vol.４

2017 年７月発行

きょうの

数学

「 の拡張」

「きょうの数字 4」

洛北算額 ７月の問題

先月の解答・解説

数学の小宇宙「鶴亀算（その２）」

パズル＆ゲーム「石取りゲーム–nim-」

京都数学グランプリにチャレンジ！

nCrの拡張

嵯峨野高等学校 数学科 長瀬 睦裕

　校内で次のような問題について，アイデアを募集しました．

問題� �組合せの計算に用いる

nCr

n = 1, 2, 3, · · · (自然数),

r = 0, 1, 2, · · · ≤ n

について，nを負の整数や，有理数，さらに実数に

拡張できる定義を考えてみよう．� �　この問題に寄せられたアイデアを紹介します．

具体例の計算では，

−3C2 =(−3)(−4)

2!= 6 (1)

−2C3 =(−2)(−3)(−4)

3!= −4 (2)

また，

−3C2 =(−3)(−2)

2!= 3 (3)

−2C3 =(−2)(−1) · 0

3!= 0 (4)

のように，意見の分かれるところでした．分子の積について，

(1)(2) のように 1 ずつ減らしていくか，(3)(4) のように 1 に

向かって 1 ずつ増やしていくかでアイデアが分かれました．

(1)(2)の方を考えた人が多かったです．その方法だと，−nCr は

−nCr :=(−n)(−n− 1)(−n− 2) · · · (−n− r + 1)

r!(5)

(n = 1, 2, 3, · · · , r = 1, 2, 3 · · · )

と定義することになります．

　

　数学 IIで二項定理を学習します．それは

(1 + x)n =n C0 +n C1x+ · · ·+nCrxr

+ · · ·+n Cnxn (6)

です．このことから推測すると，

(1 + x)−n = c0 + c1x+ c2x2 + · · ·+ crx

r + · · · (7)

と表わすことができたとき，この係数を用いて，

−nCr = cr

と定めると，うまくいくような気がしませんか．

そこで，次の問題です．

問題 2� �式 (7) の右辺の xr の係数 cr を求める方法を発見してみま

しょう．アイデアを募集します．� �　最後に，次のようなアイデアで定義した人がいました．

f(x) = x f(x− 1) (x ∈ R, x ̸= 0) (8)

f(0) = f(−1)

を満たす関数 f(x)を定め，

−nCr :=f(n)

r! f(n− r)(r ∈ N)

というものでした．−n を実数まで拡張できるすばらしいアイ

デアだと思います．さらに，式 (8) f(x) = x f(x− 1)を満たす

ような f(x)の定義に挑戦してほしいです．

きょうの数字：「４」 今月の「きょうの数学」は第４号ということで、４についての話をしたいと思います。

４は合成数です。合成数とは「２つ以上の素数の積で表される自然数」のことで、具体的には

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21,…

となります。つまり「４は最小の合成数」ということができます1。 また、４には様々な定理があります。 「四色定理」という定理は、どのような地図も四色で塗り分けることができる2という定理です。

どのような白地図（左）も、四色で塗り分けることが可能（右）

この定理はシンプルながら証明が難しく、100 年以上未解決でした。1976 年にコンピュータによる証

明が成されましたが、とても⾧いので「エレガントな証明」の対義語として「エレファントな証明」と呼ばれています。

「ラグランジュの四平方定理」は、すべての自然数は四つ以下の平方数の和で表せるという定理です。

平方数とは、ある整数の２乗で書ける数のことです。

2017 9 44 3017 1 10 54 4017 4 4 4 63

証明は、高校範囲をわずかに超えます。わずかですので、腕に自信があればぜひ挑戦してください。 というわけで、４が特別な数だということがわかりました。４を見かける機会があったら、ぜひ周りの

人に教えてあげてくださいね。 1 １は、合成数でしょうか？これは残念ながら違います。１は２つ以上の素数の積では書けません。 2 地球がドーナツ型だった場合は、七色必要。地球が「二人乗りの浮き輪」型だった場合には、九色必要。

解答は rakuhoku-ssh@kyoto-be.ne.jp まで送ってください。洛北高校生以外の解答も受け付けています。

洛北算額 今月の問題 2017.7

例のように、「自分と同じ文字数の数式で表せる数」のことを自己表現数と呼ぶことにします。

また、この数式を自己表現式と呼ぶことにします。

(1) 5 から 10 までの整数は自己表現数です。それぞれの自己表現式を書いてください。

(2) 2017 は自己表現数です。2017 の自己表現式を書いてください。

(3) 4 以上の整数はすべて自己表現数です。これを証明してください。

（に たす に） 4 文字

（に かける ご ひく いち） 9 文字

（ごじゅうに わる に の に じょう） 13 文字

６月の問題

解説

先月と似たタイプの問題を出題しました。(3)までは普通の「場合の数（数学 A）」の問題です。 (1) 千の位、百の位、十の位、一の位それぞれのダイヤルを最大回数回せば良いので、「7562」 (2) それぞれのダイヤルを回した回数を「(2,1,1,1)」のように記録することにします。 この場合は千の位を２回，百の位を１回，十の位を１回，一の位を１回回したということです。

先月の解答・解説

図は、４ケタのナンバー錠です。いま数字は「2017」に合っています。 ダイヤルを１回まわすと「3017」や「2917」などの数字に合わせることができます。

「4017」や「3117」にするには、ダイヤルを２回まわすことが必要です。

(1) 2017 から出発してダイヤルを合わせるとき、 ダイヤルをまわす必要数が最も多い 4 ケタの数字はなんですか。

(2) ダイヤルをまわす必要数が２回である数字はいくつありますか。

(3) (チャレンジ問題）

ダイヤルをまわす必要数が 10 回である数字はいくつありますか。

(4) (チャレンジ問題） 隣り合うダイヤルを回すときは、まとめて１回と数えることにします。

さて、合計で 2 回回したということは

① (2,0,0,0)型 (2,0,0,0),(0,2,0,0),(0,0,2,0),(0,0,0,2)の４パターン ② (1,1,0,0)型 (1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1),(0,1,0,1),(0,1,1,0),(0,0,1,1)の６パターン のいずれかです。 さらにそれぞれの桁について＋の方向と−の方向があるので、 ①は２倍、②は 4 倍しなければなりません。 したがって求める数は２×４＋６×４＝３２（個）となります。

(3) ここからかなり難しくなります。

10 回まわすダイヤルをどの桁に振り分けるかを考えていくと、たとえば(5,3,2,0)のようにわけることが考えられます。ここで「(5,3,2,0)型」には２４個のパターンが存在します。これは数学 A で学習する内容を用いてもわかりますし、地道に数えても OK です。 さらにそれぞれの桁について−方向と＋方向を考えます。このとき５回まわす桁と０回まわす桁は＋や−

を考えなくても良いので、4 倍すればよいことがわかりました。以上から(5,3,2,0)型の数字は２４×４で９６個あることがわかりました。 同じ事を他の型についても行うと、次の表のようになります。

これらをすべて足し合わせると、1286（個）になります。

(4) 各自いろいろな方法で考えていたようです。 ＋方向と−方向が隣のダイヤルで食い違っているほうが回す回数が多く、これを実現するにはどの数字が一番良いかを探します。詳しい議論は省きますが、正解は「6833」または「8291」で、回数は 12 回です。

型 パターン数 −と＋ 合計数 型 パターン数 −と＋ 合計数 ① (3,3,3,1)型 4 パターン 16 倍 64 ⑦ (3,3,4,0)型 12 パターン 8 倍 96 ② (2,2,2,4)型 4 パターン 16 倍 64 ⑧ (2,2,5,1)型 12 パターン 8 倍 96 ③ (5,5,0,0)型 6 パターン 1 倍 6 ⑨ (1,1,5,3)型 12 パターン 8 倍 96 ④ (4,4,1,1)型 6 パターン 16 倍 96 ⑩ (5,4,1,0)型 24 パターン 4 倍 96 ⑤ (3,3,2,2)型 6 パターン 16 倍 96 ⑪ (5,3,2,0)型 24 パターン 4 倍 96 ⑥ (4,4,2,0)型 12 パターン 8 倍 96 ⑫ (4,3,2,1)型 24 パターン 16 倍 384

鶴亀算（その２）

京 都 学 園 高 等 学 校

非常勤講師 中 井 保 行

鶴亀算のルーツは、中国にあります。それでは、中国算術の古典をひもときましょう。

漢が滅んで随が建つ間の五胡十六国時代、西暦では 400 年頃の中国で「孫子算経」が著わされました。ここには、鶴亀算が掲載されています。

雉兎算（孫子算経より）

「今、雉と兎と同籠に有り。上に三十五頭有り、下に九十四足有り。雉と兎とおのおの幾ばくか

を問う。答へて曰はく、雉二十三、兎一十二なり。」

わかりやすくは、「雉と兎が同じ籠の中に入っています。上には頭が 35 あり、下には足が 94 あります。雉、兎はそれぞれ何匹いますか？」となります。

同じく、算学啓蒙（朱世傑 1299 年）でも、同じく雉兎算です。わかりやすくは、「雉と兎の合計は 100匹、足の数の合計は 272本であるとき、雉、兎はそれぞれ何匹いますか？」となります。

雉兎算（算学啓蒙より）

吉田光由がお手本にしたとされる算法統宗では、「雉と兎が同じ籠の中に入っています。上に

は頭が 35あり、下には足が 94あります。雉、兎はそれぞれ何匹いますか？」となり、問題の設定は前述の孫子算経と同じです。

雉兎算（算法統宗より）

ただし、算法統宗には狐狸鵬鳥算も載っています。

今有狐狸一頭九尾 （いま狐狸あり。頭が１つで、尾が９つ。）

鵬鳥一尾九頭 （鵬鳥は、尾が１つで、頭が９つ。）

只云前有七十二頭 （前を見ると、頭が 72ある。）後有八十八尾 （後ろには、尾が 88ある。）問二禽獣各若干 （二つの禽獣はそれぞれ何頭いるか。）

答曰狐狸九筒鵬鳥七隻 （答えて曰く、狐狸は九筒で鵬鳥は七隻であると。）

狐狸鵬鳥算なども散見されるものの、この頃までの中国ではおよそ「雉兎算」だったことが分

ります。その後、1500 年以上たった我が国では、雉と兎が、いつの間にかめでたい「鶴と亀」におきかわったわけです。算術の問題にも、国の文化の色合いがにじみます。興味深いことです。

ここで、ふと気付いたことがあります。それは、十二支との関連です。たとえば、鬼は鬼門の

象徴で、丑（ウシ）の角を持ち、寅（トラ）の皮を身にまといます。また、桃太郎の話では、桃

太郎の家来として、申（サル）、酉（トリ＝キジ）、戌（イヌ）が活躍します。これは、鬼門の

鬼に対抗して、裏鬼門に位置する十二支の動物の申（サル）、酉（トリ＝キジ）、戌（イヌ）を

率いたと考えられるでしょう。そのような観点に立ちますと、雉兎算の雉と兎は、西と東の対角

にあり、さしずめ西の横綱と東の横綱の感があります。これもまた興味深いことです。

鬼の場合 桃太郎の場合 雉兎算の場合

石取りゲーム                   パズル＆ゲーム山      山      山

個      個      個 ルール  人で交互に石を取っていく。  回で個以上最大何個でも取れるが，同時に取れるのは同じ山の石のみとする。  最後の石を取った方が勝ち。

実はこのゲームは先手必勝です。ある方法で石を取っていくと先手が必ず勝てるのです。その方法は・・・・・・次のページへ。

必ず勝つための石の取り方とは・・・ 「各山の石の数を進数で表し，桁ごとにの個数を数えると，                      すべての桁での個数が偶数個」…になるように石を取るというものです。                              山                             山最初の各山の石の数は進数で表すと      山  桁ごとのの個数は高い方の位から順に個，個，個です。   個個個先手はいずれかの山から石を個取ることでの状態にできます。後手はどのように石を取ったとしてもの状態にはできません。石はつの山からしか取れないので，桁ごとのの個数は個までしか減らせないからです。以下同様に，先手はの状態にすることができ，の状態にされると後手はの状態にできません。石がない個，個，個の状態はなので，先手は必ず勝つことができます。

　京都数学グランプリは，数学が本来持っている自由な発想を大切にし，想像力･直感力･思考力･判断力を高め，

「数学の美しさ」「数学のおもしろさ」を肌で感じてもらえる機会になればと，平成 年度から実施されている

数学にチャレンジする取組です。今年度は， 月 日（日）に実施されます。（詳細は で確認してください。）

　今回は ステージ「京都･大阪数学コンテスト」の過去問の中から，空間図形の問題を 題紹介します。

１ 【平成 年度　大問 】

　図 のような 辺の長さが の立方体 ‐ と，図 のような 辺の長さが の正方形

を底面とする高さが の正四角錐 ‐ がある。この つの立体を重ねたら図 のようになった。

　このとき， つの立体の共通部分の体積を求めなさい。ただし，線分 上に 点 ， があり，

線分 上に 点 ， があるものとする。

　　　

図 図 図 （投影図）

２ 【平成 年度　大問 】

　図 の展開図を組み立てると，図 の立体ができた。この立体の体積を求めなさい。ただし，すべ

ての面は 辺の長さが の正方形か正三角形のどちらかであるとする。

　　　　　　　　　 　　 図 　　　　　　　　　　　　　　　　　 図

解答は次のページ

京都数学グランプリにチャレンジ

１ 【平成 年度　大問 】

　求める立体は図 の立面図に網掛けで示した部分である。問題の条件から図 のようにそれぞれ長さが求められるの

で，求める体積を とすると

　　 ＝（ 辺の長さが の正方形を底面とする高さが の正四角柱の体積）

　　　　＋（ 辺の長さが の正方形を底面とする高さが の正四角錐の体積）

　　　　－（ 辺の長さが の正方形を底面とする高さが の正四角錐の体積）

図図

　　　＝

　　　＝ 　……

２ 【平成 年度　大問 】

図 図

図 図

　図 のように，立方体の つの頂点と，その頂点

を含む つの辺の中点をすべて結んでできる三角錐

を考える。

　この三角錐を元の立方体から切り取る操作を，各

頂点に対して合計 回行うことで，図 のように問

題の立体を得ることができる。

　問題の立体は 辺の長さが であるから，元の立

方体の 辺の長さを とすればよい。このとき，

元の立方体の体積は である。

　切りとった三角錐は，底面が底辺 ，高さ の直角三角形で，高さが であるから，三角錐の体積は

　　　

　よって求める体積は，

　　　 　………　

図

　問題の立体は，図 のように つの直方体と

つの四角錐に分割することができる。

　これら つの四角錐は合同であるから，その

うちの つについて，図 のように頂点を ，

底面の各頂点を ， ， ， とする。さらに，　　　　　　　　　　　　　　　

頂点 から底面 に垂線を下ろし，その

垂線と底面の交点を ，頂点 から辺 に

垂線を下ろし，その垂線と辺の交点を とする。

　△ は辺 を斜辺とする直角二等辺三

角形であるから，

　　　 ，

　また， であるから，

　　　

図　よってこの四角錐の体積は

　　　

　さらに直方体は，底面が 辺の長さが の正方形であり，高さは であるので，その体積は

　　　

　以上から求める体積は

　　　 　………　

編集部のひとりごと「完全数」

前人未踏の 29 連勝を成し遂げた将棋の藤井聡太四段。28 連勝の記録を破られた神谷

広志八段は「28 という完全数は一番好きな数字ですので、それが１位でなくなること

は個人的に少々寂しい」とコメントをした。完全数は、「自分自身以外の正の約数の和

と等しい」数のことで、28の次に小さい完全数は 496 である。将棋界の皆さんにはぜひ

496 連勝を目指していただきたい。

～イベントの案内～

「平成 29 年度 第１回 京都ふれあい数学セミナー」

8 月 7 日（月）14:00～17:00 ＠ 京都府立嵯峨野高等学校

内容：素数大富豪で遊ぼう！

詳細は嵯峨野高校（担当森田）075-871-0723 までお問い合わせください。

-編集後記-

「きょうの数学」第４号です。意見・感想・寄稿など、「きょうの数学」編集部

（kyomath31415@gmail.com）までお送りください。たくさん集まったら「読者の

ページ」をつくりたいと考えています。

バックナンバーを「京都府高等学校数学研究会」の HP にアップしました。ご覧

ください。→ http://www2.hamajima.co.jp/kyoto-math/

【表紙の写真】

ブレーズ・パスカル Blaise Pascal（wikipedia より）

17 世紀のフランスの哲学者、数学者、物理学者。様々な分野で才能を発揮し、

パスカルの三角形、パスカルの原理、パスカルの定理などを発見した。遺稿集『パ

ンセ』には、「人間は考える葦である」などの名言や確率の期待値の考え方で神

の実在について論じた「パスカルの賭け」など、後世に影響を与える記述を多く

残した。