, [email protected] SBrT.pdf · É como se, "de repente", no meio de uma seqüência de fotos 3 4 de...
Transcript of , [email protected] SBrT.pdf · É como se, "de repente", no meio de uma seqüência de fotos 3 4 de...
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
1
Hélio Magalhães de Oliveira, [email protected]
Departamento de Eletrônica e Sistemas
Universidade Federal d
e Pernambuco
Cidade Universitária -- Recife – PE.
URL: http://www2.ee.ufpe.br/codec/deOliveira.html
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
2
Wavelets:
Uma Evolução na Representação de Sinais
• A análise espectral constitui uma das ferramentas clássicas
mais poderosas.
• Uma teoria m
ais potente e geral foi introduzida nos anos 80:
A Transform
ada de W
avelet
• Ela inclui:
Série de Fourier, a Transform
ada de Fourier, a
Transform
ada de Gabor de Tempo Curto, Espectrogramas...
• Wavelets constituem hoje uma das ferramentas potentes em
PDS.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
3
A ond
a. M
anuel B
andeira, in
: Estrela da Tarde.
A O
ND
A
a o
nda a
nda
aonde anda
a o
nda?
a o
nda a
inda
ain
da o
nda
ain
da a
nda
a
onde?
aonde?
a o
nda a
onda.
Em Boa Viagem, boa onda a todos os visitantes do Recife.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
4
ORIGEM- Escola Francesa
(Morlet, Grossmann, Meyer, Battle, Lemarié, Cohen, Mallat,
Coifm
an, Rioul, etc.)
... Pacotes de ondas acústicas sísmicas.
Em 1909, a primeira m
enção: tese de doutorado de A
lfred
Haar, análise escalonada.
As Wavelets de H
aar, embora de suporte compacto não são
continuamente diferenciáveis.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
5
Década de 80, Alex Grossmann (Université de M
arseille) e Jean P.
Morlet (Elf Acquitaine) introduziram o conceito de wavelets.
Morlet recebeu: prêmio Reginald Fessenden Award 1997.
P
rix Chreau-Lavet 2001.
Jean Morlet (1931-2003) (ecce ho
mo!)
(© crédito de foto da Association Marius LAVET, cortesia).
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
6
Em 1985, Stéphane M
allat (França) estabeleceu a ligação
desta teoria com o processamento digital de sinais.
Yves M
eyer (França) construiu uma das primeiras Wavelets
não triviais, continuamente diferenciáveis.
Ingrid Daubechies (Bélgica) construiu o m
ais usado conjunto
de wavelets ortogonais de suporte compacto (tempo-limitada).
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
7
Gama de aplicações:
• geologia sísmica
• visão computacional e humana
• radar e sonar
• computação gráfica
• predição de terremotos e maremotos
• turbulência
• distinção celular (norm
ais vs patológicas)
• modelos para trato auditivo
• compressão de im
agens
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
8
• descontaminação de sinais (denoising)
• detecção de rupturas e bordas
• análise de tons musicais
• neurofisiologia
• detecção de curtos eventos patológicos
• análise de sinais médicos
• espalhamento em banda larga
• modelagem de sistemas lineares
• óptica e microscopia
• modelagem geométrica
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
9
• caracterização de sinais acústicos
• reconhecimento de alvos
• transitório e falhas em linhas de potência
• Metalurgia (rugosidade de superfícies)
• visualização volumétrica
• Telecomunicações
• previsão em mercados financeiros
• Estatística
• solução de equações diferenciais ordinárias&
parciais
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
10
Jean-Baptiste-Joseph Fourier 1822:
"La T
héo
rie Analy
tique de la
Chale
ur"
Jean Fourier (1768-1830).
<<Fou
rier descobriu que as on
das seno
idais constituem
os elem
entos
irredu
tíveis de vibrações e on
das periód
icas – verdadeiros átomos das
flutuações e do flux
o.>>
Os sinais passaram a ser analisado
s no
dom
ínio de Fou
rier, i.e., no
domínio da freqüência.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
11
Por
que
wave
lets? Em que esta ferram
enta pode ser mais potente
que a análise espectral clássica de Fourier?
De
onde
surg
iram
as
wave
lets?
Análise Espectral P/ Sinais Não-Estacionários
Os
sinais devem ser tratados
não no domínio t ou
domínio f, mas
em ambos
(espaço conjunto tempo-
freqüência)!
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
12
Conceito de estacionaridade
Uma das deficiências da análise de F
ourier é que ela não
apresenta um caráter local.
Todo o sinal, desde o começo dos tempos (-∞) até o fim
dos
tempos (+∞) é levado em consideração.
A transform
ada de Fourier representa um "comportamento
global m
édio" do sinal.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
13
Figura Ilustração de um trecho
de um
sinal (po
ssivelmente) estacion
ário,
Figura. Ilustração de um
trecho
de um
possível sinal não estacionário.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
14
O sinal estacionário apresenta um comportamento "m
ais ou
menos" semelhante em qualquer trecho analisado...
Primeiro passo na direção das wavelets: a introdução de um
caráter local.
Sinal "fatiado" em trechos, e em cada trecho, a contribuição
espectral fosse analisada, resultando em um espectro local.
seqü
ência de "fotos" do espectro:
... F
(w,t -
1),
F(w, t
0),
F(w,t 1), F
(w,t 2) .... evo
luindo
tempo
ralm
ente.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
15
Sinais
práticos
"bem
comportados"
com
relação
à
estacionaridade: sinais periódicos.
Não é à toa que a análise clássica de Fourier
é
freqüentemente restrita a esta classe de sinais.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
16
FOTOS:
Os
não-estacionários
trazem
variações
substanciais
e
significativas
de padrão e comportamento,
dependendo do
instante de tempo considerado.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
17
É como se, "de repente", no m
eio de uma seqüência de fotos 3×4
de fotos
humanas
semelhantes, surgisse uma foto de algum
animal completamente diferente (e.g., girafa).
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
18
Diferentes níveis de "estacionaridade":
� Seqüência de fotos sempre de uma mesma pessoa em diferentes tempo
s;
� Seqüência de fotos de pessoas diferentes em
tem
pos diferentes, po
rém de
uma mesma raça (origem
);
� Seqüência de fotos de pessoas diferentes em
tem
pos diferentes, po
rém de
origens diferentes;
� Seqüência de fotos de diferentes anim
ais em
tem
pos diferentes (levand
o em
conta algu
m aspecto da classificação de Lineu);
� Seqüência d
e fotos arbitrárias diferentes em tem
pos diferentes, incluind
o ob
jetos, paisagens etc.
Quand
o o espectro de Fou
rier passa a não ter sentido? A respo
sta não é fechada.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
19
A Transform
ada de Gabor
Embora capaz
de determ
inar
o conteúdo de freqüências
presentes
em um sinal,
não há noção de quando (em que
intervalo de tempo) elas ocorrem.
Transform
ada de Fourier de Tempo Curto (STFT–Short Tim
e Fourier
Transform
) também conhecida como a Transform
ada de Gabor.
A idéia da STFT: introduzir parâmetro local como se a "Transform
ada
de Fourier Local" observasse o sinal através de uma curta "janela" na
qual o sinal perm
anece aproximadamente estacionário.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
20
A transform
ada local observa f(t) "através" de uma janela W
(t) centrada
no instante de tempo τ e de extensão "lim
itada", antes do cálculo do
espectro.
Form
almente,
dt
τ) e
(tt)W
f(STFT(w
jwt
*−
+∞ ∞−−
=∫
:),τ
. Representação bidimensional
F(w,τ,) do sinal f(t), composta por
características espectrais dependentes do tempo.
Janela: a mais comum é janela Gaussiana.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
21
Figura. A
nálise com
Transform
ada de Fou
rier clássica e em
tempo
curto.
As próximas perguntas:
� Por que a STFT não é suficiente?
� O que seria mais apropriado, além de uma transform
ada
local (wavelets também são locais)?
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
22
A Guisa de uma Análise de Wavelets
A análise visualizada como um banco de filtros. R
esolução no tempo
deveria aumentar com o aumento da freqüência central dos filtros, ou
∆f/f=cte (ou fator Q constante).
Figura. A
nálise Espectral com
banco de Filtros: (a) STFT e (b) W
T.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
23
O comportamento das respostas ao im
pulso dos filtros de análise,
oscilatório (rápido) e amortecido, gerando "ondinhas".
Figura. Exemplo de uma ondinha: ondelette de Morlet (M
atlab).
As wavelets podem ser interpretadas como as transform
adas
lineares
locais geradas
por um banco de filtros
de fator de
qualidade constante.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
24
domínios tempo
e freqü
ência (f × t)
domínios escala e deslocamento (a × b).
Interpretação: "m
apas".
Uma m
udança de escala pode perm
itir, numa escala m
aior,
ter uma visão m
ais global, mas com m
enor precisão. Já em uma
escala menor, vê-se detalhes, mas
perde-se em estudar o
comportamento global.
1: 15.000.000 idéia do Brasil como um todo
1: 3.500.000, analisar Pernambuco, perdendo-se a noção do
Brasil como um todo.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
25
Quem já usou mapas sabe qu
e depend
e fund
amentalm
ente do qu
e se quer
investigar! A análise via w
avelets perm
ite, por assim
dizer, visualizar
tanto a floresta quanto às árvores.
Na Transform
ada C
ontínua de W
avelet CWT, todas as respo
stas
ao impu
lso no
banco
de
filtro
s são versões (exp
andidas ou
com
prim
idas)
da m
esma ψ(t), chamada de w
ave
let básica.
Assim
,
ta
bt
tf
ab
a)d
()
(1
:),
CWT(
*
∫∞+ ∞−
−=
ψ.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
26
É claro que ao focalizar nu
m nível m
ais detalhado, perde-se a no
ção do
tod
o.
Esse
é exatam
ente o
mecanismo
comum
nas análises (geografia física ou
humana, m
apas, telescópios, m
icroscóp
ios etc.)
Ver-se-á que a análise m
oderna de sinais, com base em decomposição
de wavelets, perm
ite esta abordagem de modo natural.
Uma das “fraqu
ezas” da análise de Fou
rier vem
do fato de ela não explorar a
noção de resolução e m
ultiescala. A análise de wavelets veio exatamente sup
rir
essa lacuna...
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
27
Introdução a Transformada Contínua de Wavelet
A Transform
ada
de Wavelet foi desenv
olvida como
uma
alternativa à STFT para solucion
ar o p
roble
ma d
a res
olu
ção.
Fixada a janela para a STFT, a resolução no tempo
(t) e na freqüência (f)
perm
anecem
con
stante em to
do o plano
t-f.
CWT:
� Alta resolução tempo
ral e baixa freqü
êncial para freqüências mais altas
� A
lta resolução freqüêncial e baixa resolução tempo
ral p
ara freqüências
mais baixas.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
28
Freqü
ência
F
reqü
ência
Tem
po Tem
po
Figura. R
esolução no plano
t-f pela análise: S
TFT e W
avelet.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
29
A Transformada de Wavelet Contínua CWT
ψ(t) wavelet-m
ãe
ψ(t) ∈ L2 (ℜ). ∫+∞ ∞−
+∞<
dt
t)(2
ψ
Operações:
a) escalon
amento
=at
at
aψ
ψ|
|1)
(,
a≠0
.
b) deslocamento
)(
)(
bt
tb
−=ψ
ψ.
c) deslocamento com
escalon
amento
=−
=)
()
(,
bt
ta
ba
ψψ
− a
bt
aψ |
|1.
)}(
{)}
({
,t
tb
aψ
ψ→
(∀a, a
≠0) (∀
b∈ℜ).
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
30
O ajuste na am
plitud
e do
sinal escalonado
foi introd
uzido
visand
o
garantir a isom
eria: tod
as as ondel
ette
s têm a m
esma energia!
Portanto, a escolha das w
avelets como send
o versões
− a
bt
aψ |
|1 garante a
mesma energia para qualquer wavelet!
Define-se
CWT(a,b):=∫+∞ ∞−
dt
tt
fb
a)
()
(,
*ψ
=< f(
t),ψ
a,b>.
Analogia com Fou
rier:
F(w)=∫+∞ ∞−
−dt
et
fjw
t)
(=< f(
t),e
jwt >.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
31
� Fourier F(w), em cada w:
Projeção de f(t) na direção das ond
as {
}ℜ
∈w
jwt
e que con
stituem uma
"base" do espaço de sinais.
Esta "base" de Fou
rier é com
posta po
r sinais oscilatórios perpétuos
- traduzindo
o fato qu
e Fou
rier está associado a um
com
portam
ento não-
local n
o tempo
, mas de - ∞
a +∞.
� Wavelets:
decompo
sição de f(t) em
sinais {
}ℜ
∈ℜ
∈+b
ab
at
,
*)
(ψ
que con
stitui um
novo
con
junto de análise do espaço de sinais.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
32
Esta
nova "base" é
compo
sta
por sinais oscilatórios de curta
duração - e não sinais ab æ
tern
o.
A com
binação de oscilatório (daí o term
o onda) e de curta duração
(inha) gera o termo
ondin
has, o
ndale
tas, o
ndel
ette
s no
original, ou
de forma já con
sagrada, w
ave
lets.
Um critério para definir wavelets:
• Oscilatória (ond
a=wave), ou
melho
r, qu
e seu
valor médio no
do
mínio tempo
ral é nulo. ∫+∞ ∞−
=0
)(
dt
tψ
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
33
• Condição de adm
issibilidade,
Dado o par transformada de Fou
rier:
)(
)(
ωψ
Ψ↔
t,
+∞<
Ψ=∫∞+ ∞−
ζζζ
ψd
C|
|
|)(
|:
2
=>
0)
(
0
lim
=Ψ
→ζ
ζ.
0)0(=
Ψ => ∫+∞ ∞−
=0
)(
dt
tψ
. Caráter passa-faixa das wavelets:
0)0(=
Ψ (pela adm
issibilidade)
0)
(=
±∞Ψ
(po
is ψ
é de energia finita).
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
34
Dado ε >0
arbitrário, ∃ α, β
∈ ℜ
, 0 < α < β < +∞ tal q
ue
|Ψ(w)| < ε p
ara |w| <
α e |w
| > β.
Existe um
a band
a passa-faixa na qual Ψ
é essencialmente não nula.
Figura. C
ompo
rtam
ento de
)(w
Ψ tipo
passa-faixa.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
35
Uma wavelet
)(
,t
ba
ψ é definida po
r um
mapeamento afim unitário. Esta
Wavelets são versões transladadas (
b) e dilatadas/comprim
idas (
a) de
uma mesma on
da protótipo
, chamada wavelet-m
ãe ψ(t).
Figura. A
Wavelet-m
ãe S
ymm
let 8
em diferentes escalas e localizações.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
36
Uma Transform
ada inversa de W
avelet pod
e ser ob
tida via
2)
(1
),
(1
)(
a
dadb
a
bt
ab
aCW
TC
tf
∫∫
∞+ ∞−
∞+ ∞−
−
=ψ
ψ.
A
Transform
ada
Inversa
(CWT-1)
e
a
Condição
de
Admissibilidade
Sejam
f(t)∈ L2 (ℜ) e
ψa,b(t) ∈ L2 (ℜ-{0}
× ℜ). Sob
qu
e cond
ições é
possível "pegar um
a on
da"? (catch the wave...)
Escolher um
a wavelet protótipo
tal q
ue
ψ(t) ↔
Ψ(w) e
+∞<
Ψ=∫∞+ ∞−
ζζζ
ψd
||
|)(
|C
2
.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
37
Fórmula de in
versão sob
con
dições m
enos restritivas.
Definição (W
ave
lets diá
dic
as). Uma
wavelet ψ(t)
∈ L2 (ℜ), ψ(t)
↔Ψ(w), é d
ita ser um
a wavelet d
iádica se e somente se satisfaz a
cond
ição de estabilidade, i.e., ∃ A,B ∈
ℜ 0<A≤B
<+∞
tais que
∑ ∈
−≤
Ψ≤
Zm
mB
wA
|)
2(|
.
Estas w
avelets não
obedecem
à con
dição
de adm
issibilidade (po
rém
obedecem
as cond
ições de estabilidade, m
enos restringentes) e não são
wavelets ortogo
nais.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
38
Exemplos: Um m
ar de W
avelets
Nom
e da fam
ília de Wavelets
'haar'
Haar wavelet.
'db'
Daubechies wavelets.
'sym
'
Sym
lets.
'coif' Coiflets.
'bior' Biortho
gonal w
avelets.
'rbio'
Reverse biortho
gonal w
avelets.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
39
'meyr' Meyer wavelet.
'dmey' D
iscrete approx
imation of M
eyer wavelet.
'gaus' Gaussian wavelets.
'mexh' M
exican hat wavelet.
'morl' M
orlet w
avelet.
'Mal'
Malvar wavelets.
'shan' Shann
on wavelets.
'deO
' de Oliveira wavelets.
'legd
' Legendre wavelets.
'mth'
Mathieu wavelets.
'cheb'
Chebyshev wavelts.
'beta'
Beta wavelets.
'geg'
Gegenbaur wavelets.
'hart'
Hartley-like wavelets.
'fbsp' Frequ
ency B-Spline wavelets.
'cmor' C
omplex M
orlet w
avelets.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
40
Wavelet de Haar
Por sim
plicidade, con
sidera-se um
sinal con
stante por partes. B
ases de
sinais con
stantes po
r partes (e.g. Haar) pod
em ser m
ais adequadas.
contrário
caso
1t
0
0t
1-
02121
:)()
(≤
<≤
<
−
=t
Hψ
.
Estas são versões do tipo
"wavelet digital".
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
41
Figura. A
s Wavelets de Haar (oito wavelets).
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
42
Wavelet Sombrero
Assum
indo
um
a ρ(
t) Gaussiana, segu
e-se qu
e )
('')
(t
tρ
ψ−
= é
a wavelet som
brero (chapéu mexicano), p
or razões ób
vias.
3
)1(2
)(
4/
1
2/
2)
(
2
πψ
tM
hat
et
t−
−=
.
Figura. W
avelet Som
brero. M
atlab
.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
43
Wavelet complexa de Morlet
Morlet p
ropô
s um
a das prim
eiras wavelet na análise de sinais.
Em sua
investigação de sinais geofísicos (exp
loração
de petróleo),
empregou
a wavelet com
plexa:
tjw
tM
or
ee
t0
22
/4
/1
)(
1)
(−
−=π
ψ.
Figura. W
avelet com
plexa de M
orlet. (parte real e parte im
aginária).
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
44
Wavelet de Shannon
A análise
correspo
ndente aos
filtros
passa-faixa
ideais define um
a
decompo
sição usando
wavelets conh
ecidas com
o wavelets de Shann
on.
Espectro da W
avelet real:
∏∏
++
−
=Ψ
ππππ
2/3
2/3
)(
ww
w.
Tom
ando
a transformada inversa:
=23
cos
2)
()(
tt
Sa
tSha
ππ
ψ.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
45
No caso da wavelet com
plexa, pod
e-se usar
tj
CSha
et
Sin
ct
πψ
2)
()
()
(−
=.
(a) (b)
Figura. (a) W
avelet de Shann
on. (b) A wavelet com
plexa de Shann
on.
Sup
orte in
finito: ∃ /M tal q
ue |ψ
(t)|=
0 ∀|t|>M).
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
46
Wavelet de Meyer
A wavelet de Meyer é definida no
dom
ínio freqü
encial com
o:
≤≤
−
≤≤
−
=Ψ
contrário.
caso
0
/3
8|
w|/3
4
14
||
3
2cos
21
/34
|w|
/32
1
2
||
3
2sen
21
)(
2/
2/
ππ
πυ
ππ
ππ
πυ
ππ
jw
jw
ew
ew
w
.
Figura. W
avelet de Meyer: (a) fun
ção de escala (b) wavelet. M
atlab®
.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
47
Wavelets de Daubechies
Detentora dos prêmios: IEEE Info
. Theo
ry S
oc. Jubilee
Med
al,
Ste
ele-
Prize
fro
m A
m.
Math
. Soc.,
National
Aca
dem
y of
Sci
ence
M
edal,
Basic
Rea
searc
h Award
from
Eduard
-Rhei
n
Foundation.
As 1a
s wavelets ortogo
nais o
btidas, (M
eyer, Battle-Lem
arié), n
ão
apresentam
sup
orte com
pacto.
Haar
são
ortogo
nais e
de supo
rte
compacto, po
rém não
são
diferenciáveis.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
48
Um dos m
aiores desafios da teoria de w
avelets foi a construção de um
a família de wavelets ortogo
nais de supo
rte compacto.
Figura. W
avelets db
N de Daubechies (N=2,3,4, ...): A
s Daublets
Matlab
.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
49
Figura. V
ersões de um
a db
2. Estas formas de on
da são ortog
onais (!).
• dB
2 é conh
ecida com “barbatana de tu
barão”
( cuidado
se vo
cê se banh
a nas praias do Recife!)
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
50
Wavelet Sym
mlets e W
avelet Coiflets
Coiflets
e Sym
mlets são
wavelets
mais
simétricas
as qu
ais
foram
projetadas para garantir m
omentos nu
los tanto na fun
ção de escala
)(tφ
quanto na wavelet-m
ãe
)(t
ψ.
(Fun
ção de escala?) (mom
entos nu
los?)
Elas foram criadas D
aubechies sob demanda de R. Coifm
an em 198
9.
São também wavelets de sup
orte com
pacto.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
51
Figura. Coiflets e Sym
mlets (coifn e sym
n);
n é núm
ero de m
omentos nu
los.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
52
Wavelet de "de Oliveira"
• Fam
ília de wavelets
ortogo
nais complexas: não
são
de supo
rte
compacto.
Possuem
espectro típico passa-faixa
ideal (plano
), com regiões
de
"rolam
ento" assimétricas, m
antend
o a filosofia da análise a Q-con
stante.
Basta escolher
)w
(Φ
(raiz de cosseno elevado).
()
πα
πα
πα
πα
πα
απ
π
)1(
||
)1(
||
)1(
)1(
||
0
0
)1(
||
41cos
2121
)(
+>
+<
≤−
−<
≤
−−
=Φ
w
w
w
ww
.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
53
Mostra-se que:
{}t
tt
tt
Sa
tdeO
)1(
sen
.4
)1(
cos
)4(
1
1.
4 .21
])
1[(
).1.(
21)
(2
)(
απ
αα
πα
παπ
πα
απ
φ−
++
−+
−−
=
42
02
40.10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
alpha=
0.1
alpha=
0.2
alpha=
0.3
0.435
0.087
−φt0.1
,(
)
φt0.2
,(
)
φt1 3,
55
−t
Figura. F
unção escala de "d
e O
live
ira". (esbo
ço para α=0,1, 0
,2 e 0,3).
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
54
Figura. M
ódulo da W
avelet de "d
e O
live
ira"
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
55
Figura. W
avelet
)(
)(
tdeO
ψ: P
arte real e parte im
aginária.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
56
Wavelets com ritmo: as W
avelets de Malvar
Um sinal de variações não estacion
árias deve ser examinado em
janelas de
tempo
curto, tal como acon
tece na transformada janelada de Fou
rier ou em
wavelets.
O sinal, cuja dinâm
ica é revelado
ra, po
de ser segmentado
de um
mod
o não
uniforme no
tempo
.
Esta técnica constitui o
principio
de M
alvar (Henrique Malvar, U
nB). Y.
Meyer redescob
riu
e generalizou-a através de w
avelets com env
elop
e qu
e
começa
por
um “ataqu
e”, segu
e em
form
a de “platô”
e term
ina
num
“decrescendo
” e cunh
ou o term
o wavelets de M
alvar.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
57
Wavelets Discretas
A CWT essencialmente mapeia um sinal unidimensional (no
tempo) em uma representação bidimensional (tempo, escala) que
é altamente redundante.
Nas palavras de Y
ves Meyer: Uma transformada contínua é ciceron
iana,
onde tu
do é dito e redito aprox
imadam
ente dez vezes.
As
wavelets agora não são transladadas
nem escalonadas
continuamente, mas sim em intervalos discretos.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
58
−=
⇒
=
m
m
o
mb
aa
anb
t
a
ta
b
at
0
0
0
nm,
,
1)
(
-t1
)(
ψψ
ψψ
em que m e n são inteiros, a
0 >1 é um parâmetro de dilatação fixo,
b0 é o fator de translação fixo e b depende agora do fator de
dilatação.
A Transform
ada Discreta de W
avelets:
As Séries W
avelet de tempo contínuo (CTWS)
Form
as discretas são atraentes do ponto de vista:
i) im
plementação e ii) computacional.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
59
A discretização da W
T
1) ocorre apenas no domínio dos parâmetros (variáveis de
escala e translação),
2) não na variável independente do sinal a ser analisado
(tempo ou espaço).
Retículado 2D no plano escala-translação:
A grade é in
dexada por dois inteiros m e n:
m => p
ass
os na esc
ala
discr
eta
n => p
ass
os das translaçõ
es d
iscr
etas.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
60
Fixam
-se do
is valores dos passos, a
0 e b0.
Escala discreta (logarítm
ica):
a=a0m
m=1,2,3,...
Translações discretas:
b=nb0a
0m n=1,2,3,... dado
m.
Diferentemente da CWT(a,b), as CTWS(m
,n) são definidas apenas para
valores po
sitivo
s de escala (a
0>0), p
orém
esta restrição não é severa.
Assim
, a DWT con
siste em
um m
apeamento do tipo
CTWS: L
2 (ℜ) →
l2(Ζ
+ -{0} × Ζ)
f(
t) a
CTWS(m
,n)
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
61
Enu
nciado
de ou
tra form
a: sinais contínuo
s de energia finita são
mapeado
s em
uma grade bidimension
al de coeficientes de wavelet.
Interessante observar qu
e a DWT é m
ais análog
a a um
a representação em
série de Fou
rier ao invés de uma DFT:
• Série ∑+∞ −∞=n
tjn
w
ne
F0
representação de tem
po con
tínu
o, com
coeficientes
discretos
• DFT ∑− =
1 0
2
)(
N k
Nnk
j
ek
f
π
representação
em tempo
discreto, com espectro
discreto.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
62
Reticulado: A
escolha da grade.
Os coeficientes da CWTS correspon
dem a pon
tos nu
m retículo no
domínio escala-translação.
O reticulado un
iforme no
plano
escala-deslocam
ento é exp
resso po
r:
{}
Zn
mb
anb
ma
∈=
∆,
00
,)
,(
00
. Já o reticulado definido
pelas w
avelets no
plano
escala deslocam
ento é o
reticulado
hiperbó
lico
{}
Zn
m
mm
ba
bna
a∈
=∆
,0
00
,)
,(
00
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
63
Caso diádico: a
0=2 e b0=1 e
{}
Zn
m
mm
n∈
=∆
,1,2
)2
,2(
. m (escala)
n (deslocam
ento)
Figura. Resolução de transform
adas wavelets:
plano translação-escala.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
64
A Transform
ada Discreta de W
avelets:
Séries W
avelets de Tempo Discreto (DTWS)
Além da discretização do plano escala-translação, a variável
independente do sinal pode também ser discretizada.
Neste caso, define-se:
∑+∞
−∞=
−=
=k
m
m
ma
anb
kk
fa
nm
DTW
Sb
aW
T0
00
0
)(
1:)
,(
),
(ψ
.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
65
Assim, as DTWS consiste em um mapeamento do tipo
DTWS: l
2 (Ζ) → l2 (
Ζ+ -{
0} × Ζ)
f(
k) a
DTWS(m
,n).
A DTWS é m
ais análoga a uma representação DFT que em série
de Fourier.
Wavelets diádicas:
()
∑+∞ −∞=
−−
−=
k
mm
nk
kf
nm
DTW
S2
)(
2)
,(
2/ψ
.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
66
Em resumo:
CWT(a,b)=
∫∞+ ∞−
−−
dt
a
bt
tf
a)
(*
)(
2/1
ψ
()
∫+∞ ∞−
−−
−=
dt
nt
tf
nm
CTW
Sm
m2
)(
2)
,(
2/ψ
()
∑+∞ −∞=
−−
−=
k
mm
nk
kf
nm
DTW
S2
)(
2)
,(
2/ψ
.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
67
A Análise de Multirresolução de Mallat
A Função de Escala
A fun
ção de escala (LPF), denotada aqui por
)(tφ
, foi introd
uzida po
r
Mallat em
198
9.
O princípio
fund
amental
é analisar o
sinal
através
de um
a
combinação de uma função de escala
)(tφ
e wavelets
)(t
ψ.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
68
• 19
90 “IE
EE B
est paper” Processam
ento Digital de Sinais
• 19
97
“Outsta
ndin
g
Ach
ieve
men
t Award”
da
SPIE
Optical
Eng
ineering
Society
• 19
93 “Alfre
d S
loan fel
lowsh
ip” em
Matem
ática
• 20
02 4o concurso nacion
al de ajud
a a
criação
de em
presas de
tecnolog
ias inov
adoras na França.
• 20
04 Prêmio ISI-CNRS:
pesquisado
r Francês mais
citado
em
Ciências, Eng
enharia e Inform
ática no
s últimos 20 anos.
• 20
07 Prêmio Blaise Pascal em M
atem
ática (academia de ciências)
• 20
07 Prêmio EADS (ciência da in
form
ação).
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
69
Análise de Multirresolução Ortonorm
al
Métod
o de construção de wavelets ortogo
nais, (M
allat e
Meyer): a
análise de m
ultirresolução.
Este métod
o perm
ite construir a maioria das wavelets ortogo
nais.
Notação:
U m
mA
clos
denota a un
ião do
s conjun
tos A
m , incluindo
tod
os
os pon
tos limites em L
2 (ℜ).
( ∀m∈Z), cria-se um sub
espaço fechado
Vm ⊂
L2 (ℜ) form
ado po
r sinais
aproximados na escala 2
m.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
70
Definição (AMR).
Uma análise de m
ultirresolução em L
2 (ℜ) consiste num
a seqü
ência de
subespaços fechados V
m ⊂ L2 (ℜ), m ∈Z, satisfazendo
as segu
intes
relações:
(AMR1)
Vm ⊂ V
m-1 (∀m).
(AMR2)
f(t) ∈ V
m ⊂ L2 (ℜ) ⇔
f(2t) ∈ V
m-1.
(AMR3)
=∈U
Zm
mV
clos
L2 (ℜ).
(AMR4)
IZ
m
mV
∈
=}0{.
(AMR5) ∃
)(tφ
∈ V
0 tal q
ue {
}Z
nn
t∈
−)
(φé um
a base orton
ormal para V
0.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
71
Equação Básica de Dilatação (refinamento)
Con
siderand
o como espaço de referência V
0 ⊂ V
-1, qu
alqu
er sinal nele
contido po
de ser decom
posto em
term
os das fun
ções de um
a base de V-1.
Em particular, isto deve ser válido
para a função de escala
)(tφ
∈ V
0.
Sub
espaço
Base
V0
{
}Z
nn
t∈
−)
(φ
V-1
{
} Znn
t∈
−)
2(2φ
.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
72
Assim
, existe um
a seqü
ência {h
n} tal q
ue
∑ ∈
−=
Zn
nn
th
t)
2(2
)(
φφ
com
+∞
<∑ ∈
Zn
nh2 |
|.
Esta é a principal equ
ação da AMR.
Ela tem
solução única, de forma qu
e os coeficientes {h
n} po
dem ser
usados para determ
inar univo
camente a fun
ção de escala
)(tφ.
Os coeficientes {
hn}
são
cham
ados d
e "coeficientes do
filtro
passa-
baixa", o
u coeficientes do filtro de escala.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
73
Análise de multirresolução de Haar aplicada à im
agem "Lena" (M
atlab)
Em 1988, Lena concedeu entrevistas para Revistas Suecas em Computação e
teve o prazer de descobrir o que acontecera com sua foto capa da Playboy, que
tornou-se padrão de referência para imagens em todo o m
undo. Foi quando ela
soube do uso da foto em Processamento de Imagens.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
74
Lena (The First Lady of Internet) durante a 50th Anual Conference of the Society
for Im
aging Science in Technology.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
75
Estudo de Caso: Decomposição via Daubechies db2 para ECG
ECG
Figura. A
MR usand
o db
2 para ECG, com
seis níveis de decompo
sição.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
76
A decom
posição explicita visualmente, n
o nível 6
, a wavelet m
ãe db2
. Lem
bra decomposição em
série de Fourier: O
s "harmônicos" aqui não
são senoidais perpétuas, m
as versões de um
a wavelet (e.g., o
ndas não
perpétuas).
Uma característica diferente: A
6=S6 (versão grosseira ou passa-baixa), a
qual deve ser adicionada aos detalhes (versão wavelet ou passa-faixa)
para com
por a aproximação.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
77
D1 D2 D3 D4 D5 D6 nos subespaços W
A1 → →→→ A2 → →→→ A3 → →→→ A4 → →→→ A5 → →→→ S6 nos subespaços V.
Maior grau de liberdade é conferido à análise, pois o m
esm
o sinal
pode ser decomposto via um grande número de diferentes
wavelets, ao invés de sempre ser decomposto em componentes
senoidais.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
78
Filtros su
avizad
or e de detalhes (H e G)
As seqü
ências
Zn
nh
∈}
{ e
Zn
ng
∈}
{, (
+∞<
∑ ∈Z
n
nh
2 ||
,+∞
<∑ ∈
Zn
ng
2 ||
) po
dem
ser exploradas com
o definind
o um
processo de filtragem
.
Condiç
ões
de norm
aliza
ção:
∫+∞ ∞−
=1
)(
dt
tφ
⇒
2=
∑ ∈Z
n
nh
;
∫+∞ ∞−
=0
)(
dt
tψ
⇒
0=
∑ ∈Z
n
ng
.
{hn} Filtro suavizador ou filtro de escala
{gn} Filtro de detalhe ou filtro wavelet.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
79
A relação de escala dup
la estabelece qu
e
∑ ∈
−=
Zn
nn
th
t)
2(2
)(
φφ
.
Aplicando
-se Fou
rier em ambo
s os m
embros, com
)(
)(
wt
Φ↔
φ, tem-
se:
∑ ∈
−ℑ
=Φ
Zn
nn
th
w)
2(2
)(
φ=
2/
)2/(
212
jwn
Zn
ne
wh
−
∈∑Φ
.
Assim
,
=Φ
)(w
)2/(
212
/w
eh
jwn
Zn
nΦ
−
∈∑.
Definindo
o "espectro" do
filtro {h
n} pela relação:
=−
∈∑jw
n
Zn
ne
hw
H:)
(.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
80
Φ
=Φ
22
21)
(w
wH
w.
De mod
o análog
o, partind
o-se de:
∑ ∈
−=
Zn
nn
tg
t)
2(2
)(
φψ
,
Definindo
o "espectro" do
filtro {g
n} pela relação:
=−
∈∑jw
n
Zn
ne
gw
G:)
(,
chega-se a
Φ
=Ψ
22
21)
(w
wG
w.
As duas equações centrais da AMR no domínio freqüencial são,
portanto, (Equações de escala dupla):
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
81
Φ
=Φ
2.
221
)(
ww
Hw
,
Φ
=Ψ
22
21)
(w
wG
w.
Construção de AMR Ortogonal - QMF
A construção de uma AMR ortogonal pode ser estabelecida
impondo as condições de ortogonalidade:
{}
Zn
t∈
)(φ
⊥ {
}Z
nn
t∈
−)
(φ ⇔
n
nt
t,
0)
(),
(δ
φφ
>=−
<
{}
Zn
nt
∈−
)(φ
⊥ {
}Z
nt
∈)
(ψ
⇔
n
tn
t,
0)
(),
(δ
ψφ
>=−
<
{}
Zn
t∈
)(
ψ ⊥ {
}Z
nn
t∈
−)
(ψ
⇔
nn
tt
,0)
(),
(δ
ψψ
>=−
<
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
82
em que
n,0δ
representa o símbo
lo de Kronecker.
Estas condições podem ser "versadas" para o domínio Fourier:
Proposição. (Escolha QMF):
)w
(G.
e)
w(
H*
jwπ
+−
=−
)(
.)
(*
π−
=−
wH
ew
Gjw
.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
83
Um par de filtros
G(w) e
H(w) verificand
o cond
ições acim
a (filtros
espelhados
em
quadratura
Quadra
ture
M
irro
r Filte
rs)
=>
ortogo
nalidade.
As cond
ições de ortog
onalidade sobre os filtros correspon
dem a:
0)0(=
H e
2)
(=
πH
2
|)
(|
|)
(|
22
=+
+π
wH
wH
, )(
)(
*π
+−
=−
wG
ew
Hjw
.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
84
Estas cond
ições
podem ser conv
ertidas
para o
domínio do
tempo
,
obtend
o as relações sobre os coeficientes
Zn
nh∈
}{
e
Zn
ng
∈}
{.
0,*
2m
Zn
nn
mh
hδ
=∑ ∈
+.
0,*
2m
Zn
nn
mg
gδ
=∑ ∈
+ g
n=(-1)
n h
1-n.
Codificação em Sub-Bandas
wavelets
discretas
=> um
a série
de coeficientes wavelet, também
cham
ada de Série de Decom
posição de W
avelet.
É possível
implementar
uma WT sem im
plementar
explicitamente as wavelets!
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
85
O m
odo de análise para wavelets discretas consiste em projetar filtros
passa-alta (HPF) e passa-baixa (LPF) de tal m
odo qu
e “particion
e” o
espectro do sinal exatamente ao meio.
Figura. B
anco de filtros / C
odificação em Sub
-bandas.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
86
A Codificação em sub-bandas.
Mud
ança de no
tação (aprop
riada p/ filtragem
digital)
dm[n]:=d
m,n e c
m[n]:=c m
,n; h
[l]:=h
l. � Avaliação dos coeficientes de escala c m[n]
∑ ∈+
−=
Zk
NN
]k
[c
].n
k[
h]
n[
c2
1.
Os coeficientes da decompo
sição (versão aproximada) pod
em ser
obtido
s iterativam
ente
uma filtragem discreta; sem
necessitar um
a fórm
ula explicita para φ(.).
Apenas os coeficientes do filtro suavizador {
hk} são requeridos.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
87
� Avaliação dos coeficientes de escala d
m[n].
Os
coeficientes da decompo
sição
wavelet (d
etalh
es), i.e.,
os
coeficientes da transformada de wavelets, são obtidos via:
∑ ∈+
−=
Zk
NN
]k
[c
].n
k[
g]
n[
d2
1.
Assim
, os coeficientes da decom
posição (versão detalhada) pod
em
ser ob
tido
s iterativam
ente
uma filtragem discreta; sem
necessitar um
a fórm
ula explicita para ψ(.).
Apenas os coeficientes do
filtro de detalhes {g
k} são requerido
s.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
88
Figura. P
rocedimento de codificação em
sub-banda:
Decom
posição de uma escala para a próxim
a.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
89
Figura. Cálculo do
s coeficientes da Transform
ada
de Wavelet po
r filtragem e sub-a
mostra
gem
.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
90
Os valores de
g[n] e h[n] correspo
ndem
a LPF e HPF, respectivam
ente.
� W
avelets de sup
orte infinito (e.g. wavelets de M
eyer, Battle-Lem
arié
...) po
ssuem in
finitos valores não nu
los de h[n] e g[n] im
plem
entada
com IIR.
� Já wavelets de sup
orte finito (e.g., Haar, D
aubechies) só po
ssuem um
número finito de coeficientes de filtros não nu
los implem
entada
com FIR.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
91
Algoritm
o cascata
Aproximações numéricas para uma função de escala ϕ(
t) e para a
função wavelet ψ
(t), podem ser construídas com base em h e g.
A idéia é calcular
)(
)(
tk
ϕ como a iteração de ordem k, determ
inada a
partir de uma versão anterior da iteração de acordo com:
)2(
2]
[)
()
()1
(n
tn
ht
k
k
k−
=∑+∞ −∞=
+ϕ
ϕ e
)2(
2]
[)
()
()1
(n
tn
gt
k
k
k−
=∑+∞ −∞=
+ϕ
ψ.
Se o algoritmo converge para um ponto fixo, esta é a solução da
equação de dupla escala, a qual é independente da solução inicial
arbitrada
)(
)0(
tϕ
(ou
)()
0(t
ψ).
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
92
IMPORTÂNCIA
PRÁTICA
• No caso de seqüências
finitas
(de comprimento N), a complexidade
multiplicativa para o cálculo de uma DFT usando a força bruta é O
(N2 ).
• Algoritmos
rápidos
(FFT)
resultam numa complexidade multiplicativa
O(N.lo
g2N).
O algoritmo piramidal (19
83) para o cálculo da DWT é ainda m
ais rápido
que as
FFTs: A transformada pode ser calculada usando apenas O(N)
multiplicações.
NOTA: “desconfio, escreveu um dos revisores do artigo, que ninguém jamais utilizará este
algoritmo”.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
93
Aplicações de Wavelets
Provocações... (!)
Wavelets em
Desco
ntaminação
de Sinais
Infelizm
ente,
descon
taminação é
um prob
lema
difícil
não
há
fron
teiras de distinção entre o sinal e o ruído
.
Mét
odos
de
des
conta
min
açã
o:
suprim
ir
"alg
um
as"
co
mponen
tes
"inco
eren
tes"
com
o sin
al de in
form
açã
o.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
94
“ENGENHARIA” DA DESCONTAMINAÇÃO PARA RUÍDOS ADITIVOS
OU
DE COMO CEIFAR AS ERVAS DANINHAS POUPANDO AS MARGARIDAS
A breve discussão que se segue elucida, sem m
aior rigor, porém de m
odo
intuitivo, os alicerces da m
aioria das técnicas adotadas na descontaminação de
sinais.
Embora grosseira,
a ilustração é suficiente para propósitos
de
compreensão do mecanismo.
David Donoho
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
95
Sinal f(t) contaminado por ruído aditivo n(t).
O sinal contaminado é f(t)+n(t).
Para uma transform
ada linear, o espectro do sinal é superposto, de form
a
aditiva, ao espectro do ruído.
Há trechos da banda em que o sinal “domina” largamente o ruído, enquanto que
há partes em que o ruído é praticamente de mesm
a ordem do sinal.
A idéia central da descontaminação consiste em estabelecer um lim
iar sobre o
espectro contaminado.
Trechos do espectro abaixo do limiar são elim
inados (assassinados).
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
96
Nas zonas abaixo do limiar, pode haver algum sinal presente (provavelmente
haverá), porém a intensidade do ruído é “comparável” ao sinal e a inform
ação
encontra-se comprometida – um espectro “sujo”.
O mecanismo lembra de como tratar maçãs
bichadas: para aproveitá-las,
extirparem-se as partes que se encontram podres.
A elim
inação de trechos
substancialmente ruidosos
do sinal fornece um
“espectro descontaminado”, o qual é então usado para obter uma versão “mais
limpa” do sinal, via a transform
ada inversa.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
97
Isso p
ode ser realizado e
m q
ualquer domínio d
e transform
ação, desde q
ue o
ruído seja aditivo e a transform
ada seja linear.
• Razão do sucesso frente a outras transform
adas: As transform
adas de
wavelet perm
item um maior grau de liberdade na decomposição.
w
02
46
810
120
0.51
1.52
2
9.42
7106−
×Fw()
12110
3−×
w
05
10012
2 0
Nw()
()
12110
3−×
w0
24
68
1012
0
0.51
1.52
2 0
Sw()
12110
3−×
w
2
(a) Sinal original; (b) ruído aditivo; (c) sinal contaminado.
B2
B1
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
98
As wavelets têm se mostrado ferram
entas im
portantes na rem
oção de
ruído.
• sinal o
riginal f
k
• ruído aditivo
nk v.a. - ruído
branco gaussiano.
• ob
servações
kk
kn
fy
σ+
=, k=0,1,2,...,K-1,
Matricialmente, y=f+
σn .
Aplicando
-se
a transformada
de
wavelets,
obtém-se
)(
)(
)(
nf
yD
WT
DW
TD
WT
σ+
=.
Os
coeficientes wavelet do ruído
superpõem-se
aos
coeficientes
wavelets do sinal.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
99
Ilustração (Matlab) da descontaminação de um sinal com ruído gaussiano.
Efeito do w
aveshrink nos coeficientes da decomposição e no sinal recuperado.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
100
Domínio wavelet
Domínio tempo
(a)
(c)
(b)
(d)
Figura. (a) Coeficientes wavelet para o sinal contaminado (b) Coeficientes
wavelet após waveshrink (c) sinal contaminado e (d) sinal descontaminado.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
101
Análise de Turbulência
Marie Farge (Ecole Normale Supérieure) 1986
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
102
Compressão via wavelets
A título de destacar a relevância das w
avelets como mecanismos de
compressão:
� Inclusão no
padrão internacional JPEG 200
0.
� padrão do FBI
(Fed
eral
Bure
au
of
Inve
stig
ations) para o
armazenam
ento de im
pressões digitais.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
103
Figura. D
emonstrativo do JPEG 2000 [Fonte:
http://www.cmla.enscachan.fr/Utilisateurs/ymeyer/jpeg2000Demo/jpeg2Dem.html].
Wavelets biortogo
nais de Coh
en-D
aubechies-Feauv
eau.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
104
Em 1993, o FBI desenvolveu padrões para digitalização e compressão
de im
pressões digitais.
O padrão de compressão de imagens adotado pelo FBI (U
S Federal
Bureau of Investigations) para a digitalização de imagens em níveis de
cinza de impressões
digitais é chamado de WSQ, "Padrão de
Compressão W
avelet/Q
uantização escalar" (do Inglês: W
avelet/Scalar
Quantization standard).
O m
étod
o de com
pressão envo
lve três passos principais:
i) Uma decompo
sição DWT da im
agem
fon
te da im
pressão digital;
ii) Uma qu
antização escalar (quantizador uniform
e) dos coeficientes DWT;
iii) Cod
ificador de fonte sem perdas do
s índices qu
antizado
s.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
105
O W
SQ adota uma quantização para uma decomposição da im
agem em
64 sub-bandas
usando a DWT. As
imagens
são produzidas
com
qualidade de arquivamento e com taxas de compressão em torno de
20:1
• As imagens de im
pressão digital são digitalizadas via scanner com
resolução de 500 pixel/polegada e com 8 bits (256 níveis de
cinza).
• Uma impressão digital adquirida com esta qualidade requer
700.000 pixels e necessita 0,6 M
bytes para arm
azenagem. Duas
mãos, requerem quase 6 Mbytes, sem compressão.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
106
(a)
(b)
Figura. Diagram
a simplificado
do S
istema WSQ (Padrão FBI) para Im
pressões
Digitais (a) Com
pressão
de Im
pressões com codificação
em 64-subbandas (b)
Reconstrutor da im
agem
a partir da seqüência binária com
prim
ida.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
107
Wavelets em
Compressão
de Im
agen
s A compressão de imagens com base em transform
adas vem sendo
usada a longo tempo com sucesso.
A compressão com wavelets consiste essencialmente em três etapas:
� A transform
ada, �
a Q
uantização e �
a Codificação.
Trata-se de um esquema similar ao clássico PCM (Pulse Code M
odulation).
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
108
Figura. Princípio da codificação de imagens com base em transform
adas de
wavelet: Transform
ada wavelet direta, quantização e codificação binária.
� As wavelets norm
almente adotadas nestes esquemas são as de Daubechies
com N=3 momentos nulos e as Biortogonais com N=2 momentos nulos.
� A etapa de codificação pode envolver uma codificação binária de comprimento
fixo ou de comprimento variável.
� N
o esquema de quantização, o grau de perda é controlado escolhendo o
número de níveis de quantização e a geometria das células de Voronoi.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
109
A form
a m
ais usual de compressão é a "compressão com perdas", na qual
elim
ina-se um grande número de coeficientes wavelets sem grande perda na
qualidade da im
agem.
Figura. Efeito progressivo da Compressão W
avelets.
(a)
Imagem original 100% dos coeficientes,
(b)
19% dos coeficientes wavelets retidos,
(c)
3% dos coeficientes wavelets retidos,
(d)
1% dos coeficientes wavelets retidos.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
110
Potencial das wavelets na compressão de im
agens [D. Lemire e A. Béliveau].
Original 26
1 kB
JEPG 28 kB
wavelet CIRA
5kB
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
111
Wavelets na Análise de Sinais Méd
icos
As
wavelets constituem uma ferramenta extremamente valiosa na
(Engenharia) Biomédica.
• análise de sinais fisiológicos tradicionais (eletrocardiogramas ECG,
eletroencefalogramas EEG, etc.)
• imagens biomédicas (Biomedical Im
aging)
• modelos de percepção (sistema visual, sistema auditivo etc.).
redução de ruído, realce de imagens para diagnóstico (radiografias,
mamografias, ultrassom etc.), detecção de microcalcificações
em
mamografias, Imagens
de Ressonância Magnética MRI,
Tomografia
computadorizada
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
112
Wavelets de D
aubechies na detecção de arritm
ias, p.ex., VLP (ventricular late
potential).
Figura. A
nálise de um eletrocardiograma via wavelets dbn. A
energia associada com
a contração ventricular prematura é explicitada nas escalas 6, 7 e 8 (D6, D
7 e D8).
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
113
Mam
ografia e radiologia. Microcalcificações sempre refletem alguma patologia nos
seios, seja benigna ou m
aligna. Em m
uitos casos elas não são visíveis devido ao ruído e
blur que ocorrem em sistemas de raios-X e na câmera digitalizadora. Técnicas baseadas
em wavelets tem sido usadas com sucesso na detecção de microcalcificações.
Figura. Realce em Mamografia digital com wavelets: Imagem original e Imagem
com Realce e descontaminação.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
115
2D-W
avelet via Análise de Multiresolução para Im
agens
A implementação bidimensional da transform
ada discreta de w
avelet (2D-
DWT) pode ser realizada pela aplicação de 1-D-DWT para a imagem,
primeiro na direção horizontal e então na direção vertical.
sub-im
agens: L
ow-L
ow, Low-H
igh, H
igh-L
ow e H
igh-H
igh na escala 1.
2D
-DWT é aplicada apenas nas sub
-imagens Low-L
ow gerando
Low-L
ow, Low-H
igh, H
igh-L
ow e H
igh-H
igh na escala 2.
....
Original
Decom
posição 2D
- Wavelet M
ascara de iteração
Figura. Decom
posição Diádica da im
agem
"de
Olive
ira" e máscara de iteração
empregada para a decom
posição em
níveis mais elevados.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
116
Wavelets em Telecomunicações
• Óptica
• Sincronização
• Modulação
• Identificação de modulações digitais
• Combate a ruído intencional (anti-jamming)
• Codificação de voz e na quantização (linear ou vetorial)
• Radar
• Modelos para o sistema auditivo
• Sistemas com diversidade em canais com desvanecimento
• Multiplex e CDMA
• Sistemas Multiportadoras Ortogonais (multitom tipo OFDM).
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
117
Seqüências de espalhamento espectral u
tilizando wavelets FF-Haar
sobre GF(7)
Wavelets Ortog
onais po
dem ser usadas como as seqüências de espalhamento
espectral.
Projeto de seqü
ências ortogo
nais de espalham
ento espectral de
comprim
ento N
=8. A
Wavelets
FF-H
aar sobre GF(p) po
de ser u
sada p
ara
derivar as seqüências.
Cada usuário tem uma seqüência que corresponderá a uma versão
escalonada/transladada de uma mesm
a wavelet-mãe.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
118
Figura: S
istema Multiplex utilizando wavelets FF-Haar.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
119
Modulação por Chaveamento de W
avelets – WSK
Sinalização M-ária W
SK para transm
issão de dados.
A modulação W
SK é definida escolhendo-se o número M
de escalas.
Versões
escalonadas
da wavelet mãe são transm
itidas
em cada intervalo-
símbolo.
O fator de escala em cada “slot” depende dos dados binários da entrada.
O sinal m
odulado sem superposição (n-W
SK) baseado em wavelet
)t
(ψ
é
())
mt
()
t(
)m
(n
m
)m
(n
WSK
n−
=∑+∞
−∞=−
22
2 ψϕ
em que m
determ
ina a índice do símbolo a uma taxa de 1 baud e n(m
) ∈
{0,1,2,...,M-1}.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
120
Duração efetiva de
)t
(ψ
é unitária. Versões escalonadas
)t
()
m(
n2
ψ, n(m
)≠0 são
mais curtas que
)t
(ψ
e
)t
(W
SK
ϕ é uma seqüência de wavelets não superpostas.
Dados são segmentados em blocos de log2M bits. O bloco especifica o fator de
escala n da wavelet que será transm
itida no slot particular.
Figura. Modulador WSK. A notação ×1, ×2, ..., ×M especifica o fator de escala da wavelet.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
121
Outro caso consiste em W
SK superpostas (o-W
SK) sobre uma wavelet:
() )
mt
()
t(
)m
(n
m
)m
(n
WSK
o−
=−
+∞
−∞=
−−
∑2
22 ψ
ϕ.
02
46
810
210121.718
1.384
−φnon
t()
101
−t
05
1015
0.2
0.10
0.1
0.2
0.255
0.174
−φovert()
152
−t
Figura. Form
as de onda típicas (norm
alizadas a 1 baud) com M=4 escalas:
Esquema W
SK deO-W
SK (de O
liveira wavelet com α=0.2) sem superposição e
com superposição.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
122
Multiplexação por Divisão em Multirresolução – MRDM
De acordo com a decomposição heterogênea de Mallat, dado um
sistema wavelet {
}j
kk
,,ψ
ϕ, um sinal
)(t
f pode ser escrito como
∑∑
∑=
+≅
k
J j
jkk
j
k
Jkk
td
tc
tf
1,
)(
)(
)(
ψϕ
,
em que
kc e
jkdsão os coeficientes de aproximação e de detalhes.
Ao invés de usar a decomposição de Mallat na análise de um único
sinal, esta abordagem gera o sinal m
ultiplexado de diferentes usuários.
A idéia é usar a AMR para sintetizar o sinal m
uxed.
Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE
123
Seja
)(t
f i o sinal analógico do usuário i. Se as amostras de cada sinal
são atribuídas a uma dada escala, p.ex.
][
0k
fc k
= e
][k
fd
jjk=
,
um sinal contínuo muxed pode ser gerado de acordo com
∑∑
∑=
+≅
k
J j
jkj
k
JkM
UX
tk
ft
kf
t1
0)
(]
[)
(]
[)
(ψ
ϕϕ
.
Nesta expressão, diferentemente da AMR padrão, cada coeficiente vem
de um usuário diferente.