9,1)対称性と超対称性は、カットオフにより陽に破れる。 この explicit breakingの効果も、ラージN極限で消えると予想。(要検証)
以下では一般性を失うことなく、 とおく。
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4 . 宇宙誕生の様子と 「インフレーション」
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「時間発展」という概念の出現
平均値
時刻tにおける状態 を表す
時刻tにおける状態 を表す
バンド対角的構造
小さい
小さい
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「時間」の出現 超対称性が重要な役割
に対する有効作用
の寄与
の寄与
van der Monde行列式の寄与
合わせると
を1ループで計算
超対称性がある模型では、ゼロ!
ボゾニックな模型では、固有値間に引力あり。超対称な模型では、固有値間の引力が相殺。
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空間の広がりの時間発展
の対称性あり。
の領域のみ表示
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SO(9)回転対称性の自発的破れ
“critical time”
SSB
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初期宇宙の指数膨張 Ito,Kim,J.N.,Tsuchiya, work in progress
異なる κ と N の結果がスケールしている
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「インフレーション」の終わり方
最後は直線的に振る舞っている。
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予想されるシナリオ
輻射優勢
インフレーション
E-folding の値はダイナミカルに決まる
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5 . 十分時間が経った後の発展
S.-W. Kim, J. Nishimura and A.Tsuchiya, Phys. Rev. D86, 027901 (2012) [arXiv:1110.4803]S.-W. Kim, J. Nishimura and A.Tsuchiya, JHEP 1210 (2012) 147 [arXiv:1208.0711]
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その後の時間発展を追うことにより、期待されること 現段階のシミュレーションで見えているのは、 宇宙誕生の様子と「インフレーション」
その後の時間発展を追うことによって初めて、 我々の良く知っている宇宙の様子が見えてくるはず!
bottom-up的に考えたら、もっとも難しく思われること が先にわかってしまう、 top-down的なアプローチならではの状況。
インフレーションは終わるのか? (ビッグバンは起こるのか?) CMBとの比較による検証。 可換な時空の描像がどのようにして現れるか? その上にどのような massless場が現れるか? 現在の宇宙の加速膨張( dark energy)、宇宙項問題に対する理解 宇宙の終焉に対する予言 (ビッグ・クランチか、永久膨張か、など)
「インフラトン」を用いた現象論的記述ではなく、 超弦理論に基づく第一原理的な記述
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相補的なアプローチとしての古典近似
時間的に後の方になると、宇宙膨張が進むので、actionの各項への寄与が大きくなり、古典近似が良くなると考えられる。
そこまでを数値シミュレーションで計算できれば、後はスムーズにつながるような古典解をユニークに選び出せればよい。
注)古典解は無数にある。 (3+1)次元膨張宇宙に対応し、宇宙項問題を自然に解決する簡単な解もある。 解の周りのゆらぎから、プランクスケールの有効理論を導くことができる。
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General prescription
変分関数
運動方程式
交換関係
運動方程式と Jacobi 恒等式
リー代数
ユニタリ表現 古典解
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Ansatz
可換な空間
余剰次元が小さい
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Simplification
リー代数
例
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d=1 case
SO(9) 回転
直和をとる
が単位 S3 上に分布
(3+1) 次元時空~ R×S3
d=1 解を分類した 以下、物理的に興味深い解を紹介
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SL(2,R) solution
SL(2,R) 解
SL(2,R) 代数の 上の実現
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Space-time structure in SL(2,R) solution primary unitary series representation
3 重対角
3K×3K diagonal block時間-空間 の非可換性は連続極限で消える
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Cosmological implication of SL(2,R) solution 空間の拡がり
Hubble 定数と w パラメータ
輻射優勢
物質優勢
宇宙項
連続極限
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Cosmological implication of SL(2,R) solution (cont’d)
t0 を現在の時刻に同定
現在の加速膨張
宇宙項定数 ~ 宇宙項問題解決
宇宙項は未来に消える
この部分が行列模型におけるLate-time behavior を与えていると考える。
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6 . プランクスケールの有効理論の導出に向けて
J. Nishimura and A.T., arXiv:1208.4910, to appear in PTEP
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なる に対して は小さい
可換な時空と局所場
は に比べて小さい
は対角に近い
(9+1) 次元内の時空点
モンテカルロシミュレーションの結果
massive なモードと考えられる
massless なモードは、局所場と同定できる。
十分時間が経った後に、可換な時空が現れるとする (古典解としては実現できている)
c.f.) arXiv:1208.4910 では、 Poincare 対称性の SSB に伴うNG mode とその拡張を例として考えた。
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ゲージ対称性
も古典解
cf.) Iso-Kawai (’99)
古典解 があったとき、
その周りでゆらぎを考えると、自然に local な SU(k) 対称性が現れる。
c.f.) D-brane を k 枚重ねておいたときに、その上の有効理論として、 SU(k) ゲージ理論が出てくるのと同じ仕組み。
但し、 SU(3)×SU(2)×U(1) のようなゲージ群も可能。(GUTとなる必然性はない。)
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は の適当な線形結合
大統一理論の例
3 2 1 1 1
: vector-like partners
: bi-fundamental rep. of
hypercharge can be assigned consistently
minimum
c.f.) H.Aoki PTP 125 (2011) 521 Chatzistavrakidis-Steinacker-Zoupanos JHEP 09 (2011) 115
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明らかにすべき有効理論の性質 古典解が与えられたら、その周りのゆらぎから、局所場の理論の 詳細を読み取れる。
カイラル・フェルミオンが現れるような古典解はあるか?
超対称性は残るか? ( 古典解が与えられたら、答えられる ) 残るとしたら、階層性問題はOK. 残らないとしたら、スカラー場はすべて輻射補正で GUT スケールの質量を獲得 SM Higgs は複合粒子と考えるしかない。
c.f.) H.Aoki PTP 125 (2011) 521 Chatzistavrakidis-Steinacker-Zoupanos JHEP 09 (2011) 115
解における余剰次元の構造が重要
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7 . まとめと展望
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まとめタイプ IIB行列模型 ( 1996年)
タイプ IIB弦理論をベースとした超弦理論の非摂動的定式化提唱から 15年。ユークリッド化した模型の問題点がようやく明らかに。ローレンツ型の模型。不安定な系に見えるため、これまで手つかず。数値シミュレーションにより、驚くべき性質が明らかになりつつある。
カットオフを導入してから、ラージNをとることにより、 well-definedな理論が定義できる。(1つのスケールパラメタの他には、一切パラメタを含まない。)
「時間発展」という概念が出現 を対角化したときに、 がバンド対角的構造になる。
の固有値分布が無限に広がるためには、超対称性が重要。
ある時刻を境に、空間の SO(9)対称性が自発的に破れ、 3 次元方向だけが膨張。宇宙誕生の様子を表している、と解釈可能。
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時空の次元がユニークに決まったことの意義超弦理論の非摂動的真空がユニークであることを強く示唆。時間発展をさらに追うことにより、可換な時空および、その上を伝搬する massless場が現れると考えられる。
どういうものが出うるか、ということに強い制限がつく。低エネルギーで標準模型がユニークに導ける可能性あり。
これは事実上、超弦理論を実証することに他ならない。
できるだけ長い時間発展を追い、支配的になる古典的配位を特定できれば十分。
これとは独立に、古典解とその周りの揺らぎの解析は重要。
カイラル・フェルミオンが現れるか?SUSYを保つか保たないか? 余剰次元の構造がカギ。
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今後の展望 指数関数的膨張が起きている。 その後どうなっていくのか? (古典解を見る限り、どこかで終わると考えられる。 それが見えるまで、数値シミュレーションで調べられるか。) 輻射優勢の膨張則への移行が、ビッグバンを表しているのか? 「高温」は、A0の固有値のゆらぎが大きくなることに対応? 可換な時空(古典解)への転移は同時に起こる? CMBと比較すべき、密度揺らぎをどう測定するか?
プランクスケールの有効理論を 古典解及びその周りのゆらぎから読み取れるか? 低エネルギーで標準模型が現れるか?
インフレーションの機構、宇宙項問題、階層性問題、ダーク・マター、ダーク・エネルギー、バリオン生成など、素粒子理論、宇宙論における、あらゆる問題が統一的に理解されていくはず。