二種重力模式 Helmert mean gravity及 Bouguer gravity 應用於正高改正之介紹

學生 : 王奕婷

大綱 介紹三個不同重力值

正高改正公式套用 Helmert mean gravity以及 Bouguer mean gravity

數據實驗結果與分析

結論與參考文獻

1 . 量測重力值 - 事實上所測量的重力 g 值，受地形

質量引力影響，和所欲求參考於 geoid 的重力值有差 異，事實上，重力異常，其應該是在沒考慮所在質量 引力之影響，也就是 geoid 以上的質量應予以移除， 和實際量得的 g 值有差異，故須做 Gravity reduc -tion ，去除質量引力之影響。

2. Bouguer gravity- 即量測重力值做 Bouguer reduction 之重力， 是在有考慮所在質量引力之影響 a. 假設一平面 (Bouguer plate) 通過量測點 P ，為排

除地形質量引力之影響，計算其質量垂直引力 ( 圖一 )

公式簡化後如下，因其平面視為無限延展，故

a

)(2 22 babakAo

圖一 對 p 點而言，故地形質量引力為 = Ap = hk2

假設通過 p 點有一平面， PO 通過 Geoid

. 設其密度 ， k 為重力常數

算出的 Ap=0.1119 h ，如此將其質量移除此值稱 incomplete Bouguer reduction

Apg 3/67.2 cmg

239 sec/107.66 gcmk

Free-air

2. 地形質量移除後，該點則為 free air 的狀態，其 p點 free air 的重力梯度值則呈現為

該值通常以 來代替，亦是代入定值 0.3086hmgal 將其值加回，以得 Bouguer gravity gB 。

hh

gF

h

r

g+0.197h (bouguer gravity)

3.

g-0.111h+0.3086h

此為有考慮質量部分的影響，而求得更精確的 g 值。

FAgg BB

正常重力值 參考於所計算的橢球體，橢球體和地球本身

的重力常數、質量 M 、轉速 w 、長半徑 a 相同 正常等位面亦是可以計算得出，為均勻分布之線如圖三

根據 IAG(Associarion of Geodesy) 所定義各參數，得正常重力值公式為

gal)2sin0000059.0sin0052884.01(0490.978 22

圖三 .

平均重力值 平均重力值可藉由下列公式算出 [ Heiskanen and Moritz 1967,p.167 ]

重力之垂直梯度（在垂直方向，重力之變化），可分解為下式

hkh

ggg

22

1

H

g

hh

g

Helmert 的平均重力假設

1. 忽略重力異常梯度影響，即

2. 將重力垂直梯度做 free-air 的假設，即將 geoid 上的所有地形貭量視為已移除，不考慮質量引力的影響，故直接採用量測的 g值

3. 岩石密度視為定值

0H

g

3/67.2 cmg

Helmert 的平均重力假設 ( 續 )

其缺點，即重力異常值與密度值不該為定 值，會隨其地形質量重力影響而變化，且直 接採用量測的值，是無考慮去除質量引力之 影響，並無做任何 Gravity reduction 之修正。

hgg 0424.0

Bouguer 的平均重力假設

將各點的 bouguer 重力異常予以考慮，代入平均重力之公式 :

其中

赤道正常重力值為 978032.7 =

hghhgg 0424.0197.00424.0

)(Bgg

2sin2sin)( 221 eee

ABOC HmSHmggHHm BA

BBAB 2sin1083.0)(1002.110114.0 333

e

Bouguer 的平均重力假設 ( 續 ) 平均重力值

依舊不考慮重力異常之梯度，但在之前的 g 值裡以 gB 代替 :

故有考慮各點的 Bouguer 重力異常值，且有去除質量引力之影響，也就是須考慮到地形質量影響因素

H

g

hh

g

hGh

ggg

22

1

ghg 197.0 )(Bgg

三個重力值之折線圖

978600.000

978650.000

978700.000

978750.000

978800.000

978850.000

978900.000

978950.000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112 1314 151617 18

g量測的 值

Bouguer

g正常 值

二個平均重力值之折線圖

978650.000

978700.000

978750.000

978800.000

978850.000

978900.000

978950.000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Bouguer平均重力Helmert平均重力

正高改正結果

正高改正折線圖

-14-12-10-8-6-4-202

16 17 18 19 20Helmert正高改正

bouguer正高改正

結論 控制點 12 高程值較大 452.66856 m ，擁有較明顯的 地形起伏，而使得連測該點的測線 (17.18.19) 重力異 常較顯著，若用 Bouguer 重力值，則故由上圖可知其 測段正高改正值有達 1.28 公分 而 Helmert反而不顯 著，可見重力做 Gravity reduction ，去除質量引力之 影響還是有其必要，也就是須考慮到地形質量影響因 素。

參考文獻 1. Weikko A. HeiKanen & Helmut Moritz ,1967 ,P

hysical Geodesy , pp.70-132 2. Hsu, R. , szu-pyng Kao , Fang-shiNing 2000. ” Results if field test for computing orthometric correction based on measured gravity”, Geomatics Research Austalasia , pp. 43-60.

3.許榮欣、鄞守毅， 2003 ，“以定相關加權模式實施台灣一等一級水準往平差計算”，第廿二屆測量學術及應用研討會， pp.313-320 。